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INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS
Ementa
Noções Básicas sobre Erros
Zeros Reais de Funções Reais
Resolução de Sistemas Lineares
Introdução à Resolução de Sistemas Não-Lineares
Interpolação
Ajuste de funções
Integração Numérica
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Introdução
Circuito elétricoCorrente(i)
Tensão(V)
Resistência(R)
Lei de Kirchoff
RiV =
Circuito elétrico
Tensão(V)
Resistência(R)
Diodo
Corrente(i)
01ln =
+−−
sI
i
q
kTRiV
precisamos resolver ou encontrar o zero
da função
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Introdução
Assim, vamos iniciar o estudo de métodos numéricos que nos
permitirão resolver problemas como o citado anteriormente
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Zeros ou Raízes de Funções
➢ Dada uma função f(x), dizemos que α é raiz, ou zero de f se esomente f(α)=0.
➢ Graficamente, os zeros de uma função correspondem ao ponto x emque a função intercepta o eixo do gráfico.
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Zeros ou Raízes de Funções
➢ A função g(x) acima tem 5 raízes no intervalo [a,b]: x1, x2, x3, x4, x5.
➢ As raízes de uma função podem ser encontradas analiticamente, ouseja, resolvendo a equação f(x)=0 de maneira exata.
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Exemplos
a)
b)
c)
➢ Vejamos os seguintes exemplos:
Podemos sem grandes dificuldades determinar os zeros das funções acima
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Exemplos
a)
b)
c)
➢ Porém, nem sempre é possível encontrar analiticamente a raiz deuma função, como nos casos abaixo:
Nestes casos precisamos de um método numérico para encontrar uma estimativa para a raiz da função estudada
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Métodos Numéricos para Determinação de Zeros de Funções
Como obter raízes reais de uma equação qualquer?
➢ A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação inicialpara a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de umprocesso iterativo.
➢ Por isso, os métodos constam de duas fases:
FASE I: Isolar cada zero que se deseja determinar da função f em umintervalo [a,b], sendo que cada intervalo deverá conter um esomente um zero da função f .
FASE II: Calcular a raiz aproximada através de um processo iterativo até aprecisão desejada.
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Processo Iterativos
➢ Existe um grande número de métodos numéricos que são processositerativos. Estes processos se caracterizam pela repetição de umadeterminada operação.
➢ A idéia nesse tipo de processo é repetir um determinado cálculovárias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração um resultadomais preciso que aquele obtido na iteração anterior.
➢ Cabe ressaltar que a cada iteração utiliza-se o resultado da iteraçãoanterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte.
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Processo Iterativos
➢ Existem diversos aspectos comuns a qualquer processo iterativo:
✓ Estimativa inicial: Para iniciar um processo iterativo, é preciso teruma estimativa inicial do resultado do problema. Essa estimativapode ser conseguida de diferentes formas (depende do problema).
✓ Convergência: Para obtermos um resultado próximo do resultadoreal esperado, é preciso que a cada passo ou iteração, nossoresultado esteja mais próximo daquele esperado.
✓ Critério de Parada: Obviamente não podemos repetir umprocesso numérico infinitamente. É preciso pará-lo em umdeterminado instante. O critério adotado para parar as iterações deum processo numérico é chamado de critério de parada (dependedo problema e da precisão que desejamos para obter a solução).
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
➢ Dada uma função f : R→ R delimitar os zeros de f significa determinarintervalos [a, b] que contenham os zeros de f. Sendo que cada intervalodeverá conter um e somente um zero da função f.
➢ Existem dois métodos para resolver este problema:
1) Método Gráfico
2) Método Analítico
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
1) Método Gráfico: Como já foi observado, determinar os zeros de f éequivalente a determinar as raízes da equação f(x) = 0. Tendo comobase esta observação o método gráfico consiste em :
➢ Escrever f como a diferença de funções g e h ou seja f = g−h ondepossamos sem muito esforço esboçar os gráficos das funções g e h;
➢ Usar f(x) = 0 g(x) = h(x);
➢ Esboçar, da melhor maneira possível, os gráficos de g e h edeterminar por inspeção os intervalos onde estão os pontos deinterseção de g(x) e h(x) ou seja os pontos onde .x )()( xhxg =
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
➢ Vejamos os seguintes exemplos:
a)
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
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b)
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
c)
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
1) Método Analítico: Este método é baseado no seguinte teorema,
Teorema de Bolzano: Seja uma função f(x) contínua em um intervalo[a,b], tal que, f(a).f(b)<0. Então a função f(x) possui pelo menos umaraiz no intervalo [a,b].
“O teorema assegura que se f troca de sinal nos pontos ae b então f tem pelo menos um zero entre estes pontos”
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FASE I: Delimitação dos Zeros de uma Função
➢ Vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo 1: Seja a função f(x)=x⋅ln(x) – 3,2. Podemos calcular o valor def(x) para valores arbitrários de x, como mostrado na tabela abaixo:
Pelo teorema de Bolzano, concluímos que existe pelo menos
uma raiz real no intervalo [2,3].
