Investigações sobre Técnicas de Arquivamento para Otimizadores ...

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ciências Exatas e da Terra

Programa de Pós-graduação em Sistemas eComputação

Investigações sobre Técnicas de Arquivamento

para Otimizadores Multiobjetivo

Hudson Geovane de Medeiros

Natal-RN

2016

Hudson Geovane de Medeiros

Investigações sobre Técnicas de Arquivamento paraOtimizadores Multiobjetivo

Dissertação apresentada ao Programa dePós-graduação em Sistemas e Computaçãodo Centro de Ciências Exatas e da Terrada Universidade Federal do Rio Grande doNorte como requisito parcial para a obtençãodo grau de Mestre em Sistemas e Computa-ção.

Orientadora

Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNPrograma de Pós-graduação em Sistemas e Computação

Natal-RN

2016

Medeiros, Hudson Geovane de. Investigações sobre técnicas de arquivamento paraotimizadores multiobjetivo / Hudson Geovane de Medeiros. -Natal, 2016. 203f: il.

Orientadora: Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação.

1. Algoritmos evolucionários. 2. Otimização multiobjetivo.3. Técnicas de arquivamento. I. Goldbarg, Elizabeth FerreiraGouvêa. II. Título.

Catalogação da Publicação na FonteUniversidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Agradecimentos

Agradeço aos professores D.Sc. Marco Cesar Goldbarg, D.Sc. Silvia Maria Diniz Mon-

teiro e D.Sc. Aurora Trindad Ramirez Pozo pela aceitação do convite de participação nas

bancas de qualificação e defesa de dissertação, além da contribuição com ideias durante a

realização deste trabalho.

Agradeço, por fim, sinceramente e especialmente à minha orientadora, professora D.Sc.

Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg, pelo apoio e trabalho despendido durante toda a

realização desta pesquisa, e pela disponibilidade quase onitemporal que me foi oferecida

de sua parte.

Investigações sobre Técnicas de Arquivamento paraOtimizadores Multiobjetivo

Autor: Hudson Geovane de Medeiros

Orientadora: Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg

Resumo

Problemas multiobjetivo possuem, em geral, diversas soluções ótimas, as quais compõem

o conjunto Pareto ótimo. Uma classe de algoritmos heurísticos para tais problemas, aqui

chamados de otimizadores, produz aproximações deste conjunto. O conjunto de aproxima-

ção mantido pelo otimizador pode ser ilimitado ou limitado. A vantagem de utilizar um

arquivo ilimitado é a garantia de que todas as soluções não-dominadas geradas durante o

processo serão mantidas. Entretanto, devido ao grande número de soluções que podem ser

geradas, a manutenção do arquivo com a comparação frequente entre todas as soluções

demanda, muitas vezes, um alto custo computacional. A alternativa é usar um arquivo

limitado. O problema que surge neste caso é a necessidade de descartar soluções quando

novas não-dominadas são geradas e o arquivo já se encontra totalmente preenchido. Al-

gumas técnicas foram propostas para lidar com este problema, no entanto investigações

mostraram que nenhuma delas é completamente capaz de prevenir a deterioração dos ar-

quivos. Este trabalho investiga uma técnica para ser usada em conjunto com as propostas

previamente na literatura para lidar com arquivos limitados. A técnica consiste em manter

soluções descartadas em um arquivo secundário e reciclar periodicamente tais soluções.

São apresentados três métodos para a reciclagem. Para verificar as propostas são capazes

de melhorar o conteúdo dos arquivos durante a otimização, elas foram implementadas

em conjunto com outras da literatura. Um experimento computacional com os algoritmos

NSGA-II, SPEA2, PAES, MOEA/D e NSGA-III, aplicados a diversas classes de proble-

mas é apresentado. O potencial e as dificuldades das técnicas propostas são avaliados com

base em testes estatísticos.

Palavras-chave: Otimização multiobjetivo, Técnicas de arquivamento, Algoritmos evolu-

cionários

Investigations into Archiving Techniques forMulti-objective Optimizers

Author: Hudson Geovane de Medeiros

Advisor: Prof. Dr. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg

Abstract

Multi-objective problems may have many optimal solutions, which together form the

Pareto optimal set. A class of heuristic algorithms for those problems, in this work called

optimizers, produces approximations of this optimal set. The approximation set kept by

the optmizer may be limited or unlimited. The benefit of using an unlimited archive

is to guarantee that all the nondominated solutions generated in the process will be

saved. However, due to the large number of solutions that can be generated, to keep an

archive and compare frequently new solutions to the stored ones may demand a high

computational cost. The alternative is to use a limited archive. The problem that emerges

from this situation is the need of discarding nondominated solutions when the archive is

full. Some techniques were proposed to handle this problem, but investigations show that

none of them can surely prevent the deterioration of the archives. This work investigates a

technique to be used together with the previously proposed ideas in the literature to deal

with limited archives. The technique consists on keeping discarded solutions in a secondary

archive, and periodically recycle these solutions, bringing them back to the optimization.

Three methods of recycling are presented. In order to verify if these ideas are capable

to improve the archive content during the optimization, they were implemented together

with other techniques from the literature. An computational experiment with NSGA-II,

SPEA2, PAES, MOEA/D and NSGA-III algorithms, applied to many classes of problems

is presented. The potential and the difficulties of the proposed techniques are evaluated

based on statistical tests.

Keywords : Multi-objective Optimization, Archiving techniques, Evolutionary algorithms

Lista de figuras

1 Representação do ponto ideal em 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

2 Distance Archiver C-deteriora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

3 Representação do ARA em 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

4 Resultados de hipervolume para a instância 2000-3D . . . . . . . . . . p. 46

5 Resultados de hipervolume para a instância seq1to2-2d-2000 . . . . . . p. 46

6 Representação dos pontos de referência do NSGA-III(DEB; JAIN, 2014). p. 58

7 Fronteira de Pareto do problema ZTD1. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68




11 Fronteira de Pareto do problema DTLZ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

12 Fronteira de Pareto do problema DTLZ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

13 Resultados – NSGAII – DTLZ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82

14 Resultados de hipervolume – NSGA-II – PQA . . . . . . . . . . . . . . p. 86

15 Resultados de hipervolume – SPEA2 – PQA . . . . . . . . . . . . . . . p. 93

16 Resultados de ε-aditivo – SPEA2 – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 93

17 Resultados – SPEA2 – WFG6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 96

18 Resultados – SPEA2 – WFG4–5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 114

19 Resultados do NSGA-II para o Problema da Mochila. . . . . . . . . . . p. 124

Lista de tabelas

1 Arquivadores e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

2 Número de pontos ótimos salvos por cada arquivador nas instâncias. . . p. 43

3 Cardinalidade da saída do ARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

4 Ordenação de acordo com o hipervolume obtidos pelos arquivadores . . p. 44

5 Resultados do hipervolume dos Arquivadores . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

6 Resultados do ε-aditivo dos arquivadores . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

7 Tempo gasto (em segundos) por cada arquivador . . . . . . . . . . . . . p. 47

8 Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

9 Problemas aplicados aos otimizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76

10 Resultados de hipervolume médio na última iteração – NSGA-II – Pro-

blema da Mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79

11 Tempo médio gasto pelos métodos no Problema da Mochila. . . . . . . p. 81

12 Resultados de ε-aditivo para o NSGA-II – DTLZ . . . . . . . . . . . . . p. 81

13 Resultados de hipervolume para o NSGA-II – DTLZ . . . . . . . . . . p. 82

14 Média de tempos (em segundos) gasto por cada variante do NSGA-II –

DTLZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83

15 Hipervolumes médios – NSGA-II – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83

16 ε-aditivo médio – NSGA-II – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84

17 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – PQA . . . . p. 86

18 Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas WFG . . . . . . . . . . . . p. 87

19 ε-adtivo médio – NSGA-II – Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . p. 87

20 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas WFG p. 88

21 Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . p. 88

22 ε-adtivo médio – NSGA-II – Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

23 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas LZ09 p. 89

24 Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas Contínuos . . . . . . . . . p. 89

25 ε-aditivo médio – NSGA-II – Problemas Contínuos . . . . . . . . . . . p. 90

26 Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas

Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90

27 Hipervolume médio – SPEA2 – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91

28 ε-aditivo médio – SPEA2 – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91

29 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – PQA . . . . . p. 94

30 Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . p. 94

31 ε-aditivo médio – SPEA2 – Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . p. 95

32 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas WFG p. 96

33 Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . p. 97

34 ε-aditivo médio – SPEA2 – Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . p. 97

35 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas LZ09 p. 98

36 Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas Contínuos . . . . . . . . . . p. 98

37 ε-aditivo médio – SPEA2 – Problemas Contínuos . . . . . . . . . . . . p. 99

38 Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas Con-

tínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

39 Hipervolume médio – PAES – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100

40 ε-aditivo médio – PAES – PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100

41 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – PQA . . . . . . p. 101

42 Hipervolume médio – PAES – Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . p. 101

43 ε-aditivo médio – PAES – Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102

44 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas WFG p. 103

45 Hipervolume médio – PAES – Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . p. 103

46 ε-aditivo médio – PAES – Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104

47 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas LZ09 p. 104

48 Hipervolume médio – PAES – Problemas Contínuos . . . . . . . . . . . p. 104

49 ε-aditivo médio – PAES – Problemas Contínuos . . . . . . . . . . . . . p. 105

50 Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas LZ09 p. 105

51 Resultados de hipervolume obtidos pelo MOEA/D – ZDT. . . . . . . . p. 107

52 Resultados de ε-aditivo obtidos pelo MOEA/D – ZDT. . . . . . . . . . p. 107

53 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – MOEA/D – Pro-

blemas ZDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 107

54 Hipervolume médio do MOEA/D aos problemas DTLZ. . . . . . . . . . p. 108

55 ε-aditivo médio do MOEA/D aos problemas DTLZ. . . . . . . . . . . . p. 108

56 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – MOEA/D – Pro-

blemas DTLZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 109

57 Resultados de hipervolumes do NSGA-III aos problemas ZDT . . . . . p. 109

58 Resultados de ε-aditivo do NSGA-III aos problemas ZDT . . . . . . . . p. 110

59 Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III – Pro-

blemas ZDT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110

60 Resultados de hipervolumes do NSGA-III aos problemas DTLZ . . . . p. 111

61 Resultados de ε-aditivo do NSGA-III aos problemas DTLZ . . . . . . . p. 111


blemas DTLZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 111

63 Hipervolumes obtidos pelo NSGA-III no Problema do Caixeiro Viajante p. 112


blema do Caixeiro Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

65 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 100–2 . . . . . . . . . . p. 125





70 Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 250–4 (∗1015) . . . . . . p. 126







77 Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ1–2D. . . p. 128



80 Resultados de ε-aditivo – NSGA-II para o problema DTLZ1–2D. . . . . p. 129







87 Hipervolumes – NSGAII – PQA10-2 Semente 123 . . . . . . . . . . . . p. 131




91 Hipervolumes – NSGAII – PQA20-2 Semente 88 . . . . . . . . . . . . . p. 132






97 ε-aditivo – NSGAII – PQA10-2 Semente 123 . . . . . . . . . . . . . . . p. 134




101 ε-aditivo – NSGAII – PQA20-2 Semente 88 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 135



104 ε-aditivo – NSGAII – PQA20-3 Semente 3438 . . . . . . . . . . . . . . p. 136



107 Hipervolumes – NSGAII – WFG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 137









116 ε-aditivo – NSGAII – WFG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 140









125 Hipervolumes – NSGAII – LZ09F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143









134 ε-aditivo – NSGAII – LZ09F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 146









143 Hipervolumes – NSGAII – Kursawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 149

144 Hipervolumes – NSGAII – Fonseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 149

145 Hipervolumes – NSGAII – Viennet2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 149

146 Hipervolumes – NSGAII – Viennet3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 150

147 ε-aditivo – NSGAII – Kursawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 150

148 ε-aditivo – NSGAII – Fonseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 151

149 ε-aditivo – NSGAII – Viennet2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 151

150 ε-aditivo – NSGAII – Viennet3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 151

151 Hipervolumes – SPEA2 – PQA10-2 Semente 123 . . . . . . . . . . . . . p. 151







158 Hipervolumes – SPEA2 – PQA20-3 Semente 3438 . . . . . . . . . . . . p. 153



161 ε-aditivo – SPEA2 – PQA10-2 Semente 123 . . . . . . . . . . . . . . . p. 155




165 ε-aditivo – SPEA2 – PQA20-2 Semente 88 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 156






171 Hipervolumes – SPEA2 – WFG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 158









180 ε-aditivo – SPEA2 – WFG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 161









189 Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 163









198 ε-aditivo – SPEA2 – LZ09F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 166









207 Hipervolumes – SPEA2 – Kursawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 169

208 Hipervolumes – SPEA2 – Fonseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 169

209 Hipervolumes – SPEA2 – Viennet2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 169

210 Hipervolumes – SPEA2 – Viennet3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 170

211 ε-aditivo – SPEA2 – Kursawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 170

212 ε-aditivo – SPEA2 – Fonseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171

213 ε-aditivo – SPEA2 – Viennet2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171

214 ε-aditivo – SPEA2 – Viennet3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171

215 Hipervolumes – PAES – PQA10-2 Semente 123 . . . . . . . . . . . . . p. 171




219 Hipervolumes – PAES – PQA20-2 Semente 88 . . . . . . . . . . . . . . p. 172






225 ε-aditivo – PAES – PQA10-2 Semente 123 . . . . . . . . . . . . . . . . p. 175




229 ε-aditivo – PAES – PQA20-2 Semente 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 176






235 Hipervolumes – PAES – WFG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 178









244 ε-aditivo – PAES – WFG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 181









253 Hipervolumes – PAES – LZ09F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 184









262 ε-aditivo – PAES – LZ09F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 187









271 Hipervolumes – PAES – Kursawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 190

272 Hipervolumes – PAES – Fonseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 190

273 Hipervolumes – PAES – Viennet2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 190

274 Hipervolumes – PAES – Viennet3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 191

275 ε-aditivo – PAES – Kursawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 191

276 ε-aditivo – PAES – Fonseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 192

277 ε-aditivo – PAES – Viennet2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 192

278 ε-aditivo – PAES – Viennet3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 192

279 Hipervolumes – MOEA/D – ZDT1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 192




283 Indicador ε-aditivo – MOEA/D – ZDT1. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 193




287 Hipervolumes – MOEA/D – DTLZ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 195




291 Indicador ε-aditivo – MOEA/D – DTLZ1. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 196




295 Hipervolumes – NSGA-III – ZDT1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 198




299 Indicador ε-aditivo – NSGA-III – ZDT1. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 199




303 Hipervolumes – NSGA-III – DTLZ1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 200




307 Indicador ε-aditivo – NSGA-III – DTLZ1. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 201




311 Hipervolumes – NSGA-III – TSP100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 202

312 Hipervolumes – NSGA-III – TSP150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 203

Lista de algoritmos

1 Arquivador Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

2 Reciclagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

3 Atribuição de Distância de Aglomeração . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

4 Nondominated Sorting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

5 PAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

6 SPEA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

7 MOEA/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

Sumário

1 Introdução p. 24

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

1.2 Proposta e Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

1.4 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

1.5 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

2 Referencial Teórico p. 29

2.1 Problemas Multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.2 Indicadores de Qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

2.3 Arquivadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

3 Investigações Sobre os Arquivadores p. 40

3.1 Resultados Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

3.2 Experimentos sobre os Arquivadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

3.2.1 Descrição das Instâncias Estáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

3.2.2 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

4 Reciclagem de Soluções p. 48

4.1 Técnicas de Reciclagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

4.2 Otimizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

4.2.1 NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

4.2.2 PAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

4.2.3 SPEA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

4.2.4 MOEA/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

4.2.4.1 Evolução Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

4.2.5 NSGA-III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

4.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

4.3.1 Problema da mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

4.3.2 Problema do Caixeiro Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

4.3.3 Problema Quadrático de Alocação (PQA) . . . . . . . . . . . . p. 61

4.3.4 Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

4.3.5 Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

4.3.6 Problemas ZDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

4.3.7 Problemas DTLZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

4.3.8 Outros Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74

5 Resultados Experimentais Sobre os Otimizadores p. 76

5.1 Metodologia de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

5.2 Resultados NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

5.2.1 NSGA-II Aplicado ao Problema da Mochila . . . . . . . . . . . p. 78

5.2.2 NSGA-II Aplicado aos problemas DTLZ . . . . . . . . . . . . . p. 80

5.2.3 NSGA-II Aplicado ao PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83

5.2.4 NSGA-II Aplicado aos Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . p. 86

5.2.5 NSGA-II Aplicado aos problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . p. 88

5.2.6 NSGA-II – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet . . . . . . . p. 89

5.3 Resultados SPEA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91

5.3.1 SPEA2 Aplicado ao PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91

5.3.2 SPEA2 Aplicado aos Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . p. 94

5.3.3 SPEA2 Aplicado aos Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . p. 96

5.3.4 SPEA2 – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet . . . . . . . . p. 97

5.4 Resultados PAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

5.4.1 PAES Aplicado ao PQA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

5.4.2 PAES Aplicado aos Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . p. 100

5.4.3 PAES Aplicado aos Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . p. 103

5.4.4 PAES – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet . . . . . . . . . p. 103

5.5 Comparações entre NSGA-II, SPEA2 e PAES . . . . . . . . . . . . . . p. 105

5.6 Resultados MOEA/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 106

5.6.1 MOEA/D Aplicado aos Problemas ZDT . . . . . . . . . . . . . p. 106

5.6.2 MOEA/D Aplicado aos Problemas DTLZ . . . . . . . . . . . . p. 108

5.7 Resultados NSGA-III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 109

5.7.1 NSGA-III Aplicado aos Problemas ZDT . . . . . . . . . . . . . p. 109

5.7.2 NSGA-III Aplicado aos Problemas DTLZ . . . . . . . . . . . . . p. 110

5.7.3 NSGA-III Aplicado ao Problema do Caixeiro Viajante . . . . . p. 111

6 Considerações finais p. 113

Referências p. 116

Apêndice A -- Geração de instâncias p. 120

Apêndice B -- Tabelas e Gráficos de Resultados p. 123

B.1 Resultados NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 123

B.1.1 Problema da Mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 123

B.1.2 Problemas DTLZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 128

B.1.3 Problema Quadrático de Alocação . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 131

B.1.4 Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 137

B.1.5 Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143

B.1.6 Problemas Kursawe, Fonseca e Viennet . . . . . . . . . . . . . . p. 149

B.2 Resultados SPEA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 149


B.2.2 Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 158

B.2.3 Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 161


B.3 Resultados PAES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 169


B.3.2 Problemas WFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 178

B.3.3 Problemas LZ09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 184


B.4 Resultados MOEA/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 190

B.4.1 Problemas ZDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 191


B.5 NSGA-III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 198

B.5.1 Problemas ZDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 198


B.5.3 Problema do Caixeiro Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 199

24

1 Introdução

Este capítulo apresenta ideias iniciais sobre o trabalho, como a motivação e seus

objetivos, além da metodologia e contribuições. Está organizado em 5 seções. A primeira

apresenta a motivação da realização da presente pesquisa. Na segunda seção estão descritas

as propostas e os objetivos., seguidos da metodologia e contribuições do trabalho. Por fim,

a Seção 1.5 dispõe sobre a organização geral deste documento.

1.1 Motivação

A ciência da computação vem há muito tempo trabalhando na resolução problemas de

otimização, que são aqueles nos quais se quer achar a melhor solução dentre as possíveis

soluções de um problema. Nestes problemas, que, no que diz respeito às variáveis, podem

ser contínuos ou discretos, podem haver métodos simples de comparação entre as soluções,

como por exemplo o problema de achar o caminho mais curto entre duas cidades: a melhor

solução será simplesmente a que tiver a menor distância. No entanto, nos problemas

enfrentados no mundo real, geralmente existem vários objetivos a serem atingidos, o que

torna a tomada de decisão mais complexa, uma vez que uma solução pode ser melhor

para alguns objetivos e não para outros. Baseada neste contexto, surge a otimização

multiobjetivo.

A otimização multiobjetivo é o campo de estudo que busca solucionar problemas com

mais de uma função objetivo, otimizando-as simultaneamente. Ela se aplica a diversos

problemas reais, como distribuição de produtos através de oleodutos de petróleo, desenho

de redes de telecomunicações, gestão de combustível nuclear, entre outros (HUBAND et

al., 2006). Dado que soluções podem ser melhores em uns objetivos e piores em outros

– chamadas soluções incomparáveis, o que ocorre naturalmente é que não exista apenas

uma solução que seja ótima em todos os objetivos, mas um conjunto de soluções ótimas.

Na maioria das vezes, problemas multiobjetivo são mais complexos que os com apenas

25

um objetivo. Enquanto vários problemas com um único objetivo são resolvidos em tempo

polinomial, suas versões multiobjetivo pertencem à classe NP-difícil, como é o caso do

problema da árvore geradora mínima(EHRGOTT, 2000). Sendo assim, muitos destes pro-

blemas são atacados com algoritmos heurísticos(CHRISTENSEN, 2007), com a intenção de

chegar a uma aproximação das soluções ótimas em tempo hábil. A literatura, portanto,

propõe técnicas meta-heurísticas para tais problemas, a fim de encontrar boas aproxima-

ções dos conjuntos de soluções ótimas. O conjunto de soluções gerado por um método

heurístico é chamado de conjunto de aproximação.

O conjunto de aproximação utilizado pelos algoritmos pode ter tamanho limitado ou

ser ilimitado. Com a utilização de um arquivo ilimitado, serão salvas todas as soluções

não-dominadas (incomparáveis) geradas no processo de otimização. Apesar de isto ser uma

boa característica, pode demandar muito tempo, pois a cada nova solução gerada, deverá

ser feita a comparação entre ela e as soluções já contidas no arquivo. Como o arquivo

pode conter muitas soluções, isto pode ser computacionalmente custoso. Sendo assim,

geralmente utiliza-se um arquivo de tamanho limitado. Naturalmente esta abordagem

também gera um problema, que é a possibilidade de descarte de soluções que até então

são não-dominadas, pois caso o arquivo já esteja cheio, algumas soluções terão de ser

descartadas. É, portanto, necessária uma técnica de arquivamento, a fim de selecionar

quais soluções serão descartadas e quais serão mantidas neste arquivo limitado. Diversas

técnicas foram propostas na literatura e algumas delas analisadas em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;

KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Tal análise apontou um problema presente na maioria dos

destas técnicas de arquivamento, também chamadas de arquivadores: a deterioração. Este

fenômeno ocorre quando, ao longo do processo de otimização, o conjunto de aproximação

mantém alguma(s) solução(ões) pior(es) que uma(outras) anteriormente descartada(s),

podendo manter um conjunto inteiro pior que um conjunto de uma iteração anterior (as

definições mais precisas de pior – ou melhor – são dadas no Capítulo 2), ou seja, o conjunto

de aproximação foi deteriorado. A partir do conhecimento deste problema comum que este

trabalho surge, interessado em analisar novos arquivadores descritos na literatura e propor

uma ideia a ser experimentada com o intuito de amenizar o problema da deterioração.

1.2 Proposta e Objetivos

O trabalho realizado por (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) analisou al-

guns arquivadores e concluiu que a grande maioria deles poderia deteriorar. Os que eram

monótonos, isto é, não deterioravam, eram estruturados de forma diferente, e apresenta-

26

vam outros problemas talvez piores, como manter poucas características de diversificação,

não salvar muitas soluções, dentre outros problemas. O presente trabalho propões a ideia

da reciclagem de soluções descartadas a fim de minorar o problema da deterioração. São

propostas e avaliadas três técnicas de reciclagem. Além disto, arquivadores não investiga-

dos em(LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) são avaliados em aspectos teóricos

e experimentais.

De forma mais específica, os objetivos deste trabalho são:

• Analisar os novos arquivadores da literatura de forma teórica, para verificar suas

propriedades, checando assim suas qualidades e fragilidades de um ponto de vista

matemático, dando suporte a futuros estudos acerca do tema.

• Realizar experimentos sobre estes arquivadores, simulando um algoritmo de otimi-

zação, para compará-los entre si com métodos baseados em indicadores de qualidade

e tempo de execução.

• Propor a utilização da reciclagem de soluções com a investigação de três técnicas

introduzidas neste trabalho.

• Realizar experimentos com algoritmos e problemas da literatura a fim de verificar

se a proposta de reciclagem é capaz de aumentar a qualidade dos conjuntos de

aproximação mantidos por algoritmos.

1.3 Metodologia

Primeiramente, as técnicas de arquivamento foram analisadas teoricamente, verificando-

se suas propriedades. Em seguida, foram feitos experimentos para compará-las em termos

de indicadores de qualidade e tempos de execução.

As análises teóricas realizadas neste trabalho são bastante parecidas com as feitas em

(LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Foram verificadas 6 propriedades deseja-

das aos arquivadores, dizendo respeito à deterioração de soluções, de conjuntos, garantia

de otimalidade de suas soluções, entre outras. Para a comparação experimental, base-

ada em indicadores de qualidade propostos na literatura, os arquivadores foram subme-

tidos a conjuntos sequenciais de pontos, para simular uma otimização real. Dessa forma,

analisa-se quais soluções são salvas por cada arquivador e qual a qualidade do conjunto

mantido. Quatro novos arquivadores estudados neste trabalho foram implementados para

27

estes experimentos, e os outros foram analisados e disponibilizados por (LÓPEZ-IBÁÑEZ;

KNOWLES; LAUMANNS, 2011).

Baseando-se nesta análise inicial, emerge a proposta principal deste trabalho: a re-

ciclagem de soluções. O objetivo é tentar evitar o problema de deterioração utilizando

um arquivador secundário, que salva as soluções que seriam descartadas, para periodi-

camente reconduzi-las ao arquivador principal, caso sua reintrodução produza melhorias.

Este trabalho trata este arquivador secundário como cesta de reciclagem. Muitas formas

podem ser pensadas para a aplicação da proposta de reciclagem, e este trabalho propõe

três formas, que serão descritas posteriormente.

Foram propostas três técnicas de reciclagem para uso conjunto com otimizadores

e arquivadores existentes na literatura. Foram utilizadas implementações de algoritmos

disponíveis nas plataformas PISA(BLEULER et al., 2003) (NSGA-II) e jMetal (DURILLO;

NEBRO, 2011) (PAES, SPEA2, MOEA/D e NSGA-III). Os testes computacionais foram

realizados com 5 otimizadores e suas respectivas técnicas de arquivamento. Foram feitos

testes com problemas discretos e contínuos utilizados como benchmark em diversas pro-

postas algorítmicas da literatura. A qualidade dos conjuntos de aproximação foi medida

periodicamente, analisando-se o conjunto de aproximação não apenas ao final da execução

do algoritmo, mas por todo processo de otimização.

1.4 Contribuições

A principal contribuição deste trabalho está na investigação de técnicas para reutilizar

soluções descartadas por arquivadores presentes em algoritmos da literatura.

A pesquisa realizada neste trabalho teve dois vieses: teórico e experimental. Os pri-

meiros resultados obtidos, de caráter teórico e matemático, foram publicados no Brazilian

Conference on Intelligent Systems (BRACIS), em 2014. O trabalho (MEDEIROS; GOLD-

BARG; GOLDBARG, 2014) publicou as análises teóricas de arquivadores, estendendo o

trabalho inicial realizado por (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Além disso,

(MEDEIROS; GOLDBARG; GOLDBARG, 2014) também apresenta os resultados experimen-

tais obtidos pelos arquivadores, que foram submetidos a testes com instâncias estáticas,

simulando um processo de otimização, com o propósito de medir a qualidade do conjunto

mantido pelos novos arquivadores em termos de indicadores de qualidade, e compará-los

com os outros arquivadores. Ademais, o trabalho publicado no BRACIS introduziu a ideia

da cesta de reciclagem, verificando, ao final das simulações com os conjuntos estáticos, o

28

tempo gasto pelo cálculo das soluções ótimas do conjunto de entrada – considerando o

conjunto do arquivador e as soluções descartadas.

