Introdução à Termodinâmica 2

Introdução àTermodinâmica

Prof. Dr. Damaso Ribeiro Santos Jr.

UNIPLAN - Centro Universitário do Planalto CentralEngenharia Civil

Águas Claras - DF

23 de fevereiro de 2015

Uniplan Damaso Ribeiro Santos Jr. Introdução à Termodinâmica 2

O que aprenderemos: [3]

i) A temperatura é medida usando qualquer uma das diversas propriedades físicas diferentes de certos materiais,as quais mudam juntamente com uma mudança de temperatura.

ii) A escala de temperatura Fahrenheit estabelece a temperatura do ponto de fusão da água em 32 F, e o pontode ebulição da água em 212 F.

iii) A escala de temperatura Celsius estabelece a temperatura do ponto de fusão da água em 0 C, e o ponto deebulição da água em 100 C.

iv) A escala de temperatura Kelvin é de definida em termos de uma temperatura do zero absoluto ou a menortemperatura em que qualquer objeto pode teoricamente existir. Na escala de temperatura Kelvin, o ponto defusão da água é de 273,15 K, e seu ponto de ebulição é de 373,15 K.

v) O aquecimento de um bastão de metal longo e fino faz com que seu comprimento aumente linearmente coma temperatura, medida em K.

vi) O aquecimento de um líquido geralmente faz com que seu volume aumente linearmente com a temperatura,medida em K.

Este capítulo dá início a nosso estudo de termodinâmica, incluindo os conceitos de temperatura, calor e en-tropia. A termodinâmica é um dos principais ramos da física e da engenharia e trata das leis que regem a relaçãoentre calor e outras formas de energia. Em seu sentido mais amplo, termodinâmica é a física da energia e datransferência de energia - como a energia é armazenada, como é transformada de um tipo para outro e comopode ser disponibilizada para realizar trabalho. Examinaremos a energia em nível atômico e molecular, bem comono nível macroscópico de motores e máquinas.[6]

Historicamente, a termodinâmica se desenvolveu em paralelo ao desenvolvimento da teorria atômica da ma-téria. Nos anos 1820, experimentos químicos ja timham fornecido evidência concreta da existência dos átomos.Naquela época, cientistas admitiram que deveria existir uma conexão entre a termodinâmica e a estrutura damatéria. Em 1827, o britânico Bobert Brown registrou que grãos de pólen suspensos em um líquido se movemaleatoriamente de um lugar para outro como se estivessem sob agitação constante. Em 1905, Albert Einstein usoua teoria cinética para explicar a causa desse movimento aleatório, conhecido hoje como movimento Brawniano.Einstein explicou esses fenômenos pressumindo que os grãos estão sob bombardeamento constante de moléculas“invisíveis” no líquido, que se movem aleatoriamente. Essa explicação permitiu aos cientistas compreender o con-ceito de movimento molecular e deu crédito à ideia de que a matéria é feita de átomos. Uma conexão foi criadaentre o mundo diário e os minúsculos blocos invisíveis que constituem este mundo.[4]

As raízes da termodinâmica firmam-se em problemas essencialmente práticos. Uma máquina a vapor ou umaturbina a vapor, por exemplo, usam o calor de combustão de carvão ou de outro combustível para realizar trabalhomecânico, a fim de movimentar um gerador de energia transformada. Os exemplos de aplicação da termodinâmicana ciência e tecnologia são inúmeros. Os engenheiros de automóveis se preocupam com o super aquecimentodo motor de um carro; os engenheiros de alimentos estudam o aquecimento e/ou resfriamento de alimentos;os meteorogistas analisam a transferência de energia térmica nos eventos associados ao aquecimento global;os engenheiros agrônomos investigam a influência das condições climáticas sobre a agricultura; os engenheirosbiomédicos estão interessados em saber se a medida da temperatura de um paciente permite distinguir umainfecção viral benigna de um tumor canceroso.[3]

Um piloto, um balonista e um mergulhador devem ter uma boa compressão sobre as temperaturas do are da água ao planejarem seus vôos e mergulhos. Pilotos e balonistas devem estar cientes de como variações datemperatura corporal afetam a massa específica do ar e os padrões dos ventos. Mergulhadores sabem que variaçõesde temperatura corporal afetam a quantidade de ar do reservatório que será necessária em um mergulho. Elestambém compreendem a importância de se equalizar a pressão sobre seus corpos com a pressão do ar contidodentro dos seus corpos.[1]

Nossa ênfase neste capítulo é sobre os conceitos de temperatura e de calor e mostrar como eles se relacionamcom objetos macroscópicos, tais como cilindros de gás, cubos de gelo e o corpo humano. No capítulo 2 examina-remos os aspectos microscópicos descrevendo estes mesmos conceitos em termos de comportamento de átomos emoléculas do sistema. Estes dois capítulos constituem uma ferramenta básica para a termodinâmica.[2]

Capítulo 1

Temperatura e calor

Temperatura e a lei zero da termodinâmica

Tanto em um dia escaldante de verão quanto em uma noite fria de inverno, seu corpo precisa manter uma tempe-ratura aproximadamente constante. Ele possui mecanismos de controle de temperatura eficientes, mas algumasvezes precisa de ajuda. Em um dia quente você usa menos roupa para melhorar a troca de calor entre seu corpoe o ar ambiente e para melhorar o resfriamento produzido pela evaporação do suor. Você provavelmente bebelíquidos frios, possivelmente com pedras de gelo nas bebidas, você permanece em uma sala com ar condicionadoou fica perto de um ventilador. Em um dia frio você usa mais roupas ou fica dentro de casa em um local quente.Quando você está fora de casa, você está sempre ativo e bebe líquidos quentes para ficar aquecido. Os conceitosdeste capítulo o auxiliarão no estudo da física básica para se manter o calor ou o frio. [2]

O conceito de temperatura é originado das idéias qualitativas de “quente” e “frio” que são baseadas em nossosentido de trato[2], o qual constitui uma das maneiras mais simples de fazer uma distinção entre corpos quentes efrios. Mas essa forma de avaliação é bastante imprecisa, e além do mais poderá causar dificuldades se as tempera-turas dos corpos estiverem muito próximas. Uma experiência simples consiste em um dia muito frio tocar-se umagrade de metal que esteja ao ar livre e, em seguida, tocar-se um objeto de madeira próximo. Tem-se a sensação deque a grade está mais fria, embora ambos os objetos estejam à mesma temperatura. O que se está testando quandose toca um objeto frio não é somente a sua temperatura, mas também a sua capacidade de transferir energia (naforma de calor) da mão. Nestes casos, a mão fornece uma medida subjetiva e incorreta da temperatura.[5]Porém,geralmente, um corpo que parece estar quente normalmente possui uma temperatura mais elevada do que umcorpo análogo que parece estar frio.[2] Outra experiência simples consiste em três recipientes contendo água, ondeum deles está à temperatura ambiente, o segundo a uma temperatura acima da ambiente e o terceiro a uma tem-peratura abaixo da ambiente. Mergulha-se uma das mãos no recipiente com água a uma temperatura acima daambiente e a outra mão no recipiente com água a uma temperatura abaixo da ambiente, e permanece-se poucomais de um minuto nessa situação. Ao mergulhar as duas mãos no recipiente à temperatura ambiente tem-se asensação estranha onde uma mão manda a informação que a água está em uma certa temperatura enquanto aoutra mão manda uma informação de uma temperatura diferente. A mão que estava no recipiente com água maisfria sente a água mais quente, e a mão que estava no recipiente com água mais quente sente a água mais fria.[3, 5]

Nas duas experiências, a pele “mede” a taxa de transferência de energia por calor, em vez de medir a temperatura.Em vez de taxa de transferência de energia, precisamos de um método confiável e reprodutível para medir o calorou frio relativo dos corpos. Cientistas desenvolveram uma variedade de termômetros para fazer tais mediçõesquantitativas.[4]

Dois corpos com temperatura inicial diferente eventualmente atingirão uma temperatura intermediária quandocolocados em contato um com o outro. Por exemplo, quando se mistura água quente e fria em uma banheira,energia é transferida da quente para a fria, e a temperatura final da mistura fica entre ambas as temperaturas.[4]

A Fig. 1.1(a) mostra dois sistemas A e B, que, entre diversas possibilidades, podem ser blocos metálicos ou gasesconfinados. Eles estão isolados um do outro e das suas vizinhanças, de modo que nem energia nem matéria podeentrar ou sair do sistema. Por exemplo, o sistema pode estar cercado por paredes feitas de lâminas espessas deisopor, supostas como sendo rígidas e impermeáveis. Tais paredes são ditas adiabáticas, o que significa que sãoisolantes térmicos. Variações nas propriedades medidas de um dos sistemas não influenciam as propriedades dooutro sistema.[5]

Conforme a Fig. 1.1(b) mostra, pode-se substituir a parede adiabática que separa os dois sistemas por umaque permita o fluxo de energia térmica. Uma lâmina de cobre fina, mas rígida, pode ser um exemplo. Este tipo de

3


TA TB

A B

(a)

T T

A B

(b)

Figura 1.1: (a) Os sistemas A e B estão separados por uma parede adiabática. Os sistemas possuem diferentes temperaturas TA eTB . (b) O sistemas A e B estão separados por uma parede diatérmica, a qual permite que seja trocada energia entre os sistemas.Por fim, os sistemas atingem o equilíbrio térmico, no qual eles possuem a mesma temperatura.

parede é chamado de diatérmica, ou seja, trata-se de uma condutora térmica.[5]

