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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULA INTRODUÇÃO DEFINIÇÕES ESTRATÉGIA BIBLIOGRAFIA I NTRODUÇÃO À T EORIA DOS J OGOS Prof. Alexandre Lymberopoulos Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo PROF.ALEXANDRE LYMBEROPOULOS INTRODUÇÃO À TEORIA DOS JOGOS

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

INTRODUÇÃO À

TEORIA DOS JOGOS

Prof. Alexandre Lymberopoulos

Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

1 MOTIVAÇÃO

2 DEFINIÇÕES PRELIMINARESExemplosEstratégia

3 ESTRATÉGIAEstratégias ÓtimasExercícios

4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

HISTÓRIA E APLICAÇÕES

Objetivo: fornecer método racional de tomada de decisões emsituações de competição direta.Exemplos de aplicações: economia, política, guerra etc.Primórdios da teoria remontam a 1926:John Von Neumann (1903-1957) e Emile Borel (1871-1956).1944: publicação do livro “Theory of Games and EconomicBehavior” por Von Neumann e Oscar Morgenstein.

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BIBLIOGRAFIA

HISTÓRIA E APLICAÇÕES

Objetivo: fornecer método racional de tomada de decisões emsituações de competição direta.Exemplos de aplicações: economia, política, guerra etc.Primórdios da teoria remontam a 1926:John Von Neumann (1903-1957) e Emile Borel (1871-1956).1944: publicação do livro “Theory of Games and EconomicBehavior” por Von Neumann e Oscar Morgenstein.

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HISTÓRIA E APLICAÇÕES

Objetivo: fornecer método racional de tomada de decisões emsituações de competição direta.Exemplos de aplicações: economia, política, guerra etc.Primórdios da teoria remontam a 1926:John Von Neumann (1903-1957) e Emile Borel (1871-1956).1944: publicação do livro “Theory of Games and EconomicBehavior” por Von Neumann e Oscar Morgenstein.

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HISTÓRIA E APLICAÇÕES

Objetivo: fornecer método racional de tomada de decisões emsituações de competição direta.Exemplos de aplicações: economia, política, guerra etc.Primórdios da teoria remontam a 1926:John Von Neumann (1903-1957) e Emile Borel (1871-1956).1944: publicação do livro “Theory of Games and EconomicBehavior” por Von Neumann e Oscar Morgenstein.

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BIBLIOGRAFIA

HISTÓRIA E APLICAÇÕES

Objetivo: fornecer método racional de tomada de decisões emsituações de competição direta.Exemplos de aplicações: economia, política, guerra etc.Primórdios da teoria remontam a 1926:John Von Neumann (1903-1957) e Emile Borel (1871-1956).1944: publicação do livro “Theory of Games and EconomicBehavior” por Von Neumann e Oscar Morgenstein.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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JOGOS

DEFINIÇÃO

Um jogo é uma situação de competição entre um ou mais“indivíduos” chamados jogadores

Cada jogador tenta ganhar o máximo para si mesmo.Temos essencialmente dois tipos de jogos

1 Jogos de azar: não dependem da ação dos jogadores (roleta,caça-níqueis);

2 Jogos de estratégia: as decisões tomadas pelos jogadoresinfluenciam diretamente o resultado do jogo (pôquer, xadrez,blackjack).

Trataremos apenas de jogos de estratégia com doisparticipantes, J1 e J2.J1 tem m opções de jogada e J2 tem n opções de jogada a cadarodada.

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BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

MATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

A matriz A = (aij), de ordem m × n, onde aij contém o valor recebidopor J1 quando ele realiza a i-ésima opção de jogada e J2 realiza suaj-ésima opção de jogada é chamada matriz de pagamentos de J1.

Podemos definir analogamente a matriz de pagamentos de J2.Trataremos de jogos de soma constante, ou seja, a soma depagamentos para J1 e J2 é a mesma para todas opções dejogadas deles.Caso especial: jogos de soma zero, ou seja, o que um jogadorganha é exatamente o que o outro perde.Em jogos de soma constante basta apenas estudar uma dasmatrizes de pagamento.

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EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

MATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

A matriz A = (aij), de ordem m × n, onde aij contém o valor recebidopor J1 quando ele realiza a i-ésima opção de jogada e J2 realiza suaj-ésima opção de jogada é chamada matriz de pagamentos de J1.