Considerando o viés experimental, este trabalho analisa de forma empírica um pro-

blema enfrentado pelas mais variadas formas de seleção dentre os otimizadores: a deterio-

ração de soluções dentro conjunto de aproximação. A contribuição a respeito dos experi-

mentos concerne à técnica de reciclagem, indicando quando ela pode ser bem empregada

para melhorar a saída dos algoritmos de otimização.

1.5 Organização do Trabalho

Esta dissertação está dividida em oito capítulos, além de conter dois apêndices. Este,

o primeiro, trata de esclarecimentos introdutórios sobre a proposta deste trabalho, bem

como seus objetivos e contribuições para a literatura. Em seguida, o Capítulo 2 apresenta

uma base teórica que deve ser compreendida para um melhor entendimento do que foi

realizado na presente pesquisa, conceituando os principais aspectos referentes à otimi-

zação multiobjetivo e aos arquivadores estudados. O Capítulo 3 discute inicialmente os

resultados teóricos obtidos na pesquisa acerca das propriedades dos arquivadores, e então

reporta os resultados experimentais dos testes realizados com instâncias estáticas, apli-

cada aos arquivadores para verificar a qualidade dos conjuntos mantidos por cada técnica

de arquivamento.

No Capítulo 4, é introduzida de forma mais específica a proposta principal deste tra-

balho: a reciclagem periódica de soluções. Nele são descritas as técnicas utilizadas nos

otimizadores, que também são apresentados de forma mais precisa. Além disso, os proble-

mas aos quais os algoritmos foram aplicados também são definidos no referido capítulo.

Por fim, o Capítulo 5 apresenta a metodologia de comparação entre as técnicas de

reciclagem e os resultados obtidos pelos diversos algoritmos para os problemas definidos

no Capítulo 4. O Capítulo 6 faz as considerações finais e indica os trabalhos futuros que

poderão ser realizados no que diz respeito à continuação este trabalho. Após as Referên-

cias, que são apresentadas em seguida, os dois apêndices mostram, respectivamente, (A)

o código utilizado para a geração das instâncias estáticas que foram utilizadas nos experi-

mentos descritos no Capítulo 3, e (B) os resultados completos obtidos pelos otimizadores,

mostrando para cada técnica de reciclagem os indicadores medidos periodicamente.

29

2 Referencial Teórico

Este capítulo apresenta conceitos e definições em problemas multiobjetivo. Está di-

vidido em 3 seções. De início, são definidos os problemas multiobjetivo e os conceitos

necessários a sua compreensão, como ordens de relação entre soluções e conjuntos de

aproximação. Em seguida são apresentados definições sobre indicadores de qualidade, que

são formas de medição e comparação da qualidade da saída dos algoritmos. Por fim,

são apresentados e analisados métodos de arquivamento de soluções, que são utilizados

durante o processo de otimização.

2.1 Problemas Multiobjetivo

Um problema multiobjetivo geral é definido por

maxx∈Xf(x) = (f1(x), . . . , fd(x)) (2.1)

onde X ⊆ Rn é o conjunto de soluções viáveis, f : Rn → Rd é a função que terá como

imagem a representação do vetor objetivo de cada solução, isto é, f(x) é um vetor que

contém os valores de cada objetivo da solução x para o problema multiobjetivo em ques-

tão. A expressão 2.1 representa um problema de maximização, no entanto, os problemas

multiobjetivo podem ser definidos para minimização ou ainda com alguns objetivos a

serem maximizados e outros minimizados.

Comparar soluções em problemas mono-objetivo é uma tarefa simples, bastando en-

contrar uma solução cujo valor seja um máximo (ou mínimo) da função objetivo. Em

problemas multiobjetivo, em geral, isto não ocorre. Com efeito, é possível que para deter-

minada instância de um problema multiobjetivo exista uma solução que seja melhor que

todas as outras, mas este é um cenário bastante específico. Em geral, existe um conjunto

de soluções ótimas, chamado conjunto Pareto ótimo ou conjunto eficiente. Decidir qual

das soluções ótimas é a melhor para uma determinada aplicação nem sempre é tarefa fácil

e existem diversas abordagens para lidar com este problema. Um resumo de tais aborda-

30

gens é apresentado por (DEB, 2001). Esta dissertação adota a abordagem da dominância

de Pareto a qual procura exibir o conjunto Pareto ótimo, um subconjunto dele ou uma

aproximação. Algumas definições e conceitos básicos são dados a seguir.

Definição 1 Sejam y = f(x), y′ = f(x′) vetores objetivo de duas soluções distintas, diz-se

que y domina y′ (analogamente, x domina x′), denotado por y ≺ y′, se e somente se

∀i ∈ 1, . . . , d, fi(x) ≥ fi(x′), e ∃k, 1 ≤ k ≤ d, fk(x) > fk(x

′).

Definição 2 Sejam y = f(x), y′ = f(x′) vetores objetivo de duas soluções distintas, diz-

se que y é incomparável a y′ (x é incomparável a x′), denotado por y||y′, se e somente

se

not (y ≺ y′ or y′ ≺ y)

Definição 3 Uma solução x∗ é dita ótima se e somente se 6 ∃x tal que f(x) ≺ f(x∗). O

conjunto ótimo de Pareto, denotado por X∗, é o conjunto que contém todas as soluções

ótimas possíveis.

Definição 4 Seja X∗ ⊆ X o conjunto ótimo de Pareto, então a imagem de X∗ no espaço

objetivo é chamada de Pareto Front (fronteira de Pareto) e denotada por Y ∗.

Definição 5 Um conjunto de soluções mutuamente incomparáveis é chamado de conjunto

não-dominado. Seja X ′ ⊆ X um conjunto de soluções, X ′ é um conjunto não-dominado

se e somente se ∀x′, x′′ ∈ X ′, x′||x′′.

Definição 6 Sejam A e B dois conjuntos não-dominados, tal que A 6= B. Se todo b ∈ Bfor dominado por pelo menos um ponto a ∈ A, então diz-se que A é um conjunto melhor

que B, denotado por ACB.

Definição 7 Um conjunto de aproximação é qualquer P ⊆ Y . Seja |P | = N , P é dito

um conjunto de aproximação ótimo de tamanho N de Y ∗ se não houver conjunto P ′ ⊆ Y ,

tal que |P ′| ≤ N e P ′ C P .

O operador C compara dois conjuntos de forma que A é dito melhor que B se, e

somente se toda a área do espaço objetivo dominada por B seja dominada também por A.

31

No entanto, ela é bem limitada e não é suficiente para comparar quaisquer dois conjuntos

não-dominados durante o processo de otimização, pois provavelmente ambos os conjuntos

terão áreas de dominância exclusivas, isto é, que não são dominadas pelo outro conjunto.

Sejam A e B dois conjuntos não-dominados e distintos tais que A ⊂ X∗ e B ⊂ X∗.

Trivialmente sabe-se que nem A é melhor que B e nem B é melhor que A (Definição 6).

Se, no processo de otimização, o algoritmo tiver de optar por um só destes conjuntos, o

operador C não traria conhecimento suficiente para uma boa tomada de decisão, uma vez

que nem A C B nem B C A. Sendo assim, percebe-se que são necessárias outras formas

de comparação entre conjuntos de soluções não-dominadas. A Seção 2.2 apresenta alguns

indicadores de qualidade de conjuntos.

2.2 Indicadores de Qualidade

Pensando em comparar algoritmos de otimização multiobjetivo, muitos métodos de

avaliação foram propostos para indicar a qualidade da saída desses algoritmos. Seja A

um conjunto de soluções; então um indicador de qualidade unário é definido com uma

função que mapeia de A até um número real, isto é, f : Λ → R é um operador unário,

considerando Λ o conjunto das partes de X (X é o conjunto de soluções válidas). É

também necessário definir uma função de interpretação, tal que dados os valores de algum

indicador para dois conjuntos A e B, seja possível entender a diferença de qualidade

entre os dois conjuntos, no que diz respeito ao atributo de investigação do indicador.

Conclui-se que um método de comparação deve ter um indicador de qualidade e uma

função de interpretação. Duas importantes propriedades destes métodos de comparação,

compatibilidade e completude, são investigadas em (ZITZLER et al., 2003).

Seja Υ o conjunto de todos os conjuntos não-dominados de Y , um operador binário

e assumindo um indicador de qualidade I que deva ser minimizado. Um método de com-

paração é dito -compatível se para quaisquer A,B ∈ Υ, A B or B A. Além disso, um

método de comparação baseado em I é dito -completo se A B implicar em uma melhor

performance do indicador de A com relação a B, ou seja, A B → I(A) < I(B)(ZITZLER

et al., 2003). Dois indicadores de especial interesse para este trabalho são: hipervolume e

ε-aditivo.

Indicador de Hipervolume O indicador de hipervolume (anteriormente conhecido

na literatura como métrica S) é um dos indicadores de qualidade mais utilizados para

a avaliação de conjuntos de aproximação, i.e., subconjuntos de Y. HY P (A) é definido

32

pela integral de Lebesgue da união de todas regiões dominadas por A, limitadas por

um ponto b ∈ Rd que é dominado por todos os pontos de Y ∗ (ZITZLER; THIELE, 1999).

Obviamente o indicador precisa ser maximizado, indicando assim uma maior cobertura

do espaço objetivo. Um método de comparação baseado em HY P () é C-completo e (¬C)-

compatível (ZITZLER et al., 2003). Isso ocorre pois se ACB, então há uma região no espaço

objetivo dominada por A que não é dominada por B, com o mesmo não ocorrendo de B

para A. Por outro lado, se HY P (A) < HY P (B), então é possível concluir que ¬(ACB).

Indicador ε-aditivo Existem duas versão do indicador ε, propostos tanto na versão

binária quanto unária. Neste trabalho a versão unária e aditiva foi considerada. Seja

z = f(x), z′ = f(x′) dois pontos d-dimensionais. z′ é dito ε-dominado por z se, e somente

se ∀i ∈ 1, . . . , d, fi(z) ≤ fi(z′) + ε. O indicador ε aditivo unário é definido como segue:

seja A um conjunto de aproximação, εadd(A) representa o valor mínimo possível de

epsilon tal que todo ponto em Y ∗ (caso o conjunto Y ∗ não seja conhecido, geralmente

utiliza-se o indicador com um conjunto de referência) seja ε-dominado por algum elemento

de A. Claramente o indicador tem que ser minimizado, diminuindo assim a distância entre

o conjunto avaliado e o conjunto de referência. Um método de comparação baseado no

operador εadd() é (¬C)-compatível.

Estes dois indicadores seguem princípios diferentes. Enquanto o hipervolume mensura

o espaço dominado (limitado por um ponto) pelos pontos do conjunto avaliado, o indicador

ε calcula a proximidade do conjunto com a fronteira de Pareto. Por causa disto, se os

indicadores se contradizem para um mesmo conjunto, isto é, HY P (A) > HY B(B) e

εadd(A) > εadd(B), conclui-se que A e B são incomparáveis(KNOWLES; THIELE; ZITZLER,

2006).

2.3 Arquivadores

Problemas multiobjetivo geralmente possuem um grande número de soluções ótimas,

e a tomada de decisão quando em problemas reais pode ser complexa. Com efeito, é inviá-

vel que todas as soluções não-dominadas encontradas sejam apresentadas como saída do

algoritmo. Além disso, durante o próprio processo de otimização, é impraticável comparar

cada nova solução gerada com todas as soluções não-dominadas geradas até então (para

saber se ela é ótima até então), pois o número de soluções não-dominadas pode ser bas-

tante alto, o que faria com o que o algoritmo perdesse muito tempo comparando soluções

já geradas, em vez de gerar novas soluções e assim continuar a execução da busca. O que

33

geralmente ocorre, portanto, é o armazenamento de apenas um subconjunto de tamanho

restrito das soluções não-dominadas encontradas, de forma que se busque representar da

maneira mais satisfatória possível o conjunto ótimo de Pareto. Sendo assim, cria-se um

repositório – que pode ser alheio ao processo de busca – para armazenar as soluções não-

dominadas geradas. A literatura chama este repositório de arquivador externo (external

archive) (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011).

Durante a execução do algoritmo há um grande número de soluções sendo geradas

e avaliadas. Como o arquivador geralmente possui tamanho limitado, muitas dessas so-

luções são descartadas, ainda que não sejam consideradas dominadas (ver Definição 1)

por nenhuma outra solução gerada até então. O propósito do arquivador é manter um

bom conjunto (bem avaliados pelos indicadores de qualidade) de forma rápida, para que

o algoritmo não gaste muito tempo comparando soluções.

O Algoritmo 1 ilustra como os arquivadores trabalham no processo de otimização,

mantendo um conjunto At−1 e realizando eventuais mudanças de acordo com a qualidade

das novas soluções que vão sendo inseridas. Se o arquivador recebe uma solução y ∈ Y para

ser inserida e ela já é dominada por outra dentro de At−1, então ela será descartada (Linhas

1 e 2). Caso contrário, se y dominar alguma solução (ou várias) do conjunto armazenado,

então todas estas soluções dominadas serão removidas e y será mantida no arquivador

(Linhas 3 e 4, primeira condição do if). Por fim, se a solução a ser inserida é incomparável

com relação às outras do arquivador, ela deve ser mantida. No entanto, se o arquivador

já estiver em sua capacidade máxima, então uma função filter() é chamada, responsável

por remover uma solução de At−1 ∪ y. A decisão de qual solução será removida, isto é,

a implementação da função filter(), é o que torna cada arquivador diferente dos outros.

Algoritmo 1 Arquivador GeralEntrada: At−1, y1: se ∃x ∈ At−1, x ≺ y então2: At ← At−13: senão se ∃x ∈ At−1, y ≺ x or |At−1| < N então4: At ← nds(At−1 ∪ y)5: senão6: At ← filter(At−1 ∪ y)7: fim seSaída: At

Como é possível observar no Algoritmo 1, os arquivadores geralmente funcionam de

forma sequencial, recebendo uma solução por vez se atualizando se necessário. Existem

algumas propriedades que são desejáveis nos arquivadores para garantia de convergência e

34

qualidade. Lopéz-Ibáñez et al. analisaram alguns arquivadores em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNO-

WLES; LAUMANNS, 2011), e este trabalho analisou outros 4 novos propostos na literatura.

As propriedades analisadas são as seguintes:

Propriedade 1 Diversificar. Um arquivador é dito preservar eficiência se quando atua-

lizando At para At+1, |At| = N , apenas pontos na região dominada de At são aceitos para

At+1. Se um arquivador não tem essa propriedade, ele possui a propriedade de diversifi-

cação.

Propriedade 2 Monotonicidade. Um arquviador é dito monótono se não houver a possi-

bilidade de uma solução em At dominar qualquer solução de Au, se u > t. ∀x ∈ Au,∀x′ ∈At, x ≺ x′ ⇒ u > t.

Propriedade 3 C-Monotonicidade. Um arquivador é dito C-monótono se, e somente se

∀At, Au ⊂ Λ, At CAu ⇒ t > u. Esta propriedade é similar à monotonicidade, no entanto

com a relação C entre conjuntos, e não soluções. Obviamente se um arquivador não é

C-monótono, ele não é monótono.

Propriedade 4 ⊆ Y ∗. Um arquivador tem essa propriedade se ele só contiver soluções

ótimas da sequência de entrada processada, i.e., ∀t, At ⊆ Y t∗.

Propriedade 5 Limite-Estável. Seja P um conjunto de soluções, tal que |P | ∈ Z, e X

seja um arquivador. Se ocorrer indefinidamente a inserção de pontos de P em X e isto

fizer com que X convirja para um conjunto estável Xt em tempo finito, então X tem esta

propriedade (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011).

Propriedade 6 Limite-Ótimo. Seja P um conjunto de soluções, tal que |P | ∈ Z, e X

seja um arquivador. Se ocorrer indefinidamente a inserção de pontos de P em X e isto

fizer com que X convirja para um conjunto de aproximação ótimo de tamanho |P | (verDefinição 7) em tempo finito, então X tem a propriedade Limite-Ótimo (LÓPEZ-IBÁÑEZ;


Os arquivadores estudados neste trabalho tem características específicas de objetivo

e complexidade de tempo. Eles são descritos a seguir.

Unbounded Archiver: Este arquivador tem tamanho ilimitado, e portanto, não tem

uma função filter() associada, uma vez que N =∞. Consequentemente, a condição do If

35

da Linha 3 do Algoritmo 1 será sempre verdadeira, pois |At−1| < N . Trivialmente nota-se

que ele sempre terá como saída o Pareto Front, pois poderá manter todas as soluções

não-dominadas da entrada.

Dominating Archiver: Este, quando cheio (assim a função filter() será chamada),

só aceitará novas soluções em seu conteúdo se, e somente se o novo ponto a ser inserido

dominar algum ponto de At−1. Então a instrução At ← filter(At−1 ∪ y) terá o mesmo

efeito de At ← At−1, pois o arquivador não manterá uma nova solução não-dominada,

se estiver cheio. Este arquivador é um exemplo claro de uma técnica que não diversifica

(Propriedade 1).

NSGA-II: O NSGA-II possui uma técnica de arquivamento baseada em dois princí-

pios: a dominância de Pareto e um atributo chamado crowding distance. A função filter()

define, portanto, uma relação de ordem ≺n (DEB et al., 2002a). Se duas soluções são incom-

paráveis, conforme a dominância de Pareto, então o algoritmo preservará a que possuir

maior crowding distance, que por sua vez é uma forma de medir a proximidade entre

as soluções, de forma que as soluções mais afastadas (em locais do espaço objetivo me-

nos povoados) terão prioridade em permanecer no arquivador. Este trabalho utiliza uma

implentação do arquivador do NSGA-II disponível em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAU-

MANNS, 2011). NSGA-II não garante sua convergência para um conjunto de aproximação

ótimo; além disso, ele deteriora e C-deteriora (não é monótono nem C-monótono).

SPEA2: Tentando eliminar algumas fraquezas do primeiro SPEA, Zitzler, Laumanns

e Thiele (2001) propuseram o SPEA2 (ZITZLER; LAUMANNS; THIELE, 2002). (LÓPEZ-

IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) também disponibiliza uma implementação do ar-

quivador baseado no SPEA2, que utiliza estimativa de densidade baseada no k-Nearest

Neighbor. A função filter() primeiramente calcula a distância entre cada par de pontos

no arquivador. Então, o ponto com a menor distância para outro ponto qualquer será

removido, visando assim uma melhor distribuição, assim como no NSGA-II. Em caso de

empates, verifica-se a segunda menor distância e assim sucessivamente. Embora o SPEA2

seja um algoritmo evolucionário multiobjetivo elitista, ele pode manter soluções domi-

nadas quando o conjunto de soluções incomparáveis não ultrapassar o tamanho total do

arquivador, i.e., o arquivador prefere salvar uma solução dominada ao invés de descartá-la.

Além disso, o arquivador pode C-deteriorar.

Adaptive Grid Archiver: Este arquivador divide o espaço objetivo em grades, afim

de garantir diversidade de suas soluções. Cada grade pode conter várias soluções dentro

de si. A função filter() remove aleatoriamente uma solução da grade com mais soluções,

36

desde que não seja a solução com melhor valor para algum objetivo, ou seja, não esteja

nas extremidades do espaço objetivo (KNOWLES; CORNE, 2003). Ele não é monótono nem

C-monótono.

Hypervolume Archiver: Também conhecido como AA, este arquivador é um algo-

ritmo guloso com a intenção de maximizar o hipervolume de seu conjunto. Foi proposto

em (KNOWLES, 2002), e tem como função filter() a remoção da solução que menos está

contribuindo para o hipervolume, i.e., filter(A) em caso de |A| = N + 1 retorna o sub-

conjunto de A que tem maior hipervolume possível com tamanho N. Esta técnica não

garante que o hipervolume será máximo no final de toda a sequência de entrada, con-

forme mostrado por (BRINGMANN; FRIEDRICH, 2009), e pode ainda retornar um conjunto

com hipervolume muito menor que o conjunto ótimo de tamanho N. Apesar disso, o AA

apresentou os melhores resultados para o indicador de hipervolume em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;


Considerando que o indicador de hipervolume não pode diminuir com uma nova itera-

ção do AA, e um método de comparação baseado em HYP() é C-completo, então pode-se

concluir que o AA é C-monótono. No entanto ele pode manter uma solução que é do-

minada por outra que foi descartada anteriormente, i.e, ele pode deteriorar. Apesar dos

melhores resultados apresentados em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011), um

problema crítico do AA é calcular o hipervolume de todos os subconjuntos de tamanho

N, uma vez que HYP() tem custo computacional exponencial no número de dimensões do

problema.

Multi-level Grid Archiving: O MGA foi proposto por (LAUMANNS; ZENKLUSEN,

2011) e divide o espaço objetivo em caixas de diferentes níveis hierárquicos. filter()

precisa encontrar o menor nível b onde pelo menos uma solução das caixas de nível b

é dominada. Então, se o ponto a ser inserido é um dos pontos dominados neste nível,

ele será descartado. Caso contrário, uma solução dominada aleatória será descartada. O

MGA pode deteriorar, mas como mostrado em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS,

2011), ele é C-monótono.

Estes 7 primeiros arquivadores foram analisados em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAU-

MANNS, 2011). Agora serão apresentados novos arquivadores propostos na literatura com

sua respectivas análises teóricas. Ao final desta seção será apresentado a Tabela 1 ilus-

trando quais propriedades cada arquivador possui.

Ideal Archiver: Este arquivador foi proposto por Britto e Pozo (2012). Sua função

filter() primeiro calcula os melhores valores, entre todas as suas soluções, para cada obje-

37

tivo, e une essa informação para gerar um ponto ideal, tal que Ideali = minX∈At−1∪yXi,

considerando um problema de minimização. Em seguida, o ponto no arquivador que esti-

ver mais distante do ponto ideal será removido. A Figura 1 mostra como o Ideal Archiver

funciona para N = 4. O ponto não-dominado mais distante do ideal (em vermelho) será

removido, então o arquivador manterá apenas 4 elementos. A ideia da técnica é direcionar

a busca para apenas uma região do espaço objetivo.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.2

0.4

0.6

0.8

Objetivo 1

Objetivo2

IncomparáveisPonto IdealDominados

Figura 1: Representação do ponto ideal em 2D.

Distributed Archiver: Este arquivador também utiliza o ponto ideal para na sua

função filter(), no entanto sua convergência não é direcionada a apenas um ponto, mas

para D + 1 pontos – o ponto ideal e um ponto de referência para cada dimensão do

problema. Os pontos de referência serão os pontos mais extremos de cada objetivo, defi-

nindo D+ 1 regiões (uma para o ponto ideal e outras D para cada objetivo). Cada região

poderá guardar (N + 1)/(D + 1) pontos, i.e., número de pontos dividido pelo número

de regiões, buscando homogeneizar a cardinalidade de cada região. Após o cálculo dos

pontos de referência, cada região será preenchida com o ponto mais próximo a seu ponto

de referência, até que os conjuntos estejam cheios. A solução restante ao final do processo

será descartada e At será definido como a união de todas as regiões de referência (POZO;

BRITTO, 2012).

Distance to Reference Points Archiver: Também proposto em (POZO; BRITTO,

2012), funciona de maneira similar ao Distributed Archiver, calculando os mesmos pontos

de referência. Entretanto, ele não limita o tamanho de cada região em (N + 1)/(D +

1). Para cada ponto em At−1 ∪ y, a menor distância para cada ponto de referência é

calculada. Então, será descartada a solução com a maior menor distância, isto é, o ponto

38

com a maior distância para qualquer um dos pontos de referência. Os experimentos com

núvens de partículas em (POZO; BRITTO, 2012) utilizam distância euclidiana e distância

de Tchebycheff; neste trabalho, a implementação utilizou distância euclidiana.

A Figura 2 ilustra um simples exemplo me que o Distance Archiver C-deteriora, para

N = 3. Quando o ponto D é adicionado, o arquivador remove B pois a distância entre B e

A é maior que a distância entre C e D. Então o arquivador recebe um novo ponto E que é

dominado por B, removendo D, pois a distância entre C e D é maior que a distância entre

A e E. A saída final do arquivador após as 5 inserções é A, C e E, que é um conjunto pior

(ver Definição 6) que o conteúdo do arquivo antes da inserção de D.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A

C

B

D

Objetivo 1

Objetivo2

(a) Distance archiver depois da adição de 4 pon-tos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

A

C

B

D

E

Objetivo 1

Objetivo2

(b) Distance archiver depois da adição de 5 pon-tos

Figura 2: Distance Archiver C-deteriora.

Adaptive Rectangle Archiver: ARA foi proposto por (JIN; WONG, 2010). Ele não

segue o padrão do Algoritmo 1, e não tem tamanho limitado em N . A proposta é baseada

em dois passos: definir uma região crucial adaptativamente e dividi-la em retângulos, tais

que cada retângulo contém apenas um ponto. A região crucial é o retângulo definido por

dois vetores: amin, que é o mesmo ponto ideal vistos nos arquivadores anteriores (supondo

um problema de minimização), e amax que é o inverso do ponto ideal, isto é, é o vetor que

contém os piores valores de objetivos encontrados até então. ARA utiliza o conceito de

E-dominância para decidir para qual retângulo cada ponto será direcionado, que é bem

parecido com a ε-dominância, mas E ∈ Rd, enquanto ε ∈ R. Quanto menor o valor de

Ei, mais precisa será a divisão do espaço objetivo na i-ésima dimensão. Além disso, o

arquivador sempre mantém todos melhores pontos para cada objetivo, isto é, mantém os

mesmos pontos de referência que o Distributed Archiver e o Distance Archiver. A Figura

3 ilustra a região crucial do arquivador e seu funcionamento em geral. O ARA, como

39

tem uma estrutura diferente, não possuindo um tamanho limitado N , possui todas as

propriedades apresentadas neste trabalho (ver Propriedades de 1 a 6), entretanto possui

outros problemas que serão apresentados no Capítulo 3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Objetivo 1

Objetivo2

Figura 3: Representação do ARA em 2D.

A Tabela 1, a ser apresentada no Capítulo 3, faz um resumo das propriedades que

cada arquivador possui. Baseado na informação de que 8 (oito) dos 11 (onze) arquivadores

estudados neste trabalho não são monótonos, e que apenas 2 (dois) possuem a propriedade

⊆ Y ∗, surge a principal motivação do trabalho. É notável que a maioria dos arquivadores

podem descartar soluções que são melhores (dominantes) que as mantidas em At. Para

evitar que estas boas soluções sejam perdidas, surge a proposta deste trabalho: reciclar

soluções e trazê-las de volta aos arquivadores. O Capítulo 3 abordará a ideia e apontará

os primeiros resultados obtidos com a reciclagem, nos arquivadores e em algoritmos de

otimização multiobjetivo reais.

40

3 Investigações Sobre osArquivadores

Os algoritmos para problemas multiobjetivo são, em geral, baseados em meta-heurísticas

e é comum que durante suas execuções muitas soluções sejam geradas, assim como nos

problemas com apenas uma função objetivo. Ocorre que ao longo do processo de otimiza-

ção, pode ser que um número muito alto de soluções sejam descartadas, seja pelo fato de

elas já serem dominadas por outras melhores, ou ainda pelo tamanho limitado do arquivo.

Este último caso é o que motiva este trabalho. A Seção 2.3 mostra que os arquivadores,

em sua maioria, não são monótonos. Isto indica que soluções descartadas podem ser ainda

melhores que as mantidas até o final do processo de arquivamento. Este trabalho, por-

tanto, propõe uma análise sobre estas soluções descartadas, verificando a hipótese de que

a utilização de um arquivo de reciclagem externo pode melhorar o desempenho dos al-

goritmos com custo adicional desprezível. As soluções excluídas do arquivo primário são

guardadas em um arquivo secundário e, eventualmente, são feitas modificações no arquivo

primário utilizando as soluções do arquivo secundário. Pretende-se, com isso, melhorar a

qualidade do otimizador e evitar, ainda que parcialmente, os fenômenos de deterioração.

Este capítulo é subdividido entre resultados teóricos, primeiramente, e em resultados

experimentais sobre os arquivadores.

