INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS E SISTEMAS ELETRÓNICOS (ICSE)

CONCEITOS BASE ANÁLISE DE CIRCUITOS

LEE/LETI

Objectivos

Entender as especificações e o funcionamento dos circuitos e sistemas eletrónicos mais importantes

Programa

1 - Introdução aos sistemas electrónicos: Representação de sinais (valor médio e valor eficaz), Tipos de sistemas (lineares, não-lineares, em malha aberta, em malha fechada); Características principais (precisão, sensibilidade, linearidade, resposta em frequência, resposta no tempo, características dinâmicas).2 - Circuitos de corrente contínua: Corrente eléctrica; Tensão; Resistência e lei de Ohm; Potência, energia e eficiência; Fontes de tensão e de corrente; Condensadores e indutâncias; Teoremas.3 - Circuitos de corrente alternada: Reactância, Fasores e números complexos; Circuitos série e paralelo.4 - Amplificação e realimentação: Ganho, resposta em frequência, impedância de entrada e de saída; Amplificadores Operacionais : características, seguidor de tensão, amplificador inversor e não-inversor, ganho em malha aberta e em malha fechada, produto ganho-largura de banda, estabilidade.5 - Dispositivos electrónicos: Díodos (Características; Díodo de Zener; Rectificadores), Transístores bipolares e MOSFET (Características principais; Montagens básicas; O transístor como amplificador e como comutador).6 - Electrónica digital: Níveis lógicos e margens de ruído, atraso de propagação, tempos de subida e descida, fan-out e fan-in, consumo de potência; Famílias TTL e CMOS.7 - Fontes de alimentação: Baterias; Fontes não-reguladas e reguladas; Fontes comutadas; Especificações (Tensão de entrada, tensão de saída, corrente de carga máxima, rendimento, ripple, rejeição do ripple, regulação da carga, regulação na entrada, impedância de saída).

Horário

Funcionamento da Disciplina

Aulas teóricas – 2 aulas por semana

Aulas de laboratório – 3 turnos quinzenais

Aulas práticas – 2 turnos quinzenais

Horário de Dúvidas- (2ª e 6ªf à tarde e 5ªf nasemana das fichas)

Carga Horária

Horária

Aula Teórica (T): 3.0 h/semana

Aula de Problemas (TP): 0.75 h/semana

Aula de Laboratório (PL): 0.75 h/semana

Lab e Práticas alternadas tanto quanto possível

Método de Avaliação-I

Componente Teórica

2 Testes/exame final - 70%

1º Teste a 3 Nov na 8ª semana

2º teste + Exame (13 de Jan)

2º Exame e Repescagens (28 de Janeiro)

Método de Avaliação-II

Componente de Avaliação contínua

Avaliação contínua: 5 fichas+ 5 lab - 30%

Registos de resultados + desempenho

+ Relatório de trabalho final (20%)

Fichas de trabalho (Lab+prob)- às 6ªf na aula teórica e nas semanas (3ª, 5ª, 7ª, 10ª 12ª, 14ª (10%)

Montagens de circuito em breadboard realizadas previamente com componentes levantadas no LAB na semana anterior.

Calendarização

Setembro

1 15-set a19-set

2 22-set a 26-set Prática

Outubro 3 29-set a 3 -out Lab+fichaSinais eléctricos e aparelhos de medida

4 6-out a 10-out Prática

5 13-out a 17-out Lab+fichaEquivalentes de Thévenin e Norton, portas lógicas

6 20-out a 24-out Prática

Novembro 7 27-out a31-out Lab+fichaRectificação e regulação

8 3-nov a7-nov Lab+TesteAmplificação.Tipos de amplificação. Transistores MOS e bipolares

9 10-nov a 14-nov Prática

10 17-nov a 21-nov Lab+fichaCircuitos RC. Resposta a impulsos e a sinusoidea.

11 24-nov a 28-nov Prática

Dezembro 12 1-dez a 5-dez Lab+fichaReceptor de AM

13 8-dez a 12-dez Prática

14 15-dez a 19-dez Lab+fichaReceptor de AM

Bibliografia

Electrical & Electronic Systems

Neil Storey

Analog Electronics: Circuits, Systems and Signal Processing

David Crecraft, Stephen Gergely

Microelectronic Circuits, 5th edition

Sedra & Smith

Foundations of analog and digital electronics

Anant Agarwal and Jeffrey Lang

Bibliografia de autores portugueses

Título : Colecção de Problemas de Análise de Circuitos Autor(es):Teresa Mendes de Almeida

Referência: On line no site do IST, Edição Revista e Actualizada12 de Setembro de 2012+slides de aulas

Título : Introdução aos Circuitos Eléctricos e Electrónicos

Autor(es):M. Medeiros Silva

Ano:5th Edition, 2011,

Referência:Fundação Calouste Gulbenkian

Título : Análise de Circuitos

Autor(es):J. A. Brandão Faria

Ano:2013

Referência: IST Press

Teoria de circuitos- Conceitos básicos

Sistema de medida (SI)

Unidades de medida de grandezas elétricas

Variáveis Electr. Fundamentais:I-intensidade de corrente-A (ampere)V-potencial/diferença de potencial/ tensão V(volt)

Q-carga eléctrica –C (coulomb)Φ-fluxo magnético- Wb(weber)

Outras:P-potência – W(watt)E-energia- J(joule)f-frequência-Hz(hertz)ω- frequência angular-rad/s (radiano por segundo)

Elementos Electr. Fundamentais:R-resistência- ΩΩΩΩ(ohm) G-conductância-S(siemens)C-capacidade -F(farad)L- inductância-H (henry)

giga-G-109

mega-M-106

kilo-k-103

mili-m-10-3

micro-µµµµ-10-6

nano-n-10-9

pico-p-10-12

fento-f-10-15

Prefixos

Conceito básicos – Carga eléctrica

A carga eléctrica Q fixa como fonte do campo eléctrico

Q>0 Q’>0

A carga eléctrica Q’ como carga de prova

2

0

1 '

4elec r

QQF u

rπε=

r0

ru

r

elecF

r0

W

Campo Eléctrico é a força eléctrica por unidade de carga: 2

0

1

' 4

elecr

F QE u

Q rπε= =

Trabalho de Felec: ( ) 00

0

1 '

4elec r p p pro pr

r

QQW F dr u E E E E

rπε

+∞

∞= = = −∆ = − − =∫

Arbitra-se=0

Potencial eléctrico V em r0, é a energia potencial por unidade de carga:

0

0

1

' ' 4

prEW QV

Q Q rπε= = =

Q no vazio

Carga eléctrica numa pilha em vazio

f.e.m (Força electromotriz) - Ediferença de potencial VA-VTensão=UAB=WAB/Q’E =VA-V =UAB