Podemos definir analogamente a matriz de pagamentos de J2.Trataremos de jogos de soma constante, ou seja, a soma depagamentos para J1 e J2 é a mesma para todas opções dejogadas deles.Caso especial: jogos de soma zero, ou seja, o que um jogadorganha é exatamente o que o outro perde.Em jogos de soma constante basta apenas estudar uma dasmatrizes de pagamento.

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MATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

A matriz A = (aij), de ordem m × n, onde aij contém o valor recebidopor J1 quando ele realiza a i-ésima opção de jogada e J2 realiza suaj-ésima opção de jogada é chamada matriz de pagamentos de J1.

Podemos definir analogamente a matriz de pagamentos de J2.Trataremos de jogos de soma constante, ou seja, a soma depagamentos para J1 e J2 é a mesma para todas opções dejogadas deles.Caso especial: jogos de soma zero, ou seja, o que um jogadorganha é exatamente o que o outro perde.Em jogos de soma constante basta apenas estudar uma dasmatrizes de pagamento.

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MATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

A matriz A = (aij), de ordem m × n, onde aij contém o valor recebidopor J1 quando ele realiza a i-ésima opção de jogada e J2 realiza suaj-ésima opção de jogada é chamada matriz de pagamentos de J1.

Podemos definir analogamente a matriz de pagamentos de J2.Trataremos de jogos de soma constante, ou seja, a soma depagamentos para J1 e J2 é a mesma para todas opções dejogadas deles.Caso especial: jogos de soma zero, ou seja, o que um jogadorganha é exatamente o que o outro perde.Em jogos de soma constante basta apenas estudar uma dasmatrizes de pagamento.

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MATRIZES DE PAGAMENTOS

DEFINIÇÃO

A matriz A = (aij), de ordem m × n, onde aij contém o valor recebidopor J1 quando ele realiza a i-ésima opção de jogada e J2 realiza suaj-ésima opção de jogada é chamada matriz de pagamentos de J1.

Podemos definir analogamente a matriz de pagamentos de J2.Trataremos de jogos de soma constante, ou seja, a soma depagamentos para J1 e J2 é a mesma para todas opções dejogadas deles.Caso especial: jogos de soma zero, ou seja, o que um jogadorganha é exatamente o que o outro perde.Em jogos de soma constante basta apenas estudar uma dasmatrizes de pagamento.

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EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

CARA OU COROA

Cada um dos jogadores fica com uma moeda na mão.Cada jogador mostra uma face de sua moeda.Se ambos mostram a mesma face então J1 ganha R$ 1,00 deJ2, caso contrário J2 ganha R$ 1,00 de J1.A matriz de pagamentos é

A =

[1 −1−1 1

].

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EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

CARA OU COROA

Cada um dos jogadores fica com uma moeda na mão.Cada jogador mostra uma face de sua moeda.Se ambos mostram a mesma face então J1 ganha R$ 1,00 deJ2, caso contrário J2 ganha R$ 1,00 de J1.A matriz de pagamentos é

A =

[1 −1−1 1

].

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BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

CARA OU COROA

Cada um dos jogadores fica com uma moeda na mão.Cada jogador mostra uma face de sua moeda.Se ambos mostram a mesma face então J1 ganha R$ 1,00 deJ2, caso contrário J2 ganha R$ 1,00 de J1.A matriz de pagamentos é

A =

[1 −1−1 1

].

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

CARA OU COROA

Cada um dos jogadores fica com uma moeda na mão.Cada jogador mostra uma face de sua moeda.Se ambos mostram a mesma face então J1 ganha R$ 1,00 deJ2, caso contrário J2 ganha R$ 1,00 de J1.A matriz de pagamentos é

A =

[1 −1−1 1

].

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BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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BIBLIOGRAFIA

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MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

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MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

MARKETING DE UM PRODUTO

Dois fornecedores de pneus disputam um total de 100000clientes.Eles podem anunciar seu produto na TV ou em jornais.Se ambas anunciarem na TV então J1 terá 40000 clientes.Se ambas anunciarem em jornais então J1 fica com 50000clientes.Se J1 anunciar em jornais e J2 na TV então J1 fica com 60000clientes.Se J1 anunciar na TV e J2 em jornais então J1 fica com 50000clientes.A matriz de pagamentos é

A =

[40000 5000060000 50000

].