3.1 Resultados Teóricos

A princípio, este trabalho propõe uma análise dos arquivadores com a técnica de

reciclagem, antes ainda dos testes em otimizadores reais. Após a análise teórica específica

dos arquivadores não abordados por (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) – na

Seção 2.3, a Tabela 1 faz um resumo dos arquivadores da literatura e suas propriedades,

conforme descritos na Seção 2.3.

41

Tabela 1: Arquivadores e suas propriedades

Archiver Diversifica Mon. C−Mon. ⊆ Y ∗ L-Estável L-ÓtimoUnbounded 3 3 3 3 3 3

Dominating 7 3 3 7 3 3

NSGA-II 3 7 7 7 7 7

SPEA2 3 7 7 7 7 7

AGA 3 7 7 7 7 7

AA 3 7 3 7 3 3

MGA 3 7 3 7 3 3

Ideal 3 7 3 7 3 3

Distributed 3 7 7 7 7 7

Distance 3 7 7 7 7 7

ARA 3 3 3 3 3 3

3.2 Experimentos sobre os Arquivadores

Esta seção descreve os experimentos estáticos, isto é, com instâncias de pontos pre-

viamente definidos e inseridos sequencialmente nos arquivadores, a fim de verificar quais

soluções destas instâncias seriam mantidas. É dividida em duas subseções. A Seção 3.2.1

descreve as instâncias utilizadas nos experimentos estáticos e a Seção 3.2.2 descreve os

experimentos e apresenta os resultados iniciais e teóricos da pesquisa realizada neste tra-

balho.

3.2.1 Descrição das Instâncias Estáticas

Um total de 7 instâncias foram utilizadas nesta fase do trabalho. São elas: smallPF-

2d-10000, smallPF-3d-10000, 2000-3d, 10000-4d, clustered-2d-900, 1000-clustered-3D e

1to2-2d-2000. Cada uma destas instâncias é uma sequência de vetores objetivo, a fim de

simular um otimizador real. Algumas delas foram disponibilizadas em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;

KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Além disso, outras instâncias foram geradas para melhor

confiabilidade dos testes, devido ao fato de que poucas instâncias em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;

KNOWLES; LAUMANNS, 2011) eram de uso geral, isto é, elas eram específicas para mostrar

fraquezas de alguns dos arquivadores analisados. Portanto, seria razoável gerar novas

instâncias. Ademais, não havia, até então, instâncias com mais de 3 objetivos. As novas

instâncias foram geradas com pontos aleatórios, cujos valores de cada objetivo variavam

entre 0 e 1, de forma que se obtivesse o número desejado de soluções não-dominadas na

fronteira de Pareto; e do mesmo modo, o número total de soluções foi escolhido na criação

das instâncias. O Apêndice A mostra o código utilizado para gerar novas instâncias.

42

As instâncias smallPF-2d-10000 e smallPF-3d-10000 (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAU-

MANNS, 2011) contêm 10.000 pontos em duas e três dimensões, respectivamente. A fron-

teira de Pareto da primeira possui 970 pontos, e a segunda 1.335 pontos. Elas foram

geradas a partir de um otimizador multiobjetivo solucionando um problema real. A ins-

tância 1to2-2d-2000 é uma sequência de 2.000 pontos incomparáveis, que formam um

segmento de reta de (1, 2) até (2, 1), com o primeiro objetivo crescendo enquanto o

segundo decresce, disponibilizada também em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS,

2011).

As instâncias 2000-3d e 10000-4d foram geradas a partir do algoritmo apresentado no

Apêndice A. O algoritmo gera pontos aleatórios com valores objetivo entre 0 e 1, de forma

a gerar um conjunto de N pontos, cuja fronteira de Pareto é composta por M pontos,

sendo N e M parâmetros do algoritmo, M ≤ N .

Por sua vez, as instâncias 1000-clustered-3D e clustered-2d-900 são instâncias com

pontos agrupados em algumas regiões. Na primeira, gerada durante a realização deste

trabalho, existem mil pontos com 3 dimensões agrupados muito próximos a cada uma das

3 regiões, formando 3 aglomerados de vetores. Esta instância foi gerada para a verificação

de um problema específico do Adaptive Rectangle Archiver, que mantinha poucos ponto

em seu conteúdo, a depender do posicionamento deles. A segunda – disponibilizada em

(LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) – é composta por pontos de duas dimensões

agrupados em dois blocos de pontos, formando assim dois aglomerados.

O teste foi feito com 4 (quatro) instâncias. Três delas são bi-objetivo e foram utilizadas

também em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011). Uma nova instância com 3

(três) objetivos foi criada para este experimento, em que 1.000 pontos são agrupados em

três regiões, de forma que os pontos em cada região são bastante próximos, sendo as 3

regiões afastadas umas das outras.

3.2.2 Resultados Experimentais

Os experimentos realizados em (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011) foram

repetidos com as mesmas instâncias de entrada (disponibilizadas pelos autores) nos novos

arquivadores da literatura.

Cada arquivador foi testado com o arquivo de entrada da seguinte maneira: inicializava-

se o arquivador vazio e os pontos do arquivo de entrada eram inseridos no arquivador

simulando a geração de soluções em um processo de otimização. O conteúdo dos arquiva-

43

Tabela 2: Número de pontos ótimos salvos por cada arquivador nas instâncias.

Arquivador seq-smallPF-2d seq-smallPF-3d 2000-3d 10000-4d clustered-2d-900Unbounded 970 1335 500 1000 300Dominating 100 100 100 100 100NSGA-II 94 99 97 27 100SPEA2 94 99 99 80 100AGA 91 95 100 95 100AA 99 100 100 100 100MGA 100 100 100 100 100Ideal 100 100 100 98 100Distributed 100 100 100 77 100Distance 100 100 100 86 100ARA 8 47 39 131 2

dores, durante e ao final das inserções, foram analisados de acordo com as propriedades

descritas na Seção 2.3 e publicados em (MEDEIROS; GOLDBARG; GOLDBARG, 2014). Além

disso, verificou-se o número de soluções ótimas (contidas na fronteira de Pareto) salvas

por cada arquivador, bem como os indicadores de hipervolume e ε-aditivo para a saída

dos experimentos.

A Tabela 2 ilustra o número de pontos ótimos salvos por cada arquivador em cada

experimento. Em todos os testes o limite de tamanho do arquivador foi N = 100, com

exceção dos realizados no ARA, que não possui limite devido a sua diferença de estrutura.

Neste aspecto, os melhores arquivadores foram Dominating e MGA, que mantiveram todo

seu conteúdo com soluções ótimas. AA e Ideal tiveram desempenho quase tão bom quanto

aqueles dois, não conseguindo manter todo os seus conteúdos com soluções ótimas em

apenas uma instância. O NSGA-II, por sua vez, mostrou sua fragilidade na instância de 4

dimensões, mantendo apenas 27 pontos ótimos após a inserção dos 10.000 pontos, dentre

os quais 1.000 estão contidos na fronteira de Pareto.

Antes da medição dos indicadores, os experimentos mostraram que o ARA tendia a

manter poucas soluções em seu conteúdo quando comparado com as outras técnicas. A

Tabela 3 mostra o número de pontos da saída do arquivador ARA nas quatro instâncias.

As três primeiras colunas mostram, respectivamente, o nome da instância, o número de

pontos da fronteira de Pareto e o número de pontos que o ARA manteve em seu conteúdo.

O valor de E foi definido Ei = π/100,∀i = 1, . . . , d. Os resultados na Tabela 3 indicam

que ARA não conseguiu manter muitas soluções quando testado em duas dimensões; além

disso, a técnica não funcionou muito bem com pontos agrupados, ainda que tivessem

dimensão superior.

44

Tabela 3: Cardinalidade da saída do ARA

Arquivo Tamanho da fronteira de Pareto Tamanho da saída do ARAsmallPF-2d-10000 970 8

1to2-2d-2000 2.000 2clustered-2d-900 300 21000-clustered-3D 93 3

No que diz respeito aos indicadores de qualidade, este trabalho verificou a qualidade

da saída dos arquivadores para as instâncias descritas na Seção 3.2.1. Os indicadores ε-

aditivo e hipervolume foram usados para comparar a qualidade dos conjuntos gerados por

cada técnica de arquivamento. As Tabelas 5 e 6 mostram os resultados para hipervolume

e ε-aditivo, respectivamente. O indicador de hipervolume, quando maximizado, indica

melhor performance; o ε-aditivo, por sua vez, deve ser minimizado.

Tabela 4: Ordenação de acordo com o hipervolume obtidos pelos arquivadores

Archiver smallPF-2d-10000

smallPF-3d-10000

2000-3d 10000-4d

clustered-2d-900

1to2-2d-2000

AA 1 1 1 1 1 2SPEA2 1 2 4 8 2 5NSGA-II 1 3 6 10 3 1AGA 4 5 5 6 5 4MGA 8 7 3 3 4 3Dominating 4 6 7 5 6 9ARA 9 4 9 4 10 8Ideal 10 8 2 2 7 9Distributed 6 9 8 7 8 6Distance 7 10 10 9 9 6

Realizando uma média entre os rankings obtidos por cada arquivador para cada ins-

tância, observa-se a seguinte ordem de classificação para o indicador de hipervolume: AA

em 1o lugar, como esperado, seguido por SPEA2, NSGA-II, AGA, MGA, Dominating,

ARA, Ideal, Distributed e Distance, respectivamente. A Tabela 5 – ordenada de acordo

com esta classificação – mostra a razão entre o hipervolume do conjunto de saída do ar-

quivador e o hipervolume da fronteira de Pareto, limitados pelo mesmo ponto. Como os

pontos gerados pelo programa descrito no Apêndice A tinham objetivos com valor máximo

de 1, 0, o ponto de referência para cálculo de hipervolume foi configurado em 1d. Nasinstâncias disponibilizadas por (LÓPEZ-IBÁÑEZ; KNOWLES; LAUMANNS, 2011), os valores

objetivo estavam no intervalo (1, 2), o ponto referência foi configurado em 2d.

Embora (BRINGMANN; FRIEDRICH, 2009) tenham mostrado que a técnica gulosa de

maximizar o hipervolume não garanta o conjunto ótimo na saída, AA obteve os melhores

45

Tabela 5: Resultados do hipervolume dos Arquivadores


smallPF-3d-10000

2000-3d 10000-4d

clustered-2d-900

1to2-2d-2000

** Unbounded 100 100 100 100 100 1001o AA 99,9999 99,9996 99,9891 99,9271 99,9709 99,79712o SPEA2 99,9999 99,9975 99,8985 94,0359 99,9691 89,70093o NSGA-II 99,9999 99,9973 99,4440 77,1787 99,9498 99,85374o AGA 99,9995 99,9925 99,4557 97,7063 99,4372 99,38345o MGA 99,9761 99,8557 99,9515 99,3936 99,9018 99,38946o Dominating 99,9995 99,9916 99,4129 99,0409 99,4105 59,94177o ARA 99,972 99,9931 97,7947 99,1825 4,6216 85,72048o Ideal 98,9771 98,8014 99,9723 99,7916 93,0781 59,94179o Distributed 99,9917 99,9734 99,2007 95,8763 85,1245 87,086510 Distance 99,9790 99,9243 90,2875 89,5815 34,6739 87,0865

resultados para este indicador, com mais de 99,9% do hipervolume máximo em quase todos

os experimentos. Além da primeira instância, em que AA, NSGA-II e SPEA2 empataram

com os melhores resultados, apenas na instância 1to2-2d-2000 o NSGA-II foi o vencedor. A

maioria dos arquivadores teve dificuldades com esta instância. O Dominating, obviamente,

mantém os 100 primeiros vetores até o final da execução, o que resulta em um conjunto

de saída com baixa qualidade para ambos os indicadores.

Como o AA testa em cada inserção o melhor hipervolume possível, é natural que

ele vença para este indicador. Os arquivadores propostos por (POZO; BRITTO, 2012) não

obtiveram bons resultados para este indicador, ficando, em geral, nas últimas posições

do ranking; nota-se que a proposta de concentrar os pontos em regiões, de fato, não gera

uma boa distribuição dos pontos no espaço objetivo, para estes experimentos.

As Figuras 4 e 5 mostram, respectivamente para alguns arquivadores, o desempenho

no indicador de hipervolume ao longo das iterações para as instâncias 2000-3D e seq1to2-

2d-2000. Para a instância de três dimensões, quatro dos cinco arquivadores mostrados na

figura obtém resultados parecidos, com Ideal Archiver e AA vencendo os outros três. No

entanto, para a instância seq1to2-2d-2000, apenas NSGA-II e AA conseguiram manter

um conjunto de qualidade, no que diz respeito ao indicador de hipervolume.

Para o indicador ε, MGA e AA tiveram os melhores resultados. Em geral, os 4 (quatro)

novos arquivadores da literatura analisados neste trabalho não obtiveram bons resultados

para este indicador como mostrado na Tabela 6.

Para o indicador ε-aditivo, a média dos rankings foi liderado pelo MGA, seguido de

AA, NSGA-II, SPEA2, AGA, Ideal, Dominating, ARA, Distributed e Distance. O hiper-

46

500 1,000 1,500 2,0000.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

Iteração

Hipervo

lume

Hipervolumes – Instância 2000-3D

AANSGA-II

DistributedIdealARA

Figura 4: Resultados de hipervolume para a instância 2000-3D

500 1,000 1,500 2,000

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Iteração

Hipervo

lume

Hipervolumes – Instância seq1to2-2d-2000

AANSGA-II

DistributedIdealARA

Figura 5: Resultados de hipervolume para a instância seq1to2-2d-2000

47

Tabela 6: Resultados do ε-aditivo dos arquivadores


smallPF-3d-10000

2000-3d 10000-4d

clustered-2d-900

1to2-2d-2000

1o MGA 0,00006 0,00044 0,00657 0,05254 0,00185 0,015512o AA 0,00006 0,00231 0,01046 0,03860 0,00167 0,160083o NSGA-II 0,00006 0,00092 0,04992 0,25348 0,00175 0,007004o SPEA2 0,00007 0,00066 0,03336 0,21603 0,00203 0,424215o AGA 0,00045 0,00205 0,05764 0,12181 0,00509 0,102056o Ideal 0,00260 0,00229 0,01848 0,05824 0,24360 0,950487o Dominating 0,00045 0,00261 0,05764 0,11693 0,00509 0,950488o ARA 0,00083 0,00080 0,07370 0,08025 0,49623 0,499759o Distributed 0,00226 0,00246 0,04289 0,12826 0,12276 0,4752410o Distance 0,00567 0,00655 0,09694 0,12826 0,41199 0,47524

volume Archiver (AA) também obteve bom desempenho neste indicador, o que mostra

que apesar de ter alta complexidade de tempo, ele mantém um bom conjunto, conside-

rando estes dois indicadores. Apesar de o MGA ter vencido, em média, no ε-aditivo para

as instâncias testadas, ele foi apenas o 5o colocado no indicador anterior.

O Distance Archiver apresentou os piores resultados em ambos os indicadores. A es-

tratégia pode C-deteriorar facilmente, como mostrado em (MEDEIROS; GOLDBARG; GOLD-

BARG, 2014).

Tabela 7: Tempo gasto (em segundos) por cada arquivador

Entrada Dom. NSGA-II

SPEA2 AGA AA MGA Ideal Dist. Distr. ARA

seq-1to2-2d-2000

0.01 2.82 2.54 0.08 5.60 1.66 0.21 0.36 8.08 0.12

seq-clustered-2d-900

0.00 0.90 1.11 0.02 2.58 0.58 0.08 0.12 2.57 0.02

10000-4D 0.03 17.60 14.65 0.15 77.60 1.78 0.74 1.05 7.33 141.332000-3D 0.00 3.11 2.71 0.03 6.13 0.58 0.12 0.18 1.95 3.75smallPF-3d-10000

0.04 15.09 14.88 0.14 32.51 3.74 0.76 1.06 11.79 30.51

smallPF-2d-10000

0.03 13.00 12.93 0.11 21.97 3.39 0.66 0.83 12.91 1.30

A Tabela 7 mostra o tempo gasto por cada arquivador para processar as entradas

testadas. Além das testadas nos indicadores, outros novos arquivos foram testados neste

experimento. O ARA e o AA foram os arquivadores que necessitaram de maior tempo de

processamento, principalmente na instância com 4 objetivos, o que indica que se fossem

utilizados em problemas reais, haveria um tempo gasto excessivo apenas para tratar do

armazenamento de soluções.

48

4 Reciclagem de Soluções

Baseado nos estudos apresentados nas Seções 2.3 e 3.2, este trabalho propõe uma

investigação mais aprofundada sobre o quanto as soluções que seriam descartadas podem

ajudar durante o processo de otimização. A proposta consiste em duas etapas. Primeira-

mente, uma cesta de reciclagem é criada para salvar as soluções que seriam descartadas

pelo algoritmo de otimização. Como mostram os resultados da Seção 3.2, o tempo de

processamento de tal operação não é significativo – trivialmente é sabido que a operação

de inserção de uma nova solução em uma lista tem custo constante. Por fim, são feitas

verificações sobre o conteúdo desta cesta de reciclagem e eventual e periodicamente traz-se

boas soluções para o conteúdo atual da população, com o intuito de aumentar a quali-

dade do conjunto de soluções durante todo o processo de otimização, obtendo assim uma

melhor aproximação da fronteira de Pareto.

Durante o processo de otimização, portanto, haverá basicamente dois conjuntos sendo

modificados: a população ou um arquivo externo, que é o conjunto de aproximação do

otimizador em questão, denotado por P ; e a cesta de reciclagem, que guarda todas as

soluções que são geradas pelo otimizador e seriam descartadas (não iriam para a popula-

ção), denotada por Bin. É importante ressaltar que nenhuma verificação extra a respeito

da dominância entre as soluções será feita, além das já eventualmente realizadas nos oti-

mizadores, para que não se gaste tempo de processamento verificando a qualidade das

soluções neste momento, isto é, a lixeira receberá também soluções dominadas. Partindo

desta abordagem geral, é possível que algumas das soluções da cesta de reciclagem sejam

não-dominadas ou ainda dominantes, com relação às da população do algoritmo de otimi-

zação, considerando que a maioria dos arquivadores utilizados deterioram, C-deterioram

e/ou não têm a propriedade ⊆ Y ∗.

Propõe-se, portanto, que soluções da cesta de reciclagem substituam algumas soluções

da população, periodicamente. O passo deve ser selecionar N soluções dentre P ∪ Binpara serem mantidas em P na iteração seguinte. Existem muitas formas de selecionar

estas N soluções, como achar o subconjunto de tamanho N com hipervolume ótimo, se-

49

Algoritmo 2 ReciclagemEntrada: Pi, Bin1: iteracoes← 02: enquanto Condição de parada faça3: Pi+1 ← processamento(Pi)4: Bin← Bin ∪ (Pi − Pi+1)5: se iteracoes é múltiplo de Q então6: Bin← nds(Bin)7: Pi+1 ← reciclagem(Pi, Bin)8: fim se9: iteracoes← iteracoes+ 1

10: fim enquantoSaída: Pi+1, Bin

lecionar aleatoriamente N soluções, criar ordens de relação entre as soluções e selecionar

as N melhores, entre outras. Neste trabalho foram utilizadas três formas de realização da

reciclagem descrita acima. Sâo eles: seleção aleatória, seleção por distância de aglomera-

ção (crowding distance) e verificação de deterioração. Com isso, tem-se quatro cenários

possíveis, um para cada método de reciclagem e a aplicação do algoritmo sem reciclagem.

Este capítulo divide-se da seguinte maneira: inicialmente, a Seção 4.1 explica cada método

de reciclagem isoladamente; então a Seção 4.2 aborda os otimizadores nos quais a técnica

da lixeira foi implementada; e finalmente, a Seção 4.3 apresenta os problemas submetidos

aos algoritmos.

4.1 Técnicas de Reciclagem

Conforme dito no caput deste capítulo, foram propostas três formas de reciclagem

neste trabalho: seleção aleatória, denotada por random; seleção por distância de aglome-

ração, denotada por crowdd e verificação de deterioração, denotada por verif. O algoritmo

sem aplicação da reciclagem é denotado por clean. O Algoritmo 2 ilustra como funciona a

reciclagem proposta neste trabalho. A função processamento(.) representa a geração de

novas soluções de cada algoritmo – por exemplo, a reprodução e aplicação de operado-

res em algoritmos genéticos, ou mesmo a movimentação de partículas na meta-heurística

de nuvem de partículas. A Linha 4 representa o armazenamento de soluções que seriam

descartadas, isto é, soluções que pertenciam a Pi e não estão presentes em Pi+1.

Por sua vez, as linhas 5 e 6 representam a reciclagem. Periodicamente (a cada Q ite-

rações) calcula-se o conjunto de soluções incomparáveis em Bin e então utiliza-se alguma

das técnicas de reciclagem apresentadas a seguir para cálculo de Pi+1.

50

Seleção aleatória: este método seleciona um conjunto aleatório de soluções pertencen-

tes a Pi ∪Bin, a fim de verificar se a reciclagem, ainda que aleatória, tem benefícios para

a otimização.

Seleção por distância de aglomeração: seleciona o conjunto com as |P | melhores solu-

ções de acordo com o indicador de distância de aglomeração. Esta métrica foi proposta

inicialmente juntamente com o algoritmo NSGA-II (ver Seção 4.2.1), a fim de aumentar

a diversidade das soluções selecionadas, atribuindo valores menores a soluções em regiões

mais povoadas(DEB et al., 2002a). O Algoritmo 3 ilustra a atribuição de distância de aglo-

meração para as soluções de um conjunto L. Percorrendo a lista de soluções ordenada

por cada objetivo, as soluções tem sua distância de aglomeração incrementada de acordo

com as distâncias às soluções imediatamente superior e inferior. Sendo assim, o algoritmo

prioriza as soluções com maior distância de aglomeração.

Algoritmo 3 Atribuição de Distância de AglomeraçãoEntrada: L1: l← |L|2: para cada solução L(i) faça3: L(i).distance← 04: fim para5: para cada objetivo m faça6: Ordenar L de acordo com o objetivo m7: L(1)← L(l)←∞8: para i← 2 to (l − 1) faça9: L(i).distance← L(i).distance+ (L(i+ 1).m+ L(i− 1).m)

10: fim para11: fim paraSaída: L

Verificação de deterioração: neste método, a partir dos dois conjuntos P e Bin,

verifica-se para toda solução Pi ∈ P se é dominada por qualquer solução em Bin, isto

é, ∃Pi ∈ P, ∃Binj ∈ Bin|Binj ≺ Pi. Em caso positivo, substitui-se a solução dominada

pelo elemento Binj. Em situações com mais de uma solução dominante em Bin, Pi será

substituído por qualquer uma das dominantes, com mesma chance de seleção para todas.

4.2 Otimizadores

Os algoritmos de otimização utilizados neste trabalho – chamados de otimizadores –

foram testados em problemas clássicos da literatura, que serão apresentados e definidos

na Seção 4.3. Foram eles o NSGA-II(DEB et al., 2002a), PAES(KNOWLES; CORNE, 2000),

51

SPEA2(ZITZLER; LAUMANNS; THIELE, 2002), MOEA/D(ZHANG; LI, 2007), e NSGA-III(DEB;

JAIN, 2014). O primeiro foi disponibilizado nos frameworks PISA(BLEULER et al., 2003)

e jMetal(DURILLO; NEBRO, 2011), e os outros no framework jMetal(DURILLO; NEBRO,

2011). O NSGA-II disponibilizado no PISA foi utilizado neste trabalho a fim de facilitar

a realização de testes com o Problema da Mochila, não disponível no jMetal. Todos os

otimizadores possuem suas variações de acordo com método de reciclagem empregado,

além da versão sem reciclagem, totalizando 4 algoritmos diferentes por otimizador (clean,

crowdd, random e verif).

Os testes foram feitos de forma a comparar os 4 métodos de cada algoritmo entre si,

a fim de verificar se a utilização da reciclagem, em alguns de seus métodos, beneficia a

performance do algoritmo. Periodicamente foi analisada a população contida no algoritmo,

com o intuito de medir os indicadores destes conjuntos não só no final da execução, mas

também durante o processo de otimização. Para aumentar a confiabilidade dos testes,

todas as versões dos algoritmos foram executadas 30 vezes para cada configuração de

problema. Os geradores de números aleatórios das implementações foram configurados

com as mesmas sementes, de forma que a geração de população inicial era a mesma para

todas as variações dos otimizadores, isolando ainda mais a comparação entre os métodos

de componentes aleatórios.

Esta seção apresenta os otimizadores que foram utilizados neste trabalho: NSGA-II,

SPEA2, PAES, MOEA/D e NSGA-III. Além disso, a Seção 4.2.4.1 apresenta o operador

de mutação utilizado no MOEA/D, chamado de Evolução Diferencial.

4.2.1 NSGA-II

O NSGA-II – Non-dominating Sorting Genetic Algorithm – foi proposto em (DEB et

al., 2002a) para aprimorar o NSGA proposto anteriormente. O NSGA-II é um algoritmo

genético para problemas multiobjetivo baseado na divisão de sua população em fronteiras,

de acordo com a dominância de Pareto (ver Definição 1). É um dos algoritmos mais

estudados na literatura sobre otimização multiobjetivo.

Primeiramente, o algoritmo cria uma população P1 inicial de indivíduos, preenchendo

a população e avaliando os vetores objetivo de cada solução. Então, a cada nova iteração,

ocorre a aplicação de operadores genéticos às soluções, a fim de criar uma nova geração. A

partir disto, o NSGA-II dispõe de dois conjuntos, a população Pi e a nova geração Q. As-

sim, divide-se o conjunto Pi∪Q em k fronteiras (conjuntos não dominados), de forma que

todos os elementos da fronteira Fk+1 são dominados por alguma solução da fronteira Fk.

52

Então são selecionadas as melhores |Pi| soluções para se manterem na população Pi+1, de

acordo com a classificação de fronteiras. A população é preenchida com as primeiras fron-

teiras (que são dominantes), até que não haja mais espaço em Pi+1. Na última fronteira a

ser inserida, caso ela tenha cardinalidade maior que o espaço livre na população, apenas

algumas soluções serão selecionadas – as soluções com melhores distância de aglomeração

– pela falta de espaço. Desta forma, cria-se uma relação de ordem <n para classificar as

soluções do conjunto Pi ∪Q, priorizando primeiramente as soluções das fronteiras inferio-

res, e em casos de empate, selecionando as soluções com maior distância de aglomeração,

a fim de garantir a diversidade no processo de otimização. O cálculo de distância de aglo-

meração, para a última fronteira selecionada no NSGA-II, é descrita no Algoritmo 3. É

importante salientar que o NSGA-II associa o valor infinito às distâncias de aglomeração

das soluções das extremidades do espaço objetivo, isto é, as melhores soluções para cada

objetivo serão preservadas.

Pode ocorrer que já a primeira fronteira seja maior que o tamanho limite da população.

Caso isso ocorra, o processo de seleção por distância de aglomeração ocorrerá já para o

conjunto de soluções não dominadas do conjunto Pi ∪Q.

O Algoritmo 4 ilustra a divisão de fronteiras realizada pelo NSGA-II a partir de um

conjunto de soluções P . O processo de divisão das soluções em fronteiras inicia-se com

dois passos: primeiro calcula-se, para cada solução i, o número de soluções que dominam

i e um conjunto Si de soluções que são dominadas por i. A primeira fronteira (F1) será

preenchida com os elementos que não são dominados por nenhuma outra solução. Após

isto, o processo se repete com as soluções restantes até que todos as soluções estejam em

alguma fronteira.

Neste trabalho foi inicialmente utilizada a versão do NSGA-II disponibilizada em

(BLEULER et al., 2003), quando testado para o Problema da Mochila, DTLZ1 e DTLZ2.

Para os demais problemas, foi utilizada a implementação de (DURILLO; NEBRO, 2011).

4.2.2 PAES

O PAES (Pareto Archived Evolution Strategy) é um otimizador baseado em busca

local e evolução(KNOWLES; CORNE, 1999), e foi utilizado neste trabalho devido ao uso de

um método de arquivamento analisado no Capítulo 2. Ele foi proposto com duas ideias

principais. A primeira era criar um algoritmo estritamente confinado a busca local, reali-

zando sua busca de forma gradativa partindo de uma solução para uma vizinha próxima.

