IT744 Eletrônica de Potência para Geração, Transmissão e...
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Campinas – SP24 Outubro de 2013
IT744 Eletrônica de Potência para
Geração, Transmissão e Distribuição de Energia Elétrica
Tópicos em Teorias de Potência em Condições não Ideais de Operação – Parte II
Helmo K. Morales ParedesGASI - Grupo de Automação e Sistemas Integráveis
UNESP – Univ. Estadual PaulistaCampus Sorocaba
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Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
A potência instantânea contém uma parte constante e uma parte oscilatória com o dobro da frequência ();
A parte oscilatória é composta de duas parcelas que oscilam em quadratura: uma parcela oscila com e vale e a
outra parcela oscila com e vale .
Potência ativa “” Potência reativa “”
1. Análise e teoremas clássicos de circuitos elétricosmonofásicos;
Oscilação da potência instantânea (troca de energia entre a carga e fonte)
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2. Análise e teoremas clássicos de circuitos elétricostrifásicos;
Ao contrário do sistema monofásico, a potência instantânea transferida das fontes para as cargas no sistema trifásico
senoidal balanceado não é oscilatória.
Isso significa que não há potência reativa ?
Da análise fasorial temos que: ∡
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2. Análise e teoremas clássicos de circuitos elétricostrifásicos; ∡
Nota-se que essa soma é diferente da soma no domínio do tempo, onde as potências reativas das três fases se cancelavam ao longo do tempo. Nessa soma complexa se apresentam as demandas de
potências ativa e reativa das três fases separadamente, e não como funções temporais.
Discutir sobre a conveniência ou não dessa representação para ocaso trifásico é importante, porque ela esconde o fato de que sepode compensar a demanda instantânea de reativos das fases sema necessidade de elementos armazenadores de reativos, já que asoma instantânea é zero no caso senoidal balanceado.
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4. Impactos de formas de onda não-senoidais e desequilibradasnos sistemas de energia atuais: instrumentação, medição,tarifação, compensação, etc.
Para a correção do na presença de harmônicas não basta instalar capacitores. É necessário primeiro
eliminar as harmônicas.
O FP diminui pela simples presença de correntes harmônicas ou tensões harmônicas.
Como taxar quem gera harmônicos e tem FP acima do limite mínimo de FP?
Como fica a compensação e a tarifação do circuito elétrico (instalação) na presença de tensões e correntes harmônicas e/ou assimetrias (desequilíbrio/desbalanço)?
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Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método deFortescue, teorema de Blayksley, operadoresmatemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemaselétricos;
4. Definição de novas teorias de potência para circuitoselétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados.
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Operadores matemáticos para quantidades de fase
Técnicas de análise
O valor médio de uma grandeza instantânea é definido como:
1 ! "#$
Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potência maisrelevantes, faz-se necessário uma breve revisão de algunsconceitos matemáticos, os quais foram utilizados por diferentesautores para a definição de diversas parcelas de potência.
e sua norma Euclidiana, é:
, 1 !& "#$ '
onde ' resulta no valor eficaz da variável (
) 1 !*& "#$ ; , 1 ! -& "#
$
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Operadores matemáticos para quantidades de fase
Técnicas de análise
O produto interno de duas grandezas periódicas e . édefinido como:
No caso do produto interno de e . resultar igual à zero,tais grandezas serão ditas ortogonais, isto é:
, . 1 ! . "#$ /
, . 1 ! . "#$ 0 /
A ortogonalidade entre duas grandezas, por exemplo, pode se dar:
Para funções senoidais deslocadas em 900;Para componentes harmônicas de ordens diferentes.
1 1 !* - "#$
2 . 3& '& 4&Soma de
quantidades ortogonais
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Operadores matemáticos para quantidades de fase
Técnicas de análise
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz para o produtointerno temos:, . 5 . '46Série Trigonométrica de Fourier:
7 8$2 : 8;cos ?@$ A;sen ?@$D;EF7 7$ 7F 7& 7G ⋯7;
1 5 ), I
As quatro somas da séria de
Fourier de uma onda quadrada* *$ *F *& *G ⋯*;- -$ -F -& -G ⋯-;
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Operadores matemáticos para quantidades vetoriais
Técnicas de análise
Considerando os vetores e . de dimensão “J”, definidos como:
F&⋮L F&⋮L , . .F.&⋮.L .F.&⋮.Lassim por exemplo, a magnitude do vetor é dado por:
∙ :N&LNEF
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Operadores matemáticos para quantidades vetoriais
Técnicas de análise
O valor médio do vetor é definido como:
e, consequentemente, a norma do vetor é:
1 ! " #$
F&⋮L
, 1 :!N&"#$
LNEF :'N&L
NEF Oonde O é o valor eficaz coletivo do vetor e 'N o valor eficaz (de
fase) da variável N) : )N&P
NEQ ; , : ,N&PNEQ
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Operadores matemáticos para quantidades vetoriais
Técnicas de análise
O produto escalar instantâneo dos vetores e . é definido como:
e o produto interno destes dois vetores é dado por:
A ortogonalidade entre os vetores e . dá-se quando:
∙ . :N.NLNEF
, . : N , .NLNEF : 1 !N .N "#
$LNEF
, . 0,
R : *N-NPNEQ
1 : 1 !*N -N "#$
PNEQ
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Componentes Simétricas
Técnicas de análise
S TU S T TS V TS WS TX S T TS V TS WS T S T S V S W
Nota-se que, a componente de sequência zero é dado pela soma dostrês fasores “YZ[”. Assim, no caso dos fasores “YZ[” seremequilibrados (simétricos) a sua soma é zero, portanto, o componentede sequência zero também resulta zero;
Assim, em circuitos equilibrados a tensão de sequência zero é nula;
No entanto, em circuitos desequilibrados, existindo tensão desequência zero na tensão de fase, não existirá tensão de sequênciazero entre fases.
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Componentes Simétricas
Técnicas de análise
sequência positiva
sequência negativa
sequência zero
Sistema original
S TUS VU TS TUS WU TS TUS TXS VX TS TXS WX TS TX
S T S S V S S W S S TS VS W
Portando, os três fasores originais, podem ser analisadosanaliticamente ou de forma gráfica como mostrado a seguir:
S TUS VU
S WUS TX
S VX
S WXS T
S V
S W 1200
1200
1200
1200
1200
1200 S TS V
S W
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Componentes Simétricas
Técnicas de análise
Similarmente podemos decompor os fasores “ABC” da corrente noseus componentes simétricos, como segue:
STU ST TSV TSWSTX ST TSV TSWST ST SV SW
sequência positiva
sequência negativa
sequência zero
SVU TSTUSWU TSTUSVX TSTXSWX TSTXSV STSW ST Em circuitos trifásicos em \ com neutro (retorno) a corrente de
neutro vale o triplo da corrente de sequência zero; Em circuitos trifásicos em ∆ ou em \ sem neutro (retorno), não
existirá corrente de sequência zero nas linhas.
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Componentes Simétricas
Técnicas de análise
Os circuitos equilibrados (simétricos) possuem apenas acomponente simétrica de sequência positiva;
Os circuitos trifásicos desequilibrados (assimétricos) a três fios(sem condutor de neutro) possuem apenas a componentesimétrica de sequencia negativa;
Os circuitos trifásicos desequilibrados (assimétricos) a quatro fios(com condutor de neutro) possuem a componente simétrica desequencia negativa e zero;
Portanto, os desequilíbrios dos circuitos elétricos são expressospelas componentes de sequências negativa e zero.
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Componentes Simétricas
Técnicas de análise
O nível de desequilíbrio de um circuito trifásico sem condutor deretorno (3 fios), poder ser caracterizado percentualmente pelarelação entre as magnitudes da componente de sequêncianegativa e a sequência positiva:
^X_%a XU ^X_%a XU No caso de circuitos trifásicos desequilibrados com condutor deretorno (4 fios), o nível de desequilíbrio, além dos fatores, ^X e^X, também devera ser caracterizado percentualmente pela raçãoentre as magnitudes das componentes de sequência zero e asequência positiva:
^_%a U ^_%a U
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Componentes Simétricas
Técnicas de análise
Os componentes simétricos dos valores instantâneos das tensões ecorrentes pode ser obtidos pelo mesmo processo que é utilizadoquando o método é aplicado aos fasores de tensão e corrente.
bTU bT TbV TbWbTX bT TbV TbWbT bT bV bW
cTU cT TcV TcWcTX cT TcV TcWcT cT cV cWcT cV cW c cdbT bV bW b bd
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19Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Componentes Simétricas
Técnicas de análise
As componentes simétricas dos valores instantâneos das tensões ecorrentes podem ser obtidas pelo mesmo processo que é utilizadoquando o método é aplicado aos fasores de tensão e corrente.