Q numa pilha

+

+

F’elect

BV

++

Fheterogeneidade=Felect=Q’xE

+Q

+

-Q

+AV

f.e.m=E=VA-VB

1- Devido a heterogeneidades de materiais, surgem reacções químicas espontâneas (reacções redox) que criam os pólos positivo e negativo com as cargas Q e –Q – Força electromotriz (f.e.m)2- Contudo, essa mesma carga criada nos pólos produz um campo e um potencial eléctrico que contraria aquela tendência, deslocando carga + Q’ para o pólo negativo e carga – em sentido contrário. Na situação de equilíbrio a força de heterogeneidade igualará a força eléctrica. Dir-se-á

f.e.m=E = diferença de potencial=VA-VB

'Q

(condição de equilíbrio químico- a concentração dos reagentes permanece constante)

3- No exterior da pilha as cargas + e - de superfície garantirão também VA e VB uniformes nos condutores e a mesma diferença de potencial potencial=VA-VB no vazio

Carga eléctrica num condutor e corrente eléctrica-circuito fechado

+

+

BV

+++ AV

f.e.m=E=VA-VB

Q=0Q+

Q-

Q=0

1-A carga eléctrica no interior do condutor é nula, as cargas Q só poderão existir à superfície devido à fem(pólos). 2-A força eléctrica no condutor, criada pelos pólos, atrai electrões (carga livre - ∆Qlivre ) pelo exterior (a carga positiva dos iões do condutor é fixa) deslocando essa carga do pólo (-) para o pólo (+). 3-A força electromotriz E=VA-VB da pilha repõe os valores de Q+ e Q-, neutralizando a carga livre - ∆Qlivre que chega ao polo positivo e libertando carga negativa para o condutor no pólo negativo4- O ritmo I com que uma pilha transfere carga positiva para o pólo positivo para neutralizar a negativa que chega é dado por:

++++

---

-

Q+ Q-

AV

BV

I

+∆Qlivre−∆Qlivre

I

∆=

∆livreQ

It

E

- ∆Qlivre -

E

Campo Eléctricof.e.m E injeta −∆Qlivre

no pólo negativo

f.e.m E neutraliza a carga - ∆Qlivre

+++

−∆Qlivre

Intensidade de Corrente Elétrica-I

Intensidade de Corrente eléctrica: quantidade de cargapositiva livre (convencional) que, segundo um sentido arbitradocomo positivo, atravessa a secção dum conductor na unidadede tempo sob efeito de forças eléctricas e vencendo o atrito.

I

∆Qlivre

positiva

(convencional)Secção S do

condutor

Seta fixa o sentido de

referência

∆= +

∆livreQ

It

Se o deslocamento da carga convencional for

contrário ao sentido

de referência, troca-se o sinal + para -

∆Qlivre

positiva

(convencional)vconv velocidade da carga convencional

Corrente real

I 0totalQ = (carga total)′carga fixa + da atrito

Secção S

I(+)

−∆Qlivre carga

que passou para

dentro em ∆t

∆=

∆livreQ

It

Convenção: A corrente de intensidade I é assumidacomo de carga livre + (convencional), movendo-se com o sentido de I positivo, ou, de carga negativa (real) movendo-se em sentido contrário (sentido negativo)

O mesmo-∆Qlivre

em ∆t E

Campo Eléctrico

Carga livre real que origina a

corrente é negativa e tem

um sentido contrário

ao sentido da convencional

<velect>

.

0

( )

total livre fixa

livre livre conv

Q Q Q

Q convencion

Densid

al V

Volumade ede carga

ρ −

= − + =

= ×

= ×

(carga total)

Densidade de corrente

0totalQ = (carga total)

I(+)

E

Campo Eléctrico

I

Secção SL

_

_

_ .

× ×∆= = = × ×

∆ ∆ ∆

= × ×

= ×

livre convlivrelivre conv

livre conv conv

S LQ LI S

t t t

v S

J S

ρρρρρρρρ

ρρρρ

Densidade de corrente real e convencional

_ _elect= × = ×livre conv conv livre electJ v vρ ρρ ρρ ρρ ρ

volume

−∆Qlivre

−∆Qlivre

Supõe-se que ao fim de ∆t

a carga Qlivre em L foi toda

renovada

Problema

3AV V=A

B

1,5BV V=

c) Calcular a energia perdida pela bateria no intervalo de tempo indicadoR: W=-∆∆∆∆Ep= ∆∆∆∆Q(V1-V2)=10-4Cx1,5V=1,5x10-4J

d) Calcular a capacidade da bateria em mA h sabendo que esta deixa de garantir aquela corrente ao fim de 24 minutos.R: Capacidade da bateria=Ix∆∆∆∆t=1000mAx24/60h=400mAh

O condutor indicado apresenta o comprimento l=1m com as secções A e B aos potenciais VA=3V e VB=1,5V criados por uma força electromotriz. A intensidade de corrente é 1A e a velocidade média de deslocamento dos electrões é ve=104ms-1. a) Qual o valor da força electromotriz. Indicar os

sentidos da corrente e do deslocamento médio dos electrões livres.

R: E=1,5V, corrente:de A→ B, electrões B → A

b) Determinar o intervalo de tempo necessário à renovação da população electrónica no condutor bem como o número de electrões livres aí presentes (carga do electrão qe=-1,610-19C).R: ∆∆∆∆t=10-4s, ∆∆∆∆Q=10-4C, N=6,25x1014

Potencial elétrico(V) e potencial gravítico (h)

Potencial eléctrico em A, VA, é a energia potencial por unidade de carga, igual ao trabalho realizado pela força elétrica para transportar a unidade de carga positiva da posição A para um ponto de referência onde essa força não atue e que admitimos ter o potencial V=0

h

gravFp

g

WEV gh

m m= = =

+

+

.

' '

electFp

A

WEV

Q Q= =

P=mgF’elect=Q’E

0V =

++

FelectFelectromotriz

m

Felectromotriz=Felect E=VA

h=0

+

AV

0I =

+AV

f.e.m=E

g E

Trabalho total das força eléctricas num caminho fechado é nulo

No exterior, a força eléctrica F’elect transportará, através dum elemento, a carga positiva ∆Qlivre

convencional do potencial positivo VA para o potencial – com o potencial de referência nulo, realizando o trabalho W. Em compensação, no interior da pilha a força de heterogeneidade associada à reacção química reporá as cargas nos pólos para manter E libertando uma energia igual a W dispendido.

É nulo o trabalho Wcirculaçãodesenvolvido pelas forças eléctricas na circulação da carga livre ∆Qlivre convencional ao longo dum caminho fechado que sai de VA e volta a VA pelo interior da pilha.