Este comportamento difere bastante da grande maioria dos otimizadores multiobjetivo,

53

Algoritmo 4 Nondominated SortingEntrada: P1: para cada p ∈ P faça2: para cada q ∈ P faça3: se (p ≺ q) então4: Sp ← Sp ∪ q5: senão se (q ≺ p) então6: np ← np + 17: fim se8: fim para9: se np = 0 então

10: F1 = F1 ∪ p11: fim se12: i← 113: enquanto Fi 6= ∅ faça14: H ← ∅15: para each p ∈ Fi faça16: para each q ∈ Sp faça17: nq ← nq − 118: se nq = 0 então19: H ← H ∪ q20: fim se21: fim para22: i← i+ 123: Fi ← H24: fim para25: fim enquanto26: fim paraSaída: F

que, em geral, mantém uma população de soluções e aplicam operadores de mutação e

reprodução para modificá-las. A segunda ideia é propor um otimizador de Pareto (assim

chamado pelo autor), que trata soluções incomparáveis (ver Definição 3) de forma a terem

o mesmo valor. Para tanto, o algoritmo mantém um arquivador externo que guarda um

conjunto não-dominado de soluções de tamanho limitado, salvando assim parte das solu-

ções não-dominadas geradas até então. Obviamente, e como descrito anteriormente neste

trabalho, este comportamento pode descartar soluções não-dominadas, considerando o

tamanho limitado do arquivador.

Considerando o até então exposto, o PAES pode ser visualizado com três principais

componentes: (1) gerador de soluções a partir da busca local, que deverá realizar a mutação

na solução guia, gerando uma solução vizinha, chamada solução candidata; (2) seletor de

soluções, que definirá qual das duas soluções (a atual ou a solução modificada) deverá

54

Algoritmo 5 PAES1: Gerar solução inicial G2: Avaliar e adicionar G ao arquivador3: enquanto Condição de parada faça4: Busca Local: gerar nova solução G′ a partir de G5: Avaliar a solução candidata G′6: se não (G ≺ G′) então7: Atualizar arquivador com G′

8: G← Seleção entre G e G′ para a nova solução guia9: fim se

10: fim enquanto

guiar o algoritmo na próxima iteração; e por fim, (3) o arquivador que deverá guardar um

conjunto não-dominado de soluções. O Algoritmo 5 ilustra o esquema geral de aplicação

do PAES. Neste trabalho o arquivador utilizado foi o Adaptive Grid Archive (AGA),

conforme proposto pelo autor em (KNOWLES; CORNE, 1999). Neste trabalho o PAES foi

implementado e disponibilizado por (DURILLO; NEBRO, 2011), ressalvadas as modificações

necessárias para a reciclagem, que neste caso foi feita diretamente no arquivador.

A condição de parada é geralmente baseada no número de avaliações, isto é, número

de soluções geradas – que de fato serão avaliadas. Para melhor comparação com os outros

algoritmos deste trabalho, a cadaN avaliações, sendoN o tamanho do arquivador, contou-

se uma iteração.

4.2.3 SPEA2

O SPEA2 (Strength Pareto Evolutionary Algorithm), outro otimizador cujo método

de seleção de soluções fora analisado teoricamente e experimentalmente neste trabalho (ver

Seção 2.3), foi proposto em (ZITZLER; LAUMANNS; THIELE, 2002) a fim de aumentar a

qualidade do SPEA, algoritmo evolucionário proposto anteriormente, corrigindo algumas

de suas fraquezas.

O SPEA2 mantém uma população regular e um arquivador externo, e a cada iteração

calcula um indicador de aptidão de cada solução armazenada, seja ela da população ou do

arquivador externo. A função F (i), para cada indivíduo i, é a soma de dois indicadores:

razão entre o número de soluções dominadas por i e o tamanho da população e uma

estimativa de densidade baseada na proximidade entre as soluções, a fim de garantir

maior diversidade. Além disso, uma mudança trazida pelo SPEA2 é a garantia de que as

soluções das extremidades, para cada dimensão no espaço objetivo, serão necessariamente

55

Algoritmo 6 SPEA21: t← 02: Gerar população inicial Pt3: Avaliar e adicionar P0 ao arquivador A4: enquanto Condição de parada faça5: Calcular o valor F (i) para as soluções em Pt e A6: Copiar as soluções não-dominadas em Pt para A e realizar a seleção das N soluções

a ficarem no arquivador7: Aplicar reprodução e mutação na população Pt, gerando Pt+1

8: fim enquantoSaída: A

mantidas, assim como no NSGA-II.

O Algoritmo 6 mostra os passos utilizados no SPEA2.

4.2.4 MOEA/D

O MOEA/D é um algoritmo evolucionário baseado em decomposição – Multiobjective

Evolutionary Algorithm based on Decomposition(ZHANG; LI, 2007) – que trata cada uma

de suas decomposições como um subproblema em separado, tratando cada subproblema

como um problema mono-objetivo. Ademais, o MOEA/D traz o conceito de vizinhança

entre subproblemas. As decomposições são escalarizações (vetores) a serem aplicadas aos

vetores objetivo das soluções geradas. Sendo assim, cada problema tem K problemas

vizinhos, que são as decomposições (vetores) mais próximas (de acordo com a distância

Euclidiana) de cada problema.

Existem algumas formas de decompor um problema multiobjetivo, e duas delas são

propostas em (ZHANG; LI, 2007). A primeira, e bastante intuitiva, é a abordagem com

soma ponderada dos objetivos. Seja W = (W0,W1, . . . ,Wd) um vetor de coeficientes –

que representa um subproblema, tais qued∑

n=1

Wn = 1, cada subproblema i será definido

como

maxx∈X g(x|W ) =d∑q=1

Wqfq(x)

Outra forma de decomposição analisada nos experimentos realizados em (ZHANG; LI,

2007) – denotada por abordagem Tchebycheff – leva em consideração um ponto de referên-

cia ideal, assim como utilizado pelo arquivador Ideal Archiver (ver Seção 2.3), atualizado

a cada nova geração de solução e representado por z∗. Considerando um problema de ma-

ximização, como na Equação 2.1, z∗i = maximofi(x), para x ∈ X; obviamente, como

56

o conjunto ótimo X é desconhecido, utilizam-se as soluções encontradas até então para

o cálculo de z∗. Nesta proposta, a otimização é baseada na minimização da diferença

máxima entre os componentes de f(x) e z∗. De forma que o subproblema i é definido

como

minx∈X g(x|W, z∗) = maximoWq|fq(x)− z∗q |, para 1 ≤ q ≤ q

O algoritmo necessita que as decomposições sejam fornecidas como parâmetro, de

forma que o tamanho da população do algoritmo é igual ao número de decomposições. Ade-

mais, o MOEA/D mantém um arquivador externo para salvar as soluções não-dominadas

encontradas durante a otimização.

Neste trabalho foi utilizada a implementação disponibilizada por (DURILLO; NEBRO,

2011), utilizando a abordagem Tchebycheff. O Algoritmo 7 ilustra o procedimento utili-

zado pelo MOEA/D.

Algoritmo 7 MOEA/DEntrada: W,K1: EP ← ∅2: Computar as distâncias euclidianas entre cada par de vetores em W, gerando para

cada Wi um conjunto B(i) com os K pesos mais próximos3: Gerar população inicial P4: enquanto Condição de parada faça5: para i de 1 até N faça6: Reprodução: selecione duas soluções vizinhas, a, b ∈ B(i) e gere uma nova

solução y a partir delas7: Atualizar z∗8: Se y aplicada à decomposição i é melhor que Pi, então substitua Pi por y9: Para cada solução vizinha a Pi, verifique se y é dominante (considerando a

decomposição vizinha). Em caso positivo, substitua a solução vizinha por y10: Atualize o arquivador externo EP com y11: fim para12: fim enquantoSaída: EP

A seção seguinte apresenta operador de reprodução utilizado neste, chamado de evo-

lução diferencial, proposto a ser utilizado no MOEA/D por (LI; ZHANG, 2009).

4.2.4.1 Evolução Diferencial

A evolução diferencial é um método simples para criação de soluções em algoritmos

evolucionários. Foi proposta inicialmente em (STORN; PRICE, 1997). O método adiciona

57

diferenças ponderadas a soluções anteriormente geradas. No caso deste trabalho, foi utili-

zado como operador de reprodução no MOEA/D. Assim, o algoritmo é referenciado como

MOEA/D-DE.

Considere uma solução de um problema S = S1, S2, . . . , Sm, sendo m o número de

variáveis de decisão, e cada Si ∈ R, ∀i = 1, 2, . . . ,m. O operador cria, a partir de três

soluções x, a e b uma nova solução y, definida como:

yk =

xk + F · (ak − bk) com probabilidade φ

xk com probabilidade 1− φ

A probabilidade φ indica a chance de que o componente yk deve ser alterado, isto é,

não terá valor xk. F indica um fator de diferença, que serve para controlar os saltos dados

por cada componente xk, para a composição da solução y. Estes valores são parâmetros do

algoritmo. O método apresentado em (LI; ZHANG, 2009) apresentou melhores resultados

que o NSGA-II, considerando que o NSGA também utilizou evolução diferencial como

operador de reprodução.

4.2.5 NSGA-III

Considerando as limitações apresentadas pelo NSGA-II para problemas com mais de

três objetivos, (DEB; JAIN, 2014) propõem um novo mecanismo para garantir a diversidade

da população durante o processo de otimização. Chamado de NSGA-III, o algoritmo é

bastante similar ao NSGA-II (ver Seção 4.2.1), com alterações apenas na manutenção de

diversidade, que anteriormente era perseguida através da distância de aglomeração, que

pode não obter valores satisfatórios para mais de 3 dimensões, como será mostrado na

seção de resultados.

Existem dificuldades enfrentadas pelos algoritmos de otimização em problemas com

muitos objetivos. Por exemplo, o número de soluções não-dominadas cresce exponencial-

mente junto ao número de objetivos(GARZA-FABRE; PULIDO; COELLO, 2009), o que torna

difícil selecionar um conjunto limitado de soluções dentre um número bastante alto, con-

servando uma boa representatividade. Além disso, a própria medição de diversidade –

e outras métricas – se torna computacionalmente custosa nestes problemas(DEB; JAIN,

2014), a visualização das fronteiras se torna inviável, entre outros problemas.

Os primeiros passos do NSGA-III são idênticos aos do NSGA-II. Inicialmente, a cada

58

Figura 6: Representação dos pontos de referência do NSGA-III(DEB; JAIN, 2014).

iteração, gera-se uma nova população a partir de operadores genéticos, e o algoritmo de

ordenação baseada em dominância (Nondominated Sorting – ver Algoritmo 4) é utilizado

para a divisão em fronteiras. Após as fronteiras dominantes serem selecionadas para a

população, a última fronteira Fk a ser inserida (caso o espaço na população seja menor

que |Fk|) deve ter apenas alguns elementos escolhidos.

Nesta seleção é que o NSGA-III diferencia-se de sua versão anterior. Para tanto, o

NSGA-III baseia-se em pontos de referência para definir quais soluções serão selecionadas.

Estes pontos podem ser definidos por algum mecanismo específico ou pelo próprio usuário.

A estrutura utilizada em (DEB; JAIN, 2014) foram pontos posicionados em um hiperplano

normalizado (formado pelos vetores da base canônica no espaço objetivo em questão, de

acordo com o número de objetivos). Por exemplo, em caso de três objetivos, o plano

utilizado seria o triângulo formado pelos pontos (0,0,1), (0,1,0) e (1,0,0).

Os pontos de referência serão inseridos inicialmente pelo método proposto em (DAS;

DENNIS, 1998), gerando um vetor w de pontos, espaçados igualmente sobre o plano descrito

anteriormente. O número inicial de pontos de referência é definido por C(M + p − 1, p),

sendo M o número de objetivos e p o número de divisões a cada objetivo. A Figura 6

ilustra a criação de pontos de referência do NSGA-III para 3 objetivos, sendo 4 divisões

por objetivo. Um total de 15 – C(6, 4) – pontos serão criados, portanto.

Para a seleção das soluções que irão compor a próxima geração, primeiramente o

NSGA-III associa cada solução a um ponto de referência de acordo com a distância per-

pendicular de cada ponto para as linhas de referência, isto é, são traçadas retas da origem

até os pontos de referência, e cada solução será associada à linha (e consequentemente ao

ponto) de referência mais próxima.

Então, o NSGA-III itera sobre cada ponto de referência, da seguinte forma: se o ponto

59

Rj não tem algum membro associado a ele ainda, podem haver dois cenários: primeiro, há

uma ou mais soluções associadas a este ponto de referência em Fk, e neste caso selecione

a mais próxima, de acordo com a distância perpendicular; segundo, não há soluções asso-

ciadas a este ponto em Fk, então este ponto de referência deve ser descartado. Se Rj já

tiver alguma solução associada, então selecione aleatoriamente alguma solução (se houver)

associada a Rj para compor a próxima geração, i.e., Pi+1. Repita este procedimento até

preencher a população Pi+1.

4.3 Problemas de Otimização

Este trabalho utilizou vários problemas clássicos da literatura acerca da otimização

multiobjetivo para a realização dos testes. Esta seção apresenta os problemas nos quais

os otimizadores descritos anteriormente foram testados.

4.3.1 Problema da mochila

O problema da mochila é um problema com bastante discussão na literatura(LU; YU,

2013; LUST; TEGHEM, 2010a; BAZGAN; HUGOT; VANDERPOOTEN, 2009; ZHANG; LI, 2007).

Ele foi proposto inicialmente para um único objetivo. Com a temática de problemas multi-

objetivo sendo abordada com maior frequência, tendo em vista a evolução dos algoritmos

de otimização, teve sua versão proposta para vários objetivos. Existem várias definições

diferentes do problema da mochila, variando as restrições, lucros, e outros componentes.

O problema é definido a seguir, em sua versão clássica e em sua versão multiobjetivo, que

foi utilizada neste trabalho.

Seja L = l1, l2, . . . , lk uma lista de k itens com respectivos pesos e lucros, e W ∈ Na capacidade total da mochila. Os valores wi e pi correspondem ao peso e ao lucro do

i-ésimo item, respectivamente. O problema da mochila mono-objetivo é definido como:

Max(k∑i=0

xi ∗ pi), de forma quek∑i=0

xi ∗ wi ≤ W

Algumas versões do problema permitem a utilização de um item mais de uma vez,

no entanto este trabalho utiliza a versão 0-1 do problema da mochila. Sendo assim, uma

solução viável é uma lista X = x1, x2, . . . , xk, sendo xi ∈ 0, 1, representando os itens

que foram ou não incluídos, tal que a capacidade W não seja ultrapassada.

60

Da mesma forma que na versão clássica do problema da mochila, uma solução para

o problema N-dimensional multiobjetivo é definida como uma lista de valores 0, 1 querepresentam os itens que foram incluídos na mochila. No entanto, existem N mochilas, e

uma solução pode ser viável para uma mochila, mas não para outras. Além disso, maximi-

zar o lucro de uma mochila não implica na maximização dos lucros das outras mochilas.

Sendo assim, o objetivo é maximizar o lucro de todas as mochilas simultaneamente.

Seja S = L1, L2, . . . , LN uma lista de N mochilas. Para cada mochila Lj, 1 ≤ j ≤ N ,

os itens podem ter diferentes pesos e lucros. Dessa forma, o peso do item i na mochila Ljé representado por wij, e o seu respectivo lucro na mochila Lj é denotado por pij.

O problema da mochila multiobjetivo e N-dimensional é definido como:

max f(x) = (k∑i=1

xi ∗ pi1,k∑i=1

xi ∗ pi2, . . . ,k∑i=1

xi ∗ piN), de forma que,

∀j ∈ N, 1 ≤ j ≤ N,k∑i=1

xi ∗ wij ≤ Wj

4.3.2 Problema do Caixeiro Viajante

O problema do caixeiro viajante é um dos problemas mais estudados na área de

otimização(LUST; TEGHEM, 2010b). Ainda em sua versão mono-objetivo, o problema é NP-

difícil. A versão multiobjetivo é também bastante estudada, e é utilizada neste trabalho,

portanto, para que se realizem testes do método de reciclagem também em problemas

discretos. O versão clássica do problema, com apenas um objetivo, é definida a seguir:

Dadas N cidades C = c1, c2, . . . , cn, e uma matriz pij que representa as distâncias

entre as cidades, em que pij representa a distância entre a cidade ci e a cidade cj. Encontre

a permutação γ de S = 1, 2, . . . , n que represente um caminho que passe por cada cidade

apenas uma vez e volte para a cidade de origem, de forma que f(γ) seja mínimo.

f(γ) = pγnγ1 +n−1∑i=1

pγiγi+1

A função multiobjetivo difere desta anterior apenas no cálculo das distâncias, de forma

que pij torna-se pdij, ou seja, um vetor de distâncias – ou pesos, para uma representação

mais genérica – sendo cada um destes pesos referentes a um objetivo. Dessa forma, o

problema consiste em minimizar f(γ) = (f1(γ), f2(γ), . . . , fd(γ)), em que:

61

fd(γ) = pdγnγ1 +n−1∑i=1

pdγiγi+1

4.3.3 Problema Quadrático de Alocação (PQA)

O Problema Quadrático de Alocação é também um dos mais estudados na área de

otimização combinatória, e como o Problema do Caixeiro Viajante, teve sua versão mul-

tiobjetivo proposta. O problema com apenas um objetivo consiste em alocar um conjunto

de artefatos (facilidades) em um conjunto de localidades, sendo o custo uma função que

leva em conta distância e fluxo entre as facilidades, além do custo necessário a alocar-se

uma facilidade em um determinado local(BURKARD et al., 1998). Sendo assim, o problema

é de minimização, no qual este custo deve ser o menor possível. Pode ser definido:

Seja n o número de facilidades e localidades:

minimizeC(φ) =n∑i=1

n∑j=1

aijbφiφj

Em que φ representa uma permutação de 1, 2, . . . , n, aij é a distância entre a localidade

i e a localidade j, e bij representa o fluxo entre a facilidade i para a facilidade j. Por fim, φirepresenta o local da facilidade i na permutação φ. Assim como no problema do Caixeiro

Viajante, a solução para este problema é uma permutação de inteiros.

A versão multiobjetivo é definida de forma análoga, assim como o Problema da Mo-

chila Multiobjetivo, e é definida a seguir:

minimize C(φ) = C1(φ), C2(φ), . . . , Cm(φ)

em queCk(φ) =n∑i=1

n∑j=1

aijbkφiφj

Para toda a realização deste trabalho, foram geradas 10 instâncias deste problema, a

serem testadas nos otimizadores. O trabalho de (KNOWLES; CORNE, 2003) disponibiliza

um gerador de instâncias para este problema. Este gerador foi utilizado neste trabalho,

com tamanho, número de objetivos e semente para o gerador de números pseudo-aleatórios

controlados. As respectivas configurações das instâncias são:

62

• Tamanho: 10, Objetivos: 2, Semente: 123.










4.3.4 Problemas WFG

Os problemas WFG (Walking Fish Group) foram propostos em (HUBAND et al., 2005)

a fim de criar um toolkit para geração de problemas com várias características diferentes,

sendo essas características controláveis. O trabalho de HUBAND et al. (2005) propõe 9 pro-

blemas baseados neste toolkit, chamados WFG1-9. O kit de ferramentas define problemas

em termos de um vetor de parâmetros x. O vetor x é derivado, utilizando vetores de

transição, até o vetor z. Cada vetor de transição aplicado a x definirá uma nova carac-

terística ao problema, como não-separabilidade ou enviesamento a alguma região. Além

disso, é possível também controlar o formato da fronteira de Pareto, podendo ela ser li-

near, convexa, côncava, convexa/côncava e desconectado. O esquema geral dos problemas

é definido como:

Dados z = (z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn)

min fm=1:M(x) = xM + Smhm(x1, . . . , xM−1)

em que x = x1, . . . , xM

Sendo Mo número de objetivos e x o vetor ao qual serão aplicados as transformações

a partir de vetores de transição. Sm são constantes de escalabilidade e h1:M são as funções

63

Tabela 8: Problemas WFG

Problema Separabilidade GeometriaWFG1 Separável Convexo, Côncavo/ConvexoWFG2 Não-separável Convexo, DesconectadoWFG3 Não-separável LinearWFG4 Não-separável CôncavoWFG5 Separável CôncavoWFG6 Separável CôncavoWFG7 Não-separável CôncavoWFG8 Não-separável CôncavoWFG9 Não-separável Côncavo

que definem a forma da fronteira de Pareto no espaço objetivo. A Tabela 8 apresenta as

características dos problemas WFG. Outras características mais precisas são mostradas

em (HUBAND et al., 2005).

Os problemas WFG foram testados em 3 otimizadores neste trabalho, cujas formas

de arquivamento foram analisadas neste trabalho: NSGA-II, PAES e SPEA2. Para todos

os testes, os problemas foram configurados com 3 objetivos.

4.3.5 Problemas LZ09

Os problemas chamados LZ09 são propostos em (LI; ZHANG, 2009). Inicialmente fo-

ram definidos para testes com variações do MOEA/D, como a utilizada neste trabalho

(MOEA/D-DE), e do NSGA-II. As m funções objetivo para os problemas são definidas

como:

minimizar

f1(x) = α1(xI) + β1(xII − g(xI))

f2(x) = α2(xI) + β2(xII − g(xI))

...

fm(x) = αm(xI) + βm(xII − g(xI))

Em que:

• x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω, xI = (x1, . . . , xm−1) e xII = (xm, . . . , xn).

• αi(i = 1, . . . ,m) é uma função de∏m−1

i=1 [ai, bi]→ R

66

LZ09F7

f1 = x1 +2

|J1|∑j∈J1

(4y2j − cos(8yjπ) + 1.0)

f2 = 1−√x1 +

2

|J2|(4y2j − cos(8yjπ) + 1.0)


LZ09F8

f1 = x1 +2

|J1|(4∑j∈J1

y2j − 2∏j∈J1

cos(20yjπ√

j) + 2)

f2 = 1−√x1 +

2

|J2|(4∑j∈J2

y2j − 2∏j∈J2

cos(20yjπ√

j) + 2)


LZ09F9

f1 = x1 +2

|J1|∑j∈J1


n))2

f2 = 1− x21 +2

|J2|∑

j ∈ J2(xj − sin(6πx1 +jπ

n))2


4.3.6 Problemas ZDT

O trabalho publicado por (DEB, 1999) apresentou algumas características que geravam

problemas aos algoritmos evolucionários multiobjetivo (MOEAs), divididos em dois sub-

grupos: problemas relacionados à convergência à fronteira ótima de Pareto, e relacionados

a manutenção da diversidade entre as soluções. Baseando-se nesta análise, (ZITZLER; DEB;

THIELE, 2000) propuseram 6 problemas, a fim de realizar uma comparação entre alguns

dos algoritmos evolucionários multiobjetivo desenvolvidos até então, no que diz respeito

aos problemas apresentados em (DEB, 1999). Cada problema obedece à mesma estrutura

67

definida a seguir:

min T (x) = (f1(x1), f2(X))

sujeito à f2(x) = g(x2, . . . , xm)h(f1(x1), g(x2, . . . , xm))

em que X = (x1, . . . , xM)

Cada uma das 6 funções propostas são diferentes na definição destas três funções,

podendo ter cada uma um número de variáveis próprio. Neste trabalho foram utilizados

os 4 primeiros problemas definidos por (ZITZLER; DEB; THIELE, 2000), disponibilizados

por (DURILLO; NEBRO, 2011).

Problema ZDT1

Este problema traz uma fronteira ótima de Pareto convexa. Esta característica, assim

como fronteiras não-convexas ou discretas, pode gerar dificuldades aos MOEAs no que

diz respeito a manutenção de uma boa distribuição da fronteira de Pareto(DEB, 1999). O

Problema ZDT1 tem suas três funções definidas como:

f1(x1) = x1

g(x2, . . . , xm) = 1 + 9 ·m∑i=2

xi/(m− 1)

h(f1, g) = 1−√f1/g

em que m = 30 e xi ∈ [0, 1].

A fronteira ótima de Pareto deste problema é formada com g(X) = 1, e é ilustrada na

Figura 7.

Problema ZDT2

O Problema ZDT2 apresenta uma fronteira ótima de Pareto não-convexa. É definido

como:

68

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

ZDT1

Figura 7: Fronteira de Pareto do problema ZTD1.

f1(x1) = x1

g(x2, . . . , xm) = 1 + 9 ·m∑i=2

xi/(m− 1)

h(f1, g) = 1− (f1/g)2

em que m = 30 e xi ∈ [0, 1].

A fronteira ótima de Pareto deste problema é formada com g(X) = 1, e é ilustrada na

Figura 8.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

ZDT2


69

Problema ZDT3

Este problema é bastante diferente dos anteriores, pois apresenta partes convexas não

contínuas em sua fronteira ótima de Pareto, ilustrada na Figura 9. Ele é definido como:

f1(x1) = x1

g(x2, . . . , xm) = 1 + 9 ·m∑i=2

xi/(m− 1)

h(f1, g) = 1− sqrtf1/g − (f1/g)sin(10πf1)

em que m = 30 e xi ∈ [0, 1].

A introdução da função sin(.) em h(.) causa descontinuidade no espaço objetivo,

apesar de o domínio das variáveis de decisão ser contínuo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

−0.5

0

0.5

1

x1

x2

ZDT3


Problema ZDT4

O Problema ZDT4 apresenta uma grande quantidade ótimos locais, num total de 219

fronteiras. É definido como:

70

f1(x1) = x1

g(x2, . . . , xm) = 1 + 10(m− 1) +m∑i=2

(x2i − 10cos(4πxi))

h(f1, g) = 1−√f1/g

Neste problema m = 10 e x1 ∈ [0, 1] e x2, . . . , xm ∈ [−5, 5]. A fronteira ótima de

Pareto é formada com g(X) = 1, e é ilustrada na Figura 10. A melhor fronteira ótima

local é formada com g(X) = 1.25.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

ZDT4


4.3.7 Problemas DTLZ

Após a resolução por parte dos otimizadores da literatura de problemas com dois

objetivos, (DEB et al., 2002b) propuseram um conjunto de problemas contínuos a fim de

aumentar a dificuldade a serem enfrentadas pelos algoritmos de otimização. Os traba-

lhos de Schaffer (1984) e Kursawe (1991) propuseram problemas multiobjetivo que foram

bastante utilizados ao longo da evolução dos otimizadores multiobjetivo, no entanto, tais

problemas não eram escaláveis para mais de dois objetivos(DEB et al., 2002b), assim como

os problemas propostos em (ZITZLER; DEB; THIELE, 2000) descritos na seção anterior.

A proposta de (DEB et al., 2002b) era apresentar problemas escaláveis tanto no número

de variáveis de decisão, quanto no número de objetivos, que oferecessem dificuldades aos

71

otimizadores. Além disso, outras características eram desejadas para a definição dos pro-

blemas: casos de teste de fácil construção e fronteira ótima de Pareto compreensiva e

conhecida.

Esta seção descreve os quatro primeiros problemas deste conjunto, que foram utiliza-

dos neste trabalho. O NSGA-II foi testado com variação de número de objetivos, enquanto

o MOEA/D e o NSGA-III trabalharam apenas nas versões tridimensionais.

Problema DTLZ1

O problema DTLZ1, escalável para M objetivos, é definido como:

min f1(x) =1

2x1x2 . . . xM−1(1 + g(xM))

min f2(x) =1

2x1x2 . . . (1− xM−1)(1 + g(xM))

...

min fM−1(x) =1

2x1(1− x2)(1 + g(xM))

min fM(x) =1

2(1− x1)(1 + g(xM)),

Sujeito a 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, 2, . . . , n.

A função g(xM) é definida como:

g(xM) = 100

(|xM |+

∑xi∈XM

(xi − 0, 5)2 − cos(20π(xi − 0, 5))

)

As soluções ótimas deste problema correspondem a x∗i = 0, 5, e os valores objetivo

estão no hiperplano linear∑M

m=1 f∗m = 0.5. A Figura 11 ilustra a fronteira ótima de Pareto

deste problema.