bTU bT TbV TbWbTX bT TbV TbWbT bT bV bW
cTU cT TcV TcWcTX cT TcV TcWcT cT cV cWcT cV cW c cdbT bV bW b bd
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Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método deFortescue, teorema de Blayksley, operadoresmatemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemaselétricos;
4. Definição de novas teorias de potência para circuitoselétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados.
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
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21Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1865(James Clerk Maxwell)
fenômeno de defasagem
1888(Oliver B. Shallenberger)
fenômenos de oscilação da potência
22Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1894(Edwin J. Houston e Arthur E. Kenenlly)
Primeiros trabalhos que utilizam o termo harmônicofenômeno de distorção
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23Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
Charles Proteus Steinmetz
1892Carga não linear produz
correntes não ativas sem alterar o ângulo de fase
1893fenômeno de ressonância
1897fenômeno de desbalanço
(desequilíbrio) e
24Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1893, 1897, ...C. P. Steinmetz
“Nenhuma outra ferramenta matemática teve tanto impacto no
estudo de circuitos elétricos”
1910 ...Campos, Lupi e Niethammer
“Iniciaram debater problemas relacionados com a assimetria de
tensões e correntes”
Potência aparente vetorial
Potência aparente aritmética
, , e ∅gh
Teoria de números complexos para análise de circuitos
elétricos
, , , Y, , , Y
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25Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1913, 1918 ...Charles Legeyt Fortescue
“Primeira técnica para analisar os circuitos elétricos assimétricos
(desequilibrados) e é a mais utilizada atualmente”
Componentes simétricosOS T OS TU OS TX OS OV OS VU OS VX OS OS W OS WU OS WX OS 1920 ...W. V. Lyon
“Circuitos trifásicos desequilibrados”e “Potência reativa em circuitos
desequilibrados”
26Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1920 ...AIEE – American Institute of
Electrical Engineers
“Primeiro encontro para discutir as definições de fator de potência em
circuitos polifásicos”
, , , Y, , , Y
, , , ∅ , ij∅ , kl∅
1922 ...F. Buchholz
“Potência aparente em circuitos polifásicos”
definição de valores coletivos
m, m , m
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27Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1932, 1933 ...Fryze
“Decomposição da corrente instantaneamente e definição de
termos par circuitos monofásicos”novo termo – corrente ativa
S, P, QB, DB, FPB
(domínio da frequência)
1927Budeanu
“Definição de termos de potência em condições não senoidais para
circuitos monofásicos”novo termo – potência de distorção
S, P, QF, FPF ia(t)(domínio no tempo)
28Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1935AIEE - Harvey e Francis
“Com base nas discussões de 1920 e 1933, foram dados conceitos e definições fundamentais para
circuitos monofásicos e trifásicos”
1933AIEE - American Institute of
Electrical Engineers“Segundo encontro para discutir as
definições de potência reativa e fator de potência em circuitos polifásicos”
Lyon e GoodhueP, S: são interpretados em função da potência
máxima transferida
Y Y
Conceitos e definições relacionados com P, S em:
Circuitos monofásicos:senoidais e não-senoidais;
Circuitos polifásicos:balanceados e desbalanceados em condições senoidais e não-senoidais
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29Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1941Definições de potência foram
normalizadas
IEEE STD Dictionary(porém continuaram as discussões)
30Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
1950 Buchholz
1962 Depenbrock
1982 Akagi, Kanazawa e Nabae
1971 Kimbark
1972 Shepherd e Zakikhani
1973 Sharon
1980 Kuster e Moore
1980 Page
1988 Czarnecki
Outros ...
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31Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
Nos anos 90 se iniciaram as principais discussões de propostas com
especialistas de grandes grupos de estudo:
O grupo de estudo do IEEE para situações não senoidais; I – VII International Workshop on Power Definitions and
Measurements under Non-sinusoidal Conditions; ISNCC – International School on Nosinosoidal Currents and
Compensation.
onde foi publicada uma quantidade expressiva de artigos sobre o tema e
foram apresentadas propostas de metodologias e definições para o cálculo
e decomposições de parcelas de corrente e potência em sistemas
monofásicos e polifásicos.
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Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método deFortescue, teorema de Blayksley, operadoresmatemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemaselétricos;
4. Definição de novas teorias de potência para circuitoselétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados.
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
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33Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Motivações para o estudo das teorias de potência:
Sistemas de potência tradicionais e sistemas de potência modernos (Smart Grids);
O papel da eletrônica de potência nos sistemas modernos;
Otimização local e global do desempenho do sistemas de potência;
Princípio do controle cooperativo distribuído de Processadores Eletrônicos de Potência.
Considerações e Problema atual
34Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistema de Potência Tradicional
Pequeno número de usinasde energia de grande porte;
Usinas localizadas em locaisestratégicos;
Rede Forte (fontesde tensão quase ideal);
Controle centralizado;
Fluxo de potência unidirecional;
Os clientes não participam para o equilíbrio da potência.
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Sistemas de distribuiçãoa escala local;
Fontes de energiadistribuída (FED);
A rede fraca (fontesde tensão não ideal);
Interfaces eletrônicasinteligentes entre fontesde energia e rede;
Fluxo de potência bidirecional;
Participação multilateral para o equilíbrio da potência.
Sistema de Potência ModernoSmart Grids
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Benefícios das Redes ModernasSmart Grids
Recursos renováveis distribuídos;
Menor emissão;Redução de custos da energia.
Redução das perdas de transmissão e distribuição;
Fontes de energia perto das cargas.
Melhor utilização das fontes de energia convencionais;
Menos potência ativa, reativa, desbalanço e distorção.
Suporte para tensão;
Injeção de potência reativa distribuída.
Incremento na capacidade de potência da rede;
Sem investimento em infraestrutura de rede.
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Desafios das Redes ModernasSmart Grids
Fluxo de potência bidirecional;
Novo controle e estratégia de proteção.Estabilização dos perfis de tensão.
Rede fraca;
Compensação de tensões distorcidas devido a cargas não lineares;
Compensação de tensões assimétricas devido a cargas desbalanceadas e unidades monofásicas de FED (PV, baterias, …)
Injeção irregular de potência por fontes de energia renováveis;
instalação e controle de dispositivos de armazenamento de energia
38Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Necessidade de uma revisãodos termos de potência
Smart Grids (smart micro-grids)
Em uma situação típica onde:
A rede pode ser fraca;
Frequência pode mudar;
As tensões são assimétricas;
As distorções afetam tensões e correntes.
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39Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
1. As definições existentes para potência reativa, desbalanço e distorção são realmente válidas?
2. Qual é o significado físico desses termos?
3. Estes termos são úteis para tarifação e compensação?
4. Até que ponto as medições de potência são afetadas pelas formas de ondas não ideais?
5. É possível a discriminação de responsabilidades entre a fonte e a carga sob condições de distorção e assimetria?
Necessidade de uma revisãodos termos de potência
Smart Grids
40Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Objetivos das teorias de potênciaSmart Grids
Análise da transferência de potência na presença de tensões e correntes distorcidas e/ou assimétricas;
Identificação das fontes de distorção e assimetria da rede;
Compensação de reativos, assimetrias e harmônicas;
Definição de métodos de medição adequados para a correta assinação de responsabilidades (tarifação).
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41Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Definições de algumas teorias de potência
No domínio da frequência
Constantin I Budeanu (1927) Leszek Czarnecki (1984 ... ) IEEE STD 1459 (2000 ...)
No domínio do tempo
Stanislaw Fryze (1931/1932) F. Buchholz (1922/1950) Manfred Depenbrock (1962/1993) Akagi & Nabae (1983 ... ) Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003 ... 2010 ...)
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Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
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43Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Abordagem no domínio da frequência
A tensão e a corrente são expressas mediante séries deFourier. Portanto, o valor eficaz de tais variáveis pode sercalculado como:
n ∞) :);&D
;EF )F& )&& ⋯ )pXF& )p&
, : ,;&D;EF ,F& ,&& ⋯ ,pXF& ,p&
44Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
A partir da análise matemática da interação entre acorrente e a tensão, a potência aparente resulta:
Constantin I. Budeanu (1927)
I& )&,& )F& ⋯)pXF& )p& ,F& ⋯ ,pXF& ,p&Por outro lado, o valor eficaz ao quadrado da correnteharmônica poder ser expressa como:
Substituindo a equação anterior e aplicando a identidade
de Lagrange na expressão da potência aparente obtemosas três potências (P, QB e DB) definidas por Budeanu.
,p& ,p cos ∅p & ,p sen∅p &
n ∞
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45Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Portanto a potência aparente resulta:
Constantin I. Budeanu (1927)
I& :);,;p;EF cos∅; & :);,;p
;EF sen∅; & : : );,L & )L,; & q 2);)L,;,L cos ∅; q ∅Lp
LE;UFpXF;EF
I& 1& rs& ts&
n ∞
46Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
O primeiro termo é:
1 :);,;p;EF cos ∅; Potência ativa total
P corresponde aos produtos das tensões (eficazes) pelascomponentes em fase das correntes (eficazes) de mesmasfrequências.
