Introdução+a+Análise+Funcional+e+Teoria+Espectral - novo (1)

8/18/2019 Introdução+a+Análise+Funcional+e+Teoria+Espectral - novo (1)

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Introduction to functional analysis. (Introdução àanálise funcional.)

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2 AUTHORS, INCLUDING:

Marcelo M. Cavalcanti

Universidade Estadual de Maringá

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INTRODUÇ ÃO À ANÁLISE FUNCIONAL

Marcelo M. Cavalcanti e Valéria N. DomingosCavalcanti

Universidade Estadual de Maringá

Departamento de Matemática

Vilmos Komornik

Université Louis PasteurDépartement de Mathématique

Maringá - Maio de 2010

Maringá

2010


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ii INTRODUÇ ÃO À ANÁLISE FUNCIONAL

Ficha Catalográfica

Cavalcanti, Marcelo M. e Domingos Cavalcanti, Valéria N.

Introdução à Análise Funcional / Marcelo M. Cavalcanti

e Valéria Neves Domingos Cavalcanti/ Maringá/ Vilmos Komornik/

Stasbourg:

UEM/DMA, 2010.

iii, 00p. il.

Livro Texto - Universidade Estadual de Maringá, DMA.

1. Análise Funcional.

2. Teoria Espectral.

3. Introdução as Equações Diferenciais Parciais.


4/457

nome da seção iii

Ao Professor Alvércio Moreira Gomes.


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iv INTRODUÇ ÃO À ANÁLISE FUNCIONAL

Prefácio

Os autores.


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Conteúdo

Introdução 1

1 Os Teoremas de Hahn-Banach e a Teoria das Funções Convexas Conju-

gadas 3

1.1 Formas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Dual Algébrico de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Dual Algébrico de E × F , onde E , F são Espaços Vetoriais Reais . 51.1.3 Formas Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Prolongamento de uma Forma Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2 Um Repasso ao Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 O Teorema de Hahn-Banach - Forma Anaĺıtica . . . . . . . . . . . 16

1.2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . 22

1.3 Funções Convexas e Semicont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Os Teoremas de Banach-Steinhaus e do Gráfico Fechado 51

2.1 Um Repasso ao Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Teorema de Banach-Steinhaus ou da Limitação Uniforme . . . . . . . . . . 55

2.3 Teorema da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5 Operadores Não Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.6 Adjunto de um Operador Linear Não Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . 79

v


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vi INTRODUÇ ÃO À ANÁLISE FUNCIONAL

3 Topologias Fracas - Espaços Reflexivos e Separáveis 87

3.1 Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.1 Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 A Topologia Fraca σ(E, E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3 Topologia Fraca, Conjuntos Convexos e Operadores Lineares . . 108

3.4 A Topologia Fraco ∗ σ(E , E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5 Espaços Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.6 Espaços Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.7 Espaços Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4 Os Espaços de Hilbert 147

4.1 Definição, Propriedades Elementares. Projeção sobre um convexo fechado . 148

4.2 Teorema da Representação de Riesz-Fréchet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.3 Os Teoremas de Lions-Stampacchia e Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . 161

4.4 Soma Hilbertiana. Base Hilbertiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5 Teoria Espectral 175

5.1 Formas Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2 Formas Sesquilineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.3 Operadores Lineares Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.4 Conjuntos Ortonormais Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.5 Subespaços Fechados e o Teorema da Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.6 Adjunto de um Operador Linear Limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.7 Operadores Compactos - O Teorema Espectral para Operadores Compactos

Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.8 Alternativa de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5.9 Operadores Não Li mi t ados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.10 Construção de Operadores Não Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

5.11 Extensões do operador A definido pela terna {V , H, a(u, v)} . . . . . . . . . 3205.12 Conseqüências da Alternativa de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . 324


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nome da seção vii

5.12.1 O Resolvente e o Espectro de um Operador . . . . . . . . . . . . . 324

5.12.2 A Alternativa de Riesz-Fredholm. Operadores Não Limi

tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

5.13 O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos não limitados . . . . . 335

5.14 Cálculo Funcional - Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

5.15 Formulação variacional para os valores próprios . . . . . . . . . . . . . . . 385

6 Introdução as equações diferenciais parciais 405

6.1 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

6.1.1 The space H 1(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

6.1.2 Les espaces H 1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

6.1.3 The space H 10 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

6.1.4 The space H 2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

6.1.5 The dual spaces

H 1(Ω)

and H −1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 421

6.2 Exercises on one-dimensional Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

6.3 Exercises on Sobolev spaces in several space dimensions . . . . . . . . . . . 426

6.4 Elliptic problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

6.4.1 Dirichlet problem I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

6.4.2 Dirichlet problem II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

6.4.3 Neumann problem I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

6.4.4 Neumann problem II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

6.4.5 Spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

7 Evolutionary problems 441

7.1 Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

7.2 Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

Referências bibliográficas 449


9/457

Introdução

1


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11/457

Caṕıtulo 1

Os Teoremas de Hahn-Banach e aTeoria das Funções ConvexasConjugadas

Figura 1.1: Hahn-Banach.

Hans Hahn (1879 - 1934), à esquerda, foi um matemático Austŕıaco que é mais lembradopelo Teorema Hahn-Banach. Ele também realizou contribuições importantes no Cálculodas Variações, desenvolvendo idéias de Weierstrass.

Stefan Banach (1892 - 1945), à direita, foi um matemático Polonês que fundou a AnáliseFuncional Moderna e fez maiores contribuições à teoria de espaços vetoriais topológicos.Além disso, ele contribuiu na teoria de medida e integração e séries ortogonais.

3


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4 INTRODUÇ ÃO À ANÁLISE FUNCIONAL

1.1 Formas Lineares

Seja E um espaço vetorial. Dizemos que uma aplicação f : E → R é uma forma linear sobre o espaço E se

f (x + y) = f (x) + f (y), para todo x, y ∈ E, (1.1)f (λx) = λf (x), para todo x ∈ E e λ ∈ R. (1.2)

Vejamos alguns exemplos. Seja C (a, b) o espaço das funções reais e contı́nuas em [a, b].

Consideremos:

f : C (a, b) → R, x → f (x), onde (1.3)f (x) =

b

a x(t) dt.

δ t0 : C (a, b) → R, x → δ t0(x), onde (1.4)δ t0(x) = x(t0), t0 ∈ [a, b].

Verifique que os exemplos acima, além de estarem bem definidos, constituem formas

lineares sobre C (a, b).

Seja f : E →

R uma forma linear não nula e consideremos x ∈

E tal que f (x) = 0.

Seja, ainda, β ∈ R e definamos λ = βf (x) . Então,

f (λx) = λf (x) = β

f (x)f (x) = β,

ou seja, toda forma linear n˜ ao nula sobre E assume todos os valores reais , isto é, f (E ) = R.

Como conseqüências, podemos escrever que

1) Se f é uma forma linear sobre E e f (x) > α, para todo x ∈ E , então

a) α 0,

b) f (x) = 0, para todo x ∈ E.


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FORMAS LINEARES 5

Sendo E um espaço vetorial, designaremos por E ∗ o conjunto das formas lineares sobre

E , munido das operações definidas por:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), para todo x ∈ E, (1.5)(λf )(x) = λf (x), para todo x

∈E e λ

∈R. (1.6)

Então, E ∗ é um espaço vetorial denominado dual algébrico de E .

1.1.1 Dual Algébrico de R

Sejam α ∈ R e f α : R → R definida por f α(x) = αx, para todo x ∈ R. É claro quef α ∈ R∗. Por outro lado, seja f ∈ R∗ e definamos f (1) = α. Logo,

f (x) = f (x · 1) = xf (1) = α x = f α(x),ou seja, f = f α. Logo,

f ∈ R∗ ⇔ f (x) = α x, para todo x ∈ R (para algum α ∈ R). (1.7)

Definamos,

ϕ : R → R∗

α→

f α.

ϕ é sobrejetora pois dada f ∈ R∗ existe α = f (1) tal que f = f α = ϕ(α).Além disso, se ϕ(α) = ϕ(β ), segue que f α = f β e portanto f α(x) = f β(x), para

todo x ∈ R. Logo, α x = β x para todo x ∈ R o que implica que α = β . Logo, ϕ éinjetiva. Sendo ϕ linear resulta que é um isomorfismo de R sobre R∗. Representaremos o

isomorfismo entre R e R∗ (ou entre dois conjuntos quaisquer) através da seguinte notação:

R ≈ R∗. (1.8)

1.1.2 Dual Algébrico de E × F , onde E, F são Espaços VetoriaisReais

Definimos

E × F = {(x, y); x ∈ E, y ∈ F }


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munido das operações:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), para todo x1, x2 ∈ E e para todo y1, y2 ∈ F λ(x1, y1) = (λx1, λy1), para todo x1 ∈ E, y1 ∈ F e para todo λ ∈ R,

que o tornam um espaço vetorial.

Lema 1.1 (E × F )∗ ≈ E ∗ × F ∗.

Demonstração: Seja f ∈ (E × F )∗. Definamos

f E (x) = f (x, 0), para todo x ∈ E e f F (y) = f (0, y), para todo y ∈ F.

Como f : E × F → R é linear temos que f E ∈ E ∗

, f F ∈ F ∗

e, além disso,

f (x, y) = f ((x, 0) + (0, y)) = f (x, 0) + f (0, y) = f E (x) + f F (y). (1.9)

Do exposto acima, definamos

ψ : (E × F )∗ → E ∗ × F ∗

f → ψ(f ) = (f E , f F ).

Notemos que ψ é uma aplicação injetiva. De fato, sejam f, g ∈ (E × F )∗

tais queψ(f ) = ψ(g). Então, da definição de ψ vem que (f E , f F ) = (gE , gF ), ou seja, f E = gE e

f F = gF , e consequentemente de (1.9) resulta que

f (x, y) = f E (x) + f F (y) = gE (x) + gF (y) = g(x, y), para todo x ∈ E e y ∈ F,

o que implica que f = g e prova a injetividade.

