INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO · Neste capítulo será dada uma visão geral da teoria do...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:
Uma Abordagem Moderna ,
por
Lucas Máximo Alves
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
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LUCAS MÁXIMOALVES
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:
Uma Abordagem Moderna ,
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
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LUCAS MÁXIMOALVES
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:
Uma Abordagem Moderna ,
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Adriano Scremin Orientador: Prof. Dr.
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
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Dedicatória
Dedico,
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Agradecimentos
Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades
que a vida me trouxe. Quero também agradecer:
À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.
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Epígrafe
“vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)
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Sumário
Apresentação ............................................................................................................................18 Capítulo – I ...............................................................................................................................19 INTRODUÇÃO A TEORIA DO CONTÍNUO .......................................................................19 1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................19 1. 2 – Introdução a Teoria do Contínuo....................................................................................19 1. 3 – Conteúdos da Mecânica do Contínuo.............................................................................20 Capítulo – II..............................................................................................................................23 TENSORES..............................................................................................................................23 2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................23 2. 2 – Introdução.......................................................................................................................23 2. 3 - Parte – A: A Notação Indicial .........................................................................................24 2. 4 - Parte – B: Tensores .........................................................................................................40 2. 5 - Parte – C: Cálculo Tensorial ...........................................................................................91 2. 6 - Parte – D: Coordenadas Curvilineas .............................................................................126 2. 7 – Teoremas Integrais .......................................................................................................151 2. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................159 2. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................161 Capítulo – III ..........................................................................................................................162 CINEMÁTICA DO CONTÍNUO ..........................................................................................162 3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................162 3. 2 - Introdução .....................................................................................................................162 3. 3 – O Movimento................................................................................................................163 3. 4 – Descrição do Movimento de um Meio Contínuo .........................................................164 3. 5 – Descrição Material e Descrição Espacial .....................................................................168 3. 6 – Derivada Material .........................................................................................................170 3. 7 – Aceleração da Partícula em um Meio Contínuo...........................................................172 3. 8 – O Campo de Deslocamento ..........................................................................................176 3. 9 – Equação Cinemática do Movimento de Corpo Rígido.................................................177 3. 10 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................179 3. 11 – Exercícios e Problemas...............................................................................................180 Capítulo – IV ..........................................................................................................................181 DEFORMAÇÃO NO CONTÍNUO .......................................................................................181 4. 1 – Objetivos do capítulo....................................................................................................181 4. 2 – Introdução.....................................................................................................................181 4. 3 – Gradiente de Deformações ...........................................................................................182 4. 4 – Deformações.................................................................................................................187 4. 5 – Deformações Infinitesimais..........................................................................................189 4. 6 – Significado Geométrico de E........................................................................................192 4. 7 – Deformações Principais................................................................................................196 4. 8 – Dilatação.......................................................................................................................197 4. 9 – Tensor Rotação Infinitesimal........................................................................................199 4. 10 – Taxa de Variação de um Elemento Material ..............................................................201 4. 11 – Tensor Taxa de Deformação.......................................................................................203 4. 12 – Taxa de Variação Volumétrica de um Elemento Material .........................................207 4. 13 – Tensor de Rotação e Velocidade Angular ..................................................................209 4. 14 – Equações de Conservação da Massa ..........................................................................210
8