1 R 1 !* -"#$
P corresponde também ao valor médio da função R *-, ou seja:
n ∞
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47Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
rs :);,;p;EF sen ∅;
o segundo termo é:
Potência reativa
QB corresponde aos produtos das tensões (eficazes) pelascomponentes em quadratura das correntes (eficazes) demesmas frequências.
QB foi definida de forma que resulte uma forma análoga a P
porém em quadratura.
Portanto as definições de P, QB para regime distorcido derivam da definição clássica de regime sinusoidal
n ∞
48Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
ts : : );,L & )L,; & q 2);)L,;,L cos ∅; q ∅LpLE;UF
pXF;EF
e o terceiro termo é:
Potência de Distorção
Outro método usual para o cálculo de DB é através de:
ts I& q 1& qrs&n ∞
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49Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
P
S
QB
DB Z vZ
Decomposição da potência aparente segundo a proposta de Budeanu
Constantin I. Budeanu (1927)
Esse modelo não permite concluir nada sobre valoresinstantâneos das potências;
Observa-se que nenhum tipo de corrente é associado àsparcelas de potência, portanto não há como verificar aortogonalidade entre as parcelas de potência.
50Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 1 b
Z :wwxwE ∅w L = ? C = ?
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51Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 1 b
)F 100 [V])G 25 [V]@F 1 [yz| ]BF -F~[S]
3257 _Ha 4932 _Fac q ,F 25 [A],G 100 [A]
52Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 1
Z q:wwxwE ∅w qZ q Z
Há oscilação de energia, apesar da potência reativa de Budeanu ser nula
(Z )!
vZ 10,625 [kVA]
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53Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 2
Lb
i(t)
+v(t)–
Y.
Cb
Ca
vZ : : w w q ww ∅w q ∅xEwU
xXwE
Ca = ? Cb = ? e Lb=?
b :wwDwE
54Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 2
)F 100 [V])G 50 [V]@F 1 [yz| ]BF BG 1 [S]L 1_Ha
Cz 12 _FaC 13 _Fa
Lb
i(t)
+v(t)–
Y.
Cb
Ca
b
c ,F 100 [A],G 50 [A]
28
55Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 2
vZ : : w S w q S xEwU
xXwE
A potência de distorção é nula (vZ ) mesmo
na presença de correntes harmônicas
na carga!
Z q, _la
56Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
[ , puZ , pu
Exemplo # 3 Compensação?
b _ , ac[ _ q , a @F 1 [yz| ]
CargaFonte
c[ b q
29
57Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.1 Compensação?
b _ , ac[ _ q , aCargaFonte
c[ c b qCompensador
c Considerando que o compensadorentregue a corrente:c _, a
A corrente no lado da fonte será:c c[ q c _ q a
@F 1 [yz| ]
58Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.1 Compensação?
Potência reativa e corrente da carga sem compensaçãoZ , pu [ , pu
Potência reativa e corrente no lado da fonte após da
compensação:Z , pu , pu
b _ , ac _ q a @F 1 [yz| ]
c[ _ q , a
30
59Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.2 Compensação?
b _ , ac[ _ q , a @F 1 [yz| ]
Compensador
CargaFonte
c[ c
c b q Considerando que o compensador
entregue a corrente:c _, aA corrente no lado da fonte será:c c[ q c _ q a
60Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.2 Compensação?
Potência reativa e corrente da carga sem compensaçãoZ , pu [ , pu
Potência reativa e corrente no lado da fonte após da
compensação Z , pu , pu
b _ , ac _ q a @F 1 [yz| ]
c[ _ q , a
31
61Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Constantin I. Budeanu (1927)
A potência reativa (Z) definida por Budeanau não temuma correlação com a troca de energia entre a carga e osistema (fonte);
A definição de potência reativa (Z) não pode ser utilizadapara compensação;
A potência de distorção (vZ) não está relacionada com asdistorções de tensão e corrente.
62
Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
32
63Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Abordagem no domínio do tempo
Fryze parte da definição de valor eficaz (rms) para tensão ecorrente:
) 1 !*& "#$
, 1 ! -& "#$
Formas de onda gerais, porém periódicas, com período T.
64Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Fryze define a potência aparente como sendo o produto dos valores eficazes: I ),e define também potência ativa como sendo a média temporal noperíodo T :
1 1 !R "#$ 1 !* -"#
$
33
65Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Com base na desigualdade de Schwartz entre duas funções, Fryze
mostrou que: I 1 ),onde
1I 5 1é o fator de potência.
Stanislaw Fryze (1931/1932)
66Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
A igualdade de Schwartz só ocorre se a relaçãob/cfor constante, ou seja se as duas funçõesforem proporcionais.
Isso significa que S é igual a P apenas no caso em que acorrente tenha a mesma forma de onda que a tensão(carga resistiva) e a relação b/c se mantiverconstante no período:
Essa condição corresponde a uma resistência invariante.
*- cte
Stanislaw Fryze (1931/1932)
34
67Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Portanto, a potência aparente ( ) de um resistorinvariante coincide com a potência ativa (), qualquer queseja a forma de onda ( ).
Assim o fator de potência alcança seu valor máximo( ) se e somente se a corrente instantânea forproporcional à tensão instantânea.
Em qualquer outro caso
Stanislaw Fryze (1931/1932)
68
-Q 1)& * Q*
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Corrente ativa
T = Condutância equivalentecT corresponde à parcela que, efetivamente, transfere potência para a carga e possui a mesma forma de onda da tensão.
,Q 1) ⇒ 1 ),Q Q)&
Fryze foi quem deu base para a decomposição da corrente i(t)
em duas componentes instantâneas ortogonais, ativa (cT) e nãoativa (cdT) da forma:
35
69Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
E a parte restante é:
-¢Q - q -Q Corrente não ativa
-Q , -¢Q 1 ! -Q-¢Q"#$ 0
- -Q -¢Q ⇒,& ,Q& ,¢Q&
A relação de ortogonalidade entre ambas as componentesinstantâneas implica que::
Portanto a corrente pode ser decomposta::
70Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Similarmente à corrente, a tensão pode ser decomposta em duasparcelas ortogonais:
Stanislaw Fryze (1931/1932)
* *Q *¢Q ⇒)& )Q& )¢Q&*Q 1,& - - tensão ativa
*¢Q * q *Q tensão não ativa
)Q 1, ⇒ 1 )Q, ,&
onde:
*Q , *¢Q 0
36
71Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sendo assim, os valores quadráticos médios (rms) valem:
)& )Q& )¢Q&,& ,Q& ,¢Q&e, portanto:
Stanislaw Fryze (1931/1932)
)&,& )&,Q& )&,¢Q& ,&)Q& ,&)¢Q&Como 1 ),Q )Q,
rg ),£ )£,por analogia Fryze definiu que:
72Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Resultando a decomposição da potência aparente em potênciaativa e reativa:
I 1& rg&Essa expressão é similar à obtida para ondas senoidais, e, noentanto, foi deduzida para qualquer forma de onda periódica!
Falta diferenciar entre potência reativa convencional e potênciareativa distorcida.
Stanislaw Fryze (1931/1932)
37
73Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
circuitos (modelos) equivalentes sériee paralelo da carga para ondas
periódicas quaisquer.
Decomposição da tensão Decomposição da corrente
74Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1-A b @F 1 [
yz| ] ¤ 1 [Ω]
¦S 1 q § ¦S 1 §@F¤ q 1@F¤ q13@F¤ q 13@F¤ 1 ¤ 12 _Ha¤ 23 _Fa
Considerando:
queremos:
38
75Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1-A
b
Circuito “A”
)F 100 [V])G 100 [V] ¨ ⇒ ) 141,42_)a
-¤ 2 ,FX¤sen @F ©4 ,GX¤sen3@F q ©4,FX¤ 70,7 [A],GX¤ 70,7 [A] ¨ ⇒ ,¤ 100_ªa
@F 1 [yz| ]
76Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.A
Circuito “A”
)F 100 [V])G 100 [V] ) 141,42_Va,FX¤ 70,7 [A],GX¤ 70,7 [A] ,¤ 100_Aa
A potência ativa resulta:
1¤ 1 !* -¤ "#$ 10_kWa
A potência ativa é também igual à potência dissipada no resistor:1¤ 1¤X¯ ,¤&¤ 10_kWa
* 2 )Fsen@F )Gsen3@F-¤ 2 ,FX¤sen @F ©4 ,GX¤sen3@F q ©4
A potência aparente resulta:I¤ ),¤ 14,14_kVAa
@F 1 [yz| ]
39
77Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.A
Circuito “A”
Assim, a potência reativa é:
1¤ 10_kWaI¤ 14,14_kVAa
A potência ativa
A potência aparente
rgX¤ 14,14& 10& 10_kVAra¤ 1014,14 0,707
)F 100 [V])G 100 [V] ) 141,42_Va,FX¤ 70,7 [A],GX¤ 70,7 [A] ,¤ 100_Aa
e o fator de potência resultam:
78Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.A
Circuito “A”
A corrente ativa :
-QX¤ 2 ,QFX¤sen @F ,QGX¤sen3@F,QFX¤ 50 [A],QGX¤ 50 [A] ¨ ⇒ ,QX¤ 70,7_Aa
1)& 0,5 S ⇒ ,QX¤ ) 70,7_Aa
A corrente não ativa :-¢QX¤ -¤ q -QX¤ ,¢QX¤ ,¤& q ,QX¤& 100& q 70,7& 70,7_ªa
Agora, se mudarmos apenas os elementos reativos, de modo a obter o mesmo valor eficaz da corrente total, todos
os valores das potências permanecem inalterados!