Provaremos, a seguir, que ψ é sobrejetiva. Com efeito, seja (e, h) ∈ E ∗×F ∗ e definamosg(x, y) = e(x) + h(y). Então, g

∈ (E

×F )∗ posto que e, h são formas lineares sobre E e

F , respectivamente. Além disso,

ψ(g) = (gE , gF ) = (e, h),

posto que

gE (x) = g(x, 0) = e(x) + h(0) e gF (y) = g(0, y) = e(0) + h(y)


15/457

FORMAS LINEARES 7

e como h(0) = e(0) = 0, uma vez que e e h são lineares, temos que

gE (x) = e(x), para todo x ∈ E e gF (y) = h(y), para todo y ∈ F,

o que prova a sobrejetividade.

Finalmente, observemos que ψ é uma aplicação linear. De fato, sejam f, g ∈ (E ×F )∗.Então,

ψ(f + g) = ((f + g)E , (f + g)F ) = (f E + gE , f F + gF ) = (f E , f F ) + (gE , gF ) = ψ(f ) + ψ(g).

Analogamente prova-se que ψ(λ f ) = λ ψ(f ) para todo f ∈ (E × F )∗ e para todoλ ∈ R. Logo, ψ é um isomorfismo de (E ×F )∗ sobre E ∗×F ∗ o que nos permite identificartais espaços, o que faremos, conforme já mencionado anteriormente, através da seguinte

notação:

(E × F )∗ ≈ E ∗ × F ∗

Em particular, se E = F = R, então (R2)∗ ≈ R∗×R∗ ≈ R×R = R2. Dáı resulta que sef é uma forma linear sobre o R2, então existem α, β ∈ R tais que f (x, y) = αx +βy ; x, y ∈R.

Se f é uma forma linear sobre E × R, então existe g ∈ E ∗ e α ∈ R tais que f (x, y) =g(x) + αy, x ∈ E, y ∈ R.

1.1.3 Formas Lineares Limitadas

No que segue, ao longo desta seção, E representará um espaço vetorial normado com

norma || · ||E e seja f ∈ E ∗. Se

sup||x||E≤1

|f (x)|


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Assim, se x ∈ E temos que |f (x)| = f (x) se f (x) ≥ 0 e |f (x)| = −f (x) se f (x) < 0.Mas, pela linearidade de f temos que −f (x) = f (−x) e portanto

|f (x)| =

f (x), f (x) ≥ 0f (

−x), f (x) < 0,

e, além disso, se ||x||E ≤ 1, como ||x||E = || − x||E ≤ 1 resulta que

sup||x||E≤1

|f (x)| = sup||x||E≤1

f (x).

Notemos, entretanto, que se f : E → C o m´ odulo é fundamental.

Definamos no espaço das formas lineares e limitadas sobre E , o qual designaremos por

L(E, R), a norma

||f ||L(E,R) = sup||x||E≤1

|f (x)|. (1.11)

A expressão acima realmente define uma norma sobre L(E, R). De fato, verifiquemosprimeiramente a propriedade

(N 1) ||f ||L(E,R) = 0 ⇔ f = 0.

Se f = 0 evidentemente tem-se

||f

||L(E,R) = 0. Agora se sup||x||E≤1

|f (x)

| = 0, conse-

quentemente f (x) = 0 para todo x ∈ E tal que ||x||E ≤ 1. Se y ∈ E é tal que y = 0então, f (y) = ||y||E f (y)||y||E = ||y||E f

y||y||E

= 0 e como f (0) = 0 resulta que f (y) = 0 para

todo y ∈ E .A seguir, veriquemos que se cumpre também a seguinte propriedade

(N 2) ||f + g||L(E,R) ≤ ||f ||L(E,R) + ||g||L(E,R).

De fato, notemos que

|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ | |f ||L(E,R) + ||g||L(E,R), para todo x ∈ E com ||x||E ≤ 1,

o que prova que ||f ||L(E,R) + ||g||L(E,R) é uma cota superior para o conjunto {|f (x) +g(x)|; x ∈ E tal que ||x||E ≤ 1} e portanto

sup||x||E≤1

|(f + g)(x)| = ||f + g||L(E,R) ≤ ||f ||L(E,R) + ||g||L(E,R),


17/457

FORMAS LINEARES 9

o que prova o desjado.

Resta-nos provar que

(N 3) ||λ f ||L(E,R) = |λ|||f ||L(E,R), para todoλ ∈ R.

Com efeito, notemos inicialmente que

|λf (x)| = |λ||f (x)| ≤ |λ| ||f ||L(E,R), para todo x ∈ E com ||x||E ≤ 1,

e, portanto

sup||x||E≤1

|λf (x)| = ||λ f ||L(E,R) ≤ |λ| ||f ||L(E,R).

Por outro lado,

|λ| |f (x)| = |λ f (x)| ≤ | |λ f ||L(E,R) ⇒ |f (x)| ≤ 1|λ| ||λ f ||L(E,R) ( se λ = 0),

donde

||f ||L(E,R) ≤ 1|λ| ||λ f ||L(E,R) ⇒ |λ| ||f ||L(E,R) ≤ ||λ f ||L(E,R) ( se λ = 0).

Combinando as desigualdades acima e notando-se que para λ = 0 a identidade segue

trivialmente, tem-se o desejado.

Lema 1.3 Temos as seguintes igualdades:

||f ||L(E,R) = supx∈E :||x||E=1

|f (x)| = supx∈E :x=0

|f (x)|||x||E

Demonstração: Provemos a primeira das igualdades acima. Como

{x ∈ E ; ||x||E = 1} ⊂ {x ∈ E ; ||x||E ≤ 1},

temos que

supx∈E :||x||E=1

|f (x)| ≤ supx∈E :||x||E≤1

|f (x)|,

ou seja,

supx∈E :||x||E=1

|f (x)| ≤ | |f ||L(E,R). (1.12)


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Por outro lado, dado ε > 0, existe y ∈ E tal que ||y||E ≤ 1, y = 0 e |f (y)| >||f ||L(E,R) − ε. Pondo-se x = y||y||E então, ||x||E = 1 e, além disso,

|f (x)| = |f (y)|||y||E = 1

||y||E |f (y)| ≥ |f (y)| ( já que 1

||y||E ≥ 1).

Assim,

|f (x)| ≥ |f (y)| > ||f ||L(E,R) − ε ⇒ ||f ||L(E,R) − ε < supx∈E :||x||E=1

|f (x)|.

Pela arbitrariedade de ε vem que

||f ||L(E,R) ≤ supx∈E :||x||E=1

|f (x)|. (1.13)

Combinando-se (1.12) e (1.13) tem-se a primeira das identidades.A seguir, provaremos a segunda das identidades. Seja, então, x = 0. Temos que x||x||E E = 1 e portanto

|f (x)|||x||E =

f x||x||E ≤ sup

x∈E :||x||E=1

|f (x)|,

donde

supx∈E :x=0

|f (x)|||x||E ≤

supx∈E :||x||E=1 |

f (x)

|. (1.14)

Por outro lado, dado ε > 0, existe y ∈ E tal que ||y||E = 1 e |f (y)| > ||f ||L(E,R) − ε(note que ||f ||L(E,R) = supx∈E :||x||E=1 |f (x)|). Defindo-se x = λ y, onde λ ∈ R\{0}, resultaque ||x||E = |λ| ||y||E

=1

= |λ|. Logo,

|f (x)|||x||E =

|λ| |f (y)||λ| = |f (y)| > ||f ||L(E,R) − ε,

donde se conclui

||f ||L(E,R) − ε ≤ supx∈E :x=0

|f (x)|||x||E ,

e pela arbitrariedade do ε resulta que

||f ||L(E,R) ≤ supx∈E :x=0

|f (x)|||x||E . (1.15)


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FORMAS LINEARES 11

De (1.14), (1.15) e da primeira identidade tem-se a segunda identidade. Isto encerra

a prova.

Do lema 1.3 decorre que se f : E →

R é uma forma linear limitada, então

|f (x)| ≤ | |f ||L(E,R) ||x||E , para todo x ∈ E. (1.16)

Denotaremos, por simplicidade, E o conjunto L(E, R) das formas lineares e limitadassobre E bem como ||f ||L(E,R) simplesmente por ||f ||E . Usualmente as notações acima sãousadas para formas lineares e cont́ınuas sobre E . Contudo, a limitação da forma implica

na contiuidade da mesma conforme veremos na proposição a seguir.

Proposi̧cão 1.4 Seja f ∈ E ∗

. As seguintes express˜ oes s˜ ao equivalentes:

(1) f é limitada ,

(2) f é contı́nua no ponto x = 0,

(3) f é cont́ınua em E.

Demonstração:

(1)

⇒ (2) Seja f limitada. Então, de acordo com (1.16) resulta que

|f (x)

| ≤||f ||E ||x||E , para todo x ∈ E . Como f (0) = 0 então dado ε > 0 decorre imediatamenteque existe δ = ε||f ||E

tal que se ||x||E < δ então |f (x)| < ε, o que prova a continuidade def em x = 0.

(2) ⇒ (3) Assumamos que f seja cont́ınua em x = 0 e consideremos x0 ∈ E . Então,dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se ||x||E < δ então |f (x)| < ε. Reulta dáı que se x ∈ E é tal que ||x − x0||E < δ , então, em virtude da linearidade de f tem-se |f (x) − f (x0)| =|f (x − x0)| < ε, o que prova a continuidade de f em todo o espaço E .

(3) ⇒ (1) Suponhamos que f seja cont́ınua em todo o espaço E . Em particular, f é cont́ınua em x = 0 e portanto, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se ||x||E < δ então|f (x)| < ε. Consideremos, então, 0 < µ < δ e x ∈ E tal que ||x||E = 1. Então,||µ x||E = µ < δ e assim |f (µ x)| < ε, o que implica que

supx∈E :||x||E=1

|f (µ x)| ≤ ε,


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e, consequentemente,

supx∈E :||x||E=1

|f (x)| ≤ εµ

,

o que prova a limitação de f , e encerra a prova.

