Introdução ao Projecto de Filtros e a Funções de

Aproximação

José A. Soares Augusto

Departamento de Física da Fac. de Ciências da Un. de Lisboa (DF-FCUL)

Junho de 2011 (V1.0)1

Introdução

Há várias famílias de ltros com muita aplicação: Butterworth, Chebyshev, Bessel-Thomson,Chebyshev inverso e Cauer-elíptico. A diferença entre as famílias mais utilizadas dá-se no valornumérico dos coecientes dos polinómios em s que denem as suas Funções de Transferência (FTs),sendo a excepção mais notável a esta regra os ltros elípticos, ou de Cauer, cujas FTs correspon-dem a fracções racionais mais elaboradas e os circuitos que os implementam são, em geral, maiscomplexos do que aqueles usados nos de Chebyshev, Butterworth, etc...

Os coecientes moldam as propriedades e as características de cada família. Cada famíliaoptimiza uma determinada característica de projecto: a de Butterworth é a que proporciona omelhor aplanamento da banda de passagem, a de Chebyshev é a mais íngreme na banda de transição(exceptuando os ltros elípticos, que porém são mais complicados de realizar) e a de Bessel é a queapresenta a fase mais linear na banda de passagem.

As funções de aproximação utilizadas no projecto de ltros tentam ajustar-se ao ltro ideal,que se prova ser matematicamente irrealizável, e que consiste num ltro em que as separaçõesentre bandas de passagem e bandas de rejeição são verticais. Nos ltros práticos, seja qual for afamília ou aproximação, entre cada banda de passagem e banda de rejeição adjacente existe umabanda de transição, de determinada largura na frequência, em que o ganho (ou a atenuação) doltro transita, com declive nito, de valores mínimos para máximos. Quanto mais abrupto for essedeclive, ou seja, quanto mais estreita (em termos relativos) for a banda de transição, maior será aordem do ltro. E quanto maior a ordem, mais complexo e dispendioso é o circuito necessário àsua realização.

Iremos estudar aproximações de ltros passa-baixo (LP). Esta restrição não é importante namedida em que este é o tipo de ltro a partir do qual os outros (passa-alto (HP), passa-banda(BP), etc...) são realizados, com o auxílio de transformações envolvendo a frequência complexa s.

Como habitualmente, S = jΩ será a frequência normalizada, e s = jω será a frequência real,não normalizada.

É útil denir uma função de atenuação, A(s), que é a inversa da função de transferênciado ltro, H(s). A mesma relação existirá em temos da variável complexa normalizada, S. Então

A(s) =1

H(s)H(S) =

1

A(S)

Uma outra função relacionada com aquelas é a atenuação expressa em decibéis, A(ω)

A(ω) = 20 log |A(jω)| [dB]

Em geral, quando se fala de atenuação o contexto indica se nos referimos a A(S) ou a A(ω). Assim,por vezes não será posto o chapéu em A(ω), usando-se apenas A(ω) para designar a atenuaçãoem dB. Quando houver perigo de confusão, o chapéu será explicitamente colocado.

Neste documento serão usadas sistematicamente H(s) para referir a função de transferência, eA(s) para referir a (função de) atenuação. O gráco na g. 1 permite esclarecer a relação entreatenuação e função de transferência, mostrando o diagrama de Bode da amplitude da função detransferência, em dB, e os requisitos de atenuação num ltro passa-baixo (Amax e Amin).

A especicação de um ltro passa-baixo (e de outros tipos de ltros) é um conjunto de parâ-metros: no caso do passa-baixo, eles são a frequência limite (superior) da banda de passagem,

1Se encontrar erros, por favor avise o autor em jaaugusto@fc.ul.pt

1

Figure 1: Especicações de um ltro passa-baixo. Neste caso, está desenhado o módulo da funçãode transferência em dB, 20 log |H(ω)|, ou seja, mostra-se −A(ω). Repare no ponto correspondentea 0 dB, e conclua que todos os pontos abaixo desse valor são valores negativos calculados por20 log |H(jω)|, ou seja, são atenuações positivas. (As frequências ωl1 e ωl2 não interessam paraesta discussão, mas adianta-se que são zeros de transmissão na banda de rejeição ou de paragem.Estes zeros não existem nos ltros de Butterworth e de Chebyshev).

ωP , a respectiva atenuação máxima permitida, Amax, a frequência limite (inferior) da banda derejeição, ωS , e a atenuação mínima permitida, Amin. Muitas vezes as atenuações têm denominaçõesdiferentes como, por exemplo, as designações Amax ≡ AP ≡ KP e Amin ≡ AS ≡ KS .

Para terminar esta introdução, é justo referir que, para tornar mais rápida a escrita destasnotas, várias guras foram retiradas, com ou sem alterações, do acervo da Internet. Em geralnão se faz a respectiva atribuição de (m)paternidade, pelo que pedimos desculpas aos autoresanónimos (se forem reinvidicadas, oferecemos uma bebida fresca, à escolha do queixoso(a)!).

Filtros de Butterworth

As funções de aproximação passa-baixo que vamos estudar têm a seguinte forma2:

|A(jω)|2 = 1 + |K(jω)|2 = 1 +

∣∣∣∣N(jω)

D(jω)

∣∣∣∣2onde jω = s. Mais precisamente, K(s) será um polinómio de ordem n

K(s) = Pn(s) = a0 + a1s+ a2s2 + · · ·+ ans

n

e, concretamente no ltro de Butterworth, o polinómio K(s) terá apenas o termo de ordem n

KBut(s) = ε

(s

ωP

)n=

ε

ωnPsn

Na família de ltros de Butterworth, a frequência normalizada S = jΩ é denida por

S = ε1/ns

ωPΩ = ε1/n

ω

ωP(1)

2Os ltros elípticos, por exemplo, têm funções de atenuação e de transferência não abrangidas por esta deniçãode aproximação. Nesta exposição seguiremos essencialmente o texto de G. Daryanani [Dar]. Um ponto importantea reter é que naquele livro H(.) é usada para designar atenuações, enquanto no nosso documento H(.) designa afunção de transferência, como é usual.

2

Figure 2: Resposta em amplitude, 20 log |H(jΩ)| (diagrama de Bode), de ltros de Butterworth devárias ordens, em função da frequência normalizada, Ω. Repare no aplanamento quase perfeitona banda de passagem.

onde ωP é a frequência limite da banda de passagem. Note que ωP será igual à frequência de corte,ωC , caso a atenuação limite na banda de passagem, Amax, valha 3 dB, o que nem sempre acontece.(Em geral, é convencionado que à frequência de corte, ωC , a atenuação é sempre 3 dB.)

A relação entre as frequências normalizada e real (1) tem uma grande importância. Comefeito, como é ilustrado numa secção mais adiante com a ajuda de um exemplo, é esta denormal-ização que nos permite utilizar os polinómios da tabela (29), normalizados para Amax = 3 dBà frequência unitária, ΩC = 1, para criar ltros com diferentes valores de Amax. Note que paraAmax = 3 dB se tem ωP ≡ ωC e ε = 1, e a denormalização é simplesmente S = s/ωC .

Na frequência normalizada teremos apenas

KBut(S) = Sn (2)

Então

|A(jω)|2 = 1 + ε2(ω

ωP

)2n

|A(jω)| =

√1 + ε2

(ω

ωP

)2n

e, na frequência normalizada, virá

|A(jΩ)|2 = 1 + Ω2n |A(jΩ)| =√

1 + Ω2n

A expansão em série de Taylor de√

1 + Ω2n na vizinhança de zero é

|A(jΩ)| =√

1 + Ω2n = 1 +1

2Ω2n − 1

8Ω4n +

1

16Ω6n · · ·

e é evidente que as 2n − 1 primeiras derivadas de |A(jΩ)| são nulas em Ω = 0. A (2n)-ésima

derivada d2n|A(jΩ)|dΩ2n valerá [(2n)!]/2. Nenhuma escolha de polinómio de ordem n para K(S) que

não seja (2), tem tantas derivadas nulas. Este facto faz com que a aproximação de Butterworthseja a de aplanamento máximo (maximum atness). Veja a Fig. 2.

A atenuação A(ω) em decibéis, 20 log |A(jω)|, é3

A(ω) = 20 log |A(jω)| = 10 log

[1 + ε2

(ω

ωP

)2n]

[dB] (3)

3A não ser que seja dito algo em contrário, todos os logaritmos são decimais.

3

A função simétrica desta atenuação (em dB), consiste no diagrama de Bode em amplitude doltro (Fig. 2).

À frequência ω = ωP , a atenuação em dB vale

A(ωP ) = Amax = 10 log(1 + ε2) [dB]

dondeε =

√100.1Amax − 1 (4)

pelo que se conclui que o polinómio associado ao ltro de Butterworth depende de Amax. Noteque ε ≈ 1 quando Amax = 3 dB4.

