Introdução Probabilidade Reanimat

Projecto REANIMAT

INTRODUO PROBABILIDADE

I

Lusa Canto e Castro Loura

Maria Eugnia Graa Martins

Departamento de Estatstica e Investigao Operacional Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa

Junho 2003

NDICE Captulo 1 INTRODUO PROBABILIDADE .......................................................................... 1

1.1 Introduo .......................................................................................................... 3

1.2 Probabilidade e Estatstica ................................................................................ 6

1.3 Experincia aleatria. Espao de resultados. Acontecimentos ........................ 8

1.3.1 Operaes com acontecimentos ............................................................. 16

Captulo 2 MODELOS DE PROBABILIDADE ............................................................................ 19

2.1 Modelos de Probabilidade em espaos finitos ................................................ 21

2.1.1 Introduo ........................................................................................... 21

2.1.2 Modelos de Probabiliddae em situaes de simetria.

Regra de Laplace ............................................................................... 25

2.2 Aproximao frequencista de Probabilidade ................................................... 30

2.3 Definio axiomtica de Probabilidade ............................................................ 34

2.4 Consequncias da definio axiomtica de Probabilidade ............................. 37

2.5 Probabilidade condicional e independncia .................................................... 43

Captulo 3 MODELOS DE PROBABILIDADE DISCRETOS E CONTNUOS ............................ 59

3.1 Introduo. Varivel aleatria .......................................................................... 61

3.2 Modelos de probabilidade discretos. Funo massa de probabilidade ........... 65

3.2.1 Distribuio de probabilidades versus distribuio de frequncias .... 67

3.2.2. Valor mdio e desvio padro de uma varivel aleatria discreta ...... 69

3.2.2.1 Valor mdio de uma varivel aleatria discreta .................. 69

3.2.2.2 Desvio padro de uma varivel aleatria discreta .............. 74

3.2.3 Modelo Binomial............................................................................................. 75

3.3 Modelos de Probabilidade contnuos. Funo densidade de Probabilidade ... 79

3.3.1 Histograma versus funo densidade ................................................ 79

3.3.2 Modelo Normal ou Gaussiano ............................................................ 85

Anexo 1 ........................................................................................................... 91

Bibliografia ........................................................................................................... 92

Introduo Probabilidade 1

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1. Introduo Probabilidade


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1.1 - Introduo

Todos os dias somos confrontados com situaes, que nos conduzem a utilizar, intuitivamente, a

noo de Probabilidade. Nos mais variados aspectos da nossa vida, est presente a incerteza:

dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar o totoloto;

dizemos que existe uma grande probabilidade de chover num dia carregado de nuvens;

o poltico interroga-se sobre qual a probabilidade de ganhar as prximas eleies;

o aluno interroga-se sobre qual a probabilidade de obter positiva num teste de perguntas com

resposta mltipla, para o qual no estudou e responde sistematicamente ao acaso;

o mdico pretende saber se um medicamento novo tem maior probabilidade de cura que o

medicamento habitual, para tratar determinada doena;

o comerciante pretende saber se deve rejeitar um determinado carregamento de material,

pois ao verificar um certo nmero de peas, encontrou uma determinada percentagem de

defeituosas;

o fabricante desejaria saber se um produto que pretende lanar no mercado, ter uma boa

probabilidade de aceitao;

o corretor da bolsa interroga-se sobre se ser provvel que umas aces que tem em vista,

aumentem de cotao.

Embora no saibamos, para j, atribuir um valor numrico s probabilidades de realizao dos

acontecimentos envolvidos nos exemplos anteriores, h situaes em que no temos dvidas

nessa atribuio. Por exemplo, ningum hesita em afirmar que a probabilidade de um beb

nascer com dentes igual a zero, assim como tambm no ter dvida em dizer que igual a 1

a probabilidade de num dia em que est a chover, haver nuvens! Por outro lado, quando se

pretende tomar uma deciso ao acaso, para a qual existem duas opes, e no se sabe qual

escolher, tambm usual tomar a deciso mediante o resultado da sada de cara ou coroa, no

lanamento de uma moeda ao ar, pois existe a convico que a probabilidade de sair cara ou

coroa so iguais a 1/2.

No dia a dia comum atribuirmos probabilidades a determinados acontecimentos. Ao fazer isto,

no estamos mais que a exprimir o nosso grau de convico na realizao desses

acontecimentos. Podamos ento ser tentados a definir probabilidade de um determinado

acontecimento como uma medida da convico que temos na realizao desse acontecimento.

Mas claro, no nos podemos ficar por aqui. Este conceito to simples s por si demasiado

precrio para ser til Cincia. H necessidade de ir muito mais longe, j que no havendo mais

do que meras conjecturas e convices, diferentes com certeza de indivduo para indivduo, e


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quantas vezes incoerentes, no possvel fazer teoria. H assim necessidade de saber como

quantificar aquela medida de convico relativamente a qualquer acontecimento. Se em certas

situaes (como a relacionada com o lanamento de uma moeda) no temos dificuldade, h

outras em que isso j se no nos afigura simples, ou por falta de informao, ou por mera

incapacidade devido, por exemplo, prpria complexidade de que o acontecimento se reveste.

Sabemos, se no por convico, pelo menos pela prpria experincia, que a probabilidade de

nos sair o totoloto na prxima vez que jogarmos extremamente pequena. Mas, quantas

pessoas que no tenham estudado clculo das probabilidades so capazes de atribuir um

nmero a essa probabilidade? J em face de um dado equilibrado, somos levados a dizer que a

probabilidade de sair um 5 num lanamento 1/6. Porque que fazemos tal afirmao? Somos,

no entanto, capazes de ficar perplexos quando algum nos afirma que estudos estatsticos

indicam que a probabilidade de contrair cancro de pulmo, se se fumar mais de 20 cigarros por

dia, de 7%. Com que base que se pode fazer uma afirmao desta natureza?

Digamos que, com os dois exemplos apresentados, quantificmos a probabilidade de um

acontecimento por dois processos distintos. No segundo caso, a quantificao da probabilidade

de contrair cancro de pulmo se se fumar mais de 20 cigarros, foi feita recorrendo experincia,

identificando empiricamente a probabilidade de um acontecimento com a frequncia relativa com

que esse acontecimento se observa numa amostra representativa da populao em estudo. Em

termos estatsticos estimmos a probabilidade (desconhecida) da realizao de um

acontecimento pela frequncia relativa com que esse acontecimento se verifica. No primeiro

caso, o do dado equilibrado, o raciocnio feito com base no facto de haver uma possibilidade

em 6 de, ao lanar o dado uma vez, se observar a face 5. No precismos da experincia para

quantificar a probabilidade, j que estamos a admitir o pressuposto da simetria ou de equilbrio

(este pressuposto da simetria a base para a definio de probabilidade segundo o conceito

clssico ou de Laplace, de que falaremos posteriormente), isto , estamos a admitir que devido

simetria fsica do dado, no temos razo para atribuir probabilidade diferente sada de cada

face.

Imaginemos, no entanto, que estvamos a jogar um determinado jogo que obrigava ao

lanamento de um dado e que a sada da face 5 implicava um bnus. Depois de jogarmos um

grande nmero de vezes descobramos que a face 5 quase nunca saa. O nosso senso comum

levava-nos a supor que algo estava errado com o dado. Como poderamos averiguar isso?

Lanando o dado um grande nmero de vezes, digamos n, e calculando a frequncia relativa da

realizao do acontecimento de interesse, isto , sada de um 5. Estimvamos assim a

probabilidade de no lanamento daquele dado sair a face 5. A intuio diz-nos que se no

houver nada de errado com o dado, este valor deve flutuar volta de 0.166(6).


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A palavra probabilidade est presente sempre que estivermos perante um fenmeno aleatrio,

isto , um fenmeno para o qual no sabemos de antemo o que vai acontecer, na prxima

repetio, mas para o qual se admite uma certa regularidade a longo termo, ou seja, para um

grande nmero de repeties do fenmeno. Esta regularidade estatstica utilizada para definir

a probabilidade segundo o conceito frequencista, de que falaremos a seguir. Como veremos,

uma aproximao conceptual da probabilidade, muito utilizada, mas limitativa, na medida em que

s permite definir a probabilidade de acontecimentos que se possam repetir um grande nmero

de vezes nas mesmas condies.

Fenmenos aleatrios so fenmenos cujos resultados individuais so incertos, mas para os

quais se admite uma regularidade a longo termo, possibilitando a obteno de um padro

genrico de comportamento.

Associados s seguintes experincias ou situaes temos os seguintes exemplos de fenmenos,

considerados aleatrios:

Chave do totoloto em cada semana;

Resposta de uma doena a um tratamento feito com determinado medicamento;

Estado do tempo no dia seguinte;

Comportamento dos eleitores nas prximas eleies legislativas;

Comportamento de um aluno no exame de resposta mltipla, para o qual no estudou;

Comportamento do mercado perante um produto novo para lavar a roupa;

Etc.

importante apercebermo-nos do que que significa a regularidade a longo termo de que

falmos anteriormente.

Ser que o acaso pode ser governado? Ento no estamos a admitir que a longo termo

possvel obter um padro genrico de comportamento do fenmeno aleatrio?

Efectivamente, quando observamos o fenmeno em estudo um nmero suficientemente grande

de vezes verifica-se um comportamento que pode ser modelado, isto podemos arrranjar um

modelo para exprimir a aleatoriedade. Mas ateno! Esta regularidade no existe a no ser a

longo termo!

Exemplo 1.1.1 Na situao comum do lanamento de uma moeda ou de um dado, no

podemos dizer qual a face que sai no prximo lanamento. No entanto se lanarmos a moeda ou

o dado um nmero razovel de vezes, esperamos que aproximadamente metade das vezes saia

cara e aproximadamnete um sexto das vezes saia a face 1 do dado. Suponha agora que lana a


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moeda 8 vezes e que obteve a seguinte sequncia (representamos a cara por F e a coroa por

C):

C, F, C, C, F, F, F, F

Se lanar novamente a moeda, o que que espera que saia? Embora lhe apetecesse dizer que

no prximo lanamento mais provvel que saia coroa (C), para equilibrar o nmero de caras

com o nmero de coroas, na verdade no prximo lanamento tanto pode sair cara como coroa,

j que os sucessivos lanamentos da moeda so independentes uns dos outros (a moeda no

tem memria).