Problema DTLZ2

Este problema é o segundo proposto em (DEB et al., 2002b) e possui fronteira ótima

de Pareto esférica. É definido como:

72

0

0.20.4

0

0.20.4

0

0.2

0.4

DTLZ1

Figura 11: Fronteira de Pareto do problema DTLZ1

min f1(x) = (1 + g(xM))cos(x1π/2) . . . cos(xM−1π/2)

min f1(x) = (1 + g(xM))cos(x1π/2) . . . sin(xM−1π/2)

...

min fM(x) = (1 + g(xM))sin(x1π/2)

Sujeito a 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, 2, . . . , n.

Neste problema a função g(xM) é definida como:

g(xM) =∑

xi∈XM

(xi − 0.5)2

As soluções ótimas deste problema correspondem a x∗i = 0, 5 e sua fronteira ótima de

Pareto é definida com os valores objetivo correspondentes a∑M

m=1(f∗m)2 = 1. A Figura 12

ilustra a fronteira de Pareto esférica do problema.

Problema DTLZ3

Este problema é a união entre a definição do Problema DTLZ2 e a função g(xM) dada

para o Problema DTLZ1. Isto introduz muitas fronteiras ótimas locais, segundo (DEB et

73

0

0.5

1

0

0.5

1

0

0.5

1

DTLZ2

Figura 12: Fronteira de Pareto do problema DTLZ2

al., 2002b). O trabalho sugere a experimentação de algoritmos aplicados a este problema

com um número maior de objetivos.

min f1(x) = (1 + g(xM))cos(x1π/2) . . . cos(xM−1π/2)

min f1(x) = (1 + g(xM))cos(x1π/2) . . . sin(xM−1π/2)

...

min fM(x) = (1 + g(xM))sin(x1π/2)

Sujeito a 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, 2, . . . , n.

A função g(xM) é definida como:

g(xM) = 100

(|xM |+

∑xi∈XM

(xi − 0, 5)2 − cos(20π(xi − 0, 5))

)

Problema DTLZ4

Este problema é definido como o Problema DTLZ2, apenas com o mapeamento de

cada xi → xαi . Sendo assim, as soluções serão modificadas para xαi antes da avaliação do

vetor objetivo. Neste trabalho, como sugerido em (DEB et al., 2002b), o valor de α = 100.

Obviamente a fronteira ótima de Pareto é idêntica à do Problema DTLZ2, havendo a

mudança apenas no conjunto de soluções ótimas, e não no espaço objetivo.

74

4.3.8 Outros Problemas

Além dos problemas já descritos nas seções anteriores, este trabalho realizou testes

com outros problemas contínuos. São eles Viennet2, Viennet3, Kursawe e Fonseca, também

com boa utilização na literatura. São descritos a seguir.

Viennet2

O problema Viennet2 possui apenas a variável bi-dimensional x = (x1, x2), proposto

em (VIENNET; FONTEIX; MARC, 1996). É definido como segue:

minimize f(x) = (f1(x), f2(x), f3(x)),

em quef1(x) =(x1 − 2)2

2+

(x1 + 1)2

13+ 3

f2(x) =(x1 + 2x2 − 1)(x1 + x2 − 3)

36+

(−x1 + x2 + 2)(−x1 + x2 + 2)

8− 17

f3(x) =(x1 + 2x2 − 1)2

175+

(2x2 − x1)2

17− 13

Viennet3

O problema Viennet3 também é a minimização de uma função de x = (x1, x2). É

definido como segue:

minimize f(x) = (f1(x), f2(x), f3(x)),

em quef1(x) = 0.5(x21 + x22) + sin(x21 + x22)

f2(x) =(3x1 − 2x2 + 4)2

8+

(x1 − x2 + 1)2

27+ 15

f3(x) =1

x21 + x22 + 1− 1.1exp(−(x21 + x22))

Kursawe

Proposto em (KURSAWE, 1991), é definido como:

75

minimize f(x) = (f1(x), f2(x)),

em quef1(x) =2∑i=1

[−10exp(−0.2√x2i + x2i+1)]

f2(x) =3∑i=1

[|xi|0.8 + 5sin(x3i )]

Considerando o vetor x = (x1, x2, x3).

Fonseca

Proposto em (FONSECA; FLEMING, 1995), é definido como:

minimize f(x) = (f1(x), f2(x)),

em quef1(x) = 1− exp(−n∑i=1

(xi −1√n

)2)

f2(x) = 1− exp(−n∑i=1

(xi +1√n

)2)

76

5 Resultados Experimentais Sobre osOtimizadores

Após descritos os algoritmos de otimização e os problemas aos quais eles serão aplica-

dos, este capítulo apresenta os resultados acerca dos experimentos realizados nos otimiza-

dores, a fim de comparar as técnicas propostas (crowdd, random e verif) e os otimizadores

sem modificações (clean). A Tabela 9 enumera quais problemas foram testados em quais

otimizadores. O NSGA-II, comparado aos otimizadores SPEA2 e PAES, foi testado tam-

bém ao Problema da Mochila e aos problemas DTLZ1 e DTLZ2, ainda na plataforma

PISA, e foram os primeiros testes realizados neste trabalho. SPEA2 e PAES não foram

testados nestes três problemas.

Os MOEA/D e NSGA-III foram testados em problemas diferentes, cujos resultados

estão aqui reportados como experimentos suplementares, considerando que a análise teó-

rica dos métodos de arquivamento destes otimizadores não foi feita no presente trabalho,

diferentemente dos métodos de seleção utilizados pelos algoritmos NSGA-II, SPEA2 e

PAES.

Tabela 9: Problemas aplicados aos otimizadores

Otimizador Problemas AplicadosNSGA-II Problema da Mochila, Problema Quadrático de Alocação, DTLZ1,

DTLZ2, Problemas WFG, Problemas LZ09, Kursawe, FonsecaSPEA2 Problema Quadrático de Alocação, Problemas WFG, Problemas

LZ09, Kursawe, FonsecaPAES Problema Quadrático de Alocação, Problemas WFG, Problemas

LZ09, Kursawe, FonsecaMOEA/D Problemas DTLZ, Probemas ZDTNSGA-III Problema do Caixeiro Viajante, Problemas DTLZ, Probemas ZDT

A seguir, é descrita a metodologia utilizada nos experimentos envolvendo os otimi-

zadores, e em seguida são apresentados obtidos por cada otimizador, nos problemas aos

quais foram submetidos.

77

5.1 Metodologia de Comparação

Considerando que o objetivo deste trabalho é verificar se o método de reciclagem pode

melhorar a performance dos algoritmos analisados na Seção 4.2, bem como melhorar a

qualidade da população durante o processo de otimização através do resgate de soluções

anteriormente descartadas, as principais comparações realizadas neste trabalho são fei-

tas entre as variantes (clean, crowdd, random e verif) dos algoritmos. Posteriormente é

feita uma comparação entre cada algoritmo com relação aos outros – quando possível,

obviamente, uma vez que alguns problemas não foram testados para todos os algoritmos.

Com efeito, as variantes propostas na Seção 4.1, e também os otimizadores NSGA-

II, SPEA2, PAES, MOEA/D e NSGA-III apresentam estruturas diferentes, e portanto,

comportamentos diferentes ao longo do processo de otimização. Considerando os dois

indicadores de qualidade descritos na Seção 2.2, o método de comparação empregado neste

trabalho é a verificação periódica dos valores dos indicadores (hipervolume e ε-aditivo)

para a população de cada uma dessas variantes dos algoritmos, considerando uma mesma

população inicial para elas, garantida através da configuração dos geradores aleatórios.

Neste capítulo são apresentados apenas os resultados finais dos experimentos, isto é,

considerando apenas a última iteração. Eventualmente são mostrados gráficos descrevendo

todo o processo de otimização (todas as iterações), no entanto os resultados completos

dos experimentos estão reportados no Apêndice B.

Todos os testes foram executados em uma máquina com processador Intel Core i7-

3632QM de 2,2GHz, utilizando sistema operacional Ubuntu 14.04 LTS 64Bits. Os testes

do NSGA-II na plataforma PISA foram implementados em C++, conforme a plataforma

PISA(BLEULER et al., 2003), utilizando o compilador g++. Os realizados com SPEA2,

NSGA-II (jMetal), PAES, NSGA-III e MOEA/D foram implementados em Java, con-

forme plataforma jMetal(DURILLO; NEBRO, 2011). Cada experimento foi composto por 30

execuções independentes, considerando os geradores de números aleatórios com 30 semen-

tes diferentes, de forma que todos os experimentos utilizaram as mesmas 30 sementes.

Os experimentos do NSGA-II aplicados ao DTLZ1 e DTLZ2, a condição de parada

foi de 100 iterações; para o Problema da Mochila, foram realizadas 400 iterações. Para

todas os demais experimentos, que são da plataforma jMetal, a condição de parada foi

configurada em 350 iterações. A reciclagem foi aplicada aos otimizadores a cada 50 ite-

rações, com exceção dos experimentos realizados com NSGA-II e os problemas DTLZ1 e

DTLZ2, em que a reciclagem foi feita a cada 10 iterações, devido ao tamanho mais curto

78

do experimento.

Para uma comparação estatística dos resultados, foi empregado neste trabalho o teste

Kruskal-Wallis. O Kruskal-Wallis é um teste estatístico não paramétrico utilizado para

comparar um conjunto de amostras, a fim de testar a hipótese nula de que todas as

amostras vem da mesma distribuição(KRUSKAL; WALLIS, 1952). Neste trabalho ele foi

utilizado na comparação de indicadores obtidos nos diversos experimentos realizados,

para verificar diferença estatística entre os resultados. Em todos os testes deste trabalho,

o nível de significância foi definido α = 0, 05. O teste retorna um p-valor, que, se menor

que 0,05, indica que um algoritmo obteve vantagem significativa com relação a outro.

5.2 Resultados NSGA-II

O NSGA-II foi aplicado inicialmente ao problema da mochila multi-dimensional (ver

Seção 4.3.1), e aos problemas DTLZ1 e DTLZ2 (Seção 4.3.7). Estes foram os testes inici-

ais deste trabalho, utilizando a plataforma PISA(BLEULER et al., 2003). Posteriormente, o

NSGA-II foi testado, já na plataforma jMetal, nos problemas WFG, LZ09, Viennet, Kur-

sawe, Fonseca e Problema Quadrático de Alocação. Os resultados são descritos a seguir.

5.2.1 NSGA-II Aplicado ao Problema da Mochila

Foi utilizada a implementação do problema da mochila que é disponibilizada na pla-

taforma PISA (BLEULER et al., 2003). Nela são parametrizados o número de objetivos,

bem como o tamanho N de itens possíveis da mochila. Foram realizados testes em doze

instâncias diferentes, sendo o número de itens variando em N = 100, 250, 500, 750 e o

número de objetivos d variando entre 2, 3 ou 4. O gerador aleatório recebeu uma semente

diferente para cada execução, sendo a semente seed = 10 ∗ N + d. Sendo assim, para a

configuração de 100 itens e 2 objetivos, a instância foi gerada, com a semente 1002, para

três objetivos com a semente 1003 e assim por diante. Neste trabalho as instâncias são

denotadas por N–d.

Como o Problema da Mochila é de maximização, foi utilizado o ponto de referência

r = 0d para o cálculo de hipervolume. O tamanho da população foi fixado em 50 soluções,

e 400 iterações foi a condição de parada do NSGA-II. O Apêndice B mostra os resultados

dos hipervolumes para cada variante, além de gráficos relacionando o hipervolume médio

ao número de iterações, isto é, uma média do hipervolume que cada variante do algoritmo

obteve nas 30 execuções independentes, ao longo do processo de otimização. A medição de

79

hipervolume foi feita a cada 10 iterações, no entanto as tabelas apresentadas no Apêndice

B mostram apenas a média a cada 100 iterações, por questões de espaço. Neste problema

o indicador de ε-aditivo não foi analisado devido a fronteira de Pareto ser desconhecida.

A Tabela 10 apresenta um resumo dos resultados obtidos pelos métodos de reciclagem

aplicados ao NSGA-II, além da abordagem sem reciclagem. Nela é mostrada a média de

hipervolume considerando as 30 execuções independentes. As maiores médias por instân-

cias estão em negrito. A seguir é apresentado o resultado do teste estatístico para cada

instância.

Tabela 10: Resultados de hipervolume médio na última iteração – NSGA-II – Problemada Mochila

Instância clean crowdd random verif100—2 (∗107) 1,5037955 1,5024254 1,4930155 1,5044042100—3 (∗1010) 5,5054256 5,5396776 5,4141263 5,5205768100—4 (∗1014) 1,7818888 1,7988075 1,7388849 1,8209058250—2 (∗107) 9,5578701 9,5363703 9,5236807 9,5418561250—3 (∗1011) 7,1559707 7,1378142 7,0266447 7,1835474250—4 (∗1015) 5,95334 5,95839 5,67756 6,04333500—2 (∗108) 3,862920 3,8569635 3,8518983 3,86173473500—3 (∗1012) 5,7936850 5,7908601 5,7033112 5,80862272500—4 (∗1016) 8,424246 8,350747 8,174051 8,470749750—2 (∗108) 7,7488426 7,7581056 7,7380407 7,75571941750—3 (∗1013) 1,7729698 1,7707991 1,7651023 1,77857132750—4 (∗1017) 3,9577930 3,9220475 3,9090764 3,9798421

100–2: Nesta instância os métodos clean, crowdd e verif não tiveram diferença esta-

tisticamente significativa entre si para o hipervolume, e o método random foi superado

pelos métodos clean e verif. O p-valor é de 0,0097.

100–3: Como na instância anterior, os métodos clean, crowdd e verif não demons-

traram diferença significativa, e o método random foi inferior estatisticamente aos três

outros métodos. O p-valor foi de 1, 219 ∗ 10−8.

100–4: Nesta instância o método verif superou os outros três métodos de forma

estatisticamente significativa. Ademais, os métodos clean e crowdd, estatisticamente em-

patados, superaram o método random. O p-valor foi de 4, 525 ∗ 10−12.

250–2: Nesta instância os 4 métodos não demonstraram diferença significativa.

250–3: Como na instância 100–3, os métodos clean, crowdd e verif não demonstraram

diferença significativa, e os três venceram o método aleatório. p-valor igual a 9, 088∗10−8.

80

250–4: Nesta instância o método random foi superado pelos outros três, que não

obtiveram diferença significativa entre si. p-valor igual a 2, 676 ∗ 10−12.

500–2: Não houve diferença significativa nesta instância.

500–3: Nesta instância o método random foi superado pelos outros três, que também

não obtiveram diferença significativa entre si. p-valor igual a 2, 71 ∗ 10−6.

500–4: Como na primeira instância, os métodos clean, crowdd e verif não tiveram

diferença estatisticamente significativa entre si, e o método random foi superado pelos

métodos clean e verif. O p-valor é de 1, 410 ∗ 10−5.

750–2: Sem diferenças estatísticas para esta instância.

750–3: Sem diferenças estatísticas para esta instância.

750–4: Nesta instância o método random foi superado pelos outros três, que não

obtiveram diferença significativa entre si. p-valor igual a 0, 0116.

Os métodos de reciclagem, apesar de vencerem na média de hipervolume na maioria

das instâncias, apenas obtiveram diferença estatisticamente significativa em uma instân-

cia. Isto provavelmente ocorre devido ao bom desempenho do NSGA-II para o problema

da mochila, levando em consideração a curva de hipervolume por iteração, que aumenta

ao longo do processo de otimização. Este comportamento indica que a deterioração foi

pequena, e que o método de seleção por distância de aglomeração utilizado no NSGA-II

foi suficiente para manter uma boa distribuição da população.

A Tabela 11 mostra o tempo médio, em segundos, gasto por cada método para o

problema em questão, indicando que os métodos de reciclagem gastaram, geralmente,

pouco mais que o dobro de tempo do método clean. Para este problema não parece

razoável utilizar a técnica de reciclagem, uma vez que o NSGA-II clean já faz uma boa

otimização, avaliando o indicador de hipervolume.

Com relação aos tempos de processamento, o teste estatístico aponta para diferença

significativa entre o método clean e os outros três. A diferença entre os métodos com

reciclagem não foram consideradas estatisticamente significativas pelo teste.

5.2.2 NSGA-II Aplicado aos problemas DTLZ

Assim como o Problema da Mochila, os problemas DTLZ foram implementados tam-

bém na plataforma PISA (BLEULER et al., 2003). Os problemas eram configuráveis em

81

Tabela 11: Tempo médio gasto pelos métodos no Problema da Mochila.

Problema clean crowdd random verif100—2 0,64380 1,35880 1,33059 1,33677100—3 0,70338 1,69172 1,64814 1,66734100—4 0,79279 1,90094 1,95984 1,97812250—2 0,65803 1,45518 1,44079 1,44339250—3 0,73756 1,72804 1,73286 1,76644250—4 0,82050 2,32422 2,23231 2,29547500—2 0,65966 1,47059 1,44106 1,44667500—3 0,73533 1,72592 1,71061 1,73602500—4 0,80523 1,79785 2,02629 2,10542750—2 0,66443 1,47344 1,47243 1,46380750—3 0,73103 1,66245 1,61639 1,62544750—4 0,80960 1,62207 1,92690 2,02565

termos de número de objetivo e número de variáveis de decisão. Neste trabalho foram

utilizados os problemas DTLZ1 e DTLZ2, para 2, 3 e 4 objetivos. A condição de parada

do NSGA-II foi de 100 iterações e a reciclagem foi aplicada a cada 10 iterações. Os resul-

tados completos de indicadores por iteração estão reportados no Apêndice B. A Tabela 12

mostra a média dos resultados de indicador ε-aditivo (medidos na última iteração) para

as instâncias de 2 e 3 dimensões, cuja fronteira de Pareto é conhecida. A Tabela 13 mostra

a média de hipervolume destes experimentos.

Tabela 12: Resultados de ε-aditivo para o NSGA-II – DTLZ

Problema clean crowdd random verifDTLZ1 – 2D 16,0135 18,3251 23,3859 14,5794DTLZ1 – 3D 13,0724 12,6211 15,6844 10,4197DTLZ2 – 2D 0,0520128 0,0941651 0,147957 0,046772DTLZ2 – 3D 0,386454 0,408227 0,29023 0,287604

Para o indicador de ε-aditivo, o método verif obteve os melhores resultados em todas

as instâncias cujo indicador foi calculado. O teste Kruskal-Wallis mostrou que o método foi

estatisticamente superior aos outros no DTLZ2 para 3 objetivos. Nas outras configurações

o teste apontou para diferença significativa entre verif e clean com relação aos outros dois

métodos crowdd e random.

Neste indicador o teste estatístico mostrou vantagem em 5 das 6 configurações para o

método verif com relação aos outros três. Na configuração DTLZ1 – 2D os métodos verif e

clean não demonstraram diferença significativa segundo o Kruskal-Wallis, mas venceram

os outros dois. Nas configurações DTLZ1 – 3D e 4D o método verif foi superior aos outros

três, e o método random ainda foi considerado inferior aos dois métodos clean e crowdd.

82

Tabela 13: Resultados de hipervolume para o NSGA-II – DTLZ

Problema clean crowdd random verifDTLZ1 – 2D 999597 999388 999227 999635DTLZ1 – 3D 999992280 999990834 999462555 999995667DTLZ1 – 4D 999999253467 999998129447 999995722720 999999945338DTLZ2 – 2D 5,41671 5,38656 5,22956 5,42392DTLZ2 – 3D 25,6556 25,7029 25,8596 26,0759DTLZ2 – 4D 70,7362 74,2019 78,8616 79,228

20 40 60 80 100

25.2

25.4

25.6

25.8

26

Iteração

Hipervo

lume

Instância DTLZ23

CleanCrowdRandomVerif

20 40 60 80 10070

72

74

76

78

80

Iteração

Hipervo

lume

Instância DTLZ24


Figura 13: Resultados – NSGAII – DTLZ2

No problema DTLZ2 o método verif foi melhor em todas as configurações, e o NSGA-

II demonstrou um grande problema de deterioração. A Figura 13 mostra o desempenho

de hipervolume ao longo das iterações para os 4 métodos. O NSGA-II (clean) não obteve

bons resultados para este indicador, e o método verif foi melhor que os outros três se-

gundo o teste estatístico. O método crowdd, que utiliza sua seleção baseado na distância

de aglomeração, teve resultados parecidos com o NSGA-II clean, cuja diferença não foi

estatisticamente verificada. O método random também foi melhor que os métodos clean

e crowdd. O hipervolume para este problema indica que a seleção de soluções realizada

pelo algoritmo pode ser muito importante para o seu desempenho geral, uma vez que as

soluções iniciais dos métodos foram as mesmas e os métodos verif e random não sofreram

com a deterioração de sua população assim como os outros dois métodos.

A Tabela 14 mostra o tempo médio gasto por cada método aplicado a cada configu-

ração dos problemas DTLZ1 e DTLZ2. O método clean foi obviamente o mais rápido,

considerando que os outros três realizavam a reciclagem. Há claramente um custo maior

para os problemas com mais objetivos, e este fato ocorre porque o cálculo das soluções não

dominadas realizado antes da reciclagem custa tempo proporcional ao número de objeti-

83

vos. Apesar de que para os problemas DTLZ aplicados ao NSGA-II o tempo da reciclagem

aumentou em mais de 50% o tempo do método clean, nas instâncias DTLZ2 – 2D e 3D o

método verif obteve, na iteração 20, um hipervolume maior que o clean obteve após nas

suas 100 iterações, o que indica que ainda com o tempo reduzido, o método verif teria

sido superior. A técnica de reciclagem mostrou que pode ser eficaz em evitar deterioração

do conjunto de soluções, em especial quando o algoritmo tem dificuldades em manter um

bom conjunto de aproximação.

Tabela 14: Média de tempos (em segundos) gasto por cada variante do NSGA-II – DTLZ.

Problema clean crowdd random verifDTLZ1 – 2D 0,126882 0,153979 0,147421 0,152212DTLZ1 – 3D 0,128286 0,16053 0,169053 0,167454DTLZ1 – 4D 0,135525 0,211397 0,201497 0,209347DTLZ2 – 2D 0,122746 0,170341 0,163929 0,17095DTLZ2 – 3D 0,132745 0,239896 0,250335 0,24985DTLZ2 – 4D 0,140883 0,335316 0,328463 0,334641

Assim como no problema da mochila, o método clean foi mais rápido que os outros

três, com base no teste estatístico Kruskal-Wallis. Entre si, os métodos de reciclagem não

apresentaram diferença significativa.

5.2.3 NSGA-II Aplicado ao PQA

Ao todo, como descrito na Seção 4.3.3, foram geradas dez instâncias do problema.

Os resultados de hipervolume e ε-aditivo médios são apresentados nas Tabelas 15 e 16, e

descritos a seguir.

Tabela 15: Hipervolumes médios – NSGA-II – PQA

Instância Clean Crowdd Random VerifPQA 10-2 Semente 123 (1010) 1,83636 1,8274 1,83387 1,82984PQA 10-2 Semente 215 (1010) 1,36394 1,36794 1,36728 1,37367PQA 10-3 Semente 155 (1015) 1,34969 1,31179 1,3199 1,3668PQA 10-3 Semente 256 (1014) 8,13509 7,86628 7,94865 8,36112PQA 20-2 Semente 88 (1011) 1,1984 1,18163 1,19524 1,19181PQA 20-2 Semente 124 (1010) 8,48804 8,54851 8,63327 8,48789PQA 20-3 Semente 588 (1016) 2,83399 2,82592 2,7673 2,86621PQA 20-3 Semente 3438 (1016) 3,65508 3,65893 3,61402 3,78195PQA 20-4 Semente 2377 (1021) 3,96036 3,85571 4,13538 4,59737PQA 20-4 Semente 9813 (1021) 2,28422 2,30008 2,43585 2,6408

84

Tabela 16: ε-aditivo médio – NSGA-II – PQA

Instância Clean Crowdd Random VerifPQA 10-2 Semente 123 5151,33 5394,4 5167,53 5490,2PQA 10-2 Semente 215 6771,8 6662,87 6493,33 6478,4PQA 10-3 Semente 155 11288,5 18100,3 12081,6 9692,53PQA 10-3 Semente 256 12059,9 17693,1 11425,1 9221,53PQA 20-2 Semente 88 31100,1 33921,3 31593,7 31900PQA 20-2 Semente 124 33768,6 34749,2 30044,2 35621,9PQA 20-3 Semente 588 47350,6 51118,5 46037,6 41298,3PQA 20-3 Semente 3438 51649,3 56612,9 49817 43262,6PQA 20-4 Semente 2377 79495,6 87129,7 66367,7 63318,1PQA 20-4 Semente 9813 66746,3 72271,3 57619,1 55261,7

Instância 10-2 Semente 123: Para esta instância, não foi verificada diferença entre

nenhum dos métodos testados, segundo o teste estatístico, para nenhum dos indicadores

verificados.

Instância 10-2 Semente 215: Nesta instância, também para dois objetivos, os

testes estatísticos não indicaram diferença significativa entre os métodos, para ambos os

indicadores.

Instância 10-3 Semente 155: Nesta instância os métodos clean e verif foram supe-

riores aos outros, random e crowdd, no entanto, o teste não indica diferença significativa

entre os métodos vencedores.

Instância 10-3 Semente 256: Nesta instância o método verif foi considerado pelo

teste Kruskal-Wallis superior aos outros três em ambos os indicadores. Para o hipervolume,

os métodos random e crowdd foram considerados empatados (sem diferença estatística),

e para o ε-aditivo, os métodos clean e random empataram. Para esta instância as outras

comparações foram todas consideradas significativas. Conclui-se que o método verif foi

superior, seguido de clean, random e crowdd.

Instância 20-2 Semente 88: Para esta instância, não foi verificada diferença entre

nenhum dos métodos testados, segundo o teste estatístico. para nenhum dos indicadores

verificados.

Instância 20-2 Semente 124: Nesta instância os métodos também empataram.

Apenas o método random venceu estatisticamente o verif para o indicador de ε-aditivo.

Instância 20-3 Semente 588: O NSGA-II mostrou melhor desempenho com o mé-

todo verif para o indicador ε-aditivo, com relação aos outros métodos. Para o indicador

de hipervolume, apesar de o verif também ter obtido melhor desempenho médio, o teste

85

estatístico não verificou diferença significativa.

Instância 20-3 Semente 3438: Nesta instância, o método verif também venceu nos

dois indicadores com diferença significativa. Os outros métodos, quando comparados, não

apresentaram diferença significativa.

Instância 20-4 Semente 2377: Os métodos verif e random também apresentaram

desempenho superior nesta instância, vencendo os outros dois métodos em ambos os in-

dicadores. Para o indicador de hipervolume, no entanto, o verif foi ainda melhor que o

método random, de acordo com o teste Kruskal-Wallis. O método crowdd foi considera-

velmente ineficaz no indicador ε-aditivo.

Instância 20-4 Semente 9813: Assim como na instância imediatamente anterior,

os métodos random e verif foram melhores que os outros dois, crowdd e clean. Além

disso o método verif venceu o random para o indicador de hipervolume com diferença

significativa. Novamente o método crowdd não foi eficaz para o indicador ε-aditivo.

Baseado no exposto nesta seção, os métodos de reciclagem apresentaram desempenho

superior em 5 das 10 instâncias utilizadas, conforme o teste Kruskal-Wallis. Nas instâncias

em que a reciclagem não foi eficaz, no entanto, o método clean não obteve diferença

significativa sobre os métodos que utilizam reciclagem. Outro ponto importante a ser

notado é com relação ao tamanho das instâncias. A medida em que as instâncias crescem,

os métodos de reciclagem random e verif passam a ser mais efetivos, de acordo com

os indicadores. Os gráficos mostrados na Figura 14 ilustram esse fato. Para a instância

menor, tamanho 10 com 2 objetivos, os hipervolumes permanecem parecidos durante todo

o processo de otimização; já para a instância com N = 20 e 4 objetivos, os método random

e verif se sobressaem durante a otimização, considerando o indicador de hipervolume.