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR I

Consideremos um jogo de soma constante entre dois jogadorescom matriz de pagamentos A = (aij).Se J1 escolhe sua i-ésima jogada então ele ganha no mínimo omenor valor da linha i de A, independente do J2 faça.O melhor para J1 é escolher uma linha cujo menor valor seja omáximo possível.Para J2 é o contrário, ele quer a coluna cujo maior valor seja omínimo possível.

DEFINIÇÃO

Se a matriz de pagamentos de um jogo contém um elemento ars queé o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então (r , s) é o pontode sela do jogo e ars é o valor do jogo.Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que o jogo éimparcial.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR I

Consideremos um jogo de soma constante entre dois jogadorescom matriz de pagamentos A = (aij).Se J1 escolhe sua i-ésima jogada então ele ganha no mínimo omenor valor da linha i de A, independente do J2 faça.O melhor para J1 é escolher uma linha cujo menor valor seja omáximo possível.Para J2 é o contrário, ele quer a coluna cujo maior valor seja omínimo possível.

DEFINIÇÃO

Se a matriz de pagamentos de um jogo contém um elemento ars queé o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então (r , s) é o pontode sela do jogo e ars é o valor do jogo.Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que o jogo éimparcial.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR I

Consideremos um jogo de soma constante entre dois jogadorescom matriz de pagamentos A = (aij).Se J1 escolhe sua i-ésima jogada então ele ganha no mínimo omenor valor da linha i de A, independente do J2 faça.O melhor para J1 é escolher uma linha cujo menor valor seja omáximo possível.Para J2 é o contrário, ele quer a coluna cujo maior valor seja omínimo possível.

DEFINIÇÃO

Se a matriz de pagamentos de um jogo contém um elemento ars queé o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então (r , s) é o pontode sela do jogo e ars é o valor do jogo.Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que o jogo éimparcial.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR I

Consideremos um jogo de soma constante entre dois jogadorescom matriz de pagamentos A = (aij).Se J1 escolhe sua i-ésima jogada então ele ganha no mínimo omenor valor da linha i de A, independente do J2 faça.O melhor para J1 é escolher uma linha cujo menor valor seja omáximo possível.Para J2 é o contrário, ele quer a coluna cujo maior valor seja omínimo possível.

DEFINIÇÃO

Se a matriz de pagamentos de um jogo contém um elemento ars queé o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então (r , s) é o pontode sela do jogo e ars é o valor do jogo.Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que o jogo éimparcial.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR I

Consideremos um jogo de soma constante entre dois jogadorescom matriz de pagamentos A = (aij).Se J1 escolhe sua i-ésima jogada então ele ganha no mínimo omenor valor da linha i de A, independente do J2 faça.O melhor para J1 é escolher uma linha cujo menor valor seja omáximo possível.Para J2 é o contrário, ele quer a coluna cujo maior valor seja omínimo possível.

DEFINIÇÃO

Se a matriz de pagamentos de um jogo contém um elemento ars queé o mínimo da linha r e o máximo da coluna s, então (r , s) é o pontode sela do jogo e ars é o valor do jogo.Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que o jogo éimparcial.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR II

DEFINIÇÃO

Um jogo é estritamente determinado se sua matriz de pagamentospossui um ponto de sela.

Se ars é um ponto de sela então quando J1 escolhe sua r -ésimajogada ele ganha ao menos ars e J2 tem a certeza de não perdermais do que ars ao usar sua s-ésima jogada, o que é o melhorque cada um pode fazer.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR II

DEFINIÇÃO

Um jogo é estritamente determinado se sua matriz de pagamentospossui um ponto de sela.

Se ars é um ponto de sela então quando J1 escolhe sua r -ésimajogada ele ganha ao menos ars e J2 tem a certeza de não perdermais do que ars ao usar sua s-ésima jogada, o que é o melhorque cada um pode fazer.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR III

Exemplo: a matriz

A =

0 −3 −1 33 2 2 41 4 0 6

tem ponto de sela?Escreva o mínimo de cada linha ao lado dela e o máximo decada coluna abaixo dela. Se houver uma posição da matriz cujoelemento está nos dois vetores adicionados ao mesmo tempo,então esta posição é um ponto de sela e seu valor é o valor dojogo.No caso (2,3) é ponto de sela e 2 é o valor do jogo.O melhor que J1 faz é escolher sua segunda jogada, pois comisso ele ganha, no mínimo, 2. Para J2 é melhor usar sua terceirajogada, onde ele perde, no máximo, 2.No jogo de cara ou coroa proposto não há ponto de sela.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR III

