IX EPEM CC -...

$: IX EPEM CC - sbempaulista.org.brsbempaulista.org.br/wp-content/uploads/2015/03/IX_EPEM_CC_PARTE-I.pdf · oq g ; d 9 9?m @ = l c c i l s e prÁticas o c w x k z ` z \ ^ m ... planejamento$
A�� do CD Í�� B�� P��

R�� !��

Eixos-temáticos

Eixo-Temático 1: Avaliação Eixo Temático 2: Currículo Eixo Temático 3: Etnomatemática e Modelagem Eixo Temático 4: Formação de ProfessoresEixo Temático 5: História e Filosofia Eixo Temático 6: PsicologiaEixo Temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática Eixo-Temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação

E"#$%&'()*"+$ ,- ./01"023$ V$1*04 0$5 E"#$5%*'()*"+$5CC678 9 9:9;<9=>? <@DF<FGC<?@9; H? FI9J9;K? H?CL@FL L

? HLDL@:?;:<OL@F? MI?N<SSIONAL DE PROFESSORES G@<:LID<FUI<?D

QSTWXYZ[Y 9\]^W_àa^ ;<J9@?I<QSTWXYZ[Y KY\ZTbSY M<OL@FL;OTZT`[ C`Z]^c^ GFDGO<

CC68d <@N;Ge@C<9D FUC<F9D @? L@D<@? 9MIL@H<f9QLO HLO9FLOUF<C9gGO9 @?:9 9J?IH9QLO hD 9:9;<9=iLD

J`Zj`Z` CZTcaT\` O^ZYTZ` D<C9IH<LkYZa^\ MLIGQ<@<NZ`\lTcWYT D`\a`\` ]Y mLDGDnWYjYZ M`clX^`WT\T O9C<L;I^jc^\ C`[TW^ C9I;?D

CC6op ? ;<:I? H<HUF<C? HL O9FLOUF<C9 L 9 N?IO9=>? M9I99 C<H9H9@<9g O<F? ?G HLD9N<?q

N`jT`\` CYrsZT^ ]Y 9;OL<H9O`Z` DSYWT DT[t^ O?I9LD

CC6pu GO ?;K9I D?JIL ?D C?@FLvDOS DE ESTATÍSTICA NAS 9:9;<9=iLD H? L@LO L H? D9ILDM

IY\à` NYZ\`\]Yc O9HIGQ9HZ`w CW`x]Y IYyT\` OL@HLDC`[TW` F?I<@?I`zX`YW fY\ C?:?;9O

CC6pp GO9 IL6;L<FGI9 HL {GLDFiLD C?O C?@FLvH?DLDF9F|DF<C?D @? D9ILDM

I`zX`YW fY\ C?:?;9OHZ`w CW`x]Y IYyT\` OL@HLDC`[TW` F?I<@?IY\à` NYZ\`\]Yc O9HIGQ9

E"#$ &'()*"+$ }- ~�44�+�1$ V$1*04 0$5 E"#$5%*'()*"+$5CC67u 9 9MI?MI<9=>? HL C?@KLC<OL@F? L 9

ILCLMF<:<H9HL HL 9;G@?D H9 o� D�I<L h9IF<CG;9=>?g FL�F?D <@N9@F<D L O9FLOUF<C9

9\` M`SW` QYca^c^ ]Y D?Gf9I^c` O`ZT` O^Z`Yc 9\S\lTà^ ]Y ?;<:L<I9

CC6759 C?@DFIG=>? H? D<Q@<N<C9H? HL N�IOG;9D HLUIL9 HL N<QGI9D QL?O�FI<C9D M;9@9D LO ;<:I?DH<HUF<C?D HL O9FLOUF<C9

I^cT\`W]` 9SZ^Z` ]Y OYW^ FL;LD

CC6769 QL?OLFI<9 @9D D�I<LD <@<C<9<Dg ?D LDFGH9@FLDQ?DF9O� ?D MI?NLDD?ILD ILD<DFLOwww

H`WTaX` M`ZTrY C?C9F?CsZ[Y\ ;�lT` JZ`\l`yWT^\ M9DD?D

CC678 9 <@C;GD>? H9D QL?OLFI<9D @>?6LGC;<H<9@9D @9LDFRUTURA CURRÍCULAR DA EDUCAÇÃO BÁSICA

F`WTa` DYl^ZS\ ]^c D9@F?D:`W]Y\T D^WT`\T NI9@C?

CC6�7 9 ;<@QG9QLO O9FLOUF<C9 GF<;<f9H9 @9 d� D�I<L H?L@D<@? NG@H9OL@F9; � 9HL{G9H9 h C?OMILL@D>?H? 9;G@?q

O`ZlYW` ;^zYc D<;:9O`ZT` m^c� ;^SZY\�t^ JI<QKL@F<

CC6u8 CGII|CG;? HL O9FLOUF<C9 L LHGC9=>? LDF9F|DF<C9g9;QGO9D C?@CLM=iLS E PRÁTICAS

Ocw K`ZZxc^\ m�\T^ ;Ycc` Q?@=9;:LD

CC6uo HLD9N<?D HL GO QIGM? HL MLD{G<D9 {GL <@:LDF<Q9 9?IQ9@<f9=>? CGII<CG;9I @? L@D<@? O�H<?

C�WT` O`ZT` C`Z^WT\^ M<ILD9Z[`\]^ FZ`W]T mv@<?I

CC6dd D>? M9G;? N9f LDC?;9q OGH9@=9D CGII<CG;9ILD@? �OJ<F? LDF9HG9; L 9 M9IF<C<M9=>? H?DMI?NLDD?ILD LDC?;9ILD

NYZ\`\]^ ;STc MYZYTZ` NLI@9@HLD

CC6p� GO QIGM? H? F<M? C?;9J?I9F<:?g JGDC9@H?9;FLI@9F<:9D M9I9 FI9@N?RMAÇÃO DA PRÁTICA MLH9Q�Q<C9 H?D MI?NLDD?ILD

O`ZT` 9z`ZYlT]` :TWYW` OY\]^\�` MT\a^C?L;K?HT^\Y ;SllXYcT ]Y C9I:9;K?

E"#$ &'()*"+$ �- E*�$(0*'()*"+0 ' �$�'10�'( V$1*04 0$5 E"#$5%*'()*"+$5CC68� O?HL;9QLO O9FLOUF<C9 L LHGC9=>? LDF9F|DF<C9g

GO9 9J?IH9QLO C?O ? L@D<@? O�H<?wOTZT`\ Ow 9@HI9HL

�� ¡��¢�� £�¡¤�¥�� £�� PLANEJAMENTO URBANO

�¦§¨©ª« ¬¨®® ¯��°��¨±¨ª² ³´µ ¡��

��¶· £� ��£�� ¬¤� � ¤��£¸¹� ��¡¤�¬�� ³�� º��

�«»¼´¨ª ´¦ �«¨©¦¨±ª ��½��

¾¿ÀÁ ÂÃÄÅÆ¿ÇÁ ÈÉ ÊÁËÄÌÎÏÁ ÐÃ ÑËÁÒÃÓÓÁËÃÓ ÔÕÖ×ØÙ ØÕÚ ÛÜÝÕÚÞ×ßàá×ÜâÕÚããäå7 æ çèéêëìíîãçæ ïêð æèñçòîìòð ïò óòêèòìëçæ

ïçîíèçãæ éæëæ ê ïòðòîôêõôçèòîìê ïê éòîðæèòîìêïòïöìçôê òè óòêèòìëçæ

è÷øùúû ðüýþü ÿû ðùM�û ïçæðãùMCÿû ÿC �ýCù�ü� C ðùM�û ãêöìçî�ê

ããäå9 æ çîAõö�îãçæ ïæð éëêéêðìæð ãöëëçãöõæëòð îæAêëèæF�ê çîçãçæõ ïò éëOFESSORES DE QUÍMICA E èæìòè�ìçãæ� æ éëòðòîFæ ïò ïçðãçéõçîæðçîìòëïçðãçéõçîæëòð

ëûRûCM çøøüúCøþù ôùCù�û ÿû ðçõôæðùM�ùû ëCSùøû �ýùûÿû æ�ü �öõçæîç

ããä� æ îæëëæìçôæ îæ éòð�öçðæ ïò AêëèæF�ê ïêéëêAòððêë ïò èæìòè�ìçãæ éæëæ æð ðPëçòð çîçãçæçðïê òîðçîê AöîïæèòîìæõD

æÿ�ùûøû êR�Cþü�ùü ÿC êMù�Cù�û èæëìçîæøøû ëCSùøû õûøøC� ÿC èêöëæ

ããä 0 æìçôçïæïòð çîôòðìçóæìçôæð ïò MATEMÁTICA, EM SALA ïò æöõæ� òè ãêîìò�ìê ïò ESTÁGIO SUPERVISIONADO îæ õçãòîãçæìöëæ òè èæìòè�ìçãæ

ëû�ýCM óü�C ÿC êõçôòçëæ

ããä 5 òïöãæF�ê èæìòè�ìçãæ çîïEóòîæ� öè òðìöïê ïòãæðê ðêñëò éë�ìçãæð ò èæìòëçæçð ïçï�ìçãêð òèæëæëçñ� � ðé

JC�ý�û �û�Mû óû�úùû óçæììçç�CþC èû�ùû ñæëæõïç

ããä 6 òîðçîê ïæ óòêèòìëçæ � èêìçôæF�ê è��úùû éùøþü ðçèçêîò

ããä 9 òðì�óçê ãöëëçãöõæë ðöéòëôçSIONADO: ANÁLISE DE éëêéêðìæð òè ãöëðêð ïò õçãòîãçæìöëæ òèèæìòè�ìçãæ

ç�ûúC�û ÿC èù�ûøÿû êõçôòçëææøû õ�úùû èæîëç�öò

ããä�� AêëèæF�ê ãêîìçîöæïæ ïò éëêAòððêëòð �öòòîðçîæè ãç�îãçæð ò èæìòè�ìçãæ îæ éòëðéòãìçôæ ïæéðçãêõêóçæ ïê ïòðòîôêõôçèòîìê �öèæîê

ï�D îCMüø æøþ÷øùü éçëêõæï�ûD ëùþû èCMùû õòéëòï�ûD ðùM�ùû ëCSùøû �ýùûÿû æ�ü �öõçæîçæøû ðùM�ùû ãû��ûM�ü ëù�Cù�ü óêèòðç�ü õCüøû�ÿü éæóæîçîçõýL AC�øûøÿü æRRüøü AC�øûøÿC ÿûãöî�æ

ããä� AêëèæF�ê ãêîìçîöæïæ êîõçîò òè óòêèòìëçæ éæëæéëêAòððêëòð ïêð æîêð çîICIAIS: PRINCÍPIOS îêëìòæïêëòð

ò�ûøÿ�ü æøþüøùü ñòëìêõöãçëCSùøû èû�ùû ðù��C éýúúùøCMMù ìæîãëòïç

ããä�� óëöéê ïò òðìöïêð ò ïòðòîôêõôçèòîìêéëêAçððçêîæõ ïò éëOFESSORES QUE ENSINAM èæìòè�ìçãæ� æõóöèæð ëòAõò��òð

òÿÿû ãöëç

ããä�� çîìòëéëòìæF�ê ïò óë�Açãêð ïò ñæëëæð� æî�õçðò ïòöèæ ðò�U�îãçæ ïò æìçôçïæïòð ãêè AöìöëêðéëêAòððêëòð

èû�ùû éûþ�Lúùû A�Cùþû ÿC õòèêðæùÿû ãû��ûM�ü ôçìæ

ããä�� ê ãöñê ðêèæ ãêèê öèæ Aòëëæèòîìæ îææéëòîïç�æóòè ïò èæìòè�ìçãæ

Jüøûþû òþC�ûø ðüû�C ÿû ðçõôæèCù�C ÿC èCMü èæë�öòðæMCûøÿ�û ñüøûþü æõìëæîïûM�û èû�ùû ÿC êMù�Cù�û ôçõõæëëòæõèû�û õ�úùû èû�þùø õêéòð

ããä�� ê òðì�óçê ðöéòëôçðçêîæïê òè èæìòè�ìçãæ� öèæò�éòëç�îãçæ îæ æ AêëèæF�ê ïò òïöãæïêëòð

èD õùMùûøC éù�C ôæõôòëïò

ããä�� ê éæéòõ ïê éëêAòððêë îæ çîðìçìçãçêîæõç�æF�ê ïæðîêF�òð ïò �ëòæ ò éòëEèòìëê òè ëòõæF�ê æ æìöæõéëêéêðìæ ãöëëçãöõæë ïê ESTADO DE SÃO PAULO

ãùøþùû æ�D ñCøþü ÿü ðæîìêðòÿÿû ãöëç

ããä� ê öðê ïæð ìçã òè ãöëðêð ïò õçãòîãçæìöëæ òèèæìòè�ìçãæ� �öò AêëèæF�ê!

JCÿùûøC ìCù"Cù�û ÿC ðêö�ææøû õ�úùû èæîëç�öò

ããä�å êð èöõìçðçóîçAçãæïêð ïò ò�öæF�ê� éêððçñçõçïæïòðéæëæ æ AêëèæF�ê ïê éëêAòððêë ïò èæìòè�ìçãæ

æMCûøÿ�ü Jûú�ýC ëçñòçëê

ããä�� éêë �öò P çèéêëìæîìò òîðçîæë ãêîìò#ïêðèæìòè�ìçãêð éëêôòîçòîìòð ïò æñðìëæF�òð ïæðæñðìëæF�òð!

ëùú�ûCM ðùM�û ãæòìæîê

ããä� éêëìAêõçê ïò æéëòîïç�æóòè� ò�éòëç�îãçæðîæëëæïæð îê ãçñòëòðéæFê

ðýCMCø æýø$%ü ðæîìêððû�ýCM òÿ�ýøÿü õ&�C� ñòõõê

ããä�� éë�ìçãæð ðêãçæçð ïò éëêAòððêëòð ïò èæìòè�ìçãæ�çîïEãçêð ïæ éëòðòîFæ ïæ çîìòëîòì òè öè ãöëðêêîõçîò

ãû�Mû ëCSùøûëüûøû óùû�Cþþû ðSýC��û èçð�öõçî

''()* +,-.,/'01+ 202340'1+ , 5 ,/+0/5(167,/20819,: 2,

'5/4,;25+ 2, 1/3<0+, '5:=0/14>701

'?@BG? 4570/5

2H?I 'G?KNO 7OQBT? :,/2,+

7?VW?OG 8OT '5X5<1:

7OT?Y? ZOHT?TNO[ :127\91

]^_` abcde^f` gh i^jekl^m b nô`j`p^m qòeml m`j ]^_`jrebcde^f`j

''(st 1/3<0+, 2, 4,u45+ 202340'5+v 1<9\:1+

'5:67,,/+w,+

ZxyBz 2zTB[OYB NO 5<0X,071

''(s* 1+ :\21/{1+ 0/4752\802AS POR LUIGI FANTAPPIÈ /5+ '\7+5+ 2, '3<'\<5 20Z,7,/'01< , 0/4,971<

:0/0+47125+ /5 =71+0<

9?yHBOG <z|HOBHz NO <0:1

=OTONBYz 1TYzTBz N? +0<X1

''(}} '540201/5 , 67140'1+ +1<,+01/1+ /5 ,/+0/5 2,

:14,:340'1 ,/47, s~~) , s�}� /5 '5<�905 <0',\

'571{�5 2, �,+\+ 2, +�5 61\<5v '5/+47\0/25 \:1

�0+4>701

1TNH�B? 21<'0/

''(�� :1790/1<0212, , ,/+0/5 197�'5<1v \: 5<�17 6171 1

Z57:1{�5 25+ 675Z,++57,+ 2, :14,:340'1

:?HB? ,NT�B? :1740/+(+1<1/20:

''(�� /177140X1+ , �0+4>701 57AL: POSSIBILIDADES EM ,2\'1{�5 :14,:340'1

:�I <|[B? 1V?HO�BN? NO +5\81

''()t 7,Z<,uw,+ +5=7, 1 /,',++0DADE DE APROPRIAÇÃO 21 :14,:340'1 ,+'5<17 20ANTE DA VALORIZAÇÃO DA :14,:340'1 67,+,/4, ,: '5/4,u45+ +5'010+

20X,7+5+

2HI �z�� 7zyOHYz =zOYYQOH 901720/,445

''()~ +0+4,:1+ +,:0>40'5+ 2, +09/0Z0'1{�5 '\<4\71< ,

1+ 4,'/5<5901+ 21 0/4,<09�/'01 /5 ,/+0/5 2,

:14,:340'1

�z�z ZxyBz 65745

]^_` abcde^f` �h �j^fò`�^m qòeml m`j ]^_`jrebcde^f`j

''(s) 1/3<0+, Z\/'05/1< 2,+'7040VA E PRÁTICAS DE ENSINO 2, :14,:340'1v 4,/4140X1+ 2, X0+0=0<0212, �+

0/4,71{w,+ ,: +1<1 2, 1\<1

2OB�O 1I 6OH?GY? +617X5<0

2HI �?BH <zVO� �;/057

''()� \: ,+4\25 21 �,17<� 1<9,=7A” SOB A LUZ DA TEORIA ��

�¡¢£¤¥ ¦��§�

�¨©ª«¨ ��

¬®¯ °±²³´µ¯ ¶· ¸±¹¯º»¼½¯ ¾± ¿À¯Áº±²Â¹ ± ÃÄÅ±¹´ÆÂ¼½¯ ÇÂ´±²³´µÂ È¯º´ÂÀ Â¯¹ ¬®¯¹É´±²³´µ¯¹

��ÊËË � ��Ì�Í�Î�ÏÐ� �� Ì�� Ñ�� Í�

�Í�� Ò� �� Ì�� Î��

�� Ó��

Ò¥ÔÕ �ªÖ¨«ª¥ �×£×Ô ��Í �

�ª¨¤« �×©ª×Ô ��

��ÊËØ ��ÑÍ�� Ù��Ú�� Ñ��Û ��Ì � Ü��

�� Ý �� Ì�Í�Î�ÏÐ� �� Þ��

�� ÏÐ� ��Ü��

�¥Ô¨©¨ �ßà ª¨ �¥Ô¡¨ �Î

Ì¨«á¨«¨ ÍÖ¡¡¨¤â Ì��Þ��

��ÊãË Ì�� ä�Î�� Ñ��å �� æ��ç��

��ÏÐ� ��ä��Í

ÍÖè¤¨©¨ �«¤Ô¡¤©¨ ��

�×é¤©¨ �à �à �Öèè¤©×êê¤ ��

��Êãë �� ç�� ÝÎ��å �� Ì��

�� æÝÍ�� Í��Í��

�©¡ì©¤¥ Ò¥ÔÕ ä×«©¨©ª×Ô ª× ��Í�

�©¨ Ííè¤¨ ��Ù��

��Êãî �� ÓÊÑÍ��Ì�� Ó� �� Ò�� ëï

�� ä��Í

�¨«¥ê¤©¨ �©©¥è×©¡× ��

�¨«¤¨ ª¥ �¨«ð¥ ª× ��

��Êñò � ��Þ�� Ó��

�Í�� Ó��å �� ÑÍ��

��Í�ÏÚ�� Ì�� Ê��

�� Í �� ÍÝ�� Í��

�Ôà Marcelo Carlos de PROENÇA �«à �×êÔ¥© �©¡¥©¤¥ �¤«¥ê¨

��Êñã � ��Þ� �� Í��

ä��Í �� ÌÍ�� DE COMBINATÓRIA E OS ��ÌÍ�� Ì�ÍÞ�� Í� ��ä��

��Í�

Í×©ó �à �à ��æ��

�ª¤ê×©¤ �à ª× ��

�ì©¤è¨ ��ÍÍ��

�ô×¤ê¨ �×©¤õ× ��Ð��

��Êñî � �� Ñä�� Í��

��ç� �Ù��ÏÚ�� ç� ��Ü��

�Ó�� Ó��

�¨«ê¨ �à �¥«×©¥ Ì��Í��Í�

Ì¨«á¨«¨ ÍÖ¡¨¤â Ì��Þ��

��Êöë ��Í �� Í��Û ��UÇÃO DE SIGNIFICADOS E ��ÏÐ� �Í�ÓÌ��A NAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO ä��Í

�Ôà Ò¥÷¥ �¤è¨«ª¥ ¤¥ê¨ ª¥Ô ��

øøùúû üýþ þÿU�� ø��IMENTOS ALTERNATIVOS ü��þ�� ÿþ ��ü�� ø ø�� þ�

��D�ÿ�� D�þ��

þA�� ý�� ü��ü��ÿ

ÿ�N��A þA��A�� þ

E�� !� "# ��!$�%�&�'( )� *$+�,�'-.� � /��0$�!'-.� V�% ', '�( E��(1 �� !�(

øøùC2 �þ��ÿ�� ø�ý�ü�þ��3 �ü þ��ÿ�� ø�ý �

ø�ý�ü�þ��4 üý þ��ý� �ÿTRE POLÍTICAS PÚBLICAS � ��ÿ�þ�� ø�þ��

��A�� R�5��A� ��66� ��7ü��

�5��A ��8 7�N��A� ��Rþý

øøùCû þ ø�ý��ÿ�� ø�ÿø�� 9ÿ7ü��

þ�üÿ�� øü�� PEDAGOGIA E O USO DA ��ÿ7üþ7�ý �� 7�þýþ�� 7�

þA� �N�� ø��A8�� þý��ÿ

þN�A� �� N5� ��

þ:��A øþRþþÿþ

ý�� M;�N ý�� ý��þ��

��AL ��<;�� ý��A� ��þ

øøù2= þ� ��þ�� ø�ÿ��ü��

ø�ÿ>�ø�ý�ÿ�� ý üý þý��ÿ�� R��üþ� ?MOODLE)@BFGHI JKOKIPH @HQGSH JTWXYZ[[\

@@]^_ J` XYaJbcY` YT[XY J` [\@` Y J YWd@JbeZ

fJ[Yfg[\@J TZ hXZiXJfJ WY hj`]iXJWdJbeZ Yf

YWd@JbeZ fJ[Yfg[\@J WJ dTY`h k X\Z @aJXZ Yf

lmmn

oKGpBqB rFBqsB t\Za

XHIBqB ipBFQPPB `OKQFFB f\`uda\T

@@]^v J[\t\WJWY @Zf @JwX\ xW E MATERIAL MANIPULÁVEL: dfJ JTga\`Y @Zf Z fZWYaZ `J\

JpyB @BFzBGSH t\[J

oQIKI tp{PHFpB rGHFQI `JaJ|JX

[BGpPB @BFzBGSH `pGzB yQ JafY\WJ

@@]xm Y}haZXJTWZ fZWYaZ` fJ[Yfg[\@Z` `KQGp ap~QFBPPp oJtJXZT\

@@]xx iYTYXJa\|JbeZ WY hJWXcY` Y [Y@TZaZi\J` WY

\TrZXfJbeZ Y @ZfdT\@JbeZ� XYraY}cY` YT[XY hj`]

iXJWdJTWZ` Yf YWd@JbeZ fJ[Yfg[\@J

iQFIHq hBIPFQ yQ Za\tY\XJ

@@]�� Z YT`\TZ Jai�wX\@Z Yf W\``YX[JbcY` �dY

d[\a\|JXJf [Y@TZaZi\J`

iG�K{pB h\T[Z

@@]�x df `\`[YfJ wJ`YJWZ Yf @ZT�Y@\fYT[Z @Zf

\T[YXrJ@Y Yf a�TidJ TJ[dXJa hJXJ Z YT`\TZ WJ`

[XJT`rZXfJbcY` iYZf�[X\@J`

ipqB fBOBGp �HFzBPS f\XJTWJ

hFH�� WF� `ByyH JO� JafZdaZdW

@@]�� dfJ hXZhZ`[J WY YT`\TZ J W\`[�T@\J hJXJ Z

JhXYTW\|JWZ WJ iYZfY[X\J �\hYXwja\@J

fBF�GpB tBG�FpH XZ@�J

hFH�� WF� `ByyH JO� JafZdaZdW

@@]�n �Yw�dY`[� wZaJ WY rd[YwZa Y `ja\WZ`

JX�d\fYW\JTZ`� JaidfJ @Z\`J Yf @Zfdf� dfJ

Y}hYX\�T@\J @Zf JadTZ` WZ YT`\TZ f�W\Z

@GBFp{Q `pGzB rYXTJTWY`

YGQq iH�QI aQpPQ `BqPpBOH yB `\atJ

r�~pH yH hXJWZ

@@]nm @ZfZ tZd hXZWd|\X f\T�J �Yw�dY`[�

Y`[dWZ `ZwXY dfJ rYXXJfYT[J WY Jd[ZX\J�

tBqQIIB yQ hBKGB @\T[XJ

rQFqBqyH yB @HIPB wJXwZ`J

JFGpqyH oHI� yQ `HK�B odT\ZX

�� ¡¢� �� £� �� ¤¡¥¦�§¨�¦ ©omputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação

“APRENDER COMPUTADOR” OU APRENDER COM O

COMPUTADOR? UM ABISMO ENTRE POLÍTICAS PÚBLICAS E

REPRESENTAÇÕES SOCIAIS

Renata Viviane Raffa RODRIGUES – FCT-UNESP, Bauru ([email protected]ª

Everton José Goldoni ESTEVAM – FCT-UNESP, Bauru ([email protected]ª

Resumo: Trilhando pelos caminhos e descaminhos das políticas públicas acerca do uso da informática na educação, o presente trabalho busca identificar as Representações Sociais dos alunos de uma 5ª série do Ensino Fundamental da Rede Pública sobre o potencial pedagógico do computador dentro do processo de aprendizagem escolar. Como metodologia, optou-se por trabalhar com a técnica conhecida como “Grupo Focal”, fundamentada da Teoria das Representações Sociais, numa perspectiva qualitativa. Dentro desta técnica utilizou-se questionários dirigidos para caracterização do contexto escolar e do perfil dos alunos, e testes de associação livre nas entrevistas, considerando que estas estratégias permitem produzir dados e insights sobre as idéias, sentimentos e dificuldades dos participantes em relação ao uso pedagógico do computador. Da análise psicosociológica das informações obtidas, foram diagnosticadas visões negativas relativas ao uso do computador, dentre outras, a atribuição de um aspecto utilitarista a esta ferramenta e uma dificuldade de aproximação entre criança e máquina, decorrente do medo, idealizado no contexto analisado. Quanto à relação Informática e Aprendizagem, cerne da pesquisa, as crianças apresentam significativa dificuldade em vislumbrar o uso do computador como ferramenta pedagógica para a aprendizagem de conteúdos curriculares, distanciando-se dos esforços políticos em explorar os recursos que as Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) podem oferecer à Educação.

Palavras-chave: Políticas Públicas, Representações Sociais, Informática na Educação, Grupos Focais.

IntroduçãoAs primeiras experiências acerca da informática na educação surgiram na década de

70 a partir de seminários realizados em algumas universidades brasileiras, no qual

«¬«®¯°±²³ «´ µ´ «´ ¶ ±²·±µ¸¹³ ±´ º´ ¯´ »¸¼½¶¾¿¶½ Àomputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

2

Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

utilizavam o termo Tecnologia Educacional (TE) e preocuparam-se exclusivamente com os

métodos e técnicas a serem utilizados no processo de “informatização do ensino”.

Na década de 80, começou a se desenvolver a Política de Informática Educativa (PIE)

com a expectativa de que o computador pudesse resolver todos os problemas de ensino e

aprendizagem, incentivando projetos em universidades como Unicamp, UFPE, UFRGS,

UFMG e UFRJ.

Em 1987, os governos federal, estadual e municipal se unem na implantação do

projeto EDUCOM e o FORMAR (capacitação de profissionais), possibilitando condições

para criação dos Centros de Informática Educativa (Cied), responsáveis por garantir dentro

de seus municípios a inserção dos computadores no ensino.

No final desta década, por volta de 1989, foi instituído pelo Ministério da Educação e

do Desporto o Programa Nacional de Informática Educativa – Proninfe, incentivando a

capacitação contínua e permanente de professores, técnicos e pesquisadores no domínio

da tecnologia de informática educativa. Mais tarde, já na década de 90, transformando-se

no Programa do Ministério da Educação para a informatização das escolas do ensino

fundamental, o ProInfo – Programa Nacional de Informática na Educação.

O ProInfo vem sendo implementado, pelo Ministério da Educação (MEC) do Brasil,

desde 1997, através de sua Secretaria de Educação a Distância - SEED, em parceria com os

governos estaduais e municipais. O seu objetivo é promover, na escola pública (nos níveis

fundamental e médio) o uso pedagógico da informática. (em http://portal.mec.gov.br)

Sendo os documentos oficiais de orientações curriculares um recurso físico presente e

acessível aos professores da Educação Básica para orientar e apoiar o desenvolvimento de

diversas disciplinas. Este pode funcionar como uma ponte para viabilização dos objetivos

do ProInfo.

Nesse sentido, a nova Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo

reconhece o uso pedagógico das TIC:

[...] E, ainda que os computadores sejam hoje instrumentos absolutamente imprescindíveis para jornalistas e escritores em geral, é no terreno da Matemática que se abrem as mais naturais e promissoras possibilidades de assimilação dos inúmeros recursos que as tecnologias informáticas podem oferecer no terreno da Educação. (BRASIL, 2008)

ÁÂÃÁÄÅÆÇÈÉ ÁÊ ËÊ ÁÊ Ì ÇÈÍÇËÎÏÉ ÇÊ ÐÊ ÅÊ ÑÎÒÓÌÔÕÌÓ Öomputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

3


Percebe-se nesta proposta que constitui o “mundo do papel” (OLSON, 1997) das

políticas públicas desenvolvidas nesta área uma incompatibilidade ao uso do computador

pelo computador, assumindo as TIC como ferramentas de aperfeiçoamento que, além de

serem inseridas no ambiente educacional, visam à qualidade do ensino e a ampliação dos

referenciais de mundo dos usuários.

Entretanto, em uma avaliação de políticas públicas do Brasil, tendo como referência a

experiência do ProInfo, foram observados três aspectos sobre as dificuldades encontradas

para efetivação dos objetivos desse programa, sendo que uma delas tratava-se de “[...]

problemas com o professor, seja por ter métodos próprios de ensino, seja por preconceito

em relação ao uso das TIC” (MARCELINO, 2003, p. 10).

De modo a entender tal problema, isto é, essa imparcialidade do professor à realidade

de seu aluno, pergunta-se: O que faz com que o professor resista a incorporar as TIC no

processo de ensino-aprendizagem? Será que esse “pré-conceito” encontra-se apenas no

professor?

Responder a esses questionamentos significa ampliar o conhecimento acerca dessas

temáticas, transformando-se em uma possibilidade de contribuir para a

formação/informação da comunidade escolar em sua totalidade, de modo a desenvolver

ações formativas que possam diminuir o descompasso entre a escola e seu contexto social.

Através de seus estudos, Moscovici (1986, p. 19) reconhece o seguinte fator:

[...] um dos resultados mais marcantes que estas experiências nos forçam a reconhecer, é que o fato de que a informação que nos chega do mundo exterior, é trabalhada não pela realidade neutra, mas por teorias e preconcepções implícitas, e que estas, por sua vez, trabalham o mundo para nós.

Nesse sentido, considerando a Teoria das Representações Sociais, percebe-se que tais

ações governamentais não acontecem isoladamente, estão cercadas por quadros que

incidem sobre o seu desenvolvimento.

As Representações Sociais oferecem um universo consensual, constituído pela

conversa e pelo informal na vida cotidiana, no qual pode-se considerar a experiência vivida

pelos sujeitos que estão situados nesse contexto.

×ØÙ×ÚÛÜÝÞß ×à áà ×à â ÝÞãÝáäåß Ýà æà Ûà çäèéâêëâé ìomputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

4


Segundo Carneiro (2002, p. 22): “[...] atualmente são tantas e tão variadas as formas

em que o computador aparece, que sua interferência alcança mais do que podemos

conscientemente perceber.”

Muitas pesquisas têm se preocupado com as Representações Sociais dos professores

em relação a diversos fenômenos. Em seus estudos sobre o impacto da informática no

conhecimento cotidiano e o seu significado social entre os professores, Chaib, (2002, p. 49)

constatou que o as Representações Sociais dos professores desencadeiam conflitos entre

seus velhos e novos valores de ensinar, originando sua aversão às mudanças

paradigmáticas.

Sem desconsiderar a relevância desses trabalhos, nossa intenção é de mudar a questão

e o referencial de análise. E os alunos? Quais as idéias, sentimentos e dificuldades que

possuem em relação ao uso pedagógico da informática?

Segundo Jodelet apud Menin e Shimizu (2005, p. 95):

[...] as representações sociais, por sua origem e em constituição, nunca podem ser estudadas de forma genérica; ou seja, são sempre representações de algo – um objeto, um conceito, um fenômeno socialmente implicado sobre o que se fala – e de alguém - de quem se deve saber quem fala e da onde fala.

Para orientar a descrição do presente trabalho, escolhemos como participantes de

nossa pesquisa, alunos de uma 5ª série do Ensino Fundamental de uma escola da Rede

Estadual de Ensino, localizada na cidade de Dracena, Estado de São Paulo.

Fundamentando-se no caráter explanatório da Teoria das Representações Sociais, definimos

como objetivo geral identificar algumas das idéias, sentimentos e dificuldades desses

alunos acerca do potencial pedagógico do computador dentro do processo de aprendizagem

escolar.

Descrição do trabalho desenvolvido

A metodologia de pesquisa fundamenta-se numa perspectiva qualitativa, com enfoque

na técnica de pesquisa conhecida como “Grupo Focal” sob a ótica das Representações

íîïíðñòóôõ íö ÷ö íö ø óôùó÷úûõ óö üö ñö ýúþÿøR�øÿ �omputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

5


Sociais, apresentando-se como uma valiosa fonte de informações em relação ao tema

pesquisado.

Como técnica, o grupo focal ocupa uma posição intermediária entre a observação

participante e as entrevistas em profundidade. Pode ser caracterizada também como um

recurso para compreender o processo de construção das percepções, atitudes e

representações sociais de grupos de indivíduos (VEIGA; GONDIM, 2001).

O grupo focal foi escolhido por ser um método de pesquisa qualitativo realizado por

meio de entrevistas de grupo com foco específico, o qual neste estudo está relacionado às

questões da informática na educação. Apesar dos riscos e dificuldades que impõe, revela-se

sempre um empreendimento profundamente instigante, agradável e desafiador, visto que se

fundamenta na interação ocorrida no grupo, o que permite produzir dados e insights que

dificilmente seriam conseguidos de outra forma. Nessas entrevistas, busca-se obter

informações sobre como as pessoas pensam e sentem em relação ao tema pesquisado.

A análise interpretativa das informações levantadas através dos procedimentos e

estratégias definidas nesta pesquisa baseia-se na Teoria das Representações Sociais.

Como afirma Jodelet (1989), a representação social é a guia de ação e orientadora do

relacionamento do sujeito com o mundo e com as outras pessoas; possibilita a comunicação

entre as pessoas, fornecendo uma grade de leitura de mundo, o que por sua vez, possibilita

uma visão comum entre as pessoas, a serviço de um conjunto de valores. A representação

social exerce, assim, uma função social importante.

As representações sociais são desenvolvidas por meio de dois processos: a

objetivação e a ancoragem.

De modo sucinto, a objetivação é o processo de intervenção social que permite ao

indivíduo organizar o conhecimento, atribuindo-lhe elementos concisos e facilitadores até

dar forma a este novo conhecimento.

A ancoragem é o processo pelo qual o individuo concebe os objetos de seu meio, ou

seja, o elo que permite ao indivíduo conhecer previamente seu universo e contextualizar-se.

Nesses processos, o “novo” conceito, portanto, apóia-se sobre o “velho” conceito,

constituindo uma nova estrutura de pensamento em relação ao mesmo.

�� omputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

6


Doise (1993) identifica três formas de ancoragem: a psicológica, a sociológica e a

psicosociológica.

A análise psicológica estuda a ancoragem nas atitudes individuais.

A análise sociológica identifica como a pertença dos indivíduos a grupos sociais

influencia as representações sociais.

Na análise psicosociológica a ancoragem gira em torno dos discursos ideológicos

sobre a natureza das relações sociais.

Portanto, visando interpretar as relações existentes entre os sujeitos desta pesquisa à

informática e aprendizagem escolar, as considerações preliminares basearam-se numa

análise psicosociológica sobre os dados coletados.

O presente trabalho foi desenvolvido com 25 crianças, com idade entre 10 e 11 anos,

matriculados em uma 5ª série do Ensino Fundamental de uma Escola em Tempo Integral da

Rede pública da cidade de Dracena, interior de São Paulo.

Através da aplicação de um questionário diretivo à coordenadora pedagógica dessa

escola, verificou-se desde os aspectos físicos (condições da sala de aula, biblioteca, quadra

de esportes etc.) equipamentos (TV, computador etc.), corpo docente, corpo discente,

atividades pedagógicas até características do local onde a escola está localizada.

O corpo discente da escola é composto por aproximadamente 1330 alunos,

distribuídos nos períodos diurno – matutino para os alunos do Ensino Médio e integral para

os alunos do Ensino Fundamental – e noturno.

A escola conta 89 docentes, sob a orientação e colaboração de 03 Coordenadores

Pedagógicos – um para o período matutino, um para o período noturno e outro para o

período integral; além de 01 Diretor e 02 Vices.

A estrutura física da escola constitui 21 salas de aula que atendem em média a 40

alunos por turma; 01 sala de vídeo; 01 Laboratório de Química e Física e 01 Laboratório de

Informática com 15 microcomputadores ligados a rede de internet.

Dentro do Programa de Escola em Tempo Integral é desenvolvida a Oficina de

Informática onde se propõe a realização de atividades interdisciplinares com o auxílio da

ferramenta computacional, sob a orientação do professor responsável pela Oficina que

�� ! "! �! # ��$�"%& �! '! �! (%)*#+,#* -omputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

7


trabalha em colaboração com os professores das demais disciplinas do currículo pleno das

crianças.

Para caracterização do perfil dos participantes do grupo objeto de estudo, foi

elaborado e aplicado um questionário diretivo, referente à forma de acesso e,

principalmente, à utilização do computador em seu cotidiano, almejando diagnosticar

características e experiências comuns entre as crianças. A partir dessas informações, foram

formados e organizados os grupos focais.

G1 – Têm computador em casa e fazem uso.

Grupo composto por 11 crianças que, de acordo com as informações apresentadas nos

questionários, possuem computador em casa e fazem uso desta máquina em seu cotidiano.

G2 – Não têm computador em casa, mas fazem uso.


questionários, não possuem computador em casa e, no entanto, fazem uso desta máquina

em cybers, lan houses, casa de amigos, etc.

G3 – Não têm computador em casa e não fazem (ou fazem pouco) uso.


questionários, não possuem computador em casa e não fazem uso desta máquina – ou

fazem pouquíssimo uso - em seu cotidiano.

Assim organizados os grupos, foram promovidos encontros nos quais os membros do

grupo foram incentivados por um moderador a conversar e trocar experiências entre si, o

que lhes possibilitou interagir sobre suas idéias, sentimentos, valores, dificuldades, etc.,

seja na concordância, seja no confronto. Além disso, atendendo as exigências dessa técnica

de pesquisa, houve a presença de um observador e auxiliar de pesquisa, cabendo a este os

registros da discussão, anotações, não só no que se refere ao conteúdo, mas também ao

comportamento e relações entre os participantes.

Cabe ressaltar que para promover maior fidedignidade aos dados, essas discussões

foram desencadeadas por um teste de associação livre, no qual foi solicitado às crianças que

escrevessem num pedaço de papel a primeira palavra ou expressão que lhes vinham à

cabeça quando se falava em Informática e, posteriormente, em Aprendizagem.

Os resultados obtidos são apresentados nas tabelas abaixo:

./0.123456 .7 87 .7 9 45:48;<6 47 =7 27 >;?@9AB9@ Computador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

8


Tabela 1: Resultados obtidos por meio da palavra Informática

G1 G2 G3Computador 04 Computador 05 Computador 04Jogo 04 Pesquisa 01 Jogo 01Digitar 01 Aprender mais 01 Informação 04Mexer no computador

01 Legal 01

Internet 01

Tabela 2: Resultados obtidos por meio da palavra Aprendizagem

G1 G2 G3Aprender 09 Aprender 02 Aprender 02Sites 01 Pesquisa 02 Inteligência 01

Trabalho e escola 01Aprender a mexer no computador e saber mais

01Aprender melhor as coisas

01

Aprender mais informática e pesquisa

01 Estudar 01

Prestar atenção 01 Curiosidade 01Estudar 01

Num primeiro momento foram feitas várias leituras das transcrições realizadas,

individual e coletivamente, além de discussões acerca do conteúdo do material, elaborando-

se categorias, dividindo-as em subcategorias e, posteriormente, localizando-se falas que as

representassem. Em seguida novas leituras da transcrição do material foram realizadas

buscando comparar, nas falas dos participantes, sobre o que eles falaram e quais os focos de

atenção e direção de suas falas.

Resultados Obtidos

Cabe inicialmente assinalar que a quase totalidade das associações, relativas tanto à

informática quanto à aprendizagem expressam tentativas de se estabelecer relações diretas

entre o que propõe e a resposta apresentada. Isso é evidenciado quando 13 crianças

respondem computador quando se fala em informática e aprender quando se fala

aprendizagem.

DEFDGHIJKL DM NM DM O JKPJNQSL JM TM HM UQVWOXYOW Zomputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

9


No caso da informática, as associações dizem respeito a sentimentos de aprovação,

apontando que as crianças têm familiaridade e facilidade em lidar com este conceito. O

mesmo não ocorre com o conceito de aprendizagem, neste as crianças apresentaram

significativa dificuldade em estabelecer relações dentro de sua realidade.

Quando foi questionado o tipo de atividade desenvolvida pelas crianças no

computador constatamos que os meninos em sua maioria – têm o jogo como uma de suas

atividades principais realizadas com o computador, complementado com algumas pesquisas

realizadas quando solicitadas pelo professor ou por algum amigo. Enquanto que as meninas

já preferem realizar pesquisas e freqüentar sites de relacionamento como o messenger e o

orkut.

Cabe destacar que as crianças de um modo geral consideram que a inserção do

computador na vida do indivíduo deve se dar o quanto antes, com o objetivo de não haver

prejuízos futuros, na maioria das vezes financeiros. Aqueles que apresentam opinião

contrária, considerando que a interação com o computador deve acontecer por volta da 3ª

ou 4ª série, por volta dos 8 ou 9 anos, justificam essa opinião pela possibilidade de uma

criança muito pequena danificar a máquina, considerando que a mesma não possui

conhecimentos, nem tampouco as habilidades necessárias, para lidar com o computador.

As crianças preferem realizar suas pesquisas na internet – aliás, apresentam a

pesquisa como atividade quase que exclusiva de ser realizada para fins pedagógicos

utilizando o computador. Eles se justificam alegando que o processo de pesquisa se torna

mais rápido e mais fácil, além de ser mais agradável pesquisar no computador quando

comparada em pesquisa em livros e revistas. As crianças do G1 ainda assumiram que não

lêem os textos na íntegra; no máximo o título e o resumo para verificarem se atendem ao

assunto investigado.

Além disso, o G1 apresentou uma visão extremamente utilitária, que vê o computador

somente como um veículo de disseminação de informações e entretenimento. Pode-se dizer

que este grupo possui uma idéia de utilização desse meio que se assemelha a de um celular,

um televisor ou qualquer outra tecnologia.

Considerando-se a faixa etária de tais alunos, com isso sua dificuldade de se

expressar e mobilidade de opiniões frente ao mesmo objeto, apenas o G2, apesar de não

[\][^_`abc [d ed [d f abgaehic ad jd _d khlmfnofm pomputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX

10


definir uma postura, apresenta uma pequena expectativa de utilização do computador como

ferramenta pedagógica.

Porém identificamos nesse grupo a expressão “aprender computador” ao se referirem

ao uso do computador na escola.

As crianças do G3 – grupo que não fazem uso do computador – têm uma visão

fantasiosa do computador apresentando exemplos, quando solicitados, com significativas

características de comerciais, filmes e programas televisivos, caracterizando pouquíssima

relação com a realidade na qual estão inseridos.

Além disso, o G3 pelo seu distanciamento do computador apresenta crenças negativas

e um certo medo de aproximação deste objeto.

Considerações

A partir de tais análises pode-se inferir que as contribuições negativas do aspecto

utilitarista ou do medo de aproximação do computador, ou seja, dos elementos emergentes

ou ideológicos das crianças, podem interferir em seus processos de aprendizagem com o

uso do computador como ferramenta pedagógica. Em função disso, sugere-se que uma das

dificuldades da efetivação das propostas e ações governamentais deva-se por esta

divergência de concepções.

Nesse sentido, acredita-se, assim como Moscovici (1986, p. 22), que:

[...] para levar alguém a reagir a uma nova informação, não é preciso administrá-la em alta dose, nem de ‘retificar’ seu pensamento. Tudo o que é preciso, é de relacioná-la, modificando a representação do objeto ao qual ela se relaciona. Um provérbio francês não diz que “pode-se levar um cavalo ao bebedouro, mas não se pode forçá-lo a beber?”.

Portanto, na perspectiva dessa pesquisa, todos os esforços políticos almejando a

melhoria dos métodos e técnicas utilizados no processo de “informatização do ensino”; a

inserção dos computadores e até mesmo a preocupação com a capacitação contínua e

permanente de professores, não foram suficientes para efetiva incorporação do computador

como recurso pedagógico. Tal dificuldade legitima-se pela despreocupação em estabelecer

qrsqtuvwxy qz {z qz | wx}w{~�y wz �z uz �~��|��|� �omputador” ou aprender com o computador? Um abismo entre políticas públicas e representações sociais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

11

relação entre o computador e o processo de ensino e aprendizagem, de forma a mudar as

concepções dos alunos acerca do potencial pedagógico dessa ferramenta.

Vale ressaltar que as considerações preliminares expostas no corpo desse texto não

pretenderam de modo algum generalizar as representações sociais de alunos da 5ª série.

Sugere-se para resultados mais concretos, a promoção de mais uma divisão do G1, bem

como novas sessões de grupo focal com questões indutoras baseadas nas análises

preliminares. Assim, a comparação dos resultados poderia ser uma estratégia para eliminar

qualquer influência por parte dos pesquisadores.

Referências

BRASIL. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. Coord. Maria Inês Fini. Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, SEE, 2008.

CARNEIRO, R. Informática na educação: representações sociais do cotidiano. São Paulo: Cortez, 2002.

CHAIB, M. Frankstein na sala de aula: as representações sociais docentes sobre informática. Nuances, nº. 8, set. 2002, p.47-64.

DOISE, W.; CLÉMENCE, A.; LOURENZE-CIOUDI, F. The quantitative analysis of social representations. Hempel Hempstead: Harvester Weatsheaf, 1993.

JODELET, D. (Org.). Représentations sociale: un domaine en expansion. In: Les représentations sociales. Paris: PUF, 1989, p. 31-61.

MARCELINO, G. F. Avaliação de políticas públicas: Os resultados da avaliação do ProInfo (Brasil) (da Universidade de Brasília). In: VIII Congreso Internacional del CLAD sobre la Reforma del Estado y de la Administración Pública. Panamá, 28-31 Oct. 2003.

MENIN, M. S. S., SHIMIZU, A. M. (Org.). Experiência e Representação Social: Questões Teóricas e Metodológicas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 2005.

MOSCOVICI, S. A era das representações sociais. Trad. Maria Helena Fávero, 1986 (mimeografado).

VEIGA, L.; GONDIM, S. M. G. A utilização de métodos qualitativos na ciência política e no marketing político. Opinião Pública, 2001, p. 1-15.

�� ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-17. (ISBN 978-85-98092-07-02)

Eixo-temático 2: Currículo

A APROPRIAÇÃO DE CONHECIMENTO E A RECEPTIVIDADE DE ALUNOS

DA 4ª SÉRIE À ARTICULAÇÃO: TEXTOS INFANTIS E MATEMÁTICA

Ana Paula Gestoso de SOUZA – Rede estadual de ensino de São Paulo e PPGE-UFSCar ([email protected]�

Rosa Maria Moraes Anunciato de OLIVEIRA – UFSCar ([email protected]�

Resumo: Esta pesquisa buscou investigar de que maneiras os alunos da 4ª série do Ensino Fundamental, em um contexto de ensino e aprendizagem que conecte literatura e matemática, se apropriaram dos conteúdos escolares. Nesse cenário, desenvolveu-se uma seqüência didática em uma sala de 4ª série que articulou matemática e literatura infantil a partir dos livros “O pirulito do Pato” e “Doces Frações”, sendo que os conteúdos matemáticos abordados foram: a noção de fração enquanto subconstruto parte-todo, comparação e equivalência de frações. Durante o desenvolvimento da seqüência didática, constatou-se que os estudantes elaboraram hipóteses, estratégias e interagiram com as narrativas, construindo conhecimento, estabelecendo uma relação de interioridade com os saberes abordados nas aulas, sendo que esse processo envolveu os saberes próprios, as histórias e experiências de vida, ou seja, as singularidades de cada sujeito que faz parte do processo educativo, que se constitui no cotidiano escolar, assim como constitui esse ambiente. Também é possível que a partir do uso de materiais manipuláveis, os participantes da pesquisa elaboraram seus pensamentos, criaram e testaram hipóteses e estratégias, envolvendo-se em um processo de compreensão dos conteúdos abordados. Além disso, investigando o ensino e a aprendizagem enfatizamos o papel do professor como um mediador, que poderá dispor condições e efetivar intervenções necessárias possibilitando o raciocínio mental do aluno.

Palavras-chave: Matemática e Literatura Infantil, Práticas Pedagógicas, Ensino e Aprendizagem, Relação do Aluno com o Conhecimento.

Introdução

O presente artigo apresenta alguns dados e resultados referentes a uma pesquisa de

mestrado em educação que investigou de que maneiras os alunos da 4ª série do Ensino

Fundamental, em um contexto de ensino e aprendizagem que conecte literatura e

�� ¡¢£ ¢¤ ¥¤ ¦¤ § �¨©ª«©¬¢£ ¬¤ ¤ ¤ ¢¤ ¢ ®¯°±¯°²®³ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

2

Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-17. (ISBN 978-85-98092-07-02)

matemática, se apropriaram dos conteúdos escolares, se relacionaram com esses

conhecimentos e qual foi a receptividade desses alunos a essa metodologia.

A pesquisa foi desenvolvida em uma abordagem a partir de diversas técnicas e

instrumentos. Deste modo, desenvolvemos uma seqüência didática – gravada em vídeo -,

em uma sala de 4ª série do Ensino Fundamental em uma escola da rede estadual de São

Carlos, SP, que articulou matemática e literatura infantil a partir dos livros “O pirulito do

Pato” da autoria de Nilson José Machado e “Doces Frações”, autoria de Luzia Faraco

Ramos. Os conteúdos matemáticos abordados foram: a noção de fração enquanto

subconstruto parte-todo, comparação e equivalência de frações, abordados a partir de

quantidades contínuas. Sendo assim, as transcrições das aulas e os registros escritos dos

alunos das atividades realizadas proporcionam conhecer aspectos do modo como os alunos

interagiram com as narrativas e se apropriaram dos conteúdos.

Essa classe era composta por 33 alunos e todos participaram da intervenção didática,

mas analisamos apenas as produções e processos de aprendizagem de 13 crianças que nos

autorizaram a isso, sendo que os alunos escolherem os nomes fictícios a serem

mencionados neste trabalho: Maria, Flávia, Caíque, Maria Helena, Sandra, José, Jenifer,

Micael, Ângela, Letícia, Giovana, Bruna e Daniel. Destacamos também que as atividades

foram realizadas em duplas.

Matemática e Literatura Infantil: uma conexão possível.

Quando pensamos na função da escola na sociedade contemporânea um dos

consensos, que vão além da discussão sobre qual escola e qual sociedade estamos falando,

apontam na direção da sua potencialidade para a compreensão global da realidade e dos

problemas atuais. Um dos obstáculos a essa atuação da escola está relacionado com a

hiperespecialização do conhecimento científico, que é tratado nos currículos escolares de

forma disciplinar e rígida, com pouca ou nenhuma integração entre as diferentes áreas. Isso

acaba por prejudicar a compreensão da realidade em toda sua complexidade e suas várias

faces. A fragmentação exacerbada do saber não contempla uma realidade multifacetada e

complexa. Deste modo, faz-se necessário superar a especialização excessiva dos saberes e

levar em consideração a importância dos saberes globais.

´µ¶·¸¹ ¸º »º ¼º ½ µ¾¿ÀÁ¿Â¸¹ Âº Ãº Ãº ¸º ¸ ÄÅÆÇÅÆÈÄÉão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

3


Morin (2001) ao criticar a setorização do conhecimento global, não ignora a

importância do conhecimento das partes, mas propõe a integração dessas dimensões do

conhecimento, o que implica uma relação de interdependência entre o todo e a parte e que

não se perca a noção do todo.

Essas idéias remetem a relação da escola com o conhecimento, que, muitas vezes, se

encontrada estruturada em disciplinas que possuem uma organização rígida, ritualizando os

procedimentos das situações de ensino e aprendizagem não adequados as necessidades

dessas situações e nem relacionados com as experiências de vida dos estudantes.

Nesse contexto, é urgente que escola concretize caminhos alternativos a um processo

de ensino rígido, que não dá espaço à elaboração do pensamento do aluno, pois exige uma

única forma de pensar e que não prevê a interação das disciplinas ocasionando uma

excessiva especialização dos conhecimentos.

O ensino da língua materna e da matemática são as áreas do conhecimento mais

enfatizadas na escola e possuem papel fundamental no processo de aprendizagem do

sujeito. Também é importante assinalar que o sujeito inicia a apropriação desses dois

sistemas de representação da realidade antes do período de escolarização. Sendo que em tal

apropriação esses dois sistemas não são encontrados de forma dissociada. Porém, verifica-

se que, via de regra, a escola negligencia a existência dessa conexão.

Diante desse cenário, este estudo enfatiza que a articulação entre literatura infantil e

matemática pode possibilitar a criação de situações de ensino que permitem explorar a

relação de complementaridade existente entre a língua materna e a matemática, oferecendo

situações que mostrem ao aluno a importância e utilidade da linguagem e simbolismo

matemático, bem como mostrando o uso apropriado desses símbolos e da terminologia

matemática. Permite também o desenvolvimento da “comunicação matemática”, assim

como pode levar o aluno à compreensão da linguagem matemática.

Carey (1992) e Kliman e Richards (1992) afirmam que a conexão da literatura com a

matemática permite que o aluno resolva problemas matemáticos, desenvolvendo sua

capacidade de formular hipóteses e estratégias para solucionar as problemáticas, bem como

a capacidade para construir outros problemas e também de elaborar histórias matemáticas.

ÊËÌÍÎÏ ÎÐ ÑÐ ÒÐ Ó ËÔÕÖ×ÕØÎÏ ØÐ ÙÐ ÙÐ ÎÐ Î ÚÛÜÝÛÜÞÚßão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

4


Indo além, essa conexão não se limita a colocar problemas matemáticos, ela permite

colocar problemas da vida e relacionados a outras áreas do conhecimento. Afinal, a

literatura também aborda problemas humanos, fornecendo espaço para a discussão de

conflitos, tristezas, medos, dúvidas e desafios.

Conaway e Midkiff (1994) descrevem que essa conexão possibilita que os alunos

estabeleçam determinadas relações entre suas experiências e suas definições pessoais com

conceitos abstratos, bem como permite que desenvolvam a comunicação (oral, escrita,

pictórica, gráfica) matemática, permitindo a familiarização da linguagem matemática.

Whitin e Gary (1994) apontam que por meio da literatura os alunos podem relacionar

seus próprios interesses e experiências vividas com a matemática, e consequentemente

percebe-la não como uma linguagem formal distante, mas sim como uma maneira de pensar

sobre a e na realidade em que vive.

Esses estudos e outros como, por exemplo, Carneiro e Passos (2006; 2007), Souza e

Oliveira (2005), Souza (2008), Neuenfeldt (2006), Silva (2003), Welchman-Tischer (1992),

apontam que desenvolver um ensino que aborde literatura e matemática é uma alternativa

metodológica repleta de possibilidades. Contribui para a formação de alunos leitores que se

apropriem da leitura enquanto prática social, capazes de utilizarem os elementos

necessários para que possam compreender um texto, sendo que por meio dessa

compreensão podem refletir e compartilhar sobre a realidade em que vive, bem como

conhecer a si mesmo e o outro. Bem como contribui na formação de alunos conhecedores

da linguagem, conceitos e idéias matemáticas e que saibam utilizar diferentes estratégias

para resolver problemas, elaborando e testando hipóteses, assim como saibam relacionar

suas experiências ao saber matemático.

O processo de ensino: a intervenção didática

Enfatizamos que nessa intervenção didática os livros - O pirulito do pato e Doces

frações - não foram lidos simplesmente com a finalidade de criar um contexto hipotético

para desenvolver atividades matemáticas. Assinalamos que a relação estabelecida entre

leitor e texto possibilita a criação de pensamento e a produção de significados sobre o

mesmo. Por isso é possível fazer diferentes releituras do livro, ou seja, o leitor não se

àáâãäå äæ çæ èæ é áêëìíëîäå îæ ïæ ïæ äæ ä ðñòóñòôðõão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

5


cristaliza nas idéias, nos conceitos e nas situações apresentadas pelo autor. Aquele que lê

pode criar diferentes problemas, aprofundar as idéias abordadas, criar outros

questionamentos. Isso permite que o professor construa um novo texto, elaborando diversas

atividades conectadas a uma narrativa, que será lida e retomada pelos estudantes ao

realizarem essas atividades. Nesse processo ativo professor e aluno interrogam o texto,

recorrem às situações vividas pelos personagens e interagem com elas.

Além disso, considerando a grande importância do uso de materiais manipulativos

para a aprendizagem de frações, utilizamos círculos de papel sulfite, que representavam o

pirulito e as tortas, presentes nas narrativas.

Nessas aulas também foram utilizadas algumas estratégias de leitura apontadas por

Solé (1998): estabelecer junto com os alunos as finalidades da leitura; levantamento de

hipóteses e previsões sobre o cenário, personagens e enredo da história, com posterior

recapitulação da mesma. O uso dessas estratégias é importante, pois elas proporcionam que

o leitor encontre um sentido para ler, permitindo que ele retome conhecimentos prévios,

compreenda a finalidade da leitura e tenha a ajuda necessária para interpretar o texto.

Nesse cenário, a seqüência didática foi subdivida em dois blocos.

No primeiro o livro abordado foi O Pirulito do Pato (Anexo A: enredo da história).

Na primeira aula desenvolvemos algumas estratégias de leitura assinaladas por Solé (1998)

e os alunos fizeram um levantamento sobre as idéias matemáticas contidas na narrativa.

Depois os estudantes retomaram a seguinte frase do texto, “Pois em três partes vou repartir.

Tudo igualzinho, sem truque algum. Peguem: um terço para cada um!”. A partir desse

trecho foi requisitado que os alunos explicassem por escrito ou por meio de um desenho o

significado da fração “um terço”.

Em um terceiro momento, a partir dos seguintes questionamentos do livro: “Todos

chuparam partes iguais? Se não, respondam quem chupou mais?” e “E o pato Zinho, quanto

levou? Um terço? Um quarto? Um quinto? Ou...”, elaboramos uma atividade, na qual cada

aluno tinha em mãos cinco figuras de um círculo dividido em determinadas partes

equivalentes e deveria encontrar as frações: um meio, um terço, um quarto, um quinto, um

sexto. Deste modo, as denominações dessas frações e as representações numéricas das

mesmas foram assuntos abordados.

ö÷øùúû úü ýü þü ÿ ÷S��úû �ü �ü �ü úü ú ��ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

6


Além disso, foi solicitado que os alunos observassem e escrevessem se uma fração é

maior ou menor que outra: “E se os pirulitos tivessem sido repartidos de outro modo?

Vamos comparar qual parte seria maior ou menor?”.

Para introduzir o conteúdo de equivalência de frações cada aluno tinha em mãos

quatro círculos divididos em metades, quartos, terços e sextos e responderam

questionamentos do tipo: de quantos quartos precisamos para ter metade do pirulito?

Nas últimas aulas os alunos preencheram um formulário, completando a seguinte

frase: “Nessas aulas eu aprendi...”.

No segundo bloco da seqüência didática foi abordado o livro Doces Frações (Anexo

B: enredo da história). Nas duas primeiras aulas desenvolvemos estratégias de leitura

baseadas nas propostas de Solé (1998), e os alunos fizeram um levantamento sobre as

idéias matemáticas contidas na narrativa.

As atividades desenvolvidas sobre o conteúdo de equivalência de frações partiram de

uma situação da narrativa, na qual a personagem Dona Elisa costumava vender pedaços de

um oitavo das tortas, porém seus netos dividiram as tortas em oitavos, sextos, quartos e

meios e assim foi necessário que os personagens criassem estratégias para descobrirem o

preço de cada pedaço das tortas, sabendo o valor de um oitavo. Portanto, elaboramos

situações problemas nas quais os alunos deveriam descobrir o preço do pedaço da torta de

uva e da de chocolate, a partir da informação de que um oitavo da torta custava R$ 2,00.

Também é importante destacar que foi enfatizado com os alunos que as tortas eram de

mesmo tamanho.

Com relação ao conteúdo de comparação de fração, elaboramos uma atividade que

partiu de um episódio no qual a personagem Adelaide compara o tamanho do pedaço que ia

comer da pizza com o que comeu. Sendo assim, a atividade se configurou do seguinte

modo: “Durante a história, nós comparamos o tamanho do pedaço de pizza que Aledaide

iria comer com o que ela realmente comeu, agora vamos comparar pedaços das tortas”.

Em um outro momento, os alunos escreveram uma carta para um destinatário à

escolha deles, na qual, descreveram os conteúdos abordados e a forma como foram

desenvolvidos, relatando também seus pontos de vista sobre as aulas. Posteriormente

alunos preencheram um formulário, completando as seguintes frases: “Nessas aulas eu

�� ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

7


aprendi...”; “Isso é importante para...”.

Na última aula foi requisitado que os alunos individualmente criassem uma história a

partir de alguma(s) idéia(s) matemática(s) contidas nos livros trabalhados.

Apresentação dos dados: análises, discussões, e resultados

Para apresentar as análises, as conclusões e os resultados, descrevemos os dados

agrupados em episódios subdivididos em dois itens.

“Aprendi como aprender frações de modo mais fácil: recortar, fazer um desenho”: A

importância do material manipulável e dos recursos visuais.

Nesse momento, apresentamos as estratégias que os estudantes elaboraram ao

realizarem as atividades sobre comparação e equivalência de frações e a importância do uso

de materiais manipuláveis no processo de construção dessas idéias matemáticas.

Os alunos Giovana, José, Maria, Bruna, Flávia, Micael, Maria Helena, Ângela e

Daniel possuíam a hipótese inicial de que para comparar frações era necessário comparar os

denominadores, por exemplo, a fração um terço é maior que um meio, pois o número três é

maior que dois. No caso desses nove alunos provavelmente essa problemática existente em

suas hipóteses se refere à escrita da representação do número racional. Afinal, o

conhecimento matemático depende de uma linguagem específica com aspectos sintáticos e

semânticos muito diferentes da língua materna e que possui alto nível de abstração.

De acordo com Machado (2001) a linguagem matemática é um sistema de

representação e por isso não se limita a signos. Portanto, para compreender efetivamente a

linguagem matemática não é viável apenas decodificar os símbolos, pois “a Matemática

relaciona-se de modo visceral com o desenvolvimento da capacidade de interpretar,

analisar, sintetizar, significar, conceber, transcender o imediatamente sensível, extrapolar,

projetar” (Ibidem, p. 96) Assim, não é suficiente que o aluno aplique mecanicamente uma

regra para entender as idéias matemáticas.

No caso desses nove alunos, eles não levaram em consideração o significado

intrínseco à representação da fração e assim aplicaram aos números racionais uma regra

referente aos números naturais. Esses estudantes não conseguiram conectar uma regra a um

!"#$%& %' (' )' * "+,-.,/%& /' 0' 0' %' % 123423516ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

8


símbolo e seu significado, não interpretaram, não analisaram, por isso, afirmaram que um

meio é menor que um terço, ou que dois quartos é maior que um meio.

Realizando as intervenções necessárias para que os alunos avançassem em suas

hipóteses, observamos que eles criaram diferentes procedimentos, mobilizaram e

(re)construíram diversos saberes.

Verificamos que Giovana, José, Bruna, Maria, Letícia, Caíque, Sandra, Jenifer e

Daniel ao (re)construírem seus conhecimentos sobre a comparação de frações, observaram

os círculos, ou seja, para esses alunos esse material funcionou como um recurso visual. Por

outro lado, quatro alunos sentiram a necessidade de manipularem esse material. Micael

recortava todos os pedaços dos círculos e os comparava. Flávia e Maria Helena recorreram

à estratégia de dobrar os círculos para representar as frações correspondentes e depois

comparavam os tamanhos. Ângela por outro lado, pintava as partes dos círculos

correspondentes a cada fração e comparava os tamanhos delas.

Constatamos que ao realizarem as atividades que envolviam o conceito de

equivalência de frações, Daniel, Giovana, Sandra, Ângela, Jenifer e Bruna não

apresentaram dificuldades e recorreram à observação dos círculos, atentando para as partes

que representavam as frações solicitadas. É importante destacar que esses alunos não

pintavam essas partes. Contudo, para Bruna realizar a atividade de descobrir o preço dos

pedaços das tortas de uva e de chocolate foi necessário sugerir à aluna que escrevesse nos

oitavos o preço de cada pedaço, isto é, dois reais.

A aluna Maria, diferentemente dos seis alunos relatados acima, estabeleceu uma

relação mais direta com o material, pois dividiu os círculos para realizar a equivalência de

frações da torta, por exemplo, para descobrir quantos oitavos são necessários para obter

meia torta, ela repartiu em oito o círculo que inicialmente estava repartido em dois. Porém,

Maria apresentou dificuldades em descobrir os preços dos pedaços de determinadas tortas.

Assim, foi sugerido à Maria o mesmo procedimento recomendado à Bruna: escrever nos

círculos o preço do pedaço de um oitavo. A aluna se apropriou dessa idéia, escrevendo o

preço do pedaço de um oitavo nas partes dos círculos e depois utilizando a noção de

equivalência somou os preços dos pedaços. (Figura 1 – Anexo C).

789:;< ;= >= ?= @ 8ABCDBE;< E= F= F= ;= ; GHIJHIKGLão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

9


Constatamos que no caso de Bruna e de Maria foi necessário dar informações e

sugerir procedimentos, porém sem negligenciar as elaborações próprias das aulas.

José e Micael utilizaram o mesmo procedimento para realizarem as atividades sobre

equivalência de frações, eles recortaram determinados pedaços dos círculos e sobrepunham

a outros. Por exemplo, Micael, colocou os quartos um por um em cima do pedaço de um

meio, e descobriu que é preciso de dois quartos para obter um meio do pirulito.

Apontamos que Maria Helena, Caíque e Flávia dobraram e desdobravam os círculos

para construírem a idéia de equivalência. Por exemplo, para descobrir quantos sextos é

preciso para obter metade do pirulito, Maria Helena, dobrou o círculo dividido em seis

partes até obter um sexto e depois desdobrou até chegar a metade. Nessa mesma atividade,

Flávia dobrou ao meio o círculo dividido em seis pedaços.

Diante dos dados, constatamos que as ajudas manipulativas foram imprescindíveis

para a aprendizagem dos conteúdos matemáticos abordados na intervenção.

Segundo Romanatto (1997), quando os alunos iniciam o estudo sobre frações é

importante que eles manipulem materiais, pois essa manipulação é um recurso físico que

auxilia o aluno a compreender um conceito, que é abstrato. Deste modo, é importante

destacar que esses materiais são ferramentas que possibilitam as construções das idéias e

conceitos matemáticos, que são elaborados pela mente.

Nacarato et al (200) enfatizam a perspectiva de Behr et al e apontam que os materiais

manipulativos facilitam a aprendizagem dos alunos sobre os números racionais, auxiliando-

os a transpor eventos concretos para abstratos. Além disso, permitem que os estudantes

atribuam maior significado ao conteúdo abordado, pois ao manipularem um material

desenvolvem sistemas representacionais e a capacidade de transpor entre os diferentes

sistemas de representação. Ocorrendo um isomorfismo parcial, pois é possível estabelecer

uma ponte entre esses materiais e o conceito matemático abstrato, para tanto é fundamental

a manutenção das estruturas desses dois sistemas. Deste modo, ao manipular um material e

ao estabelecer comparações, os alunos podem construir ou adquirir determinados conceitos

e princípios matemáticos.

Constatamos a existência de uma relação dinâmica entre a manipulação de um

material, a resolução de uma atividade e a compreensão do conceito matemático,

MNOPQR QT UT VT W NXYZ[Y\QR \T ]T ]T QT Q ^_`a_`b^cão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

10


proporcionando a liberdade do pensamento da criança. Portanto, ao utilizarem o material,

os alunos interpretaram as características dos mesmos, elaboraram seus pensamentos,

raciocinaram, testarem hipóteses e, deste modo, se envolveram num processo de

transformação, se imbuíram de alguns conceitos e idéias matemáticas abordadas, que

conseguiram aplicá-los em outras situações.

Também foi possível verificar que alguns alunos recorreram a determinados recursos

visuais, como as imagens dos círculos ou as ilustrações do livro que os auxiliaram a

compreender um conceito ou idéia matemática. Para Dalcin (2002), havendo coerência

entre a imagem, a história, a linguagem e os conceitos matemáticos, essas imagens

estimulam a visualização e a imaginação, auxiliando na compreensão do texto escrito e

permitindo que o aluno questione seus conhecimentos.

Finalizando essas considerações enfatizo que no caso específico desta pesquisa, os

círculos e as ilustrações dos livros são recursos representativos dos conceitos - fração como

parte-todo, equivalência de frações, e comparação entre frações -, porém, não são

essencialmente esses conceitos. Por isso, é função do professor investir nas potencialidades

desses materiais, possibilitando que o aluno transfira as compreensões e hipóteses criadas

no trabalho por meio da manipulação e da concretização, para o conceito matemático

abstrato. Sendo assim, o uso de um material não deve ser arbitrário e nem um fim em si

mesmo, pois a simples manipulação dos materiais não garante a apropriação dos conceitos,

sendo fundamental que o professor apresente situações problemas e questionamentos.

“Cada criança receberá dois quintos e uma barra inteira”: Extrapolando o conteúdo

matemático

Durante a atividade na qual os alunos deveriam criar uma história com idéias

matemáticas, estabelecemos diálogos com as alunas Letícia e Ângela, com a finalidade de

fornecer-lhe idéias para a elaboração das histórias e de realizar intervenções para que

avançassem em suas concepções. A partir desses diálogos foi possível abordar conteúdos

(fração mista e frações de quantidades discretas) que não faziam parte do plano de ensino

da intervenção didática. Neste artigo relatamos, analisamos e assinalamos reflexões sobre o

episódio que envolveu a aluna Letícia.

defghi hj kj lj m enopqorhi rj sj sj hj h tuvwuvxtyão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

11


Durante a elaboração de sua história Letícia criou uma situação na qual havia três

crianças e cinco barras de chocolate para dividir entre elas, porém a aluna não conseguiu

descobrir um modo de dividir em partes equivalentes as duas barras de chocolate que

restaram ao distribuir as cinco barras. Nesse caso, foi necessário apontar informações que

possibilitaram que a aluna se apropriasse dessas idéias e continuasse seu processo de

aprendizagem, desenvolvendo uma estratégia para solucionar o problema:

z{|}~�|�� Você deu uma barra para cada um e sobrou duas, como você pode dividir essa barra para as três crianças, sendo que todas devem receber a mesma quantidade para que não tenha briga?Letícia fica em silêncio. Pesquisadora: Se você pegar uma barra e dividir em três partes? Dá certo? Letícia: Ah!Pesquisadora: Explica. Letícia: Você tem três crianças (faz um desenho de três crianças e uma barra de chocolate). Daí pega essa daqui e dá um para cada um. (faz três riscos no desenho das crianças e divide em três a barra de chocolate). Então essa corta em três e a outra também.

A partir dessa intervenção, aplicamos o seguinte problema para a aluna: Você tem 1

barra de chocolate para dividir com 5 crianças, sendo que todas devem receber a mesma

quantidade. O que você faz? Qual a fração da barra que cada criança recebeu? E se depois

você ganhar mais 6 barras de chocolate, sendo que todas as barras tem o mesmo tamanho?

Ao solucionar esse problema, Letícia, primeiramente, distribuiu uma barra de

chocolate para as cinco crianças e concluiu que cada criança recebeu um quinto. Logo em

seguida a aluna distribuiu outras seis barras de chocolate e fez a correspondência de uma

barra para cada criança e assim sobrou uma barra. Depois de pensar um pouco, resolveu

dividir essa barra restante em cinco pedaços e distribuir um pedaço para cada criança.

Letícia registrou que “cada criança receberá dois quintos e uma barra inteira”. (Registro da

aluna - figura 2 – Anexo D).

Verificamos o raciocínio de Letícia e também a evolução de sua aprendizagem com

relação ao conceito de fração, uma vez que na primeira aula da seqüência didática, a aluna

afirmou que para obter um terço é suficiente repartir algo em três partes. Ela imergiu em

�� ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

12


um processo de transformação, pois se envolveu em uma situação e foi capaz de se

envolver e controlar outra situação, demonstrando a apropriação de idéias matemáticas.

Essa intervenção realizada com Letícia mostra a criação de um problema enquanto

metodologia de ensino e o modo como esse problema está conectado com as histórias.

Portanto, realizar esse tipo de intervenção é possível, pois existe um contexto significativo

ligado à história que possibilita a elaboração de diferentes problemas, uma vez que o texto

não é fechado, ele permite que o leitor faça (re)significações.

De acordo com Solé (1998, p. 22), o leitor ao fazer uso de conhecimentos,

informações e dados que possui, antes mesmo de realizar uma leitura e estabelecer

objetivos para a mesma, decodifica o código lingüístico, faz previsões, indaga, questiona,

identifica os elementos relevantes do texto selecionando e analisando os conhecimentos e

pensamentos expostos, enfim, realiza inferências e lê as entrelinhas. É a partir dessas ações

que o leitor constrói significados o que proporciona a compreensão do texto.

Essa liberdade de interpretação permite a criação de novos problemas e de narrativas,

o que pode proporcionar o aprofundamento do conteúdo desenvolvido em sala de aula. Por

isso, ao conectar a literatura com a matemática, o professor pode ir além do que o livro

apresenta, enriquecendo o processo de aprendizagem e permitindo que o ensino se torne

mais significativo para o aluno, ou seja, que o estudante estabeleça uma relação de

interioridade com os conteúdos se apropriando efetivamente dos mesmos.

Algumas considerações

Observando o processo de ensino e de aprendizagem desenvolvido nas aulas,

enfatizamos que é na conexão (matemática e literatura), nas intervenções do professor e no

uso de materiais manipulativos e recursos visuais, que os alunos desenvolveram o processo

de aprendizagem, sendo receptivos à proposta.

Constatamos como a compreensão da leitura permite que o leitor se aproprie de

elementos da realidade e assim possa entendê-la. No caso específico da intervenção, os

alunos, ao ouvirem e lerem as histórias recorreram a seus conhecimentos, elaboraram

hipóteses, realizaram inferências, sendo capazes de assinalarem, de compreenderem e de

estabelecerem novas definições para as idéias matemáticas. As histórias também

�� ¡ ¢¡ £¡ ¤ �¥¦§¨¦©� ©¡ ª¡ ª¡ �¡ � «¬®¬¯«°ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

13


possibilitam que o professor crie situações problemas e faça questionamentos que

proporcionam a compreensão e o aprofundamento dos conteúdos matemáticos abordados.

Assinalamos também, a importância do material manipulativo, pois os alunos

realizaram diferentes ações, criaram estratégias e testaram hipóteses, ou seja, eles

observaram, recortaram, dobraram, repartiram em determinadas partes equivalentes e

realizaram sobreposições dos círculos, se apropriando de conceitos matemáticos.

Portanto, os alunos colocaram em movimento as histórias, seus conhecimentos, os

conceitos apropriados, o material manipulativo, os recursos visuais, a língua materna, a

linguagem matemática. Ocorrendo produções de sentidos, elaborações de pensamentos,

mudanças de compreensão sobre um conceito e apropriação de conhecimentos.

Além disso, assinalamos a importância da mediação do professor. Este deverá

elaborar um rol de estratégias e de situações que propicie um espaço no qual o aluno poderá

estabelecer uma relação de interioridade com o conhecimento escolar, não negligenciando

as (re)elaborações e (re)construções dos alunos. E isso requer do docente uma gama de

conhecimentos pedagógicos e específicos dos conteúdos a serem ensinados.

Enfim, os alunos interagiram de modo particular com os conteúdos desenvolvidos nas

aulas, se apropriaram desses saberes e atribuíram sentidos a eles. Nessas atribuições de

sentidos, que estão conectadas a elementos e aspectos do coletivo, e nessa (re)significação

dos conhecimentos, encontramos uma das riquezas da articulação entre literatura e

matemática e que foi investigada neste estudo.

Referências

ABRAMOVICH, Fanny. Literatura infantil: gostosuras e bobices. 3.ed. São Paulo: Scipione, 1989. 174 p.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília/DF: MEC/SEF, 1997. Disponível em: <www.bibvirt.futuro.usp.br/content/download/16366/117295/file±¡ �²¤³³® ¤´µ ¶ ·¤

janeiro, 2007.

¸¹º»¼½ ¼¾ ¿¾ À¾ Á ¹ÂÃÄÅÃÆ¼½ Æ¾ Ç¾ Ç¾ ¼¾ ¼ ÈÉÊËÉÊÌÈÍão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

14


CAREY, D. The patchwork quilt: a context for problem solving. In: Arithmetic Teacher. v.39, n.4, dez./992, p.199-203.

CARNEIRO, Reginaldo F.; PASSOS, Cármen. L. B. Matemática e literatura infantil: a divisão do futebol. In: Anais do VIII Encontro Paulista de Educação Matemática. São Paulo: UNICSUL, 2006, p.1-11.

CARNEIRO, Reginaldo F.; PASSOS, Cármen. L. B. Matemática e literatura infantil: ma possibilidade para quebrar a armadilha do desconhecimento matemático. In: Anais do 16º Congresso de Leitura do Brasil (Cole): no mundo há muitas armadilhas é preciso quebrá-las. Campinas: UNICAMP, 2007. p. 1-10.

CONAWAY, Betty; MIDKIFF, Ruby B. Connecting literature, language, and fractions (teaching fractions to elementary students). In: Arithmetic Teacher, v. 41, n.8, Abril/1994. p. 430-433.

DALCIN, Andréa. Um olhar sobre o paradidático de matemática. 2002. 162p. Dissertação (Mestrado em Educação: Educação Matemática). Faculdade de Educação, Universidade de Campinas, Campinas/SP.

GÓMEZ-GRANELL, Carmén. A aquisição da linguagem matemática: símbolo e significado. In: TEBEROSKY, Ana; TOLCHINSKY, Liliana. (Org.). Além da alfabetização: a aprendizagem fonológica, ortográfica, textual e matemática, São Paulo: Ática, 1995, p. 257- 282.

KLIMAN, Marlene; RICHARDS, Judith. Writing, sharing and discussing mathematics stories. In: Arithmetic Teacher, v.38, n.3, nov./1992, p.138-141.

MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna: a análise de uma impregnação mútua. 169 p., 5.ed. São Paulo: Cortez, 2001.

MACHADO, Nilson José. O pirulito do pato. São Paulo: Scipione, 1990. (sem paginação).

MATOS, José Manuel; SERRAZINA, Maria de Lurdes. Didáctica da matemática. 294 p., Lisboa: Universidade Aberta, 1996.

MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. 118 p., 5.ed. São Paulo: Cortez. Brasília: UNESCO, 2001.

NACARATO, Adair Mendes et al. Números racionais: aspectos conceituais, o papel da linguagem e dos materiais manipulativos. Horizontes, v.22, n.1, 2004, p. 53-64. Disponível em: <http://www.saofrancisco.edu.br/edusf/publicacoes/revistahorizontes/volume_05/uploadaddress/horizontes-7%5b6287%5d.pdfÎ¾ ¼ÏÁÐÐË ÁÑÒ ÓÔ ÕÁ ÖÈ×ÁÌÊË½ ÓØØÙ¾

ÚÛÜÝÞß Þà áà âà ã ÛäåæçåèÞß èà éà éà Þà Þ êëìíëìîêïão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

15


NEUENFELDT, Adriano Edo. Matemática e literatura infantil: sobre os limites e possibilidades de um desenho curricular interdisciplinar. 2006, 194p. Dissertação (Mestrado em Educação). Centro de Educação, Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria.

OLIVEIRA, Rosa Maria Moraes Anunciato de. Na escola se aprende de tudo... (aprendizagens escolares na visão dos alunos). 2001, 208p. Tese (Doutorado em Educação). Centro de Educação e Ciências Humanas, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.

RAMOS, Luzia Faraco. Doces frações: a construção do conceito de fração, equivalência de frações, jogos. 23 p., São Paulo: Ática, 2000.

ROMANATTO, Mauro C. Número racional: relações necessárias a sua compreensão. 1997. 158p. Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1997.

SILVA, Adelmo Carvalho. Matemática e literatura infantil: um estudo sobre a formação do conceito de multiplicação. 2003. 189f. Dissertação (Mestrado em Educação). Centro de Educação, Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, 2003.

SMOLE, Kátia C.; DINIZ, Maria Ignez. (Org.). Ler, escrever e resolver problemas:habilidades básicas para aprender matemática. 203 p., Porte Alegre: Artmed, 2001.

SOLÉ, Isabel. Estratégias de leitura. 194 p., 6.ed. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

SOUZA, Raquel. D. de. Era uma vez... aprendizagens de professores escrevendo histórias infantis para ensinar matemática. 2008. 242p. Dissertação (Mestrado em Educação). Centro de Educação e Ciências Humanas, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos/SP.

SOUZA, Raquel. D.; OLIVEIRA, Rosa. M. M. A. Análise de uma experiência de ensino e aprendizagem no ensino fundamental: utilização de história infantil com conteúdo matemático. In: In: Anais do 15º Congresso de Leitura do Brasil (Cole): pensem nas crianças mudas telepáticas. Campinas: UNICAMP, 2005, p.1-13.

WELCHMAN-TISCHER, Rosamond. How to use children’s literature to teach mathematics. Reston: NCTM, 1992.

WHITIN, David J.; GARY, Cassandra C. Promoting mathematical explorations through children's literature. Arithmetic Teacher, v.41, n.7, Março 1994, p. 394-399.

ðñòóôõ ôö ÷ö øö ù ñúûüýûþôõ þö ÿö ÿö ôö ô S��S�ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX

16


ANEXOS

Anexo A: Enredo da narrativa “O Pirulito do Pato”

O enredo do livro O Pirulito do Pato envolve dois irmãos patos, Lino e Dino, que

devem dividir um pirulito em partes iguais. Porém antes de dividirem um amigo vai visitá-

los – pato Xato – e eles acabam por dividir o pirulito em três partes iguais e cada pato fica

com um terço do pirulito. Entretanto, após essa divisão um outro amigo – Zinho – visita os

irmãos e eles precisam resolver como poderá ser feita uma nova divisão. Nesse contexto,

Lino se prontifica em dividir o seu pedaço do pirulito com o amigo.

Anexo B: Enredo da narrativa “Doces Frações”

O enredo da história Doces Frações engloba três crianças – Adelaide, Caio e Binha –

que passam alguns dias no sítio da avó, e aprendem sobre noções de frações e equivalência

de frações quando precisam descobrir os preços de cada pedaço de torta que a avó vende na

praça.

Anexo C: Figura 1

F�� obrir o preço dos pedaços de torta

�� ! �"#$%#&�� &� '� '� �� ()*+)*,(-ão de conhecimento e a receptividade de alunos da 4ª série à articulação: textos infantis e matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-17. (ISBN 978-85-98092-07-02)

17

Anexo D: Figura 2

D./.012 34 56

barra em cinco.

789:;a 21 – Registro de Letícia sobre o problema proposto acerca da repartição de sete barras de chocolate para cinco crianças

D./.012 340 0<.0

barras: cada criança recebeu uma barra e sobrou outra.

D./.012 34 =4>>4

que sobrou em cinco pedaços.

L?@ABCE?G HI AIJ K?MNBONLG HI PI Q ROTRM?G MI UI A VWVXYVZ[\ Y]^_Y_`aY\]VX b\

trabalho docente e o desenvolvimento profissional de professores universitários. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 1: Avaliação

A AVALIAÇÃO INSTITUCIONAL DO TRABALHO DOCENTE E O

DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL DE PROFESSORES

UNIVERSITÁRIOS

Guilherme Andolfatto LIBANORI* - ICMC-USP, São Carlos ([email protected]

Guilherme Henrique PIMENTEL** - ICMC-USP, São Carlos ([email protected]

Miriam Cardoso UTSUMI - ICMC-USP, São Carlos ([email protected]

Resumo: Com o objetivo de analisar em que medida a Avaliação Institucional contribui para o desenvolvimento profissional do professor e quais as percepções dos professores sobre esse instrumento de avaliação de eficácia do trabalho docente, foi realizada uma pesquisa descritiva, com um estudo de campo, de natureza qualitativa, com cinco professores e um coordenador de curso de Matemática de uma Instituição de Ensino Superior particular situada em uma cidade do interior do Estado de São Paulo. Os dados foram obtidos através de questionários respondidos pelos professores e pelo coordenador do curso. Observou-se por esses dados que a referida Instituição poderia ser classificada como instituição de mercado, seus docentes eram comprometidos com a docência no Ensino Superior e expressavam intenção em melhorar ou modificar suas práticas em virtude dos possíveis resultados que as avaliações pudessem vir a evidenciar, o que parecia indicar que eles se sentiam motivados a lecionar. Entretanto, a Avaliação Institucional não vinha desempenhando seu papel para o desenvolvimento profissional daqueles docentes, na medida em que ela não era retornada para os professores e não havia uma discussão sobre os resultados obtidos a fim de que pudesse potencializar reflexões que favorecessem a transformação das práticas docentes, buscando o aperfeiçoamento destas. Dessa forma, os dados parecem evidenciar que os docentes possuíam uma visão mais ampla do processo de avaliação do que a própria instituição na qual estavam inseridos, que parecia ter uma visão de avaliação voltada para o cumprimento de exigências legais. Acredita-se que para que a Avaliação Institucional pudesse atingir plenamente seus objetivos, o retorno para os docentes deveria ocorrer concomitantemente com a prática analisada e os resultados deveriam ser discutidos com coordenadores ou responsáveis pela instituição, bem como entre os próprios docentes, com vistas a contribuir para o desenvolvimento profissional dos mesmos.

