Introduأ§أ£oأ  Lأ³gica ... a. Rosas sأ£o vermelhas e violetas sأ£o azuis. b. أ‰ falso...

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  • Introdução à Lógica Computacional

    Aula: Lógica Proposicional

  • Agenda

    • Semântica das proposições: Tabela verdade

    • Álgebra das proposições

  • Validade dos argumentos

    • Método da tabela verdade – Dado um argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛𝑄

    – Verificar se é possível ter • 𝑉(𝑄) = 𝐹 quando 𝑉(𝑃1) = 𝑉(𝑃2) = ⋯ = 𝑉(𝑃𝑛) = 𝑉

    • Procedimento – Construir uma tabela em que cada coluna representa

    uma premissa e a última coluna representa a conclusão.

    Se 𝑉(𝑄) = 𝐹 em alguma linha da tabela

    Então o argumento NÃO É VÁLIDO, ou seja, é um sofisma

  • Tabela verdade: negação (˜)

    • Se p é uma proposição, ˜p é a negação de p

    • A negação inverte o valor verdade de uma expressão

    p ˜p

    V F

    F V

  • Tabela verdade: conjunção(ˆ)

    • p ocorre ao mesmo tempo que q • p e q são chamados fatores da expressão • Exemplo:

    – p: está frio – q: está chovendo – pˆq: Está frio e está chovendo

    p q pˆq

    V V V

    V F F

    F V F

    F F F

  • Tabela verdade: disjunção(v)

    • Pelo menos um dos fatos ocorre • p e q são chamados parcelas da expressão • Exemplo:

    – p: está frio – q: está chovendo – pvq: Está frio ou está chovendo

    p q pvq

    V V V

    V F V

    F V V

    F F F

  • Tabela verdade: condicional(→)

    • p→q • A ocorrência do fato expresso pelo antecedente p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso

    pelo consequente q • A operação condicional indica que o acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q • Exemplo:

    – p: Jantou – q: Está saciado – p→q: Se jantou, então está saciado

    p q p→q

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

  • Tabela verdade: Bi-Condicional(→)

    • p→q • A ocorrência do fato expresso pelo antecedente p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso

    pelo consequente q e vice-versa • A operação condicional indica que o acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q • Exemplo:

    – p: Jantou – q: Está saciado – p→q: Se jantou, então está saciado

    p q P→q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

  • Tabela verdade: parênteses()

    • Objetivo: retirar ambiguidade • Exemplo:

    – p=Estudar – q= fazer a prova – r=fazer trabalho – r=Ser aprovado

    • p ˆ q v r→ s (p ˆ q) v( r→ s) ((p ˆ q) v r )→ s

    ((p ˆ q) v r)) → s p ˆ ((q v r) → s) (p ˆ (q v r) )→ s

  • Construção da Tabela Verdade

    • Considerando o principio do terceiro excluído, toda proposição simples só pode ser Verdadeira (V) ou Falsa(F)

    • Proposição composta:

    – Depende dos valores lógicos das proposições simples

  • Construção da Tabela Verdade

    • A tabela terá – no mínimo n +1 colunas, em que n é o número

    de proposições primitivas – 2n linhas

    • Exemplo ((p ^q )v (q→p ))^˜p 2 proposições primitivas: p e q Tabela verdade 3 colunas e 4 linhas

    p q ((p ^q )v (q→p ))^˜p

    V V

    V F

    F V

    F F

  • Exemplo

    • Verificar a validade do argumento: 𝑝 → 𝑞, 𝑞 |-- 𝑝

    Argumento não é válido, Pois a conclusão (p) é verdadeira e falsa Mesmo com as premissas (𝑝 → 𝑞) e 𝑞 verdadeiras

  • Exemplo

    Sabendo-se que: – V(p)=Verdadeiro, – V(q)=Falso e V(r)=Falso

    Determine o valor lógico da proposição

  • Exemplo

    Sabendo-se que: – V(p)=Verdadeiro, – V(q)=Falso e V(r)=Falso

    Determine o valor lógico da proposição

  • Exercícios

    1. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade

  • Exercícios

    1. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade

  • Exercícios

    2. Verifique a validade do argumento:

    O argumento NÃO É válido

  • Exercícios

    3. Verifique a validade do argumento:

    O argumento NÃO É válido

  • Exercícios

    4. Verifique a validade do argumento:

    O argumento É válido

  • Exercícios para casa

    • 5. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade

  • ÁLGEBRA DA LÓGICA PROPOSICIONAL

  • Propriedades da conjunção

    • Sejam 𝑝, 𝑞 , 𝑟 , 𝑡 e 𝑐 proposições simples quaisquer na conjunção as tabelas-verdade das proposições são idênticas, ou seja, a bicondicional é tautológica.

    𝑡 e 𝑐 são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente

  • Propriedades da disjunção

    • Sejam 𝑝, 𝑞 , 𝑟 , 𝑡 e 𝑐 proposições simples quaisquer na conjunção as tabelas-verdade das proposições são idênticas, ou seja, a bicondicional é tautológica.

    𝑡 e 𝑐 são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente

  • Propriedades da conjunção e disjunção juntas

    • Distributivas

    • Absorção

    • Regras De Morgan

    • Negação da Condicional

    • Negação da bi-condicional

  • Propriedades da conjunção e disjunção juntas

    • Distributivas

    • Absorção

    • Regras De Morgan

    • Negação da Condicional

    • Negação da bi-condicional

  • Propriedades da conjunção e disjunção juntas

    • Distributivas

    • Absorção

    • Regras De Morgan

    • Negação da Condicional

    • Negação da bi-condicional

  • Propriedades da conjunção e disjunção juntas

    • Distributivas

    • Absorção

    • Regras De Morgan

    • Negação da Condicional

    • Negação da bi-condicional

    Negar que duas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras, equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa

    Negar que pelo menos uma das duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas

  • Propriedades da conjunção e disjunção juntas

    • Distributivas

    • Absorção

    • Regras De Morgan

    • Negação da Condicional

    • Negação da bi-condicional

    Tautologia as tabelas-verdade das duas proposições ~(𝑝 → 𝑞) e 𝑝 ˄ ~𝑞 são idênticas

  • Propriedades da conjunção e disjunção juntas

    • Distributivas

    • Absorção

    • Regras De Morgan

    • Negação da Condicional

    • Negação da bi-condicional

  • Exercícios

    1. Demonstre por tabelas-verdade as equivalências:

    a. 𝑝 → 𝑞 ˄ 𝑟⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → 𝑟)

    b. 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟⟺ (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟)

  • Exercícios

    2.Dê a negação das proposições:

    a. Rosas são vermelhas e violetas são azuis.

    b. É falso que não está frio ou que está chovendo.

    c. Não é verdade que o pai de Marcos e pernambucano ou

    que a mãe é gaúcha.

    d. Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os

    preços estão aumentando.

    e. Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.

  • Tarefa: Ponto extra na média, caso seja necessário para fazer prova final

    • Objetivo: – Fomentar uma revisão da matéria e estudar o material apresentado em aula – Fomentar a participação em sala de aula

    • Tarefa: – Toda aula haverá um slide com um pequeno erro de lógica. Tal erro será falado em sala de aula. – Apresentar o slide com erro e o consertado – É necessário que se apresente 1 slide por aula para que o aluno ganhar o ponto extra

    • Obs.: Só valerá o ponto extra na média, se o aluno apresentar pelo menos um slide por aula, mas de TODAS as aulas. • Exemplo de entrega de 1 aula

    Aula 1: erro marcado em rosa Aula 1: slide corrigido em vermelho