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Exemplo 2: Isolar as raízes positivas da equação:
𝑓 𝑥 = 𝑥5 + 6𝑥4 − 14𝑥3 + 72𝑥2 + 44𝑥 − 180 = 0. Sabendo-se que elas
são em números de três e estão situadas no intervalo (0, 7).
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FASE II: Refinamento
➢ Estudaremos vários métodos numéricos de refinamento de raiz. Aforma como se efetua o refinamento é que diferença os métodos. Todoseles pertencem à classe dos métodos iterativos.
➢ Os métodos iterativos para refinamento da aproximação inicial para araiz exata podem ser colocados num diagrama de fluxo.
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FASE II: Refinamento
Início
Dados iniciais
Cálculos iniciais
K=1
Cálculos finais
está próxima o suficiente da raiz
exata?
Cálculos intermediários
K=K+1
fim
s
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Critérios de Parada
➢ Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levamao mesmo resultado.
➢ Como efetuar o teste i) se não conhecemos ?
Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao seconseguir um intervalo [a,b] tal que:
−
)()
:se precisão com aproximada raiz é
xfii
ouxi)
x
−
ab
ba
e
],[
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Métodos de Refinamento (Iterativos)
☺Método da Bissecção;
☺Método do Ponto Fixo (MPF);
☺Método de Newton-Raphson;
☺Método da Secante.
Método da Bissecção
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Método da Bissecção
➢ O processo consiste em dividir o intervalo que contém o zero aomeio e por aplicação do Teorema de Bolzano, aplicado aossubintervalos resultantes, determinar qual deles contém o zero.
➢ O processo é repetido para o novo subintervalo até que se obtenhauma precisão prefixada. Desta forma, em cada iteração o zero dafunção é aproximado pelo ponto médio de cada subintervalo que acontém.
➢ Este método é normalmente utilizado para diminuir o intervalo quecontém o zero da função, para a aplicação de outro método, pois oesforço computacional cresce demasiadamente quando se aumentaa precisão exigida.
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Método da Bissecção
Iteração 1:
21
bam
+=
→
→
0)()(],[
0)()(],[
11
11
afmfbm
mfafma
fixo =
− am1
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Método da Bissecção
Iteração 2:
2
12
mam
+=
→
→
0)()(],[
0)()(],[
1212
22
mfmfmm
mfafma
fixo =
− 21 mm
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Método da Bissecção
Iteração 3:
2
123
mmm
+=
→
→
0)()(],[
0)()(],[
1313
3232
mfmfmm
mfmfmm
fixo =
− 31 mm
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Método da Bissecção
Continua até:
− ji mm
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Como Determinar o Número de Iterações
➢ Como em cada passo, dividimos o intervalo por 2, temos:
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Como Determinar o Número de Iterações
➢ Se o problema exige que o erro cometido seja inferior a umparâmetro , determina-se a quantidade n de iteraçõesencontrando o maior inteiro que satisfaz a inequação:
➢ Isto pode-se resolver como:
( )
( )( )
2ln
lnlnln2lnln
ln2lnlnln2
ln2
−−−−
−−
−
−
abnnab
ababab n
nn
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Método da Bissecção (ALGORITMO)
Seja f(x) contínua em [a,b] e tal que f(a).f(b)<0.
1) Dados Iniciais:a) Intervalo inicial [a,b]b) Precisão
2) Se (b-a) < , então escolha para x qualquer x [a,b]. FIM3) K=14) M=f(a)5) x= (a+b)/26) Se M.f(x)>0, faça a=x. Vá para o passo 8.7) b=x8) Se (b-a) < , então escolha para x qualquer x [a,b]. FIM9) K=k+1. Volte para o passo 5.
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Exemplo 1: Determine uma aproximação para 3 com erro inferior a 10−2.
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Exemplo 1: Determine uma aproximação para 3 com erro inferior a 10−2.
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Exemplo 2: Dada a equação 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 2𝑥4 − 7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥 − 6 = 0,pede-se:
(a) Isolar as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e trêspositivas nos intervalos (-4, 0) e (0, 8), respectivamente.
(b) Considerar o intervalo que contém a menor raiz positiva e estimar onúmero, k, de iterações necessário para calculá-la utilizando o método dabisseção com precisão 0,040.
(c) Utilizando o método da bisseção, calcular a sua menor raiz positiva comprecisão 0,040 e um máximo de (k + 1) iterações.
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Exemplo 2: As figuras a seguir mostram um recipiente na forma de umcilindro circular reto que deve ser construído para conter 1000cm³. Ofundo e a tampa, conforme é mostrado na figura 4.2.a, devem ter um raio0,25cm maior que o raio do cilindro, de modo que o excesso possa serutilizado para formar um lacre com a lateral. A chapa do material usadopara confeccionar a lateral do recipiente, como apresentado na figura4.2.b, deve ser, também, 0,25cm maior para que o lacre possa ser formado.Utilizar o método da Bisseção, com precisão 0.040, máximo de 10iterações e num intervalo de [0, 7], para determinar a quantidade mínimade material a ser utilizada para construir o recipiente.
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Exercícios