+

0B

V =

AV

E=VA

-

I

elemento

circulação

Diferença de potencial-Tensão

Diferença de potencial, VAB=VA-VB (Voltage em not. Angl-Sax)

+

+ ++

0V =

E

AVABV

BV

A

A parte da imagem com o ID de relação rId17 não foi encontrada no ficheiro.

Tensão-U: é o trabalho realizado pelas forças elétricas por unidade de carga no transporte de A para B (U=W/Q’)

Se só existirem forças elétricas, o trabalho não dependerá do caminho seguido. E então:U=W/Q’=VAB=VA-VB

(exemplos- caminho da carga por dentro da lâmpada acendendo a luz ou o caminho por fora através do voltímetro para ir de A para B dão o mesmo VAB)

I

Diferença de potencial=Tensão?

ABV

V

Energia Potencial e Potência

pA AA

E WV

Q Q= = electp F AE W QV= =

( )

pAB A B AB

AB

E Q V V W

I t V

−∆ = ∆ − =

= ×∆ ×

Energia potencial em A da carga Q

( )1 1 1J C V= ×

ABV

AB

Variação de energia potencial experimentada pela carga ∆Qlivre

que passou de A para BI

J

s

AB

ABAB

WP W

t

I t VV I

t

= = ∆

×∆ × = = ×

∆

Potência

P

Resistência Eléctrica-I

AB

I

? W I

ABV

V

I

V+ -

R

V

I

RI

V+ -

Qualquer elemento

Relação de constituição ou equação característica

Lei de Ohm: V RI=

ou

Trabalho transforma-se em calor devido ao atrito

Resistência Eléctrica-II

Equação característica da resistência:

Lei de Ohm: V RI=

V

R I

Característica da resistência:

R

V

I

G

V

I

V RI=

1I V G V

R= = ×

1 1 ( )G S

R= =

ΩConductância

Resistência Elétrica-III

Lei de Joule:

( ) 2

2

=

P V I R I I RI

V VV

R R

= × = × × =

× =

AB

I

P

V

Construção de R:

lR

Sρ=

ρ-resistividadeσ- condutividadeL-comprimentoS-secção

1ρ

σ=

[ ][ ] [ ]

[ ]

21

1

R S mm

l mρ

−−

−

× Ω×= = =Ω×

Equação dimensional

Energia potencial passa a cinética depois passa a calor que aquece o filamento que depois radia e R pode mudar com a temperatura

0 condutor perfeito

=+ isolante

ρ

ρ

=

∞

( )

( )

0

0

0 0

( ) 1R T R T

T T T

R R T

α= + ∆

∆ = −

=

Interpretação do sinal de potência

V

I+

-

P V I= ×

Elemento genérico Se > 0 recebe energia

Se < 0 cede energia

Para que o elemento possa ser considerado gerador a potência dissipada é negativa e basta que ou V ou I sejam negativos (ou exclusivo)

Se I entra no terminal de maior potencial, e I eV>0, o campo realiza trabalho, o elemento absorve energia e a potência de dissipação (powerdissipated) é positiva e é dada por P=VxI

Se I sai do terminal de maior potencial, e I eV>0 , o elemento cede energia e a potência de geração (power generated) é positiva e é dada por PG=VxI

Convenção: Admitimos V e I escolhidos pensando serem positivos e que o elemento é receptor

Potência eléctrica: Passivo ou activo?

• Quem fornece energia, o elemento ou circuito? Quanto?

Cont.

ElementoP= VelxIel=3V× 2A = 6WPG= -6W

CircuitoP= VCxIC=3V×(-2A )= -6WPG= 3V× 2A = 6W

O circuito fornece 6 W ao elemento

Iel

Vel

Ic

Vc

Convenção: Para cada elemento escolhemos V e I pensando serem positivos e que o elemento é receptore assim P=VxI

Eq. de constituição (ou eq. característica) do curto-circuito /circuito aberto

Curto-circuito

0V = I

Esquema

Eq. característica

0 , I V = ∀

Característica

V

I

Circuito aberto

V 0I =

Esquema

Eq. característica

0 , V I = ∀

Característica

I

V

Eq. de constituição- bateria/gerador(fonte) de tensão constante

EV

I

Esquema

Eq. característica

, I V E= ∀

V

I

0 P<

gera energia

GVV

I

Esquema

Eq. característica

, I GV V= ∀

±

GVE

0 P>dissipa energia

V

I

0 P<

gera energia

0 P>

dissipa energia

0 P> 0 P<

Asseguram V constante independente de I

fem não química

Eq. de constituição do gerador de corrente constante

GIV

I

Esquema

Eq. característica

, V GI I= ∀

I

V

0 P>GI

0 P<

gera energia I dissipa energia

Concluindo: Geradores de tensão e de corrente independentes

( )Gv tv

i

Esquema

Eq. característica

, i Gv v= ∀

±( )Gi t

v

i

Esquema

Eq. característica

, v Gi i= ∀

Geradores de tensão e corrente dependentes

Capacidade do condensador é:

Condensador- Armazém de energia eléctrica

Um condensador é constituído por dois condutores separados por um dieléctrico. Condutores de faces planas e paralelas tem a seguinte configuração:

+Q

-Q

AC

dε=

Condensador- Relação de constituição

C

V

Q CV=Q

AC

dε=

A diferença de potencial V entre as placas é proporcional à carga transferida entre elas. A capacidade C é a constante de proporcionalidade.

A bateria teve que entregar energia para o carregamento. Mas como esta não se dissipa terá que necessariamente ficar armazenada no condensador (a aprofundar + adiante)

Para aparecer a carga Q, um gerador ou bateria teve que retirar carga da placa negativa e colocá-la na placa positiva. A corrente de carregamento é:

( )dQ d dV

i CV Cdt dt dt

= = =

Exemplos de aplicação

G

1-Que elementos dissipam energia

2- Qual o valor da potência posta em jogo em cada elemento e qual a soma de todas as potências.

3- Qual o valor da potência posta em jogo pelo gerador e determine o valor de R.

NOTAÇÃO PARA AS GRANDEZAS ELÉCTRICAS-I

DC AC Variável

v(t)=VA tensão constante v(t)=va tensão alternada v(t)=VA +va

tensão variável

NOTAÇÃO PARA AS GRANDEZAS ELÉCTRICAS-II

Grandeza constante: vulgo grandeza contíınua ou grandeza dc (DC – direct-current). É representada por letra maiúscula e, no caso de ter índice, este é representado por uma letra maiúscula,ou por um número, por exemplo: I2 = 3A, VA=5V

Grandeza alternada: grandeza variável no tempo com valor médio nulo, vulgo grandeza ac (AC – alternating-current). É representada por uma letra minúscula e, no caso de ter índice, este é representado com letra minúscula, ou um número, por exemplo: i2 (t) = 4 cos(104t + π/6)A, va.

