Introdução aos Métodos Numéricos -...
Transcript of Introdução aos Métodos Numéricos -...
![Page 1: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/1.jpg)
Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
![Page 2: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/2.jpg)
Conteúdo temático
● Zeros de Função
![Page 3: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/3.jpg)
Conteúdo específico
● Aspectos básicos sobre zeros de função
● Métodos de partição
Método da bissecção
Critério de parada
![Page 4: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/4.jpg)
Zeros de função
Suponha que, por algum motivo, necessitamos de determinar onde uma função se anula
f (x)=0
![Page 5: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/5.jpg)
Zeros de função
Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero
x=f −1(0)
![Page 6: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/6.jpg)
Zeros de função
Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero
Pena que achar a inversa de uma função não seja uma coisa simples em geral
x=f −1(0)
![Page 7: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/7.jpg)
Zeros de função
Parece que a solução é simples: basta achar a função inversa da função e a calcular em zero
Pena que achar a inversa de uma função não seja uma coisa simples em geral
Sem contar que podemos ter a função anulando em mais de um ponto, como na figura que mostramos...
x=f −1(0)
![Page 8: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/8.jpg)
Zeros de função
Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula?
● Determinação de máximos de funções
![Page 9: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/9.jpg)
Zeros de função
Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula?
● Determinação de máximos de funções
● Apresentação realística de contato entre objetos em computação gráfica (animações, etc.)
![Page 10: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/10.jpg)
Zeros de função
Mas em que situações necessitaríamos determinar os pontos uma função se anula?
● Determinação de máximos de funções
● Apresentação realística de contato entre objetos em computação gráfica (animações, etc.)
● Determinação de níveis de energia em simulações
● Etc.
![Page 11: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/11.jpg)
Zeros de função
Existe um conjunto de funções das quais sabemos algo sobre o ponto no qual elas se anulam como os polinômios.
![Page 12: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/12.jpg)
Zeros de função
Existe um conjunto de funções das quais sabemos algo sobre o ponto no qual elas se anulam como os polinômios.
Se um polinômio de grau n sabemos que terá n pontos onde se anulará, seja no eixo real ou no plano complexo
Mesmo aqui temos problemas
![Page 13: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/13.jpg)
Zeros de função
● Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4.
![Page 14: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/14.jpg)
Zeros de função
● Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4.
● Deste grau para cima é demonstrável que não existem fórmulas algébricas para o caso geral, apenas para casos particulares.
![Page 15: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/15.jpg)
Zeros de função
● Sabemos fórmulas algébricas para polinômios de grau até 4.
● Deste grau para cima é demonstrável que não existem fórmulas algébricas para o caso geral, apenas para casos particulares.
● Usar o recurso de dividir polinômios é numericamente instável...
![Page 16: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/16.jpg)
Zeros de função
Mas o que fazer se as equações forem como estas?
Existem pontos onde se anulam?
e x−3 cos x=0 ;cos x−sen2 x+
32=0 ;∫
0
xsen tt
dt−x+1=0
![Page 17: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/17.jpg)
Zeros de função
Mas o que fazer se as equações forem como estas?
Existem pontos onde se anulam?
Se tem, quantos?
e x−3 cos x=0 ;cos x−sen2 x+
32=0 ;∫
0
xsen tt
dt−x+1=0
![Page 18: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/18.jpg)
Zeros de função
Mas o que fazer se as equações forem como estas?
Existem pontos onde se anulam?
Se tem, quantos?