Exemplo 1.1.2 (adaptado de Moore, 1997) A regularidade a longo termo se no for bem

compreendida, pode acarretar alguns dissabores! Foi o que aconteceu com aquele casal que

tinha planeado ter 4 filhos. Depois de nascerem 4 raparigas, e na expectativa de terem um

rapazinho, ainda tentaram mais 3 vezes e ficaram com uma linda equipa de 7 raparigas! Depois

destas 7 raparigas o mdico assegurou-lhes que era praticamente certo que o beb seguinte

fosse rapaz. Infelizmente para este casal, os fenmenos aleatrios que consistem em ter mais

uma criana ou lanar mais uma vez a moeda, so idnticos. Efectivamente 8 raparigas de

seguida, muito improvvel, mas uma vez nascidas 7 raparigas, no de todo improvvel que o

prximo beb fosse rapariga e era!

O objectivo da Teoria da Probabilidade o estudo dos fenmenos aleatrios, atravs de

modelos matemticos, a que chamamos modelos probabilsticos.

1.2 - Probabilidade e Estatstica

Ser possvel fazer Estatstica sem utilizar a Probabilidade? De um modo geral no! A maior

parte das vezes em que necessrio utilizar tcnicas estatsticas, estamos perante situaes em

que necessrio fazer inferncia estatstica, isto , pretendemos tirar concluses para um

grande conjunto de indivduos (Populao), a partir do estudo de um nmero restrito desses

indivduos (Amostra). Assim, quando a partir do estudo de uma amostra pretendemos inferir para

a populao de onde a amostra foi recolhida, existe sempre um grau de incerteza, associado

aleatoriedade da escolha da amostra, que medido em termos de Probabilidade. Alguns

exemplos ajudar-nos-o a desenvolver esta ideia.

Exemplo 1.2.1 Admita que tem uma moeda equilibrada. Mas o que uma moeda equilibrada?

aquela em que estamos a admitir, partida, que existe igual possibilidade de sair cara ou

coroa no prximo lanamento que faamos com ela estamos a admitir o princpio da simetria,


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de que falmos anteriormente. Estamos, assim, a admitir, na nossa cabea, um modelo

matemtico em que assumimos que em qualquer lanamento da moeda, a probabilidade de sair

cara igual de sair coroa e igual a 1/2:

Modelo para o resultado do lanamento da moeda equilibrada

Resultado Cara (F) Coroa (C)

Probabilidade 1/2 1/2

No nos estamos a preocupar, por exemplo, com a fora ou direco com que atiramos a

moeda, nem to pouco com o desgaste acusado pela moeda aps sucessivos lanamentos!

Tambm no estamos a encarar a hiptese da moeda cair de p! Se nos estivssemos a

preocupar em arranjar um modelo que traduzisse mais fielmente a realidade, estaramos a

arranjar um modelo matemtico to complicado que seria impossvel de tratar e no nos serviria

para nada. O estatstico George Box dizia:

Todos os modelos so maus, alguns modelos so teis.

Assumindo ento o modelo anterior, um pouco simplista, para o lanamento da moeda, se

lanarmos a moeda repetidas vezes, esperamos que o nmero de caras seja aproximadamente

metade do nmero de lanamentos. Se, por outro lado, recolhermos uma amostra de dimenso

1, isto , fizermos um nico lanamento, no sabemos qual o resultado que se vai verificar, se

ser cara ou coroa, mas dizemos que a probabilidade de sair cara 1/2.

Suponha agora que no podamos invocar o princpio da simetria, isto , no sabamos se a

moeda era equilibrada. Neste caso a Populao que estamos a estudar no completamente

conhecida, pois conhecemos os resultados possveis em cada lanamento, mas no

conhecemos as suas probabilidades - o modelo no est completamente especificado. Como

obter alguma informao, para especificar um modelo para o lanamento da moeda? Um modo

possvel de obter mais alguma informao sobre o modelo probabilstico proceder a um certo

nmero de lanamentos e calcular a frequncia relativa da sada de cara, nos lanamentos

efectuados. Este valor vai-nos servir para estimar a probabilidade da sada de cara. Por

exemplo, se em 1000 lanamentos se obtiveram 324 caras, dizemos que um valor aproximado

para a probabilidade de se verificar cara 0.324 (ao fim de 1000 lanamentos verificou-se uma

certa estabilidade volta deste valor) e o valor aproximado para a probabilidade de sair coroa

ser 0.676.


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O comportamento de grandes grupos de indivduos, pode ser tambm considerado aleatrio e o

processo utilizado para definir um modelo, o de verificar o que que se passa com um grande

conjunto de indivduos.

Exemplo 1.2.2 (Moore, 1997) Se nos perguntassem qual a probabilidade de uma determinada

pessoa morrer no prximo ano, obviamente que no saberamos dizer. No entanto, se

observarmos milhes de pessoas, poderemos obter um padro para o comportamento das

mortes. assim que poderemos dizer que a proporo de homens, com idades compreeendidas

entre 25 e 34 anos, que morrero no prximo ano, anda volta de 0.0021. Esta proporo,

verificada para um conjunto grande de indivduos, ser entendida como a probabilidade de que

um homem jovem morra no prximo ano. Para as mulheres com aquela idade, a probabilidade

de morrer ser cerca de 0.0007. Estamos, a partir da observao de resultados verificados numa

amostra, a inferir para toda a populao constituda pelos indivduos da classe etria

considerada. Estes modelos tm muito interesse para as companhias de seguros, quando se

trata nomeadamente de seguros de vida, j que lhes vai permitir definir uma poltica de preos

para as aplices, sendo at natural que cobrem mais por um seguro de vida a um homem, do

que a uma mulher.

Com os exemplos anteriores tentmos exprimir o papel relativo da Probabilidade e da Estatstica.

Enquanto que ao assumirmos um determinado modelo de probabilidade Populao conhecida,

o que foi feito ao admitir que a moeda era equilibrada, estamos aptos a raciocinar do geral para o

particular, isto , da Populao para a Amostra, quando a Populao no conhecida utilizamos

a Estatstica para fazer raciocnios no sentido inverso, isto , inferir para a Populao resultados

observados na Amostra.

Para formalizarmos um pouco o conceito de Probabilidade, vamos introduzir alguma terminologia

prpria.

1.3 Experincia aleatria. Espao de resultados.

Acontecimentos.

Dissemos anteriormente que o objectivo da Teoria da Probabilidade o de estudar fenmenos

aleatrios, construindo modelos matemticos, a que chamamos modelos de probabilidade, que

os possam descrever convenientemente. A noo mais bsica para a formalizao desta teoria

a de experincia aleatria.


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Experincia aleatria o processo de observar um resultado de um fenmeno aleatrio. Numa

experincia aleatria obtm-se um resultado, de entre um conjunto de resultados conhecidos de

antemo, mas no se tem conhecimento suficiente de qual o resultado que sai em cada

realizao da experincia. Admite-se ainda que a experincia se pode repetir e que as

repeties so realizadas nas mesmas circunstnciias e so independentes.

Ao conjunto de todos os resultados possveis associados realizao de uma experincia

aleatria chamamos espao de resultados ou espao amostral.

Espao de resultados S conjunto cujos elementos so os que consideramos como possveis,

ao modelar um fenmeno aleatrio.

Exemplos de experincias aleatrias e de espaos de resultados associados:

Exemplo 1.3.1 Considere a experincia aleatria que consiste em perguntar primeira pessoa

que encontrar na rua, num determinado dia, ao sair de casa, qual o seu estado civil. O espao de

resultados constitudo pelos resultados

S = {Solteiro(a), casado(a), vivo(a), divorciado(a)}

Exemplo 1.3.2 Considere a experincia aleatria que consiste em perguntar a duas pessoas

escolhidas ao acaso, de uma dada cidade, quem ganha o prximo jogo Benfica Sporting. Um

conjunto que parece sensato escolher como espao de resultados

S = {(Benfica, Benfica), (Benfica, Sporting), (Benfica, Empate), (Sporting, Benfica), (Sporting,

Sporting), (Sporting, Empate), (Empate, Benfica), (Empate, Sporting), (Empate, Empate)}

Exemplo 1.3.3 Considere a experincia aleatria que consiste em, ao acordar num

determinado dia, ir janela e contar o nmero de carros encarnados que passam, num perodo

de 5 minutos. O espao de resultados constitudo pelos resultados

S = {0, 1, 2, 3, }

Exemplo 1.3.4 Quantidade de chuva que medida, num determinado dia, pelo Instituto de

Meteorologia, na estao do Aeroporto da Portela. O espao de resultados constitudo pelos

resultados

S = {t: t 0 } = [0, +[


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Como se depreende dos exemplos anteriores, podemos ter espaos de resultados finitos,

infinitos numerveis ou infinitos no numerveis.

Acontecimento um conjunto de resultados de uma experincia aleatria, isto , um

subconjunto do espao de resultados S.

Aos acontecimentos constitudos por um nico resultado, chamamos acontecimentos

elementares.

Exemplo 1.3.5 (Graa Martins et al, 1999) - Considere a experincia aleatria que consiste em

lanar dois dados1 e verificar as faces que ficam voltadas para cima. Identifique um

2 espao de

resultados e os acontecimentos o nmero de pintas igual nos dois dados e a soma das

pintas 7.

Para descrever um espao de resultados vamos considerar dois dados, um preto e um branco,

para os distinguir. Neste contexto, o espao de resultados constitudo por todos os pares de

dados considerados na figura a seguir. O nmero de elementos do espao de resultados 36 =

6 6.

O espao anterior pode ser descrito de forma mais sinttica considerando os pares ordenados

(i,j), onde representamos por i o nmero de pintas do dado 1, ou seja do dado preto, e por j o

nmero de pintas do dado 2, ou seja do dado branco:

S = {(i,j): i=1,2,...,6; j=1,2,...6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2

1 No texto, um dado constitudo por 6 faces, com 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pintas, a menos que seja explicitamente referido o

contrrio. 2 O espao de resultados associado experincia aleatria em causa vai ser escolhido de forma

a que os resultados sejam equiprovveis, o que torna possvel a utilizao da regra de Laplace, como veremos posteriormente. Um espao de resultados no equiprovveis seria S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}, construdo admitindo que os dados no so distinguveis.


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Chamamos a ateno que, por exemplo, o par (1,3) no o mesmo que o par (3,1). No par

ordenado, o primeiro elemento refere-se a um dos dados (neste caso o dado preto) e o segundo

elemento refere-se ao outro dado (o dado branco).

O acontecimento o nmero de pintas igual nos dois dados constitudo pelos pares

assinalados na figura seguinte, por uma linha a tracejado:

ou em notao em termos dos pares ordenados

A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Finalmente o acontecimento a soma das pintas 7 constitudo pelos pares assinalados na

figura seguinte

ou em notao em termos dos pares ordenados

B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Qual a diferena entre o espao de resultados associado experincia aleatria do lanamento

de dois dados e a experincia que consiste no lanamento do mesmo dado duas vezes? No

existe diferena, o espao de resultados idntico nas duas experincias. Considermos dados


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de cores distintas para justificar a nossa opo para descrever S como um conjunto de pares

ordenados, mas bvio que este mesmo espao serve para modelar o lanamento de dois

dados idnticosou dois lanamentos de um mesmo dado.