4. 15 – Condição de Compatibilidade para o Tensor E ..........................................................212 4. 16 – Condição de Compatibilidade para o Tensor de Deformação....................................214 4. 17 – O Gradiente de Deformação .......................................................................................215 4. 18 – Deslocamento de Corpo Rígido..................................................................................216 4. 19 – Deformação Finita ......................................................................................................217 4. 20 – Teorema da Decomposição Polar ...............................................................................222 4. 21 – Cálculo do Tensor de Estiramento a partir do Gradiente de Deformação..................223 4. 22 – O Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green ..................................................225 4. 23 – O Tensor Lagrangeano de Deformação......................................................................227 4. 24 – O Tensor Esquerdo de Deformação de Cauchy-Green ..............................................230 4. 25 – O Tensor de Deformação de Euler .............................................................................234 4. 26 – Condição de Compatibilidade para as Componenetes do Tensor de Deformação Finito ..............................................................................................................................239 4. 27 – Variação de Área devido a Deformação.....................................................................240 4. 28 – Variação de Volume devido a Deformação................................................................244 4. 29 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................247 4. 30 – Exercícios e Problemas...............................................................................................248 Capítulo – V ...........................................................................................................................249 TENSÃO NO CONTÍNUO....................................................................................................249 5. 1 – Objetivos do Capítulo...................................................................................................249 5. 2 – Introdução.....................................................................................................................249 5. 3 – Vetor Tensão de Cauchy ..............................................................................................251 5. 4 – Componentes do Tensor de Tensão de Cauchy............................................................254 5. 4 – Simetria do Tensor de Tensão de Cauchy ....................................................................256 5. 5 – Tensão Principais..........................................................................................................259 5. 6 – Máxima Tensão de Cisalhamento.................................................................................263 5. 7 – Equação de Movimento de um Meio Contínuo Sujeito a Um Campo de Tensão........268 5. 8 –Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff..............................................................................273 5. 4 – Equação de Movimento escrito na Configuração de Referência..................................277 5. 4 – Potência de Tensão .......................................................................................................280 5. 4 – Taxa de Fluxo de Calor por Condução.........................................................................284 5. 4 – Equação da 1ª Lei da Termodinâmica ..........................................................................286 5. 4 – Desigualdade de Entropia.............................................................................................288 5. 9 - Exemplos e Aplicações ................................................................................................289 5. 10 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................290 Capítulo – VI ..........................................................................................................................291 O SÓLIDO ELÁSTICO .........................................................................................................291 6. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................291 6. 2 - Introdução .....................................................................................................................291 6. 3 – A Teoria da Elasticidade...............................................................................................292 6. 4 – Propriedades Mecânicas ...............................................................................................293 6. 5 – O Sólido Elástico Linear ..............................................................................................295 6. 6 – Equação da Teoria da Elasticidade Infinitesimal .........................................................307 6. 7 – Princípio da Superposição ............................................................................................309 6. 8 – Onda Plana Irrotacional ................................................................................................311 6. 9 – Onda Plana Equivolumial.............................................................................................313 6. 10 – Extensão Simples........................................................................................................316 6. 11 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................345 6. 12 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................346 Capítulo – VII.........................................................................................................................347
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O FLUIDO VISCOSO NEWTONIANO ...............................................................................347 7. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................347 7. 2 - Introdução .....................................................................................................................347 7. 3 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................348 7. 4 - Exercícios e Problemas .................................................................................................349 Capítulo – VIII .......................................................................................................................350 FORMULAÇÃO INTEGRAL DE PRINCÍPIOS GERAIS...................................................350 8. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................350 8. 2 - Introdução .....................................................................................................................350 8. 3 – Teoremas Integrais .......................................................................................................351 8. 4 – Teorema de Gauss ........................................................................................................352 8. 5 – Teorema de Stokes........................................................................................................353 8. 6 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................354 8. 7 - Exercícios e Problemas .................................................................................................355 Capítulo –IX ...........................................................................................................................356 FLUIDO NÃO-NEWTONIANO ...........................................................................................356 9. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................356 9. 2 - Introdução .....................................................................................................................356 9. 3 - Exemplos e Aplicações .................................................................................................357 9. 4 - Exercícios e Problemas .................................................................................................358 Capítulo –X ............................................................................................................................359 A TEORIA DA PLASTICIDADE .........................................................................................359 10. 1 - Objetivos do capítulo ..................................................................................................359 10. 2 - Introdução ...................................................................................................................359 10. 3 - Plasticidade .................................................................................................................360 10. 