Grandeza variável no tempo: grandeza variável no tempo com componente constante e componente alternada (vA(t) = VA + va(t)). É representada por letra minúscula e, no casode ter índice, este é representado com letra maiúscula, ou por um número, por exemplo: i2 (t) = 3 +4 cos(104t + π/6) A.

Parâmetros das grandezas AC sinusoidais

va(t)

t

Vm

πav =Vm senωt=Vm sen2 ft

T

Vpp

f- expressa em HzT-período T=1/fω= pulsação ou velocidade angulae=2xπxfVpp- tensão pico a picoVm -valor máximo igual à amplitude Vamed valor médio =0Vaef- valor eficaz ou valorquadrático médio(rms) de

sen ωt

t

T

1

sen2 ωt

tT´=T/2

1

1/2

Valor médio nulo

2 2

0

1

2

T

ef rms a a

VmVa Va v v dt

T= = = =∫

Valor médio

Circuito Elétrico

Elemento — entidade básica (elementar) que pode ser considerada num circuito elétrico. Tem dois terminais e é caracterizada por uma determinada relação de constituição (resistência, gerador, etc…)

Componente—dispositivo elétrico com existência física. Num circuito, um componente pode corresponder a um ou mais elementos elétricos.

Circuito— Conjunto de componentes (ou elementos) eléctricos interligados entre s e constituindo um circuito fechado

Circuito linear — Constituído por elementos onde cada grandeza v ou i é ou proporcional à outra grandeza( exemplo R) ou à sua derivada (exemplo L ou C ).

Esquema—Diagrama representativo de um circuito onde cada componente, ou elemento, é identificado por um símbolo elétrico e que ilustra a topologia do circuito (forma como os componentes/elementos estão ligados entre si.

Esquema elétrico e topologia

elementoN=3 nósMe= 2 malhas elementaresM=3Mindependentes=2Ramos R=4

Topologia – forma como elementos estão interligados num grafonão identifica os diferentes tipos elementos do circuito

Noções Topológicas

Nó (node) — Num circuito/(num grafo), um nó corresponde ao ponto de ligacão entre terminais de dois ou mais elementos do circuito/(ramos do grafo). Um circuito/(um grafo) tem N nós

Malha (loop)—Caminho fechado ao longo do circuito/(do grafo) que, ao ser percorrido, não passa duas vezes pelo mesmo nó, mas que se inicia e termina no mesmo nó. Um circuito/(um grafo) tem M malhas.

Malha elementar (mesh)—Malha que, ao ser percorrida, não abraça nenhum elemento do circuito . Um circuito/(um grafo) tem Me malhas elementares.

Ramo (branch) — Linha que une dois nós e que representa, de forma simplificada, um elemento do circuito.

Grafo (graph) — Representação simplificada do circuito que identifica a sua topologia. É constituído pelos nós e pelos ramos. Um grafo/(um circuito) tem N nós e R ramos. Se existe um caminho entre cada nó e cada um dos restantes nós do grafo, diz-se que o grafo está ligado (connected).

Exemplos

1R±VG

1

2

1RIG

2R

1

2

A B

12R

20R

23R

30R40R

34R

Esquema 1 Grafo 1Elementos=2, Nós=2, Ramos=2 Malhas elem. =1

Esquema 2 Grafo 2Elementos=3, Nós=2, Ramos=3 Malhas elem. =2

A±

VG

Esquema 3

Grafo 3Elementos=7, Nós=5, Ramos=7 Malhas elem. =3

A B C

Ramos=Malhas elem.+Nós-1

LEIS DE KIRCHHOFF-I

Lei dos Nós — Lei de Kirchhoff das correntes (KCL — Kirchhoff current law)KCL — Num nó, a soma algébrica das correntes é nula. É necessário estabelecer (arbitrar) uma convenção que associa o sentido das correntes com os sinais algébricos (+/−) a considerar na equação.

Convenção : Arbitra-se um sentido + (convergência ou divergência do nó) e todas as correntes com aquele sentido são positivas

( ) 0k

k

QI

t

±∆± = =

∆∑

Arbitrando como + a convergência no nó ( ) ( ) 0e s

e s

I I+ + − =∑ ∑

No nó não se pode acumular carga

Corolário : no nó, a soma das correntes que entram- e -é igual à soma das corres que saem -s

( ) ( )e s

e s

I I+ =∑ ∑Conclui-se

Exercício de aplicação de KCL

LEIS DE KIRCHHOFF-II

Lei das Malhas — Lei de Kirchhoff das tensões (KVL — Kirchhoff voltage law) — Numa malha, a soma algébrica das tensões é nula.

( ) 0k

k

V± =∑

É necessário arbitrar um sentido de circulação como positivo para a realização do trabalho: O sinal algébrico associa o sentido das tensões com o sinal(+/−). + no sentido convencionado para a realização do trabalho e – no sentido contrário.

Formulações alternativas: 1- O trabalho realizado pelo campo eléctrico ao longo dum caminho fechado é nulo.2- O trabalho das forças eléctricas resulta de variações de energia potencial W=-∆Ep. Isto é partindo de A e voltando a A o trabalho total é nulo.

Exercício de aplicação de KVL±

A

VG1=24V

Calcular VEC , VAD , VEB

B C

- 8V +

6V

E + 4V -+ 8V -

±VG1=2V

F D

A

VG1=12V

B

C

±

D

+ VR1 - VR2 =1V

±10VR1

Calcular VBD

Método básico formal de análise de circuitos- exemplo 1

1R±

I2V2

V1

I1

VG

1

2

1

2

Equação dos nós-KCL

1 2

1 2

0

0

I I

I I

− − =

+ =

1

2

N-1 equações dos nósA

Equação das malhas-KVL

1 2 0 V V− =

Equações de constituição

2

1 1 1

GV V

V RI

=

=

2

1 2

1 1

2 1 1

/

/

G

G

G

G

V V

V V V

I V R

I I V R

=

= =

=

=− =−

SoluçãoM equações da malhas

R equações dos elementos

Método formal básico: conclusões

1- Se o circuito tem R elementos, então haverá 2R incógnitas (I e V em cada elemento) para 2R equações lineares.