Nota Associado experincia que acabmos de descrever no exemplo anterior, poderamos

ter considerado o seguinte espao de resultados:

S = { sarem dois 1s, sair um 1 e um 2, sair um 1 e um 3, sair um 1 e um 4, sair um 1 e um 5,

sair um 1 e um 6, sarem dois 2s, sair um 2 e um 3, sair um 2 e um 4, sair um 2 e um 5, sair um

2 e um 6, sarem dois 3s, sair um 3 e um 4, sair um 3 e um 5, sair um 3 e um 6, sarem dois 4s,

sair um 4 e um 5, sair um 4 e um 6, sarem dois 5s, sair um 5 e um 6, sarem dois 6s}

Qual a desvantagem em considerar este espao de resultados? Como veremos mais frente, se

o espao de resultados for constitudo por resultados igualmente possveis, o que no acontece

nesta situao, podemos utilizar a regra de Laplace, para atribuir probabilidades a

acontecimentos associados ao fenmeno em estudo.

Exemplo 1.3.6 (Graa Martins et al, 1999) - Se lanar 3 dados e verificar as faces que ficam

voltadas para cima, como constitudo o espao de resultados associado a esta experincia

(admita que os 3 dados so distinguveis)?

Utilizando uma generalizao da notao do exemplo anterior, o espao de resultados ser

constitudo por todos os triplos (i, j, k), em que o i, j e k, podem assumir os valores de 1 a 6. O i

refere-se a um dos dados, por exemplo o 1 a ser lanado, ou se os quisermos distinguir a um

dado preto, o j refere-se ao 2 dado a ser lanado, ou a um dado branco e finalmente o k refere-

se ao 3 dado a ser lanado, ou a um dado vermelho. O nmero de elementos do espao de

resultados, ou seja, o nmero de resultados possveis 216 = 6 6 6.

Nota histrica (Statistics, 1991) - No sculo XVII, os jogadores italianos costumavam fazer apostas sobre o

nmero total de pintas obtidas no lanamento de 3 dados. Acreditavam que a possibilidade de obter um total de 9 era igual possibilidade de obter um total de 10. Por exemplo, diziam que uma combinao possvel para dar um total de 9 seria

1 pinta num dos dados, 2 pintas num outro dado, 6 pintas no terceiro dado Abreviando o resultado anterior para 1 2 6, todas as combinaes para dar o 9 so:

1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 3 4 2 2 5 3 3 3 Analogamente, obtinham 6 combinaes para o 10:

1 4 5 1 3 6 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4 Assim, os jogadores argumentavam que o 9 e o 10 deveriam ter a mesma possibilidade de se verificarem. Contudo, a experincia mostrava que o 10 aparecia com uma frequncia um pouco superior ao 9. Pediram a Galileu que os ajudasse nesta contradio, tendo este realizado o seguinte raciocnio: Pinte-se um dos dados de branco, o outro de cinzento e o outro de preto. De quantas maneiras se podem apresentar os trs dados depois de lanados? O dado branco pode apresentar 6 possibilidades diferentes. Para cada uma destas possibilidades o dado cinzento pode apresentar 6 possibilidades, obtendo-se 6 6 possibilidades


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para os dois dados. Correspondendo a cada uma destas possibilidades, o dado preto pode apresentar 6 possibilidades obtendo-se no total 6 6 6 = 216 possibilidades. Galileu listou todas as 216 maneiras de 3 dados se apresentarem depois de lanados. Depois percorreu a lista e verificou que havia 25 maneiras de obter um total de 9 e 27 maneiras de obter um total de 10. O raciocnio dos jogadores no entrava em linha de conta com as diferentes maneiras como os dados se podiam apresentar. Por exemplo o triplo 3 3 3, que d o 9, corresponde unicamente a uma forma de os dados se apresentarem, mas o triplo 3 3 4 que d o 10, corresponde a 3 maneiras diferentes:

pelo que o raciocnio dos jogadores deve ser corrigido de acordo com a tabela seguinte:

Triplos para o 9 N de maneiras Triplos para o 10 N de maneiras de obter o triplo de obter o triplo

1 2 6 6 1 4 5 6 1 3 5 6 1 3 6 6 1 4 4 3 2 2 6 3 2 3 4 6 2 3 5 6 2 2 5 3 2 4 4 3 3 3 3 1 3 3 4 3

Total 25 Total 27

Tem especial interesse em Estatstica os modelos probabilsticos associados a situaes de

amostragem, isto , situaes em que se escolhe de forma aleatria alguns indivduos de uma

certa populao.

Extraces com reposio e sem reposio

Colocaram-se (Graa Martins et al, 1999) numa caixa 3 papis com o nome de 3 meninas: Ana,

Maria e Filipa. Considere a experincia aleatria que consiste em retirar da caixa 2 papis e

verificar os nomes que saram. Qual o espao de resultados? Para responder a esta questo

necessrio saber se a extraco se faz com reposio, isto , se uma vez retirado um papel e

verificado o nome se volta a colocar o papel na caixa, antes de proceder extraco seguinte,

ou se a extraco feita sem reposio, isto , uma vez retirado um papel, ele no reposto

antes de se proceder prxima extraco. No esquema seguinte procuramos representar as

duas situaes.


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Admitimos que na 1 extraco saiu o papel com o nome da Maria. Na 2 extraco, saiu o nome

da Filipa nos dois casos, mas na extraco com reposio havia uma possibilidade em trs de

ele sair, tal como na 1 extraco, enquanto que na extraco sem reposio havia uma

possibilidade em duas de ele sair. Quer dizer que neste caso havia uma maior probabilidade de

sair o nome da Filipa. Os espaos de resultados Sc e Ss correspondentes s duas situaes com

reposio e sem reposio, so respectivamente:

Sc = {(Ana, Ana), (Ana, Maria), (Ana, Filipa), (Maria, Ana), (Maria, Maria), (Maria, Filipa), (Filipa,

Ana); (Filipa, Maria), (Filipa, Filipa)}

Ss = {(Ana, Maria), (Ana, Filipa), (Maria, Ana), (Maria, Filipa), (Filipa, Ana), (Filipa, Maria)}.

O acontecimento saiu o nome da Maria constitudo pelos seguintes resultados, considerando

a extraco com reposio e sem reposio, respectivamente:

Ac= {(Ana, Maria), (Maria, Ana), (Maria, Maria), (Maria, Filipa), (Filipa, Maria)}

e As = {(Ana, Maria), (Maria, Ana), (Maria, Filipa), (Filipa, Maria)}.

Exemplo 1.3.7 - Considere a experincia aleatria que consiste em extrair 2 berlindes, de um

saco com 3 berlindes vermelhos e 2 azuis. Qual o espao de resultados?

Para j necessrio saber se a extraco se faz com reposio ou sem reposio. Vamos

considerar as duas situaes. Para identificar o espao de resultados ser mais fcil numerar os

berlindes, pelo que vamos numerar os berlindes vermelhos com 1, 2 e 3 e os azuis com 4 e 5.

Com reposio - Quando se retira um berlinde verifica-se a cor e torna-se a repor o berlinde no

saco antes de extrair o prximo. O espao de resultados constitudo por todos os resultados,

em nmero de 25, do esquema seguinte:


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Sem reposio - Neste caso o espao de resultados constitudo por todos os resultados do

espao do esquema anterior, exceptuando os pares constitudos pelo mesmo berlinde:

O acontecimento tirar 2 berlindes de cor diferente constitudo pelos resultados {(1,4), (1,5),

(2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)} tanto no esquema com reposio,

como sem reposio.


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1.3.1 Operaes com acontecimentos

Uma tcnica utilizada para visualizar acontecimentos consiste em utilizar um rectngulo para

representar o espao de resultados e crculos para representar os acontecimentos. A essas

representaes chamamos diagramas de Venn. Vamos utilizar esses diagramas para apresentar

a terminologia utilizada quando falamos de acontecimentos.

Assim, representando os acontecimentos por A, B, C, ..., temos:

- Acontecimento Complementar do acontecimento A:

O acontecimento complementar do acontecimento A, representa-se por A ou AC e o

acontecimento constitudo por todos os resultados de S, que no esto em A.

- Acontecimento A implica B

O acontecimento A implica a realizao do acontecimento B, quando todo o resultado de A um

resultado de B; indica-se este facto escrevendo AB.

S

A B

- Acontecimento Interseco

Interseco dos acontecimentos A e B, AB, ou (A e B) o acontecimento que se realiza sse A

e B se realizam simultaneamente.

- Acontecimento Unio

Unio dos acontecimentos A e B, AB, ou (A ou B) o acontecimento que se realiza sse A ou

B se realizam.


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- Acontecimentos Disjuntos

Acontecimentos disjuntos ou acontecimentos mutuamente exclusivos, so acontecimentos

em que a realizao de um deles implica a no realizao do outro.

- Acontecimento Diferena

Acontecimento diferena entre A e B, A-B, o acontecimento que se realiza sse A se realiza,

sem que B se realize.

- Acontecimento Impossvel

Acontecimento impossvel o acontecimento que resulta da interseco de acontecimentos

mutuamente exclusivos. Analogamente ao que se passa na teoria dos conjuntos, representa-se

por ( smbolo do conjunto vazio, mas que aqui se l acontecimento impossvel e no

acontecimento vazio). Com esta notao introduzida para o acontecimento impossvel, temos:

Se dois acontecimentos so disjuntos, ento AB =


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2. Modelos de Probabilidade


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2.1 Modelos de probabilidade em espaos finitos

2.1.1 - Introduo

Dissemos anteriormente que o nosso objectivo definir modelos de probabilidade para

fenmenos aleatrios, que nos interessem estudar. Em espaos finitos, esta definio implica:

- A identificao de um espao de resultados;

- Uma forma de atribuir probabilidades a cada um dos resultados, isto , aos

acontecimentos elementares.

O processo de atribuir probabilidades deve ser tal, que algumas regras bsicas devam ser

satisfeitas para todos os modelos. Vamos ento considerar as seguintes regras, que so

intuitivas:

Regra 1 Uma probabilidade deve ser um nmero entre 0 e 1;

Regra 2 O conjunto de todos os resultados possveis tem probabilidade igual a 1;

Admitamos, para j, que tnhamos um processo de definir um modelo de probabilidade. Uma vez

definido esse modelo de probabilidade, como obter a probabilidade de acontecimentos?