4 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................372 10. 5 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................373 Capítulo –XI ...........................................................................................................................374 INTRODUÇÃO AOS PROBLEMAS NÃO LINEARES......................................................374 11. 1 - Objetivos do capítulo ..................................................................................................374 11. 2 - Introdução ...................................................................................................................374 11. 3 – Alguns Problemas Não-Lineares ................................................................................375 11. 4 – Problemas Estruturais Não-Lineares ..........................................................................376 11. 5 - Exemplos e Aplicações ...............................................................................................383 11. 6 - Exercícios e Problemas ...............................................................................................384 Bibliografia.............................................................................................................................385
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Lista de Figuras
Figura - 1. 1. .............................................................................................................................22 Figura - 2. 1. .............................................................................................................................33 Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.................35 Figura - 2. 3. Figura - 1. 1. .............................................................................................................................22 Figura - 2. 1. .............................................................................................................................33 Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.................35 Figura - 2. 3. Transformação Linear Vetorial de um vetor a em c . ......................................40 Figura - 2. 4. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 5. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 6. .............................................................................................................................44 Figura - 2. 7. .............................................................................................................................46 Figura - 2. 8. .............................................................................................................................46 Figura - 2. 9. .............................................................................................................................48 Figura - 2. 10. ...........................................................................................................................50 Figura - 2. 11. ...........................................................................................................................50 Figura - 2. 12. ...........................................................................................................................66 Figura - 2. 13. ...........................................................................................................................66 Figura - 2. 14. ...........................................................................................................................68 Figura - 2. 15. ...........................................................................................................................70 Figura - 2. 16. ...........................................................................................................................81 Figura - 2. 17. ...........................................................................................................................81 Figura - 2. 18. ...........................................................................................................................83 Figura - 2. 19. ...........................................................................................................................86 Figura - 2. 20. ...........................................................................................................................91 Figura - 2. 21. Função potencial e o seu gradiente. ..................................................................99 Figura - 2. 22. Função potencial e o seu gradiente. ................................................................101 Figura - 2. 23. Isotermas de um campo escalar. .....................................................................106 Figura - 2. 24. Isotermas de um campo escalar. .....................................................................108 Figura - 2. 25. .........................................................................................................................109 Figura - 2. 26. .........................................................................................................................151 Figura - 2. 27. .........................................................................................................................158 Figura - 3. 1 ............................................................................................................................163 Figura - 3. 2. ...........................................................................................................................165 Figura - 3. 3. ...........................................................................................................................167 Figura - 3. 4. ...........................................................................................................................168 Figura - 3. 5. ...........................................................................................................................169 Figura - 3. 6. ...........................................................................................................................172 Figura - 3. 7. .............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 3. 8. ...........................................................................................................................185 Figura - 3. 9. ...........................................................................................................................186 Figura - 3. 10. .........................................................................................................................188 Figura - 4. 1. .............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 4. 2. ...........................................................................................................................250 Figura - 4. 3. ...........................................................................................................................251 Figura - 10. 1. .........................................................................................................................360 Figura - 10. 2. .........................................................................................................................360
11