2 - Se o circuito tem R elementos, estes fornecem R equações de constituição. Devendo I e V dos ramos satisfazer KCL e KVL

3 - KCL deverá fornecer N-1 equações, onde N é o número de nós, sendo um desses o nó de referência ao potencial V=0 (ground). (Nota: deverá ser escolhido o nó com maior número

de ligações)4 - KVL deverá fornecer M equações, onde M é o número de malhas elementares. Resultando da topologia R=M+N-1

5 – Conclusão: As 2R equações dum circuito resultam da aplicação das leis de constituição (R equações), e das leis de Kirchoff (KCL e KVL), 2R=R+M+N-1

Método básico de análise de circuitos-Exemplo 2

1R

GIGV

±

2R

1 2

3

AB

I1

V1

I3

V3

V2

I2

I4

V4

1 1 1

2 1 2

V R I

V R I

=

=

Equações de constituição

Equação das malhas-KVL

1 3 2

4 2

4 1 3

0

0

0

V V V

V V

V V V

+ − =

+ =

+ + =

Equação dos nós-KCL

4 1 2

1 3

4 2 3

0

0

0

I I I

I I

I I I

− − =

− =

− + + =

3

4

G

G

V V

I I

=

=

1

2

3

2 malhas independentes, isto é:com pelo menos um ramo não comum=nº malhas elementares

A

B

N-1 equaç.

Me equaç.

R equaç.

Conservação da energia

1R±

I2I1

VG

1

2

A

1

2

V1

V2I1I2

+

V2

-

+

V1

-

Circuito Topologia

Conservação de energia-Propriedade da topologia

1 1 2 2

0

0

k k k

k k

P V I

VI V I

= × = ⇒

⇒ + =

∑ ∑

Verificação do principio da conservação de energia:

1 2 0V V+ − =

1 1 2 2 1V 0 0R VG

I V I P P× + × = → + =

De KVL obtemos 1 multiplicando por I 1 1 2 1 0 V I V I+ × − × =

1 2- sendo por I I=

É nula a soma das potências postas em jogo num circuito ∑Pk= ∑ VkxIk=0

Métodos de simplificação do método formal básico de descrição dum circuito

Objectivo: Redução da ordem do sistema algébrico de 2R equações

1- Métodos intutivos: Recurso a métodos de substituição de variáveis

2- Métodos expeditos: Substituição de elementos dum mesmo tipo em série, paralelo ou escada por um só elemento. Conversão estrela-triangulo.

4- Métodos sistemáticos globais: Método nodal (redução a N-1 equaç.) método das malhas (redução a Me)

3- Métodos sistemáticos de redução parcelar:- Decomposição do circuito em sub-circuitos com base no princípio da sobreposição-Substituição de troços de circuito por um gerador e resistência (equivalentes de Thévinin ou de Norton)

Método intuitivo de redução

1 10R = Ω±

I2I1

VG=10V

1

2

AV2 V1

1R±

-I1I1

VG

1

2

AVG

VG

Redução a uma só equação 1 1 1

1

1GG

VV R I I A

R= × → = =

Extraindo-se de seguida as 4 incógnitas sob a forma:

1 2 10

1 2 1

V V V

I I A

= =

=− ==

Elementos em série têm a mesma corrente e os elementos em paralelo têm a mesma tensão.

LIGAÇÃOES DE ELEMENTOS EM SÉRIE E EM PARALELO

Ligação em série — Dois elementos estão ligados em série quando são percorridos pela mesma corrente, ou seja, partilham um nó comum e nesse nó não está ligado mais nenhum elemento.Na análise do circuito, dois elementos ligados em série podem ser trocados de posição sem que a corrente que os percorre se altere.

Ligação em paralelo — Dois elementos estão ligados em paralelo quando estão ligados aos mesmos dois nós. Nos dois nós comuns podem estar ligados outros elementos. Na análise do circuito, dois elementos ligados em paralelo podem ser trocados de posição sem que a d.d.p. eléctrico aos seus terminais e a corrente que os percorre se alterem.

Associação de resistências em série (elimina nós)

1R

VS

I1

1

2A

2RI2

3

Têm um nó comum e os elementos têm a mesma corrente IS

SRVS

IS

1

3

VR1

VR2

1 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

. .

. .

S R R

R S

R S

V V V KVL

V RI RI eq deconst R

V R I R I eq deconst R

= + ←

= = ← = = ←

. .S S S SV R I eq deconst R= ←( 1 2)

SR R R= +

Circuito equivalentes

Associação de resistências em paralelo (elimina malhas)

1R VR1

I1IP

1

2

2R

I2

B A

VR2

Elementos ligados aos mesmos nós e com a mesma tensão VP

1 2

1 1 1

1

2 2 2

2

1. .

1. .

P R R

R P P

R P P

I I I KCL

I V GV eq deconst RR

I V GV eq deconst RR

= + ←

= = ←

= = ←

VP

PR

IP

1

2

VP A

1. .P P P P P

P

I V GV eq deconst RR

= = ←

Circuito equivalentes

1 1 1

1 2PR R R= +

1 2P

1 2

R =R R

R R

×

+

Série/paralelo: Caso geral

1 2

1

S 1 2

1 2 S

.....

2 R =

..... R =N

N

S N n

n

N

R R R R R

N R R

R R R R R

=

= + + + =

= → +

= = = = → ×

∑

11 2

1 2P

1 2

1 2 P

1 1 1 1 1...

2 R =

..... R = N

N

nP N n

N

R R R R R

R RN

R R

R R R R R

=

= + + + =

×

= →+

= = = = →

∑1 2

1

P 1 2

1 2 S

.....

2 G =

..... G =N

N

p N n

n

N

G G G G G

N G G

G G G G G

=

= + + + =

= → +

= = = = → ×

∑

Associação de Resistências emSérie

Associação de Resistências em Paralelo

ASSOCIAÇÃO DE GERADORES/FONTES IDEAIS

Geradores/fontes de corrente ligados em paralelo:O gerador/fonte de corrente equivalente correspondeà soma algébrica das correntes dos geradores/fontes do paralelo

IS

Geradores/fontes de tensão ligados em série: O gerador/fonte de tensão equivalente corresponde à soma algébrica dastensões dos geradores/fontes ligadosem série.