Uma vez que um acontecimento um conjunto de resultados, vamos definir a probabilidade do

acontecimento A, que representamos por P(A), custa das probabilidades dos resultados qur

compem A:

Em espaos finitos, a probabilidade de um acontecimento A a soma das probabilidades dos

acontecimentos elementares que compem A.

Exerccios:

1. Para cada uma das situaes descritas a seguir, diga se constituem, ou no, modelos de

probabilidade. Justifique.

a) Quando se lana uma moeda, P(Cara) = 0.48 e P(Coroa) = 0.52

b) Quando se lana um dado, P(Face 1) = 0.20, P(Face 2) = 0.20,

P(Face 3) = 0.20, P(Face 4) = 0.20, P(Face 5) = 0.20, P(Face 6) = 0

c) Quando se lanam duas moedas, P(Cara, Cara) = 0.25,

P(Cara, Coroa) = 0.25, P(Coroa, Cara) = 0.25, P(Coroa, Coroa) =0.25


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d) Quando se lanam duas moedas, P(Cara, Cara) = 0.30,

P(Cara, Coroa) = 0.30, P(Coroa, Cara) = 0.30, P(Coroa, Coroa) =0.30

e) Quando se lana um dado, P(Face 1) = 0.20, P(Face 2) = 0.30,

P(Face 3) = 0.30, P(Face 4) = 0.20, P(Face 5) = 0.20, P(Face 6) = -0.20

2. O estatstico da equipa de andebol de uma certa escola, com base no historial de jogos

anteriores com o mesmo adversrio, sugeriu o seguinte modelo probabilstico para o resultado

final do prximo jogo:

Resultado Vitria Empate Derrota

Probabilidade 0.4 0.1 0.5

O treinador, que acha que a equipa est a atravessar um bom momento de forma, de opinio

que a probabilidade de Vitria dever ser igual a 0.6 e no 0.4. Admitindo que a probabilidade de

Empate no se altera, qual a probabilidade da equipa vir a ser derrotada?

3. Um adepto da equipa anterior apresentou o seguinte modelo para o nmero de pontos

marcados pela equipa:

Nmero de pontos De 0 a 10 De 5 a 15 Mais do que 15

Probabilidade 0.3 0.6 0.3

Ser que esta tabela representa um modelo probabilstico?

4. Quando questionado para predizer o campeo de basquetebol da Atlantic Coast Conference,

Las Vegas Zeke disse: - A probabilidade da North Carolina ganhar o dobro da de Duke. Noth

Carolina State e Virginia tm cada um uma probabilidade igual a 0.1 de ganharem, mas a

probabilidade de Duke o triplo daquela. Mais nenhuma outra equipa tem qualquer chance. Ser

que o modelo proposto por Zeke pode ser considerado um modelo de probabilidade para as oito

equipas do encontro? (Moore et al, 1996 )

5. As caixas de Smarties contm pastilhas de vrias cores. Com base no que o fabricante diz,

temos a seguinte tabela, para as probabilidades de obter uma pastilha de cada uma das

seguintes cores, quando seleccionada ao acaso:

Cor Verde Vermelha Amarela Castanha Laranja Roxa

Probabilidade 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 ?

O fabricante esqueceu-se de dizer qual a probabilidade de obter a cor roxa.

a) Proponha uma probabilidade para a cor roxa de forma a obter um modelo de

probabilidade.


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b) Selecciona uma pastilha de uma caixa. A partir do modelo assumido anteriormente,

calcule a probabilidade de a cor ser:

1) Verde ou Vermelha

2) Verde, Vermelha ou Amarela

3) No ser Laranja

4) Ser Lils

5) Ser Verde, ou Vermelha, ou Amarela, ou Castanha, ou Laranja ou Roxa

6. Segundo o Census 91 um possvel modelo para o nmero de filhos em famlias

monoparentais o seguinte:

Nmero de filhos 0 1 2 3 4 5 Mais do que 5

Probabilidade 0.23 0.38 0.25 0.07 ? ? 0.03

Sabendo que a probabilidade de uma famlia ter 4 filhos um valor que est entre 0.01 e 0.02,

entre que valores estar a probabilidade de uma famlia ter 5 filhos?

7. Segundo o Census 2001, a populao portuguesa residente distribui-se segundo o seguinte

modelo:

Continente Aores Madeira

Norte MF

Centro MF

LVT* MF

Alentejo MF

Algarve MF

MF

MF

Probabilidade 0.356 0.227 0.257 0.075 0.038 0.023 0.024

Norte M

Centro M

LVT(1) M

Alentejo M

Algarve M

Aores M

Madeira M

Probabiliddae 0.357 0.226 0.255 0.075 0.039 0.024 0.023

*Lisboa e Vale do Tejo

a) Verifique se os modelos anteriores podem ser considerados modelos de probabilidade

para a distribuio da populao residente, quer consideremos indiferentemente o sexo

masculino e feminino ou s o sexo masculino.

b) Escolhendo ao acaso um indivduo de nacionalidade portuguesa, residente em Portugal,

qual a probabilidade de ser residente:

i) No Continente

ii) Nos Aores ou na Madeira

iii) Fora do Continente

c) Escolhendo um homen ao acaso da populao portuguesa, qual a probabiliddae de ser

um homem do Norte?

8. Um aluno do 9 ano de escolaridade pode dar, no mximo, 12 faltas a Matemtica. Numa

certa escola fez-se um levantamento do nmero de faltas dadas a Matemtica pelos 125 alunos

do 9 ano, tendo-se obtido


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N de faltas N de alunos

0 1

1 6

2 15

3 12

4 20

5 25

6 12

7 5

8 5

9 7

10 5

11 10

12 ?

a) Determine o nmero de alunos que esto tapados por faltas.

b) Construa um modelo de probabilidade para a varivel X que representa o nmero de faltas

dadas a Matemtica por um dos 125 alunos do 9 ano dessa escola, escolhido ao acaso.

c) Com base no modelo da alnea anterior, calcule a probabilidade de um aluno ter menos de 3

faltas ou mais de 10.


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2.1.2 - Modelos de probabilidade em situaes de simetria. Regra de

Laplace

Consideremos de novo a experincia aleatria que consiste em lanar dois dados, dado1 e

dado2, e em verificar as faces que saem. Recordemos que o espao de resultados que

escolhemos para modelar esta experincia aleatria foi S = {(I,j), i=1, , 6; j= 1, , 6}, com

cardinal 6 6 = 36. Admitindo que os dados foram bem construdos, isto , que so simtricos,

razovel admitir que qualquer um destes resultados tem igual possibilidade de sair, pelo que lhe

atribumos a probabilidade 1/36. Obtemos assim o seguinte modelo de probabilidade:

P(sair face i no dado1 e face j no dado2) =

P(Face dado1=i, Face dado2=j) = 1

36 , i = 1, 2, ,6; j = 1, 2, ,6.

No lanamento de 2 dados, qual a probabilidade de obter uma soma igual a 7?

Os acontecimentos elementares que compem o acontecimento soma igual a 7 nos dois dados

so: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) e (6,1). Como cada um destes acontecimentos elementares

tem probabilidade 1/36, vem que

P(soma igual a 7 nos dois dados) = 6

36 =

1

6

Repare-se que para obter a probabilidade anterior dividimos o nmero de casos favorveris

ocorrncia do acontecimneto, pelo nmero de casos possveis.

Exemplo 2.1.1 (Lusa Loura et al, 2002) - Suponhamos que numa turma com 20 alunos, 5 deles

tm 15 anos, 8 tm 16 anos e 7 tm 17 anos. No dispondo de qualquer outra informao

(como, por exemplo, a forma como os alunos esto sentados) qual o modelo probabilstico que

consideraria para a idade do 1 aluno a sair da sala aps o toque?

A resposta natural a esta questo

Idade do 1 aluno a sair da sala 15 16 17

Probabilidade 5/20 8/20 7/20

Este o modelo apropriado se admitirmos que qualquer dos alunos tem igual probabilidade de

ser o primeiro a sair da sala, ou seja, que qualquer dos alunos tem probabilidade 1/20 de ser o


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primeiro a sair. Como h 5 alunos com 15 anos obtemos o valor 5/20 para a probabilidade de

que saia primeiro um aluno de 15 anos, por exemplo.

E qual o modelo que consideraria para a idade dos 2 primeiros alunos a sair da sala?

Idade dos 2 primeiros

alunos a sair da sala

(15,15) (15,16) (15,17) (16,15) (16,16) (16,17) (17,15) (17,16) (17,17)

Probabilid

ade 5/204/19 5/208/19 5/207/19 8/205/19 8/207/19 8/207/19 7/205/19 7/208/19 7/206/19

Observe-se que a sada de qualquer aluno faz alterar a composio da turma no que respeita s

idades dos alunos que ainda esto na sala (estamos a admitir que o aluno que sau da sala, no

voltou a entrar). Assim se o aluno que sair primeiro tiver 15 anos, dos 19 que ainda restam,

teremos 4 de 15 anos, 8 de 16 anos e 7 de 17 anos. com base neste facto que se obtm as

probabilidades indicadas.

Exerccio Obtenha o modelo de probabilidade adequado para a situao anterior, mas

admitindo que o primeiro aluno que sau, voltou a entrar.

Podemos ainda utilizar o modelo anterior para construir um modelo de probabilidade para a

soma e para a mdia das idades dos 2 primeiros alunos a sair da sala:

Soma das idades dos 2 primeiros alunos a sair da

sala

30 31 32 33 34

Mdia das idades dos 2 primeiros alunos a sair da

sala

15 15.5 16 16.5 17

Probabilidade 5/204/19 25/208/19 8/207/19+

25/207/19 28/207/19 7/206/19

Pressuposto de simetria

Qualquer um dos modelos apresentados nos exemplos anteriores foi construdo com base no

chamado pressuposto de simetria. Este termo deriva do facto de ser devido sua simetria fsica

que se atribui igual probabilidade sada de cada uma das faces de um dado. Sempre que ao

realizarmos uma experincia aleatria pudermos admitir que tudo se passa como se

estivssemos a lanar um dado homogneo e simtrico, ento no temos razo para no

atribuir igual probabilidade a todos os resultados da experincia. Analisemos o que se passa

com a experincia descrita no exemplo anterior. Temos 20 alunos de diferentes idades (5 de 15

anos, 8 de 16 anos e 7 de 17 anos) e um deles, ao acaso, sai da sala. Interessa-nos atribuir uma

probabilidade idade desse aluno. Em termos probabilsticos no h qualquer diferena entre


Junho 2003

esta experincia e o lanamento de um dado homogneo e simtrico de 20 lados, com 5 faces

numeradas com o 15, 8 faces numeradas com o 16 e 7 faces numeradas com o 17. Admitindo

que qualquer uma das faces (ou qualquer um dos alunos) tem igual probabilidade de sair,

deveremos atribuir o valor 1/20 probabilidade de sada de cada uma das 20 faces. Como 5

delas tm o nmero 15 inscrito, a probabilidade de sair uma face com o nmero 15 ser 5/20,

com o nmero 16 ser 8/20 e com o nmero 17 ser 7/20. O modelo obtido pois exactamente

o mesmo e deve-se salientar bem que o que esteve sempre na base do raciocnio foi o facto de

se estar a atribuir igual probabilidade a cada um dos 20 resultados elementares.