Figura - 10. 3. .........................................................................................................................362 Figura - 10. 4. .........................................................................................................................365 Figura - 10. 5. .........................................................................................................................366 Figura - 10. 6. .........................................................................................................................367 Figura - 10. 7. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 8. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 9. .........................................................................................................................369 Figura - 10. 10. .......................................................................................................................371 Figura - 11. 1. a) ruptura elástica b) polielasticidade c) elasticidade não-linear d) plasticidade................................................................................................................................................376 Figura - 11. 2. Flambagem em haste delgada com excentricidade nula.................................376 Figura - 11. 3. Flambagem em haste delgada com excentricidade e não nula .......................377 Figura - 11. 4. Flambagem em articulações com inversão do estado e recuperação de estabilidade .............................................................................................................................377 Figura - 11. 5. Flambagem em superfícies com inversão do estado.......................................377 Figura - 11. 6. Flambagem multimodal em articulações ........................................................378 Figura - 11. 7. Flambagem localizada em haste estruturais....................................................378 Figura - 11. 8. Flambagem em superfícies sujeitas a um carregamento.................................378 Figura - 11. 9. Grandes deslocamentos em a) vigas engastadas e b) em cabos áereos sujeitos ao prório peso. ........................................................................................................................379 Figura - 11. 10. Problema de grandes deslocamentos com elipsização do diâmetro tubos em tubulação aérea. ......................................................................................................................379 Figura - 11. 11. Grandes deslocamentos em articulações de guindastes e robôs ...................379 Figura - 11. 12. Plastidade com Histerese Disipativa.............................................................380 Figura - 11. 13. Viscoelasticidade com deformação não linear..............................................380 Figura - 11. 14. Materiais com não linearidade constitutiva a) revestimento de aeronaves b) matriz óssea ............................................................................................................................381 Figura - 11. 15. Fratura e plasticidade na ponta da trinca. .....................................................382 ..................................................................................................................................................40 Figura - 2. 4. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 5. .............................................................................................................................43 Figura - 2. 6. .............................................................................................................................44 Figura - 2. 7. .............................................................................................................................46 Figura - 2. 8. .............................................................................................................................48 Figura - 2. 9. .............................................................................................................................50 Figura - 3. 1. ...........................................................................................................................165 Figura - 3. 2. ...........................................................................................................................185 Figura - 3. 3. ...........................................................................................................................186 Figura - 3. 4. ...........................................................................................................................167 Figura - 3. 5. ...........................................................................................................................168 Figura - 3. 6. ...........................................................................................................................169 Figura - 3. 7. ...........................................................................................................................172 Figura - 4. 1. .............................................................................. Erro! Indicador não definido. Figura - 4. 2. ...........................................................................................................................250 Figura - 4. 3. ...........................................................................................................................251 Figura - 10. 1. .........................................................................................................................360 Figura - 10. 2. .........................................................................................................................360 Figura - 10. 3. .........................................................................................................................362 Figura - 10. 4. .........................................................................................................................365 Figura - 10. 5. .........................................................................................................................366
12
Figura - 10. 6. .........................................................................................................................367 Figura - 10. 7. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 8. .........................................................................................................................368 Figura - 10. 9. .........................................................................................................................369 Figura - 10. 10. .......................................................................................................................371
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Lista de Tabelas
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Lista de Siglas
15
Lista de Símbolos
16
Resumo
17
Abstract
18
Apresentação Esta apostila de Introdução a Mecânica do Contínuo é resultado da digitação das
aulas do curso ministrado pelo professor Dr. Adriano Scremin e de estudos pessoais do
estudante de doutorado M. Sc. Lucas Máximo Alves, do Programa de Pós-Graduação de
Métodos Numéricos para a Engenharia-PPGMNE da Universidade Federal do Paraná.
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Capítulo – I
INTRODUÇÃO A TEORIA DO CONTÍNUO
RESUMO
Neste capítulo será dada uma visão geral da teoria do contínuo e suas aplicações.
Em particular a definição de um meio contínuo dentro do contexto matemático e físico, no
que diz respeito a constituição atômica da matéria. Neste último contexto os limites de escala
inferior e superior são estabelecidos como uma forma de preservar o conceito matemático
abstrato.
1. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender a definição de um meio contínuo
ii) Reconhecer os diferentes contextos e áreas da ciência onde o conceito de
contínuo se aplica.
iii) Saber formular a idéia do contínuo para diferentes situações de interesse.
1. 2 – Introdução a Teoria do Contínuo
A matéria na realidade é formada de moléculas, átomos e partículas subatômicas,
portanto não é contínua, ou seja, é discreta. Contudo existem muitas situações da experiência
diária que a teoria fenomenológica do comportamento dos mateiriais utilizada não considera
a estrutura atômica ou molecular da matéria.