No estudo da termodinâmica, é necessário definir com precisão alguns conceitos básicos, como sistema, queé qualquer parte limitada do universo passível de observação e manipulação. Em contraposição, tudo o que nãopertence ao sistema é denominado exterior e é dele separado por suas fronteiras. Quando os dois sistemas sãocolocados em contato através de uma parade diatérmica, a passagem de calor através da parede - se ocorrer - fazcom que as propriedades dos dois sistemas variem. Se os sistemas forem gases confinados, por exemplo, as suaspressões podem variar. As variações são relativamente rápidas no ínicio, mas tornam-se lentas à medida que otempo decorre, até que finalmente todas as propriedades de cada sistema aproximam-se de valores constantes.Quando isso ocorre, diz-se que os sistemas estão em equilíbrio térmico um com o outro. Assim, um teste para veri-ficar se dois sistemas estão ou não em equilíbrio térmico é colocá-los em contato térmico; se as suas propriedadesnão variarem, eles estarão em equilíbrio térmico; se as suas propriedades variarem, eles não estarão.[5]

Pode ser inconveniente, ou mesmo impossível, colocar dois sistemas em contato térmico entre si através deuma parede diatérmica. (Os sistemas podem ser muito grandes para que possam ser movidos facilmente, oupodem estar separados por uma grande distância.) Portanto, o conceito de equilíbrio térmico é generalizado, demodo que não é necessário colocar os sistemas em contato térmico um com o outro.[5]

Uma forma para testar estes sistemas separados é utilizar um terceiro sistema C. Colocando C em contato comA e então com B, pode-se descobrir se A e B estão em equilíbrio térmico mesmo sem colocar A em contato diretocom B. Isto é resumido como um postulado chamado de lei zero da termodinâmica, a qual é frequentementeexpressa como:[5]

Lei zero da termodinâmica: Se cada um dos sistemas A e B está em equilíbrio térmico com um terceiro sistemaC, então A e B estão em equilíbrio térmico entre si.

A lei zero surgiu no século XX, na década de 1930, muito depois da primeira e segunda leis da termodinâmicaterem sido propostas e aceitas. Conforme será discutido adiante, a lei zero serve de base ao conceito de tem-peratura, a qual é fundamental para a primeira e segunda leis. Uma vez que a lei que estabelece o conceito detemperatura deve ter um número menor, ela é chamada de lei zero.[5]

A temperatura também está relacionada com a energia cinética das moléculas de um material. No Capítulo 2,vamos estudar a relação entre a temperatura e a energia do movimento das moléculas de um gás ideal. Por hora,é necessário entender que o calor e a temperatura são conceitos macroscópicos. Eles devem e podem ser definidosindependentemente de qualquer particular movimento molecular. Nesta seção vamos desenvolver uma definiçãomacroscópica de temperatura.[2]

Para se usar a temperatura como uma medida para saber se um corpo está quente ou frio, precisamos construiruma escala de temperatura. Para isso, podemos usar qualquer propriedade do sistema que possa depender dofato de o corpo estar quente ou frio. Se uma propriedade do sistema muda ao se mudar a temperatura domesmo sistema, esta propriedade é dita termométrica. A Fig. 1.2 mostra um sistema familiar usado para medirtemperatura. Quando o sistema torna-se mais quente, um líquido (usualmente o etanol ou o mercúrio) se expandee sobe no tubo, e o valor de L cresce. Outro sistema simples é o mostrado na Fig. 1.5, onde um gás mantidoa volume constante preenche o interior de um recipiente. A pressão p, medida com um manômetro, aumenta e


L

T (L) = aL+ b

Figura 1.2: Bulbo de vidro e um tubo contendo determinada quantidade de mercúrio. O tamanho L dessa columa de mercúrio éuma propriedade termométrica pois varia com a temperatura.

diminui à medida que o gás se aquece ou esfria. Um terceiro exemplo é fornecido pela resistência elétrica R de umfio condutor, a qual varia quando o fio aquece ou esfria. Cada uma dessas propriedades fornece um número (L,p ou R) que varia quando o corpo se aquece ou se esfria, de modo que a respectiva propriedade pode ser usadapara fazer um termômetro.[2]

Então, uma escala termométrica qualquer é estabelecida pela escolha de uma determinada substância ter-mométrica e também uma propriedade termométrica desta substância. Deve-se entender que a cada escolha deuma substância, da sua respectiva propriedade termométrica, e da relação admitida entre essa propriedade e atemperatura, conduz a uma escala termométrica específica. As medidas obtidas nesta escala não devem coincidirnecessariamente com as medidas realizadas em outra escala termométrica definida de forma independente. Justa-mente por essa liberdade na construção de uma escala termométrica, historicamente apareceram diversas escalascom leituras completamente diferentes de temperaturas.

Esse caso foi removido utilizando como padrão uma dada substância termométrica, e a dependência funcionalentre a propriedade termométrica dessa substância e a temperatura T . Como exemplo, consideremos que existauma relação linear entre uma propriedade termométrica L e a temperatura T (Fig. 1.2), de modo que

T (L) = aL+ b, (1.1)

onde L é o comprimento da uma coluna de mercúrio em um termômetro e a e b são constantes a serem determin-das.

Analisando essa relação para duas temperaturas diferentes T1 e T2 , encontramos que:

T (L1) = aL1 + b

T (L2) = aL2 + b.

Este é um sistema de duas equações e dois coeficientes a serem determinados, portando a resolução é possível.Uma das maneiras de resolvê-lo é subtraindo a segunda da primeira equação. Assim, o coeficiente b é eliminado,restando uma equação e um coeficiente a se determinar. Deste modo

T (L2)− T (L1) = a(L2 − L1)

∴ a =T (L2)− T (L1)

L2 − L1.

Substituindo a na primeira equação, tem-se

T (L1) =T (L2)− T (L1)

L2 − L1L1 + b

∴ b = T (L1)−T (L2)− T (L1)

L2 − L1L1.

Substituindo as constantes a e b na Eq.(1.1), chegamos que

T (L) = T (L1) + [T (L2)− T (L1)]L− L1

L2 − L1. (1.2)

Esse resultado fornece uma relação linear entre a propriedade termométrica L e a temperatura T .


As escalas Celsius e Fahrenheit

A calibração de um termômetro em uma escala qualquer pode ser feita com facilidade a partir de dois pontosde referência (pontos de fusão e de ebulição da água, por exemplo). As escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit sãocomparadas na figura esquemática 1.3.

Lebulição

Lfusão

373,15 K

273,15 K

100 C

0 C

212 F

32 F

Figura 1.3: Temperaturas nas escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit para os pontos de fusão e ebulição da água a 1 atm de pressãoatmosférica.

Anders Celsius, um astrônomo sueco, propôs a escala de temperatura Celsius, muitas vezes chamada de escalacentígrada, em 1742.[6] Para calibrar um termômetro na escala Celsius vamos considerar que as temperaturasTC(L1) = 0 C e TC(L2) = 100 C são respectivamente os pontos de fusão e de ebulição da água, e que L1 e L2

são os respectivos comprimentos da coluna de mercúrio. Desse modo, substituindo TC(L1) e TC(L2) na Eq.(1.2),encontramos que

TC(L) = TC(Lfusão) + [TC(Lebulição)− TC(Lfusão)]L− Lfusão

Lebulição − Lfusão

(1.3)

TC(L) = 100 CL− Lfusão


.

Isso equivale a dividir a escala entre Lfusão e Lebulição em cem partes iguais, cada subdivisão correspondendo a1 C, ou seja, equivale a dizer que a dilatação da coluna de mercúrio é linear com TC(L).[1]

A escala de temperatura Fahrenheit foi proposta em 1724 por Gabriel Fahrenheit, um cientista alemão quemorava em Amsterdã. Fahrenheit também inventou o termômetro de expansão de mercúrio. A escala Fahrenheité a escala térmica usada nos Estados Unidos e Inglaterra.[6] Para calibrar este termômetro na escala Celsius vamosconsiderar que as temperaturas TF(L1) = 32 F e TF(L2) = 212 F são respectivamente os pontos de fusão e deebulição da água, e que L1 e L2 são os respectivos comprimentos da coluna de mercúrio. Desse modo, encontramosque

TF(L) = TF(Lfusão) + [TF(Lebulição)− TF(Lfusão)]L− Lfusão


(1.4)

TF(L) = 32 F + 180 FL− Lfusão


.

Isso equivale a dividir a escala entre Lfusão e Lebulição em 180 partes iguais, cada subdivisão correspondendo a1 F, ou seja, equivale a dizer que a dilatação da coluna de mercúrio é linear com TF(L).[1]

Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit

Se considerarmos dois termômetros de mercúrio de mesmo formato e calibrados nestas escalas, podemos dizerque quando estiverem medindo a mesma situação, a coluna terá um tamanho L. Conforme vimos, as relaçõesdos comprimentos da coluna de mercúrio de cada temômetro e as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheitsão lineares. Então, podemos estabelecer uma relação linear entre estas escalas. Assim, tem-se TF = aTC + b,onde TC e TF são as temperaturas nas escalas Celsius e Fahrenheit, respectivamente. Aplicando esta equação geralpara dois casos conhecidos de leituras de temperaturas nas escalas Celsius e Fahrenheit, ou seja, temperaturas de


evaporação e fusão da água, tem-se

212 F = 100 C a+ b

32 F = 0 C a+ b.

A segunda equação já fornece o valor do coeficiente b = 32 F. Substituindo este valor na primeira equação,tem-se a = 9 F

5 C. Assim, chegamos às relações entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit

TF =9

5TC + 32 (1.5)

TC =5

9(TF − 32). (1.6)

Exercício Resolvido 1: Convertendo temperaturas Celsius e Fahrenheit [3]

(a) Em 1964, a temperatura na aldeia de Oymyakon, na Sibéria, chegou a −71 C. Qual é o valor dessa tempera-tura na escala Fahrenheit?