1 2sV V V= −

Ip

1 2( )PI I I=− −

A queda de potencial no caminho de na para nb

A corrente que entra no nó na

Método de redução série-paralelo

1R

1

I1±

VG

2R3R

4R

2 3

4

I2

I3

I4

I5

V3V1

1R

±VG

2R3R

4R

eqR

1 2//( 3 4)

2 ( 3 4) 1

2 3 4

eqR R R R R

R R RR

R R R

= + +

× += +

+ +

eqR±

I1

Veq

Ieq

VG

1

2

AV1

1

eR

eq G

G

q

V V

VIeq I

=

=− =

V2

2 1

e

2 1 2

3 2

R

malha "a"

G

q

G

VI I

V R I

V V V

=− =

= ×

= −

ab

etc…

Redução série/paralelo – Escada

12R

20R

23R

30R

1 2 3

0

4

40R

34R

R3R2R1

12R

20R

23R

30R

1 2 3

0

40R

34R

R3

R2R1

12R

20R

1 2

0

R2

R1 1

0

R1

Redução série/paralelo – Escada

12R

20R

23R

30R

1 2 3

0

4

40R

34R

R3R2R1

1 12

20

2

1

1R R

GR

= +

+

2 23

30

3

1

1R R

GR

= +

+

3 34

40

1

1R R

G

= +

+∞

1 1 2

2 0

2 3

3 0

3 4

4 0

1

1

1

1

1

R R

G

R

G

RG

= +

+

+

+

+

G3

G30 G40G20

Escada R-2R

R

2R

R

1 2 3

0

4

2R

R

R3R2R1

2R

3 2R R=2 2 // 3 2R R R R R= + = 1 2 // 2 2R R R R R= + =

I

I/2 I/4

2R

I/8

R4

4 2R R=

Divisão de tensão ou divisão potenciométrica

1R V1

I

2R V2

V

1 2SR R R= +

V

I ( )

1 1

2 2

s 1 2

V=R =

V R I

V R I

I R R I

= ×

= × × + ×

Divisor de tensão — A tensão V divide-se pelas duas resistências R1 e R2 (ligadas em série), na proporção direta dos seus valores.

( )

1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 2 1 2

2 2

1 2

V R I R

V R I R

V R I R

V R R I R R

V R

V R R

×= =

× ×

= =+ × +

=

+

Divisão de correntes

1R

V

V1

I1

2R

I2

B

I

1 2PG G G= +V

I ( )

1 1

2 2

1 2

I=G = P

I G V

I G V

V G G V

= ×

= × × + ×

Divisor de corrente— A corrente I divide-se pelas duas resistências R1 e R2 (ligadas em paralelo), na proporção inversa dos seus valores.

1 1 1 2

2 2 1

2

1 1

1 2 1

2 2

1 2 2

1

1

P

P

I G R R

I G R

R

I G R

I G G R

I G R

I G G R

= = =

= =+

= =

+

Exemplos de aplicação

( )PR =60 / / 40 80 40Ω Ω+ Ω = Ω

12 2

22 2

I 40 2= 0,6

60 3

I 40 1= 0,3

40 80 3

I I I mAI

I I I mAI

Ω→ = → =

Ω

Ω→ = → =

Ω+ Ω

Métodos de simplificação por troços:Princípio da sobreposição

1R

GIGV

±

2R

1 2

3

AB

I1I3

V3

V2

I2

I4

V4

V1

1R

GI0GV =

2R

I1

I2V4

11

22

1/

1/ 1 1/ 2

1/

1/ 1 1/ 2

G

G

RI I

R R

RI I

R R

= × +

= ×

+

1R

0GI =

GV±

2R AB

I1

VG

I2 2 11 2

GVI I

R R=− =

+

+

Resultado final:

11

22

1/

1/ 1 1/ 2 1 2

1/

1/ 1 1/ 2 1 2

GG

GG

VRI I

R R R R

VRI I

R R R R

= × − + +

= × +

+ +

Princípio da sobreposição-Enunciado

TEOREMA DA SOBREPOSICÃO:Num circuito linear com N fontes independentes, a intensidade da corrente num ramo, Ia, ou a diferençade potencial entre dois nós, Vx, pode ser calculada como a soma algébrica das contribuiçõeses individuaisdevidas a cada uma das N fontes independentes. Para isso consideram-se N sub-circuitos que incluem cada uma das fontes independentes, tendo sido anuladas as restantes fontesindependentes (fontes de tensão são substituídas por curto-circuitos e fontes de corrente são substituídaspor circuitos-abertos).

1

N

a ak

k

I I=

=∑1

N

x xk

k

V V=

=∑

Aplicação 1-Equivalente de Thévenin

1R

±

I 2R

VG2

VG1

V

Redução do circuito A

1R

±

I=0 2R

VG2

VG1

V11 2 1Th G GV V V V= = −

1R

I 2R

VG2=0V2

VG1=0

( )2 1 2ThV R I R R I= × = + ×

I

ThR

VThV1 2 Th ThV V V V R I= + = + ×

+

I ThR

VThV

Equiv. de Thévinin

Aplicação 2-Equivalente de Norton

1R

I

2R

V IG1 IG2

1R

I1

2R

V=0 IG1 IG2

1 1 2N G GI I I I= = −

1R

I2

2R

IG1=0 IG2=0

V 1 2

1 1

N

VI V

R R R

= = +

NR

I

V INN

N

VI I

R= +

NR

I

INV

Equiv. de Norton

+

Redução do circuito A

Aplicação 3-Equivalência entre Norton e Thévenin

NR

VIN

I

Equiv. de Norton

ThR

VTh

V

Equiv. de Thévinin

I

N

N

VI I

R= +

V

I

NI

ThTh Th

Th Th

VVV R I V I

R R= + → = −

1/ NR

V

I

1/ ThRTh

Th

V

R−

RTh=RN

IN=-VTh/RTh

Formulação para os eq. de Thévenin e Norton

Um circuito linear, visto de um par de terminais (nós x e y) pode ser substituído por um circuito mais simples que lhe é equivalente e que é constituído por um gerador(fonte) de tensão em série com uma resistência. Este circuito designa-se por circuito equivalente de Thévenin. Pode também definir-se um circuito equivalente de Norton, que é constituído por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência

Circuito

linear A

Circuito

x

y

ITh

R

VThV

x

y

NR IN

x

y

DETERMINACÃO DOS PARÂMETROS DOS EQUIVALENTES-VTh, RTh,IN

Circuitos sem geradores(fontes) — Quando não há geradores, VTh = 0V e IN = 0A. Os circuitos equivalentes são apenas constituídos por RTh = RN

= Rxy que é obtida por simplificacão das resistências do circuito linear A.