A teoria que ------------ ao descrever relações entre fenômenos ---------------,
desprezando a estrutura da matéria em uma pequena escala, é conhecida como a teoria do
contínuo. A teoria do contínuo considera a matéria como indefinidamente divisível. Nesta
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teoria, aceita-se a idéia de um volume infinitesimal de matéria referente a uma partícula no
contínuo, e em toda vizinhança de uma partícula existem sempre partículas vizinhas. A teoria
do contínuo é justificada ou não dependendo da situação.
A aproximação do contínuo descreve adequadamente o comportamento de
materiais reais em muitas circunstâncias. Ela fornece resultados que estão de acordo com as
observações experimentais na propagação de ondas de comprimento de onda
extrememamente pequenas.
Por outro lado, um gás perfeito pode ser adequadamente descrito por um contínuo
em certas circuntâncias. Em todo o caso é correto justificar a abordagem do contínuo com
base no número de moléculas em um dado volume. Além do que em um volume infinitesimal
no limite não contém moléclas no seu interior. Também não é necessário inferir que
quantidades que ocorrem na teoria do contínuo devem ser interpretadas como certas médias
estatíticas particulares. Nesta situação considera-se o limite termodinâmico para as médias
estatísticas em torno de 1510 particulas (átomos, moléculas, etc).
De fato, sabe-se que a mesma equação contínua pode ser obtida por diferentes
hipóteses a respeito da estrutura molecular e por definições de variáveis ....... Enquanto que a
teoria estatística molecular, se disponível, não melhora o entendimento da teoria do contínuo.
O ponto a ser pensado é simplesmente que se a teoria do contínuo é justificada em uma dada
situação, isto é, um assunto do teste experimental e não de filosofia. É suficiente dizer que
mais do que cem anos de experiência tem justificado tal teoria em uma larga variedade de
situações.
1. 3 – Conteúdos da Mecânica do Contínuo
A mecância do contínuo estuda a resposta dos materiais a diferentes condições de
carregamento. Sem assunto pode ser dividido em duas partes:
(1) Princípios gerais comuns a todos os meios
(2) Equações constitutivas que definem materiais idealizados.
Os princípios gerais são axiomas considerados serem auto-evidentes a partir de
nossa experiência como o mundo físico, tais como:
- Conservação da Massa
- Balanço do Momentum Linear (Conservação da Quantidade de Movimento)
- Balanço de Momento Angular (Momento de Momentum)
- Balanço da Energia (Conservação Energia)
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- Lei da Inegualdade da Entropia (2ª Lei da Termodinâmica).
Matematicamente existem duas formas dos princípios gerais:
(1) Forma Integral, formulada para um volume finito de matéria no contínuo.
(2) As equações de campo para um volume diferencial de matéria (partícula) em
todo ponto do campo de interesse.
Equações de campo são frequentemente derivadas a partir da forma integral. Elas
podem ser também derivadas diretamente a partir do corpo livre de um volume diferencial.
Esta última abordagem é adequada para iniciantes.
Neste livro-texto as abordagens são apresentadas, com a forma integral dada na
direção do fim do texto. As equações de campo são importantes se as variações das variáveis
no campo são também de interesse por elas mesmas ou são necessárias para se obter as
informações desejadas.
Por outro lado, as formas integrais das leis de conservação ------ elas mesmas .......
prontamente a certas soluções aproximadas.
A segunda maior parte da teoria da mecânica do contínuo e concernente a
“equações constitutivas” as quais são usadas para definir o material idealizado. Materiais
idealizados representam certos aspectos do comportamento dos materiais naturais. Por
exemplo, para muitos materiais sob condições restritas, a deformação causada pela aplicação
de cargas desaparece com a remoção das cargas. Este aspecto do comportamento do material
é representado pela equação constitutiva de um corpo elástco.
Sob condições mais restritas, o estado de tensão em um ponto depende
linearmente das variações dos comprimentos e dos ângulos (mútuos) sofridas pelos elementos
de volume no ponto medido a partir do estado onde as forças externas e internas se
desvanecem. A expressão acima define um sólido linearmente elástico.
