ISOMETRIAS9º ano

Simetria: Que significado?

Serão as mãos simétricas?

Será a nossa cara simétrica?

Serão os bonecos simétricos?

Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não

é exclusiva deste campo

Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl)

A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70)

Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias

Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993)

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

Isometrias

Não isometri

as

Translações

Rotações

Reflexões

Homotetias

Isometria

Definição:

Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias;

as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente

iguais. Quatro tipos fundamentais de isometrias:

— Rotação

— Translação

— Reflexão

— Reflexão deslizante

Translação

Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direção, no mesmo sentido e a mesma distância.

Translação

u

v

Translação associada ao vector

u

Translação associada ao vector

v

• Na Fisica as forças representam-se por vetores.

Resistência do ar

Gravidade

• Um vetor é um ser matemático que se define por uma direção, um sentido e um comprimento.

• Uma reta define uma direção e todas as que lhe são paralelas têm a mesma direção.

Direção horizontal

Direção horizontal

Direção horizontal

Direção vertical Direção vertical

• Aqui, a direção horizontal tem ,em A, o sentido da esquerda para a direita e, em B, o sentido da direita para a esquerda.

• Para cada direção existem dois sentidos.

A

B

• Na figura estão representados 6 vetores.

ad

c

e

b

fA B

AB = f

Como os vetores a e e têm a mesma direção, mesmo sentido e o mesmo comprimento, são representações do mesmo vetor.

• Os restantes vetores diferem na direção, no sentido e/ou no comprimento.

A figura 3 foi obtida da figura 2 pela translação Tb .

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

a b

A figura 2 foi obtida da figura 1 pela translação Ta .

Composição de Translações

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3 Assim, podemos dizer que a figura 3 foi obtida da figura 1

pela translação composta Tb após Ta .

Tb após Ta escreve-se Tb ◦Ta .

a b

...que consiste em construir um paralelogramo em que os lados são representações dos vetores e o vetor soma é a sua diagonal.

• A soma de dois vetores é um vetor que pode ser obtido através da “regra do paralelogramo”...

a

b

c = a + b

Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O +

u

Translação

u

FTranslação da figura F associada

ao vector u

u

Translação

Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.

É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...

Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s)

eixo de reflexão

Reflexão

Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que:•a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou s é a mediatriz de [O O’]; •se O pertence a s, a sua imagem coincide com O.

Reflexão

Reflexão da figura F de de eixo s

s

F

Reflexão

Reflexão deslizanteA composição de uma reflexão com uma translação associada a um vetor paralelo ao eixo de reflexão designa-se por reflexão deslizante.

O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector

s

u

u

F

Reflexão deslizante

Rotação

75º

.ORotação

O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus.

Rotação de centro O e amplitude 750  

Rotação

.O

750

.O

3600

O

75º

.

Centro de rotação: pode ser um ponto da figura

1800 (meia volta)

Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura

.O.O

2700

Rotação

Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que:•qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); •a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α.

Rotação de centro O e amplitude 900

FF

Rotação

Rotação

Retomando a ideia de simetria de uma figura

De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187)

— Simetria de reflexão (ou simetria axial)

— Simetria de rotação (ou simetria rotacional)

—Simetria de translação

—Simetria de reflexão deslizante

Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305)

Simetria de reflexão de uma figura

Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante

Como a reconhecemos? Várias hipóteses...

Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente;

Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda;

Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);

...

Simetria de reflexão de uma figura

Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305)

Eixo de simetria?

1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria? eixos de simetria ? eixos de simetria

Simetria de reflexão de uma figura

Eixo de simetria?

1 eixo de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria2 eixos de simetria 4 eixos de simetria

Eixo de simetria de uma figura: Reta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a reta não é eixo de simetria.

Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional

Simetria rotacional de uma figura

Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00

e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600.

Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.

Como a reconhecemos?

(ou qualquer outro tipo de simetria)

Simetria rotacional de uma figura

Que simetrias rotacionais tem a figura?

C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”)

C

Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura.

Três quartos de volta (270º)

Uma volta inteira (360º)

Um quarto de volta (90º)

Meia volta (180º)

Simetria de translação de uma figura

Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante

Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e

uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original

Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

Simetria de reflexão deslizante de uma figura

Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante

Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de

virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada reta e de o deslocarmos segundo a direção dessa reta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original.

Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…

Simetrias de polígonos

Que simetrias existem num quadrado?D C

BA

90º

B

CD

Simetrias de polígonos

Que simetrias existem num quadrado?

Simetrias de reflexão

Simetrias rotacionais

4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600.

4Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos

Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas

Exemplos de rosáceas Figuras compostas por diversos

módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 3600 e a medida desta amplitude é exacta.

Rosáceas

Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura).

Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.

Que simetrias existem nestas rosáceas?

Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas

• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

•

Identificar

Que simetrias existem nestas rosáceas?

Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas

Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado

Simetria rotacionalR rotação de 1800

R2 rotação de 3600 (identidade)

R rotação de 600

R2 rotação de 1200

R3 rotação de 1800

R4 rotação de 2400

R5 rotação de 3000

R6 rotação de 3600 (identidade)

Só simetria rotacional

•

Simetria de reflexão e simetria rotacional

Identificar

• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura

Exemplos de frisos

As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita

Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção.

No friso, o grupo de simetria fixa uma recta.

Pode haver outras simetrias para além das de translação

Friso

Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

Que simetrias existem neste friso?

Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

Identificar

reta horizontal

Nomenclatura adotada

reta vertical

Que simetrias existem neste friso?

Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

u

v

De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e .

De reflexão de eixo horizontal

Identificar

u

v

reta horizontal

Nomenclatura adotada

reta vertical

Que simetrias existem neste friso?

Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

Identificar

Que simetrias existem neste friso?

Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

De reflexão de eixo horizontal

De reflexão de eixos verticais

De translação da figura associadas a vectores com a

direcção de e comprimento múltiplo do deste vector.

u

Identificar

u

A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias

Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos

Motivo simples

Construir

[A´, B’, C’, D’] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r.

A’B’

C’D’

[A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de [A´, B’, C’, D’] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r).

A’B’

C’D’

A’’B’’

C’’D’’

Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo

r