Circuitos com geradores(fontes) independentes — As três grandezas podem ser calculadas (de forma independente) VTh=VOC = Vxy↔ Calcular a d.d.p. entre os dois terminais x e y com o circuito em aberto .IN=ISC = Iyx ↔ Calcular a corrente que passa no curto-circuito xy, de y para xRTh = RN = Rxy:Eliminar geradores independentes e simplificar resistênciasouEliminar geradores independentes, impor corrente de teste e determinar RTh

=V/I (caso + geral que pode incluir fontes dependentes)

Duas formas equivalentes para o equivalente de Norton

NR IN

x

yN

R I’N

x

yI’N=-IN

Para RN = Rxy: Eliminar geradores independentes e simplificar resistências

O método de determinação de parâmetros é idêntico

Para I’N=ISC = Ixy: Calcular a corrente que passa no curto-circuito xy, de x para y

Exemplo: Thévenin dum divisor potenciométrico

1R

±VG

2R V

I

1R

2R

ThR

1R2R

ThR

2

1 2

Th G

RV V

R R=

+

± VThR

ThV

I

1 21 2

1 2

//Th

R RR R R

R R

×= =

+

0I =

Carga adaptada

ThV

x

y

V

±

R

I

Problema:Sendo P=VxI=V2/R=RxI2, quando poderá o circuito linear entregar o máximo de potência?

x

y

V RThR

I

( ) ( )

22

2

Th Th

Th Th

V VI P R I R

R R R R= → = × =

+ +

( )

( )2

3

20

Th

Th Th

Th

R R RdPV R R

dR R R

+ − ×= = → =

+

Máxima transferência de potência

( )

2 2

max 24

Th

Th Th

ThTh R R

V VP R

RR R=

= = +

( )

2

2Th

Th

Th ThV Th Th

Th ThR R

V VP V I V

R R R=

= × = = +

Potência máxima dissipada na carga

Potência máxima gerada pelo gerador

R

P

ThR R=

maxP

( )

2

2

Th

Th

VP R

R R=

+

A- Método nodal

O método nodal é um método sistemático que permite analisar qualquer circuito e determinar as suas tensões nodais relativamente a um dos nós que é tomado para referência, VREF = 0V. Para um circuito com N nós os passos são:

1) Identificar os nós do circuito e escolher um nó para referência (0 V).

2) Escrever (N − 1) equações linearmente independentes que vão permitir calcular as (N − 1) tensões nodais relativas ao nó de referência.

(a) Circuito com fontes de corrente e resistências — Escrever equacões KCL para todos os nós, excepto para o nó de referência.

(b) Circuito com fontes de corrente, resistências e fontes de tensão ligadas ao nó de referência—Para cada fonte de tensão, escrever a equação de constituição em termos

da tensão nodal. Para os nós que não ligam à fonte de tensão, escrever equacões KCL (como no ponto anterior).

Método nodal-cont.

(c) Circuito com fontes de corrente, resistências e fontes de tensão — Para as fontes de tensão que não ligam ao nó de referência, escrever a equação de constituição imposta pela fonte. Definir um super-nó (engloba

a fonte de tensão e os dois nós a que está ligada) e escrever uma equacãoKCL para o super-nó. Para os restantes nós, proceder como nos pontos anteriores.

3) Quando existem fontes dependentes — Fazer tudo como indicado atrás como se fossem fontes independentes e escrever uma equacão auxiliar adicional, que relaciona a variável de controlo da fonte dependente com as tensões nodais, e depois substitui-la nas equações que foram escritas (de acordo com os pontos anteriores).4) Resolver o sistema de equacões para calcular as (N−1) tensões nodais. No caso de um circuito linear pode escrever-se um sistema matricial em que o vector das incógnitas é constituído pelas (N − 1) tensões nodais.5) Depois de determinadas as tensões nodais, podem ser calculadas quaisquer outras grandezas do circuito.

A-1-Método nodal só com resistências e fontes de corrente

1R

V1

I3

IG

I1

I2

V2

V3=0

VR1

2RVIGHavendo 3 nós, falta determinar o potencial

de dois nós à custa de 2 eqs que partem do KCL.

Se há 3 elementos existirão 6 equações. O método nodal diz-nos que essas equações reduzem-se apenas a N-1, sendo N o número de nós

1 3

1 2

0

0

I I

I I

+ + =

− + =

1 2

1

1 2 2

1 2

0

0

G

V VI

R

V V V

R R

−+ + =

−− + =

1

1 1

1 1 2 2

1 1

1 1 1

0

GV I

R R

R R R V

+ −

=

− +

A-1-Método nodal só com resistências e fontes de corrente-Exemplo II

1R

V1

I1

IG

2R3R

4R

0

I2

I3

I4V2 V3Se há 4 nós só é possível construir 3 eqs. independentes

Do KCL retiramos:

1 2

2 3 4

4 5

0

0

0

I I

I I I

I I

+ =

− + + =− + =

Da constituição dos elementos obtemos:

1 2

2 31 2 2

1 2 3

2 3 3

3 3

01

0

0

G

V VI

R

V VV V V

R R R

V V V

R R

−− + = −−

− + + = −

− + =

1 2

1 1

1 2 3

1 1 2 3 3

2 3

3 3 4

1 1

1 1 1 1 10

1 1 10

GV V IR R

V V VR R R R R

V VR R R

− =

− + + + − =

− + + =

I5

Exemplo II-Resultado formal- forma matricial

1

1 1

2

1 1 2 3 3

3

3 3 4

1 10

1 1 1 1 10

1 1 10 0

GV I

R R

VR R R R R

VR R R

−

− + + −

− +

=

O elemento Gii contém a soma de todas as condutâncias ligadas ao nó i associadas a correntes que saem desse nó

[ ] [ ]G V I× =

O elemento Gij contém a condutância que liga o nó i com o j afectado com o sinal -

O elemento Iicontém as correntes das fontes que entram no nó i

A-2-Método nodal com resistências e fonte de tensão à massa

1R

V1=V

I32R

I1

I2

V2

+- V

V3=0

Havendo 3 nós, falta determinar o potencial de dois nós à custa de 2 eqs que partem do KCL. Mas existindo uma fonte independente à massa um desses potencias é fixado pela fonte restando apenas uma equação.

1V V=

Para o nó 2 teremos:

2 21 2 2

1 2 1 2 1

1 10 0

V V V VI I V

R R R R R

−− = → + − = → + =

(marca-se o nó logo com esta tensão)