Como a soma de funções contı́nuas é uma função contı́nua e o produto de uma função

cont́ınua por um escalar é uma função cont́ınua, decorre que E é um espaço vetorial.

Designaremos, então, por E o espaço vetorial das formas lineares e limitadas (cont́ınuas)

sobre E e o denominaremos o dual topol´ ogico de E . Daqui pra frente E será dotado da

norma dual,

||f ||E = supx∈E :||x||E≤1 |f (x)|,

a menos que se faça menção ao contrário. Quando não houver ambiguidade na inter-

pretação, designaremos ||f ||E simplesmente por ||f || bem como ||x||E simplesmente por||x||.

Evidentemente E ⊂ E ∗. No entanto, E E ∗, ou seja existem formas lineares quenão são cont́ınuas. Como exemplo, consideremos o espaço das funções reais e contı́nuas

em [0, 1], C (0, 1), munido da norma ||f || = 1

0 |f (t)| dt.

Consideremos a aplicação δ 0 : C (0, 1) → R definida por δ 0(f ) = f (0). Observe queδ 0 ∈ (C (0, 1))∗. Contudo, provaremos que δ 0 /∈ (C (0, 1)). Com efeito, seja {f n} umaseqüência de funções contı́nuas dada por

f n(t) =

− 2n2t + 2n, 0 ≤ t


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FORMAS LINEARES 13

Temos:

||f n|| = 10

|f n(t)| dt = 1/n0

| − 2n2t + 2n|dt

= 1/n

0

(

−2n2t + 2n) dt =

−n2t2

|

1/n0 + 2nt

|

1/n0 = 1, para todo n

∈N∗.

Assim,

||δ 0||(C (0,1)) = supx∈C (0,1);||x||C (0,1)=1

|δ 0(x)| ≥ supn

|δ 0(f n)| = supn

2n = +∞,

o que prova que δ 0 não é limitada.

No entanto, quando E tem dimensão finita, temos que E ∗ = E . Vejamos tal fato.

Seja E um espaço vetorial de dimensão n e consideremos {e1, · · · , en} uma base paraE . Se x ∈ E , então x = x1 e1 + · · · + xn en. Consideremos || · || uma norma em E econsideremos

|x|∞ = max{|x1|, · · · , |xn|}.

Logo, |x|∞ também define uma norma em E . Como em um espaço vetorial de dimensãofinita todas as normas são equivalentes (verifique tal afirmação) temos

C 1|x|∞ ≤ ||x|| ≤ C 2|x|∞, para todo x ∈ E,

onde C 1, C 2 são constantes positivas. Seja, então, g ∈ E ∗. Temos

g(x) = g(x1 e1 + · · · + xn en) = x1 g(e1) + · · · + xn g(en),

e, portanto,

|g(x)| ≤ |x1| |g(e1)| + · · · + |xn| |g(en)| ≤ |x|∞ (|g(e1)| + · · · + |g(en)|) =M

≤ M C 1

||x||,

de onde conclúımos, em vista da proposição 1.4, que g ∈ E .

Observação 1.5 No Rn as seguintes normas s˜ ao equivalentes:

||x||1 = |x1| + · · · + |xn|, ||x||2 =

x21 + · · · + x2n, ||x|| p = p

|x1| p + · · · + |xn| p e ||x||∞ = max{|x1|, · · · , |xn|},

onde x =n

i=1 xi ei e {e1, · · · , en} é uma base para o Rn.


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A notaç˜ ao ||x||∞ provém do fato que

lim p→+∞

||x|| p = ||x||∞.

Com efeito, notemos que

max1≤i≤n

{|xi|} p ≤ |x1| p + · · · + |xn| p,donde

max1≤i≤n

{|xi|} ≤ [|x1| p + · · · + |xn| p]1/p

≤

n

max1≤i≤n

{|xi|} p1/p

= p√

n max1≤i≤n

{|xi|}.

Como lim p→+∞ p√ n = 1 da desigualdade acima resulta que

lim p→+∞

[|x1| p + · · · + |xn| p]1/p = max1≤i≤n

{|xi|}.

1.2 Teorema de Hahn-Banach

Antes de apresentarmos o teorema em questão, façamos algumas considerações iniciais.

1.2.1 Prolongamento de uma Forma Linear

Definição 1.6 Seja E um espaço vetorial, G um subespaço de E e g uma forma linear

em G, isto é, g ∈ G∗. Dizemos que uma forma linear h é um prolongamento de g se h(x) = g(x), para todo x ∈ G.

Da definição acima resulta imediatamente que g é um prolongamento de g. Quando

h é um prolongamento de g e D(h) = G (aqui D(h) designa o domı́nio de h), então h édito um prolongamento pr´ oprio de g .

Se h é um prolongamento de g escrevemos g ≤ h.

1.2.2 Um Repasso ao Lema de Zorn

Nesta seção, as noções de conjunto ordenado, limitação superior e elemento maximal

serão discutidas. Todas essas noções serão apresentadas juntas para obtermos a noção de


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TEOREMA DE HAHN-BANACH 15

conjunto indutivamente ordenado e uma vez feito isto, estabeleceremos o Lema de Zorn.

Para nossos propósitos é suficiente considerarmos o Lema de Zorn como um axioma.

Definição 1.7 Seja X um conjunto e R uma relaç˜ ao definida entre alguns elementos

desse conjunto. X é dito parcialmente ordenado sob a relaç˜ ao R se as seguintes condiç˜ oes s˜ ao satisfeitas entre os elementos de X que s˜ ao compar´ aveis com respeito à R:

(1) Seja a ∈ X . Ent˜ ao aRa (reflexividade)(2) Sejam a, b, c ∈ X . Ent˜ ao aRb e bRc ⇒ aRc (transitividade)(3) Para a, b ∈ X se aRb e bRa, ent˜ ao a = b.Além disso, se dado dois quaisquer elementos de X uma das relaç˜ oes

a

Rb ou b

Ra

acontece, ent˜ ao X é dito ser totalmente ordenado.

Exemplo 1: Seja X o conjunto dos números reais e seja R a relação dada por ≤. É claroque para quaisquer números reais a, b e c

(1) a ≤ a,(2) a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c,(3) a

≤b e b

≤a ⇒

a = b.

Além disso, dados a, b ∈ R, uma das relações acontece

a ≤ b ou b ≤ a.

Consequentemente os números reais são totalmente ordenados.

Exemplo 2: Seja X um conjunto arbitrário e S qualquer coleção de subconjuntos de X .

É claro que considerando R como a inclusão de conjuntos(1) Para qualquer A

∈S temos que A

⊂A,

(2) Se A, B,C ∈ S , A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C ,(3) Para A, B ∈ S se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B.Conforme vemos, a inclusão de conjuntos constitui uma ordem parcial sobre S . Con-

tudo, se dois conjuntos são disjuntos , por exemplo, eles n˜ ao s˜ ao compar´ aveis com respeito

a R. Consequentemente S não é totalmente ordenado.


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Se um conjunto X é parcialmente ordenado sob a relação R é natural argumentar-mos sob que condições existe um ‘maior’ elemento em X . Isto motiva-nos as seguintes

definições:

Definição 1.8 Seja X um conjunto parcialmente ordenado sob a relaç˜ ao R e considere-mos A um subconjunto de X . O elemento a ∈ X (n˜ ao necessariamente pertencente a A)é dito uma limitaç˜ ao superior de A se para todo y ∈ A,

yRa.

Convém notar que necessitamos uma limitação superior para um elemento ser ‘com-

parável’ a todo membro do conjunto.

Definição 1.9 Seja X como na definiç˜ ao anterior. O elemento a ∈ X é dito ser um elemento maximal de X se aRy implica que a deve ser igual a y.

No exemplo 2 acima, se estendermos a ordem parcial à coleção P (X ) de todos ossubconjuntos de X , é claro que o conjunto formado pela união de todos os conjuntos em

S é uma limitação superior para S e, qualquer outro subconjunto de P (X ) contendo S étambém uma limitação superior para S ou qualquer subconjunto deste. Essa união pode

não ser um elemento maximal de S uma vez que pode não ser um membro de S

Falando-se claramente, o elemento maximal é uma limitação superior que nenhuma

outra supera.

Definição 1.10 Um conjunto X parcialmente ordenado sob uma relaç˜ ao R é dito indutiva-mente ordenado se qualquer subconjunto totalmente ordenado de X tem uma limitaç˜ ao

superior.

Lema 1.11 (Lema de Zorn) Todo conjunto indutivamente ordenado e n˜ ao vazio possui

um elemento maximal.

1.2.3 O Teorema de Hahn-Banach - Forma Anaĺıtica

Comecemos por um lema.


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Lema 1.12 Sejam E um espaço vetorial e p : E → R uma aplicaç˜ ao tal que

p(λ x) = λ p(x), para todo x ∈ E e λ > 0 p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todo x, y ∈ E,

isto é, p é um funcional positivamente homogêneo e subaditivo em E .

Sejam G um subespaço pr´ oprio de E e g ∈ G∗ tal que g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ G.Ent˜ ao existe um prolongamento pr´ oprio h, de g, verificando h(x) ≤ p(x) para todo x ∈D(h).

Demonstração: Seja x0 ∈ E tal que x0 /∈ G e definamos

H = G + Rx0,

ou seja, H é o subespaço de E definido por

H = {x + tx0; x ∈ G e t ∈ R}.

Sejam x1, x2 ∈ G. Então,

g(x1) + g(x2) = g(x1 + x2) ≤ p(x1 + x2)= p(x1 − x0 + x0 + x2) ≤ p(x1 − x0) + p(x0 + x2),

o que implica que

g(x1) − p(x1 − x0) ≤ p(x0 + x2) − g(x2), para todo x1, x2 ∈ G.