Por outro lado, para frequências muito maiores do que ωP ter-se-á

A(ω) ≈ 20 log ε

(ω

ωP

)nω ωP

= 20(log ε− n logωP ) + 20n logω

conrmando-se que nas frequências elevadas a atenuação será de 20 dB por década e por pólo (onúmero de pólos da função de transferência é n.)

A ordem do ltro, n, necessária para satisfazer os requisitos de projecto (ωP , Amax, ωS , Amin)pode ser retirada de (3) e de ε calculado com (4). Com efeito, (3) pode ser manipulada

A(ωS) = Amin = 10 log

[1 + ε2

(ωSωP

)2n]

100.1Amin = 1 + ε2(ωSωP

)2n

(ωSωP

)n=

√100.1Amin − 1

ε

n =

log(√

100.1Amin − 1/ε)

log (ωS/ωP )

(5)

(onde o uso da função tecto de resulta do facto de n ter de ser inteiro.) Se o ltro estivernormalizado, usar-se-á log(ΩS/ΩP ) no denominador da expressão.

Função de transferência do ltro de Butterworth

Sabe-se (consulte [Hue,WKC]) que as funções de atenuação de circuitos e sistemas lineares satis-fazem as igualdades

|A(jω)|2 = A(jω)A(−jω) |A(s)|2 = A(s)A(−s)|A(jΩ)|2 = A(jΩ)A(−jΩ) |A(S)|2 = A(S)A(−S) (6)

A recuperação de A(s) ou A(S) a partir das atenuações expressas em ω ou em Ω é feita como cálculo das 2n raízes das equações em S (ou em s) e da selecção, de entre elas, das n raízeslocalizadas no semiplano complexo esquerdo (SCE) que correspondem a um sistema estável.

Utilizando a frequência normalizada Ω = S/j, teremos para o ltro de Butterworth

|A(jΩ)|2 = 1 + Ω2n = 1 + [−(jΩ)2]n

|A(S)|2 = 1 + (−S2)n (7)

e as 2n raízes da equação 1 + (−S2)n = 0 são

Sk = exp

[jπ

2

(2k + n− 1

n

)]k = 1, · · · , 2n (8)

4Na realidade, em geral diz-se simplesmente que ε = 1. De facto, 20 log√2 = 3.0103 dB, mas na prática usa-se

sempre 3 dB como referência. É esta a razão do sinal de aproximação em ε ≈ 1.

4

Então, a função de atenuação normalizada de Butterworth será

A(S) =∏i

(S − Si) i = 1, · · · , n (9)

onde as n raízes Si são, como se disse, o subconjunto das calculadas por (8) localizadas no SCE.

Exemplo: polinómio normalizado do ltro de Butterworth de 2ª ordem

Neste caso, n = 2 e então,

|A(S)|2 = 1 + [−(S)2]2

Sk = exp

[jπ

2

(2k + 1

2

)]k = 1, · · · , 4

Logo

S1 = exp

(j

3π

4

)S2 = exp

(j

5π

4

)S3 = exp

(j

7π

4

)S4 = exp

(j

9π

4

)Apenas as duas primeiras raízes se encontram no SCE. Portanto

A(S) =

[S − exp

(j

3π

4

)][S − exp

(j

5π

4

)]= S2 − S

[exp

(j

3π

4

)+ exp

(j

5π

4

)]+ exp

(j

3π

4

)exp

(j

5π

4

)A soma das exponenciais, que são complexas conjugadas, vale

√2 e o seu produto vale 1. Logo

A(S) = S2 +√

2S + 1

é o polinómio de Butterworth normalizado de 2ª ordem, conforme pode conrmar na Fig. 29.

Utilização da tabela com os polinómios de Butterworth

Pode conrmar que qualquer dos polinómios P (S) =∏k(1 + akS + bkS

2) mostrados na tabela daFig. 29, verica a igualdade P (j) =

√2 em S = jΩ = j . Como a função de transferência do ltro

passa-baixo normalizado é H(S) = 1/P (S), então H(j) = 1/√

2, ou seja, à frequência unitária aatenuação é 20 log(

√2) = 3 dB para qualquer polinómio de Butterworth.

Há dois processos equivalentes para obter a função de transferência H(s) do ltro real, co-nhecida que é a ordem n do ltro.

Um deles assenta na construção da função H(s) = [1/A(S)]|S=s/ωPusando o pólos de Butter-

worth (8) e a função da atenuação A(S) (9).O outro processo passa pelo cálculo de ωC , a frequência de corte a 3dB, a partir dos requisitos

do ltro, e pela utilização dos polinómios P (S) da tabela na Fig. 29.Quando Amax = 3 dB, então ωC ≡ ωP e usa-se directamente os polinómios da tabela. Quando

isso não acontece, é fácil relacionar ωC com ωP desde que se disponha de Amax e da ordem doltro calculada com (5). Recorde que

Amax = 10 log(1 + ε2) ε =√

100.1Amax − 1

e que, por denição

3 = 10 log

[1 + ε2

(ωCωP

)2n]

√100.3 − 1 = ε

(ωCωP

)n

5

Mas esta raiz quadrada vale 1, pelo que se obtém de imediato

ωC = ωP ε−1/n (10)

Em resumo, conhecidos n, ε e ωP calcula-se de imediato ωC , e a função de transferência doltro real será construída a partir dos polinómios normalizados P (S), constantes da tabela da Fig.29, através de

H(s) =1

P (s/ωC)

Exemplo Pretende-se projectar um ltro passa-baixo de Butterworth com as especicações:

Amax = Kp = 0.5 dB Amin = KS = 12 dB ωP = 100 ωS = 400

Utilizando (4), calcula-se ε = 0.3493. A ordem do ltro, calculada com (5), é n = d1.73e = 2.Os pólos do ltro de Butterworth de 2ª ordem são S1,2 = (−1 ± j)/

√2. O polinómio é P (S) =

(S − S1)(S − S2) = S2 +√

2S + 1, conforme se pode conrmar na tabela da Fig. 29. Então, com(10) calcula-se ωC ≈ 169 e um conjunto equivalente de especicações para o ltro é

Amax = Kp = 3 dB Amin = KS = 12 dB ωP = ωC = 169 ωS = 400

Com este valor de ωC pode usar-se directamente a tabela (é o que se chama denormalizar oltro passa-baixo)

H(s) =1

S2 +√

2S + 1

∣∣∣∣S= s

ωC

=ω2C

s2 +√

2ωCs+ ω2C

=28561

s2 + 169√

2s+ 28561

A outra alternativa é utilizar (1) directamente, e fazer a substituição S = ε1/n sωP

= 0.00591s

na função de transferência normalizada. Mas é óbvio que ε1/n/ωP = 1/ωC , pelo que o resultadodeste procedimento corresponderá exactamente à função anterior:

H(s) =1

S2 +√

2S + 1

∣∣∣∣S=ε1/n s

ωP

=28561

s2 + 169√

2s+ 28561

Filtros de Chebyshev

O projecto de ltros de Chebyshev é semelhante ao projecto de ltros de Butterworth, ressalvando-se a maior complexidade dos polinómios de Chebyshev.

Neste caso, o módulo da função de atenuação é dado por

|A(jΩ)| =√

1 + ε2C2n(Ω)

onde Cn(Ω) é o polinómio de Chebyshev de ordem n,

Cn(Ω) =

cos(n arccos Ω) |Ω| ≤ 1

cosh(n arccos hΩ) |Ω| > 1

No ltro de Chebyshev a frequência normalizada é simplesmente

Ω =ω

ωP(11)

(note que esta denição de Ω é diferente daquela usada nos ltros de Butterworth).Os polinómios de Chebyshev podem ser denidos recursivamente

C0(Ω) = 1

C1(Ω) = Ω

Cn+1(Ω) = 2ΩCn(Ω)− Cn−1(Ω) (12)

6

donde se retira

C2(Ω) = 2Ω2 − 1

C3(Ω) = 4Ω3 − 3Ω

C4(Ω) = 8Ω4 − 8Ω2 + 1

C5(Ω) = 16Ω5 − 20Ω3 + 5Ω (13)

· · ·

sendo importante notar que o coeciente da potência Ωn vale, para qualquer ordem, 2n−1.Pode provar-se facilmente, por indução matemática, que Cn(1) = 1, ∀n=0,1,···. De facto, de

(12) infere-se imediatamente que C0(1) = C1(1) = 1; por outro lado, à frequência unitária Ω = 1 arecursão de Chebyshev Cn+1(1) = 2Cn(1)− Cn−1(1) é igual a 1, caso os 2 anteriores polinómios,Cn(1) e Cn−1(1), valham ambos 1. Assim, conclui-se que C2(1) = 1 porque C0(1) = C1(1) = 1, ea indução matemática permite provar este facto sucessivamente para C3(1), C4(1), etc...

