Introdução à Simulação Estocástica usando R

Hélio Lopes

Departamento de Informática – PUC-Rio

lopes@inf.puc-rio.br

Parte IV - Processos Estocásticos

Processos Estocásticos

Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias{X (t), t œ T} definidas em um espaço de probabilidade, indexadopor um parâmetro t, onde t varia no conjunto T .

Processos Estocásticos

Lembre que uma v.a é uma função definida num espaço amostral S.Então, o processo estocástico {X (t), t œ T} é uma função de doisargumentos {X (t, Ê), t œ T , Ê œ S}.Para um t = t

0

fixo, X (t0

, Ê) = X

t

0

(Ê) é uma v.a. denotada porX (t

0

) já que Ê varia no espaço amostral S.

Processos Estocásticos

Por outro lado, fixando Ê = Ê0

, X (t, Ê0

) = XÊ0

(t) é uma funçãoque só depende de t, e é chamada de uma realização do processo.É claro que se t e Ê são fixos, X (t, Ê) é um número real. Parafacilitar a notação, X (t) será usado daqui por diante para denotarum processo estocástico.

Processos Estocásticos

I O conjunto T é chamado de espaço de parâmetro. Osvalores assumidos por X (t) são chamados de estados, e oconjunto de todos os possíveis estados é chamado de espaço

de estados do processo estocástico e é denotado por E .I Se o conjunto T é discreto, então o processo estocástico é dito

ser de tempo discreto, nesse caso ele também pode serchamado de uma sequência aleatória.

I Se T é contínuo, então o processo é dito ser de tempo

contínuo.

Processos Estocásticos

I Se E é discreto, então o processo é dito ser um processo deestados discretos, e pode ser chamado também de umacadeia.

I Se E é contínuo, então o processo é dito ser de epaço

contínuo.

Caracterização

Considere um processo estocástico X (t). Para um tempo fixo t

1

,X (t

1

) = X

1

é uma v.a. e a sua função de distribuição acumuladaF

X

(x1

; t1

) é definida por:

F

X

(x1

; t1

) = P[X (t1

) Æ x

1

].

F

X

(x1

; t1

) é conhecida como a distribuição de primeira ordem deX (t).

Caracterização

De forma semelhante, para dois tempos fixos t

1

e t

2

define-se comoa distribuição de segunda ordem de X (t) por:

F

x

(x1

, x

2

; t1

, t

2

) = P[X (t1

) Æ x

1

, X (t2

) Æ x

2

].

Caracterização

E de forma geral, a distribuição de n-ésima ordem de X (t) é dadapor:

F

x

(x1

, . . . , x

n

; t1

, . . . , t

n

) = Pr [X (t1

) Æ x

1

, . . . , X (tn

) Æ x

n

].

Para um caracterização completa do processo estocástico X (t) épreciso saber as distribuições de todas as ordens (n æ Œ).

Média, Correlação e Covariância

A média de X (t) é definida por

µX

(t) = E [X (t)],

onde X (t) évista como uma v.a. para um t fixo. Em geral, µX

(t) éuma função do tempo.A medida de dependência entre as v.a.’s de X (t) é dada pelafunção de autocorrelação

R

X

(t, s) = E [X (t)X (s)].

Note que R

X

(t, s) = R

X

(s, t) e que R

X

(t, t) = E [(X (t))2].

Média, Correlação e Covariância

A função de autocovariância de X (T ) é definida por:

K

X

(t, s) = Cov [X (t), X (s)] = E [(X (t) ≠ µX

(t))(X (s) ≠ µX

(s))].

É fácil provar que K

X

(t, s) = R

X

(t, s) ≠ µX

(t)µX

(s). Se a médiade X (t) é zero para qualquer t, então K

X

(t, s) = R

X

(t, s).A variância de X (t) é dada por:

‡2

X

(t) = Var [X (t)] = E [(X (t) ≠ µX

(t))2] = K

X

(t, t).

Classificação: Processos estacionários

Um processo X (t) é dito ser estacionário se para todo n e paraqualquer conjunto de instantes de tempo {t

i

œ T , i = 1, 2, . . . , n},tem-se que:

F

X

(x1

, . . . , x

n

; t1

, . . . , t

n

) = F

X

(x1

, . . . , x

n

; t1

+ ·, . . . , t

n

+ ·),

para qualquer valor de · .

Classificação: Processos estacionários

Portanto, a distribuição do proceso X (t) não é afetada por umatranslação na origem do tempo.Em particular, X (t) e X (t + ·) tem a mesma distribuição paraqualquer valor de · .Assim, pode-se dizer que F

X

(x , t) = F

X

(x , t + ·) = F

X

(x). Nessecaso, µ

X

(t) = µ e Var [X (t)] = ‡2, onde µ e ‡ são constantes.

Classificação: Processos independentes

Dado um processo X (t). Se X (ti

) para i = 1, 2, . . . , n s~ao v.a.’sindependentes, de tal forma que

F

X

(x1

, . . . , x

n

; t1

, . . . , t

n

) = ⇧n

i=1

F

X

(xi

; ti

),

então chamamos X (t) de um processo independente.

Classificação: Processos com incrementos independentes

Um processo {X (t), t Ø 0} é dito ter incrementos independentes

se para quaisquer n instantes de tempos 0 < t

1

< t

2

< . . . < t

n

,tem-se que:

X (0), X (t1

) ≠ X (0), X (t2

) ≠ X (t1

), . . . , X (tn

) ≠ X (tn≠1

)

são v.a.’s independentes.