Exemplo: a matriz

A =

0 −3 −1 33 2 2 41 4 0 6

tem ponto de sela?Escreva o mínimo de cada linha ao lado dela e o máximo decada coluna abaixo dela. Se houver uma posição da matriz cujoelemento está nos dois vetores adicionados ao mesmo tempo,então esta posição é um ponto de sela e seu valor é o valor dojogo.No caso (2,3) é ponto de sela e 2 é o valor do jogo.O melhor que J1 faz é escolher sua segunda jogada, pois comisso ele ganha, no mínimo, 2. Para J2 é melhor usar sua terceirajogada, onde ele perde, no máximo, 2.No jogo de cara ou coroa proposto não há ponto de sela.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR III

Exemplo: a matriz

A =

0 −3 −1 33 2 2 41 4 0 6

tem ponto de sela?Escreva o mínimo de cada linha ao lado dela e o máximo decada coluna abaixo dela. Se houver uma posição da matriz cujoelemento está nos dois vetores adicionados ao mesmo tempo,então esta posição é um ponto de sela e seu valor é o valor dojogo.No caso (2,3) é ponto de sela e 2 é o valor do jogo.O melhor que J1 faz é escolher sua segunda jogada, pois comisso ele ganha, no mínimo, 2. Para J2 é melhor usar sua terceirajogada, onde ele perde, no máximo, 2.No jogo de cara ou coroa proposto não há ponto de sela.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR III

Exemplo: a matriz

A =

0 −3 −1 33 2 2 41 4 0 6

tem ponto de sela?Escreva o mínimo de cada linha ao lado dela e o máximo decada coluna abaixo dela. Se houver uma posição da matriz cujoelemento está nos dois vetores adicionados ao mesmo tempo,então esta posição é um ponto de sela e seu valor é o valor dojogo.No caso (2,3) é ponto de sela e 2 é o valor do jogo.O melhor que J1 faz é escolher sua segunda jogada, pois comisso ele ganha, no mínimo, 2. Para J2 é melhor usar sua terceirajogada, onde ele perde, no máximo, 2.No jogo de cara ou coroa proposto não há ponto de sela.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

EXEMPLOSUM POUCO DE ESTRATÉGIA

PROCURANDO O MELHOR III

Exemplo: a matriz

A =

0 −3 −1 33 2 2 41 4 0 6

tem ponto de sela?Escreva o mínimo de cada linha ao lado dela e o máximo decada coluna abaixo dela. Se houver uma posição da matriz cujoelemento está nos dois vetores adicionados ao mesmo tempo,então esta posição é um ponto de sela e seu valor é o valor dojogo.No caso (2,3) é ponto de sela e 2 é o valor do jogo.O melhor que J1 faz é escolher sua segunda jogada, pois comisso ele ganha, no mínimo, 2. Para J2 é melhor usar sua terceirajogada, onde ele perde, no máximo, 2.No jogo de cara ou coroa proposto não há ponto de sela.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS ESTRITAMENTE NÃO DETERMINADOS I

Consideraremos que o jogo é repetido muitas vezes entre osjogadores.Isto permite introduzir uma análise estatística e produzirfrequências para cada jogada disponível.

DEFINIÇÃO

Sejam A uma matriz m × n de pagamentos de um jogo, pi ,1 ≤ i ≤ ma probabilidade de J1 escolher a i-ésima jogada (ou seja, a i-ésimalinha de A) e qj ,1 ≤ j ≤ n a probabilidade de J2 escolher a j-ésimajogada (ou seja, a j-ésima coluna de A). Os vetores

p =[p1 p2 . . . pm

]e q =

[q1 q2 . . . qn

]Tsão chamados estratégias para os jogadores J1 e J2respectivamente.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS ESTRITAMENTE NÃO DETERMINADOS I

Consideraremos que o jogo é repetido muitas vezes entre osjogadores.Isto permite introduzir uma análise estatística e produzirfrequências para cada jogada disponível.