Na frequência não normalizada, ω, o módulo da atenuação é

|A(jω)| =√

1 + ε2C2n(ω/ωP )

e a atenuação em dB éA(ω) = 10 log

[1 + ε2C2

n(ω/ωP )]

(14)

Quando ω = ωP , isto é quando Ω = 1, ter-se-á Cn(1) = 1, ∀n=0,1,···, como acabámos dedemonstrar, pelo que:

A(ωP ) = Amax = 10 log(1 + ε2) [dB] ∀n=0,1,···

dondeε =

√100.1Amax − 1

ou seja, o parâmetro ε é igual nos ltros de Butterworth e de Chebyshev. (Recorde que ε = 1 paraAmax = 3 dB, muito aproximadamente).

Nos ltros de Chebyshev ε representa também a amplitude da ondulação (ripple) na bandade passagem do ltro (veja os diagramas de Bode mostrados na g. 3, em que a ondulação é 3dB). Essa ondulação é positiva ou negativa consoante a ordem seja par ou ímpar, respectivamente(veja a Fig. 3).

Vejamos agora o que se passa com as famílias de ltros de Butterworth e de Chebyshev quandoω →∞. No ltro de Butterworth temos (ver (3))

ABut(jω)|ω→∞ ≈ 20 log

[ε

(ω

ωP

)n][dB]

e no ltro de Chebyshev, teremos (veja (14) e o termo dominante dos polinómios em (13))

ACheb(jω)|ω→∞ ≈ 20 log

[ε

(ω

ωP

)n2n−1

]A(Ω)|Ω→∞ ≈ 20 log

[ε

(ω

ωP

)n]+ 20(n− 1) log 2 + [dB]

Notando que 20 log 2 ≈ 6, conclui-se que, assimptoticamente, nas frequências elevadas, o ltropassa-baixo de Chebyshev de ordem n proporciona uma atenuação extra de ∆ACheb−But = 6(n−1)comparativamente ao ltro de Butterworth da mesma ordem.

Esta constatação permite amiúde poupar hardware quando as situações podem ser resolvidascom ltros de Chebyshev. Somente os ltros elípticos são mais íngremes que os de Chebyshev,mas essa vantagem é conseguida à custa de funções de transferência passa-baixo com zeros no

7

Figure 3: Resposta em amplitude, 20 log |H(jΩ)| (diagrama de Bode), de ltros de Chebyshev devárias ordens, na frequência normalizada, Ω. Nesta gura, a constante H0 na equação (16) foiescolhida para se ter 0 dB à frequência nula, contrariamente ao que se passa na gura seguinte,onde H0 situa 0 dB nos máximos da ondulação, independentemente da ordem do ltro.

numerador5, o que exige, na sua realização, recorrer a circuitos mais complicados do que aquelesusados em ltros de Butterworth e Chebyshev.

Seguindo um raciocínio semelhante àquele subjacente às equações (6) e (7), mas matematica-mente mais eleborado, descobre-se que a localização dos pólos do ltro de Chebyshev se encontrasobre uma elipse centrada na origem do plano complexo (veja o texto de Huelsman [Hue], porexemplo). Concretamente, denindo

uk =π

2

(2k − 1

n

)v =

1

narcsin h

1

ε

esses 2n pólos, Sk = Σk + jΩk, são dados por

Σk = ± sinuk sinhv k = 1, · · · , 2nΩk = ± cosuk cos hv k = 1, · · · , 2n

Em concreto, os n pólos localizados no SCE que correspondem a um sistema estável são

Sk = Σk + jΩk

Σk = − sinuk sinhv k = 1, n

Ωk = cosuk cos hv k = 1, n (15)

e assim a função de atenuação do ltro de Chebyshev é dada por

A(S) =1

H0

∏k

(S − Sk) k = 1, · · · , n (16)

5A função de transferência do ltro elíptico passa-baixo, de ordem n, tem a seguinte aparência (há variantesneste tipo de ltro, com funções ligeiramente diferentes)

H(s) =Ha

∏n/2i=1(s

2 + ω2i )

a0 + a1s+ · · ·+ an−1sn−1 + ansn

8

Figure 4: Ondulação no ganho de ltros de Chebyshev de ordem par e ímpar. A constante H0

neste caso é escolhida para que o máximo do ganho seja 0 dB. Observe que nesta situação o pontoω = 0 é um mínimo nas ordens pares e um máximo (de 0 dB) nas ímpares. O valor da atenuaçãoem ωP é AP = Amax.

com os n pólos situados no SCE, como se disse. A constante H0 é escolhida de forma a ter 0 dBno(s) mínimo(s) da atenuação (veja a Fig. 4 que mostra as duas variantes da ondulação). A funçãode transferência do ltro de Chebyshev, H(S) = 1/A(S) é então

H(S) =H0∏

k(S − Sk)k = 1, · · · , n

Ordem do ltro de Chebyshev

À semelhança dos ltros de Butterworth, há uma expressão para a ordem, n, do ltro de Chebyshevque satisfaz os requisitos de projecto [Hue,SGL]. Denindo as variáveis

ΩS =ωSωP

=fSfP

M =

√100.1Amin − 1

100.1Amax − 1

essa ordem é dada por

n =

⌈arccos hMarccos hΩS

⌉(17)

Exemplo: ltro de Chebyshev de 4ª ordem com ondulação Amax = 0.1 dB

A partir de Amax = 0.1 dB calcula-se ε

ε =√

100.01 − 1 = 0.1526

Neste caso, v = 1n arcsin h 1

ε = 0.6447. Os quatro pólos do ltro localizados no SCE são então (15)

S1 = −0.264 + j1.1226

S2 = −0.6377 + j0.465

S3 = −0.6377− j0.465

S4 = −0.264− j1.1226

9

Portanto

A(S) =1

H0(S − S1)(S − S2)(S − S3)(S − S4)

=1

H0(S4 + 1.8038S3 + 2.6268S2 + 2.0255S + 0.8285)

e a função de transferência normalizada do ltro passa-baixo é

H(S) =H0

S4 + 1.8038S3 + 2.6268S2 + 2.0255S + 0.8285

ou, em termos de secções biquadráticas:

H(S) =H0

(S2 + 1.275S + 0.6229)(S2 + 0.528S + 1.33)

Estas secções matemáticas podem ser implementadas directamente por duas secções activasde 2ª ordem (de Sallen-Key, por exemplo). As FTs deverão ser factorizadas como um produto depolinómios de 2º grau (e de um polinómio do 1º grau, se a ordem do ltro for ímpar).

É pertinente chamar a atenção para a diferença entre os coecientes dos polinómios obti-dos a partir dos pólos e aqueles nas tabelas da Fig. 30 e seguintes: nas tabelas, retiradas de[TS,Man,CM], os polinómios sofrem uma transformação para que em Ω = 1 a atenuação sejade 3 dB. A atenuação calculada a partir de A(S) construída com os pólos (16), em Ω = 1 vale10 log(1+ε2), que neste exemplo corresponde a 0.1 dB. Este aspecto voltará a ser discutido quandoda apresentação das tabelas.

Filtros de Bessel-Thomson

Estes ltros têm a importante propriedade de apresentar um atraso quase constante na bandade passagem, ou seja, a sua fase é quase linear. Uma fase linear ou, de forma equivalente, umatraso constante na banda de passagem, signica que todas as harmónicas (de Fourier) do sinal deentrada nessa banda sofrem igual atraso ao atravessar o ltro. Isto implica que as componentesdo sinal situadas na banda de passagem são aproximadamente reconstruídas na saída, sofrendopouca distorção. Uma boa representação sistémica deste ltro ideal é feita pelas aproximações(no tempo e na frequência)

y(t) ≈ x(t− τ0) Y (s) ≈ e−sτ0X(s)

donde se conclui que as suas funções de transferência e de atenuação são

H(s) = e−sτ0 A(s) = esτ0

e normalizando-as com τo = 1, ter-se-á

H(S) = e−S = e−jΩ A(S) = eS = ejΩ

pelo que se conclui que o módulo e a fase da atenuação, para S = jΩ, são |A(jΩ| = 1 e ∠A(jΩ) = Ω.Os polinómios (de Bessel) são aqueles que, para uma dada ordem n, melhor aproximam esta

função de transferência ideal (segundo um determinado critério de optimização). Vamos ilustrarcom um polinómio de segunda ordem,

A(S) = 1 + aS + bS2 A(jΩ) = 1 + jaΩ− bΩ2

cujos módulo e fase são, respectivamente

|A(jΩ)| =√

(1− bΩ2)2 + a2Ω2 ψ(Ω) = ∠A(jΩ) = arctanaΩ

1− bΩ2

10

Temos que determinar os dois parâmetros a e b, e as condições que vamos impor são: o móduloda atenuação ser igual a

√2, em Ω = 1 (normalização do corte a -3 dB); e a derivada da fase ser

aproximadamente constante. Esta derivada é dada por

dψ(Ω)

dΩ=

1

1 +(

aΩ1−bΩ2

)2

d

dΩ

(aΩ

1− bΩ2

)= a

1 + bΩ2

1 + (a2 − 2b)Ω2 + b2Ω4

Para frequências baixas dentro da banda de passagem, i.e. para 0 ≤ Ω 1, o termo quártico podeser desprezado, e então

1

a

dψ(Ω)

dΩ≈ 1 + bΩ2

1 + (a2 − 2b)Ω2

Esta fracção torna-se igual a 1 se b = a2 − 2b. Resumindo, para se conseguir aproximadamenteψ(Ω) ∝ Ω então a e b deverão ser calculados pelo sistema não linear de equações construído comb = a2 − 2b e com a equação que corresponde a igualar

√(1− bΩ2)2 + a2Ω2 a

√2, em Ω = 1:

b = a2 − 2b (1− b)2 + a2 = 2

cuja solução éa = 1.3617 b = 0.6180

correspondente ao caso n = 2 na tabela da Fig. 28. Para ordens superiores, os cálculos são maiscomplicados; no entanto, permitem obter os restantes valores da tabela da Fig. 28.