O verif, no entanto, obteve resultado bastante superior aos outros métodos, para este

indicador. O método crowdd não foi eficaz para o indicador de ε-aditivo.

Os tempos de execução de todos as variantes do NSGA-II estão descritos na Tabela

17. O método clean foi de duas a quatro vezes mais rápido que os métodos com reciclagem,

de acordo com o tamanho das instâncias. O teste de Kruskal-Wallis não indicou diferença

significativa entre os métodos com reciclagem, e obviamente verificou que o método sem

reciclagem é significativamente mais rápido.

86

50 100 150 200 250 300 350

1.32

1.34

1.36

·1010

Iteração

Hipervo

lume

Instância 10-2 Semente 215


50 100 150 200 250 300 350

3.5

4

4.5

·1021

Iteração

Hipervo

lume



Figura 14: Resultados de hipervolume – NSGA-II – PQA

Tabela 17: Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – PQA

Instância Clean Crowdd Random VerifPQA 10-2 Semente 123 532,20 1382,93 1316,10 1232,70PQA 10-2 Semente 215 514,83 1551,23 1634,70 1659,40PQA 10-3 Semente 155 522,20 1686,93 2213,07 2142,93PQA 10-3 Semente 256 531,67 1672,73 2262,17 2341,83PQA 20-2 Semente 88 548,93 1743,50 1730,63 1746,53PQA 20-2 Semente 124 570,93 1866,17 1744,63 1756,37PQA 20-3 Semente 588 597,20 1894,33 2113,87 2155,77PQA 20-3 Semente 3438 579,37 1800,27 1971,43 2044,97PQA 20-4 Semente 2377 636,67 2081,07 2194,33 2229,37PQA 20-4 Semente 9813 622,87 2002,10 2157,63 2195,80

5.2.4 NSGA-II Aplicado aos Problemas WFG

Considerando os 9 problemas propostos em (HUBAND et al., 2005), os resultados médios

obtidos pelas variantes do NSGA-II estão expostos nas Tabelas 18 e 19. Os resultados dos

testes estatísticos são descritos a seguir, para cada problema.

WFG1: Neste problema apenas o método random foi considerado pior que os ou-

tros para o indicador de hipervolume. As outras comparações não mostraram diferenças

significativas.

WFG2: Para o WFG2, o método verif superou estatisticamente os métodos random

e crowdd para o indicador de hipervolume. Apesar de obter resultado parecido, o mé-

todo clean não foi considerado melhor que os outros, no entanto não obteve diferença

significativa com relação ao verif.

WFG3: Métodos clean e verif foram superiores aos outros dois e não apresentaram

87

Tabela 18: Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas WFG

Instância Clean Crowdd Random VerifWFG1 953,868 964,785 924,646 954,041WFG2 993,311 990,569 993,182 994,505WFG3 914,689 906,513 895,842 916,233WFG4 967,403 966,957 916,704 968,759WFG5 951,744 951,078 923,705 952,23WFG6 960,211 958,573 910,086 961,008WFG7 967,314 967,207 937,514 968,947WFG8 924,822 925,512 849,575 930,046WFG9 956,12 956,973 916,937 958,426

Tabela 19: ε-adtivo médio – NSGA-II – Problemas WFG


diferença significativa.

WFG4: Nesta instância o método verif superou os outros três para o indicador de

hipervolume, e no indicador ε-aditivo verif e clean foram superiores.

WFG5 a WFG9: Para estes problemas, assim como para o WFG3, os métodos clean

e verif foram superiores aos outros dois métodos, que não obtiveram diferença significativa

entre si.

Para esta classe de problemas a reciclagem não se mostrou eficaz. Apesar de os méto-

dos de reciclagem terem obtidos resultados superiores em todos os testes, a diferença não

foi significativa, segundo o teste Kruskal-Wallis.

Os resultados de tempo para esta classe de problemas são expostos na Tabela 20. Ape-

sar de o tempo do método clean permanecer quase constante, considerando o crescimento

das instâncias, os métodos com reciclagem gastaram muito mais tempo, chegando a de-

morar quase 10 vezes mais que o NSGA-II clean para as instâncias maiores, o que indica

que a utilização da lixeira não é razoável para esta classe de problemas, uma vez que o

ganho de performance não é significativo, segundo os indicadores de qualidade medidos.

88

Tabela 20: Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas WFG


5.2.5 NSGA-II Aplicado aos problemas LZ09

Também são 9 os problemas propostos por (LI; ZHANG, 2009). Os resultados do NSGA-

II estão descritos a seguir, ilustrados nas Tabelas 21 e 22 os resultados de hipervolume e

ε-aditivo, respectivamente. As tabelas mostram apenas o valor dos indicadores na última

iteração.

Tabela 21: Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas LZ09

Instância Clean Crowdd Random VerifLZ09F1 3,63573 3,62422 3,61839 3,64383LZ09F2 3,20746 3,21493 3,17162 3,20868LZ09F3 3,42461 3,41566 3,34749 3,42789LZ09F4 3,42675 3,39448 3,39189 3,42884LZ09F5 3,49136 3,47601 3,4494 3,49722LZ09F6 999,953 999,419 999,99 999,998LZ09F7 2,79434 2,79032 2,78125 2,79392LZ09F8 2,84406 2,84093 2,84325 2,84389LZ09F9 2,84832 2,85266 2,80811 2,84663

Para o problema LZ09F1, o método verif venceu os 3 métodos de forma significativa,

considerando as 30 execuções. Para os outros problemas, de LZ09F2 a LZ09F9, não houve

diferença significativa entre os métodos. Os tempos de execução são descritos na Tabela

23. Assim como nos Problemas WFG, o tempo gasto pelos métodos com reciclagem foi

maior, no entanto não houve melhora significativa nos resultados obtidos pelo otimizador

com a reciclagem.

89

Tabela 22: ε-adtivo médio – NSGA-II – Problemas LZ09


Tabela 23: Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas LZ09


5.2.6 NSGA-II – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet

Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo NSGA-II aos problemas Viennet2,

Viennet3, Fonseca e Kursawe. A Tabela 24 apresenta os resultados de hipervolume na

ultima iteração para estes problemas, e a Tabela 25 apresenta os resultados de ε-aditivo.

Os resultados dos testes estatísticos são descritos em seguida.

Tabela 24: Hipervolume médio – NSGA-II – Problemas Contínuos

Instância Clean Crowdd Random VerifKursawe 260,619 260,188 256,793 260,775Fonseca 3,32426 3,31783 3,28866 3,32963Viennet2 20753,8 20745,7 20751,2 20753,9Viennet3 1995,25 1994,37 1993,12 1995,57

Kursawe: Para o problema Kursawe o método verif venceu os outros três de forma

significativa para o indicador de hipervolume. Todas as comparações neste experimento

apresentaram diferenças significativas, segundo o teste Kruskal-Wallis, com exceção da

comparação dos resultados de ε-aditivo entre verif e clean.

90

Tabela 25: ε-aditivo médio – NSGA-II – Problemas Contínuos

Instância Clean Crowdd Random VerifKursawe 0,161845 0,317776 0,952184 0,139222Fonseca 0,147762 0,167044 0,149664 0,143423Viennet2 0,0538337 0,268328 0,0308649 0,0493624Viennet3 32 32 32 32

Fonseca: Assim como no Kursawe, no Problema Fonseca o método verif foi signifi-

cativamente superior aos outros métodos para o indicador de hipervolume, apesar de não

tê-lo sido para o indicador ε quando comparado ao método clean.

Viennet2: Para este problema os resultados são inconclusivos, uma vez que o resul-

tado do teste Kruskal-Wallis indica superioridade ao verif sobre o método random para

o indicador de hipervolume, e indica o inverso para o indicador ε-aditivo. Ambos vencem

os outros dois métodos nos indicadores em que foram vencedores.

Viennet3: Para este teste os resultados de ε-aditivo são inconclusivos, não havendo

diferença significativa entre os métodos. Para o indicador de hipervolume, entrentanto,

todas as diferenças foram consideradas significativas, classificando o verif como melhor

método, seguido de clean, crowdd e random.

Para estes problemas as técnicas de reciclagem foram consideradas superiores, prin-

cipalmente para o indicador de hipervolume. Considerando todos os resultados expostos

sobre o NSGA-II, nota-se que o a reciclagem consegue na maioria dos casos melhorar o

resultado final da otimização, em comparação ao método clean – sem reciclagem. Ape-

sar disso, a melhora pode ser pequena e muitas vezes não chega a ser estatisticamente

significativa, considerando o teste Kruskal-Wallis com valor α = 0, 05.

Tabela 26: Tempo de execução médio (em milisegundos) – NSGAII – Problemas Contínuos


Os tempos médios das 30 execuções, para estes problemas, são mostrados na Tabela

26. Os métodos com reciclagem gastaram de 5 a 8 vezes mais tempo que o método clean.

91

5.3 Resultados SPEA2

Esta seção apresenta os resultados das variantes do SPEA2 para os problemas testados.

São eles: Problema Quadrático de Alocação, Problemas WFG, Problemas LZ09, Kursawe,

Fonseca, Viennet2 e Viennet3.

5.3.1 SPEA2 Aplicado ao PQA

As Tabelas 27 e 28 mostram os resultados numéricos dos indicadores obtidos por

cada variante do SPEA2, considerando apenas a última iteração (350). Os resultados

estatísticos são descritos em seguida.

Tabela 27: Hipervolume médio – SPEA2 – PQA


Tabela 28: ε-aditivo médio – SPEA2 – PQA

Instância Clean Crowdd Random VerifPQA 10-2 Semente 123 9510,93 6543,67 6280,8 6507PQA 10-2 Semente 215 11730,6 7445,53 8124,13 9835,8PQA 10-3 Semente 155 14338,3 12856,8 10413,9 11511,2PQA 10-3 Semente 256 13467,1 14499,3 9777,73 10581,3PQA 20-2 Semente 88 41303,7 35669,2 32507,6 38506,1PQA 20-2 Semente 124 36905,3 32151,1 32531,6 37596,5PQA 20-3 Semente 588 44102,1 40382,4 38666,1 37509,3PQA 20-3 Semente 3438 49241,5 44202,3 43244,9 46486,2PQA 20-4 Semente 2377 71857,6 72323,1 59437,5 59753,5PQA 20-4 Semente 9813 61982,9 57163,7 50447,6 51178,7

Instância 10-2 Semente 123: Nesta instância os três métodos de reciclagem foram

superiores ao SPEA2 puro, de acordo com o teste Kruskal-Wallis, para ambos os indica-

dores. Os métodos verif, crowdd e random não demonstraram diferença significativa entre

si.

92

Instância 10-2 Semente 215: Para esta instância os métodos crowdd e random

foram superiores aos outros dois para os dois indicadores analisados.

Instância 10-3 Semente 155: Para o indicador de hipervolume, os método random

e crowdd foram superiores aos outros dois de forma significativa. O método clean foi

superado pelos outros três métodos para o indicador de hipervolume. Para o indicador

ε-aditivo, os métodos random e verif venceram o método sem reciclagem.

Instância 10-3 Semente 256: Assim como nas duas instâncias anteriores, os méto-

dos verif e random venceram os outros dois métodos em ambos os indicadores. O método

sem reciclagem (clean) foi superado pelos três métodos com reciclagem.

Instância 20-2 Semente 88: Nesta instância o método random venceu o método

clean nos dois indicadores. Para as outras comparações, não houve diferença significativa.

Instância 20-2 Semente 124: Nesta instância não houve diferença significativa

entre nenhuma comparação, para ambos os indicadores.

Instância 20-3 Semente 588: O método verif venceu o método clean para o in-

dicador de ε-aditivo, e para o indicador de hipervolume o método clean foi vencido pelo

método crowdd.

Instância 20-3 Semente 3438: Nesta instância o método clean foi superado pelos

métodos crowdd e random. Com relação ao método verif, não houve diferneça estatśitica

significativa.

Instância 20-4 Semente 2377: Nesta instância os métodos random e verif foram

bons em ambos os indicadores, e venceram o método clean. O método crowdd, apesar de

ter vencido para o indicador de hipervolume, não obteve bom resultado para o ε-aditivo.

Instância 20-4 Semente 9813: Assim como na instância anterior, o método clean foi

batido pelos métodos random e verif em ambos os indicadores, segundo o teste estatístico.

Com relação ao método crowdd, o SPEA2 puro perdeu significativamente para o indicador

de hipervolume, no entanto não houve diferença significativa entre crowdd e clean para o

indicador ε-aditivo.

Para este problema, a reciclagem conseguiu beneficiar o SPEA2 em todas as instâncias.

Os métodos de reciclagem venceram significativamente o método clean, o que mostra que

a seleção do SPEA2 pode ser prejudicial ao longo da otimização. Os gráficos na Figura

15 ilustram, para duas instâncias, o crescimento do hipervolume ao longo do processo de

otimização. Os gráficos mostram um crescimento bem maior dos métodos que utilizam

93

50 100 150 200 250 300 350

1.7

1.75

1.8

·1010

Iteração

Hipervo

lume


50 100 150 200 250 300 350

3

3.5

4

4.5

5·1021

Iteração

Hipervo

lume



Figura 15: Resultados de hipervolume – SPEA2 – PQA

50 100 150 200 250 300 3500.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1·104

Iteração

ε-ad

itivo


50 100 150 200 250 300 350

6

7

8

9

·104

Iteração

ε-ad

itivo



Figura 16: Resultados de ε-aditivo – SPEA2 – PQA

reciclagem, com relação ao método clean, para o indicador de hipervolume. O gráfico que

representa a aproximação da fronteira de Pareto, analisando o ε-aditivo, está ilustrado

na Figura 16. Também a melhora deste indicador é mais rápida, pelas iterações, para os

métodos verif e random – lembrando, é claro, que o indicador deve ser minimizado. Para

este indicador, nota-se que o método crowdd não foi eficaz nas instâncias de 4 objetivos

– como por exemplo na 20-4 Semente 2377, ilustrada no gráfico à direita. Os resultados

completos, inclusive para as outras instâncias, estão reportados no Apêndice B.

Assim como para o NSGA-II, o SPEA2 clean foi mais rápido que os outros métodos,

de acordo o teste estatístico. No entanto, a razão entre os métodos com reciclagem e o

método clean chegou apenas a valores proximos de 2. Os resultados médios são mostrados

na Tabela 29.

94

Tabela 29: Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – PQA


5.3.2 SPEA2 Aplicado aos Problemas WFG

Os resultados obtidos pelas variantes do SPEA2 para os problemas do Walking Fish

Group estão descritos nas Tabelas 30 e 31, mostrando hipervolume e ε-aditivo médios da

última iteração. Os resultados dos testes estatísticos são descritos a seguir.

WFG1: Para o Problema WFG1 o teste estatístico não indicou diferença estatística

entre as variantes, uma vez que para ambos os indicadores os métodos apresentaram

performances bastantes parecidas.

WFG2: Para este problema os métodos verif foi superior aos outros métodos, random

foi ainda significativamente superior aos outros dois. A reciclagem se mostrou eficaz.

WFG3: Neste problema o método clean foi vencido no indicador de hipervolume

pelo método crowdd. Para o indicador ε-aditivo, no entanto, o método sem reciclagem foi

pior significativamente, tornando assim os resultados inconclusivos para este problema. O

método random não foi bem para este problema.

Tabela 30: Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas WFG


95

Tabela 31: ε-aditivo médio – SPEA2 – Problemas WFG


WFG4–WF9: Nos demais problemas WFG, o método crowdd foi superior aos outros

três, segundo o Kruskal-Wallis, para ambos os indicadores. O método random não obteve

bons resultados, obtendo baixa performance nestes problemas. O método de seleção por

distância de aglomeração beneficiou significativamente o SPEA2 nestes problemas.

O SPEA2 foi bastante beneficiado com os métodos de reciclagem, em especial com o

método crowdd, que venceu na grande maioria dos problemas. A Figura 17 mostra o com-

portamento dos dois indicadores para os métodos clean e crowdd para o Problema WFG6.

Nota-se no primeiro gráfico (à esquerda) que já na Iteração 50, após a primeira reciclagem,

o método crowdd já possui hipervolume maior que o máximo obtido pelo método clean.

O mesmo acontece com o indicador ε-aditivo; logo após a primeira reciclagem, o método

crowdd já possui indicador com resultado melhor que o método clean conseguiu alcançar

nas 350 iterações. Outro fato notável é que apesar de já obter resultado bastante superior

em ambos os indicadores, ele continua a melhorar, ao longo da otimização, enquanto o

SPEA2 sem reciclagem oscila e não consegue concretizar a melhora em sua população. Isto

acontece também para vários outros problemas da classe WFG; os resultados completos

estão no Apêndice B.

Os tempos de execução para os Problemas WFG são mostrados na Tabela 32. Os

métodos com reciclagem gastaram de 2 a 3 vezes o tempo gasto pelo método clean, no

entanto, ainda que o tempo dos métodos de reciclagem fossem restringidos, provavelmente

eles venceriam ainda o método clean, pois como mostrado na Figura 17, já no início da

execução o método de reciclagem crowdd era superior ao máximo atingido pelo SPEA2

puro ao final das 350 iterações. Este caso ilustra uma grande utilidade da reciclagem, que

mesmo com tempo reduzido, teria vencido do SPEA2 clean.

96

50 100 150 200 250 300 350

920

940

960

Iteração

Hipervo

lume

WFG6 – Hipervolume

50 100 150 200 250 300 3500.6

0.7

0.8

0.9

1

Iteração

ε-ad

itivo

WFG6 – ε-aditivo

CleanCrowd

Figura 17: Resultados – SPEA2 – WFG6

Tabela 32: Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas WFG


5.3.3 SPEA2 Aplicado aos Problemas LZ09

Os resultados obtido pelo SPEA2 e suas variantes com reciclagem, para os problemas

LZ09, estão descritos nas Tabelas 33 e 34, mostrando hipervolume e ε-aditivo médios da

última iteração, respectivamente. Os resultados dos testes estatísticos são descritos em

seguida.

LZ09F1: No primeiro problema proposto por (LI; ZHANG, 2009), o método clean foi

significativamente pior que o método crowdd para o indicador hipervolume, no entanto,

o método com reciclagem não conseguiu ser melhor no indicador ε-aditivo. Para este

indicador, os métodos random e verif foram melhores que o clean, segundo o Kruskal-

Wallis.

LZ09F2: Neste problema nenhuma comparação entre os métodos foi considerada

significativa, de acordo com o teste estatístico.

LZ09F3, LZ09F4 e LZ09F5: Para estes problemas o método crowdd foi estatisti-

97

Tabela 33: Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas LZ09

Instância Clean Crowdd Random VerifLZ09F1 99,2061 99,5047 99,1123 99,3535LZ09F2 97,2625 97,6131 97,5439 97,3097LZ09F3 97,7656 98,2842 97,7189 97,9534LZ09F4 97,6005 97,8985 97,736 97,7395LZ09F5 97,9612 98,5858 97,862 98,2604LZ09F6 999,995 999,999 1000 1000LZ09F7 94,1597 94,5788 94,4809 94,5006LZ09F8 94,8236 94,9789 94,9806 94,7764LZ09F9 96,4388 97,2137 96,7206 96,6492

Tabela 34: ε-aditivo médio – SPEA2 – Problemas LZ09


camente superior aos outros métodos para ambos os indicadores.

LZ09F6–LZ09F9: Para os demais problemas não foi verificada diferença significativa

entre nenhum dos métodos, para os dois indicadores de qualidade analisados.

Para esta classe de problemas, o SPEA2 não foi tão beneficiado quanto para os outros

já descritos neste trabalho. No entanto, a reciclagem venceu em todos os problemas, com

diferença significativa verificada em 3 casos. Os tempos são expostos na Tabela 35; os

métodos com reciclagem gastarem em média 3x mais tempo que o método clean.

5.3.4 SPEA2 – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet

Para os demais problemas aplicados ao SPEA2, os resultados médios dos indicadores

são mostrados nas Tabelas 36 e 37 – hipervolume e ε-aditivo, respectivamente. Em seguida

são descritos os resultados estatísticos comparando a última iteração de cada execução.

Kursawe: Para o hipervolume, o método crowdd venceu todos os outros três, de

acordo com o Kruskal-Wallis. Para o indicador ε não houve diferença verificada entre

98

Tabela 35: Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas LZ09


Tabela 36: Hipervolume médio – SPEA2 – Problemas Contínuos

Instância Clean Crowdd Random VerifKursawe 248,552 258,453 255,369 254,244Fonseca 3,17498 3,3152 3,26554 3,23237Viennet2 20749 20744,8 20747 20751,2Viennet3 1985,26 1991,4 1983,28 1993,43

crowdd, random e clean. Apenas o método random foi considerado inferior para os dois

indicadores de qualidade.

Fonseca: No problema porposto por (FONSECA; FLEMING, 1995), o SPEA2 clean foi

vencido pelo método verif nos dois indicadores de qualidade, e pelo método crowdd no

indicador de hipervolume, de acordo com o teste estatístico empregado. Neste problema o

SPEA2 foi beneficiado com a reciclagem, uma vez que o método clean perdeu para todos

os outros três, no resultado médio.

Viennet2: Para o problema Viennet2 os métodos random e verif foram superiores

aos outros métodos no indicador ε-aditivo. Para o indicador de hipervolume a diferença

estatística não foi verificada, comparando-se ao SPEA2 sem reciclagem.

Viennet3: O método verif venceu neste problema para ambos os indicadores, segundo

o Kruskal-Wallis. Apenas não foi verificada diferença estatística entre ele e o método

crowdd para o indicador de hipervolume; entretanto ele venceu nas outras comparações.

Os tempos de execução para estes problemas são mostrados na Tabela 38. Assim

como para os outros problemas, o SPEA2 clean foi 3 vezes mais rápido, em média, que os

métodos com reciclagem.

Após expostos os resultados obtidos pelo SPEA2 e suas variantes com a cesta de

reciclagem, nota-se que o SPEA2 foi consideravelmente beneficiado pela técnica proposta

99

Tabela 37: ε-aditivo médio – SPEA2 – Problemas Contínuos


Tabela 38: Tempo de execução médio (em milisegundos) – SPEA2 – Problemas Contínuos


neste trabalho, ora por um método, ora por outro. Além disto, em alguns casos a melhora

progressiva da população (de acordo com os indicadores de qualidade) só se deu nas

variantes que usavam reciclagem, como demonstrado na Seção 5.3.2 para os Problemas

WFG.

5.4 Resultados PAES

Assim como NSGAII e SPEA2, o algortitmo PAES foi submetido aos problemas PQA,

WFG, LZ09, Fonseca, Kursawe e Viennet. Esta seção apresenta os resultados dos expe-

rimentos. Há uma diferença significativa entre os dois primeiros algoritmos e o PAES,

uma vez que este utiliza apenas uma solução guia de cada vez para gerar novas soluções

(obviamente que esta solução muda durante o processo de otimização, ver Seção 4.2.2).

5.4.1 PAES Aplicado ao PQA

Os resultados obtidos pelo PAES e suas variantes para o Problema Quadrático de

Alocação são expostos nas Tabelas 39 e 40, mostrando o resultado médio dos indicadores

de hipervolume e ε-aditivo, respectivamente, considerando a última iteração. O teste esta-

tístico de Kruskal-Wallis não apontou diferença significativa em nenhum dos experimentos

para este problema. A lixeira aplicada ao arquivador externo do PAES não foi eficaz em

melhorar a otimização. O fato deve ocorrer provavelmente devido à pouca interferência

da reciclagem durante o processo de otimização, uma vez que apenas uma solução está

guiando o processo de geração de novas soluções, ou seja, a alteração do arquivador com

a reciclagem não muda o processo de otimização.

100

Tabela 39: Hipervolume médio – PAES – PQA


Tabela 40: ε-aditivo médio – PAES – PQA

Instância Clean Crowdd Random VerifPQA 10-2 Semente 123 15837,3 16118,5 14570,1 15644,1PQA 10-2 Semente 215 23312,1 22446,7 23850,8 21151,8PQA 10-3 Semente 155 28098 29921,8 29173 29287,1PQA 10-3 Semente 256 27030,3 27341,1 27673,5 26929,9PQA 20-2 Semente 88 70855,5 70879,5 71132 67988,8PQA 20-2 Semente 124 67072,2 66399,7 66907,1 67038,9PQA 20-3 Semente 588 91103,4 88748,9 88154,5 88995,4PQA 20-3 Semente 3438 94409,2 93484,3 95768 95850PQA 20-4 Semente 2377 115836 116246 117632 117043PQA 20-4 Semente 9813 98099,8 96848,3 98453,7 100008

Os tempos de execução das variantes do PAES para o PQA foram bastante parecidos,

com os métodos de reciclagem gastando pouco mais 20% do tempo gasto pelo método clean

como tempo extra. Isto pode ter ocorrido devido ao problema na própria otimização, uma

vez que os resultados de performance obtidos por este algoritmo não foram tão bons.

Dessa forma, poucas soluções não-dominadas foram geradas, o que facilita o cálculo do

conjunto não-dominado da lixeira. Os resultados de tempo estão na Tabela 41.

5.4.2 PAES Aplicado aos Problemas WFG

Os resultados dos indicadores obtidos pelas variantes do PAES para os problemas

do Walking Fish Group estão descritos nas Tabelas 42 e 31, mostrando hipervolume e

ε-aditivo médios da última iteração, respectivamente. Os resultados dos testes estatísticos

são descritos em seguida.

WFG1: Para o primeiro problema, o teste estatístico não verificou diferença signifi-

101

Tabela 41: Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – PQA


Tabela 42: Hipervolume médio – PAES – Problemas WFG


cativa entre os métodos em nenhum dos indicadores.

WFG2: Para o WFG2, o método crowdd venceu os outros três métodos em ambos

os indicadores de forma significativa. O teste Kruskal-Wallis não verificou diferenças entre

os três métodos clean, random e verif.

WFG3: Neste problema o método crowdd venceu os métodos random e verif, mas

não foi superior ao método clean em nenhum dos indicadores.

WFG4: Para o WFG4, o método crowdd venceu os outros três métodos nos dois

indicadores de qualidade. O método random, por sua vez, foi superior aos métodos clean

e verif.

WFG5: O teste Kruskal-Wallis indicou que o método crowdd foi superior aos outros

três métodos nos dois indicadores. Para o hipervolume, não houve diferença entre o método

clean, random e verif. No entanto, para o indicador ε-aditivo o método random também

superou o clean, que foi também considerado melhor que o verif.

WFG6: Novamente o método crowdd foi superior aos outros três. Random também

102

Tabela 43: ε-aditivo médio – PAES – Problemas WFG


foi superior ao método clean em ambos os indicadores.

WFG7: Neste indicador o teste estatístico não verificou diferença entre os métodos

para o indicador ε-aditivo. Para o hipervolume, o crowdd foi novamente superior aos

outros métodos.

WFG8: Como no problemaWFG7, o crowdd venceu para o indicador de hipervolume.

Para ε-aditivo, o Kruskal-Wallis não apontou diferença significativa entre as variantes do

PAES.

WFG9: Neste problema o crowdd venceu os outros três métodos para ambos os

indicadores. Não houve diferença significativa entre clean, random e verif.

Nesta classe de problemas, a reciclagem feita diretamente no arquivador do PAES

foi bastante eficaz, principalmente com o método crowdd, que faz a seleção utilizando a

distância de aglomeração, métrica que foi bastante eficaz, considerando que os problemas

WFG foram configurados com 3 objetivos. Diferentemente do que ocorreu nos experi-

mentos com Problema Quadrático de Alocação, o PAES foi bastante beneficiado com a

reciclagem nesta classe de problemas.

Com relação aos tempos de execução, o PAES mostrou comportamento diferente entre

os problemas. Para alguns, gastou menos de 2 vezes o tempo gasto pelo método clean.

Para outros, gastou quase 20 vezes mais tempo, como foi o caso do WFG5. No entanto,

assim como ocorreu no SPEA2, muitas vezes já imediatamente após a primeira reciclagem,

o método crowdd obteve indicadores superiores ao PAES clean após as 350 iterações.