Quando todos os casos so equiprovveis a probabilidade de ocorrncia de um certo

acontecimento pode ser calculada dividindo o nmero de casos favorveis ocorrncia desse

acontecimento pelo total de casos possveis: a chamada Regra de Laplace ou definio

clssica de Probabilidade.

Dado o espao de resultados S constitudo por um nmero finito n de elementos, todos eles

igualmente possveis, define-se Probabilidade de um acontecimento A e representa-se por

P(A), como sendo a razo entre o nmero de resultados favorveis a A (resultados que

compem A) - nA e o nmero de resultados possveis (resultados que constituem S) - n:

P(A) =

nAn

=

# A

# S

Exemplo 2.1.2 - Duas equipas de baseball, muito equilibradas, disputam um torneio de 4 jogos.

Regista-se o resultado de cada jogo (no est previsto o empate).

a) Descreva o espao de resultados associado experincia aleatria que consiste em verificar

quais os resultados da equipa 1 nos quatro jogos.

b) Seja A o acontecimento: A equipa 1 ganha exactamente 3 jogos. Quais os acontecimentos

elementares que compem A?

c) Atribua probabilidades aos acontecimentos elementares.

Resoluo:

a) O espao de resultados constitudo por todos os conjuntos de 4 elementos da figura

seguinte, onde representamos por G e P respectivamente a equipa 1 ganha ou perde.

b) Os acontecimentos elementares que compem A encontram-se assinalados com **.

c) Como admitimos que existe igual possibilidade da equipa ganhar ou perder em cada jogo,

natural esperar que cada resultado do espao de resultados tenha a mesma probabilidade, ou

seja 1/16.


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1 jogo 2 jogo 3 jogo 4 jogo

G

P

G

P

G

P

G

P

G

P

G

P

G

P

G

P

(GGGG)

(GGGP)

(GGPG)

(GGPP)

(GPGG)

(GPGP)

(GPPG)

(GPPP)

(PGGG)

(PGGP)

(PGPG)

(PGPP)

(PPGG)

(PPGP)

(PPPG)

(PPPP)

G

P

G

P

G

P

G

P

G

P

**

**

**

**

G

G

P

P

Se temos um modelo de probabilidade bem definido ser natural que se pretenda calcular a

probabilidade de qualquer acontecimento relacionado com a experincia em causa, e que no

seja um acontecimento elementar. A que ser igual ento a probabilidade do acontecimento A,

que representamos por P(A)? Uma vez que este acontecimento constitudo por 4

acontecimentos elementares, existem 4 possibilidades em 16 de ele se realizar, de forma que

P(A) = 4/16 = 1/4.

Nota: Embora esteja pressuposto na regra de Laplace, ou definio clssica de probabilidade,

como tambm se costuma referir esta regra, que o espao de resultados finito, no podemos

deixar uma vez mais de alertar para este facto. alis esta situao, a par com a dificuldade em

sabermos partida se os elementos do espao de resultados so igualmente possveis, que faz

com que esta teoria seja criticvel.

Exerccios:

1. O trabalho de um grupo constitudo pelo Antnio, Isabel, Ins, Rita e Ricardo, tem que ser

apresentado por dois dos seus elementos. Como nenhum quer apresentar o trabalho, decidiram

escrever 5 papelinhos com os respectivos nomes, met-los numa caixa e seleccionar 2 ao

acaso.


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a) Descreva o espao de resultados associado ao fenmeno aleatrio em estudo e

associe-lhe um modelo de probabilidade.

b) Qual a probabilidade do Antnio ser seleccionado para apresentar o trabalho?

c) Qual a probabilidade de serem duas raparigas a apresentar o trabalho?

2. No jogo do Monoplio o jogador lana dois dados e move-se de tantas casas quantas a soma

das pintas. Qual a probabilidade de mover exactamente 11 casas?

3. Tem duas caixas, em que na caixa A tem 3 bolas numeradas de 1 a 3, enquanto que na caixa

B tem 4 bolas numeradas de 1 a 4. Tira uma bola de cada caixa. Qual a probabilidade de retirar

da caixa B uma bola com um numero superior ao da caixa A?

4. Verifique que o seguinte par de dados se comporta da mesma maneira que dois dados

normais de 6 faces, quando estamos interessados na experincia aleatria que consiste em

lanar dois dados e verificar a soma das pintas das faces que ficam viradas para cima.

2

2

1 3

3

8

6

1

3

4 54

5. Suponha que lhe propem o seguinte jogo para o qual tem duas opes:

a) Lana um dado 120 vezes. Cada vez que sair um 1 ou um 6, ganha um euro;

b) Faz 120 extraes de uma caixa com 6 bolas, das quais 2 tm o nmero 1 e 4 o nmero

0. Cada vez que extarir o nmero 1 recebe 1 euro.

Qual das opes prefervel? Ou sero equivalentes?


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2. 2 Aproximao frequencista de probabilidade

Na definio de fenmeno aleatrio dissemos que se verificava uma regularidade a longo termo

para a qual se podia obter um padro genrico de comportamento. Esta regularidade estatstica

a base da aproximao conceptual para a probabilidade, segundo a definio frequencista. J

que o fenmeno aleatrio em estudo se pode observar repetidamente, vamos repetir a

experincia e registar a frequncia relativa com que cada resultado (acontecimento elementar)

ocorreu.

medida que o nmero de repeties da experincia aleatria aumenta, a frequncia relativa do

acontecimento elementar tende a estabilizar para um valor entre 0 e 1. Este valor, interpretado

como sendo a Probabilidade desse acontecimento elementar se realizar.

Suponhamos, por exemplo, a experincia aleatria que consiste no lanamento de uma moeda

ao ar e observar a face que fica virada para cima. Realizaram-se 100 lanamentos, tendo-se

obtido os seguintes resultados:

1 cara 21 cara 41 cara 61 coroa 81 cara 2 coroa 22 coroa 42 cara 62 cara 82 coroa 3 cara 23 cara 43 coroa 63 coroa 83 cara 4 cara 24 cara 44 coroa 64 coroa 84 cara 5 cara 25 coroa 45 coroa 65 coroa 85 coroa 6 coroa 26 cara 46 coroa 66 coroa 86 cara 7 coroa 27 cara 47 coroa 67 coroa 87 cara 8 coroa 28 cara 48 cara 68 cara 88 coroa 9 coroa 29 coroa 49 cara 69 cara 89 coroa 10 coroa 30 cara 50 cara 70 cara 90 cara 11 cara 31 cara 51 coroa 71 coroa 91 coroa 12 coroa 32 coroa 52 cara 72 cara 92 coroa 13 cara 33 coroa 53 cara 73 cara 93 coroa 14 coroa 34 cara 54 cara 74 coroa 94 coroa 15 cara 35 cara 55 coroa 75 cara 95 cara 16 coroa 36 coroa 56 cara 76 cara 96 cara 17 cara 37 cara 57 coroa 77 coroa 97 coroa 18 cara 38 coroa 58 cara 78 coroa 98 cara 19 coroa 39 coroa 59 coroa 79 coroa 99 cara 20 cara 40 coroa 60 coroa 80 cara 100 cara

Se ao fim dos 100 lanamentos se verificaram 49 coroas, ento a frequncia relativa com que se

verificou o acontecimento sada de coroa foi de 0.49. O valor para que tende a frequncia

relativa da sada de coroa, ao fim de um grande nmero de lanamentos, interpretado como a

probabilidade do acontecimento sada de coroa.


Junho 2003

O grfico obtido para a frequncia relativa aps cada lanamento, tem o seguinte aspecto:

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0 20 40 60 80 10 0

N de lana mentos

Fre

q.

rel.

A frequncia relativa, medida que o nmero de provas aumenta, tem tendncia a estabilizar

volta do valor 0.5. Assim, aceitamos que a probabilidade de sair coroa 0.5.

Observao: Chamamos a ateno, ainda relativamente a este exemplo, para o seguinte: no

correcto dizer que medida que o nmero de lanamentos aumenta, o nmero de coroas se

aproxima de metade do nmero de lanamentos. A regularidade a longo termo significa que a

frequncia relativa da sada de coroa tende a estabilizar. Neste caso, ao fim de 100 lanamentos

o nmero de coroas foi de 49; se continussemos a fazer lanamentos poderia acontecer que ao

fim de 500, 1000, 2000 e 3000 lanamentos, o nmero de coroas obtidas fosse respectivamente

de 253, 495, 993 e 1510 como se apresenta na seguinte tabela:

N lanamentos

N coroas obtidas

x

Metade dos lan.

y

|y - x| Freq. relativa

100 49 50 1 0.49 500 253 250 3 0.51

1000 495 500 5 0.50 2000 993 1000 7 0.50 3000 1510 1500 10 0.50

Como se verifica, pode acontecer que o nmero de coroas obtidas frequncia absoluta, se

afaste de metade do nmero de lanamentos, no impedindo que a frequncia relativa tenha

tendncia a estabilizar volta do valor 0.50.


Junho 2003

Define-se probabilidade (definio frequencista) de um acontecimento A e representa-se por

P(A) como sendo o valor obtido para a frequncia relativa da realizao de A, num grande

nmero de repeties da experincia aleatria.

Exemplo 2.2.1 - Suponha que lana um dado 1000 vezes e verifica a face que ficou voltada para

cima, tendo obtido os seguintes resultados:

Face Freq. abs. Freq. rel.(%) 1 159 15.9% 2 163 16.3% 3 160 16.0% 4 161 16.1% 5 86 8.6% 6 271 27.1%

Perante os resultados anteriores, um modelo de probabilidade que poderamos sugerir, seria o

seguinte:

Face Probabilidade 1 16% 2 16% 3 16% 4 16% 5 9% 6 27%

Os resultados anteriores levam-nos a concluir que estamos perante um dado viciado, pois as

faces no tm todas a mesma probabilidade de sarem, como seria de esperar num dado

equilibrado.

Nota . Esta seco foi adaptada de (Graa Martins et al, 1999)

Ser que esta definio de probabilidade nos resolve os problemas que no nos resolvia a regra

de Laplace?

Obviamente que no! Nem sempre possvel submeter a atribuio da probabilidade de um

acontecimento realizao da experincia um nmero suficiente de vezes de modo a obter a

desejada convergncia.