Logo,

supx1∈G

{g(x1) − p(x1 − x0)} ≤ inf x2∈G

{ p(x0 + x2) − g(x2)}.

Seja α ∈ R tal quesup

x1∈G{g(x1) − p(x1 − x0)} ≤ α ≤ inf

x2∈G{ p(x0 + x2) − g(x2)}. (1.17)

Definamos

h(y) = g(x) + t α, para x ∈ G, t ∈ R tal que y = x + t x0, i.é. , y ∈ H.


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Observemos que h está bem definida, pois dado y ∈ H suponhamos que existamx1, x2 ∈ G e t1, t2 ∈ R tais que y = x1+t1 x0 e y = x2+t2 x0. Então, (x1−x2)+(t1−t2)x0 =0. Se t1−t2 = 0 temos que x0 = x2−x1t1−t2 ∈ G, o que é um absurdo! Logo, t1 = t2, e portanto,x1 − x2 = 0, isto é, x1 = x2, provando que h está bem definida. Além disso, h é linear.

De fato, sejam y1, y2 ∈ H e λ ∈ R. Temos:h(y1 + y2) = h[(x1 + t1x0) + (x2 + t2x0)] = h[(x1 + x2) + (t1 + t2)x0]

= g(x1 + x2) + (t1 + t2)α = g(x1) + g(x2) + t1α + t2α

= h(y1) + h(y2);

h(λ y1) = h(λ x1 + (λ t1)x0) = g(λ x1) + (λ t1)α

= λg(x1) + λ(t1α) = λ h(y1),

o que prova a linearidade de h.

Do que vimos acima, h ∈ H ∗, G H e g(x) = h(x) para todo x ∈ G (basta tomart = 0); ou seja, h é um prolongamento próprio de g. Resta-nos demonstrar que h(y) ≤ p(y)para todo y ∈ H , ou seja,

h(x + t x0) ≤ p(x + t x0),ou ainda,

g(x) + t α ≤ p(x + t x0), para todo x ∈ G e t ∈ R. (1.18)

Seja t > 0. Temos de (1.17),

g(x) + t α = t

gx

t

+ α

≤ t

gx

t

+ inf

x2∈G{ p(x2 + x0) − g(x2)}

≤ t

gx

t

+ p

xt

+ x0

− gx

t

( para x2 = x/t)

= t px

t + x0

= p(x + t x0).

Seja t 0. Então,g(x) + t α = τ g x

τ − α

≤ τ

gx

τ

− sup

x1∈G{g(x1) − p(x1 − x0)}

≤ τ

gx

τ

+ p

xτ − x0

− g

xτ

( para x1 = x/τ )

= τ px

τ − x0

= p(x − τ x0) = p(x + t x0),


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o que prova o desejado em (1.18). Se t = 0, então, por hipótese, g(x) + t α = g(x) ≤ p(x) = p(x + t x0), o que finaliza a demonstração do lema.

Teorema 1.13 (Hahn-Banach - Forma Anaĺıtica) Sejam E um espaço vetorial e pum funcional positivamente homogêneo e subaditivo, definido em E . Se G é um subespaço

pr´ oprio de E , g ∈ G∗ e g(x) ≤ p(x), para todo x ∈ G, ent˜ ao existe um prolongamento hde g a E tal que h(x) ≤ p(x), para todo x ∈ E.

Demonstração: Seja P a famı́lia de todos os prolongamentos, h, de g, tais que hé linear e h(x) ≤ p(x), para todo x ∈ D(h), onde D(h) é um subespaço vetorial eordenemos P pondo h1 ≤ h2 se, e somente se, h2 é um prolongamento próprio de h1 (ou

seja, D(h1) D(h2)).Temos que P = ∅ pois g ∈ P . Além disso, se Q é um subconjunto de P , totalmente

ordenado, onde Q = {hi}i∈I , I um conjunto de ı́ndices, podemos definir h pondo D(h) =∪i∈I D(hi) e h(x) = hi(x) se x ∈ D(h) tal que x ∈ D(hi). Note que h está bem definidauma vez que Q é totalmente ordenado e portanto se i1, i2 ∈ I uma das duas possibilidadesocorre D(hi1) ⊂ D(hi2) ou D(hi2) ⊂ D(hi1). No primeiro caso hi2 é um prolongamento dehi1 e no segundo caso hi1 é um prolongamento de hi2, de modo que se x ∈ D(hi1) ∩ D(hi2)resulta que hi1(x) = hi2(x). Além disso, D(h) = ∪i∈I D(hi) é um espaço vetorial sendo

h claramente linear, uma vez que, cada hi o é. Como hi ≤ p para todo i ∈ I , resultaque h(x) ≤ p(x), e, portanto, h ∈ P . Logo, P é indutivamente ordenado (note que h écota superior de Q em P ) e pelo lema de Zorn temos que P possui um elemento maximalf . Como f ∈ P , temos que f ≤ p. Resta-nos verificar que D(f ) = E . Com efeito,suponhamos o contrário, ou seja, que D(f ) é um subespaço próprio de E . Pelo lema 1.12

concluı́mos que existe um prolongamento próprio h, de f , verificando h(x) ≤ p(x), o quecontradiz o fato de f ser elemento maximal de P . Logo, D(f ) = E , o que finaliza a prova.

A seguir, apresentaremos alguns resultados decorrentes do Teorema de Hahn-Banach

quando E é um espaço vetorial normado.

Observação 1.14 Sejam E é um espaço vetorial normado e E o seu dual topol´ ogico.

Quando f ∈ E e x ∈ E escrevemos f, x em lugar de f (x). Ainda, se diz que ·, · é oproduto escalar na dualidade E , E .


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Corolário 1.15 Sejam E um espaço vetorial normado, G um subespaço de E e g ∈ G.Ent˜ ao, existe um prolongamento f de g tal que f ∈ E e ||f ||E = ||g||G.

Demonstração: Definindo-se

p(x) = ||g||G||x||, x ∈ E,

temos que

g(x) ≤ |g(x)| ≤ | |g||G = p(x), ∀x ∈ G.

Assim, pelo Teorema de Hahn-Banach existe um prolongamento f de g a todo E tal

que

f (x)

≤ p(x),

∀x

∈E.

Contudo, temos também que

−f (x) = f (−x) ≤ p(−x) = ||g||G || − x|| = p(x), ∀x ∈ E.

Consequentemente,

|f (x)| ≤ p(x) = ||g||G ||x||, ∀x ∈ E

o que implica,

||f ||E = supx∈X,||x||≤1

|f (x)| ≤ | |g||G,

ou seja,

||f ||E ≤ ||g||G.

Por outro lado, como f (x) = g(x) para todo x ∈ G, temos que

||f ||E = supx∈E,||x||≤1

|f (x)| ≥ supx∈G,||x||≤1

|g(x)| = ||g||G .

Das duas últimas desigualdades acima concluı́mos que ||f ||E = ||g||G .

Corolário 1.16 Seja E um espaço vetorial normado. Ent˜ ao, para cada x0 ∈ E , existe uma forma f 0 ∈ E tal que ||f 0||E = ||x0|| e < f 0, x0 >= ||x0||2.


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Demonstração: Se x0 = 0, temos que f 0 ≡ 0 satisfaz o desejado. Seja x0 = 0 eG := Rx0 = {tx0; t ∈ R}. Definimos g(tx0) = t||x0||2, para todo t ∈ R. Assim,

supx∈G, ||x||=1

|g(x)| = supt∈R, |t|= 1||x0||

|t|||x0||2 = ||x0||.

Sendo g claramente linear, resulta que g ∈ G e ||g||G = ||x0||. Pelo Corolário (1.15)existe um prolongamento f 0 de g a E tal que f 0 ∈ E e ||f 0||E = ||g||G = ||x0||. Aĺemdisso, como x0 ∈ G, temos f 0, x0 = g, x0 = ||x0||2.

Seja E um espaço normado. De um modo geral, se designa para cada x0 ∈ E oconjunto

F (x0) = {f 0 ∈ E ; f 0, x0 = ||x0||2 = ||f 0||2}, (1.19)

Observação 1.17 Pelo Corol´ ario (1.16) resulta imediatamente que F (x0) = ∅ para todox0 ∈ E . Além disso, se E é estritamente convexo (o que é sempre verdade se E é um espaço de Hilbert, ou se E = L p(Ω) com 1 < p


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Observação 1.19 Observemos que no corol´ ario 1.18 temos estabelecido que o supremo

realmente é atingido e consequentemente o ‘supremo’ se transforma em ‘m´ aximo’. Com

efeito,

supf ∈E ,||f ||≤1 |

f, x

|=

||x

||=

f 1, x

, onde f 1

∈E e

||f 1

||= 1.

1.2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach

Dizemos que um conjunto C é convexo se

[t x + (1 − t) y] ∈ C, para todo x, y ∈ C e para todo t ∈ [0, 1]. (1.22)

Seja E um espaço vetorial normado, C ⊂ E um conjunto aberto e convexo tal que0 ∈ C . Para cada x ∈ E , definimos

p(x) = inf {α > 0; xα ∈ C }. (1.23)

O funcional p : E → R é denominado funcional de Minkowski para o convexo C .Notemos que o funcional de Minkowski está bem definido. Com efeito, seja x ∈ E .Se x = 0 então x ∈ C (por hipótese) e, portanto, o conjunto {α > 0; xα ∈ C } = ∅. Sex = 0 então ||x|| = 0 e, como 0 ∈ C e C é aberto, temos que existe r > 0 tal queB

r(0)

⊂C . Assim, se y = µ x

||x|| com 0 < µ < r resulta que

||y|| = µ < r ⇒ y ∈ Br(0) ⊂ C.

Desta forma, α = ||x||µ

∈ {α > 0; xα ∈ C }. Logo, em ambos os casos, temos quje

{α > 0; xα ∈ C } = ∅, qualquer que seja x ∈ E tendo sentido tomarmos o ı́nfimo desteconjunto.