Como achar estes pontos?
e x−3 cos x=0 ;cos x−sen2 x+
32=0 ;∫
0
xsen tt
dt−x+1=0
![Page 19: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/19.jpg)
Zeros de função
Diremos que determinar onde funções se anulam está em determinarmos os zeros destas funções
![Page 20: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/20.jpg)
Zeros de função
Diremos que determinar onde funções se anulam está em determinarmos os zeros destas funções
O termo “raízes“ é mais adequado aos pontos onde polinômios se anulam
![Page 21: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/21.jpg)
Zeros de função
Mudaremos a visão do problema
No lugar de termos um problema com n zeros, vamos transformar este problema em n problemas de um zero a determinar
![Page 22: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/22.jpg)
Zeros de função
Mudaremos a visão do problema
No lugar de termos um problema com n zeros, vamos transformar este problema em n problemas de um zero a determinar
Faremos isto isolando cada zero num determinado intervalo que o contém...
![Page 23: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/23.jpg)
Zeros de função
...como na figura abaixo
![Page 24: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/24.jpg)
Zeros de função
Escolhamos um zero
![Page 25: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/25.jpg)
Zeros de função
Escolhamos um zero
Como sabemos que há um
zero no intervalo (A,B)?
![Page 26: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/26.jpg)
Zeros de função
Escolhamos um zero
Como sabemos que há um
zero no intervalo (A,B)?
Se a função f(x) for
diferenciável no intervalo
então f (A ) f (B)<0
![Page 27: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/27.jpg)
Zeros de função
Na grande maioria das vezes não temos o gráfico da função e nem nos interessa ter um gráfico!
Queremos o zero da função
Pergunta:
● O teste que fizemos anteriormente sempre funcionará?
![Page 28: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/28.jpg)
Zeros de função
Isolar raizes em geral não é simples, precisamos ter um estudo minimamente aprofundado da função
![Page 29: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/29.jpg)
Zeros de função
Isolar raizes em geral não é simples, precisamos ter um estudo minimamente aprofundado da função
...e muitas vezes a função é tão complexa que temos dificuldade em isolar mas raizes, ou seja,
podemos cometer erros.
![Page 30: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/30.jpg)
Zeros de função – Zeros múltiplos
Observe a figura:
Se escolhermos isolar o zero no intervalo teremos um problema com nosso teste. Ele dirá que não há nenhum zero no intervalo. De fato há dois zeros!
[1/2,3 /2]
![Page 31: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/31.jpg)
Zeros de função – Zeros múltiplos
A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2, sendo 1 uma raiz dupla.
Diremos que:
● x = 1 é zero de multiplicidade 2
● x = 2 é zero de multiplicidade 1 ou um zero simples
−x3+4 x2
−5 x+2
![Page 32: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/32.jpg)
Zeros de função – Zeros múltiplos
Observe agora a figura:
Se escolhermos isolar o zero no intervalo não teremos um problema com nosso teste. Mas aqui há três zeros!
[1/2,3 /2]
![Page 33: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/33.jpg)
Zeros de função – Zeros múltiplos
A função desta figura é da função que tem como zeros o valores 1 que é um zero triplo.
Diremos que:
● x = 1 é zero de multiplicidade 3.
−x3+3 x2
−3 x+1
![Page 34: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/34.jpg)
Zeros de função – Zeros múltiplos
Podemos generalizar estes exemplo observando que:
● Se uma função tiver um zero de multiplicidade par o nosso teste falhará
● Se uma função tiver um zero de multiplicidade impar o nosso teste funcionará mas indicará menos zeros do que os existentes
![Page 35: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/35.jpg)
Zeros de função – Zeros múltiplos
Generalizando mais ainda, temos que:
Se uma função tiver um zero R de multiplicidade n então não só a função se anulará em R como também se anularão em R suas n-1 derivadas
Experimente isto com as funções apresentadas
![Page 36: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/36.jpg)
Zeros de função
Partiremos agora do suposto que fizemos uma boa análise da função de nosso interesse e sabemos que isolamos um zero simples, ou seja, que o zero não é múltiplo.