Exemplo 2.2.2 (Alpuim, 1997) Suponha que vamos rodar uma roleta calibrada de 0 a 1, duas

vezes consecutivas:


Junho 2003

Se designarmos por x1 o resultado

da 1 vez e por x2 o resultado da 2

vez, o espao de resultados ser

S={(x1, x2) [0,1)x[0,1)}, cuja repre-

sentao grfica se apresenta a

seguir:

1

1

Alguns acontecimentos associados a este espao de resultados so exemplificados a seguir:

A = {x2>1/3} B = {x2+x1


Junho 2003

2.3 Definio axiomtica de Probabilidade

Das seces anteriores j ficmos com a ideia que a probabilidade no mais do que uma

funo que associa a conjuntos acontecimentos, um nmero real entre 0 e 1. Como definir

ento, formalmente, um modelo probabilstico?

A questo foi resolvida pelos matemticos, no incio do sculo 20, que comearam por admitir

que dispunham de um conjunto S, a que chamaram espao de resultados. Tendo verificado que

no fazia sentido atribuir a cada elemento do espao de resultados, no caso contnuo, uma

probabilidade, optaram por probabilizar subconjuntos de S. Estabeleceram ento algumas regras

a que deveria obedecer uma funo P, quando aplicada a subconjuntos de S. Estas regras, a

que chamamos axiomas, decorreram de modo natural das propriedades verificadas pelos

modelos de probabilidade de Laplace ou frequencista.

Considere-se ento um espao de resultados S e uma classe W de subconjuntos de S

(acontecimentos). Admite-se que W satisfaz as seguintes condies:

- Se um acontecimento A est em W, ento o seu complementar tambm est em W;

- Se dois acontecimentos A e B esto em W, ento a sua unio AB tambm est em

W;

- S est em W.

Dado o par (S, W), a cada elemento W, associa-se um nmero que se chama Probabilidade e

se representa por P(A). As probabilidades associadas aos acontecimentos de uma mesma

famlia de acontecimentos W, satisfazem as seguintes propriedades ou axiomas:

Axioma 1 Para qualquer elemento AW, P(A) 0

Axioma 2 P(S) = 1

Axioma 3 - Se os acontecimentos A e B so disjuntos, isto , AB=, ento

P(AB) = P(A) + P(B)

Antes de deduzir algumas propriedades que decorrem para a Probabilidade assim definida,

vamos ver que o modelo de Laplace e o modelo frequencista satisfazem a axiomtica que

acabmos de apresentar.

Modelo de Laplace como modelo da axiomtica de probabilidade


Junho 2003

O espao de resultados S para o modelo de Laplace sempre um conjunto finito, no vazio,

S={s1,s2,,sk}. Sabemos ainda que dado um subconjunto A de S a probabilidade de ocorrncia

de A dada por n de casos favorveis a A/ n de casos possveis ou, em termos de cardinais de

conjuntos, P(A)=#A/#S. Note-se que uma consequncia imediata desta regra de clculo das

probabilidades para o modelo de Laplace que a probabilidade de cada acontecimento

elementar Ei={si} igual a 1/k.

Demonstremos ento que P verifica os axiomas A1, A2 e A3:

P(A) o quociente entre um nmero inteiro no negativo e um nmero inteiro positivo

sendo por isso um nmero (racional) no negativo (o cardinal de um conjunto finito

sempre um nmero inteiro no negativo). Logo A1 verifica-se.

P(S) =

# S

# S=1. Logo A2 verifica-se.

P(AB) =

#(AB)

#S =

# A #B

#S se os conjuntos A e B forem disjuntos. Logo, para

A e B disjuntos, P(AB) = =

#A

#S +

#B

#S= P(A) + P(B) pelo que A3 tambm se

verifica.

Modelo frequencista como modelo da axiomtica da probabilidade

Suponhamos que ao realizar N vezes uma experincia aleatria se obteve os seguintes

resultados:

Resultados Frequncias

s1 N1

s2 N2

sk Nk

No modelo frequencista da probabilidade comeamos por considerar um conjunto S que

contenha os resultados observados {s1,s2,,sk}. Em cada realizao da experincia diz-se que

um acontecimento A ocorreu se o resultado da experincia for algum dos seus elementos. Numa

primeira fase considere-se que a probabilidade de ocorrncia do acontecimento A dada por

PN(A) =

n de vezes que A ocorreu nas N realizaes da experincia

N

Com esta definio os acontecimentos elementares {si}, i=1,2,,k tm probabilidade Ni/N, onde

representamos por Ni a frequncia absoluta com que se verificou {si}, e qualquer outro elemento

de S ter probabilidade nula. Assim sendo o espao S poder no ser equiprovvel. Vejamos


Junho 2003

agora que uma probabilidade definida por este processo verifica a axiomtica anteriormente

apresentada:

O n de vezes que A ocorreu sempre um inteiro no negativo. Logo PN(A)0 e A1

verifica-se.

Em cada realizao da experincia S ocorreu sempre, uma vez que S contm todos os

resultados observados. Logo PN(S) =

N

N =1 e A2 verifica-se.

Dados dois conjuntos disjuntos A e B, em cada realizao da experincia se A ocorre

porque se obteve como resultado um dos elementos de A e, como tal, B no ocorre e

vice versa. Por outro lado, dizer que ocorre a reunio de A com B dizer que se obteve

como resultado um elemento si que ou est em A ou est em B mas no nos dois em

simultneo. Assim sendo cada ocorrncia de A contribui com um incremento de uma

unidade no n de ocorrncias de (AB) o mesmo acontecendo com cada ocorrncia de

B. O n total de ocorrncias de (AB) ser ento a soma do n total de ocorrncias de A

com o n total de ocorrncias de B o que prova que A3 tambm se verifica.

A definio frequencista de probabilidade diz-nos que P(A) o limite de PN(A) quando N tende

para infinito. Admitindo que se deu um sentido preciso palavra "limite" e que esse "limite"

verifica as propriedades usuais agora fcil de verificar que tambm aqui se tem a validade dos

trs axiomas. Na verdade para mostrar que se tem A3 basta utilizar o facto do limite da soma ser

a soma dos limites. O axioma A2 imediato pois a sucesso PN(S) constante, igual a 1. Para

provar A1 basta notar que se uma sucesso sempre no negativa ento o seu limite tambm

no negativo.


Junho 2003

2.4 Consequncias da definio axiomtica da Probabilidade

Com a ajuda dos diagramas de Venn, j utilizados para representar operaes entre

acontecimentos, e tendo em considerao os axiomas da Probabilidade, facilmente se mostram

as seguintes propriedades para a Probabilidade:

1 - P( ) = 0

2 - P( A ) = 1 - P(A)

3 - Se AB ento P(A) P(B)

S

A

B

B-A

P(B) = P(A) + P(B-A)

0

4 - Qualquer que seja o acontecimento A, 0 P(A) 1

Corolrio do resultado anterior.

5 - Quaisquer que sejam os acontecimentos A e B, tem-se a chamada regra da adio

S

A BP(A B) = P(A) +P(B) - P(A B)

AB= (B - A)(AB) (A -B)P(AB)=P(B -A)P(AB)P(A -B)

Atendendo a que P(B-A)=P(B)-P(AB), como facilmente se mostra, uma vez que B=(B-

A) (AB), vem o resultado pretendido.


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6. P( Aii=1

n) P(

i1

n

Ai) se Ai A j para todo o i j. A demonstrao imediata usando a

propriedade anterior e o mtodo da induo.

Nota - Axiomtica de Kolmogorov

Ao axioma 3 usual chamar axioma da aditividade finita. Este axioma no permite generalizar a

propriedade 6 para unies infinitas. Se admitirmos que o espao de resultados infinito

numervel (Um conjunto diz-se numervel se pudermos estabelecer uma aplicao bijectiva

entre ele e os naturais), S={s1, s2, }, ento seria desejvel que para qualquer subconjunto A de

S, finito ou no, a sua probabilidade fosse a soma das probabilidades dos acontecimentos

elementares que o compem. Assim, resolve-se o problema substituindo o axioma 3, pelo

seguinte axioma:

Axioma 3* - P( Aii=1

) P(

i1

Ai) se Ai A j para todo o i j

Exemplo 2.4.1 - Num restaurante registaram-se, durante bastante tempo, os pedidos dos

clientes, tendo-se chegado concluso que, para terminar a refeio, 20% dos clientes pedem

s sobremesa, 40% pedem s caf e 30% pedem sobremesa e caf.

a) Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situao anterior.

b) Determine a probabilidade do acontecimento pedir caf.

c) Determine a probabilidade do acontecimento no pedir sobremesa.

d) Determine a probabilidade do acontecimento pedir caf ou sobremesa.

e) Determine a probabilidade do acontecimento nem pede caf nem sobremesa.

f) Os acontecimentos pedir caf e pedir sobremesa so disjuntos?

Resoluo:

a)

b) P(Caf) = .30 + .40 = .70

c) P( Sob) = 1 - P(Sob)

= 1 - .50 = .50


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d) P(Caf ou Sob) = .90

e) P(Caf ou Sob,

________

) = 1 - P(Caf ou Sob)

= 1 - .90 = .10

f) Os acontecimentos no so disjuntos

Exemplo 2.4.2 (Graa Martins et al, 1999) - Numa loja de hamburgers, o gerente verificou que

em cada 100 hamburgers vendidos 45 tm queijo e 15 tambm tm cebola. Registos anteriores

permitem tambm concluir que a probabilidade de um cliente pedir um hamburger com cebola

.35. Qual a probabilidade de um cliente pedir um hamburger:

a) Com queijo ou cebola

b) Sem cebola nem queijo

c) S com cebola (alm da carne)

Resoluo:

Para representar os vrios acontecimentos envolvidos, vamos utilizar um diagrama de Venn,

onde representamos por Q o acontecimento presena de queijo e por C o acontecimento

presena de cebola

QC

.45 .35

.15

S

a) P(QC) = P(Q)+P(C) P(QC)

= .45 + .35 - .15 = .65

b) P( QC) = 1 - P(QC)

= 1 - .65 = .35

c) P( CQ ) = P(C) P(QC)

= .35 - .15 = .20

Exemplo 2.4.3 (Parzen, 1960) - Num estudo sobre sexo, estado civil e habilitaes literrias de

um grupo de 1000 leitores de determinada revista, obtiveram-se os seguintes dados: 312 so do

sexo masculino, 470 so casados, 525 tm o liceu, 42 homens tm o liceu, 147 casados tm o

liceu, 86 homens so casados, e 25 homens casados tm o liceu. Verifique que estes dados no

so consistentes.

