Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de...
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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1
Produtos Notáveis
Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção
Propriedades da multiplicação
Algumas propriedades da multiplicação são:
Comutativa: ab = ba;
Associativa: a (bc) = (ab)c;
Nesta aula a que nos interessa é a...
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
a (b+c) = ab + ac
(a + b).(c + d) = ac + ad + bc + bd
Propriedade Distributiva (a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
(a - b).(a - b) = a² - ab – ab + b² = a² - 2ab + b²
(a + b + c).(a + b + c) = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² =
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis
Indicado por: a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)² ou (a + b)(a + b)
Forma expandida:
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²
Então: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da soma
O produto notável (a + b)², segundo a Geometria.
Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado da soma de dois termos desconhecidos geometricamente.
Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a área do quadrado maior , a², mais duas vezes a área do retângulo, ou seja, 2ab, mais a área do quadrado menor, b².
Quadrado da soma
a² ab
ab b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a
b
a b
(a + b)(a + b) = (a + b)²
(3x)² + 2 (3x)(5) + 5² = 9x² + 30x + 25
Quadrado da soma
(3x + 5)² =
(y + 6)² =
Exemplo:
y² + 2 (y)(6) + 6² = y² + 12y +36
Indicado por: a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a - b)² ou (a - b)(a - b)
Forma expandida:
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a² - 2ab + b²
Então: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Quadrado da diferença
O produto notável (a - b)², segundo a Geometria. Observe que a área do quadrado de lado (a - b) vermelho pode ser obtida subtraindo a área dos dois retângulos azuis e a área do quadrado amarelo . Ou seja:
a
a
b
b
(a – b)
(a – b) (a – b)²
b(a – b)
b(a – b)
b²
a² - b . (a - b) - b . (a - b) - b² = (a – b)²
Quadrado da diferença
Quadrado da diferença
Exemplo:
(x - 4)² =
(3x - y)² =
x² - 2 (x)(4) + 4² = x² - 8x +16
(3x)² - 2 (3x)(y) + y² = 9x² - 6xy +y²
Quadrado da diferença
Praticando:
84
3
82
3
8yy
16
3
1
3²7
18²x
7
81 zxz
223)368(
11
1³3)²
7
9(
z
x
24)
3
8( y
Indicada por: quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b):
(a + b)(a – b) = a² - b²
Forma expandida:
(a + b)(a - b) = a² - ab + ba – b² = a² - ab +ab - b² = a² - b²
Então: (a + b)(a – b) = a² - b²
Produto da soma pela diferença
E quando é necessário utilizar outros expoentes?
Utiliza-se a seguinte fórmula:
Produto da soma pela diferença
n
k
kknnnbababa
1
1).()(
Produto da soma pela diferença
O produto notável (a + b) . (a - b) segundo a Geometria Considere um retângulo de lados com medida (a + b) e (a – b).
A área do retângulo laranja é (a + b) . (a – b)
a
b
a b
(a - b)
(a + b)
a b
b
a
A área da figura obtida pode ser expressa por a² - b²
Produto da soma pela diferença
Exemplo:
(5x + y)(5x – y) =
(x² + x)(x² - x) =
25x² - 5xy + 5xy – y² = 25x² - y²
x⁴ - x³ + x³ - x² = x⁴ - x²
Produto da soma pela diferença
Praticando:
)²²).(²²(4444
xaxaxaxa
)3
6).(
3
6( 2
1
2
1
yy
)5
3³).(
5
3³( cbcb
8448xaxa
y3
2
²25
96cb
Indicado por: a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)²
Forma expandida:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) =
= a³ + 2a²b +ab² + ba² + 2ab² + b³ =
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Então: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Cubo da soma
Exemplo:
(x + 3)³ =
(2a + b)³ =
x³ + 3(x²)(3) + 3(x)(3²) + 3³ =
= x³ + 9x² + 27x + 27
(2a)³ + 3(2a)²(b) + 3(2a)(b²) + b³ =
= 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³
Cubo da soma
Praticando:
³)³2( ya
²)³( yab
²)³6( 2
1
x
966³²12³8 yayyaa
643²²²3³³ yabyybaba
642
3
63²186 xxx
Cubo da soma
Indicado por: a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)²
Forma expandida:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²) =
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ =
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Então: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Cubo da diferença
Exemplo:
(x - 4)³ =
(3a + b)³ =
Cubo da diferença
x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ =
= x³ - 12x² + 48x - 64
(3a)³ + 3(3a)²(b) + 3(3a)(b²) + b³ =
= 27a³ + 27a²b + 9ab² + b³
Cubo da diferença
Praticando:
³)³2( ya
)³8
5( ab
²)³7
5( a
966³²12³8 yayyaa
³³²²8
15
8
75
512
125babaab
64
7
15²
7
75
77
125aaa
Definição: É o produto de qualquer número de binômios do 1º grau, da forma (x+ a), onde a é um número real ou complexo.
Para dois binômios, teremos: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Para três binômios, teremos:
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
Produto de Stevin