Palavras-chave: Educação Matemática, desenvolvimento profissional, avaliação institucional docente, motivação.

Financiamento: *PIC Institucional–Pró-reitoria de Pesquisa-USP/ **Programa Ensinar com Pesquisa- Pró-Reitoria de Graduação-USP

defghijek lm gmn oepqhrqdk lm sm t urvupek pm wm g xyxz{x|}~ {��{��{~�xz �~

trabalho docente e o desenvolvimento profissional de professores universitários. Anais2

do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

De acordo com dados do Censo da Educação Superior (Disponível em

http://www.inep.gov.br/superior/censosuperior/sinopse/ t� ��~ �t ��k t� ��

havia 2.270 Instituições de Ensino Superior – IES no país que empregavam 316.882

professores (302.006 em efetivo exercício), sendo 113.848 contratados em tempo

integral, 64.913 em tempo parcial e 138.121 horistas.

Esses dados são interessantes, pois além de situar o contingente de professores

universitários, acredita-se também, como asseverado por Balbachevsky (2007), que

qualquer análise sobre o trabalho daqueles deve levar em consideração as condições em

que esse trabalho ocorre, tendo em vista a heterogeneidade das condições institucionais

de inserção do docente na profissão.

De acordo com Masetto (2003), por volta de 1930, com a criação da USP, surge

uma nova proposta de Ensino Superior que perdura até os dias atuais. Nesta proposta de

ensino o docente deveria: “[...] além de dar aulas, fazer pesquisas, produzir

conhecimento, divulgar e discutir com seus pares os estudos feitos [...]” (p. 8).

q��t�x��~k �~�~ �tytzx�~ �~� ft�t�{�~k �t��t� t �erreres (1995), há muito, a

docência tem sido vista de forma restrita, ao ser identificada somente com as atividades

que o professor exerce quando está na sala de aula com os alunos, enfatizando que as

funções que fazem parte do trabalho docente seriam, principalmente:

[...] o estudo e a pesquisa; a docência, sua organização e o aperfeiçoamento de ambas; a comunicação de suas investigações; a inovação e a comunicação das inovações pedagógicas; a orientação (tutoria) e a avaliação dos alunos; a participação responsável na seleção de outros professores; a avaliação da docência e da investigação; a participação na gestão acadêmica; o estabelecimento de relações com o mundo do trabalho, da cultura etc.; a promoção de relações e intercâmbio departamental e interuniversitário, e a contribuição para criar um clima de colaboração entre os professores. (BENEDITO; FERRER; FERRERES, 1995, p. 119)

Percebe-se que o perfil do professor universitário extrapola os limites do

conhecimento aprofundado da matéria de sua especialização e a aquisição de

habilidades necessárias para conduzir pesquisas, assumindo dimensões mais amplas,

que ultrapassam os limites da sala de aula, envolvendo o todo institucional e o espaço

fora dele.

Dessa forma, uma reflexão sobre o desenvolvimento do professor, o trabalho

docente, passa pela reflexão sobre as condições oferecidas pelas IES, ou seja, pela

�� ¡�¢¡�� £� � ¤¥¤¦§¤¨©ª §«¬§®¯§ª«¤¦ °ª



avaliação dessa instituição. De acordo com Pavan (2005) a avaliação institucional no

Brasil data da década de 1960.

Como as Instituições de Ensino Superior têm identidade própria, que necessita ser

respeitada, cada uma deveria construir seu modelo de avaliação, a partir de sua história,

contexto e prioridades.

Contudo, o Decreto nº 3.860/01 (BRASIL, 2001, p. 6), que dispõe sobre a

organização do Ensino Superior, norteia algumas dimensões a serem avaliadas:

I - a organização didático-pedagógica; II - o corpo docente, considerando principalmente a titulação, a experiência profissional, a estrutura da carreira, a jornada de trabalho e as condições de trabalho; III - a adequação das instalações físicas gerais e específicas e equipamentos integrados ao desenvolvimento do curso. IV - as bibliotecas, com atenção especial para o acervo especializado, inclusive o eletrônico, para as condições de acesso às redes de comunicação e para os sistemas de informação, regime de funcionamento e modernização dos meios de atendimento. (CAPÍTULO IV, ART. 17, INCISO III, PARÁGRAFO 1º)

Schlickmann, Melo e Alperstedt (2008) analisaram os enfoques institucionais das

avaliações normatizadas ao longo dos governos e concluíram que houve diferentes

enfoques, mas a predominância foram dos enfoques regulador e normativo. Destacando,

no entanto, que os modelos avaliativos com enfoques cognitivos foram os que sofreram

menor resistência e maior receptividade da comunidade acadêmica, segundo os

pesquisadores, pelo fato de que, historicamente, a comunidade acadêmica tenha buscado

um sistema avaliativo que fosse representativo de sua realidade, ou seja, que levasse em

conta o contexto de complexidade em que as instituições de ensino superior estão

inseridas.

A atenção desse estudo, em particular se foca sobre um aspecto isolado da

avaliação institucional, a do trabalho docente, apesar de considerarmos como Dias

Sobrinho e Ristoff (2000) que:

[...] a avaliação institucional deve procurar estabelecer uma compreensão de forma razoavelmente integrada e articulada do conjunto da universidade, através da compreensão das partes. A compreensão dos aspectos isolados deve se dar no esforço de integração desses elementos com as diversas outras dimensões constitutivas do todo. (p. 106)

±²³´µ¶·²¸ ¹º ´º» ¼²½¾µ¿¾±¸ ¹º Àº Á Â¿ÃÂ½²¸ ½º Äº ´ ÅÆÅÇÈÅÉÊË ÈÌÍÎÈÎÏÐÈËÌÅÇ ÑË



Acredita-se que a avaliação institucional docente poderia contribuir para o

aperfeiçoamento profissional do professor, se entendida como um instrumento de

desenvolvimento humano e social que possibilita o autoconhecimento e sinaliza os

acertos e equívocos de suas práticas, favorecendo a motivação e transformação daquelas

práticas, ou ainda como asseverado por Pavan (2005):

(...) na medida em que lhe proporcione parâmetros de comparação, contribuindo para que este reflita sobre sua própria prática, melhorando seu desempenho, expandindo seus conhecimentos e capacidades e fundamente propostas efetivas de formação continuada e profissionalização por parte das instituições de ensino. (p. 12)

Brasil, Barbosa, Rodrigues, Blois, Cunha e Xavier (2007) relatam, por exemplo,

o desenvolvimento de um programa de aperfeiçoamento docente que teve como

referências o processo de construção da avaliação institucional da Universidade Católica

de Pelotas – UCPel. A mobilização de professores nesse processo identificou que o

modelo de avaliação docente precisava ser revisto, pois, era adequado ao paradigma da

indiferença, do individualismo, desconsiderava os três pilares – ensino, pesquisa e

extensão, além da identificação de algumas questões postas que não poderiam ser

avaliadas pelos alunos, tais como domínio didático da matéria (o aluno não conhece a

disciplina), capacidade de relacionar a matéria ao curso (o aluno não conhece a

realidade geral do curso), motivação do professor (o que seria essa motivação). Foram

sugeridas novas questões para essa avaliação e uma auto-avaliação do docente em cada

disciplina, também foram sugeridas mudanças na aplicação, passando a ocorrer no

semestre seguinte ao da disciplina cursada, ao invés de ocorrer junto a períodos de

provas, e os resultados serem retornados de outra forma para alunos (a fim de mostrar a

importância e consideração de suas ponderações) e para professores de maneira a

propiciar mudanças de fato.

Nesse sentido, acredita-se que avaliações institucionais desse tipo tenham caráter

pedagógico como colocado por Dias Sobrinho (2005):

[...] A avaliação institucional não é instrumento de medida de atividade de indivíduos isolados, nem de trabalhos descolados de seus meios de produção; não é mecanismo para exposição pública de fragilidades ou ineficiências de profissionais individualizados. A avaliação deve ser promovida como um processo de caráter essencialmente pedagógico. Não se trata apenas de conhecer o estado da arte, mas também de construir. (p. 61)

ÒÓÔÕÖ×ØÓÙ ÚÛ ÕÛÜ ÝÓÞßÖàßÒÙ ÚÛ áÛ â ãàäãÞÓÙ ÞÛ åÛ Õ æçæèéæêëì éíîïéïðñéìíæè òì



Posto isso, considerou-se importante investigar em que medida a Avaliação

Institucional contribui para o desenvolvimento profissional do professor e quais as

percepções dos professores sobre esse instrumento de avaliação de eficácia do seu

trabalho.

Considera-se desenvolvimento profissional uma mudança “de dentro para fora”,

que envolve a mudança de conceitos e de crenças relacionadas com o processo de

ensino e aprendizagem. Logo, o desenvolvimento profissional estaria intimamente

ligado com a motivação do docente.

Nesse estudo se analisa este constructo dentro de duas abordagens: “a abordagem

psicológica que utiliza vários conceitos como satisfação no trabalho, satisfação

ocupacional e satisfação com a vida e a abordagem sociológica que se concentra na

socialização e na carreira do professor” (BACHLER; MOREIRA; FARRELL; SWAN,

e outros, como citados em MOREIRA, 2005, p. 211).

Dessa forma Satisfação, Insatisfação, Investimentos na Carreira e

Comprometimento são alguns dos aspectos que serão investigados para aferir a

Motivação.

Moreira (2005) analisou diversas fontes de satisfação no trabalho, tendo-as

dividido em três formas de recompensas: a recompensa intrínseca, a extrínseca e a

complementar. As recompensas intrínsecas consistiriam inteiramente de avaliações

subjetivas feitas com relação ao engajamento no trabalho e seriam visíveis somente à

própria pessoa. As recompensas extrínsecas são normalmente associadas com os

benefícios relacionados com as funções exercidas pelo indivíduo em uma determinada

instituição. E por fim as recompensas complementares que têm uma dimensão objetiva

e subjetiva.

O Investimento na Carreira de professor diz respeito aos recursos individuais que

são destinados para a preparação e continuidade na profissão, mas que não podem ser

recuperados se o professor desiste da carreira (RUSBULT; FARRELL apud

MOREIRA, 2005, p. 224). Moreira sugere ainda, que esse investimento pode ser

constatado por fatores intrínsecos ao trabalho como anos de serviços prestados; ou por

fatores extrínsecos ao trabalho realizado, como investimentos na sua moradia e os

amigos conquistados no trabalho.

óôõö÷øùôú ûü öüý þôÿL÷�Lóú ûü �ü � ��ÿôú ÿü �ü ö ��



Esses aspectos da motivação estariam em certa medida relacionados ao tempo de

exercício na profissão. De acordo com Huberman (apud FARAGO, 2006) “existem

certas tendências gerais no ciclo de vida dos professores que comportam uma seqüência

de fases cuja ordem obedece ao tempo de carreira” (p. 47).

Segundo Huberman a fase inicial, considerada de sobrevivência e descoberta é

sucedida pela fase de comprometimento definitivo ou estabilização, que ocorreria entre

os 4 e 6 anos de profissão. A próxima fase que vai dos 7 aos 25 anos de profissão,

conhecida como a fase de diversificação, revelaria percursos individuais que vão desde

a rotina até a crise existencial; enquanto a fase que vai dos 25 aos 35 anos de magistério

caracterizar-se-ia pelo aparecimento da serenidade e distanciamento afetivo ou do

conservadorismo; e a última fase, a que diz respeito à época da aposentadoria, entre 35

e 40 anos de carreira, que seria uma fase de desinvestimento (sereno ou amargo).

(HUBERMAN apud FARAGO, 2006).

Finalmente, o Comprometimento com os alunos se refere aos cuidados com as

necessidades deles. De acordo com Moreira (2005) essas preocupações podem

incentivar os professores a incluir alunos com problemas pessoais em seu planejamento

e inserir atividades diferentes em sua prática, motivando os participantes e a si próprio.

Método

Realizou-se uma pesquisa descritiva, com um estudo de campo, de natureza

qualitativa, com cinco professores e um coordenador de curso de Matemática de uma

Instituição de Ensino Superior particular situada em uma cidade do interior do Estado

de São Paulo.

Os participantes responderam a um questionário informativo contendo questões

sobre sua formação, perfil profissional, percepções sobre a avaliação institucional e

sobre seu trabalho docente.

A análise dos dados foi realizada com base em quatro temas:

satisfação/insatisfação, comprometimento, investimento profissional e fase da carreira.

Resultados e discussão

Balbachevsky (2007) classifica as IES em Regionais, de Mercado e de Pesquisa

levando em consideração a proporção de doutores no corpo docente das instituições e a

�� ! �� "� # $!%$�� &� � '(')*'+,- *./0*012*-.') 3-



proporção de docentes com tempo integral ou dedicação exclusiva, por esse tipo de

classificação fornecer mais informações sobre as condições de trabalho dos docentes do

que a classificação em pública ou particular.

As IES regionais seriam as com menos de 50% de professores com título de

doutor e mais de 70% contratados em regime de tempo integral, as IES de mercado

seriam as com menos de 50% de doutores e menos de 70% do corpo docente em tempo

integral e as IES de pesquisa seriam aquelas com corpo docente com mais de 50% de

doutores e mais de 70% contratados em regime de tempo integral ou dedicação

exclusiva.

Essa classificação é importante, pois como lembra Codo (1999) muitas das tarefas

dos professores são realizadas sem a presença dos alunos, fora da sala de aula e,

freqüentemente, fora da instituição de ensino, estendendo a jornada de trabalho. Quando

o professor ministra aulas em várias turmas, instituições e turnos, como ocorre nas

instituições de mercado, a preparação das aulas vai requerer maior investimento de

tempo na execução de um volume maior de trabalho e mais dedicação e esforço

intelectual.

Foram entrevistados seis professores de uma IES, que poderia ser classificada

como “Instituição de Mercado”, situada no interior do Estado de São Paulo, sendo que

um deles era coordenador do curso de Matemática. O Quadro I sintetiza as

características dos entrevistados.

Quadro I: Síntese das características dos participantes da amostra

��-0*('+,- A #.0#.3*3' 4#)-/ 3-2#.0#/ 3' '5-/06' 3e maneira bastante diferente,

se por um lado há professores que encontram motivação no ato de ensinar, ainda que ele

seja visto numa visão bastante tradicional, em que o conhecimento é transmitido, logo

subentende-se que o aluno é visto como um ser passivo na construção do conhecimento,

789:;<=8> ?@ :@B C8DE;FE7> ?@ G@ H IFJID8> D@ K@ : MNMOPMQRS PTUVPVWXPSTMO YS



por outro lado, há professores que possuem como motivação apenas o pagamento pelos

serviços prestados, como pode ser observado pelos extratos que se seguem:

“Minha motivação principal é ensinar, transmitir conhecimento e trocar experiências e conhecimentos.” (Professora F, Licenciada).

“Motivação em ser professora é receber o salário ao final de cada mês”. (Professora A, Bacharel).

Talvez essa discrepância esteja relacionada com a idade dos professores, a

professora F é a mais nova do grupo pesquisado e a que possui menor tempo de

magistério, como pode ser observado pelo Quadro I. De acordo com (HUBERMAN,

como citado por FARAGO, 2006), a citada professora estaria vivenciando um momento

profissional que favorece os sentimentos de independência e pertença a um grupo.

No caso da professora A, que tem 10 anos de profissão docente, estando na fase da

diversificação, pode-se inferir que já se encontra num ambiente de trabalho rotineiro,

sendo o trabalho docente desinteressante, parecendo revelar uma fase avançada de

desmotivação.

Com relação aos outros professores B, C, D e E, observa-se que a motivação

ainda está presente no prazer individual de dar aulas como pode ser visto no extrato do

professor E, que tem 18 anos de profissão docente, estando também na fase da

diversificação:

“Minha Motivação, especificamente em relação à docência, é gratificante perceber a evolução no aprendizado dos alunos, principalmente quando interagem, mostrando interesse e curiosidade.” (Professor E, bacharel).

É preciso ressaltar que não se acredita em percursos universais, reconhece-se que

algumas trajetórias podem ser mais harmoniosas ou mais problemáticas para cada

docente, como observado pelos depoimentos dos Professores A e E, que mesmo estando

numa mesma fase, manifestam sentimentos diferentes, o que demonstra que esses

percursos não são desligados das condições sociais, econômicas e históricas vividas.

Sendo assim, concorda-se com Farago (2006) sobre ser incontestável o fato de que

as pressões e constrangimentos das condições de trabalho e dos contextos institucional,

cultural e histórico de uma forma geral, deixam marcas nas trajetórias individuais ou no

percurso do coletivo de docentes.

Z[\]^_`[a bc ]cd e[fg^hgZa bc ic j khlkf[a fc mc ] nonpqnrst quvwqwxyqtunp zt



Dessa forma, procurou-se investigar essas marcas analisando os componentes da

Motivação. Nesta amostra os aspectos do trabalho que mais traziam satisfação estavam

relacionados às recompensas intrínsecas tais como “a possibilidade de o professor ver o

aluno aprender” (MOREIRA, 2005, p. 216), como pode ser visto a seguir:

“Ensinar pessoas menos experientes que eu, porque aprendo com pessoas mais jovens. Acho que mudanças são sempre bem vindas” (Professora A).

“O que me dá mais satisfação é perceber que o aluno aprendeu e enxerga além da aula dada” (Professora C).

Foi verificado também que os aspectos que mais causam Insatisfação nos

entrevistados, correspondem aos fatores de uma interação entre os aspectos intrínsecos e

os aspectos extrínsecos do trabalho docente, gerando um complexo de insatisfação.

Quando questionados sobre qual investimento fazem para a carreira de professor,

as citações novamente recaíram sobre aspectos intrínsecos ao trabalho, como a busca

por um aprimoramento técnico. Os docentes não consideraram o tempo de preparação

de aulas, ou ainda, não reconheciam os esforços dedicados ao trabalho docente como

investimento, corroborando Moreira (2005), que afirmou que os professores

desconsideram (...) investimentos muito característicos da profissão como: o

investimento de tempo, esforço e investimentos materiais para se permanecer na

profissão (p. 225).

Parece interessante ressaltar que um docente afirmou que o trabalho docente

ocupava bastante do seu tempo, porém ele não reconhecia esse tempo como

investimento na carreira, como pode ser visto nos fragmentos abaixo:

“Como cientista, estou sempre me aprimorando tecnicamente, mas não invisto na parte pedagógica.”(Professor E)

“Além das aulas propriamente, dedico o tempo à preparação das aulas, elaboração de exercícios, correções de provas e trabalhos, atendimento de alunos fora do horário da aula, entre outras coisas.” (Professor E)

Assim, o investimento na carreira de professor, está associado ao investimento

técnico, ou ao investimento na profissão pesquisador, sendo que o “dar aulas”

novamente é visto como conseqüência do trabalho e não um investimento.

{|}~��|� �� ~�� |��{� �� |� �� ~ ��



Essa forma de enxergar o exercício do magistério poderia influenciar o

Comprometimento com os alunos, que é considerado um aspecto central da docência

(apesar de não ser visto como parte do trabalho por muitos profissionais). Foi observado

que quatro dos participantes se consideravam professores comprometidos como um

todo; um deles (professor E) se classifica como parcialmente comprometido e apenas

um (professora A) afirmou sua falta de comprometimento.

Os professores também afirmaram, com exceção de um (professora A), que apesar

das inúmeras dificuldades que enfrentam em seu trabalho, este sempre vale a pena:

“Por mais dificuldades que o professor possa enfrentar, sempre vale a pena, pois se não for para todos, pelo menos para alguém (pode ser um ou mais) o seu trabalho o auxiliará no desenvolvimento pessoal e profissional”. (Professora B)

O envolvimento e a identificação com a profissão nada mais são do que

indicadores do comprometimento do professor com a mesma. Além disso, a

identificação do profissional com as metas e valores da instituição reforçam sua

eficiência, comprometimento e esforço para atingir bons resultados (MOREIRA, 2005).

Nesse contexto é que se insere a importância e a abrangência da avaliação

profissional nas instituições de ensino, pois como observado por Pavan e Fernandes

(2006), atualmente é bastante aceita a compreensão de que uma avaliação institucional

contínua, global e formativa, conduz a IES a um aumento de suas relações sociais e

pedagógicas. Isso implicaria em professores mais comprometidos com o processo

ensino-aprendizagem e com o sucesso da instituição em que trabalham.

Nota-se que todos os professores participantes afirmaram dar importância para o

processo de avaliação de seu trabalho, como observado nos extratos a seguir, pois esta

permite uma reflexão sobre a prática e uma auto-avaliação como profissional,

corroborando a visão exposta por Pavan e Fernandes (2006).

“Faz-se necessário avaliar o ensino não somente em momentos isolados, mas a avaliação terá sentido mais amplo se for empregada durante o processo detectando pontos a serem aperfeiçoados ou corrigidos”. (Professora B)

“Ela [a avaliação institucional] é essencial. É um retorno que temos do nosso trabalho docente para percebermos potencialidades e fragilidades”. (professor E)

�� ¡¢�£ ¤¥ �¥¦ §�¨© ª©�£ ¤¥ «¥ ¬ ª®¨�£ ¨¥ ¯¥ � °±°²³°´µ¶ ³·¸¹³¹º»³¶·°² ¼¶



No entanto, causou estranheza o fato de dois professores participantes afirmarem

nunca terem tido o retorno de suas avaliações, enquanto os outros quatro professores

afirmaram utilizar os resultados da avaliação e que estes lhes auxiliaram a conhecer a

opinião dos alunos quanto as suas metodologias e avaliações:

“Nunca obtive nenhum retorno da avaliação”. (Professora F)

“Procurei melhorar nos quesitos em que estava menos satisfatória”. (Professora C)

Infere-se, dessa forma, que deve haver alguma falha na devolução das avaliações

aos professores. Talvez os resultados das avaliações fiquem disponíveis, entretanto

apenas quem procura tem o retorno sobre ele. Se o fato for esse, talvez revele um certo

descomprometimento desses professores em buscar seus resultados, analisarem-nos e,

possivelmente, modificarem sua prática.

É interessante observar que dois professores afirmaram que só obtêm o retorno

das avaliações após um ano, e eles consideravam esse fator de maneira negativa, pois

dificultaria a mudança durante o processo, como observado nos extratos a seguir:

“Já que estou sendo avaliada gostaria de obter os resultados das minhas avaliações”. (Professora F)

“As avaliações são entregues para o professor quase um ano depois ter lecionado as disciplinas. E aí fica perdida no tempo. As avaliações deveriam ser expostas para todos os professores e coordenadores. E não sigilosa, talvez, os professores tentassem melhorar seu trabalho”. (Professora A)

A fala da Professora A vai ao encontro da de Dias Sobrinho quando ele afirma que

a avaliação institucional não deve se restringir a descrever resultados obtidos, mas,

procurar “melhorar o processo enquanto ele se desenvolve, agindo sobre cada uma das

etapas” (como citado por PAVAN; FERNANDES, 2006, p. 153).

Notamos também que, com exceção da professora C, todos os outros profissionais

receberam algum tipo de esclarecimento sobre a avaliação institucional. Acreditamos

que esse dado se deva ao fato da referida professora já estar há muitos anos trabalhando

no local e não se recorde.

½¾¿ÀÁÂÃ¾Ä ÅÆ ÀÆÇ È¾ÉÊÁËÊ½Ä ÅÆ ÌÆ Í ÎËÏÎÉ¾Ä ÉÆ ÐÆ À ÑÒÑÓÔÑÕÖ× ÔØÙÚÔÚÛÜÔ×ØÑÓ Ý×



Verificamos também que metade dos participantes afirmou que não obtiveram

apoio do coordenador do curso para discussão dos resultados de suas avaliações.

Apenas a professora C explicou: “Não procurei, nem fui procurada”.

Conseqüentemente, metade dos professores não teve oportunidade de discutir seus

resultados com os demais colegas de trabalho, a fim de trocarem experiências. Os

professores que afirmaram comunicar-se com os demais colegas afirmaram que essas

conversas aconteciam informalmente, o que pode ser considerado um obstáculo a

reflexão coletiva e sistematizada.

Observa-se, então, nessa IES, um descompasso entre a intencionalidade da

realização e o que de fato ocorre com a avaliação institucional. No mesmo local de

ensino, enquanto alguns profissionais participam de reuniões que, entre outros assuntos,

abordam um tema tão importante para a qualidade de ensino da IES, outros não

participam, nem são solicitados a tal.

Considerações Finais

Os dados obtidos evidenciaram que os professores eram comprometidos com a

docência no Ensino Superior e expressavam intenção em melhorar ou modificar suas

práticas em virtude dos possíveis resultados das avaliações, o que parecia indicar que

eles se sentiam motivados a lecionar.

Entretanto, a Avaliação Institucional não vinha desempenhando seu papel para o

desenvolvimento profissional daqueles docentes, na medida em que ela não era

retornada para os professores e não havia uma discussão sobre os resultados obtidos a

fim de que pudesse potencializar reflexões que favorecessem a transformação das

práticas docentes, buscando o aperfeiçoamento daquelas.

Dessa forma, os dados parecem evidenciar que a IES investigada possuía uma

visão de avaliação voltada para o cumprimento de exigências legais. Acredita-se que

para que a Avaliação Institucional pudesse atingir plenamente seus objetivos, o retorno

para os docentes deveria ocorrer concomitantemente com a prática analisada e os

resultados deveriam ser discutidos com coordenadores ou responsáveis pela instituição,

bem como entre os próprios docentes, com vistas a contribuir para o desenvolvimento

profissional dos mesmos.

Þßàáâãäßå æç áçè éßêëâìëÞå æç íç î ïìðïêßå êç ñç á òóòôõòö÷ø õùúûõûüýõøùòô þø



Além disso, se os professores confiarem no caráter formativo da avaliação e se

sentirem protagonistas do processo, como afirmado por Brasil e outros (2007) “eles

saberão institucionalizar espaços à avaliação: seja enfatizando a importância dessa

cultura na sala de aula ou até mesmo conduzindo os estudantes até os laboratórios de

informática para responderem ao instrumento” (p. 680).

Referências

BALBACHEVSKY, E. Carreira e contexto institucional no sistema de ensino superior brasileiro. Sociologias, Porto Alegre, 9 (17), jan.jun/2007, p.158-188.

BENEDITO, A. V; FERRER, V.; FERRERES, V. La formación universitária a debate. Barcelona: Publicaciones Universitat de Barcelona, 1995.

BRASIL. Decreto Nº 3.860, de 9 de julho de 2001. Dispõe sobre a organização do ensino superior, a avaliação de cursos e instituições, e dá outras providências. DiárioOficial [da] República Federativa do Brasil, Brasília, DF, 2001. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/sesu/arquivos/pdf/DecN3860.pdfÿ> �ýîúúø î�� òõø� ��>

BRASIL, A. R.; BARBOSA, C. I. V.; RODRIGUES, F. P. M.; BLOIS, M. D.; CUNHA, M. S.; XAVIER, R. T. O. O processo da avaliação institucional como multiplicador de iniciativas para o aperfeiçoamento docente – 2ª parte. Avaliação, v. 12, n. 4, p. 663-684, dez. 2007.

CODO, W. Educação: carinho e trabalho. Petrópolis: Vozes, 1999.

DIAS SOBRINHO, J. Avaliação institucional, instrumento da qualidade educativa: a experiência da Unicamp. In: BALZAN, Newton C.; DIAS SOBRINHO, José (Orgs) Avaliação Institucional: teoria e experiências. 3. ed. São Paulo: Cortez, 2005.

DIAS SOBRINHO, J.; RISTOFF, D. I. (Org.). Universidade desconstruída.Florianópolis: Insular, 2000, p. 37-58.

FARAGO, A. C. A escola como lócus de formação continuada de professores: possibilidades, desafios e percepções. Ribeirão Preto, SP: CUML, 2006. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação, Centro Universitário Moura Lacerda.

G�� > �> �� > �> ��ï�� > �> O Professor, as condições de trabalho e os efeitos sobre sua saúde. Revista Educação e Pesquisa da Universidade de São Paulo, v. 31, n.2, p. 189-199, maio/agosto, 2005.

MASETTO, T. Competência Pedagógica do Professor Universitário. São Paulo: Summus, 2003.

L�� ! L� �� "� # $!%$�� &� � '(')*'+,- *./0*012*-.') 3-

trabalho docente e o desenvolvimento profissional de professores universitários. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

MOREIRA, H. A motivação e o comprometimento do professor na perspectiva do trabalhador docente. Periódico do Mestrado em Educação UCD, Mato Grosso, n. 19, jan/jun2005, p. 209-232,

PAVAN, M. M. A influência da Avaliação Institucional no desenvolvimento profissional do professor. Ribeirão Preto, SP: CUML, 2005. 136f. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação, Centro Universitário Moura Lacerda.

��P�� 4 ��5 %� �� &� %� �� (')*'+,- *./0itucional e desenvolvimento profissional do professor do ensino superior. In: M. C. S. G. Fernandes; A. D. M. Costa; N. A. L. Sicca. (Orgs.). Currículo, história e poder. Florianópolis: Insular, 2006, p. 149-165.

SCHLICKMANN, R.; MELO, P. A.; ALPERSTEDT, G. D. Enfoques da teoria institucional nos modelos de avaliação institucional brasileiros. Avaliação, v. 13, n. 1, março, 2008, p. 153-168

Z6789:; 6< =< ?<@ AB8=BA9; 6< C<@ ?6D6ZZ6:6; 6<@ 79RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de Pedagogia e o uso da linguagem de Programação Logo. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14 (ISBN 978-85-98092-07-2)


A COMPREENSÃO DO CONCEITO DE ÂNGULO POR ALUNOS DO CURSO

DE PEDAGOGIA E O USO DA LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LOGO

Ana Elisa Cronéis ZAMBON – FCT/UNESP ([email protected] da Silva RIBEIRO – FCT/UNESP ([email protected]írton CAVAZZANA – FCT/UNESP ([email protected]

Maria Raquel Miotto MORELATTI – FCT/UNESP ([email protected] Rodrigues Martins TEIXEIRA - FCT/UNESP ([email protected]

Resumo: Este trabalho apresenta os resultados de uma investigação, realizada por meio de um projeto de intervenção, junto a futuros professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, alunos dos cursos de Licenciatura em Pedagogia da Faculdade de Filosofia e Ciências – Unesp/Campus de Marília e da Faculdade de Ciências e Tecnologia – Unesp/Campus de Presidente Prudente. Teve por objetivo investigar a formação do conceito de ângulo, pelos futuros professores, por meio da linguagem de programação Logo, com base no software SuperLogo 3.0. Considerando a relevância do conceito de ângulo frente aos diversos conteúdos que compõem o currículo da Matemática, desde o Ensino Infantil, de forma introdutória, até o Ensino Médio, buscamos propiciar aos futuros professores dos anos iniciais o domínio deste conceito. Para tanto, elaboramos uma seqüência de atividades para que pudessem construir o conceito com autonomia, mesmo que de forma intuitiva. Partimos da noção de direção, lateralidade, rotação e ponto de referência, depois seguimos para a construção de uma “representação do plano cartesiano”, e introduzimos a noção de circunferência para, finalmente, concretizarmos a construção da definição formal do conceito de ângulo. Cabe ressaltar que, para a elaboração das atividades, tivemos como pressuposto que os sujeitos da pesquisa tomavam como sinônimos a medida de ângulo e o conceito de ângulo em si, hipótese esta que foi confirmada no decorrer das atividades propostas, haja vista que os mesmos não tiveram contato com o conceito durante a Graduação. Acreditamos que foi possível auxiliar os futuros professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, principalmente nos seguintes aspectos: reflexão sobre o conceito de ângulo e construção significativa de uma definição formal deste conceito. Constatamos, ainda, que a utilização do computador e, principalmente, da linguagem de programação Logo, foram relevantes para auxiliar os futuros professores na construção do conceito.

Palavras-chave: Formação de Professores, Ensino Fundamental, Informática na Educação, Conceito de Ângulo.

FHIJKMN HO QO ROS TUJQUTKN HO VOS RHWHFFHMHN HOS IKRELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

2

Pedagogia e o uso da linguagem de Programação Logo.Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14 (ISBN 978-85-98092-07-2)

Introdução

O presente trabalho apresenta resultados de uma investigação, realizada por meio de

um projeto de intervenção, proposto na disciplina “Aprendizagem de Conceitos Escolares e

as Tecnologias” do Programa de Pós-Graduação em Educação da Faculdade de Ciências e

Tecnologia – FCT/Unesp – Campus Presidente Prudente. Tal intervenção foi desenvolvida

junto a futuros professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, alunos de cursos

de Pedagogia, e teve por objetivo geral investigar a formação do conceito de ângulo por

meio da linguagem de programação Logo.

Dentre os conteúdos e habilidades de Geometria presentes nos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) das séries iniciais do Ensino Fundamental (1º e 2º ciclo),

podemos identificar uma variedade que está inerente ao conceito de ângulo. No 1º ciclo

(1ª e 2ª séries iniciais) (BRASIL, 1997), por exemplo, os PCN consideram que os

alunos devem ser capazes de realizar a construção e representação de formas

geométricas como também ter a percepção de semelhanças e diferenças entre elas. Para

tanto, é indispensável que o e aluno tenha a noção de ângulo.

Por outro lado, como enfatiza Lopes (s/d) o conceito de ângulo é necessário para o

estudo de diversos conteúdos que compõem o currículo da Matemática ao longo das

séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio, dentre os quais podemos destacar

o estudo de figuras semelhantes, trigonometria, geometria analítica e espacial. Dessa

forma, não podemos deixar de ressaltar a importância da aprendizagem significativa

deste conceito, tanto nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental, bem como de forma

introdutória no Ensino Infantil. Além disso, diversas atividades profissionais utilizam

ângulos para resolver problemas, como no caso do marceneiro e do pedreiro.

Outro fator determinante para escolha do tema consiste no fato de que a ênfase

dada ao conceito de ângulo, no decorrer da trajetória escolar, tanto no Ensino

Fundamental quanto no Ensino Médio, está basicamente voltada na utilização mecânica

da medida de ângulo para a resolução de problemas, deixando de lado o significado do

conceito de em si, e as diversas idéias que podem ser trazidas por ele, como rotação,

abertura, orientação e direção.

Sabendo que até o momento de nossa intervenção os alunos dos cursos de

Pedagogia, sujeitos deste projeto, ainda não haviam tido contato com o conceito de

XY[\]^_ Y` a` b`c de\aed]_ Y` f`c bYgYXXY^Y_ Y`c []RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

3


ângulo, durante toda a graduação, consideramos que o conhecimento dos futuros

professores em relação ao conceito de ângulo seja originário de suas vivências enquanto

alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Nesse sentido, partimos do pressuposto

que os alunos tomam como sinônimos a medida de ângulo e o conceito de ângulo em si;

como será descrito mais adiante, tal hipótese foi confirmada ao longo das atividades.

A definição de ângulo adotada para esta pesquisa é bastante usual: “Ângulo é a

reunião de duas semi-retas de mesma origem” (IEZZI; DOLCE; MACHADO, 2005, p.

103, 5ª série – 6º ano). Entretanto, a definição de ângulo não é única. Tomando as

definições apresentadas pelos livros didáticos como exemplo, podemos mencionar as

seguintes: “Chama-se ângulo a reunião de duas semi-retas de mesma origem, não

contidas numa mesma reta (não colineares)” (DOLCE; POMPEU, 2005, p. 20), a qual

não considera os ângulos de 0°, 180° e 360°, colocando estes como três casos especiais

de ângulo; e “Consideramos ângulo como a figura formada por duas semi-retas de

mesma origem” (DANTE, 2005, p. 199, 5ª série – 6º ano).

Formação de Conceitos e o Uso do Computador na Educação

O computador pode auxiliar a construção do conhecimento e a compreensão de

conceitos. Praticamente desde sua invenção o computador vem sendo usado na educação,

porém, ao longo dos anos foram surgindo algumas mudanças nas funções que esta máquina

tem desempenhado como auxiliar no processo de aprendizagem. Com essas mudanças, o

computador deixa de ser utilizado apenas para a instrução, ou seja, repassador do

conhecimento, e passa a ser utilizado como auxiliar para a construção de novos

conhecimentos.

Um dos fatores que levaram o computador a assumir esta posição é o fato deste

poder representar o raciocínio do aprendiz. Contudo, pode-se ir além, o computador

pode também executar o raciocínio do aprendiz. A partir de então, Valente (2002) nos

descreve a idéia de ciclo de aprendizagem, tendo como base a linguagem de

programação Logo. Assim, cabe fazermos algumas caracterizações desta linguagem de

programação: simultaneidade entre a aprendizagem dos comandos e representação das

“idéias”; representação formal e execução do raciocínio; representação gráfica e os

registros das descrições feita pelo aprendiz.

hijklmn io po qor stkptsln io uor qivihhimin ior jlRELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

4


Procuramos entender como o aprendiz resolve um problema utilizando a

linguagem de programação Logo, por meio do ciclo de Valente (2002) descrição-

execução-reflexão-depuração. A metáfora utilizada pelo software é ensinar uma

tartaruga a se deslocar. O aluno digita um comando e a tartaruga apresenta uma reposta

gráfica na tela. Há também a possibilidade da elaboração de novos comandos por parte

dos alunos, novos termos e procedimentos.

Quando o aluno se depara com o problema proposto, ele pensa numa maneira de

solucioná-lo e descreve, por meio de uma série comandos, a solução do problema para o

computador. Há a descrição da solução do problema através da linguagem de

programação Logo. A tartaruga executa cada comando, ou seja, o raciocínio do aluno, e

os representa na tela, o que permite ao aluno uma visualização dos procedimentos

executados, sendo possível ao aluno fazer uma reflexão sobre a sua idéia original e o

que foi executado pela tartaruga. O fato do resultado da execução ser através de figura

(Logo Gráfico), facilita a interpretação e reflexão do aluno.

Para Piaget (1995, apud VALENTE, 2002), a reflexão pode levar o aprendiz a três

níveis de abstração: abstração empírica, que permite o aprendiz extrair informações do

objeto ou das ações sobre o objeto; abstração pseudo-empírica, que permite ao aprendiz

deduzir algum conhecimento da ação ou do objeto; abstração reflexionante, da qual

prossegue mudanças conceituais e construção de novos conhecimentos.

Retomando o ciclo, o aluno analisa o resultado obtido. Se o trabalho foi realizado

com sucesso, ou seja, houve a representação desejada, o aluno encerra seu trabalho,

caso contrário, irá depurar o procedimento descrito. A depuração pode ser realizada de

três formas distintas, sobre um conceito teórico envolvido no problema, sobre as

estratégias utilizadas pelo aprendiz ou até mesmo sobre a própria linguagem de

programação. Após identificar seu erro, o aluno irá desenvolver uma nova estratégia

para buscar a solução, refletindo sobre suas próprias idéias, e por fim ira iniciar

novamente o “ciclo”.

Durante a realização de todas as etapas do ciclo, é clara a posição do aluno

enquanto construtor do seu próprio conhecimento, contudo, não podemos deixar de

destacar o papel fundamental do professor, responsável por manter o aluno realizando o

ciclo durante todo o processo de aprendizagem. Para tanto, o professor precisa

wxyz{|} x~ �~ �~� ��z��{} x~ �~� �x�xwwx|x} x~� y{RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

5


compreender as idéias do aprendiz e, sobretudo, saber como atuar no processo de

construção do conhecimento, para intervir de forma adequada nas mais diversas

situações, auxiliando o aluno no processo. (VALENTE, 2002)

Por outro lado, se pensarmos na representação cíclica, tem-se a idéia de repetição

e periodicidade, o que é limitado para a explicação da interação aluno-computador.

Quando o aluno retorna a descrição, não podemos dizer que ele está no mesmo nível

inicial. Na nova descrição ele já absorveu algum conhecimento, e até mesmo alguns

conceitos, a partir da primeira realização. Dessa forma, a melhor representação desse

modelo é a “espiral” do conhecimento. (VALENTE, 2002)

Para Piaget, conhecer é algo que se dá a partir da vivência (ação sobre o objeto do

conhecimento). Além disso, esse autor considera que não há conhecimento sem conceitos,

pois o conhecimento parte da ação de uma pessoa sobre o meio em que vive e não ocorre

sem a estruturação do vivido; e as coisas e fatos adquirem significação para o ser humano

quando inseridos em uma estrutura, ocorrendo o que se denomina de assimilação.

(RAMOZZI-CHIAROTTINO, 1988)

Piaget ainda destaca que a capacidade de conhecer é fruto da interação entre o

organismo e o meio, a qual ocorre através do processo de adaptação com dois pólos:

assimilação e acomodação. A assimilação classifica e ordena os objetos, no sentido de

que, na presença de um objeto novo, o sujeito tenta assimilá-lo, aplicando-lhe

sucessivamente todos os esquemas motores dos quais dispõe; e a significação é o

resultado da possibilidade de assimilação. (RAMOZZI-CHIAROTTINO, 1988)

A acomodação é ocasionada pela variação de um esquema e pressupõe uma nova

assimilação, ou reinterpretação dos dados anteriores em função dos esquemas

construídos. A adaptação é como a possibilidade de estabelecer trocas entre o

organismo e o meio, e posteriormente envolverá o que Piaget, denomina de abstração

reflexiva, na qual é essencial a presença de desequilíbrios, pois através destes haverá

superação e construções de novos conhecimentos. (RAMOZZI-CHIAROTTINO, 1988)

Para Piaget, o que caracteriza a abstração reflexiva como essência do processo

cognitivo, como explicita Ramozzi-Chiarottino (1988, p. 54), é a “[...] reequilibração

por reconstrução endógena, seguida de ultrapassamento, graças a uma reorganização

com novas combinações, cujos elementos são retirados do sistema anterior [...]”.

Este processo se explica

�� RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

6


[...]em função de toda compreensão progressiva das noções de classe e série, devidas à construção das estruturas mentais e da compreensão das relações repetitórias da natureza que implicam espaço, tempo e noção de vínculo causal. Trata-se de um processo em espiral: o refletir dos conteúdos (observáveis) supõe a intervenção de uma forma, de uma estrutura (reflexão), e os conteúdos assim transferidos a outro plano exigem, por sua vez, a construção de novas formas. Há, assim, uma alternância ininterrupta de forma e conteúdo, sem limites, sem fim e sem começo absolutos. (RAMOZZI-CHIAROTTINO, 1988, p. 56)

Esta espiral, em paralelo ao espiral de aprendizagem apresentado por Valente, que

descreve a construção do conhecimento pelo uso do computador, tem como

característica levar as formas cada vez mais ricas em relação aos conteúdos, num

constante processo de abstração reflexiva que pode determinar estruturas relacionadas

ao pensamento formal (Matemática) ou estruturas relacionadas às regularidades da

natureza (Física). (RAMOZZI-CHIAROTTINO, 1988)

A abstração reflexiva como processo, inicialmente é inconsciente, porém, quando

passa do nível de ação para a conceituação, as reestruturações das representações dão

origem a uma tomada de consciência.

É importante destacarmos que segundo Vygotsky (1991) o professor deve assumir

o papel de mediador, ou seja, ele deve ajudar seu aluno na construção dos

conhecimentos e na resolução de problemas.

Nesse contexto, é importante destacar que para ensinar qualquer tipo de

conhecimento, desde os mais elementares, é essencial pensar que o indivíduo parte de

uma estrutura cognitiva organizada de uma certa forma, podendo conquistar níveis de

equilíbrio mais complexos, por meio do processo de abstração. Para tanto, as atividades

propostas que estimulem o pensamento podem se constituir em mediações significativas

para fazer esse pensamento a avançar.

Objetivo Geral

Investigar a formação do conceito de ângulo, pelos futuros professores dos anos

iniciais do Ensino Fundamental, alunos dos cursos de Licenciatura em Pedagogia da

Faculdade de Filosofia e Ciências, Unesp/Campus de Marília e da Faculdade de Ciência

e Tecnologia, Unesp/Campus de Presidente Prudente, por meio da linguagem de

programação Logo.

�� ¡��¡ �� ¢�� £�� RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

7


Objetivos Específicos

o Desenvolver uma seqüência de atividades para que, através da linguagem de

programação Logo, futuros professores das séries iniciais do Ensino Fundamental

possam construir de forma significativa o conceito de ângulo.

o Possibilitar a futuros professores das séries iniciais do Ensino Fundamental a

oportunidade de refletir sobre o conceito de ângulo, a partir dos seus conhecimentos

prévios acerca do mesmo.

Metodologia e Descrição da Seqüência de Atividades

Esta pesquisa foi desenvolvida junto a dois grupos distintos de futuros professores

das séries iniciais do Ensino Fundamental. O primeiro grupo foi composto por alunos

do curso de Licenciatura em Pedagogia da Faculdade de Filosofia e Ciências –

FFC/Unesp, Campus de Marília. ¤ ¥¦§¨©ª« §¬¨« ®«¯ °«±«¥²« «¬ ³´¨©«¥ ª« °¨¬¥« ªe

Licenciatura em Pedagogia da Faculdade de Ciências e Tecnologia - FCT/UNESP,

Campus Presidente Prudente. Ambos os grupos, formados por, em média, 30 alunos

cada, cursavam uma disciplina denominada “Metodologia do Ensino das Séries Iniciais do

Ensino Fundamental – Matemática”.

Com base no software SuperLogo 3.0, que possui a linguagem de programação

Logo, elaboramos uma seqüência de atividades que teve por objetivo auxiliar os alunos

na construção do conceito de ângulo, buscando elucidar a diferença entre o conceito de

ângulo em si e a medida de ângulo. Para tanto, julgamos necessária a elaboração de

novos comandos auxiliares ao SuperLogo 3.0, (Anexo 1), que enfatizassem apenas a

idéia de “voltas”, já que dentre as primitivas do software que abrangem mudança de

direção, paradireita e paraesquerda, é necessário a especificação da medida do ângulo,

mais especificamente o número em graus.

Tivemos como foco principal a realização de três atividades (Anexo 2),

denominadas da seguinte forma: “Dinâmica do Robô”, “Atividade do Bairro” e

“Atividade da Estrela”. Através desta seqüência de atividades, foi elaborado um

material de apoio, que serviu como referência para os alunos durante a efetivação das

atividades.

µ¶·¸¹º» ¶¼ ½¼ ¾¼¿ ÀÁ¸½ÁÀ¹» ¶¼ Â¼¿ ¾¶Ã¶µµ¶º¶» ¶¼¿ ·¹RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

8


A Atividade do Robô teve por objetivo desenvolver a noção de direção,

lateralidade, rotação e ponto de referência. Mais especificamente, nesta atividade,

tínhamos como objetivo fazer com que os alunos tivessem clareza sobre a idéia de uma

volta, meia volta e um quarto de volta, conceitos necessários para o desenvolvimento da

atividade do Bairro. Buscamos, também, fazer com que tais idéias fossem claras

principalmente quando o aluno deixa de ser seu próprio ponto de referência.

A atividade do Bairro teve por objetivo não só reforçar as noções enfatizadas na

atividade do Robô como também concretizar a noção de um quarto de volta, tomada

como base para a realização da atividade da Estrela. Almejamos, ainda, tornar

perceptível aos alunos que, no decorrer do trajeto da tartaruga, a cada nova mudança de

direção o movimento da mesma era referente ao novo ponto em que ela se encontrava,

ou seja, criar a noção da necessidade do ponto de origem.

A atividade da estrela buscou desenvolver de forma indutiva, a partir de uma

“representação do plano cartesiano”, a idéia da circunferência dividida em 360 partes

iguais para, assim, introduzirmos medidas do ângulo.

Para o desenvolvimento das atividades tivemos um encontro de duas horas e meia

de duração com cada grupo de sujeitos. Devido ao número reduzido de computadores

disponíveis nos laboratórios utilizados, as atividades foram planejadas para serem

realizadas em dupla.

Análise das Atividades, Resultados e Dificuldades Encontradas

De modo geral, os alunos, futuros professores das séries iniciais do Ensino

Fundamental, se mostraram bastante empenhados com as atividades e dispostos a

refletir coletivamente.

A maior dificuldade encontrada, por ambas as turmas, foi desvincular o conceito

de ângulo de sua medida. Logo na primeira atividade, Atividade do “Robô”, o primeiro

comando dado ao robô para que o mesmo realizasse um giro foi a medida de ângulo.

Esta dificuldade permeou boa parte do tempo das atividades, evidenciando para os

alunos o quanto é difícil separar o conceito de ângulo em si, de sua medida.

Durante o desenvolvimento das atividades, foi nítida a ocorrência do ciclo de

aprendizagem de Valente - descrição-execução-reflexão-depuração. Na atividade do

ÄÅÆÇÈÉÊ ÅË ÌË ÍËÎ ÏÐÇÌÐÏÈÊ ÅË ÑËÎ ÍÅÒÅÄÄÅÉÅÊ ÅËÎ ÆÈRELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

9


bairro, por exemplo, o erro mais freqüente, em ambas as turmas, foi no momento de

orientar a tartaruga para “virar a esquina”. Ao invés de solicitar que a tartaruga

realizasse o comando um quarto de volta (seja para direita ou para esquerda), grande

parte dos alunos descreveu o comando meia volta. Houve então, neste momento, um

erro conceitual. Sendo assim, no momento em que a tartaruga girou meia volta e os

alunos perceberam que não havia ocorrido o movimento desejado, ou seja, não era o

resultado esperado, realizaram novamente esta etapa da atividade, havendo uma nova

descrição e, portanto, iniciando assim a formação de um novo ciclo.

Com isso, os alunos puderam vivenciar o que afirma Valente (2002): a análise do

erro e sua correção constituem uma grande oportunidade de entender o conceito

envolvido na resolução do problema em questão; no Logo, o erro deixa de ser uma arma

de punição e passa a ser uma situação que nos leva a entender melhor nossas ações e

conceitualizações.

Na atividade da estrela, os alunos não apresentaram erros conceituais marcantes.

No entanto, foi no decorrer desta atividade, como também ao fim, que a discussão para

a formalização do conceito de ângulo ficou mais acentuada. Solicitamos que os alunos

refletissem sobre os movimentos realizados pela tartaruga para a construção da estrela.

Fomos questionando e discutindo em conjunto até que ficasse claro a todos que o

“trajeto” realizado pela tartaruga, sucessivamente, foi a construção de uma semi-reta, o

retorno à origem, a realização de um “giro” e a construção de uma nova semi-reta.

Coube a nós, mediadores, neste momento, fazer a diferenciação entre reta e semi-reta, já

que grande parte dos alunos, de ambas as turmas, mencionou ter construído retas.

No caso dos alunos do campus de Marília, chegamos a fazer a decomposição da

segunda estrela (ver em ANEXO 2, exercício 3), ou seja, a representação separada de

cada ângulo que compunha a figura, para que os passos realizados para a construção de

cada um deles ficassem mais nítidos.

De modo geral, consideramos que por meio da seqüência de atividades

desenvolvida, foi possível fazer com que os futuros professores construíssem, mesmo

que de forma intuitiva, ou seja, sem necessariamente a descrição de seqüências lógicas,

formais, o conceito de ângulo. Essa construção se deu em conjunto, nós mediadores, os

futuros professores e nosso principal meio de trabalho, o computador. O uso do

ÓÔÕÖ×ØÙ ÔÚ ÛÚ ÜÚÝ ÞßÖÛßÞ×Ù ÔÚ àÚÝ ÜÔáÔÓÓÔØÔÙ ÔÚÝ Õ×RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

10


computador, junto à linguagem de programação Logo, permitiu que os alunos testassem

conjecturas e tirassem conclusões a todo o momento, independentes das atividades que

estavam sendo solicitadas.


Acreditamos que foi possível auxiliar os futuros professores das séries iniciais do

Ensino Fundamental, principalmente nos seguintes aspectos: reflexão sobre o conceito

de ângulo e construção significativa de uma definição formal deste conceito.

Pudemos perceber o quanto às vivências dos futuros professores enquanto alunos

o Ensino Fundamental e Médio estão presentes em suas ações, e ainda, o quanto é difícil

mudar suas concepções acerca de um conceito. A presença de contradições em relação

ao que os alunos já sabiam, em relação ao conceito de ângulo e as noções trabalhadas na

atividade possibilitaram discussões essenciais para a formalização do conceito.

Consideramos que conseguimos fazer com que os futuros professores fossem capazes

de desenvolver atividades referentes ao conceito de ângulo, sem tratar diretamente com

a unidade de medida utilizada para medir o mesmo, o grau.

Através de uma conversa informal questionamos a opinião dos futuros professores

acerca do uso da tecnologia, mais especificamente do computador, para a aprendizagem

do conceito de ângulo. Os mesmos consideraram como positivo o desenvolvimento do

projeto de intervenção, destacando que no uso da linguagem de programação Logo

realmente há a necessidade de “pensar” para a realização das tarefas. Cabe, por fim

ressaltar, que a significativa participação dos alunos, futuros professores, nas atividades

propostas foi uma experiência desafiadora e gratificante para todos os participantes do

projeto, indicando a importância da reflexão sobre o conhecimento pedagógico dos

conteúdos de ensino para a formação de futuros professores.

Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. ParâmetrosCurriculares Nacionais (PCN): matemática. Brasília, DF, 1997.

âãäåæçè ãé êé ëéì íîåêîíæè ãé ïéì ëãðãââãçãè ãéì äæRELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

11


DANTE, L. R. Tudo é Matemática. Ensino Fundamental, v.1, 5ª série. São Paulo: Ática, 2005.

DOLCE, O.; POMPEU, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: geometria plana. Vol.9, 8. ed. São Paulo: Atual, 2005.

IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Realidade: 5ª série. Ensino Fundamental. 5.ed. São Paulo: Atual, 2005.

LOPES, A. J. Ângulos: um ângulo é mais do que duas semi-retas de mesma origem. (s/d)

RAMOZZI-CHIAROTTINO, Z. Psicologia e epistemologia genética de J. Piaget. São Paulo: EPU, 1998. (Temas Básicos de Psicologia. v. 19).

VALENTE, J. A. A espiral da aprendizagem e as Tecnologias de Informação e Comunicação: repensando conceitos. In: JOLY, M.C.R.A. (Org.) A tecnologia no Ensino: implicações para a aprendizagem. São Paulo: Casa do Psicólogo, 2002, p. 15–37.

VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1991.

ñòóôõö÷ òø ùø úøû üýôùýüõ÷ òø þøû úòÿòññòöò÷ òøû óõRELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

12


ANEXO 1

Comandos Auxiliares ao SuperLogo 3.0

1) bairro - utilizado para “chamar” a seguinte representação:

2� �� (pd 360 ou pe 360)

3) meiavoltadireita ou mvd (pd 180)

4) meiavoltaesquerda ou mve (pe 180)

5) umquartodevoltaesquerda ou uqve (pd 90)

6) umquartodevoltadireita ou uqvd (pe 90)

7) umoitavodevoltadireita ou uovd (pd 45)

8) umoitavodevoltaesquerda ou uove (pe 45)

9) umsobredezesseisvoltadireita ou usdvd (pd 22.5)

10) umsobredezesseisvoltaesquerda ou usdve (pe 22.5)

Z�� ZZ�� RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de

13


ANEXO 2

Descrição das Principais Atividades Desenvolvidas

1) Dinâmica do Robô

Esta atividade consistiu na orientação de um “robô” (representado por um dos

alunos), através da descrição de comandos, para a realização de uma tarefa dividida em

duas etapas:

1ª) O “Robô” num ponto fixo, recebendo apenas um comando de rotação – giro

(para direita, para esquerda, uma volta, meia volta, dentre outros);

2ª) O “Robô” passa a receber comandos de deslocamento e giro.

Observação: Nesta primeira atividade, “não foi permitido” utilizar a nomenclatura

formal para medição do ângulo, ou seja, não foi permitido fazer referências a graus. Por

exemplo, o “Robô” não aceitou o comando “gire 90º para a direita”.

2) Atividade do Bairro

A partir da representação abaixo, já pré-programada e nomeada como bairro, o

objetivo era que os alunos dessem orientações à tartaruga para que a mesma fizesse o

trajeto da escola até a casa, e vice-versa, utilizando apenas as primitivas parafrente,

paratrás, useborracha, uselapis, definidas pelo SuperLogo 3.0, e os comandos

auxiliares descritos em Anexo 1.

�� !"#$ �% &% '%( )*!&*)"$ �% +%( '�,��#�$ �%( "RELATTI, M. R. M. e TEIXEIRA, L. R. M. A compreensão do conceito de ângulo por alunos do Curso de Pedagogia e o uso da linguagem de Programação Logo.Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14 (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

3) Atividade da Estrela

Com base na atividade anterior, solicitamos aos alunos que representassem, no

papel, o trajeto realizado pela tartaruga, questionando “movimentos” comuns entre as

representações, fazendo com que os mesmos se prendessem a condição de um novo

centro de origem a cada movimento de giro realizado para “virar” as esquinas. A

partir de então, a idéia foi de que partindo da primeira estrela, ou seja, tendo como base

o um quarto de volta utilizado na atividade anterior, os alunos “dividissem” cada parte

pela metade até chegar à figura da terceira estrela. Criando assim a idéia de círculo,

volta completa, para, então, introduzirmos de forma indutiva a divisão do círculo em

360 partes iguais.

Denominamos esta atividade como sendo atividade da estrela porque esperamos

como representação final dos passos a serem realizados figuras similares às

apresentadas abaixo.

T-.-/0 13 43 53 4 6789:;<=>7 ?7 9@A8@B@6C?7 ?D BE;Fulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)


A CONSTRUÇÃO DO SIGNIFICADO DE FÓRMULAS DE ÁREA DE FIGURAS

GEOMÉTRICAS PLANAS EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA

Rosinalda Aurora de Melo TELES – UFPE ([email protected]

Resumo: Um dos caminhos para verificar a abordagem escolar é via análise de livro didático, pois conforme o MEC (1999), o livro didático de Matemática, assim como os de outras disciplinas curriculares, tem tido grande influência na determinação do saber escolar culturalmente valorizado. Neste trabalho mapeamos em duas coleções de livros didáticos, sob o ponto de vista da Teoria dos Campos Conceituais, a construção do significado das fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo. A análise aponta avanços com relação ao conceito de área enquanto grandeza, dissociação área perímetro e um trabalho significativo com as fórmulas. Porém, levantamos questões relacionadas às justificativas dadas à validade da fórmula da área do retângulo para qualquer domínio numérico; como se dá a extensão dos naturais para os racionais; e se a abordagem tomando sempre como ponto de partida as estruturas multiplicativas, com medidas naturais, está favorecendo a aprendizagem dos alunos. Por outro, a análise também oferece subsídios para fazer conjecturas sobre imbricações entre vários campos conceituais: das grandezas, da geometria, da álgebra, das funções e numérico.

Palavras-chave: Livro Didático, Fórmulas de Área, Imbricações entre Campos Conceituais.

Introdução

Neste artigo discutimos a construção do significado das fórmulas da área do

retângulo, do paralelogramo, do quadrado e do triângulo, em duas coleções de livros

didáticos para o Ensino Fundamental, escolhidas dentre aquelas que possuem boa avaliação

no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), por oferecerem contribuições relevantes

para o Ensino da Matemática e por serem utilizadas em Escolas Públicas e Privadas do

Estado de Pernambuco.

Durante muito tempo a abordagem do conceito de área nos livros didáticos era

restrita à conversão de unidades e ao uso de fórmulas. A construção do significado das

HIJIKL MN ON PN O QRSUVWXY[R \R U]^S]_]Q`\R \a _bWculas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2

Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

fórmulas nem sempre era feito adequadamente. A observação de como as coleções

abordam as fórmulas de área de figuras planas ajuda a destacar aspectos relacionados aos

avanços incorporados nos livros didáticos a partir das Pesquisas em Educação Matemática e

da avaliação do PNLD, e ao mesmo elaborar alguns questionamentos relativos aos limites e

possibilidades das abordagens. Oferece ainda subsídios para fazer conjecturas sobre a

articulação entre vários campos conceituais: das grandezas, da geometria, da álgebra, das

funções e o campo conceitual numérico.

Adotamos como referencial teórico básico a Teoria dos Campos Conceituais. O

conceito tomado como foco ”área de figuras geométricas planas”, considerado por

Bellemain e Lima (2002) como um componente do campo conceitual das grandezas

geométricas.

Os conceitos, segundo Vergnaud (1990), envolvem um conjunto de situações, que

lhes dão significado, um conjunto de invariantes, que podem ser vistos como as

propriedades distintas do conceito, e um conjunto de símbolos, utilizados na representação

do conceito, de suas propriedades, dos procedimentos de resolução dos problemas, etc.

Estes três aspectos dos conceitos não são independentes, mas interligados. No entanto, uma

separação temporária para o estudo e comparação de conceitos pode ser extremamente útil.

Enquanto teoria de referência, o modelo teórico de Vergnaud alerta para a

necessidade de se levar em conta a especificidade dos conteúdos a serem ensinados e, desta

forma, ele vem reforçar o movimento atual em defesa de uma didática de domínios de

conhecimento em oposição à perspectiva tradicional de estabelecimento de uma didática

geral válida para todas as disciplinas. Segundo Vergnaud (1990), um objetivo prioritário na

pesquisa didática é investigar, analisar e classificar, tão exaustivamente quanto possível, as

situações-problema que conferem significação e função a um conceito. Isto permite, em

primeiro lugar, apelar no ensino para uma maior variedade de relações e problemas; em

segundo lugar, aprofundar a epistemologia de um conceito, isto é, principalmente a sua

função (os problemas aos quais ele responde) e a sua radicação (os outros conceitos nos

quais ele se apóia).

Temos a intenção, com esse trabalho, de contribuir para uma compreensão mais

aprofundada da construção do conceito de área de figuras planas na escola e mais

defegh ij kj lj k mnopqrstun vn pwxowywmzvn v{ y|r}ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

3


especificamente da atribuição de significado às fórmulas de área de algumas regiões

poligonais.

As expressões superfícies planas e figuras planas, neste trabalho, são tomadas como

sinônimos e são consideradas modelos matemáticos de faces planas de objetos do mundo

físico. São essas figuras que serão comparadas com relação ao atributo área.

Embora as fórmulas, conforme Bellemain e Lima (2002) façam inevitavelmente parte

do ensino dos conceitos de área e perímetro, na maioria das pesquisas sobre o ensino–

aprendizagem desses conceitos, elas são ora evitadas, ora consideradas com um “mal

necessário”. Os autores, citando Perrin-Glorian (1992 a), afirmam que o uso das fórmulas

parece preponderante, desde a sua introdução, e em geral não se observa um trabalho

conceitual que permita aos alunos construir seu significado.

Procedimento metodológico

Mapeamos, sob o ponto de vista da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD,

1990), conhecimentos que dão suporte às fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do

paralelogramo e do triângulo em duas coleções de livros didáticos para o Ensino

Fundamental:

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2002. IMENES, Luiz Márcio Pereira e LELLIS, Marcelo. Matemática São Paulo: Scipione, 1997.

Optamos por coleções de 5ª a 8ª série, por compreendermos que nelas encontra-se

uma apresentação mais formal das fórmulas, pois conforme as orientações dos PCN nas

séries iniciais deve-se trabalhar a construção do conceito, não necessariamente utilizando

fórmulas, enquanto no ensino médio esperam-se situações de aplicação das fórmulas, uma

vez que já foram apresentadas no ensino fundamental. Não temos a intenção de generalizar,

mas abrir questões que vão subsidiar a construção do nosso instrumento de coleta de dados.

Através da análise das atividades relacionadas à área e das explicações dadas nos

livros didáticos, identificamos aspectos relacionados à construção do significado das

fórmulas de área do retângulo, do quadrado, do paralelogramo e do triângulo, tomando

como referencial a abordagem de área como grandeza (PERRIN-GLORIAN, 1989;

~�� ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

4


BALTAR, 1996). Em decorrência da concepção de área como grandeza, algumas questões

nortearam esta análise:

Em que conhecimentos apóia-se a construção do sentido das fórmulas de área do

quadrado, do retângulo, do paralelogramo e do triângulo nos livros didáticos

analisados? Para responder esta questão identificamos a definição de área e

estratégias utilizadas nas duas coleções, a nomenclatura utilizada para designar

figuras geométricas planas, a seqüência de apresentação das fórmulas para área

de figuras geométricas planas.

Que procedimentos vinculados à abordagem de área como grandeza estão

subjacentes à introdução dessas fórmulas? Decomposição? Recomposição?

Mudança de unidade?

A invariância da área do paralelogramo e triângulos em relação à escolha do

lado tomado como base é explicitada?

A equidecomposição está sendo favorecida?

Qual elemento básico é tomado para decomposição e recomposição das figuras?

Qual a unidade de área? Qual a superfície unitária?

A Construção do Significado das Fórmulas de Área em Livros Didáticos

Com relação aos conhecimentos sobre os quais se apóia a construção do sentido das

fórmulas de área, a análise das atividades relacionadas à área e das explicações dadas nas

duas coleções mostrou que os autores definem área principalmente como “a medida de uma

superfície”; “a área de uma região plana é igual ao número de unidades necessárias para

cobrir essa região” (DANTE, 2002, p. 268, v. 6). E destacam a importância de sabermos

calcular a área de uma superfície, pois, por exemplo, para pintar uma casa, para colocar um

carpete nos cômodos, o orçamento é feito com base no cálculo de áreas. Sendo assim

evidencia-se nas definições apresentadas a articulação entre o quadro geométrico e o

quadro numérico.

Conforme os autores, “para medir uma região do plano ocupada por uma figura

qualquer F, comparamos F com uma unidade de área. O resultado dessa comparação é um

�� ¡¢£¤¥¦§¨©¢ ª¢ ¤«¬£««¡®ª¢ ª¯ °¦±ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

5


número - a área de F – que indicará quantas vezes F contém a unidade de área” (DANTE,

2002, p. 204, V. 8ª série). A medida neste caso é concebida como o par “número unidade”.

Ao analisarmos como os autores fazem para introduzir o conceito de área,

identificamos no volume da 5ª série da coleção de Imenes e Lellis a noção de área

introduzida através da comparação de superfícies quadriculadas – área de um piso coberto

de lajotas. No volume da 7ª série, desta coleção, a idéia apresentada inicialmente é que “a

área aproximada de qualquer figura pode ser calculada contando-se o número de

quadradinhos” (IMENES; LELLIS, 1997, p. 186).

Mesmo na apresentação da definição de área, prevalecendo a idéia do par número

unidade, a verificação mais específica em outros momentos da abordagem mostrou que os

autores trabalham a distinção entre área e figura por meio de atividades, possibilitando a

compreensão que figuras distintas podem ter da mesma área e também a distinção entre

área e número, que são importantes para flexibilização na utilização das fórmulas e

referem-se à construção do conceito de área como grandeza.

Por exemplo, a construção do conceito de área como grandeza é abordada em Dante

(2002) no volume da 5ª série (p. 233) quando sinaliza para a distinção entre a área e o

número, ao propor atividades que levam o leitor a concluir que “o número que expressa a

área de uma superfície depende do tamanho da unidade considerada”.

²³´µ ¶ · ¸³¹º³»¼½¾ ¿ÀÁÂ Á »ÃÄÁÀ¾ Å¸ÆÇÈÉÊ ËÌÌËÊ Íµ Ë33, 5ª série)

Com relação às propriedades das figuras geométricas, Dante (2002), no volume da 7ª

série, no qual apresenta as principais fórmulas de área, revisa propriedades do

paralelogramo: os lados opostos têm mesmo comprimento; os ângulos opostos têm medidas

ÎÏÐÏÑÒ ÓÔ ÕÔ ÖÔ Õ ×ØÙÚÛÜÝÞßØ àØ ÚáâÙáãá×äàØ àå ãæÜçulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

6


iguais; as diagonais cortam-se ao meio; todo paralelogramo apresenta simetria central.

Também a altura do triângulo é explorada por Dante (2002) no volume da 6ª série (pág.

318) e por Imenes e Lellis (1997) no volume da 7ª série. Esta referência às propriedades das

figuras, intimamente ligadas ao campo conceitual da geometria, nos remete a questionar

que outros aspectos deste campo poderiam pertencer às situações que envolvem fórmulas

de área.

Com relação à nomenclatura utilizada, de forma geral, as duas coleções utilizam as

nomenclaturas região e superfície como sinônimos para polígonos e seguem praticamente a

mesma seqüência para apresentação das fórmulas de área, diferindo apenas na quantidade

de figuras escolhidas para serem abordadas em cada série. Por conta desta constatação

adotaremos em nosso texto a seqüência: retângulo – quadrado - paralelogramo – triângulo.

Para a área da região retangular, Dante (2002) chama à memória a informação que “a

área de qualquer região retangular é dada pelo produto da medida do comprimento pela

medida da largura” (DANTE, 2002, p. 269, 6ª série), enquanto que Imenes e Lellis dizem

que “a área de qualquer retângulo é igual à medida de um lado vezes a medida do outro”

(IMENES; LELLIS, 1997, p. 225, 5ª série,). As duas coleções utilizam a idéia da

configuração retangular das estruturas multiplicativas de Vergnaud. Numa das situações

aparece um comprimento não inteiro (4,5 cm), porém, visualmente por contagem de

quadradinhos facilmente se calcula a área da região. O quadrado é tratado como um caso

particular do retângulo.

Já no volume da 5ª série da coleção de Imenes e Lellis aparece a primeira referência à

representação simbólica da fórmula de área do retângulo: cxA è Ò ØÙàå ä éåÛÜä Õ

representa a área do retângulo, c representa a medida de um lado e representa a medida

do outro. Vale ressaltar que a figura aparece numa posição prototípica, ou seja, com o lado

maior paralelo ao quadro (pág. 225).

êëìëíî ïð ñð òð ñ óôõö÷øùúûô üô öýþõýÿýóTüô ü� ÿ�ø�ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

7


Fig. 2 – Fórmula da área do retângulo (IMENES; LELLIS, 1997, p. 225, 5ª série)

Segundo estes autores, a fórmula da área do retângulo também serve para obter a área

do quadrado, porque o quadrado é um caso especial de retângulo – o quadrado é um

retângulo com todos os lados iguais. Novamente as atividades sugerem procedimentos

numéricos. Isto conduz a pensarmos sobre quais conjuntos numéricos estão em jogo a cada

momento. Quais aspectos do campo conceitual numérico relacionam-se às situações

envolvendo fórmulas de área? Por outro lado, tanto Douady e Perrin-Glorian (1989) quanto

Kordaki (2003) destacam que os alunos enfrentam dificuldades relacionadas à introdução

prematura da abordagem quantitativa da área usando fórmulas de área negligenciando uma

abordagem qualitativa que enfatize o conceito de conservação. Esta dificuldade reflete uma

imbricação entre os campos conceituais das grandezas e da geometria.

Dante (2002, p. 204, 8ª série) destaca que “Os matemáticos provaram que, mesmo

que a medida do lado (l ) de uma região quadrada seja um número real (racional ou

irracional) não inteiro, essa fórmula é válida”; ou “Com relação a área de uma região

retangular ele diz que em vez de contar quantas unidades de área estão contidas na região

retangular, basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura” e que os

matemáticos também já concluíram que, “se a medida do comprimento (c) e a medida da

largura ( ) forem números reais não inteiros, é válida a fórmula .. cA ! ” O autor parte do

conhecimento já institucionalizado sobre a fórmula para calcular a área de uma região

quadrada e propõe a demonstração abaixo para fórmula da área da região retangular. Nos

outros volumes da coleção a fórmula de área do quadrado era sempre obtida a partir do

�� ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

8


retângulo, neste volume aparece o contrário: a partir da fórmula do quadrado obtêm-se a

fórmula de área do retângulo, a partir desta a do paralelogramo e a do triângulo.

Fig. 3 – Área de uma região retangular (DANTE, 2002, p. 205, 8ª série)

Para apresentar a área de uma região triangular qualquer, no volume da 6ª e da 7ª

série, Dante (2002) apóia-se no conhecimento adquirido na 5ª série: calcular a área de uma

região triangular quando o triângulo é retângulo. Neste caso, a altura é facilmente

identificada. Já numa região triangular qualquer, o autor recorre à figura do paralelogramo

formada a partir do desenho de regiões triangulares congruentes.

�� ! "# $# %# $ &'()*+,-.' /' )01(020&3/' /4 25+6ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

9


Fig. 4: Fórmula da área de uma região triangular (DANTE, 2002, p. 273, 6ª série)

Neste procedimento identificamos a presença de imbricações entre o campo

conceitual geométrico das grandezas e também algébrico. Ao mesmo tempo em que

precisa, mobiliza conhecimentos referentes às propriedades e características das figuras,

também mobiliza o conceito de área e manipulações simbólicas necessárias para a escrita

das fórmulas.

Ao analisarmos procedimentos vinculados à abordagem de área como grandeza,

subjacentes à introdução das fórmulas, identificamos alguns aspectos que indicam esta

concepção, por exemplo, nas estratégias utilizadas nos livros didáticos para apresentar as

fórmulas de área de figuras planas. Imenes e Lellis (1997) desenvolvem algumas atividades

com o conceito de área sem medição na 5ª e na 6ª série, explorando a comparação de áreas

sem medida, por inclusão, superposição e corte-colagem. Dante (2002) no volume da 5ª

série destaca através dos exercícios, dos exemplos apresentados ou dos textos para leitura, a

possibilidade de figuras diferentes terem mesma área. Assim, evidencia-se nestes

procedimentos que contribuem para a construção pelo aluno da área como grandeza.

Outras estratégias também foram identificadas. Dante no volume da 7ª série faz a

comparação entre duas estratégias para determinação da área de uma região quadrada:

quadriculando-a e contando os quadradinhos – destacamos o aparecimento de quadradinhos

não inteiros (0,5 e 0,25) - ou aplicando a fórmula b x h - mobiliza a multiplicação de

7898:; <= >= ?= > @ABCDEFGHA IA CJKBJLJ@MIA IN LOEPulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

10


números decimais. Não identificamos nos textos dos livros didáticos analisados como os

autores justificam a validade das fórmulas para qualquer domínio numérico. Por exemplo:

como é construída a extensão dos naturais para os racionais, na validade da fórmula de área

do retângulo? Dante (2002), no volume da 8ª série, faz uma tentativa neste sentido,

apoiando-se na álgebra (figura 3).

Como observamos nas duas coleções e em outros estudos, a estratégia principal para

cálculo da área do retângulo é a multiplicação das medidas dos comprimentos dos lados. Há

neste ponto uma forte presença do aspecto numérico, ora utilizando os recursos da estrutura

multiplicativa de Vergnaud, decompondo a figura em quadradinhos, ora aplicando

“tecnicamente” a fórmula base vezes altura. Neste segundo caso, como as medidas são

facilmente identificáveis, a leitura e a interpretação da figura, ou seja, o aspecto geométrico

não se sobressai. Há, porém, a formulação de algumas situações nas quais as medidas são

dadas em função de outras, o que pode conduzir a um procedimento algébrico e/ou

funcional ou simplesmente recair sobre a resolução de equações.

A equidecomposição está sendo favorecida nas abordagens dos livros didáticos, por

exemplo, com relação à construção do significado da fórmula da área do paralelogramo.

Nas duas coleções, fórmula da área de uma região determinada por um paralelogramo é

justificada por meio de corte-colagem, focando a equivalência de áreas.

Também, para iniciar a discussão sobre a área da superfície limitada por um triângulo

retângulo, Dante (2002) sugere a decomposição da “região retangular” em dois triângulos

retângulos, apoiando-se na propriedade do retângulo – 4 ângulos retos, ou seja, a área da

região triangular é igual à metade da área da região retangular; não escreve formalmente: (b

x h) / 2. Há ênfase em medidas inteiras.

Ainda, em Dante (2002, 7ª série), partindo-se de uma figura retangular, usando

recorte e colagens, montam-se outras 4 figuras com a mesma área da primeira e propõe-se

que os alunos façam quatro diferentes. Também por meio da equidecomposição, destacada

na 5ª série, evidencia-se a possibilidade de figuras diferentes terem mesma área.

QRSRUV WX YX ZX Y [\]^_`abc\ d\ ^ef]ege[hd\ di gj`kulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

11


Fig. 5: Equivalência de áreas (DANTE, 2002, , p. 230, 7ª série)

Com relação à explicitação da invariância da área de paralelogramos e triângulos em

relação à escolha do lado tomado como base, destacamos a abordagem de Dante (2002, v.

6) ao propor a determinação da área de um paralelogramo, através da transformação deste

numa região retangular; usa a decomposição e recomposição de figuras, partindo do

pressuposto que o aluno já identifica, no paralelogramo, a altura relativa ao lado tomado

como base, como também a invariância da área neste procedimento. A figura utilizada na

situação é prototípica, conforme caracteriza Santos (2005), ou seja, a base escolhida está na

posição horizontal e a inclinação é para direita. Na figura destacam-se os ângulos retos,

indicando o perpendicularismo da altura em relação à base, mas não aparece de forma

discursiva no texto.

Fig. 6.: Fórmula da área do paralelogramo (DANTE, 2002, p. 272, 6ª série)

Para construir o conceito de área, conforme Baltar (1996), é preciso estabelecer

relações entre as fórmulas de área e de perímetro e os invariantes geométricos da figura. A

lmnmop qr sr tr s uvwxyz{|}v ~v x��w��u�~v ~� ��z�ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

12


autora destaca ainda a necessidade de um trabalho geométrico sobre o tratamento das

figuras em caso não prototípico. Não identificamos em nenhum momento nas duas coleções

a construção das fórmulas com figuras não prototípicas.

No estudo das fórmulas da área dos retângulos, paralelogramos e triângulos, tanto em

Dante (2002) quanto em Imenes e Lellis (1997), a “base” é sempre o lado horizontal da

figura. Esta constatação nos ajuda a questionar sobre quais conhecimentos e procedimentos

que poderão ser mobilizados numa situação envolvendo fórmulas de área se as figuras

forem apresentadas em posições não prototípicas, e até mesmo se elas não forem

apresentadas e os alunos precisarem representá-las.

Ao refletirmos sobre o elemento básico tomado para decomposição e recomposição

das figuras, a figura ou a região fundamental para construção do significado das fórmulas

nas duas coleções analisadas é o retângulo, o que difere da perspectiva apresentada por

Hartshorne (1997) para definição das fórmulas de área, que toma como elemento básico

para decomposição das figuras o triângulo. As duas coleções analisadas para a fórmula do

paralelogramo propõem a transformação desta região numa região retangular, e na fórmula

de área do triângulo, a recomposição de uma região retangular formada por triângulos

congruentes.

Considerações Finais e Possíveis Encaminhamentos:

Sabemos que o desenvolvimento histórico e conceitual da Matemática é uma

construção coletiva e conectada à evolução das civilizações. Desde os egípcios, por

exemplo, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos,

geólogos e arquitetos fazem os seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido,

uma preocupação constante na história da Matemática. Na perspectiva de contribuir para o

processo de ensino aprendizagem da matemática e sem a pretensão de sermos exaustivos,

esta análise nos mostra que livros didáticos notoriamente antenados com os estudos em

Educação Matemática são passíveis de elogios e questionamentos. Elogios no sentido de

destacar os avanços incorporados em suas abordagens com relação ao conceito de área

enquanto grandeza, dissociação área perímetro e um trabalho significativo com as fórmulas.

Porém, levantamos questões relacionadas, por exemplo, às justificativas dadas à validade

�� ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

13


da fórmula da área do retângulo para qualquer domínio numérico? Que tipo de medidas são

adotadas: naturais, inteiras, racionais? Como se dá a extensão dos naturais para os

racionais? Será que esta abordagem tomando sempre como ponto de partida as estruturas

multiplicativas, com medidas naturais, está favorecendo a aprendizagem dos alunos?

Sob a ótica dos campos conceituais, este estudo reforça a necessidade de investigar

radicações e filiações no estudo das fórmulas de área de figuras geométricas planas, que

precisam apoiar-se, por exemplo, nas equidecomposições, na invariância da área, na

extensão dos conjuntos numéricos. Como também confirmou a necessidade de considerar

outros campos conceituais que podem estar relacionados ao estudo das fórmulas. O campo

geométrico por tratar das propriedades e características das figuras geométricas planas; o

campo numérico por conta dos domínios numéricos que podem intervir na situação; o

campo algébrico pelas manipulações simbólicas subjacentes às situações e o campo

funcional onde se exploram relações que são estabelecidas entre as grandezas em jogo nas

situações, conduzindo a pensar em imbricações entre campos conceituais no estudo das

fórmulas de área de figuras geométricas planas.

Referências

BALTAR, Paula Moreira. Enseignement et apprentissage de la notion d’aire de surfaces planes: une étuide de l’acquisition des relations entre lês longueurs et lesaires au collège. Tese (Doutorado em Didática da Matemática). Université Joseph Fourier, Grenoble, 1996.

BELLEMAIN, Paula M. Baltar; LIMA, Paulo Figueiredo. Um estudo da Noção de Grandeza e Implicações no Ensino Fundamental. Natal: SBHMata, 2002.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2002.

DOUADY, Regine; PERRIN-GLORIAN, Marie-Jeanne. Un processus d’apprentissage du concept d’aire de surface plane. Educational Studies in Mathematics. V. 20, n. 4, 1989, p. 387-424.

HARTSHORNE, Robin. Companion to Euclid. A course of geometry, based on Euclid’s Elements and its modern descendants. In: AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY.

¡¢¡£¤ ¥¦ §¦ ¨¦ § ©ª«¬®¯°±ª ²ª ¬³´«³µ³©¶²ª ²· µ¸®¹ulas de área de figuras geométricas planas em livros didáticos de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

Berkeley Mathematics: Lecture Notes (Volume 9). Berkely Center for Pure and Applied Mathematics, 1997.

IMENES, Luiz Márcio Pereira; LELLIS, Marcelo. Matemática: Imenes e Lellis. São Paulo: Scipione, 1997.

KORDAKI, Maria. The effect of tools of a computer microworld on student’s strategies regarding the concept of conservation of area. Educational Studies in Mathematics. n. 52, 2003, p. 177–209.

PERRIN-GLORIAN, Marie-Jeane. Problemes Didactiques liés à l’enseignement des grandeurs. Les cas des aires. In : Actes da 11ª École d’été de Didactique des Mathématiques. La Pensée Sauvage Editions. 2001.

PIRES, C. M. C.; CURI, E.; CAMPOS, T. Espaço e Forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: PROEM, 2000.

SANTOS, Marilene Rosa. Resolução de problemas envolvendo área de paralelogramo:um estudo sob a ótica das variáveis didáticas e do contrato didático. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências). 2005. Universidade Federal Rural de Pernambuco/UFRPE, Recife.

VERGNAUD, Gèrard. La théorie dês champs conceptuels. In: Recherches em Didactique dês Mathématiques. RDM, v. 10, nº 2 ,3. Grenoble, 1990, p. 133–170.

º»º¼½»¾ ¿À ÁÀ Â Á¼ÃÃ»Ã¾ ºÀ ÄÀ ÅÀ ¼ ÆÂÇÈÂÉÊËÌ ÍÌÎ Îéries iniciais: os estudantes gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)


A GEOMETRIA NAS SÉRIES INICIAIS: OS ESTUDANTES GOSTAM, OS

PROFESSORES RESISTEM...

Dalitha Parize COCATO – UFSCar ([email protected]ÏCármen Lúcia Brancaglion PASSOS – UFSCar ([email protected]Ï

Resumo: A pesquisa em questão foi realizada com os alunos de duas turmas de 5º ano (antiga 4ª. série) do Ensino Fundamental. Apesar da reconhecida importância da geometria na formação e desenvolvimento dos indivíduos, seu ensino vem sendo relegado a um segundo plano. Desse modo, esta pesquisa procurou identificar que geometria vem sendo ensinada aos alunos e de que modo esse conteúdo está relacionado com os conhecimentos geométricos de seus professores, definindo-se como problemática: Que relações existem entre os conhecimentos geométricos revelados pelas professoras e as práticas desenvolvidas em suas aulas? Com caráter de pesquisa qualitativa (Estudo de Caso), a coleta de dados considerou diferentes instrumentos, tais como depoimentos das professoras, anotações das observações no diário de campo, documentos de aula e de plano de ensino das professoras, análise das atividades geométricas utilizadas pela professora em suas aulas, questionário respondido pelas professoras e por fim, análise de aulas desenvolvidas pela autora. Com base em algumas reflexões acerca da importância da geometria na história e suas implicações no ensino, do desenvolvimento do pensamento geométrico visto nos estudos de Van Hiele e de como a geometria é tratada no curso de formação de professores das séries iniciais, observou-se que as aprendizagens dos educandos, em geometria, não estão contemplando, nas turmas observadas, as propostas curriculares para o ensino da geometria. Um dos motivos pode ser o pouco conhecimento das professoras sobre o assunto, revelado nos questionários, quando alegaram ausência de geometria na formação inicial. Além disso, observamos que há uma preferência, por parte da gestão escolar, que sejam ensinados outros conteúdos matemáticos, deixando as aulas de geometria em segundo plano. Por outro lado, quando são propostas tarefas diversificadas, verificamos que os estudantes participam ativamente e aprendem satisfatoriamente. Esse estudo nos remete a reflexões sobre como os cursos de formação de professores tem tratado o conteúdo de geometria e sobre o que a escola considera como importante para a formação matemática dos estudantes.

Palavras-chave: Ensino de Geometria, Aprendizagens da Geometria, Formação Matemática de Professores das Séries Iniciais.

Financiamento: PIBIC/CNPq

ÐÑÐÒÓÑÔ ÕÖ ×Ö Ø ×ÒÙÙÑÙÔ ÐÖ ÚÖ ÛÖ Ò ÜØÝÞØßàáâ ãâä äéries iniciais: os estudantes 2gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Esta comunicação apresenta a pesquisa de Iniciação Científica realizada pela

primeira autora, que teve origem nas discussões e reflexões sobre o ensino da geometria

ocorridas durante a disciplina de Metodologia e Prática de Ensino de Matemática, no

curso de Pedagogia da Universidade Federal de São Carlos. Nas primeiras tarefas sobre

geometria propostas para a turma, me surpreendi com as dificuldades reveladas pelos

colegas, futuros professores que ensinarão matemática nas séries iniciais. As discussões

foram então remetidas à geometria estudada durante a escolarização básica, quando nos

surpreendemos com declarações de alguns colegas de que a geometria não fez parte do

currículo estudado. As lembranças quase sempre eram relativas à geometria métrica,

como área e perímetro de figuras planas.