Resoluo:

Representando por M sexo masculino; C casado; L liceu, temos

P(M) = 0.312; P(C) = 0.470; P(L) = 0.525;

P(ML) = 0.042; P(CL) = 0.147; P(MC) = 0.086;

P(MCL) = 0.025

donde

P(MCL) = P(M) + P(C) + P(L) - P(ML) - P(CL) - P(MC) + P(MCL)

P(MCL) = 0.312 + 0.470 + 0.525 0.042 0.147 0.086 + 0. 025


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= 1.057

Este resultado impossvel pois o valor para a probabilidade no pode ser superior a 1.

Exerccio (Freedman et al, 1991) Diga se so verdadeiras ou falsas as seguintes asseres:

a) Uma caixa tem 10 bilhetes numerados de 1 a 10. Extraem-se 5 bilhetes, com reposio.

H uma probabilidade de 5/10 de obter pelo menos um 7. Explique.

b) Extrai-se um nmero aleatoriamente de uma caixa. H uma probabilidade de 20% de ser

menor ou igual a 10 e uma probbailidade de 10% de ser maior ou igual a 50. A

probabilidade de obter um nmero maior que 10 e menor que 50 0.7. Explique.

c) Lana-se um par de dados. A probabilidade de obter pelo menos um 1 1/6+1/6=1/3.

Explique.

Nota histrica (Adaptado de Statistics, Freedman) O paradoxo do Cavaleiro De Mr

No sculo XVII, os jogadores Franceses costumavam fazer apostas sobre os seguintes

acontecimentos: 1 jogo: lanar 4 dados e sair pelo menos um s (chama-se s face com 1 pinta); 2

jogo: lanar 24 vezes um par de dados e sair pelo menos um duplo-s (um par de dados com as faces

1). Um nobre Francs, o Cavaleiro De Mr, pensava que estes dois acontecimentos tinham igual

probabilidade. O seu raciocnio era o seguinte, relativamente ao primeiro jogo:

No lanamento de um dado, tenho uma probabilidade 1/6 de obter um s;

Assim, em 4 dados tenho uma probabilidade 4x1/6 de obter pelo menos um s:

O seu raciocnio relativamente ao segundo jogo era anlogo:

No lanamento de um par de dados tenho uma probabilidade 1/36 de obter um duplo-s.

Assim, em 24 lanamentos, terei uma probabilidade 24x1/36 de obter pelo menos um duplo-

s.

Com este argumento, ambos os acontecimentos tinham a mesma probabilidade, igual a 2/3. Mas a

experincia mostrava que o primeiro acontecimento se observava mais vezes que o segundo! Esta

contradio ficou conhecida como o paradoxo do Chevalier de Mr.

De Mr questionou o filsofo Blaise Pascal sobre este problema, e Pascal resolveu-o com a ajuda do

seu amigo Pierre de Fermat. Fermat era um juz e membro do parlamento, que conhecido hoje pelas

investigaes matemticas que fazia nas horas vagas. Fermat mostrou que De Mr utilizava a regra

da adio (axioma 3) para acontecimentos que no eram mutuamente exclusivos ou disjuntos.

Efectivamente possvel obter um s tanto no 1 como no 2 lanamento de um dado. Alm do mais,

levando o argumento de De Mr um pouco mais longe, concluiramos que a probabilidade de obter

um s em 6 lanamentos de um dado seria 6/6, ou seja 1. Alguma coisa teria que estar mal.

A questo que se punha agora, era como calcular correctamente estas probabilidades. Pascal e

Fermat resolveram o problema, com um tipo de raciocnio matemtico, indirecto o que normalmente

deixa os no matemticos com o sentimento de que esto a ser enganados. Efectivamente, numa

resoluo directa como a proposta por Galileu (ver seco++++) afundar-nos-amos completamente:

com 4 lanamentos de um dado h 64 = 1 296 resultados possveis; com 24 lanamentos de um par de


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dados h 3624 2.2 x 1037

resultados possveis. Infelizmente a conversa entre Pascal e Fermat

perdeu-se para a histria, mas apresentamos seguidamente uma reconstruo.

Pascal. Olhemos ento em primeiro lugar para o primeiro jogo.

Fermat. Vamos a isso. A probabilidade de ganhar difcil de calcular, pelo que vamos tentar calcular

a probabilidade do acontecimento complementar: a de perder. Ento

Probabildade de ganhar = 1 probabilidade de perder

Pascal. De acordo. O jogador perde quando nenhum dos 4 dados mostrar um s. Mas como que

calcula a probabilidade?

Fermat. Parece complicado. Vamos comear com um dado. Qual a probabilidade que o primeiro

dado no mostre um s?

Pascal. Tem que mostrar entre o 2 e o 6, pelo que essa probabilidade ser 5/6.

Fermat. isso. Agora, qual a probabilidade que os primeiros dois lanamentos no mostrem ases?

Pascal. A probabilidade que o primeiro lanlamento do dado no mostre um s 5/6 = 0.83(3), ou

seja, podemos dizer que se espera que em 83,(3)% das vezes que se faz o primeiro

lanamento no saia s. Para que no haja ases nos dois lanamentos, esperamos que em

83,(3)% dessas vezes tambm no haja s no segundo lanamento. Como 83.(3)% de

83.(3)% 83.(3)%x83.(3)%=69,(4)%, deveremos esperar que em 69,(4)% das vezes no

haja ases nos dois lanamentos. Repare-se que 69.(4)% no mais do que 5/6x5/6=(5/6)2,

ou seja, o produto da probabilidade de no sair s no primeiro lanamento pela

probabilidade de no sair s no segundo lanamento.

Fermat. Ento e com 3 lanamentos?

Pascal. Ser 5/6x5/6x5/6 = (5/6)3

Fermat. Sim. E agora com 4 lanamentos?

Pascal. Deve ser (5/6)4

Fermat. Est bem. Significa que se tem uma probabilidade de cerca de 48.2% de perder. Agora

Probabildade de ganhar = 100% 48.2% = 51.8%

Fermat. Ento a probabiliddae de ganhar o primeiro jogo um pouco superior a 50%. E no que diz

respeito ao segundo jogo?

Pascal. Bem, no lanamento de um par de dados, h uma possibilidade em 36 de obter um duplo-

s, e 35 possibilidades em 36 de no o obter. Pelo mesmo argumento utilizado para o

primeiro jogo, em 24 lanamentos de um par de dados, a probabilidade de no obter um

duplo-s (35/36)24

.

Fermat. Que cerca de 50.9%. Ento como esta a probabilidade de perder, a

Probabildade de ganhar = 100% 50.9% = 49.1%

Pascal. Exactamente, o que d uma probabilidade um pouco inferior a 50%. C est a razo pela

qual se ganhava o segundo jogo com menos frequncia que o primeiro. Mas teria de lanar

o dado um grande nmero de vezes para se aperceber da diferena.


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2.5 Probabilidade condicional e independncia

Num exemplo da seco 1.1 referimos que a moeda no tem memria. Efectivamente os

sucessivos lanamentos que se fazem com uma moeda so independentes, o que significa que

no possamos prever o que se vai verificar no prximo lanamento, com base no que se passou

em lanamentos anteriores.

Suponhamos agora o seguinte exemplo: Considera-se um baralho de cartas e extrai duas cartas.

Ganha 100 euros se a segunda carta for um rei de copas. Qual a probabilidade de ganhar os 100

euros?

Admita que joga este jogo segundo 2 cenrios:

1 cenrio No lhe permitem que veja a 1 carta;

2 cenrio Quando retira a 1 carta olha e v que o 7 de espadas.

Para obter aquela probabilidade podemos fazer o seguinte raciocnio:

1 cenrio - se o baralho est embaralhado, como pressuposto, a probabilidade do rei de

copas estar na 2 posio 1/52, j que h 52 posies possveis, todas

igualmente possveis, das quais s uma favorvel. Assim, P(Rei de copas)

= 1/52.

2 cenrio Neste caso temos 51 cartas por uma ordem aleatria, e estamos interessados

numa delas que o rei de copas. Ento P(Rei de copas) = 1/51.

Embora o acontecimento de que pretendamos calcular a probabilidade fosse o mesmo nos dois

casos, os contextos eram diferentes. No 1 caso estvamos procura da probabilidade de na 2

carta estar o Rei de copas, independentemente do que estivesse na 1 carta, enquanto que no 2

caso estvamos procura da probabilidade de na segunda carta estar o Rei de copas,

condicional a que na 1 carta estivesse o 7 de espadas. A esta probabilidade chamamos

probabilidade condicional.

O conceito de probabilidade condicional um dos conceitos mais importantes da Teoria da

Probabilidade e est relacionado com o facto de em muitas situaes em que se pretende

calcular a probabilidade de um acontecimento, j se dispor de alguma informao sobre o

resultado da experincia, a qual permite actualizar a atribuio de probabilidade a esse

acontecimento. uma noo, em geral, intuitiva, quando aplicada no clculo de probabilidades

de cadeias de acontecimentos (ao retirar bolas de uma urna sucessivamente, sem reposio, a


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composio da urna altera-se e a probabilidade de se retirar certo tipo de bola depende dos tipos

que saram nas extraces anteriores).

Outro tipo de exemplos que conduzem facilmente noo de probabilidade condicional so os

que envolvem a extraco (ou escolha) ao acaso de um indivduo de uma populao cujos

indivduos esto classificados segundo os nveis de duas (ou mais) categorias (escolha ao acaso

de um aluno de uma turma onde h rapazes, raparigas, filhos nicos e no filhos nicos).

Notar ainda que em situaes de escolha aleatria de um indivduo de uma populao, a

probabilidade de ocorrncia de A condicional ocorrncia de B no mais do que a

probabilidade de ocorrncia de A quando se escolhe ao acaso um indivduo da subpopulao

constituda unicamente pelos indivduos que verificam a caracterstica determinada pelo

acontecimento B.

Consideremos (Graa Martins, M. E. et al, 1999), por exemplo, a experincia aleatria que

consiste em lanar um dado e verificar o nmero de pintas que sai. A probabilidade do

acontecimento A, sair 1 ou 3 pintas 2/6, j que o nosso espao de resultados S, constitudo

por 6 casos igualmente possveis, dos quais 2 so favorveis realizao de A. Se, no entanto,

pretendermos a probabilidade desse mesmo acontecimento, sabendo de antemo que saiu um

nmero de pintas mpar, neste momento j o espao de resultados S, constitudo por 3

resultados, igualmente possveis, dos quais 2 so favorveis, pelo que a probabilidade

pretendida 2/3, o dobro da obtida anteriormente, quando no tnhamos nenhuma informao.