,¤ 100_Aa-QX¤ *
40
79Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.B b
Circuito “B”
¤ 1 Ω¤ 12 _Ha¤ 23 _Fa
Circuito “A”
13SFX¤ & 13SGX¤ & 13SFXs & 13SGXs &13SFX¤ & 13SGX¤ & 1
¤ s 1_Ωa
11 'FXs& 11 'GXs& 1Porém, sabemos que:
Assim, temos:
RB
LB
+
v(t)
–
iB(t)
CB
80Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.B b
Circuito “B”
¤ 1 Ω¤ 12 _Ha¤ 23 _Fa
Circuito “A”
Agora vamos escolher:'FXs q3 Ω 'GXs FG Ω@Fs q 1@Fs q3
3@Fs q 13@Fs 13s 1 Ωs 12 _Has 27 _Fa
Circuito “B”
2/7 [F]
1 [Ω]
1/2 [H]
+
v(t)
–
iB(t)
41
81Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.A e 1.B b
Circuito “A” Circuito “B”
Estas duas cargas não podem ser distinguidas pelos termos de potência definidos por Fryze. Eles diferem quanto à possibilidade
da sua compensação
2/7 [F]
1 [Ω]
1/2 [H]
+
v(t)
–
iB(t)
82Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.A b Circuito “A”
iS(t)
LC CC
iC(t)
Carga ACompensador
4S¤ 1¤ §'¤ ¤ q §'¤¤& '¤& ¤ §²¤4SFX¤ 12 § 12 4SGX¤ 12 q § 12
Para a compensação reativa escolhemos:²FX³ q²FX¤ ²GX³ q²GX¤@Fs q 1@Fs q123@Fs q 13@Fs 12 ³ 43 _Ha³ 14 _FaY _a XY _´a Y
42
83Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Exemplo # 1.A b Circuito “B” 4Ss 1s §'s s q §'ss& 's& s §²s
4SFXs 110 § 310 4SGXs 910 q § 310Para a compensação reativa escolhemos:²FX³ q²FXs ²GX³ q²GXs@Fs q 1@Fs q 3103@Fs q 13@Fs 310 ³ 209 _Ha
³ 320 _FaZ _a XZ µ_´a Z , µCarga BCompensador
RB
LB
+
v(t)
–
iB(t)
CB
84
A teoria de Fryze não permite caracterizar a carga de formaeficiente;
Não permite a compensação mediante componentespassivos;
Não permite o aprofundamento dos estudos sobre cadatipo de fenômeno físico envolvido na transferência deenergia;
Não permite a monitoração para fins de tarifação oucompensação “seletiva” de determinadas parcelas decorrente e potência.
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Stanislaw Fryze (1931/1932)
43
85
Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
86Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
Em 1950, F. Buchholz estendeu o trabalho de Fryze paracircuitos (sistemas) polifásicos.
Para isto Buchholz considera que o circuito polifásico podeser representado mediante um circuito homogêneo ondenenhum dos condutores é tratado como especial.
Assim, o condutor de neutro (retorno) é tratado como umcondutor de fase. Ou seja, as variáveis associadas aocondutor de retorno (tensão e corrente) são medidas.
44
87Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
CARGA
a,b,...,m
ic
ib
. . . vm*vc*vb*
*
b
m
c
iaa
im
inn
va*vn*
Sistema de medição proposto por Buchholz para circuitospolifásicos:
Ponto de referência externo ao
circuito
88Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
Neste circuito, a potência instantânea coletiva das “J” fases do sistema polifásico é dada por:
R¶ :*N∗-NLNEF
Portanto, a potência ativa coletiva resulta:
1¶ 1 ! :*N∗-NLNEF "#
$ 1 ! R¶"#$
1¶[ 1 ! *Q∗-Q *¸∗-¸ *P∗-P"#$ 1 ! RQ R¸ RP"#
$1¶[ 1 ! *Q∗-Q *¸∗-¸ *P∗-P *¢∗-¢"#
$ 1 ! RQ R¸ RP R¢"#$
assim, por exemplo, num sistema trifásico com e sem condutor deretorno, a potência ativa coletiva resulta:
45
89Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
Assim, os valores eficazes coletivos de tensão e corrente resultam:
¶ 1 ! : -N&"LNEF
#$ ¶ 1 ! :*N∗& "L
NEF#$
b¹ :*N∗&LNEF c¹ : -N&L
NEF
Para tratar este sistema polifásico como um todo, Buchholz
introduziu o conceito de valores coletivos (instantâneos):
90Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
I¶ ¶¶Potência aparente coletiva:
1922
º1» 1»I»e o fator de potência coletiva resulta:
I¶[ )Q∗& ) ∗& )P∗& ,Q& ,& ,P&I¶[ )Q∗& ) ∗& )P∗& )¢∗& ,Q& ,& ,P& ,¢&
Assim, por exemplo, num sistema trifásico com e semcondutor de retorno, a potência aparente coletiva resulta:
46
91Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
-QN 1¶¶& *N∗ Q*N∗
A partir da definição dos valores coletivos, Buchholz estabeleceuda mesma forma que Fryze, que as correntes -N poderiam ser
decompostas em duas componentes instantâneas uma ativa eoutra não ativa:
Correntes ativas
tal que T representa a condutância equivalente por fase (idênticapara todas as fases) de uma carga polifásica.
-N -QN -¢QNonde o primeiro termo é:
92Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
e cdT¼ não contribui na potência ativa coletiva (1¶).
1¶ ¶&Q Q¶&
-¢QN -N q -QN Correntes não ativas
o segundo termo é:
Considerando que pelos condutores circulam apenas correntesativas (-QN) a potencia R¶ seria:
R¶z :*N∗-QNLNEF Qb¶&
47
93Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
Finalmente, Buchholz utilizando a Desigualdade de Schwartz,mostrou que:
A potência mT, só será constante se b¹ também forconstante;
O conjunto de correntes ativas ( cT¼ ) apresenta
permanentemente o mínimo valor coletivo ( c¹ ) parafornecer a potência instantânea (mT);
Para qualquer valor eficaz coletivo de tensão (¹ ), oconjunto de correntes ativas (cT¼) conduz o mínimo valor
eficaz coletivo de corrente ativa (mT) que seja capaz defornecer a potência ativa (¹).
94Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
F. Buchholz (1922/1950)
Esta teoria, por ser apenas uma expansão da teoria deFryze, também não permite:
Caracterizar de forma eficiente a carga; Aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de
fenômeno físico;
Buchoolz emprega magnitudes instantâneas de umsistema polifásico com um número genérico de fases, nãodistingue condutores de fase e de neutro para o cálculo dapotência aparente coletiva;
Uma grande contribuição de Buchholz foi a introdução dosvalores coletivos de tensão e corrente para o cálculo dapotência aparente.
48
95Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutores
Exemplo # 1: Carga R Balanceada
∆P [kW] P [kW] SA [kVA] SV [kVA] SΣΣΣΣ [kVA] FPA FPV FPΣΣΣΣ
5 100 100 100 100 1,00 1,00 1,00
FASE V [V] I [A]
A 209,5 159,1
B 209,5 159,1
C 209,5 159,1
FONTE [V] LINHA _½Ωa CARGA _Ωa*Q 220∡00*¸ 220∡ q 1200*P 220∡1200¿Q 65,9¿¸ 65,9¿P 65,9 1,317
Todas aspotências aparentessão aguais!
96Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutores
Exemplo # 2: Carga R Desbalanceada
∆P [kW] P [kW] SA [kVA] SV [kVA] SΣΣΣΣ [kVA] FPA FPV FPΣΣΣΣ
11,2 100 119 100 149,4 0,84 1,00 0,67
FASE V [V] I [A]
A 203,6 292,0
B 220 0
C 203,6 292,0
FONTE [V] LINHA _½Ωa CARGA _Ωa*Q 220∡00*¸ 220∡ q 1200*P 220∡1200¿Q 65,9¿¸ 65,9¿P 65,9 QP 1,173
Todas aspotências aparentessão diferentes!