(b) A maior temperatura registrada oficialmente nos Estados Unidos foi 134 F, no vale da Morte, Califórnia. Qualé o valor dessa temperatura em Celsius?

(c) Para qual temperatura a leitura na escala Fahrenheit é igual a duas vezes a leitura na escala Celsius e

(d) a metade da leitura na escala Celsius?

Resolução:

(a) Usando a relação linear entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius (com TC = −71 C), tem-se

TF =9

5TC + 32 =

9

5(−71) + 32 ∴ TF = −96 F

(b) Usando a relação linear entre as escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit (com TF = 134 F), tem-se

TC =5

9(TF − 32) =

5

9(134− 32) ∴ TC = 56,7 C

(c) Usando a relação linear entre as escalas Fahrenheit e Celsius, com TF = 2TC ou TC = TF/2, tem-se

TF =9

5TC + 32 ⇒ TF =

9

5

TF

2+ 32⇒ TF

10= 32 ∴ TF = 320 F

(d) Usando a relação linear entre as escalas Fahrenheit e Celsius, com TF = TC/2 ou TC = 2TF, tem-se

TF =9

5TC + 32 ⇒ TF =

9

5(2TF) + 32⇒ −13

5TF = 32 ∴ TF = −12,3 F

Exercício Resolvido 2: Convertendo temperaturas entre duas escalas arbitrárias [3]

Em uma escala linear de temperatura X, a água congela a −125,0 X e evapora a 375,0 X. Em outra escala linearde temperatura Y, a água congela a −70,00 Y e evapora a −30,00 Y.


(a) Uma temperatura de 50,00 Y corresponde a qual temperatura na escala X?

(b) Qual é esta temperatura na escala Celsius?

Resolução:

A Fig. 1.4 mostra as relações de temperaturas nos pontos de fusão e ebulição nas escalas X, Y e Celsius.

Lebulição

Lfusão

+375,0 X

−125,0 X

−70,00 Y

−30,00 Y

100 C

0 C

Figura 1.4: Temperaturas nas escalas X, Y (exercício resolvido 2) e Celsius para os pontos de fusão e ebulição da água a 1 atm.

(a) Pela relação linear entre as temperaturas em escalas X e Y, temos que TX = aTY + b , onde TX e TY são astemperaturas nas escalas X e Y, respectivamente. Aplicando esta equação geral para dois casos conhecidos deleituras de temperaturas nas escalas X e Y, tem-se

375,0 X = (−30,00 Y)a+ b

−125,0 X = (−70,00 Y)a+ b.

Subtraindo a segunda da primeira equação, tem-se

375,0 X− (−125,0 X) = [−30,00 Y− (−70,00 Y)]a

a =500,0 X40,00 Y

∴ a = 12,5 X/Y

Substituindo a na primeira equação

b = 375,0 X− 12,5 X Y(−30,00 Y) ∴ b = 750,0 X

Substituindo a e b na equação geral

TX = 12,5 TY + 750,0

Assim,

TX(50,00) = 12,5(50,00) + 750,0 ∴ TX(50,00) = 1375,0 X

(b) Podemos descrever uma relação linear entre a escala Celsius e as escalas X e Y. Como sabemos o valor datemperatura na escala X (TX = 1375,0 X) e Y (TY = 50,00 X), podemos determinar esta temperatura emCelsius a partir da escala X ou Y. Vamos escolher a escala Y. A relação linear entre as escalas Celsius e Y podeser escrita como TC = aTY + b . Aplicando as temperaturas no ponto de fusão e evaporação da água a umapressão de 1 atm, tem-se

100,0 C = (−30,00 Y)a+ b

0,0 C = (−70,00 Y)a+ b.

Substituindo a primeira da segunda equação, tem-se

100,0 X− 0,0 X = [−30,00 Y− (−70,00 Y)]a

a =100,0 X40,00 Y

∴ a = 2,5 X/Y



b = 100,0 X− 2,5 X/Y(−30,00 Y) ∴ b = 175,0 X

Substituindo a e b na equação geral

TC = 2,5 TY + 175,0

Assim,

TC(50,00) = 2,5(50,00) + 175,0 ∴ TC(50,00) = 300,0 C

O Termômetro de gás a volume constante e a escala de temperatura absoluta

Quando calibramos dois termômetros, sendo, por exemplo, um do tipo com líquido no interior de um bulbo e outrotermômetro com resistência, fazendo as duas leituras concordarem para 0 C e para 100C, as leituras podem nãoconcordar exatamente para a leitura das temperaturas intermediárias. As discrepâncias crescem significativamenteacima do ponto de ebulição e abaixo do ponto de fusão.[1] Qualquer escala de temperatura definida deste modosempre depende ligeiramente das propriedades específicas dos materiais utilizados. Idealmente, seria convenientedefinir uma escala de temperatura que não dependa das propriedades de um material particular. Para definiruma escala que não dependa realmente do material, precisamos inicilamente desenvolver alguns princípios datermodinâmica. Voltaremos a estudar esta questão fundamental no Capítulo 2. Aqui discutiremos o termômetrode gás a volume constante, um tipo de termômetro que possui um comportamento próximo do ideal.[2]

Uma versão do termômetro de gás é o aparelho com volume constante mostrado na Fig. 1.5. A propriedadefísica explorada nesse aparelho é a variação da pressão de um volume fixo de gás com a temperatura. O frascoé imerso em um banho de água e gelo, e o reservatório de mercúrio B é levantado ou abaixado até que o topodo mercúrio na coluna A esteja no ponto zero da escala. A altura h, a diferença entre os níveis de mercúrio noreservatório B e coluna A, indica a pressão no frasco a 0 C por meio da equação

p = p0 + ρgh, (1.7)

onde p0 é a pressão atmosférica, ρ é a densidade do mercúrio no manômetro e g é a constante gravitacionallocal.[4]

Figura 1.5: Um termômetro de gás a volume constante mede a pressão do gás contido no frasco imerso no banho de água e gelo.Esta figura foi obtida do livro Física para cientistas e engenheiros, vol.2, Serway.[4]


O frasco é imerso em água no ponto de evaporação. O reservatório B é reajustado até que o topo do mercúriona coluna A seja novamente zero na escala, o que garante que o volume do gás seja o mesmo que quando o frascoestava no banho de gelo. Este ajuste do reservatório B fornece valor para a pressão do gás a 100 C. Estes doisvalores de pressão e temperatura são, então, traçados como mostrado na Fig. 1.6(a). A linha conectando os doispontos serve como uma curva de calibração para temperaturas desconhecidas. (Outras experiências mostram queuma relação linear entre pressão e temperatura de um gás é uma ótima aproximação.) Para medir a temperaturade uma substância, o frasco de gás da Fig. 1.5 é colocado em contato térmico com a substância, e a altura doreservatório B é ajustada até que o topo da coluna de mercúrio A esteja em zero na escala. A altura da coluna demercúrio B indica a pressão do gás; conhecendo a pressão, encontra-se a temperatura da substância o gráfico naFig. 1.6(a).[4]

Figura 1.6: (a) Um gráfico típico de pressão versus temperatura obtido por um termômetro de gás a volume constante. (b) Pressãoversus temperatura para experimentos com gases de pressões diferentes em um termômetro de gás a volume constante. Estasfiguras foram obtidas do livro Física para cientistas e engenheiros, vol.2, Serway.[4]

Suponha agora que as temperaturas de gases diferentes com pressões iniciais diferentes sejam mantidas comtermômetros de gás. Experimentos mostram que as leituras são praticamente independentes do tipo de gás usado,desde que a pressão do gás seja baixa e a temperatura esteja bem acima do ponto no qual o gás se liquefaz (Fig.1.6(b)). Essa concordância entre termômetros usando diveros gases melhora conforme a pressão é reduzida.[4]

Se estendermos as linhas retas na Fig. 1.6(b) na direção de temperaturas negativas, encontramos um resultadoextraordinário: em todos os casos, a pressão é zero quando a temperatura é −273,15 C. Essa descoberta sugereuma função especial desempenhada por essa temperatura específica. Ela é usada como base para a escala detemperatura absoluta, que estabelece −273,15 C como seu ponto zero. Essa temperatura é frequentementechamada de zero absoluto, e é indicada como zero porque, a uma temperatura mais baixa, a pressão do gás setornaria negativa, o que não possui significado físico. O tamanho de um grau na escala de temperatura absolutaé escolhido como sendo idêntico ao tamanho de um grau na escala de temperatura Celsius. Portanto, a conversãoentre essas temperaturas é

TC = T − 273,15, (1.8)

onde TC é a temperatura na escala Celsius e T é a temperatura absoluta.[4]

Como o grau Celsius e o kelvin têm o mesmo tamanho, as difrenças de temperaturas são iguais, na escalaCelsius e na escala de temperatura absoluta. Isto é, uma variação de temperatura de 1 K é idêntica a uma variaçãode temperatura de 1 C. As duas escalas diferem apenas na escolha da temperatura zero.[1]

Como é difícil duplicar experimentalmente o ponto de fusão e ebulição da água, que dependem da pressãoatmosférica, uma escala de temperatura absoluta baseada em dois novos pontos fixos foi adotada em 1954 peloComitê Internacional de Pesos e Medidas. O primeiro deles é o zero absoluto. A segunda temperatura de referência


para esta nova escala foi escolhida como o ponto triplo da água, que é a combinação única de temperatura epressão na qual água líquida, gasosa e gelo (água sólida) coexistem em equilíbrio. Esse ponto triplo ocorre a umatemperatura de 0,01 C e pressão de 4,58 mm de mercúrio (Fig. 1.7). Em uma nova escala, que usa a unidadekelvin, a temperatura da água no ponto triplo foi estabelecida a 273,16 kelvins, abreviada para 273,16 K. Essaescolha foi feita de modo que a antiga escala na temperatura absoluta baseada no ponto de fusão e ebuliçãose aproximasse da nova, baseada no ponto triplo. Essa nova escala de temperatura absoluta, também chamadade escala Kelvin, usa a unidade de temperatura absoluta do Sistema Internacional (SI), o kelvin, definido comosendo 1/273,16 da diferença entre zero absoluto e a temperatura do ponto triplo da água.[4] A Fig. 1.8 fornece a

Figura 1.7: Uma célula de ponto triplo, na qual gelo (sólido), água (líquido) e vapor (gás) estão em equilíbrio térmico. Por acordointernacional a temperatura desta mistura foi definida como 273,16 K. O bulbo de um termômetro a gás a volume constante émostrado no centro da célula. Esta figura foi obtida do livro Fundamentos de física, vol.2, Halliday.[3]

temperatura absoluta para vários processos e estruturas físicas. A temperatura de zero absoluto (0 K) não podeser alcançada, embora experimentos laboratoriais já tenham se aproximado bastante dela, atingindo temperaturasmenores que um nanokelvin.