No que toca à atenuação, os ltros da família Bessel-Thomson são piores do que os ltros deButterworth e de Chebyshev. São porém particularmente úteis para ltrar ruído em canais ondesão transmitidos sinais com forma rectangular (por exemplo, sinais digitais, ou sinais de vídeoanalógico), pois distorcem menos a sua forma rectangular do que as outras famílias de ltros,removendo na mesma o ruído de muito alta frequência. No uso dos ltros de Bessel faz-se umcompromisso entre ecácia de atenuação e distorção.

No nal deste documento é apresentada uma tabela de ltros de Bessel normalizados (Fig. 28),retirada de [TS] e que consta também de [Man,CM]. Nesta tabela os polinómios de Bessel estãonormalizados para que a atenuação seja 3 dB à frequência unitária.

Transformações de frequência: projecto de ltros passa-baixo, passa-alto

e passa-banda baseados no ltro passa-baixo normalizado

O projecto de ltros no mundo real faz uso intensivo de tabelas e de circuitos-protótipo (ou cir-cuitos normalizados), uma vez que as propriedades de mudança de escala em frequência e/ou emimpedância permitem a sua aplicação a quase todos os problemas práticos de projecto de ltros.Acontece que aquelas tabelas e circuitos quase sempre correspondem a ltros passa-baixo normal-izados, i.e., com frequência limite da banda de passagem ΩP = 1. Para eles poderem ser usadosno projecto de qualquer tipo de ltro, é necessário transformar estes ltros genéricos no ltro LPnormalizado, e vice-versa. Nesta secção iremos discutir estas transformações sumariamente sem,no entanto, deixar de apresentar a informação suciente à sua aplicação prática.

Assume-se que o ponto de partida do projecto será o conjunto de coecientes do ltro passa-baixo normalizado (LPN) que consta das tabelas apresentadas no nal deste documento. Even-tualmente serão utilizados circuitos protótipo normalizados (veja os exemplos mais adiante).

Passa-baixo (LP)

Como já vimos, a especicação de um ltro passa-baixo consiste num conjunto de quatro valores:dois limites de frequência e outros dois de atenuação (ver a Fig. 1):

ωP , Amax, ωS , Amin

É vulgar utilizar outras denominações para as atenuações: por exemplo, Amax ≡ KP ≡ AP eAmin ≡ KS ≡ AS . Seja qual for a denominação utilizada, as atenuações são dadas em dB. É em

11

Figure 5: Módulo da função de transferência de um ltro passa-baixo na frequência normalizadaΩ. Note que ΩP = 1.

dB que elas são injectadas nas expressões (5) e (17) que calculam a ordem dos ltros, e em todasas outras expressões anteriormente dadas.

Vamos agora focar o projecto de ltros passa-baixo com qualquer frequência limite da bandade passagem, ωP .

O ltro passa-baixo normalizado usa a frequência normalizada S = jΩ. A de-normalização éfeita pela transformação

S → s

ωPΩ→ ω

ωP

Denindo ΩS = ωS/ωP , transfere-se os requisitos de projecto para o ltro normalizado:

ΩP = 1, Amax, ΩS , Amin

Uma representação esquemática do passa-baixo normalizado é mostrada na Fig. 5. A de-normalização consiste numa expansão (ou contracção, dependendo da perspectiva) do eixo dasfrequências. Porém, a forma relativa do ltro permanece inalterada.

Passa-alto (HP)

A transformação de um ltro passa-baixo normalizado (em S) para um passa-alto é feita com

S → ωPs

Ω→ −ωPω

As especicações do passa-alto são semelhantes às do passa-baixo

ωP , Amax, ωS , Amin

estando ωP associada, na mesma, à atenuação Amax, mas vericando-se agora a desigualdadeωP > ωS .

Para obter a ordem do ltro passa-alto necessária para satisfazer as especicações, recorre-se àsexpressões (5) para o ltro de Butterworth e (17) para o ltro de Chebyshev, substituindo-se porémnessas expressões a razão ωS/ωP pela sua inversa, ωP /ωS (note que, no passa alto, ωP > ωS).

Na g. 6 são mostradas respostas em amplitude de possíveis ltros passa-alto com fC a valer,aproximadamente, 1 KHz.

12

Figure 6: Possíveis respostas em amplitude de um ltro passa-alto, com fC situada em 1 KHz. Nagura estão assinaladas as especicações do ltro lilás. Note que a relação de grandeza entre ωPe ωS (i.e., ωP > ωS) vem trocada relativamente ao ltro passa-baixo.

Exemplo Considere um ltro passa-alto de Butterworth com as seguintes especicações:

Amax = 3 dB Amin = 15 dB ωP = 1000 ωS = 500

As especicações do ltro passa-baixo normalizado equivalente são

Amax = 3 dB Amin = 15 dB ΩP = 1 ΩS = 2

Utilizando a equação (5) com log(ΩS/ΩP ) no denominador, conclui-se que é necessário um ltro de3ª ordem. Da tabela na Fig. 29 retiram-se os correspondentes coecientes para obter o passa-baixonormalizado

HLP (S) =1

(S + 1)(S2 + S + 1)

e, de seguida, aplica-se a transformação de frequência S = ωP /s = 1000/s para obter o ltropretendido

HHP (s) =s3

(s+ 1000)(s2 + 1000s+ 106)

Passa-banda (BP)

As especicações do ltro passa-banda têm mais duas frequências que as do passa-baixo e dopassa-alto (Fig. 7)

ωP1, ωP2, Amax, ωS1, ωS2, Amin

O ltro passa-banda é transformado de/para o passa-baixo normalizado pelas relações

S → ω0

B

(s

ω0+ω0

s

)=s2 + ω2

0

Bs(18)

Ω → ω2 − ω20

Bω

onde

ω0 =√ωP1ωP2 =

√ωS1ωS2 (19)

B = ωP2 − ωP1

Nesta transformação presume-se que se verica uma atenuação Amax às frequências ωP1 e ωP2,e que às frequências ωS1 e ωS2 há uma atenuação Amin, isto é, existe simetria nas característicasde atenuação nos dois ancos do ltro passa-banda. Se for dado um conjunto de especicações emque não há simetria, o projectista tem que as tornar simétricas: por exemplo, se for especicado o

13

Figure 7: Parâmetros da especicação de um ltro passa-banda.

conjunto das quatro frequências limite mas elas não vericarem simultaneamente as condições damédia geométrica (19), pelo menos uma delas terá de ser alterada.

Uma consequência imediata de (18) é que a ordem do ltro passa-baixo de referência é dupli-cada na transformação LPN→BP. Ou seja, se nos cálculos do projecto aparecer um protótipo LPnormalizado de ordem n, o passa-banda nal será de ordem 2n.

Em termos de frequências reais, a partir de (18) e após realizar algumas manipulações algébricasé imediato concluir (veja a Fig. 18)

0 → ω0

ΩP = 1 → ωP2

−ΩP = −1 → ωP1

±ΩS → ± ωS2 − ωS1

ωP2 − ωP1

Estas expressões permitem efectuar o projecto do ltro LP normalizado equivalente, calculando-se as ordens do ltro de Butterworth (5) ou de Chebyshev (17) com ωP ≡ ΩP = 1 e ωS ≡ ΩS .Para calcular as ordens de outros tipos de ltros, são usados grácos ou tabelas.