Propriedades do Funcional p

1) p(λ x) = λ p(x), para todo λ ≥ 0 e para todo x ∈ E .2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para todo x, y ∈ E .3) Existe M > 0 tal que p(x) ≤ M ||x||, para todo x ∈ E .4) C = {x ∈ E ; p(x) < 1}.

Demonstração: Provemos as propriedades acima.


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1) Temos que p(λ x) = inf {α > 0; λ xα ∈ C }. Se λ = 0, a identidade segue trivialmente.Agora se λ = 0, pondo β = αλ temos que α = λ β e, conseqüentemente,

p(λ x) = inf {λ β > 0; xβ ∈ C } = λ inf {β > 0; x

β ∈ C } = λ p(x).

2) Seja ε > 0 e consideremos x, y ∈ E . Então, em virtude da definição do funcionalde Minkowski, existem α, β > 0 tais que xα ∈ C , yβ ∈ C , α < p(x) + ε2 e β < p(y) + ε2 .

Como 0 < αα+β 0 tal que Br(x) ⊂ C . Tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < r||x|| , logo||x + εx − x|| = ε||x|| < r. Assim, x + εx ∈ Br(x) ⊂ C , ou seja, (1 + ε)x ∈ C , ou ainda,

x1

1+ε

∈C . Donde, p(x)

≤ 11+ε 0 suficientemente pequeno,temos que existe α > 0 tal que xα ∈ C e p(x) ≤ α < p(x)+ε


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Dizemos que H é um hiperplano de equação [f = α].

Exemplo: Seja E = R2. Então f (x, y) = ax + by onde a, b ∈ R\{0}. Temos,

H = {(x, y) ∈ R2; ax + by = α}.

Analogamente, se E = R3, temos que

H = {(x,y,z ) ∈ R3; ax + by + cz = α}.

Podemos usar ainda a seguinte notação para o R2: f = (a, b), X = (x, y) e f, X =(a, b), (x, y) = ax + by.

Sejam H o hiperplano de E de equação [f = α] e a ∈ H . Então,

H − a é um subespaço de E. (1.24)Com efeito, seja x ∈ H − a. Então, x = y − a com y ∈ H donde f (x) = f (y) − f (a) =

α−α = 0. Reciprocamente, seja x ∈ E tal que f (x) = 0. Então, f (x+a) = f (x) +f (a) =0 + α = α, isto é, x + a ∈ H e portanto x ∈ H − a. Logo,

H − a = {x ∈ E ; f (x) = 0} = f −1({0}) = ker(f )(subespaço de E ),

o que prova (1.24). Temos ainda que

E = (H − a) ⊕ Rx0, para algum x0 ∈ E. (1.25)

De fato, observemos que H − a = E posto que f = 0 (f não identicamente nula). Sejax0 ∈ E \(H −a) tal que f (x0) = 1. Tal x0 é obtido da seguinte forma: seja x1 ∈ E \(H −a)tal que f (x1) = 0 (lembre que toda forma linear não nula assume todos os valores de R),isto é, f (x1) = α1 = 0. Assim, f

x1α1

= 1 e basta tomarmos x0 =

x1α1

. Então, sempre

podemos escolher x0 ∈ E \(H − a) tal que f (x0) = 1. Isto posto, H − a e Rx0 sãosubespaços de E com (H − a) ∩ Rx0 = {0}. Obviamente, (H − a) ⊕ Rx0 ⊂ E . Resta-nosmostrar que E

⊂ (H

−a)

⊕ Rx0. Com efeito, seja x

∈ E e definamos y = x

−f (x) x0.

Temos

f (y) = f (x) − f (x) f (x0) =1

= 0,

e, portanto, y ∈ H − a. Logo, x = y + f (x) x0 ∈ (H − a) ⊕ Rx0, o que prova o desejadoem (1.25).


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Proposi̧cão 1.21 O hiperplano H de equaç˜ ao [f = α] é fechado se, e somente se, f é

cont́ınua.

Demonstração: Se f é contı́nua temos, pelo fato de [f = α] = f −1({α}) e a imageminversa de um conjunto fechado ser fechada, que H = [f = α] é fechado.

Reciprocamente, seja H fechado. Como E \H = ∅, posto que f (E ) = R e f (H ) = {α},resulta que existe x0 ∈ E tal que x0 /∈ H . Como E \H é aberto, então existe r > 0 talque Br(x0) ⊂ E \H . Como x0 ∈ E \H segue que f (x0) = α e consequentemente podemossupor, sem perda da generalidade que f (x0) < α. Mostraremos que para todo x ∈ Br(x0)temos que f (x) < α. Com efeito, suponhamos o contrário, que exista x1 ∈ Br(x0) tal quef (x1) ≥ α. Como Br(x0) é um conjunto convexo temos que

t x1 + (1 − t)x0 ∈ Br(x0), para todo t ∈ [0, 1],

e pelo fato de Br(x0) ⊂ E \H decorre que

f (t x1 + (1 − t)x0) = α, para todo t ∈ [0, 1].

Por outro lado, f (x1) ≥ α implica que

f (x1) − f (x0) ≥ α − f (x0) ⇒ 0 < α − f (x0)f (x1) − f (x0) ≤ 1.

Definamos, em particular, t = α−f (x0)f (x1)−f (x0)

. Conseqüentemente,

f (t x1 + (1 − t)x0) = f (t(x1 − x0) + x0) = t f (x1 − x0) + f (x0)= t[f (x1) − f (x0)] + f (x0)= α − f (x0) + f (x0) = α,

o que é um absurdo! Logo, para todo x ∈ Br(x0) temos que f (x) < α. Seja r1 > 0 talque Br1(x0) ⊂ Br(x0). Note que se x ∈ Br1(x0) temos que x = x0 + r1 z , onde z ∈ B1(0).Assim,

f (x) = f (x0 + r1 z ) < α

⇒f (x0) + r1f (z ) < α,

ou ainda,

f (z ) < α − f (x0)

r1


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Observação 1.22 Se tivéssemos suposto na proposiç˜ ao anterior que f (x0) > α, mostrarı́amos

que para todo x ∈ Br(x0) terı́amos f (x) > α. Usaŕıamos, neste caso, t = f (x0)−αf (x0)−f (x1)para gerar o absurdo. Da mesma forma, ent˜ ao, f (x) = f (x0 + r1 z ) > α, isto é,

f (x0) + r1 f (z ) > α ou ainda,

f (−z ) = −f (z ) < f (x0) − αr1

, para todo z ∈ B1(0) ⇒ supz∈E ;||z||≤1

|f (z )| 0 tal que

f (x) ≤ α − ε, para todo x ∈ A e f (y) ≥ α + ε, para todo y ∈ B.

Geometricamente, a separaç˜ ao significa que A e B se situam em lados opostos de H .

A

B

H

Figura 1.3: H separa A e B

Lema 1.24 Sejam E um espaço normado, C ⊂ E um conjunto convexo, aberto e n˜ ao-vazio e x0 ∈ E tal que x0 /∈ C . Ent̃ ao existe f ∈ E tal que f (x) < f (x0), para todox ∈ C . Em particular, o hiperplano de equaç˜ ao [f = f (x0)] separa {x0} de C no sentidolato.

Demonstração: Suponhamos, sem perda da generalidade, que 0 ∈ C , pois caso 0 /∈ C ,consideramos o conjunto C = C − a, onde a ∈ C . Temos que C = ∅, convexo e abertoposto que C o é. Admitindo-se que o resultado seja verdadeiro para C , isto é, que

exista f ∈ E tal que f (x) < f (x0), para todo x ∈ C com x0 /∈ C , então o mesmo severifica para C . De fato, seja x0 ∈ E tal que x0 /∈ C . Então, existe f ∈ E tal que


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f (x) < f (x0 − a /∈C

), para todo x ∈ C . Logo, f (y − a) < f (x0 − a), para todo y ∈ C

e, portanto, f (y) − f (a) < f (x0) − f (a), para todo y ∈ C donde f (y) < f (x0), paratodo y ∈ C . Podemos, então, supor, sem perda da generalidade, que 0 ∈ C e mostrar odesejado.

Seja 0 ∈ C e consideremos p o funcional de Minkowski para o convexo C . Seja x0 ∈ E tal que x0 /∈ C . Então, p(x0) ≥ 1 posto que C = {x ∈ E ; p(x) < 1}. Ponhamos G = Rx0e g : G → R dada por g(t x0) = t. Temos que g ∈ G∗. Além disso,

Se t ≥ 0, g(t x0) = t ≤ p(x0)≥1

t p(x0) = p(t x0)

Se t


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o que prova (1.26).

A seguir, provaremos que

2) C é aberto. (1.27)

Com efeito, podemos escrever C = ∪y∈B{A − y + x0} e, portanto, C é a unĩao deuma famı́lia de conjuntos abertos, uma vez que A é aberto e a translação de um conjunto

aberto é um conjunto aberto, o que prova (1.27).

Finalmente afirmamos que

x0 /∈ C. (1.28)

De fato, suponhamos que x0

∈C . Então, existem a

∈A e b

∈B tais que x0 = a

−b+x0,

isto é, a = b, e, portanto, A ∩ B = ∅, o que é um absurdo, ficando provado (1.28).Logo, pelo lema 1.24 existe f ∈ E tal que f (x) < f (x0), para todo x ∈ C , ou seja,

f (a − b + x0) < f (x0), para todo a ∈ A e para todo b ∈ B, isto é, f (a) < f (b), para todoa ∈ A e para todo b ∈ B. Assim,

supx∈A

f (x) ≤ inf y∈B

f (y).

Seja α ∈ R tal que

supx∈A

f (x) ≤ α ≤ inf y∈B

f (y).

Então, f (x) ≤ α ≤ f (y), para todo x ∈ A e para todo y ∈ B. Como f ∈ E segueda proposição 1.21 que o hiperplano de equação [f = α] é fechado e, em virtude da

desigualdade anterior, a prova está completa.