Figura 1.8: Algumas temperaturas na escala Kelvin. A temperatura T = 0 K corresponde a 10inf e não pode ser plotada nessaescala logarítimica. (Esta figura foi obtida do livro Fundamentos de física, vol.2, Halliday.[3])


A menor temperatura que pode ser medida com um termômetro de gás a volume constante é de cerca de 20 K,e o gás utilizado deve ser o hélio. Abaixo desta temperatura o hélio se liquefaz; todos os outros gases se liquefazemem temperaturas mais altas. Veremos no Capítulo 3, que a segunda lei da termodinâmica pode ser usada paradefinir a escala absoluta de temperatura, independentemente das propriedades de qualquer substância e semlimites sobre a faixa de temperatura a serem medidas. Temperaturas abaixo de 10−10 K podem ser medidas.[1]

Apesar de as escalas Celsius e Fahrenheit serem convenientes no dia-a-dia, a escala absoluta é muito maisconveniente para propósitos científicos, em parte porque muitas equações são expressas de maneira mais com oseu uso, e em parte porque a escala absoluta pode receber uma interpretação fundamental.[1]

Exercício Resolvido 3: Convertendo temperaturas de Kelvin para Fahrenheit [1]

O “supercondutor de alta temperatura” YBa2Cu3O7 se torna supercondutor quando a temperatura cai para 92 K.Determine a temperatura limiar de supercondutividade em graus Fahrenheit.

Resolução:

Um método prático para converter temperaturas registradas na escala absoluta para a escala Fahrenheit é, pri-meiro, converter a temperatura para graus Celsius e depois para graus Fahrenheit.

Pela relação linear entre as escalas de temperaturas Kelvin e Celsius, temos que TC = T − 273,15 , onde TC e Tsão as temperaturas nas escalas Kelvin e Celsius, respectivamente. Para T = 92 K, tem-se

TC = 92− 273,15 ∴ TC = −181,15 C

Pela relação linear entre as escalas Fahrenheit e Celsius, TF = 95TC + 32 , onde TF é a temperatura em escala

Fahrenheit. Com TC = −181,15 C, tem-se

TF =9

5(−181,15 C) + 32 ∴ TF = −294 F

Exercício Resolvido 4: Convertendo temperaturas entre uma escala arbitrária e a escala absoluta [3]

Em uma escala linear de temperatura X, a água evapora a−53,5 X e congela a−170 X. Quanto vale a temperaturade 340 K na escala X? (Aproxime o ponto de ebulição da água para 373 K.)

Resolução:

Pela relação linear entre as escalas de temperaturas X e Kelvin, temos que TX = a T + b , onde TX e T são astemperaturas nas escalas X e Kelvin, respectivamente. Aplicando esta equação geral para dois casos conhecidosde leituras de temperaturas nas escalas X e Kelvin, tem-se

−53,5X = (373 K)a+ b

−170 X = (273 K)a+ b.

Como no Exercício Resolvido anterior, este também é um sistema de duas equações e dois coeficientes a seremdeterminados. Subtraindo a segunda da primeira equação, tem-se

−53,5 X− (−170 X) = (373 K− 273 K)a

a =116, 5 X

100 K∴ a = 1,165 X/K



b = −170 X− 1, 165 X/K(273 K) ∴ b = −488,05 X

Substituindo a e b na equação geral, tem-se

TX = 1,165 T − 488,05

Assim,

TX(340) = 1,165 (340)− 488,05 ∴ TX(340) = −92 X

Dilatação térmica

Às vezes, para conseguir desatarraxar a tampa metálica de um pote de vidro, basta colocar o pote debaixo de umatorneira de água quente. Tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se expandem quando a água quentefornece energia aos átomos. (Com a energia adicional, os átomos se afastam mais uns dos outros, atingindo umnovo ponto de equilíbrio com as forças elásticas interatômicas que mantêm os átomos unidos em um sólido.)Entretanto, como os átomos no metal se afastam mais uns dos outros que os átomos do vidro, a tampa se dilatamais do que o pote e, portanto, fica frouxa.[3]

A dilatação térmica dos materiais com o aumento de temperatura deve considerada em muitas situações davida prática. As tubulações das refinarias frequentemente incluem juntas de expansão, de modo que a tubulaçãonão irá flambar quando a temperatura aumentar (Fig. 1.18c).[5] Quando uma ponte está sujeita a grandes varia-ções de temperatura ao longo do ano, por exemplo, é dividida em trechos separados por juntas de dilatação paraque o concreto possa se expandir nos dias quentes sem que a ponte se deforme (Fig. 1.18b). O material usadonas obturações dentárias deve ter as mesmas propriedades de dilatação térmica que o dente para que o pacientepossa beber um café quente ou tomar um sorvete sem sofrer consequências desagradáveis.[5] Na fabricação deaviões, rebites e outros dispositivos de fixação são frequentemente projetados para serem resfriados em gelo secoantes de sua colocação, de modo que quando dilatam produzem um ajuste firme.[5] Quando o jato supersônicoConcorde foi construído, o projeto teve que considerar a dilatação térmica da fuselagem provocada pelo atritocom o ar durante o vôo. Quando um Concorde voava mais depressa que a velocidade do som, a dilatação térmicaproduzida pelo atrito com o ar aumentava o comprimento da aeronave de 12,5 cm. (A temperatura aumentavapara 128 C no nariz e 90 C na cauda. Era possível sentir com a mão o aquecimento das janelas.[3]

As propriedades de dilatação térmica de alguns materiais podem ter aplicações práticas. Alguns termômetros etermostatos utilizam a diferença na dilatação dos componentes de uma tirabimetálica (Fig. 1.10). Os termômetrosclínicos e meteorológicos se baseiam no fato de que líquidos como o mercúrio e o álcool se dilatam mais do queos tubos de vidro que os contêm.

Dilatação linear

Consideremos que em uma temperatura inicial T0 um sólido tenha um comprimento L0. Se aumentarmos atemperatura de ∆T , esse sólido aumentará o seu comprimento de ∆L, conforme a figura 1.9. Para uma dadavariação de temperatura podemos entender que a a dilatação ∆L do sólido será proporcional ao seu comprimentoinicial L0 . Para uma variação de temperatura suficientemente pequena, podemos ainda inferir que a dilatação∆L do sólido também será proporcional ao aumento da temperatura ∆T . Desse modo, podemos resumir, como:

∆L = αL0∆T, (1.9)

onde a constante de proporcionalidade α é chamada de coeficiente de dilatação linear do material considerado.Como ∆L = L− L0, então

L = L0(1 + α∆T ). (1.10)


L0(T0) ∆L

L(T )

Figura 1.9: Dilatação térmica de um sólido de comprimento L0. Se aumentarmos a temperatura de ∆T , esse sólido aumentará oseu comprimento de ∆L = αL0∆T .

A unidade do coeficiente α é o C−1 ou K−1. Embora α varie ligeiramente com a temperatura, na maioria doscasos pode ser considerado constante para um dado material. A Tabela 1.1 mostra os coeficientes de dilataçãolinear de alguns materiais. Note que a unidade C que aparece na tabela poderia ser substituída pela unidade K.

Substância α (10−6/C)Gelo 51

Chumbo 29Alumínio 23

Latão 19Cobre 17

Aço 11Vidro (comum) 9

Vidro (Pyrex) 3,2Liga invar 0,7

Quartzo (fundido) 0,5Tabela 1.1: Alguns coeficientes de dilatação linear médios[4]

Uma tira bimetálica entorta porque um metal se dilata e se contrai mais que o outro quando a temperaturavaria.

Figura 1.10: (a) Uma tira bimetálica, formada por uma tira de latão e uma tira de aço soldadas, à temperatura T0. (b) Quando atemperatura é maior que a temperatura de referência, a tira se enverga para baixo, como na figura. Quando a temperatura é maiorque a temperatura de referência, a tira se enverga para cima. Muitos termostatos funcionam com base nesse princípio, fazendo oudesfazendo um contato elétrico de acordo com a temperatura em que se encontram.

A dilatação térmica de um só1ido é como a ampliação de uma fotografia, exceto pelo fato que ocorre nas trêsdireções. A Fig. 1.11b mostra a dilatação térmica (exagerada) de uma régua de aço. A Eq. 1.10 se aplica a todasas dimensões lineares da régua, como arestas, a espessura, as diagonais e os diâmetros de uma circunferênciadesenhada na régua e de um furo circular aberto na régua. Se o disco retirado do furo se ajusta perfeitamente aofuro, continua a se ajustar se sofrer o mesmo aumento de temperatura que a régua.