49
97Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutores
Exemplo # 3: Carga RL Balanceada
∆P [kW] P [kW] SA [kVA] SV [kVA] SΣΣΣΣ [kVA] FPA FPV FPΣΣΣΣ
11,2 100 149,4 149,4 149,4 0,67 0,67 0,67
FONTE [V] LINHA _½Ωa CARGA _Ωa*Q 220∡00*¸ 220∡ q 1200*P 220∡1200¿Q 65,9¿¸ 65,9¿P 65,9 0,6529' 0,5885FASE V [V] I [A]
A 209,2 238,0
B 209,2 238,0
C 209,2 238,0
Todas aspotências aparentessão iguais!
98Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutores
Exemplo # 1, 2 e 3
Carga ∆P [kW] P [kW] SA [kVA] SV [kVA] SΣΣΣΣ [kVA] FPA FPV FPΣΣΣΣ
I 5 100 100 100 100 1,00 1,00 1,00
II 11,2 100 119 100 149,4 0,84 1,00 0,67
III 11,2 100 149,4 149,4 149,4 0,67 0,67 0,67
I Carga R BalanceadaII Carga R DesbalanceadaIII Carga RL BalanceadaI¶[ ¶¶ )Q∗& ) ∗& )P∗& ,Q& ,& ,P&
¶ )Q∗& ) ∗& )P∗& ¶ ,Q& ,& ,P&
50
99
Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
100Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
Depenbrock, baseando-se nos trabalhos de Fryze e Buchholz,apresentou a teoria denominada de método FBD “Fryze-Buchholz-
Depenbrock”
Os trabalhos de Depenbrock baseiam-se em alguns pontosfundamentais, tais como:
A única componente de corrente que possui uma definição livrede contradições, é a corrente ativa;
A decomposição da corrente não-ativa pode ser de extremaimportância em determinadas aplicações (tarifação,compensação, etc) e o número de parcelas a serem calculadasvaria de acordo com a aplicação.
51
101Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
CARGA
a,b,...,m
ic
ib
. . . vm*vc*vb*
*
b
m
c
iaa
im
inn
va*vn*
Depenbrock, similarmente a Buchholz, utiliza a referência externapara a medida das tensões
ponto de referência
virtual
102Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
:*N∗LNEF 0
: -NLNEF 0
Depenbrock demonstrou que as “ ” tensões e correntessatisfazem as leis de tensões e correntes de Kirchhoff:
- -Q-⋮-¢⋮-L
*∗ *Q∗*¸∗⋮*¢∗⋮*L∗
52
103Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)Valores Coletivos (Buchholz):
¶ 1 ! : -N&"LNEF
#$ ¶ 1 ! :*N∗& "L
NEF#$
b¹ :*N∗&LNEF c¹ : -N&L
NEF
“m” indica o número de condutores (fios) conectados ao pontode referência virtual (nó), independentemente se sãocondutores de fase ou retorno (neutro) de um circuito.
O símbolo “ * ” significa que as tensões do circuito devem sermedidas entre cada condutor e um “ponto de referência virtual”e não em relação a outro condutor do circuito.
104Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
1¶ 1 ! :*N∗-NLNEF "#
$ 1 ! R¶"#$
Potências coletivas ativa, aparente e fator de potência:
I¶ ¶¶ º1» 1»I»Similarmente a Buchholz, Depenbrok utiliza:
Valores coletivos eficazes (RMS);Considera a potência no condutor de retorno (neutro).
53
105Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
Depenbrock também definiu as correntes chamadas “zero power
currents” ou correntes de potência zero:
-ÂN -N q -ÃN-ÂN, não contribuem para transferência de energia, ou seja:
R¶Â :*N∗-ÂNLNEF 0
Estas correntes poderiam ser compensadas sem a necessidade dearmazenadores de energia.
106Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
Uma vez que c¼ não coincide com a corrente ativa (cT¼) de Fryze,
expandida por Buchholz, torna-se então necessário a identificaçãode algumas outras parcelas
-QN 1¶¶& *N∗ Q*N∗ Correntes ativas
-¢QN -N q -QN Correntes não ativas
cT¼, é responsável pela transferência de energia média para a
carga;
Nota-se que, diferentemente de , a condutância equivalente T sempre é constante no tempo;
cdT¼, não transfere energia média para a carga.
54
107Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
Finalmente, a parcela de corrente que relaciona as correntes depotência (c¼) com as correntes ativas (cT¼) é denominada de
“variation currents” ou correntes de variação (cb¼) e pode ser
calculada por:
Tais componentes de corrente só resultam zero quando T.
Em outras condições são responsáveis pelas oscilações da potênciainstantânea (¹ Ä ¹).
-ÅN -ÃN q -QN R»*»& *N∗ q 1¶¶& *N∗ -¢QN q -ÂN.
108Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
Havendo a necessidade (tarifação) ou desejo (monitoração) em seidentificar as componentes da potência não-ativa e sabendo quetal tarefa pode ser realizada no domínio do tempo, mas nãoinstantaneamente, Depenbrock propõe a sub-divisão da “potênciaaparente” de Buchholz em:
»& »&»& »&»Q& »&»¢Q& »&»Q& »&»Å& »&»Â&onde : 1Q ¶»Q 1¶1¢Q ¶»¢Q1Å ¶»Å1 ¶»Â
Potência coletiva ativa
Potência coletiva não ativa
Potência coletiva de variação
Potência coletiva nula
55
109Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
Depenbrock tem contribuído para divulgar a definição depotência aparente de Buchholz, bem como sobre a necessidadede escolher um “ponto de referência virtual” para as medidasdas grandezas elétricas;
Sugere o cálculo de parcelas de potência relacionadas com ossinais de corrente decompostos;
Permite o projeto de compensadores passivos ou ativos, com ousem armazenadores de energia;
Permite o cálculo instantâneo da corrente cǼ, a qual representa
a parte da corrente não-ativa que poderia ser compensada semarmazenadores de energia.
110Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
M. Depenbrock (1962/1993)
As definições de cb¼ e cǼ propostas por Depenbrock, são
semelhantes às correntes ativa e reativa de Akagi et al. (teoriapq), apesar de realizadas de forma completamente distinta;
Também tem colaborado para desmistificar e generalizar as chamadas “teorias de potências instantâneas” [Akagi, Furuhashi, Peng, Kim, etc];
O ponto estrela virtual pode ser bastante interessante emalgumas aplicações onde não há componentes homopolares (3φφφφa 3 condutores). No entanto, na presença de componenteshomopolares, as medidas das tensões para o ponto estrelavirtual podem não representar os valores eficazes ou os valoresinstantâneos das tensões sobre os terminais da carga.
56
111
Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
112Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
A Teoria pq baseia-se num conjunto de definições de potênciasinstantâneas no domínio do tempo para circuitos trifásicos;
Pode ser aplicado em sistemas trifásicos, com ou sem condutor deneutro;
Os trabalhos apresentados por Akagi et al. trazem provavelmenteas maiores contribuições feitas na área de filtragem ativa nosúltimos 30 anos;
Utiliza uma transformação de eixos do sistema trifásicoconvencional (abc), para um sistema ortogonal (αβ0).
57
113Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
A transformação Clarke:
Transformação abc para αααα,ββββ,0:
Transformação α α α α,ββββ,0 para abc:
*Q*¸*P 23 1 2È 1 01 2È q1 2È 3 2È1 2È q1 2È q 3 2È
*$*É*Ê
*$*É*Ê 23 1 2È 1 2È 1 2È1 q1 2È q1 2È0 3 2È q 3 2È
*Q*¸*P
114Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
A potência trifásica instantânea:
As potências instantâneas da Teoria pq
: potência instantânea de sequência zero (ativa) : potência instantânea real (ativa)Ë : potência instantânea imaginaria (não ativa)
R$RÌ *$ 0 00 *É *Ê0 *Ê q*É
-$-É-Ê
RGÍ *Q-Q *¸-¸ *P-P *É-É *Ê-ÊÃ *$-$ÎÃÏ
Ì *Ê-É q *É-Ê
58
115Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
As correntes αβαβαβαβ podem ser calculadas como funçõesdas tensões αβαβαβαβ e as potências reais e imaginárias e Ë:
onde:
-É-Ê 1*ÉÊ& *É *Ê*Ê q*É RÌ
*ÉÊ& *É& *Ê&
116Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
As correntes αβαβαβαβ podem ser decompostas em:
cα ÅÐÅÐÑÒ R : corrente ativa instantânea no eixo–ααααcαË ÅÑÅÐÑÒ Ì : corrente reativa instantânea no eixo–ααααcβ ÅÑÅÐÑÒ R : corrente ativa instantânea no eixo–ββββcβË q ÅÐÅÐÑÒ Ì: corrente reativa instantânea no eixo–ββββ
-É-Ê 1*ÉÊ& *É *Ê*Ê q*É R0 1*ÉÊ& *É *Ê*Ê q*É
0Ì -ÉÃ-ÊÃ -ÉÓ-ÊÓ
59
117Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
A potência instantânea nas coordenadas αααα e ββββRÉRÊ *É-É*Ê-Ê *É-ÉÃ*Ê-ÊÃ *É-ÉÓ*Ê-ÊÓR RÉ RÊ *É-ÉÃ *Ê-ÊÃ *É-ÉÓ *Ê-ÊÓ
R *É&*É& *Ê& R *Ê&*É& *Ê& R *É*Ê*É& *Ê& Ì q*É*Ê*É& *Ê& Ì*É-ÉÃ *Ê-ÊÃ RÉÃ RÊÃ R*É-ÉÓ *Ê-ÊÓ RÉÓ RÊÓ 0 Elas se anulam
118Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
A potência instantânea reativa no eixo αααα (ÔË) é sempre canceladopela potência instantânea reativa no eixo ββββ (ÕË):
RÉÓ *É-ÉÓ
*É*Ê*É& *Ê& ÌRÊÓ *Ê-ÊÓ q *É*Ê*É& *Ê& Ì
Eventual compensação da potência imaginária "Ë" nãoexige elemento armazenar energia.