O estudo realizado na disciplina evidenciou que entre os matemáticos e

educadores em geral muitas discussões têm sido feitas a respeito da forma com que o

ensino da geometria deveria ser introduzido às crianças. Embora exista um consenso de

que deveria iniciar-se logo que a criança entra na escola, há, entretanto, divergências em

relação aos conteúdos e aos métodos de ensino.

Os aportes teóricos estudados durante a pesquisa de Iniciação Científica indicam

que dentre as razões para essas divergências estaria a multiplicidade de aspectos

relativos ao seu conteúdo e sua inerente complexidade e, portanto, não ser simples

definir um único caminho, linear, hierárquico, desde os seus princípios elementares até

as abstrações e axiomas, a percorrer no ensino em sala de aula.

Passos e Nacarato (2003) enfatizam que durante toda sua vida, as pessoas

interagirão com objetos concretos em um espaço físico. Tanto o real como as interações

podem ser matematizados, isto é, podem ser representados esquematicamente como

entes geométricos. O espaço físico não é a única fonte de matematização, mas sua

importância deve ser ressaltada, desde que os alunos do Ensino Fundamental elaboram

o espaço lógico-matemático a partir das ações que efetuam sobre os objetos concretos

em seu espaço real.

O conhecimento prévio dos alunos aliado às discussões promovidas pelo professor

faz com que os alunos percebam algumas qualidades sensoriais comuns às formas

geométricas. O desenvolvimento de conceitos geométricos é fundamental para o

åæåçèæé êë ìë í ìçîîæîé åë ïë ðë ç ñíòóíôõö÷ ø÷ù ùéries iniciais: os estudantes 3gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

crescimento da capacidade de aprendizagem. Esse crescimento na capacidade de

aprendizagem representa um avanço no desenvolvimento conceitual. Por essa razão é

importante destacar que, quando um aluno observa qualidades sensoriais ou perceptuais

comuns em um número diferente de situações ou objetos, está abstraindo aquela

qualidade da situação total.

Verifiquei ainda que, apesar da reconhecida importância da geometria na

formação e desenvolvimento dos indivíduos, seu ensino vem sendo relegado a um

segundo plano e, muitas vezes, desprezado. Tal constatação foi revelada em Passos

(2000) que se fundamentou em pesquisas que abordam a problemática do ensino da

geometria tanto no Brasil como no exterior.

Consideramos que o conhecimento básico da geometria é fundamental para os

indivíduos interagirem em seu meio. Esse conhecimento compreende conceitos e

propriedades de figuras, relações simples, os quais deveriam ser introduzidos nas séries

iniciais, para que na seqüência de sua escolarização os alunos pudessem compreender

de forma significativa seus fundamentos. Os professores dessas séries precisam

conhecer as idéias fundamentais da geometria e as diferentes maneiras de propiciar

contextos favoráveis que levem os alunos à sua aprendizagem.

As experiências geométricas se apresentam de forma muito espontânea para as

crianças, por meio de atividades naturais de exploração de objetos e do espaço físico em

que elas se desenvolvem. Entretanto, estudos têm revelado que, quando a criança

ingressa na escola, muitas vezes não são oferecidas oportunidades de desenvolver idéias

geométricas que aproveitem o potencial que ela traz consigo.

Passos (2000) enfatiza que a curiosidade, a fantasia e a imaginação, qualidades

típicas das crianças e jovens, constituem-se em fatores fundamentais a serem

considerados no desenvolvimento dos conceitos geométricos. Nesse sentido, não basta

somente “(...) que o professor tenha domínio dos conteúdos matemáticos, mas,

sobretudo, que tenha informações sobre a história de vida de seus alunos e os seus

conhecimentos prévios.” (BITTAR; FREITAS, 2005, p. 31).

Embora os estudos indiquem que a geometria continue, em muitas escolas,

ausente da sala de aula, o interesse pelo ensino da geometria é evidenciado quando se

úûúüýûþ ÿC �C � �ü��û�þ úC �C �C ü �� éries iniciais: os estudantes 4gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

analisa os documentos de Encontros e Congressos em Educação Matemática. Diversas

pesquisas realizadas no Brasil e no exterior têm focalizado o ensino-aprendizagem da

geometria e oferecem elementos importantes para o posicionamento dos educadores

matemáticos perante o ensino da geometria. Andrade (2004) identificou as atuais

tendências didático- pedagógicas para o ensino de geometria no Brasil, considerando o

período de 1987 a 2001 e tendo como referência os Anais dos Encontros Nacionais de

Educação Matemática. Foram identificadas sete categorias para o ensino de geometria:

geometria pelas transformações, relação álgebra e geometria, geometria na perspectiva

curricular e/ou formação de professores, geometria numa perspectiva teórica, geometria

numa perspectiva histórica, geometria experimental e geometria em ambientes

computacionais.

Algumas tentativas no sentido de reverter o quadro de abandono no ensino da

geometria têm sido propostas no Brasil, como a que sugere o modelo teórico de

desenvolvimento geométrico de Van Hiele. A Proposta Curricular de Matemática para o

Centro Específico de Formação e Aperfeiçoamento do Magistério - CEFAM e para a

Habilitação Específica para o Magistério – HEM, da Secretaria de Estado da Educação

de São Paulo (1990, p. 117) traz em seu texto esse indicação. A referida proposta

assinala a importância do ensino da geometria na formação do professor das séries

iniciais do Ensino Fundamental,

...para que o futuro professor possa desenvolver em si mesmo e, futuramente, em seus alunos as habilidades de observação, percepção espacial, argumentação, representação gráfica, habilidades lógicas... e interrelacionar o estudo de Geometria com outros campos do conhecimento, instigando idéias, propondo aplicações práticas para que seus alunos possam enfrentar problemas reais que são, em geral, de natureza interdisciplinar. Além disso, mesmo no ensino de números, são empregados modelos geométricos que devem ser dominados; e, por outro lado, esquemas geométricos podem auxiliar a visualização de certos problemas e propriedades.

Apesar disso, o ensino da geometria continua, muitas vezes, ausente da sala de

aula. Pesquisa de Lorenzato (1993) aponta para algumas das causas que estariam

atuando diretamente na sala de aula. O autor pesquisou duzentos e vinte e cinco

professores brasileiros com cerca de dez anos de experiência, que lecionavam nas

�� ! " "éries iniciais: os estudantes 5gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

quatro séries iniciais do Ensino Fundamental, indicando que uma das causas dessa

ausência seria a formação deficiente dos professores. Nessa pesquisa somente 8% dos

professores admitiram que ensinavam geometria aos seus alunos.

Em Passos (2000) são apresentadas reflexões a respeito do conhecimento

geométrico das professoras de cinco classes de 4as. séries que participaram da

investigação e que confirmam, naquele contexto, esse fato. A referida pesquisa tomou

como ponto de partida diversas pesquisas que apontam que os professores, de modo

geral, apresentam padrões de concepções geométricas incorretos. As professoras

participantes, em diferentes momentos, se manifestaram, demonstrando

desconhecimento do assunto, fragilidade do conhecimento geométrico e com

dificuldade em justificar a importância do ensino de geometria para seus alunos. O

resultado disso evidenciou-se pela quase ausência da geometria em suas aulas.

Decorrente das considerações acima convém ressaltar, que não são poucas as

manifestações de dúvidas ou mesmo hesitações que os professores das séries iniciais

têm revelado quando são chamados para uma tomada de decisão nos distintos episódios

inerentes às suas práticas educativas, mais especificamente ao ensino da geometria. Para

muitos ainda não está claro qual a importância do ensino da geometria, ou mesmo, quais

conteúdos devem ser selecionados. As dúvidas são apontadas também quanto à

metodologia que deve ser utilizada e como os alunos devem ser avaliados. Verificou-se

neste estudo essas mesmas hesitações.

Focalizando o ensino de geometria destaca-se a relevância desse domínio na

formação e na ação dos professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, já que o

ensino da geometria resgata os aspectos referentes à relação do indivíduo com o espaço

em que ele está inserido.

Assim, buscou-se nesta pesquisa identificar que geometria vem sendo ensinada

aos alunos de duas salas de aula de 5º ano (antiga 4ª. Série) do Ensino Fundamental de

uma escola da rede pública estadual da cidade de São Carlos-SP e também sobre como

esse conteúdo está relacionado com os conhecimentos geométricos de seus professores.

A investigação procurou estudar a realidade tal como ela é experimentada pelos

professores, tendo assim características de pesquisa qualitativa, podendo ser

#$#%&$' () *) + *%,,$,' #) -) .) % /+01+2345 657 7éries iniciais: os estudantes 6gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

considerada como um Estudo de Caso. Neste tipo de abordagem dá-se especial atenção

à caracterização de um objeto no que ele tem de único e específico, na sua relação com

o contexto e na sua história. (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 19).

A pesquisa foi desenvolvida junto a duas turmas de 5º ano (4ª. Série da escola de 8

anos) do Ensino Fundamental. O critério para a escolha dessa série referiu-se ao fato

dela estar próxima do encerramento dos dois primeiros ciclos do Ensino Fundamental e,

nesse caso, prevê-se, ao longo do ano letivo, o desenvolvimento de conteúdos de

geometria indicados nas Propostas Curriculares compatíveis com a continuidade desse

campo nas séries seguintes. As observações em sala tiveram um tempo de

aproximadamente 8 meses, e se iniciaram no segundo semestre de 2007. Assim sendo,

houve a necessidade de se observar as aulas de duas professoras, pois a Professora J.,

que participou da pesquisa no segundo semestre de 2007, passou a lecionar para uma

turma que não era mais a 5º ano (4ª série da escola de 8 anos) no ano letivo seguinte.

Desse modo, no primeiro semestre de 2008 acompanhamos as aulas da Professora E.

Na coleta de dados foram utilizados diferentes instrumentos, tais como:

depoimentos da professora, anotações das observações no diário de campo, análise de

documentos de aula e de plano de aula, análise de atividades geométricas utilizadas pela

professora em sala de aula e realizadas pela primeira autora. Foram feitas observações

na sala de aula durante as aulas de matemática, tendo como intenção analisar as

atividades geométricas desenvolvidas, e posteriormente, identificar possíveis conexões

entre elas e o conhecimento geométrico das professoras.

Para melhor entendimento do objeto de minha pesquisa - a relação entre os

conhecimentos geométricos e a prática docente da professora - busquei aportes teóricos

nos estudos de Galvéz (1996), Bittar e Freitas (2005), entre outros. Foram considerados

também os estudos de Van Hiele sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico,

que identificou cinco níveis de compreensão na aprendizagem da geometria:

“visualização”, “análise”, “dedução informal”, “dedução formal” e “rigor”. Segundo

esse modelo, os alunos, de acordo com sua maturidade geométrica, estão num destes

níveis de compreensão, e com apoio de um ensino apropriado à sua situação, podem

passar seqüencialmente para os outros níveis superiores.

898:;9< => ?> @ ?:AA9A< 8> B> D> : E@FG@HIJK LKM Méries iniciais: os estudantes 7gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Nas observações realizadas nas duas turmas participantes da pesquisa, verificamos

que na sala da professora J., num número aproximado de 30 aulas de matemática

assistidas, 6 foram dedicadas à geometria. Na sala da professora E., em 10 aulas de

matemática assistidas, apenas algumas atividades de geometria foram realizadas

esporadicamente, sem ter uma aula completa com conteúdos geométricos, exceto aula

ministrada pela primeira autora desta comunicação.

Nas conversas informais com a Professora J., ela disse que achava muito difícil

trabalhar a geometria com seus alunos por este ser um conteúdo muito abstrato. A

professora afirmou este fato constatando ser complicado ensinar as formas geométricas

sem poder mostrá-las concretamente aos seus alunos. Apesar disso, ela apontou que no

primeiro semestre tentou trabalhar os polígonos não somente por meio de desenhos,

como também através de objetos concretos exemplificando principalmente as figuras

tridimensionais.

A Professora J. contou que explicou inicialmente propriedades de polígonos,

entregando uma folha na qual continha o desenho, o nome e uma característica de cada

polígono eleito para aquelas aulas. Ela disse que em seguida, mostrou para a turma os

materiais concretos que representavam as figuras tridimensionais; dentre eles, estavam:

uma caixa de sapato (representando o paralelepípedo), um dado (representando o cubo),

um estojo (representando o cilindro). Ao final, a turma construiu, em papel, com a ajuda

dela, um paralelepípedo e um cubo. A professora J. nos informou que não houve tempo

para estudar as características dessas figuras tridimensionais, exceto o cubo, pois

conseguiu ensinar aos alunos os vértices, as arestas e as faces, através de alguns

exercícios baseados em livros didáticos de matemática. Ao que parece as aulas foram

planejadas considerando apenas o nível da visualização de van Hiele.

Nota-se com isso que a professora permitiu, por meio da construção dessas formas

geométricas, que seus educandos percebessem, por meio da manipulação e construção

do objeto, apenas uma percepção visual do objeto espacial, já que, “O processo de

observação passiva não garante a apreensão das propriedades do objeto.”

(NACARATO; PASSOS, 2003, p. 44).

Contudo, conforme explica Bittar e Freitas (2005), o professor deve tomar muito

NONPQOR ST UT V UPWWOWR NT XT YT P ZV[\V]^_` a`b béries iniciais: os estudantes 8gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

cuidado na escolha desses materiais, deixando claro os objetivos a serem alcançados

com a manipulação dos objetos. Trabalhar com materiais concretos significa “(...)

subsidiar a construção dos conceitos abstratos” (p. 29). Por isso, “O professor é quem

deve selecionar, para cada material escolhido, as atividades matemáticas que julgar

adequadas para seus alunos. (...) nenhum material, por mais rico e sofisticado que seja,

dispensará o trabalho do professor no processo de construção de conhecimentos.”

(BITTAR; FREITAS, 2005, p. 29). Esse é um aspecto que merece outras investigações,

que não é objetivo deste estudo.

As outras aulas de geometria observadas na turma da professora J., tiveram como

característica principal a utilização de desenhos de polígonos na lousa para a explicação

dos conteúdos geométricos. Na aula sobre ângulos, por exemplo, a professora explicou

o que caracteriza um ângulo reto, obtuso e agudo, tomando como referência os tipos de

triângulos (retângulo, isósceles e escaleno), desenhado-os na lousa e escrevendo a

definição de cada ângulo (maior, menor ou igual que 90º). Em seguida, desenhou um

quadrado e perguntou às crianças se existiam ângulos nele; inicialmente, a turma

respondeu que não, depois perceberam que existia o ângulo reto em cada “canto” do

quadrado. Novamente identificamos apenas prevalência dos aspectos visuais do objeto.

Outro fato interessante desta aula é que uma das crianças perguntou à professora

como poderia saber quanto é 90°. A professora não conseguiu responder de prontidão a

pergunta feita pelo aluno, já que a questão significava saber a quantidade exata do valor

de 90°. A professora, então, responde que irá mostrar os 90° no transferidor, ensinando

às crianças a utilizarem os dois tipos de transferidores (de 180 e 360 graus). Notou-se

que as crianças conseguiram manusear o transferidor, porém, sem compreender

exatamente o valor de cada ângulo. Apesar de ter utilizado o transferidor, a professora

poderia ter construído, junto com a turma, com a ajuda de materiais mais concretos,

utilizando dobraduras de um círculo de papel, por exemplo, cada ângulo desejado, como

é indicado na Proposta Curricular de Matemática para o 1o Grau do Estado de São Paulo

e então o aluno poderia compreender que o círculo possui ângulo de 360º.

Já na sala da professora E., as aulas de geometria estavam praticamente ausentes.

Desde o início da inserção da primeira autora nesta sala, a professora havia avisado que

cdcefdg hi ji k jelldlg ci mi ni e okpqkrstu vuw wéries iniciais: os estudantes 9gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

os conteúdos geométricos seriam vistos no segundo semestre, a pedido da direção da

escola, porque a turma encontrava-se atrasada nos conteúdos básicos da matemática,

como, as quatro operações e as tabuadas. O que a professora ensinaria, se caso houvesse

tempo, ainda no primeiro semestre, seria uma noção das formas geométricas durante

esse semestre. Confirmando o que estudamos na revisão bibliográfica.

Observando as aulas de matemática e com base no que foi descrito no diário de

campo, as aulas de matemática, nessa sala, pautaram-se em atividades colocadas na

lousa, com conteúdos como: expressões numéricas, tabuadas, escritas de numerais,

valor relativo do número, gráficos em barras, etc. Deve-se ressaltar que todas estas

atividades estavam voltadas para as avaliações externas realizadas pelo governo

estadual, como o SARESP, por exemplo.

As atividades propostas basearam-se no reconhecimento de figuras simples como

o quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo, por meio de atividades como uma

casinha em forma geométrica e um palhacinho contendo em seu babado estas figuras

geométricas. Os alunos relataram que a professora desenhou as formas na lousa pedindo

para que colocassem o nome de cada uma.

Durante a inserção nas salas de aula em questão, a primeira autora desta

comunicação pôde realizar atividades com as turmas, utilizando conteúdos geométricos.

A atividade proposta para as duas turmas teve como base o livro escrito pela mesma

durante a disciplina Atividade Curricular Integrada de Pesquisa e Extensão (ACIEPE) –

Histórias infantis e Matemática nas séries iniciais, promovida pelo Departamento de

Metodologia de Ensino da UFSCar, e oferecida a alunos dos cursos de Pedagogia,

Matemática e também a professores das escolas.

O livro em questão intitula-se “A Cara Quadrada” e propunha apresentar às

crianças as formas geométricas e sua importância para o mundo, fazendo com que

observassem que a geometria se encontra em muitos lugares, como nas grandes

construções, na construção de pequenos objetos do nosso cotidiano e que também pode

se relacionar com as formas observadas na natureza.

Sendo assim, na sala da professora J., a turma foi dividida em grupos para a

leitura do livro. Primeiramente, os educandos foram questionados se lembravam de

xyxz{y| }~ �~ � �z��y�| x~ �~ �~ z �� éries iniciais: os estudantes 10gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

algumas formas geométricas e eles disseram o nome das figuras, dentre elas, o quadrado

e o círculo. Após a leitura do livro, foi feita uma discussão levantando questões como

quais eram os personagens principais, quais as atitudes e valores contidas no livro e os

alunos chegaram à conclusão de que o livro mostrava a importância das formas

geométricas para o mundo.

Para mostrar as diferenças entre formas geométricas planas e tridimensionais

(triângulo e pirâmide, quadrado e cubo, círculo e esfera, etc.) foram utilizados materiais

concretos. Explicamos que nas formas tridimensionais, se quisermos, conseguimos

colocar objetos dentro delas - o que já não acontece com figuras planas. O interessante é

que com a manipulação desse material concreto, foi possível às crianças responderem

sobre quantidade de faces que cada figura possuía, facilitando o seu entendimento sobre

a diferença entre faces, arestas e vértices.

Discutimos também a presença de formas geométricas na sala de aula e os alunos

apontaram algumas como o círculo (visto no relógio), o retângulo (a forma da lousa),

dentre outros. Depois foram entregues aos alunos o “geoplano”, com “elastiquinhos”

para que cada grupo desenhasse formas geométricas. O que pôde ser notado nesta

atividade é que todas as crianças conseguiram desenhar as formas geométricas,

registrando nas folhas pontilhadas o que haviam feito em grupo.

Na turma da professora E., a atividade foi realizada com algumas modificações. A

atividade realizou-se em apenas uma aula (de 50 minutos) ao contrário da sala da

professora J. que teve uma duração de duas aulas (1 hora e 40 minutos). Fizemos a

leitura do livro em grupos e não foi possível a manipulação de materiais concretos como

foi feito outra turma. Assim, fizemos somente a leitura do livro em grupos, a discussão

sobre o livro e a aplicação da atividade.

Na discussão do livro, as crianças também concluíram que ele mostrava a

importância das figuras geométricas. Todavia, na atividade proposta, que pedia à turma

para que desenhasse no papel quadriculado as formas geométricas que conheciam e que

tinham visto no livro, percebeu-se que a falta da manipulação de materiais concretos

dificultou a aprendizagem dos conceitos geométricos elementares.

O que pôde ser notado é que as turmas participaram muito da atividade e o

�� ¡ ¡éries iniciais: os estudantes 11gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

trabalho com materiais concretos é fundamental para a aprendizagem dos conceitos

geométricos. Observou-se através nos desenhos feitos pelas crianças dessa turma que

elas ainda não conseguem diferenciar principalmente as figuras planas das figuras

tridimensionais, já que a abstração e a generalidade em geometria, conforme explicita

PAIS (1996 apud NACARATO; PASSOS, 2003), são construídos num processo lento e

que envolve a influência do mundo físico e a reflexão do indivíduo sobre este mundo.

Entretanto, aliar Matemática com histórias infantis facilitou a aprendizagem dos

alunos, pois na avaliação das atividades desenvolvidas e do próprio plano de aula,

pudemos perceber que as turmas gostaram muito de ter lido o livro e de ter,

principalmente, trabalhado com materiais concretos, um dos elementos fundamentais no

processo de ensino-aprendizagem de conceitos geométricos. Nesse sentido, “(...) através

da conexão entre literatura e matemática, o professor pode criar situações na sala de

aula que encoragem os alunos a compreenderem e se familiarizarem mais com a

linguagem matemática.” (CÂNDIDO et al, 2007, p. 3).

Com base nas observações realizadas nas duas turmas, verificamos então a

priorização de outros conteúdos matemáticos em detrimento ao de geometria.

Verificamos que os conteúdos geométricos trabalhados foram poucos, salientando-se a

apresentação das formas geométricas, sem especificar necessariamente as figuras planas

e as tridimensionais, os ângulos, os triângulos e os quadriláteros.

Talvez uma explicação para essa priorização deva-se ao fato de que de acordo

com o relato das duas professoras, as turmas em questão estavam com muitas

dificuldades nos conteúdos básicos da matemática, como contas, tabuadas, por exemplo.

Diante disso, a direção da escola solicitou que os professores dedicassem maior atenção

a esses conteúdos, conseqüentemente não sobrando tempo para o ensino de geometria.

Contudo, observou-se que no Plano de Ensino da escola os conteúdos geométricos

aparecem em todos os bimestres, apesar de não terem sido contemplados nas aulas. O

Plano de Ensino da escola apresenta uma proposta do ensino de geometria dividida em

objetivos específicos, procedimentos metodológicos, processo de avaliação e

recuperação e ações de desenvolvimento curricular que aprofunde temas disciplinares e

interdisciplinares em geometria. Dentre os conteúdos apresentados no Plano,

¢£¢¤¥£¦ §¨ © ª ©¤««£«¦ ¢¨ ¬¨ ¨ ¤ ®ª¯°ª±²³´ µ´¶ ¶éries iniciais: os estudantes 12gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

encontram-se: noções de geometria (pontos, retas, seguimentos de retas), quadriláteros,

ângulos, triângulos, tangram, área e perímetro de figuras geométricas, polígonos.

A Proposta Curricular do Estado de São Paulo também traz os conteúdos

indicados no Plano de Ensino da escola, mas que, como pudemos verificar, deixam de

ser trabalhados nas aulas de matemática. A Proposta apresenta a geometria como um

conteúdo denominado “espaço e forma”, esperando que o aluno, ao final do Ciclo I,

desenvolva algumas capacidades e conceitos geométricos. Com o nome de

“expectativas de aprendizagem”, essas capacidades sugerem que o aluno consiga

reconhecer, interpretar e identificar conceitos geométricos, como por exemplo, as faces,

vértices e arestas de poliedros, os polígonos, a simetria e as figuras planas.

Além da priorização de outros conteúdos, nas poucas atividades de geometria

realizadas pelas professoras e também pela primeira autora desta comunicação, as

aprendizagens das crianças ocorridas em sala de aula, podem estar relacionadas com os

conhecimentos geométricos das professoras.

De modo geral, os alunos das duas turmas apresentaram dificuldades em

identificar algumas formas geométricas, principalmente as representações

tridimensionais. As professoras revelaram na entrevista que este fato teria relação com a

ausência de geometria no currículo de seus cursos de formação de professores e isso

culminaria na dificuldade em transmiti-los aos seus educandos. Nos questionários

respondidos, elas pelas elas admitem possuírem conhecimento geométrico insuficiente

acerca do assunto, admitindo a ausência do tema no currículo de formação docente. Nas

respostas pôde ser notado também que as professoras salientam a importância da

geometria na formação do indivíduo, visto que, conforme a resposta da professora E.,

encontramos a geometria no mundo todo, por essa razão é fundamental que seu ensino esteja incluído nos conteúdos a serem trabalhados. Nas construções históricas é possível reconhecer a geometria, bem como a necessidade de entendê-la na matemática, nos cálculos referentes às medidas de lotes, casas e demais situações a fim de situar o aluno na proporção de espaço de seu país, cidade, bairro, etc. A importância da geometria também está em trabalhar a criatividade e desenvolvimento da estimativa visual, ou seja, a criatividade dos alunos e o raciocínio lógico. (PROFESSORA E.)

·¸·¹º¸» ¼½ ¾½ ¿ ¾¹ÀÀ¸À» ·½ Á½ Â½ ¹ Ã¿ÄÅ¿ÆÇÈÉ ÊÉË Ëéries iniciais: os estudantes 13gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Contudo, elas não se colocam como profissionais que também precisa conhecer

esses conceitos para a própria atuação docente.

Outro aspecto relevante é que as professoras confirmam o interesse dos alunos

nessa área, já que a geometria encontra-se não somente na escola, mas no mundo em

que eles vivem. Nesse sentido, elas destacam a importância da utilização de materiais

diversos para a aprendizagem em geometria, atribuindo à dificuldade de ensinar

geometria às condições de trabalho,visto que na escola em questão, há poucos recursos

para as aulas, como o computador, por exemplo.

Algumas considerações

A partir disso, entendemos que a escola é a instituição responsável por colocar o

cidadão em contato com a cultura científica, que nos últimos anos tem entrado em

nossas casas através da televisão, de jornais, revistas, computadores e outros, para que

ele possa compreender o sentido de uma representação gráfica, para que possa

entender pelo menos algumas de suas relações, desenvolvendo e ampliando o

pensamento e os conhecimentos geométricos. Verificamos que os estudantes gostam de

estudar geometria, que eles conseguiram perceber em uma história de literatura infantil

que a língua portuguesa e a matemática podem conviver juntas, que as formas

geométricas foram utilizadas em edificações, em obras de arte. Enfim, conseguimos

com essa pesquisa compreender que há a necessidade veemente de que a geometria

esteja incluída de fato nos cursos de formação dos professores das séries iniciais, bem

como no currículo escolar, visto que, aliado às outras disciplinas, numa relação

interdisciplinar, pode garantir a formação integral do educando, um dos objetivos da

Educação.

Referências

ANDRADE, J. A. A. O ensino da geometria: uma análise das atuais tendências, tomando como referências as publicações nos Anais dos ENEM´S. 2004. Dissertação (Mestrado em Educação) Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação, linha

ÌÍÌÎÏÍÐ ÑÒ ÓÒ Ô ÓÎÕÕÍÕÐ ÌÒ ÖÒ ×Ò Î ØÔÙÚÔÛÜÝÞ ßÞà àéries iniciais: os estudantes 14gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

de pesquisa: Matemática, Cultura e Práticas Pedagógicas. Itatiba, SP; Universidade São Francisco.

ANDRÉ. M. E. D. A e LUDKE, M. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas.São Paulo: Cortez, 1990.

BASTOS, R. Geometria no currículo e pensamento matemático. In Revista Educação e Matemática. n. 52. Lisboa: APM, 1999. Disponível em: http://www.apm.pt/apm/revista/educ52/educa52_2.htmÒ ÎáÔààÙ ÔÚâ ãä åÔ æçßèÙÐ éäääÒ

BITTAR, Marilena; FREITAS, J. L. M. de. Fundamentos e metodologia de Matemática para os ciclos iniciais do ensino fundamental. 2 ed. Campo Grande/MS: Ed. UFMS, 2005.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:terceiro e quarto ciclos: apresentação dos temas transversais. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997.

CÂNDIDO, P. T.; ROCHA, G. H. R.; SMOLE, K. C.; STANCANELLI, R. Era uma vez na matemática: uma conexão com a literatura infantil. 6 ed. São Paulo: CAEM-IME/USP, 2007.

GALVÉZ, G. A Geometria, a psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria na escola primária. In: PARRA, C.; SAIZ, I.. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

LORENZATO, S. Por que não Ensinar Geometria? In: A Educação Matemática em Revista. Ano III, n. 4, 1º semestre, Blumenau: SBEM, 1993.

NACARATO, A. M.; PASSOS, C. L. B. A Geometria nas séries iniciais: uma análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos: Edufscar - Editora da Universidade Federal de São Carlos, v. 1, 151 p., 2003.

NACARATO, Adair M. Educação Continuada Sob a Perspectiva da Pesquisa-Ação:currículo em ação de um grupo de professoras ao aprender ensinando geometria. Tese

êëêìíëî ïð ñð ò ñìóóëóî êð ôð õð ì öò÷øòùúûü ýüþ þéries iniciais: os estudantes gostam, os professores resistem... . Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

15

(Doutorado em Educação). 2000. Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Tradução Portuguesa: APM e Instituto de Inovação Educacional, 1989.

PAIS, L. C. Intuição, Experiência e Teoria Geométrica. In: Zetetiké. Campinas: UNICAMP/FE/CEMPEM. V. 4, n. 6, julho/dezembro, 1996, p. 65-74.

PASSOS, C. L. B. Representações, Interpretações e Prática Pedagógica: A Geometria na Sala de Aula. Tese (Doutorado em Educação). 2000, 348p. Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.

PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da geometria: uma visão histórica. Dissertação (Mestrado em Educação). 1989. Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.

PIAGET, Jean; INHELDER, Barbara. A Representação do espaço na criança. PortoAlegre: Artes Médicas, 1977.

PIRES, C. M.; CURI, E.; CAMPOS, T. M. M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: PROEM, 2000.

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: 1º grau. São Paulo: SE/CENP, 1988.

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos Normas Pedagógicas.Proposta Curricular de Matemática para o CEFAM e Habilitação Específica para o Magistério. São Paulo: SE/CENP, 1990.

USISKIN, Zalman. Resolvendo os dilemas permanentes da geometria escolar. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e Pensando Geometria. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

ÿD�� D� � �� ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 4: Formação de Professores

A IMPORTÂNCIA DOS AMBIENTES DE GEOMETRIA DINÂMICA PARA O

DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO DEDUTIVO EM GEOMETRIA

Mônica Souto da Silva Dias – CEFET Campos ([email protected])

Cileda de Queiroz e Silva Coutinho – PUC SP([email protected])

Resumo: O trabalho que o professor desenvolve em sala de aula com respeito aos conteúdos matemáticos está estritamente relacionado às experiências por ele vivenciadas em seu curso de formação inicial. No que diz respeito ao ensino e aprendizagem de demonstrações, observa-se que o estudo deste tema nos cursos de licenciatura não tem se efetivado de modo adequado para propiciar aos professores em formação condições de elaborar e conduzir situações didáticas sobre o mesmo. Pesquisas afirmam que a Educação Matemática precisa e deve tematizar as demonstrações, discutir suas potencialidades e limitações nos currículos de Matemática da Educação Básica e na formação de professores. Este texto apresenta a descrição e análise parcial de um estudo piloto que integra uma pesquisa de doutorado em Educação Matemática. O objetivo deste estudo é responder à seguinte pergunta: de que modo os ambientes de geometria dinâmica contribuem para o desenvolvimento da argumentação, visando à elaboração de uma demonstração em Geometria, por alunos de ��

em Matemática? O referido estudo constou de uma atividade que foi aplicada a 10 alunos do 5º período de um curso de licenciatura em Matemática em abril de 2008. Tal atividade continha a descrição de uma situação geométrica, em que os alunos deveriam elaborar uma conjectura e desenvolvê-la, tendo como suporte um ambiente de geometria dinâmica. Foi observado que as dificuldades apresentadas inicialmente pelos alunos na elaboração da conjectura e da demonstração, foram vencidas com auxílio dos recursos dos softwares disponibilizados para os alunos. O recurso de movimentação dos pontos–base da construção foi fundamental para assegurar aos alunos propriedades da figura, favorecendo a elaboração de uma conjectura, além de iluminar a construção de estratégias não pragmáticas de demonstração.

Palavras-chave: Demonstrações, Geometria Dinâmica, Formação de Professores.

Introdução

Este texto apresenta a descrição e a análise parcial de um estudo-piloto a respeito

da elaboração de demonstração em Geometria por alunos de ��

Matemática, com auxílio de ambientes de geometria dinâmica. O estudo-piloto é parte

de uma pesquisa de doutorado em Educação Matemática. A questão que norteou este

�� ! �! "# �!$ %&'(�*+&� %! ", -! , �! � ./01234ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

estudo diagnóstico foi: de que modo os ambientes de geometria dinâmica contribuem

para o desenvolvimento da argumentação, visando à elaboração de uma demonstração

em Geometria, por alunos da licenciatura em Matemática? O referido estudo constou de

uma atividade que foi aplicada a 10 alunos do 5º período de licenciatura em

Matemáticai, em abril de 2008.

O professor de Matemática deve construir, em sua formação inicial ou continuada,

um conjunto de conhecimentos matemáticos suficientes para a sua prática profissional

(ministrar aulas) e para a sua formação continuada (desenvolvimento profissional)

(SHULMANN, 1986). Dentre estes conhecimentos, destaca-se a compreensão da

demonstração tanto na Matemática como ciência, quanto na aprendizagem e ensino da

Matemática como disciplina escolar, incluindo a contribuição para a constituição do

raciocínio dedutivo do aluno da Escola Básica, visando seu desenvolvimento cognitivo.

A discussão sobre o papel da demonstração em Matemática sob os aspectos

mencionados no parágrafo anterior, não tem se efetivado nos cursos de licenciatura em

Matemática, na medida necessária para tornar o futuro professor apto a desenvolver em

sala de aula atividades de natureza dedutiva (DOMINGOS; FONSECA, 2008;

GRAVINA, 2001; PIETROPAOLO, 2005; SERRALHEIRO, 2007).

Quadro teórico

Esta investigação está apoiada na classificação das geometrias segundo Parsysz

(2000). Segundo este autor, as geometrias podem ser agrupadas segundo os objetos em

jogo, físicos ou teóricos e segundo os modos de validação, perceptivo ou dedutivo. G0-

Geometria Concreta e G1- Geometria Spatio-gráfica compõem o grupo Geometrias

não-axiomáticas no qual o estudo é calcado nos objetos físicos e a validação ocorre

baseada na percepção. Em G0 são realizadas atividades com materiais didáticos como

maquetes, plantas e dobradura; em G1 os alunos elaboram conjecturas e constatações

por meio da construção de figuras com instrumentos de Desenho Geométrico. G2-

Geometrias Proto-axiomáticas e G3- Geometria Axiomática integram o conjunto das

Geometrias Axiomáticas, nas quais os objetos são teóricos e a validação é dedutiva. A

figura construída em G1 ganha status de figura genérica em G2 e a dedução é aceita

como validação num sistema axiomático; e em G3 o aluno compreende e trabalha em

diferentes sistemas axiomáticos.

56789 :; 8; <= 8;> ?@AB6CE@9 ?; <F G; F 8; 7 HIJKLMNncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Caracterização dos participantes do estudo piloto

Os alunos que participaram do estudo estão no 5º período de um curso de

licenciatura que tem sete períodos, no turno diurno, portanto já cursaram 70% da

graduação. Tais alunos estudaram quatro períodos de Geometria Plana e Espacial

Euclidiana, sabem utilizar os recursos dos ambientes de geometria dinâmica, pois

tiveram um período da disciplina Educação Matemática e Tecnologia, na qual

realizaram um estudo instrumental e pedagógico de vários softwares gratuitos, entre os

quais se incluem Régua e Compasso e Geogebra. Embora não gratuito, os alunos

também utilizam o Cabri-Géomètre II.

Relato da aplicação da atividade

A atividadeii consistiu de duas questões com dois itens cada, resolvida em dois

horários de aula (100 minutos) pela maior parte dos alunos, organizados em 4 duplas

sendo que dois alunos trabalharam individualmente, por escolha própria. Neste trabalho

é apresentada a análise da primeira questão.

A atividade foi entregue a cada aluno em uma folha impressa com as duas

questões. Eles foram orientados pela pesquisadora (que era também a professora) para

resolverem tal atividade utilizando um software de geometria dinâmica de sua

preferência dentre os disponibilizados no laboratório de informática, a saber, Régua e

Compasso, Geogebra e Cabri-Géomètre II. A pesquisadora-professora atuou como

observadora, intervindo apenas quando solicitada pelos alunos, se limitando a responder

dúvidas sem fornecer a estratégia de solução. A primeira questão está transcrita a seguir:

1) Num triângulo qualquer ABC, traça-se a altura AH , o ponto médio

I do lado BC e a reta passando por I, paralela ao AH . Esta reta corta

AB ou AC em J. a) O que se pode afirmar sobre o triângulo BJC? b) Demonstre a sua afirmação elaborada no item anterior.

Desenvolvimento esperado – análise teórica da questão 1

Construir o triângulo ABC, sua altura AH e determinar o ponto I, médio de BC,

para em seguida traçar a reta IJ, paralela à AH, sendo J o ponto de intersecção da reta IJ

com o lado AC ou BC. Em seguida, concluir que o triângulo assim determinado BJC é

isósceles porque J pertence à mediatriz IJ do lado BC, uma vez que IJ foi construída

OPQRS TU RU VW RUX YZ[\P]^ZS YU V_ `U _ RU Q abcdefgncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

pelo ponto médio de BC e é perpendicular a este lado, pois é paralela à altura AH. Por

fim, era esperado que os alunos redigissem tais fatos compondo uma demonstração com

todo o rigor matemático, graças ao nível de escolaridade em que eles se encontram.

Desenvolvimento efetivo da estratégia de resolução da questão 1

Os alunos realizaram a construção solicitada sem dificuldades (figura 1).

higura 1: construção solicitada realizada por uma dupla no software régua e compasso.

Duas duplas não perceberam que o triângulo BJC deveria ser construído, apesar

de terem designado os pontos B, C e J. Nenhum dos grupos, inicialmente, observou que

o triângulo BJC era isósceles. Diante das perguntas de alguns alunos: “Você quer que a

gente diga que o triângulo tem uma altura paralela a altura AH?” ou “que o triângulo é

acutângulo?”, a pesquisadora julgou necessário estimular o raciocínio dos participantes

com perguntas feitas a partir da observação de alguns alunos de que o triângulo era

acutângulo: “O que se pode dizer sobre um triângulo? Ser acutângulo é uma

classificação, existem outras? Movimente os pontos da figura e veja o que vocês podem

observar. O que permanece em qualquer situação?” Após sucessivas deformações da

figura produzidas na tela do computador pelos alunos, as duplas foram, uma a uma,

percebendo que poderia se tratar de um triângulo isósceles. Nota-se que aqui

predominou a apreensão perceptiva, nos termos de Duval (1995), no lugar de uma

mobilização das propriedades adequadas, ou seja, I é ponto médio e pé da altura relativa

a BC, portanto a reta IJ é mediatriz de BC. A pesquisadora perguntou: “Como podemos

ter certeza?” Imediatamente, os alunos mediram os ângulos ou os lados do triângulo

BJC com recursos dos softwares. Com ritmos diferentes de trabalho, todos concluíram

que tal triângulo era isósceles com base nas medições realizadas, ocorrendo uma

jklmn op mp qr mps tuvwkxyun tp qz {p z mp l |}~��ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

validação pragmática que não envolveu a utilização de propriedades, apenas utilizou a

definição de triângulo isósceles (Figura 1).

Os alunos se surpreenderam um pouco com o item b, e isto foi constatado pelas

perguntas que eles fizeram: “É para demonstrar o quê?”, “Você quer que a gente

demonstre que ele é isósceles?” “Mas, como vamos fazer isto?” A pesquisadora nada

respondeu, deixando aos alunos a responsabilidade pelo encaminhamento da

justificativa solicitada. As primeiras tentativas de demonstrações de todos os grupos

constaram de descrição de como concluíram que o triângulo BJC era isósceles, isto é,

afirmaram que ele era isósceles ou porque mediram os lados, ou porque mediram os

ângulos. A pesquisadora os atentou para o fato de que aquelas afirmações não eram

demonstrações, que eles precisavam usar fatos geométricos anteriormente provados,

com base em uma figura genérica e não tomando por base apenas aquele triângulo que

eles haviam construído. Pode-se inferir aqui o que os alunos entendem pelo termo

demonstração: qualquer justificativa, ainda que particularizada, é uma demonstração.

Deste modo, os alunos lembraram-se das demonstrações realizadas em Geometria

I e começaram a elaborar um texto explicativo. A produção dos grupos pode ser

agrupada em três tipos diferentes, segundo a argumentação utilizada. O primeiro tipo

usou a propriedade da mediatriz, ou seja, por construção, a reta IJ (figura 2) é

perpendicular ao segmento BC no seu ponto médio, portanto, esta reta é mediatriz de

BC. Como todos os pontos da mediatriz são eqüidistantes dos extremos do segmento,

deduz-se que o ponto J eqüidista dos pontos B e C, de onde os segmentos JB e JC são

congruentes. Logo, o triângulo JBC é isósceles (Figura 2)

�� software Geogebra.

O segundo tipo baseou-se na congruência de triângulos. Os alunos consideraram

�� ¡ ��¢ £¤¥¦�§¨¤� £� © ª� © �� «¬®¯°±ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

os triângulos BIJ e CIJ (figura 2) e observaram que os segmentos BI e CI eram

congruentes porque I era ponto médio de BC por hipótese, bem como os ângulos BIJ e

CIJ eram congruentes porque JI era perpendicular a BC, também por hipótese, e por

fim, o segmento JI era comum aos dois triângulos. Por meio do caso de congruência de

triângulos ALA (ângulo-lado-ângulo), concluiram que os triângulos BIJ e CIJ eram

congruentes e, conseqüentemente, os segmentos BJ e CJ eram também congruentes, o

que permitiu afirmar que o triângulo BJC era isósceles.

O terceiro tipo, realizado somente por uma dupla usou a implicação “se a altura de

um triângulo coincide com a mediatriz relativa ao mesmo lado, então este triângulo é

isósceles”. Esta dupla considerou o triângulo BJC, sua altura JI e a mediatriz JI do lado

BC, em seguida com base na afirmação acima, concluiu que o triângulo BJC era

isósceles. Esta demonstração realça a natureza axiomática da Geometria, pois para

demonstrar a sua afirmação, a dupla não buscou resultados primeiros como congruência

de triângulos ou, em segunda instância, a propriedade da mediatriz, mas recorreu a uma

afirmação decorrente das anteriores.

É importante ressaltar que apenas os dois alunos que compuseram a dupla citada

no parágrafo anterior lembraram desta implicação. Isto pode ser explicado pelo fato de

que esta afirmação não é ressaltada no corpo da teoria do livro-textoiii que a turma

utilizou nas disciplinas de Geometria já cursadas, mas é dado como exercício em uma

lista. Pode-se inferir que os alunos em geral não dão importância à generalização dos

processos resultantes da resolução de exercícios, ou seja, resolvem as questões por elas

mesmas, objetivando apenas encontrar a resposta para aquele exercício, e não

relacionam a estratégia de resolução ou mesmo o resultado obtido com outras situações

semelhantes (POLYA, 1995). Esta ocorrência é reforçada pelas argumentações

utilizadas pelos demais alunos, pois a congruência de triângulos assim como a definição

e demonstração da propriedade da mediatriz foram temas amplamente estudados, do

ponto de vista teórico, e utilizados em exercícios, quando tais alunos cursaram as

disciplinas de Geometria.

A segunda questão era enunciada do seguinte modo:

2) Trace dois paralelogramos ABCD e AECF .a) O que se pode afirmar sobre o quadrilátero EBFD? b) Demonstre a sua afirmação elaborada no item anterior.

²³´µ¶ ·¸ µ¸ ¹º µ¸» ¼½¾¿³ÀÁ½¶ ¼¸ ¹Â Ã¸ Â µ¸ ´ ÄÅÆÇÈÉÊncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Desenvolvimento esperado – análise teórica da questão 2

Construir os quadriláteros solicitados, sendo que o paralelogramo AECF deveria

ter os vértices E e F fora dos lados de ABCD. E e F sobre os lados seria um caso

particular obtido por meio da movimentação de E ou de F, pois uma vez fixado um

deles, o seguinte seria ponto dependente em decorrência do fato de AECF ser

paralelogramo. Em seguida, observar que o quadrilátero EBFD é um paralelogramo por

meio da medição de seus lados ou de seus ângulos, utilizando recursos do software

escolhido e a movimentação dos pontos para constatar a invariância das propriedades

observadas. A demonstração que os alunos poderiam elaborar utilizaria a propriedade

das diagonais de um paralelogramo, a coincidência de diagonais de ABCD, AECF e

EBFD e a unicidade do ponto médio de um segmento; ou a congruência dos ângulos

opostos; ou a congruência e paralelismo de dois lados opostos, ou ainda a congruência

dos lados opostos, que seriam obtidas por meio da congruência de triângulos

convenientes.

Desenvolvimento efetivo da estratégia de resolução da questão 2

Esta questão é mais complexa do que a primeira questão, pois a demonstração

solicitada requer um encadeamento mais longo de argumentações, o que implica em

maior dificuldade para elaborar um texto com uma redação clara. Assim, a

complexidade cognitiva da atividade foi uma variável didática utilizada, escolhida a

partir da observação da estrutura observada em Gravina (2001). A utilização do

software de geometria dinâmica para auxiliar na seleção dos resultados geométricos a

serem utilizados na demonstração solicitada continua sendo uma variável didática,

assim como na questão 1.

Os alunos realizaram a construção solicitada sem dificuldades (figura 3), mas,

com exceção de um aluno, todos posicionaram os pontos E e F sobre a reta suporte dos

lados AB e CD do paralelogramo, respectivamente. Ao serem interrogados sobre este

procedimento, os alunos responderam que deste modo seria mais fácil demonstrar. A

pesquisadora, então, alertou que eles deveriam considerar uma situação mais genérica

para a demonstração, colocando os pontos E e F fora dos lados do paralelogramo, pois

de outro modo estariam demonstrando para um caso particular. Ainda assim, uma dupla

manteve a primeira configuração. Este comportamento denuncia a incompreensão do

ËÌÍÎÏ ÐÑ ÎÑ ÒÓ ÎÑÔ ÕÖ×ØÌÙÚÖÏ ÕÑ ÒÛ ÜÑ Û ÎÑ Í ÝÞßàáâãncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

papel da demonstração na Matemática como ciência axiomática, em particular da

Geometria, pois os alunos preocuparam-se apenas em encontrar um modo de resolver o

problema (demonstrar o que se estava pedindo) e não com o significado desta resolução

(Figura 3 e Figura 4).

äåæçèé ê: Paralelogramo EBFD construído com os lados sobre as retas suportes dos lados AB e DC do paralelogramo ABCD.

Figura 3: Paralelogramos ABCD, AECF e EBFD construídos por uma dupla no software régua e compasso.

Duas duplas cometeram um erro com relação à ordenação dos nomes dos vértices

do paralelogramo, pois nomearam ACBD no lugar de ABCD, e deste modo EBFD não

seria um paralelogramo. Isto foi detectado pela pesquisadora ao ser solicitada pelas

duplas para esclarecer por que o quadrilátero não apresentava propriedades. Tais duplas

atribuíram o erro a uma distração, pois afirmaram saber que a ordem dos vértices

deveria ser obedecida. É interessante observar o efeito do contrato didáticoiv na dúvida

expressa pelas duplas, pois nenhuma delas cogitou a possibilidade do quadrilátero

EBFD não ter nenhuma propriedade especial. Uma vez que a pergunta foi feita pela

professora, pelo contrato didático ela deve ter uma resposta e que seguramente, não

seria a ausência de propriedades.

Os alunos que não cometeram o erro descrito no parágrafo anterior verificaram

rapidamente da forma descrita na análise teórica da questão, que EBFD era um

paralelogramo, o que foi feito posteriormente pelas duplas que nomearam o

paralelogramo de modo equivocado.

Ao contrário do que ocorreu na questão 1, na qual os alunos não atentaram para a

construção do triângulo JBC, nesta questão, os alunos compreenderam imediatamente

ëìíîï ðñ îñ òó îñô õö÷øìùúöï õñ òû üñ û îñ í ýþÿD��ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

que o quadrilátero EBFC deveria ser construído, embora não tenha sido solicitada

explicitamente no enunciado, a sua construção. Como as questões foram resolvidas uma

imediatamente após a outra, pode-se afirmar que a experimentação realizada na primeira

questão, bem como a vivência do processo de resolução, permitiu que os alunos

desenvolvessem atitudes de investigação matemática, pois até mesmo a estratégia de

demonstração foi determinada com mais rapidez em comparação com a primeira

questão. Nesta, os alunos manifestaram perplexidade ao se conscientizar de que

deveriam demonstrar a afirmação por eles elaborada no item a da referida questão. A

percepção é de que demonstrações constituem algo fora de seu cotidiano acadêmico,

apenas se fazendo presente em aulas expositivas ministradas pelos professores ou em

atividades atreladas a pontuação para fins de rendimento escolar. Foi necessário que a

pesquisadora os alertasse para as características de um texto demonstrativo. Daí em

diante, eles trabalharam na produção da demonstração.

Na segunda questão, os alunos começaram a desenvolver a demonstração

solicitada, sem fazer questionamentos sobre a necessidade desta tarefa. Utilizaram um

período de tempo menor em relação ao empregado para a atividade correlata da

primeira questão, apesar da demonstração da segunda questão exigir um número maior

de argumentações encadeadas.

Apesar da atividade que compõe este estudo ter sido realizada num curto prazo –

100 minutos, os fatos narrados nos dois parágrafos anteriores parecem confirmar que

atividades desta natureza propiciam a desenvoltura na resolução de problemas (POLYA,

1995).

Com relação ao segundo item da segunda questão, o aluno, que chamaremos de

aluno 1, que trabalhava sozinho e uma dupla, que chamaremos de dupla 2, utilizaram

na demonstração solicitada no item b, a propriedade das diagonais de um paralelogramo

e a congruências das diagonais de ABCD e AECF. Este aluno, inicialmente pensou em

demonstrar que os lados opostos eram congruentes, mas desistiu por imaginar que seria

mais simples utilizar congruência das diagonais.

Ao relatar oralmente à pesquisadora como fariam para demonstrar que EBFD era

paralelogramo, o aluno 1 (será identificado como A1) e a dupla 1 (será identificada

como D1) demonstraram segurança em relação aos procedimentos que utilizariam na

demonstração:

�� ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

A1: Nós pensamos em usar a igualdade das diagonais dos paralelogramos, pois temos na figura paralelogramos com diagonais comuns, por exemplo AC é diagonal de ABCD e de AFCE; BD é diagonal de ABCD e de EBFD e EF é diagonal de AFCE e EBFD.

Mas na redação da demonstração, eles omitiram justificativas e conclusões, sendo

bastante sucintos (figura 5 e Figura 6).

� ��!" #$ � %& '( !)'*"�')( !" +','-�-"*,'." #%$&/ �-'( (�intersectam no mesmo ponto P, que é o ponto médio das diagonais.

201 1-Sendo AC e DB as diagonais do paralelogramo ABCD, elas se intersectam no ponto P, que é o ponto médio das diagonais.

3- Como P é ponto médio de DB e EF, e DB e EF se intersectam no ponto P, podemos dizer que DB e EF são as diagonais do paralelogramo EBFD.

Figura 5: demonstração elaborada pelo aluno 1.

01 #$ � 34 (5" !)'*"�')( !" +','-�-"*,'." #3$4/ logo elas se interceptam no ponto médio P. EF e AC são as diagonais do paralelogramo AECF, logo se interceptam no ponto P que é ponto médio de AC, então P é ponto médio de EF também. EF e BD são as diagonais do quadrilátero EBFD, e se interceptam no ponto P, que é ponto médio desses segmentos.

Logo EBFD é paralelogramo.

Figura 6: demonstração elaborada pela dupla 1.

Referindo-se ao texto produzido pelo aluno (figura 5), no item 2, não há

explicação sobre o porquê de P ser também ponto médio de EF, pois ele já assume esta

assertiva, quando deveria afirmar que AC e EF se intersectam em seus respectivos

pontos médios porque são diagonais do paralelogramo AEFC, como P é ponto médio de

AC, pela unicidade do ponto médio, P também é ponto médio de EF. No terceiro item, o

aluno assume que DB e EF intersectam-se no ponto P, mas era necessário provar esta

afirmação, o que poderia ser feito da seguinte forma: DB e EF têm um único ponto de

intersecção porque são diagonais de um quadrilátero convexo, no caso, EBFD, e se o

6789: ;< 9< => 9<? @ABC7EFA: @< =G H< G 9< 8 IJKLMNOncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

ponto P pertence a ambos, uma vez que é ponto médio dos dois, então o tal ponto de

intersecção só pode ser P, e daí, as diagonais de DB e EF de EBFD se intersectam em

seus respectivos pontos médios, logo EBFD é paralelogramo. Estas observações

evidenciam que este aluno ainda não apreendeu, em sua plenitude, o significado de uma

justificativa matemática e, por conseguinte, de uma demonstração.

É possível perceber no texto elaborado pela dupla 1 (Figura 6) omissões na

demonstração apresentada semelhantes as encontradas no texto produzido pelo aluno 1,

havendo uma diferença: a dupla 1 finaliza a demonstração com a frase conclusiva Logo

EBDF é paralelogramo.

O outro aluno, que será identificado por aluno 2, que também trabalhava sozinho,

utilizou a congruência dos triângulos FBC e EDA. Esta opção surgiu em um diálogo

entre a pesquisadora (P) e o aluno (A2), quando a primeira foi solicitada pelo último

para ajudá-lo. Segue o diálogo:

A2: Professora, como posso demonstrar que este quadrilátero é paralelogramo?

P: Quando um quadrilátero é paralelogramo? Qual é a definição de um paralelogramo?

A2: É um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, e os lados e ângulos opostos têm a mesma medida.

P: Então, se você demonstrar que o quadrilátero EBFD tem os lados opostos paralelos, ou os ângulos opostos congruentes ou os lados opostos congruentes, terá demonstrado que EBFD é um paralelogramo.

Observando e movimentando a figura, o aluno responde:

A2: Posso mostrar que os lados opostos têm a mesma medida.

P: Sim, um quadrilátero que tem os lados opostos com a mesma medida é um paralelogramo. Como você pode fazer isto?

O aluno pensa mais um pouco e nada responde.

P: O que você já estudou que envolve demonstrar que lados de uma figura são congruentes?

A2: Congruência de triângulos.

P: OK. Com quais triângulos desta figura (a figura na tela do computador) você vai trabalhar?

A2: Posso trabalhar com os triângulos FBC e EAD porque eles têm os lados FB e ED do paralelogramo.

P: É isso aí. Qual seria o caso de congruência?

PQRST UV SV WX SVY Z[\]Q^_[T ZV W` aV ` SV R bcdefghncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

A2: Pode ser LAL, porque BC é congruente à DA e FC é congruente à EA, pois são lados de paralelogramos.

P: E quais ângulos são congruentes?

A2: Teria que ser .AeC ˆˆ

P: Como você pode provar isto?

O aluno pensa olhando para a figura na tela do computador.

P: Observe os ângulos . O que eles têm em comum? AeC ˆˆ

O aluno continua pensando. A pesquisadora prossegue com perguntas a fim de instigar o raciocínio do aluno.

P: Observe os lados dos ângulos? O que eles têm em comum?

A2: Seus lados são paralelos.

P: Você se lembra de alguma propriedade de ângulos com lados paralelos?

A2: Eles são iguais?

P: Eles podem ser congruentes ou suplementares. Neste caso eles são congruentes.

A2: Então, já temos tudo para fazer esta demonstração.

P: Agora, escreva a sua demonstração.

ijklm lm nopqrstulmv wxy z {i|} nz~lmv

L BC // DA (hip)

| ��zul nzloz~j jrnzoplo} lm qrstulm �lo~jklm �lo kuas retas paralelas ou são suplementares ou são congruentes)

AC ˆˆ

L FC // EA (hip)

Pelo caso de congruência de triângulos LAL, demonstramos que EADFBC ! ! , assim FB ED.

O texto produzido pelo aluno (figura 7) contém os seguintes erros:

- os ângulos e FCB ˆ EAD ˆ foram nomeados de modo incompleto por

e Â respectivamente; C

De maneira análoga, se pegarmos os eDAF! BCE! ,demonstramos que ambos são congruentes. Assim, DF BE.

Esse quadrilátero é um paralelogramo, decorrente da sua definição onde afirma que todo quadrilátero de lados paralelos é paralelogramo.

Figura 7: Texto elaborado por uma dupla. E, demonstração elaborada pelo aluno 2.

�� ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

- A redação do teorema anterior apresenta erro, o correto é “dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou suplementares”; - está escrito que BC // DA e FC // EA, em lugar de e

.DABC

EAFC

Nesta demonstração apresentada pelo aluno 2, os tipos de erros diferem dos

ocorridos na demonstração elaborada pelo aluno 1. As falhas cometidas pelo aluno 2

referem-se a notações incompletas ou, enunciados mal redigidos e confusões entre

notações, enquanto o aluno 1 incorreu em faltas relacionadas à argumentações

corretamente encadeadas e justificadas. Poderíamos inferir que os erros do aluno 1 são

de natureza cognitiva e os do aluno 2, de natureza técnica.

Os demais alunos não escreveram uma justificativa, apenas afirmaram que os

ângulos opostos do quadrilátero EBFD eram congruentes e os lados opostos paralelos,

concluindo assim que EBFD era paralelogramo (Figura 8). Estes alunos ainda serão

interrogados sobre a resposta que apresentaram.

É ��portante ressaltar que os alunos que conseguiram elaborar a demonstração,

tiveram orientação da pesquisadora, por solicitação deles, sob a forma de perguntas que

estimulassem o raciocínio dos alunos. O diálogo entre a pesquisadora e um aluno,

transcrito acima, evidencia este procedimento.

Conclusão

A análise parcial da atividade resolvida pelos alunos permite afirmar que a

utilização de ambientes de geometria dinâmica possibilitou uma verificação imediata da

Como FD�� ˆ ˆ e EDFDFB ˆˆ e os segmentos BE//DF, assim como ED//FB logo o quadrilátero BEDF é paralelogramo.

Figura 8: Texto elaborado pela dupla

�� ¡¢ £¤ ¡¤ ¥¦ ¡¤§ ¨©ª«�¬©¢ ¨¤ ¥® ¯¤ ® ¡¤ °±²³´µ¶ncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

congruência de lados e ângulos de triângulos, por meios de recursos de medidas de

segmentos e ângulos, oferecidos pelos softwares utilizados pelos alunos, a saber, Régua

e Compasso e Geogebra, caracterizando uma validação pragmática.

Outras características da figura, construída pelos alunos na tela do computador,

puderam ser rapidamente identificadas pelos mesmos, tais como a perpendicularidade

entre segmento e reta e a conservação das medidas congruentes de lados e ângulos.

Nestes casos, o recurso de movimentação dos pontos–base da construção foi

fundamental para assegurar aos alunos que o triângulo JBC era isósceles, favorecendo a

elaboração de uma conjectura, além de iluminar a construção de estratégias não

pragmáticas de demonstração.

Não foi observada relação entre a demonstração realizada e o software utilizado

pelo aluno, talvez pelo fato dos recursos utilizados na resolução da questão estarem

presentes na maioria dos softwares desta natureza. O que diferenciou então os

procedimentos foi a familiaridade dos alunos com o software escolhido.

Foi constatado que um grupo de alunos participantes do estudo piloto trabalhou a

geometria poroto-axiomática – G2, e outro grupo, a geometria espaço-grafica – G1,

segundo a classificação de Parzysz. Estas geometrias ainda alternaram-se em fases na

resolução de uma mesma tarefa. Os alunos iniciaram a resolução da questão 1 em G1, e

todos a concluíram em G2. Na segunda questão, os alunos começaram e findaram em

G2. Este comportamento é revelador do fato que estes alunos, futuros professores, a um

ano de estarem formados, após cursarem 2 anos de geometria plana e espacial,

necessitam de um trabalho que lhes permita trabalhar em G2, conseqüentemente tais

alunos não estão mimimamente preparados para desenvolver atividades de cunho

argumentativo em sala de aula.

Referências

DUVAL, R. Sémioses et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels, Peter lang, 1995.

GRAVINA, Maria Alice. Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2001.

·¸¹º» ¼½ º½ ¾¿ º½À ÁÂÃÄ¸ÅÆÂ» Á½ ¾Ç È½ Ç º½ ¹ ÊËÌÍÎÏÐncia dos ambientes de geometria dinâmica para o desenvolvimento do pensamento dedutivo em geometria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

PIETROPAOLO, Ruy Cesar. Re-significar a demonstração nos currículos da Educação Básica e da Formação de Professores de Matemática. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2005.

POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: ARAÚJO, Heitor Lisboa de. 2 reimp. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

SERRALHEIRO, Tatiane Dias. Formação de Professores: conhecimentos, discursos e mudanças na prática de demonstrações. Dissertação (mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2007.

SHULMAN, Lee S. Those who understand knowledge growth in teaching. In: Educational Researcher, n. 2, v.15, 1986, p. 4-14.

Notas

i O curso de licenciatura em Matemática é de uma instituição pública do estado do Rio de Janeiro e tem duração de 7 semestres.

ii Esta atividade foi adaptada do projeto de pesquisa intitulado “O raciocínio dedutivo no processo de ensino e aprendizagem da matemática nas séries finais do Ensino Fundamental”. PUC-SP e CNPq, coordenado pelo Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.

iii DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar:Geometria Plana. 7 ed. São Paulo: Atual, 1993.

iv O contrato didático é uma relação que determina – explicitamente em pequena parte, mas sobretudo implicitamente - aquilo que cada parceiro, professor e aluno, tem a responsabilidade de gerir e pelo qual será, de uma maneira ou de outra, responsável perante o outro. (BROUSSEAU, 1986, p. 51)

ÑÒÓÔÕÑÖ Ô× Ñ× Ø ÙÚÒÓÛÕÖ Ü× Ñ× Ò ÝÞßàáâãä åæâ çØäèØérias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)


A INCLUSÃO DAS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS NA ESTRUTURA

CURRÍCULAR DA EDUCAÇÃO BÁSICA

Talita Secorun dos SANTOS – FECILCAM/UEM ([email protected]ê

Valdeni Soliani FRANCO – UEM ([email protected]ê

Resumo: No final de 2006, a Secretaria do Estado da Educação (SEED) divulgou as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná, nas quais constam os conteúdos estruturantes para o Ensino Fundamental e Médio. Dentro do conteúdo estruturante Geometria aparece o tópico, Noções de Geometrias Não-Euclidianas,para o Ensino Fundamental e, Noções Básicas de Geometrias Não-euclidianas, para o Ensino Médio. Os cursos de Formação de Professores de Matemática, em geral, não tem contemplado em suas estruturas curriculares, estudos das Geometrias Não-euclidianas. Uma das questões que se levanta é, será que o risco que se corre ao se propor o ensino dessas geometrias nessa situação, vale a pena? Neste trabalho, após dois cursos de atualização dados a professores da Educação Básica da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná, tentamos dar respostas iniciais a essa pergunta. Utilizamos para isso observações de comportamento, e questionários respondidos pelos professores durante a realização dos cursos. Por esse meio percebemos que um dos obstáculos que podem ser superados com o estudo das Geometrias Não-euclidianas, é o desconhecimento da própria Geometria Euclidiana. Outros questionamentos são levantados neste artigo em relação a essa inclusão: É importante tal inclusão? É possível que as crianças e adolescentes entendam tais geometrias? Existe material didático disponível para a Educação Básica sobre esse conteúdo, tal que os professores possam consultá-los e apreendê-los? É possível preparar professores rapidamente para que consigam ministrar tal conteúdo? O objetivo central deste trabalho é provocar tais discussões e nos propomos neste artigo dar algumas respostas a essas questões.

Palavras-chave: Geometrias Não-euclidianas; Currículo; Educação Básica.

Desde meados do século XIX as Geometrias Não-euclidianas são conhecidas nos

meios acadêmicos como um saber científico. Mas a escola ainda se prende a conhecimentos

anteriores ao século XIX e continua apresentando aos alunos a Geometria Euclidiana como

a única geometria existente quando se sabe que, na verdade, existem outras também

importantes para a compreensão do espaço em que vivemos, e na maioria das vezes essas

geometrias são desconhecidas pelos professores.

ëìíîïëð îñ ëñ ò óôìíõïð öñ ëñ ì ÷øùúûüýþ ÿSü �òþ�ò�rias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2


... no caso da geometria, uma tradição persistente limita as experiências dos jovens, durante muitos anos – porventura todo o ensino básico e portanto toda a vida para quase todos – a meia dúzia de figuras planas e a meia dúzia dos chamados "sólidos geométricos” (VELOSO, 2008, p. 18).

Quando pensamos na inclusão das Geometrias Não-euclidianas na Educação Básica

alguns questionamentos podem ser feitos, tais como:

É importante tal inclusão?

É possível que as crianças e adolescentes entendam tais geometrias?

Existe material didático disponível para a Educação Básica sobre esse conteúdo, tal

que os professores possam consultá-los e apreendê-los?

É possível preparar professores rapidamente para que consigam ministrar tal

conteúdo?

Sem dúvida respostas a esses questionamentos exigem grandes debates e muitas

discussões. O nosso objetivo é justamente provocar essas discussões, e para isso nos

propomos neste artigo a dar algumas respostas a essas perguntas.

Para começar a responder a primeira pergunta, ou seja, “qual a importância da

inclusão das Geometrias Não-euclidianas nos currículos da Educação Básica?” Observe o

que diz Poincarè

No espaço, conhecemos triângulos retilíneos dos quais a soma dos ângulos é igual a dois ângulos retos; mas conhecemos igualmente triângulos curvilíneos dos quais a soma dos ângulos é menor que dois ângulos retos. A existência de uns não é mais duvidosa que a dos outros. Dar aos lados dos primeiros o nome de retas é adotar a geometria euclidiana; dar aos lados dos últimos o nome de retas é adotar a geometria não euclidiana. Assim, perguntar que geometria convém adotar é perguntar a que linha convém dar o nome de reta (POINCARÈ, 1995, p. 41).

Acreditamos que o estudo das Geometrias Não-euclidianas na Educação Básica pode

provocar discussões importantes sobre o conceito de verdade matemática, levando a um

questionamento sobre as bases que se constroem a matemática e o desenvolvimento do

conhecimento matemático. Além disso o estudo das Geometrias Não-euclidianas só tem a

contribuir para o ensino da Geometria de maneira geral.

�� rias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

3


Defendemos também tal inclusão, porque acreditamos no que afirma Piaget, ou seja,

que as percepções do espaço em que vivemos começam com as topológicas (continuidade,

vizinhança, conexidade, exterioridade/interioridade/fronteira etc), para só depois surgirem

as relações projetivas (projetividades, perspectividades etc) e as relações euclidianas. São

diversos os textos que Piaget se refere a essas construções do espaço pela criança, podemos

citar, Piaget (1975), Piaget e Inhelder (1993), Piaget, Inhelder e Szeminska (1964).

Sendo assim, a exploração consciente da topologia, no ensino e aprendizagem, por

meio de uma linguagem acessível, pode ser feita até o final do Ensino Médio. O mesmo

ocorre com a Geometria Projetiva, que começa com a construção do olhar pela criança, por

meio da perspectiva – desde os anos iniciais do Ensino Fundamental – podendo chegar as

explorações dos principais resultados dessa geometria, por meio de situações-problemas.

Acreditamos que essas três geometrias, auxiliam a construção do espaço pela criança

e pelo adolescente. Sem dúvida a Geometria Elíptica, quando explorada no caso particular

da esfera, amplia o conhecimento desse espaço, já que a superfície em que vivemos é

esférica.

A Geometria Hiperbólica e dos Fractais auxiliam a aquisição de conhecimentos da

própria Geometria Euclidiana e contribuem para se entender melhor a geometria da

natureza e das próprias realizações feitas pelo ser humano.

Enfim, temos observado que ao trabalharmos geometrias tais como Topologia,

Geometria Projetiva, Geometria Esférica, modelos planos e espaciais da Geometria

Hiperbólica e com a Geometria dos Fractais, a compreensão da Geometria Euclidiana é

facilitada.

Quanto a segunda pergunta, não temos dúvida que as crianças e adolescentes

entenderão tais geometrias. Na verdade, muito dos conteúdos de Geometrias Não-

euclidianas já são trabalhadas em sala de aula, muitas vezes até na pré-escola. O que falta é

a consciência do professor que aqueles conteúdos fazem parte das chamadas Geometrias

Não-euclidianas, inclusive, muitas vezes, esses professores não sabem que alguns desses

conteúdos fazem parte da matemática!

Pelo que já afirmamos acima, se percebe que muitos conteúdos da topologia são

trabalhados desde a pré-escola. Além disso, o trabalho constante no Ensino Fundamental,

�� ! �" �" # $%��& ! '" �" � ()*+,-./ 01- 2#/3#4rias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

4


com a preocupação de observar propriedades qualitativas das superfícies bidimensionais ou

mesmo dos sólidos, levará a um melhor conhecimento pelo indivíduo do espaço em que

vive.

Ainda pensando em explorações da Topologia, existem diversos problemas atraentes

que envolvem teoria dos grafos e teoria dos nós que podem ser explorados no Ensino

Médio.

Acreditamos que o trabalho com a Geometria Projetiva, pode começar com

aprendizagem do olhar por meio da perspectiva. No livro de Flores (2007), ela afirma que a

questão central é

...pensar como a técnica da perspectiva linear, ou seja, como a perspectiva central, geométrica, moderna, foi inventada, definida, modificada, reelaborada e diversificada, desmembrando-se em outras técnicas, tais como a perspectiva paralela, cavaleira e constituindo-se, enfim, no modo atual de representar e de olhar as imagens (FLORES, 2007, p. 41).

A opção de Flores (2007) por esse método, substitui as preocupações “habitais

ligados à didática da matemática, às ciências cognitivas ou à epistemologia, a propósito do

como melhorar o ensino e a aprendizagem do desenho e da visualização de figuras

tridimensionais, ou do como os alunos podem aprender a ver as representações planas de

figuras tridimensionais”.

Com essa introdução às técnicas da perspectiva, a própria Geometria Euclidiana

espacial receberá um melhor tratamento quando forem exploradas nas séries finais do

Ensino Fundamental e no Ensino Médio. A Geometria Projetiva poderá ser explorada

ainda, para solução de situações-problemas, por meio de resultados que não são difíceis de

serem compreendidos por alunos do Ensino Médio.

Com Geometria Esférica, pode-se trabalhar interdiciplinarmente com a Geografia,

“formando interconexões entre esses domínios, ao mesmo tempo em que contextualiza os

conteúdos a serem considerados e possibilita uma aprendizagem motivadora, que articule o

objeto de estudo com a realidade” (PATAKI, 2003, resumo).

Pode-se ainda na Geometria Esférica, utilizar softwares geométricos para desenvolver

atividades exploratórias da geometria da superfície esférica, e também explorar com

567895: 8; 5; < =>67?9: @; 5; 6 ABCDEFGH IJF K<HL<Mrias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

5


materiais manipuláveis a própria superfície de um modelo da esfera, exibindo propriedades

de tal geometria.

A Geometria Hiperbólica pode ser explorada no Ensino Médio, por exemplo,

introduzindo os modelos planos de Poincaré ou de Klein, utilizando-se de softwares livres

de geometria dinâmica para suas construções e explorando propriedades que contradizem

resultados da Geometria Euclidiana.

Finalmente, e não citando outras Geometrias Não-euclidianas, podemos falar da

exploração em sala de aula da Geometria dos Fractais, esta sim, já se tem um texto bastante

conhecido de Barbosa (2002). Para responder a terceira questão, podemos citar diversos

trabalhos científicos nacionais e internacionais que estão trilhando nesta direção, basta

entrarmos em um sítio de busca e procurarmos por Geometrias Não-euclidianas e veremos

belos resultados que podem e devem ser explorados na Educação Básica.

Vemos ainda, mesmo que de maneira tímida, alguns livros didáticos colocando

exemplos de tais geometrias. Porém, devido a grande quantidade de trabalhos científicos

produzidos nas academias, não será difícil fazer a transposição didática para os livros de

Educação Básica.

Acreditamos e defendemos que a inclusão das Geometrias Não-euclidianas na

Educação Básica será um grande avanço e que o ensino de tais geometrias só tem a

contribuir para o ensino e aprendizado da Geometria de modo geral. Mas, já respondendo a

quarta questão, não podemos esquecer que são os professores da Educação Básica os

verdadeiros responsáveis pela inclusão de conteúdos na escola. Para isso é necessário que

eles tenham sólido conhecimento sobre o assunto e que defendam e saibam os motivos da

inclusão desse conteúdo. Não adianta governantes e especialistas em educação decidirem

incluir na Educação Básica determinado conteúdo, se o professor não se sentir seguro para

trabalhar com o tema.

O problema da inovação curricular versus produção de saberes docentes apresentam-se em diferentes contextos, nos quais os professores são vistos como meros “implementadores” do que é pensado e elaborado por especialistas. Estes últimos apresentam um conjunto de prescrições que, segundo suas concepções e crenças, constituem as melhores soluções ou

NOPQRNT QU NU V WXOPYRT ZU NU O [\]^_`ab cd` eVbfVgrias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

6


alternativas para enfrentar os problemas gerados pela prática de sala de aula (MELO, 2005, p. 34).

Sendo assim o ponto que acreditamos ser o mais difícil de ser resolvido é a formação

dos professores. Porém,

Este tipo de discussão leva a um questionamento sobre os fundamentos da matemática e a uma visão de como se desenvolve o conhecimento matemático. Desta forma, pressupondo, que um professor de matemática além de dominar conceitos, de conhecer resultados e de saber lidar com a linguagem matemática, deva ser capaz: de relacionar conceitos de diferentes campos desse conhecimento, de refletir sobre os fundamentos da matemática, de perceber as relações desta com outros campos do saber e de perceber o seu dinamismo interno, conduz à conclusão de que um estudo sobre o desenvolvimento histórico e de fundamentos das geometrias não-euclidianas pode contribuir de forma significativa para a formação de professores de matemática (GOBBI, 2008, s/d).

No final de 2006, a Secretaria do Estado da Educação (SEED) divulgou Diretrizes

Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná (PARANA, 2008),

nas quais constam os conteúdos estruturantes para o Ensino Fundamental e Médio. Dentro

do conteúdo estruturante Geometria aparece o tópico, Noções de Geometrias Não-

Euclidianas, para o Ensino Fundamental e, Noções Básicas de Geometrias Não-

euclidianas, para o Ensino Médio.

Tal fato, inicialmente assustou os professores, que viram tal conteúdo ser incluído na

estrutura curricular sem que eles tivessem uma formação mínima para trabalhar com o

tema.

A questão é então, como formar professores em Geometrias Não-euclidianas para que

estes se sintam seguros para trabalhar com seus alunos este tema?

Uma alternativa foi elaborar, em conjunto com o Núcleo Regional de Educação

(NRE) de Maringá, um curso de formação continuada de professores em Geometrias Não-

euclidianas, o mesmo acontecendo com outro NRE de uma região vizinha de Maringá.

Ao propor tais cursos de atualização, a procura foi muito além da nossa expectativa e

possibilidade. Tivemos então que propor o mesmo curso outras vezes para que se

conseguíssemos atingir o maior número possível de professores da rede pública de ensino.

hijklhm kn hn o pqijrlm sn hn i tuvwxyz{ |}y ~o{�o�rias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

7


Passamos a seguir a relatar alguns fatos que temos observado durante tais cursos e o

que nos chamou a atenção.

O curso de Geometrias Não-euclidianas tem dois objetivos principais. O primeiro é

apresentar as Geometrias Não-euclidianas para os professores que conheciam nada, ou

muito pouco sobre o assunto, para que os mesmos se sentissem fortalecidos para discussões

mais aprofundadas em relação ao ensino e aprendizagem de tais geometrias. O segundo é

mostrar a eles, a importância de determinado conteúdo na Educação Básica, mostrando que

as Geometrias Não-euclidianas podem auxiliar inclusive o ensino da Geometria Euclidiana.

O curso se inicia com a apresentação dos cinco axiomas e dos cinco postulados

enunciados nos Elementos de Euclides, para que possamos fazer o mínimo da formalização

necessária para explicar o momento histórico do surgimento das Geometrias Não-

euclidianas. Surpreendentemente ao perguntarmos aos professores quem havia visto alguma

vez a Geometria Euclidiana na forma axiomática, detectamos que ela era desconhecida por

40% dos professores ligados ao NRE de Maringá e por volta de 70% dos professores

ligados ao NRE de Apucarana.

Os professores mostraram estar atentos as mudanças curriculares, já que 80% dos

professores disseram saber que as Geometrias Não-euclidianas foram incluídas nas

Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Estado do Paraná. Apesar de saberem da

inclusão, grande parte deles desconhece o conteúdo e não tem idéias de como se trabalhar

com essas geometrias na Educação Básica. O que se percebe na verdade é que eles têm

grandes dificuldades com a Geometria Euclidiana. Quando questionamos os professores

sobre os que motivos, que na opinião deles, levaram a inclusão das Geometrias Não-

euclidianas nas Diretrizes Curriculares para a Educação Básica, algumas respostas nos

chamaram a atenção:

“Para ampliar os conhecimentos e percepção de mundo. Já que muito pouco do viver se passa no plano.”

Nitidamente se percebe que esse professor tem problemas com a Geometria

Euclidiana, não conseguindo diferenciar a Geometria Euclidiana Plana da Espacial. Outros

professores mostram o mesmo problema ao responder a mesma pergunta.

�� rias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

8


“Não me sinto tão qualificada para falar desse tema, eis ai um dos motivos do curso, porém acredito que a Geometria Não euclidiana veio para dar respostas aos nossos alunos para problemas do seu dia-a-dia que a outra não daria, pois vivemos num mundo esférico e não num mundo plano.”

“Devido à sua importância em explicar as formas da natureza com mais exatidão e clareza do que a Geometria Plana.”

“Com o avanço tecnológico, nossos alunos possuem informações, não somente da Geometria Plana.”

“Vivemos num mundo onde nem tudo é plano e muitas questões da matemática às vezes ficam sem respostas por nós não termos conhecimento desta parte da matemática.”

Nas respostas acima fica nítido que para esses professores a Geometria Euclidiana se

restringe a Geometria Plana. Esse foi apenas um indício que viria a se confirmar nos demais

encontros. Um dos principais obstáculos para o entendimento por parte dos professores das

Geometrias Não-euclidianas é a falta de conhecimento da Geometria Euclidiana,

principalmente da Geometria Espacial. A impressão que esses professores acabaram

passando é que a Geometria Euclidiana Espacial não é uma Geometria Euclidiana. Ou que

na escola não é trabalhado figuras espaciais, apenas figuras planas.

Outro ponto que chama a atenção nas respostas desses professores é o fato deles

acreditarem que partes do mundo onde vivemos é plano. “Vivemos num mundo onde nem

tudo é plano...” Qual a concepção que esse professor tem de plano? Como esse professor

vê o mundo em que vivemos? Como ele trabalha a questão do espaço com seus alunos?

Essas são algumas perguntas que nos fazemos quando lemos respostas como estas.

Certamente esse professor, assim como muitos, trabalham a Geometria Euclidiana Espacial

como um conjunto de fórmulas que servem apenas para calcular áreas laterais e volumes de

figuras espaciais como cubo, prismas, paralelepípedos, esferas, cilindros e cones, não

proporcionando, portanto, ao aluno a compreensão do espaço em que vivemos.

Acompanhando os professores durante todo o curso percebemos que existem muitas

dúvidas, e que grande parte dos professores estão longe de estarem preparados e seguros

para trabalhar com as Geometrias Não-euclidianas, necessitando ainda de mais estudos para

uma melhor compreensão. Isso aparece nas respostas de alguns professores quando

questionados sobre a possibilidade de trabalharem com essas geometrias:

�� ¡ ¢£��¤�� ¥ � � ¦§¨©ª«¬ ®¯« °¡±¡²rias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

9


“Falta mais conhecimentos, mais cursos para aperfeiçoarmos mais, e, passar o conhecimento a eles.”

“Mesmo com esse curso não estou totalmente preparada e segura para transmitir aos alunos, preciso estudar mais.”

“Sei que terei que pesquisar muito, aprofundar mais conhecimentos para poder ajudar os nossos alunos terem uma visão melhor dessas geometrias...”

Com certeza esse curso atingiu os principais objetivos por ele proposto. O primeiro

apresentar as Geometrias Não-euclidianas aos professores da Educação Básica que

conheciam muito pouco, ou nada, sobre essas geometrias. O segundo mostrar a importância

de se trabalhar determinado conteúdo na Educação Básica, auxiliando os professores

inclusive no ensino da Geometria Euclidiana. Isso fica mostrado na resposta do professor:

“...mas considero muito importante ter um bom conhecimento sobre Geometria Euclidiana para então aplicar outra Geometria.”

Conclusões

Conforme se percebe durante toda a fundamentação que demos no desenvolvimento

do trabalho, é que somos totalmente favoráveis a inclusão das Geometrias Não-euclidianas

na Educação Básica e acreditamos que o Estado do Paraná acertou ao incluí-las no atual

momento.

A resposta que tentamos mostrar para a questão “Será que o risco que se corre ao se

propor o ensino das Geometrias Não-euclidianas em um contexto que poucos professores a

conhecem, vale a pena?” é que sim. Principalmente que, no mínimo, os professores estão se

preocupando em conhecer melhor a Geometria Euclidiana para poderem explorar as

Geometrias Não-euclidianas, além do que, procuram buscar de outras formas o aprendizado

dos conteúdos de tais geometrias.

A alternativa de curso para professores, não é a única que está sendo implementada

no Estado do Paraná.

Por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), alguns professores

da Educação Básica são afastados por um ano da sala de aula, se dedicando exclusivamente

a estudos complementares a sua formação e a elaboração de artigos ou textos que em geral

possuem atividades didáticas aplicáveis na Educação Básica (podem ser para alunos ou

professores da Rede Pública de Ensino). No segundo ano, esses professores retornam

³´µ¶·³¸ ¶¹ ³¹ º »¼´µ½·¸ ¾¹ ³¹ ´ ¿ÀÁÂÃÄÅÆ ÇÈÄ ÉºÆÊËÌrias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

10


parcialmente as salas de aulas para implementarem as atividades construídas no primeiro

ano. Aproveitamos esses professores, ditos PDE, e estamos orientando sete deles em

estudos de Geometrias Não-euclidianas.

Uma terceira alternativa que está em prática, é o trabalho de orientação que estamos

realizando com os professores ligados à Secretaria de Estado da Educação (SEED) do

Paraná, sobre Geometrias Não-euclidianas, para que esses possam escrever artigos de

divulgação e ministrarem cursos desses conteúdos.

Referências

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a geometria fractal: para sala de aula. 1 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 142 p., 2002. (Coleção Tendências em Educação Matemática).

FLORES, Cláudia. Olhar, saber, representar: sobre a representação em perspectiva. 1 ed. São Paulo: Musa Editora Ltda, 190p., 2007.

GOBBI, Luciane et al. Tópicos da Geometria Hiperbólica com o Cabri-Géomètre II. Disponível em http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/minicursos/mc63.pdf. ÍÁËÄÄÆ ËÊÎ ÏÐde maio, 2008.

MELO, Gilberto Francisco Alves. Saberes docentes de professores de matemática em um contexto de inovação curricular. In: FIORENTINI, Dario; NARACATO, Adair Mendes (Orgs.). Cultura, formação e desenvolvimento profissional de professores que ensinam. 1 ed. São Paulo: Editora Musa, 2005. Cap. 2, p.33-48.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica: em revisão. uritiba, 2008. Disponível em: Chttp://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/livro_e_diretrizes/diretrizes/diretrizesmatematica72008.pdf. ÍÁËÄÄÆ ËÊÎ ÐÑ ÇË ÒÃÂÓÆÔ ÐÏÏÑÕ

PATAKI, Irene. Geometria Esférica para formação de professores: uma proposta interdisciplinar. 181p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC-SP, São Paulo, 2003.

PIAGET, Jean. Introduccion a la epistemologia genetica: El pensamiento matemático. 1 ed. Buenos Aires: Editorial Paidos, 315p., 1975.

PIAGET, Jean; BARBEL, Inhelder. A representação do espaço na criança. Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.

PIAGET, Jean, BARBEL, Inhelder e SZEMINSKA, Alina. The Child´s conception of geometry. 1 ed. New York: Harper Torchbook, 1964. 411p.

POINCARÉ, Henri. O valor da ciência. 1 ed. Rio de Janeiro: Contra Ponto Editora Ltda, 173p., 1995.

Ö×ØÙÚÖÛ ÙÜ ÖÜ Ý Þß×ØàÚÛ áÜ ÖÜ × âãäåæçèé êëç ìÝéíÝîrias não-euclidianas na estrutura curricular da Educação Básica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

11

VELOSO, Eduardo. Há vida na geometria para além dos prismas, paralelepípedos, cubos, esferas, cilindros e cones. Educação e Matemática: revista da associação de professores de matemática. Lisboa, n. 96, fev. 2008, p. 18-19.

ïðñòóô õö ðö òö ÷ øùñðóúðô ïöõöûö óö ó üýþÿS�ý�ü� ��s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas interdisciplinares. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)


A INFLUÊNCIA DAS PROPOSTAS CURRICULARES NA FORMAÇÃO INICIAL

DE PROFESSORES DE QUÍMICA E MATEMÁTICA: A PRESENÇA DE

DISCIPLINAS INTERDISCIPLINARES

Rafael Innocenti Vieira da SILVA – IB -UNESP, Botucatu ([email protected])Silvia Regina Quijadas Aro ZULIANI - FC – UNESP, Bauru

([email protected])

Resumo: Neste trabalho são discutidas as características das propostas curriculares de um curso de Licenciatura em Química e de um curso de Licenciatura em Matemática, ambos de uma Universidade Pública do Estado de São Paulo. Centrou-se a análise nas ementas das disciplinas com o intuito de saber se estas apresentavam conteúdos que faziam a intersecção entre o conhecimento teórico-científico e o pedagógico, isto é, se possuíam caráter interdisciplinar. Além disso, discutiu-se até que ponto estas disciplinas consideradas interdisciplinares são suficientes para a formação do professor reflexivo/pesquisador. Após estas análises, chega-se a um consenso importante: somente a presença destas disciplinas consideradas interdisciplinares não é suficiente para a formação do professor reflexivo/pesquisador, o que reforça a necessidade de novas pesquisas nesta área.