Dilatação volumétrica

Se todas as dimensões de um sólido aumentam com a temperatura, é evidente que o volume do sólido tambémaumenta. No caso dos líquidos, a dilatação volumétrica é a única que faz sentido.


Figura 1.11: A mesma régua de aço em duas temperaturas diferentes. Quando a régua se dilata, a escala, os números, a espessurae os diâmetros da circunferência e do furo circular aumentam do mesmo fator. (A dilatação foi exagerada para tornar o desenhomais claro.)

Para muitos sólidos os coeficientes de dilatação é o mesmo nas suas diversas dimensões. Dizemos que elestêm uma dilatação isotrópica. Vamos considerar que uma chapa plana tenha dimensões L01 e L02 para uma dadatemperatura inicial. Quando variamos a temperatura de ∆T as dimensões se alteram para L1 e L2 conforme afigura 1.12. Considerando que os coeficiente de dilatação são os mesmos nas duas dimensões, teremos que:

L1 = L01(1 + α∆T ) e L2 = L02(1 + α∆T ). (1.11)

L01(T

0)

L1(T

)

L02(T0) L2(T )

Figura 1.12: Dilatação térmica isotrópica de um sólido de área A0 = L01 × L02. Se aumentarmos a temperatura de ∆T , essesólido aumentará a sua área de para A = L1 × L2 = A0(1 + 2α∆T ).

As áreas inicial e final podem ser definidas como:

A0 = L01 × L02 e A = L1 × L2. (1.12)

Ou seja,A = [L01(1 + α∆T )]× [L02(1 + α∆T )] = A0

[1 + 2α∆T + (α∆T )2

]. (1.13)

A aproximação da dilatação térmica ∆L = αL0∆T é válida igualmente para todos os materiais apenas emcircunstâncias restritas, ou seja, quando α∆T << 1 , e desse modo podemos afirmar que α∆T >> (α∆T )2, ouseja:

A = A0(1 + 2α∆T ) (1.14)

Quando lidamos com dilatação volumétrica de sólidos, podemos usar um raciocínio similar e encontrar que:

V = V0(1 + 3α∆T ) (1.15)

Em sólidos isotrópicos o coeficiente de dilatação superficial é definido como γ = 2α e o coeficiente de dilataçãovolumétrica é definido como β = 3α .

Assim, se a temperatura de um sólido ou de um líquido cujo volume é V aumenta de um valor ∆T , o aumentode volume correspondente é

V = V0(1 + β∆T ). (1.16)


Dilatação térmica da água

O líquido mais comum, a água, não se comporta como os outros líquidos. Acima de 4 C, a água se dilata quandoa temperatura aumenta, como era de se esperar. Entre 0 C e 4 C, porém, a água se contrai quando a temperaturaaumenta. Assim, por volta de 4 C, a massa específica da água passa por um máximo, como mostra a Fig. 1.13.Esse comportamento da água é a razão pela qual os lagos congelam de cima para baixo e não o contrário. Quando

Figura 1.13: Volume de um grama de água no intervalo de 0 C até 10 C. Para 100 C o volume é igual a 1,034 cm3. Se ocoeficiente de dilatação volumétrica fosse constante, a curva deveria ser uma linha reta. Figura original obtida no livro Física paracientistas e engenheiros, Serway[4]

a água da superfície é resfriada a partir de, digamos, 10 C, fica mais densa que a água mais abaixo e afunda.Para temperaturas menores que 4 C, porém, um resfriamento adicional faz com que a água que está na superfíciefique menos densa que a água mais abaixo e, portanto, essa água permanece na superfície até congelar. Assim,a água da superfície congela enquanto a água mais abaixo permanece líquida. Se os lagos congelassem de baixopara cima, o gelo assim formado não derreteria totalmente no verão, pois estaria isolado pela água mais acima.Após alguns anos, muitos mares e lagos nas zonas temperadas da Terra permaneceriam congelados o ano inteiro,o que tornaria impossível a vida aquática.[3]

Exemplo: Ajuste Forçado

Existem muitas empresas que fabricam e montam conjuntos mecânicos. Nessa atividade, muitas vezes é necessáriofazer encaixes com ajuste forçado, ou seja, encaixes em que a medida do furo é menor do que a medida do eixo,como em sistemas de transmissão de movimento.

Vamos supor que você trabalhe em uma empresa como essa e que sua tarefa seja montar conjuntos com essetipo de ajuste mostrado na Fig. 1.14. Para isso, você aquece a peça que possui o furo (por exemplo, uma coroa),que se dilatará. Enquanto a peça ainda está quente, você monta a coroa no eixo. Quando a coroa esfriar, oajuste forçado estará pronto. O que você precisará determinar é a temperatura adequada para obter a dilataçãonecessária para a montagem do conjunto. Para fins de cálculo, você deverá considerar apenas a dilatação linear,pois o que nos interessa é apenas uma medida, que, nesse caso, é o diâmetro do furo.

Nesse conjunto, o diâmetro do furo da coroa deverá ser 0,05 mm menor do que o diâmetro do eixo. Seuproblema é descobrir a quantos graus Celsius a coroa deve ser aquecida para se obter o encaixe com o apertodesejado. Você sabe também que o elemento que deverá ser aquecido é a coroa (que tem o furo). O valor obtidopara a variação de temperatura (∆T ) é o valor que deverá ser somado à temperatura que a coroa tinha antes deser aquecida. Essa temperatura é chamada de temperatura ambiente. Vamos supor que a temperatura ambienteseja 20 C. Primeiro, você analisa as medidas do desenho. A medida disponível é o diâmetro do eixo. Porém, a


Figura 1.14: Ajuste forçado, de uma cora em um eixo, obtido por meio da dilatação térmica. Para obtê-lo, primeiro aquece-se acoroa, que se dilatará. Enquanto a peça ainda está quente, monta-se a coroa no eixo. Quando a coroa esfria, o ajuste forçadoestá pronto. A temperatura adequada para aquecimento da coroa é determinada considerando-se que o diâmetro do furo da coroadeve ser 0,05 mm menor que o eixo e a dilatação necessária para conseguir o ajuste do eixo na peça.

medida que você precisa para o cálculo é o diâmetro do furo da coroa. Como o diâmetro do furo da coroa deveser 0,05 mm menor do que o diâmetro do eixo, a medida necessária é o diâmetro do eixo menos 0,05 mm, ou sejaL0 = 50 mm− 0,05 mm = 49,95 mm.

Outro dado de que você precisa é o valor do coeficiente de dilatação para o aço. Este você encontra na Tabela1.1. Esse valor é α = 1, 2× 10−5/C. E, por último, você tem ∆L = 0,05 mm.

Usando a equação 1.10, tem-se

∆T =∆L

αL0⇒ Tf = T0 +

∆L

αL0= 20 C +

0,05 mm1,2× 10−5/C × 49,95 mm

∴ Tf = 101 C .

Assim, em um ambiente de temperatura igual a 20 C, a coroa deve ser aquecida até a temperatura de 101 C.

Dilatação Térmica: Uma Visão Atômica[5]

Pode-se entender a dilatação considerando-se um modelo simples da estrutura de um sólido cristalino. Os átomossão mantidos juntos em um arranjo regular através de forças elétricas, que são idênticas às que seriam exercidaspor um conjunto de molas conectando os átomos. Pode-se, então, visualizar o corpo sólido como uma camade molas microscópicas (Fig. 1.15a). Estas “molas” são bastantes rígidas e de modo algum são ideais, e emcada centímetro cúbico existem cerca de 1023 delas. Para uma temperatura qualquer, os átomos do sólido estãovibrando. A amplitude dessa vibração é de aproximadamente 1013 Hz. Quando a temperatura é elevada, osátomos vibram com uma amplitude maior, e as distâncias médias entre os átomos aumentam. Isto leva a umadilatação de todo o corpo.[5]

A figura 1.15 mostra a curva de energia energia potencial para um par de átomos vizinhos, separados por umadistância r. A energia potencial tem um mínimo para r = r0, sendo este o valor do espaçamento da rede queo sólido teria em uma temperatura aproximando-se do zero absoluto. Vemos imediatamente que a curva não ésimétrica, aumentando mais rapidamente quando os átomos são aproximados (r < r0) do que quando eles sãoafastados (r > r0).

É esta falta de simetria na função energia potencial que explica a dilatação térmica dos sólidos. A linhahorinzontal cheia indica a energia mecânica de um par de átomos, em uma temperatura arbitrária T . Nesta tem-peratura, a separação interatômica pode oscilar entre os dois limites mostrados, sendo seu valor médio marcadopr rT . Observe que rT é maior que r0 e também que rT continua a crescer conforme a energia E é aumentada.Em outras palavras, o espaçamento aumenta com a temperatura. Uma curva de energia potencial simétrica nãose dilataria com a temperatura.


E

r1 r0 rT r2

(a)

(b)

Separação inter-nuclear (r)

Ener

gia

Figura 1.15: (a) Um sólido comporta-se como um conjunto de átomos ligados por forças elásticas (aqui representadas por molas).(b) Energia potencial U(r) para dois átomos separados por uma distância r. Quando a energia E é aumentada (oque acarreta emum aumento de temperatura), os átomos podem se mover entre limites maiores com aumento de seu valor médio da separaçãointer-atômica rT . Um sólido cuja curva de potencial entre dois átomos vizinhos fosse simétrica, por exemplo, parabólica (linhaverde), nunca sofreria dilatação térmica.