103

Tabela 44: Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas WFG


5.4.3 PAES Aplicado aos Problemas LZ09

Os resultados para os problemas da classe LZ09 estão expostos nas Tabelas 45 e

46. Não houve diferença estatística entre os métodos nestes problemas, segundo o teste

Kruskal-Wallis. A técnica de reciclagem não foi eficaz para estes experimentos. Os tempos

de execução das técnicas de reciclagem são bem parecidos com o tempo gasto pelo método

clean. Estão ilustrados na Tabela 47.

Tabela 45: Hipervolume médio – PAES – Problemas LZ09


5.4.4 PAES – Resultados Fonseca, Kursawe e Viennet

Para os problemas Kursawe, Fonseca, Viennet2 e Viennet3, também aplicados ao

PAES, os resultados médios dos indicadores são mostrados nas Tabelas 48 e 49 – hiper-

volume e ε-aditivo, respectivamente. Para estes experimentos, o teste estatístico apontou

a ineficácia do método random para os problemas Fonseca e Kursawe, e dos métodos

random e crowdd para o problema Viennet2. Apenas para o problema Viennet3 que a

reciclagem melhorou o indicador de hipervolume de forma significativa, com o método

104

Tabela 46: ε-aditivo médio – PAES – Problemas LZ09


Tabela 47: Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas LZ09


crowdd; no entanto, ele foi inferior para o outro indicador de qualidade. Nestes problemas

a reciclagem não foi eficaz em melhorar a performance da otimização. Os tempos de exe-

cução para estes problemas estão descritos na Tabela 50. Para os problemas Kursawe e

Viennet o tempo gasto pelos métodos de reciclagem foram 4 vezes maiores que o método

clean; para os problemas Viennet este tempo chegou a mais de 10 vezes, comparado ao

PAES clean.

Tabela 48: Hipervolume médio – PAES – Problemas Contínuos


No experimentos realizados no PAES, apenas sua aplicação aos Problemas WFG foi

notavelmente melhorada com os métodos de reciclagem. A característica específica do

PAES, de gerar soluções a partir apenas de uma guia, pode atrapalhar um benefício que

foi trazido ao SPEA2 e ao NSGA-II, que é a possibilidade de atualização da população com

105

Tabela 49: ε-aditivo médio – PAES – Problemas Contínuos


Tabela 50: Tempo de execução médio (em milisegundos) – PAES – Problemas LZ09


as soluções recicladas, que servirão para geração de outras novas soluções. Com isso, as

soluções recicladas podem tanto dominar as soluções descartadas (uma vez que as seleções

de SPEA2 e NSGA-II podem deteriorar), quanto melhorar a diversidade da população.

5.5 Comparações entre NSGA-II, SPEA2 e PAES

Esta seção tem por objetivo realizar uma breve comparação entre os algoritmos NSGA-

II, SPEA2 e PAES, para os problemas nos quais ambos foram testados. São eles Problema

Quadrático de Alocação, Problemas WFG, LZ09, Kursawe, Fonseca e Viennet.

Problema Quadrático de Alocação: Para este problema, o PAES obteve resulta-

dos inferiores aos outros dois algoritmos, NSGA-II e SPEA2, para ambos os indicadores.

A reciclagem não foi eficaz para este otimizador neste problema, então para todas as va-

riantes o PAES não obteve resultados competitivos. No que diz respeito aos outros dois

otimizadores, o SPEA2–crowdd obteve melhores resultados nas 4 últimas instâncias, que

são maiores. Para as 6 menores o NSGA-II se mostrou superior. Isto provavelmente ocorre

devido ao benefício obtido pelo SPEA2 com o método crowdd, que foi mais contundente

para as instâncias maiores, o que mostra uma boa sinergia entre a seleção do SPEA2 e a

reciclagem com distância de aglomeração.

Problemas WFG: Apesar de o NSGA-II ter se mostrado superior em todos os

problemas WFG, com relação ao SPEA2, quando os métodos clean são comparados iso-

ladamente, nota-se que a diferença entre os dois otimizadores diminui consideravelmente.

No problema WFG4, por exemplo, o NSGA-II–clean obteve hiperovlume 4,5% superior ao

SPEA2; mas se comparados os melhores resultados de cada algoritmo, o NSGA-II–verif

106

foi menos de 1% superior ao SPEA2–crowdd. Isto é, os dois otimizadores com recicla-

gem tem desempenho bastante parecido. O PAES, apesar de ter sido bastante beneficiado

com as técnicas de reciclagem, não foi competitivo quando comparado aos outros dois

otimizadores.

Problemas LZ09, Kursawe, Fonseca e Viennet: Para estes problemas, o benefício

da reciclagem obtido pelo SPEA2, assim como para os problemas WFG, fez com que ele se

tornasse competitivo com relação ao NSGA-II. O NSGA-II foi superior ao SPEA2 quando

comparados os métodos clean, na maioria dos problemas. No entanto, esta diferença se

torna mínima quando comparados os métodos com reciclagem, sendo eles NSGA-II–verif

e SPEA2–crowdd (os melhores resultados de ambos).

Considerando que grande parte dos problemas tem mais de 2 objetivos, e que o SPEA2

foi bastante beneficiado com a reciclagem por distância de aglomeração, é provável que

existam formas reciclagem mais eficientes para problemas com mais objetivos, isto é, a

utilização de outras métricas pode melhorar o desempenho das técnicas de reciclagem, uma

vez que a reciclagem por distância de aglomeração não é tão eficiente para problemas com

muitos objetivos, como demonstrado no Capítulo 3, na análise estática e experimental dos

arquivadores.

5.6 Resultados MOEA/D

Esta seção mostra os resultados obtidos pelo MOEA/D. Ele foi aplicado aos proble-

mas ZDT1–4 e DTLZ1–4. As implementações destes problemas são disponibilizadas na

plataforma jMetal(DURILLO; NEBRO, 2011). Este otimizador não teve seu método de se-

leção de soluções analisado por este trabalho, considerando as propriedades descritas na

Seção 2.3, sendo a análise feita sobre ele puramente experimental, cujos resultados são

descritos a seguir.

5.6.1 MOEA/D Aplicado aos Problemas ZDT

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos pelo MOEA/D e suas variantes

para os problemas ZDT. Os problemas são todos bi-objetivo e foram configurado com 30

variáveis de decisão os ZDT1, ZDT2 e ZDT3. O ZDT4 utiliza 10 variáveis por padrão (ver

Seção 4.3.6). A população do MOEA/D foi estabelecida em 50 soluções. As Tabelas 51

e 52 mostram os resultados dos indicadores de hipervolume e ε-aditivo, respectivamente,

obtidos pelas variantes do MOEA/D na última iteração.

107

Tabela 51: Resultados de hipervolume obtidos pelo MOEA/D – ZDT.

Problema clean crowdd random verifZDT1 15,58820 15,57400 15,57270 15,5743ZDT2 15,22490 15,23870 15,22050 15,2263ZDT3 17,87820 17,88050 17,84450 17,908ZDT4 999805 999860 999850 999861

Tabela 52: Resultados de ε-aditivo obtidos pelo MOEA/D – ZDT.

Problema clean crowdd random verifZDT1 0,027666 0,028818 0,029102 0,029868ZDT2 0,029731 0,026262 0,031721 0,030230ZDT3 0,157505 0,159214 0,165954 0,14240ZDT4 0,202974 0,143012 0,164315 0,147402

Os resultados completos, por iteração, estão disponibilizados no Apêndice B. Os re-

sultados estatísticos não mostraram diferença entre nenhuma das variantes do MOEA/D,

considerando os dois indicadores. Isto pode ter ocorrido devido a um problema verificado

para este algoritmo. Os métodos crowdd e random alteram praticamente toda a popula-

ção do algoritmo, resgatando muitas soluções da cesta de reciclagem. No entanto, não foi

feita nenhuma verificação a respeito dos pesos atribuídos a cada solução, ou seja, as solu-

ções resgatadas entraram na população relacionadas a pesos aleatórios, que poderiam não

representar seus valores objetivos, o que causaria um certo problema na distribuição de

soluções e na própria otimização, uma vez que boas soluções com respeito ao subproblema

Wi podem não ser tão boas assim, se atribuídas ao peso Wj. Sobre o método verif, apesar

de ele trocar apenas as soluções deterioradas da população, não obteve diferença signifi-

cativa, o que pode indicar que houve pouca deterioração do MOEA/D para os problemas

testados.

A Tabela 53 mostra os tempos médios obtidos por cada variante para os problemas

ZDT. Apesar de que os métodos que utilizavam reciclagem não obtiveram grandes resul-

tados, eles gastaram mais tempo que o método clean. Isto ocorre devido ao cálculo das

soluções não dominadas feito a cada reciclagem.

Tabela 53: Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – MOEA/D – ProblemasZDT.

Iteração clean crowdd random verifZDT1 0,434133 1,80267 1,769 1,65477ZDT2 0,4535 3,46267 3,3867 3,40387ZDT3 0,439967 2,0187 1,9734 1,9735ZDT4 0,3838 2,81657 2,7812 2,81337

108

5.6.2 MOEA/D Aplicado aos Problemas DTLZ

O MOEA/D também foi aplicado aos problemas DTLZ, definidos na Seção 4.3.7.

Como os problemas eram de 3 dimensões, foi atribuído valor N = 100 para a população

do algoritmo. A condição de parada foi a mesma que a configurada aos problemas ZDT,

350 iterações, com reciclagem a cada 50. O problema DTLZ1 utilizou 7 variáveis de

decisão, e os problemas DTLZ2, DTLZ3 e DTLZ4 utilizaram 12 variáveis, como sugerido

no trabalho original (DEB et al., 2002b). Os resultados dos indicadores são apresentados

nas Tabelas 54 e 55.

Tabela 54: Hipervolume médio do MOEA/D aos problemas DTLZ.

Problema clean crowdd random verifDLTZ1 125000 125000 125000 125000DLTZ2 7,36539 7,3646 7,36446 7,36509DLTZ3 998349 999376 999501 996729DLTZ4 124,358 124,355 124,358 124,353

Tabela 55: ε-aditivo médio do MOEA/D aos problemas DTLZ.

Problema clean crowdd random verifDLTZ1 0,0596362 0,0936607 0,0669991 0,0601152DLTZ2 0,156386 0,152408 0,152599 0,159819DLTZ3 2,67445 1,95809 1,79679 3,1012DLTZ4 0,149136 0,150967 0,144658 0,160338

Segundo o teste Kruskal-Wallis, não houve diferença significativa entre as variantes

do algoritmo, assim como para os problemas ZDT. Aplicada ao MOEA/D, a técnica de

reciclagem obteve maus resultados, não conseguindo melhorar o conjunto de aproximação

durante o processo de otimização. Assim como descrito na seção anterior, o preenchimento

aleatório de pesos para as soluções recicladas pode atrapalhar a qualidade da otimização.

Para um melhoria deste problema, deveria-se verificar as soluções mais próximas aos pesos

e determinar que elas fossem atribuídas a eles, a fim de maior compatibilidade entre vetor

objetivo de soluções e pesos a elas atribuídos. No entanto, ainda com a deterioração

verificada e corrigida, com pouca alteração da população, no método verif, o MOEA/D

não obteve melhores resultados. Os resultados completos são apresentados no Apêndice

B.

Os tempos de execução são apresentados na Tabela 56. Para as implementações do

MOEA/D, em geral, os algoritmos com reciclagem foram mais custosos que os apresen-

tados pela reciclagem no NSGA-II, chegando o método verif a consumir até 50 vezes o

tempo do método sem reciclagem para o problema DTLZ3.

109

Tabela 56: Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – MOEA/D – ProblemasDTLZ.

Problema clean crowdd random verifDTLZ1 0,466967 35,3995 35,0745 39,6976DTLZ2 0,5245 11,6053 11,9395 10,7222DTLZ3 0,551267 33,568 31,9705 34,9335DTLZ4 0,556 11,2004 10,9427 9,87783

5.7 Resultados NSGA-III

Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo NSGA-III, já descrito anteriormente.

O algoritmo foi aplicado aos mesmos problemas que o MOEA/D, ZDT1–4 e DTLZ1–4,

que são problemas de domínio contínuo. Além disso, um experimento foi realizado para o

Problema do Caixeiro Viajante multiobjetivo. As seções a seguir mostram os resultados

de cada classe de problemas separadamente.

5.7.1 NSGA-III Aplicado aos Problemas ZDT

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos pelo NSGA-III para os proble-

mas ZDT. Os problemas são bi-objetivo e foram configurado assim como no MOEA/D,

mostrado na seção anterior, com 30 variáveis de decisão em ZDT1, ZDT2 e ZDT3; e 10

variáveis para o ZDT4. As Tabelas 57 e 58 mostram os resultados dos indicadores de

hipervolume e ε-aditivo, respectivamente, obtidos pelas variantes do NSGA-III na última

iteração. As tabelas apresentam, para cada problema, o valor do indicador médio obtido

pela população do algoritmo na última iteração, isto é, uma média entre as 30 execuções

independentes.

Tabela 57: Resultados de hipervolumes do NSGA-III aos problemas ZDT

Problema clean crowdd random verifZDT1 15,6527 15,2683 15305 15,6529ZDT2 15,315 14,9858 14,9814 15,316ZDT3 18,1469 17,7092 17,4743 18,2155ZDT4 999912 999635 999550 999904

Os testes estatísticos mostraram diferença significativa entre os métodos verif e clean

com relação aos outros, random e crowdd, que foram piores. Isto provavelmente ocorre

devido a um problema bastante parecido com o notado no MOEA/D, em que as soluções

poderiam ser vinculadas a pesos incompatíveis com seus valores objetivo. No entanto, no

NSGA-III o problema pode ser ainda mais grave, uma vez que ocorre eventualmente a

110

Tabela 58: Resultados de ε-aditivo do NSGA-III aos problemas ZDT


remoção de pontos de referência, durante a execução do algoritmo. Dessa forma, pontos

reciclados poderiam ser mais compatíveis com pontos de referência já removidos. Conside-

rando que também não foi feita verificação sobre os pontos de referência no momento da

reciclagem, os métodos crowdd e random – que alteram boa parte da população – podem

trazer à população soluções que não se adequam a nenhum ponto de referência atual, o

que poderia ainda remover estes pontos de referência posteriormente, gerando assim mais

problemas para o algoritmo.

A Tabela 59 apresenta os resultados de tempo para os problemas ZDT. O método

clean foi em média 3 vezes mais rápido que os métodos que utilizam a reciclagem, o que

indica inviabilidade da aplicação destes métodos de reciclagem para o NSGA-III, uma vez

que os resultados dos indicadores não foram melhorados.

Tabela 59: Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III – ProblemasZDT.


5.7.2 NSGA-III Aplicado aos Problemas DTLZ

O NSGA-III foi aplicado também aos problemas DTLZ, e esta seção apresenta os

resultados obtidos por este algoritmo. Os problemas foram configurados assim como defi-

nido na seção anterior: o problema DTLZ1 utilizou 7 variáveis de decisão, e os problemas

DTLZ2, DTLZ3 e DTLZ4 utilizaram 12 variáveis. As Tabelas 60 e 61 mostram os resul-

tados de hipervolume e ε-aditivo, respectivamente, obtidos pelas variantes do NSGA-III

na última iteração.

Assim como nos problemas ZDT, os testes estatístico não mostraram diferença entre

os métodos clean e verif, e considerou que os métodos random e crowdd são inferiores

111

Tabela 60: Resultados de hipervolumes do NSGA-III aos problemas DTLZ

Problema clean crowdd random verifDTLZ1 106 999909 999832 106

DTLZ2 7,40146 7,06331 7,12664 7,40134DTLZ3 (∗108) 1,25 1,24963 1,24981 1,25

DTLZ4 8,609 7,006 5,414 8,606

Tabela 61: Resultados de ε-aditivo do NSGA-III aos problemas DTLZ


aos outros dois. Provavelmente o problema apresentado pela reciclagem descrito na seção

anterior atrapalhou significativamente os métodos crowdd e random. Ademais, o método

verif não conseguiu aprimorar a otimização de forma significativa. Possivelmente, no que

diz respeito a cesta de reciclagem, seja necessário a criação de um método específico para

cada algoritmo, a fim de driblar estes problemas pontuais de cada abordagem e trazer

benefícios para o processo de otimização, como visto no NSGA-II. Ainda que os métodos

de reciclagem tenham gasto cerca de 3 vezes mais tempo, não obtiveram bons resultados.

A Tabela 62 apresenta completamente os tempos médios de cada variante.

Tabela 62: Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III – ProblemasDTLZ.


5.7.3 NSGA-III Aplicado ao Problema do Caixeiro Viajante

Para o problema do caixeiro viajante, foram testadas duas instâncias com dois ob-

jetivos, uma com 100 cidades (TSP100) e outra com 150 cidades (TSP150). A condição

de parada do NSGA-III foi 350 iterações, e a reciclagem foi feita a cada 50 iterações.

A Tabela 63 apresenta os resultados médios de hipervolume obtidos por cada variante,

considerando as 30 execuções independentes.

O teste estatístico de Kruskal-Wallis, assim como para os outros testes do NSGA-III,

112

Tabela 63: Hipervolumes obtidos pelo NSGA-III no Problema do Caixeiro Viajante

Instância clean crowdd random verifTSP100 (∗109) 4,47537 4,05775 4,01645 4,53166TSP150 (∗109) 4,11752 3,83291 3,77398 4,06406

apontou os métodos verif e clean como superiores aos outros dois métodos. A razão para

tanto, conforme explicado anteriormente, provavelmente tem relação com a atribuição

das soluções aos pontos de referência durante a realização da reciclagem. A Tabela 64

mostra os tempos medios de execução das variantes de reciclagem e do método clean,

para este problema. O cálculo das soluções não dominadas a cada reciclagem fez com que

os métodos de reciclagem gastassem pouco mais de 3 vezes o tempo do método clean.

Tabela 64: Tempo médio (em segundos) gasto por cada variante – NSGA-III – Problemado Caixeiro Viajante

Instância clean crowdd random verifTSP100 1,09117 3,46803 3,4715 3,54443TSP150 1,13243 4,01917 4,00447 2,8214

113

6 Considerações finais

Neste trabalho foi apresentada uma investigação sobre diversas técnicas de arquiva-

mento utilizadas em algoritmos multiobjetivo. Considerando que esta análise, inicialmente

teórica, verificou que grande parte das técnicas de arquivamento podem sofrer com o fenô-

meno da deterioração, propôs-se também a criação de um mecanismo que tentasse evitar

a deterioração e melhorar a qualidade dos conjuntos de aproximação mantidos pelos oti-

mizadores.

Os experimentos realizados neste trabalho mostraram que a deterioração dos otimi-

zadores pode variar bastante de acordo com o otimizador empregado e o problema a ser

resolvido. NSGA-II e PAES obtiveram resultados completamente diferentes para os Pro-

blemas WFG, por exemplo. Enquanto o NSGA-II não obteve muito benefício nesta classe

de problemas, o PAES só conseguiu uma otimização razoável com o emprego do método

de reciclagem baseado em distância de aglomeração. Tal fato pode ter ocorrido devido

à proximidade das soluções encontradas pelo NSGA-II ao conjunto ótimo, o que indica

uma deterioração irrelevante e uma boa otimização, já que a fronteira ótima de Pareto

está muito próxima. No entanto, o método SPEA2 também esteve bastante próximo da

fronteira ótima de Pareto e foi beneficiado pela reciclagem crowdd.

Um fato notável sobre os resultados obtidos para os problemas WFG, comparando

NSGA-II e SPEA2, é que enquanto o NSGA-II foi beneficiado pelo método verif, que

verifica as deteriorações periodicamente, o SPEA2 teve como principal contribuinte o mé-

todo crowdd, que redistribui periodicamente a população não-dominada gerada até então

de acordo com a distância de aglomeração. Isto pode indicar problemas específicos de

cada arquivador. O NSGA-II, que pode manter soluções bastante piores que as geradas

anteriormente e deteriorar ao longo do tempo, como já demonstrado em (LÓPEZ-IBÁÑEZ;

KNOWLES; LAUMANNS, 2011), e o SPEA2 com um grave problema na manutenção de uma

população elitista e bem diversificada. Além disso, estes fatos evidenciam que compor-

tamentos específicos de cada algoritmo podem interferir no desempenho dos métodos de

reciclagem, como o método crowdd, que não foi tão benéfico no NSGA-II, uma vez que

114

50 100 150 200 250 300 350

920

930

940

950

960

Iteração

Hipervo

lume

WFG4

50 100 150 200 250 300 350

910

920

930

940

Iteração

Hipervo

lume

WFG5


Figura 18: Resultados – SPEA2 – WFG4–5

o próprio algoritmo já utiliza a métrica de distância de aglomeração em seu método de

seleção.

O SPEA2 provavelmente foi o otimizador mais beneficiado pelas técnicas de recicla-

gem, dos algoritmos analisados neste trabalho. Teve seu desempenho muitas vezes de-

pendente da reciclagem de soluções. A Figura 18 dois destes casos. Enquanto o método

clean não consegue otimizar de forma contundente, após a primeira reciclagem o método

crowdd já é superior aos outros métodos a partir da primeira reciclagem, na iteração 50.

O mesmo acontece com o PAES, também para os problemas WFG, e ao NSGA-II para

os problemas DTLZ1 e DTLZ2.

O PAES, entretanto, apesar de utilizar um arquivador que pode deteriorar, como mos-

trado na Seção 2.3, não foi tão beneficiado com os métodos de reciclagem. Provavelmente

isto ocorreu devido ao paradigma diferente de otimização, em que esta se dá a partir de

apenas uma solução guia por vez, não havendo o conceito de população a se reproduzir,

como nos outros dois algoritmos evolucionários SPEA2 e NSGA-II.

Com relação aos dois últimos algoritmos expostos neste trabalho, a reciclagem não

conseguiu ser significativamente beneficente. Os resultados obtidos pelas variantes do mé-

todo de reciclagem nos algoritmos MOEA/D e NSGA-III, apesar de gastarem mais tempo

de execução, não conseguiram melhorar a qualidade da saída dos algoritmos. Isto pode

ter ocorrido devido aos problemas já citados com relação aos pesos atribuídos a soluções

recicladas, no caso do MOEA/D, e aos pontos de referência do NSGA-III.

Outro ponto considerável é o fato de que já na análise teórica a seleção por distância

de aglomeração não mostrava bons resultados quando as instâncias tinham mais de dois

objetivos, o que indica uma fragilidade da seleção realizada pelo NSGA-II e pelo método

115

crowdd. Considera-se, portanto, de bastante importância a busca por outros métodos

baseados na ideia de reciclagem que possam ser mais generalistas quanto ao número de

dimensões do espaço objetivo, a fim de melhorar o desempenho dos métodos de reciclagem.

O trabalho de (KöPPEN; YOSHIDA, 2007) sugere métricas diferentes a serem utilizadas

como seleção para o algoritmo NSGA-II, com o propósito de melhorar a performance do

otimizador para problemas com mais objetivos. Tais métricas podem ser importantes em

análises futuras.

Sendo assim, propõe-se como trabalhos futuros a esta pesquisa, dentre outros que

eventualmente surgirão, os seguintes pontos:

• Realizar análises em problemas mais complexos da literatura, tais que os algoritmos

tenham dificuldades em realizar a otimização. Com isso será razoável verificar se al-

goritmos mais simples, unidos a boas técnicas de seleção, podem superar algoritmos

mais custosos propostos na literatura.

• Propor novas técnicas de reciclagem, baseando-se em métricas mais eficientes. A

referência (KöPPEN; YOSHIDA, 2007) já mostrou que o NSGA-II pode melhorar sig-

nificativamente substituindo a seleção por distância de aglomeração por outras mé-

tricas.

• Otimizar o tempo gasto para o cálculo das não dominadas, ou ainda realizar uma

pré-seleção rápida sobre as soluções com o intuito de diminuir a quantidade de

soluções na cesta de reciclagem.

• Propor métodos específicos de reciclagem para cada algoritmo. Os problemas en-

frentados pela reciclagem no NSGA-III seriam solucionados caso houvesse uma es-

tratégia específica para a coordenação entre pontos de referência e pontos reciclados.

O mesmo ocorreria, provavelmente, caso os pesos do MOEA/D fossem atribuídos às

soluções recicladas de forma mais compatível.

Sobre os ganhos que podem ser trazidos aos otimizadores com a reciclagem, nota-se

que os otimizadores podem ser beneficiados com o resgate de soluções para o processo de

otimização. No presente trabalho, apenas soluções não-dominadas foram trazidas de volta

às populações dos algoritmos. No entanto, é possível que soluções consideradas dominadas

possam também ter características importantes para a geração de boas novas soluções.

Esta hipótese deve também ser analisada de forma mais profunda, considerando a grande

complexidade dos problemas multiobjetivo, através de novos experimentos.

116

Referências

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120

APÊNDICE A -- Geração de instâncias

#inc lude <iostream>

#inc lude <ctime>

#inc lude <c s td l i b >

#inc lude " So lu t i on . h"

#inc lude <algorithm>

#inc lude <vector>

#inc lude <cs t r i ng >

#inc lude <cmath>

us ing std : : c in ;

us ing std : : cout ;

us ing std : : endl ;

us ing std : : vec to r ;

double rand0to1 ( )

re turn ( ( double ) rand ( ) / ( double )RAND_MAX) ;

//Use :

// . / generate <number_of_solutions> <dimension> <output f i l e > [− t ra sh <n_of_dominated_solutions >]

i n t main ( i n t argc , char ∗∗ argv )

srand ( time ( 0 ) ) ;

i f ( argc < 4)

cout << "Use : . / generate <number_of_solutions> <dimension>"

cout << " <output f i l e > [− t ra sh <number_of_dominated_solutions >]" << endl ;

e x i t ( 0 ) ;

unsigned i n t number_of_solutions = a t o i ( argv [ 1 ] ) , dimension = a t o i ( argv [ 2 ] ) ;

FILE ∗ f i l e = fopen ( argv [ 3 ] , "w" ) ;

i n t number_of_dominated_solutions = 0 ;

i f ( argc > 4)

i f ( ! strcmp ( argv [4 ] ,"− t ra sh ") ) number_of_dominated_solutions = a t o i ( argv [ 5 ] ) ;

So lu t i on : : I n i t i a l i s e ( dimension ) ;

vector<Solut ion> s o l u t i o n s ;

s o l u t i o n s . r e s e r v e ( number_of_solutions ) ;

121

whi le ( s o l u t i o n s . s i z e ( ) != number_of_solutions )

vector<double> o ;

f o r ( i n t i = 0 ; i < dimension ; i++)

o . push_back ( rand0to1 ( ) ) ;

So lu t i on to_add ;

to_add . s e tOb j e c t i v e s ( o ) ;

s o l u t i o n s . push_back ( to_add ) ;

vector<unsigned int> dominated ;

i n t count = 0 ;

f o r ( vector<Solut ion >: : i t e r a t o r i t = s o l u t i o n s . begin ( ) ; i t != s o l u t i o n s . end ( ) ; i t++)

bool isdominated = f a l s e ;

f o r ( i n t i = 0 ; i < s o l u t i o n s . s i z e ( ) && ! isdominated ; i++)

i f ( i t−>dominance ( s o l u t i o n s [ i ] ) == IS_DOMINATED_BY)

dominated . push_back ( count ) ; i sdominated = true ;

count++;

f o r ( i n t i = 0 ; i < dominated . s i z e ( ) ; i++)

bool isdominated_or_domines = true ;

So lu t i on to_replace ;

whi l e ( isdominated_or_domines )

vector<double> o ;

f o r ( i n t j = 0 ; j < dimension ; j++)


to_replace . s e tOb j e c t i v e s ( o ) ;

isdominated_or_domines = f a l s e ;

f o r ( i n t k = 0 ; k < s o l u t i o n s . s i z e ( ) && ! isdominated_or_domines ; k++)

i f ( to_replace . dominance ( s o l u t i o n s [ k ] ) != NONDOMINATED)

isdominated_or_domines = true ;

s o l u t i o n s [ dominated [ i ] ] = to_replace ;

cout << "Replac ing " << dominated [ i ] << endl ;

// ! Adding dominated s o l u t i o n s

f o r ( i n t i = 0 ; i < number_of_dominated_solutions ; i++)

vector<double> o ;

r e c : ;

o . c l e a r ( ) ;

f o r ( i n t i = 0 ; i < dimension ; i++)


So lu t i on to_add ;

to_add . s e tOb j e c t i v e s ( o ) ;

122

bool added = f a l s e ;

f o r ( i n t k = 0 ; k < s o l u t i o n s . s i z e ( ) ; k++)

i f ( to_add . dominance ( s o l u t i o n s [ k ] ) == IS_DOMINATED_BY)

s o l u t i o n s . push_back ( to_add ) ; added = true ; break ;

i f ( ! added ) goto rec ;

random_shuff le ( s o l u t i o n s . begin ( ) , s o l u t i o n s . end ( ) ) ;

f o r ( i n t i = 0 ; i < s o l u t i o n s . s i z e ( ) ; i++)

f o r ( i n t j = 0 ; j < dimension ; j++)

f p r i n t f ( f i l e ,"% f " , s o l u t i o n s [ i ] . o [ j ] ) ;

i f ( j != dimension−1) f p r i n t f ( f i l e , " " ) ;

f p r i n t f ( f i l e , "\ n " ) ;

123

APÊNDICE B -- Tabelas e Gráficos deResultados

Este apêndice se propõe a mostrar os resultados completos obtidos pelos algoritmos

em todos os experimentos realizados neste trabalho, por meio de gráficos e tabelas.