Teorema 1.26 (2a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um

espaço vetorial normado, A, B ⊂ E subconjuntos convexos, disjuntos e n˜ ao vazios. Se A for fechado e B for um compacto, ent˜ ao existe um hiperplano fechado que separa A e B

no sentido estrito.

Demonstração: Seja ε > 0 e ponhamos Aε = A + Bε(0), conforme ilustra a figura

abaixo.


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A

Aε

ε

Figura 1.4: Aε = A + Bε(0)

Afirmamos que

Aε é convexo. (1.29)

De fato, sejam w, v ∈ Aε e t ∈ [0, 1]. Então, w = a1 + ε z 1 e v = a2 + ε z 2 ondea1, a2 ∈ A e z 1, z 2 ∈ B1(0). Temos:

t w + (1 − t)v = t[a1 + ε z 1] + (1 − t)[a2 + ε z 2]= [t a1 + (1 − t)a2]

∈A

+ε [t z 1 + (1 − t)z 2] ∈B1(0)

∈ Aε,

o que prova (1.29).

Analogamente prova-se que

Bε = B + Bε(0) ́e convexo. (1.30)

Notemos que

Aε é aberto pois Aε = ∪x∈A(x + Bε(0)). (1.31)

A seguir, provaremos que

Aε ∩ Bε = ∅ para algum ε > 0. (1.32)

De fato, suponhamos o contrário, ou seja, que para todo ε > 0, Aε ∩ Bε = ∅. Então,pondo εn =

1n

, temos que para cada n

∈ N∗, existem xn

∈ A, yn

∈ B e z 1n, z 2n

∈ B1(0)

tais que

xn + εn z 1n = yn + εn z 2n.

Portanto,

||xn − yn|| = εn||z 2n − z 1n|| ≤ 1n

[||z 1n|| + ||z 2n||] ≤ 2n

.


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Como B é compacto, existe {ynk} ⊂ {yn} tal que ynk → y em B quando k → +∞.Assim,

||xnk − y| |≤ | |xnk − ynk || + ||ynk − y|| → 0, quando k → +∞,

o que implica que xnk → y, onde, como já vimos, y ∈ B . Como A é fechado, resulta quey ∈ A e, desta forma, A ∩ B = ∅, o que um absurdo já que tais conjuntos são disjuntos.Isto prova (1.32) Logo, existe ε0 > 0 tal que Aε0 ∩ Bε0 = ∅. Pela 1a Forma Geométrica doTeorema de Hahn-Banach, existe um hiperplano fechado de equação [f = α] que separa

Aε0 e Bε0 no sentido lato, isto é,

f (x + ε0 z 1) ≤ α ≤ f (y + ε0 z 2), para todo x ∈ A, y ∈ B e z 1, z 2 ∈ B1(0).

Em particular, se z 2 =

−z 1 resulta que

f (x) + ε0 f (z 1) ≤ α ≤ f (y) − ε0f (z 1), para todo x ∈ A, y ∈ B e z 1 ∈ B1(0). (1.33)

Tomando o supremo em z 1 na 1a desigualdade em (1.33) obtemos

f (x) + ε0||f || ≤ α ⇒ f (x) ≤ α − ε0||f ||, para todo x ∈ A.

Analogamente tomando o supremo em z 1 na 2a desigualdade em (1.33) vem que

f (y)

≥α + ε0

||f

||, para todo y

∈B.

Combinando as duas últimas desigualdades acima, fica provado o desejado.

Observação 1.27 ´ E imprescind́ıvel no Teorema acima que B seja compacto pois se B

fosse apenas fechado nem sempre o Teorema se verifica. Vejamos o exemplo abaixo.

Mais além, se a dimens˜ ao de E é infinita, se constr´ oi um exemplo onde A e B s˜ ao

dois conjuntos convexos, n˜ ao vazios e disjuntos tais que n˜ ao existe nenhum hiperplano

fechado que separa A e B no sentido lato. Contudo, se E é um espaço de dimens˜ ao finita

sempre podem ser separados em sentido lato dois convexos A e B n˜ ao vazios e disjuntos.

Corolário 1.28 Sejam E um espaço vetorial e F um subespaço de E tal que F = E .Ent˜ ao existe f ∈ E , f = 0 (n˜ ao identicamente nula) tal que f, x = 0, para todo x ∈ F .


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FUNÇ ÕES CONVEXAS E SEMICONTÍNUAS 31

hipérbole

B (fechado)

fechado A

Figura 1.5: A é um hiperplano fechado e B é a região fechada de um lado da hipérboleque tem o hiperplano como asśıntota.

Demonstração: Seja x0 ∈ E talque x0 /∈ F . Como F é subespaço de E temos que F também o é e, consequentemente é convexo. Logo, F é convexo e fechado; {x0} é convexoe compacto e F ∩{x0} = ∅. Pela 2a Forma geométrica do teorema de Hahn-Banach, existeum hiperplano fechado que separa F e {x0} no sentido estrito, isto é, existem f ∈ E (

veja proposição 1.21), f = 0 e α ∈ R tais quef (x) ≤ α − ε, para todo x ∈ F e f (x0) ≥ α + ε, para algum ε > 0.

Em particular,

f (x) < α < f (x0), para todo x ∈ F.

Considerando g = f |F , concluı́mos que g(x) < α para todo x ∈ F o que implica queg ≡ 0 (veja ińıcio da seção 1.1), ou seja, f, x = 0 para todo x ∈ F , o que encerra aprova.

Aplicação do Corolário Anterior: O corolário acima é frequentemente aplicado para demons-

trar quando um subespaço vetorial F ⊂ E é denso em E , ou seja, para mostrar o seguinteresultado:

Corolário 1.29 Sejam E um espaço vetorial normado e F um subespaço vetorial de E .

Se para toda forma f ∈ E tal que f, x = 0, para todo x ∈ F se tem f ≡ 0 (i.é. f, x = 0para todo x

∈E ), ent˜ ao F é denso em E (ou seja, F = E ).

1.3 Funções Convexas e Semicont́ınuas

Começamos com uma definição.

Definição 1.30 Sejam E um conjunto genérico e f : E →] − ∞, +∞] uma aplicaç˜ ao.


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f f

•◦

◦•

x0V (x0) x0

V (x0)

R R

E E

Figura 1.7: À esquerda f é s.c.i. em x0 enquanto que à direita f é s.c.s. em x0.

Dizemos que f é s.c.s. em F ⊂ E se f é s.c.s. em cada ponto de F .Note que se f for s.c.s. então −f será s.c.i.As figuras acima ilustram exemplos de funções s.c.i e s.c.s. x0. Se E = R, por exemplo,

a s.c.i. em x0 seria uma espécie de continuidade pela esquerda de x0, sendo que os valores

de f (x) para x > x0 devem se manter estritamente maiores que f (x0) − ε, enquanto quea s.c.s. seria uma espécie de continuidade pela direita , sendo que os valores de f (x) para

x < x0 devem se manter estritamente menores que f (x0) + ε.

Para facilitar a compreensão, veremos, a seguir, uma forma diferente de enfocar os

conceitos acima quando E é um espaço métrico. Para isso, recordemos o conceito de

limite inferior e superior que passamos a definir.

Sejam E um espaço métrico, f : E → [−∞, +∞] uma função e x0 ∈ E . Denominamoslimite superior da função f em x0, e denotamos por lim supε→0 f (x), à quantidade (finita

ou infinita)

limε→0

sup

x∈Bε(x0)

f (x)

.

De maneira análoga, denominamos limite inferior da função f em x0 e denotamos por

liminf ε→0 f (x), à quantidade (finita ou infinita)

limε→0

inf x∈Bε(x0)

f (x) .Uma definição equivalente à de semicontinuidade é a seguinte:

a) Dizemos que f é semicont́ınua superiormente no ponto x0 se

limsupx→x0

f (x) ≤ f (x0).


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b) Dizemos que f é semicontı́nua inferiormente no ponto x0 se

liminf x→x0

f (x) ≥ f (x0).

Mostremos a equivalência das definições para as funções s.c.i. em x0 , ou seja, provare-

mos que

lim inf x→x0

f (x) ≥ f (x0) ⇔ ∀ε > 0, ∃V (x0) tal que f (x) > f (x0) − ε, ∀x ∈ V (x0) ∩ E.(1.34)

Demonstração: (⇐) Seja ε > 0 dado. Então, existe V (x0) tal que f (x) > f (x0)−ε, paratodo x ∈ V (x0). Assim, existe Brε(x0) tal que f (x) > f (x0) − ε, para todo x ∈ Brε(x0).Se rε ≥ ε temos que f (x) > f (x0) − ε para todo x ∈ Bε(x0) e, portanto,

inf x∈Bε(x0)

f (x)≥

f (x0)−

ε⇒

limε→0 inf x∈Bε(x0) f (x) ≥ f (x0).

Se rε < ε, temos que f (x) > f (x0) − ε, para todo x ∈ Brε(x0) e 0 ≤ limε→0 rε ≤limε→0 ε = 0. Assim,

inf x∈Brε(x0)

f (x) ≥ f (x0) − ε ⇒ limε→0

inf

x∈Brε (x0)f (x)

≥ f (x0),

o que implica que

limrε→0 f (x) inf x∈Brε(x0) f (x) ≥ f (x0).(⇒) Suponhamos o contrário, ou seja, que exista ε0 > 0 tal que para toda V (x0) exista

x ∈ V (x0) tal que f (x) ≤ f (x0) − ε0. Em particular, se V (x0) = B1/n(x0) temos queexiste xn ∈ B1/n(x0) tal que f (xn) ≤ f (x0) − ε0, para todo n ∈ N∗, isto é,

inf x∈B1/n(x0)

f (x) ≤ f (xn) ≤ f (x0) − ε0.