60
119Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
A potência instantânea ativa no eixo αααα (T) quando adicionadoà potência instantânea ativa no eixo ββββ (Õ) resulta a potênciatotal real, .
RÉÃ *É-ÉÃ *É&*É& *Ê& R
RÊÃ *Ê-ÊÃ
*Ê&*É& *Ê& RR RÉÃ RÊÃ
120Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
*8 2)cos @*A 2)cos @ q 4©3*× 2)cos @ 4©3
-8 2,cos @ Ø-A 2,cos @ q 4©3 Ø-× 2,cos @ 4©3 Ø
A potência instantânea real e imaginária sob tensões e correntes senoidais
Ù*É 3 )cos@Ú*Ê 3 )sen@Ú Ù-É 3 ,cos@ ÛÚ-Ê 3 ,sen@ ÛÚR 3) ,cosÛ 1 Ì q3) ,senÛ r Igual à
teoria convencional!
61
121Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
p : instantaneous total energy flow per time unit;
q : energy exchanged between the phases without
transferring energy.
ia
p
a
b
c
ib
ic
va
vb
vc
A potência instantânea real e imaginária
122Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
As potências instantâneas podem ser decompostasainda como:
Potência real
Potência imaginária
Potências médias Potências oscilantes
R R RÜ Ì ÌÝ ÌÜ
62
123Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
Consequentemente, a corrente instantânea ativatambém pode ser decomposta em componente média eoscilatória como segue:
-ÉÃ *É*É& *Ê& R *É*É& *Ê& RÜ -ÉÃ -ÉÃÜ-ÊÃ *Ê*É& *Ê& R *Ê*É& *Ê& RÜ -ÊÃ -ÊÃÜ
124Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
Portanto, as correntes instantâneas de sequência zero, ativa ereativa de cada fase podem ser calculadas nas suas coordenadasoriginais, por meio da transformação inversa de Clarke.
-Q$-¸$-P$ 2312 1 012 q12 3212 q12 q 32
-$00 Þ -$00-QÃ-¸Ã-PÃ Þ 0-ÉÃ-ÊÃ-QÓ-¸Ó-PÓ Þ 0-ÉÓ-ÊÓ
63
125Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
Assim, as correntes trifásicas instantâneas (a, b e c) podem serdecompostas como segue:-Q-¸-P -Q$-¸$-P$ -QÃ-¸Ã-Pà -QÓ-¸Ó-PÓ-QÃ-¸Ã-PÃ Þ 0-ÉÃ-ÊÃ Þ 0-ÉÃÜ-ÊÃÜ -QÃ-¸Ã-Pà -QÃÜ-¸ÃÜ-PÃÜ
Correntes ativasmédias
Correntes ativasoscilantes
As correntes ativas instantâneas (a, b e c) podem ser decompostasem componentes médias e oscilatórias:
126Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
-Q-¸-P -QÃ-¸Ã-Pà -QÓ-¸Ó-PÓ -Q$-¸$-P$ -QÃ-¸Ã-Pà -QÃÜ-¸ÃÜ-PÃÜ -QÓ-¸Ó-PÓ -Q$-¸$-P$
Finalmente, as correntes instantâneas de fase resultam:
Corrente instantânea ativa média;
Corrente instantânea ativa oscilatória;
Corrente instantânea reativa;
Corrente instantânea de sequência zero.
64
127Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
Do ponto de vista de instrumentação para monitoração dedistúrbios na qualidade de energia, esta teoria não permiteseparar e/ou identificar a origem da deterioração quando váriosdistúrbios (fenômenos) estão presentes simultaneamente;
Mesmo que se faça uma escolha correta no momento deprojetar o controle de um compensador, fica quase impossívelter visão e controle “seletivo” dos distúrbios envolvidos, já queforam agrupados nas parcelas αβ;
A teoria pq, é sem dúvida muito interessante e foi uma dasmaiores contribuições dos últimos anos no campo decompensação de distúrbios, mas não pode ser tratada comouma teoria de potências simples e geral.
128Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Akagi et al (1983 ... )
Do ponto de vista de compensação, a teoria pq pode ser aplicadacom dois objetivos principais:
1) Garantir potência constante no PAC;
2) Garantir correntes senoidais e equilibradas no PAC.
Os dois objetivos só podem ser atendidos simultaneamentequando as tensões no PAC forem senoidais e equilibradas. Emquaisquer outras condições de tensão (distorções e/ouassimetrias), os objetivos só podem ser atendidos isoladamente.Isto significa que o resultado final da compensação dependediretamente das tensões do PAC e do objetivo escolhido para umadada aplicação.
65
129Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Caso I: Tensões senoidais simétricas;Caso II: Tensões senoidais assimétricas.
Tensões medidas em relaçãoao ponto estrela virtual
para ambas teorias
CASO I CASO II*Q 127∡00*¸ 127∡ q 1200*P 127∡1200*Q 127∡00*¸ 113∡ q 104,40*P 147,49∡1440
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada
130Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
Caso II: Tensões senoidais assimétricas
Caso I: Tensões senoidais simétricas
0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35
-1
-0.5
0
0.5
1
v P
AC
µµ µµ
&
i P
AC
µµ µµ [
pu
]
0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35
-1
-0.5
0
0.5
1
v P
AC
µµ µµ
&
i P
AC
µµ µµ [
pu
]
b¼∗ na prática, representam
que as tensões são referidasao ponto central da fonte,
ao invés doponto central da carga .
As tensões e correntesnão estão em fase!
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceadaA ---
B ---
C ---
66
131Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
Iguais!Distorcidacb¼Zv c¼Ë
Iguais!SenoidaiscT¼Zv c¼Ë
Iguais!Distorcida
cǼZv c˼Ë
0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35
-1-0.5
0
0.51
i P
AC
[p
u]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
0
0.51
i a µµ µµ
[p
u]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
i v
µµ µµ [
pu
]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
i z µµ µµ
Tempo [s]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
0
0.51
i p
- µµ µµ [
pu
]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
i p
~µµ µµ [
pu
]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
Tempo [s]
i q
µµ µµ [
pu
]
Teoria FBD Teoria pq
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso I)A ---
B ---
C ---
132Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
a b c
01
23
45
67
8910
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i z µµ µµ [
pu
]
a b c
01
23
45
67
89
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i qµµ µµ [
pu
]
a b c
01
23
45
67
8910
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i vµµ µµ [
pu
]
a b c
01
23
45
67
8910
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i p~
µµ µµ [
pu
]
Apresentam conteúdode 3ª harmônica
???
cb¼Zv c¼Ë
cǼZv c˼Ë
Teoria FBD Teoria pq
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso I) A ---
B ---
C ---
67
133Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
cb¼Zv Ä c¼Ë Diferentes!Distorcida
cǼZv cË¼Ë Iguais!Distorcida
cT¼Zv Ä c¼ËDiferentes!Senoidais/Distorcida?
0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35
-1-0.5
0
0.51
i P
AC
[p
u]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
0
0.51
i a µµ µµ
[p
u]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
i v
µµ µµ [
pu
]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
i z µµ µµ
Tempo [s]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
0
0.51
i p
- µµ µµ [
pu
]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
i p
~µµ µµ [
pu
]
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35
-1-0.5
00.5
1
Tempo [s]
i q
µµ µµ [
pu
]
Teoria FBD Teoria pq
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso II)A ---
B ---
C ---
134Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
Apresentam conteúdode 3ª e 5ª harmônica ???
cb¼Zv c¼Ë
cǼZv c˼Ë
a b c
01
23
45
67
8910
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i vµµ µµ
[p
u]
a b c
01
23
45
67
89
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i p~
µµ µµ [
pu
]
a b c
01
23
45
67
89
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i z µµ µµ [
pu
]
a b c
01
23
45
67
89
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i qµµ µµ
[p
u]
Teoria FBD Teoria pq
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso I)A ---
B ---
C ---
68
135Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 3 condutoresComparações e discussões
Teoria FBD Teoria pq
a b c
01
23
45
67
89
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i aµµ µµ
[p
u]
a b c
01
23
45
67
89
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase
Harmônicas
i p- µµ µµ
[p
u]
cT¼Zv Ä c¼Ë
hßßÒ Q é constante (condutância equivalente do circuito);
ÃÅÐÒUÅÑÒ não é constante (não representa nenhuma característica do
circuito).