Exemplo Considere os seguintes requisitos passa-banda (em Hz, e em dB)

fP1 = 500, fP2 = 1000, Amax = 0.5, ωS1 = 275, ωS2 = 2000, Amin = 20

Logo, ωP1 = 2π500, ωP2 = 2π1000, ωS1 = 2π275 e ωS2 = 2π2000. Pode vericar-se queesta especicação não é simétrica e, em conformidade com a discussão anterior, para obter asimetria re-dene-se o limite ω′S2 = ωP1ωP2/ωS1 = 2π1818, para ser utilizado em vez de ωS2.Note que poderíamos ter re-dimensionado qualquer dos outros três limites de frequência. Então,ΩS = (1818 − 275)/(1000 − 500) = 3.08. A ordem do ltro de Butterworth, calculada com (5),é nBut = d2.98e = 3. A ordem do ltro de Chebyshev, calculada com (17) é nCh = d2.26e = 3.Neste caso, as especicações necessitariam da ordem 3 em ambas as famílias. Para terminar oprojecto resta retirar os coecientes dos ltros passa-baixo normalizados das tabelas, construiras respectivas funções de transferência normalizadas, e aplicar-lhes a transformação de frequência(18) para obter o ltro passa-banda nal.

Rejeita-banda (BR)

O ltro rejeita-banda, ou notch, é obtido a partir do LP normalizado pela seguinte transformação

S → Bs

s2 + ω20

14

Figure 8: Transformação do passa-baixo normalizado para o passa-banda.

É evidente que esta é exactamente a inversa da transformação do passa-baixo normalizado parao passa-banda. Pode também ser encarada como a sequência de transformações: passa-baixonormalizado→passa-alto→passa-banda. Finalmente, note que se subtrair um passa banda de umamplicador de ganho K, e zer Ka = 1, obtém um notch

K − s

bs2 + as+ 1=Kbs2 + (Ka− 1)s+K

bs2 + as+ 1=Kbs2 + (Ka− 1)s+K

bs2 + as+ 1= K

s2 + 1b

s2 + ab s+ 1

b

Esta FT dá-nos ainda mais uma perspectiva diferente para encarar ao ltro notch.

Transformações efectuadas directamente em componentes de ltros-protótipo passa-baixo normalizados

As transformações que acabámos de mencionar, e cuja aplicação foi feita nos objectos matemáticosque são as funções de transferência, podem ser realizadas directamente sobre os componentes dosltros LP normalizados, tais como aqueles mostrados à direita da Fig. 10.

Considere o circuito de cima nessa gura, um LP Butterworth de 2ª ordem normalizado comresistências de gerador e de carga que valem 1 Ω e incluindo um indutor e um condensador, ambosa valer

√2. Imagine que queria projectar, a partir dele, um passa-alto com frequência de corte

igual a 10 MHz. Então, ωP = ωC = 2π107 e a transformação do LP normalizado para o passa-alto,S → ωP /s, é aplicada aos elementos reactivos do protótipo (lembre-se que C = L =

√2):

1

SC→ s

ωPC= s11.25 [nH] SL→ ωPL

s=

1

s11.25 [nF ]

Ou seja, o condensador original é substituído por um indutor de 11.25 nH, e o indutor originalé substituído por um condensador de 11.25 nF. As resistências de 1 Ω permanecem inalteradas.O circuito, juntamente com a simulação pertinente, são mostrados na Fig. 9. Posteriormente,caso seja necessário, poder-se-á fazer uma transformação de impedâncias: por exemplo, passar asresistências para 50 Ω (veja a secção seguinte sobre a mudança de escala em impedâncias).

Similarmente, com (8) pode-se efectuar a transformação para passa-banda directamente sobre oscomponentes. Não a exemplicamos, adiantando apenas que um condensador C do LP normalizado

15

Figure 9: Filtro passa-alto de Butterworth de 2ª ordem com fC = 10 MHz. À direita está odiagrama de Bode da amplitude em dB e o ponto de -3 dB. O máximo, quando f →∞, é de -6 dBporque as resistências de 1 Ω efectuam um divisor de potencial a valer 1/2 nas altas frequências.O cursor assinala o ponto de - 9 dB (i.e., 3 dB abaixo do máximo de -6 dB), de facto situado àfrequência f =10 MHz.

é transformado no paralelo de um condensador C ′ = C/B com um indutor L′ = B/(Cω20) no passa-

banda, pois

SC → Cω0

B

(s

ω0+ω0

s

)=C

Bs+

1

s BCω2

0

(note que é uma soma de admitâncias)

e que um indutor L do LP normalizado é transformado na série de um condensador C ′ = B/(Lω20)

com um indutor L′ = L/B, visto

SL→ Lω0

B

(s

ω0+ω0

s

)=L

Bs+

1

s BLω2

0

(note que é uma soma de impedâncias)

O raciocínio subjacente ao projecto do ltro notch é semelhante.Finalmente, note que a transformação efectuada nos componentes do circuito normalizado tem

exactamente o mesmo resultado que aquele obtido pela aplicação da mesma transformação àrespectiva FT. A escolha é sua, quando puder optar por qualquer das vias.

Mudança de escala em impedância e em frequência

Há dois resultados da teoria de circuitos muito importantes para o projecto de ltros que já forammencionados algumas vezes. As mudanças de escala, ou re-escalamentos, em frequência e emimpedância. (A partir de agora usaremos o termo escalamento (de scaling) para simplicar.)

Escalamento em frequência

As impedâncias do condensador e do indutor, com s = jω, são, respectivamente

ZC(ω) =1

jωCZL(ω) = jωL

Suponha que são usadas numa função de transferência, T (jω), e que esta tem um ponto notável (umzero, um pólo, uma frequência de corte, etc...) à frequência ωx. Nesse ponto, aquelas impedânciasvalerão

ZC(ωx) =1

jωxCZL(ωx) = jωxL

16

Vamos agora dividir6 C e L por uma mesma constante, real ou complexa, KF . A frequênciapassará a ser denominada ω′. Então, as impedâncias modicadas serão

ZC(ω′,KF ) =1

jω′(C/KF )ZL(ω′,KF ) = jω′(L/KF )

A questão que se coloca é: qual será a frequência, ω′x, em que as impedâncias modicadas têmexactamente o mesmo valor que tinham à frequência ωx? Para responder, considere as igualdades

ZC(ωx) = ZC(ω′x,KF ) ⇔ 1

jωxC=

1

jω′x(C/KF )

ZL(ωx) = ZL(ω′x,KF ) ⇔ jωxL = jω′x(L/KF )

Simplicando qualquer uma delas, obtém-se a seguinte relação:

ω′x=KFωx

Esta modicação síncrona de todos os elementos reactivos do circuito permite-nos ex-pandir ou contrair o eixo das frequências com o factor KF . A alteração dos valores dos parâmetrosé exactamente a mesma para todos os L′s e C ′s do circuito, e não se aplica aos R′s.

A seguinte linha condensa as mudanças envolvidas:

ωx → KFωx = ω′x C → C/KF L→ L/KF escalamento em frequência

Vejamos uma aplicação prática. Considere que tem projectado um ltro qualquer, com frequên-cia notável (de corte, ou central) ωx. Se pretender um ltro exactamente do mesmo tipo, em queo novo valor da frequência notável passe a ser ω′x = KFωx, deverá dividir todos os condensadores

e indutores do circuito por KF .Por exemplo, se tiver um ltro passa-alto com frequência de corte a 10 KHz e quiser projectar

um ltro, do mesmo tipo, com uma nova frequência de 2 KHz, o que corresponde a KF = 0.2, teráapenas de dividir todos os condensadores e indutores do circuito por KF , ou seja, multiplicá-lospor K−1

F = 5.Se diminuir os valores dos L′s e dos C ′s está a aumentar as frequências (de corte, centrais,

etc...). E vice-versa. Esta é a regra. Recorde que este processo pode ser aplicado a qualquer ltro.

Escalamento em impedância

O segundo tipo de mudança de escala, de extrema utilidade no projecto de ltros, é o escalamentoem impedância, que pode ser enunciado da seguinte forma:

A multiplicação pelo mesmo factor, KZ , de todas as impedâncias num circuito, in-cluindo os parâmetros das fontes controladas (somente se multiplica os das CCVSspor KZ , e divide-se os das VCCSs por KZ : os das CCCSs e das VCVSs permaneceminalterados), tem o seguinte efeito sobre qualquer função de transferência denida nocircuito: (i) se ela for adimensional i.e. se for um ganho de tensão, VY /VX , ou umganho de corrente, IY /IX , permanece inalterada; (ii) se for uma trans-impedância,VY /IX , vai ser multiplicada pelo factor KZ ; (iii) se for uma trans-admitância, IY /VX ,vai ser dividida pelo factor KZ .

Este escalamento é aplicado, por exemplo, em ltros passivos retirados de tabelas, que habitual-mente utilizam valores de resistência normalizados (1 Ω, quase sempre), ou então para alteraros valores dos elementos para serem realizáveis com componentes práticos (por exemplo, não fazsentido usar condensadores de 1 F ou resistências de 1 TΩ...)