Assim nosso teste valerá e nos dará um método útil de determinarmos zeros de função
![Page 37: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/37.jpg)
Zeros de função
Apresentaremos um método da categoria de Métodos de Partição, ou seja, métodos que sucessivamente obtém subintervalos que contém a solução do problema
![Page 38: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/38.jpg)
Método da bissecção
Este método começa por acharmos o ponto médio do intervalo, ou seja,
X=A+B
2
![Page 39: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/39.jpg)
Método da bissecção
Como o zero se encontra entre A e B, temos que este zero se encontra no intervalo (A,X] ou no intervalo [X,B).
Usaremos o teste
Se f (A ) f (X )<0 ; R∈(A , X )
![Page 40: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/40.jpg)
Método da bissecção
Como o zero se encontra entre A e B, temos que este zero se encontra no intervalo (A,X] ou no intervalo [X,B).
Usaremos o teste
Se
Se
f (A ) f (X )<0 ; R∈(A , X )
f (A ) f (X )>0 ; R∈(X ,B)
![Page 41: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/41.jpg)
Método da bissecção
Feito isto faremos
Se
Se
Novamente calculamos
para o novo A ou B. A figura ficará...
f (A ) f (X )<0 ; R∈(A , X );B← X
f (A ) f (X )>0 ; R∈(X ,B); A← X
X=A+B
2
![Page 42: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/42.jpg)
Método da bissecção
Novamente faremos o teste
com uma pequena
modificação
![Page 43: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/43.jpg)
Método da bissecção
Se
Isto é necessário pois não temos como prever o comportamento da função em X
f (A ) f (X )<0 ; R∈(A , X );B←X
f (A ) f (X )>0 ; R∈(X ,B); A←X
f (A ) f (X )=0; R=A ou R=X
![Page 44: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/44.jpg)
Método da bissecção
Calculando
X=A+B
2
![Page 45: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/45.jpg)
Método da bissecção
Resumo do que fizemos
![Page 46: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/46.jpg)
Método da bissecção
Seja f(x) diferenciável em [A, B]. Tenhamos f(A)
I) Calcule
II) Se
III) Se o critério de parada não for satisfeito, retorne a I
f (A) f (X )<0 ;R∈(A , X );B←Xf (A) f (X )>0 ;R∈(X ,B); A←Xf (A ) f (X )=0 ;R=A ou R=X
X=A+B
2e f (X )
![Page 47: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/47.jpg)
Método da bissecção
No momento não abordaremos o critério de parada
![Page 48: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/48.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Determine aproximações para o ponto onde a função abaixo se anula no semi-eixo positivo.
e x−3 cos x
![Page 49: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/49.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Determine aproximações para o ponto onde a função abaixo se anula no semi-eixo positivo.
Isto significa que queremos resolver a equação abaixo
e x−3 cos x
e x−3 cos x=0
![Page 50: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/50.jpg)
Zeros de função
O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por
● Um estudo da natureza do problema
![Page 51: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/51.jpg)
Zeros de função
O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por
● Um estudo da natureza do problema
● Um estudo exploratório
![Page 52: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/52.jpg)
Zeros de função
O primeiro obstáculo é localizar o zero dentro de um intervalo. Isto pode ser feito por
● Um estudo da natureza do problema
● Um estudo exploratório
O estudo da natureza do problema é o melhor e exige boa compreenção do que estamos fazendo
![Page 53: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/53.jpg)
Zeros de função
Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja,
e x−3 cos x=0
![Page 54: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/54.jpg)
Zeros de função
Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja,
e conhecemos bem estas duas funções.
e x−3 cos x=0⇒ ex
=3 cos x
![Page 55: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/55.jpg)
Zeros de função
Aqui olharemos para o problema como a intersecção entre duas curvas, ou seja,
e conhecemos bem estas duas funções.