Assim,

limn→+∞

inf

x∈B1/n(x0)f (x)

≤ f (x0) − ε0 < f (x0),

o que é um absurdo (!) pois, por hipótese,

limε→0

inf

x∈Bε(x0)f (x)

≥ f (x0),


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o que prova a equivalência em (1.34).

Exemplos:

Consideremos a função f : R → R dada por

f (x) = 1, x > 0,− 1, x ≤ 0

◦

•

1

−1

x0

Figura 1.8: f é s.c.i. em R mas não é s.c.s. em 0.

f é s.c.i. em R posto que é contı́nua em R\{0} e f (0) = −1 ≤ liminf x→0 f (x). Porém,f não é s.c.s. em x = 0.

Analogamente, a função f : R → R dada por

f (x) =

1, x ≥ 0,− 1, x


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Exemplos:

a) A função caracterı́stica de um conjunto aberto A ⊂ E , χA, dada por

χA(x) = 1, x ∈ A,

0, x /∈ A,é s.c.i.. Com efeito,

N (λ, χA) = {x ∈ E ; χA(x) ≤ λ}.Se λ < 0, N (λ, χA) = {x ∈ E ; χA(x) ≤ λ} = ∅.Se λ = 0, N (0, χA) = {x ∈ E ; χA(x) ≤ 0} = E \A.Se 0 < λ < 1, N (λ, χA) = {x ∈ E ; χA(x) ≤ λ} = E \A.

Se λ = 1, N (1, χA) = {x ∈ E ; χA(x) ≤ 1} = E.Se λ > 1, N (λ, χA) = {x ∈ E ; χA(x) ≤ λ} = E.

Esses conjuntos são todos fechados.

b) A função indicatriz de um conjunto fechado A, I A, dada por

I A(x) =

0, x ∈ A,+ ∞, x /∈ A,

é s.c.i. Com efeito

Se λ < 0, N (λ, I A) = {x ∈ E ; I A(x) ≤ λ} = ∅.Se λ = 0, N (0, I A) = {x ∈ E ; I A(x) ≤ 0} = A.Se λ > 0, N (λ, I A) = {x ∈ E ; I A(x) ≤ λ} = A.

Analogamente ao exemplo anterior os conjuntos acima são todos fechados.

Lema 1.34 (Resultado 4) Para que f : E

→R seja s.c.i. é necess´ ario e suficiente que

o epigr´ afico de f seja fechado em E × R.

Demonstração: (⇒) Seja f s.c.i. e então mostraremos que (E × R)\epi(f ) é abertoem E × R. Como

(E × R)\epi(f ) = {(x, λ) ∈ E × R; f (x) > λ},


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se (x0, λ0) ∈ (E × R)\epi(f ) temos que f (x0) > λ0. Pelo Resultado 2, decorre queexiste V (x0), vizinhança de x0 em E , tal que f (x) > µ para todo x ∈ V (x0), ondeλ0 < µ < f (x0). Afirmamos que

V (x0, λ0) = V (x0)×] − ∞, µ[⊂ (E × R)\epi(f ). (1.35)

De fato, seja (x, λ) ∈ V (x0, λ0). Então, x ∈ V (x0) e −∞ < λ < µ. Como f (x) > µ,resulta que f (x) > λ e, portanto, (x, λ) ∈ (E × R)\epi(f ), o que prova (1.35) implicandoque (E × R)\epi(f ) é aberto conforme querı́amos provar.

(⇐) Reciprocamente se epi(f ) é fechado, então (E ×R)\epi(f ) é aberto e desta forma,se (x0, λ0) ∈ (E × R)\epi(f ), existe uma vizinhança V (x0, λ0) ⊂ (E × R)\epi(f ), ou seja

Se (x1, λ1) ∈ V (x0, λ0) então f (x1) > λ1.

Mostraremos que f é s.c.i. em E , utilizando o Resultado 2. Com efeito, seja x0 ∈ E e λ ∈ R tal que λ < f (x0). Então, (x0, λ) ∈ (E × R)\epi(f ) e, portanto, existe umavizinhança V (x0, λ) tal que V (x0, λ) ⊂ (E × R)\epi(f ). Seja πE [Br(x0, λ)] a projeçãode Br(x0, λ) ⊂ V (x0, λ) sobre E e consideremos y ∈ πE [Br(x0, λ)]. Assim, f (y) > λ,pois (y, λ) ∈ V (x0, λ) ⊂ (E × R)\epi(f ). Logo, pondo V (x0) = πE [Br(x0, λ)] (vejadiagramação abaixo) segue do Resultado 2 o desejado.

R

E

epi(f )

(E

×R)

\epi(f )

x0( )

λ V (x0, λ)

πE [Br(x0, λ)]

r

Figura 1.10: diagramação

Definição 1.35 Sejam E um espaço topol´ ogico e {f i}i∈I uma famı́lia de funç˜ oes f i : E →

[−∞, +∞]. A funç˜ ao ϕ : E → [−∞, +∞] definida por ϕ(x) = sup

i∈I {f i(x)},

é denominada inv´ olucro superior de {f i}i∈I . Analogamente, a funç˜ ao ψ : E → [−∞, +∞],definida por

ψ(x) = inf i∈I

{f i(x)},


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é denominada inv´ olucro inferior de {f i}i∈I .

Lema 1.36 (Resultado 5) O invólucro superior de uma famı́lia {f i}i∈I , é s.c.i. é uma funç˜ ao s.c.i..

Demonstração: Seja ϕ(x) = supi∈I {f i(x)}. Afirmamos que

epi(ϕ) =i∈I

epi(f i). (1.36)

Com efeito, se (x, λ) ∈ epi(ϕ), temos que ϕ(x) ≤ λ e, conseqüentemente, f i(x) ≤ λ,para todo x ∈ I . Logo, (x, λ) ∈ epi(f i), para todo i ∈ I . Reciprocamente, seja (x, λ) ∈

i∈I epi(f i). Então, f i(x) ≤ λ para todo i ∈ I donde supi∈I {f i(x)} ≤ λ. Assim, ϕ(x) ≤ λ,

e portanto, (x, λ)

∈ epi(ϕ), o que prova (1.36). Como cada epi(f i) é fechado, posto que

cada f i é s.c.i. (Resultado 4), e a interseção arbitrária de fechados é fechada, vem que

epi(ϕ) é fechado e consequentemente ϕ é s.c.i.

A seguir, apresentamos dois resultados cujas demonstrações são imediatas e portanto

serão suprimidas. São eles:

Lema 1.37 (Resultado 6) A soma de duas funç˜ oes s.c.i. é s.c.i..

Lema 1.38 (Resultado 7) O produto de duas funç˜ oes n˜ ao-negativas s.c.i. é s.c.i..

Lema 1.39 (Resultado 8) Se f : E → R é uma aplicaç˜ ao pr´ opria, s.c.i. e E é com-pacto, ent˜ ao f atinge seu ı́nfimo em D(f ).

Demonstração: Definamos

m = inf x∈E

f (x).

Note que m está bem definido, pois como f é própria, f = +∞ (f é não identicamente+∞) e, portanto, m m, temos que N (λ, f ) = {x ∈ E ; f (x) ≤ λ} éfechado em virtude do Resultado 3 e a famı́lia N (λ, f ) é totalmente ordenada por inclusão,

ou seja, se λ1 ≤ λ2 temos que N (λ1, f ) ⊂ N (λ2, f ). Além disso, pela propriedade deı́nfimo segue que N (λ, f ) = ∅, para todo λ > m [Note que se existir λ > m tal que


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donde (t x + (1 − t) y , t λ + (1 − t) µ) ∈ epi(ϕ), ou seja, t(x, λ) + (1 − t)(y, µ) ∈ epi(ϕ).(⇐) Reciprocamente, sejam x, y ∈ C e t ∈ [0, 1]. Como ϕ(x) ≤ ϕ(x) e ϕ(y) ≤ ϕ(y)

vem que (x, ϕ(x)), (y, ϕ(y)) ∈ epi(ϕ). Logo,

t(x, ϕ(x)) + (1 − t)(y, ϕ(y))= (t x + (1 − t)y , t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y)) ∈ epi(ϕ),

ou seja, ϕ(t x + (1 − t)y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y).

Lema 1.42 (Resultado 10) Se a funç˜ ao ϕ : C →] − ∞, +∞], onde C é convexo, é convexa, então N (λ, ϕ), λ

∈R, é um conjunto convexo.

Demonstração: Sejam λ ∈ R, x, y ∈ N (λ, ϕ) e t ∈ [0, 1]. Então, ϕ(x) ≤ λ e ϕ(y) ≤ λ.Logo,

ϕ(t x + (1 − t)y) ≤ t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y)≤ t λ + (1 − t)λ = λ.

Observação 1.43 Notemos que a rećıproca do resultado 10 não é verdadeira. Consider-

emos a funç˜ ao:

ϕ(x) =

x2, x ≤ 0,x2 + 1, x > 0.

R

x

◦1•

−√ λ √ λ − 1

λ



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Ent˜ ao,

N (λ, ϕ) = {x ∈ R; ϕ(x) ≤ λ}.Se λ 1, {x ∈ R; ϕ(x) ≤ λ} = [−

√ λ, 0]∪]0,

√ λ − 1[= [−

√ λ,

√ λ − 1].

Os conjuntos acima são convexos, mas ϕ n˜ ao é convexa. De fato, considere x = − 12 ,y = 1

2 e t = 1

4 (1 − t = 3

4). Daı́, ϕ(−1/2) = 1/4, ϕ(1/2) = 5/4, e

t ϕ(x) + (1

−t) ϕ(y) =

1

4

1

4

+ 3

4

5

4

= 1

16

+ 15

16

= 1.

Por outro lado,

t x + (1 − t)y = 14

−1

2

+

3

4

1

2 = −1

8 +

3

8 =

1

4,

e, assim,

ϕ(t x + (1 − t)y) = ϕ(1/4) = 116

+ 1 > 1 = t ϕ(x) + (1 − t) ϕ(y),

o que prova o desejado.