As impedâncias dos componentes passivos são afectadas da seguinte forma:

R→ KZR sL→ KZsL1

sC→ KZ

sC

6A razão de dividirmos, em vez de multiplicar, será evidente daqui a pouco.

17

donde se conclui que, em termos do parâmetro que caracteriza o componente, se tem

R→ KZR L→ KZL C → C

KZ

Facto a não esquecer: o condensador é dividido por KZ , enquanto que a resistência e o indutorsão multiplicados por KZ !

Realização simultânea das duas mudanças de escala

Podemos conjugar os escalamentos em frequência, com factor KF , e em impedância, com factorKZ , e sintetizar a transformação global a ser aplicada aos componentes:

R→ KZR L→ KZ

KFL C → C

KFKZ

Exemplo

Considere os ltros de Butterworth à esquerda na Fig. 10, normalizados a 1 Ω e a 1 rad/s. Suponhaque quer realizar um passa-alto de 3ª ordem, com frequência de corte de 1 MHz, que será inseridonum sistema com resistências de terminação de 50 Ω, um valor comum nas aplicações em altasfrequências (HF ou RF) e em microondas. Usamos o protótipo mostrado na alínea b) à esquerdada Fig. 10. Como as resistências de 1 Ω têm de passar para 50 Ω, é evidente que KZ = 50. Poroutro lado, a frequência de corte angular do ltro é 2π106, e como o protótipo está normalizadoa 1 rad/s, conclui-se que KF = 2π106. Sabidos os factores de escala, resta calcular os valores doscomponentes, que são

1 Ω→ 50 Ω 0.5F → 0.5/50/2π106 = 1.592nH 1H → 1× 50/2π106 = 7.958µH

A simulação em Topspice deste ltro passa alto, na Fig. 12, valida o projecto (os -9 dB, i.e. os3 dB abaixo do patamar em -6 dB, estão em 1 MHz, conforme se pode vericar no cursor).

Colectânea de circuitos activos secções de primeira ordem e secções

biquadráticas

O projecto de ltros faz-se em dois planos: no matemático, focado na função de transferência doltro, e no tecnológico, que abrange o circuito utilizado para a sua implementação. O primeiroplano é o que temos vindo a estudar até aqui. Daqui em diante vamos dedicar alguma prosa aoscircuitos activos, os mais populares na realização de ltros.

Uma grande vantagem das secções biquadráticas com amplicadores operacionais é apresentaremuma impedância de saída nula, em termos práticos. Esta particularidade permite realizar facil-mente ltros activos de ordens elevadas com cascatas de secções (Fig. 13), sem ser necessárioentrar em conta no projecto com o valor da carga (loading), presente na saída do ampop, que sedeve à impedância de entrada da secção a jusante.

Vamos apresentar alguns circuitos que realizam secções de primeira ordem e secções biquadráti-cas. Chama-se a atenção para a forma peculiar como as funções de transferência são apresentadasnos textos de Mancini [Man,CM] (ver bibliograa).

Sobre as funções de transferência em [CM,Man]

Nos textos de Mancini [Man] e de Carter e Mancini [CM], as funções de transferência são geralmenteapresentadas na frequência normalizada, e por esta razão aparecem na expressão da FT potênciasda frequência ωC . Esta abordagem de Mancini permite a comparação directa das expressões doscoecientes dos polinómios das FT dos circuitos, que dependem do valor dos seus componentes, comos coecientes dos ltros normalizados. Convém recordar que essas FTs não são iguais às obtidaspela análise do circuito com as técnicas habituais: para saber estas, basta fazer simplesmenteωC = 1 nas FTs de Mancini. Já iremos esclarecer este ponto.

Vejamos um exemplo: as secções de primeira ordem na Fig. 14.

18

Figure 10: À esquerda: ltros de Butterworth de 3ª ordem, normalizados a 1 Ω e a 1 rad/s. Oltro passa-banda é de 6ª ordem (foi obtido por transformação do protótipo passa-baixo de 3ªordem). À direita: sortido de ltros passa-baixo normalizados a 1 Ω e a 1 rad/s. A simulação doprotótipo passa-alto de 3ª ordem encontra-se na gura seguinte (guras retiradas daqui).

19

Figure 11: Filtro passa-alto de Butterworth de 3ª ordem normalizado a 1 Ω e a 1 rad/s, retiradoda Fig. anterior. À direita está o diagrama de Bode da amplitude em dB e o ponto de -3 dB.O máximo, quando f → ∞, é de -6 dB (corresponde ao factor multiplicativo 0.5) porque asresistências de 1 Ω efectuam um divisor de potencial que vale 1/2 nas altas frequências. O cursorassinala o ponto de - 9 dB (i.e., 3 dB abaixo do máximo de -6 dB) à frequência f =0.1585 Hz, queé aproximadamente 1/(2π), conrmando a normalização em frequência deste ltro protótipo.

Figure 12: Filtro passa-alto de Butterworth de 3ª ordem não normalizado. À direita está odiagrama de Bode da amplitude em dB e o ponto de -3 dB. O cursor assinala o ponto de - 9 dB àfrequência f = 1 MHz, conrmando o projecto.

Figure 13: Realização de ltros de ordem elevada com cascatas de secções biquadráticas (e umasecção de 1ª ordem, caso a ordem do ltro seja ímpar).

20

Figure 14: Secções passa-baixo de 1ª ordem: não inversora (à esquerda) e inversora (à direita).

O circuito não inversor da esquerda tem a seguinte FT7

VOUT (s)

VIN (s)=

(1 +

R2

R3

)1

1 + CR1s

e o inversor da direita

VOUT (s)

VIN (s)= −R2

R1

1

1 + CR2s

Em [Man,CM] aquelas FTs são expostas em termos da variável normalizada S (embora seja uti-lizado o s minúsculo em [Man]), isto é:

VOUT (S)

VIN (S)=

(1 +

R2

R3

)1

1 + ωCC1R1S

VOUT (S)

VIN (S)= −R2

R2

1

1 + ωCC1R2S

Comparando as FTs habituais com as de Mancini, e notando que a denormalização S = s/ωCé equivalente a s = ωCS, conclui-se que as FTs de Mancini incluem a denormalização. Assim, parautilizar as tabelas de ltros que constam das guras no nal deste documento juntamente com asFTs de Mancini, iguala-se directamente o coeciente do polinómio retirado da tabela ao respectivocoeciente da FT de Mancini.

Por exemplo, se quiser implementar com o circuito à direita da Fig. 14 (desprezando o sinalde menos) a secção de primeira ordem do ltro de Chebyshev de 5ª ordem com 2 dB de atenuação(veja a tabela na Fig. 32), cuja FT normalizada é

H(S) =1

1 + 4.6345S

terá apenas de igualar4.6345 = ωCC1R2 R2 = R1

não sendo necessário efectuar mais nenhuma denormalização. ωC é, obviamente, a frequência decorte do ltro.

Podemos então resumir a relação entre a verdadeira função de transferência do circuito, obtidacom as impedâncias ZC = 1/(sC), ZR = R e ZL = sL pelos métodos habituais (método dos nós,das malhas, etc...), e a correspondente FT exposta em Mancini:

Para obter as funções de transferência de Mancini a partir das FT habituais aplique a trans-formação s⇒ ωCS.

Para passar da FT de Mancini para a FT normal aplique a transformação inversa ωCS ⇒ s.

Note que Mancini [Man] usa um 's' pequeno em vez de um 'S' grande nas FTs, mas averdadeira natureza desta variável é serde facto a frequência normalizada S. Na mais recenteedição, [CM], já é utilizado um 'S' grande que evita as confusões.

21

Figure 15: Secção biquadrática passa-baixo de Sallen-Key com ganho unitário.

Figure 16: Secção biquadrática passa-baixo de Sallen-Key com ganho genérico A0 = 1 +R4/R3.

Para continuar a ilustrar a relação entre a FT normal de um circuito, em s, com a notaçãoutilizada em [Man,CM], apresentamos um outro exemplo: a secção biquadrática de Sallen-Keycom ganho unitário mostrada na Fig. (15). O sistema de equações nodais deste circuito é

sC1VOUT +G2(VOUT − VX) = 0

G1(VX − VIN ) + (G2 + sC2)(VX − VOUT ) = 0

A eliminação da tensão nodal VX permite escrever a FT habitual

H(s) =VOUTVIN

=1

1 + C1(R1 +R2)s+R1R2C1C2s2

Esta função de transferência, escrita na notação a la Mancini é obtida com a transformaçãos⇒ ωCS, como já se disse

H(S) =1

1 + ωCC1(R1 +R2)S + ω2CR1R2C1C2S2

(20)

e para com ela implementarmos uma FT biquadrática geral, dada por

H(S) =1

1 + aS + bS2

ter-se-á de igualar simplesmente

a = ωCC1(R1 +R2) b = ω2CR1R2C1C2

Para que o circuito seja realizável neste exemplo, os condensadores não podem ser iguais, tendoque ser satisfeita a desigualdade C2 ≥ C1(4b/a2). Este circuito é um caso particular (ganhounitário) da secção biquadrática passa-baixo de Sallen-Key. É muito comum a aplicação práticada secção de ganho unitário (20) com factores de qualidade Q < 3.