Exercício Resolvido 5: Dilatação térmica e precisão de um instrumento de medida[5]

Uma régua métrica de aço está para ter uma marcação gravada e deseja-se que os intervalos de milímetros apre-sentem uma exatidão de 5×10−5 mm a uma determinada temperatura. Qual é a variação máxima de temperaturaque pode ocorrer durante a gravação?

Resolução:

Da Eq. 1.10, tem-se

∆T =∆L

αL=

5× 10−5 mm(11× 10−6/C)(1,0 mm)

∴ ∆T = 4,5 C ,

onde utilizou-se o valor de α para o aço listado na tabela 1.1. A temperatura durante a gravação deve sermantida constante dentro de um intervalo de 5 C, e a régua deve ser utilizada dentro deste mesmo intervalo detemperatura no qual as marcações da régua foram gravadas.

Observe que se a liga invar for utilizada no lugar do aço, pode-se obter a mesma precisão sobre um intervalode temperatura de aproximadamente 75 C; ou, de modo equivalente, se fosse mantida a mesma variação detemperatura (5 C), seria possível obter uma exatidão, devida às variações de temperatura, de aproximadamente3× 10−6 mm.

Exercício Resolvido 6:

Uma barra feita de liga de alumínio tem um comprimento de 10,000 cm a 20,000 C e um comprimento de 10,015cm no ponto de ebulição da água.


(a) Qual é o comprimento da barra no ponto de fusão da água?

(b) Qual é a temperatura para a qual o comprimento da barra é 10,009 cm?

Resolução:

Perceba que a barra é de uma liga de alumínio a que é uma combinação de alumínio com outros elementosquímicos em inúmeras possibilidades. Como não sabemos qual é a combinação desta liga ou o valor do seucoeficiente de expansão térmica linear, precisamos determiná-lo a partir dos dados fornecidos pelo exercício. O

coeficiente α é determinado pela Eq. 1.10, ∆L = L0 α (Tf − Ti), portando, α =L− L0

L0 (Tf − Ti), onde L0 =

10,000 cm; L = 10,015 cm; Ti = 20,000 C; Tf = 100,000 C. Logo

α =10,015 cm− 10,000 cm

10,000 cm (100,000 C− 20,000 C)∴ α = 1,88× 10−5/C .

(a) Para determinar o comprimento da barra no ponto de fusão da água, precisamos conhecer o comprimento dabarra em uma outra temperatura. Deste modo temos L = L0 [1 + α (Tf − Ti)] , onde α = 1,88 × 10−5/C;

L0 = 10,000 cm; Ti = 20,000 C; Tf = 0,000 C; Substituindo estes valores

L = (10,000) cm[1 + 1,88× 10−5/C (0,000 C− 20,000 C)

]∴ L = 9,996 cm

(b) Para determinarmos a temperatura da barra para um determinado tamanho, precisamos conhecer o tamanho

da barra em outra temperatura. Da Eq. 1.10, obtemos Tf = Ti +L− L0

α L0, onde α = 1,88 × 10−5/C;

L0 = 10,000 cm; L = 10,009 cm; Ti = 20,000 C; Logo,

Tf = 20,000 C +10,009 cm− 10,000 cm

1,88× 10−5/C 10,000 cm= 67,87 C ∴ Tf = 68 C .


Determine a variação de volume de uma esfera de alumínio com um raio inicial de 10 cm quando a esfera éaquecida de 0,0 C para 100 C.

Resolução:

A dilatação volumétrica é determinada pela Eq. 1.16, onde α = 3β e o volume V de uma esfera é dado por

V =4

3πr3 . Substituindo-os na Eq. 1.16, tem-se

∆V = β V (Tf − Ti) = (3 α)

(4

3πr3)

(Tf − Ti) ∴ ∆V = 4πr3α (Tf − Ti) ,

onde α = 23× 10−6/C; r = 10 cm; Ti = 0,0 C; Tf = 100,0 C. Logo,

∆V = 4π(10 cm)3 × 23× 10−6/C × (100,0 C− 0,0 C) = 28,9 cm3 ∴ ∆V = 29 cm3



A 20C, uma barra tem exatamente 20,05 cm de comprimento, de acordo com uma régua de aço. Quando a barrae a régua são colocadas em um forno a 270 C, a barra passa a medir 20,11 cm de acordo com a mesma régua.Qual é o coeficiente de expansão linear do material de que a régua é feita?

Resolução:

A variação linear da régua de aço é dada por ∆Lr = αa L0r ∆T , onde α = 11 × 10−6/C; L0r = 20,05 cm;Tf = 270 C; Ti = 20 C; Substituindo estes valores, temos

∆Lr = (11× 10−6/C)(20,05 cm)(270 C− 20 C)⇒ ∆Lr = 0,055 cm

A variação linear real da barra é ∆Lb = (Lb−L0b) + ∆Lr = (20,11 cm− 20,05 cm) + 0,055 cm⇒ ∆Lb = 0,155 cm

O coeficiente de expansão térmica do material do qual a barra é feita é α =∆Lb

L0b ∆T, onde ∆Lb = 0,155 cm;

L0b = 20,05 cm; ∆T = 270 C− 20 C = 250 C. Assim, α =0,155 cm

(20,05 cm)(250 C)⇒ α = 23× 10−6/C

Tensão e deformação[1]

Se um corpo sólido é submetido a forças que tendem a alongá-lo, cortá-lo ou comprimi-lo, sua forma se altera. Seo corpo retorna à sua forma original quando as forças são removidas, ele é dito elástico. A maioria dos corpos éelástica para forças até um limite máximo, chamado de limite elástico. Se as forças excedem o limite elástico, ocorpo não volta à sua forma original e fica permanentemente deformado.

A Fig. 1.16 mostra uma barra sólida sujeita a uma força de tração, ou de elongação, F , atuando igualmenteà direita e à esquerda. A barra está em equilíbrio, mas as forças que atuam sobre ela tendem a aumentar o seucomprimento. A variação relativa de comprimento ∆L/L de um segmento da barra é chamada de deformaçãorelativa:

Deformação relativa =∆L

L. (1.17)

A razão entre a força F e a área de seção reta A é a chamada de tensão de tração:

Tensão =F

A. (1.18)

~F~F

| |L

(a)~F~F

| |L A

(b)Figura 1.16: (a) Uma barra maciça sujeita a forças de elongação de magnitude F que atuam em cada extremidade. (b) Umapequena seção da barra, de comprimento L. Os elementos da barra à esquerda e à direita desta seção. Estas forças são igualmentedistribuídas sobre a área de seção reta. A força por unidade de área é a tensão.

A Fig. 1.17 mostra um gráfico de tensão versus deformação relativa para uma barra sólida típica. O gráfico élinear até o ponto A. Até este ponto, chamado de limite da proporcionalidade, a deformação relativa é propor-cional à tensão. O resultado de que a tensão relativa é proporcional à tensão é conhecido como a lei de Hooke.


O ponto B da Fig. 1.17 é o limite elástico do material. Se a barra é alongada além deste ponto, ela passa a serpermanentemente deformada. Se uma tensão maior ainda é aplicada, o material acaba se rompendo, o que ocorreno ponto C. A razão entre tensão e deformação relativa, na região linear do gráfico, é uma constante chamada demódulo de Young Y:

Y =Tensão

Deformação relativa=

F/A

∆L/L. (1.19)

As dimensões do módulo de Young são as de força dividida por área. Valores aproximados do módulo de Young

Figura 1.17: Um gráfico da tensão verus deformação relativa. Até o ponto A, a deformação relativa é proporcional à tensão. Alémdo limite elástico, no ponto B, a barra não retornará ao seu comprimento original quando a tensão for removida. No ponto C, abarra se rompe.

para vários materiais estão listados na Tabela 1.2.

Substância Y, GN/m2 Limite de tração, Limite de compressão,NN/m2 NN/m2

Alumínio 70 90Osso (tração) 16 200

Osso (compressão) 9 270Latão 90 370

Concreto 23 2 17Cobre 110 230

Ferro (forjado) 190 390Chumbo 16 12

Aço 200 520 520Tabela 1.2: Módulos de Young Y e limites de vários materiais[1] . Estes valores são representativos. Valores para amostrasespecíficas podem diferir. 1 GN = 103 MN = 1× 109 N.

Se uma barra é submetida a forças que tendem a comprimi-la, em vez de alongá-la, a tensão é chamada detensão de compressão. Para muitos materiais, o módulo de Young para a tensão de compressão é o mesmo paraa tensão de tração. Note que, para a deformação por compressão, ∆L, na Eq. (1.17), refere-se à diminuição docomprimento da barra. Se a tensão de tração ou compressão é muito grande, a barra se quebra. A tensão para aqual ocorre a quebra é chamada de limite de tração, ou, no caso de compressão, limite de compressão. Valoresaproximados de limites de tração e de compressão, para vários materiais, estão listados na Tabela 1.2. Note, natabela, que o limite de compressão do osso é maior que o limite de tração. Note também que, para o osso, omódulo de Young é significativamente maior para a tração do que para a compressão. Estas diferenças têm razãobiológica, porque o que mais se exige de um osso é que resista às cargas compressivas exercidas pelos músculoscontraídos.


Exercício Resolvido 9: Segurança no elevador[1]

Estagiando em uma construtora, você é designado para testar a segurança de um elevador de um novo edifíciode escritórios. A carga máxima do elevador é de 1000 kg, incluindo sua própria massa, e ele deve ser supenso porum cabo de aço de 3,0 cm de diâmetro e 300 m de comprimento total. Haverá risco para a segurança se o cabofor tracionado mais que 3,0 cm. Sua missão é determinar se o elevador é ou não seguro, como projetado, sabendoque a máxima aceleração do sistema será de 1,5 m/s2.