Já que é assim, façamos um esboço destas duas funções no semi-eixo positivo, lembrando que cosseno atinge o primeiro valor zero em π/2
e x−3 cos x=0⇒ ex
=3 cos x
![Page 56: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/56.jpg)
Zeros de função
Esboço do ponto de intersecção
e x=3 cos x
![Page 57: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/57.jpg)
Zeros de função
Esboço do ponto de intersecção
É fácil de perceber que existe um
ponto entre 0 e 1 na qual e
se intersectam, ou seja,
a nossa função tem um zero em
[0,1]
e x=3 cos x
ex
3cos(x)
![Page 58: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/58.jpg)
Zeros de função
Verifiquemos... f (x)=ex−3 cos x
f (0)=e0−3 cos 0=1−3=−2
f (1)=e1−3 cos1=2,7182818−3×0,540302=1,097374
![Page 59: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/59.jpg)
Zeros de função
Verifiquemos...
Temos a confirmação que há um zero neste intervalo
f (x)=ex−3 cos x
f (0)=e0−3 cos 0=1−3=−2
f (1)=e1−3 cos1=2,7182818−3×0,540302=1,097374
![Page 60: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/60.jpg)
Zeros de função
Verifiquemos...
Temos a confirmação que há um zero neste intervalo
Apliquemos o Método da Bissecção fazendo A=0, B=1
f (x)=ex−3 cos x
f (0)=e0−3 cos 0=1−3=−2
f (1)=e1−3 cos1=2,7182818−3×0,540302=1,097374
![Page 61: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/61.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Agora continuando...
f (x)=ex−3 cos x
f (X )= f ( 12 )=e1/2
−3 cos12=−0,984026
X=A+B
2=
0+12
=12
f (A )=−2
f (A ) f (X )>0 ; A←X
A=12
e f (A )=−0,984026
![Page 62: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/62.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Agora continuando...
f (x)=ex−3 cos x
f (X )= f ( 34 )=e3/4
−3 cos34=−0,078066
X=A+B
2=
1 /2+12
=34
f (A ) f (X )>0 ; A←X
A=34
e f (A )=−0,078066
f (A )=−0,984026
![Page 63: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/63.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Agora continuando...
f (x)=ex−3 cos x
f (X )= f ( 78 )=e7 /8
−3 cos78=0,475884
X=A+B
2=
3/4+12
=78=0,875
f (A ) f (X )<0 ;B←X
B=78
e f (B)=0,475884
f (A )=−0,078066
![Page 64: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/64.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Agora
f (x)=ex−3 cos x
f (X )= f ( 1316 )=e13 /16
−3 cos1316
=0,190478
X=A+B
2=
3/4+7 /82
=1316
=0,8125
f (A ) f (X )<0 ;B←X
B=1316
f (A )=−0,078066
![Page 65: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/65.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Agora paremos por aqui...
f (x)=ex−3 cos x
f (X )= f ( 1316 )=e13 /16
−3 cos1316
=0,190478
X=A+B
2=
3/4+7 /82
=1316
=0,8125
f (A ) f (X )<0 ;B←X
B=1316
f (A )=−0,078066
![Page 66: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/66.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Resumindo temos a seguinte progressão
R∈[0,1]⇒R∈[ 12 ,1 ]
![Page 67: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/67.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Resumindo temos a seguinte progressão
R∈[0,1]⇒R∈[ 12 ,1 ]⇒R∈ [ 34,
1 ]
![Page 68: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/68.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Resumindo temos a seguinte progressão
R∈[0,1]⇒R∈[ 12 ,1 ]⇒R∈ [ 34,
1 ] ⇒R∈[ 34,
78 ]
![Page 69: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/69.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Resumindo temos a seguinte progressão
ou na última avaliação R∈[0,75 ;0,8125 ]
R∈[0,1]⇒R∈[ 12 ,1 ]⇒R∈ [ 34,
1 ] ⇒R∈[ 34,
78 ]⇒R∈[ 3
4,1316 ]
![Page 70: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/70.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Resumindo temos a seguinte progressão
ou na última avaliação
Temos uma progressão mas como ela se dá?