Um outro exemplo, é fornecido pela definição clássica de viscosidade a qual é
baseada na superposição que o estado de tensão depende linearmente das taxas instantâneas
de variação dos comprimentos e ângulos mútuos do elemento de volume. Tal equação
constituiva define um fluido linearmente viscoso.
O comportamento mecânico dos materiais reais varia não somente de material
para material para material, mas também com diferentes condições de carregamento para um
dado material. Este leva a formulação de muitas equações constitutivas que definem os muitos
diferentes aspectos do comportamento material.
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Neste texto, nós apresentaremos quatro modelos idealizados e estudaremos o
comportamento que eles representam por meio de algumas soluções de simples problemas de
valor de contorno. Os materiais idealizados escolhidos são:
(1) O sólido elástico linear isotrópico e anisotrópico
(2) O sólido elástico não-linear isotrópico e incompressível
(3) O fluido linearmente viscoso incluindo o fluido não-viscoso e
(4) O fluido não-newtoniano incompressível
Um importante requerimento que deve ser satisfeito para todos as quantidades
usadas na formulação de uma lei física é que elas são coordenadas invariantes. No capítulo
seguinte, nós discutiremos tais quantidades.
Figura - 1. 1.
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Capítulo – II
TENSORES
RESUMO
Neste capítulo será visto a álgebra e o cálculo tensorial. As propriedades
fundamentais dos tensores serão demonstradas preparando o estudante para a sua aplicação na
teoria da elasticidade, na mecânica dos sólidos e na teoria da viscosidade.
2. 1 - Objetivos do capítulo
i) Entender o conceito geral de tensor e suas propriedades.
ii) Saber reconhecer um tensor.
iii) Saber expressar um vetor e/ou um tensor em diferentes sistemas de
coordenadas.
iv) Saber realizar cálculos vetoriais e tensoriais.
2. 2 – Introdução
Como foi mencionado na introdução, todas as leis da mecânica do contínuo deve
ser formulada em termos de quantidades que são independentes das coordenadas. Esta é a
proposta deste capítulo, introduzir tais entidades matemáticas. Nós começaremos pela
introdução de uma notação abreviada e enxuta, a notação indicial. Na parte A deste capítulo,
que será seguida pelo conceito de tensor introduzido como uma transformação linear na parte
B. O campo básico de operações necessárias para fomulações do contínuo são apresentadas na
parte C e suas representações em coordenadas curvilineas na parte D.
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2. 3 - Parte – A: A Notação Indicial
2.A1 – Convenção de Soma e Somatório e os Índices Mudos ou Fictícios
Considere a soma abaixo (que pode ser a forma de um produto escalar de dois
vetores ba. cuja representação em termos das suas componentes ai e xi é respectivamente)
nn xaxaxaxas ...332211 (2A1. 1)
Nós podemos escrever a equação (2A1. 1) de uma forma compacta usando o sinal de
somatório:
3;1
nxasn
iii (2A1. 2)
É obvio que as seguintes equações possuem exatamente o mesmo significado que a Eq.(2A1.
2)
)...,3,2,1(1
njxasn
jjj
(2A1. 3)
e
)...,3,2,1(1
nmxasn
mmm
(2A1. 4)
etc.
O índice i na equação (2A1. 2), ou j na equação (2A1. 3), ou m in equação (2A1.
4) é um índice mudo no senso de que a soma é independente da letra usada.
Nós podemos ainda simplificar a escrita da equação (2A1. 1) se nós adotarmos a
seguinte convenção: Quando acontecer de um índice aparecer repetido uma vez, este é um
índice mudo que indica que a somatório com o índice percorre os valores inteiros de 1,2, ..., n.