A-2-Método nodal com resistências, fonte de corrente e fonte de tensão à massa

1R

V1

I1

IG

2R3R

0

I2

I3

I4

V3

V2 V3=V

Do KCL retiramos: 1 2

2 3 4

0

0

I I

I I I

− − =

+ − − = +- V

1 2

2 31 2 2

1 2 3

3

01

0

G

V VI

R

V VV V V

R R R

V V

−+ − =

−−− − =

=

Da constituição da bateria: 3V V=

I5

Se há 4 nós só é possível construir 3 eqs. independentes

Só vai dar 2eqs independentesReferidas aos nós V1 e V2

1 2

1 2 2 2

1 2 3

01

0

G

V VI

R

V V V V V

R R R

−+ − = − − − − =

Continuação-forma matricial

1

1 1

2

1 1 2 3 3

3

1 10

1 1 1 1 10

0 0 1

GV I

R R

VR R R R R

V E

−

− + + −

=

Continuação: método nodal+NortonForma matricial

1R

V1

I1

IG

2R

3R

0

I2

I3

I4V2

V/R3

1

1 1

1 1 2 3 32

1 1

1 1 1 1

/

GIV

R R

R R R R V RV

−

= − + +

Norton

1R

V1

I1

IG

2R3R

0

I3

I4

V3

V2 V3=V

+- V

I5

A-3-Método nodal com resistências, fonte de corrente e fonte de tensão flutuante

1R

V1

I1

IG

2R

I3

V2 V3=V2-V+ -

V

I4

I53R

I2Do KCL retiramos: 1 2

2 3 5

0

0

I I

I I I

+ =

− + + =

1 2

1

1 2 2 2

1 2 3

0

0

G

V VI

R

V V V V V

R R R

−− + =

− −− + + =

Da constituição da bateria: 3 2V V V= −

I2

I3 I5

Super nó

Continuação- Forma matricial

1

1 1

2

1 1 2 3

3

1 10

1 1 1 10

0 1 1

GV I

R R

VR R R R

V V

−

− + +

−

=

Havendo fontes de tensão ligadas ao nó n=3 (ou super nó agrupando m-n(2-3)) , a linha n=3 deverá conter a equação de constituição da fonte de tensão e os coeficentes da linha m=2 correspondendo a amm=a22 e amn=a23 deverãoconter respectivamente a soma de todas as conductâncias outransconductâncias a elas associadas.

A-4-Método nodal com fontes de corrente dependentes

1R

V1

I1

IG3m Rg V

3R

4R

0

I2

I3

I4V2 V3

I51 2

2 3 4

4 5

0

0

0

I I

I I I

I I

+ + =

− + + =− + =

Da constituição dos elementos obtemos:

1 2

2 31 23

1 3

2 3 3

3 3

01

0

0

G

V VI

R

V VV VI

R R

V V V

R R

−− + = −−

− + + = −

− + =

Se há 4 nós só é possível construir 3 eqs. independentes

Do KCL retiramos:

( )3 2 3mI g V V= × −

Eq. da fonte dependente em função das tensões nodais

Forma matricial-I

1

1 1

2

1 1 3

3

3 3 4

1 10

1 1 10

1 1 10 0

G

m m

V IR R

g g VR R R

VR R R

−

+ + −

− +

=

Forma matricial-II

ij i ia V b× =Matriz

aii=∑conductâncias ligadas ao no i+ transconductâncias ligadas a fontes que saem(+) do nó i e que dependem de +Vi

aij=∑conductâncias ligadas ao no i mas afectadas com sinal -, adicionadas às transconductâncias ligadas a fontes que saem(+) do nó i e que dependem de ±Vj afectadas com o sinal + ou -

Havendo fontes de tensão ligadas ao nó n (ou super nó agrupando m-n) , a linha n deverá conter a equação de constituição da fonte de tensão e oscoeficentes da linha m correspondendo a amm e amn deverão conterrespectivamente a soma de todas as conductâncias ou transconductâncias a elas associadas.

B-Método das malhas

O método das malhas é um método sistemático que permite analisar qualquer circuito e determinar as correntes de circulação num conjunto de malhas elementares Me

1) Identificar o número de malhas elementares, Me.2) Escolher um conjunto de Me malhas (podem ser malhas elementares, ou não) e definir as respectivas correntes de circulação (correntes fictícias).

3) Escrever Me equações linearmente independentes que vão permitir calcular as correntes de circulação das malhas.

(a) Circuito com fontes de tensão e resistências — Escrever equações KVL para as Me malhasescolhidas.(b) Circuito com fontes de tensão, resistências e fontes de corrente percorridas por uma únicacorrente fictícia — Para cada fonte de corrente, escrever a equação de constituição relativamente à corrente fictícia. Para as restantes (Me − 1) malhas, escrever equações KVL (como no ponto anterior).(c) Circuito com fontes de tensão, resistências e fontes de corrente—Para as fontes de correnteassociadas a mais do que uma corrente fictícia, escrever a equação de constituição imposta pela fonte. Definir uma super-malha (junção das malhas após ser retirada a fonte de corrente) e escrever uma equação KVL para a super-malha. Para as restantes malhas, proceder como nos pontos anteriores.

Continuação

4) Quando existem fontes dependentes — Fazer tudo como indicado atrás, escrever uma equaçãoo auxiliar que relaciona a variável de controlo da fonte dependente com as correntes fictícias e depois substitui-la nas equações que foram escritas (de acordo com os pontos anteriores).

5) Resolver o sistema de equações para calcular as Me correntes fictícias. No caso de um circuito linear pode escrever-se um sistema matricial em que o vector das incógnitas é constituído pelas Me correntes fictícias.

1R

i1

2R

0

VR2+-VG

VR1

1 2 0G R RV V V− + + =

Há 6 incógnitas mas o método das malhas diz que tudo se reduz a uma. O KCL está implicito. Neste caso todos os elementos têm a mesma corrente que concide com a ficticia.

( )1 2 1 0GV R R I− + + × = 1

1 2

GVI

R R=

+

B-1Método das malhas- Exemplo II

1R

I1

2R3R

0

VR2+-VG

VR1

I2

1 1

2 3

0

0

G R R

R R

V V V

V V

− + + =

− + =

( )

( )1 1 2 1 2

2 2 1 3 2

0

0

GV R I R I I

R I I R I

− + × + × − =

× − + × =

VR3

Em cada malha i circula-se no sentido das correntes ficticias Ii sendo RxIi positivo. Se a corrente da malha vizinha j percorrer R com sentido contrário a Ii, o seu contributo será negativo, Rx(Ii-Ij).

Forma Matricial

1 2 2 1

2 2 3 20

GR R R VI

R R R I

+ − = − +

O elemento Rii contém a soma de todas as resistências ligadas à malha i

Se no elemento ij o sento de Ii é contrário ao de Ij o sinal será negativo

Somam-se todas as forças electromotrizescom o sentido de Ii

B-2-Método das malhas - Caso com fonte de corrente

1R

V1

IIG

IG

2R3R

0

IR1

IR2

IR3V2 V3=V

+- V

IV

I1=IGI2

Fonte de corrente só percorrida por uma corrente ficticia

Conforme 3-b -Para cada fonte de corrente, escrever a equação de constituição relativamente à corrente fictícia.

1 GI I=

Do KVL da equação da malha I2 obter-se-á:

22

2 3 2 3

GR IVI

R R R R= +

+ +

3 2 2 2( ) 0GR I V R I I+ + − =

Solução