Solução:

L é o comprimento do cabo não tracionado, F é a magnitude da força atuando sobre ele e A é a sua área de seçãoreta. A elongação do cabo é ∆L, relacionada com o módulo de Young por Y = (F/A)/(∆L/L). Na Tabela 1.2,encontramos o valor numérico do módulo de Young para o aço, Y = 2,0× 1011 N/m2.

A quantidade alongada de cabo, ∆L, relaciona-se com o módulo de Young através da Eq. 1.20

Y =F/A

∆L/L∴ ∆L =

FL

AYPara determinar a força que atua sobre o cabo, aplicamos a segunda lei de Newton ao elevador. Há duas forçassobre o elevador, a força F do cabo e a força gravitacional:

F −mg = may ⇒ Fmáx = m(g + amáx) = (1000 kg)(9,81 N/kg + 1,5 N/kg) ∴ Fmáx = 1,13× 104 N

Substitua o resultado encontrado para Fmáx e obtenha a elongação máxima:

∆L =FmáxL

AY=FmáxL

πr2Y=

(1,13× 104 N)(300 m)

π(0,015 m)2(2,0× 1011 N/m2)∴ ∆L = 2,40 cm

Assim o relatório que você deverá encaminhar ao seu chefe, será conforme o exemplo: De acordo com os meuscálculos, o cabo sofrerá uma elongação máxima de 2,4 cm, apenas 20 por centro menor do que o limite de 3,0 cm. Noentanto, lendo a nota de rodapé da tabela, vejo que os valores fornecidos para o módulo de Young são representativose que os valores reais variam de amostra para amostra. Recomendo a consulta a um engenheiro para uma avaliaçãoprofissional.

Tensão térmica[2]

Caso você prenda rigidamente as extremidades de uma barra de modo que impeça sua dilatação ou compressãoe a seguir produza uma variação de temperatura, surgem tensões de dilatação ou de compressão chamadas detensões térmicas. A barra tende a se dilatar ou a se comprimir, mas os dispositivos que seguram suas extremidadesimpedem que isso ocorra. As tensões resultantes podem ser tornar suficientemente lelevadas a ponto de deformara barra de forma irresistível ou até mesmo destruí-la. Os blocos de concreto em estradas e estruturas de pontesgeralmente possuem um espaço vazio entre as seções que é preenchido com um material flexível (Fig. 1.18a) ousão ligadas por meio de juntas em forma de dentes (Fig. 1.18b), para impedir a dilatação e a contração do concreto.Os tubos longos que transportam vapor possuem juntas de dilatação ou seções em forma de U (Fig. 1.18c) paraimpedir contrações ou alongamentos com as variações de temperatura. Quando uma das extremidades de umaponte de aço está rigidamente presa ao seu suporte, a outra extremidade fica apoiada sobre rolamentos.

Para determinar a tensão térmica em uma barra presa, calculamos a dilatação (ou contração) que ocorreriacaso ela não estivesse presa e a seguir achamos a tensão necessária para comprimi-la (ou esticá-la) até que atinjaseu comprimento original. Suponha que uma barra de comprimento L0 e seção reta com área A seja mantida como comprimento constante enquanto sua temperatura se reduz (∆T negativa), produzindo uma tensão na barra. Avariação relativa do comprimento caso a barra estivesse livre e pudesse se contrair seria da da por(

∆L

L0

)térm

= α∆T. (1.20)


Figura 1.18: A figura à esquerda mostra um dispositivo flexível para acomodamento do concreto durante uma dilatação térmica.A figura do meio mostra dentes interpenetrantes das juntas de expansão de um ponte. Estas juntas são projetadas para acomodaras variações comprimento oriundas da dilatação térmica. A figura à direita mostra anéis de dilatação em dutos. Com frequência,dutos conduzindo líquidos os contêm para permitir a expansão e contração conforme a temperatura muda.

As variações ∆T e ∆L são negativas. A tensão deve aumentar de um valor F precisamente suficiente paraproduzir uma variação relativa de comprimento igual e contrária (∆L/L0)tensão. De acordo com a definição deYoung, temos

Y =F/A

∆L/L0, logo

(∆L

L0

)tensão

=F

AY. (1.21)

Como o comprimento deve permanecer constante, a variação relativa total do comprimento deve ser iguala zero. Pelas Eqs. (1.20) e (1.21), isto significa que Para determinar a tensão térmica em uma barra presa,calculamos a dilatação (ou contração) que ocorreria caso ela não estivesse presa e a seguir achamos a tensãonecessária para comprimi-la (ou esticá-la) até que atinja seu comprimento original. Suponha que uma barra decomprimento L0 e seção reta com área A seja mantida com o comprimento constante enquanto sua temperatura sereduz (∆T negativa), produzindo uma tensão na barra. A variação relativa do comprimento caso a barra estivesselivre e pudesse se contrair seria da da por

(∆L

L0

)tém

+

(∆L

L0

)tensão

= α∆T +F

AY= 0.

Explicitando a tensão necessária F/A para manter o comprimento da barra constante, encontramos

F

A= −Y α ∆T (tensão térmica). (1.22)

Para uma diminuição de temperatura, como ∆T é negativa, concluímos que F e F/A são grandezas positivas;isto significa que a tensão e a deformação devem ser a dilatação para manter o comprimento cosntante. Quando∆T é positivo, F e F/A são grandezas negativas, e a deformnação e a tensão necessárias correspondem a umacompressão do material.

Quando no interior de um corpo existem diferenças de temperatura, dilatações ou compressões não uniformessão produzidas e tensões térmicas são induzidas. Você pode quebrar um recipiente de vidro se despejar nele águamuito quente; se as tensões térmicas entre as partes quentes e frias do recipiente superam a tensão de ruptura dovidro produzindo fraturas. O mesmo fenômeno produz fraturas em cubos de gelo despejados em um recipientecom água quente. Alguns vidros resistentes ao calor, como o vidro Pyrex, podem possuir coeficientes de dilataçãoextremamente peuenos e resistências elevadas.


Exercício Resolvido 10: Tensão térmica em um cilindro de alumínio[2]

Um cilindro de alumínio de 10 cm de comprimento e seção esta com área igual a 20 cm2 deve ser usado paraseparar duas paredes de aço. A 17,2 C, calcule a tensão no cilindro e a força total que ele exerce sobre cadaparede, supondo que as paredes sejam completamente rígidas e a distância entre elas permaneça constante.

Solução:

A Eq. (1.22) relaciona a tensão com as variações de temperaturas. De acordo com a Tabela 1.2, achamosY = 7,0 × 1010 Pa, e pela Tabela 1.1, α = 2,4 × 10−5 K−1. A variação de temperatura é dada por ∆T =22,3 C− 17,2 C = 5,1 C = 5,1 K. A tensão é F/A. Da Eq. 1.22,

F

A= −Y α ∆T = −(0,7× 1011 Pa)(2,4× 10−5 K−1)(5,1 K) ∴

F

A= −8,6× 106 Pa.

O sinal negativo indica que é necessária uma tensão compressão, em vez de dilatação, para manter o comprimentodo cilindro constante. Esta tensão não depende nem do comprimento nem da área da seção reta do cilindro. Aforça toral F é dada pelo produto da área da seção retas vezes a tensão:

F =

(F

A

)= (20× 10−4 m2)(−8,6× 106 Pa) ∴ F = −1,7× 104 N.

O sinal negativo indica força de compressão.

Exercício Resolvido 11: Tensão térmica entre um fio de aço e outro de cobre[4]

Dois fios, um de aço e outro de cobre, cada um com diâmetro de 2,000 mm, são ligados ponta a ponta. A 40,0 C,cada um tem comprimento não alongado de 2,000 m. Os fios são conectados entre dois suportes fixos a 4,000 mum do outro em um tampo de mesa. O de aço se estende de x = −2,000 m para x = 0; o de cobre, de x = 0 parax = 2,000; a tensão é desprezível. A temperatura é baixada para 20,0 C. Suponha que o coeficiente de expansãomédia linear do aço seja 11,0× 10−6/C e do cobre seja 17,0× 10−6/C. Considere o módulo de Young para o açocomo 20,0× 1010 N/m2, e para o cobre como 10,0× 1010 N/m2. Nessa temperatura mais baixa, encontre a tensãono fio.

Solução: A temperatura a ser considerada para a determinação da tensão nos fios e a posição da junção entre osfios é de 20,0 C. Nesta temperatura, o comprimento de cada fio é dado pela Eq. 1.10, L(T ) = L0[1 + α(T − T0)].Aplicando esta equação para o aço e para o cobre, tem-se

Laço(20 C) = (2,000 m)[1 + (11,0× 10−6/C(20,0) C− 40,0 C)

]∴ Laço(20 C) = 1,99956 m;

Lcobre(20 C) = (2,000 m)[1 + (17,0× 10−6/C)(20,0 C− 40,0 C)

]∴ Lcobre(20 C) = 1,99932 m.

Da Eq. 1.21, tem-se(∆L

L0

)tensão

=F

AY⇒ ∆L =

L0F

AY∴ L = L0

(1 +

F

AY

).

Aplicando esta equação ao aço e ao cobre, obtêm-se Laço = L0,aço

(1 + F

AY)

açoe Laço = L0,cobre

(1 + F

AY)

cobreonde,

Laço + Lcobre = 4,000 m.

Desde que a tensão que atua nos dois fios é a mesma, pode-se encontrar uma equação para determiná-la.