Palavras-chave: Formação de Professores, Licenciaturas, Projetos Pedagógicos, Matrizes curriculares, Ementas das Disciplinas.

Introdução

No Brasil, como já bastante difundido na literatura, as licenciaturas foram criadas nas

antigas faculdades de filosofia, nos anos 30, como conseqüência da preocupação com a

regulamentação do preparo de docentes para a escola secundária.

Eram separadas em duas seções: Pedagogia e uma Especial. A primeira era constituída

de um curso de pedagogia de 3 anos que fornecia o título de Bacharel em Pedagogia. A

segunda, possuía um curso de didática de 1 ano e que quando cursada por bacharéis dava-

lhes o título de Licenciado. É o famoso 3+1. Importante deixar claro, que os currículos dos

cursos de formação docente organizados desta maneira são conseqüências de todo um

�� s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

2

interdisciplinares. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

contexto histórico-político-social que iniciava no Brasil e que era muito influenciado pelo o

que é denominado, na literatura educacional, de tecnicismo.

Herdeiro do positivismo, este modelo tomou força e importância na época da ditadura

militar onde a idéia era formar especialistas em educação. Na era tecnicista, como o próprio

nome já diz, tanto os profissionais da educação quanto os profissionais em geral eram

formados para serem técnicos ou especialistas que aplicavam regras advindas do

conhecimento científico.

No entanto, a formação docente baseada no modelo da racionalidade técnica se

mostrou incapaz de dar conta da complexidade do ato pedagógico, “ao qual não cabem

receitas prontas nem soluções padrão, por não ser reproduzível e envolver conflitos de

valores” (PÉREZ-GÓMEZ, 1992 apud SCHNETZLER, 2002; SCHÖN, 1983, p. 211).

Em meio aos problemas encontrados no modelo da racionalidade técnica, um modelo

alternativo de formação de professores surgiu nas pesquisas educacionais: o modelo da

racionalidade prática. Neste modelo, o professor não é mais concebido como um mero

aplicador de técnicas de ensino e conhecimento científico, agora “ele é considerado um

profissional autônomo, que reflete, toma decisões e cria durante a sua ação pedagógica”

(PEREIRA, 1999, p. 113). “Ele é considerado um sujeito do conhecimento que desenvolve e

possui sempre teorias, conhecimentos e saberes de sua própria ação” (TARDIF, 2000, p.

119). Portanto, a idéia principal deste modelo é evitar a separação entre a teoria acadêmico-

científica e a prática cotidiana.

Dentro deste novo modelo de formação de professores surgem várias metáforas

alternativas sobre o papel do professor como profissional, como pode ser observado no

Quadro I.

Metáforas AutoresProfessor como investigador Stenhouse

O ensino como arte EisnerO ensino como uma arte moral Tom

O professor como profissional clínico Clark e Griffin O ensino como um processo de planejamento e tomada de decisões Clark e Peterson

O ensino como processo interativo Holmes Group Report O professor como prático reflexivo Shön

Quadro I: Metáforas alternativas sobre o papel do professor como profissional e seus respectivos autores.

�� ! �! �! " #$��%�� ! !&! �! � '(*+,-(.'/ 0/s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

3


Entre estas várias vertentes apresentadas a que vem sendo muito discutida na literatura

educacional é a do professor-reflexivo/pesquisador defendida por vários autores como

Nóvoa, Schön e Zeichner, entre outros. Eles defendem a idéia de que os professores que

atuam na Educação Básica também atuem como pesquisadores, com o intuito de

desenvolvimento profissional e de melhoria da sua prática pedagógica. Esta perspectiva de

formação do profissional reflexivo “propõe que cada indivíduo construa seu próprio

conhecimento profissional, o qual incorpora e transcende o conhecimento que emerge da

racionalidade técnica” (GONÇALVES; PERES, 2002, p. 5). Este modelo da à prática um

papel central na formação de professores.

Mas como formar professores reflexivos? Ou, como viabilizar a construção de tais

características em programas de formação docente? De acordo com a literatura educacional

existem algumas iniciativas importantes, tanto em relação à formação inicial como a

continuada de professores, por exemplo, parcerias entre professores universitários e

professores de ensino médio, os núcleos de pesquisa, as tríades de interação profissional,

entre outras. Estas iniciativas se mostram “como frutíferas possibilidades de minar,

gradativamente, as fortes raízes do modelo da racionalidade técnica” (SCHNETZLER,

2002, p. 220), além de constituírem-se como ótimas perspectivas nos currículos de cursos de

formação inicial e continuada de professores.

E no que tange a questão curricular destes cursos de formação de professores, quais

fatores influenciam a possível superação dos problemas do modelo da racionalidade técnica?

E, além disso, quais as iniciativas existentes no campo do currículo que visam superar estes

problemas?

No campo do currículo as principais críticas são: a ineficácia do modelo tradicional

dos cursos de licenciatura, a rigidez das grades curriculares, a falta de integração entre

disciplinas de conteúdos específicos e de educação, a fragmentação dos conteúdos, a

discriminação de professores e alunos por parte de colegas do curso de bacharelado, e,

principalmente, a falta de integração entre teoria e prática. Diante destas constatações

percebe-se a necessidade da elaboração de um novo modelo nos cursos de licenciatura.

Neste sentido, é importante citar também, quais foram os trabalhos na reestruturação

curricular dos cursos de licenciatura da UNESP. Em maio de 2002, foi instituído junto ao

123456 78 28 48 9 :;325<26 1878=8 58 5 >?@ABC?D>E FEs propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

4


Programa de Coordenação por Áreas do Conhecimento e à Pró-Reitoria de Graduação, uma

Comissão de Formação de Professores, que tem por objetivo colaborar na condução dos

trabalhos de reestruturação curricular dos cursos de licenciatura, de modo a:

I) Propor sugestões para um perfil geral comum de projeto pedagógico e organização curricular dos cursos de licenciatura da UNESP e suas articulações com os bacharelados; II) Assessorar os coordenadores na elaboração dos projetos pedagógicos e das propostas de organização curricular dos cursos de licenciatura. (TANURI et al, 2003, p. 212)

Esta comissão era formada por seis docentes pesquisadores com experiência na área

acadêmica de formação de professores, e que representavam as três grandes áreas: Exatas,

Humanas e Biológicas. Ela procurou mapear e analisar documentos referentes a área de

formação de professores nos mais variados órgãos, instituições e meios de divulgação

científicas, como: MEC, CNE, CEE, UNESP e outras Universidades, ANFOPE, Literatura

na área de Educação, etc.

Portanto, visando assessorar a área e os cursos da UNESP, a comissão elaborou um

documento denominado “Pensando a Licenciatura na UNESP” (TANURI et al, 2003, p.

211), posteriormente encaminhado para a Reitoria. Neste documento são apresentadas

algumas sugestões para reformulação curricular na área de Formação de Professores, por

exemplo, “[...]preservar a qualidade dos cursos de formação de professores, mantendo sua

duração e base teórica sólida, reafirmando a autonomia da universidade pública[...]”,

“[...]construir uma real integração teoria-prática reconfigurando estágios e práticas

[...]”(TANURI et al, 2003, p. 212-227).

Por fim, é de consenso, principalmente no meio acadêmico, que os modelos

tradicionais dos cursos de licenciatura em geral apresentam falhas e que necessitam de

mudanças. Para tanto, existem propostas de investigar novos modelos e concepções de

currículos de licenciatura com vistas a melhorias na formação de professores.

Questões de Pesquisa

Com base nas discussões realizadas até o momento sobre formação de professores em

geral pode-se constatar vários problemas, como a forte presença do modelo da racionalidade

GHIJKL MN HN JN O PQIHKRHL GNMNTN KN K UVWXYZV[U\ ]\s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

5


técnica nos currículos de cursos de formação de professores, nos quais a matriz curricular

apresenta dois caminhos paralelos, que quase nunca se cruzam, a não ser nas disciplinas de

Prática de Ensino, Didáticas Específicas e Instrumentação para o Ensino. Portanto,

considera-se a possibilidade desta característica dissociativa de dois blocos de disciplinas

estanques – específicas/científicas de um lado e pedagógicas de outro – ser uma das

responsáveis pela crise dos cursos de licenciatura.

Contudo, observa-se também, o surgimento de um novo paradigma na formação de

professores, a racionalidade prática, mais especificamente, o modelo do professor

reflexivo/pesquisador. Este modelo “propõe que cada indivíduo construa seu próprio

conhecimento profissional, o qual incorpora e transcende o conhecimento que emerge da

racionalidade técnica” (GONÇALVES; PERES, 2002, p. 5). Consequentemente, a prática

acaba adquirindo papel central na formação destes professores reflexivos/pesquisadores.

Com base neste modelo, já existem vários pesquisadores da área de educação em

ciências como, Schnetzler, Carvalho, Vianna, Tobin, Frazer, Gil-Pérez, entre outros, que

estão “enfatizando o caráter interdisciplinar das disciplinas Didática, Prática de Ensino

Específicas” (SCHNETZLER, 2002, p. 210) e, além disso, “alertando que a integração de

conteúdos pedagógicos com conteúdos específicos não pode se restringir somente a essas

disciplinas” (SCHNETZLER, 2002, p. 210). Com isso, chega-se à alguns questionamentos:

Existem cursos de formação de professores de química e matemática que estão

procurando incluir novas disciplinas de caráter interdisciplinar?

Até que ponto estas disciplinas são suficientes para a formação de um professor

reflexivo/pesquisador?

Tendo como base estas três questões propõe-se a análise do projeto pedagógico de um

curso de Licenciatura em Química e de um curso de Licenciatura em Matemática. Com

relação à escolha destes dois diferentes cursos a serem analisados, levou-se em consideração

alguns pontos cuja ênfase adquire importância neste momento.

O curso de Licenciatura em Matemática em questão, existente desde 1969, passou por

diversos processos de estruturação de acordo com a implantação de novas diretrizes

^_`abc de _e ae f gh`_bi_c ^edeje be b klmnoplqkr srs propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

6


educacionais. Após a Resolução CNE/CP nº.1/2002, de 18.02.2002 e a Resolução CNE/CP

nº2/2002, de 19.02.2002, mais especificamente ano de 2004, foi realizada uma ampla

Avaliação do Curso, iniciada em 2003 com discussões sobre o entendimento das novas

diretrizes para as Licenciaturas e elaboração dos instrumentos de avaliação (BRASIL, 2005,

p. 4,29).

Essa avaliação norteou esta Reestruturação do Curso solicitada pelo Conselho

Nacional da Educação estabelecendo alguns eixos estruturais norteadores: Fundamentos da

Matemática e Prática de Ensino de Matemática, a instrumentação para o ensino, a

fundamentação pedagógica e didática e a participação em atividades complementares de

formação (BRASIL, 2005, p. 4,29).

No que tange o curso de Licenciatura em Química, por ter sido criado no ano de 2002

e recentemente reconhecido pelo MEC, toda sua estrutura curricular ainda pode passar por

modificações. No Projeto Pedagógico do curso encontram-se citações sobre a necessidade

de reformulações curriculares para a adequação à Lei de Diretrizes e Bases No. 9394/96 e

Diretrizes Curriculares para os Cursos de Química, como mostra o trecho abaixo:

Esta proposta refere-se à necessidade de se realizar uma Adequação Curricular para os alunos ingressantes em 2002, 2003 e 2004 para atender o disposto na Lei No. 9394/96 e Diretrizes Curriculares para os Cursos de Química exaradas nas Resoluções: CNE/CP2, de 19 de fevereiro de 2002 e CNE/CES 8, de 11 de março de 2002 e pareceres CNE/CP 27/2001, CNE/CP 28/2001 e CNE/CP 1.303/2001. (BRASIL, 2003, p. 37)

No entanto, percebe-se que a grade curricular deste curso possui uma estruturação que

busca atender a legislação atual somente no que se refere a “distribuição de carga horária

proposta para os cursos de formação de professores da Educação Básica em nível superior

nos incisos I, II, III e IV da Resolução CNE/CP 2/2002” (BRASIL, 2002, p. 1).

Portanto, a partir destas diferenças básicas presentes nos projetos pedagógicos dos

dois cursos no que tange as adequações curriculares às novas legislações e a partir da “maior

experiência de vida” do curso de Licenciatura em Matemática, considera-se de suma

importância a realização de uma análise comparativa mais profunda sobre a atual situação

dos dois cursos para que haja uma efetiva troca de experiências entre os mesmos e,

principalmente, para que seja objetivada uma melhora na formação dos futuros professores.

tuvwxy z{ u{ w{ | }~vux�uy t{z{�{ x{ x �� s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

7


Com isso, decidiu-se analisar as propostas curriculares dos cursos de formação

docente dos dois cursos acima citados, aqui denominados por:

Projeto Pedagógico do Curso de Licenciatura em Química (CLQ);

Projeto Pedagógico do Curso de Licenciatura em Matemática (CLM);

Metodologia de Análise

Levando-se em consideração toda a proposta apresentada anteriormente, nota-se

inicialmente que, se partirmos da idéia de que estes Projetos Pedagógicos trazem consigo

mensagens e conteúdos, então, a Análise de Conteúdo torna-se o instrumento adequado à

busca de respostas para as questões de pesquisa propostas. De acordo com Bardin, "o

objetivo da análise de conteúdo é a manipulação de mensagens (conteúdos e expressão desse

conteúdo), para evidenciar os indicadores que permitam inferir sobre uma outra realidade

que não a da mensagem" (BARDIN, 1995, p. 46).

Um ponto fundamental que deve ser enfatizado neste momento é a presença tanto de

uma abordagem qualitativa quanto de uma abordagem quantitativa nos procedimentos de

análises, pois, neste trabalho, dá-se ênfase tanto à presença, à ausência e a pertinência de

certos elementos, como para a freqüência de aparição dos mesmos. Porém, como o intuito é

fazer um diagnóstico que possibilite levar a efeito inferências e interpretações específicas

sobre uma determinada variável, é dada uma maior ênfase à abordagem qualitativa. Durante

a análise, os dados quantitativos se configuraram apenas como suportes para análise

qualitativa desejada.

Análise da Presença de Disciplinas Interdisciplinares

O critério utilizado para a escolha daquelas disciplinas com caráter interdisciplinar foi

a presença nas ementas de conteúdos específicos com enfoque na questão do ensino ou da

aprendizagem, isto é, disciplinas que tenham conteúdos que tratam sobre o “Ensino de”,

neste caso, o Ensino de Química/Ciências e Matemática. Importante deixar claro, que foram

escolhidas aquelas que trabalhavam qualquer ponto relacionado ao Ensino de

Química/Ciências e Matemática, como por exemplo, “História e o Ensino de”, “Psicologia

�� s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

8


Educacional e o Ensino de”, “Processo de Ensino-aprendizagem no Ensino de”, “Avaliação

no Ensino de”, “Instrumentação e Experimentação para o Ensino de”, “Contextualização e

Interdisciplinaridade no Ensino de”, “CTSA e o Ensino de”, “Formação de Professores e o

Ensino de”, além de Práticas de Ensino de qualquer disciplina de Química/Ciências e

Matemática.

Numa segunda etapa separaram-se estas disciplinas consideradas interdisciplinares em

clássicas e menos comuns. Procurou-se também, a quantidade de disciplinas

interdisciplinares de caráter específico presentes em cada currículo e quais as conseqüências

deste fato na formação de professores reflexivos/pesquisadores.

Posteriormente, procurou-se responder a terceira questão de pesquisa: Até que ponto

estas disciplinas (consideradas interdisciplinares) são suficientes para a formação de um

professor reflexivo/pesquisador?

Por último, através dos resultados obtidos e também da existência de outros fatores

que influenciam a formação profissional, entre eles, a atuação dos formadores de

professores, procurou-se mostrar qual sua importância na formação de professores. Mais

especificamente, analisou-se de que maneira os cursos estão atentando para as atitudes e

para a formação dos formadores de professores.

Resultados e Discussões

Conforme relato acima, procurar-se-ão nos dois currículos, disciplinas com caráter

interdisciplinar e, se existirem, quais suas implicações na formação de professores de

Química/Ciências e Matemática. Como especificado no Tópico 3.1, o ponto chave na

escolha das disciplinas como interdisciplinar é a presença nas ementas de conteúdos

específicos focados na questão do ensino ou da aprendizagem, isto é, disciplinas que tenham

conteúdos que tratam sobre o 'Ensino de'. Portanto, de acordo com este critério, analisaram-

se as ementas de todas as disciplinas de cada curso, escolhendo aquelas que traziam em sua

estrutura indícios de ações com caráter interdisciplinar. Exemplos de duas disciplinas por

curso e os trechos que as caracterizam como interdisciplinares são apresentadas nos Quadros

II e III a seguir:

¡¢£¤¥ ¦§ ¡§ £§ ¨ ©ª¢¡¤«¡¥ §¦§¬§ ¤§ ¤ ®¯°±²®³´ µ´s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

9


Disciplinas Trechos das ementas

História, Filosofia e

Tendências da Química

“I. A utilização da História da Química no ensino.”

“II. Principais tendências no ensino de Química a partir da década

de cinqüenta.”

“III. Concepções baseadas no senso comum e saber popular com o

ensino de química.”

Elaboração de Material

Didático Para o Ensino de

Química e Ciências

“1-PLANEJAMENTO E REALIZAÇÃO DE EXPERIMENTOS E

TEXTOS PARA O ENSINO DA QUÍMICA E CIÊNAIS.”

“3-RECURSOS AUDIO-VISUAIS E SUA UTILIZAÇÃO NO

ENSINO DA QUÍMICA E DE CINÊNCIAS.”

“4-USO DE NOVAS TECNOLOGIAS PARA O ENSINO DE

QUÍMICA.”

Quadro II – Exemplos de disciplinas e os trechos das ementas que as caracterizam como interdisciplinar do CLQ

Disciplinas Trechos das ementas

Pratica de Ensino de

Matemática I

“A disciplina visa discutir com os alunos o que o Curso pretende em

termos de desenvolvimento de competências profissionais e quais as

expectativas dos alunos em relação ao “ser professor“ e ao “ser

professor de matemática”.”

Geometria Espacial

“Nesta disciplina serão discutidos os conteúdos utilizando sólidos

como prisma, pirâmides, cilindro, cone e esfera, com enfoque para a

instrumentalização para o ensino médio.”

Quadro III – Exemplos de disciplinas e os trechos das ementas que as caracterizam como interdisciplinar do CLM

Inicialmente, percebe-se a presença de disciplinas interdisciplinares mais clássicas

como, Didática e Estágio Supervisionado nos dois cursos analisados, com a diferença que no

CLM a Didáticapassa a ser específica para a Matemática.

Além destas disciplinas interdisciplinares mais clássicas, observa-se também a

presença de outras peculiares de cada curso. Por exemplo, no CLQ encontra-se:

Instrumentação para o Ensino de Química/Ciências, História, Filosofia e Tendências da

Química, Elaboração de Material Didático Para o Ensino de Química e Ciências, Introdução

¶·¸¹º» ¼½ ·½ ¹½ ¾ ¿À¸·ºÁ·» ¶½¼½Â½ º½ º ÃÄÅÆÇÈÄÉÃÊ ËÊs propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

10


ao Estudo da Química e Introdução à Informática. No CLM têm-se: História da Educação

Matemática, Fundamentos da Educação Matemática e Práticas de Ensino de Matemática I,

II, III, IV e V.

Importante citar, que no CLQ constam as disciplinas Instrumentação para o Ensino de

Química/Ciências e Elaboração de Material Didático Para o Ensino de Química e Ciências,

diferente do CLM que, apesar de não disponibilizar estas disciplinas, propõe conteúdos “de

instrumentalização do ensino” e “material didático para o ensino de” matemática como parte

da disciplina Didática da Matemática, como se observa no trecho abaixo.

Didática da Matemática - Terceiro Ano, Segundo Semestre, 04 créditos. Ementa: A disciplina tem como objetivo a instrumentalização para o ensino de matemática no nível fundamental (5ª a 8ª) e ensino médio através de discussões sobre a transposição didática, os obstáculos epistemológicos, o cotidiano escolar e os efeitos didáticos. Visa também realizar estudos sobre possibilidades do uso de materiais didáticos no ensino de matemática. A disciplina visa também desenvolver planos de aulas e aulas enfocando temas do ensino fundamental e médio no intuito de favorecer as atividades de Estágio Curricular Supervisionado no que se refere à Regência. (BRASIL, 2005, p. 84)

Outra grande diferença constatada nas matrizes curriculares dos dois cursos analisados

refere-se à presença no CLM de disciplinas de Prática de Ensino desde o 1º ano do curso e à

ausência das mesmas no CLQ. Na verdade, no projeto pedagógico do CLQ existem

disciplinas consideradas como prática como componente curricular. São elas:

Instrumentação para o Ensino de Química/Ciências, História, Filosofia e Tendências da

Química, Elaboração de Material Didático Para o Ensino de Química e Ciências, Introdução

ao Estudo da Química, Introdução à Informática, Psicologia Educacional e Didática. No

entanto, de acordo com as análises das ementas, os conteúdos destas disciplinas não são

reservados à prática de ensino, no sentido literal do termo, apesar de conterem conteúdos

que tratam do ensino de química em geral e de a maioria delas serem alocadas nos semestres

finais do curso.

Um fato muito importante que deve ser apresentado tem relação com as disciplinas

interdisciplinares de caráter específico, isto por que, entre as disciplinas discutidas até o

momento, todas possuem caráter pedagógico. O foco da discussão é o seguinte, a literatura

ÌÍÎÏÐÑ ÒÓ ÍÓ ÏÓ Ô ÕÖÎÍÐ×ÍÑ ÌÓÒÓØÓ ÐÓ Ð ÙÚÛÜÝÞÚßÙà áàs propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

11


educacional apresenta dados que apontam para uma resistência dos professores das áreas

específicas em valorizar e trabalhar a questão do ensino em suas disciplinas

(SCHNETZLER, 2002, p. 206-210). Portanto, será que estes cursos estão incluindo em suas

disciplinas específicas, horas voltadas para conteúdos de ensino, ou melhor, existem

disciplinas interdisciplinares de caráter específico nos currículos dos cursos analisados?

Na grade curricular do CLQ têm-se as disciplinas Introdução à Informática e

Introdução ao Estudo da Química. No CLM encontram-se as disciplinas: Fundamentos da

Matemática Elementar, Geometria, Geometria Espacial, Álgebra das Matrizes e Cálculo

Numérico e Computacional.

Portanto, se tomarmos como base os referenciais teóricos sobre a formação de

professores reflexivos/pesquisadores constatamos que estas disciplinas interdisciplinares,

principalmente aquelas de caráter específico apresentadas anteriormente, mostram-se como

um ponto chave na organização dos currículos dos cursos de formação de professores. Isto

ocorre, por que através da inclusão destas disciplinas pode-se diminuir a dicotomização dos

currículos dos cursos de licenciatura em partes estritamente específicas e estritamente

pedagógicas além de ajudar na pretendida união entre teoria e prática.

No entanto, somente a presença no currículo destas disciplinas “interdisciplinares” não

é suficiente, pois, “o pensamento prático do professor não pode ser ensinado, mas pode ser

aprendido, implicando que a atuação do formador é de vital importância nesse processo”

(GONÇALVES; PERES, 2002, p. 5; SCHNETZLER, 2002, p. 216), ou melhor, “o

professor formador é figura central na perspectiva do ensino reflexivo” (GONÇALVES;

PERES, 2002, p. 5). Portanto, de acordo com Schnetzler: “a formação docente inicial só

pode melhorar se as concepções dos formadores sobre tal formação evoluírem”

(SCHNETZLER, 2002, p. 216). Porém, de acordo com Perrenoud,

[...] em sua maioria, esses formadores ainda são professores que só tem a etiqueta de formadores, em geral, substituída pela de professor, pois oferece melhor prestígio para todos os que se identificam mais com os saberes transmitidos do que com os dispositivos de ensino e aprendizagem. (PERRENOUD, 2002, p. 104)

âãäåæç èé ãé åé ê ëìäãæíãç âéèéîé æé æ ïðñòóôðõïö ÷ös propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

12


Mesmo estes formadores possuindo, na maior parte dos casos, um nível elevado de

formação e excelentes recursos intelectuais, isso não é suficiente para ser um profissional

reflexivo; "as universidades estão repletas de eruditos que não sabem ensinar e que não se

questionam com relação a este aspecto" (PERRENOUD, 2002, p. 105).

O problema que surge é o seguinte: somente através da análise dos projetos

pedagógicos e das ementas realizados neste trabalho não parece possível fazer constatações

sobre quaisquer concepções e competências dos formadores de professores. Além disso, nos

projetos pedagógicos dos cursos analisados não se encontram iniciativas que mostram uma

maior preocupação com as ações e com a capacitação destes formadores de professores.

Com isso, não se pode garantir que a formação de professores seja um dos objetivos

principais destes formadores, isto por que, mais importante que todos estes indícios ainda

são as concepções destes formadores sobre a formação, adquiridas durante sua vida

profissional e pessoal.

Ademais, existem grupos de pesquisas sobre formação de professores apresentando

recentes resultados que levam a outras e novas discussões relacionadas à problemática deste

trabalho. Entre as constatações obtidas no 2º Simpósio: Prática de Ensino em Questão,

realizado em 21 e 22 de outubro de 2007, pela Pro-reitoria de Graduação da UNESP têm-se:

1. Nota-se diferentes entendimentos por parte dos coordenadores de curso quanto a Prática de Ensino, Estágio Curricular e Prática como Componente Curricular – identificou-se pelo menos quatro diferentes interpretações;2. Quanto à Prática como Componente Curricular há um problema importante quando o professor de uma disciplina tradicional (de conteúdo específico) é quem ministra tal disciplina, o que implica numa formação tradicional do aluno. Quem poderia preparar mais adequadamente o professor das disciplinas consideradas como práticas como componentes curriculares? (ZULIANI, 2007)

Percebe-se, portanto, que as discussões apresentadas neste trabalho sobre as questões

envolvidas nos cursos de formação de professores podem ser amplamente debatidas por sua

intrínseca complexidade e abrangência. Compreende-se, pelo exposto, o quanto é necessário

avançarmos nestas discussões para almejarmos uma formação de qualidade.

øùúûüý þÿ ùÿ ûÿ S ��úùü�ùý øÿþÿ�ÿ üÿ ü �� s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas

13



Os dois cursos analisados apresentam disciplinas de caráter interdisciplinar. Mas, o

que mais chamou a atenção foi a presença das disciplinas Prática de Ensino de Matemática I,

II, III, IV e V desde o início do CLM.

Outro ponto importante foi a presença de disciplinas interdisciplinares de caráter

específico nos dois cursos analisados. No entanto, elas não são suficientes, porque

dependem da figura de quem as ministra, isto é, dos formadores de professores. O problema

é que, de acordo com a literatura, muitos destes formadores não possuem como objetivo

principal a formação de professores.

Por fim, surgem daqui outras questões que podem guiar futuros trabalhos:

Os formadores de professores destas possíveis instituições possuem as competências

necessárias para a formação deste profissional?

Como e onde se formam estes formadores de professores?

Quais as concepções destes formadores de professores sobre o ato de formar,

principalmente dos formadores da área específica?

De que maneira pode-se trabalhar a união dos formadores da área específica com

aqueles da área pedagógica, na tentativa de diminuir esta dicotomia apresentada nos

cursos de licenciatura?

Como deve ser concebido o projeto pedagógico dos cursos de licenciatura, para que

ocorram efetivas melhoras na estrutura dos cursos?

Referências

BARDIN, L. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, 1995.

BARDIN, L. Projeto Pedagógico: licenciatura plena em química. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Bauru, 2003.

BARDIN, L. Reestruturação do curso de licenciatura plena em matemática. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Bauru, 2005.

�� ! "!s propostas curriculares na formação inicial de professores de Química e Matemática: a presença de disciplinas interdisciplinares. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

BARDIN, L. Institui a duração e a carga horária dos cursos de licenciatura, de graduação plena, de formação de professores da Educação Básica em nível superior.Resolução CNE/CP n. 02, de 19 de fevereiro de 2002. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/CP022002.pdf� � �..# �$% && "� !'#.(#� )**+�

GONÇALVES, A. M.; PERES, S. M. Educação básica e continuada de professores: modelos, problemas conceituais, ações e condições histórico-político-institucionais. Revistado Centro de Ensino Superior de Catalão (CESUC), ano IV, n. 06, 2002. Disponível em: http://www.cesuc.br/revista/ed-1/EDUCACAOBASICAECONTINUADA.pdf� � �..# �$%

26 de julho, 2008.

PEREIRA, J. E. D. As licenciaturas e as novas políticas educacionais para a formação docente. Revista Educação e Sociedade, ano XX, n. 68, 1999, p.109-125.

PERRENOUD, P. A prática reflexiva no ofício de professor: profissionalização e razão pedagógica. Porto Alegre: Artmed, 2002.

SCHNETZLER, R. P. Práticas de ensino nas ciências naturais: desafios atuais e contribuições de pesquisa. In: ROSA, D. E. G.; DE SOUZA, V. C.; FELDMAN, D. (Orgs.) Didáticas e práticas de ensino: interfaces com diferentes saberes e lugares. Rio de Janeiro: DP&A, 2002, p. 205-222.

TANURI, L. M. et al. Pensando a licenciatura na UNESP. Revista do Curso de Pedagogia.v. 9, n. 9/10, 2003, p. 211-229.

TARDIF, M. Os professores enquanto sujeitos do conhecimento: subjetividade, prática e saberes no magistério. In: CANDAU, V. M. (Org.). Didática, currículo e saberes escolares. Rio de Janeiro: DP&A:, 2000, p.112-128.

ZULIANI, S. R. Q. A. Considerações a respeito da Licenciatura em Química na FC Bauru, as Disciplinas Estágio Supervisionado e Prática de Ensino e suas relações com o processo de formação profissional de Professores. In: Prática de Ensino em Questão, Pro-reitoria de Graduação da UNESP, Texto não publicado, 2007.

,-/012 34 /4 5 67-89:;<-2 34 =4 /4 1 >?@ABCA5D DCE5mática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)


A LINGUAGEM MATEMÁTICA UTILIZADA NA 5ª SÉRIE DO ENSINO

FUNDAMENTAL É ADEQUADA À COMPREENSÃO DO ALUNO?

Marcela Lopes SILVA - USC, Bauru ([email protected] José Lourenção BRIGHENTI – USC, Bauru ([email protected]

Resumo: Essa pesquisa teve como objetivo conhecer a linguagem matemática utilizada por alunos e professores de Matemática de uma 5ª séries do Ensino Fundamental, ao trabalhar com conceitos e operações de Números Racionais (Q) e entender como se realiza a comunicação entre professor e aluno, durante o processo de ensino e de aprendizagem desses conceitos matemáticos. Foi um estudo qualitativo realizado por meio de observações feitas em sala de aula e entrevistas com alunos e professores da Escola Estadual de Bauru. Este estudo faz reflexões sobre a relação existente entre linguagem e simbolismos próprios da matemática e a adaptação que o professor faz em suas aulas ao abordar aplicações dos números racionais no contexto diário que, normalmente, aparece mais na forma decimal do que na forma fracionária. Trata, ainda, da preocupação que o professor apresenta em relação aos conceitos prévios que os alunos adquirem não só no ambiente escolar, mas também na sua vida.

Palavras-chave: Linguagem Matemática, Números Racionais, Ensino Fundamental.

Introdução

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs (BRASIL, 1998), a quinta

série do Ensino Fundamental é marcada por uma organização escolar com a qual o

aluno não está acostumado. Os horários compartilhados por diferentes matérias e

professores, níveis de exigência distintos e diferentes concepções quanto à relação

professor-aluno. É neste ciclo que é preciso desenvolver o trabalho matemático

ancorado em relações de confiança entre o aluno e o professor, fazendo com que a

aprendizagem seja vivenciada como uma experiência progressiva, interessante e

formativa, apoiada na ação, na descoberta, na reflexão e na comunicação.

Na pesquisa aqui realizada, a preocupação esteve focada no processo de ensino e

de aprendizagem dos números racionais e nas suas operações, na linguagem usada pelos

professores e na compreensão por parte dos alunos.

GHIJKL MN IN O PQHRTUVWHL MN XN IN K YZ[\]^\O_ _^`Omática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

2

Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

A abordagem dos números racionais no terceiro ciclo do Ensino Fundamental tem

como objetivo levar os alunos a perceber que os números naturais são insuficientes para

desenvolver determinadas situações-problema como as que envolvem a medida de uma

grandeza e o resultado de uma divisão.

Para Machado (1990),

De modo geral, a linguagem ordinária e a Matemática utilizam-se de tantos termos “anfíbios”, ora com origem em uma, ora com origem em outra, que às vezes não percebemos a importância desta relação de troca, minimizando seu significado. (p.97)

Com a mesma preocupação, para Carraher (1988), o professor deve valorizar a

expressão oral dos alunos. Neste sentido afirma que

Embora não se pretenda sugerir a substituição da matemática escrita pela matemática oral dentro da escola, uma vez que a matemática escrita apresenta inúmeras vantagens do ponto de vista do desenvolvimento do aluno em longo prazo, é importante que os professores reconheçam, entendam e valorizem a matemática oral, especialmente aqueles que lidam com alunos que têm oportunidade de trabalhar no setor informal da economia. Esta atividade matemática tem sólidas bases na compreensão do número e do sistema decimal, habilidades que devem ser utilizadas, e não desprezadas, pela escola. (p.65)

Mediante o exposto, essa pesquisa teve como objetivo investigar o dia–a-dia de

uma sala de aula e as dificuldades que os alunos apresentam em relação aos conceitos e

operações com Números Racionais (Q), entrevistando alunos e professores da Escola

Estadual “Professor Luiz Castanho de Almeida” de Bauru, com a intenção de verificar

se a linguagem utilizada pelos professores é adequada aos alunos desta etapa escolar.

A pesquisa foi de cunho qualitativo. Os instrumentos utilizados foram: entrevistas

com professores de matemática e alunos da 5ª série e observações de algumas aulas de

matemática sobre o assunto.

A análise crítica dos depoimentos dos envolvidos e as observações realizadas

possibilitaram apontar as categorias do estudo, por meio a eleição das convergências e

divergências presentes nos depoimentos.

O trabalho terminou com reflexões sobre a linguagem e simbolismos próprios da

matemática e a adaptação que o professor faz em suas aulas ao abordar aplicações dos

números racionais no contexto diário que, normalmente, aparece mais na forma decimal

abcdef gh ch i jkblmnopbf gh qh ch e rstuvwuix xwyimática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

3


do que na forma fracionária, e ainda, aborda sobre a preocupação do professor, em

relação aos conceitos prévios que os alunos apresentam, adquiridos em anos anteriores

não só no ambiente escolar, mas também na sua vida.

O signo e a linguagem na aprendizagem dos conceitos matemáticos

Freitas (1195) diz que há mais de 50 anos, Brownel (1935) verificou que os

estudantes do ensino básico tinham mais dificuldade em fazer cálculos com números

desprovidos de situações concretas (como, por exemplo, 5 + 7), do que quando lhes era

associado uma unidade (exemplo, 5 laranjas + 7 laranjas). Para ele, quando as unidades

são omitidas, a soma indicada não só se torna mais difícil como também se transforma

numa abstração a ser memorizada. E quando as unidades estão presentes, os estudantes

aparentemente visualizam a situação como real e são capazes de responder

corretamente.

Nos estudos realizados por Carraher, em 2003, aparecem afirmações de que um

problema não perde o significado para a criança ao usar nomes diferentes de frutas

como exemplo: uva, ao invés de pitomba ou pitomba, ao invés de uva. O problema

perde o significado porque a resolução deste na escola, tem objetivos que diferem

daqueles que nos movem para resolver problemas de matemática fora da sala de aula.

Perde o significado também porque o que interessa à professora não é o esforço de

resolução do problema por um aluno, mas a aplicação de uma fórmula, de um

algoritmo, de uma operação, pré-determinados pelo capitulo em que o problema se

insere ou pela série escolar que a criança freqüenta.

Sobre o uso de materiais concretos Carraher afirma que são usados por que

refletem uma análise matemática particular e pressupõe que subjacente aos materiais

concretos existem princípios lógico-matemáticos, ao quais se deseja ensinar.

Os materiais concretos mais conhecidos no Brasil são cubos pequenos como

unidades, varetas formadas por dez cubinhos como dezenas, e placas formadas por cem

cubinhos como centenas. Esse material pode ser considerado um conjunto de objetos

abstratos, porque existem apenas na escola e não tem conexão com o mundo da criança

e pode ser considerado como uma representação material abstrata de princípios

matemáticos.

z{|}~� �� |� � ��{��{� �� |� ~ �� mática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

4


Já com o uso do dinheiro para o ensino do sistema decimal o professor pode

recorrer a situações cotidianas que as crianças conhecem bem, tornando a matemática

da escola menos acadêmica e mais vinculada aos processos de raciocínio que tem lugar

na feira e no mercado. O que distingue as situações cotidianas das situações escolares é

o significado que elas têm para o sujeito.

Ávila (1993), diz que a Matemática, em particular, depende muito de sua

linguagem e simbolismo específicos e que a linguagem e o simbolismo próprios da

Matemática a fazem inacessível, mas é um mal necessário. É preciso cuidado com a

utilização desses instrumentos para que eles exerçam seu papel no aprendizado.

Para Ávila,

Linguagem e simbolismo são muito úteis e indispensáveis enquanto ajudam na transmissão e na agilização das idéias. Infelizmente, o que acontece no ensino elementar é que a linguagem de conjuntos e o excesso de simbolismo e terminologia, além de não ajudarem, só atrapalham. [...] É importante observar que a linguagem não motiva ninguém, idéias sim. Nenhum aluno pode se interessar por qualquer coisa onde não veja algum elemento que lhe satisfaça ou aguce a curiosidade (1993, p. 2).

Os matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento da ciência estavam

interessados nas idéias e nos métodos e técnicas delas resultantes e só foram

introduzindo linguagem e simbolismo por necessidade prática. No ensino deve

acontecer o mesmo para auxiliar no aprendizado de coisas realmente relevantes.

Os PCNs (BRASIL, 1998) afirmam que a prática mais freqüente, tem sido aquela

em que o professor apresenta oralmente o conteúdo, partindo de definições, exemplos,

demonstrações e exercícios e pressupõe que o aluno aprenda pela reprodução. Essa

prática tem se mostrado ineficaz porque a reprodução dos conceitos, não garante que o

aluno aprendeu o conteúdo e saberá utilizá-lo em outros conceitos.

Com a redefinição do papel do aluno, como agente da construção do seu próprio

conhecimento é preciso redimensionar o papel do professor de Matemática no ensino

fundamental.

Para Machado o ensino da Matemática e o da Língua Materna, nunca se

articularam para uma ação conjunta. É como se elas permanecessem estranhas uma à

outra, tentando realizar suas tarefas isoladamente. De um lado aparece a Língua

�� ¡¢�� £� �� ¤¥¦§¨©§�ª ª©«�mática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

5


Materna imprecisa e, freqüentemente, de caráter polissêmico e do outro lado aparece a

Matemática, representando para a Ciência, o papel de uma linguagem precisa,

monossêmica, depurada de ambigüidades.

Ele diz que a carapuça de assunto árido, difícil, destinado à compreensão de

poucos. Não se ajusta a Língua Materna, mas se ajusta perfeitamente a Matemática. Isso

acontece quando a Matemática não é abordada corretamente. É tratada como uma

linguagem em que valoriza demasiadamente os signos e não dá muita importância para

os significados.

Tanto a Matemática quanto a Língua Materna constituem sistemas de

representação, construídos a partir da realidade e a partir dos quais se constrói o

significado dos objetos, das ações, das relações. Sem eles, não nos construiríamos a nós

mesmos enquanto seres humanos.

Machado diz ainda que, de um modo geral, a linguagem ordinária e a Matemática

utilizando-se de termos “anfíbios”, ora com origem em uma, ora com origem em outra,

que às vezes não percebemos a importância desta relação, minimizando seu significado.

Por exemplo, na frase: “Chegar a um denominador comum” está claro que as

partes em disputa não são exatamente frações, mas a força de expressão decorrente do

fato de que, só reduzindo ao mesmo denominador é possível somar frações, é grande o

suficiente para valorizar tal metáfora, tornando quase tão freqüente no discurso político,

quanto nas aulas sobre adição de frações.

O autor considera que em situações de ensino de matemática é fundamental a

mediação da oralidade, emprestada da Língua Materna e que funciona como um degrau

natural na aprendizagem da escrita; é importante que os objetos matemáticos, como as

palavras que utilizamos, sejam cheias de significações para interpretações posteriores; é

necessária uma articulação mais consistente entre os papeis da análise e da síntese na

construção do conhecimento matemático.

Segundo os PCNs (BRASIL, 1998), nos terceiro e quarto ciclos o trabalho com os

conteúdos relacionados aos números e as operações deve privilegiar atividades que

possibilitem ampliar o sentido numérico e a compreensão do significado das operações,

ou seja, atividades que permitam estabelecer e reconhecer relações entre os diferentes

tipos de números e entre as diferentes operações.

¬®¯°± ²³ ®³ ´ µ¶·¸¹º»± ²³ ¼³ ®³ ° ½¾¿ÀÁÂÀ´Ã ÃÂÄ´mática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

6


A abordagem dos racionais tem como objetivo levar os alunos a perceber que os

números naturais são insuficientes para resolver determinadas situações-problema como

as que envolvem a medida de uma grandeza e o resultado de uma divisão.

Os racionais podem assumir diferentes significados nos diversos contextos:

relação parte/todo, quociente, razão e operador. Ao abordar os racionais pelo seu

reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que eles aparecem muito mais na

forma decimal do que na forma fracionária. É importante que as atividades com

números decimais estejam vinculadas a situações contextualizadas, de modo que seja

possível fazer uma estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando números

naturais mais próximos.

O detalhamento dos conteúdos por ciclos citados nos PCNs, não implicam em sua

imediata transposição em sala de aula. Ao serem reinterpretados regionalmente e

localmente nas unidades escolares, podem incorporar elementos específicos de cada

realidade e organizados de forma articulada e integrada ao projeto da escola.

Metodologia da pesquisa

Com o objetivo de conhecer a linguagem matemática utilizada por alunos e

professores de Matemática de 5ª séries do Ensino Fundamental em relação aos conceitos

e operações com Números Racionais (Q) e entender como se realiza a comunicação

entre professor e aluno, durante o processo de ensino e de aprendizagem dos conceitos

matemáticos a pesquisa aqui proposta foi feita por meio de uma abordagem qualitativa

dos dados, pois foi descritiva, considerou todo o processo e teve o pesquisador

diretamente envolvido com o trabalho.

Seguindo esta abordagem, a coleta de dados realizou-se por meio de entrevistas e

registros feitos durante as observações em sala de aula ou fora dela. Como exemplo,

observações sobre os comportamentos e falas dos alunos durante as aulas de matemática

(LUDKE; ANDRÉ, 1986).

Delimitou-se como fonte de dados para esta pesquisa, entrevistas com cinco

professores de Matemática e dez alunos da quinta série da Escola Estadual “Professor

Luiz Castanho de Almeida”, de Bauru, escolhidos aleatoriamente.

As entrevistas foram semi-estruturadas, possibilitando o entrevistado responder

livremente as questões que, de modo geral, tiveram o propósito de desvendar como o

ÅÆÇÈÉÊ ËÌ ÇÌ Í ÎÏÆÐÑÒÓÔÆÊ ËÌ ÕÌ ÇÌ É Ö×ØÙÚÛÙÍÜ ÜÛÝÍmática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

7


ensino de números racionais vem sendo realizado nas quintas séries; se as ações

desenvolvidas atendem as sugestões trazidas pelos PCNs e se a linguagem usada pelo

professor é de compreensão dos alunos, neste nível de escolaridade.

De modo geral, as questões que nortearam as entrevistas com os professores

trataram de como vêem a importância do conceito de números racionais e suas

operações; em que época do ano acreditam ser mais adequada para abordá-los; se

utilizam livros e/ou materiais didáticos; como realizam a avaliação da aprendizagem; se

percebem se os alunos estão compreendendo a linguagem matemática usada; se utilizam

expressões que os alunos não sabem o significado.

As questões que nortearam a entrevista com os alunos trataram sobre a

compreensão do que o professor de Matemática diz ou escreve; sobre a compreensão

dos símbolos que seu professor usa; seu conhecimento sobre denominador, numerador,

três quartos do todo, frações equivalentes, todo referência, um terço e um sexto.

Para facilitar o trabalho da pesquisadora, as entrevistas foram gravadas e, em

seguida, transcritas. Após várias leituras do material transcrito, desvendaram-se as

unidades de significados que foram transformadas em categorias de análise.

Para finalizar, a pesquisadora procurou analisar os resultados obtidos durante sua

pesquisa de campo, sob à luz da fundamentação teórica descrita no início do trabalho.

Resultados e discussões

Depois de realizar as entrevistas com os professores e alunos iniciou-se a análise

dos dados, lendo cuidadosamente as respostas transcritas das entrevistas realizadas.

Nesta etapa, destacaram-se os aspectos relevantes sobre a metodologia utilizada para

ensinar números racionais na quinta série; verificaram se as ações realizadas atendem as

sugestões feitas pelos PCNs e se a linguagem utilizada era adequada à compreensão dos

alunos deste nível escolar.

Este trabalho inicial permitiu identificar, nas falas dos professores e dos alunos,

algumas unidades de significados que serviram para elucidar, posteriormente, os grupos

de compreensão, elaborados por meio de um esquema contemplando as convergências

e/ou as divergências existentes nas unidades de significados.

Fazendo a redução de significados nos depoimentos dos professores, são quatro as

unidades que expressam convergências: a importância dada ao conceito; o

Þßàáâã äå àå æ çèßéêëìíßã äå îå àå â ïðñòóôòæõ õôöæmática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

8


estabelecimento de relações para a compreensão; o reconhecimento da mudança de

linguagem ou abordagem e a percepção da interferência da linguagem na compreensão.

Todos os professores observaram a importância do conceito dos números

racionais. Como exemplo representativo deste resultado a fala de uma das professoras:

Considero de extrema importância [o conceito de números racionais], pois os racionais fazem parte de todas as áreas da convivência. As divisões do todo em partes, estão presente em tudo, desde o alimento ao seu custo, e isto é um fator essencial para formação do cidadão(Prof. 5).

Também foi possível desvendar nas falas dos professores, seus interesses pela

vida dos alunos e pelos seus aprendizados prévios. Tratam com cuidado e sensibilidade

a abordagem dos novos conceitos, respeitando o limite de cada um. Para reforçar este

sentimento, vale destacar as afirmações:

Eu pergunto pra ele quanto é 25 centésimos mais 30 centésimos, ele não vai saber, mas se eu perguntar quanto é vinte e cinco centavos mais trinta centavos ele reponde na hora. Isso porque faz parte do cotidiano dele, da vida dele e ele faz o calculo mental. E entre os centésimos e os centavos tem uma diferença muito grande por que um está contextualizado no seu cotidiano e o outro não (Prof. 1).

Os professores reconhecem problema da linguagem que usam com seus alunos.

Tentam esmiuçar o assunto mesclando a linguagem matemática e a linguagem do dia-a-

dia, de acordo com o repertório dos alunos. O depoimento abaixo ilustra essa afirmação:

... é importante que os objetos matemáticos, como as palavras que utilizamos, sejam cheias de significações para interpretações posteriores ... (Machado)

Tento buscar aquilo que eles já ouviram antes sobre o conceito de fração, associar com o que já ouviram, porque de repente usar uma linguagem totalmente diferente do que a professora falou até a quarta série parece que é uma coisa nova e no fundo não é, é a mesma coisa(Prof. 3).

Em seguida, partiu-se para desvendar os grupos de compreensão sobre as

divergências que apareceram na maneira de pensar dos professores. Surgiram duas

unidades: a época do ano mais adequada para trabalhar o conceito de números racionais

e a possibilidade de ensinar o conteúdo na quinta série.

÷øùúûü ýþ ùþ ÿ S�ø��øü ýþ �þ ùþ û ��ÿ ��ÿmática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

9


Os professores divergiram quanto à época do ano para trabalhar o conceito de

números racionais. Ao discordarem entre si sobre a época mais adequada para trabalhar

o conceito de números racionais, deixaram transparecer uma desafinação com a

distribuição dos conteúdos.

Quando á possibilidade de ensinar o conteúdo na quinta série, foi possível

perceber que os professores têm dúvidas quanto à quais os conteúdos devem ser

abordados na quinta série. Alguns acham que conseguem trabalhar o conteúdo proposto,

outros não. Alegam que os alunos não estão preparados e que o conteúdo deveria estar

na sexta série. Alguns acreditam que o aluno de quinta série é imaturo para assimilar tal

conceito, por sua complexidade. Comentam:

Eu não trabalharia com os números racionais na 5ª série... A gente fala milésimo, centésimo, décimo essa coisa toda, essa linguagem. Nessa linguagem ele não está alfabetizado e agente pensa que está (Prof. 1).

Foi possível perceber que mesmo não havendo um consenso sobre o momento

ideal para introduzir estes conceitos, os professores atendem as sugestões trazidas pelos

PCNs, trabalhando a reinterpretação do conteúdo para incorporar elementos específicos

da realidade de sua região e de forma articulada com o projeto educacional da escola.

As convergências relacionadas aos alunos foram: a necessidade de atendimento

individual de linguagem diferente e repetições; possíveis motivos da incompreensão;

incompreensão da linguagem e Reconhecimento do trabalho da professora.

No que se refere à primeira convergência, as falas selecionadas indicam que os

alunos querem e necessitam de um atendimento personalizado para compreender o

conteúdo. Em relação aos possíveis motivos da incompreensão do assunto, apenas uma

das respostas dos alunos indicou a linguagem usada pelo professor como motivo da

incompreensão. As outras respostas apontam para a falta de atenção como sendo a

provável causa.

Quando eu não estou conversando eu entendo o que a professora diz. Eu estou sendo sincera (Aluno 4).

Eu não entendi por que eu estava conversando, tinha um assunto importante com meu colega (Aluno 3).

�� !"#$%#�& &%'�mática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

10


No que se refere à incompreensão da linguagem, foi possível perceber a angustia

dos alunos por não compreenderem o que professor fala ou escreve.

Algumas coisas eu tenho dificuldade. Tenho dificuldade, mas a professora explica só para mim e eu entendo. Ela explica diferente do que explicou para a classe, mais claro (Aluno 1).

Às vezes eu não entendo o que a professora diz. Por exemplo, às vezes eu peço para ela explicar de novo o problema para eu entender. E ela explica (Aluno 7).

Eu entendo o que ela escreve na lousa se ela ler para mim e depois explicar, só escrever na lousa eu não entendo. Eu não sei o que significa a palavra expor. Na prova tinha essa palavra. Quando ela explicou frações eu fiquei cheia de duvidas (Aluno 4).

As repostas selecionadas dos alunos indicam o reconhecimento do trabalho da

professora. Revelam que dentre os inúmeros problemas enfrentados em uma sala de

aula, o professor consegue exercer o seu oficio, o de ensinar.

Foi possível perceber com essa pesquisa, que os problemas de linguagem são

sérios. É preciso que os símbolos fiquem claros, que as notações, as expressões e os

termos que usamos em nossas aulas tenham significados para que possam entender o

que lhes falamos. As falas abaixo dos alunos confirmam essa situação:

Quando não entendo alguma palavra ou quando não entendo o problema que é para fazer, a professora explica a palavra e o problema (Aluno 15).

Eu entendo os símbolos usados por que ela para e explica o significado (Aluno 18).

Considerações finais

Este trabalho teve como objetivo desvendar como o ensino dos conceitos que

abrangem os números racionais vem sendo realizado nas quintas séries, se as ações

desenvolvidas nas salas de aulas atendem as sugestões feitas pelos PCNs e se a

linguagem do professor é própria para os alunos nesse nível escolar.

Por meio de uma análise qualitativa dos dados existentes nas entrevistas realizadas

com professores de Matemática e alunos de quinta série da Escola Estadual Luiz

Castanho de Almeida, foi possível diagnosticar a preocupação dos professores com o

conteúdo à ensinar; a atenção dos mesmos quanto ao comportamento dos alunos em

()*+,- ./ */ 0 12)34567)- ./ 8/ */ , 9:;<=><0? ?>@0mática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro

11


suas aulas, fazendo-os mudar de estratégia ou aperfeiçoarem a linguagem usada; a

discordância entre os professores em relação à série que os alunos devem trabalhar com

o conjunto dos números racionais; o reconhecimento da falta de atenção às aulas de

matemática por parte dos alunos; a carência que alguns alunos têm de dialogar com o

professor durante a aula.

Os professores entrevistados revelaram não terem dúvidas quanto à importância

do conteúdo dos números racionais. Entretanto, alguns discordaram quanto ao momento

ideal para o aluno aprender este conceito, mas dizem atender às sugestões trazidas pelos

PCNs, trabalhando com a re-interpretação do conteúdo, para incorporar elementos

específicos da realidade de sua região.

Os docentes reconheceram o problema da linguagem utilizada nas aulas e para

resolver a questão, procuram esmiuçar o assunto, mesclando a linguagem matemática e

a linguagem do dia-a-dia, deixando claros os símbolos e as notações para que possam

entender o que está sendo falado.

Com esta pesquisa percebemos o interesse dos professores pela vida dos alunos e

seus aprendizados prévios como forma de facilitar o diálogo entre as partes no processo

ensino e de aprendizagem.

Ao realizar esta pesquisa também foi possível observar que, quando o aluno não

entende o conteúdo, nem sempre é por utilizar uma linguagem inadequada, mas por

outros motivos como, por exemplo, a falta de atenção. Alguns alunos necessitam de um

atendimento individualizado e personalizado para entender o conteúdo, sua importância

e aplicação.

Este estudo permitiu conhecer a linguagem matemática utilizada por alunos e

professores de Matemática de 5ª séries do Ensino Fundamental em relação aos conceitos

e operações com Números Racionais (Q) e, ainda, entender como se realiza a

comunicação entre professor e aluno, durante o processo de ensino e de aprendizagem

dos conceitos matemáticos. Através da análise dos resultados, chegou se às conclusões

ditas anteriormente.

ABCDEF GH CH I JKBLMNOPBF GH QH CH E RTUVWXVIY YXZImática utilizada na 5ª. série do ensino fundamental é adequada à compreensão do aluno? Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

12

Referências

ÁVILA, G. O ensino da matemática. In: Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 23, jan./jun./1993, p. 2-3.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. ParâmetrosCurriculares Nacionais (PCN): terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília, DF, 1998a.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. ParâmetrosCurriculares Nacionais (PCN): matemática. Brasília, DF, 1998b.

CARRAHER, T. et al. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez Editora, 1988.

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática:percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.

FREITAS, J. O. G. Dificuldade na visualização dos objetos matemáticos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n. 29, set./dez. 1995, p. 9-10.

LUDKE, M.; ANDRÉ, M. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.

MACHADO, N. J. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez Editora, 1990.

[\]^_` abcbdb e d_f_g_hi` _b jb _ jklmnmopqrk se [aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-980902-07-2)

Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

A MOBILIZAÇÃO DE SABERES MATEMÁTICOS PELO ALUNO DA EJA EM

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM NO ENSINO MÉDIO

José Eduardo Neves SILVA – USF ([email protected]

Adair Mendes NACARATO – USF ([email protected]

Resumo: Este trabalho foi realizado na 2ª e 3ª séries do EM da (EJA) da rede pública do Estado de São Paulo, em 2006. Buscamos identificar e analisar “Quais saberes matemáticos são mobilizados, produzidos e/ou (re)significados por alunos da EJA em contextos de resolução de problemas em um ambiente de aprendizagem que favoreça o diálogo?”. Teve como objetivos: conhecer melhor quem são os alunos/as da EJA e quais são as suas concepções sobre o estudo e a Matemática escolar; defender a importância de um ambiente de aprendizagem diferenciado para o aluno da EJA; e identificar e analisar quais foram os saberes matemáticos escolares mobilizados, produzidos e/ou (re)significados pelos alunos da EJA durante as atividades de resolução de problemas. Para atingir estes objetivos utilizamos quatro atividades de resolução de problemas na nossa pesquisa: “Análise de público”, “Estatística na EJA”, “A casa de seu João” e “A inflação do jornal é a nossa?”. Essas atividades fizeram com que os alunos, dentro de um ambiente que favorecesse o diálogo, mobilizassem saberes matemáticos escolarizados ou não-escolarizados, provenientes das suas práticas sociais para a resolução das atividades propostas. A nossa análise permitiu identificar a importância de um ambiente de aprendizagem diferenciado nas aulas da EJA, obtido através da metodologia de resolução de problemas numa perspectiva crítica, favorecendo o diálogo dos alunos e provocando um novo olhar destes sobre a educação e a Matemática escolar, levando-os a um questionamento dos paradigmas existentes na Matemática. Isso pôde provocar uma mudança na concepção dos alunos e do professor sobre os seus papéis em sala de aula e contribuiu para ajudar na construção de uma nova concepção sobre o que é ensinar Matemática, principalmente na EJA, por tratar-se de um público com características próprias e distintas do ensino regular.

Palavras-chave: Educação de Jovens e Adultos (EJA), Resolução de Problemas, Ambiente de Aprendizagem, Saberes Matemáticos.

É realidade que o mundo está em uma constante mudança e atualmente transforma-se

em uma velocidade vertiginosa. Todas as profissões percebem esta rápida mudança.

Algumas são extintas, outras são criadas e neste turbilhão, nós professores nos

encontramos, tendo agora um público muito diferente do público até então inserido na

escola. Esta agora não pode ser mais considerada “o mundo do homem branco, do sexo

uvwxyz {|}|~| � ~y�y�y��z y| �| y �� uaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

2

(ISBN 978-85-980902-07-2)

masculino (embora aqueles que ensinam sejam em sua maioria mulheres...), da classe

média” (CHARLOT, 2005, p. 134). Ao invés disso, agora é “de todos”.

Os alunos da EJA fazem parte deste novo público, porém, ainda são considerados um

público pouco conhecido. A pouca produção de pesquisas sobre este público nos levou a

procurar “conhecer melhor quem são os alunos/as da EJA e quais são as suas concepções

sobre o estudo e a Matemática escolar” como o primeiro objetivo deste trabalho.

A dificuldade em ensinar ao aluno da EJA nos fez procurar novas formas para

ensinar a matemática de uma maneira na qual o aluno da EJA consiga aprendê-la, o que

nos levou a “defender a importância de um ambiente de aprendizagem diferenciado para o

aluno da EJA” que acabou tornando-se o nosso segundo objetivo.

Colaborar para conhecer melhor o aluno da EJA, aliada ao desenvolvimento de um

ambiente de aprendizagem diferenciado alcançado com a nossa metodologia de resolução

de problemas fez com que buscássemos “identificar e analisar quais foram os saberes

matemáticos escolares mobilizados, produzidos e/ou (re)significados pelos alunos da EJA

durante as atividades de resolução de problemas”.

Esses três objetivos buscavam responder a nossa questão problematizadora que era

identificar “quais saberes matemáticos são mobilizados, produzidos e/ou

(re)significados por alunos da EJA em contextos de resolução de problemas em um

ambiente de aprendizagem que favoreça o diálogo?”.

Este artigo foi baseado na minha dissertação de Mestrado, intitulada “A mobilização

de saberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de aprendizagem no ensino

médio” defendida em 2008 no Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação, da

Universidade São Francisco em Itatiba.

A escola na qual a pesquisa foi desenvolvida é uma escola pública, localizada na área

central da cidade de Arujá, na grande São Paulo que possui 18 salas de aula e atua no ciclo

II do ensino fundamental e no ensino médio com classes em três turnos distintos.

A turma na qual trabalhamos era heterogênea, com 44 alunos, com idades entre 19 e

48 anos e que ficaram, em muitos casos, vários anos sem estudar.

Quando decidimos utilizar esta classe para a nossa pesquisa1, solicitamos aos alunos

que se dividissem em grupos constituídos de até sete alunos. Dessa forma, os sujeitos da

nossa pesquisa foram os alunos de um desses grupos existentes na sala, composto na

primeira atividade por cinco componentes. Nas atividades dois, três e quatro, a composição

�� ¡ ¢£¤¥� ¦� �aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

3

(ISBN 978-85-980902-07-2)

dos grupos foi alterada, pois, os alunos foram aprovados para o terceiro ano do ensino

médio e receberam novos colegas transferidos de outras instituições de ensino.

A análise do material coletado levou em consideração — individualmente e no grupo

— cada um dos sujeitos pertencentes ao grupo, bem como o grupo no coletivo da classe,

buscando entender como se manifestam os alunos diante da possibilidade de resolver os

problemas propostos, usando a Matemática não formal e escolar que já conheciam.

O material utilizado para análise foi obtido em uma entrevista inicial com os alunos,

nas quatro atividades realizadas e nas entrevistas finais realizadas com os alunos. Esse

material foi, em alguns momentos videogravado e em outros audiogravado. Além dessas

gravações, utilizamos na nossa análise os materiais escritos produzidos pelos alunos e pelo

professor pesquisador.

As quatro atividades foram:

Atividade 1 – “Análise de público” - Desencadeada a partir de uma notícia veiculada

em um jornal de SP com informações contraditórias em relação a um mesmo evento

ocorrido na comemoração do dia do trabalho em São Paulo.

Atividade 2 – “Estatística na EJA” – Propomos aos alunos que elaborassem um

questionário para aplicação em todas as classes de EJA da escola objetivando verificar se

as informações obtidas em uma amostra (classe do grupo utilizado na pesquisa) poderia

representar a resposta de todos os alunos da EJA.

Atividade 3 – “A casa de seu João” – Realizada com o propósito de esclarecer as

dúvidas dos alunos sobre o cálculo de áreas, fazendo-os aplicarem os seus conhecimentos

para ajudar um personagem batizado de “seu João” que não possuía conhecimentos

matemáticos para definir se uma planta que lhe foi doada poderia ser construída em um

terreno hipotético.

Atividade 4 – “A inflação do jornal é a nossa?” – Essa atividade foi elaborada a

partir do questionamento de um aluno que colocou em dúvida se os índices de inflação

veiculadas nas diversas mídias corresponderiam à inflação percebida por ele no seu dia-a-

dia.

A Educação de Jovens e Adultos (EJA) e a Matemática

Considerar os alunos da EJA como um público diferenciado é uma realidade,

entretanto, em muitos casos essa diferença é tratada de um modo simplista e pejorativo e

§¨©ª«¬ ®¯®°® ± °«²«³«´µ¬ «® ¶® « ¶·¸¹º¹»¼½¾· ¿± §aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

4

(ISBN 978-85-980902-07-2)

levam o docente a ministrar suas aulas de uma maneira mais superficial, desconsiderando a

importância que a escola e a Educação possuem para este aluno.

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) (BRASIL, 1996)

caracteriza essa modalidade de ensino como “destinada àqueles que não tiveram acesso ou

continuidade de estudos no ensino fundamental e médio na idade própria” (Art. 37),

entretanto, será que a EJA é apenas isso?

Para Oliveira (2001, p. 15-16),

o adulto – para a educação de jovens e adultos – [...] é geralmente o migrante [...], filho de trabalhadores rurais não-qualificados e com baixo nível de instrução escolar [...]. E o jovem, [...] não é aquele com uma história de escolaridade regular, [...] não é também o adolescente no sentido natural de pertinência a uma etapa biopsicológica da vida. [...] ele é também um excluído da escola, porém geralmente incorporado aos cursos supletivos em fases mais adiantadas de escolaridade.

Essas diferenças fazem com que eles possuam também motivos distintos para o

retorno aos bancos escolares. Basicamente, ele volta à escola levado por dois grupos de

motivos, definidos por Horta (apud FONSECA, 2005, p. 48) como sendo as “motivações

ou pressões da vida social” e o outro que ele nomeia como “motivações internas ou de

ordem pessoal” (Ibidem).

Identificamos que os alunos da EJA possuem a consciência de que a sua realidade

pode mudar e buscam na educação escolarizada uma forma de alcançar essa mudança, pois

voltar a estudar é a melhor coisa que tem pra... pra um futuro melhor também (aluna

Vânia2), até mesmo quando pressionado pela família (aluna Noêmia).

Essa importância atribuída à escola pelas famílias populares já foi identificada por

CHARLOT (2005, p.67) que afirma que elas “dão grande importância à escola porque

sabem que não há outro jeito para os filhos saírem das dificuldades da vida”.

Mesmo possuindo a “condição de excluídos da escola” (OLIVEIRA, 2001, p. 16), 30

anos de serviço (aluno Marcos) e a consciência de estar com a idade um pouco mais

avançada” (Idem), os alunos sabem que precisam voltar a estudar; afinal, antes você

chegava em uma empresa para trabalhar ninguém pedia o estudo, pedia a experiência

naquela área, hoje não, hoje você precisa ter o estudo e a experiência (Idem).

Essa constatação vivida por Marcos (483) ilustra como, atualmente, a nossa

sociedade filtra as pessoas “capazes” e aquelas “não-capazes” de trabalhar. Estas últimas

ÀÁÂÃÄÅ ÆÇÈÇÉÇ Ê ÉÄËÄÌÄÍÎÅ ÄÇ ÏÇ Ä ÏÐÑÒÓÒÔÕÖ×Ð ØÊ Àaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

5

(ISBN 978-85-980902-07-2)

são consideradas descartáveis (SKOVSMOSE, 2007, p. 188) e são definidas como “um

grupo de pessoas que parecem dispensáveis” pelo olhar da atual sociedade globalizada.

A lógica neoliberal existente no lema da “educação para todos4” defende que “a

educação deve ser pensada e organizada, prioritariamente, em uma lógica econômica e

como preparação ao mercado de trabalho” (CHARLOT, 2005, p. 142).

Essa posição já está tão difundida na sociedade, que se materializa constantemente

no discurso dos alunos que vêem a escola como a possibilidade de arrumar um emprego

melhor (aluna Vânia).

Felizmente esse discurso não é uníssono. Alguns alunos admitem que não é por isso

que voltam a estudar, pois afirmam que já estão trabalhando e sabem que trabalho conta

muito, mas não foi por questão de trabalho (aluno João), voltei por realização pessoal

(Idem). Outros declararam explicitamente que o seu retorno aos bancos escolares foi uma

imposição familiar, tal como ocorreu com Almir (19), que admite: voltei a estudar porque

meu pai me obrigou.

Apesar disso, nem todos os alunos que encontramos na EJA tiveram pressões

externas ou vislumbravam conseguir através da educação apenas uma inserção ou

permanência no mercado de trabalho. Alguns possuem também sonhos, expectativas que

vão além da conclusão do ensino médio.

Vários deles “trazem para a escola a esperança de que o processo educativo lhes

confira novas perspectivas de auto-respeito, auto-estima, auto-nomia” (FONSECA, 2005,

p. 49)5.

Muitas vezes esta esperança é colocada à prova por diversos fatores. Alguns

“assumem o discurso da dificuldade, da quase impossibilidade, de ‘isso entrar na cabeça de

burro velho’” (FONSECA, 2005, p.20-21) mesmo antes de, sequer, tentar aprendê-la. A

naturalização desse discurso reforça uma concepção da Matemática, segundo a qual ela

seria uma matéria para poucos — para aqueles que possuem um dom6 especial —, para a

qual os alunos, mesmo tendo consciência da sua importância, consideram-se incapazes, já

que a matemática é uma matéria difícil de entender (aluna Vânia).

Mesmo eles possuindo a consciência da importância da Matemática não só nos

aspectos utilitários da sua vida, “no âmbito da qual o sujeito demanda não apenas o

conhecimento que lhe seria de alguma forma necessário para o enfrentamento (urgente) das

situações de sua vida” (FONSECA, 2005, p. 24); como também, nos aspectos formativos,

ÙÚÛÜÝÞ ßàáàâà ã âÝäÝåÝæçÞ Ýà èà Ý èéêëìëíîïðé ñã Ùaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

6

(ISBN 978-85-980902-07-2)

que “adquirem um caráter de atualidade, num resgate de um vir-a-ser sujeito de

conhecimento que precisa realizar-se no presente” (Ibidem, destaque da autora).

Os aspectos utilitários da Matemática podem aparecer de várias formas no discurso

dos alunos. Para uns, ela é importante para os afazeres domésticos, pois, quando você vai

fazer um bolo, você tem que ter matemática [...] as medidas que tá tudo lá, é uma xícara

de açúcar, é duas xícaras de leite [...] e aí vai indo.... se você não sabe somar, você não

consegue fazer nada, o bolo sai salgado, o bolo sai muito doce. (aluno João [35]).

Alguns consideram que o motivo mais importante para saber Matemática é permitir a

inclusão social desse aluno, pois esse conhecimento o impede de ser enganado, pois, se

você não conhece nada de matemática, você vai ser sempre passado pra trás (aluna

Vânia).

Essa percepção da importância da Matemática é revelada por outros alunos, quando

afirmam que ela é parte da vida, não tem jeito (aluno Pedro [23]), nem que seja o mínimo.

Ela é importante de qualquer jeito (Idem).

Sendo uma matéria difícil, para poucos, aliado ao fato de ser utilizada como uma

forma de selecionar as pessoas a matemática assume uma possibilidade de separar grupos

de pessoas: “algumas pessoas são capazes de gerenciar problemas tecnológicos, e [...]

algumas pessoas não são. Conseqüentemente, os estudantes ‘incapazes’ aprendem a se

tornar servis em relação [...] àqueles que podem lidar com eles” (SKOVSMOSE, 2004, p.

45-46).

Porém, será que isso é conscientemente percebido pelos alunos? Será que eles acham

que a Matemática tem o poder de separar pessoas desta maneira?

Aos olhos dos alunos, a Matemática é largamente utilizada em testes para admissão

de funcionários e, quando a pessoa aprende Matemática, consegue através da matemática

ser admitido (aluna Noêmia). Isso é apenas o depoimento de um aluno, entretanto, ele se

repetiu diversas vezes em outras vozes e em outros momentos.

A importância da criação de um ambiente de aprendizagem diferenciado para que o

aluo da EJA possa produzir e mobilizar os seus saberes matemáticos

Como já salientamos, a EJA é composta por diferentes públicos que possuem

concepções diferentes acerca da educação e da matemática. O nosso desafio como

educadores que trabalham nesta modalidade de ensino é desenvolver maneiras para que

òóôõö÷ øùúùûù ü ûöýöþöÿS÷ öù �ù ö �� ü òaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

7

(ISBN 978-85-980902-07-2)

todos os alunos possam participar e construir o seu conhecimento matemático permitindo

“ao aluno aplicar a sua aprendizagem criativamente” (ERNEST, 1996, p. 31), mudando a

sua posição no processo de aprendizagem de um receptor passivo para um participante

ativo.

Esta mudança é essencial para que os educandos se transformem “em reais sujeitos

da construção e da reconstrução do saber ensinado” (FREIRE, 1996, p.26), pois o ensino

hoje predominante nas nossas escolas privilegia uma visão reprodutora da sociedade,

definindo “rígidas fronteiras entre as classes” (LAWLOR apud ERNEST, 1996, p. 32).

Nesse modelo, segundo Freire (2005, p. 68) “o educador é o que educa, [...] sabe, [...]

pensa, [...] que diz a palavra, [...] que disciplina, [...] e é o sujeito do processo; os

educandos, meros objetos”.

Esta postura faz com que toda a responsabilidade do aprendizado do aluno recaia

sobre o professor, isentando o aluno da construção do seu conhecimento.

Apesar da necessidade, apenas esta mudança não é suficiente para derrubar as

barreiras percebidas, mesmo que sutilmente, na EJA. Para essa quebra de paradigmas, a

nosso ver, descortina-se a necessidade da presença do diálogo nas relações presentes na

escola.

O diálogo, para tornar-se presente, necessita também de um ambiente no qual ele seja

aceito, pois, ao contrário da imposição existente na concepção da “educação bancária”

(FREIRE, 1996), segundo a qual os alunos são “consumidores passivos de conhecimentos

transmitidos pelos professores” (BRASIL, 2002a, p. 91), a presença do diálogo na sala de

aula exige um ambiente de confiança — entre aluno e professor e entre alunos — que

conduza a um aprendizado por parte de todos eles.

Mas esse ambiente não é encontrado normalmente nas salas de aula. Ele precisa ser

construído. Alrø e Skovsmose (2006) teorizam-no e chamam-no de cenário para

investigação7. Esse ambiente “serve como um convite para que os alunos se envolvam em

um processo de investigação” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 57) que os levará a

“participarem ativamente do seu processo de aprendizagem” (Ibidem, p. 58).

Conseguimos obter nas nossas atividades uma mudança na relação docente –

discente que fez com que o aluno deixasse de ser passivo no processo de ensino-

aprendizagem e tivesse as suas idéias avaliadas, colaborando, dessa maneira, para a

construção coletiva do conhecimento, uma vez que cada um dava uma idéia para tentar

�� !� "� aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

8

(ISBN 978-85-980902-07-2)

resolver (aluna Cássia). Os alunos identificaram que a análise e o trabalho em grupo

efetuado foi mais importante do que o resultado alcançado, posto que os vários grupos

existentes na sala chegaram a resultados diferentes durante as atividades. Este fato não

desvalorizou as atividades, nem tampouco, fez com que as avaliássemos dicotomicamente

usando apenas o certo ou errado. Ao invés disso, consideramos o fato delas terem partido

de considerações distintas.

O modelo, no qual o professor é o dono do conhecimento, “detentor do saber”

(SZTAJN, 2002, p.223); afinal, parece que tem alguém lá em cima (aluno Silvio) é

claramente percebido pelos alunos. Este “lá em cima” remete ao professor, a alguém

superior, enquanto que os alunos se mantêm na sua posição inferior, sendo considerados

“como seres vazios a quem o mundo ‘encha’ de conteúdos” (FREIRE, 2005, p. 77); ou

seja, cabe ao professor despejar no aluno (aluno João) o conhecimento que será aprendido

através de “uma longa seqüência de exercícios característica do ensino tradicional de

matemática” (SKOVSMOSE, 2007, p. 35).

As atividades de resolução de problemas que originalmente concebemos acabaram

sofrendo alterações propostas pelos alunos que tornaram os nossos problemas mais amplos

do que inicialmente esperado. Isso fez com que eles assumissem simultaneamente

características de resolução de problemas e de investigações matemáticas. Assim,

decidimos acrescentar o pronome “nossa” à resolução de problemas que realizamos.

Essas alterações fizeram com que identificássemos características, tanto das

investigações matemáticas, como da resolução de problemas nas nossas atividades, pois a

resolução de problemas “exige do aluno a tarefa de tornar a questão mais precisa”

(GOMES, 2007, p. 73), enquanto que as investigações matemáticas “têm sua problemática

muito menos definida e requerem que o aluno, no decorrer da atividade, torne esta

problemática inicial uma fonte de formulação de novos problemas” (Ibidem).

A existência dessa dualidade de metodologias nas nossas atividades não é

antagônica, uma vez que ambas possuem características comuns, pois, “envolvem

processos de raciocínio complexos e necessitam de criatividade por parte do aluno”

(PONTE; MATOS apud GOMES, 2007, p. 73).

Essa criatividade é que torna importante a utilização de uma abordagem de

inquirição nas aulas de Matemática, pois “permite ao aluno aplicar a sua aprendizagem

#$%&'( )*+*,* - ,'.'/'01( '* 2* ' 234565789:3 ;- #aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

9

(ISBN 978-85-980902-07-2)

criativamente” (ERNEST, 1996, p. 31), alterando a sua posição, no processo de

aprendizagem, de um receptor passivo para um participante ativo.

Isso pode ser alcançado por várias metodologias de ensino, quer através da resolução

de problemas ou das investigações matemáticas, quer através da nossa resolução de

problemas, na qual privilegiamos contextos criados e significativos para os alunos, com

questões abertas, possibilitando diferentes formas de solução. Assim, não é qualquer

resolução de problema que possibilita a cooperação investigativa8, mas uma na qual as

características anteriormente mencionadas estejam presentes.

O importante, para nós, não é discutir esta ou aquela metodologia de ensino, mas,

sobretudo, propor que a relação existente em classe seja, ao invés de um monólogo, um

diálogo. Alrø e Skovsmose (2006) propõem um modelo chamado de cooperação

investigativa, para favorecer a mudança da relação professor (dono do conhecimento) –

aluno (tabula rasa), modelo esse caracterizado pela presença de alguns elementos

facilitadores de uma modificação de comportamento. Esses elementos são: “estabelecer

contato, perceber, reconhecer, posicionar-se, pensar alto, reformular, desafiar e avaliar”

(ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 77).

O processo de estabelecer contato é “tanto uma preparação para a investigação

quanto uma atitude positiva entre os participantes” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 106)

e pode ocorrer tanto entre aluno e professor, como entre alunos. No turno 1, a intervenção

do professor junto a João tem o objetivo não de corrigi-lo, mas estabelecer com ele um

contato, uma relação de recíproco entendimento acerca do que está sendo falado. Essa

mesma relação é estabelecida no turno 11, quando Ana usa uma questão investigativa (É

isso?) para não deixar dúvida sobre o entendimento que está tendo da questão. O processo

de estabelecer contato tem como premissa que os interlocutores tenham entre si, “respeito

mútuo, responsabilidade e confiança” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 106).

Outro ponto importante que percebemos durante as atividades foi a existência do

silêncio que não tem nenhuma relação com o calar-se, a “ausência completa de ruídos”

(MICHAELIS, 2002, p. 723) ou ao “estado de quem se cala” (Ibidem). Ele é muito mais

uma reflexão silenciosa que, mesmo sem emitir som, desencadeia um pensar no indivíduo,

possibilitando-lhe segurança para prosseguir no seu discurso. Notamos na gravação que a

voz deste aluno não emitia a certeza de uma afirmação, nem a dúvida de uma interrogação,

situando-se mais em um meio termo entre a certeza que espera uma confirmação e a

<=>?@A BCDCEC F E@G@H@IJA @C KC @ KLMNONPQRTL UF <aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

10

(ISBN 978-85-980902-07-2)

interrogação muda9 de alguém que tem receio de expor-se. Isso é o perceber que Alrø e

Skovsmose (2006) definem como “descobrir alguma coisa da qual nada se sabia ou não se

tinha consciência antes” (p. 106), expondo “suas próprias perspectivas para o grupo no

bojo do processo de comunicação” (Ibidem).

Se o respeito mútuo e a confiança existem no processo, o medo e a insegurança dão

lugar à possibilidade de expor-se, de propor alternativas, mesmo existindo a dúvida se elas

estão corretas. Esta ação ocorreu por várias vezes durante o nosso trabalho Essa expressão

de pensamentos, de idéias e de sentimentos é o pensar alto definido por Alrø e Skovsmose

(2006, p. 113). Os elementos conceituais da cooperação investigativa podem ocorrer em

formações e combinações diferentes, mas isso não invalida o modelo. Os outros elementos:

reformular, desafiar e avaliar foram identificados em outros trechos da atividade.

Neste ambiente de ambiente de aprendizagem, com destaque para a importância da

cooperação investigativa e do diálogo os alunos da EJA tiveram os saberes matemáticos

escolares mobilizados, produzidos e/ou (re)significados.

Considerações finais

Conhecemos mais do que alunos jovens e adultos. Percebemos que o público da EJA

possui histórias de vida variadas, tanto no campo pessoal quanto profissional que os levam

a terem perspectivas diferentes e concepções acerca da Matemática, da escola e da

educação escolarizada muitas vezes totalmente antagônicas. A heterogeneidade de

experiências foi marcante na classe objeto do nosso trabalho: encontramos desde alunos

obrigados a estudar por imposição familiar, até aqueles que voltaram para evitar que os

filhos tivessem, talvez, vergonha deles no futuro.

As atividades que desenvolvemos permitiram que as diferenças identificadas nos

alunos da EJA surgissem espontaneamente e, ao invés, de prejudicar as aulas,

possibilitaram que os alunos dialogassem e compartilhassem as suas idéias e saberes.

Entendemos que, qualquer que seja a metodologia adotada para o trabalho, esta, por

si só, não é determinante para a efetivação de um ambiente de aprendizagem diferente e

desafiador; mas, se ela vier acompanhada do diálogo e do compartilhamento de idéias e de

saberes, poderá romper com uma representação de aula de Matemática já presente no

inconsciente desses jovens e adultos que, em algum momento, já passaram pela escola.

VWXYZ[ \]^]_] ` _ZaZbZcd[ Z] e] Z efghihjklmf n` Vaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

11

(ISBN 978-85-980902-07-2)

Dessa forma, a resolução de problemas, tal como a concebemos nesta pesquisa,

possibilitou tal ruptura.

A “nossa” metodologia de resolução de problemas levou os alunos a sair de uma

situação controlada, na qual sabem que o professor explicará um conteúdo, indicará alguns

exercícios para resolução e depois passará vários para serem resolvidos fora da classe.

Pode não parecer, mas isso é uma mudança grande, principalmente para os alunos da EJA,

que já trazem um modelo de aula como referência. Presenciamos a força desse modelo

tradicional durante a atividade 1, “Análise de Público”, na qual um dos grupos de alunos

decidiu usar a trigonometria para resolver o impasse de quantas pessoas cabiam em um

metro quadrado. Quando os questionamos sobre o motivo que os levou a essa decisão,

tivemos uma resposta, sob a ótica dos alunos, lógica; afinal, esse havia sido o último

conteúdo trabalhado.

Se os questionamentos fossem apenas dos alunos não seria surpresa, pois Charlot

(2005) já nos alerta sobre a pedagogia sem riscos esperada por estes; entretanto, os

próprios colegas de magistério, motivados pela insegurança de tentar inovar, questionaram

a utilização de uma metodologia diferente.

Isso nos indica uma dificuldade por parte de alunos e professores em romper com

uma cultura de aula, já enraizada e questionada por Paulo Freire (1996), em que ao

professor cabe ensinar e, ao aluno, apenas aprender, como se fossem duas posições

totalmente distintas e como se o aluno nunca tivesse nada a ensinar ao professor. É

necessário que alteremos essas concepções, pois, do contrário, não conseguiremos derrubar

algumas barreiras existentes, principalmente na Matemática escolar que, mais do que as

outras matérias, possui um modelo de aula tradicional que define muito bem os papéis de

cada um dos atores envolvidos nesse processo.

Apesar desses problemas, a metodologia por nós adotada permitiu alguns avanços na

relação docente-discente. Entre eles, podemos destacar o fato de os alunos envolverem-se

na resolução do problema com destaque para o trabalho de busca, de descoberta, no qual

eles mergulharam para tentar responder a uma pergunta que não necessariamente teria uma

resposta certa. Isso fez com que eles se empenhassem efetivamente nas tarefas, mesmo

tendo alguns desistido facilmente.

opqrst uvwvxv y xszs{s|}t sv ~v s ~�� y oaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16.

12

(ISBN 978-85-980902-07-2)

Com isso, os alunos tiveram curiosidade para resolver os problemas e as propostas.

Essa curiosidade os mobilizou (CHARLOT, 2005) e fez com que eles não medissem

esforços na busca por uma solução.

Outro aspecto importante do ambiente de aprendizagem produzido nas nossas aulas

foi o fato de os alunos terem, efetivamente, assumido o papel de construtores do seu

conhecimento, saindo de uma postura individual e passiva para uma outra, coletiva e ativa,

na qual abdicaram de uma aprendizagem individual, em que apenas um aluno aprendia.

Assim, partiram para uma aprendizagem coletiva, cujo objetivo era o de todos aprenderem,

mesmo que essa decisão levasse a uma não-realização completa da atividade.

O ambiente de aprendizagem diferenciado adotado em sala de aula foi determinante

para o nosso terceiro objetivo, que consistia em “Identificar e analisar quais foram os

saberes matemáticos escolares mobilizados, produzidos e/ou (re)significados pelos alunos

da EJA durante as atividades de resolução de problemas”, pois, para que os vários saberes

matemáticos dos alunos viessem à tona, algumas condições tiveram que ser construídas,

tais como: a confiança nos colegas e no professor; a segurança; a perda do medo de ser

ridicularizado; e a aceitação das diferenças culturais, sociais e históricas existentes entre os

alunos.

Os saberes matemáticos escolarizados foram mobilizados de formas e com graus

diferentes em todas as atividades desenvolvidas. Na primeira delas, “Análise de público”,

destacamos o cálculo da área usada para o evento, a utilização do milímetro, do centímetro

e do metro; o trabalho com a aproximação de medidas; o uso de estimativas; e a leitura de

mapas.

Além de mobilizar saberes já dominados, os alunos produziram novos saberes

matemáticos escolarizados como, por exemplo, na segunda atividade, os conceitos de

amostra e margem de erro foram aprendidos.

As atividades também permitiram uma (re)significação dos saberes matemáticos

escolares. Isso foi traduzido pelos alunos através da discussão e da troca de experiências,

tal como na atividade 1, em que eles utilizaram uma régua para identificar o que

significaria 1 metro quadrado, na prática. Na atividade 2, quando buscaram uma ajuda

externa para entender o conceito de cálculo de área de uma parede, (re)significando-o e

trazendo-o para a escola para que pudessem entendê-lo ou, então, quando,

�� aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-980902-07-2)

13

conscientemente, os alunos trabalharam com o milímetro, ao invés do metro, em razão de

ser essa uma condição normalmente usada em suas práticas sociais.

Além dos saberes matemáticos escolarizados, as nossas atividades permitiram o

convívio, nem sempre pacífico e, em alguns momentos, conflituoso, entre esses saberes e

os não-escolarizados, permitindo que os alunos conversassem com respeito, sem

desvalorizar ou hipervalorizar nenhum deles. Tanto os saberes matemáticos escolarizados

como os não-escolarizados surgiram nas nossas atividades; entretanto, isso só foi possível

graças à construção de uma relação de confiança entre o docente e os discentes, o que

permitiu que o ambiente de aprendizagem se tornasse propício a um diálogo aberto, no

qual a igualdade estava presente e o foco, tanto do docente como dos discentes, passasse a

ser o de aprender reciprocamente.

O ambiente de aprendizagem e o diálogo foram determinantes para que os vários

saberes matemáticos fossem externalizados pelos alunos; entretanto, também a resolução

de problemas teve o seu papel nessa externalização, permitindo não apenas que os saberes

matemáticos escolarizados surgissem, mas contribuindo decisivamente para que os saberes

matemáticos não-escolarizados aflorassem, possibilitando, ainda, a discussão e a

internalização de conceitos políticos, sociais, históricos e culturais.

