IsomorfismoIsomorfismo

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora).

Notação: U V~

AutomorfismoAutomorfismo

Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo.

Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.

Resultados ImportantesResultados Importantes

Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.

1 1

, e bases n n

i i i i i ii i

T u v u U v V

Resultados ImportantesResultados Importantes

Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se

dim dimU V

Exercícios: Transformações Lineares II

Operações com Operações com Transformações LinearesTransformações Lineares

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, definimos o conjunto das trans-formações lineares entre eles por:

: e´ transf. linearT T L ,U V U V

Observação: Se os espaços vetoriais reais são iguais então

: e´ operador linearT T L U U U

Operações com Operações com Transformações LinearesTransformações Lineares

Adição: Dados dois elementos do conjunto das transformações lineares entre espaços vetoriais reais, definimos:

: dada por

,

F G

F G u F u G u u

U V

U

Propriedades da Adição Propriedades da Adição

P1) Associativa

P2) Comutativa

, , , ,F G H

F G H F G H

U VL

, , ,F G

F G G F

U VL

Propriedades da Adição Propriedades da Adição

P3) Elemento Neutro

P4) Elemento Oposto

0 ,

, ,

0 0

F

F F F

U V

U V

L

L

, ,

,

0

F

F

F F

U V

U V

L

L

Operações com Operações com Transformações LinearesTransformações Lineares

Multiplicação por escalar:

Denominamos de produto escalar de uma transformação linear à seguinte função:

: dada por

, e

F

F u F u u

U V

U R

Propriedades da Propriedades da Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar

P1)

P2)

, , , ,F

F F

R U VL

, , , ,F

F F F

R U VL

P3)

P4)

, , , ,F G

F G F G

R U VL

, , 1

1.

F

F F

U V RL

Novo Espaço VetorialNovo Espaço Vetorial

Das considerações anteriores temos um novo espaço vetorial real, com as operações de adição e multiplicação por escalar como definidas:

: e´ transf. linearT T L ,U V U V

,F G u F u G u u U

, e F u F u u U R

Operações com Operações com Transformações LinearesTransformações Lineares

Composição: Dados dois elementos do conjunto dos operadores lineares, definimos a composição como sendo:

: dada por

,

F G

F G u F G u u

U U

U

Propriedades da Composição Propriedades da Composição

P1) Associativa

P2) Distributiva

, , ,F G H

F G H F G H

UL

, , ,F G H

F G H F G F H

F G H F H G H

UL

Propriedades da Composição Propriedades da Composição

P3) Elemento Neutro

,

,

Id Id u u

F

F Id Id F F

L

L

U

U

Obs: Em geral, a composição não é comutativa.

Operações com Operações com Transformações LinearesTransformações Lineares

Potenciação: definimos a Potenciação por recorrência do seguinte modo:

0

1

2

1

( )

......n n

F I operador identidade

F F

F F F

F F F

Operadores EspeciaisOperadores Especiais

Operador Idempotente:

Operador Nilpotente:

2 0F F e F

tal que 0nn F N

Matriz de uma Matriz de uma Transformação LinearTransformação Linear

Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles temos:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

......................

...

p p

p p

n n n np p

T u v v v

T u v v v

T u v v v

1 2, ,..., nB u u u U 1 2, ,..., pG v v v VBases

Assim

11 21 1

12 22 2

,

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

B G

p p np

T

É dita Matriz da Transformação Linear T em relação às bases B e G

IsomorfismoIsomorfismo Especial Especial

Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, com dimensões n e m.

Existe um isomorfismo tal que:

mxnU V M RF :L ,

,B GT T

1 2, ,..., nB u u u U 1 2, ,..., pG v v v VBases