Exemplificando com um diagrama de Venn

Vejamos ainda uma outra situao. Suponhamos, por exemplo, a experincia aleatria que

consiste em retirar 2 bolas sem reposio, de uma caixa contendo 4 bolas brancas B1, B2, B3 e

B4 e 3 bolas pretas P1, P2, P3. Os N diferentes resultados obtidos na realizao da experincia

so:


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B1B2 B1B3 B1B4 B1P1 B1P2 B1P3




P1B1 P1B2 P1B3 P1B4 P1P2 P1P3



Representando por n(Branca1) e n(Branca2), respectivamente, o nmero de vezes em que se

verificou o acontecimento Branca1 saiu bola branca na 1 extraco e o nmero de vezes que

se realizou o acontecimento Branca2 saiu bola branca na 2 extraco, e por

n(Branca1Branca2) o nmero de vezes que se realizou o acontecimento Branca1Branca2

saiu branca na 1 e 2 extraces, temos:

P(Branca1) = 24/42, P(Branca2) = 24/42, P(Branca1Branca2) = 12/42

Suponhamos, no entanto, que sabamos que tinha sado branca na 1 extraco, isto , que se

tinha verificado o acontecimento Branca1. Qual a probabilidade de sair branca na 2 extraco,

isto de se verificar o acontecimento Branca2, tendo em conta esta informao adicional? Neste

momento o espao de resultados foi substancialmente reduzido, pois o nmero de resultados

possveis 24 (ter sado branca na 1 extraco),





dos quais s 12 que so favorveis, pelo que

P(Branca2 sabendo que Branca1) = 12/24

probabilidade anterior chamamos probabilidade condicional do acontecimento Branca2,

sabendo que (ou dado que) se realizou o acontecimento Branca1, e representamos por

P(Branca2|Branca1).

Repare-se que


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P(Branca2|Branca1) =

n(Branca1 Branca2)

n(Branca1)

=

n(Branca1Branca2)

Nn(Branca1)

N

=

P(Branca1Branca2)

P(Branca1)

ou seja P(Branca2|Branca1) =

P(Branca1Branca2)

P(Branca1)

Assim, a probabilidade condicional de se realizar o acontecimento Branca2, sabendo que se

realizou Branca1, o quociente entre a probabilidade da realizao de Branca1 e Branca2, e a

probabilidade da realizao de Branca1. Esta probabilidade condicional s tem sentido se

P(Branca1) for superior a zero.

Seja S um espao de resultados e P uma probabilidade nesse espao. Dados dois

acontecimentos A e B, com P(B)>0, define-se probabilidade condicional de A se B (ou

probabilidade de A condicional ocorrncia de B) como sendo

P(A|B) =

P(AB)

P(B)

Exemplo 2.5.1 (Parzen, 1960) Consideremos uma famlia com dois filhos e suponhamos que

existe igual probabilidade de cada filho ser rapaz ou rapariga. Qual a probabilidade de que

ambos os filhos sejam rapazes dado que: (i) o filho mais velho um rapaz, (ii) pelo menos um

dos filhos rapaz.

O espao de resultados associado ao fenmeno em estudo, isto , uma famlia ter dois filhos S

= {MM, MF, FM, FF}. Todos estes resultados so igualmente possveis tendo em considerao o

facto de ser igualmente provvel um filho ser rapaz (M) ou rapariga (F). Pretende-se a

probabilidade de ambos serem rapazes, sabendo que (i) o filho mais velho rapaz este

condicionamento provoca que o espao de resultados se reduza a S = {MM, MF}, donde P(MM)

= 1/2. Condicionando agora no acontecimento (ii) pelo menos um dos filhos rapaz, j o espao

de resultados S = {MM, MF, FM} pelo que a probabilidade pretendida P(MM) = 1/3.


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Nota: Repare-se que a probabilidade de que ambos os filhos sejam rapazes diferente

consoante nada se saiba sobre o sexo dos filhos ou haja conhecimento parcial sobre o sexo de

um dos filhos. No primeiro caso a probabilidade 1/4.

Exemplo 2.5.2 (Siegel et al, 1988) -. Consideremos a experincia aleatria que consiste em

observar, numa dada multinacional, a impresso causada (boa ou m) na entrevista dos

candidatos a um emprego, assim como se conseguem ou no o emprego. Pensemos nos

acontecimentos B o candidato causa boa impresso e E o candidato consegue o

emprego. Suponhamos que os acontecimentos anteriores esto representados num diagrama

de Venn e que se conhecem as probabilidades assinaladas:

No diagrama de Venn os nmeros indicados

representam:

P(BE) = 0.28

P(EB) = 0.08

P(BE) = 0.12

A partir do diagrama anterior sabemos que

P(Conseguir emprego) = 0.12 + 0.08 = 0.20

o que significa que 20% dos candidatos, que vo entrevista, conseguem o emprego. Ser que

o facto de causar boa impresso, aumenta as possibilidades de ser bem sucedido, na obteno

do emprego? Isto , ser que a informao adicional de que "um candidato causou boa

impresso" tem efeito na probabilidade de obter o emprego? Para responder a esta questo,

temos de nos cingir unicamente aos candidatos que causam boa impresso, em vez de

considerarmos todos os candidatos. A dimenso deste grupo 40% de todos os candidatos, j

que

P("Causar boa impresso") = 0.28 + 0.12 = 0.40

Para este totao de 40%, qual o contributo dos que conseguem o emprego? A resposta obtm-se

restringindo este grupo aos que conseguem o emprego

P("Causar boa impresso e Conseguir o emprego") = 0.12

Finalmente podemos calcular a probabilidade de uma pessoa que causou boa impresso,

conseguir o emprego. Esta probabilidade dada pela resposta seguinte questo " 0.12 que


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percentagem de 0.40"? , resposta esta que se obtm dividindo 0.12 por 0.40, como alis se

deduz da definio anteriormente dada de probabilidade condicional:

P("Conseguir o emprego" | "Causou boa impresso") =

0.12

0.40= 0.30

Vemos que a probabilidade de conseguir o emprego aumentou de 20% para 30%, com a

informao adicional disponvel. Isto significa que 30% dos candidatos que causam boa

impresso, conseguem o emprego, comparados com unicamente 20% dos candidatos em geral

(causando ou no boa impresso). Intuitivamente espervamos que o facto de um candidato

causar boa impresso, aumentasse as suas possibilidades de sucesso, e o que acabamos de

medir foi precisamente quo grande esse efeito.

Exemplo 2.5.3 (Pestana, D. et al, 2002) - Numa caixa esto 5 moedas, duas delas com face (F)

em ambos os lados, duas com coroa (C) em ambos os lados, e uma com F num dos lados e C

no outro. Escolhe-se uma moeda ao acaso, observando-se no lado que fica virado para cima F.

Qual a probabilidade do outro lado ser C?

Esto em jogo 5 faces favorveis num total de 10 lados, pelo que

P(C2 F1) = 1

10 pelo que P(C2 | F1) =

1

105

10

1

5

Regra do produto

A definio de probabilidade condicional, anteriormente considerada, permite-nos calcular a

probabilidade da ocorrncia simultnea de acontecimentos, chamada regra do produto:

A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois acontecimentos A e B igual probabilidade

que o primeiro ocorra, vezes a probabilidade do segundo ocorrer, condicional ocorrncia do

primeiro:

P(AB) = P(A) P(B|A)

Exemplo 2.5.4 - Suponha que tem uma caixa com 3 bolas pretas e 3 bolas brancas. Extrai duas

bolas, sem reposio. Qual dos acontecimentos mais provvel:

a) Extrair 2 bolas da mesma cor, ou

b) Extrair 2 bolas de cor diferente?

Resoluo:


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a) Colocando o ndice 1 ou 2 para significar a 1 ou 2 extraco, vem que probabilidade de tirar

duas bolas da mesma cor ser

P{(B1B2)(P1P2)} = P(B1B2) + P(P1P2)

= P(B1)P(B2|B1) + P(P1)P(P2|P1)

=

3

6

2

5 +

3

6

2

5=

2

5

b) A probabilidade de tirar duas bolas de cor diferente

P{(B1P2)(P1B2)} = P(B1P2) + P(P1B2)

= P(B1)P(P2|B1) + P(P1)P(B2|P1)

=

3

6

3

5 +

3

6

3

5=

3

5

Conclumos que mais provvel retirar duas bolas de cor diferente do que da mesma cor.

Exemplo 2.5.5 (Loura, L. et al, 2002) - Uma caixa tem 5 bolas Azuis, 8 bolas Verdes e 4 bolas

Brancas. Ao retirar sucessivamente 3 bolas, qual a probabilidade da primeira ser Azul, a

segunda Verde e a terceira Branca? E qual a probabilidade de sarem 3 bolas de cores

diferentes?

Neste tipo de exemplos torna-se conveniente colocar um ndice a indicar a ordem pela qual o

acontecimento ocorreu, tal como fizemos anteriormente. Assim Azul1 significa que saiu bola

Azul na primeira extraco, etc. Usando esta notao e a regra do produto temos:

P(Azul1 e Verde2 e Branca3) =5

17

8

16

4

15

P( 3 bolas de cor diferente) =

= P(Azul1 e Verde2 e Branca3+ P(Azul1 e Branca2 e Verde3)

+ P(Verde1 e Azul2 e Branca3) + P(Verde1 e Branca2 e Azul3)

+ P(Branca1 e Azul2 e Verde3) + P(Branca1 e Verde2 e Azul3)

= 6 5

17

8

16

4

15


Junho 2003

Exemplo 2.5.6 (Loura, L. et al, 2002) - O Ricardo e a Ins esto a jogar bisca. Neste jogo

retiram-se do baralho os 8, 9 e 10 de cada naipe, restando assim 40 cartas (10 de cada naipe).

No incio so distribudas 3 cartas a cada jogador. Admitindo que o Ricardo o primeiro a

receber as 3 cartas, qual a probabilidade de lhe calhar 3 Ases? E se ele for o segundo a

receber as cartas?

Facilmente se aceita que estas duas probabilidades devem ser iguais. Na realidade, tudo se

passa como se tivssemos retirado 6 cartas ao acaso do baralho e as separssemos em dois

grupos de 3. A simetria de toda a experincia conduz-nos, de imediato concluso de que a

probabilidade de estarem 3 Ases em qualquer destes dois grupos igual. Vamos, no entanto,

verificar esse facto admitindo que as cartas vo sendo distribudas uma a uma, em sequncia e

utilizando a regra do produto.

Sendo o Ricardo o primeiro a receber as cartas, a probabilidade de que a primeira seja um s ,

obviamente, 4/40, pois h 4 Ases no total das 40 cartas. Tendo recebido um s na primeira

carta, a probabilidade de que a segunda tambm seja um s passa a ser 3/39, pois j s h 3

Ases num total de 39 cartas. Finalmente, tendo j dois Ases na mo, a probab

Introdução Probabilidade Reanimat

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