Mudar a Educação é necessário e para que esta mudança ocorra precisamos sair do

conforto das ações tomadas nas quais os resultados já são conhecidos para nos

aventurarmos em novas situações, buscando minimizar todos os paradigmas e dogmas que

envolvem o ensino da Matemática.

Notas

1 A pesquisa ocorreu no primeiro (atividade 1) e segundo semestre de 2006 (atividades 2, 3 e 4). 2 Trazemos em alguns momentos as vozes dos alunos. 3 Em alguns momentos inserimos, entre parênteses, a idade dos alunos. 4 Objetivo do Estado que, pressionado por organismos internacionais, tem como meta constituir uma escola universal, onde todos possam estudar. 5 Grifo do original. 6 Versão etária do que Magda Soares (1986) chama de "ideologia do dom” e segundo a qual “as causas do sucesso ou do fracasso na escola devem ser buscadas nas características dos indivíduos” (SOARES apud FONSECA, 2005, p.21).

¡¢£¤¥¦ §¨©¨ª¨ « ª¥¬¥¥®¯¦ ¥¨ °¨ ¥ °±²³´³µ¶·¸± ¹« ¡aberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-980902-07-2)

14

7 Os autores consideram que a “entrada em um ambiente de aprendizagem diferente [...] por natureza abertos [...] podem substituir os exercícios” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p.55) largamente usados nas aulas de Matemática. 8 Alrø e Skovsmose (2006) definem cooperação investigativa como “uma manifestação de algumas das possibilidades que surgem quando se entra em um cenário para investigação” (p.59). Nesse mesmo trabalho os autores definem “cenário para investigação” como uma atividade proposta aos alunos através de um convite para que estes iniciem um processo de investigação rumo à solução da atividade proposta. 9 Neste contexto, “muda” assume a conotação de alguém que está “calado voluntariamente [...] silencioso” (MICHAELIS, 2002, p.535).

Referências

ALRØ, Helle; SKOVSMOSE, Ole. Diálogo e aprendizagem em educação matemática.Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2006. (Coleção Tendências em Educação Matemática).

BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Lei de Diretrizes e Bases da Educação/LDB: Lei 9.394/96. Brasília, DF, 1996.

BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Ensino Médio. Brasília, DF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Propostacurricular para a educação de jovens e adultos: segundo segmento do ensino fundamental: 5ª a 8ª série: Introdução. v.1., Brasília, DF, 2002a.

CORRÊA, Roseli de A. Linguagem matemática, meios de comunicação e educação matemática. In: NACARATO, Adair M.; LOPES, Celi E. Escritas e leituras na Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005, p. 93-100.

CHARLOT, Bernard. Relação com o saber, formação de professores e globalização: questões para a educação hoje. Porto Alegre: Artmed, 2005.

ERNEST, Paul. Investigações, resolução de problemas e Pedagogia. In: P. ABRANTES, L. C. Leal; PONTE, J. P. (Orgs.), Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1996, p. 25-48.

ESPINOSA, Alfonso J.; FIORENTINI, Dario. (Re) significação e reciprocidade de saberes e práticas no encontro de professores de matemática da escola e da universidade. In: FIORENTINI, Dario; NACARATO, Adair Mendes (Org.). Cultura, formação e desenvolvimento profissional dos professores que ensinam Matemática. São Paulo: Musa, 2005, p 151-174.

FONSECA, Maria da Conceição F. R. Educação Matemática de jovens e adultos: especificidades, desafios e contribuições. Belo Horizonte: Autêntica, 2005a.

º»¼½¾¿ ÀÁÂÁÃÁ Ä Ã¾Å¾Æ¾ÇÈ¿ ¾Á ÉÁ ¾ ÉÊËÌÍÌÎÏÐÑÊ ÒÄ ºaberes Matemáticos pelo aluno da EJA em um ambiente de Aprendizagem no Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-980902-07-2)

15

FONSECA, Maria da Conceição F. R.; CARDOSO, Cleusa de A. Educação Matemática e letramento: textos para ensinar Matemática e Matemática para ler o texto. In: LOPES, Celi A. E.; NACARATO, Adair M.(Org.). Escritas e leituras na Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. p.63-76.

FRANKENSTEIN, Marilyn. Educação Matemática crítica: uma aplicação da Epistemologia de Paulo Freire. In BICUDO, Maria A. V. (Org.). Educação Matemática.São Paulo: Centauro, 2005. p.101-140.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 31. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

FREIRE, Paulo. Pedagogia do oprimido. 44. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2005.

GOMES, Adriana Aparecida Molina. Aulas investigativas na educação de jovens e adultos (EJA): o movimento de mobilizar-se e apropriar-se de saber(es) matemático(s) e profissional(is). 2007. 189p. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade São Francisco, Itatiba, SP.

MICHAELIS. Dicionário escolar língua portuguesa. São Paulo: Editora Melhoramentos, 2002.

OLIVEIRA, Marta Kohl de. Jovens e adultos como sujeitos de conhecimento e aprendizagem. In: RIBEIRO, Vera Masagão (Org.). Educação de jovens e adultos: novosleitores, novas leituras. Campinas, SP: Mercado de Letras, 2001, p. 15-43.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999, p.199-218.

PIRES, Célia M. C. Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000.

SEVCENKO, Nicolau. A corrida para o século XXI. No loop da montanha-russa. São Paulo: Companhia das Letras, 144p., 2001.

SKOVSMOSE, Ole. Educação Matemática crítica: a questão da democracia. Campinas, SP: Papirus, 2004.

SKOVSMOSE, Ole. Educação crítica: incerteza, matemática, responsabilidade. Tradução de Maria Aparecida Viggiani Bicudo. São Paulo: Cortez, 2007.

SZTAJN, Paola. Sem óculos ou mau humor: somos professores de Matemática. In: CANDAU, Vera Maria (Org.). Reinventar a escola, 3. ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 2002, p. 221-237.

ÓÔÕÖ×ØÙ ÔÚ ÛÚ ÛÚ Ü ÓÛÝÕÔÙ ÔÚ ÕÚ ÞÚ ßÜÚ Ô Øàááàâãäà na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 13. (ISBN 978-85-98092-07-2)


A NARRATIVA NA PESQUISA DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE

MATEMÁTICA PARA AS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL.

Adriana Ofretorio de Oliveira MARTIN - FE UNICAMP ([email protected]åAnna Regina Lanner de MOURA - FE UNICAMP- orientador

([email protected]å

Resumoæ çèâÜ âáàéàêëì âÜí îìá ìéïÜâãäì ßãèðñâãá ì îàîÜê ßà òàááàâãäa como objeto e fonte de informações para a pesquisa em formação inicial de professores. Esta discussão faz parte da pesquisa de mestrado, “O Espaço de Formação no Curso de Pedagogia no Contexto de um Projeto Integrado do Ensino de Ciências, Matemática e Prática Pedagógica”. Esta pesquisa investiga as narrativas produzidas pelos estudantes do curso de Pedagogia da Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas que participam do projeto interdisciplinar intitulado “Narrativas na formação inicial do Pedagogo: possibilidades de articulação entre ensino e pesquisa num contexto de integração disciplinar”, que integra as disciplinas de Fundamentos do Ensino de Ciências, Fundamentos de Ensino de Matemática e da Prática de Ensino e Estágio Supervisionado. O referido Projeto tem por objetivo convocar os estudantes para que, juntamente com os docentes das disciplinas, vivenciem um processo crítico e reflexivo no sentido de investigarem juntos os saberes docentes. Utiliza a produção de narrativa escrita na perspectiva de Walter Benjamin (1994) como meio de reflexão do estudante sobre seu movimento de formação no contexto do Projeto Integrado. O espaço de formação neste projeto é intencionalmente constituído pela reflexão dos estudantes em narrativas escritas, pelos fóruns de narrativas e pelos projetos de ensino que estes desenvolvem nas escolas. Com referência nos pressupostos da psicologia histórico-cultural observaremos nas narrativas produzidas pelos estudantes que participam do Projeto Integrado, os significados e a relação que esses estudantes estabelecem com a perspectiva de se tornarem professores de Matemática, bem como, o modo como percebem o espaço do Projeto Integrado para a sua formação docente.

Palavras-chave: Formação de Professores, Ensino de Matemática, Integração Disciplinar, Narrativas Reflexivas.

Financiamento: CAPES

O contexto de formação

O presente trabalho apresenta uma discussão sobre as contribuições da escrita em

narrativas como instrumento reflexivo e como esta se torna objeto e fonte de

informações sobre o processo de formação do estudante de Pedagogia para lecionar

matemática nas séries iniciais do ensino fundamental.

óôõö÷øù ôú ûú ûú ü óûýõôù ôú õú þú ÿüú ô M�� na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2


No curso de Pedagogia da Faculdade de Educação da Unicamp é desenvolvido o

Projeto Integrado denominado Narrativas na formação inicial do Pedagogo:

possibilidades de articulação entre ensino e pesquisa num contexto de integração

disciplinar que envolve as disciplinas de Fundamentos do Ensino de Ciências,

Fundamentos de Ensino de Matemática e da Prática de Ensino e Estágio

Supervisionado. O objetivo principal deste Projeto é fornecer aos estudantes do curso

um contexto de formação que instigue uma prática reflexiva e interdisciplinar, e que

também promova um diálogo entre as áreas de ciências e matemática no movimento da

formação inicial de constituição do estudante enquanto professor.

No Projeto Integrado a formação interdisciplinar se dá mais especificamente pelo

desenvolvimento de atividades comuns as três disciplinas, como: a produção individual

de narrativas escritas e de um portfólio, bem como, a elaboração em grupo de um

projeto de ensino interdisciplinar cujas atividades devem contemplar temáticas que

integrem conteúdos de ciências e matemática. Estes projetos deverão ser aplicados nas

escolas e séries escolhidas pelos alunos para a vivencia do estágio e, após a aplicação,

os mesmos elaborarão um relato reflexivo sobre o trabalho interdisciplinar realizado

com as crianças na escola.

O desenvolvimento deste Projeto ocorre em dois semestres, em momentos

distintos de ações discentes e docentes que se interligam. No primeiro semestre é

caracterizado pela ação docente. Caracteriza-se pelo desenvolvimento em sala de aula

das três disciplinas, Fundamentos do Ensino de Matemática, Fundamentos do Ensino de

Ciências e Prática de Ensino com estudos teóricos e práticos sobre os fundamentos de

ensino dessas áreas de conhecimento. No decorrer das aulas, ocorrem momentos

coletivos de orientação, pelos três docentes das disciplinas, para a elaboração e

execução dos projetos de ensino que os alunos desenvolvem nas escolas e três fóruns de

discussões das narrativas. Nos fóruns os docentes discorrem sobre os espaços de

formação em movimento no Projeto Integrado e, os discentes, sobre como entendem a

sua formação no Projeto Integrado. No segundo semestre, ocorre a disciplina de

Supervisão de Estágio com a atuação simultânea dos três docentes envolvidos no

projeto em aulas de orientação e supervisão da prática docente dos alunos na escola e,

ao mesmo tempo, têm continuidade os Fóruns das Narrativas (BAROLLI et al, 2008)

�� na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

3


Em ambos os semestres é solicitado aos alunos a elaboração individual de

narrativas reflexivas sobre seus processos de formação, bem como a elaboração de um

portfólio, com o objetivo de este se constituir um documento de suas formações (SÁ-

CHAVES, 2000) no decorrer dos dois semestres de vivência do Projeto Integrado.

Elaboram, também, em grupo, um projeto de ensino que integre ciências e matemática

em atividades que serão desenvolvidas em uma série e em uma escola pública da

escolha do grupo.

O Projeto Integrado possui as Narrativas, tomadas na abordagem de Walter

Benjamin (1994), como instrumento principal para os estudantes produzirem reflexões

sobre seus processos de formação. È solicitado aos alunos que a cada quatro aulas

elaborem e escrevam, em forma de narrativas, reflexões sobre seu movimento de

formação no interior das disciplinas, bem como reflitam sobre implicações de vivenciar,

na formação inicial, um projeto que busca promover um diálogo entre as disciplinas de

Fundamentos do Ensino de Ciências, de Fundamentos do Ensino de Matemática e

Prática de Ensino e Estágio Supervisionado.

A prática de ensino interdisciplinar apresentada na formação inicial do professor

implica a utilização de instrumentos que promovam um ambiente reflexivo, onde o

olhar interdisciplinar contribua para a promulgação de um olhar crítico-reflexivo para a

prática vivenciada em sala de aula, muitas vezes caracterizada como fragmentada.

Japiassu (1976) afirma que a prática interdisciplinar é uma:

Concepção nova da partilha do saber em disciplinas e de suas inter-relações, o fenômeno interdisciplinar pode ser considerado como uma das manifestações mais significativas das mutações que afetam e alteram, em nossos dias, as démarches do pensamento e as formas do discurso intelectual, por mais racional e objetivo que ele seja.(JAPIASSU, 1976, p.42, grifo do autor)

Desse modo, o formador lança mão de instrumentos que promovam no estudante

o exercício de (re)construir a experiência da docência. No projeto Integrado, um desses

instrumentos é a produção da narrativa escrita que busca desenvolver uma prática de

reflexão e diálogo sobre o processo de formação por meio de ações que aproximem

estudantes do curso de Pedagogia e professores formadores do curso. Para tanto, os

docentes formadores elaboram em conjunto narrativas reflexivas sobre as narrativas

produzidas pelos alunos.

�� ! � "�� #� $!� � %&''&()*& na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

4


A realização da proposta de unir reflexões docentes e discentes sobre a formação

inicial se dá pelo desenvolvimento de Fóruns de narrativas, um contexto de discussão

em que formadores e formandos dialogam sobre as expectativas, dúvidas e anseios

sobre a formação para o ensino das ciências e de matemática, bem como refletem sobre

o do Projeto Integrado como instrumento que proporciona o diálogo entre o sujeito em

formação e o contexto que o forma (ARAUJO, 2003). Valemo-nos de Araújo que

aponta em sua pesquisa as implicações de um ambiente reflexivo para a formação do

professor, onde o diálogo entre os pares contribui para repensar sobre a própria prática.

A reflexão, no contexto do Projeto Integrado, é entendida como uma ação que

possibilita a problematização das experiências iniciais da prática docente em um

movimento que considera suas diversas dimensões. Desse modo, a prática passa a ser

vinculada ao contexto de formação, que se apresenta nos estudos dos fundamentos

teóricos, pelo diálogo entre os pressupostos teóricos e a vivência de uma experiência

prática interdisciplinar na formação. O Projeto Integrado orienta um modo, reflexivo e

interdisciplinar, do estudante se constituir enquanto professor. Pimenta (2002), em seus

estudos sobre a formação no ensino superior destaca que:

O ensino como prática reflexiva tem se estabelecido como uma tendência significativa nas pesquisas em educação, apontando para a valorização dos processos de produção do saber docente a partir da prática e situando a pesquisa como instrumento de formação de professores em si o ensino é tomado como ponto de partida e de chegada da pesquisa. (PIMENTA, 2002, p.22)

Desse modo, o objetivo da produção em narrativas é desenvolver nos estudantes a

ação de refletir sobre a experiência vivenciada. Consideramos que no âmbito do Projeto

Integrado as narrativas tornam-se produções discursivas que se apresentam como um

modo privilegiado de reflexão sobre a prática do magistério.

Compreendemos que é crescente em pesquisas sobre formação de professores de

matemática a utilização da escrita reflexiva como instrumento que privilegie a formação

de um olhar crítico-reflexivo nos estudantes sobre a prática vivenciada em sala de aula,

enquanto professores, e a experiência de formação vivenciada na academia.

Destacamos autores como Jaramillo Quiceno (2003), Rocha (2005) e Freitas (2006) que

em seus trabalhos de pesquisa apresentam a produção escrita como instrumento

privilegiado para observar o modo como o professor de matemática, seja em formação

+,-./01 ,2 32 32 4 +35-,1 ,2 -2 62 742 , 89::9;<=9 na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

5


inicial nos cursos de licenciatura, seja na formação continuada, produz saberes sobre sua

docência. Para Freitas (2006, p. 47) o futuro professor, ao buscar palavras que melhor

expressem seus pensamentos e idéias para dar a compreender ao outro, pode recuperar

conhecimentos anteriores e estabelecer os nexos necessários à produção de sentidos.

Jaramillo Quiceno (2003) afirma em suas observações feita com alunos em formação

inicial da licenciatura em matemática:

À medida que escrevem suas próprias experiências e interpretações, os alunos podem acurar sua compreensão dessas experiências narradas e reconhecer, aos poucos, como se vão tornando professores. No processo de escrita desses textos, o futuro professor tem de parar, refletir, pensar sobre o quê e o porquê do acontecido na disciplina e de suas atitudes perante ela; outra vez, escrever, parar, refletir, pensar. (JARAMILLO QUICENO, 2003, p. 62)

A prática em pesquisas de produção e reflexão dos saberes docentes por meio da

escrita critico-reflexiva se estende para a formação do professor de matemática em todas

as modalidades de ensino, sendo assim, também privilegia a formação do futuro

professor de matemática para as séries inicias do ensino fundamental.

A pesquisa de mestrado O Espaço de Formação no Curso de Pedagogia num

Contexto de um Projeto Integrado do Ensino de Ciências, Matemática e Prática

Pedagógica se insere no contexto do Projeto Integrado buscando analisar nas produções

escritas em narrativas o modo como os estudantes do curso de Pedagogia constroem os

significados sobre sua formação para o ensino de matemática, e o modo como

compreendem o contexto do Projeto Integrado como contexto de formação para o

magistério.

Discutiremos no presente trabalho o papel das narrativas produzidas no interior do

Projeto Integrado, que se constituem fontes de informações sobre a formação do

estudante, e se fará a instrumento de análise na pesquisa de mestrado.

Compreendemos que a finalidade da produção em narrativas, bem como a

elaboração dos demais instrumentos formativos já mencionados é instigar uma prática

reflexiva no aluno, para que em contato com a teoria representada pelas disciplinas de

Fundamentos e de Pratica de Ensino, (re) elabore suas vivências e impressões sobre/no

ensino de matemática. Segundo Garrido (2002), a construção da identidade de ser

professor também é construída na identidade de ser aluno, assim, aproximando esta

concepção do Projeto Integrado, consideramos que a narrativa é um espaço possível

>?@ABCD ?E FE FE G >FH@?D ?E @E IE JGE ? KLNNLOPQL na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

6


para o estudante manifestar e dizer a si mesmo sobre seu envolvimento, seu motivo e

sua finalidade profissional.

Compreendemos que o estudante se faz professor em atividades que direcionam a

formação de sua identidade, uma identidade crítico-reflexiva sobre a prática de ensino.

A afirmação de Vázquez (1977) -

A atividade humana é, por conseguinte, atividade que se desenvolve de acordo com finalidades, e essas só existem através do homem, como produtos de sua consciência. Toda ação verdadeiramente humana requer certa consciência de uma finalidade, finalidade que se sujeita ao curso da própria atividade. (1977, p. 189)

- contribue para a nossa discussão sobre a apropriação da escrita em narrativa pelo

estudante de Pedagogia, pois consideramos que esta modalidade de escrita torna-se um

instrumento que possibilita ao estudante a Atividade da reflexão enquanto

sujeito/professor em formação.

Apresentaremos em alguns trechos de narrativas as reflexões sobre o modo

como os estudantes observam e significam sua formação para o ensino de matemática

tanto no contexto da Disciplina Fundamentos do Ensino de Matemática, quanto no

contexto de reflexão sobre o Projeto Integrado. Identificamos os estudantes desta

pesquisa por uma letra genérica do alfabeto para preservar suas identidades.

Ressaltamos que todas as narrativas produzidas foram inseridas nos portfólios

produzidos pelos estudantes ao final do primeiro semestre.

As (re)significações na formação pela narrativa

Alguns estudantes falam do processo de refletir sobre sua profissão e registram

esta reflexão em narrativas com o significado da “consciência de uma finalidade” para

suas vidas. “Fim de Março. Apenas 1 mês, mas muita coisa já aconteceu. Pensar no meu

portfólio me causa uma sensação interessante, positiva. Pensar em como ele estará no

final do semestre e em como irei me sentir lendo todas essas coisas. E na verdade, nem

sei se é assim que se fazem narrativas reflexivas. Ainda estou me descobrindo, afinal,

são as minhas narrativas e as minhas reflexões. E eu tenho refletido muito... [...] Esse

semestre, do 3° ano de pedagogia é o mais crítico. É agora ou nunca. Ou você se

descobre professora, ou abandona. Até se forma, mas buscará empregos em outros

ramos. Isto, quero deixar bem claro: eu me considero um indivíduo em crise. [....]. Por

RSTUVWX SY ZY ZY [ RZ\TSX SY TY ]Y ^[Y S _`aa`bcd` na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

7


que crises? Bom, é a pergunta mais fácil de responder, está na ponta da língua. Sinto-me

em crise porque não sei se serei tão boa professora como eu gostaria, como eu tinha

planejado ser.” (Aluna P. Narrativa I, Abril/2008).

A consciência da crise de ter que tomar a decisão entre ser professora ou um

profissional de outros ramos da pedagogia se refere à busca de uma finalidade, de um

projeto de vida. Vários fatores podem estar na origem da crise. Primeiramente, ser

professora é uma escolha entre outros ramos da Pedagogia, uma escolha que deve ser

acompanhada da decisão de ser “boa professora”. A este propósito se agrega a tensão da

premência do tempo que a estudante P se coloca para tomar a sua decisão profissional.

Ao iniciar o curso, pedagogia, talvez fosse a decisão, mas o terceiro ano coloca,

para esta estudante, a necessidade de definir a especificidade pedagógica de sua

profissão. O ato de narrar a si mesma esta necessidade objetiva as implicações da

estudante com sua definição profissional. A exteriorização de suas dúvidas e anseios se

apresenta como um espelho: por meio da escrita em narrativa observa seu movimento

de tensão sobre a profissão futura.

Esta tensão na escrita permite focalizar seu olhar sobre os conteúdos de seu futuro

fazer pedagógico, as disciplinas. “E podem ficar tranqüilos que irei enfatizar minhas

crises em ciências e matemática [...]” (Aluna P. Narrativa I, Abril/2008).

Pela narrativa a aluna transmite aos docentes das disciplinas suas expectativas de

formação para o ensino de ciências e matemática, um modo, este, de comunicar suas

necessidades a respeito do saber ensinar nestas áreas de conhecimento que não se faz

usualmente presente em sala de aula. Mas não é somente em saber ensinar matemática e

ciências que reside sua crise. Narrando desvenda a si mesma o tamanho da

responsabilidade de ser “boa professora”, o que quer dizer, na verdade, “ser boa em

tudo”. “Hoje, estava lendo o PCN de história, e acrescentei mais algumas angustias à

minha cabeça. (…) “cabe” (como aparece no próprio PCN) ao professor de história dar

conta de muitas coisas, muitas mesmo. Eu preciso ser boa em tudo. Não é exagero È só

somar todas as disciplinas que um professor de ensino fundamental deve ensinar.”

(aluna P. Narrativa I, Abril/2008)

No decorrer da escrita apresenta suas inquietações e anseios sobre seu papel

enquanto professora de matemática, no modo como ensinar conteúdos que não

“dominou”: “E é claro que a coisa complica mais ainda quando se trata de uma

efghijk fl ml ml n emogfk fl gl pl qnl f rsttsuvws na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

8


disciplina da qual eu não dominei durante minha vida escolar. Eu não sei muita coisa

das quais terei de ensinar. Quer crise maior que essa? É como se um futuro médico

chegasse a conclusão que não sabe exatamente onde fica cada um dos órgãos do corpo

humano, como se não soubesse diferenciar célula de tecido. Enfim, è complexo.” A

aluna elabora uma realidade hipotética para representar seu momento de angústia,

relacionando a importância vital do conhecimento teórico para desenvolver a prática.

O ser médico se aproxima do ser professor, a responsabilidade de formação inicial

do conhecimento intelectual se aproxima do cuidado com o corpo. Esta representação

relacionando as profissões enfatiza a importância e a necessidade de um equilíbrio entre

conhecimento teórico e prático. Para a aluna P um professor deve dominar os conteúdos

de ensino e o modo como agir tanto quanto um médico deve saber sobre a constituição

da fisiologia humana.

Sente-se angustiada por compreender que mesmo por não ter uma experiência

com a disciplina matemática, por não dominar corretamente os conteúdos para serem

ensinados nas séries iniciais, precisará desenvolvê-los em sua prática. Esta angústia

projeta-se em uma prática futura, em um saber fazer sem conhecer os instrumentos

necessários para conduzir o ensino, assim como um médico recém formado que não

identifica a localização dos órgãos no corpo de seu paciente. Sua escrita se apresenta

como uma tentativa de resolver a tensão gerada ao pensar na prática em sala de aula que

se torna cada vez mais próxima, pois está cursando o penúltimo ano do curso. Para P. a

escrita desta narrativa torna-se um espaço de desabafo e de reconhecimento dos próprios

anseios sobre a profissão.

A escrita em narrativa se apresenta como um instrumento privilegiado de reflexão

que quebra o discurso da impessoalidade, muitas vezes vivido nas produções escritas no

ambiente acadêmico: “Este semestre para mim tem sido muito especial. Fiquei um ano e

meio afastada da faculdade, cursando apenas uma disciplina por semestre, por conta do

nascimento da minha filha. Fiz essa opção e confesso que às vezes me senti arrependida,

mas estou me dando conta de que este tempo foi imprescindível para meu

amadurecimento acadêmico e pessoal. Acredito que o prazer está em me aproximar

mais da prática, através do estágio e das disciplinas de fundamentos. Outro quesito

importante é a elaboração das narrativas que “quebra” o discurso da impessoalidade e

me faz sentir maus ativa.” (aluna A. Narrativa I, Abril/2008)

xyz{|}~ y� �� x��zy~ y� z� �� y �� na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

9


Para A. é estabelecida uma nova relação com o curso por meio das vivências no

estágio, nas disciplinas e pela nova dinâmica de reflexão: a escrita em narrativa.

Expressar os sentimentos sobre seu processo de formação, sobre as discussões nas

disciplinas, apresentar e refletir sobre as angústias tornam-se momentos privilegiados

que possibilitam a desconstrução de uma visão: a impessoalidade na formação

acadêmica, vivenciada anteriormente ao período de afastamento necessário pelo

nascimento de sua filha. O reencontro com o curso e com o projeto Integrado possibilita

a criação de novas expectativas sobre sua formação, pois passa a vivenciar de forma

significativa um processo antes descontextualizado da prática.

As narrativas também apresentam as reflexões sobre o ensino de matemática e a

importância do contexto integrado de desenvolvimento das práticas neste período da

formação: “[...] E os Fundamentos do Ensino da Matemática? Quinta à tarde. Essa

disciplina que muitas vezes é considerada um bicho de sete cabeças pelos alunos. E por

isso, será que deveria ser então, hora de reavaliar seu ensino? [...]”. É revelada neste

trecho uma concepção sobre a matemática enquanto disciplina escolar: “ um bicho de

sete cabeças” na visão da aluna, uma estrutura “mitológica”, intrigante, que precisa ser

desvendada no semestre decisivo para a formação. Há a necessidade de reavaliar o

ensino, mas não qualquer ensino, um ensino que lhe pertence, possui características

próprias e demonstra uma visão de aluna sobre o ser professora, que passa a ser

(re)significada em um contexto de proporciona um ensino significativo da disciplina,

até então considerada desafiadora por muitos.

“[...] Como uma nova estratégia, vimos o jogo matemático, pelo qual, pode-se sim

aprender conceitos e construir conhecimentos lógicos. Há diversos deles, e que

trabalham cada um com uma variedade de habilidades diferentes: sudoku, kalah,

centurião... Outro fato importante que deve ser lembrado é o da linguagem dentro da

matemática. Existem diferentes expressões que significam a mesma “ação”: produto,

multiplicação, vezes... E isso pode trazer dificuldades ao aluno, que pode, às vezes,

saber solucionar o problema, porém não conseguir interpretá-lo. O professor deve

enxergar que mesmo quando insistimos em trabalhar as disciplinas em separado, os

conhecimentos necessários à uma e outra muitas vezes se cruzam [...]” (aluna M.

Narrativa I, Abril/2008). A aluna se apropria de uma visão de prática dialógica que

relaciona os diversos conteúdos que devem ser desenvolvidos por um professor das

�� na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

10


séries iniciais do ensino fundamental. Indica que ensinar a matemática envolve muito

mais que os números, envolve significados, conceitos, estruturas históricas de formação

de conceitos (MOURA, 1996) que devem ser apresentados aos alunos, pois a

matemática enquanto linguagem exige uma interpretação de quem dela utiliza.

“[...] Trabalhar com a matemática não é apenas ensinar os números e repetir

exaustivamente a tabuada. Deve-se ir a fundo na relação numérica e assim fazer a

criança se desenvolver. (Re)significar os conceitos prontos e construir a partir deles.

Uma nova visão do ensino da matemática se faz necessária, para que essa deixe de ser

tão massacificante e complexa. Conseguir resgatar uma relação harmoniosa da mesma

com os alunos.” (aluna M. Narrativa I, Abril/2008). M. aponta uma visão de

interdisciplinaridade ao indicar que “os conceitos das disciplinas se cruzam”. Considera

que cabe ao professor promover um diálogo interdisciplinar mesmo que esta

interlocução não ocorra de modo real na prática escolar.

A sua produção escrita demonstra uma apropriação do contexto interdisciplinar e

dialógico para pensar sobre a prática sugerido pelas disciplinas de Fundamentos do

Ensino de Ciências, Fundamentos do Ensino de Matemática e Práticas de Ensino,

desenvolvidas no Projeto Integrado, um contexto que direciona sua formação para

vivenciar uma concepção de ensino que não fragmenta os conteúdos.

Escrever em narrativa: tecendo considerações

O presente trabalho buscou apresentar o papel da narrativa no processo de

formação do professor de matemática para as séries iniciais do ensino fundamental,

destacando produções escritas de estudantes que estão inseridos num Projeto que busca

integrar diferentes ambientes de discussões e estudos que envolvem a prática de sala de

aula, representados pelas disciplinas de Fundamentos do Ensino de Matemática,

Fundamentos do Ensino de Ciências e Prática Pedagógica.

O diálogo dos alunos com a própria história, e a busca por (re)significar seu

contexto de formação e de práticas esteve presente em muitas narrativas analisadas,

porém buscamos apresentar de um modo geral o movimento inicial de escrita e o modo

como os alunos se apropriaram deste instrumento de reflexão.

As narrativas tornam-se instrumentos privilegiados para que na formação inicial

dos professores ocorra a observação do próprio movimento de aprendizagem na

�� ¡¢£¤ �¥ ¦¥ ¦¥ § �¦¨ �¤ �¥ ¥ ©¥ ª§¥ � «¬¬®¯°¬ na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

11


docência do ensino de matemática para as séries iniciais, pois enquanto produção de

significados, a escrita no formato de narrativa representa o movimento do sujeito se

fazendo e fazendo história no contexto interativo de formação. Esta perspectiva vai ao

encontro do que afirma Rosa, que destaca: Trabalhar com narrativas é trabalhar com

aberturas, com a possibilidade de interlocuções com outros, sem procurarmos

responder a todas as perguntas, muitas vezes até criando outras. (ROSA et al, 2007 p.

30). Deste modo, produzir narrativas refletindo sobre a prática produzida enquanto

aluno, nas atividades e leituras das disciplinas, e enquanto professor, no

desenvolvimento do projeto de ensino na sala de aula, também é produzir novos

questionamentos e provocar um movimento de formação imerso na intencionalidade:

(re)significar-se enquanto professor pelas experiências vivenciadas.

O processo da escrita em narrativa orienta a reflexão do estudante para

compreender a formação. De acordo com Benjamin (1994), escrever em forma de

narrativa envolve dois processos que se inter-relacionam entre as camadas do tempo,

entre o cruzamento de diferentes “fios”: o narrar, compreendido como uma ação de (re)

significação do sujeito, de construção da relação com o conhecimento, com a

experiências, com a (re)significação destas experiências, com a produção de um diálogo

entre passado e presente; e rememorar, entendido como a construção dos sentidos no

movimento de apropriação da memória (BENJAMIN, 1994, p. 211). A escrita em

narrativa se constituiu em um instrumento de formação para os estudantes das narrativas

apresentadas, pois estes (re)constroem o modo de serem alunos, na tentativa de

construírem um modo de serem professores.

Como fonte de dados, consideramos que este instrumento possibilita uma

aproximação entre formador e sujeito em formação, pois assim como afirma uma das

alunas, a narrativa torna-se um objeto de escrita pessoal, um espaço de possibilidades de

discussão e apresentação do que realmente se sente sobre ser professor. Um espaço que

minimiza a impessoalidade.

Referências

±²³´µ¶· ²¸ ¹¸ ¹¸ º ±¹»³²· ²¸ ³¸ ¼¸ ½º¸ ² ¾¿ÀÀ¿ÁÂÃ¿ na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

12


ARAUJO, E. S. Da formação e do formar-se. A atividade de aprendizagem docente em uma escola pública. 2003. 164p. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003.

BAROLLI, E.; MOURA, A. R.; PRADO, G. V. Narrativas na Formação Inicial de Professores: Possibilidades de Articulação entre Ensino e Pesquisa num Contexto de Integração Disciplinar. Faculdade de Educação. Universidade Estadual de Campinas. Unicamp, Mímeo, 2008.

BENJAMIN, W. Obras Escolhidas: magia e técnica, arte e política.7ªed., São Paulo: Ed Brasiliense, 1994

FAZENDA, I. C. A. Integração e Interdisciplinaridade no ensino brasileiro: efetividade ou ideologia? 4ª Ed. São Paulo: Edições Loiola, 1996

FREITAS, M. T. M. A escrita no processo de formação contínua do professor de matemática. 2006. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2006

JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago Editora LTDA, 1976.

JARAMILLO QUICENO, D. V. (Re)constituição do ideário de futuros professores de matemática num contexto de investigação sobre a prática pedagógica. 2003. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2003

MOURA, M. O. de. et.al. Controle de variação de quantidade. Atividades de Ensino. Textos para o ensino de Ciências nº7. Oficina Pedagógica de Matemática. Universidade de São Paulo. São Paulo: 1996.

PIMENTA, S. G. Professor reflexivo: construindo uma crítica. In: PIMETNA, S. G.; GHEDIN, E. (Orgs) Professor Reflexivo no Brasil. Gênese e crítica de um conceito. 2ª Ed., São Paulo: Cortez, 2002.

ROCHA, L. P. (Re)constituição dos saberes de professores de matemática nos primeiros anos da docência. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação. Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2005.

ÄÅÆÇÈÉÊ ÅË ÌË ÌË Í ÄÌÎÆÅÊ ÅË ÆË ÏË ÐÍË Å ÑÒÓÓÒÔÕÖÒ na formação do professor de matemática para as séries iniciais. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

13

ROSA, M. I. P. et al. Narrar currículos: inventando tessituras metodológicas. In: AMORIN, A. C.(org) Passagens entre moderno e pós-moderno: ênfases e aspectos metodológicos das pesquisas sobre currículo. Campinas: FE/UNICAMP. GT Currículo Anped., 2007, p. 29-35.

SÁ-CHAVES, I. Portfólios reflexivos: estratégia de formação e supervisão. Aveiro: Universidade, 2000.

VASQUÉZ, A. S. Filosofia da Práxis. Tradução: Luiz Fernando Cardoso. 2. Ed., Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1977, p.209-243.

×ØÙÚ ÛÜ ØÜ ÝÜ ×Ü Þ ßàØáÝâàáàÚ ßÜ ãÜ ØäåæçèÞ éÞ êëÞètões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS DE

MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS DE

REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Rosana Ap. da Costa VAZ- PUC/SP ([email protected]ìBarbara Luttaif BIANCHINI- PUC/SP ([email protected]ì

Resumo: Esta pesquisa tem como objetivo analisar a resolução pelos alunos em questões relacionadas à Álgebra, referentes ao tema equações e expressões que envolvem a conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003), baseando-nos nos níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos (técnico, mobilizável e disponível) de Aline Robert (1998). Para tanto, utilizamos como instrumento de pesquisa, três questões da prova do SARESP/2005 aplicadas ao 8º ano em 2008, porém, sem as alternativas. Nossa pesquisa é qualitativa, fundamentada na metodologia da engenharia didática (ARTIGUE, 1996). (Analisando) Ao analisarmos o desempenho apresentado por nossos alunos, notamos que, em relação à conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico, todos se encontram no nível técnico, com uma forte tendência em resolver as questões utilizando apenas operações com números, o que nos mostra uma grande dificuldade por parte dos mesmos quando se deparam com situações-problemas que exigem o registro algébrico para resolução, ou seja, situações-problema no nível disponível. Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos conceitos algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a mobilização de seus conhecimentos e a articulação de estratégias para a resolução de uma atividade. Espera-se com essa pesquisa, mostrar que uma análise qualitativa de acordo com os níveis de Aline Robert (1998) nos ajudará não só a identificar os possíveis erros e dificuldades dos alunos, como também verificar quais os conhecimentos nossos alunos são capazes de mobilizar. Desta forma, esperamos sensibilizar o professor a preparar aulas e exercícios a serem trabalhados em classe e extra-classe contemplando os três níveis de conhecimento esperados pelos alunos, o que poderá servir efetivamente para redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias em sala de aula, capazes de contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.

Palavras-chave: Álgebra, Registros de Representação Semiótica, Níveis de Mobilização de Conhecimentos pelos Alunos.

íîïð ñò îò óò íò ô õöî÷óøö÷öð õò ùò îúûüýþô ÿô V�ôþtões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

2

Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Introdução

Algumas discussões relacionadas ao desempenho dos alunos nas avaliações

internas e externas, principalmente no que se refere à leitura e interpretação de textos

matemáticos, à atividade algébrica com significado e ao trabalho das diferentes

representações da linguagem matemática indicam-nos a necessidade de adequar nosso

trabalho como professores e pesquisadores, procurando atender às suas dificuldades.

Nos resultados da prova do SAEB -Sistema Nacional de Avaliação de Educação

Básica, itens referentes à álgebra raramente atingem o índice de 40% de acerto em

muitas regiões do país (BRASIL, 1998, p. 116), sendo esse um dos fatores que tem

levado os pesquisadores da área de educação matemática à análise e revisão dos

currículos dessa disciplina, bem como a metodologia utilizada no ensino básico.

No SARESP – Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo os resultados não são diferentes. Em 2005, a média de desempenho dos alunos em

matemática nessa avaliação não passou de 37% (SÃO PAULO, 2007).

Para que o ensino da álgebra seja efetivado, faz-se necessário que o professor

tenha clareza dos diferentes papéis que ela assume, como por exemplo, álgebra como

ferramenta, álgebra como estrutura, álgebra como linguagem, álgebra como aritmética

generalizada, álgebra como cultura (LEE, 2001, apud SILVA, 2006, p. 26) e, com seus

alunos construa o conhecimento algébrico, principalmente com relação à sua

linguagem e representação.

Aparentemente, nem sempre são trabalhadas com os alunos atividades que

privilegiem as mudanças de registros de representação semiótica (DUVAL, 2003),

sendo dada atenção apenas a mecanismos de cálculo, muitas vezes sem que estejam

relacionadas a um contexto real e com significado.

Diante do acima exposto, desenvolvemos uma pesquisa com o objetivo de analisar

o desempenho dos alunos na resolução de algumas questões de matemática, de acordo

com os níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998): nível técnico,

mobilizável e disponível, referentes ao tema equações e expressões, as quais exigem do

aluno a passagem do registro de representação semiótica da língua natural para o

registro algébrico (DUVAl, 2003).

Robert (1998) ressalta que um trabalho que considera esses três níveis de

conhecimentos ajuda na análise e na preparação de atividades que permitam a

�� tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

3


construção do conhecimento matemático em diferentes níveis, bem como auxilia na

identificação dos conhecimentos prévios necessários para a resolução de uma situação-

problema.

Duval (2003, p. 31) considera que uma pluralidade de registros de representação

de um mesmo objeto, e a articulação desses diferentes registros são condições

necessárias para a compreensão em matemática.

Espera-se com essa pesquisa, mostrar que a análise qualitativa de acordo com os

níveis de Aline Robert (1998) nos ajudará não só a identificar os possíveis erros e

dificuldades dos alunos, como também verificar quais os conhecimentos nossos alunos

são capazes de mobilizar, ajudando-nos a selecionar atividades nos três níveis,

aplicando aos alunos no momento certo, o que poderá servir efetivamente para

redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias em sala de aula,

capazes de contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.

Análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) sobre Resolução de

Problemas e o Ensino de Álgebra

De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), a resolução de problemas deveria ser o

ponto de partida para a construção de um conhecimento matemático significativo, em

que os alunos se sintam desafiados e se dediquem a desenvolver habilidades, construir

estratégias de resolução, comprovar essas estratégias e justificar os resultados obtidos.

Tais conhecimentos exigem do aluno a iniciativa pessoal e o trabalho em equipe,

favorecendo a autonomia e confiança em sua própria capacidade.

Todavia, tal atividade dificilmente tem sido desenvolvida com sucesso, tendo em

vista a dificuldade de muitos na leitura e na interpretação dos textos matemáticos.

Dessa forma, a resolução de problemas passa a ser apenas uma atividade para

aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos e não como uma

atividade de ponto de partida, o que seria adequado.

Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), uma situação-problema só pode ser

considerada como algébrica se sua resolução necessitar, de forma retórica ou simbólica,

de operações, incógnitas e leis aritméticas que legitimem as transformações entre os

dois membros de uma igualdade.

�� !� �� "� �#$%&'� (� )*�'tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

4


Os PCN (BRASIL, 1998) nos apresentam alguns princípios para a resolução de

problemas sendo um deles de que uma situação-problema pode servir de ponto de

partida para a atividade matemática e não como definição.

No processo de ensino e de aprendizagem, os conceitos matemáticos devem ser

abordados mediante a exploração de problemas, de forma que os alunos precisem

desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los.

Segundo os PCN (BRASIL, 1998), uma atividade problema em que o aluno

aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório não se

caracteriza em um problema. Só existirá problema se o aluno for desafiado e motivado a

interpretar o enunciado da questão que lhe é proposta e a modelizar, estruturar a

situação que lhe é apresentada para a sua resolução.

Para resolver certo tipo de problema o aluno mobiliza conhecimentos adquiridos e

os utiliza para apreensão de novos conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas, o

que exige do aluno conjecturas, transferências, retificações e verificações de hipóteses.

Concluímos, dessa forma, que os princípios estabelecidos pelos PCN (BRASIL,

1998) vão ao encontro do estudo sobre os níveis de mobilização de conhecimentos

(técnico, mobilizável e disponível), realizados pela pesquisadora Aline Robert (1998),

os quais podem nos auxiliar a detectar em que nível se encontra nossos alunos, para que

possamos propor atividades que envolvam conceitos matemáticos, fazendo com que

eles, ao realizarem tais atividades, construam seus conhecimentos e trabalhem em

diferentes níveis.

Sabemos que os conhecimentos necessários para a resolução de um problema

podem não estar disponíveis para o aluno em um primeiro momento e que isso nem

sempre é explicitado pelo professor, o qual parte do pressuposto de que seus alunos

possuem tais conhecimentos e os utilizam para estruturar uma solução.

Quando isso acontece, ou seja, não há uma disponibilidade de conhecimentos

necessários por parte dos alunos, o professor poderá mediar, fazendo com que seus

alunos relembrem tais conteúdos.

Assim, para que o aluno alcance uma solução bem sucedida quando resolve um

problema, é necessário que siga alguns passos ou etapas propostas por Polya (1978), ou

seja, o aluno deve compreender o problema, elaborar um plano e buscar estratégias de

+,-. /0 ,0 10 +0 2 34,516454. 30 70 ,89:;<2 =2 >?2<tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

5


resolução, reconhecer os procedimentos necessários para a resolução e, finalmente,

comparar, verificar e interpretar a solução encontrada.

De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), o ensino de matemática deve ter como

objetivo o desenvolvimento do pensamento algébrico, o qual deve ocorrer por meio de

situações de aprendizagem que levem o aluno a reconhecer diferentes representações

algébricas, as quais permitam generalizar propriedades e compreender os procedimentos

envolvidos na resolução de uma situação-problema.

O estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. (BRASIL, 1998, p. 115).

Relativamente ao quarto ciclo, ou seja, oitavo e nono ano (antigas 7ª e 8ª séries do

Ensino Fundamental), o ensino de matemática deve priorizar o desenvolvimento do

pensamento algébrico por meio da exploração de situações-problema que permitam ao

aluno produzir e interpretar diferentes representações algébricas como expressões,

equações e inequações, bem como compreender os procedimentos algébricos

envolvidos para resolução de tal conteúdo.

Os conceitos e procedimentos algébricos são bastante complexos aos alunos os

quais, além de apresentar dificuldade na interpretação do texto matemático e de encarar

a necessidade de mobilizar conhecimentos a fim de modelizar o problema, muitas vezes

confundem o papel da letra, ou seja, a noção de variável e incógnita.

Utilizamos a letra como uma incógnita quando ela estiver representando um

número desconhecido. Quando ela pode assumir vários valores num conjunto

específico, estabelecendo, também, uma relação entre dois conjuntos é chamada de

variável.

[...] O ensino da álgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas que lhes permitam dar significado à linguagem e às idéias matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções da álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao mobilizar, generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas) (BRASIL, 1998, p. 84).

@ABC DE AE FE @E G HIAJFKIJIC HE LE AMNOPQG RG STGQtões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

6


Um professor pode reconhecer facilmente que um conteúdo matemático pode

estar diretamente ligado a outro conteúdo, ou seja, para a compreensão de um novo

conhecimento é necessário mobilizar alguns conhecimentos já interiorizados, fato esse

que nem sempre é percebido pelos alunos.

O trabalho com a álgebra, suas diferentes linguagens e representações não exclui

essa idéia, ao contrário, estará sempre presente em atividades e problemas envolvendo

outros conteúdos matemáticos, os quais exigirão do aluno a manipulação de conceitos já

adquiridos para, e em muitos deles, realizarem a conversão do registro de representação

semiótica da língua natural para o registro algébrico.

Procedimentos Metodológicos

Esta pesquisa é qualitativa e assumimos como procedimento metodológico

algumas fases da engenharia didática, a qual fundamenta-se em registros de estudos de

caso com validação interna.

Empregaremos no processo da engenharia didática as quatro fases seguintes:

A primeira fase é quando ocorrem as análises preliminares, em que se considera-

se o quadro teórico geral e os conhecimentos já adquiridos sobre o assunto em questão.

Na segunda fase ocorre a análise a priori das questões, na qual o pesquisador, de

acordo com as análises preliminares, delimita o número de variáveis referentes ao

sistema sobre os quais o ensino atua.

A terceira fase, quando ocorre a experimentação, é realizada com certa população

de alunos. Nesta fase supõem-se as condições de realização da pesquisa, a aplicação dos

instrumentos de pesquisa e os registros das observações feitas sobre a experimentação.

A quarta fase é caracterizada pela realização da análise a posteriori e da validação

da pesquisa, a qual é feita internamente, pois se baseia na confrontação entre a análise

a priori, que por sua vez se apóia no quadro teórico e na análise a posteriori.

(MACHADO, 1999, p. 199-200).

O instrumento utilizado foi composto por 3 questões, as quais foram selecionadas

de acordo com os três níveis de mobilização de conhecimentos, referentes a situações-

problema que necessitam de uma conversão do registro de representação semiótica da

língua natural para o registro de representação algébrico referentes ao tema

expressões/equações polinomiais do primeiro grau.

UWXY Z[ W[ \[ U[ ] ^_W`\a_`_Y ^[ b[ Wcdefg] h] ij]gtões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

7


Para isso, analisamos as questões das provas do SARESP/2005 aplicadas à 7ª

série do Ensino Fundamental do período da manhã e do período da tarde, que exigiam a

conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro de

representação algébrico, referentes ao tema expressões/equações polinomiais do

primeiro grau e obtivemos os seguintes resultados tanto na prova do período da manhã

quanto na prova do período da tarde:

1 questão no nível técnico

3 questões no nível mobilizável

2 questões no nível disponível

Como destacamos, encontramos apenas uma questão no nível técnico referente ao

tema, porém, esta única questão não exige do aluno a conversão do registro da língua

natural para o registro algébrico.

Diante disso, as questões escolhidas foram as de número 7, 8 e 9, pois são

questões que além de estarem ligadas ao tema expressões/equações, possibilitam-nos

analisar como nossos alunos equacionam a situação-problema e em que nível de

mobilização de conhecimentos eles se encontram.

Fizemos uma análise a priori dessas três questões. Procuramos, nesta análise,

destacar o objetivo da questão, as habilidades e os conhecimentos necessários para a sua

resolução, a classificação sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos pelos

alunos estudados por Aline Robert (1998) e as estratégias possíveis de resolução.

QUESTÃO 8:

A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é:

A) R$ 115,00 B)R$ 120,00 C)R$ 135,00 D)R$ 152,00

O objetivo dessa questão é verificar se o aluno é capaz de resolver problemas

envolvendo um sistema de equações polinomiais do primeiro grau.

Classificamos esta questão como sendo do nível disponível pois, apesar dos dados

estarem totalmente explícitos no enunciado, não fica claro ao aluno qual o caminho a

ser seguido.

klmn op lp qp kp r stluqvtutn sp wp lxyz{|r }r ~�r|tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

8


Os conhecimentos necessários para a resolução desta situação-problema são:

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão dos números racionais, equação

polinomial do primeiro grau e sistemas de equações polinomiais do primeiro grau.

O aluno poderá, para a resolução da referida questão, tomar três caminhos, sendo

eles:

Equacionando a situação-problema

Marta e João possuem juntos R$ 200,00.

Considerando M a mesada de Marta e J a mesada de João teremos:

M + J = R$ 200,00 (equação I)

Se Marta gastou R$ 70,00, obtemos como expressão M – R$ 70,00 e se João

gastou R$ 40,00, obtemos como expressão J – R$ 40,00.

Como ficaram com quantias iguais obtemos a seguinte igualdade:

M – R$ 70,00 = J – R$40,00, aplicando o princípio de equivalência obtemos

M – J = R$ 30,00, ou, M = R$ 30,00 + J (equação II).

Substituindo a equação II na equação I temos R$ 30,00 + J + J = R$ 200,00

2J = R$ 170,00 e, portanto, J = R$ 85,00.

Achamos a mesada de João que é de R$ 85,00, então, a mesada de Marta é de

R$115,00.

Nesta situação-problema o aluno poderá, ainda, resolver algebricamente, porém,

não utilizando um sistema de equações polinomiais do primeiro grau, mas apenas

de uma única equação, vejamos:

Chamando o valor da mesada de Marta de x, que juntando com a mesada de João

resulta em R$ 200,00, podemos chamar a mesada de João, de R$ 200,00 - x.

Subtraindo R$ 70,00 da mesada de Marta escrevemos x – R$ 70,00 e, subtraindo

R$ 40,00 da mesada de João escrevemos R$ 200,00 - x – R$ 40,00.

Como resulta em quantidades iguais, temos:

x – R$ 70,00 = R$ 200,00 - x – R$ 40,00.

Aplicando o princípio de equivalência obtemos 2x = R$ 230,00, então x

= R$ 115,00, portanto, a mesada de Marta é R$ 115,00.

Utilizando apenas operações com números


9


Somando-se os gastos feitos por Marta, R$ 70,00, com os gastos de João, R$

40,00, teremos um total de R$ 110,00. Subtraindo-se esse valor do total da mesada

resulta em R$ 90,00.

Considerando-se que os dois, após os gastos ficaram com quantias iguais teremos

R$90,00 divido por dois, resultando R$ 45,00.

Somando-se esse valor com o valor gasto por cada um chega-se ao seguinte

resultado: Marta R$ 70,00 + R$ 45,000 = R$ 115,00 e João R$ 40,00 + R$ 45,00 = =R$

85,00.

Utilizando as alternativas

Se a mesada de Marta for R$ 115,00, verifica-se que a de João é R$ 85,00 pois, as

duas juntas deve ser de R$ 200,00.

Como Marta gastou R$ 70,00, ficou com R$ 45,00 e como João gastou R$ 40,00,

também ficou com R$ 45,00, ou seja, a alternativa A) é a correta.

Para confirmar, o aluno poderá verificar a alternativa B), procedendo da mesma

maneira, chegando à conclusão de que tal alternativa não satisfaz aos dados da situação-

problema.

Apresentação e Análise dos Resultados

O instrumento foi aplicado a 32 alunos do 8º ano de uma escola da Rede Estadual

de Ensino São Paulo, da mesma maneira como foi no SARESP/2005, porém, sem as

alternativas.

Procuramos deixar bem claro aos alunos a necessidade e importância de que

deixassem a resolução da questão na folha e que justificassem suas respostas, pois

somente assim seríamos capazes de obter as informações necessárias.

A aplicação do instrumento teve início às 10h05min e término às 10h40min.

Com relação à questão 8, cujas habilidades exigidas eram resolver situação-

problema por meio de equação do primeiro grau e resolver situação-problema por meio

de um sistema de equações do primeiro grau, obtivemos 8 acertos, o que corresponde a

15,6%.

Em nossa análise a priori esta questão foi classificada como sendo do nível

disponível.

�� ¡� �¢£¤¥¦� §� ¨©�¦tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

10


Analisando os protocolos dos alunos, verificamos que todos utilizaram apenas

operações com números para a resolução, como podemos verificar no protocolo do

aluno 7.

Figura 8: Protocolo do aluno 7 – questão 8

Observou-se que o aluno 5 somou os gastos de João e Marta tendo obtido R$

110,00. Depois retirou do valor da soma das mesadas, obtendo R$ 90,00. Como o

problema citava que os dois ficavam com quantias iguais, o aluno dividiu R$ 90,00 por

dois e, acrescentando R$ 45,00 aos gastos de cada um chegou ao valor das mesadas de

João e Marta.

A estratégia utilizada pelo aluno foi a mesma apresentada em nossa análise a

priori, utilizando apenas operações com números, porém, esperávamos que algum aluno

fosse capaz de resolver essa questão utilizando-se do registro algébrico.

Alguns alunos, mais precisamente 2 dos 32, tiveram um raciocínio análogo ao

apresentado acima, porém, não conseguiram concluir uma resposta satisfatória, como

pode-se observar nas Figuras 9 e 10.


ª«¬®¯ °±² ³®´µ´¶´·´ ¸´ ¯·¹´ º » ¼½¾µ¿´ À

ÁÂÃÄ ÅÆ ÂÆ ÇÆ ÁÆ È ÉÊÂËÇÌÊËÊÄ ÉÆ ÍÆ ÂÎÏÐÑÒÈ ÓÈ ÔÕÈÒtões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

11


Na figura 9, observa-se que o aluno efetuou todos os cálculos corretamente,

porém, apresentou o resultado 120. O correto seria concluir a resolução somando

R$45,00 com os gastos de Marta que foi de R$70,00, obtendo R$115,00 como resposta.

Os tipos de erros foram variados, porém, percebemos que foram grande parte

foram causados por uma má interpretação do texto ou falta de atenção nos dados

apresentados, uma vez que 31,5% dos alunos consideraram que Marta e João ganhavam

mesadas no mesmo valor como mostramos nas resoluções apresentadas nas Figuras 11 e

12.


Verificamos que o aluno 10 considerou que tanto Marta como João possuíam

mesadas iniciais de R$200,00 e simplesmente subtraiu os gastos realizados por cada

um.

Os alunos não possuem o costume de validar suas respostas pois, se assim o

fizessem, poderiam repensar a sua resolução. Esses alunos sequer atentaram para o fato

de que R$130,00 + R$160,00 ultrapassa os R$200,00 dados inicialmente no problema.

Ö×ØÙÚÛ ÜÝÞ ßÚàáàâàãà äà ÛãÙåà ÜÜ æ çÙèéáêà ë

Neste caso, o aluno também considerou mesadas iguais para Marta e João e

dividiu R$ 200,00 por dois. Subtraiu os gastos de cada um e somou os gastos, voltando

ao valor inicial.

Concluímos que, com relação ao pensamento algébrico, apenas 14,3% dos alunos

encontram-se no nível disponível, no entanto, com relação à conversão de registros de

ìíîï ðñ íñ òñ ìñ ó ôõíöò÷õöõï ôñ øñ íùúûüýó þó ÿVóýtões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

12


representação semiótica, todos os alunos, inclusive os que conseguiram chegar em uma

solução correta, encontram-se no nível técnico, pois não o fizeram equacionando a

situação-problema.


A análise quantitativa dos resultados confirma o que o SARESP/2005 já havia

apresentado, ou seja, um número insatisfatório de acertos.

Este tipo de análise nos permitiu perceber que há problemas, como já sabemos, no

ensino e/ou na aprendizagem de matemática, porém, não é possível, apenas com os

resultados quantitativos, diagnosticar dificuldades erros, bem como as possíveis origens.

Acreditamos que uma análise qualitativa, de acordo com os níveis de mobilização

dos conhecimentos de Robert (1998), nos proporcionará, além de identificar as

dificuldades dos alunos, verificar quais conhecimentos eles são capazes de mobilizar.

À luz da análise qualitativa das resoluções feitas pelos alunos em nossa pesquisa,

percebemos a forte tendência na resolução utilizando apenas operações com números,

resultado semelhante ao apresentado por Booth (1995, p. 34).

Na questão 8, a qual classificamos como sendo do nível disponível, obtivermos

15,6% de acertos, sendo que nenhum foi obtido por uma resolução apresentada no

registro algébrico.

É importante que o professor aceite a estratégia empregada pelo aluno, porém, é

necessário que proponha situações-problema que o faça perceber a importância de se

utilizar o registro algébrico para a resolução.

Compartilhamos da opinião de Booth (1995) o qual afirma que [...] o uso de

métodos informais em aritmética pode também ter implicações na habilidade do aluno

para estabelecer (ou compreender) afirmações gerais da álgebra. (BOOTH, 1995, p. 35).

Sabemos que a matemática ensinada em algumas escolas é voltada ao treino das

habilidades, a mecanização da álgebra e simples memorização de regras, entretanto,

pudemos verificar que ainda assim, mesmo na manipulação dos termos algébricos ou

numéricos, os alunos não apresentaram um rendimento satisfatório.

Os erros encontrados nas resoluções dos alunos foram muitos.

Não fez parte dessa pesquisa investigar, com a realização de entrevistas aos

alunos ou outras estratégias, as origens desses erros, o que propomos para uma próxima


13


pesquisa, entretanto, analisando os protocolos, verificamos que as dificuldades dos

alunos estão presentes tanto na interpretação do enunciado e no processo de conversão

dos registros de representação semiótica (numérico quando resolveram utilizando

apenas números e, algébrico, quando tentaram equacionar), quanto no tratamento desses

registros, ou seja, na manipulação com as operações numéricas e algébricas.

Ficou claro, também, que os alunos não possuem o costume de validar a resposta

encontrada, pois, se assim o fizessem, poderiam perceber o erro cometido e refazer a

atividade.

Nossa conclusão é de que, desconsiderando a estratégia utilizada para a resolução

das questões propostas, alguns alunos estão no nível disponível, porém, com relação à

conversão dos registros de representação semiótica da língua natural para o registro

algébrico, todos os alunos por nós pesquisados estão no nível técnico.

Lochhead e Mestre propõem como sugestão para amenizar as dificuldades que os

alunos encontram nesse tipo de conversão, que seja realizada uma prática ampla do

processo de tradução, isolada dos outros aspectos da resolução de problemas. (1995, p.

149).

Fazer com que os alunos adquiram o hábito de validar e justificar os resultados

encontrados também é uma estratégia bastante útil, o que permite, inclusive, quando

realizada em conjunto, discussões sobre os possíveis resultados, momento em que o

professor poderá abordar conceitos já vistos, porém, não assimilados.

Na sala de aula, percebemos, enquanto professores, que a aprendizagem de alguns

alunos não ocorre de uma hora para outra, havendo assim, a necessidade de várias

atividades que contemplem todos os níveis de mobilização dos conhecimentos.

Não basta dizer que um aluno acertou ou errou uma questão, o que é feito por

muitos professores. É necessário instigá-lo a descobrir onde e porque errou.

[...] Um levantamento contínuo do que envolve exatamente o aprendizado de novos tópicos de matemática, acompanhado por uma análise dos erros cometidos pelos alunos e de suas causas, pode nos proporcionar instrumentos extremamente úteis para decidir sobre os meios de ajudar as crianças a melhorarem sua compreensão da matemática. (BOOTH, 1995, p. 36).

Nesse sentido, acreditamos que uma análise qualitativa de acordo com os níveis

de Aline Robert (1998) nos ajudará não só a identificar os possíveis erros e dificuldades

�� !� �"#$%&� '� ()�&tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica.

14


dos alunos, como também verificar quais os conhecimentos nossos alunos são capazes

de mobilizar e se estão prontos para enfrentar novas tarefas, em níveis mais avançados.

A teoria de Robert ajuda o professor a separar atividades de todos os níveis

(técnico, mobilizável e disponível) e aplicá-las a seus alunos no momento que o

professor julgar mais adequado.

Como um dos objetivos do SARESP é de que professores e gestores de ensino

tomem conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado e considerando

as orientações da SEE/SP de que todo início de ano que segue a aplicação do SARESP,

no período de planejamento escolar, os professores, juntamente com o coordenador

pedagógico, analisem o desempenho dos alunos em cada questão, verificando em quais

habilidades a média dos alunos obteve baixo índice de desempenho e discutam

estratégias a serem desenvolvidas e os conteúdos a serem trabalhados, no sentido de

minimizar as defasagens apontadas pela referida avaliação, esperamos, com esta

pesquisa, ter mostrado que a análise deve ser feita de forma qualitativa, pois só assim

servirá para um trabalho efetivo em prol da aprendizagem dos alunos.

Referências

ARTIGUE, Michelle. Engenharia Didáctica. In: BRUN, J. (Org.) Didácticas das Matemáticas. Instituto Piaget, 1996.

BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, Arthur F. As idéias da Álgebra. Ed. Atual, 1995.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. MEC, 1998.

DUVAL, Raymond. Registros de representação e números racionais. In: MACHADO, Sílvia Dias Alcântara. (Orgs). Aprendizagem em Matemática: Registro de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, 2003.

FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Ângela; MIGUEL, Antonio. Álgebra ou Geometria: para onde pende o pêndulo? Pro-Posições, Campinas, v. 3, n. 1[7], mar. 1993, p. 39-53.

LEE, Lesley. Early Álgebra – but Witch Álgebra? In: CHICK, Helen. STACEY, Kaye; VINCENT, Jill; VINVRNT, John. (Orgs.). Procceedings of the 12 th ICMI Study Conference: The Future of the Theaching and Learning of Álgebra. Vol. 2, dez./2001, p. 392-399.

*+,- ./ +/ 0/ */ 1 23+405343- 2/ 6/ +789:;1 <1 =>1;tões de matemática, sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos e dos registros de representação semiótica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

15

LOCHHEAD, Jack; MESTRE, José P. Das palavras à álgebra: corrigindo concepções erradas. In: COXFORD, Arthur F. As Idéias da Álgebra. Ed. Atual, 1995.

MACHADO, Silvia Dias Alcântara (org). Educação Matemática. Uma introdução. Engenharia Didática como Metodologia de Pesquisa. São Paulo. Educ. 1999. p. 197–208.

POLYA, G. A. A arte de Resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência. 1978.

ROBERT, Aline. Outils D’Analyse des Contenus Mathématiques à Enseigner Au Lycéeet à L’Université. In: Recherches em Didatique des Mathématiques, Vol. 18. n 2. 1998, p. 139-190.

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Relatório do SARESP/2005, 2007.

SILVA, Maria Helena da. Estudos das visões sobre Álgebra presentes nos parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino Fundamental em Relação a números e operações. São Paulo, 2006. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2006.

O?@AB@CDE FG HG DIJKLMN PN QNRQSM PLPJQLTSMU WKXYZWs compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 5: História e Filosofia

ANÁLISE DE TEXTOS DIDÁTICOS: ALGUMAS COMPREENSÕES

Fábio Donizeti de OLIVEIRA – UNESP ([email protected][

Resumo: Esse texto tem a intenção de discutir algumas possibilidades para a análise de livros didáticos analisando a produção da comunidade de educadores matemáticos brasileiros sobre esse tema. Assim, tece algumas compreensões acerca da prática desses pesquisadores identificando suas intenções ao desenvolverem trabalhos com esse tipo de material. Defende que, de um modo geral, os trabalhos acadêmicos que analisam livros didáticos de matemática evidenciam duas possíveis intenções: contribuir para a constituição de uma História da Educação Matemática sob a faceta dos textos didáticos e/ou contribuir com o processo de ensino-aprendizagem criando subsídios para as salas de aula. Ressalta algumas das posturas do pesquisador frente ao livro didático de matemática buscando identificar “o que” fazem ao analisar e “para que” o fazem. Concebe o livro texto como "Forma Simbólica" e propõe uma discussão metodológica baseada em teorias hermenêuticas, em especial nas considerações de John B. Thompson. Dessa forma, defende que os manuais didáticos devem ser interpretados considerando-se três vertentes interligadas: sócio-histórica, formal (ou interna) e ideológica.

Palavras-Chave: Educação Matemática, Livro Didático, Formas Simbólicas, Metodologia, Análise.

Considerações Iniciais

A análise de livros didáticos de matemática tem merecido a atenção de vários

pesquisadores em Educação Matemática, tendo sido produzida nos últimos anos uma

quantidade relativamente grande de dissertações e teses em que esse tipo de material é

abordado. Entretanto, apesar de significativa, essa produção não tem, explicitamente,

discutido questões metodológicas referentes a esse tipo de análise que, certamente, tem

aspectos que lhes são peculiares.

Com o interesse em compreender o que se tem produzido sob a rubrica de Análise

de Textos Didáticos de Matemática, estudamos tal produção sob dois enfoques: em um

deles, a partir dos grupos de pesquisa em Educação Matemática que trabalham com o

tema, buscamos compreender as intenções latentes, as concepções anunciadas e as

teorias evocadas por esses grupos em seus trabalhos de pesquisa, observando como elas

\]^_`^abc de fe bghijkl ml nlonpk mjmhnjqpkr situvss compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

2

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

– intenções, concepções e teorias – são articuladas e desenvolvidas em suas práticas.

Noutro enfoque, buscamos em trabalhos acadêmicos de diferentes áreas, possíveis

posturas frente ao livro didático que podem contribuir para o desenvolvimento de uma

análise. Por fim, não tendo encontrado nos trabalhos estudados nenhuma teoria que

fundamentasse uma metodologia para a análise de textos didáticos, tecemos algumas

considerações nesse sentido a partir da Hermenêutica de Profundidade de Paul Ricoeur,

especialmente sobre a apropriação feita por John B. Thompson para sua interpretação

das formas simbólicas.

Nesse texto pretendemos apresentar, então, algumas das compreensões que nos

foram permitidas através da pesquisa que gerou a dissertação “Análise de Textos

Didáticos: três estudos” defendida em março de 2008 junto ao Programa de Pós-

Graduação em Educação Matemática da UNESP - Rio Claro/SP1.

A produção sobre Análise de Livros Didáticos de Matemática no Brasil

Considerando a importância dos grupos de pesquisa2, estudamos vinte e dois

trabalhos produzidos por pesquisadores vinculados a grupos de pesquisa em Educação

Matemática brasileiros com o objetivo de perceber o que se tem entendido por análise

de textos didáticos e como tal prática tem sido efetivamente desenvolvida3. Para tanto,

foram elaboradas resenhas críticas de cada um desses trabalhos com o intuito de

descrever as práticas das quais são resultado, buscando-se ressaltar, principalmente, “o

que” fazem os pesquisadores para analisar os livros-texto, bem como “para que” o

fazem.

As repetidas referências a autores como Gert Schubring, Circe Bittencourt,

Wagner Valente, Maria Angela Miorim, Roger Chartier e Alain Choppin, presentes nas

bibliografias da maior parte dos trabalhos estudados, nos fazem conjeturar sobre uma

tentativa desses grupos de desenvolver pesquisas que se enquadram num viés que temos

chamado de “mais contemporâneo” de conceber História, que se alinha com as

concepções apresentadas por esses autores, enfocando questões próprias da cultura e da

sociedade. Por outro lado, é notável, em especial nas teses e dissertações, uma ruptura

entre os capítulos em que tais autores são evocados e aqueles em que, nomeadamente,

as análises são apresentadas, indicando a grande dificuldade dos pesquisadores em

desenvolver análises segundo as concepções anunciadas. Raros são os estudos que se

wxyz{y|}~ �� }�� s compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

3

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

preocupam com a análise de livros didáticos de matemática de um ponto de vista

metodológico, com o que temos buscado contribuir.

Em nosso estudo pudemos identificar duas funções para as quais os pesquisadores

têm analisados livros didáticos de matemática. Em alguns trabalhos podemos perceber

um interesse predominante de intervir no processo de ensino-aprendizagem. Assim,

buscam, a partir da História, construir conhecimentos que possam ser utilizados em sala

de aula. Em outros, podemos identificar a intenção de contribuir para a constituição de

uma História da Educação Matemática. A essas possíveis funções temos chamado,

respectivamente, de “pragmática” e “histórica”. Por conta da tradição filosófica, foram

sendo agregados ao termo “pragmático” alguns significados que contribuíram para que

esse “conceito” ficasse apartado de termos como “reflexão” ou mesmo “filosofia”,

associando-o mais à “técnica”, a um objetivo ou procedimento bastante pontual e direto.

Não é nossa intenção aqui incorrer nesse equívoco. De modo algum caracterizar uma

análise como pragmática significa, aqui, caracterizá-la como técnica ou como dissociada

de uma reflexão. Por “pragmático” entendemos, sim, algo que visa a um objetivo

específico, até mesmo direto, mas que não necessariamente negligencia um pensar

teórico, reflexivo, de natureza filosófica. Chamamos “pragmática” às análises

desenvolvidas visando, mais diretamente, à utilização do material analisado (no caso

deste nosso tema, a análise pragmática do livro didático de matemática visa

fundamentar alguém – um professor, um leitor, um estudante, um pesquisador – quanto

ao uso do material analisado para suas experiências cotidianas, sugerindo possibilidades

de utilização e/ou complementações). Por outro lado, ao caracterizar análises como

“históricas” não pretendemos fazer referência à temporalidade inerente a qualquer

pesquisa, o que nos remeteria a considerar todas (e tudo) históricas. Pretendemos com

esse termo caracterizar as pesquisas em que se pode perceber um interesse em colaborar

com a escrita de uma História da Educação Matemática, seja levantando e refletindo

sobre questões do passado, seja buscando compreender e registrar o presente. Nossa

caracterização – que tem interesse unicamente didático – se concentra no que se pode

perceber como sendo objetivo da pesquisa. Obviamente, essas “funções” não são

estanques, existindo trabalhos que em ambas podem ser inscritos, e cada uma delas

apresenta várias possibilidades de pesquisa.

Esse estudo levou-nos a caracterizar a análise de livros didáticos como qualquer

processo de análise que, para atingir determinado objetivo, estabeleça interpretações

�� ¡¢ £¢ ¤¢¥¤¦¡ £ £�¤ §¦¡¨ ©�ª«¬©s compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

4

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

acerca do livro didático e suas cercanias de tal forma que esse tipo de material ocupe

papel central nesse processo. Tal caracterização não implica que o livro didático seja o

único ou principal recurso para que o objetivo delineado seja alcançado, mas implica,

porém, que não lhe seja reservado um papel “periférico”, secundário, ou, quem sabe,

facilmente descartável, da análise. Levou-nos a perceber, também, uma estrutura

bastante estável nas teses e dissertações e a conjeturar que um dos dificultadores para a

efetivação de uma história cultural a partir dos livros didáticos é a “forma”

(“formatação”) dos trabalhos acadêmicos que inibe articulações entre os dados

pesquisados. Tal conjectura é reforçada pela aparente menor dificuldade4 enfrentada ao

se escrever os artigos e livros estudados, possivelmente pela maior flexibilidade de sua

estrutura.

O “fazer” sobre a análise de textos didáticos

De um modo geral, parece-nos, a análise de livros didáticos perpassa ou, até

mesmo, se inicia pela descrição do conteúdo da obra5. Descrever não consiste

unicamente em transcrever partes da obra. É um processo interpretativo que permite

perceber a obra de um modo geral. Por isso, exige cuidado para, por exemplo, não

apresentar exceções como regras gerais. Exige síntese e compreensão do todo. Permite

relatar não apenas os conteúdos matemáticos da obra, mas também sua estrutura,

metodologia, recursos e elementos utilizados, abordagens etc. Pode evidenciar o estilo

pedagógico da obra, a maneira como o autor utiliza os conteúdos para fins de ensino. É

com um estilo próprio que a obra articula os discursos científico e pedagógico próprios

da matemática cujos objetos, caracteristicamente, só podem ser apreendidos pelas suas

propriedades, pelo que deles se pode dizer.

Além das questões próprias da matemática, o mercado editorial também interfere

no estilo das obras que precisam ser adaptadas à sua clientela e aos modos como a

comunidade entende a matemática e seu ensino.

Muitas das obras utilizadas para o ensino de matemática no Brasil, em especial no

início de sua escolarização, são estrangeiras ou traduções de obras produzidas no

exterior, o que deve ser levado em consideração quando do processo de análise. Além

da questão da língua, a cultura e os contextos de produção e apropriação dessas obras,

segundo pensamos, devem, tanto quanto possível, fazer parte do processo de análise.

Por outro lado, atentar para as variadas línguas em que uma obra foi traduzida depõe

®¯°±¯²³´ µ¶ ·¶ ³¸¹º»¼½ ¾½ ¿½À¿Á¼ ¾»¾¹¿»ÂÁ¼Ã ÄºÅÆÇÄs compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

5

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

sobre sua importância internacional, bem como verificar o número de traduções para

uma mesma língua e a comparação entre diferentes traduções, quando possível, pode

auxiliar na compreensão de sua relevância para o ensino no país e do contexto em que

foi inicialmente produzida.

Um estudo da organização argumentativa do livro – a maneira como foi

estruturado, o encadeamento e a articulação dos tópicos, da linguagem natural com os

símbolos propriamente matemáticos e com as ilustrações – de forma a transmitir o que

pretende, é outra possibilidade que pode contribuir para sua análise.

As ilustrações merecem um cuidado especial. Ler pinturas e imagens não é, ainda,

um hábito da nossa comunidade, mas essa é uma forte tendência das obras didáticas, em

especial das mais recentemente produzidas, posto que as ilustrações representam boa

parte do método didático. Um aspecto que pode ser observado quando consideradas as

ilustrações de uma obra didática é seu conteúdo ideológico. São analogias que

contribuem para a aculturação da população pela veiculação de produtos e empresas

estrangeiras, para a manutenção de mitos sobre a matemática, com alusões racistas etc.,

além de, algumas vezes, induzirem os leitores ao erro, até mesmo pelo seu caráter

metafórico sobre os conceitos matemáticos.

O suporte material do livro – tipo de papel, tamanho e formato do livro, tipo de

encadernação – também estão atrelados aos recursos visuais dos livros e podem ser

considerados num processo de análise. A cessão dos direitos do Estado sobre a

produção dos manuais didáticos para a iniciativa particular e as conseqüentes mudanças

conceituais e estruturais sofridas pelos livros didáticos, que passam a atender, agora,

também, a questões mercantis, inserem esses manuais na lógica capitalista, agregando

características de bem de consumo à sua natureza cultural e gerando muito lucro para as

editoras, muitas delas sustentadas basicamente por esse tipo de mercadoria. As

alterações decorrentes dessa cessão, atreladas às inovações tecnológicas, são flagrantes

quando se compara livros antigos com os atualmente utilizados nas salas de aula.

A utilização da História da Matemática como recurso didático também é uma

característica marcante dos livros texto. Nesse sentido, atentar às formas como tal

recurso é utilizado pode contribuir para a compreensão da obra.

Como já se pôde perceber, segundo pensamos, um livro didático não deve ser

analisado unicamente em seus aspectos “internos”. Tais obras foram produzidas por

alguém, para um grupo específico e em um contexto específico. Não que julguemos ser

ÈÉÊËÌÊÍÎÏ ÐÑ ÒÑ ÎÓÔÕÖ×Ø ÙØ ÚØÛÚÜ× ÙÖÙÔÚÖÝÜ×Þ ßÕàáâßs compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

6

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

possível apreender contexto, autor e leitor tais como o são (ou foram), mas acreditamos

ser extremamente produtivo (e necessário) reconstituir – e toda reconstituição é criativa,

é criar novamente e de maneira distinta – as condições sociais, políticas, econômicas,

educacionais etc. do momento em que a obra analisada foi produzida e apropriada.

Nessa difícil tarefa, muitos recursos podem ser auxiliares. O levantamento de registros

como diários oficiais, diários da justiça, relatórios ministeriais, decretos,

regulamentações, cartas, bilhetes, dedicatórias, jornais e revistas comerciais,

depoimentos, músicas, pinturas, fotografias, gravações, romances, catálogos, arquivos

de editoras etc. é uma dessas possibilidades. Alguns desses registros como, por

exemplo, cartas trocadas entre autores ou editores, revelam, dentre outras coisas,

conflitos de interesse entre seus remetentes, o que pode se mostrar um importante meio

de entender algumas das preocupações da época.

Não apenas os conflitos podem elucidar a cultura de uma sociedade em

determinado período, mas também os comentários sobre suas obras podem colaborar na

compreensão e constituição do contexto em estudo. Para tanto, quando se trata da

análise de obras atuais, pode ser significativo o uso de entrevistas com autores,

professores e alunos para compreender como se pretendia que a obra analisada fosse

apropriada e como sua estrutura didático-pedagógica pode ser subvertida por seus

“consumidores”. Nesse sentido, as justificativas para a escolha de uma ou outra obra,

tanto por parte de professores, quanto por órgãos governamentais, podem ser

significativas. Ao se trabalhar com entrevistas ou depoimentos, entretanto, há que se

cuidar da intenção de dizer do depoente, considerando “quem” fala e o “lugar” de onde

fala.

Ainda na perspectiva de compreender as apropriações, os usos tidos dos manuais

didáticos, as anotações – em especial quando se trata da análise de livros antigos – feitas

por alunos ou professores, podem ser bastante reveladoras. Nessa perspectiva, a

identificação do público-alvo da publicação bem como de seus efetivos consumidores

pode ser um ponto de contraposição entre os usos pretendidos e os efetivamente

implementados das obras didáticas. O estudo biográfico do autor pode colaborar nessa

tarefa, bem como os prefácios dos livros que, em geral, também têm muito a dizer, não

apenas do conteúdo das obras e da maneira como se pretendia que fossem apropriadas,

mas também do período em que foram produzidas.

ãäåæçåèéê ëì íì éîïðñòó ôó õóöõ÷ò ôñôïõñø÷òù úðûüýús compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

7

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Por fim, buscar entender os motivos que levaram o autor e a editora a escrever e

publicar a obra, dependendo dos objetivos da pesquisa a ser desenvolvida, pode ser uma

postura produtiva.

Recompor as características da organização social não é, efetivamente, tarefa

simples, mas, segundo pensamos, é essencial, principalmente quando concebemos a

Educação Matemática como um conjunto de práticas sociais de uma comunidade que,

embora específica, existe interconectada com outras comunidades.

Um exercício teórico sobre uma metodologia para a análise de textos didáticos

Concebendo a Educação Matemática como uma região de inquérito fronteiriça,

articulada com diversas outras áreas nas quais busca inspiração para construir seus

próprios meios para abarcar seu objeto – o ensino da (e através da) matemática e suas

cercanias –; entendendo a História não como um conjunto de verdades absolutas, mas

considerando a existência de versões históricas dadas a partir de interpretações,

possivelmente umas mais ou menos plausíveis que outras, sem recair sobre nenhuma

qualquer privilégio; considerando, por fim, o livro didático como um importante

elemento do ensino, mas não atribuindo a ele qualquer caráter fundamental ou superior

aos tantos outros elementos que interferem nas salas de aula, procuramos respaldar na

Hermenêutica de Paul Ricoeur uma discussão teórica sobre a análise de textos didáticos.

Depois de alguns estudos sobre o tema, passamos a entender Hermenêutica como

um adjetivo para identificar as teorias que cuidam das formas de interpretar. É nesse

sentido que concebemos a possibilidade de usar Hermenêuticas, no plural, para nos

referir à hermenêutica de Schleiermacher, à de Dilthey, à de Ricoeur, à de Habermas

etc. Cada um deles, como tantos outros, cuidaram, à sua maneira, dos modos de

interpretar, contribuindo para uma Teoria da Interpretação. Partimos, também, de uma

concepção simbólica de cultura, segundo a qual a cultura de um povo se manifesta

através de seus símbolos. Tal concepção normalmente á atribuída a Clifford Geertz.

O conceito de símbolo é muito caro à Filosofia de um modo geral e, em especial,

às teorias mais contemporâneas sobre a interpretação.

John B. Thompson, sociólogo americano radicado na Inglaterra – cujo tema de

pesquisa que o tornou conhecido mundialmente é a relação entre a mídia, o poder e as

instituições – especialista em Hermenêutica e, especificamente, nas hermenêuticas de

Ricoeur e Habermas, se apropria da concepção de Geertz para conceber cultura como

þÿO��O�� s compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP,

8

2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

um conjunto de formas simbólicas produzidas por uma comunidade em contextos

estruturados. Em poucas palavras, Thompson considera que as Formas Simbólicas –

tudo o que pode ser percebido como produzido intencionalmente por alguém, segundo

uma estrutura própria – são produzidas e apropriadas segundo um contexto estruturado,

organizado em instituições sociais. É à interpretação das Formas Simbólicas que

Thompson dedica seu livros Ideologia e Cultura Moderna: Teoria social crítica na

era dos meios de comunicação de massa, publicado no Brasil em 1995, estabelecendo

uma metodologia própria, balizada em três eixos: Análise Sócio-Histórica, Análise

Formal e Interpretação e re-interpretação.

É com esse fundo teórico que Thompson defende que, para interpretar as formas

simbólicas é necessário considerar não apenas seus aspectos contextuais (Análise Sócio-

Histórica) e internos (Análise Formal), mas também procurar tecer as relações entre

esses aspectos (Interpretação e re-interpretação). É ao articular essas relações que, em

especial, se pode perceber como as formas simbólicas são ideológicas, ou seja, como

contribuem para estabelecer e sustentar relações sistematicamente assimétricas de

poder.

Estudando a maneira como Thompson desenvolve sua teoria, consideramos que

os livros textos podem ser caracterizados como formas simbólicas, cabendo-lhes uma

análise estruturada, nos moldes da metodologia proposta por esse autor. Tal organização

teórica atende às concepções de História e Educação Matemática que defendemos e a

partir das quais consideramos ser possível justificar a maior parte das posturas frente ao

livro didático identificadas nas práticas da comunidade de educadores matemáticos

brasileiros.

Notas

1 Essa dissertação, na íntegra, assim como outros trabalhos desenvolvidos pelos membros do GHOEM – Grupo de História Oral e Educação Matemática –, pode ser obtida em www.ghoem.com.

2 Entendemos grupo como um conjunto de elementos que têm características a partir das quais podem ser identificados. Assim, grupos de pesquisa são, no nosso entendimento, coletivos pensantes reconhecidos por um conjunto de pressupostos básicos coletivamente negociados e sistematicamente assumidos por seus membros,

3 Os grupos de pesquisa que compõem o estudo foram selecionados a partir do Diretório de Grupos do CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – disponível em www.cnpq.br.

�� ! "! �#$%&'( )( *(+*,' )&)$*&-,'. /%012/s compreensões. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–9. (ISBN 978-85-98092-07-2)

9

A partir de contato com os líderes desses grupos, foram indicados os trabalhos - teses, dissertações, livros e artigos - representativos de sua produção.

4 É bom que se ressalte que não estamos afirmando ser mais fácil produzir um livro ou artigo que uma tese ou dissertação. Estamos nos referindo aqui, exclusivamente, ao que se refere à escrita, à articulação dos dados, digamos, “mais teóricos” com as análises propriamente ditas (embora consideremos o levantamento teórico como parte da análise).

5 Quando nos referimos à análise de uma obra não podemos negligenciar as diversas possibilidades de estudos que esse tipo de pesquisa apresenta. Em nossa revisão bibliográfica percebemos vários trabalhos que não se detêm em apenas um livro, mas abrange toda uma coleção ou, até mesmo, a produção de uma editora em específico. Outros analisam comparativamente duas ou mais obras. Outros, ainda, enfatizam um conteúdo estudando-o nos livros-texto produzidos ao longo da história. As considerações que ora apresentamos, embora para facilitar façam referência à análise de uma obra, não desconsideram essas e tantas outras possibilidades.

Referências

OLIVEIRA, F. D. Análise de Textos Didáticos: três estudos. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). 222 p., 2008. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro/SP.

PALMER, R. E. Hermenêutica. Lisboa: Edições 70, 1986.

RICOEUR, P. Interpretação e ideologias. Rio de Janeiro: F. Alves, 1983.

RICOEUR, P. O Conflito das Interpretações. Porto: Rés Editora, 1969.

RICOEUR, P. Teoria da Interpretação. Lisboa: Edições 70, 1976.

THOMPSON, J. B. Ideologia e Cultura Moderna: teoria social crítica na era dos meios de comunicação de massa. Petrópolis: Vozes, 1995.