DEFINIÇÃO

Sejam A uma matriz m × n de pagamentos de um jogo, pi ,1 ≤ i ≤ ma probabilidade de J1 escolher a i-ésima jogada (ou seja, a i-ésimalinha de A) e qj ,1 ≤ j ≤ n a probabilidade de J2 escolher a j-ésimajogada (ou seja, a j-ésima coluna de A). Os vetores

p =[p1 p2 . . . pm

]e q =

[q1 q2 . . . qn

]Tsão chamados estratégias para os jogadores J1 e J2respectivamente.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS ESTRITAMENTE NÃO DETERMINADOS I

Consideraremos que o jogo é repetido muitas vezes entre osjogadores.Isto permite introduzir uma análise estatística e produzirfrequências para cada jogada disponível.

DEFINIÇÃO

Sejam A uma matriz m × n de pagamentos de um jogo, pi ,1 ≤ i ≤ ma probabilidade de J1 escolher a i-ésima jogada (ou seja, a i-ésimalinha de A) e qj ,1 ≤ j ≤ n a probabilidade de J2 escolher a j-ésimajogada (ou seja, a j-ésima coluna de A). Os vetores

p =[p1 p2 . . . pm

]e q =

[q1 q2 . . . qn

]Tsão chamados estratégias para os jogadores J1 e J2respectivamente.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS ESTRITAMENTE NÃO DETERMINADOS II

Observamos da construção dos vetores p e q que

m∑i=1

pi =n∑

j=1

qj = 1. (1)

DEFINIÇÃO

Uma estratégia é chamada pura todas as componentes são nulas,exceto uma, que deve valer 1, e é chamada mista em caso contrário.

As estratégias para o jogo estritamente determinado do exemplo10 são puras: p =

[0 1 0

]e q =

[0 0 1 0

]T .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS ESTRITAMENTE NÃO DETERMINADOS II

Observamos da construção dos vetores p e q que

m∑i=1

pi =n∑

j=1

qj = 1. (1)

DEFINIÇÃO

Uma estratégia é chamada pura todas as componentes são nulas,exceto uma, que deve valer 1, e é chamada mista em caso contrário.

As estratégias para o jogo estritamente determinado do exemplo10 são puras: p =

[0 1 0

]e q =

[0 0 1 0

]T .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS ESTRITAMENTE NÃO DETERMINADOS II

Observamos da construção dos vetores p e q que

m∑i=1

pi =n∑

j=1

qj = 1. (1)

DEFINIÇÃO

Uma estratégia é chamada pura todas as componentes são nulas,exceto uma, que deve valer 1, e é chamada mista em caso contrário.

As estratégias para o jogo estritamente determinado do exemplo10 são puras: p =

[0 1 0

]e q =

[0 0 1 0

]T .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

JOGOS 2× 2

Seja A =

[a bc d

]a matriz de pagamentos de algum jogo.

Sejam p[p1 p2

]e q =

[q1 q2

]T as estratégias dos jogadoresJ1 e J2, respectivamente.O ganho esperado por J1 é

E(p,q) = pAq = p1q1a + p1q2b + p2q1ac + p2q2d (2)

A expressão matricial acima vale para jogos com matrizes depagamento de qualquer tamanho.

Exemplo: Se A =

[2 −2 34 0 −3

]temos

1 p = 14

[1 3

]e q = 1

3

[1 1 1

]T ⇒ E(p, q) = 12 .

2 p = 14

[3 1

]e q = 1

3

[1 2 0

]T ⇒ E(p, q) = − 16 .

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS I

DEFINIÇÃO

Uma estratégia para J1 é ótima se ela garante o maior ganhopossível para J1.Uma estratégia para J2 é ótima se ela garante o menor ganhopossível para J1.Se p e q são estratégias ótimas para J1 e J2 respectivamente, onúmero v = E(p,q) é chamado valor do jogo.Se o valor de um jogo de soma zero é zero, dizemos que tal jogo éimparcial.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 I

Um jogo 2× 2 não é estritamente determinado se e somentea + d − b − c 6= 0.Se J2 escolhe a primeira coluna então J1 ganha p1a + p2c.Se J2 escolhe a segunda coluna então J1 ganha p1b + p2d .Fazendo v = min{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

p1a + p2c ≥ vp1b + p2d ≥ v

J1 quer o maior v possível, ou seja, encontrar o maior v tal que

p1a + p2c − v ≥ 0p1b + p2d − v ≥ 0

p1 + p2 = 1p1 ≥ 0,p2 ≥ 0, v ≥ 0.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 I