Esta convenção é conhecida como convenção de soma de Einstein. Usando a
convenção a equação (2A1. 1) se encurta para a notação
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; 1, 2,3i iíndicesmudosoufictíctios
s a x i (2A1. 5)
Nós também notamos que:
... jjmmii xaxaxa (2A1. 6)
Portanto, na notação indicial de Einstein nós podemos simplesmente escrever:
1
1, 2,3...n
i i i ii índice mudo
s a x s a x i
(2A1. 7)
que pode representado a decomposição de um vetor s com componente ai, decomposto em
termos dos vetores de uma base xi, ou o produto escalar de dois vetores a e x expresso em
termos de suas componentes ai e xi.
Deve-se enfatizar que as expressões tais como aibixi não são definidas dentro desta
convenção. Isto é, um índice nunca deve ser repetido mais do que uma vez, quando a
convenção de soma de Einstein é usada. Portanto, uma expressão da forma:
1
n
i i i i i ii
s a b x a b x
( )forma errada (2A1. 8)
estaria errado e portanto deve-se reter seu sinal de somatório. A forma correta de se escrever
esta soma seria:
1 1 2 2 3 31
1 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
n
i j j i j j ij
s a b x a b x a b x b x b x
a b x b x b x a b x b x b x a b x b x b x
(2A1. 9)
De agora em diante nós devemos sempre tomar n igual a 3 tal que, por exemplo,
332211
332211
332211
eeeei aaaaaaaaa
xaxaxaxaxa
i
mmii
mmii
(2A1. 10)
A convenção de soma de Einstein obviamente pode ser usada para expressar uma dupla
soma, uma soma tripla, etc. Por exemplo, nós podemos escrever:
26
2
3 3
1 13 9
ij i ji j
termos
S a x x
(2A1. 11)
Simplesmente como
ij i jS a x x (2A1. 12)
Expandindo totalmente, a expressão (2A1. 12) da uma soma de nove termos, i.e.,
333323321331
322322221221
311321121111
332211
xxaxxaxxaxxaxxaxxa
xxaxxaxxa
xxaxxaxxaxxa iiiiiijiij
(2A1. 13)
Para iniciantes, este é provavelmente melhor executar a expansão acima em duas
etapas, primeiro, a soma sobre i e então a soma sobre j (ou vice-versa), isto é,
jjjjjjjiij xxaxxaxxaxxa 332211 (2A1. 14)
onde
333323321331
322322221221
311321121111
31132121111
xxaxxaxxaxxaxxaxxa
xxaxxaxxa
xxaxxaxxaxxa jjjij
(2A1. 15)
Similarmente, a soma tripla
3
3 3 3
1 1 1
3 27
ijk i j ki j k
termos
S a x x x
(2A1. 16)
Simplesmente será escrita como
ijk i j kS a x x x (2A1. 17)
A expressão (2A1. 15) representa a soma de 27 termos.
Nós enfatizamos novamente que as expressões tais como jjiii xxxa or
kjiiijk xxxxa não são definidas na convenção de soma de Einstein, logo elas não representam
as seguintes expressões:
27
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1ou
i j kkjiiijk
i jjjiii xxxxaxxxa (2A1. 18)
2A2 - Índices Livres
Considere a seguinte sistema de três equações
3/'2/'
1/'
3332321313
3232221212
3132121111
ipxaxaxaxipxaxaxax
ipxaxaxax (2A2. 1)
Usando a convenção de soma a equação (2A2. 1) pode ser escrita como:
3/'2/'
1/'
33
22
11
ipxaxipxaxipxax
mm
mm
mm
(2A2. 2)
A qual pode ser reduzida para
3,2,1,' ixax mimlivresíndices
i (2A2. 3)
representando um sistema de equações lineares que matricialmente fica:
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
'''
xxx
aaaaaaaaa
xxx
(2A2. 4)
Um índice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equação tal como
o índice i na equação (2A2. 3) é chamado de um “índice livre”. Um índice livre toma valores
sobre números inteiros 1,2 ou 3 um de cada vez. Então a equação é (2A2. 3) é abreviada para
três equações cada uma tendo a soma de três termos sobre seu lado direito (isto é, equação
(2A2. 1))
Um exemplo a mais é dado por
3,2,1,ˆ' ieQe mmii (2A2. 5)
Representando
28
3332231133
3322221122
331221111
ˆˆˆ'ˆˆˆ'
ˆˆˆ'
eQeQeQeeQeQeQe
eQeQeQei
(2A2. 6)
Nós notamos que mjmj xax ' , j = 1,2,3 é o mesmo que a equação (2A2. 3) e
mmjj eQe ˆ'ˆ , j = 1,2,3 é o mesmo que a (2A2. 4). Contudo,
ji ba (2A2. 7)
É uma equação sem significado.