S3456789: ;< 4< 3< = >?@975: >< 8< 4ABCDE= FGAHDIAJl descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 6: Psicologia

ANÁLISE FUNCIONAL DESCRTIVA E PRÁTICAS DE ENSINO DE

MATEMÁTICA: TENTATIVAS DE VISIBILIDADE ÀS INTERAÇÕES EM

SALA DE AULA

Deise A. Peralta SPARVOLI – UNESP/Bauru ([email protected]

Dr. Jair Lopes JÚNIOR – UNESP/Bauru ([email protected]

Resumo: Admitindo que repertórios comportamentais que definem a execução de Análise Funcional Descritiva (AFD) podem se constituir em instrumento de avaliação, implementação e alteração de práticas de ensino de matemática, este estudo avaliou a aquisição destes repertórios por dois professores licenciados em Matemática que atuam em 8ª séries do Ensino Fundamental. O procedimento foi dividido em 3 etapas. Etapa 1: a) entrevista inicial, b) registros, em vídeo, de aulas referentes a duas unidades didáticas (UD1 e UD2), c) entrevista na ausência e d) entrevista na presença de episódios de vídeo das aulas da UD1. Etapa 2: a) apresentação de um modelo de AFD pela pesquisadora sobre os episódios exibidos das aulas da UD1; b) exibição de episódios das aulas da UD2; c) solicitação da elaboração de AFD pelo professor Na Etapa 3, houve: a) registro, em vídeo, das aulas da UD3; b) solicitação de elaboração de AFD e , c) solicitação de elaboração de análises comparativas entre as interpretações das aulas das UDs 2 e 3. Verificou-se, nas Etapas 1 e 2, consistências entre as ações registradas em vídeo (práticas transmissivas) e os relatos das professoras (ênfase na obtenção da resposta correta, desvinculadas das condições nas quais foram emitidas). As características foram registradas, tanto na presença, quanto na ausência dos episódios das aulas da UD1 e mostraram-se distantes daquelas que definem a AFD. Na Etapa 2, propriedades dos desempenhos dos alunos foram relacionadas com propriedades das práticas adotadas. Na Etapa 3, P1 registrou alterações nas práticas de ensino mas seu relato não foi compatível com uma proposta de AFD. P2 evidenciou reincidência de práticas de ensino, não compatíveis com proposta de AFD, registradas nas UD 1 e UD 2, muito embora com relato verbal compatível com proposta de AFD.

Palavras-Chave: Ensino de Matemática, Análise Funcional Descritiva, Práticas Docentes

Financiamento: FAPESP (proc. 06/53462-8) CNPq ( proc.400943/2006-9)

IntroduçãoDentre os desafios impostos às políticas públicas de formação continuada de

professores e à produção de conhecimentos na área de formação profissional de

professores, situa-se a conciliação entre, de um lado, as orientações epistemológicas

predominantes (NÓVOA, 1992) e, de outro, a necessária conexão entre a compreensão

LMNPQRTUV WX NX MX Y Z[\URPV ZX TX N]^_`aY bc]d`e]fl descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

2

Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

de processos comportamentais derivada da pesquisa básica e a inserção desses

conhecimentos em contextos aplicados reconhecidamente relevantes (MACE, 1994),

como, por exemplo, o ensino e a aprendizagem, em sala de aula, de conteúdos

curriculares de matemática.

Em termos oficiais, os índices negativos registrados recentemente no desempenho

em Matemática no Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB)

parecem não apenas sinalizar, mas, antes, concretizar um preocupante distanciamento.

De um lado, teríamos um conjunto de diretrizes e de orientações didáticas, atrelado à

proposição de objetivos de ensino vinculados com o desenvolvimento de diferentes

modalidades de comportamento matemático (aritmético, algébrico, geométrico, métrico,

proporcional, estatístico, probabilístico) e, de outro, as práticas educativas de ensino e

de avaliação da aprendizagem dos conteúdos curriculares ministrados. Em termos da

Análise do Comportamento, os índices negativos no SAEB expressam efeitos de

práticas de ensino1. Em outros termos, ações empreendidas no contexto de sala de aula

têm produzido resultados que não sustentam correspondência com as medidas

comportamentais que definem os padrões de desempenho esperados.

Diferentemente de outras abordagens, a pesquisa em Análise do Comportamento

não é planejada para testar teorias e hipóteses, mas para “demonstrar relações funcionais

ou avaliar a aplicação prática de conceitos e princípios” (RODRIGUES, 2005).

Em consonância com Rodrigues (2005), a presente pesquisa se justifica enquanto

possibilidade de contribuição da Análise do Comportamento e do Behaviorismo Radical

no âmbito de formação de professores, principalmente no plano metodológico, para a

caracterização e a descrição dos repertórios docentes de identificação de propriedades

funcionais relacionadas ao desempenho dos alunos diante das condições de ensino

disponibilizadas. Considerando-se que os comportamentos de ensinar definem-se pelos

efeitos produzidos nos desempenhos dos aprendizes, estima-se relevante a identificação

de condições que poderiam ampliar as possibilidades do planejamento e da execução de

práticas educativas sustentarem relações de funcionalidade com as medidas de

desempenho dos alunos.

Análise Funcional: possibilidade de visibilidade às relações

ghijklmno pq iq hq r stunljo sq mq ivwxyzr {|v}y~v�l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

3


A característica mais relevante de uma interpretação fundamentada na Análise do

Comportamento, consiste precisamente na identificação de propriedades funcionais

entre fenômenos.

Mas o que é uma Análise Funcional para Skinner? Para Skinner:

As variáveis externas, das quais o comportamento é função, dão margem ao que pode ser chamado de análise causal ou funcional. Tentamos analisar o comportamento de um organismo individual. Esta é nossa variável dependente o efeito para o qual procuramos a causa. Nossas variáveis independentes, as causas do comportamento, são as condições externas das quais o comportamento é função. (SKINNER, 1994)

Uma formulação adequada da interação entre um organismo e seu ambiente deve

sempre especificar três fatores: (1) a ocasião em que a resposta ocorre; (2) a própria

resposta; e (3) as conseqüências reforçadoras. O ponto essencial da concepção

skinneriana de Análise Funcional é que as “causas” das quais o comportamento é

função sejam buscadas no ambiente externo.

O que é uma análise funcional para os que sucederam Skinner?

Embora haja concordância sobre a necessidade da tarefa de avaliar/diagnosticar,

não há exatamente consensos. Sturmey (1996), em uma obra dedicada ao estudo deste

conceito, levantou sete significados para o termo Análise Funcional (AF).De particular

importância para o presente estudo cumpre mencionar a modalidade de Análise

Funcional Descritiva.

Na Análise Funcional Descritiva (AFD), avalia-se a interação comportamento-

ambiente nas situações naturais nas quais o comportamento-alvo ocorre, sem a

manipulação de condições antecedentes e conseqüentes. Estima-se que os dados

resultantes das observações, de natureza correlacional, podem sugerir relações de

funcionalidade. A AFD refere-se, portanto, a metodologias comprometidas com a

identificação de variáveis possivelmente associadas com a ocorrência e a não-ocorrência

de determinados repertórios.Deste modo, a análise funcional parece não apenas ampliar

a visibilidade das relações entre os desempenhos dos alunos e as condições nas quais

elas são emitidas, como também instrumentalizar propostas de intervenção.

Questões e objetivos do estudo

�� l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

4


No âmbito da Análise do Comportamento emergem estudos sobre o ensino e a

aprendizagem dos repertórios que definem a utilização de AF para profissionais com

formações acadêmicas distintas (IWATA et al., 2000; NOELL et al., 2000; MOORE et

al., 2002; WALLACE et al., 2004). Em tais estudos, é consenso afirmar que o domínio

destes repertórios pode constituir-se em instrumento de análise, implementação e

alteração de ações profissionais em situação de serviço.

O presente estudo procurou ampliar o foco das contribuições dos trabalhos

mencionados, priorizando propriedades funcionais dos repertórios que definem as

interações estabelecidas em contexto de ensino de conteúdos curriculares de

Matemática. Nesses termos, a questão que orientou a presente investigação pode ser

assim expressas: A exposição de professores aos procedimentos de elaboração, de

execução e de interpretação de AFD poderia contribuir para o estabelecimento de

relações de funcionalidade entre as ações educativas destes docentes e os padrões de

desempenho dos alunos em interação com tais ações, ou seja, tornaria as atividades de

ensino e de avaliação de conteúdos curriculares de Matemática sensíveis aos efeitos

produzidos no repertório dos alunos?

Para tanto, o estudo objetivou avaliar se o contato de professores, licenciados em

Matemática, com recursos audiovisuais de suas atuações profissionais, bem como com

interações planejadas com modelo de AFD, poderiam contribuir com a aquisição e o

desenvolvimento de repertórios que definem a realização de AFD de relações entre

práticas docentes e desempenho dos alunos.

Participantes

Dois professores com Licenciatura Plena em Matemática que ministram aulas de

matemática em classes de 8ª série do ensino fundamental2 da rede pública estadual de

uma cidade do interior do estado de São Paulo. P1 apresenta 14 anos de atuação no

Ensino Particular e 2 anos no Ensino Público Estadual, registrando dois anos de

exercício profissional na escola na qual o estudo foi realizado. Já P2 conta com 22 anos

de atuação no magistério público e cinco, na escola na qual a pesquisa foi realizada.

�� ¡ ¢£ �£ �£ ¤ ¥¦§ ��¡ ¥£ �£ �¨©ª«¬¤ ®¨¯«°¨±l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

5


Procedimento

O início da coleta de dados foi precedido pela assinatura do Termo de

Consentimento Livre e Esclarecido pelos professores. Os pais e/ou responsáveis pelos

alunos, pertencentes à sala, também formalizaram a autorização para realização das

filmagens mediante assinatura de Termo de Consentimento Livre e Esclarecido e Termo

de Autorização.

Para atender ao objetivo proposto, foram delineadas três etapas:

Na Etapa 1, ocorreram registros, em vídeo, de aulas referentes a duas unidades

didáticas UD1 e UD2 (3 UD1/P1: Teorema de Pitágoras: demonstração e interpretação,

UD2/P1: Aplicação do Teorema de Pitágoras e UD1/P2: Potenciação de Radicais,

UD2/P2:Racionalização de Denominadores) e a realização de três entrevistas. Uma

entrevista inicial na qual os professores deveriam relatar sobre suas formações e

trajetórias profissionais, bem como caracterizar o desempenho dos alunos. As outras

duas entrevistas ocorreram ao final das gravações (filmagens) das aulas referentes à

duas UDs ministradas consecutivamente. Uma entrevista ocorreu na ausência e a

seguinte na presença de episódios de aulas da UD1.

Na Etapa 2 ocorreram duas entrevistas. Na primeira entrevista, o foco foi a

apresentação de um modelo de AFD, elaborado pela pesquisadora sobre episódios das

aulas referentes a UD1 já exibidos previamente na Etapa 1. Na segunda entrevista,

solicitou-se a elaboração de uma proposta de AFD, após exibição de vídeo com

episódios das aulas da UD2, considerando tais episódios.

Na Etapa 3 foram registradas, em vídeo, aulas referentes a uma UD3 (UD3/P1:

Área de Figuras Geométricas e UD3/P2: Equação do 2º grau Incompleta) e, em seguida,

foi realizada uma entrevista, diante da exibição de episódios destas aulas. Nesta

entrevista, os professores deveriam elaborar uma AFD sobre tais episódios, bem como

estabelecer comparações entre as suas atuações nas UD2 e UD3.

Todas as sessões de coleta de dados foram realizadas nas próprias escolas.

As observações e filmagens ocorreram durante o horário regular das aulas de

matemática ministradas pelos professores. Já as entrevistas ocorreram durante o horário

de HTPC e foram gravadas em áudio.

Resultados: descrição, análise e discussão

²³´µ¶·¸¹º »¼ ´¼ ³¼ ½ ¾¿À¹·µº ¾¼ ¸¼ ´ÁÂÃÄÅ½ ÆÇÁÈÄÉÁÊl descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

6


Na Etapa 1, ao caracterizar os alunos indicados, P1 e P2, fizeram referências às

características de desempenho destes alunos vinculando tais características a fatores

internos, a saber, orgânicos e/ou típicos da pessoa do aluno, ou, diferentemente, a

fatores externos relacionados com condições de vida e familiares, dentre outros (P1:

“...esses alunos são muito apáticos, desatentos e a menina é hiperativa... a família não

ajuda, muito desestruturada.”; P2: “Ela não reage. Ela é fechada”) Constatou-se que a

descrição das características de desempenho dos alunos indicados prescindiu de uma

descrição das condições ou estratégias de ensino diante das quais tais características

foram registradas.

Entrevista na ausência do vídeo:

Os professores deveriam relatar sobre os objetivos de ensino selecionados para a

UD1 filmada, as práticas de ensino e de avaliação estimadas pertinentes para a obtenção

dos objetivos e as medidas comportamentais que sustentariam consistência com os

objetivos selecionados.

P1 descreveu sua prática pela realização de uma construção no papel

quadriculado, que seria uma construção geométrica do teorema de Pitágoras. Segundo

descrição de P1, a estratégia utilizada foi uma “aula coletiva, expositiva e dialogada

com os alunos”, onde, segundo ele, concluíram juntos e formalizaram qual era a lei que

enunciava o teorema. P2 foi pouco descritivo quanto a sua prática e se resumiu a dizer

que sua “aula foi expositiva, seguida de aplicação de exercícios em lousa.” Diante da

insistência da pesquisadora, relatou ter dividido a classe em duplas e ter usado alunos

como monitores para resolver uma lista de exercícios onde a exigência era calcular

potência de radicais de acordo com um modelo apresentado na lousa.

Quanto aos objetivos, P1 relatou que o objetivo era “que os alunos

compreendessem a relação do Teorema de Pitágoras”, não especificando o que seria o

compreender ou o que os alunos deveriam fazer para atestar tal compreensão. P2 relatou

que os objetivos eram “compreensão, entendimento, aplicação em exercícios e

desenvolvimento de novas formas de resolução por parte dos alunos”.

P1 e P2 afirmaram passar exercícios na lousa para testar se houve compreensão

por parte dos alunos, porém relataram não possuir medidas individuais de desempenho

dos alunos nestes exercícios que demonstrassem tal compreensão ou entendimento.

Entrevista na presença do vídeo:

ËÌÍÎÏÐÑÒÓ ÔÕ ÍÕ ÌÕ Ö ×ØÙÒÐÎÓ ×Õ ÑÕ ÍÚÛÜÝÞÖ ßàÚáÝâÚãl descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

7


Com o mesmo roteiro utilizado na entrevista anterior, os professores

imediatamente após a exibição das filmagens das UD1 ampliaram o número de

objetivos citados, sendo que todos se baseavam em comportamentos dos alunos e não

do professor.

Na entrevista anterior, P1 havia se referido a um único objetivo: que “os alunos

compreendessem a relação expressa pelo teorema de Pitágoras.” Na segunda

entrevista, ele ampliou para dois objetivos acrescentando que “eles deveriam ser

capazes também de aplicar em diversos contextos a relação a²=b²+c²”. P2 continuou a

relatar que os objetivos eram “compreensão, entendimento, aplicação em exercícios e

desenvolvimento de novas formas de resolução por parte dos alunos”. Ainda com

relação aos objetivos, os professores afirmaram antes e após o contato com o vídeo ter

estabelecido os mesmos objetivos para a turma toda.

Os relatos de P1 mostraram-se baseados, não em propriedades que descreviam

necessidades dos alunos, mas no cumprimento do planejamento: “Eu também havia

pensado e desisti de fazer a demonstração do teorema por outros caminhos,

demonstração algébrica do teorema. Mas eu acho que aí desmotivaria, eles iam olhar e

‘Não entendi! ’ E pra que, né? Só pioraria a situação. O programa diz que o teorema

de Pitágoras deve ser dado, então podemos ministrá-lo da forma mais simples”.

Os dois professores descreveram os resultados obtidos com os alunos de forma

genérica, sem apresentar medidas prévias que sugerissem a ocorrência de mudanças

comportamentais que definiriam manifestação de aprendizagens. Diante da indagação

sobre os efeitos obtidos com a sala, P1 replicou relatos genéricos, sem descrição pontual

de possíveis efeitos. Suas respostas continuaram não relacionando as medidas dos

alunos com os objetivos pretendidos por ele.

As descrições de P2 continuaram genéricas e algumas explicações sobre as

dificuldades dos alunos foram dadas com base em aspectos motivacionais: “Os alunos

não se importam, não se incomodam, algumas vezes nem tentam fazer. Alguns

entendem, mas desanimam na hora do cálculo.”, e em aspectos tal como ansiedade:

“Alguns, como você já deve ter percebido, o problema é o nervosismo diante da tarefa,

ficam inquietos.” Ou ainda a fatores externos a escola como família, condição social e

econômica e a fatores disciplinares: “ Eles conversam demais, brincam demais e não

prestam atenção.”

äåæçèéêëì íî æî åî ï ðñòëéçì ðî êî æóôõö÷ï øùóúöûóül descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

8


Ao final da Etapa 1, temos como evidências de distanciamento de P1 e P2 de uma

proposta de AFD, a descrição do desempenho dos alunos, prescindindo da análise do

contexto (condições) diante das quais tais desempenhos foram observados ou inferidos e

a utilização de estratégias verbais, em que os professores indagavam e eles mesmos,

respondiam.

Exposição a um modelo de AFD de episódios da UD1

Na primeira entrevista na Etapa 2 os professores foram submetidos à exposição de

um modelo de AFD elaborado pela pesquisadora. O objetivo da AFD era relacionar o

fazer dos professores a uma condição antecedente, o desempenho dos alunos indicados,

na tentativa de descrever o quanto suas prática são sensíveis ao efeito do que os alunos

fazem. Ou o quanto o que eles tem feito é em função do desempenho dos alunos.

A pesquisadora relatou que o efeito da interação de P1 com os alunos, a saber o

desempenho em exercícios que previam uma interpretação da relação expressa pelo

Teorema de Pitágoras, parece funcionalmente relacionado com condições de ensino que

P1 forneceu. Pois, ditar regras, colocar o exercício na lousa e depois fazê-lo para que os

alunos copiem - principais práticas de P1 - registraram como resultado alunos que

descrevem regras mas não executam procedimentos que lhes permitam resolver os

exercícios.

Durante a exposição da pesquisadora de um modelo de AFD de trechos dos

episódios selecionados, e assistidos anteriormente, P1 relatou aceitar “essa idéia de

funcionalidade” e que a forma de questionar os alunos “sem oferecer respostas

prontas” pode ser uma estratégia de ensino que aumenta a chance de atingi-los.

Um tema recorrente na análise apresentada pela pesquisadora a P2 foi o

comportamento do professor de oferecer restritas condições de participação aos alunos.

A resposta do aluno deveria ser considerada como um dado que permitisse avaliar a

condição de ensino que a produziu. Tal avaliação poderia fornecer informações

importantes não somente sobre o repertório do aluno que a emitiu mas, sobretudo,

acerca da adequação ou inadequação da condição de ensino oferecida para desenvolver

nos alunos comportamentos que definiriam o aprender Potenciação e Radiciação de

Radicais.

A análise apresentada versava sobre o fato do professor fornecer resposta sem

avaliar o repertório inicial dos alunos sobre o assunto a ser ensinado, desconsiderando o

ýþÿS�� ÿ� þ� � ��S� �� ÿ�� l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

9


quê os alunos saberiam sobre Potenciação e Radiciação. Para se desenvolver um

comportamento novo (operar potenciação e radiciação em radicais) seria necessário

primeiramente, avaliar as condições atuais, as habilidades presentes e as necessárias.

A pesquisadora expôs que uma AFD além de mostrar que diferentes alunos

podem responder a diferentes aspectos do ambiente de uma mesma condição de ensino

e que, portanto, mesmo quando estão aparentemente na mesma condição, o ambiente de

cada aluno pode ser diferente, ainda se constitui em um recurso de análise para

identificação de estímulos que controlam o responder de cada indivíduo, baseando-se

em hipóteses sobre os elementos que podem exercer tal controle.

Pelas reações de P2 durante a exposição do modelo de Análise Funcional

Descritiva sobre episódios da UD1 não foi possível afirma se o professor compreendeu

ou simplesmente aceitou tal modelo de avaliação, pois, P2 constatou fenômenos a partir

de interpretação funcional (“eu dou oportunidade para cópia, quando passo a correção

na lousa”), contudo, reconheceu em tal interpretação um recurso de avaliação que

impõe diagnóstico mas não ensina a intervir (“analisar e identificar o que não vai bem

pode não adiantar”).

Elaboração de AFD de episódios da UD2

Na segunda entrevista da Etapa 2, os professores foram expostos à condição de

elaboração de uma AFD.

P1 descreveu,em sua proposta de análise, ações dos alunos como medida de

desempenho e atendimento aos objetivos em termos de cumprimento de exigências de

tarefas e seguimento de regras: “Quando eu olho pra um aluno e vejo que ele conseguiu

montar a relação identificando quem é cateto, hipotenusa e substitui adequadamente o

a²= b²+c² para mim está satisfeito o objetivo”. Concordou com a pesquisadora que

tornar as variáveis, que influenciam o desempenho do aluno, visíveis tem importante

papel na proposição de estratégias de ensino e avaliação, seja alternando-se eventos

antecedentes, eliminando-se eventos conseqüentes ou fornecendo-se conseqüências

mais eficientes relacionadas a manifestações de repertórios objetivados pelo professor.

Porém, P1 afirmou que certas condições controlam mais o comportamento dos alunos

que a prática do professor. “Porque eu não consigo mudar essa realidade. Essa

realidade de progressão continuada, de aluno desestimulado, de falta de perspectiva,

de falta de vontade aprender. A história familiar de vida desses meninos daqui é triste”

�� !"#�� !� �� $%&'( )*$+',$-l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

10


Ao analisar as condições de ensino que foram dispostas para a UD2: Aplicação do

Teorema de Pitágoras, P1 relatou elementos do ambiente, que até interferem mas que

são, externos à prática do professor, geralmente se referindo a recursos materiais:

“Condição de pré-disposição dos alunos, condição de material, condição até de

ambiente. Há também a necessidade de dar muitas aulas pra ganhar o mínimo pra

sobrevivência.”

Ao analisar sua interação com os alunos, P1 fez referências a aspectos de

relacionamento interpessoais que viabilizariam uma convivência harmoniosa em sala de

aula. P1 foi pouco descritiva em relação a interação professor-aluno em condição de

ensino: “... com alguns de maneira mais aberta, mais fácil e com outros com uma certa

resistência de ambas as partes. Penso assim: tento conversar, tento chegar mas não

consigo.”

Ao final da Etapa 2 houve, no discurso de P1, uma ênfase recorrente, de forma

contestadora, na proposição de estratégias para atuar sobre resultados da AFD com

status de diagnóstico, ou seja, para P1 o valor da AF estaria concentrado na sua

capacidade ou eficiência não de indicar relações de dependência entre propriedades das

ações da professora e propriedades dos desempenhos dos alunos, mas na proposição de

práticas de intervenção. Para P1, o fato de a Análise Funcional dizer quais são as

relações de dependência (ter função diagnóstica) mas não informar quais ações seriam

as mais adequadas para alterar os desempenhos indesejáveis (não ter função prescritiva),

não confere à AF uma característica de recurso metodológico que cumprisse uma

função instrumental à prática docente.

Das observações realizadas por P2 a respeito dos episódios das aulas da UD2:

Racionalização de Denominadores:, algumas questões tiveram presença constante e

sugerem que o relato de P2 evidencia vínculos funcionais, apesar de ainda, em certos

momentos, se focar em aspectos “causais” do desempenho dos alunos decorrentes de

traços e características internas como “desinteresse, falta de força de vontade e

atenção”. P2, descreveu o papel do ambiente (e em decorrência, sua própria ação), mas

minimizou seu potencial de alteração de repertório dos alunos ao enfatizar causas

inerentes à natureza humana, na explicação das ações dos alunos, que são inacessíveis

pela sua prática, responsabilizando a sua formação inicial que não a ensinou a “olhar”

para as relações de funcionalidade entre eventos.

./0123456 78 08 /8 9 :;<5316 :8 48 0=>?@A9 BC=D@E=Fl descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

11


P2, assim como P1, enfatizou a necessidade de proposição de estratégias para

atuar sobre resultados da AFD com status de diagnóstico. Mas é fato que apesar de

contestar o valor interventivo da AFD, P2 apresentou ao final da Etapa 2 um

comportamento verbal mais próximo ao repertório comportamental que definiria uma

AFD (STURMEY, 1996) ao descrever interações professor-aluno relacionando

funcionalmente variáveis.

Até o final da Etapa 2, os desempenho dos dois participantes eram muito

próximos, na execução da UD3 foi possível notar mudanças nos comportamentos de P1

e de P2 e também distinções mais evidentes entre eles. O efeito da interação descrita

pelo procedimento parece ter sido distinto para os dois professores:

Na execução da UD3 foi possível notar mudanças comportamentais em P1, que se

caracterizaram pela implementação em sua prática de aspectos discutidos e avaliados

como necessários pela pesquisadora. O professor nitidamente atuou de modo direto em

relação às respostas dos alunos, fornecendo conseqüências (indicação de acertos e

erros). Em condição de entrevista relatou a alteração de sua prática em relação às outras

UDs, declarou seus objetivos fazendo uma descrição de medidas comportamentais dos

alunos, referiu-se à produção dos alunos como medidas de desempenho e se atentou

para a necessidade de verificar fontes de controle do comportamento deles. Porém

ainda, relatou, em alguns momentos, os comportamentos dos alunos funcionalmente

vinculados a condições distintas de sua prática. As práticas de ensino de P1, na Etapa 3

demarcaram diferenças em relação às práticas anteriormente observadas na Etapa 1,

porém na tarefa de elaboração de uma AF da UD3, P1 ainda relacionou o desempenho

dos alunos à natureza mais concreta do conteúdo e a motivação dos alunos (“Eu tive

condições, até pelo conteúdo sobre Áreas, de interferir mais. Eu posso dizer então que

a participação maior dos alunos seja graças ao conteúdo que é muito mais concreto”.)

A prática de P2, na Etapa 3, praticamente replicou sua atuação observada na Etapa

1, porém, seu relato se alterou significativamente, ou seja, na Etapa 3, P2 teve um

comportamento verbal de relatar bastante consistente com o que fez em sala de aula. O

professor identificou relações funcionais ao descrever as condições de ensino

disponibilizadas por ele. Porém, condicionou a utilidade de AFD a sua aplicação direta

como procedimento de intervenção ou que pelo menos sinalize intervenção. Para P2 a

exposição ao modelo e elaboração de AF parece não ter oportunizado condições para

GHIJKLMNO PQ IQ HQ R TUVNLJO TQ MQ IWXYZ[R \]W^Z_W`l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

12


alteração de sua prática pela implementação ou alteração de estratégias de ensino. Na

Etapa 3, o professor evidenciou relações funcionais ao descrever as interações

observadas em sala de aula, entretanto quando se deparou com avaliações diagnósticas

oferecidas pela Análise Funcional, e que impõem necessidade de mudanças em suas

estratégias, não conseguiu implementá-las. P2 relatou saber que deveria mudar, que

gostaria de mudar, mas não o fez.


Os dados coletados, nesse estudo, mostram que a condição oferecida às

professoras mostrou-se necessária, mas não suficiente para a aquisição e o

desenvolvimento de repertórios que definem a execução de AFD em contexto escolar

pelos professores participantes. Pois, P1, na Etapa 3 agiu de forma funcionalmente

relacionada ao desempenho de seus alunos. Porém, relatou as interações ocorridas em

sala de prescindindo de vínculos funcionais. E P2, nessa mesma Etapa, descreveu as

interações ocorridas em contexto de sala de aula identificando relações funcionais,

porém sua atuação em sala de aula foi pouco sensível ao desempenho e as necessidades

de seus alunos.

Diante destes resultados, podem ser verificados avanços, quanto aos estudos que

apontam a dificuldade dos professores em identificar e descrever práticas de ensino

(TOPPING; FERGUSON, 2005; VAN ACKER et al, 2005), ao se constatar com as

Etapas 2 e 3 desta pesquisa parecem ter se constituído em condições facilitadoras para o

desenvolvimento de comportamentos que definem a identificação e descrição de

propriedades relevantes da interação entre práticas ou estratégias disponibilizadas pelas

professoras e as medidas de desempenho dos alunos.

Os resultados deste trabalho mostraram-se coerentes com orientações de estudos

que apontaram as dificuldades e necessidades de envolver professores na identificação

de propriedades funcionais de repertórios academicamente relevantes para

implementação de estratégias de ensino e de aprendizagem (FOX; DAVIS, 2005).

Diante disso, entende-se como conclusão desta pesquisa a possibilidade de a Análise

Comportamental ser aplicada com função de instrumentalização conceitual e

metodológica, na identificação de propriedades operantes de práticas docentes, bem

como no planejamento de procedimentos de ensino em contexto natural. Parece-nos,

abcdefghi jk ck bk l mnohfdi mk gk cpqrstl uvpwsxpyl descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX

13


assim, que, considerando uma forte tradição de pesquisa experimental em Análise do

Comportamento, os resultados desta pesquisa sinalizam contribuições da Análise do

Comportamento para contextos aplicados (naturais) e neste caso especifico, envolvendo

o ensino e a aprendizagem de conteúdos curriculares de matemática.

1 Obviamente que se trata de um modo parcial e limitado de analisar a amplitude envolvida na questão. Todavia, considerar e discutir a natureza dos demais determinantes relacionados com os índices negativos certamente escapa ao escopo do presente estudo. 2 Para efeito de redação foi mantida a organização curricular que estabelece oito anos para o ensino Fundamental. Contudo, cabe destacar que a Lei 11.274, de 06 de fevereiro de 2006, dispôs sobre a duração de nove anos para o ensino fundamental. 3 Definidas como um conjunto de aulas que compreende o início, meio e fim de um mesmo tema. O tema das UDs e o início das filmagens foram previamente estabelecidos pelos professores. A carga horária referente às aulas para a execução dessas UDs ficou a critério do planejamento de cada professor.

Referências

FOX, J.; DAVIS, C. Functional behavior assessment in schools: current research findings and future directions. Journal of Behavioral Education, v. 14, n.1, 2005, p. 1-4.

IWATA, B. et al. A. Skill acquisition in the implementation of functional analysis methodology. Journal of Applied Behavior Analysis, v.33, 2000, p.181-194.

MACE, F.C.; LALLI, J. Linking descriptive and experimental analysis in the treatment of bizarre speech. Journal of Applied Behavior Analysis, v.24, 1991, p.553-562.

MOORE, J. et al. A. Teacher acquisition of functional analysis methodology. Journalof Applied Behavior Analysis, v.35, 2002, p. 73-77.

NEEF, N.; IWATA, B. Current research on functional analysis methodologies: An introduction. Journal of Applied Behavior Analysis, v.27, 1994, p. 211-214.

NOELL, G. H. et al. J. Increasing intervention implementation in general education following consultation: A comparison of two follow-up strategies. Journal of Applied Behavior Analysis, v. 33, 2000, p. 271-284.

NÓVOA, A. Formação de professores e formação docente. In: NÓVOA, A. (Org.) Osprofessores e a sua formação. Lisboa: Publicações Dom Quixote, 1992, p 15 -33.

RODRIGUES, M. E. A contribuição do Behaviorismo Radical para a formação de professores: Uma análise a partir de dissertações e teses no período de 1970 a 2002. 258 p. (Doutorado em Psicologia da Educação) Programa de Estudos Pós-Graduados em Psicologia da Educação: PUC, SP, 2005.

z{|}~�� |� {� � ��}� �� |�� l descritiva e práticas de ensino de Matemática: tentativas de visibilidade às interações em sala de aula. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

STURMEY, P. Functional analysis in clinical Psychology. John Wiley & Sons, Inc. New York. 1996.

SKINNER, B. F. Ciência e comportamento humano, 9 edição, São Paulo: Martins Fontes, 1994.

TOPPING, K.; FERGUSON, N. Effective literacy teaching behaviors. Journal of Research in Reading, v. 28, n.2, 2005, p.125-143.

VAN ACKER, R. et al. Are we on the right course? Lessons Learned about current FBA/BIP practices in schools. Journal of Behavioral Education, v. 14, n.1, 2005, p. 35-56.

WALLACE, M. et al. Training educators to implement functional analysis. Journal of Applied Behavior Analysis, v. 37, p. 89-92, 2004.

�� G. L.e SILVA, B. A. As Mudanças Introduzidas por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 5: História e Filosofia

AS MUDANÇAS INTRODUZIDAS POR LUIGI FANTAPPIÈ NOS CURSOS DE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL MINISTRADOS NO BRASIL

Gabriel Loureiro de LIMA – PUC-SP ([email protected]�

Benedito Antonio da SILVA – PUC-SP ([email protected]�

Resumo: Este artigo tem como objetivo apresentar o curso de Cálculo Diferencial e Integral ministrado pelo matemático italiano Luigi Fantappiè na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo entre 1934, quando a referida universidade foi criada e Fantappiè contratado como professor, até 1939, quando esse professor deixa o Brasil e retorna à Itália. Ao chegar ao Brasil, Fantappiè teve como missão reformular os cursos de Cálculo da Universidade, transformando-o, efetivamente, em cursos de Análise Matemática, ocasionando, dessa forma, uma mudança radical na estrutura e nos objetivos dos cursos ministrados no país até então. O presente trabalho, após apresentar, de maneira sucinta, a forma como os conceitos fundamentais do Cálculo (função, limite, derivada e integral) eram abordados nas aulas de Fantappiè e destacar algumas preocupações didáticas observadas no curso ministrado por ele, analisa quais as mudanças introduzidas por esse matemático e docente no ensino brasileiro de Cálculo Diferencial e Integral. A fim de analisar essas mudanças, estabelecemos comparações entre as maneiras como os conceitos fundamentais do Cálculo eram abordados no curso de Fantappiè e as formas como eram tratados nos cursos das escolas militares do Rio de Janeiro no século XIX e nos da Escola Politécnica de São Paulo no início do século XX.

Palavras-chave: Cálculo Diferencial e Integral, Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, Luigi Fantappiè, Escolas Militares do Rio de Janeiro, Escola Politécnica de São Paulo.

Financiamento: CAPES

Introdução

O presente trabalho é parte de uma pesquisa que está sendo realizada em nível

de doutorado no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, com a qual se pretende estudar de que maneira o

Cálculo Diferencial e Integral tem sido ensinado nos cursos de Licenciatura em

Matemática de algumas universidades dos Estados de São Paulo e Rio de Janeiro de

�� ¡��¢�� £� �� ¤ �¥¦§¨©§¤ �¨ª«¬¦¥®¦§¤ por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

2

Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

1934, quando foi criada a Universidade de São Paulo e o primeiro curso superior de

Matemática do país, aos dias de hoje e, qual tem sido o papel desses cursos de Cálculo

na formação de futuros professores. Primeiramente, este artigo traz uma pequena

exposição sobre como eram os cursos de Cálculo ministrados no país entre 1810 e 1934

para, em seguida, focar-se no período compreendido entre 1934 e 1939, em que o

matemático italiano Luigi Fantappiè atuou como professor de Análise Matemática na

Escola Politécnica de São Paulo e na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da

Universidade de São Paulo. A análise desse período é importante porque a chegada

desse professor foi determinante para a modificação da estrutura dos cursos de Cálculo

Diferencial e Integral ministrados no país até então. Além disso, Fantappiè foi professor

de vários outros matemáticos que, posteriormente, lecionaram Cálculo em diversas

universidades brasileiras e o contato com esse matemático italiano influenciou muito a

forma desses professores atuarem e a visão que passaram a ter da matemática.

Os Cursos de Cálculo Ministrados no País entre 1810 e 1934

De acordo com Silva (1996), o Cálculo Diferencial e Integral aparece como

disciplina no currículo brasileiro em 1810 no Curso Matemático da Real Academia

Militar do Rio de Janeiro. Nessa instituição, o ensino do Cálculo baseava-se na tradução

para o português do livro Traité Elémentaire de Calcul Différentiel et du Calcul

Integral do francês Sylvestre François Lacroix (1765-1843), feita por Francisco

Cordeiro da Silva Torres Alvin (1775-1856), professor da Academia Militar do Rio de

Janeiro, e que permaneceu durante décadas como a principal referência teórica para o

ensino dessa disciplina no país.

Alguns conceitos fundamentais como funções e limites não são tratados de

maneira satisfatória nesse livro. Na verdade, o conceito de limite nem é apresentado; a

palavra apenas é citada na apresentação da idéia de derivada As apresentações de

derivada e integral também não são feitas de forma rigorosa; não são discutidos

cuidadosamente todos os detalhes envolvidos nessas definições. Valorizam-se muito

mais as técnicas que os conceitos. Quase nada mudou no cenário brasileiro de ensino de

Cálculo até o final do século XIX.

¯°±²³ ´µ ¯µ ¶ ·°¯¸²³ ¹µ ²µ ²º ±»¼½¾¿½º °¾ÀÁÂ¼»ÃÄ¼½º por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

3


Em 1893, foi fundada a Escola Politécnica de São Paulo e, segundo Oliveira

(2004), a disciplina ensinada nessa instituição tomava como referencia o livro Premiers

Élements du Calcul Infinitesimal de Hyppolite Sonnet, que trata o Cálculo na concepção

de Leibniz (1646-1716) e Newton (1642-1727), dando ênfase aos infinitésimos e à

noção intuitiva de limite. Nesses cursos da Poli, os conceitos de função e de limite já

eram apresentados de maneira mais satisfatória, apesar de serem definições ainda

incompletas. Percebe-se também um tratamento mais completo para a idéia de derivada,

que era trabalhada por três métodos diferentes: método de Leibniz, método de Newton e

método de Lagrange. Com relação à integral, enquanto a abordagem no livro de Lacroix

enfatizava as técnicas de integração e, em nenhum momento o conceito de integral era

formalizado, sendo dito, durante a maior parte do tempo apenas que a integração é a

operação inversa da diferenciação e apresentando a idéia de integral como área abaixo

de uma curva apenas após todas as técnicas terem sido trabalhadas, nos cursos de

Cálculo da Escola Politécnica de São Paulo, o conceito de integral já era introduzido por

meio da noção de área da região sob o gráfico de uma função )(xfy Å Æ ÇÈÉÊÇ ËÌ ÍÎÏËÊÇÌ

a e b da variável x. No entanto, os cursos das escolas militares trabalhavam, ao menos

implicitamente, o Teorema Fundamental do Cálculo, enquanto que nesses cursos da Poli

esse assunto não aparecia.

Como afirma Lima (2006, p. 65), tanto nos cursos de Cálculo das Escolas

Militares do Rio de Janeiro, quanto no curso da Escola Politécnica de São Paulo o

conteúdo resumia-se basicamente à derivação e à integração, sempre com ênfase nas

regras desses processos, visando-se uma aplicabilidade do que era estudado; a

matemática ensinada priorizava a formação profissional. Essa foi uma das principais

características do ensino do Cálculo no Brasil durante todo o século XIX e início do

século XX.

A Fundação da Universidade de São Paulo e a Chegada de Luigi Fantappiè ao

Brasil

Em 1933, o governador Armando de Salles Oliveira, por um decreto estadual, cria

a Universidade de São Paulo, que reuniria escolas de ensino superiores já existentes

como a Faculdade de Direito, a Faculdade de Medicina e a Escola Politécnica e

abrangeria ainda uma nova escola a ser criada, a Faculdade de Filosofia, Ciências e

ÐÑÒÓÔ ÕÖ ÐÖ × ØÑÐÙÓÔ ÚÖ ÓÖ ÓÛ ÒÜÝÞßàÞÛ ÑßáâãÝÜäåÝÞÛ por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

4


Letras, inspirada na École Normale Supérieure, e que, de acordo com D’Ambrosio

(1999), seria a célula mater da Universidade recém-criada. No processo de instalação da

Universidade de São Paulo e de sua FFCL importantes matemáticos estrangeiros foram

contratados como professores dessa escola, entre eles o italiano Luigi Fantappiè.

Italiano de Viterbo, nascido em 1901, Fantappiè chegou ao Brasil com 34 anos e

já era um matemático de renome internacional tendo 54 trabalhos publicados. Formou-

se pela Scuola Normale Superiore de Pisa e, de acordo com Silva (2000),

complementou seus estudos na Universidade de Sorbone, Colégio de França e Escola

Normal Superior, em Paris, em 1924. Foi o discípulo favorito do matemático Vito

Volterra (1860-1940), pioneiro na teoria dos funcionais, da qual Fantappiè foi o maior

divulgador e também colaborador introduzindo o conceito de Funcional Analítico.

Dominava também teorias modernas de Álgebra, Geometria e principalmente de

Análise.

O professor Cândido Lima da Silva Dias (1913-1998) enfatiza que foi Fantappiè

quem introduziu no Brasil os cursos de Matemática:

Anteriormente, nas escolas politécnicas ou de engenharia, somente se ministrava a parte fundamental do Cálculo Infinitesimal. Fantappiè desenvolveu cursos inteiramente diferentes: teoria dos grupos, grupos contínuos, teoria dos números, formas diferenciais aplicadas à análise, análise tensorial (que se denominava, então, de cálculo absoluto, como ele dizia). (DIAS, 1994)

Segundo Silva (2000), merece destaque também a participação de Fantappiè na

reforma do ensino secundário de São Paulo no final da década de 30. Além disso,

implantou, a partir de 1935, o Seminário Matemático: apresentações públicas e privadas

de pesquisas matemáticas, visando aperfeiçoar a formação dos estudantes e professores;

ministrou palestras e cursos para alunos que não eram do curso de Matemática; foi um

dos organizadores do Jornal de Matemática Pura e Aplicada da USP, que teve seu

primeiro número publicado em 1936, e também viajou pelo país divulgando os

progressos da matemática no século XX.

Outra contribuição de Fantappiè para a matemática brasileira foi seu empenho na

criação da biblioteca de Matemática da Universidade de São Paulo. Quando chegou da

Itália, Fantappiè trouxe muitos livros e periódicos e com essa sua doação teve início a

biblioteca.

æçèéê ëì æì í îçæïéê ðì éì éñ èòóôõöôñ çõ÷øùóòúûóôñ por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

5


Ficou no Brasil até 1939 quando assumiu um posto de catedrático de Análise

Superior na Universidade de Roma. Faleceu em 1956, mas deixou vários discípulos,

como os brasileiros Omar Catunda e Cândido Lima da Silva Dias.

O Curso de Cálculo de Luigi Fantappiè na FFCL da USP

Ao ser contratado, em 1934, como professor da recém-criada Universidade de São

Paulo, Luigi Fantappiè trouxe inovações aos cursos de Cálculo até então ministrados,

transformando-os efetivamente em cursos de Análise Matemática. Trouxe o que estava

em voga na escola matemática italiana, considerada na época avançada e bem

conceituada. Introduziu, já no primeiro ano de funcionamento da Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras, a disciplina de Análise Matemática que tratava dos mesmos

conteúdos abordados no curso de Cálculo Infinitesimal da Escola Politécnica de São

Paulo, além de conteúdos matemáticos mais modernos.

Segundo Lima (2006), durante o tempo em que Luigi Fantappiè ficou no Brasil, o

seu curso de Análise Matemática foi ministrado nos três anos do curso de Matemática

da FFCL. Em nosso trabalho, porém, iremos nos restringir aos conteúdos do 1º ano,

momento em que os conteúdos básicos do Cálculo Diferencial e Integral eram

apresentados aos alunos.

O curso de Análise Matemática ministrado por Fantappiè no 1º ano se iniciava

com um capítulo intitulado Cálculo Combinatório, Determinantes e Equações Lineares.

O segundo capítulo denominava-se Teoria dos Números Reais. Na seqüência, era

apresentado um capítulo intitulado de Potencias e Logaritmos dos Números Reais;

Números Complexos.

No capítulo seguinte, Conjuntos Lineares, Funções e Limites no Campo Real, é

que Fantappiè começava a abordar alguns conceitos fundamentais do Cálculo. O

primeiro desses conceitos a ser trabalhado era função, que definia segundo os moldes de

Dirichlet. A idéia de limite era abordada inicialmente de forma topológica e, em

seguida, era apresentada a definição analítica. Além disso, havia um tratamento

cuidadoso justificando por que é essencial a condição aü ý õô óíþûõûöÿù óí .byax

"

lim

O capítulo seguinte do curso de Fantappiè intitulava-se Derivadas e Diferenciais

das Funções de uma Variável. Nele, a derivada era conceituada como:

L�� L� � ��L�� por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

6


0

0 )()(lim)´(

0 xx

xfxfxf

xx #

#

"

Destacamos também que, ao definir função derivada, de certa forma resumia as

notações utilizadas até aquela época:

C�� !�� C �� "��

derivada vê-se facilmente que C faz parte do conjunto C´ derivado

de C). A cada ponto de corresponde assim um número bem

determinado . Temos aqui, portanto uma nova função de x,

monódroma, definida no campo parcial de C, que se chama função derivada de . Esta função se indica, indiferentemente, com uma qualquer das notações:

__

C

__

C

)(xf__

xf__

0x

)´( 0

)(xfC

)´(´ xfy (Lagrange)

)(xDfDy (Cauchy)

dx

xdf

dx

dy )( (Leibniz)

)(xfy$

(Newton) (atualmente usada só em Mecânica Racional, quando a variável independente indica o tempo). (FANTAPPIÈ, s/d, sem numeração de páginas)

Apresentava também uma interpretação geométrica (a derivada da função

num ponto como sendo o coeficiente angular da reta tangente à curva

no ponto de abscissa ) e uma interpretação mecânica (sendo a lei

de movimento de um determinado ponto móvel, a derivada primeira dessa função é a

velocidade e a derivada segunda será a aceleração do ponto móvel num determinado

instante ). Fazia também uma observação a respeito dos métodos de Newton e de

Leibniz para a construção do Cálculo Diferencial, comparando-os.

)(xfy

)(xfy

t

0x

0x )(tfx

O último capítulo do curso de Fantappiè denominava-se Integrais das Funções de

Uma Variável e se iniciava com uma apresentação histórica do conceito que seria

estudado. Após essa apresentação, considerava uma função definida e limitada no

intervalo , fazia uma divisão deste intervalo em n intervalos parciais e definia

soma superior e soma inferior da função relativas à divisão adotada. Justificava que o

conjunto de todas as somas superiores relativas a todas as divisões possíveis, é limitado

tanto superiormente como inferiormente e que, então, esse conjunto tem um extremo

],[ ba

#$%&' () #) * +$#,&' -) &) &. %/01231. $24560/7801. por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

7


inferior finito , que se chama integral superior da função no intervalo. Da mesma

forma, o conjunto das somas inferiores também é limitado e a integral inferior de

em , denotada por , pode ser definida como o extremo superior do conjunto das

somas inferiores. Fantappiè então explicitava que hipóteses deveriam ser satisfeitas para

que estes números existissem e, em seguida, definia a integral de uma função no

intervalo . Dando seqüência a esse capítulo, Fantappiè abordava as propriedades

das somas superiores e inferiores e dizia que uma das interpretações possíveis das

integrais é a medida de áreas de certas regiões planas. O Teorema Fundamental do

Cálculo também era cuidadosamente abordado e demonstrado, ainda que seu nome não

fosse citado.

0S

]

)(xf

],[ ba 0s

,[ ba

Salientamos que, embora Fantappiè afirmasse ser contrário a um programa

muito carregado de conteúdos chegando, inclusive, a sugerir a diminuição de regras e

teoremas apresentados nos cursos, na prática não era isso que se observava em seus

cursos. Destacaremos a seguir algumas preocupações didáticas que observamos em seu

curso.

Algumas Preocupações Didáticas Observadas no Curso de Fantappiè

Fantappiè deixava transparecer, em várias ocasiões no decorrer de seu curso de

Análise Matemática, preocupações de caráter didático. Observa-se uma preocupação em

apresentar os conceitos da maneira mais clara possível para o aluno. Isso pode ser

percebido na apresentação da idéia de limite. Começar a abordagem desse conceito

através de sua definição topológica era uma forma de fazer com que o aluno percebesse

a idéia central envolvida no assunto e pudesse compreender o significado de todos os

elementos presentes na apresentação analítica daquele conceito. Se apresentasse

diretamente a definição com épsilons e deltas, muito provavelmente o papel desses

elementos não seria compreendido pela maioria dos alunos.

Outra preocupação recorrente no curso de Fantappiè era a questão das variáveis.

Podemos citar dois momentos nos quais essa preocupação é explicitada. Primeiramente,

ao definir função, Fantappiè afirma: “indicamos essa correspondência com a notação y

= f(x) ou por outro símbolo semelhante em que a letra f seja substituída por outra

qualquer. Usa-se frequentemente, por exemplo, a notação y = y(x)”. Aqui, Fantappiè

9:;<= >? 9? @ A:9B<= D? <? <E ;FGHIJHE :IKMNGFOPGHE por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

8


demonstra preocupação para que o aluno compreenda que a letra escolhida para

representar uma função é indiferente; não é necessário que seja sempre . E essa

questão é importante até hoje: muitos professores, por só trabalharem com a letra

para representar funções e nunca se preocuparem em fazer a observação feita por

Fantappiè em seu curso, acabam provocando nos alunos a sensação de que uma função

só pode ser representada através dessa letra; da mesma forma que incógnita sempre

deve ser representada por

f

f

x . Essa preocupação com o significado das variáveis nas

expressões também fica explicitada na seguinte observação de Fantappiè:

Para a integral definida usa-se em geral a notação

% x

a

dxxfxF )()(

Mas é preciso ter bem presente que nessa expressão a letra x tem duas significações diferentes: é o extremo de integração [ , e

como tal é a variável independente da função ; mas na expressão

,

], xa)(xF

dxxf )( x é a variável de integração, e como tal não tem influência alguma sobre o valor da integral. (FANTAPPIÈ, sem data, sem numeração de páginas)

Vejamos agora em quais aspectos esses cursos de Análise Matemática se

diferenciavam dos cursos de Cálculo ministrados no Brasil até então.

As Mudanças Introduzidas por Fantappiè no Ensino do Cálculo

Nos cursos de Cálculo oferecidos pelas escolas politécnicas e militares antes da

chegada de Fantappiè, estudava-se apenas derivação e integração com ênfase nas regras

destes processos; visando uma aplicabilidade do conteúdo. No curso de Fantappiè, de

acordo com Lima (2006), além de o “Cálculo ser visto na perspectiva de Cauchy e seus

contemporâneos, o seu ensino não visava à mera aplicabilidade dos seus conteúdos, mas

principalmente à conceitualização e fundamentação das teorias expostas” (LIMA, 2006,

p. 81). Há então uma mudança de objetivos no ensino dessa disciplina.

Além disso, Fantappiè introduziu o rigor nos cursos de Cálculo ministrados no

Brasil. Segundo D´Ambrosio (1999),

No curso lecionado por Fantappiè se viam as transformações nos cursos básicos de matemática que estavam ocorrendo na Europa, principalmente no Cálculo Diferencial e Integral. Os analistas

QRSTU VW QW X YRQZTU [W TW T\ S]^_`a_\ R`bcd^]ef^_\ por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

9


italianos se destacavam pela modernização dos cursos de Cálculo, criando um estilo novo, rigoroso e extremamente elegante. Ao introduzir esse curso na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras, a partir de 1934, Fantappiè criou um novo estilo na matemática brasileira. (D´AMBROSIO, 1999)

Essas duas características citadas podem ser percebidas através da forma como os

conceitos fundamentais do Cálculo: função, limite, derivada e integral, \gd _hdc^_^d\

no seu curso.

É nesse curso que o conceito de função é apresentado pela primeira vez de

maneira ampla num curso brasileiro de Cálculo. Nas escolas militares que se orientavam

pela obra de Lacroix a definição desse ente matemático era extremamente insatisfatória,

chegando até mesmo a afirmar que o uso é que esclareceria o significado e nos cursos

da Escola Politécnica de São Paulo as funções eram vistas apenas como expressões

analíticas. Já no curso de Fantappiè era apresentada a definição de função segundo

Dirichlet, a mais completa no processo de evolução desse conceito.

O mesmo aconteceu com o conceito de limite: nos cursos das escolas militares,

esse conceito nem era definido, sendo apenas citado. Nos cursos ministrados na

Politécnica de São Paulo já havia uma evolução: embora não fosse apresentada uma

definição formal, era dada uma definição retórica. Foi Fantappiè, através desses cursos

de Análise Matemática ministrados entre 1934 e 1939 na FFCL da USP, quem

introduziu nos cursos de Cálculo do Brasil as idéias de Weierstrass, utilizando os

épsilons e deltas na definição de limite.

Com relação à abordagem da derivada, enquanto nas escolas militares apenas era

apresentado o método de Leibniz com ênfase nas técnicas, em como calcular as

derivadas de uma determinada função, nos cursos da Politécnica de São Paulo até 1934,

a derivada era tratada sob o ponto de vista de três métodos: Leibniz, Newton e

Lagrange. O curso de Fantappiè não abordava os três métodos; considerava que o aceito

naquele momento era o de Newton e estabelecia uma comparação entre esse e o de

Leibniz. A novidade ficava por conta do rigor utilizado na conceituação da derivada,

rigor este que até então não se observava nos cursos de Cálculo ministrados no país.

O conceito de integral era trabalhado nos cursos das escolas militares somente por

meio da idéia de que era a operação inversa da derivada. Não era apresentada uma

definição rigorosa; o que se observava eram páginas e mais páginas do texto de Lacroix

ijklm no io p qjirlm so lo lt kuvwxywt jxz{|vu}~vwt por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

10


dedicados às técnicas de integração. Não era explorado nem mesmo o fato de a integral

poder, em determinadas situações, representar a área da região abaixo de uma curva.

Essa idéia era apenas citada no livro de Lacroix. Já os cursos ministrados na Escola

Politécnica de São Paulo até 1934, apesar de também frisarem a idéia de integração

como operação inversa da diferenciação, abordavam esse tema de maneira totalmente

diferente da de Lacroix. O conceito de integral já era introduzido por meio da noção de

área da figura sob o gráfico de uma função )(xfy , entre os valores a e b da variável

x. Já havia uma preocupação em dar uma definição mais cuidadosa desse conceito: O

intervalo [a,b] era dividido em n partes iguais e eram considerados os retângulos

inscritos e circunscritos à curva dada, com base nos subintervalos da divisão. Então, o

limite da soma das áreas desses retângulos determinava a integral. O tratamento dado

por Fantappiè à integral era, no fundo, semelhante ao dado na Escola Politécnica. O que

os diferenciava era, novamente, o rigor empregado. Fantappiè também tomava um

intervalo , fazia uma divisão desse intervalo em intervalos parciais e definia

soma superior e soma inferior da função relativas à divisão adotada. No entanto,

deixava explícitas todas as hipóteses que a função a ser integrada deveria satisfazer e

todos os conceitos envolvidos no estabelecimento das somas superiores e inferiores que

levavam à definição de integral. Além disso, havia uma demonstração cuidadosa do

Teorema Fundamental do Cálculo, não observada nos cursos brasileiros até então.

],[ ba n

É importante destacar o quanto o curso de Análise Matemática que Luigi

Fantappiè ministrou entre 1934 e 1939 na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da

Universidade de São Paulo influenciou o ensino de Cálculo Diferencial e Integral no

Brasil. De acordo com Lima (2006, p. 81) “em algumas escolas de nível superior,

mesmo sob o nome de cálculo [e não análise matemática], o ensino dessa disciplina

passou a seguir os padrões impostos pela comunidade italiana aqui instalada a partir de

1934”. Podemos afirmar então que o modelo de curso de Cálculo proposto por

Fantappiè mudaria definitivamente o rumo do ensino dessa disciplina no país.


As considerações aqui chamadas de finais são, na verdade, apenas o início de

nosso trabalho, que busca entender de que forma o Cálculo Diferencial e Integral tem

sido ensinado nos cursos de Licenciatura em Matemática dos Estados de São Paulo e

�� por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro

11


Rio de Janeiro, desde 1934, quando foi criada a Universidade de São Paulo e nela o

primeiro curso superior de Matemática no Brasil, até os dias de hoje e, também, analisar

qual tem sido o papel desses cursos na formação de futuros professores de Matemática.

Para atingir esses objetivos, entender esse processo de estabelecimento do

primeiro curso superior de Matemática do país e, consequentemente, a vinda de

professores estrangeiros como Luigi Fantappiè para o Brasil será fundamental. Afinal, a

partir desse momento, ocorre uma mudança radical na estrutura e nos objetivos dos

cursos de Cálculo Diferencial e Integral ministrados no país. É claro que, essas

mudanças influenciaram na formação dos professores de Matemática que as

vivenciaram como alunos. De acordo com Silva (2000),

No caso da Matemática, pode-se afirmar que a grande influência que os docentes estrangeiros exerceram nos alunos brasileiros foi decisiva na sua formação e foi o contato direto com o professor-pesquisador que possibilitou aos jovens alunos perceberem que o conhecimento produzido não é algo estático e sem vida, não é apenas uma decorrência da capacidade individual, mas um processo social de interação onde o diálogo e a crítica são fundamentais. (SILVA, 2000)

Ainda segundo a mesma pesquisadora, “a grande influência que esses docentes

estrangeiros exerceram nos alunos brasileiros foi decisiva na sua formação, indicou

caminhos, estimulou a pesquisa e muitos se tornaram os seguidores das idéias dos

mestres” (SILVA, 2000).

Entre os primeiros alunos da Subseção de Ciências Matemáticas da Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo estavam Cândido Lima da

Silva Dias, Fernando Furquim de Almeida, Edson Farah e Benedito Castrucci. Esses

alunos, assim como Omar Catunda, que havia se formado na Escola Politécnica e

atuado como assistente de Fantappiè, tornaram-se, mais tarde, professores da Faculdade

de Filosofia da USP e, muitos deles, ensinaram Cálculo Diferencial e Integral em algum

momento de suas carreiras. Muitos, inclusive, atuaram no ensino até bem recentemente

e acabaram também influenciando aqueles que, ainda hoje, ministram Cálculo nos

cursos de licenciatura em Matemática. É claro que, ao analisarmos os cursos de Cálculo

lecionados por eles, precisamos saber como foram os cursos dessa disciplina que

vivenciaram como alunos. E, novamente, se torna evidente a necessidade da pesquisa

aqui iniciada para que possamos atingir os objetivos de nosso trabalho.

�� ¡¢£¤¥£ �¤¦§¨¢¡©ª¢£ por Luigi Fantappiè nos Cursos de Cálculo Diferencial e Integral Ministrados no Brasil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

12

Referências

D’ AMBROSIO, Ubiratan. História da Matemática no Brasil: uma visão panorâmica até 1950. Saber y Tiempo, v. 2, n. 8, Julio/Deciembre 1999, p.7-37.

DIAS, Cândido Lima da Silva. Cândido da Silva Dias: meio século como pesquisador. Estudos Avançados, v. 8, n. 22, 1994, p. 97-105.

FANTAPPIÈ, Luigi. Curso de Análise Matemática. São Paulo: Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP, sem paginação contínua, sem data.

LIMA, E. B. Dos Infinitésimos aos Limites: a contribuição de Omar Catunda para a modernização da Análise Matemática no Brasil. 2006. 145p. Dissertação (Mestrado em Ensino, Filosofia e História das Ciências). Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana, Salvador, 2006.

OLIVEIRA, A. S. V. de. O ensino do cálculo diferencial e integral na Escola Politécnica de São Paulo, ano de 1904: uma análise documental. 2004. 135p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). IGCE, UNESP, Rio Claro, 2004.

SILVA, Circe Mary Silva da. O conceito de derivada no ensino da matemática no Brasil do século XIX. In: Anais do ICME-8 Satellite Meeting HPM. Braga: Grafis, Coop. de Artes Gráficas, v. 1, 1996, p. 80-87.

______. A Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP e a formação de professores de Matemática. In: Anais da 23a. Reunião Anual da ANPED, 2000, Caxambu/MG

«¬®¯°±±²³ ´µ «µ ´µ «¶ ·¸¶¶¹º¹»¹¼½¼¾¶ ¼¾ ¿¸À¶ÁÂÃÄÅ¸ do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM, Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-10. (ISBN 978-85-98092-07- 2)


AS POSSIBLIDADES DE CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM UM

AMBIENTE VIRTUAL (MOODLE)

Carlos Augusto Coelho ANDREOTTI - Universidade Guarulhos – UnG ([email protected]Æ

Resumo: A Educação Matemática, mediada pelas Tecnologias da Informação e Comunicação, representa uma alternativa para Educadores atuarem no Ensino Fundamental e Médio, tornando possível transpor dificuldades de tempo e espaço e potencializando a interação e a troca de experiências. Ambientes virtuais construtivistas enfatizam a construção do conhecimento e não a instrução. Fundamentamos nosso estudo nas relações existentes entre interação, mediação e trabalho colaborativo, compreendendo a utilização de estratégias específicas de mediação pedagógica segundo as idéias de Vygotsky (1984). Esse artigo resultou de estudos realizados no Programa de Especialização em Educação Matemática e propõe a reflexão sobre as possibilidades de construção do conhecimento em ambientes educacionais virtuais procurando verificar suas interações.

Palavras-chave: Aprendizagem, Construção do Conhecimento, Ambiente Virtual (Moodle).

Introdução

Ao longo de minha caminhada como Educador Matemático, tenho procurado

propiciar aos meus alunos, oportunidades de ensino-aprendizagem para que eles possam

tornar-se cidadãos independentes e criativos.

Na sociedade em que hoje vivemos, onde há busca constante da informação é

preciso que nossos alunos e porque não nós professores sejamos alfabetizados

tecnologicamente para que possamos utilizar a informática em nossa prática

pedagógica.

Parece que a palavra “alfabetização” poderia estar num sentido pejorativo. No

entanto, muitos dos professores que ora atuam nas escolas de Ensino Fundamental e

Médio, tiveram uma formação acadêmica muito tradicional e sem uso da tecnologia

eletrônica. Discute-se, ainda hoje, a possibilidade do uso de calculadoras em sala de

aula.

ÇÈÉÊËÌÍÍÎÏ ÐÑ ÇÑ ÐÑ ÇÒ ÓÔÒÒÕÖÕ×ÕØÙØÚÒ ØÚ ÛÔÜÒÝÞßàáÔ do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2

Matemática: IX EPEM, Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-10. (ISBN 978-85-98092-07- 2)

Analisando o currículo escolar do Ensino Fundamental e Médio, até pouco tempo

não havia a preocupação com a área das novas tecnologias. Todavia, com o advento dos

PCN’s (1998) esta situação vem mudando. O documento enfatiza que:

O objetivo da inclusão da informática como componente curricular da Área de Linguagens, Códigos e Tecnologias é permitir o acesso a todos os que desejam torná-la um elemento de sua cultura, assim como aqueles para os quais a abordagem puramente técnica parece insuficiente para o entendimento de seus mecanismos profundos. Como a mais recente das linguagens, não substitui as demais, mas ao contrário, complementa e serve de arcabouço tecnológico para as várias formas de comunicação tradicionais. (PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS, 1998, p. 184)

A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) e as novas

possibilidades de ambientes virtuais (Moodlle) têm alterado o cenário da Educação,

permitindo aos profissionais a oportunidade de repensar a forma pela qual a Educação é

planejada, organizada, distribuída e avaliada.

Apesar de não terem surgido com preocupações educativas, cada vez mais

percebemos a utilização das TIC em benefício da aprendizagem e o aprofundamento da

discussão referente a ambientes virtuais. Com o impacto econômico e social que a

informatização da produção industrial provocou no mercado de trabalho desencadeou a

necessidade de desenvolvimento de novas competências, estreitando as relações entre

Educação e Informática, numa sociedade dita “da Informação”.

Neste contexto, como Educadores Matemáticos do Ensino Fundamental e Médio,

de uma escola particular localizada no Município de Guarulhos, mobilizamos nos com o

intuito de desenvolver um projeto experimental nas aulas de matemática, objetivando

identificar o alcance, o impacto e a possibilidade desta “nova” modalidade de ambiente

virtual como o “Moodle”.

Referencial Teórico

O impacto das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na Educação,

reflete-se nas novas possibilidades de permitir aos alunos novas formas de agir e

compartilhar, desenvolvendo, segundo Masetto (2003), a auto-aprendizagem, que

caracteriza situações de aprendizado individual e a interaprendizagem, que ocorrem

quando a aprendizagem se dá de forma colaborativa.

âãäåæçèèéê ëì âì ëì âí îïííðñðòðóôóõí óõ öï÷íøùúûüï do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

3


Nesse sentido, Lévy (2001) destaca a importância da inserção e a utilização

estratégica das tecnologias na educação básica, que é essencial e urgente no cenário de

transformações contínuas e velozes da produção de conhecimento. Lévy também aponta

que aos educadores caberá o papel de mediação por meio dessas novas tecnologias e,

por sua vez, irão se ampliar e diversificar as formas de interagir e compartilhar, em

tempos e espaços nunca antes imaginados, configurando um novo perfil profissional.

As possibilidades que as novas tecnologias digitais trazem para a Educação

podem colaborar para a criação de novos espaços de aprendizagem, favorecendo o

desenvolvimento de processos de construção do conhecimento, a ampliação de

contextos, o pensamento reflexivo, a consciência crítica, e potencializam a relação entre

pessoas e objetos de conhecimento.

A idéia de ensinar geralmente aparece vinculada a modelos pedagógicos que só

conhecem a comunicação unilateral, onde o aluno desempenha o papel de um receptor

passivo, cabendo-lhe apenas aceitar ou não a mensagem proposta pelo professor-

emissor. Esses modelos priorizam na Educação, a memorização e a reprodução das

informações transmitidas pelo professor.

Enquanto que o conceito de “ensinar” está mais diretamente ligado às ações do

professor, o conceito de aprender centra-se no sujeito aprendiz. Aprender é uma ação

realizada pelo aluno, e envolve a pesquisa, o diálogo, o debate, a reflexão crítica e a

busca de informações. Masetto (2003) coloca que, no processo de aprendizagem, o

aluno desenvolve competências pessoais, muda comportamentos, transfere

aprendizagens, dá significado ao conhecimento, produz reflexões e conhecimentos

próprios, integra conceitos teóricos com realidades práticas, relaciona e contextualiza

experiências envolvendo a si próprio, os outros colegas e o professor. Nesse processo,

“o professor tem a oportunidade de realizar seu verdadeiro papel: o de mediador entre o

aluno e sua aprendizagem, o facilitador, o incentivador e o motivador dessa

aprendizagem” (MASETTO, 2003, p. 140).

Segundo Masetto (2003), pode-se admitir que a TIC permitem o desenvolvimento

de atividades além da perspectiva instrucionista, privilegiando a construção do

conhecimento de forma colaborativa, dada a facilidade de troca de informações e a

busca de dados por meio de pesquisa através da Internet. Neste caso, o planejamento de

atividades em ambientes virtuais como o Moodle deve focar o processo de

ýþÿA�� ý� �� ý� �� do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

4


aprendizagem, integrando as estratégias de mediação e a escolha das técnicas que

mediatizarão as ações e a comunicação de acordo com os objetivos pretendidos. Caso

contrário, corre-se o risco dos participantes não perceberem o sentido e o significado

das propostas abordadas.

Os novos recursos tecnológicos podem transformar a sala de aula numa

comunidade educacional interativa e o aluno em sujeito de sua própria aprendizagem. O

professor deixa de ser um “transmissor” de informações para transformar-se num

companheiro do aluno em sua trajetória na construção do conhecimento. Nesta relação

existe diálogo, troca e espírito de equipe; todas as experiências são valorizadas e todas

as relações (aluno-professor, aluno-aluno) podem permitir o aprendizado.

Os recursos tecnológicos disponibilizados por um ambiente virtual caracterizam a

discussão on-line sobre conteúdos que são, em grande parte, determinado a partir de

atividades individuais e em grupo. Nesse ambiente, o professor facilita, cria e conduz

situações de ensino e aprendizagem, sendo um co-participante do processo de

construção coletiva do conhecimento. Nesse sentido, os estudos sócio-interacionistas de

Vygotsky (1984) e a conceituação de mediação pedagógica nos posicionam a

importância das interações entre professor-aluno e, também, entre os alunos no processo

de construção do conhecimento.

Vygotsky (1984) foi um estudioso do processo de interação social ao longo do

desenvolvimento do homem. Para este autor o conhecimento é o produto da interação

social e da cultura. A abordagem sócio-interacionista tem como foco central à

coletividade do saber, proporcionando descobertas fecundas no grupo.

Com o objetivo central de caracterizar os aspectos tipicamente humanos do

comportamento, Vygotsky (1984) considera que toda atividade humana envolve

mediação por instrumentos técnicos e “psicológicos” (signos).

Os instrumentos técnicos regulam as ações sobre os objetos, ampliando a

intervenção humana no meio em que vive. Nesse sentido, as novas mídias não são

apenas simples recursos didáticos dentro do processo de construção do conhecimento.

Os instrumentos psicológicos correspondem aos sistemas simbólicos, que regulam

as ações sobre o psiquismo do ser humano. Esses sistemas de representação da realidade

permitem que o ser humano amplie sua capacidade de atenção, memória e acúmulo de

�� ! �! ! �" #$""%&%'%()(*" (* +$,"-./01$ do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

5


informações. São exemplos de signos a linguagem, a escrita e o sistema de números –

“um meio de contato social com outras pessoas” (VYGOTSKY, 1984, p. 31).

O estudo desses dois conceitos é importante para nossa reflexão tendo em vista

que a construção do conhecimento pretendido por atividades desenvolvidas no ambiente

virtual Moodle, possibilitada por “instrumentos técnicos” que intercede as interações

entre os participantes e por instrumentos psicológicos, signos, “uma vez que os

participantes interagem com a linguagem escrita para fazerem-se perceber e trocar

informações”.

Nesse sentido, o conceito de interação não se limita a uma simples relação. Os

estudos sócio-interacionista (VYGOTSKY, 1984) indicam que a interação humana

relaciona-se à construção do conhecimento e do meio, contribuindo para o

desenvolvimento cognitivo do indivíduo enquanto sujeito a partir das interações que

mantém com o ambiente físico-social, compreendendo o ambiente histórico.

Entendemos que o processo de construção do conhecimento ocorre quando as

atividades psicológicas que se originam de um processo interpessoal (social) convertem-

se num processo intrapessoal (individual). O indivíduo aprende e se desenvolve nas

interações que estabelece com outras pessoas.

Neste sentido, a aprendizagem é considerada um aspecto fundamental para o

desenvolvimento pleno das funções psicológicas superiores do ser humano, e pode ser

observada na concepção de Vygotsky sobre a Zona de Desenvolvimento Proximal

(ZDP).

Para Vygotsky, a ZDP permite diagnosticar os níveis de desenvolvimento real e

potencial do indivíduo, sinaliza o que falta para que o indivíduo realize, de forma mais

independente, determinadas atividades nas quais ainda necessita de apoio. A ZDP

define aquelas funções que estão em processo de maturação, mas que estão presentes

em estado embrionário. Trata-se da distância entre a capacidade do indivíduo de

realizar de forma autônoma (seu nível real de desenvolvimento) em colaboração com

outros elementos de seu grupo social (seu nível potencial de desenvolvimento).

Sem ajuda externa, a criança ou o adolescente não consegue desenvolver os vários

processos. Nesta perspectiva, construir conhecimentos implica numa ação partilhada, o

que deve redimensionar o valor das interações sociais entre professor-aluno e entre

alunos no contexto escolar. As interações devem permitir o diálogo, a colaboração, a

234567889: ;< 2< ;< 2= >?==@B@C@DEDF= DF G?H=IJKLM? do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

6


troca de informações mútuas e o enfrentamento de pontos de vista divergentes, uma vez

que é por meio dos outros que as relações entre sujeito e objeto de estudo são

estabelecidas. Para Vygotsky (1984), o conceito de interação pode ser entendido como

um processo que se dá no campo das relações sociais envolvendo conhecimentos,

valores, ideologias, crenças, etc., ocorridas em uma dada sociedade e momento

histórico, implicando em ações recíprocas de concordância ou discordância que

promovem a apropriação e a transformação do saber.

Assim, resumindo as idéias principais, entendemos que a construção do

conhecimento acontece por meio do diálogo constante entre o exterior e o interior do

sujeito, sendo a ação mental produto das trocas com o meio, interiorização e ações

externas.

No contexto educacional, o aluno, embora sujeito ativo em seu processo de

aprendizagem, não prescinde do grupo para transformar seu desenvolvimento potencial

em desenvolvimento real, cabendo ao professor, entendido como alguém mais

experiente e/ ou com mais conhecimento, intervir para promover interações (trocas)

efetivas entre os alunos, o que contribui para o desenvolvimento individual de cada um.

Nessa perspectiva, ensinar está além da transmissão de informações, pois implica em

levar o aluno a pensar, a acessar informações e apropriar-se de conceitos elaborados de

forma que possa desenvolver essa prática para além de sua permanência na escola.

Nesse sentido, Vygotsky (1984) aponta como papel do professor:

- organizar as atividades educativas de forma sistematizada, o que significa pensar em

sua intencionalidade pedagógica, seu compromisso de tornar acessível o conhecimento

formalmente organizado sem deixar de desafiar o aluno a entender os conceitos a serem

trabalhados e mesmo seu processo mental de aprendizado;

- possibilitar que o aluno, ao interagir com informações descontextualizadas, possa

construir significados e cenários para a inserção destas novas informações, ampliando

seus conhecimentos;

- levar o aluno a contextualizar e transcender seu aprendizado por meio de um processo

de abstração ou generalização que permita relacionar o conhecimento com outros

aspectos da realidade.

NOPQRSTTUV WX NX WX NY Z[YY\]\^\_`_aY _a b[cYdefgh[ do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

7


Apesar de todos os recursos tecnológicos disponíveis, o nível qualitativo de

interações entre os alunos participantes pode depender do nível de motivação pessoal,

ou seja, o que pode potencializar a utilização dos recursos é a própria vontade do aluno

querer ser percebido pelo grupo virtual, comunicar-se com seus componentes,

desenvolver as atividades propostas e responder às solicitações feitas pelos colegas ou

pelos professores. As interações dão vida ao trabalho em desenvolvimento e permitem

aos professores um feedback constante, sobre o qual podem ser tomadas decisões

imediatas que permitem o aprimoramento.

Cabe ao professor despertar este relacionamento entre o aluno e o ambiente virtual

moodle, estreitando seu comprometimento com o objetivo geral e auxiliando-o no

processo de comunicação com os demais integrantes – uma vez que parte do

aprendizado provém exatamente da discussão sobre o desenvolvimento da resolução das

atividades propostas. A mediação pode assim ser entendida como ações ou formas

decorrentes desta responsabilidade didático-pedagógica.

Apresentando e Conhecendo o Ambiente Virtual “MOODLE ”

O Moodle é um programa para a criação de comunidade de aprendizagem na

Web, esse programa foi idealizado por Martin Dougiamas na década dos anos 90. O

idealizador tem uma formação acadêmica em Educação. Com isto o conduziu a adotar

o Construcionismo Social, como a estrutura pedagógica em que está baseado o

ambiente. Isto é inovador uma vez que os ambientes de gerenciamento de curso são, em

geral, construídos em torno de ferramentas computacionais. Assim como os sistemas de

gerenciamentos comerciais são voltados para as ferramentas, enquanto que o Moodle é

voltado para a aprendizagem.

O significado do Moodle é ocrônimo de Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment (Ambiente de Apresentação Dinâmico Objeto-Orientado Modular), que também ganha um significado, como uma palavra em que se indica uma nova forma de aprender.

O construcionismo Social baseia-se na idéia de que pessoas aprendem melhor

quando engajadas em um processo social de construção do conhecimento pelo ato de

construir alguma coisa para outros. O termo processo social sugere que a aprendizagem

ijklmnoopq rs is rs it uvttwxwywz{z|t z| }v~t��v do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

8


é alguma coisa que se faz em grupos. Deste modo, a aprendizagem é um processo de

negociação de significados em uma cultura de símbolos e artefatos compartilhados. E

não somos um quadro em branco, quando estamos no processo de aprendizagem. Nós

temos a necessidade de testar novos conhecimentos comparando-os com os já

existentes.

A diferença do ambiente Moodle com as outras ferramentas, é que o ambiente

Moodle coloca as ferramentas em uma interface que faz da aprendizagem a tarefa

central. O ambiente Moodle enfoca o trabalho em ferramentas para discussão e

compartilhamento de experiências. Assim a ênfase está não em distribuir a informação,

mas sim em compartilhar idéias e engajar os alunos na construção do conhecimento.

Como o Moodle é um programa de fonte aberta, significa que os usuários têm

acesso ao código fonte do Software.

Qualquer pessoa pode baixar o Moodle, gratuitamente, modificar ou acrescentar

módulos, corrigir erros, melhorar seu desempenho ou simplesmente aprender

observando com as outras pessoas usando o ambiente e resolvendo problemas.

E como ele é um Software livre, qualquer pessoa pode instalar sem nenhum custo

e em quantos computadores desejar, sem que ninguém vá retirá-lo.

O Moodle tem uma comunidade extensa ao redor do mundo. São mais de 5000

pessoas contribuindo, 3000 sites registrados em 112 paises e é distribuído em 60

línguas.

Existem muitos administradores de ambientes de aprendizagem declarando sua

adesão ao Moodle, principalmente por ser ele um Software aberto.


Esse artigo teve por objetivo abordar algumas reflexões sobre as possibilidades de

construção de conhecimento matemático, em um ambiente virtual de ensino e

aprendizagem, enfatizando a colaboração entre os alunos e as intervenções do professor

mediador.

Em nossa trajetória, buscamos pontuar conceitualmente as noções de interação,

mediação pedagógica e construção do conhecimento. Refletimos que ao contextualizar

as relações entre esses conceitos em uma situação de ensino-aprendizagem, promovida

em ambiente virtual Moodle, este possibilita a construção do conhecimento matemático

�� do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação

9


por meio da colaboração entre os participantes no Correio Eletrônico, Fórum e Bate-

Papo.

O professor mediador pode promover um ambiente de aprendizagem colaborativa,

agir no sentido de orientar e acompanhar o trabalho, utilizar todas as ferramentas de

comunicação disponíveis no ambiente, encaminhar mensagens individuais, para grupos

específicos ou para todos os participantes. Ele pode verificar o volume de entradas no

ambiente, a utilização de determinadas ferramentas e a qualidade da participação dos

alunos, verificar suas dificuldades e progressos na articulação das atividades propostas.

Dessa forma, o professor mediador pode rever suas estratégias de abordagem sempre

que necessário, de acordo com as necessidades de cada indivíduo ou grupo de alunos,

propiciar a abordagem de qualquer tema da matemática, articular com outras disciplinas

e propor um trabalho em rede.

Este ambiente possibilita os alunos a desenvolverem habilidades no que concerne

ao relacionamento social (Vygotsky, 1984), pois o trabalho colaborativo envolve a

capacidade de negociar e argumentar em situações de conflito, incluindo o respeito

mútuo, uma tomada conjunta de decisões, um comprometimento efetivo e cuidado na

comunicação.

Acreditamos que um ambiente virtual facilita a aprendizagem colaborativa,

porque suas ferramentas de comunicação permitirá a interação à distância, o que

possibilita os encontros virtuais e permite o relacionamento entre participantes no

debate de um determinado assunto, compartilhando suas dúvidas, suas tentativas de

resolução e suas elaborações conceituais, levados a pensar, conjectura e elaborar os

conceitos envolvidos nas atividades.

O processo de ensino e aprendizagem em um ambiente virtual envolve a

participação de alunos e professores nas discussões conjuntas com o objetivo de

elaborar, construir, formalizar ou refletir, no coletivo, sobre os conceitos abordados

pelas atividades propostas.

Enfim, temos a certeza de que a possibilidade de enviar e manipular em tempo

real a construção de um conhecimento via Internet, venha favorecer um trabalho

colaborativo, na medida em que os participantes (alunos e professores) possam engajar-

se no processo de criar, observar, manipular e comentar simultaneamente. Nesse

sentido, o campo da Educação Matemática demanda investigações aprofundadas tanto

� ¡¢£¤¥¥¦§ ¨© �© ¨© �ª «¬ªª®¯°±°²ª °² ³¬´ªµ¶·¸¹¬ do conhecimento em um ambiente virtual (MOODLE). Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM, Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-10. (ISBN 978-85-98092-07- 2)

10

para o desenvolvimento desses recursos, quanto para o estudo de suas verdadeiras

potencialidades de utilização.

Referências

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC/Semtec, 1999.

COMUNIDADE MOODLE. Disponível em http://www.moodle.org/© �³²ªª¬ ²º» ¼½ °²julho, 2007.

FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Dicionário da Língua Portuguesa. Botafogo/Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira S.A, 1986.

LÉVY, P. As tecnologias da Inteligência. Tradução de Carlos Irineu da Costa, Rio de Janeiro: Editora 34, 2001.

MASETTO, M. T. Mediação Pedagógica e o Uso da Tecnologia. In: MORAN, J. M.; In: MORAN, J. M.; MASETTO, M. T.; BEHRENS, M. A. Novas Tecnologias e Mediação Pedagógica. São Paulo: Papirus, 2003.

VYGOTSKY, L. S. A Formação Social da Mente. São Paulo: Martins Fontes, 1984.

¾¿ÀÁÂ ÃÄ ÅÄ Æ Ç¿ÈÉÊÁ¿ËÂ ÌÄ ÍÄ ÈÄ ÎÏ ÐÆÑÒÓÔÆÏ ÆÕÖÐÆ as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em 2007. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 8: Tecnologias da Informação e Comunicação

AS RELAÇÕES ENTRE AS TICS E A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DA

UNESP – RIO CLARO EM 2007

Juliana França VIOL – UNESP, Rio Claro ([email protected]×Rosana Giaretta Sguerra MISKULIN – UNESP, Rio Claro ([email protected]×

Resumo: O presente trabalho visa realizar uma síntese integrativa (ANDRÉ, 2002) do conhecimento sobre o tema Tecnologias da Informação e Comunicação - TIC e a Educação Matemática, por meio da análise de teses e dissertações defendidas no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, da Unesp campus de Rio Claro no ano de 2007. Para tanto, foi realizado um levantamento das teses e dissertação procurando identificar no título, palavras-chave, resumo e sujeitos da pesquisa a presença das TICs. Posteriormente a realização deste este levantamento, foi realizado o “fichamento” de cada uma das pesquisas identificado os seguintes elementos: Questão/Problema de investigação, Objetivos, Referencial Teórico, Procedimentos Metodológicos de Coleta e Análise de Dados e Principais Resultados. A partir da análise dos trabalhos acadêmicos foi possível observar que neste ano, as pesquisas analisadas elegeram temas como: Formação Inicial do professor de Matemática com o aporte teórico da Semiótica, Formação Continuada do professor de Matemática com ênfase na EaD, possibilidades do uso da tecnologia nos processos de visualização e representação em Geometria em uma perspectiva Semiótica e o uso das TIC em Projetos de Modelagem Matemática. Além disso, neste trabalho trazemos uma breve discussão sobre a modalidade de pesquisa síntese integrativa, trazendo pesquisas diversificadas realizadas por vários autores que abordaram de distintas maneiras e diferentes nomenclaturas esta metodologia de pesquisa, tais como: Fiorentini (1994), André et al. (1999), Barreto et al. (2006), Melo (2006), Passos et al. (2006). Esperamos ainda, com este trabalho, ter contribuído para estudos futuros no que diz respeito à revisão bibliográfica e também para o conhecimento das principais tendências temáticas abordadas pelas pesquisas analisadas no referido período.

Palavras-chave: Educação Matemática, Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), Síntese Integrativa

Financiamento: CNPq

ØÙÚÛÜ ÝÞ ßÞ à áÙâãäÛÙåÜ æÞ çÞ âÞ èé êàëìíîàé àïðêà as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

2

2007. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Introdução

A versão inicial deste trabalho foi apresentada na disciplina de Metodologia de

Pesquisa Qualitativa, ministrada pelo Prof. Dr. Marcelo de Carvalho Borba e oferecida

pelo Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro, no

segundo semestre do ano de 2007.

O mundo globalizado é um lugar no qual predominam as mais distintas

tecnologias que permeiam a economia, a cultura, a sociedade, e assim pode-se verificar

que, cada vez mais, as mesmas se inserem nos mais diversos desdobramentos da

atividade humana. Além disso, evidenciando as contínuas mudanças, em ritmo

acelerado, provocadas pela tecnologia, não há como ignorar que as Tecnologias da

Informação e Comunicação (TIC) provocam mudanças na forma como as pessoas vêem

e apreendem o mundo, nem tampouco desprezar as potencialidades didático-

pedagógicas que tais tecnologias apresentam quando incorporados à Educação.

[...] com o desenvolvimento da tecnologia e dos computadores pessoais, a Informática vem ocupando um espaço cada vez maior em nossa sociedade, sobretudo no cotidiano dos cidadãos. Grandes transformações estão ocorrendo na produção industrial, nas relações de trabalho, na forma de viver do homem e nos estilos de conhecimento, em razão do desenvolvimento das máquinas informáticas [...] (PENTEADO, 1999, p. 297).

Diante do desenvolvimento notável da tecnologia nos dias atuais, bem como as

implicações que esse desenvolvimento provoca em no cotidiano e na organização do

sistema educacional pode-se observar a incorporação das tecnologias nas práticas

educativas, seja em escolas públicas ou particulares. Além disso, voltando-se para os

esforços de diversos pesquisadores que defendem a implementação das TIC no processo

educacional como BORBA e PENTEADO, 2001; PENTEADO, 1997; MISKULIN,

1999; VALENTE, 1993, entre outros, não se pode negar o potencial da tecnologia no

processo de ensino e de aprendizagem, cabendo à escola utilizá-la de forma coerente

com uma proposta pedagógica atual e consistente.

O cenário educacional composto por tecnologias traz junto com as possibilidades

de um maior conhecimento, certa insegurança e resistência por parte de alguns

professores, adeptos do ensino tradicional, o que causa dificuldades na propagação de

novas metodologias de ensino. Neste contexto, considera-se que cabe ao professor

ñòóôõ ö÷ ø÷ ù úòûüýôòþõ ÿ÷ V÷ û÷ �� ù��ù� ù��ù as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

3


atualizar-se constantemente, buscando novas práticas educativas que contribuam para o

processo educacional. Baseando-se no fato de que as novas tecnologias podem

enriquecer ambientes de aprendizagem e trazer subsídios para que os alunos,

interagindo com os objetos desse ambiente, sejam capazes de transformar pensamentos,

desenvolver atividades criativas, compreender conceitos, refletir sobre eles e

conseqüentemente, criar novos significados.

A discussão cada vez maior da importância das TIC em ambientes educacionais,

vista como favorecedora no processo de ensino e aprendizagem, na construção do

conhecimento, vem preocupando pesquisadores na área da Educação Matemática, bem

como fazendo com que cresça no Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática da Unesp de Rio Claro o número de pesquisas que estejam relacionadas a

essa temática.

Sendo assim, diante das situações apresentadas acima e analisando os esforços de

diversos pesquisadores, que defendem a implementação das TIC no processo

educacional, observou-se a necessidade de realizar uma Síntese Integrativa (ANDRÉ,

2002) do conhecimento sobre o tema TIC e Educação Matemática, por meio da análise

de Teses e Dissertações, produzidas pelo Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática da UNESP campus de Rio Claro no ano de 2007.