Na Fig. 16 encontra-se a secção SK na forma mais geral. A sua função de transferência nafrequência normalizada, S, é [Man,CM]

H(S) =1

1 + ωC [C1(R1 +R2) + (1−A0)R1C2]S + ω2CR1R2C1C2S2

(21)

7As variáveis sublinhadas destacam a notação de Mancini e fazem sobressair a relação s = ωCS.

22

Figure 17: Secção biquadrática passa-baixo com realimentação múltipla.

Figure 18: Filtro às Variáveis de Estado (retirado daqui).

onde A0 = 1 +R4/R3 é o ganho do amplicador não inversor.Uma opção comum na aplicação da secção de Sallen-Key consiste em pré-denir R1 = R2 = R

e C1 = C2 = C, o que simplica (21) para

H(S) =1

1 + ωCRC(3−A0)S + ω2C(RC)2S2

Como ainda há três graus de liberdade para especicar apenas dois parâmetros da função detransferência, é vulgar pré-denir também o valor de C para se poder utilizar um componentede alta qualidade (baixa tolerância e baixa sensibilidade às variações ambientais e ao envelheci-mento), dependendo o valor concreto de C do stock de componentes disponíveis e/ou do custodo componente.

Na Fig. (17) encontra-se ainda uma outra secção biquadrática passa-baixo, dita de realimen-tação múltipla. A sua FT normalizada (versão Mancini) é

H(S) = − R2/R1

1 + ωCC1(R2 +R3 + R2R3

R1)S + ω2

CR3R2C1C2S2

As equações nodais deste circuito são

G3VX + sC1VOUT = 0

(G3 + sC2)VOUT +G1(VX − VIN ) +G2(VX − VOUT ) = 0

onde VX é a tensão no nó comum às três resistências. Eliminando VX neste sistema, obtém-se aanterior função de transferência (com ωC = 1).

Vamos agora examinar alguns circuitos que implementam ltros de outros tipos.O circuito na Fig. 18 é um ltro às variáveis de estado. Implementa uma secção biquadrática.

Tem saídas passa-baixo (Vlp), passa-alto (Vhp) e passa-banda (Vbp). Permite implementar fac-tores de qualidade elevados na secção biquadrática.

As suas equações são:

Vbp = − 1

sR1C1Vhp Vlp = − 1

sR2C2Vbp

R

R+RAVbp =

1

3(Vin + Vhp + Vlp)

23

Figure 19: Esquema do UAF42, um circuito integrado que permite implementar facilmente ltrosàs variáveis de estado.

Figure 20: Equações de projecto para o UAF42.

onde esta última equação é obtida pelo princípio da sobreposição. Eliminando variáveis nestastrês equações, são obtidas as várias funções de transferência HBP (s) = Vbp(s)/Vin(s), HHP (s) =Vhp(s)/Vin(s) e HLP (s) = Vlp(s)/Vin(s) (copiadas daqui, com várias correcções efectuadas)

HBP (s) =s/(C1R1)

s2 + 3RC1R1(R+RA)s+ 1

C1R1C2R2

HHP (s) =−s2

s2 + 3RC1R1(R+RA)s+ 1

C1R1C2R2

HLP (s) =−1/(C1R1C2R2)

s2 + 3RC1R1(R+RA)s+ 1

C1R1C2R2

A popularidade do ltro às variáveis de estado faz com que existam vários circuitos integradosque implementam o seu esqueleto. Um exemplo é o UAF42 (link) da Texas Instruments.

As equações dos ltros implementáveis com o UAF 42 estão na Fig. 20. Nas Figs. 21 e 22 estãoas duas possibilidades de implementação de uma secção biquadrática constantes da datasheet.

A descrição de um programa automático para projectar ltros activos com o UAF42 encontra-se neste link. Para além de descrever em detalhe a utilização do UAF42, o documento é tambémum óptimo tutorial sobre ltros em geral, e sobre o ltro às variáveis de estado, em particular.

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Figure 21: Secção biquadrática não inversora com o UAF42.

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Figure 22: Secção biquadrática inversora com o UAF42. Os sinais '-' não são mostrados nasexpressões dos ganhos.

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Figure 23: Secção biquadrática passa-alto de Sallen-Key com ganho unitário.

Secções Sallen-Key passa-alto e passa-banda

A secção de Sallen-Key é bastante versátil, sendo muito utilizada no projecto de ltros activos.Consoante o posicionamento das resistências e dos condensadores, obtêm-se ltros passa-baixo,passa-alto ou passa-banda. Já vimos a secção passa-baixo: vamos agora ver as duas restantes.

Na Fig. 23 é mostrada a secção SK passa-alto de ganho unitário. É obtida a partir da passa-baixo (Fig. 15) pela troca de R1 e R2 por C1 e C2 (aliás, é um exemplo de uma técnica detransformação de circuitos denominada RC-CR). O sistema de equações nodais deste circuito é

G1VOUT + sC2(VOUT − VX) = 0

sC1(VX − VIN ) + (G2 + sC2)(VX − VOUT ) = 0

A eliminação da tensão nodal VX permite escrever a FT habitual:

H(s) =VOUTVIN

=1

1 + 1R1

(1sC1

+ 1sC2

)+ 1

R1

1R2

1sC1

1sC2

=R1R2C1C2s

2

1 +R2(C1 + C2)s+R1R2C1C2s2

Esta função de transferência passa para a notação a la Mancini com a transformação s⇒ ωCS:

H(S) =1

1 + 1R1

(1

ωCSC1+ 1

ωCSC2

)+ 1

R1

1R2

1ωCSC1

1ωCSC2

=ω2CR1R2C1C2S

2

1 + ωCR2(C1 + C2)S + ω2CR1R2C1C2S2

(22)que pode implementar uma FT biquadrática geral passa-alto, dada por

H(S) =1

1 + aS + b

S2

satisfazendo as condições

a =1

ωCR1

(1

C1+

1

C2

)b =

1

ω2CR1R2C1C2

A secção SK passa-alto com ganho genérico, A0 = 1 +R4/R3, está na Fig. 24. A sua FT é

H(S) =A0

1 + R2(C1+C2)+R1C2(1−A0)ωCR1R2C1C2

1S + 1

ω2CR1R2C1C2

1S2

e o seu uso na realização de ltros é em tudo semelhante ao da secção com ganho unitário queacabámos de explicar.

Finalmente, na Fig. 25 encontra-se uma secção Sallen-Key passa-banda. A sua FT é

H(s) =A0

RC s

s2 + 3−A0

RC s+ 1R2C2

27

Figure 24: Secção biquadrática passa-alto de Sallen-Key com ganho genérico A0 = 1 +R4/R3.

Figure 25: Secção biquadrática passa-banda de Sallen-Key com ganho A0 = 1 +R2/R1.

Passando para a notação de Mancini, com s = ωMS, onde ωM é a frequência central, e sendoτ = RC, obtemos

H(S) =A0τωMS

1 + τωM (3−A0)S + τ2ω2MS

2(23)

Comparando com a FT geral da secção biquadrática de segunda ordem com frequência centralΩM = 1 e largura de banda ∆Ω = 1/Q, dada por

H(S) =

AM

Q S

1 + SQ + S2

conclui-se que a equação (23) corresponde a um passa-banda de frequência central ωM = 1/(RC),e factor de qualidade Q = 1/(3− A0). A largura de banda será ∆Ω = Q−1 = 3− A0 e o ganho àfrequência central é AM = A0(3−A0).

Especicando C, Q e ωM para o ltro passa-banda, calcula-se o valor dos restantes componentescom as equações

R = 1/(ωMC) R2 = 2− 1/Q

Conclusão

Existe em uso corrente um grande número de circuitos implementando ltros activos. Obviamentenestas breves notas não é possível fazer a sua menção exaustiva. Qualquer das referências men-cionadas na bibliograa contém uma grande variedade deles. Além das referências gerais sobrea Teoria, há ainda manuais especicamente dedicados ao projecto de ltros e não tanto ao seuestudo contendo milhares de tabelas e de circuitos protótipo, que são utilizados constantementepelos projectistas. Os exemplos clássicos são os livros de Zverev (ISBN:0471749427 ou ISBN:0471986801) e de Matthaei (ISBN: 9780890060995). Veja a bibliograa no nal.

28

Programa para calcular a ordem, os pólos e o polinómio associado a um

conjunto de especicações de ltros de Butterworth e de Chebyshev

Foi desenvolvido, em Pari-GP, um programa para projectar ltros passa-baixo de Butterworth ede Chebyshev a partir de um conjunto de especicações. O programa é dado em anexo. Umajanela apresentando um resultado típico é mostrado na Fig. 26.