Um jogo 2× 2 não é estritamente determinado se e somentea + d − b − c 6= 0.Se J2 escolhe a primeira coluna então J1 ganha p1a + p2c.Se J2 escolhe a segunda coluna então J1 ganha p1b + p2d .Fazendo v = min{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

p1a + p2c ≥ vp1b + p2d ≥ v

J1 quer o maior v possível, ou seja, encontrar o maior v tal que

p1a + p2c − v ≥ 0p1b + p2d − v ≥ 0

p1 + p2 = 1p1 ≥ 0,p2 ≥ 0, v ≥ 0.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 I

Um jogo 2× 2 não é estritamente determinado se e somentea + d − b − c 6= 0.Se J2 escolhe a primeira coluna então J1 ganha p1a + p2c.Se J2 escolhe a segunda coluna então J1 ganha p1b + p2d .Fazendo v = min{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

p1a + p2c ≥ vp1b + p2d ≥ v

J1 quer o maior v possível, ou seja, encontrar o maior v tal que

p1a + p2c − v ≥ 0p1b + p2d − v ≥ 0

p1 + p2 = 1p1 ≥ 0,p2 ≥ 0, v ≥ 0.

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ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 I

Um jogo 2× 2 não é estritamente determinado se e somentea + d − b − c 6= 0.Se J2 escolhe a primeira coluna então J1 ganha p1a + p2c.Se J2 escolhe a segunda coluna então J1 ganha p1b + p2d .Fazendo v = min{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

p1a + p2c ≥ vp1b + p2d ≥ v

J1 quer o maior v possível, ou seja, encontrar o maior v tal que

p1a + p2c − v ≥ 0p1b + p2d − v ≥ 0

p1 + p2 = 1p1 ≥ 0,p2 ≥ 0, v ≥ 0.

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ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 I

Um jogo 2× 2 não é estritamente determinado se e somentea + d − b − c 6= 0.Se J2 escolhe a primeira coluna então J1 ganha p1a + p2c.Se J2 escolhe a segunda coluna então J1 ganha p1b + p2d .Fazendo v = min{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

p1a + p2c ≥ vp1b + p2d ≥ v

J1 quer o maior v possível, ou seja, encontrar o maior v tal que

p1a + p2c − v ≥ 0p1b + p2d − v ≥ 0

p1 + p2 = 1p1 ≥ 0,p2 ≥ 0, v ≥ 0.

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ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 II

O sistema acima é um problema de programação linear, queserá estudado mais adiante e pode ser resolvido com o métodosimplex.Pode-se mostrar que a solução para o problema nesse caso é

p1 =d − c

a + d − b − c

p2 =a− b

a + d − b − c

v =ad − bc

a + d − b − c

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ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J1 II

O sistema acima é um problema de programação linear, queserá estudado mais adiante e pode ser resolvido com o métodosimplex.Pode-se mostrar que a solução para o problema nesse caso é

p1 =d − c

a + d − b − c

p2 =a− b

a + d − b − c

v =ad − bc

a + d − b − c

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 I

De modo análogo ao feito para o jogador J1 mostramos que1 Se J1 escolhe a primeira linha então J2 ganha q1a + q2b.2 Se J1 escolhe a segunda linha então J2 ganha q1c + q2d .

Fazendo v ′ = max{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

q1a + q2b ≤ v ′

q1c + q2d ≤ v ′

J2 quer o menor v ′ possível, ou seja, encontrar o menor v ′ talque

q1a + q2b − v ′ ≤ 0q1c + q2d − v ′ ≤ 0

q1 + q2 = 1q1 ≥ 0,q2 ≥ 0, v ′ ≥ 0.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 I

De modo análogo ao feito para o jogador J1 mostramos que1 Se J1 escolhe a primeira linha então J2 ganha q1a + q2b.2 Se J1 escolhe a segunda linha então J2 ganha q1c + q2d .