No que segue, consideraremos E um espaço vetorial normado.

Proposição 1.44 Seja ϕ : E →] − ∞, +∞] uma aplicaç˜ ao convexa, s.c.i. e pr´ opria.Ent˜ ao, existe uma reta afim, f − β , onde f ∈ E e β ∈ R tal que f (x) − β < ϕ(x), para todo x ∈ E .

Demonstração: Como ϕ é própria, existe x0 ∈ E tal que x0 ∈ De(ϕ), ou seja, ϕ(x0) <

+∞. Seja λ0 ∈ R tal que ϕ(x0) > λ0. Então, (x0, λ0) /∈ epi(ϕ). Como epi(ϕ) é umconjunto convexo ( Resultado 9), fechado (Resultado 4) e não vazio (pois ϕ é uma funçãoprópria) de E ×R e {(x0, λ0)} é um conjunto convexo e compacto de E ×R onde epi(ϕ) ∩{(x0, λ0)} = ∅, vem, pela 2a Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach que existemφ ∈ (E × R) e α ∈ R tais que

φ(x, λ) ≤ α − ε < α ≤ α + ε ≤ φ(x0, λ0), para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ).


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Como φ ∈ (E × R), existem g ∈ E e k ∈ R (veja subseção 1.1.2) tais que

φ(x, λ) = g, x + k λ, para todo x ∈ E e λ ∈ R.

Assim,

g, x + k λ ≤ α − ε < α ≤ α + ε ≤ g, x0 + k λ0, para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ).

Em particular, para (x0, ϕ(x0)) ∈ epi(ϕ) resulta que

k ϕ(x0) < α < k λ0 ⇒ k(ϕ(x0) − λ0) < 0.

Mas, como ϕ(x0) > λ0, a desigualdade acima implica que k


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A função ϕ∗ definida acima é denominada conjugada (ou polar) da ϕ.

Vejamos um exemplo: Seja ϕ : R → R dada por ϕ(x) = x2. Como ϕ está nas condiçõesda proposição 1.44, existe f ∈ R ≡ R e β ∈ R tais que f, x − β < ϕ(x). Logo, existea

∈R tal que

f, x

= a x para todo x

∈R e, portanto,

a x − β < ϕ(x), para todo x ∈ R,

ou ainda,

a x − x2 < β , para todo x ∈ R.

Logo, pondo

(x2)∗(a) = supx∈R{

a x−

x2

}temos que (x2)∗(a) = a

2

4 pois o máximo é assumido quando d

dx(a x − x2) = 0, ou seja, em

x = a2 . Portanto,

(x2)∗(a) = supx∈R

(a x − x2) = a a2 − a

2

4 =

a2

4 .

R

Ra2

a2

4

ϕ(x) = x2

y = a x − a2

4


Então, a reta y = a x − a24

é a reta que minora ϕ(x) = x2. Note que realmente esta

reta é tangente ao gráfico de ϕ no ponto (a/2, a 2/4).


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Proposi̧cão 1.46 A conjugada de uma funç˜ ao ϕ : E →] − ∞, +∞], ϕ∗, é convexa e s.c.i..

Demonstração: Para cada x ∈ E , temos que f, x é uma função linear e cont́ınuasobre E , pois f

∈E e ϕ(x) é um número fixo. Com efeito, definamos, para cada x

∈E , a

função ξ x : E →]−∞, +∞] dada por ξ x(f ) = f, x−ϕ(x). Pelo que vimos anteriormente

(veja exemplo (b) na página 39) ξ x é uma função linear afim sobre E e portanto convexa.

Aĺem disso, ξ x é cont́ınua em E . De fato, seja {f n}n∈N uma seqüência de funções em E

tal que f n → f em E , ou seja,

supx∈E ;||x||≤1

| f n − f, x | → 0, quando n → +∞.

Da convergência acima resulta que

| f n, x − f, x | → 0 quando n → +∞, para todo x ∈ E tal que ||x|| ≤ 1.

Se y ∈ E é tal que y = 0, entãof n, y||y||

−

f, y

||y|| → 0 quando n → +∞,

ou seja,

| f n, y − f, y | → 0 quando n → +∞, para todo y ∈ E.

Daı́ resulta que

|ξ y(f n) − ξ y(f )| = | f n, y − ϕ(y) − [f, y − ϕ(y)]| → 0 quando n → +∞, para todo y ∈ E,

o que prova a continuidade de ξ x. Assim, ξ x(f ) = f, x − ϕ(x) é, para cada, x ∈ E ,convexa e s.c.i. (posto que é cont́ınua). Como ϕ∗ é o invólucro superior da faḿılia

{f, x − ϕ(x)}x∈E , onde cada elemento é s.c.i., temos, em virtude do Resultado 5 que ϕ∗é s.c.i.. Além disso, se t ∈ [0, 1] e f, g ∈ E , resulta que

t f + (1 − t)g, x − ϕ(x) = t {f, x − ϕ(x)} + (1 − t) {g, x − ϕ(x)}≤ t ϕ∗(f ) + (1 − t) ϕ∗(g),

e, portanto,

ϕ∗(t f + (1 − t)g) = supx∈E

{t f + (1 − t)g, x − ϕ(x)}≤ t ϕ∗(f ) + (1 − t) ϕ∗(g),


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o que prova que ϕ∗ é convexa.

Proposição 1.47 Suponhamos que ϕ : E →] − ∞, +∞] é uma aplicaç˜ ao convexa, s.c.i.e pr´ opria. Então ϕ∗ é pr ́opria.

Demonstração: De acordo com a Proposi̧cão 1.44, existe f ∈ E e β ∈ R tais quef, x − β ≤ ϕ(x), para todo x ∈ E . Logo, f, x − ϕ(x) ≤ β , para todo x ∈ E , o queimplica que

ϕ∗(f ) = supx∈E

{f, x − ϕ(x)} ≤ β,

de onde conclúımos que f

∈De(ϕ

∗), o que mostra o desejado.

No que segue, a notação E representará (E ), o dual do dual, ou bidual de um espaço

E .

Proposição 1.48 A aplicaç˜ ao J : E → E definida por J x(f ) = f, x, f ∈ E é um isomorfismo isométrico de E em J (E ).

Demonstração: Em verdade temos

J : E → E x → J x,

onde J x : E → R é definida por J x(f ) = f, x. A função J está bem definida uma vez

que, para cada x ∈ E , fixado, J x é claramente linear e, além disso, pelo Corolário 1.18 daForma Anaĺıtica do teorema de Hahn-Banach, temos

supf ∈E ,||f ||≤1

|J x(f )| = supf ∈E ,||f ||≤1

| f, x | = ||x||


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ou ainda,

ϕ(x) ≥ ϕ∗∗(x), para todo x ∈ E. (1.38)

O nosso intuito é provar que ϕ(x) = ϕ∗∗(x), para todo x ∈ E . Suponhamos, ini-cialmente que ϕ ≥ 0 e, tendo (1.38) em mente, admitamos que que exista x0 ∈ E tal que a igualdade estrita ocorra, ou seja, ϕ(x0) > ϕ

∗∗(x0). Chegaremos a uma con-

tradição, o que nos garantirá a igualdade para funções ϕ não negativas, em um primeiro

momento. Com efeito, da hipótese feita, decorre que ϕ ∗∗(x0) < +∞ (observe que épossı́vel que ϕ(x0) = +∞) e (x0, ϕ∗∗(x0)) /∈ epi(ϕ). Logo, podemos aplicar a 2a FormaGeométrica do Teorema de Hahn-Banach aos conjuntos epi(ϕ) e {(x0, ϕ∗∗(x0)}, isto é,existem φ ∈ (E × R), α ∈ R e ε > 0, tais que

φ(x, λ)≥

α + ε > α > α−

ε≥

φ(x0, ϕ∗∗(x0)), para todo (x, λ)

∈epi(ϕ),

ou ainda, existe f ∈ E e k ∈ R tais que

f, x + k λ > α > f, x0 + kϕ∗∗(x0), para todo (x, λ) ∈ epi(ϕ). (1.39)

Sejam x ∈ De(ϕ), λ suficientemente grande e n0 ∈ N tal que ϕ(x) ≤ λ ≤ n, para todon ≥ n0. Então, (x, n) ∈ epi(ϕ), para todo n ≥ n0 e, conseqüentemente

f, x + k n > α ⇔ k > α − f, xn

, para todo x ∈ De(ϕ).

Logo, tomando o limite quando n → +∞ na expressão acima resulta que k ≥ 0. [Noteque não podemos usar o racioćınio feito anteriormente para (x0, ϕ(x0)) pois não sabemos

se x0 ∈ De(ϕ) e conseqüentemente não podemos garantir que (x0, ϕ(x0)) ∈ epi(ϕ)]. Assim,se x ∈ De(ϕ)

f, x + k ϕ(x) > α, onde k ≥ 0.

Como ϕ(x) ≥ 0, segue que para ε > 0 dado

f, x + (k + ε) ϕ(x) > α, para todo x ∈ De(ϕ),

[note que tomamos ε pois o próximo passo seria uma divisão por k e como k ≥ 0 isto nãopoderia ser feito], ou seja,

− f (k + ε)

, x

− ϕ(x) < − α

k + ε, para todo x ∈ De(ϕ).


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Assim,

ϕ∗

− f k + ε

= sup

x∈E

− f

(k + ε), x

− ϕ(x)

= sup

x∈De(ϕ)− f

(k + ε)

, x− ϕ(x) ≤ − α

k + ε

,

pois se ϕ(x) = +∞ então −ϕ(x) = −∞.Logo,

ϕ∗∗(x0) = supg∈E

{g, x0 − ϕ∗(g)}

≥

− f (k + ε)

, x0

− ϕ∗

− f

k + ε

≥ − f

(k + ε), x0+

α

k + ε.

Por conseguinte,

f, x0

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