Relevância

A metodologia de pesquisa Síntese Integrativa (ANDRÉ, 2002) do conhecimento

é abordada por vários autores de distintas maneiras e com diferentes nomenclaturas

(isso poderá ser observado no item: “Uma breve discussão sobre pesquisas do tipo

“Estado da Arte” em Educação e Educação Matemática”), tais como: “Estado da Arte”

(FIORENTINI, 1994), “Estado do Conhecimento” (BARRETO et al., 2006), entre

outros. Pesquisas deste tipo permitem, por meio de um recorte de tempo definido, a

sistematização de um determinado campo do conhecimento. O objetivo principal dessas

pesquisas consiste em reconhecer e identificar os principais resultados da investigação,

identificar as principais tendências temáticas, assim como as abordagens dominantes e

emergentes. Além disso, também podem ser investigadas as lacunas deixadas pelas

pesquisas, evidenciando campos inexplorados, que poderão servir de temática para

futuras pesquisas.

�� !�� as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

4


Assim, nas palavras de Ferreira (2002), pode-se entender a justificativa dos

pesquisadores ao realizar uma pesquisa que se enquadre neste tipo de metodologia:

A sensação que parece invadir esses pesquisadores é a do não conhecimento acerca da totalidade de estudos e pesquisas em determinada área de conhecimento que apresenta crescimento tanto quanto quantitativo quanto qualitativo, principalmente reflexões desenvolvidas em nível de pós-graduação, produção esta distribuída por inúmeros programas de pós e pouco divulgada. [...] Sustentados e movidos pelo desafio de conhecer o já construído e produzido para depois buscar o que ainda não foi feito [...] (p. 259).

Neste mesmo contexto, Miskulin (1999, p. 37), refere-se às pesquisas deste tipo,

afirmando que a apresentação de “[...] uma reflexão sobre alguns aspectos do ‘Estado da

Arte’ da Informática Educacional, pode possibilitar aos professores e pesquisadores da

área uma reflexão crítica de como a tecnologia pode auxiliar na construção do

conhecimento”.

Uma breve discussão sobre pesquisas do tipo “Estado da Arte” em Educação e

Educação Matemática

Partindo do objetivo de realizar uma Síntese Integrativa (ANDRÉ, 2002) do

conhecimento sobre TIC e Educação Matemática do Programa de Pós-Graduação da

Unesp campus Rio Claro, sentiu-se a necessidade de remeter a pesquisas realizadas por

vários autores que abordaram de distintas maneiras e diferentes nomenclaturas esta

metodologia de pesquisa.

Assim, Fiorentini (1994) em sua Tese de Doutorado descreve o “Estado da Arte”

da Educação Matemática brasileira, enquanto campo de investigação ou de produção de

saberes, focalizando as tendências temáticas e teórico-metodológicas, as principais

perguntas ou problemas que foram objeto de pesquisa, os pesquisadores, os orientadores

e os principais centros de pesquisas onde as mesmas foram produzidas. As pesquisas

analisadas vão desde a década de 50 até a década de 90 e os resultados obtidos neste

estudo puderam dividir Educação Matemática em quatro fases distintas e assim

denominadas: Fase da Gestação da Educação Matemática enquanto campo profissional;

Nascimento da Educação Matemática enquanto campo profissional, não só de ensino,

mas também de pesquisa; Surgimento de uma Comunidade de Educadores Matemáticos

que representa o período da ampliação da região de inquérito da Educação Matemática e

"#$%& '( )( * +#,-.%#/& 0( 1( ,( 23 4*5678*3 *9:4* as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

5


do aparecimento de algumas linhas de pesquisa; e Emergência de uma Comunidade

Científica de Pesquisadores em Educação Matemática. No entanto o autor diz que há a

possibilidade de realização de um estudo que explore os resultados das pesquisas, o que

não foi muito abordado no estudo realizado por ele.

Melo (2006) em sua pesquisa de Mestrado resgata e descreve historicamente a

constituição e o movimento das pesquisas acadêmicas em Educação Matemática do

Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Estadual de Campinas –

UNICAMO, tendo como foco principal à Formação de Professores de Matemática.

Foram selecionadas 188 pesquisas, produzidas em três décadas (1976-2003). Com a

análise das pesquisas foi possível identificar dez eixos temáticos: História, Filosofia,

Epistemologia; Etnomatemática; Crenças, Concepções, Percepções, Ideário,

Representações; Didática e Metodologia de Ensino; Materiais e Recursos Didáticos e

Tecnológicos; Currículo relativo ao Ensino da Matemática; Prática Pedagógica em

Matemática; Psicologia da/na Educação Matemática; Formação de Professores que

Ensinam Matemática e Outros Estudos. O elevado número de pesquisas mostrou que a

Educação Matemática continua em expansão, à medida que a área vai se ampliando com

novas linhas de pesquisa, a mesma demanda mais aprofundamento teórico e múltiplas

abordagens metodológicas. Embora o objetivo inicial fosse analisar pesquisas relativas à

Formação de Professores que ensinam Matemática, deparou-se com a ampla produção

acadêmica e conseqüentemente a extensão do trabalho, limitou-se a identificação e

descrição das principais tendências temáticas.

A síntese integrativa organizada por André et al. (1999) é constituída por três

objetos de investigação: as Teses e Dissertações defendidas nos Programas de Pós-

Graduação do país, no período de 1990 a 1996, artigos publicados em dez periódicos de

circulação nacional, no período de 1990 a 1997 relacionados com a Educação e

trabalhos científicos apresentados no Grupo de Trabalho (GT) de Formação de

Professores da Anped, no período de 1992 a 1998. A análise das Teses Dissertações

investigou três categorias temáticas: Formação Inicial, Formação Continuada e

Identidade e Profissionalização Docente. A análise dos artigos publicados nos

periódicos, além das três categorias já enunciadas, acrescentou uma quarta categoria

Prática Pedagógica e a análise dos trabalhos dos GT Formação de Professores, incluiu

ainda a quinta categoria Revisão de Literatura.

;<=>? @A BA C D<EFG><H? IA JA EA KL MCNOPQCL CRSMC as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

6


Já o recorte do “Estado do Conhecimento” em Educação e tecnologia, realizado

por Barreto et al (2006), teve como base 331 documentos (242 Dissertações, 47 Teses e

42 artigos) elaborados no período de 1996 a 2002. Os elementos buscados para

identificação das principais tendências neste estudo foram: as tecnologias privilegiadas,

os tipos de estudo, os contextos de aplicação, as modalidades de ensino, as abordagens e

as referências bibliográficas. Este mapeamento proporcionou a identificação de duas

tendências diretamente ligadas às modalidades de ensino e aos contextos de aplicação

das TIC: o privilégio da abordagem da Formação de Professores por meio da Educação

à Distância (EaD) e a proposta de virtualização do ensino, como movimento expresso

pelas propostas verificadas na construção dos objetos de estudo e nas conclusões e

recomendações das Teses e Dissertações

Temos ainda, o estudo meta-análitico realizado por Passos et al (2006) e

intitulado “Desenvolvimento profissional do professor que ensina Matemática: Uma

meta-análise de estudos brasileiros”, que teve por objetivo buscar, por meio de contraste

e inter-relacionamento, indícios de práticas docentes promotoras do desenvolvimento

profissional em diferentes contextos. Pata tanto, baseados no Paradigma Indiciário de

Ginzburg (1989), foram analisadas onze teses e dissertação que tinham como foco de

pesquisa o desenvolvimento profissional. Com este estudo foi possível identificar, por

meio de análises e interpretações duas modalidades de práticas, primeiramente as

relacionadas às práticas coletivas pontuadas por momentos de reflexão, colaboração e

investigação, e também as referentes a outras práticas contributivas do desenvolvimento

profissional, tais como: práticas decorrentes da investigação e da reflexão sobre a

própria prática, participação ativa em processos de inovação curricular, participação em

projetos de formação inicial e continuada.

Procedimentos

Neste trabalho optou-se por realizar uma pesquisa de caráter exploratório e

bibliográfico, denominada Síntese Integrativa (ANDRÉ, 2002), “Estado de

Conhecimento” ou “Estado da Arte”, conforme caracterizado por Ferreira (2002), que

diz ainda:

Definidas como de caráter bibliográfico, elas parecem trazer em comum o desafio de mapear e de discutir uma certa produção

TUWXY Z[ \[ ] ^U_`aXUbY c[ d[ _[ ef g]hijk]f ]lmg] as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

7


acadêmica em diferentes campos do conhecimento, tentando responder que aspectos e dimensões vêm sendo destacados e privilegiados em diferentes épocas e lugares, de que formas e em que condições têm sido produzidas. [...] Também são reconhecidas por realizarem uma metodologia de caráter inventariante e descritivo da produção acadêmica e científica sobre o tema que busca investigar [...] (FERREIRA, 2002, p. 258).

Temos ainda, nas palavras de Melo (2006), o motivo da utilização do termo

“Estado do Conhecimento”:

O termo vem sendo utilizado mais recentemente, especialmente nos trabalhos que realizam mapeamento da produção científica numa determinada área, buscando realizar uma “síntese integrativa do conhecimento” sobre um determinado tema, ou seja, aprofundar questões específicas. [...] esse tipo de pesquisa não é apenas uma revisão de estudos anteriores, mas busca, sobretudo, identificar as convergências e divergências, as relações e arbitrariedades, as aproximações e contrariedades existentes nas pesquisas e apresentam indícios e compreensões do conhecimento a partir de estudos acadêmicos, como teses e dissertações.

Para a realização deste trabalho foi escolhido como material de análise e

referências as Teses e Dissertações defendidas no Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da Unesp campus de Rio Claro-SP no ano de 2007, que

relacionam as TIC com a Educação Matemática.

O levantamento das Teses e Dissertações, referente a este trabalho, foi realizado

através da identificação do título da pesquisa, palavras-chave, resumo e sujeitos da

pesquisa, procurando identificar a presença das TIC. Foram selecionadas,

primeiramente, as pesquisas pelo título, buscando identificar indícios da presença das

TIC no desenvolvimento da pesquisa. Posteriormente, por meio de uma leitura inicial

do Resumo das Teses e Dissertações, procurou-se identificar se nos mesmos constavam

indícios do uso das TIC para a realização das pesquisas, bem como se constavam nas

palavras-chaves as palavras: TIC, Tecnologia, Software, etc. Sendo assim, foram

selecionadas para análise, a partir da identificação desses termos, uma tese e três

dissertações.

Posteriormente à seleção das Teses e Dissertações, foi realizado o fichamento das

mesmas. Os elementos básicos considerados para a realização destes fichamentos

foram: Questão/Problema de investigação, Objetivos, Referencial Teórico,

Procedimentos Metodológicos de Coleta e Análise de Dados e Principais Resultados.

nopqr st ut v woxyzqo{r |t }t xt ~� �v��v� v��v as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

8


Após a realização dos fichamentos, ocorreu a análise para a identificação de suas

similaridades e diferenças, para a enunciação das categorias encontradas.

O que dizem as Teses e Dissertações

Por meio do exame das Teses e Dissertações foi possível identificar que as

pesquisas defendidas no ano de 2007, tratam da Formação Inicial do professor de

Matemática com o aporte teórico da Semiótica, Formação Continuada do professor de

Matemática com ênfase na EaD, possibilidades do uso da tecnologia nos processos de

visualização e representação em Geometria em uma perspectiva Semiótica, e do uso

das TIC em Projetos de Modelagem Matemática.

Semiótica

Com a leitura das dissertações de Farias (2007) e Garcia (2007) foi possível

verificar a importância dada à teoria Semiótica de Charles Sanders Peirce (para tratar da

Semiótica de Peirce, a autoras fundamentaram-se principalmente em: Santaella (2002),

Santaella (2004a), Santaella (2004b)), em processos de visualização e representação

para compreensão de conceitos matemáticos, bem como as potencialidades do uso de

softwares para esses processos.

Segundo Farias (2007) “[...] Semiótica é a ciência dos signos – os signos da

linguagem ou em termos mais gerais a Semiótica é a ciência das linguagens.” (p. 27), e

signo é algo que representa algo para alguém.

Neste sentido, segundo Farias (2007), fundamentada em um estudo realizado por

Miskulin, Martins, Mantoan (1996),

uma abordagem Semiótica no contexto do ensino e aprendizagem da Matemática permite o estudante se apropriar dos saberes com significados próprios e selecionar as linguagens e ambientes mais próprios para representarem as suas elaborações conceituais (p. 45)

Além disso, conforme destacado por Garcia (2007)

A relação da Semiótica com a Educação Matemática está diretamente ligada ao fato da Semiótica ser usada como aporte teórico no campo da Matemática, pois utiliza a linguagem para descrever e analisar determinados fenômenos. São várias linguagens, tais como: linguagem algébrica, linguagem geométrica, linguagem gráfica, entre

�� as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

9


outras, no processo de representação do conhecimento matemático (p. 38).

Essas pesquisas ressaltaram a importância da Semiótica, como campo de análise

para as representações dos conceitos matemáticos.

Formação Inicial de Professores

Uma das pesquisas procurou identificar os significados e implicações de conceitos

da teoria Semiótica, tais como signo, objetos e representações, por meio de um estudo

epistemológico das representações matemáticas mediadas por softwares educativos, no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática (Estudo de Limites e Derivadas, em

Cálculo Diferencial e Integral), dando ênfase a Formação Inicial do Professor.

Nesta pesquisa ficou evidente a importância da visualização para compreensão de

conceitos matemáticos e constituição do conhecimento de futuros professores tendo

como meio de comunicação, a linguagem matemática. Além disso, foi possível verificar

que as representações matemáticas, quando inter-relacionadas e mediadas por softwares

educativos, promovem significativamente uma compreensão unificada e global dos

conceitos matemáticos. Assim, segundo Farias (2007)

o estudo da Semiótica nos dá suporte aos modelos que pretendemos representar adequando a produção de conhecimento por meio dos diagramas visuais, expressões e formas algébricas, escrita e oralidade, auxiliando o estudante, futuro professor a interpretar e transformar a sua realidade no contexto de ensino e aprendizagem da Matemática. (p. 183).

Processos de Visualização e Representação

Assim como a pesquisa de Farias (2007), a investigação realizada por Garcia

(2007) esteve fundamentada na teoria Semiótica, uma vez que esta teoria traria

subsídios teóricos que possibilitassem a descrição das “experiências vivenciadas, por

meio da observação e interpretação dos fenômenos e suas possíveis influências na

constituição do conhecimento” (GARCIA, 2007, p. 100).

Na realização deste estudo, a autora teve por objetivo principal investigar, analisar

e identificar as inter-relações entre as visualizações e as representações dos signos

matemáticos no contexto didático-pedagógico, refletindo sobre as estratégias de ensino-

¡¢£¤ ¥¦ §¦ ¨ ©¡ª«¬£¡¤ ®¦ ¯¦ ª¦ °± ²¨³´µ¶¨± ¨·¸²¨ as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

10


aprendizagem e suas potencialidades pedagógicas na constituição do conhecimento

matemático, por meio da realização de tarefas exploratório-investigativas em sala de

aula.

Com a reflexão sobre esta pesquisa pode-se observar que o uso das tecnologias

não foi o foco principal, porém conforme destacado por Garcia (2007)

A dinamicidade, implícita em alguns softwares educativos, possibilita-nos um contexto interativo, o qual auxilia-nos nas atribuições de significados e sentidos aos movimentos presentes nos objetos matemáticos representados. Assim, novos signos se constituem no processo de compreensão dos conceitos matemáticos. (p. 94)

Neste sentido é possível verificar as potencialidades dos softwares educativos

quando incorporados aos processos de ensino e aprendizagem da matemática, uma vez

que a pesquisa de Garcia (2007) evidenciou, durante a realização da atividade intitulada

“Representando os Sólidos em um Ambiente Computacional”, que as representações

realizadas com as transparências e as representações realizadas com o material

manipulativo tiveram diferenças. Os alunos na primeira representação dos sólidos

trabalhados possuíam apenas a visualização ao observar e descrever um objeto. Quando

se solicitou uma segunda representação dos objetos, após a manipulação do material

concreto, a imagem mental desse objeto foi formada.

Formação Continuada de Professores e Educação a Distancia online

Outra pesquisa teve como foco principal a investigação da natureza da

aprendizagem matemática em um ambiente virtual por meio da EaD online. A EaD

online caracteriza-se pelo encontro não presencial na totalidade dos processos de ensino

e aprendizagem, no caso da EaD online todos os encontros se dão de forma não

presencial, o que é possibilitado pelo uso de tecnologias. Segundo Zulatto (2007), na

EaD online

[...] o foco não está na quantidade de horas presenciais, mas na possibilidade de interação à distância entre os atores do processo, através da tecnologia. Aproximar as pessoas geograficamente distantes, possivelmente abrindo espaço à troca entre culturas diferentes, é o fator central que define essa modalidade de ensino (p. 31).

¹º»¼½ ¾¿ À¿ Á ÂºÃÄÅ¼ºÆ½ Ç¿ È¿ Ã¿ ÉÊ ËÁÌÍÎÏÁÊ ÁÐÑËÁ as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

11


Neste mesmo contexto Borba, Malheiros e Zulatto (2007), caracterizam a EaD

online “[...] como a modalidade de educação que acontece primordialmente mediada por

interações via internet e tecnologia associadas. Cursos e disciplinas cuja interação

aconteça utilizando interfaces como salas de bate-papo, videoconferências, fóruns, etc.

[...]” (p. 15).

Com esta pesquisa foi evidente que a EaD online propicia a aproximação de

pessoas que estão geograficamente distantes e que isso não influencia na qualidade da

aprendizagem, que neste caso ocorreu de forma colaborativa, onde os participantes

puderam refletir sobre a prática docente e ainda trocar experiências.

Além disso, nesta pesquisa observou-se a importância da Formação Continuada

no currículo do professor de Matemática e que a mesma é facilitada por cursos

elaborados dentro das perspectivas da EaD online. Neste sentido, Borba, Malheiros e

Zulatto (2007) afirmam que

[...] o modo como o docente aprende nesse processo pode condicionar a maneira como ele percebe e desenvolve a Matemática em suas aulas. Isto é, possibilita a reflexão sobre elementos importantes do processo de aprendizagem, como conjecturar em cima de problemas específicos, trocar idéias, elaborar justificativas, entre outros. [...] Ao discutirem Matemática, os alunos-professores se posicionavam sobre como trabalhar em sala de aula com aquela Matemática estudada [...] (p. 134).

Modelagem Matemática

Já com a leitura da pesquisa que relaciona o uso de Projetos em Modelagem

Matemática com as TIC, a qual teve como principal objetivo compreender o papel das

TIC nos Projetos de Modelagem Matemática, identificou-se quão beneficiada e

consistente é a aprendizagem de conceitos matemáticos por meio da Modelagem. Neste

contexto, Diniz (2007) considera

[...] a Modelagem como um ambiente de aprendizagem dos cenários para a investigação. [...] Nela, os alunos podem aceitar o convite feito pelo professor para investigarem uma situação com referencia à realidade, levantarem conjecturas, fazerem indagações e procurarem por explicações; sendo o professor um orientador durante o professor (p. 14).

ÒÓÔÕÖ ×Ø ÙØ Ú ÛÓÜÝÞÕÓßÖ àØ áØ ÜØ âã äÚåæçèÚã ÚéêäÚ as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

12


Nesta pesquisa, também, verificou-se que ao desenvolver Projetos de

Modelagem os alunos mostram uma postura crítica, indo ao encontro dos objetivos de

pesquisas que utilizam a Modelagem Matemática para a formação de cidadãos críticos.

Já, o uso de temas relacionados com o cotidiano, possibilitou a combinação da

perspectiva Projetos de Modelagem com as perspectivas reorganização e cidadania, já

que para alguns autores, como Barbosa (2001) uma das concepções sobre Modelagem

Matemática pode ser expressa como a criação de um ambiente de aprendizagem onde os

alunos são convidados a investigar situações quotidianas por meio da Matemática.

Conclusão

Por meio da leitura e análise das Teses e Dissertações foi possível identificar a

presença e importância cada vez maior das TIC no sistema educacional. Porém a leitura

apenas dos Resumos não contemplou o encontro dos elementos básicos considerados

para realização dos fichamento. Neste sentido esta-se de acordo com Mello (2006), no

que diz respeito a leitura apenas dos resumos para realização de pesquisas do tipo

síntese integrativa, “Estado da Arte” ou “Estado do Conhecimento, a qual afirma que

“[...] o uso dos resumos possibilita enredar um discurso, porém uma leitura mais

aprofundada das pesquisas é essencial para o desenvolvimento dos estudos mapeados”

(p. 64).

Porém, deixamos uma sugestão aos pesquisadores, quanto à elaboração dos

resumos das pesquisas, para facilitar a realização de pesquisas desta mesma modalidade,

abordada neste estudo. Deve-se privilegiar nos Resumos aspectos como:

Questão/Problema de investigação, objetivos, referencial teórico, procedimentos

metodológicos de coleta e análise de dados e principais resultados.

Com este trabalho espera-se ter contribuído com estudos futuros, no que diz

respeito à revisão de literatura, já que conforme salientado por Alves-Mazzotti (1998)

Esse trabalho inicial [revisão da literatura] é facilitado quando existem publicações com revisões atualizadas sobre o tema de interesse do pesquisador. Embora a elaboração periódica dos chamados “estado da arte” seja uma prática comum nos países desenvolvidos, estes raramente são traduzidos para o português e, mais dificilmente ainda, são encontradas revisões de estudos feitos no Brasil. [...] O exame dos “estado da arte” serve fundamentalmente para situar o pesquisador, dando-lhe um panorama geral da área e lhe permitindo identificar

ëìíîï ðñ òñ ó ôìõö÷îìøï ùñ úñ õñ ûü ýóþÿV�óü ó��ýó as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

13


aquelas pesquisas que parecem mais relevantes para a questão de seu interesse. (p. 180-181)

Ainda, neste trabalho foi realizada uma análise das pesquisas esperando que a

mesma possa ter contribuído para elucidar as tendências principais, bem como o

conhecimento do que foi produzido, no referido período, pelo Programa de Pós-

Graduação em Educação Matemática da UNESP campus Rio Claro no ano de 2007.

Referências

ALVES-MAZZOTTI, A. J. O Método nas Ciências Sócias. In: ALVES-MAZZOTTI, A. J.; GEWANDSZNAJDER, F. O Método nas Ciências Naturais e Sociais: pesquisaquantitativa e qualitativa. São Paulo: Editora Pioneira, 1998, p. 107-188.

ANDRÉ, Marli Eliza Dalmazo Afonso de (Org.). Formação de professor no Brasil (1990-1998). Brasília: MEC/Inep/Comped, 2002. 364p. (Série Estado do Conhecimento, n. 6). ISSN 1676-0565.

BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de futuros professores. 2001. 253 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.

BARRETO, R. G. et al. As tecnologias da Informação e da Comunicação na Formação de Professores. Revista Brasileira de Educação, v. 11, n. 31, jan./abr. 2006, p. 31-42.

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

BORBA, M.C.; MALHEIROS, A. P. S.; ZULATTO, R. B. A. Educação a Distância online. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

DINIZ, L. N. O Papel das Tecnologias da Informação e Comunicação nos Projetos de Modelagem Matemática. 2007. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2007.

FARIAS, M. M. R. As Representações Matemáticas Mediadas por Softwares Educativos em uma Perspectiva Semiótica: uma contribuição para o conhecimento do futuro professor de matemática. 2007. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2007.

�� as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em

14


FERREIRA, N. S. A. As pesquisas denominadas ‘estado da arte’. In: Educação & Sociedade, Campinas, ano 23, n. 79, ago. 2002, p. 257-272.

FIORENTINI, D. Rumos da Pesquisa Brasileira em Educação Matemática: o caso da produção cientifica em cursos de pós-graduação. Tese (Doutorado em Educação). 1994. Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.

GARCIA, L. M. I. Os processos de visualização e representação dos signos matemáticos no contexto didático-pedagógico. 2007. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro/SP, 2007.

GINZBURG, C. Mitos, emblemas, sinais: morfologia e história. São Paulo: Companhia das Letras, 1989.

MELO, M. V. Três décadas de Pesquisa em Educação Matemática na Unicamp: um estudo histórico a partir de teses e dissertações. 2006. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP, 2006.

MISKULIN, R. G. S. Concepções Teórico-Metodológicas sobre a Introdução e a Utilização de Computadores do Processo Ensino/Aprendizagem da Geometria. 1999, 547p. Tese (Doutorado de Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas. Campinas, 1999.

MISKULIN, R. G. S; MARTINS, M. C; MANTOAN, M. T. E. Análise Microgenética dos Processos Cognitivos em Contextos Múltiplos de Resolução de Problemas.Campinas: NIED NIED/UNICAMP, memo nº 31, 43p., 1996. Disponível em: < http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/memos/Memo31.PDF>. Acesso em: 30 de Junho, 2008.

PENTEADO, M. G. O computador na perspectiva do desenvolvimento profissional.1997, 127p. Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas. Campinas, 1997.

_____. Novos Atores, Novos Cenários: Discutindo a Inserção dos Computadores na Profissão Docente. In: BICUDO, M. A. V. (Org). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 297-313.

SANTAELLA, L. Semiótica Aplicada. São Paulo: Thomson, 185 p., 2002.

______. O que é Semiótica. 20.ed. São Paulo: Brasiliense, 86 p., 2004a.

______. O Método Anticartesiano de C. S. Peirce. São Paulo: EDUNESP, 265p., 2004b.

ZULATTO, R.B.A. A Natureza da Aprendizagem Matemática em um Ambiente online de Formação Continuada de Professores. 2007. Tese (Doutorado em

�� !" #" $ %�&'(��) *" +" &" ,- .$/012$- $34.$ as TICs e a Educação Matemática no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP – Rio Claro em 2007. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

15

Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2007.

56789 8: ;:< =8>8?8@9 A: 5: B: C 8>DE6F89 7: ;: =: Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 13. (ISBN 978-85-98092-07-2)


ATIVIDADE COM CABRI 3D E MATERIAL MANIPULÁVEL:

UMA ANÁLISE COM O MODELO SAI

Aida Carvalho VITA – PUC/SP ([email protected]

Jesus Victoria Flores SALAZAR – PUC/SP ([email protected]

Talita Carvalho Silva de ALMEIDA – PUC/SP ([email protected]

Resumo: Este trabalho apresenta uma reflexão sobre a análise de uma atividade relativa à construção de paralelepípedos envolvendo professores de Matemática, com base no modelo de Situações de Atividades Instrumentais (SAI) proposto por Pierre Rabardel (1995a) na abordagem instrumental. O modelo SAI delineia as relações entre sujeito e o objeto sobre o qual ele age e evidencia as múltiplas interações que intervêm nas atividades instrumentais. A atividade é composta de quatro tarefas que consistem na construção e determinação do volume do paralelepípedo, utilizando o ambiente computacional Cabri 3D e material manipulável. Participaram cinco professores do Ensino Médio que estão cursando o Mestrado em Educação Matemática, em uma universidade particular da cidade de São Paulo. Organizamos e descrevemos as ações de uma professora no desenvolvimento da atividade utilizando o modelo SAI. A análise das ações desenvolvidas pela professora nessa tarefa nos permitiu observar que o material manipulável ou o Cabri 3D, não está presente, pelo menos de forma concreta, em todas as ações dela. Construímos um outro olhar sobre as possibilidades que os instrumentos dão ao sujeito na construção de novas maneiras de organizar sua ação. Com a disposição seqüenciada e mais detalhada das ações da professora, inferimos sobre as relações entre o sujeito e objeto mediado pelo instrumento. As potencialidades do material didático manipulável foram pouco exploradas, bem ao contrário do que esperávamos. Temos as nossas concepções sobre a presença dos instrumentos no ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos, refletindo sobre as limitações e potencialidades do instrumento adotado, e sobre sua mediação instrumental em atividades em sala de aula.

Palavras-chave: Modelo SAI, Instrumento, Paralelepípedo.

Financiamento: Pontifícia Universidade Católica-SP, CAPES.

Introdução

No panorama das pesquisas em Educação Matemática que trabalham com

tecnologias, material manipulável e Geometria Dinâmica, entre elas Cavalca (1997),

Vita et al (2008), Jahn e Salazar (2007), Salazar (2007, 2008), bem como as

recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática, apontam

HIJKL KM NMO PKQKRKSL TM HM UM W KQXYIZKL JM NM PM Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

para a necessidade de investigações nesta área visando o ensino e aprendizagem da

Geometria Espacial.

Neste sentido, buscamos um referencial teórico que nos permita contribuir tanto

com as pesquisas existentes, quanto atender às sugestões dos PCN+. Logo, analisamos

as ações dos professores no desenvolvimento de uma tarefa usando o material

manipulativo e Cabri 3D, como uma primeira tentativa de análise com o modelo das

Situações de Atividades Instrumentais (SAI), proposto por Rabardel (1995b), a fim de

conhecer o uso dos instrumentos e observar as contribuições desse procedimento.

O Cabri 3D e o Material Manipulativo

O Cabri 3D é um ambiente de Geometria Dinâmica (lançado em 2004). Este

ambiente computacional permite construir, manipular e visualizar figuras em três

dimensões, bem como verificar e testar suas propriedades geométricas, além disso,

desenhar pontos, retas e planos, construir diversos sólidos geométricos, etc. O Cabri 3D

favorece a visualização e manipulação das representações desses objetos geométricos em

diferentes pontos de vista desenvolvendo a visão tridimensional em tempo real.

Por outro lado, as expressões “materiais manipulativos” e “materiais concretos”,

segundo Berman (1982), apresentam diferentes significados, citando a definição do

National Council of Teachers of Mathematics, são materiais manipulativos os objetos

concretos que manipulados ou operados pelo aluno e pelo professor, fornecem uma

oportunidade para atingir os objetivos desejados segundo a atividade proposta.

Segundo o referido autor, os materiais manipulativos devem ser vistos como

instrumentos úteis para auxiliar os alunos a entenderem o sistema de idéias que compõe

a Matemática.

De acordo com Lorenzato (2006) o material manipulável é um tipo de material

didático (MD) que, por sua vez, é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-

aprendizagem, entre os quais está o giz, um livro, uma embalagem e etc.

O MD manipulável, conforme o autor é classificado em MD estáticos e dinâmicos.

Os MD estáticos são aqueles que, como os sólidos geométricos em madeira ou cartolina,

por exemplo, permitem a observação e não possibilitam modificações em suas formas.

Entre esses existem alguns que admitem uma maior manipulação, como o ábaco,

material montessoriano, cuisenaire, dourado entre outros. E os MD dinâmicos são

[\]^_ ^` a`b c^d^e^f_ g` [` h` i ^djk\l^_ ]` a` c` Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

aqueles materiais que permitem transformações por continuidade, facilitam ao aluno a

realização de redescobertas, a percepção de propriedades e a construção de uma

aprendizagem com maior interatividade.

De acordo com Lorenzatto (Ibid.) é conveniente termos sempre em mente que a

realização de atividades manipulativas ou visuais não garantem a aprendizagem, mas é

necessário que a atividade mental, por parte do aluno, também esteja presente. Nesse

caso, diz o autor que o MD funciona como um excelente catalisador para que o aluno

possa construir seu conhecimento matemático. E nesse sentido aponta, que a eficiência

de um MD depende mais do professor do que do próprio material e o modo de utilizar

cada material didático depende fortemente da concepção do professor a respeito da

matemática e da arte de ensinar.

Segundo o autor, todo MD influencia aos alunos de maneira diferente,

apresentando portanto um poder de influência variável sobre eles porque depende do

estado de cada aluno e também do modo como o professor emprega o material.

Por outro lado, a afirmação de Rabardel 1995[b], corrobora com as idéias de

Lorenzato na medida em que, segundo ele no seio das atividades educativas, os

instrumentos apresentam um duplo uso. Para os alunos eles influenciam profundamente

na construção do saber e nos processos de conceitualização. Para os professores eles

podem ser considerados como as variáveis sobre as quais eles agem para a concepção e

o controle de situações didáticas. Vale salientar que a idéia de instrumento deste autor é

descrita no próximo item desse trabalho.

Assim, entendemos que o papel do professor é determinante na escolha do MD e

do software, portanto é muito importante que ele saiba utilizar corretamente o material

escolhido, pois qualquer material exige conhecimentos específicos para o seu uso.

Conforme advoga Lorenzato (2006), um ensino utilizando MD facilita a

aprendizagem qualquer que seja o assunto, curso ou idade, o que conflita com a crendice

de que o MD só deve ser utilizado com crianças. E uma das criticas contra o uso do MD

se baseia no fato de que, o computador tornou obsoleto e desnecessário seu uso.

Quanto a isto, propõe que deve ser lembrado que o computador, ainda não chegou

para todas as escolas brasileiras e muitas que estão equipadas não se sabe o que fazer

com elas, bem como ainda encontramos barreiras para conseguir o software adequado e,

principalmente, preparar o professor para elaborar, desenvolver e avaliar um processo de

mnopq pr srt upvpwpxq yr mr zr { pv|}n~pq or sr ur Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

ensinar e aprender diferente do que tivemos até hoje. Um outro ponto, o autor em favor

do MD diz respeito à existência de alunos que não compreendendo a mensagem (visual)

da tela do computador, recorrem ao MD manipulável, assumindo um papel de pré-

requisito e, então prosseguem sem dificuldades com o computador.

Buscando uma aproximação da idéia de instrumento de Rabardel (1995) e da idéia

de MD de Lorenzato (2006) pontuamos que o instrumento é grande portador de

limitações quanto às modalidades de ação que ele permite organizar na realização de

uma tarefa e, que são impostas ao sujeito. E, portanto, conforme afirma Rabardel (1995),

o impacto do instrumento sobre a atividade cognitiva do sujeito não depende apenas das

suas limitações, mas fundamentalmente das possibilidades de ação que ele oferece ao

sujeito.

Entendemos que o conhecimento do campo de ações possíveis, que um

instrumento permite numa atividade constitui uma dimensão importante no uso

educativo dos instrumentos ou MD.

Assim, tomando como pano de fundo as classificações de Lorenzato (Ibid.) sobre

os materiais didáticos, nesta proposta, propomos uma tarefa com MD manipulável

concreto estático, os cubos do material dourado estático. No entanto nos próximos itens

material manipulativo material manipulável devem ser tomados como sinônimos.

Abordagem Instrumental

Apresentamos a abordagem instrumental de Rabardel (1995a) sobre o instrumento.

Esse é definido por ele, como uma entidade mista composta pelo artefato (material ou

simbólico) e esquemas de utilização. Nesta abordagem, a transformação de artefato em

instrumento articula o sujeito - com suas habilidades e competências cognitivas - o

instrumento e o objeto para o qual a ação é dirigida.

Rabardel (Ibid.) apoiando-se em Vygotsky (1998) aponta que tanto as ferramentas

como os signos, possuem em comum uma função mediadora, no entanto, chama atenção

sobre os limites e as diferenças dessa relação, em particular, pela forma como a atividade

humana é orientada. Para esse autor, as atividades relacionadas ao uso dos instrumentos

conduzem ao surgimento da atividade instrumental como unidade de análise.

Pontua que os fatores básicos da influência dos instrumentos na atividade

cognitiva do sujeito correspondem, por um lado, às limitações dos instrumentos e por

�� Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

outro às vantagens que eles oferecem para a ação (RABARDEL, 1995a). Assim, o

sujeito na utilização e apropriação do instrumento deve levar em conta suas limitações.

Para analisar as ações do sujeito mediado pelo instrumento Rabardel (1995a) e

Verillon (1996), propõem o modelo SAI – Situações de Atividades Instrumentais,

delineando as relações entre o sujeito e o objeto sobre o qual ele age (Figura 1).

Figura 1. Modelo de Situações de Atividades Instrumentais – SAI (Fonte: Construído a partir de Rabardel, 1995b, p.65)

Nesse sentido, se apóia na concepção triádica das situações da atividade com

instrumentos de Vygotsky (1998), a qual distingue três pólos: o sujeito que dirige a ação

psíquica sobre o objeto, sendo essa ação mediada pelo instrumento psicológico.

O modelo SAI delineia as relações entre sujeito e o objeto sobre o qual ele age,

além disso, evidencia as múltiplas interações que intervêm nas atividades instrumentais.

Isto é, considera além da interação sujeito-objeto [S-O], sujeito-instrumento [S-i] e o

instrumento-objeto [i-O], bem como, a relação sujeito-objeto mediado pelo instrumento

[S(i)-O]. Além disso, essas interações se prolongam num ambiente formado pelo

conjunto de condições nas qual o sujeito deve levar em conta para executar sua

atividade.

Sobre o artefato afirma RABARDEL (1995a, p. 50) que este constitui para o

sujeito um objeto a conhecer, mas esse conhecimento pode surgir do seu funcionamento

respondendo a critérios previstos ou simplesmente atendidos. Para definir esquema, o

autor se baseia na definição de esquema de Vergnaud (1996), como a organização

invariante do comportamento para determinada classe de situações.

Segundo Verillon (1995) a Gênese Instrumental tem duas dimensões: a

instrumentação, orientada ao sujeito, na qual o artefato é integrado na sua estrutura

�� ¡�¢�� Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

cognitiva (esquemas) e que em geral exige adaptação e, a instrumentalização,

determinada pelas possibilidades de ação sobre o objeto, que o sujeito atribui ao

instrumento, construindo propriedades funcionais que permitem essa ação. No modelo

SAI a instrumentação se refere à relação entre o sujeito e o instrumento (S-i), onde o

sujeito constrói esquemas, procedimentos e operações para a utilização do artefato e, a

instrumentalização, que é a relação entre o sujeito e o objeto mediado pelo instrumento

(S(i)–O), bem como, a relação entre o instrumento e o objeto (i-O), como mostra a

Figura 1.

No presente trabalho, o modelo SAI é usado para estudar, mais detidamente, a

utilização de instrumentos numa tarefa envolvendo construção e volume do

paralelepípedo.

Procedimentos Metodológicos

Foram sujeitos da pesquisa cinco professores de Matemática do Ensino Médio,

alunos do curso de Mestrado de uma universidade particular da cidade de São Paulo.

Esses professores foram convidados a participar de forma voluntária e assinaram o

Termo de Consentimento Livre e Esclarecido – TCLE. Também, foram informados que

seus nomes seriam mantidos em sigilo, e, seriam utilizados nomes fictícios para

descrever as atividades por eles desenvolvidas. Utilizou-se a letra P para designar a

intervenção do pesquisador.

A tarefa foi inspirada na organização dos conteúdos encontrados em livros

didáticos (DOLCE; POMPEU, 1993; PAIVA, 2004; SMOLE; DINIZ, 2003) e,

desenvolvida em dois encontros de duas horas cada, no Laboratório de Ensino de

Matemática de uma universidade particular do Estado de São Paulo. No primeiro

encontro foi utilizado material manipulativo e, no segundo, o ambiente computacional

Cabri 3D.

A tarefa estava composta de quatro atividades. Nas três primeiras, investigamos

como o sujeito, usando o cubo, como unidade de medida, constrói relações entre essa

unidade e o paralelepípedo. Na quarta atividade, procuramos identificar as relações que

o sujeito faz quando compara o volume de um paralelepípedo reto e um oblíquo,

utilizando as seções planas, bem como perceber seu conhecimento quanto ao Principio

de Cavalieri.

£¤¥¦§ ¦¨ ©¨ª «¦¬¦¦®§ ¯¨ £¨ °¨ ± ¦¬²³¤´¦§ ¥¨ ©¨ «¨ Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Os dados foram coletados pelos observadores, utilizando caderno de anotações,

gravação das telas trabalhadas e fichas de atividades.

Análise com o Modelo SAI

A seguir, apresentamos um recorte da tarefa executada, apresentando apenas uma

das atividades realizada por um dos professores participantes, que a denominaremos de

Maria (M).

Com o material manipulativo, Maria juntou os cubos sem um critério aparente,

apesar de expressar nas suas falas conhecimento de certas características do

paralelepípedo, ao afirmar que ele possui todos os ângulos retos, conforme sua fala em

diálogo com o pesquisador.

P: então você está entendendo ... o que você construiu é um paralelepípedo?

M: é você que está falando de um paralelepípedo, cadê reto... ângulos retos....

quadrados, pode ser assim? [apontando a suas construções um paralelepípedo de 3 x 2 e

outro um cubo-unidade]

Maria não apresenta o paralelepípedo como uma totalidade, isso fica claro na

representação e descrição do paralelepípedo sempre se referindo a quantidade de cubos

utilizados como pode ser observado na Figura 2. Após representar em perspectiva os

paralelepípedos, Maria se remeteu a seus desenhos geométricos em perspectiva, para

responder a parte b da atividade, não recorrendo mais ao material manipulativo.

Figura 2. Atividade desenvolvida pela professora Maria.

µ¶·¸¹ ¸º »º¼ ½¸¾¸¿¸À¹ Áº µº Âº Ã ¸¾ÄÅ¶Æ¸¹ ·º »º ½º Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Com o Cabri 3D, apesar de Maria demonstrar familiaridade com as ferramentas do

software, ela apresentou dificuldades na atividade inicial de construção do

paralelepípedo, fazendo várias tentativas para esta construção, como apresenta a Figura

3.

Figura 3. Tentativas de construção do paralelepípedo no Cabri 3D

Na atividade propriamente dita, pedimos a construção de pelo menos dois

paralelepípedos reto-retangulares, tomando como unidade de medida o cubo. Na

primeira construção, Maria utilizou a ferramenta cubo, demonstrando domínio e

construindo o primeiro paralelepípedo a partir de seis cubos. Mas na segunda

construção, demonstrou certa dificuldade, pela seqüência que utilizou, ou seja, construiu

um cubo na parte inferior e, um sobre ele, repetiu o mesmo procedimento e, mais dois

cubos na parte superior, tendo dificuldade para completar o paralelepípedo como mostra

a Figura 4.

Figura 4. Construção de Paralelepípedo no Cabri 3D

ÇÈÉÊË ÊÌ ÍÌÎ ÏÊÐÊÑÊÒË ÓÌ ÇÌ ÔÌ Õ ÊÐÖ×ÈØÊË ÉÌ ÍÌ ÏÌ Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

A análise com o modelo SAI nos permitiu aprofundar nosso olhar sobre as ações

envolvidas numa tarefa. Inicialmente, tínhamos como pressuposto, tomando a mediação,

no sentido de Vygotsky, de que o material manipulativo estaria presente durante toda a

tarefa, mas observamos que sua realização se constitui por um conjunto de ações nas

quais o instrumento e o objeto matemático (paralelepípedo) podem mudar de pólo ao

longo da atividade, como mostra o Quadro 1.

ÙÚÛÜÝÞßà áàâ ãÝÛäåÚÝæ ãÝçÚèÜæÝÛÚéà êëìíîïðñ òñó ñ ôîõöë ÷ø

ùìëúëûîûü

ýþ ÿ(��þ�

I��ìöíóü�ìñ Oõ�üìñ ùìëúëûîûü

ýþ ÿ(��þ�

I��ìöíóü�ìñ Oõ�üìñ

separa cubos Paralelepípedo manipula Mouse Ferramenta cubo

manipula cubos Paralelepípedo clica Ferramenta cubo

Paralelepípedo(6 cubos)

conta dedo Os cubos clica Ferramenta cubo

Paralelepípedo(8 cubos)

desenha lápis Paralelepípedo

escreve lápis Descrição

Quadro 1. Análise das Ações com modelo SAI. (Fonte: Construído a partir de Rabardel, 1995b, p. 65)

Pontuamos que, em várias ações o material manipulativo ou o Cabri 3D proposto

na atividade, não está presente, pelo menos de forma concreta, em todas as ações do

sujeito, por exemplo, nas duas primeiras ações, o sujeito tinha como instrumento o

material manipulativo (cubos), no entanto, nas três últimas o sujeito utilizou como

instrumento, o dedo ou lápis. Com o Cabri 3D, na primeira ação o sujeito utilizou o

mouse como instrumento e, nas duas outras, a ferramenta “cubo” do software. Assim,

entendemos que a mudança de pólo nas ações expressa uma “dinâmica” do sujeito para a

execução da tarefa.

A disposição seqüenciada e mais detalhada das ações do sujeito nos permitiu

inferir sobre as relações entre o sujeito e objeto mediado pelo instrumento. Na primeira

ação do sujeito, com o material manipulativo, ele separa (atividade), cubos

(instrumento), com a intenção de construir um paralelepípedo (objeto). Já quando usa o

V�� V� �� Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro

0


Cabri 3D, o sujeito manipula (atividade), o mouse (instrumento), para utilizar a

ferramenta cubo (objeto).

Considerações

O modelo SAI nos permite organizar didaticamente as ações do sujeito de forma a

esclarecer melhor o que o ele faz, com que o faz e para que faz. Neste sentido,

concordamos com Rabardel quando assinala que na atividade educativa os instrumentos

possuem um duplo uso: para os alunos, eles influenciam profundamente nos seus

processos de construção de conceitos, para os professores, eles podem ser considerados

como variáveis sobre as quais eles agem para a concepção e reflexão sobre situações

pedagógicas, assim, o modelo SAI pode ajudar ao professor a fazer previamente análise

de tarefas, apreciando sua pertinência em função dos objetivos pretendidos.

Aceitamos que os instrumentos dão possibilidades ao sujeito de novas maneiras de

organizar sua ação (RABARDEL, 1995a). Consideramos que as potencialidades do

material manipulativo foram pouco exploradas por ela, pois, na maioria das ações, Maria

utilizou sua representação em perspectiva em detrimento do material manipulativo.

Assim, não temos certeza se o material didático manipulativo foi para Maria um artefato

ou um instrumento, ou ainda se o domina ou não. Observamos que ela não se mostrou à

vontade com este tipo de material, visto ter afirmado que em sua formação teve pouco

contato com esse tipo de material.

No entanto, o sujeito na utilização e apropriação do instrumento deve levar em

conta as limitações do instrumento. Pontuamos, ainda, que as limitações são diferentes

segundo o tipo de tarefa e que o sujeito tem que ser capaz de identificar, compreender e

gerar suas ações conhecendo essas limitações.

Essa experiência com o modelo SAI a partir da analise das ações desenvolvidas

pelo sujeito em uma dada tarefa nos permitiu perceber a necessidade de rever as nossas

concepções sobre o papel dos instrumentos no ensino e aprendizagem de conceitos

matemáticos; refletir sobre as limitações e potencialidades dos instrumentos utilizados

nessa tarefa; bem como na re-organização das atividades em sala de aula com os

materiais didáticos apropriados.

�� !�"�#�$� %� �� &� ' �")*�+�� !� Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro

1


Referências

BERMAN, B. How children learn math: rediscovering manipulatives. Curriculum Review, 21 (2), 1982.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN + Ensino Médio:orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>�

Acesso: 05 de março, 2008.

CABRI 3D. Manual do usuário. Disponível em: <http://download.cabri.com/data/pdfs/manuals/c3dv2/user_manual_pt_br.pdf.>� �,'--./

01 de março, 2008.

CAVALCA, A. P. Espaço e Representação Gráfica: Visualização e Interpretação. 1997, 252 p. (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 1997.

DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática elementar: geometria espacial, posição e métrica. 5 ed. São Paulo: Atual, 1993.

JAHN, A. P.; SALAZAR J. V. F. Explorando Objetos Espaciais no Ambiente Cabri 3D. In: IX ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, Belo Horizonte, 2007. Anais... (CD-ROM). Belo Horizonte: IX ENEM, 2007.

LORENZATO, S. O Laboratório de ensino de matemática na formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.

PAIVA, M. Matemática. 2ª série do Ensino Médio. São Paulo: Moderna, 2004.

RABARDEL, P. Les hommes et les technologies: approche cognitive des instruments contemporains. Paris: Armand Colin, 1995a.

RABARDEL, Pierre. Qu’est-ce qu’un instrument ? Appropriation, conceptualisation, mises en situation. Outils pour le calcul et le traçage de courbes CNDP–DIE,1995[b]. Disponível em: <http://www.cndp.fr/archivage/valid/13420-1126-1194.pdf�>Acesso em: 10 de março, 2008.

SALAZAR, J.V. F. O processo de Instrumentação na Interação com o Ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. In: IV CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA, Canoas – RS, 2007. Anais... (CD-ROM). IV ULBRA: Canoas – RS, 2007.

SALAZAR, J. V. F. Visualizando Objetos em 3D usando Geometria Dinâmica. In: 11th International Congress of Mathematical Education, México, 2008. Anais... (CD-ROM). ICME 11: México, 2008.

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. de S. Matemática Ensino Médio. 2ª série. 3 ed. São

01234 35 657 8393:3;4 <5 05 =5 ? 39@A1B34 25 65 85 Atividade com CABRI 3D e material manipulável: uma análise com o modelo SAI. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

2

Paulo: Saraiva, 2003.

VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceptuais. In: BRUN J. (Org.). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.

VERILLON, P. Artifacts and cognitive development: how do psychogenetic theories of intelligence help in understanding the influence of technical environments on the development of thought?, 1995. Disponível em: <http://www.iteaconnect.org/Conference/PATT/PATT15/Verillon.pdf5C Acesso em: 05 de março, 2008.

VERILLON, P. La problématique de l’enseignement: Un cadre pour penser l’enseignement du graphisme, Revue GRAF & TEC. v. 0 n° 0, Université Fédérale Santa Catarina, Brésil. 1996.

VITA, A. C.; SALAZAR, J.V. F.; ALMEIDA, T. C. S. de. Análise de uma Tarefa com o Paralelepípedo Usando o Modelo de Situações de Atividades Instrumentais. In: 2º SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, Recife, 2008. Anais... (CD-ROM). 2º SIPEMAT: Recife, 2008.

VYGOTSKY, L. S. A Formação Social da Mente. COLE M. et al (Org). Trad. José C. Neto, Luís S. M. Barreto, Solange C. Afeche. 6 ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.

DEFGHFJKL JM NM KPQRQSTSUW FXRUWPQYTPQRTW SU ZTPU[\tica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

]F^_` abcdcedacfagdfbdgh


ATIVIDADES INVESTIGATIVAS DE MATEMÁTICA, EM SALA DE AULA,

EM CONTEXTO DE ESTÁGIO SUPERVISIONADO NA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA

Raquel Gomes de OLIVEIRA- FCT-UNESP ([email protected]

Resumo: Este texto tem origem em uma tese de doutoramento*, cujo tema era o Estágio Curricular Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Dada a proposta para um delineamento de Estágio que superasse a tríade observação-participação-regência foi possível que uma experiência com tarefas investigativas se efetivasse no contexto de Estágio. Motivados pela leitura de textos e resoluções de tarefas investigativas e pelas fundamentações que propiciam o desenvolvimento de atividades de investigação matemática em sala de aula, como uma possibilidade de trabalho pedagógico, os futuros professores (alunos do 4º ano de Licenciatura em Matemática da UNESP de Presidente Prudente-SP, juntamente com uma professora de Matemática da Educação Básica e com a colaboração da pesquisadora e da professora supervisora de Estágio na faculdade, desenvolveram atividades de investigação junto a uma 6ª série, no ano letivo de 2005. Os resultados não focalizaram sobre um ou outro determinado encontro. Ao contrário, durante todo o trabalho dos estagiários (futuros professores de Matemática) na escola, ocorreu que idéias subjacentes ao desenvolvimento de tarefas investigativas fossem reelaboradas e ampliadas por professores e futuros professores de Matemática. Entre essas idéias, encontra-se a que, defende-se, deveria espelhar a prática docente que efetivamente contribuísse para o ensino-aprendizagem da Matemática escolar: a Matemática, em sua sistematização e exatidão, é continente de dúvidas, hesitações, erros, conjecturas, validações. Além do que, a passagem de conceitos matemáticos intuitivos para conceitos matemáticos formais se daria através de ambientes de ensino-aprendizagem nos quais haveria espaços para erros, acordos e consensos. Palavras-chave: Estágio Supervisionado, Licenciatura em Matemática, Atividades de Investigação em Matemática.

Apoio: Capes

Horas de Estágio Supervisionado que buscassem superar o modelo canônico de

observação-participação-regência acabaram possibilitando que estagiários do 4º ano de

licenciatura em Matemática trabalhassem em cooperação com os professores da escola

estagiada, no ano letivo de 2005. Desta forma, essas horas não comportaram uma

jklmnlopq orsr ptuvuwxwyz l{vyztu|xtuvxz wy }xty~�tica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

2

�l��

estrutura de atividades rígidas e pré-determinadas. Ao contrário, as interações dos

futuros professores (estagiários) com o ambiente escolar resultaram em propostas de

trabalho, que foram surgindo do relacionamento com as pessoas dentro do próprio

contexto escolar. Uma dessas propostas se remetia ao trabalho com atividades de

investigação em Matemática.

Números em Círculos1 foi a primeira atividade de investigação a ser desenvolvida,

mostrando-se oportunidade de reflexão, para as estagiárias, a professora da escola

parceira e a pesquisadora, pois antes de seu desenvolvimento em sala de aula, fizeram

simulações, compreensões, objetivações e adaptações da atividade. Desta maneira,

pretendeu-se que, durante o desenvolvimento da atividade, as ações realizadas

pudessem ser coerentes com e espelhar o que estava se passando na sala, ao mesmo

tempo que serviriam de referências para o pensar, o compartilhar, o reelaborar das

professoras e dos futuros professores quanto ao que havia acontecido, orientando passos

para a realização do desenvolvimento de futuras atividades.

Desenvolvimento da Atividade Números em Círculo em uma 6ª série da Escola

Parceira

O primeiro encontro para o desenvolvimento da atividade na escola foi marcado

para um dia em que houvesse aula dupla. Isto porque era conhecida, devido às leituras

dos textos sobre trabalhos investigativos, a necessidade de fazer o fechamento ou uma

reflexão com toda a classe sobre a atividade realizada, o que supunha, referendado

também pelas leituras realizadas, demandar muito mais tempo do que os 50 minutos

disponíveis para uma aula.

Boa parte dos alunos da sala de aula apresentou-se inicialmente, do modo relatado

por P2 em sua entrevista, como inquieta, agitada, o que dificultava a apresentação da

atividade pela professora responsável pela classe. As estagiárias inicialmente, assim

como a pesquisadora, deixaram a professora tentar organizar a classe, o que se mostrava

difícil para ela. Quando a pesquisadora se apresentou e abertamente perguntou se os

alunos queriam mesmo participar daquela atividade obtendo então uma resposta

afirmativa, uma espécie de negociação acabou por surgir, pois foi deixado claro que,

para trabalhar o que estava sendo proposto era necessário um ambiente considerado

“tranqüilo, com atenção ao que se estava propondo, sem muito barulho”. À medida que

�� ¡�ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

3

¢�£¤¥ ¦§¨©¨ª©¦¨«¦¬©«§©¬

os alunos foram entendendo o que estava sendo proposto e quais seriam seus papéis

naquela aula, o ambiente tranqüilo foi se instaurando sem dificuldades maiores. Inferiu-

se que estarem cientes de uma participação ativa para o desenvolvimento da atividade

muito contribuiu para a conquista e não a imposição de um ambiente suposto tranqüilo.

Os alunos trabalharam em duplas e em grupos com no máximo cinco alunos. Cada

dupla e grupo receberam um número de cópias da atividade para que começassem a

desenvolver seus trabalhos.

De início, os alunos buscaram insistentemente a ajuda das estagiárias, da

professora da classe e da pesquisadora quanto ao como fazer para se chegar de imediato

à resposta das questões. Conforme foram sendo dadas explicações, no sentido de que

eles deveriam testar suas respostas e buscar o porquê das mesmas, os alunos começaram

a trocar mais idéias com seus pares. No entanto, a intervenção da professora, das

estagiárias e da pesquisadora pareceu ter sido fundamental para que a tarefa proposta se

caracterizasse enquanto uma investigação, caso contrário, alguns alunos teriam parado

suas ações à medida que encontraram suas respostas, descaracterizando a atividade

enquanto uma atividade investigativa, no sentido de NCTM (1998); Goldenberg (1999);

Ponte et al. (1999a); Ponte et al. (1999b); Ponte et al. (2003).

O fechamento da atividade ocorreu somente quando se percebeu que os alunos

tinham desenvolvido a atividade com outros numerais, o que permitiu terem uma

quantidade de dados que possibilitasse encontrar respostas aos questionamentos que

viriam, no sentido de terem elaborado regularidades frente ao que foi proposto. O

mesmo aconteceu para as outras atividades (Propriedades Verdadeiras e Falsas e

Potências e Regularidades).

Fechamento para a atividade Números em Círculos (Professora da classe): O que vocês observaram quando fizeram as somas? (Aluno 1): O que aparece no meio, aparece na conta. (Aluno 2): Todas as somas que a gente faz usa a do meio. (Aluno 3): O número que está no círculo central aparece no resultado e o 8 no final. (Aluno 4): O número central sempre aparece na frente do resultado. (Aluno 5): O número central aparece nas três contas.

Perante às respostas dos alunos, a pesquisadora foi à frente da classe com a

proposta de: dado o número central, sem fazer as somas, seria possível saber o que se

®¯°±²°³´µ ³¶·¶ ´¸¹º¹»¼»½¾ °¿º½¾¸¹À¼¸¹º¼¾ »½ Á¼¸½ÂÃ¸ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

4

Ä°ÅÆÇ ÈÉÊËÊÌËÈÊÍÈÎËÍÉËÎÏ

considerou de soma total? Para isto, a pesquisadora desenhou na lousa o mesmo

esquema da atividade inicialmente proposta, tendo, contudo apenas preenchido o círculo

central com o numeral 200. Nem bem terminou de escrever, já se ouviram respostas do

tipo:

(Aluno 2): Duzentos e oito. (Aluno 6): Dois mil e oito. (Pesquisadora): Por que é dois mil e oito? Como se chega nisto? (Aluno 6): Porque é duzentos vezes dez mais oito. Neste instante, quase todos os alunos queriam falar ao mesmo tempo: ... Se você somar as bolinhas dá dez. ... O oito estava sendo somado nas três figuras. ... O oito tá (sic) rodando toda hora. Sempre tá (sic) tirando de um e colocando no outro e dá oito.

Além de evidenciarem que haviam compreendido o porquê de se multiplicar o

número central por dez, os alunos, nem todos, também mostraram entender o porquê de

se ter o oito na casa das unidades.

Quando a mesma atividade foi proposta com os múltiplos do número três, antes

mesmo de desenvolvê-la, ouviu-se:

(Aluna 4): “- Mesmo sendo múltiplo de três, continua multiplicando por dez”.

Dado um tempo para que os alunos desenvolvessem a atividade, foi proposto que

cada grupo deveria falar com que número central trabalho e qual foi o resultado obtido.

Assim, indo à lousa, a professora da classe obteve os dados dispostos na tabela 1.

NÚMERO

CENTRAL

SOMA

TOTAL

33

12

15

21

39

342

132

162

222

410

Tabela 1: página 4

Quando viu a tabela na lousa, um aluno lembrou-se do mesmo procedimento que

fizera quando a atividade não era sobre os múltiplos de três: “- Você compensa aqui

(apontando para os números) e faz aparecer o do centro”.

ÐÑÒÓÔÒÕÖ× ÕØÙØ ÖÚÛÜÛÝÞÝßà ÒáÜßàÚÛâÞÚÛÜÞà Ýß ãÞÚßäåÚica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

5

æÒçèé êëìíìîíêìïêðíïëíðñ

(Aluno 7): Fazendo a compensação vai aparecer o número central dez vezes e sobrar doze.

Depois de uns dez minutos aproximadamente, os alunos começaram a explicar

seus resultados e suas hipóteses uns para os outros.

Quando a professora perguntou se haveria uma regra para a atividade com os

múltiplos de três, ouviu-se: “- É sempre o número central mais um, mais o dois”.

A fala do aluno levou a pesquisadora a perguntar se era sempre assim que deveria

ocorrer, sugerindo que os alunos tomassem como número do círculo central o número

vinte e oito para testarem e, de acordo com a regra do colega, chegassem mesmo ao

número 292.

(Professora): O que é compensação? (Aluno 7): Tira de um número e põe no outro. (Aluna 9): Todo o resultado é sempre um número a mais que o central mais o dois. Através da afirmação da aluna 9, a pesquisadora questionou o “mais dois”: Se você dissesse que era somar dois para alguém que não fez a atividade, será que a pessoa iria entender sobre a posição ou o lugar do dois ou ela iria somar o dois?

A pergunta da pesquisadora suscitou o interesse dos alunos quando da explicação

de um procedimento para outra pessoa, além de ter chamado também a atenção das

estagiárias e da professora da classe para a questão do “falar ou dizer algo

matematicamente, isto é, o dois estaria em qual posição?”. Os alunos perceberam a

dificuldade que existe quando se vai dizer o que se fez matematicamente para outra

pessoa. A pesquisadora insistiu na questão da posição do numeral dois em termos de

unidade, dezena e centena, o que fez boa parte dos alunos responder que o número dois

estaria na “casa da unidade”.

É preciso que se afirme que os alunos não chegaram ao procedimento de

“compensação numérica” que requer a atividade, quando do estabelecimento de uma

regra, por si mesmos: através de questionamentos diretos das estagiárias e da

professora, além da pesquisadora, os alunos eram levados a pensar no porquê de se ter

um determinado resultado e não outro: “Mas tudo tem por quê? Nossa, quanto por que”.

(Aluna 8).

O desenvolvimento da atividade com os múltiplos negativos de três proporcionou

a retomada da conceitualização dos números inteiros, com as principais dúvidas e

dificuldades que os alunos apresentam sobre os mesmos, sendo uma delas a dificuldade

òóôõöô÷øù ÷úûú øüýþýÿOÿ�� ô�þ��üý�OüýþO� ÿ� �Oü��üica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

6

(ô��

de representar os números inteiros na parte esquerda da reta numérica, ou seja, no lado

negativo.

No começo da atividade com os múltiplos negativos do número três, os alunos

mostraram-se bem mais autônomos para resolvê-la em relação à primeira atividade,

Números em Círculos. Para a professora da classe, o objetivo de retomar o conceito de

números inteiros e de sua representação na reta numérica, além do fato do zero ser um

múltiplo de qualquer número, inclusive do três negativo “- Foi diferente porque queriam

aprender para poder fazer a atividade”.

A atividade foi encerrada no prazo previsto de duas horas aulas, aproximadamente

uma hora e quarenta minutos. Mesmo sendo as duas últimas aulas de um dia com seis

horas aulas para os alunos, estes mostraram muita disposição para realizá-la.

Pode-se afirmar que além das leituras sobre Investigação Matemática, simular o

desenvolvimento das atividades antes de trabalhá-las em sala de aula permitiu ao grupo,

formado pela professora da classe, as estagiárias e a pesquisadora, ter uma noção dos

possíveis raciocínios que os alunos fariam, além de também permitir que o grupo

soubesse que muitos desses raciocínios fossem inexistentes no contexto de sala de aula,

levando a uma reelaboração, por parte do mesmo, da questão das interações entre os

alunos e entre estes e o grupo.

Nas reflexões feitas pelo grupo após a atividade2, uma conclusão foi unânime:

esse tipo de atividade havia conquistado os alunos, até mesmo os denominados,

inicialmente pela professora da classe e depois pelas estagiárias, como desinteressados e

indisciplinados. Este fato levou o grupo a refletir e buscar o porquê desse tipo de

atividade ter conquistado, mesmo que com diferentes níveis de interesse e disposição,

todos os alunos e também os elementos do grupo.

Retomada do Conceito de Potências

Em um dos seguintes encontros, o grupo decidiu que a próxima atividade

trabalhada seria a atividade denominada Potências e Regularidades3. Entendeu-se que

era interessante desenvolver com a classe uma atividade que tratasse de um conceito

matemático que a professora estava trabalhando no momento. Contudo, em um dos

encontros do grupo, antes de seus membros irem para a sala de aula, ao desenvolverem

a atividade, a professora da classe e as estagiárias perceberam como era necessário e

�� !" �#�!"��$ �� " �! % �!&'�ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

7

)�*+, -./0/10-/2-302.034

instigante retomar o conceito de potência de forma também investigativa. O que foi

comprovado quando do trabalho, em sala de aula, com a adaptação da atividade

Propriedades Verdadeiras e Falsas4. É preciso esclarecer que os alunos da classe já

haviam trabalhado o conceito de potências em aulas anteriores. No entanto, nestas aulas

anteriores, o trabalho desenvolvido pela professora da classe com as estagiárias não foi

de modo investigativo.

Optou-se por uma adaptação da atividade ao levar em conta o objetivo do

desenvolvimento da mesma, isto é: retomar o conceito de potência e contrariamente ao

que se apresenta nas “Notas sobre a resolução e o decorrer da actividade”, o grupo

entendeu, após várias tentativas de resolvê-lo, que o item 35 da atividade era muito

complexo e exigiria muito tempo de desenvolvimento em sala de aula. Outro consenso

no grupo foi a decisão do não trabalho com as propriedades de potências na forma

algébrica porque, para o grupo, demandaria também muito tempo e extrapolaria o

objetivo do desenvolvimento da atividade que era mesmo retomar o conceito de

potências.

De acordo com o acertado pelo grupo, a professora da classe iniciou a aula

colocando na lousa o nome da atividade (Propriedades Verdadeiras e Falsas) com o item

1: Repare que 22 = 4 e que 2 x 2 = 4. Logo depois pediu que os alunos experimentassem

os casos da tabela 2.

02 =

42=

32=

102=

!"

#$%

&3

2

1

!"

#$%

&4

3

5

(1,2)2 =

(0,6)3 =

(-5)2 =

(-4)3 =

0 X 2 =

4 X 2 =

3 X 3 =

10 X 2 =

!"

#$%

&3

2

1x

!"

#$%

&4

4

5x

1,2 X 2 =

0,6 X 3 =

(-3) X 2 =

(-4) X 3 =

Tabela 2: página 7

567897:;< :=>= ;?@A@BCBDE 7FADE?@GC?@ACE BD HC?DIJ?ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

8

K7LMN PQRSRTSPRUPVSUQSVW

Após isto, apresentou os números em termos de base e expoente e em seguida deu

um tempo para os alunos resolverem o que foi pedido.

Um aluno disse que não sabia fazer. Ao ouvi-lo, uma das estagiárias explicou

individualmente o que era para ser feito.

Ficou claro ao grupo que a disposição dos números em forma de coluna

configurou-se como uma dificuldade para os alunos porque inicialmente não viram

relação entre as duas. Foi preciso então que a professora chamasse a atenção dos

mesmos para o que havia sido afirmado no início da atividade e se era sempre

“verdade” que isto acontecia.

A dinâmica de desenvolvimento da atividade não diferiu muito do que ocorreu

com a atividade Números em Círculos: à medida que o tempo foi passando, uma espécie

de regulação, entre o que se pediu e as ações dos alunos, foi acontecendo, sendo esta

regulação intermediada tanto pelas interações dos alunos com outros alunos, bem como

entre estes e as estagiárias, a professora da classe e a pesquisadora.

Muitos alunos, de início, não diferenciaram as expressões agindo de modo

idêntico para situações diferentes. Por exemplo, ao resolverem a potência 33 como 3x 3,

ou seja, uma dificuldade considerada clássica pelos professores e estagiários quando se

trabalha com potências, ocorrendo também em outros níveis educacionais. Esta

dificuldade não foi percebida pelas falas dos alunos, mas pela intenção do grupo, pois

ao caminhar entre as carteiras, todos os elementos do grupo atentaram para o modo pelo

qual os alunos desenvolviam a atividade em seus cadernos. Percebeu-se que os alunos

estavam entretidos de forma que a observação de seus cadernos não inibiu seus

procedimentos.

Quando a futura professora D. propôs a realização da atividade junto à lousa, uma

uníssona resposta negativa foi ouvida. De imediato, os olhares dos elementos do grupo

se encontraram confirmando a certeza da atividade ter sido aceita pelos alunos, pois os

mesmos queriam mais tempo para resolvê-la.

Ao acompanhar as explicações individualizadas, dadas pela professora da classe e

pelas estagiárias aos alunos, porque estes as requisitaram, a pesquisadora percebeu uma

dificuldade comum em boa parte deles: o trabalho com a operação de multiplicação,

necessariamente seu conceito e sua representação, pois para muitos alunos 1 x 1 = 2.

Assim, mostraram que ou não diferem o símbolo da multiplicação do símbolo da

XYZ[\Z]^_ ]`a` ^bcdcefegh Zidghbcjfbcdfh eg kfbglmbica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

9

nZopq rstutvurtwrxuwsuxy

adição, ou mesmo “vendo” que são diferentes, como não estabeleceram a relação entre

o símbolo da multiplicação e seu conceito, agiram em uma situação como se fosse

outra.

D. foi à lousa e sugeriu que realizassem juntos todos os ítens. À medida que iam

falando, as falas e os nomes do alunos eram anotados na lousa pela futura professora F.

Os alunos ficavam satisfeitos com este tipo de ação e que quando se esquecia de um ou

outro aluno, pelo fato de falarem ao mesmo tempo, havia reclamações para que seus

nomes também constassem na lousa. Muito do agir do grupo, durante o

desenvolvimento das atividades, como por exemplo, colocar as falas dos alunos e seus

respectivos nomes na lousa, foi inspirado nas posturas de Lampert (1990) quando

trabalhava suas aulas não somente enquanto professora de matemática, mas sobretudo

como uma investigadora de suas aulas.

(D, futura professora): Por que zero ao quadrado é igual a zero? (Aluno 1): Tem que por o zero duas vezes porque é o expoente.

Do mesmo modo que o aluno 1, os alunos iam tentando dar suas resposta de

forma a confundir quem tentava escutá-las, pois falavam todos aos mesmo tempo, o que

causou muita dificuldade para identificá-los.

Na tentativa de explicar suas respostas, quando os alunos se referiram à resolução

da expressão "32

1" x!

"

#$%

& insistiram para que o numeral 1 fosse colocado embaixo do

numeral 3. O que evidenciou que estes alunos, ao agirem deste modo, estavam presos a

um dos procedimentos para multiplicar uma fração por um número inteiro, porque

tiveram a necessidade de “transformar o número inteiro em fração” para depois

poderem “multiplicar os numeradores e depois os denominadores”. Mesmo quando a

futura professora perguntou o que significava multiplicar por três, os alunos

permaneceram presos a esse modo de multiplicar.

Em outras situações, quando a futura professora perguntou o porquê dos

resultados, as explicações dos alunos foram em termos da definição do conceito de

potenciação, por exemplo, (0,6)3 = 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216. Quando foi resolvido na

lousa o item (-5)2, uma aluna disse que a resposta era 5:

(D, futura professora): “- Mas a base é cinco?” (aluna): “- Não, não. É menos cinco vezes menos cinco”. (D, futura professora): “- Menos com menos é....”

z{|}~|�� |�� ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

10

�|��

(Vários alunos): Mais. Menos com menos dá mais. (D, futura professora): E menos cinco vezes dez? (Vários alunos): Menos dez! (D, futura professora): E menos quatro ao cubo? (Vários alunos): Menos sessenta e quatro! (D, futura professora): Por quê? (vários alunos): Porque sim. (D, futura professora): Não, não. Eu quero saber o porquê. Depois de insistir quanto ao porquê do resultado, foi ouvido: (Vários alunos): Menos com menos é mais, mais com menos é menos.

Após esse diálogo, D pediu que os alunos comparassem as duas colunas do início

da atividade, o que fez que de imediato um aluno alertasse a todos com firmeza: “- Não

é verdadeira aquela”. O aluno apontou com o dedo a afirmação 22 = 4 e 2 x 2 =4.

(Aluno 2): Não é verdade porque quatro ao quadrado você faz conta de multiplicação e quatro vezes dois, você faz adição. Mostrando a expressão 02 e 0 x 2, a futura professora perguntou: “- O que vocês estão percebendo aqui? (Aluno 2): Quando o expoente é dois, vou fazer o número vezes o número.

Inicialmente a explicação dada pelo aluno 2 fez com que a professora

pesquisadora se apropriasse da fala do mesmo, que não era incorreta, mas causou muita

confusão até mesmo para as futuras professoras e a professora da classe. O aluno 2 deu

a entender que deveria multiplicar a base pelo expoente. No entanto, quando assim foi

dito ele negou e reelaborou sua fala, afirmando que queria mesmo dizer que era para

multiplicar a base o número de vezes que “aparece no expoente”. Aproveitando a fala

do aluno, a pesquisadora retomou o conceito de multiplicação e o nome dado aos

elementos de uma multiplicação, porque os alunos estavam chamando os fatores de

expoentes.

Quando perguntou, apontando as expressões 22 e 2 x 2, o que poderia ser

concluído, ouviu-se do aluno 3: “- As duas contas estão certas, mas o jeito de fazer é

diferente”.

Aproveitando a quase ausência de conversa paralela na classe, provavelmente

devido aos diálogos e às participações de boa parte dos alunos, D colocou na lousa as

expressões 102= e 10 x 2 =. Imediatamente o aluno 3 disse: “- Dez ao quadrado é a base

vezes ela e dez vezes o dois é a multiplicação de fatores”. Colocando a expressão a2,

vários alunos afirmaram que o resultado era dado por a vezes o a e não por a vezes o

dois.

�� ¡¢£ ¡¤¥¤ ¢¦§¨§©ª©«¬ �¨«¬¦§®ª¦§¨ª¬ ©« ¯ª¦«°±¦ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

11

²�³´µ ¶·¸¹¸º¹¶¸»¶¼¹»·¹¼½

Dada a insistência do aluno 3: “- Nem sempre vai acontecer aquela lá”. O aluno

apontava para as expressões 22 e 2 x 2, a professora da classe pediu para que os alunos

descobrissem mais casos onde isto acontecia. Depois de um tempo, os alunos

responderam que para o zero também aconteceria o mesmo.

D concluiu a atividade pedindo aos alunos que escrevessem suas conclusões. As

falas foram apagadas da lousa porque um dos alunos disse que era apenas copiar da

mesma. De início os alunos relutaram para escrever suas conclusões, mas acabaram

fazendo devido à insistência da professora da classe:

(Aluno 4): Que se fazer assim 102 = 10 x 2 = 20 está errado. É assim 102 = 10 x 10 = 100. A conta não está pedindo a multiplicação da base com o expoente e sim a multiplicação da base com a base do tanto que o expoente mostra. (Aluno 5): Não é verdade porque quando ele é elevado a algum número a base é multiplicada por ela mesma e quando ele não é elevado é como se fosse uma conta de adição por causa do número de vezes que ele aparece.

A futura professora G, ao aproximar-se da pesquisadora, mostrou-se entusiasmada

com a atividade, pois disse ter acompanhado a aula sobre potenciação, dada pela

professora da classe anteriormente, e que os alunos confundiam mesmo as

representações, o que resultava em dificuldades e desânimo para boa parte deles.

É bastante reconhecido pela comunidade educacional que tradicionalmente as

aulas de Matemática não costumam oferecer oportunidades para que os alunos das

escolas levantem hipóteses sobre não somente o resultado encontrado, mas sobretudo o

porquê de ser aquele resultado, tendo como referência os caminhos percorridos para

encontrá-lo. Tradicionalmente se conhece que as aulas de Matemática também não

costumam oportunizar aos alunos, não só na Educação Básica, a vivência de falarem e

de serem ouvidos, questionados e levados a refletir e defender seus raciocínios quando

da dinâmica de aulas fixadas apenas em definições, exercícios e resolução de

problemas, freqüentemente nesta ordem de aparecimento.

certo que a dinâmica de uma aula de Matemática indica, e muito, os princípios

de Educação e principalmente de natureza da Matemática, do seu ensino-aprendizagem

que o professor responsável por aquela aula carrega consigo.

Desta forma, aulas de Matemática que objetivam o treinamento de cálculos e a

chegada a resultados de forma linear, sem levar em conta uma participação ativa dos

¾¿ÀÁÂÀÃÄÅ ÃÆÇÆ ÄÈÉÊÉËÌËÍÎ ÀÏÊÍÎÈÉÐÌÈÉÊÌÎ ËÍ ÑÌÈÍÒÓÈica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

12

ÔÀÕÖ× ØÙÚÛÚÜÛØÚÝØÞÛÝÙÛÞß

alunos, participação que pouco ou nada em sentido cognitivo se identifica com padrões

lineares, seus raciocínios, dúvidas, erros, testagens, identificam-se com a crença em

concepções da Matemática como uma ciência unicamente dedutiva na qual os processos

de raciocínio e os contextos de elaboração dos mesmos são geralmente esquecidos ou

ignorados pelo trabalho que visa apenas a apresentação sistemática de conceitos,

procedimentos e resultados.

Entender conceitos e procedimentos matemáticos como realizações

fundamentalmente ligadas às necessidades e condições humanas e, portanto históricas,

mesmo aqueles próprios do que se denomina Matemática Pura, assim concebendo a

Matemática como socialmente desenvolvida (Brown et. al (1989); Goldenberg (1999);

Lampert (1990); Lave e Wenger (1991); Oliveira et al (1999), Rogoff (1984)) faz crer

que os processos de construção de conceitos matemáticos e os procedimentos utilizados

para isto não sejam inicialmente dedutivos, nem possam ser transmitidos de uma pessoa

a outra por melhor que se supõe o modo de fazê-lo.

Ao contrário, aponta para a necessidade de colocar o aprendiz ou o construtor dos

conceitos em situações nas quais capacidades do pensamento humano sejam

demandadas, tais como: a capacidade de analisar e organizar dados, de formular e testar

hipóteses ou conjecturas sobre os dados organizados, de rastrear fatos, de investigar

fazendo argumentações e críticas aos resultados obtidos, de integrar e derivar conceitos,

procedimentos e atitudes em campos de compreensão de extensão progressiva e, por fim

generalizar. Portanto, capacidades que sejam reelaboradas e desenvolvidas em um

sentido matemático, que objetiva o desenvolvimento e a utilização de níveis mais

elevados do pensamento e de sua representação, sem que contudo se perca a coerência e

também os significados entre ações e conceituações.

____________________

Notas * Estágio supervisionado participativo na licenciatura em Matemática, uma parceria escola-universidade: respostas e questões. Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2006. 1 Adaptada do ProfMat 2002. Encontrada em http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/2 Realizou-se uma reunião na escola parceira na qual estavam presentes as professora e as estagiárias da classe onde se desenvolveu a tarefa, além da professora supervisora de Estágio na Universidade e mais dois outros alunos estagiários da mesma turma que tinham por objetivo conhecer a proposta de trabalho e suas reflexões com Atividades Investigativas.

àáâãäâåæç åèéè æêëìëíîíïð âñìïðêëòîêëìîð íï óîêïôõêica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

13

öâ÷øù úûüýüþýúüÿú(ýÿûý(�

3 Adaptada da atividade Potências e Regularidades encontrada na Apostila Números e Regularidades do projeto Investigações Matemáticas na Sala de Aula, publicado pela Associação de Professores de Matemática em 1998. 4 Adaptada da atividade Propriedades Verdadeiras e Falsas encontrada na Apostila Números e Regularidades do projeto Investigações Matemáticas na Sala de Aula, publicado pela Associação de Professores de Matemática em 1998. 5 “Repara que 42 = 16 e 24 = 16. Será sempre verdade que an = na?”

Referências Bibliográficas

BROWN, J. S; COLLINS, A.; DUGUID, P. Situated Cognition and the Culture of Learning. In: Educational Researcher, 18, 1989, p. 32-42.

GOLDENBERG, Paul. Quatro Funções da Investigação na Aula de Matemática. In: ABRANTES, Paulo; PONTE, João Pedro da; FONSECA, Helena; BRUNHEIRA, Lina. Investigações Matemáticas na Aula e no Currículo. Lisboa: Grupo Matemática para Todos e Associação de Professores de Matemática, 1999.

LAMPERT, Magdalene. When the Problem is not the question and the Solution is not the Answer: Mathematical Knowing and Teaching. In: American Educational Research Journal, 27 (1), 1990, p. 29 – 63.

LAVE, Jean; WENGER, Ettienne. Situated Learning. Legitimate Peripheral Participation. Cambridge University Press, 1991.

NCTM (NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS). NormasProfissionais para o Ensino da Matemática. Lisboa: Associação de Professores de Matemática e Instituto de Inovação Educacional, 1998.

OLIVEIRA, Marta Kohl de. Vygotsky: Aprendizado e Desenvolvimento: Um Processo Sócio-Histórico. São Paulo: Scipione, 1999.

PONTE, João Pedro da. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.

PONTE, João Pedro da. Investigando as Aulas de Investigações Matemáticas. In: ABRANTES, Paulo; PONTE, João Pedro da; FONSECA, Helena e BRUNHEIRA, Lina. Investigações Matemáticas na Aula e no Currículo. Lisboa: Grupo Matemática para Todos e Associação de Professores de Matemática, 1999a.

PONTE, João Pedro da; FERREIRA, Catarina; VARANDAS, José Manuel; BRUNHEIRA, Lina; OLIVEIRA, Hélia. A Relação Professor-Aluno na Realização de Investigações Matemáticas. Lisboa: Associação de Professores de Matemática, 1999b.

O�� ica, em Sala de Aula, em Contexto de Estágio Supervisionado na Licenciatura em Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14.

14

�� !

ROGOFF, Bárbara. Introduction: Thinking and Learning in Social Context. In: ROGOFF, Bárbara; LAVE, Jean. Everyday Cognition. Its Development in Social Context. Cambridge, Massachusetts and London: Harvard University Press, 1984.

C"#$%&%' )* C + ,"-C#.$/' #* 0* 1* ,* 2345673 + 87zer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigações Matemáticas

BRINCAR E FAZER MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA NA EDUCAÇÃO

INFANTIL

Luciana Cristina CARDOSO – UFSCar ([email protected] M. S. Puccinelli TANCREDI – UFSCar/Mackenzie

([email protected]

Resumo: A pesquisa-intervenção ora relatada teve por objetivo identificar, compreender e analisar noções matemáticas construídas por crianças de seis anos quando participam de brincadeiras no contexto da educação infantil, tendo como base o construtivismo piagetiano. Para tanto foram desenvolvidas com as crianças brincadeiras que possibilitam construir e desenvolver algumas noções matemáticas: Mãe-da-rua, Coelhinho sai da toca, Alerta e Queima. As ferramentas de coleta de dados foram: observações sistemáticas das crianças nos momentos de brincadeira no parque, gravações em áudio e vídeo, discussões sobre as regras das brincadeiras em sala de aula e registros gráficos das crianças após o brincar. Durante a análise dos dados buscou-se identificar quais das noções matemáticas presentes nas brincadeiras foram construídas, explicitadas e representadas pelas crianças. Os resultados indicaram que utilizar essas brincadeiras foi uma estratégia adequada para que as crianças construíssem noções matemáticas: ocupação do e localização no espaço, medida, contagem, comparação, acréscimos e retiradas, representação de figuras geométricas planas, uso da linguagem matemática, criação de estratégias e solução de problemas, entre outras. Além disso, foram possibilitadas o desenvolvimento de outras habilidades como argumentar, aceitar limites, lidar com frustrações, cooperar, respeitar a vontade do grupo, que de acordo com a vertente teórica adotada, podem favorecer o raciocínio lógico-matemático.

Palavras-chave: Ensino-Aprendizagem De Matemática; Brincadeiras Infantis, Educação Infantil.

Primeiros nortes para o desenvolvimento da pesquisa

A prática docente de professores iniciantes na Educação Infantil nem sempre é

fácil. Além das muitas dificuldades características desse período de indução, indicadas

fartamente na literatura, encontra-se a responsabilidade de ajudar as crianças a

desenvolverem as primeiras idéias sistemáticas sobre conteúdos escolares, entre eles os

da Matemática. Nesse contexto, não costumam ser poucas as angústias dos iniciantes,

pois para ensinar os conceitos prescritos no currículo é preciso conhecê-los bem e

transformá-los de modo a atender as necessidades e interesses do grupo de crianças,

:;<=>?>@ L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2

Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

mesmo quando não têm “afinidade/familiaridade” com a disciplina, o que geralmente

acontece. Enfrentam ainda os desafiantes momentos de estruturar os planos de ensino

semanais, nos quais todas as áreas devem estar presentes, inclusive a matemática.

Procurando buscar soluções para suas limitações, muitos professores – iniciantes e

experientes - dessa etapa da escolaridade se envolvem em trabalhos com jogos, visto

estarem disponíveis experiências e propostas nesse sentido e por serem eles atraentes

para as crianças.

Entretanto, no mais das vezes esses são trabalhos assistemáticos, que visam mais

o brincar do que o aprender, a ocupação do tempo e o entretenimento das crianças e são

poucos explorados os conceitos a eles subjacentes.

Nesse texto apresentamos uma perspectiva diferente para o trabalho com jogos na

Educação Infantil, que tem como referencial a teoria piagetiana, vertente que pode

auxiliar os professores a compreender que a criança aprende mediante as relações que

estabelece com o meio e com os objetos que explora mental ou concretamente.

Embora Piaget não estivesse preocupado em estabelecer uma teoria da educação,

suas pesquisas influenciaram diretamente o campo educativo, sobretudo pela

possibilidade de transformar a escola passiva em uma escola ativa, na qual as crianças

pequenas deixam de apenas ouvir e por em prática orientações das professoras (usamos

o feminino por ser o gênero predominante nesse nível da escolaridade) para se tornarem

construtoras de conhecimentos a partir das suas ações físicas e intelectuais. Essa

possibilidade tem como base o interesse de Piaget em compreender como o ser humano

elabora conhecimentos sobre a realidade, chegando a construir sistemas complexos e

com alto nível de abstração (PIAGET, 2005).

Fontana (1997, p. 44) esclarece que o fundamento básico da concepção de Piaget

sobre o funcionamento intelectual e o desenvolvimento cognitivo “é o de que as

relações entre o organismo e o meio são relações de troca” e por elas “o organismo

adapta-se ao meio e, ao mesmo tempo, o assimila, de acordo com suas estruturas, num

processo de equilibrações sucessivas”. Assim, as crianças aprendem pela exploração de

objetos e pelas análises e relações que estabelecem a partir desta exploração. Um

equívoco freqüente ocorre quando dicotomizamos as ações físicas (como são muitas

vezes entendidas as explorações dos objetos) e as intelectuais, pois na verdade, toda

ABDEFGFH L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

3


ação física supõe uma ação intelectual, já que ao manipularem os objetos, as crianças

também pensam sobre eles ou sobre a melhor forma de explorá-los.

Também a noção de objeto – muitas vezes denominado de “o concreto” - precisa

ser mais bem compreendida. Não se restringe a algo físico, que pode ser tocado com as

mãos, manipulado. Objetos do pensamento são conhecimentos já adquiridos, via

atividades das mais variadas naturezas de que participam os seres humanos.

Pensando na educação infantil, os objetos concretos estão quase sempre presentes,

na forma de brinquedos, sucatas, mobiliários, por exemplo, que possibilitam às crianças

algumas atividades de exploração.