B.1 Resultados NSGA-II

Nesta seção são mostrados os resultados do NSGA-II, aplicado inicialmente ao Pro-

blema da Mochila, Problemas DTLZ1 e DTLZ2, e em seguida ao Problema Quadrático

de Alocação, Problemas WFG, Problemas LZ09, Kursawe, Viennet2 e Viennet3.

B.1.1 Problema da Mochila

As Tabelas 65 a 76 mostram os resultados de hipervolume ao longo das iterações

obtidos por cada variante do algoritmo NSGA-II aplicado ao Problema da Mochila. É

apresentado o hipervolume médio, considerando que foram feitas 30 execuções para cada

configuração variante × instância. A descrição das instâncias é dada na Seção 5.2.1. A

Figura 19 ilustra estas tabelas em um gráfico que relaciona hipervolume e iterações.

124

0 100 200 300 4001.2

1.3

1.4

1.5

·107

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 100–2

CleanRandomCrowdVerif

(a) Instância 100–2

0 100 200 300 400

4

4.5

5

5.5

·1010

IteraçãoHyp

ervo

lume

Instância 100–3


(b) Instância 100–3

0 100 200 300 400

1.2

1.4

1.6

1.8

·1014

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 100–4


(c) Instância 100–4

0 100 200 300 400

7

8

9

·107

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 250–2


(d) Instância 250–2

0 100 200 300 400

5

6

7

·1011

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 250–3


(e) Instância 250–3

0 100 200 300 400

3.5

4

4.5

5

5.5

6

·1015

IteraçãoHyp

ervo

lume

Instância 250–4


(f) Instância 250–4

0 100 200 300 400

3

3.5

·108

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 500–2


(g) Instância 500–2

0 100 200 300 4003.5

4

4.5

5

5.5

6·1012

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 500–3


(h) Instância 500–3

0 100 200 300 400

5

6

7

8

·1016

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 500–4


(i) Instância 500–4

0 100 200 300 4005

6

7

8·108

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 750–2


(j) Instância 750–2

0 100 200 300 400

1.2

1.4

1.6

1.8

·1013

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 750–3


(k) Instância 750–3

0 100 200 300 400

2.5

3

3.5

4

·1017

Iteração

Hyp

ervo

lume

Instância 750–4


(l) Instância 750–4

Figura 19: Resultados do NSGA-II para o Problema da Mochila.

125

Tabela 65: Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 100–2

Iteração clean crowdd random verif100 14566107 14556754 14486742 14574377200 14819487 14840487 14730963 14817661300 14960571 14967756 14841861 14947576400 15037955 15024254 14930155 15044042





126





Tabela 70: Hipervolume NSGA-II – Problema da Mochila 250–4 (∗1015)

Iteração clean crowdd random verif100 5,00010 4,95530 4,86567 4,98655200 5,49932 5,49629 5,32551 5,50684300 5,77650 5,77892 5,56024 5,83048400 5,95334 5,95839 5,67756 6,04333







127







128

B.1.2 Problemas DTLZ

Nesta seção são mostrados os resultados completos obtidos pelos métodos de recicla-

gem no NSGA-II para os problemas DTLZ1 e DTLZ2. As discussões sobre estes resultados

estão na Seção 5.2.2.

B.1.2.1 DTLZ1

Esta seção apresenta a média dos indicadores verificados para o problema DTLZ1, As

Tabelas 77 a 79 mostram os resultados de hipervolume por iteração, e as Tabelas 80 e 81

mostra os resultados de ε-aditivo para 2 e 3 dimensões.

Tabela 77: Resultados de hipervolume – NSGA-II para o problema DTLZ1–2D.

Iteração clean crowdd random verif20 999098 998893 998626 99909440 999432 999278 998920 99940960 999508 999347 999136 99954180 999571 999376 999148 999616100 999597 999388 999227 999635





B.1.2.2 DTLZ2

Esta seção apresenta a média dos indicadores verificados para o problema DTLZ2, As

Tabelas 82 a 84 mostram os resultados de hipervolume por iteração, e as Tabelas 85 e 86

mostra os resultados de ε-aditivo para 2 e 3 dimensões.

129

Tabela 80: Resultados de ε-aditivo – NSGA-II para o problema DTLZ1–2D.

Iteração clean crowdd random verif20 21,8742 25,4614 28,4171 23,057440 18,386 20,1816 26,7752 19,113460 17,2966 19,4503 23,1917 16,669480 16,2902 19,3203 23,8517 14,8464100 16,0135 18,3251 23,3859 14,5794









130





131

B.1.3 Problema Quadrático de Alocação

Esta seção mostra os resultados completos para o Problema Quadrático de Alocação,

obtidos pelo NSGA-II. As Tabelas de 87 a 96 mostram o valor de hipervolume ao longo

das iterações, e as Tabelas de 97 a 106 mostram o valor do indicador ε-aditivo.

Tabela 87: Hipervolumes – NSGAII – PQA10-2 Semente 123

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 (1010) 1,76806 1,78527 1,78053 1,77751100 (1010) 1,80917 1,80504 1,81538 1,80925150 (1010) 1,82728 1,81789 1,82536 1,81502200 (1010) 1,83095 1,82332 1,82799 1,82049250 (1010) 1,83343 1,82502 1,82996 1,82332300 (1010) 1,83483 1,82749 1,83215 1,82677350 (1010) 1,83636 1,8274 1,83387 1,82984





132









133







134

Tabela 97: ε-aditivo – NSGAII – PQA10-2 Semente 123

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 7511,8 7516,47 7286 7253,4100 6255,73 6537,53 6103,53 6228,47150 5574,8 5873,27 5593,2 5832,6200 5221,53 5641,73 5378,8 5576,67250 5168,07 5454 5352,2 5509,93300 5151,33 5376,4 5267,93 5509,93350 5151,33 5394,4 5167,53 5490,2


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 10087,5 9852,93 9839,27 9309,13100 8567,33 8766,27 8614,8 8298,4150 7930,2 8013,47 7868,27 7860200 7690,13 7364,67 7583 7545,8250 7119,27 6968,33 7329,87 7294,8300 6956,33 6922,4 7007,6 6862,8350 6771,8 6662,87 6493,33 6478,4


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 13302,7 13987,4 13651,1 12328,9100 11436,3 14738,8 12497,3 11513,8150 11518,3 15356,9 11817,6 10886,7200 10909 15550,1 11430,5 10129,9250 11211,9 15544,3 11810,1 10082,9300 11219,3 16363,1 11906,1 9759,4350 11288,5 18100,3 12081,6 9692,53

135


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 11970,5 14293,6 12012,4 10896,5100 11270,3 14838,8 11846,8 10000150 12016,2 15767,7 11436,3 9469,8200 11742,1 15772,7 11542,9 9588,13250 12515,5 16243,8 11037,3 9543,53300 12352,7 16957,1 11542,2 9105,07350 12059,9 17693,1 11425,1 9221,53


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 59188,8 61910,8 58601,3 57957,6100 47056,4 48011 45977,3 46745,8150 39419,8 42044,9 41889,1 41784,9200 37305,3 38948,9 36166,2 38395,1250 34632,9 36315,4 33757,2 35455,5300 32690,3 35348,8 33006 33258,1350 31100,1 33921,3 31593,7 31900


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 62387,2 60108,7 59650,6 58999,9100 49449,7 48528,7 45972,1 48478,1150 43121,5 42939,3 40712,5 42636,1200 39821,9 39989,7 36206,6 40452,3250 37083,3 36452,5 33614,2 39201,8300 35710,6 35661,1 31326,9 37502,9350 33768,6 34749,2 30044,2 35621,9


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 65563,3 67111,5 66522,4 64889,3100 54022,4 56955,1 56655,2 54113150 51237,1 53690,2 52887,9 49243,3200 49407,4 53700,2 49324,7 45695,5250 48179,3 52878,5 48824,9 44815,1300 46748,9 53016,1 48653 43076,3350 47350,6 51118,5 46037,6 41298,3

136


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 67237,9 68191,9 67849,1 65711,2100 55929,9 60092 58880 56916,4150 52835,7 58285 55014,7 51634,9200 51833 58922,9 52576,7 47906,5250 51328,1 56121,7 50552,3 45666,7300 51646,2 56705,4 50251,4 43917,4350 51649,3 56612,9 49817 43262,6


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 80743,5 84863,5 81901,1 77857,9100 79840,8 82713,3 74586,3 70338,1150 77750,1 83661,6 71938,2 68170,7200 79335 86433,2 70861,9 65962,9250 76538,4 85615,7 67852,1 65059,5300 79923 85988,2 67232,6 63881,3350 79495,6 87129,7 66367,7 63318,1


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 72309,2 75093,3 74073,1 70683,6100 66848,7 70311 67527,9 63966,1150 66287,9 72281,1 63369,5 61892,6200 66811,1 71110,3 60722,3 58293,7250 67019,7 71207,8 59256,3 57676,8300 66429,7 72888,7 60927,9 56418,2350 66746,3 72271,3 57619,1 55261,7

137

B.1.4 Problemas WFG

Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo NSGAII para os problemas WFG. As

Tabelas 107 a 115 mostram os hipervolumes a cada 50 iterações, e as Tabelas 116 a 124

mostram o indicador ε-aditivo.

Tabela 107: Hipervolumes – NSGAII – WFG1






138









139





140

Tabela 116: ε-aditivo – NSGAII – WFG1






141









142





143

B.1.5 Problemas LZ09

Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo NSGAII para os Problemas LZ09. As



Tabela 125: Hipervolumes – NSGAII – LZ09F1






144









145





146

Tabela 134: ε-aditivo – NSGAII – LZ09F1






147









148





149

B.1.6 Problemas Kursawe, Fonseca e Viennet

Esta seção mostra os resultados obtidos pelo NSGA-II para os problemas Kursawe,

Fonseca, Viennet2 e Viennet3. Os hipervolumes são mostrados nas Tabelas de 143 a 146

e os indicadores de ε-aditivo nas Tabelas de 147 a 150.

Tabela 143: Hipervolumes – NSGAII – Kursawe


Tabela 144: Hipervolumes – NSGAII – Fonseca


Tabela 145: Hipervolumes – NSGAII – Viennet2

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 20753,7 20748 20751,2 20753,8100 20753,8 20747,9 20752,2 20753,9150 20753,8 20746,6 20751,9 20753,9200 20753,8 20745,7 20751,4 20753,9250 20753,8 20745,9 20751,8 20753,9300 20753,8 20746,2 20752,1 20753,9350 20753,8 20745,7 20751,2 20753,9

B.2 Resultados SPEA2

Esta seção apresenta os resultados completos do SPEA2, aplicado ao Problema Qua-

drático de Alocação, Problemas WFG, Problemas LZ09, Kursawe, Fonseca e Viennet.

150

Tabela 146: Hipervolumes – NSGAII – Viennet3


Tabela 147: ε-aditivo – NSGAII – Kursawe




obtidos pelo SPEA2. As Tabelas de 151 a 160 mostram o valor de hipervolume ao longo


151

Tabela 148: ε-aditivo – NSGAII – Fonseca


Tabela 149: ε-aditivo – NSGAII – Viennet2


Tabela 150: ε-aditivo – NSGAII – Viennet3

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 32,0003 32,0003 32,0011 32,0003100 32 32,0001 32,0003 32,0001150 32 32,0001 32,0003 32200 32 32 32,0001 32250 32 32 32,0002 32300 32 32 32,0001 32350 32 32 32,0001 32

Tabela 151: Hipervolumes – SPEA2 – PQA10-2 Semente 123


152









153









154



155

Tabela 161: ε-aditivo – SPEA2 – PQA10-2 Semente 123

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 10695,3 7897,93 8935,2 8890,87100 9698,4 7422,6 8137,8 8346,2150 9753,4 7113,33 7459,2 7715,8200 9377,93 6999,27 7157,93 6933,47250 9773,6 6861 6803,07 6929,67300 9246,53 6617,2 6747,93 7186,4350 9510,93 6543,67 6280,8 6507


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 14732,9 10007 12342,3 13412,2100 13694,9 8818,67 10501,6 10868,1150 14404,5 8486,2 8996,27 10664,1200 12852,5 8046,47 8902 10442,7250 12982,4 7865,13 8745 10572,5300 12654,6 7773,2 8444,87 9563,4350 11730,6 7445,53 8124,13 9835,8



156




Iteração Clean Crowdd Random Verif50 65555,8 57791,2 59034,4 61115,7100 55259,9 48498,7 49329,3 53731,3150 48746,5 44133,9 43759,3 45449,5200 44731,7 40666,5 39963,1 40750,8250 46374,9 38720,9 36421,7 39372,8300 41793,9 37614,5 34467,9 37130350 41303,7 35669,2 32507,6 38506,1


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 63623,4 55152,1 59332,9 64537,7100 53789,4 45311,7 50488,1 52498,1150 48109,3 40902,8 43312,4 47734,1200 46565,3 38079,3 41352,1 43542,2250 42751,7 34927,7 38851,6 40542,3300 40732,6 33182 35411,7 38021,7350 36905,3 32151,1 32531,6 37596,5



157


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 75124,2 67040,7 70688,8 70234,5100 60909,1 54131,6 57187,2 59675,7150 54847,1 48687,1 51742,3 53617,7200 51294 44891,4 47616,1 50804,3250 49653,7 44602,6 46683,4 47581,5300 49873,1 45430,9 44323,6 46376350 49241,5 44202,3 43244,9 46486,2




Iteração Clean Crowdd Random Verif50 80786,1 70938,3 73352,3 73761,6100 72876,4 61546,3 61262,7 64195,3150 66334,3 57485,5 57027,3 58026,5200 63051 57939 54701,9 53095,7250 63017 58391 51753,3 53348,6300 61339,3 56988,7 50584,1 53406,9350 61982,9 57163,7 50447,6 51178,7

158

B.2.2 Problemas WFG

Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo SPEA2 para os problemas WFG. As



Tabela 171: Hipervolumes – SPEA2 – WFG1

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 694.062 699.956 692.393 696.526100 744.728 746.071 744.245 745.576150 783.783 771.963 774.738 787.928200 811.817 798.181 804.712 809.576250 829.63 822.934 827.906 831.864300 843.431 842.45 853.103 850.585350 853.06 853.463 863.825 868.595




Iteração Clean Crowdd Random Verif50 863.051 887.08 858.816 872.323100 869.365 894.14 855.851 878.794150 873.306 895.889 848.517 877.468200 871.936 897.245 858.872 875.574250 868.004 898 837.235 880.664300 868.335 899.16 837.681 880.555350 867.809 899.741 845.197 879.511

159









160





161

Tabela 180: ε-aditivo – SPEA2 – WFG1







Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo SPEA2 para os problemas LZ09. As



162









163





Tabela 189: Hipervolumes – SPEA2 – LZ09F1




164








Iteração Clean Crowdd Random Verif50 997,38 998,058 997,606 998,019100 999,865 999,844 999,911 999,91150 999,985 999,981 999,983 999,989200 999,99 999,996 999,997 999,998250 999,998 999,997 999,999 999,999300 999,998 999,996 1000 1000350 999,995 999,999 1000 1000

165







166

Tabela 198: ε-aditivo – SPEA2 – LZ09F1






167






Iteração Clean Crowdd Random Verif50 0,0177079 0,0173232 0,0166696 0,012887100 0,00164251 0,000957931 0,00102033 0,000582599150 0,000160681 0,000175335 0,000129074 0,0001307200 2,98926e-05 0,000241999 2,98072e-05 1,99583e-05250 1,68665e-05 8,89445e-05 1,8459e-06 3,68645e-06300 7,75195e-06 4,4423e-05 3,88425e-07 1,81601e-06350 6,38784e-06 1,71839e-05 1,83958e-07 5,89261e-07



168





169


Esta seção mostra os resultados obtidos pelo SPEA2 para os problemas Kursawe,

Fonseca, Viennet2 e Viennet3. Os hipervolumes são mostrados nas Tabelas de 207 a 210

e os indicadores de ε-aditivo nas Tabelas de 211 a 214.

Tabela 207: Hipervolumes – SPEA2 – Kursawe

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 247,003 256,945 253,26 252,313100 248,607 257,552 254,801 252,946150 246,681 257,745 255,942 254,506200 246,981 257,971 254,488 252,874250 249,552 258,3 254,953 253,179300 246,849 258,425 254,358 254350 248,552 258,453 255,369 254,244

Tabela 208: Hipervolumes – SPEA2 – Fonseca


Tabela 209: Hipervolumes – SPEA2 – Viennet2

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 20748,6 20748,9 20749,1 20751,1100 20747,5 20747,6 20745,5 20750,6150 20748,3 20746,3 20748,5 20750,1200 20747,6 20745,5 20746,1 20751250 20748,2 20745,5 20748,6 20751,3300 20748,9 20745,4 20748 20749,9350 20749 20744,8 20747 20751,2

B.3 Resultados PAES

Nesta seção são mostrados os resultados do PAES, aplicado ao Problema Quadrático

de Alocação, Problemas WFG, Problemas LZ09, Kursawe, Viennet2 e Viennet3.

170

Tabela 210: Hipervolumes – SPEA2 – Viennet3


Tabela 211: ε-aditivo – SPEA2 – Kursawe




obtidos pelo SPEA2. As Tabelas de 215 a 224 mostram o valor de hipervolume ao longo


171

Tabela 212: ε-aditivo – SPEA2 – Fonseca


Tabela 213: ε-aditivo – SPEA2 – Viennet2


Tabela 214: ε-aditivo – SPEA2 – Viennet3


Tabela 215: Hipervolumes – PAES – PQA10-2 Semente 123


172









173









174



175

Tabela 225: ε-aditivo – PAES – PQA10-2 Semente 123





Iteração Clean Crowdd Random Verif50 28098 29921,8 29173 29287,1100 28098 29921,8 29173 29287,1150 28098 29921,8 29173 29287,1200 28098 29921,8 29173 29287,1250 28098 29921,8 29173 29287,1300 28098 29921,8 29230,5 29287,1350 28098 29921,8 29173 29287,1

176




Iteração Clean Crowdd Random Verif50 76650 74539,1 75478 70838,8100 71535,8 71671,2 71266 68086,5150 70855,5 71341,8 71132 68047,5200 70855,5 70879,5 71132 68013,5250 70855,5 70879,5 71132 68013,5300 70855,5 70879,5 71132 67988,8350 70855,5 70879,5 71132 67988,8


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 71816,1 71373,8 72543,9 69896100 67252,5 67520,1 67382,9 67584,2150 67072,2 66481,4 66948 67261,4200 67072,2 66399,7 66907,1 67038,9250 67072,2 66399,7 66907,1 67038,9300 67072,2 66399,7 66907,1 67038,9350 67072,2 66399,7 66907,1 67038,9


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 94741,7 94648,9 89566,1 94047100 91314,6 91080,7 88018,6 90517150 91103,4 89112,4 87991,5 89228,7200 91103,4 88748,9 87976,8 88995,4250 91103,4 88748,9 87980,9 88995,4300 91103,4 88748,9 88295,3 88995,4350 91103,4 88748,9 88154,5 88995,4

177


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 100108 97750,5 97491,4 99473100 96994,9 95123,1 95585 96254,3150 94490,4 93516,5 96110,7 95850200 94409,2 93484,3 95516,5 95850250 94409,2 93484,3 95758 95850300 94409,2 93484,3 96009,6 95850350 94409,2 93484,3 95768 95850


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 117662 118914 119927 119024100 115756 116398 117716 116675150 115847 116246 115809 117746200 115909 116246 117905 117111250 116355 116246 116663 116304300 116022 116246 117268 116519350 115836 116246 117632 117043


Iteração Clean Crowdd Random Verif50 99325,4 98855,1 99958,7 102183100 97857,2 96848,3 99257,9 100242150 97971,3 96848,3 99200,1 100083200 97713,3 96848,3 98573,4 100269250 97793,3 96848,3 97314,7 100293300 97736,5 96848,3 97710,3 100432350 98099,8 96848,3 98453,7 100008

178

B.3.2 Problemas WFG

Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo SPEA2 para os problemas WFG. As



Tabela 235: Hipervolumes – PAES – WFG1






179




Iteração Clean Crowdd Random Verif50 520,697 704,569 538,327 522,742100 515 733,455 552,8 518,444150 523,778 741,328 560,392 516,785200 507,507 748,157 563,425 518,973250 501,475 761,087 549,238 514,164300 507,99 772,567 530,587 511,263350 522,556 776,084 556,425 499,91





180





181

Tabela 244: ε-aditivo – PAES – WFG1






182









183





184


Esta seção apresenta os resultados obtidos pelo PAES para os problemas LZ09. As



Tabela 253: Hipervolumes – PAES – LZ09F1






185









186





187

Tabela 262: ε-aditivo – PAES – LZ09F1






188









189





190


Esta seção mostra os resultados obtidos pelo PAES para os problemas Kursawe, Fon-

seca, Viennet2 e Viennet3. Os hipervolumes são mostrados nas Tabelas de 271 a 274 e os

indicadores de ε-aditivo nas Tabelas de 275 a 278.

Tabela 271: Hipervolumes – PAES – Kursawe


Tabela 272: Hipervolumes – PAES – Fonseca


Tabela 273: Hipervolumes – PAES – Viennet2

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 20743,8 20744,6 20713,4 20744,3100 20748,1 20747,3 20698,5 20748,5150 20749,3 20747,3 20696,5 20749,2200 20748,9 20747,5 20683,4 20751250 20750,7 20747,1 20688,9 20750,7300 20750,3 20746,6 20694,8 20751,6350 20750,9 20746,3 20684,2 20751,8

B.4 Resultados MOEA/D

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos pelo MOEA/D aos problemas ZDT

e DTLZ, respectivamente.

191

Tabela 274: Hipervolumes – PAES – Viennet3

Iteração Clean Crowdd Random Verif50 1777,6 1730,44 1759,21 1727,48100 1854,56 1863,59 1812,5 1817,46150 1897,37 1931,25 1804,49 1915200 1928,34 1933,74 1831,63 1917,83250 1918,68 1933,53 1833,47 1923,8300 1915,69 1935,18 1824,63 1927,44350 1907,14 1939,14 1804,74 1920,55

Tabela 275: ε-aditivo – PAES – Kursawe


B.4.1 Problemas ZDT

Esta seção apresenta os resultados do MOEA/D para os problemas ZDT. As Tabelas

279 a 282 mostram os resultados de hipervolume, e as Tabelas de 283 a 286 mostram os

resultados de ε-aditivo.

192

Tabela 276: ε-aditivo – PAES – Fonseca


Tabela 277: ε-aditivo – PAES – Viennet2


Tabela 278: ε-aditivo – PAES – Viennet3


Tabela 279: Hipervolumes – MOEA/D – ZDT1.

Iteração clean crowdd random verif50 9,99767 9,99767 9,99767 9,99767100 12,5801 12,7731 12,5936 12,8332150 14,2625 14,3213 14,1748 14,2973200 15,0971 15,0776 15,0676 15,1294250 15,4257 15,4049 15,3972 15,4288300 15,5381 15,5255 15,5228 15,5252350 15,5882 15,574 15,5727 15,5743

193






Iteração clean crowdd random verif50 990552 990552 990552 990552100 996379 996961 996924 996552150 998304 998451 998409 998265200 999011 999136 999128 999106250 999457 999547 999489 999476300 999702 999741 999719 999724350 999805 999860 999850 999861

Tabela 283: Indicador ε-aditivo – MOEA/D – ZDT1.


194







195


Esta seção apresenta os resultados de hipervolume e ε-aditivo para os problemas

DTLZ, obtidos pelas variantes do MOEA/D. As Tabelas de 287 a 290 apresentam os

hipervolumes por iteração (verificado a cada 50 iterações), e as Tabelas de 291 a 294

mostram os valores do indicador ε-aditivo.

Tabela 287: Hipervolumes – MOEA/D – DTLZ1.






196



Tabela 291: Indicador ε-aditivo – MOEA/D – DTLZ1.






197



198

B.5 NSGA-III

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos pelo NSGA-III aos problemas

ZDT, DTLZ, e Caixeiro Viajante Multiobjetivo, respectivamente.

B.5.1 Problemas ZDT

Esta seção apresenta os resultados do NSGA-III para os problemas ZDT. As Tabelas



Tabela 295: Hipervolumes – NSGA-III – ZDT1.



Iteração clean crowdd random verif50 9.74269 9.75379 9.75379 9.74269100 12.2645 12.1823 12.2585 12.2645150 13.286 13.1291 13.252 13.286200 14.2667 13.8929 14.0726 14.2504250 15.0779 14.6503 14.7627 15.022300 15.3011 14.9475 14.9678 15.2957350 15.315 14.9858 14.9814 15.316



199



Tabela 299: Indicador ε-aditivo – NSGA-III – ZDT1.



Esta seção apresenta os resultados do NSGA-III para os problemas ZDT. As Tabelas



B.5.3 Problema do Caixeiro Viajante

Esta seção apresenta os resultados do NSGA-III para o Problema do Caixeiro Via-

jante. Como a fronteira ótima de Pareto não é conhecida para as duas instâncias utilizadas,

apenas o indicador de hipervolume foi verificado. A Tabela 311 mostra os resultados para

a instância com 100 cidades, e a Tabela 312 para a instância com 150 cidades.

200







Tabela 303: Hipervolumes – NSGA-III – DTLZ1.


201







Tabela 307: Indicador ε-aditivo – NSGA-III – DTLZ1.


202







Tabela 311: Hipervolumes – NSGA-III – TSP100.

Iteração clean (∗109) crowdd (∗109) random (∗109) verif (∗109)50 1,04282 1,16574 1,14359 1,15129100 2,10369 2,16781 2,11485 2,20935150 2,86694 2,79007 2,7204 2,92963200 3,41434 3,21233 3,15384 3,451250 3,81311 3,5661 3,47175 3,88289300 4,16603 3,7991 3,74668 4,20625350 4,47537 4,05775 4,01645 4,53166

203

Tabela 312: Hipervolumes – NSGA-III – TSP150.

Iteração clean crowdd random verif50 1,935∗108 1,7747∗108 1,98689∗108 2,47608∗108

100 9,97885∗108 1,08597∗109 9,99751∗108 1,07918∗109

150 1,75983∗109 1,95005∗109 1,78885∗109 1,81203∗109

200 2,54241∗109 2,52945∗109 2,42002∗109 2,53162∗109

250 3,09854∗109 3,10149∗109 2,96836∗109 3,19425∗109

300 3,63944∗109 3,60081∗109 3,43198∗109 3,71576∗109

350 4,11752∗109 3,83291∗109 3,77398∗109 4,06406∗109

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