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada (Caso I)A ---
B ---
C ---
136Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
FONTE [V]CASO II
LINHA _½Ωa [uH] CASO IILINHA _½Ωa [mH]*Q 127∡00*¸ 127∡ q 1200*P 127∡1200
¿Q 1; ¿Q 10¿¸ 1; ¿¸ 10¿P 1; ¿P 10¿Q 10; ¿Q 2¿¸ 10; ¿¸ 2¿P 10; ¿P 2
Exemplo # 1Carga resistiva desbalanceada
caso I – impedância de linha pequena
Exemplo # 2
Duas cargas não lineares e uma carga linearcaso I – impedância de linha pequena
caso II – impedância de linha alta
69
137Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
4 tensões medidasTeoria FBD
” Ponto estrela virtual”
3 tensões medidasTeoria pq
“condutor de retorno(neutro)”
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada(caso I – impedância de linha pequena)
bd* (FBD) ≅≅≅≅ 0
CARGA _ΩaQ 9,3405¸ 6,2270P 3,1135
138Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
Teoria pq
1.97 1.98 1.99 2-80
-40
0
40
80
i [A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i p- [
A]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i p~ [
A]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
Time[s]
i q [
A]
Teoria FBD
1.97 1.98 1.99 2-80
-40
0
40
80
i [A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i a[A
]
1.97 1.98 1.99 2-60
-30
0
30
60
i z[A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
Time[s]
i v[A
]
Iguais!Distorcidacb¼Zv c¼Ë
Iguais!SenoidaiscT¼Zv c¼ËEquivalentes!Distorcida
cǼZv cË¼Ë c¼Ë
A ---
B ---
C ---
N ---
Exemplo # 1 Carga resistiva desbalanceada(caso I – impedância de linha pequena)
3ª harmônica
70
139Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
Circuitos para os casos I e II
4 tensões medidasTeoria FBD
“Ponto estrela virtual”
3 tensões medidasTeoria pq
” condutor de retorno”
vn*(FBD) ≅≅≅≅ 0
Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso I – impedância de linha pequena)
140Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
A ---
B ---
C ---
N ---
Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso I – impedância de linha pequena)
Teoria pq
1.97 1.98 1.99 2-80
-40
0
40
80
i [A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i p- [
A]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i p~ [
A]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
Time[s]
i q [
A]
1.97 1.98 1.99 2-80
-40
0
40
80
i [A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i a[A
]
1.97 1.98 1.99 2-60
-30
0
30
60
i z[A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
Time[s]
i v[A
]
Teoria FBD
n
Iguais!Distorcidacb¼Zv c¼Ë
Iguais!SenoidaiscT¼Zv c¼ËEquivalentes!Distorcida
cǼZv cË¼Ë c¼ËMistura os efeitos causados pelas não linearidades, desequilibrado e
comportamento reativo.
71
141Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
A ---
B ---
C ---
N ---
Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso II – impedância de linha alta)
1.97 1.98 1.99 2-200
-100
0
100
200
v [
V]
i [
A]
1.97 1.98 1.99 2-200
-100
0
100
200
Time [s]
v [
v]
ia[A
]
1.97 1.98 1.99 2-200
-100
0
100
200
v [
V]
i [
A]
1.97 1.98 1.99 2-200
-100
0
100
200
Time[s]
v [
V]
ip
- [A
]
Teoria pqTeoria FBD
cT¼Zv Ä c¼Ë
b¼d Ä b¼∗ As tensões
não são iguais
Distorcidasbd∗ Ä !cTdZv Ä !
142Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
1.97 1.98 1.99 2-80
-40
0
40
80
i [A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i p- [
A]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i p~ [
A]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
Time[s]
i q [
A]
1.97 1.98 1.99 2-80
-40
0
40
80
i [A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
i a[A
]
1.97 1.98 1.99 2-60
-30
0
30
60
i z[A
]
1.97 1.98 1.99 2-50
-25
0
25
50
Time[s]
i v[A
]
cǼZv Ä cË¼Ë c¼Ë
Diferente!
cb¼Zv Ä c¼Ë Diferente!
cT¼Zv Ä c¼Ë Diferente!
A ---
B ---
C ---
N ---
Exemplo # 2: Duas cargas não lineares e uma carga linear(caso II – impedância de linha alta)
Teoria pqTeoria FBD
72
143Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Sistemas 3φφφφ 4 condutoresComparações e discussões
Como se sabe, a interpretação dos fenômenos físicos não éuma tarefa fácil em circuitos (cargas) lineares nãolinear e/ou desequilibradas com tensões não senoidais.
No entanto, considerando os sistemas de potência modernos,espera-se que uma nova formulação de teoria de potênciadeva ser formalmente adotada nos próximos anos.
Pode ser, certamente uma adaptação de uma das váriaspropostas das últimas décadas, como osdiscutidos anteriormente.
144
Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
73
145Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
A abordagem de Czarnecki foi desenvolvida no domínio dafrequência;
O autor utiliza os valores das várias condutâncias ( ),susceptâncias (Z) e admitâncias () dos circuitos elétricos, parapropor uma metodologia de decomposição dos sinais de correntee potência;
Esta proposta utiliza uma abordagem vetorial bastante sofisticadaque busca associar as diferentes parcelas de corrente/potênciacom os fenômenos físicos;
Recentemente o autor denominou sua proposta de Teoria das
Componentes Físicas de Corrente, do inglês, Theory of the
Current's Physical Components (CPC).
146Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
S w w Zwbc
Análise da carga é dependente da
frequência
* )$ 2Re:S wâã;äåæD;EF
- $)$ 2Re:S wS wâã;äåæD;EF
No caso de uma carga linear monofásica invariante no tempo:
74
147Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
S w w Zw
bcDecomposição proposta:
-Q 1)& * ç* Corrente ativa
Correntedefinida pelo Fryze
-£ 2Re: §²;S wâã;äåæD;EF Corrente reativa
Corrente dispersa
Nova componente de corrente que aparece quando a condutância da carga cambia com frequência.
-è ($ q ç) )$ 2Reé ; q çS wâã;äåæD;EF
148Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
Decomposição (ortogonal) da corrente
- -Q -£ -èBalanço da potência:
-Q , -£ 0-£, -è 0-Q , -è 0I& )&,& )&,Q& )&,£& )&,è& 1& r& tè&
Potência reativa:
Potência dispersa:
Potência ativa: 1 ),Qr ),£t ),è I& q 1& qr&
²ç r)&
75
149Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
No caso de uma carga não linear monofásica geradora deharmônicasêb conjunto de harmônicas da tensãoêc conjunto de harmônicas da corrente êb ⊂ êc
- -ì -í -ì : -;;∈ïð -í - q -ìcñ : corrente homóloga;cò : corrente gerada (independente).
²ç; r;);&ç; 1;);&Para cada componente de corrente homóloga:
Componentesharmônicas da
corrente que estãopresentes também
na tensão
150Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
Assim, a corrente total pode ser expressa como:
- -Q -è -£ -í -ì -í,& ,Q& ,è& ,£& ,í&
como todas as parcelas de corrente decompostas são ortogonais,temos que:
No caso, de circuitos trifásicos (sem condutor de retorno), além das componentes definidas anteriormente (com o mesmo significado),
foi proposta mais uma componente de corrente, a qual leva em conta o desbalanço da carga. Para isto Czarnecki utiliza vetores
multidimensionais e similarmente ao método FBD, as tensões são referidas a um ponto externo do circuito
76
151Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
Assim, considerando um circuito trifásico em ∆∆∆∆, são definidas asgrandezas de tensão, corrente e admitância equivalente em termosvetoriais:
- ≜ : -Q;-¸;-P;;∈ï 2Re: ,Q;,¸;,P;;∈ï âã;äåæ ≜ 2Re : ;âã;äåæ;∈ï; ≜ )Q;) ;)P; 4S; ; §²; 4Q¸ 4 P 4PQ
Para o caso de uma carga trifásica desbalanceada, é definida umaadmitância de desbalanço e um vetor com as tensões das fases b ec em sequência invertida:
ª ªâãô q4 P õ4PQ õ∗4Q¸ ;⋕ ≜ )Q;)P;) ;Ô ÷
152Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )Assim, a corrente total:
- ≜ 2ç : ç §²ç ; ª;⋕ âã;äåæ;∈ï .é decomposta em:
-Q 2Re : ç;âã;äåæ;∈ï-£ 2Re : §²;;âã;äåæ;∈ï-ø 2Re : ª;⋕âã;äåæ;∈ï-è 2Re : ç; q ç ;âã;äåæ;ï
Corrente ativa
Corrente reativa
Corrente de desbalaço
Corrente de disperção
77
153Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
Assim, a decomposição da corrente total num circuito trifásico semcondutor de retorno, pode ser expressa como:- -Q -è -£ -ø -í -ì -í
& Q& è& £& ø& í&como todas as parcelas de corrente decompostas são ortogonais,temos que:
I& && 1& r& tø& tè& tí&sendo:I : Potência aparente; tø ø: Potência de desbalanço;1 Q: Potência ativa; tè è: Potência dispersa (scattered);r £: Potência reativa; tí í: Potência harmônica gerada (carga).