Processos com incrementos independentes e estaconários

Se {X (t), t Ø 0} tem incrementos independentes e X (t) ≠ X (s)tem a mesma distribuição que X (t + h) ≠ X (s + h) para todo s, t,h Ø 0, s < t, então o processo é dito ter incrementos

independentes e estacionários.Se {X (t), t Ø 0} possui incrementos independentes e estacionáriose X (0) = 0, então E [X (t)] = µ

1

t e Var [X (t)] = ‡2

1

t, ondeµ

1

= E [X (1)] e ‡1

= Var [X (1)].Os processos de Poisson e de Weiner, que serão apresentados aseguir, são dois exemplos de processos com incrementosindependentes e estacionários.

Processos de Poisson

Considere que t é uma variável que representa o tempo. Suponhaque um experimento começa em t = 0. Eventos de um determinadotipo ocorrem aleatoriamente, o primeiro em T

1

, o segundo em T

2

eassim por diante. A v.a. T

i

denota o tempo em que o i-ésimoevento ocorre. Os valores t

i

assumidos pelas realizações de T

i

sãochamados de tempos de ocorrência.

Processos de Poisson

Seja Z

i

= T

i

≠ T

i≠1

e T

0

= 0. Então Z

n

denota o tempo entre osn ≠ 1 primeiros eventos e o n-ésimo evento. A sequência ordenadade v.a. {Z

n

; n Ø 1} é muitas vezes denominada de processo de

intervalos de ocorrência (interarrival process).Se todas as v.a.’s Z

n

são independentes e idênticamente distribuídas,então {Z

n

; n Ø 1} é chamado de processo de renovação. Valelembrar que T

n

= Z

1

+ Z

2

+ · · · + Z

n

. O processo {T

n

; n Ø 1} échamado de processo de ocorrência.

Processos de Poisson

Um processo estocástico {X (t); t Ø 0} é chamado de processo de

contagem se X (t) representa o número de eventos total ocorridosno intervalo (0, t). Esse processo deve satisfazer as seguintespropriedades:

1. X (t) Ø 0 e X (0) = 0.2. X (t) é um número inteiro.3. X (s) Æ X (t) se s < t.4. X (t) ≠ X (s) é igual ao número de eventos que ocorreram no

intervalo (s, t).

Processos de Poisson

Um processo de contagem X (t) é dito ter incrementosindependentes se o número de eventos ocorridos em intervalos detempo disjuntos são independentes. Um processo de contagem X (t)é dito ter incrementos estacionários se o número de eventos nointerval (s + h, t + h) tem a mesma distribuição do número deeventos (s, t), para todo s < t e h > 0.

Processos de Poisson

Um processo de contagem X (t) é dito ser um processo de

Poisson homogêneo com intensidade ⁄ > 0 se:

1. X (0) = 0.2. X (t) tem incrementos estacionários independentes.3. lim

hæ0

P[X(t+h)≠X(t)=1]h

= ⁄.4. lim

hæ0

P[X(t+h)≠X(t)Ø2]h

= 0.

Processos de Poisson

Num processo de Poisson homogêneo, tem-se que E [X (t)] = ⁄t eVar [X (t)] = ⁄t. Portanto, o valor esperado do número de eventosno intervalo unitário (0, 1), ou qualquer outro de tamanho unitário,é igual a ⁄.

Processos de Poisson

Outra propriedade muito importante éque os tamanhos dosintervalos de tempos {Z

n

; n Ø 1} de um processo de Poissonhomogêneo X (t) com intensidade ⁄ são v.a.’s Exponenciais comtaxa ⁄ independentes entre si.Por fim, o número de eventos que ocorrem em um intervalo detamanho t num processo de Poisson é uma v.a. discreta de Poissoncom taxa ⁄ · t.

Processos de Poisson

Um processo de contagem X (t) é dito ser um processo de

Poisson não-homogêneo com função intensidade ⁄(t) > 0 se:

1. X (0) = 0.2. X (t) tem incrementos independentes.3. lim

hæ0

P[X(t+h)≠X(t)=1]h

= ⁄(t).4. lim

hæ0

P[X(t+h)≠X(t)Ø2]h

= 0.

No processo de Poisson não-homogêneo, vale dizer queX (t + h) ≠ X (t) é uma variável aleatória discreta de Poisson commédia m(t + h) ≠ m(t), onde

m(t) =⁄

t

0

⁄(s)ds, para t Ø 0.

Processos de Weiner

Um processo de Wiener (também chamado de movimento

browniano) W (t) é caracterizado por três propriedades:

1. W (0) = 0.2. A função t ‘æ W (t) é "almost surely" contínua em todos os

pontos.3. W (t) tem incrementos independentes com

W (t) ≠ W (s) ≥ N(0, t ≠ s) (para 0 Æ s < t).4. Se 0 Æ s

1

< t

1

Æ s

2

< t

2

então W (t1

) ≠ W (s1

) eW (t

2

) ≠ W (s2

) são v.a. independentes, e essa condição valetambém para n incrementos.

Bibliografia

I S. Ross, Simulation, Academic Press, (2006)I E. Suess, B. E. Trumbo, Introduction to Probability Simulation

and Gibbs Sampling with R, Springer (2010)I C. Robert, G. Casella, Introducing Monte Carlo Methods with

R, Springer (2010)