Fazendo v ′ = max{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

q1a + q2b ≤ v ′

q1c + q2d ≤ v ′

J2 quer o menor v ′ possível, ou seja, encontrar o menor v ′ talque

q1a + q2b − v ′ ≤ 0q1c + q2d − v ′ ≤ 0

q1 + q2 = 1q1 ≥ 0,q2 ≥ 0, v ′ ≥ 0.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

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ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 I

De modo análogo ao feito para o jogador J1 mostramos que1 Se J1 escolhe a primeira linha então J2 ganha q1a + q2b.2 Se J1 escolhe a segunda linha então J2 ganha q1c + q2d .

Fazendo v ′ = max{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

q1a + q2b ≤ v ′

q1c + q2d ≤ v ′

J2 quer o menor v ′ possível, ou seja, encontrar o menor v ′ talque

q1a + q2b − v ′ ≤ 0q1c + q2d − v ′ ≤ 0

q1 + q2 = 1q1 ≥ 0,q2 ≥ 0, v ′ ≥ 0.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

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ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 I

De modo análogo ao feito para o jogador J1 mostramos que1 Se J1 escolhe a primeira linha então J2 ganha q1a + q2b.2 Se J1 escolhe a segunda linha então J2 ganha q1c + q2d .

Fazendo v ′ = max{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

q1a + q2b ≤ v ′

q1c + q2d ≤ v ′

J2 quer o menor v ′ possível, ou seja, encontrar o menor v ′ talque

q1a + q2b − v ′ ≤ 0q1c + q2d − v ′ ≤ 0

q1 + q2 = 1q1 ≥ 0,q2 ≥ 0, v ′ ≥ 0.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

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ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 I

De modo análogo ao feito para o jogador J1 mostramos que1 Se J1 escolhe a primeira linha então J2 ganha q1a + q2b.2 Se J1 escolhe a segunda linha então J2 ganha q1c + q2d .

Fazendo v ′ = max{p1a + p2c,p1b + p2d} temos

q1a + q2b ≤ v ′

q1c + q2d ≤ v ′

J2 quer o menor v ′ possível, ou seja, encontrar o menor v ′ talque

q1a + q2b − v ′ ≤ 0q1c + q2d − v ′ ≤ 0

q1 + q2 = 1q1 ≥ 0,q2 ≥ 0, v ′ ≥ 0.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

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ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 II

O sistema acima também é um problema de programação linear.Pode-se mostrar que a solução para o problema nesse caso é

q1 =d − b

a + d − b − c

q2 =a− c

a + d − b − c

v ′ =ad − bc

a + d − b − c

Observamos que v = v ′, ou seja a estratégia ótima para J1 e J2dá o mesmo valor esperado para ambos os jogadores.

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BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 II

O sistema acima também é um problema de programação linear.Pode-se mostrar que a solução para o problema nesse caso é

q1 =d − b

a + d − b − c

q2 =a− c

a + d − b − c

v ′ =ad − bc

a + d − b − c

Observamos que v = v ′, ou seja a estratégia ótima para J1 e J2dá o mesmo valor esperado para ambos os jogadores.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

ESTRATÉGIAS ÓTIMAS II - JOGADOR J2 II

O sistema acima também é um problema de programação linear.Pode-se mostrar que a solução para o problema nesse caso é

q1 =d − b

a + d − b − c

q2 =a− c

a + d − b − c

v ′ =ad − bc

a + d − b − c

Observamos que v = v ′, ou seja a estratégia ótima para J1 e J2dá o mesmo valor esperado para ambos os jogadores.

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DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

ESTRATÉGIAS ÓTIMASEXERCÍCIOS

MÃOS À OBRA

1 Determine estratégias ótimas para o jogo de cara ou coroa.2 Determine estratégias ótimas para o jogo cuja matriz de

pagamentos é A =

[2 −51 3

]. Determine também o valor do jogo

e se ele é imparcial, apontando quem é o jogador favorecido emcaso negativo.

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TÓPICOS ABORDADOS NESTA AULAINTRODUÇÃO

DEFINIÇÕESESTRATÉGIA

BIBLIOGRAFIA

[1] Kolman, B. and Hill, D., Introdução à Álgebra Linear comAplicações, 8a. ed., Rio de Janeiro, LTC, 2006.

[2] Owen, G., Game Theory, 3rd. ed., Orlando, Academic Press,1995.

[3] Straffin, P. D., Game theory and Strategy, Washington, D.C.,New Mathematical Library, 36, 1996.

[4] Thie, P. R., an Introduction to Linear Programming and GameTheory, 2nd. ed., New York, John wiley & Sons, Inc., 1988.

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