Balanço da potência:
154Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
A CPC, auxilia na compreensão de fenômenos físicos e pode serimplementado (monitoração da energia e condicionamento deenergia), desde que utilizados sistemas adequados deprocessamento digital de sinais;
Eventuais inter-harmônicos presentes nos sinais de tensão ecorrente, podem não ser interpretados corretamente, destaforma aumentando a complexidade matemática eimplementacional do equacionamento proposto.
Como atribuir responsabilidades ou compensar distúrbios na“tensão” de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nasdecomposições propostas se a tensão fundamental do sistemafor assimétrica?
78
155Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
Leszek S. Czarnecki (1984 ... )
Czarnecki tem contribuído para discussões como a necessidade ou não da definição de potência aparente, visto que esta é muito
mais uma interpretacão matemática do que física, bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos e ainda para
desmistificar determinadas teorias (Budeanu, Fryze, teoria pq ... ) ou questionar sobre quais deveriam ser os verdadeiros requisitos
para a definição de uma “teoria de potências”
156
Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
79
157Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
Alexander Emanuel, coordenador do grupo de trabalho “Working
Group” formado pelo IEEE desde início da década de 90, éresponsável pela publicação da Std 1459-2000, e recentementeatualizada, IEEE-1459-2010, e de inúmeros trabalhos envolvendonovas definições relacionadas às quantidades de potência sobcondições não senoidais e desequilibradas
Com a publicação da STD 1459, o IEEE abandonou as definições depotência aparente aritmética e vetorial e passou a utilizar umaderivação das definições de Buchholz, o qual introduziu a notaçãode potência aparente efetiva, tensão e corrente efetiva(equivalente);
158Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
)& )F& )ù&,& ,F& ,ù&
I& )&,& )F,F&úåÒ )F,ù&)ù,F&)ù,ù&úûÒ
Similarmente a Budeanu, os valores eficaz da tensão ecorrente são dadas por: )ù& :);&;üF,ù& : ,;&;üFDas equações anteriores, a potência aparente resulta:
Assim, a potência aparente (I [VA]) é decomposta em duas componentes: fundamental (IF [VA]) e não fundamental (Iï[VA])I& IF& Iï&
Circuito monofásico
80
159Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
IF& )F,F& 1F& rF&Iï& )F,ù&)ù,F&)ù,ù&
sendo IF decomposta em (1F e rF), que são as potência ativa [W] e reativa [VAr] clássica fundamental, respectivamente:1F )F,FcosØF
rF )F,FsenØF
I& IF& Iï&
e Iï é decomposta em:
sendo:tý )F,ù: Potência de distorção de corrente [VAr];tþ )ù,F: Potência de distorção de tensão [VAr];Iù )ù,ù: Potência aparente de distorção [VA].
Circuito monofásico
160Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
IF& 1F& rF&Iï& )F,ù&)ù,F&)ù,ù&
Iï& IF ∙ t ý &Ò
IF ∙ t þ &Ò
IF ∙ t ý ∙ t þ &úÒ
A equação anterior mostra a correspondência entre ê/ e a distorção total de corrente e tensão, onde ê/ poderia ser
utilizado como um indicador matemático do nível de distorção harmônica de um circuito elétrico.
Como, t ý ýýå e t þ þþå a equação anterior resulta:
Circuito monofásico
81
161Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
e Iù, ainda pode ser decomposta em:
Iù& )ù,ù& 1ù& tù&
e 1ù :);,;cosØ;D
;üF
I& )&,& 1& &
Potência de distorção harmônica
Potência ativa harmônica?
Observa-se que, a soma de e resulta na potência ativa total ( )
Finalmente, a potência aparente pode ser então decomposta de forma geral em: potência ativa () e não ativa (ê)
1F )F,FcosØFCircuito monofásico
162Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
º1F cosØF 1FIF
º1 1I
1F 1ùI
O fator de potência da componente fundamental, tambémconhecido por fator de deslocamento, é dado por:
E o fator de potência total seria:
1ù :);,;cosØ;D
;üF
1F )F,FcosØF IF& 1F& rF&I ),
Circuito monofásico
82
163
I
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
I1
I
11r1
tý
I
tþ 1ù
tù
Resoluções da Potência Aparente - Circuito Monofásico
164Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico
A Std, define uma Corrente Efetiva (equivalente) em um circuito trifásico com condutor de retorno como:
,ç 13 ,Q& , & ,P& ,¢& ; d
donde:
d: Resistencia do condutor de retorno (neutro);
: Resistencia do condutor de fase.
,ç ,Q& , & ,P&3
e para um circuito trifásico sem condutor de retorno ( 0) temos:
Buchholz (1922)Std (1996)
Std (2000) 1
83
165Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico
E a Tensão Efetiva (equivalente) é definida como:
donde: h∆h
G¯¯∆
Para circuitos com condutor de retorno ( = 1) :
)ç 3 )Q¢& ) ¢& )P¢& )Q¸& ) P& )PQ&9 1
Para circuitos sem condutor de retorno ( = 0) :
)ç 3 )Q¢& ) ¢& )P¢& )Q¸& ) P& )PQ&18
)ç )Q¸& ) P& )PQ&9
Buchholz (1922)Std (1996)
Std (2000)
166Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico
Assim, de forma distinta das definições vetoriais ou aritméticas,foi definido a Potência Aparente Efetiva:
Desta forma, também foi definido o Fator de Potência Efetivo:
A Potência Ativa (P) usada na expressão anterior é um dos poucosconsensos e é dada por:
Iç 3)ç,ç
º1ç 1Iç
1 1n ! *Q-Q *¸-¸ *P-P
æUp
æ",
As perdas no condutor de retorno; Os efeitos devido às cargas desbalanceadas.
84
167Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico
Similarmente ao caso monofásico, baseado nas grandezasequivalentes, ainda seria possível calcular uma parcela de PotênciaNão Ativa como:
A Std sugerem a divisão da tensão e corrente efetiva em suascomponentes fundamentais e harmônicas, ou seja:
Iç& q 1&
,ç& ,çF& ,çù&)ç& )çF& )çù&
Portanto a potência aparente efetiva poderia ser expressa por:
Iç& )ç&,ç& IçF& Içï&
168Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico
Iç& IçF& Içï&
IçF 3)çF,çF Içï Iç& q IçF& tçý& tçþ& Içù&
Potência aparente fundamental efetiva
Potência aparentenão-fundamental efetiva
Onde:
tçý 3)çF,çù: Potência proveniente da distorção de corrente;
tçþ 3)çù,çF: Potência proveniente da distorção de tensão;
Içù 3)çù,çù: Potência aparente harmônica.
85
169Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)Circuito trifásico
Além disso, para avaliar o desbalanço de uma carga, a Std, sugere adefinição de uma Potência Aparente Fundamental de Desbalanço:
IF IçF& q IFU &
IFU 1FU & rFU &
1FU 3)FU,FU cos ∅FUrFU 3)FU,FU sin∅FU
º1FU 1FUIFU
IçF 3)çF,çF
Potência aparente fundamentalde sequência positiva
Potência ativa e reativa fundamentais, definidas como no caso de circuitos trifásicos equilibrados e com forma de onda senoidais
Assim, define-se também o fator de Potência Fundamental deSequência Positiva:
170
Iç
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013
IEEE – Std 1459 (2000/2010)
Iâ1
Iâ
I1
IFU
tçý
Iâ
tçþ 1çù
tçù
Resoluções da Potência Aparente – Circuito Trifásico (3 e 4 Fios)
1FU
rFU
86
171
Próxima Aula - Ementa 2
1. Técnicas de análise: série de Fourier, método de Fortescue,teorema de Blayksley, operadores matemáticos, etc;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias depotência;
3. Considerações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;4. Definição de novas teorias de potência para circuitos
elétricos lineares e não-lineares e/ou desbalanceados. Budeanu (1927); Fryze (1931); Buchholz (1950); Depenbrock (1962 ... 1993); Akagi et al (1983 ... 2007); Czarnecki (1984 ...); IEEE std 1459 (2000 ..., 2010); Tenti, Mattavelli ... Paredes (2003, ..., 2010, ...);
Sorocaba, SP – Prof. Dr. Helmo K. Morales Paredes – 2o Semestre de 2013