R∈[0,75 ;0,8125 ]
R∈[0,1]⇒R∈[ 12 ,1 ]⇒R∈ [ 34,
1 ] ⇒R∈[ 34,
78 ]⇒R∈[ 3
4,1316 ]
![Page 71: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/71.jpg)
Método da bissecção – Um exemplo
Resumindo temos a seguinte progressão
ou na última avaliação
Temos uma progressão mas como ela se dá?
Quando parar?
R∈[0,75 ;0,8125 ]
R∈[0,1]⇒R∈[ 12 ,1 ]⇒R∈ [ 34,
1 ] ⇒R∈[ 34,
78 ]⇒R∈[ 3
4,1316 ]
![Page 72: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/72.jpg)
Método da bissecção
Acredito que seja fácil de perceber que o intervalo que contém o zero decresce para metade de sua amplitude a cada passo, ou seja,
Ln=|B−A|
2n
![Page 73: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/73.jpg)
Método da bissecção
Acredito que seja fácil de perceber que o intervalo que contém o zero decresce para metade de sua amplitude a cada passo, ou seja,
onde B e A são os valores iniciais. Isto nos dá um critério de parada.
Ln=|B−A|
2n
![Page 74: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/74.jpg)
Método da bissecção
Vamos supor que desejamos parar quando o intervalo que contém R for de tamanho tol. Assim,
Com isto, sabemos quantos passos do método teremos que executar para obtermos o resultado que desejamos
tol=|B−A|
2n ⇒2n=
|B−A|tol
⇒n=log2 (|B−A|tol )
![Page 75: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/75.jpg)
Método da bissecção
Se no nosso exemplo desejássemos que tol fosse um milésimo do intervalo original, teríamos
Este método não parece tão ruim assim.
n=log2 (|B−A|tol )= log2 (|1−0|
0,001 )=log2(1000)≈10
![Page 76: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/76.jpg)
Método da bissecção
Se no nosso exemplo desejássemos que tol fosse um milésimo do intervalo original, teríamos
Este método não parece tão ruim assim.
Mas é lento...
n=log2 (|B−A|tol )= log2 (|1−0|
0,001 )=log2(1000)≈10
![Page 77: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/77.jpg)
Método da bissecção
O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais.
![Page 78: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/78.jpg)
Método da bissecção
O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais.
Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo
f (0)=−2; f (1)=1,097374 ; f ( 12 )=−0,984026
f ( 34 )=−0,078066 ; f ( 7
8 )=0,475884 ; f ( 1316 )=0,190478
![Page 79: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/79.jpg)
Método da bissecção
O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais.
Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo
o valor em ¾ parece próximo da solução...
f (0)=−2; f (1)=1,097374 ; f ( 12 )=−0,984026
f ( 34 )=−0,078066 ; f ( 7
8 )=0,475884 ; f ( 1316 )=0,190478
![Page 80: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/80.jpg)
Método da bissecção
O método da bissecção não leva em consideração o valor das funções, somente os sinais.
Abaixo temos alguns valores numéricos calculados durante o uso do algoritmo
o valor em ¾ parece próximo da solução...
...e o método não “viu“...
f (0)=−2; f (1)=1,097374 ; f ( 12 )=−0,984026
f ( 34 )=−0,078066 ; f ( 7
8 )=0,475884 ; f ( 1316 )=0,190478
![Page 81: Introdução aos Métodos Numéricos - ic.uff.brotton/graduacao/introducaonumericos/Zeros_de_Funcao_1... · A função na figura é da função que tem como zeros os valores 1 e 2,](https://reader030.fdocumentos.tips/reader030/viewer/2022040314/5e12ff55c15dc365c36bc112/html5/thumbnails/81.jpg)
Método da bissecção
● O método da bissecção parece eficaz mas não é eficiente, afinal despresa propriedades numéricas da função;
● Implementações em computadores podem fazer com que ele se torne instável, pois num computador não temos números Reais mais números de ponto flutuante;
● O fato dele desconsiderar propriedades da função pode ser útil se a função tem propriedades analíticas que dificultem determinarmos os zeros