O programa está sucientemente comentado para que possa ser alterado de acordo com as suasnecessidades. O PARI-GP pode ser descarregado do site mencionado, é grátis e é desenvolvidosob uma licença open-source. É talvez a melhor ferramenta livre de ajuda matemática cujo focoprincipal são a Teoria dos Números e as funções matemáticas avançadas necessárias a essa teoria.Obviamente, o PARI-GP pode ser utilizado em propósitos mais latos.

Tabelas de Filtros Passa-Baixo Normalizados

Aqui apresentamos algumas tabelas com polinómios de ltros normalizados passa-baixo, retiradasde [TS,CM,Man]. Originalmente apareceram em [TS], e foram adoptadas por vários outros textos.Nas referências encontram-se coecientes de polinómios com ordens n superiores àquelas aqui ap-resentadas. Os coecientes das tabelas que interessam para a nossa abordagem são essencialmenteos ai e bi.

As tabelas permitem escrever as funções de transferência do ltro passa-baixo normalizadocomo um produto de funções biquadráticas (polinómios do 2º grau):

T (S) =T0∏

k(1 + akS + bkS2), k = 1, · · · , dn/2e

Quando a ordem n é ímpar, então b1 = 0 e a primeira secção é de 1ª ordem e não de 2ª (conrmeeste facto nas tabelas, nas linhas com n ímpar). A constante T0 é irrelevante no projecto dos ltros,servindo essencialmente para denir ganhos ou atenuações, máximos ou mínimos, a determinadasfrequências (frequentemente à frequência zero). A alteração do ganho do ltro pode ser semprefeita pelo uso em cascata de um amplicador ou de um atenuador resistivo.

Os polinómios de Butterworth estão na tabela da Fig. 29. Por exemplo, um ltro LP norma-lizado de Butterworth, de 4ª ordem, terá a função de transferência

TLPN,Butt,4(S) =K0

(1 + 1.8478S + S2)(1 + 0.7654S + S2)

Pode vericar que, para todas as ordens, e para todas as funções de transferência de Butterworthconstruídas a partir dos polinómios da tabela, teremos |T (j1)| = 1/

√2 = −3 dB. Quando se

pretender implementar um caso prático de ltro em que, à frequência ωP , a atenuação Amax 6= 3dB, teremos de calcular ε com (4) e aplicar a transformação (1).

Quanto às tabelas respeitantes aos ltros de Chebyshev, para ondulações de 0.5, 1, 2 e 3dB, é necessário fazer uma chamada de atenção: os polinómios nestas tabelas não são obtidosdirectamente a partir dos pólos (15), à excepção da tabela da ondulação de 3 dB.

Recorde que qualquer polinómio de Chebyshev, Cn(Ω), satisfaz Cn(1) = 1. Então, à frequênciaΩ = ω/ωP = 1 teremos, a partir de (14)

A(1) = 10 log(1 + ε2)

e conrma-se que somente quando a ondulação é 3 dB, i.e. quando ε = 1, é que A(1) = 10 log 2 =3 dB.

As tabelas normalizadas denem polinómios correspondendo a uma atenuação de3 dB na frequência normalizada unitária, Ω = 1, o que não se verica com os polinómiosconstruídos a partir dos pólos, excepto no caso da ondulação de 3 dB. Os coecientes nas tabelassão obtidos pelo re-escalamento em frequência dos polinómios obtidos com a localização dos pólos,quando a ondulação de Chebyshev é menor que 3 dB.

Vamos examinar esta relação entre as tabelas de Chebyshev e os pólos focando a 2ª ordem naatenuação de 1 dB. Os restantes casos são semelhantes, embora com cálculos mais complicados.Usando (15) para calcular os pólos, obtém-se o polinómio Dp(S) = S2 + 1.0977S + 1.1025. Como

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Figure 26: Exemplo da execução de um programa, escrito em PARI-GP, que ajuda no projecto deltros Butterworth e Chebyshev.

30

Figure 27: Comparação das atenuações dos ltros de Butterworth, de Chebyshev e de Bessel damesma ordem.

Figure 28: Coecientes de ltros de Bessel.

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Figure 29: Coecientes de ltros de Butterworth. Note que em todos eles a frequência de cortenormalizada é ΩC = ΩP = 1.

Figure 30: Coecientes de ltros de Chebyshev com 0.5 dB de ondulação.

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Figure 31: Coecientes de ltros de Chebyshev com 1 dB de ondulação.

Figure 32: Coecientes de ltros de Chebyshev com 2 dB de ondulação.

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Figure 33: Coecientes de ltros de Chebyshev com 3 dB de ondulação.

nas tabelas normalizadas o coeciente constante é 1, primeiro divide-se todos os coecientes por1.1025, obtendo-se Dpd(S) = 0.90701S2+0.99566S+1. Finalmente, o reescalamento na frequênciaserá S → αS, i.e. Ω → αΩ, procurando-se o valor de α que satisfaça |Dpd(jα)|2 = 2 (i.e., ocorrespondente a 3 dB de atenuação em Ω = 1).

Sendo |Dpd(jαΩ)|2 = (1−0.90701α2Ω2)2 + 0.995662α2Ω2, o factor de escala procurado é a raizreal positiva da equação polinomial (1−0.90701α2)2 +0.995662α2−2 = 0, cujo valor é α = 1.3079.

O polinómio normalizado será então D(S) = Dpd(1.3079S) = 1.5515S2 + 1.3022S + 1, exac-tamente aquele especicado na tabela da Fig. 31 para a ordem n = 2.

Para ordens superiores o processo é semelhante. Por exemplo, ainda com ondulação de 1 dB,mas com n = 4, o polinómio obtido a partir dos pólos é Dp(S) = (S2 + 0.2791S + 0.9865)(S2 +0.6737S + 0.2794). Primeiro, cada um destes polinómios de 2ª ordem é dividido respectivamente

por 0.9865 e 0.2794, obtendo-se Dpd(S) =(

S2

0.9865 + 0.27910.9865 S + 1

)(S2

0.2794 + 0.67370.2794 S + 1

); depois

aplica-se o re-escalamento S → αS, e calcula-se o valor de α que satisfaz |Dpd(jα)|2 = 2, isto

é∣∣∣ −α2

0.9865 + jα0.27910.9865 + 1

∣∣∣2 ∣∣∣ −α2

0.2794 + jα0.67370.2794 + 1

∣∣∣2 = 2, obtendo-se α = 1.0742. Logo, D(S) =(1.07422∗S2

0.9865 + 1.0742∗0.27910.9865 S + 1

)(1.07422∗S2

0.2794 + 1.0742∗0.67370.2794 S + 1

). Conrme que obtém aqui os

quatro coecientes do ltro de ordem 4 dados na tabela da Fig. 31.

Conclusão

Estas notas visaram essencialmente a componente matemática do projecto de ltros. Quase todosos livros na bibliograa, cada um com muitas centenas de páginas, são integralmente dedicados aoprojecto destes circuitos, o que nos leva a concluir, e muito bem, que a matéria por nós focada éapenas uma pálida amostra desta vasta área da electrónica.

Alguns assuntos importantes não são aqui focados: as sensibilidades, e os efeitos dos ampopsreais nas características ideais dos ltros são dois exemplos. Os textos na bibliograa suprem asnossas lacunas, pelo que se sugere a sua consulta em caso de necessidade.

Bibliograa

Alguns dos textos dedicados ao projecto de ltros encontam-se na lista que se segue.

[Dar] G. Daryanani, Principles of Active Network Synthesis and Design, Wiley, 1976.

[Hue] L. Huelsman, Active and Passive Analog Filter Design-an Introduction, McGraw-Hill,1993.

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[SGL] R. Schaumann, M. Ghausi, K. Laker, Design of Analog Filters-Passive, Active RCand Switched Capacitor, Prentice Hall, 1990.

[WKC] W.-K- Chen, Passive and Active Filters-Theory and Implementations, Wiley, 1986.

[CFH] W.-K- Chen (Ed.), The Circuits and Filters Handbook, CRC Press/IEEE Press,1995.

[CM] B. Carter, R. Mancini (Eds.), Op Amps for Everyone, 3rd Ed., Newnes-Elsevier, 2009.

[Man] R. Mancini (Ed.), Op Amps for Everyone, 2nd Ed., Texas Instruments, 2002 (online.Versão impressa da Newnes, ISBN: 0750677015, 2003).

[TS] U. Tietze, C. Schenk, Electronic Circuits - Design and Applications, Springer, 1991.

[Zverev] A. Zverev, Handbook of Filter Synthesis, Wiley, 1967 e 2005.

[Matthaei] G. Matthaei et al., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Cou-pling Structures, Artech House, 1980.

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