Deste modo

Laço + Lcobre = L0,aço

(1 +

F

AY

)aço

+ L0,cobre

(1 +

F

AY

)cobre

= L0,aço +FL0,aço

AaçoYaço

+ L0,cobre +FL0,cobre

AcobreYcobre

⇒ F

(L0,aço

AaçoYaço

+L0,cobre

AcobreYcobre

)= (Laço + Lcobre)− (L0,aço + L0,cobre)

⇒ F =(Laço + Lcobre)− (L0,aço + L0,cobre)[

L0,açoAaçoYaço

+L0,cobre

AcobreYcobre

]∴ F =

[Laço(40 C) + Lcobre(40 C)]− [Laço(20 C) + Lcobre(20 C)][L0,aço

Aaço(20 C)Yaço+

L0,cobre

Acobre(20 C)Ycobre

] ;

onde Laço(20 C), Aaço(20 C) são o comprimento e área da seção reta do fio de aço a uma temperatura de 20 C.

Considerando-se uma variação de temperatura ∆T , o raio da circunferência de seção reta de cada fio é dadopor r = r0(1 + α∆T ) e a área da seção reta será dada por A = πr2, ou, A = π [r0(1 + α∆T )]2. Logo,

Aaço(20 C) = πr20,aço (1 + α∆T )2 = π(1,000× 10−3 m)2[1 + (11,0× 10−6/C)(−20,0 C)

]2Lcobre(20 C) = πr20,cobre (1 + α∆T )2 = π(1,000× 10−3 m)2

[1 + (17,0× 10−6/C)(−20,0 C)

]2∴Aaço = 3,140× 10−6 m2 e Acobre = 3,139× 10−6 m2.

Assim, considerando-se a equação encontrada para determinar a tensão F , tem-se

F =4,000 m− (1,99956 m + 1,99932 m)[

1,99956 m(3,140×10−6 m2)(20,0×1010 N/m2

)+ 1,99932 m

(3,139×10−6 m2)(11,0×1010 N/m2)

] ∴ F = 125 N

Problemas

Problema 1:Pra qual temperatura as escalas Celsius e Fahrenheit indicam a mesma leitura? [1]

Problema 2:O ponto de fusão do ouro é 1945,4 F. Expresse esta temperatura em graus Celsius. [1]

Problema 3:O ponto de ebulição do oxigênio, a 1,00 atm, é 90,2 K. Qual é o ponto de ebulição do oxigênio a 1,00 atm nasescalas de temperatura Celsius e Fahrenheit? [1]

Problema 4:Na escala de temperatura Réaumur, o ponto de fusão do gelo é 0 R e o ponto de ebulição da água é 80 R.Deduza as expressões para converter temperaturas da escala Réaumur para as escalas Celsius e Fahrenheit. [1]

Problema 5:Um cientista disposto em elaborar uma nova escala de temperatura (G) parametrizou os seguintes dados:

125 K = 75 G

500 K = 150 G

Deduza as equações para converter temperatura da escala graus G para as escalas


(a) absoluta,

(b) Celsius e

(c) Fahrenheit.

(d) Qual é a temperatura em G de 350 K?

Problema 6:Suponha que você encontre antigas anotações científicas que descrevem uma escala de temperatura chamada Z,na qual o ponto de ebulição da água é 65,0 Z e o ponto de fusão é −14,0 Z. A que temperatura na escalaFahrenheit uma temperatura T = −98,0 Z corresponderia? Suponha que a escala Z é linear, ou seja, o tamanhode um grau Z é o mesmo em qualquer parte da escala Z. [3]

Problema 7:O comprimento da coluna de mercúrio de um termômetro é 4,00 cm quando o termômetro está imerso em águacom gelo à pressão de 1 atm e 24,0 cm quando o termômetro está imerso em água fervente à pressão de 1 atm.Suponha o comprimento da coluna de mercúrio varia linearmente com a temperatura.

(a) Encontre a relação linear entre a temperatura em escala Celsius e o comprimento da coluna de mercúrio.

(b) Qual é o comprimento da coluna de mercúrio à temperatura ambiente (22,0 C)?

(c) Se a coluna de mercúrio tem um comprimento de 25,4 cm quando o termômetro está mergulhado em umasolução química, qual é a temperatura da solução? [1]

Problema 8:Um termistor é um dispositivo de estado sólido largamente usado em uma variedade de aplicações em engenharia.Sua principal característica é que sua resistência elétrica varia muito com a temperatura. Sua depedência com atemperatura é dada aproximadamente por R = R0 exp (B/T ), com R em ohms (Ω), T em kelvins e R0 e B sendoconstantes que podem ser determinadas medindo-se R em pontos de calibração como o ponto de fusão e o pontode ebulição.

(a) Se R = 7360 Ω no ponto de fusão e 153 Ω no ponto de ebulição, determine R0

(b) e B.

(c) Qual é a resistência do termistor em T = 98,6 F? [1]

Problema 9:O ponto de ebulição e o ponto de fusão da água na escala Fahrenheit foram escolhidos de modo que a diferençaentre as temperaturas fosse 180 F, um número que é divisível por 2, 3, 4, 5, 6 e 9. Estabeleça uma nova escala detemperatura S de modo que o zero absoluto seja 0 S e Tebulição − Tfusão = 180 S.

(a) Qual é a equação de conversão de Celsius para S?

(b) Qual é o ponto de fusão

(c) e ebulição em S? [5]


Problema 10:Repita o problema 9, mas escolha uma nova escala de temperatura Q de modo que o zero absoluto seja 0 Q eTebulição − Tfusão = 100 Q.

(a) Qual é a equação de conversão de Celsius para Q?

(b) Qual é o ponto de fusão

(c) e ebulição em Q?

(d) Esta escala existe na realidade. Qual é o nome oficial?[5]

Problema 11:O espelho de vidro Pyrex do telescópio do Observatório do Monte Palomar (telescópio Hale) possui um diâmetrode 200 in. As temperaturas extremas registradas no Monte Palomar são de 10 C e de 50 C. Determine a variaçãomáxima no diâmetro do espelho.[5]

Problema 12:A 20,0 C, um anel de alumínio tem diâmetro interno de 5,0000 cm, e uma barra de latão de 5,0500 cm.

(a) Se somente o anel é aquecido, que temperatura ele deve atingir para que deslize sobre a barra?

(b) Se o anel e a barra forem aquecidos juntos, que temperatura os dois devem atingir para que o anel deslizesobre a barra?

(c) Esse último processo funcionaria? Explique. Dica: o alumínio derrete a 660 C e o latão derrete a 900 C.[4]

Problema 13:Um frasco de vidro a 100 C está completamente cheio com 891 g de mercúrio. Qual a massa de mercúrionecessária para que o frasco fique cheio a −35 C? (O coeficiente de dilatação linear do vidro é 9,0 × 10−6/C; ocoeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 1,8× 10−4/C.)[5]

Problema 14:Em um dia, quando a temperatura é 20,0 C, uma calçada de concreto é moldada de tal forma que suas extremi-dades mão se movem. Considere o módulo de Young para o concreto como sendo 7,00 × 109 N/m2 e a força decompressão como 2,00× 109 N/m2.

(a) Qual é a tensão no cimento em um dia quante de 50,0 C?

(b) O concreto sofre fratura?[4]

Respostas dos problemas

Problema 1 −40,00 C = −40,00 FProblema 2 1063 C


Problema 3 (a) −183 C(b) −297 F

Problema 4 (a) TC = 5/4 TR

(b) TF = 9/4 TR + 32

Problema 5 (a) T = 5 TG − 250(b) TC = 5 TG + 698(c) TF = 9 TG + 73,4(d) TG = 120 G

Problema 6 −159 FProblema 7 (a) T = 5L− 20

(b) 8,40 cm(c) 107 C

Problema 8 (a) R0 = 3,91× 10−3 K(b) B = 3,94× 103 K(c) 1,31 Ω

Problema 9 (a) TS = 9/5 TC + 491,69(b) 671,69 S(b) 491,69 S

Problema 10 (a) TQ = TC + 273,15(b) 273,15 S(c) 373,15 Q(d) Escala de temperatura Kelvin.

Problema 11 0,038 inProblema 12 (a) 437 C

(b) 2,1× 103 C(c) não;

Problema 13 909 gProblema ?? (a) 125 N

(b) −4,20× 10−5 mProblema 14 (a) 2,52× 106 N/m2

(b) Não.

Referências Bibliográficas

[1] TIPLER, PAUL ALLEN, Física para cientistas e engenheiros, volume 1: mecânica, oscilações e ondas, termodi-nânmica / Paul A. Tipler, Gene Mosca; 6a ed.; Rio de Janeiro: LTC, 2012

[2] YOUNG, HUGH D., Física II, volume 2 / Hugh D. Young, Roger A. Freedmam; 10a ed.; São Paulo: AddisonWesley, 2003

[3] HALLIDAY, DAVID, Fundamentos de física, volume 2: gravitação, ondas e termodinânmica / David Halliday,Robert Resnick, Jearl Walker; 9a ed.; Rio de Janeiro: LTC, 2012

[4] SERWAY, RAYMOND A., Física para cientistas e engenheiros, volume 2: oscilações, ondas e termodinânmica /Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr., com contribuições de Vahé Peroomian; 8a ed.; São Pulo: CengageLearning, 2011

[5] RESNICK, ROBERT, Física 2, volume 2 / Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Kane; 5a ed.; Rio deJaneiro: LTC, 2013

[6] BAUER, WOLFGANG, Física para universitários [recurso eletrônico], relatividade, oscilações, ondas e calor /Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias - Dados eletrônicos - Porto Alegre: AMGH, 2013

29

Capítulo 2

Teoria cinética dos gases

30

Capítulo 3

Segunda lei da termodinâmica e máquinastérmicas

31

Introdução à Termodinâmica 2

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