Além dessas, outras atividades muito utilizadas são os jogos e as brincadeiras, na

maior parte das vezes coletivas. A participação ativa e envolvente das crianças nesses

momentos faz com que esses recursos pedagógicos sejam vistos como eficazes, ao

menos no sentido de proporcionarem uma aprendizagem com mais significado. É

importante destacar que ao brincar/jogar sozinha a criança refaz mentalmente situações

a que é exposta em sua vida cotidiana. Já o brincar/jogar em grupo exige dela a

coordenação de diferentes pontos de vista. Ela se vê em situações diferentes daquelas a

que é exposta no brincar individual: sozinha ela orienta as suas próprias decisões e no

grupo precisa argumentar e convencer os pares de suas próprias convicções (KAMII,

1991).

Entretanto, é preciso cuidado e cautela na utilização dos jogos e brincadeiras –

como em tudo, aliás - já que por si só não garantem aprendizagem nem

desenvolvimento, ao menos em termos da intencionalidade que tem a escola.

Considerando agora a especificidade da matemática, algumas idéias da

perspectiva piagetiana foram, em diferentes medidas, incorporadas nas práticas

escolares: as crianças aprendem melhor os conteúdos matemáticos quando manipulam

objetos – contas, caixas, sólidos geométricos, palitos entre outros –, se envolvem em

jogos e brincadeiras, trocam idéias com outras crianças e com os adultos e também

quando são instigadas a explicitar e justificar seus pensamentos. Importante o destaque

encontrado no Referencial Curricular para a Educação Infantil (MEC, 1998, p. 211):

(...) Apesar de a natureza do jogo propiciar também um trabalho com noções matemáticas, cabe lembrar que o seu uso como instrumento não significa necessariamente, a realização de um trabalho matemático. A livre manipulação de peças e regras por si só não

IJKLMNMP L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

4


garante a aprendizagem. O jogo pode tornar-se uma estratégia didática quando essas situações são planejadas e orientadas pelo adulto visando a uma finalidade de aprendizagem, isto é, proporcionar à criança algum tipo de conhecimento, alguma relação ou atitude. Para que isso ocorra, é necessário haver uma intencionalidade educativa, o que implica planejamento e previsão de etapas pelo professor, para alcançar objetivos predeterminados e extrair do jogo atividades que lhes são decorrentes.

Para que os professores possam bem associar a matemática com objetos, jogos e

brincadeiras, no sentido proposto pelo RCN, é imprescindível que conheçam bem os

conteúdos matemáticos e as características de aprendizagem e desenvolvimento das

crianças da faixa etária em que lecionam. Por conta disso, e só com este conhecimento

claramente definido é que poderão transformar conhecimento em ensino e propor

atividades que desafiem as crianças e as ajudem a avançar em relação à aquisição do

conhecimento.

Sob as perspectivas apontadas é que a pesquisa ora relatada foi desenvolvida.

A matemática e os jogos no universo infantil

Há tempo educadores e psicólogos vêm pesquisando e incentivando o uso de

jogos, brincadeiras, literatura infantil, por exemplo, como recursos metodológicos para

o ensino da matemática. Os jogos e brincadeiras têm ganhado cada vez mais espaço nas

escolas de educação infantil, visto a participação ativa da criança pequena e seu

envolvimento natural com essas propostas. Isto não deixa de ser relevante, mas, por

outro lado, é preciso lembrar que essas atividades por si só não fazem com que a criança

construa noções matemáticas específicas. É preciso, como foi dito anteriormente,

intencionalidade educativa.

Os jogos ganham, nesta pesquisa, grande destaque, pois foram as ferramentas

utilizadas para que as crianças entrassem com contato com algumas noções matemáticas

e as explicitassem não apenas durante o ato de brincar, mas em seus registros gráficos –

desenhos.

De acordo com o Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil

(1998), os estudos sobre desenvolvimento e aprendizagem contribuíram para

compreender que a matemática deveria explorada, na escola, como o era em sua origem,

ou seja, a partir da resolução de problemas. Quanto a esse aspecto, o universo da escola

QRSTUVUW L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

5


infantil se constitui espaço propício para propor situações-problema relacionadas com o

desenvolvimento do pensamento matemático.

Na aprendizagem da matemática o problema adquire um sentido muito mais preciso. Não se trata de situações que permitam “aplicar” o que já se sabe, mas sim daquelas que possibilitam produzir novos conhecimentos a partir dos conhecimentos que já se tem e em interação com novos desafios. (...). (RCNEI, 1998, p. 211).

Nessa perspectiva, jogos e brincadeiras têm o seu papel ainda mais valorizado,

visto poderem ser percebidos e utilizados como situações, problemas que considerem os

conhecimentos prévios das crianças como ponto de partida para o enfrentamento de

novos desafios.

Ainda segundo o RCN, o trabalho com resolução de problemas ajuda as crianças

desenvolverem suas capacidades de generalizar, analisar, sintetizar, inferir, formular

hipóteses, refletir e argumentar, o que vai ao encontro da finalidade da Matemática na

educação infantil, de favorecer o desenvolvimento da capacidade de: reconhecer e

valorizar os números, as operações numéricas, as contagens orais e as noções espaciais

como ferramentas necessárias no seu cotidiano; comunicar idéias matemáticas,

hipóteses, processos utilizados e resultados encontrados em situações-problema

relativas a quantidades, espaço físico e medida, utilizando a linguagem oral e a

linguagem matemática; ter confiança em suas próprias estratégias e na sua capacidade

para lidar com situações matemáticas novas, utilizando seus conhecimentos prévios.

A concepção exposta no Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil

tem o sentido de que “aprender matemática é um processo contínuo de abstração no

qual as crianças atribuem significados e estabelecem relações com base nas

observações, experiências e ações que fazem, desde cedo, sobre elementos de seu

ambiente físico e sociocultural” (1998, p. 217).

Ao levarmos em conta que as primeiras experiências matemáticas da criança

dizem respeito aos conceitos aritméticos e espaciais, encontraremos nos jogos e nas

atividades cotidianas um valioso recurso metodológico.

De acordo com a concepção piagetiana, o jogo se torna um recurso válido para a

criança e para o professor na medida em que a aprendizagem torna-se mais significativa

para a criança e o professor pode perceber como a criança se comporta nas mais

XYZ[\]\^ L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

6


diversas situações, resolvendo conflitos, buscando soluções e articulando idéias e assim

potencializar recursos voltados para a aprendizagem. (KAMII, 1991).

Ao construir as regras para a realização de uma brincadeira e segui-las, a criança

estabelece inúmeras relações, não só sociais, mas também de raciocínio-lógico, pois ao

explicitar a regra por ela mesma criada ampliará sua compreensão e tentará encontrar

formas, maneiras diferenciadas para vencê-la, no sentido de, inclusive, superar suas

próprias limitações.

Além de trazer à tona a discussão de alternativas para o ensino da matemática e a

utilização de jogos e resolução de problemas, o Referencial Curricular indica os

conteúdos matemáticos a serem desenvolvidos com crianças entre 4 e 6 anos, e os

divide em três blocos: “números e sistema de numeração”, “grandezas e medidas” e

“espaço e forma”.

Levando em conta os objetivos da pesquisa, serão apresentados os conteúdos

sugeridos pelo Referencial Curricular e utilizados ao longo da exploração das

brincadeiras.

utilização da contagem oral nas brincadeiras e em situações nas quais as crianças

reconheçam sua necessidade.

utilização de noções simples de cálculo mental como ferramenta para resolver

problemas.

comunicação de quantidades, utilizando a linguagem oral, a notação numérica

e/ou registros não convencionais.

exploração de diferentes procedimentos para comparar grandezas;

introdução às noções de medida de comprimento, peso, volume e tempo, pela

utilização de unidades convencionais e não convencionais;

explicitação ou representação da posição de pessoas e objetos, utilizando

vocabulário pertinente nos jogos, nas brincadeiras e nas diversas situações nas quais as

crianças considerem necessária essa ação;

exploração e identificação de propriedades geométricas de objetos e figuras,

como formas, tipos de contornos, bidimensionalidade, tridimensionalidade, faces

planas, lados retos etc.;

identificação de pontos de referência para situar-se e deslocar-se no espaço.

_`abcdce L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

7


Pode-se notar que o Referencial Curricular considera que o essencial na

aprendizagem da matemática para crianças é que elas possam estabelecer relações,

levantar hipóteses, tirar conclusões e confrontá-las com outras idéias.

Dentre alguns autores que pesquisam o ensino da matemática na educação

infantil, Kátia Smole tem apresentado contribuições para que alguns avanços no modo

como tal área do conhecimento é vista ocorram. Smole (2000) baseia-se na concepção

de que a inteligência se manifesta de múltiplas maneiras, incluindo as diferentes

dimensões: lógico-matemática, lingüística, musical, espacial, corporal-cinestésica,

interpessoal e intrapessoal.

No âmbito da pesquisa, pode-se dizer que as dimensões da inteligência mais

exploradas durante a execução das brincadeiras e explicitadas na representação gráfica

das mesmas foram: lógico-matemática, lingüística, pictórica, espacial e corporal-

cinestésica.

Considerar essas diferentes manifestações da inteligência no presente trabalho, de

referencial piagetiano, importa pelas variadas formas que as crianças usam para

explicitar sua compreensão das noções matemáticas presentes nas brincadeiras

escolhidas no escopo do desenvolvimento da pesquisa. Elas falaram, desenharam,

usaram o corpo, ocuparam o espaço, estabeleceram relações.

Smole (2000) aponta a importância de

Uma proposta de trabalho de matemática para a escola infantil deve encorajar a exploração de uma grande variedade de idéias matemáticas relativas a números, medidas, geometria e noções rudimentares de estatística, de forma que as crianças desenvolvam e conservem um prazer e uma curiosidade acerca da matemática. Uma proposta assim incorpora contextos do mundo real, as experiências e a linguagem natural da criança no desenvolvimento das noções matemáticas, sem, no entanto, esquecer que a escola deve fazer o aluno ir além do que parece saber, deve tentar compreender como ele pensa e fazer interferências no sentido de levar cada aluno a ampliar progressivamente suas noções matemáticas. [...]. (SMOLE, 2000, p. 62)

Outro aspecto relevante apontado pela autora é que o trabalho com a matemática

na educação infantil não pode ser esporádico, espontaneísta e casual. As crianças

precisam estar cercadas de “atividades”: jogos, músicas, brincadeiras, danças, livros,

desenhos e situações que envolvam o raciocínio lógico-matemático, pois assim elas vão

fghijkjl L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

8


criando relações entre objetos e situações vivenciadas, percebendo a necessidade de

solucionar problemas, estabelecendo relações cada vez mais complexas.

Assim, tendo em mente como a criança aprende e se desenvolve e como pode ser

desenvolvido o ensino de matemática na escola para potencializar essa aprendizagem e

desenvolvimento de modo geral e no contexto do ensino de matemática é que a pesquisa

foi desenvolvida.

Revelando a investigação

A investigação ocorreu em 2005, com crianças de seis anos de idade - ainda

cursando a educação infantil, alunas da primeira autora e, em sua maioria, alfabetizadas

- e se insere na interface entre o aprender matemática construindo conceitos básicos e o

brincar.

A seguinte questão norteou a investigação: “que noções matemáticas as crianças

de 6 anos constroem quando participam de determinados jogos e brincadeiras no

contexto da Educação Infantil?”

No contexto da pesquisa entendemos por noções matemáticas as relações que as

crianças explicitam por meio de suas ações, palavras e desenhos, fruto do seu raciocínio

lógico-matemático, tendo em vista os princípios de ensino delineados por Kamii (2003,

p.42): a criação de todos os tipos de relações; a quantificação de objetos; a interação

social com os colegas e professores.

Em decorrência da questão os objetivos principais da pesquisa foram: identificar,

compreender e analisar como a criança se revela e revela seus conhecimentos nos

momentos de brincadeiras; identificar as noções matemáticas explicitadas, pelas

crianças, nas brincadeiras e após ela, em discussões coletivas; verificar se as

brincadeiras escolhidas favorecem a aprendizagem e o desenvolvimento de noções

matemáticas e do pensamento lógico-matemático.

Para seu desenvolvimento quatro jogos ou brincadeiras foram explorados

“matematicamente”: Coelhinho sai da toca, Mãe-da-rua, Queima e Alerta. A seleção foi

resultado da observação sistemática do momento do parque livre, oportunidade em que

as crianças demonstravam grande interesse por brincadeiras coletivas, sobretudo aquelas

em que representavam papéis e as que envolviam corridas e habilidades corporais,

principalmente de perseguição.

mnopqrqs L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

9


Tendo em vista esse contexto – em que a pesquisadora era a própria professora e

em que houve uma intervenção planejada/intencional no cotidiano das crianças na

escola - a pesquisa caracterizou-se como uma pesquisa–intervenção de natureza

qualitativa, pois foi formulada “com o objetivo de investigar os fenômenos em toda a

sua complexidade e em contexto natural”. Essas pesquisas “privilegiam, essencialmente,

a compreensão dos comportamentos a partir da perspectiva dos sujeitos da investigação.

As causas exteriores são consideradas de importância secundária. Recolhem

normalmente os dados em função de um contato aprofundado com os indivíduos, nos

seus contextos ecológicos naturais” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 16).

Para a coleta de dados foram utilizadas gravações em áudio e vídeo, anotações em

diário de campo, registros das regras das brincadeiras pela professora e desenhos das

brincadeiras pelas crianças.

As brincadeiras foram propostas uma vez por semana, totalizando um mês de

exploração para cada uma. Num primeiro momento as crianças brincavam livremente,

com as regras que já conheciam, as quais nem sempre propiciavam finalizar a

brincadeira. Em momentos posteriores cada uma das brincadeiras era explorada

intencionalmente, associando-se a construção e a reconstrução de regras e a

construção/desenvolvimento dos conceitos matemáticos subjacentes.

A exploração intencional de cada brincadeira começava com uma conversa

informal sobre as regras já conhecidas pelas crianças, no ambiente da própria classe.

Tudo era registrado pela professora num cartaz coletivo, no qual as regras eram escritas

e todos assinavam. A seguir, no parque, as crianças brincavam novamente – muitas

vezes a professora também participou da brincadeira. Essa rotina se repetia até que as

crianças ficassem satisfeitas com as regras elaboradas e a finalização das brincadeiras;

então, nova brincadeira era proposta.

Ao longo da realização da brincadeira também foram feitas intervenções, pela

professora, com o intuito de auxiliar as crianças na resolução de pequenos conflitos ou

na superação de dificuldades enfrentadas. Essas intervenções eram colocadas, de modo

geral, sob a forma de questionamento, permitindo que as crianças explicitassem seu

pensamento e tomassem decisões sobre estratégias. Nesses casos, os registros nos

diários de campo foram anotados pela memória, depois de cada episódio.

tuvwxyxz L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

10


Os registros por meio de desenho não foram solicitados sempre que cada

brincadeira era realizada, pois poderiam se tornar uma obrigação na visão das crianças e

visavam conseguir uma expressão final da brincadeira, para a observação do que havia

sido mais significativo para cada criança e para apreender as noções matemáticas que

formulavam.

Um exemplo desse registro é o de Ícaro, a seguir. Nele podemos perceber a

construção da contagem, o estabelecimento da relação um-a-um e a representação

espacial da brincadeira no plano.

Da mesma forma que a brincadeira Coelhinho sai da toca ajudou as crianças a se

localizar espacialmente, estabelecer as noções de: quantidade, igualdade, contagem oral

e representação espacial, a análise dos dados mostrou que todas as brincadeiras, umas

mais, outras menos, colaboraram para a aquisição e o desenvolvimento de noções

matemáticas pelas crianças.

Algumas considerações finais

Durante a exploração de todas as brincadeiras as crianças vivenciaram situações

em que se fizeram necessárias as habilidades de: medir, contar, comparar, acrescentar,

retirar, localizar-se no espaço, identificar e representar figuras geométricas, fazer uso da

linguagem matemática, criar estratégias, solucionar problemas, argumentar, aceitar

{|}~�� L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

11


limites, lidar com frustrações, cooperar e respeitar a vontade do grupo. De acordo com a

vertente teórica adotada, todas estas habilidades favorecem o desenvolvimento do

raciocínio lógico-matemático.

Embora neste estudo se pretendesse conhecer e analisar as noções matemáticas

construídas pelas crianças ao participarem de jogos e brincadeiras infantis foi possível,

ao longo do tempo, favorecer o desenvolvimento de uma série de habilidades não

matemáticas, mas de grande importância para a aprendizagem posterior de noções

matemáticas como, por exemplo, relacionamentos interpessoais, respeito às decisões

tomadas em grupo, cooperação, aceitação de limites e superação de frustrações,

capacidade de aprender com o outro, argumentação, flexibilização de regras, entre

outros.

A teoria que me deu suporte evidencia que a aprendizagem de todas essas

habilidades promoverá a descentração do pensamento, a partir do que conceitos

matemáticos como o de número poderão ser verdadeiramente apreendidos.

As noções matemáticas e não matemáticas que puderam ser

exploradas/desenvolvidas no decorrer das brincadeiras estão reveladas no Quadro 1:

Noções matemáticas explicitadas pelas crianças:

Noções não matemáticas: valores e atitudes.

- forma geométrica plana: retângulo e

circunferência;

- noções espaciais: limite, vizinhança, espaços

adjacentes, localização espacial (em relação

aos outros e ao espaço da brincadeira);

- registro gráfico: proporção, representação

geométrica;

- número, quantidade e igualdade;

- uso correto de expressões de lugar e

comparação;

- desenvolvimento da observação e da

comparação;

- distinção entre plano e espacial;

- classificação (das crianças segundo funções /

papel no jogo;

- pertencer e não pertencer (a determinado

- criação de regras para a brincadeira;

- respeito às regras que elas mesmas

criaram;

- capacidade de aprender com o outro;

- capacidade de argumentação;

- descentração do pensamento;

- cooperação;

- aprender com as dificuldades;

- aprender a lidar com a frustração;

�� L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

12


conjunto);

- noção de ordem primeiro, segundo, etc);

- noção de movimento e velocidade;

- simetria;

- comparações entre quantidades;

- emparelhamento entre elementos de um

conjunto (quem fica em que lado da rua...);

- comparação entre dimensões (as três partes do

campo);

- noção de tamanho (altura, por exemplo).

-deslocamento;

- comparação de movimentos (sentido e

velocidade).

QUADRO 1- Noções matemáticas e não matemáticas explicitadas pelas crianças durante as brincadeiras

A escrita e re-escrita das regras, por sua vez, favoreceu a ampliação da

compreensão das crianças sobre o uso da linguagem escrita e também sobre a

importância de estabelecer regras para o brincar, de modo a compartilhar o pensamento,

fazer acordos e tomar decisões coletivas. A discussão e escrita das regras fizeram com

que o grupo desenvolvesse a capacidade de diálogo e argumentação, melhorando,

consideravelmente as disputas por brinquedos e o respeito às opiniões divergentes.

O uso do desenho, como última etapa de cada uma das brincadeiras possibilitou

analisar o desenvolvimento dos conceitos matemáticos envolvidos nas brincadeiras,

como a ocupação e uso do espaço, a sua representação plana, a utilização dos números

para indicar a quantidade de jogadores em cada equipe, entre outros. Professoras de

Educação Infantil podem aproveitar o interesse das crianças pelo desenho e propor

formas de registro deste brincar, de modo a lhes proporcionar momentos de reflexão e

assimilação dos conteúdos usados e explorados durante a brincadeira. Pelo desenho foi

possível perceber as crianças se aprimorando em relação aos registros gráficos e em

atividades que não estavam relacionadas à pesquisa, como, por exemplo, o domínio do

corpo, pois conseguiam se movimentar sem trombar ou atropelar outras crianças.

O diálogo sobre cada uma das brincadeiras propostas foi de grande valor no

trabalho com as crianças, para o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático e a

�� L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

13


sistematização de algumas noções matemáticas, indo ao encontro do que coloca

Lorenzato (2006, p. 90):

É importante que o professor tenha sempre em vista que a atividade em si não garante a aprendizagem significativa. Por isso é fundamental que, após cada atividade, o professor facilite a conversa entre as crianças sobre o que fizeram e o que descobriram.

Um ponto que merece ser destacado no estudo e na proposta construtivista é a

intencionalidade das educadoras. No início as crianças brincaram com regras que

criaram e este poderia ser visto como um momento de brincadeira livre. No entanto, se

o brincar é livre para as crianças, para as professoras devem estar claros os objetivos do

brincar, o que repercute na seleção das brincadeiras e na forma de propor seu

desenvolvimento; repercute, também, na forma como vêem o ensino e o seu papel junto

às crianças e na proposição das atividades escolares. Especialmente possibilita lançar

aos jogos e brincadeiras um novo olhar, mais desafiador, transformando-os de fato em

estratégias educativas para ensinar matemática (e não apenas matemática).

Assim, utilizando as brincadeiras, as crianças aprendem matemática e se

desenvolvem em diferentes aspectos e as professoras passam a ser ao mesmo tempo

aprendizes, porque aprendem a olhar sua própria prática com criticidade, aceitando,

assim como as crianças, as suas limitações, mas não se curvando diante delas. Associar

teoria e prática permite que cada nova dificuldade traga o desafio de buscar formas de

encará-la, buscando na teoria o suporte necessário. Para a formação de professores de

educação infantil, essas são questões a considerar.

Referências

BOGDAN, R.; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação. Uma introdução à teoria e aos métodos. Porto (Portugal), Porto, 1994.

BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil, (volumes 1, 2 e 3). Brasília: MEC/SEF, 1998.

FONTANA, R. Psicológica e trabalho pedagógico. São Paulo: Atual, 1997.

�� L. C e TANCREDI, R. M. P. T. Brincar e fazer matemática: uma experiência na educação infantil. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

KAMII, C.; DEVRIES, R. Jogos em grupo na educação infantil-implicações da teoria de Piaget. São Paulo: Trajetória cultural, 1991.

KAMII, C. A criança e o número: implicações educacionais da teoria de Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. 31a edição - Campinas, SP: Papirus, 2003.

LORENZATO, S. Educação infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).

PIAGET, J. Seis estudos de psicologia. 24a ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2005.

SMOLE, K. A matemática na educação infantil. A teoria das inteligências múltiplas na prática escolar. Porto Alegre: Artmed Editora, 2000.

�� ¡¢¡£¤� ¥ ¦§¨ ¡©£ª ª£«¥ª¡£¤£ª ¤� ¥¤ª¡¤o de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 5: Filosofia e História

COTIDIANO E PRATICAS SALESIANAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA

ENTRE 1885 E 1929 NO COLÉGIO LICEU CORAÇÃO DE JESUS DE SÃO

PAULO: CONSTRUINDO UMA HISTÓRIA

Andréia DALCIN – UNICAMP/UNEMAT ([email protected]¬

Resumo: O presente artigo tem por objetivo divulgar a Tese de doutoramento “Cotidiano e praticas salesianas no Ensino de Matemática entre 1885 e 1929 no colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história” defendidana FE/UNICAMP sob orientação da Dra. Maria Ângela Miorim em junho de 2008. Investigar o ensino de matemática por meio do estudo das práticas e do cotidiano da escola salesiana Liceu Coração de Jesus em São Paulo, entre 1885 e 1929, foi o objetivo desta pesquisa. Apóia-se em fontes históricas escritas e iconográficas, recolhidas a partir de pesquisas em arquivos escolares, centros de documentação histórica e bibliotecas. No cruzamento dessas fontes, buscou-se construir uma história tendo presente os pressupostos teóricos de Michel de Certeau, Dominique Juliá e André Chervel, dentre outros autores da História Cultural e também da História da Educação e da Educação Matemática no Brasil. Essa história é uma dentre as possíveis. É, principalmente, um exercício de escrita e de reflexão sobre um passado não vivido, mas cuja investigação permite que se (re) construam elementos importantes para a compreensão do desenvolvimento do ensino de matemática no Brasil, por meio de uma instituição católica de ensino, que teve um papel de destaque no cenário brasileiro no período de transição entre o Império e a República. Verificou-se que o ensino de matemática passou por significativas mudanças nesse período, tanto em termos quantitativos como em relação aos objetivos e aos conteúdos ensinados, em conseqüência, dentre outros fatores, da passagem no interior da instituição de um ensino essencialmente profissionalizante para um ensino propedêutico, fruto das reformas educacionais da época e das relações sócio-cultural-econômicas entre Estado, Igreja e sociedade.

Palavras-chave: Ensino, Matemática, Salesianos, Educação, História.

O presente artigo tem por objetivo apresentar a Tese de doutoramento “Cotidiano

e praticas salesianas no ensino de matemática entre 1885 e 1929 no colégio Liceu

Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história” defendida na

FE/UNICAMP sob orientação da Dra. Maria Ângela Miorim em junho de 2008. A

problemática da pesquisa foi definida como a busca por conhecer como se desenvolveu

®¯°±²³ ®´ °µ¶·¸·¹ºµ » ¼½¾¶·¿¹À À¹Á»À·¹º¹À ºµ »ºÀ·ºo de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

2

do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

o ensino da matemática no interior da escola Liceu Coração de Jesus de São Paulo nos

seus primeiros 44 anos, com a perspectiva de compreender as relações sociais,

culturais e principalmente as práticas cotidianas escolares, os modos de fazer, que

caracterizariam tal instituição. Tal problemática trouxe à tona questões subjacentes que

auxiliaram no esclarecimento da questão principal, dentre elas: quais mudanças e

permanências podem ser identificadas ao logo do tempo estudado nas práticas

educativas da instituição? De que modo o ensino de matemática está inserido no

cotidiano dos meninos e dos professores que lá estudaram e atuaram? Como se dava tal

ensino, tendo presente um contexto mais amplo que envolve elementos socioculturais,

religiosos e educacionais do período estudado, particularmente considerando-se: o estilo

salesiano, as reformas educacionais mais abrangentes, os livros didáticos de matemática

e os programas oficiais de ensino? Além disso, que estratégias e táticas, numa

concepção certeauniana, é possível identificar nas relações entre professores, padres e

alunos, Santa Sé e Estado, considerando a declarada concepção salesiana de homem, de

mundo e de educação?

O intervalo da pesquisa, 1885 a 1929, é marcado pela fundação e legitimação da

escola na capital paulista. É também, o período de ascensão, apogeu e decadência do

ensino profissionalizante, sua principal referência na época. Limitar a pesquisa ao ano

de 1929 foi uma escolha que pode ser justificada pelos seguintes aspectos: a) o ano de

1929 economicamente deixou marcas para a economia brasileira que vê o café, seu

principal produto de exportação, apodrecer nos silos por falta de compradores e a preços

irrisórios, como uma das conseqüências da “crise de 1929” que assola o mundo e coloca

o sistema capitalista em xeque. Tal crise acaba por encerrar um período significativo

particularmente para a cidade de São Paulo, local onde se configura a pesquisa; b) os

anos subseqüentes a 1929 sofrerão mudanças educacionais significativas com a

Reforma Francisco Campos (1931), que buscará, entre outras coisas, redirecionar o

ensino de matemática, dando-lhe visibilidade por meio da institucionalização da

disciplina Matemática, em oposição à fragmentação em suas grandes áreas: aritmética,

geometria, álgebra e trigonometria. No Brasil, existem poucas pesquisas que investigam

o ensino das matemáticas em instituições que antecedem o nascimento da Matemática

como disciplina escolar, e as informações obtidas em muitos casos simplificam em

demasia esse processo.

ÂÃÄÅÆÇÈ ÃÉ ÅÊËÌÍÌÎÏÊ Ð ÑÒÓËÌÔÎÕ ÕÎÖÐÕÌÎÏÎÕ ÏÊ ÐÏÕÌÏo de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

3


Nessa perspectiva, a pesquisa foi desenvolvida com o aporte teórico de autores

que se situam no que chamamos de História Cultural, entre os quais me detive a seguir

os passos de Michel de Certeau e sua concepção de História, historiador, prática e

cotidiano. Mais especificamente, com relação à Cultura Escolar e à disciplina de

Matemática, o referencial utilizado foi Dominique Juliá e André Chervel. Roger

Chartier, Anne Marie Chartier, Marco Antônio Pratta e Riolando Azzi também foram

considerados e auxiliaram particularmente no entendimento da relação entre Igreja e

Educação. Peter Burke contribuiu, entre outros, para o tratamento metodológico das

imagens iconográficas como fontes históricas. Em Justino Magalhães busquei elementos

sobre o fazer História das Instituições. Além desses, foram vários os pesquisadores

brasileiros consultados nas áreas de educação matemática e de história da educação e

que vêm citados ao longo do texto. A historiografia salesiana também foi amplamente

utilizada. Foram examinados textos da época quer em português, quer em italiano.

Investigar as práticas escolares no cotidiano de uma instituição escolar como o

Liceu Coração de Jesus constitui-se num desafio, na medida em que temos uma série de

dificuldades de diferentes naturezas, tanto teórico-metodológicas como de acesso a

documentos e constituição de fontes. A distância temporal inviabiliza o relato oral de

pessoas que viveram o período estudado, a escassez de documentos impressos ou,

quando existem, exigem um árduo trabalho de levantamento, arquivamento e análise. A

busca por um referencial teórico e metodológico desencadeia um processo reflexivo e

flexível no sentido de ser necessário trafegar por diferentes áreas do conhecimento,

Matemática, Educação, História, Sociologia, Antropologia, Filosofia..., e mesmo dentro

de uma determinada área como a História, por exemplo, articular elementos de

diferentes tendências. A necessidade de uma interdisciplinaridade de teorias e de

métodos é inevitável, uma vez que no campo da História da Educação Matemática

estudos sobre as instituições escolares brasileiras ainda são poucos.

No diálogo com Certeau, Roger Chartier, Dominique Juliá e André Chervel é que

construí uma forma particular de “olhar” o passado do Liceu Coração de Jesus e do

ensino de Matemática ali produzido, de modo a torná-lo uma escrita histórica. Busquei

ao longo de todo o processo de investigação, constituição e análise das fontes e do texto,

nas entrelinhas, o que está e não está escrito, “do dizível” e “não dizível” nos livros e

documentos oficiais que revelam esboços de realidades possíveis.

×ØÙÚÛÜÝ ØÞ Úßàáâáãäß å æçèàáéãê êãëåêáãäãê äß åäêáäo de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

4


As fontes escritas constituídas ao longo da investigação formam um acervo

considerável de documentos dos mais variados gêneros: livros de Crônicas do colégio;

recortes de jornais da época; livros de atas da igreja do Sagrado Coração de Jesus; livros

de contratação de professores e de funcionários; boletins de notas dos alunos; diplomas;

livro de matrículas; circulares internas; exemplares impressos e digitalizados do

Bolettino Salesianno (italiano) e Boletim Salesiano (edição brasileira); exemplares das

revistas: Santa Cruz, Leituras Católicas, Dom Bosco, dentre outras; livros de diferentes

naturezas: didáticos, religiosos, vidas de santos, biografias de Dom Bosco; literatura;

anotações e produções não publicadas, bem como ensaios de padres salesianos; anuários

do colégio produzidos a partir de 1915, além dos documentos oficiais, a exemplo de

regulamentos das casas salesianas, planos de ensino, documentos oficiais da

Congregação e escritos de Dom Bosco e da Igreja Católica.

Todavia, a utilização somente de documentos escritos ou mesmo a ausência

desses, deixa em aberto lacunas e questionamentos que somente podem ser analisados

por meio de fontes de outra natureza. Nesse sentido, as imagens iconográficas

constituem-se em fontes significativas que auxiliam no processo de diferentes

interpretações e de possibilidades de diálogo com o passado. Uma (re) construção

histórica é um processo que articula elementos objetivos subjetivos, uma prática

interpretativa que resulta em verdades subjetivas relativas.

As fontes iconográficas podem revelar informações não ditas no texto escrito.

Auxiliam no processo de (re)construção da memória e trazem à tona problemáticas não

pensadas, discursos camuflados e práticas não oficiais. No entanto, é importante

ressaltar que a fonte iconográfica não se esgota em si mesma, isto é,

[...] há sempre muito mais a ser apreendido, além daquilo que é, nela, dado a ler ou a ver. Para o pesquisador da imagem é necessário ir além da dimensão mais visível e explícita dela. Há, como já disse antes, lacunas, silêncios e códigos que precisam ser decifrados, identificados e compreendidos. Nessa perspectiva, a imagem é uma espécie de ponte entre a realidade retratada e outras realidades, e outros assuntos, seja no passado, seja no presente. (PAIVA, 2002, p. 19).

É necessário enfatizar que as imagens iconográficas nesse contexto são tomadas

como registros históricos e não mais como apêndices do texto, ou função figurativa que

serve para deixar o texto mais atrativo, embora em alguns momentos também possa se

fazer uso de iconografias nessa perspectiva. Em suma, as imagens iconográficas abrem

ìíîïðñò íó ïôõö÷öøùô ú ûüýõöþøÿ ÿøDúÿöøùøÿ ùô úùÿöùo de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

5


para o historiador diferentes possibilidades de olhar e de interpretar o passado. Segundo

Burke (2004, p. 17), “as imagens assim como textos e testemunhos orais, constituem-se

numa forma importante de evidência histórica. Elas registram atos de testemunho

ocular”. No caso desta pesquisa, as fotografias, dentre os tipos de imagens

iconográficas, são aquelas que mais contribuíram para a compreensão do cotidiano

escolar, dos modos de ser e de viver dos alunos, dos padres e dos professores que

habitaram no Liceu Coração de Jesus.

Diante do exposto, buscou-se oferecer ao leitor no texto da Tese defendida, a

experiência de uma narrativa que (re)construa os primeiros anos de existência do Liceu

Coração de Jesus, uma instituição educativa com práticas culturais em muitos aspectos

diferenciadas de outras instituições daquele período ou atuais. Uma escola de meninos

dirigida por homens, onde a presença feminina é reduzida e sistematicamente ignorada

em textos oficiais, fotografias, revistas e outros documentos. Mulheres não habitam esse

mundo. Algumas são colaboradoras externas. Geralmente viúvas, contribuem

financeiramente para o andamento da obra, buscando as bênçãos dos céus por meio de

ações de caridade terrenas. Outras são alunas de escolas salesianas femininas, que

participam dos raros momentos de integração em datas festivas.

O período que marca a passagem do regime monárquico para o republicano

caracteriza-se por mudanças político-econômicas e principalmente sociais, que embora

não tenham de fato, num primeiro momento, rompido com as antigas relações de poder,

lançaram fagulhas que se revelariam ao longo do século XX. Seis anos antes do início

da República, mais precisamente em 1883, os primeiros padres salesianos chegam ao

Brasil. A vinda da Congregação Salesiana ao Brasil e a outros países fazia parte de um

amplo projeto da Cúria Romana para propagar e fortalecer o cristianismo ultramontano,

que tinha como proposta central a subordinação de toda a Igreja Católica à Santa Sé.

Muitos interesses estavam em jogo e favoreceram a instalação da congregação salesiana

no Brasil. A Cúria Romana interessada em conter a expansão protestante e promover a

reforma Católica; a Coroa Brasileira e, posteriormente os republicanos, envoltos com o

processo “civilizatório” e com a manutenção de uma classe dirigente; os bispos

romanizados brasileiros buscando impor o projeto da Santa Sé. Para Dom Bosco,

fundador da ordem salesiana, e seus seguidores, a vinda para o Brasil representava a

expansão de suas obras pela América Latina e a implantação do projeto da Santa Sé.

�� o de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

6


Os salesianos atuaram inicialmente em quatro frentes: as escolas profissionais; as

escolas de primário, ginásio, secundário e preparatório; as escolas agrícolas e o

trabalho missionário de “evangelização” dos índios do Estado de Mato Grosso.

Trazem princípios religiosos filosóficos e pedagógicos que acabariam até os dias de

hoje por contribuir para a formação de muitos jovens, de modo especial defendem o que

denominavam “Sistema Preventivo”, uma metodologia de ação educativa desenvolvida

pelo fundador da congregação, Dom Bosco, em um cenário político, religioso e social

complexo, em meados do século XIX.

O Sistema Preventivo de Dom Bosco, fundamentado no tripé “razão, religião e

amorevolezza”, gera uma série de práticas educativas que o caracterizam e o

singularizam, constituindo o que os salesianos denominam “o estilo salesiano”. Tais

práticas seriam: o Oratório Festivo, as festas, o teatro educativo, a música e o canto

educativo, os passeios e excursões, as premiações, as atividades físicas e o “boa

noite”. Tais práticas estiveram presentes no cotidiano dos alunos do Liceu Coração de

Jesus assim como de outras escalas salesianas da época. O oratório festivo merece

destaque, pois constituiu-se na primeira prática em ordem cronológica e em importância

da ação religiosa, social e educativa de Dom Bosco.

No Brasil, a prática dos Oratórios seguiu inicialmente os padrões italianos.

Segundo um “Prospecto do Lyceu de Artes e Officios do Sagrado Coração”,

provavelmente escrito entre 1895 e 1901, anunciando a criação do Oratório Festivo, o

principal objetivo dos Salesianos era o de “recolher os meninos nos domingos e dias

santos, para instruí-los nas verdades da fé e afastá-los dos perigos espirituais e

corpóreos”. Com a intenção de esclarecer e de atrair os freqüentadores, esse anúncio

mencionava que nos “jardins de recreio com o nome de Oratório Festivo”, os meninos

encontrarão “muitíssimos brinquedos”, assistirão a “pequenas representações teatrais” e,

“se tiverem bom comportamento, receberão Bons pontos particulares para uma rifa que

se fará de três em três meses”. Além disso, seria ensinada música vocal, e quando

possível seria criada uma banda instrumental. Outra participação possível era na

“Companhia Recreativa”, a ser formada por “meninos e moços inteligentes”, os quais

aprenderiam declamação, “proporcionando-lhes todo o necessário, para representar no

teatro do Lyceu”. Nos primeiros anos do Liceu Coração de Jesus, o Oratório Festivo

chamava a atenção da população paulistana. “O pátio, onde se reuniam os meninos,

�� !"� # $%&��'!( (!)#(�!"!( "� #"(�"o de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

7


cheio de buracos e de formigas, era meio devassado. Muitos curiosos passavam pelas

ruas laterais, mal esboçadas, e olhavam com estranheza aquela novidade: padres a

brincar com moleques.” (SANTOS, 2000, p. 224).

Durante os primeiros anos de funcionamento, o Liceu Coração de Jesus ofereceu

cursos relacionados ao ensino “preliminar, profissional e ginasial” em regime de

internato e de externato. Em 1916, a escola contemplaria também alunos em regime de

semi-internato. Naqueles primeiros anos, o Liceu pretendia seguir o modelo de internato

Italiano da escola de Valdoco, localizada em Turim na região do Piemonte. Entretanto,

as diferenças climáticas e culturais levariam os alunos da escola de Niterói no Rio de

Janeiro a adoecer; isso teria levado a congregação a organizar um horário que

respeitasse as condições climáticas brasileiras, o que foi adotado em São Paulo.

Cada período de aulas não deveria durar mais do que 45 minutos, de preferência

30. As aulas eram intercaladas com horários de recreio e de estudos. Acorda-se cedo e

dorme-se cedo. Como aponta Escolano (2000), o controle do tempo escolar organizado

em espaços curtos de tempo, ritmados e repetitivos constitui-se em mecanismos de

controle, ordenados conforme instâncias de poder nem sempre visíveis. Esse modelo

característico da Igreja, bem como de outras instituições, a exemplo da militar e da

penitenciária, configura uma ordem escolar uniforme e rígida que induz a

comportamentos disciplinados e a inércia sob o ponto de vista político. Não existe

espaço para inovações ou flexibilidade de horários.

Mesmo os momentos de suposta “quebra de rotina”, como as quintas-feiras,

segue-se uma determinada seqüência de ações e de regras de conduta. As quintas-feiras

eram dias “especiais” em que aconteciam os passeios para os alunos internos e

atividades diferenciadas como cinema, teatro, jogos para os externos e semi-internos

A vigilância, entendida pelos salesianos como presença, que tinha o objetivo de

“pôr os alunos na impossibilidade de cometer faltas”, era um elemento central dessas

práticas. Tais práticas com menor ou maior intensidade visavam, em síntese, garantir a

concretização do sistema preventivo de Dom Bosco. Constituem-se em um conjunto de

modos de fazer e de pensar a educação salesiana. Tais práticas, todavia, são reguladas

por uma série de regras de diferentes naturezas: morais, sociais, religiosas e mesmo

intelectuais. Regras que direcionam ações e pensamentos, que regulam a vida e

*+,-./0 +1 -23454672 8 9:;34<6= =6>8=4676= 72 87=47o de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

8


principalmente o tempo escolar. Regras que acabam sendo incorporadas ao modo de

ensinar matemática tanto na Itália como no Brasil.

O ensino de matemática desenvolvido por Dom Bosco na Itália de meados do

século XVIII e, posteriormente, por seus seguidores, nas escolas salesianas tanto da

Itália como do Brasil ao longo dos trinta primeiros anos, caracteriza-se como um ensino

essencialmente instrumental e prático no sentido de aplicável, sem ser pragmático sob a

perspectiva filosófica. Nesse sentido, a matemática é entendida como uma ferramenta

necessária para o aprendizado de determinados ofícios e para a resolução de alguns

cálculos simples que possam aparecer no cotidiano seja nas operações com dinheiro,

com medidas de comprimento, de superfície e de volume e respectivas conversões.

Nessa perspectiva, a metodologia utilizada é da repetição, visando à memorização

com a introdução de alguns elementos de ordem afetiva e lúdica. O ensino salesiano

aproxima-se do ensino dos jesuítas, lassalistas e de outras ordens religiosas, pois todas

têm em síntese o mesmo objetivo final: formar “bons cristão e honestos cidadãos”. Todo

e qualquer conteúdo, seja ele de natureza humanística ou “exata”, deve de alguma forma

propiciar a elevação do espírito, no sentido de buscar a santidade em sua plenitude e

concretude por meio da moralidade nas ações e nos pensamentos, seguindo os

fundamentos da Igreja Católica de Roma.

Diante da opção por um ensino profissionalizante que exige o aprendizado do

ofício, os conhecimentos matemáticos da aritmética elementar e da geometria básica são

simplesmente necessários. Aprendem-se as matemáticas como “modos de fazer”

determinadas operações necessárias, para que se desenvolvam certas habilidades

exigidas para o exercício do ofício que se está aprendendo. Nesse contexto imediato,

não se torna imprescindível a percepção da estrutura interna dessa ciência ou mesmo de

sua complexidade em termos de linguagem. Mesmo a percepção estética, que possa ser

desenvolvida por meio da geometria elementar e incorporada ao curso de desenho, é

tida como uma ferramenta para o desenvolvimento das atividades de alfaiate,

marceneiro, carpinteiro etc. Não existe uma relação com a arte ou com a geometria

axiomática de Euclides.

Dom Bosco teve acesso à literatura matemática, principalmente aos escritos dos

matemáticos jesuítas, a exemplo de Chritoph Clauvius. No entanto, suas atenções

concentraram-se no aprendizado e ensino de uma matemática mais elementar que

?@ABCEF @G BHIJKJLMH N OPQIJRLS SLTNSJLMLS MH NMSJMo de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

9


atendesse às necessidades específicas de uma população que busca o ensino

profissionalizante como uma forma de sobrevivência e de ascensão social.

Dom Bosco atuou também como professor de matemática em escolas noturnas e

dominicais na Itália nos anos 40 do século XVIII e utilizava de narrativas, de cantos e

de peças teatrais como recursos didáticos e metodológicos, além de uma constante

preocupação com um ensino sistemático e disciplinado. Foi autor de alguns livros

didáticos dentre eles o “Sistema Métrico Decimal de Dom Bosco”, escrito em 1849, em

um momento em que a Itália passa a adotar o novo sistema de pesos e medidas.

Tal modo de perceber o ensino de matemática chega ao Brasil. Na bagagem, os

padres salesianos trazem livros didáticos italianos e franceses que auxiliariam na tarefa

de educar humana e profissionalmente os meninos pobres e órfãos que aqui

encontrariam.

Em síntese, o ensino de matemática desenvolvido no Liceu Coração de Jesus entre

1885 e 1929 passa por um momento de transição de um ensino essencialmente

pragmático, no sentido de aplicado às necessidades dos cursos profissionalizantes, para

um ensino propedêutico ao longo principalmente da segunda década do século XX.

De um ensino que tinha o claro objetivo de desenvolver um instrumental nas áreas

de aritmética e de geometria para o aprendizado do ofício, passa-se para um ensino

generalista e pautado no modelo clássico tradicional que via a matemática fragmentada

em Aritmética, Geometria, Álgebra e Trigonometria. A articulação das áreas, embora

anunciada no texto do anuário de 1915, nunca aconteceu ao longo do período estudado.

A relevância do ensino da matemática no universo da escola salesiana Liceu

Coração de Jesus é inquestionável e foi possível identificar-se dois momentos que se

cruzam e caracterizam o ensino da matemática na instituição.

O primeiro momento caracteriza-se pela predominância do ensino profissional. O

ensino da matemática é entendido como necessário para a aprendizagem do ofício, e

ensina-se o que de fato será aplicado no exercício da profissão. Era condição necessária

para o ingresso nos cursos ferramentais básicos de cálculo das operações fundamentais

da aritmética, em geral o ensino profissional era desenvolvido paralelamente ao ensino

primário. Identifica-se uma preocupação que desvincula prática e teoria principalmente

no ensino profissionalizante. A organização dos cursos em dois eixos distintos: teórico

(literário) e prático (técnico) reforça essa idéia. Na prática, nas oficinas se usam técnicas

UVWXYZ[ V\ X]^_`_ab] c def^_gah haich_abah b] cbh_bo de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

10


de cálculo aplicadas a situações reais, próprias de cada ofício, e nas aulas teóricas, a

matemática predominante é a axiomática.

O segundo momento, o que não implica o término do primeiro para se iniciar, ou

seja, trata-se de um processo lento e sobreposto, configura-se com a ascensão do ensino

secundário que conquista espaço privilegiado no Liceu Coração de Jesus. O ensino de

matemática nesse contexto assume um caráter menos aplicado e mais generalista,

atendendo a uma exigência implícita dos exames de preparatórios. Os exames

preparatórios, que começam a vigorar a partir de 1915 com a Lei Maximiliano,

aconteciam ao final do ano no Ginásio do Estado, também conhecido como Ginásio da

Capital do Estado de São Paulo, criado em 1894. Esse estabelecimento seria responsável

pela elaboração e avaliação de provas escritas e orais, seguindo os programas oficiais

definidos pelo Colégio Pedro II do Rio de Janeiro, para os que concluíssem o curso

ginasial nas escolas de São Paulo. Comporiam as provas os conteúdos das disciplinas:

Português, Geografia, Aritmética, Álgebra, Francês, História Universal, História do

Brasil, Inglês, Geometria e Trigonometria (um exame só), Latim, Física, Química e

História Natural.

Os alunos do Liceu parecem ter obtido ao longo do período estudado um bom

desempenho em tais exames, em parte devido a preocupação que se tinha em preparar

os alunos para as avaliações que continuariam acontecendo até a Reforma de 1925

exclusivamente no Ginásio da Capital do Estado de São Paulo, estando o Liceu sempre

representado. Um cuidado especial era dado aos alunos que iam prestar os exames.

Esses alunos, após o encerramento do ano letivo, ficavam hospedados na Chácara dos

Salesianos, sem acréscimo de despesas.

[...] na chácara, num regime de meias-férias, num ambiente de família, clima salubérrimo, alimentação sadia, abundante e particularmente esmerada, aulas de repetição diárias de cada uma das matérias de exame, horas de estudo determinadas em um horário tal que, dando todo tempo necessário ao estudo, permita expansão e recreio, compensadora, com vantagem, desse trabalho – constitui um regimento verdadeiramente ideal. (ANUÁRIO 1921, p. 13)

A partir de 1925, esses exames passaram a ocorrer nas próprias escolas, na

presença de uma banca julgadora, que avaliava os exames de promoção ano a ano no

curso ginasial. Os anuários de 1925 e 1926 não trazem os nomes dos avaliadores dos

exames seriados. A banca de 1927 foi presidida pelo Dr. Cincinnato Ferreira Chave. Em

jklmnop kq mrstutvwr x yz{st|v} }v~x}tvwv} wr xw}two de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

11


1928, a banca foi composta pelo Prof. Candido Gomide, Capitão Arthur de Azevedo

O’Reilly e Sr. Álvaro Pompéia Filho. Em 1929, a banca foi formada pelo Major

Walfrido Souza Reis (presidente), Drs. Jacomo Stávale e Antônio Ildefonso Júnior.

O ensino secundário passa a ganhar cada vez mais espaço no Liceu e nas demais

escolas brasileiras. O discurso publicado no anuário de 1928, proferido pelo médico

oftalmologista Dr. João Paulo da Cruz Britto, paraninfo da turma de bacharéis de 1928,

cuja festa de formatura foi realizada no dia 15 de novembro de 1928, enfatiza e

esclarece o papel do ensino secundário nesse período da historia da educação brasileira:

“o ensino secundário é tão necessário ao superior como o primário ao secundário e,

ainda, a todo homem ou mulher, que aspire a uma posição social pelo menos média”

(ANUÁRIO, 1928, p. 133).

Diante disso, o ensino de matemática é ao mesmo tempo necessário para o

desenvolvimento de um conhecimento técnico em especial para as populações mais

pobres e também objeto de interesse da burguesia paulistana e brasileira que vê na

educação formal uma estratégia de ascensão social e mantença de poder nas diferentes

esferas da sociedade. Além disso, o ensino de matemática é entendido não somente

como instrumento para a compreensão de outras ciências, mas também como uma

metodologia que desenvolveria um pensamento pautado nos princípios da lógica e da

racionalidade. Tal discurso também revela a crença de que o exercício de pensar com as

ferramentas da lógica poderia ser transposto para situações da vida, em problemas de

outra natureza que envolveria inclusive julgamento de valores morais, políticos e

sociais. Em tal discurso evidencia-se a presença de uma concepção de matemática a-

histórica, descontextualizada e pautada em regras lógicas que precisariam ser

compreendidas, porém jamais questionadas. Para que esse aprendizado ocorra, é

necessária a “disciplina da razão” (ANUÁRIO 1929, p. 135). Tais concepções a respeito

da Matemática e seu ensino permearam as práticas culturais e pedagógicas no interior

do Liceu Coração de Jesus ao longo da década de 20.

Nos primeiros tempos do Liceu Coração de Jesus, os professores eram todos

religiosos, Padres ou Irmãos salesianos. A formação matemática desses membros da

Congregação Salesiana era aquela obtida em sua formação religiosa: domínio de

cálculos básicos de aritmética e de geometria. Alguns desses padres, no entanto, tinham

um interesse pessoal pelo estudo das matemáticas. Um deles, Dom Henrique Mourão,

�� o de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anais

12


que foi diretor do Liceu (1915-1921), tinha formação em Ciências e Matemática. Já a

partir da década de 20 a presença de professores leigos já se faz presente em quantidade

significativa. Com a análise do livro de registro dos professores do Liceu Coração de

Jesus identifiquei a existência de professores estrangeiros – italianos (provenientes de

Roma, Alexandria, Atri, Bergamo, Consenza), um professor vindo da Síria, quatro de

Portugal (Coimbra, Conselho de Macedo Carvalho, Chaves), além de brasileiros

nascidos em diferentes estados: Goiás, Rio Grande do Sul, embora a maioria fosse do

Estado de São Paulo. Esse registro oficial dos professores, no entanto, foi feito somente

a partir de 1943, em cumprimento a uma exigência Legal, Decreto Lei Federal de 22 de

fevereiro de 1940. Essa exigência não se referia apenas aos professores contratados a

partir da publicação da Lei, mas a todos os professores em exercício na escola. Dessas,

todos os professores contratados anteriormente a essa data, tiveram seu registro

efetuado.

Dentre os professores que lecionaram matemática no Liceu Carlos Callioli é o que

aparece mais vezes mencionado nos anuários, tendo participação em várias bancas de

avaliações nos exames de preparatórios do Liceu. Caliolli também teve uma projeção

no cenário nacional, particularmente por meio da publicação, em co-autoria com

Nicolau D’ Ambrosio, de uma coleção de “três volumes de Matemática para o curso

propedêutico. Esses volumes integram a Coleção de Livros Didáticos publicada pela

Companhia Editora Nacional, denominada Coleção Dom Bosco, dirigida aos cursos

propedêuticos e às escolas de comércio.” (MIORIM, 2006, p. 19). É bom lembrar que

Nicolau D’Ambrósio, pai de Ubiratan D’ Ambrósio, foi aluno do Liceu ao longo do

período estudado tendo sido um dos formandos da primeira turma de Bacharéis em

Ciências e Letras em 1925 e retornou atuando como professor nas décadas de 30 e 40.

Por fim, organização, controle rígido do tempo e do espaço escolar, asseio,

oração, pátio, estudo e trabalho são palavras que auxiliam a caracterizar o Liceu

Coração de Jesus ao longo de seus primeiros 44 anos de existência. O Liceu Coração de

Jesus, de certa forma, atendeu à missão que lhe foi atribuída por ocasião da chegada dos

salesianos ao Brasil. O trabalho assistencialista e de evangelização expandiu-se, e a

ordem religiosa atendeu as expectativas tanto do governo local como da Igreja Católica

Romana. O colégio tornou-se uma referência e chegou a acolher cerca de 2000 alunos

�� ¡� ¢ £¤¥��¦ § § ¨¢§� ¡ § ¡� ¢¡§�¡o de Matemática entre 1885 e 1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

13

em 1929, acompanhando o crescimento do bairro e da cidade de São Paulo, todavia os

anos posteriores alternarão momentos de apogeu e declínio.

Referências

ANUARIO DO LICEU CORAÇÃO DE JESUS de 1928. São Paulo: Inspetoria Salesiana de São Paulo/SP.

ANUARIO DO LICEU CORAÇÃO DE JESUS de 1929. São Paulo: Inspetoria Salesiana de São Paulo/SP.

BURKE, Peter. Testemunha Ocular: história e imagem. Bauru, SP: EDUSC, 2004.

CERTEAU, Michel de. A Escrita da História. 2ª ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2002.

DALCIN, Andréia. Cotidiano e práticas salesianas no ensino de matemática entre 1885-1929 no Colégio Liceu Coração de Jesus de São Paulo: construindo uma história. Tese (Doutorado em Educação: Educação Matemática). Universidade Estadual de Campinas. Campinas: 2008.

ESCOLANO BENITO, Agustín. Tiempos y espacios para la escuela: ensayos históricos. Espanha, Madrid: Biblioteca Nueva, 2000.

MIORIM. M. A. Biblioteca Pedagógica Brasileira da Companhia Editora Nacional e o ensino de matemática: livros, autores e estratégias editoriais. Horizontes, v.24, n.1, jan./jun./2006, p. 9-21.

PAIVA, Eduardo França. A iconografia na História – indagações preliminares. In: PAIVA, Eduardo França. História & Imagens. Belo Horizonte: Autêntica, 2002, p. 17-35.

SANTOS, Manoel Isaú Souza Ponciano. Luz e Sombras: internatos no Brasil. São Paulo: Ed. Salesiana Dom Bosco, 2000.

©ª«¬®¯°±² H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)


CURRÍCULO DE MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA:

ALGUMAS CONCEPÇÕES E PRÁTICAS

Ms. Harryson Júnio Lessa GONÇALVES – PUC/SP ([email protected]³

Resumo:Neste trabalho objetivo analisar algumas concepções apontadas por professoras referentes ao currículo de matemática gerado a partir das discussões de um grupo sobre o ensino de noções estocásticas. Para tanto, me utilizo da abordagem qualitativa de pesquisa pela oportunidade de acesso às várias dimensões do objeto, inclusive a algumas dimensões inacessíveis pela abordagem quantitativa, em que desenvolvo a metodologia a partir de dois momentos de coleta de dados: Primeiro Momento - observação da prática de uma professora e Segundo Momento - constituição de um grupo de pesquisa. Como resultado, percebo algumas construções tradicionais referentes ao ensino da estocástica, assim como a possibilidade de um processo de formação continuada de professores para desconstrução de algumas práticas e concepções, somente por meio desta formação centrada na experiência cotidiana destes professores é que poderíamos construir ações pedagógicas inseridas em uma perspectiva curricular em rede e, assim, coerentes com o ensino de noções estocásticas. Ensinar estes conceitos na escola requer do professor consciência da importância destes temas para o sujeito hoje, em que a sua relação com o mundo supera a sua própria capacidade de lidar com as certezas, transcendendo, assim, para o âmbito das incertezas, o que exige uma percepção do acaso.

Palavras-chave: Educação Matemática, Currículo, Educação Estatística.

Os mundos natural e sociocultural são repletos de fenômenos e práticas dadas ao acaso

– a própria natureza da existência humana está mergulhada num quadro de incertezas e

contradições. Reflexões amplas, considerando essas incertezas, tornam-se uma exigência à

atual matemática escolar, principalmente tendo em vista o comprometimento dessa com a

constituição do cidadão crítico. É necessário que estudantes e professores tenham clareza de

que os modelos deterministas não podem ser aplicados a todas as situações.

Com base no Novo Aurélio Século XXI – dicionário da língua portuguesa

(HOLANDA, 2002) –, o termo estocástico, com mesma origem da palavra estoque, deriva-se

do grego stochastikós. Assim, possui um duplo sentido no termo: o primeiro refere-se a

“cravar com a ponta da espada”, – tendo sua gênese na fusão do francês antigo estochier,

estoquier, “dar estocadas”, “cravar”, com o neerlandês stôken, “cravar” –; o segundo sentido

´µ¶·¸¹º»¼½ H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

2

EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

origina-se do inglês stock, referindo-se a questão da armazenagem, guardar algo prevendo o

futuro. Nos remetendo assim a idéia tanto de estatística, quanto de probabilidade.

Para Francisco Borba (2002), em seu Dicionário de Uso do Português do Brasil,

estocástico refere-se ao “estudo que tem por objeto a aplicação de cálculo de probabilidade a

dados estatísticos”. Segundo Lopes (1998), o termo tem sido utilizado na Europa para

designar o ensino de probabilidade e estatística quando apresentado de forma interligada

(LOPES, 1998). Com base nestas análises, chegamos ao conceito que utilizaremos neste

projeto: modelo indicador de um pensamento que possibilita ao sujeito perceber a

possibilidade de um fato aleatório ocorrer por meio da percepção das mais diversas

dimensões que podem interferir nesta ocorrência.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática – PCN, em consonância com as

Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar – Standards, do National

Council of Teachers of Mathematics, recomendam que desde os anos iniciais do Ensino

Fundamental sejam trabalhados conteúdos de Estatística e Probabilidades (NCTM, 1991;

BRASIL/MEC, 1997). Nos PCN, essas recomendações configuram-se como bloco de

conteúdos denominado Tratamento da Informação:

Integrarão este bloco estudos relativos a noções de estatística, de probabilidade e de combinatória. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou fórmulas envolvendo tais assuntos. (p. 56).

Com base no depoimento de alguns professores, pressuponho que eles se sentem

despreparados para abordar este tema na escola, acabando por usar como referência central de

sua prática pedagógica os livros didáticos. Além desta limitação, os professores seguem-nos

de forma acrítica e completamente teórica, contrariando, assim, as recomendações referentes

ao ensino de noções estocásticas dos PCN, quando discutem que o ensino destes tópicos deve

explorar situações variadas com estratégias experimentais, desafiadoras, investigativas e

argumentativas (BRASIL/MEC, 1998).

Acredito que as dificuldades dos professores nem sempre são relativas, exclusivamente,

à Estatística e à Probabilidade, mas, sim, a outros conceitos matemáticos que esses conteúdos

implicam. Dias (2004), discutindo o ensino de Probabilidades para professores dos anos finais

do Ensino Fundamental, aponta duas dificuldades do trabalho pedagógico com esses

conceitos: a primeira, refere-se à novidade que a inserção desses tópicos no currículo

representa, fazendo que o professor tenha de quebrar hábitos e, assim, buscar novas

¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇ H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

3


informações e atividades para desenvolver na sala de aula; a segunda situação refere-se à

formação desses professores para lidar com o ensino desses conceitos específicos, uma vez

que “os professores provenientes das licenciaturas em matemática às vezes têm alguma

formação básica em probabilidade e estatística, mas geralmente não têm formação nas

questões relacionadas ao ensino destes conceitos” (paginação irregular). Dias avança dizendo

que muitos desses professores não têm nem mesmo formação nos conceitos elementares de

Probabilidades e Estatística.

Neste trabalho, considero o termo Educação Estatística, representando discussões

pedagógicas relacionadas com o ensino e a aprendizagem que vise à construção e ao

desenvolvimento do raciocínio estocástico – em Educação Matemática este processo se

apresenta pelas construções conceituais em Análise Combinatória, Probabilidades e

Estatística.

Assim, neste trabalho objetivo analisar algumas concepções apontadas por professoras

referentes ao currículo de matemática gerado a partir das discussões de um grupo sobre o

ensino de noções estocásticas.

Percurso Metodológico

Opto para o presente estudo pela abordagem qualitativa de pesquisa em educação. Para

González Rey (2002) na abordagem qualitativa oportunidade de acesso às várias dimensões

do objeto, inclusive a algumas dimensões inacessíveis pela abordagem quantitativa. Assim, a

investigação deu-se, no ano de 2004, em dois momentos articulados entre si. Primeiro

momento: vivenciei o cotidiano de uma professora de 4ª série em uma escola pública

municipal de Formosa, interior de Goiás, buscando conhecer um pouco da realidade do

ensino da Matemática, em especial, a presença de conceitos estocásticos no contexto da sala

de aula. Segundo momento: ofereci curso de extensão para professores que ensinam

Matemática no Ensino Fundamental de Formosa/GO. No curso, discutimos, com base na

realidade dos professores, o ensino de noções estocásticas na escola, objetivando perceber

suas construções diante destes conteúdos. Obtive no curso a participação de 15 professoras

que ensinavam matemática tanto nos anos iniciais (com formação em Magistério ou

Pedagogia), quanto dos anos finais (com formação em Matemática) do Ensino Fundamental.

No entanto, optei por analisar apenas dez destas professoras, tendo como critério maior

facilidade de interlocução do pesquisador com as participantes da pesquisa. Caracterizo este

segundo momento como interventivo na realidade investigada.

ÈÉÊËÌÍÎÏÐÑ H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

4


Concepções de Professores Referentes ao Currículo de Matemática

Discutirei algumas questões/situações levantadas durante a pesquisa de campo, visando

tratar o objetivo do trabalho de pesquisa.

Os conteúdos matemáticos eram percebidos pelas professoras como estanques e como

“caminhos a serem percorridos”, um atrás do outro, em uma concepção linear e fragmentada

de construção do conhecimento matemático. Nesta perspectiva, para as professoras, os

conceitos estocásticos configuram-se no currículo como mais um bloco de conteúdo não

integrado aos demais e descontextualizado da realidade do aluno. Contudo, estas

representações começaram a ser desconstruídas, conforme percebido na própria práxis destas

professoras durante a intervenção.

Estas representações referentes ao currículo de Matemática podem ter relação direta

com os dois grandes movimentos existentes no ensino da Matemática: Matemática Moderna

e Educação Matemática Crítica.

A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha de frente por se considerar que, juntamente com a área de Ciências Naturais, ela se constituía via de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico. (BRASIL/MEC, 1997, p. 21)

Nesse período vivido entre as décadas de 60 e 70, “o ensino passou a ter preocupações

excessivas com abstrações internas à própria Matemática, mais voltada à teoria do que à

prática” (BRASIL/MEC, 1997, p. 21). Nesta época, vivenciávamos a tendência pedagógica

tecnicista no Brasil, em que o professor possuía visão restrita do processo pedagógico,

supervalorizando as técnicas de ensino e, conseqüentemente, os rigorosos planejamentos. A

ênfase do trabalho pedagógico estava no produto final, nos resultados a serem alcançados,

ficando o processo pedagógico em segundo plano. A avaliação era vista como classificatória,

enfocada nas medidas educacionais – buscava-se medir e comparar a aprendizagem do aluno.

A formação do professor reduzia-se à dimensão técnica de sua competência. O currículo era

visto como fragmentado. Deste modo, o papel do professor com esta formação resumia-se em

ensinar os algoritmos oficiais da Matemática, na perspectiva de transmitir/transferir

conhecimentos.

No fim da década de 80 e início dos anos 90, tomados pela conscientização do fracasso

da Matemática Moderna, educadores matemáticos começam a repensar os processo de

aprendizagem e de ensino da Matemática na escola. Este movimento tem-se configurado até

os dias atuais, denominando-se de Educação Matemática Crítica.

ÒÓÔÕÖ×ØÙÚÛ H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

5


A partir daí, a formação do professor começa a considerar outras dimensões da

competência do professor – estética, política e ética, além da dimensão técnica. Deste modo,

começa, também, a se considerar os conhecimentos culturais dos alunos nas discussões

referentes ao processo educativo da Matemática, surgindo, então, a discussão sobre a

etnomatemática.

O currículo, até então concebido pela Matemática Moderna (fragmentado e linear),

começa a ser concebido por perspectiva pós-moderna, visto como sistema aberto e com o

conhecimento articulando-se com uma rede (cada nó da rede representa um conteúdo, que

está relacionado com outros conteúdos, outros nós). Esta concepção de currículo favorece a

organização do trabalho pedagógico do professor que ensina Matemática para o

desenvolvimento do pensamento lógico-matemático contextualizado, pois nesta idéia “o

currículo não será visto como uma ‘pista de corrida’, determinada a priori, e sim como uma

passagem de transformação pessoal” (DOLL JR., 1997, p. 20), um trabalho coletivo em que o

foco central é a aprendizagem, a construção do conhecimento contextualizado e significativo

para o aluno. “Nessa estrutura, os métodos tradicionais de avaliação tornam-se irrelevantes”

(p. 20), pois ela passa a ser vista por perspectiva comunal e dialética, percebendo-se como

parte integrante do processo de aprendizagem.

Segundo Pires (1995), na perspectiva do currículo de Matemática em rede, o

planejamento escolar assume “as características de um projeto, incorporando, essencialmente,

as dimensões de futuro e de possibilidade, inerentes ao ato de projetar” (p. 172). Muniz

(2004) complementa essa idéia apontando que os Temas Transversais, a Pedagogia de

Projetos e a Modelagem no Ensino são elementos que contribuem para a construção do

currículo em rede e ajudam na construção de currículo mais dinâmico e menos fragmentário.

Assim, para a inserção de noções estocásticas no currículo do Ensino Fundamental, torna-se

necessário tratamento destes temas não mais como fragmentos de conteúdos desarticulados

entre si, mas sim inclusão pela perspectiva articulada e contextualizada do próprio

conhecimento matemático, perpassando pelos diversos temas que configuram a construção do

saber matemático que compõe a realidade sociocultural do aluno. A partir daí, o papel do

professor torna-se a ser o de mediador no processo educativo: aquele que idealiza e planeja as

situações de aprendizagem, que acompanha o desenvolvimento de cada aluno, por meio de

análise dos esquemas mentais construídos e considerando o erro como estratégia didática

(não visualizando apenas o que o aluno aprendeu, mas também o que ele deixou de aprender).

ÜÝÞßàáâãäå H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

6


As professoras podem entender o currículo ainda na perspectiva da Matemática

Moderna. O próprio currículo da Secretaria Municipal de Educação (ver anexo) reforça esta

idéia de fragmentação para os professores, pois não possui orientações para o trabalho

pedagógico do professor, dispondo apenas elencos de conteúdos separados por disciplinas e

bimestres e por não possuir projetos ou programas de formação continuada que atendam a

realidade cotidiana das professoras. Não há recomendações sobre o tratamento de noções

estocásticas na sala de aula, o que do meu ponto de vista não bastaria. A professora Andréia

(professoras dos anos iniciais, com nomes fictícios), uma das participantes da pesquisa,

relatou que, no início do ano, ela e as demais colegas apenas reescrevem o que o currículo diz

e entregam na coordenação como seu planejamento anual e vai seguindo-o em todos os

bimestres. A professora informou não trabalhar com a Análise Combinatória, Probabilidades

e Estatística, porque não constam no elenco de conteúdos a serem abordados, ou seja, os

percebe somente como “conteúdos a serem ensinados”.

Andréia, ao ser questionada sobre como trabalha situações-problema, relatou

considerar o item “situações problemas” (neste trabalho entendo situações-problema,

conforme Muniz (2004), porém nesta parte do texto utilizo o termo situações problemas

por se tratar da forma como é apresentada no currículo da Secretaria Municipal de

Educação de Formosa), constante no currículo, como conteúdo matemático a ser

trabalhado, e possuía aulas específicas de resolução de situações-problema. Lembrando

que a resolução de situações-problema é referendada como estratégia de se trabalhar

com a Matemática, possibilitando que o aluno construa os conceitos matemáticos de

forma contextualizada e significativa. Inclusive, Lopes (2003) aponta o ensino da

Análise Combinatória deve estar centrado na resolução de problemas de origens

diversas, conforme já mencionado anteriormente nos apontamentos sobre o ensino da

Estocástica, assim como pode ser considerada como meio de tratar o currículo de

Matemática na perspectiva de rede, mobilizando no aluno diversos conceitos

matemáticos em uma única atividade.

Um exemplo disso está na situação-problema construída/desenvolvida por um grupo no

dia 31 de agosto, em aproximadamente uma hora de planejamento, em que a situação-

problema proposta por mim era a elaboração de atividade de Estatística ou Probabilidades

para qualquer uma das séries iniciais do Ensino Fundamental. Lana (professora dos anos

iniciais, três anos de experiência) foi quem apresentou a atividade, auxiliada pelo grupo.

æçèéêëìíîï H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

7


As professoras simularam que estariam em uma turma de 2a série, em que os alunos

deveriam ter realizado pesquisa, para saber quantas crianças estudavam em suas casas.

O grupo construiu dez casinhas com cartolinas coloridas e colaram no quadro. Cada

casinha servia para registrar o resultado da quantidade de crianças que estudava na casa das

crianças. Lana ia perguntando e registrando no quadro os resultados da seguinte forma

(primeiro o nome da criança e depois a quantidade de crianças na porta da casinha):

ðñòóô ðõö ÷ñôø ùúõò ùøûø üòñòöõ üýóö

þ ÿ þ2 3 4 4 (...)

Ou seja, a primeira casinha representava que na casa da aluna Alice possuía duas

crianças que estudavam. Em seguida, Lana construiu no quadro uma tabela em que tabulou os

resultados segundo as séries em que as crianças estudavam.

(...)

ðñòóô ðõö ÷ñôø ùúõòø Lilian LucaJoão

12 5 1 3 4 4

1a

Série 1 1 1 1

2a

Série 1 2 2 1 1

3a

Série 1 1 1

4a

Série 2 1 1 1

Ou seja, na casinha da Alice, das duas crianças que estudavam, uma criança cursa a 1a

série e outra a 3a série. Após isso, Lana representou em os dados da tabela graficamente,

elaborou, com uso de fichas, umas fichas que ia colando no quadro representando cada

criança.

1a SÉRIE 2a SÉRIE 3ª SÉRIE 4a SÉRIE

G�� H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

8


Na atividade, Lana preocupou-se em explorar a nomenclatura das figuras geométricas

constantes na atividade, fazendo pergunta à turma: “– Vocês sabem que figura geométrica é

essa?” (noções de triângulo e de retângulo). Disse que na construção do gráfico o professor

deve-se preocupar com a regularidade do gráfico, desenvolvendo a noção de simetria. Falou,

também, que vale a pena explorar até a noção de reta horizontal e vertical, inclusive ressaltar

na tabela e no gráfico a diferença entre linha e coluna. Lana explorou, ainda, a leitura e

interpretação dos dados, questionando a turma: “– Quem tem mais crianças estudando em

casa? Quem tem menos? Qual a série que tem mais crianças estudando?” Desta forma Lana,

demonstrou preocupação em explorar alguns conceitos matemáticos adjacentes à atividade

desenvolvida. Aqui, vimos como o currículo de Matemática em rede pode ser vivenciado na

práxis pedagógica via ensino de noções estocásticas.

Após a apresentação, os próprios grupos que assistiram a apresentação fizeram alguns

comentários e o que mais me chamou a atenção foi o de que se a atividade for para a 3a ou 4a

séries poder-se-ia trabalhar com intervalos nas séries, por exemplo: ao invés de 1a, 2a, 3a e 4a

séries, representar estes espaços como Educação Infantil, 1a a 4a séries, 5a a 8a séries, Ensino

Médio e Ensino Superior. Assim, trabalhar-se-ia a noção de estatística com intervalos. A

atividade possibilita, também, a passagem de um tipo de representação para outra, como por

exemplo, a alocação dos dados em desenhos, em seguida sua representação em tabela e, em

seguida, para a construção do gráfico de colunas, possibilitando, assim, a percepção da

criança nas várias formas de se representar a informação.

No município de Formosa, a Secretaria Municipal de Educação adotou o livro didático

da coleção “Vivência e Construção – Matemática”, do prof. Luiz Roberto Dante (2003), para

todas as escolas da rede. O livro possui o conceito Recomendado com Distinção pela

avaliação do Plano Nacional do Livro Didático de 2004 (PNLD, 2004), do Ministério da

Educação. Segundo o próprio MEC, em seu Guia de Livros Didáticos – 1a a 4a séries, na

coleção, os conteúdos são articulados entre si, em estágios progressivos de sistematização,

valoriza-se as relações da Matemática com outras áreas do saber.

A metodologia adotada introduz os conteúdos por meio de situações-problema bem contextualizadas e, em geral, aborda assuntos do dia-a-dia do aluno, que é estimulado a participar ativamente do processo de aquisição do conhecimento matemático. O elenco variado de problemas que inclui questões abertas, atividades de recorte e colagem, jogos e desafios contribui para o desenvolvimento de competências em matemática (BRASIL/MEC/SEF, 2004, p. 54)

�� H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

9


O livro possui, segundo o próprio autor, lógica de dispor os conceitos matemáticos em

espiral e contextualizados. Apresenta temas e textos multi e interdisciplinares – como de

Geografia, Ciências, História, Língua, Ecologia,... – para possibilitar a construção de

conceitos matemáticos na criança, além de articular bem os temas transversais à matemática.

O livro de Dante (2003) já inclui os temas de Análise Combinatória, Probabilidades e

Estatística – com base nas recomendações dos PCN.

Porém, a professora relatou, no dia 15 de abril, não gostar de trabalhar com o livro de

Dante, porque os alunos encontravam dificuldades. Na fala dela, percebi que talvez estas

dificuldades não estariam somente nos alunos, mas talvez na própria forma como a professora

percebia a Matemática Escolar e, sobretudo, com livro que está mais próximo de uma

perspectiva de currículo em rede, para a qual a professora não foi formada. Andréia optava

sempre por utilizar em suas aulas as atividades do livro “Eu Gosto de Matemática – 4a Série”

de Célia Passos e Zeneide Silva, Editora Nacional. O livro, segundo minhas análises

preliminares, dispõe os conteúdos por capítulos estanques e com contextualização frágil.

Inclusive, o livro é um pouco antigo (1999), podendo ter sido elaborado numa proposta mais

próxima ao paradigma da Matemática Moderna. No entanto, acredito que ele se torna mais

apropriado para quem pretende trabalhar a Matemática como fazendo parte de um elenco de

disciplinas e como conteúdos programáticos a serem seguidos, conforme sugerido pelo

currículo da Secretaria Municipal de Educação de Formosa.

Deste modo, reafirmo que a forma como o professor concebe o currículo está

diretamente relacionada à forma como ele vai organizar o seu trabalho pedagógico. Assim,

percebi nas aulas da professora Andréia que ela estabelecia o conteúdo, no singular, que

ministraria em sua aula e não desviava sua percepção a outros conteúdos matemáticos

presentes nas atividades.

Por exemplo, no dia 15 de abril, a professora deu aula sobre ponto, reta e plano. A

professora pedia para que os alunos dessem saltos (pulos) em uma pista de corrida e

marcassem seus saltos, as paradas entre um salto e outro representavam os pontos, ligando

estes pontos (paradas entre os saltos), chegavam à noção de reta, e fechando estas duas retas à

noção de plano. Porém, em sua atividade a professora perdia a oportunidades de tratar outros

conceitos matemáticos presentes nas atividades, como Figuras Geométricas, Medidas,

Probabilidades, Estatísticas, entre outros, e com outras áreas do conhecimento humano, tais

como Esporte, Ciências etc. Também perdida a oportunidade de articular aqueles temas com

o contexto dos alunos, como é concebido no currículo em rede. Senti que Andréia ficou

�� H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

10


bastante frustrada com o desinteresse da turma e, no dia seguinte (16 de abril), começamos a

conversar sobre a situação. Foi quando discutimos que o currículo poderia ser percebido com

uma rede, em que ela deveria não só se preocupar com a sistematização de conteúdos, o

produto dos alunos, mas sim que ela deveria se preocupar com os processos de construções

conceituais.

Percebi que professores dos anos iniciais vêem a Matemática como algo sublime e

soberano, não percebendo que o conhecimento matemático está presente no cotidiano. Isso os

leva a dificuldades de articular em suas atividades pedagógicas a contextualização da

Matemática e explorar, de fato, o processo de construção conceitual dos alunos em Educação

Matemática.

Esta idéia de fragmentação do currículo de Matemática, que dificulta a consideração do

ensino de noções estocásticas, ficou muito evidente durante o segundo momento da pesquisa,

quando as professoras, nos primeiros encontros, demonstravam certa resistência em planejar

as atividades, pois acreditavam que para planejar deveriam estar com os livros didáticos em

mãos e não tinham autonomia para construir suas próprias atividades. Buscavam sempre

“receitas” nos livros didáticos. Este quadro começou a mudar após a discussão sobre o

currículo em rede, as professoras deixaram de lado as atividades do livro didático e

começaram a construir atividades criativas e dinâmicas sobre o ensino da Estocástica na

escola, apesar de suas dificuldades neste campo conceitual.

Um atividade desenvolvida pelo grupo, planejada no encontro do dia 31 de agosto e

apresentada no dia 03 de setembro. Nesta um grupo de professoras de diversas séries (anos

iniciais e finais) e elaboraram aula para alunos de 4a série.

O grupo procurou explorar a idéia de espaço amostral. Quem apresentou o trabalho foi

a professora Élida (professora dos anos finais). Inicialmente, Élida questionou sobre a noção

do próprio jogo de loteria, perguntando:

– Quantas pessoas vocês conhecem que jogam na loteria? – Muitas! (alguns responderam) – Quantas pessoas vocês já viram ganhar? – Eu, nenhuma, eu já ouvi falar de uma,... – Será que ganhar na loteria é sorte? É isso que pretendemos trabalhar nesta aula de hoje... – Vamos pegar um dado, que tipo de figura geométrica é esta? (Élida mostrou um dado) – Um quadrado (uma professora, mesmo sabendo que era um cubo, disse responder quadrado, porque dependendo da série esta seria a resposta possível, uma confusão entre figura plana e figura espacial) – Então, o que é um quadrado? (disse Élida)

�� !"#$%& H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

11


– Figura com quatro lados (respondeu outra professora).

Segundo tal conceito, o losango seria também um quadrado. Élida foi ao quadro e

desenhou duas figuras geométricas (quadrado e retângulo) e mostrou que o quadrado possui

os quatro lados iguais, enquanto no retângulo, apesar de possuir quatro faces, nem todas as

faces são iguais. Mostrou que o quadrado é a face do cubo e o retângulo uma das faces do

paralelepípedo. Assim, perguntou:

– Por que o dado tem que ser um cubo e não um paralelepípedo? Vocês já viram um dado de paralelepípedo?

Ela mostrou que o cubo é “mais justo” (O termo “mais justo” é entendido como

eqüiprobabilidade, mesma chance para todos as possibilidades) para ser o dado, pois as

chances são iguais e no paralelepípedo há algumas faces com mais chance e outra com

menos chance, tornando-o injusto. Poder-se-ia, inclusive, criar regras em que o jogo

com dados de paralelepípedo tornar-se-ia mais justo com base em cálculos de

probabilidades.

– Quantas faces nós temos no cubo? – Seis faces (respondeu uma professora) – E em uma moeda, nós temos quantas faces? – Duas faces (respondeu outra professora)

Ela chamou duas professoras para jogarem o dado e a moeda, fazendo, assim, um

experimento. Com base em alguns resultados, foi construído um espaço amostral, explorando

a idéia de aleatoriedade. Construiu uma tabela para registrar a atividade:

FACES DO DADO LADOS DA MOEDA

1 2 3 4 5 6

COROA (K)

1K 2K 3K 4K 5K 6K

CARA(C)

1C 2C 3C 4C 5C 6C

Por exemplo: o evento 2C representa a face 2 no dado e o lado CARA na moeda.

Ela começou a explorar inicialmente a idéia da linguagem.

– Pode sair número 1 e coroa? – Pode sair número 6 e cara? – Pode sair cara e número 7? (...)

Em seguida, foi explorada a idéia de partes e todo, quantificação de probabilidades.

'()*+,-./0 H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

12


– Qual o número de possibilidades que nós temos? – 12 – Qual a chance de tirar um número par e coroa?

Ela foi marcando na tabela as possibilidades:

FACES DO DADO

LADOS DA MOEDA

1 2 3 4 5 6

COROA (K)

1K 21 31 41 51 61

CARA(C)

1C 2C 3C 4C 5C 6C

– São três chances em 12 possibilidades. – Então, vamos registrar, vamos registrar por fração, porque a fração representa o todo e as partes. Na fração, o número debaixo (denominador) vai representar o todo e o número acima (numerador) as partes que eu estou considerando.

3

12Registrou três doze avos:

Foi ressaltada a necessidade de se explorar as noções de fração, devido às relações de

razão e proporção existentes em atividade com probabilidades. Ressaltou-se, também, a

necessidade de se treinar anteriormente os experimentos, devido à aleatoriedade dos eventos.

Assim, ela continuou explorando a quantificação de fração. Em atividades que envolviam

noções de probabilidades, percebi que os professores não estão habituados com tal conceito

não-fracionário, ou seja, de razão.


Ensinar hoje se torna tarefa bastante complexa para a escola, devido, principalmente, à

nova relação estabelecida entre o professor e o conhecimento, com o advento da Sociedade da

Informação. Cotidianamente, o sujeito (professor ou aluno) é bombardeado por inúmeras

informações, oriundas de diversas fontes, como jornais, revistas, propagandas, televisão,

Internet etc., nem sempre fontes confiáveis. Porém, este mesmo sujeito tem de tomar decisões

rápidas e eficazes que lhe garantam sua participação ativa e autônoma nesta sociedade

complexa.

789:;<=>?@ H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

13


Percebo que os conhecimentos referentes ao ensino e à aprendizagem da Matemática

das professoras que participaram da investigação ainda estão muito aquém do esperado por

educadores matemáticos, principalmente no que se refere ao ensino de noções estocásticas.

Exige-se, portanto, maior atenção aos projetos de formação inicial e continuada de

professores, no que se refere à construção destas ferramentas tão necessárias à prática

pedagógica destes professores. Isso nos leva a acreditar que projetos de formação inseridos

em uma perspectiva de desenvolvimento profissional, em que a realidade do professor se faça

presente no contexto da formação, torna-se tão urgente à prática destes profissionais. Pois,

somente por meio desta formação centrada na experiência cotidiana destes professores é que

poderíamos construir ações pedagógicas inseridas em uma perspectiva curricular em rede e,

assim, coerentes com o ensino de noções estocásticas.

Referências

BORBA, Francisco. Dicionário de uso do português do Brasil. São Paulo: Ática, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais (1º e 2º ciclos): Matemática. Brasília/DF: MEC/SEF, 1997.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais (3º e 4º ciclos): Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Guia do livro didático: PNLD 2004. Brasília: MEC/SEF, 2004.

DANTE, Luiz Roberto. Vivência e construção: matemática. São Paulo: Ática, 2003.

DIAS, Ana Lúcia Braz. Ensino de probabilidade (módulo do Projeto Gestar).Brasília/DF: MEC, 2004.

DOLL JR., William E. Currículo: uma perspectiva pós-moderna. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.

GONZÁLEZ REY, Fernando Luís. Pesquisa qualitativa em psicologia: caminhos e desafios. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

HOLANDA, Aurélio Buarque de. Novo Aurélio século XXI: dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2002.

LOPES, Celi Aparecida Espasandin. A probabilidade e a estatística no ensino fundamental: uma análise curricular. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1998.

ABCDEFHIJK H. J. L. Currículo de matemática e educação estatística: algumas concepções e práticas. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

______. O conhecimento profissional dos professores e suas relações com estatística e probabilidade. Tese (Doutorado em Educação). 2003. Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

MUNIZ, Cristino Alberto. Textos de Referência: projeto GESTAR – Fundescola. Brasília: MEC/SEF, 2004, paginação irregular, no prelo.

PIRES, Célia Maria Carolino. Currículo de matemática: da organização linear à idéia da rede. Tese (Doutorado em Educação). 1995. Faculdade de Educação, USP, São Paulo.

ANEXO

Transcrição do Currículo da Secretaria Municipal de Educação

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS 4ª SÉRIE

MATEMÁTICA

1º Bimestre

Sistema de numeração / número, numeral, algarismo / conjunto dos números (significativos, não significativos) / Ordem, classe / Números representados por 9 algarismo / Introdução de classe dos milhões, composição e decomposição de um número nas unidades das diversas ordens / Valor relativo e absoluto / Sucessor e antecessor / Números ordinais / Sistema de numeração romana / Operações fundamentais: adição e subtração, conceitos, termos, prova real, problemas / Propriedades / Expressão numérica da adição e subtração. Formas geométricas, espaciais, planos e contornos, situações problemas.

2º Bimestre

Multiplicação / Conceito, termos, prova, propriedade, multiplicação por 10, 100, 1000 / Expressões numéricas da adição, subtração e multiplicação / Múltiplos / Problemas / Divisão: conceito, termo, prova, utilizar em diferentes situações problemas / Divisão por 10, 100, 1000 / Expressões numéricas envolvendo as quatro operações / Divisores de um número divisível por 2, 3, 5, 10. Situações problemas

3º Bimestre

Números fracionários / Transformação de um número misto em fração imprópria e vice-versa. Adição, subtração, multiplicação e divisão, números decimais: adição e subtração, multiplicação e porcentagem.

4º Bimestre

Geometria: reta, posição de uma reta / Perímetro das figuras planas, área do quadrado, área do retângulo. Sistema de medidas: comprimento, massa, capacidade.

IX EPEM CC -...

Documents

Transcript of IX EPEM CC -...