OBS:
O índice livre que aparece em cada termo de uma equação deve ser o mesmo.
Então as seguintes equações são sem significado.
i i ia k c 1, 2,3
0i i j j
i
a b c d
, 1,2,3i j (2A2. 8)
o certo seria
3,2,1 icba iii (2A2. 9)
Se existem dois índices livre que aparecem em uma equação tal que:
3,2,13,2,1 jiAAT jmimij (2A2. 10)
Então a equação é uma ...... escrita de 9 equações; cad uma tem uma soma de 3 termos no lado
direito. De fato,
29
3333323231313333
2333223221312332
1333123211311331
3323322231213223
2323222221212222
1323122211211221
3313221231113113
2313221221112112
1313121211111111
AAAAAAAATAAAAAAAAT
AAAAAAAAT
AAAAAAAATAAAAAAAAT
AAAAAAAAT
AAAAAAAATAAAAAAAAT
AAAAAAAAT
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
(2A2. 11)
Novamente, equações tais como:
ij ikT T (2A2. 12)
Não tem significado
Veja ainda o exemplo correto de equações com dupla somatória
kijkij xaT (2A2. 13)
possui 09 equações.
A notação indicial também aceita a mudança de índices.
lkijklkijkij vvaxaT (2A2. 14)
Para
lkijklmijmij vvaxaT (2A2. 15)
2A3 – Delta de Kröenecker
O delta de Kroenecker, denotado por é definido como:
jisejise
ij 01
(2A3. 1)
Isto é:
30
01
323123211312
332211
(2A3. 2)
Em outras palavras, a matriz do delta de Kröenecker corresponde a matriz identidade, isto é:
100010001
333231
232221
131211
ijij II
(2A2. 16)
onde nós observamos as seguintes propriedades:
(a)
3111332211 ii (2A3. 3)
(corresponde ao traço da matriz identidade)
(b)
)3/()2/(
)1/(
3332321313
3232221212
3132121111
ipaaaaipaaaa
ipaaaa
mm
mm
mm
(2A3. 4)
ou de forma geral:
)3,2,1( iaaa iiiimim (2A3. 5)
que são três possiveis termos:
(c)
mjmmjmmjmmjim TTTT 321 (2A3. 6)
ou
)3/(
)2/(
)1/(
3332321313
3232221212
3132121111
ipTTTT
ipTTTT
ipTTTT
jjjmjm
jjjmjm
jjjmjm
(2A3. 7)
ou ainda de forma geral:
ijmjim TT (2A3. 8)
Matricialmente temos:
31
333231
232221
131211
333231
232221
131211
100010001
TTTTTTTTT
TTTTTTTTT
(2A3. 9)
Particularmente temos outras propriedades:
333322221111
332211
T
T jijijimjim
(2A3. 10)
ou
ijmjim (2A3. 11)
e para o caso
ijnjmnim
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
nmnmnmnmnmnm
nmnmnmnmnmnm
nmnmnmnmnmnmnjmnim
njmnmnjmnmnjmnmnjmnim
....333323331333
323222321232
313121311131
332323231323
322222221222
312121211121
331323132313
321222122212
311121111111
332313
322212
312111
321
(2A3. 12)
32
d) Seja 321 ˆ,ˆ,ˆ eee uma base de vetores unitários perpendiculares um ao outro (base
ortonormal), então o produto escalar:
ijji ee ˆ.ˆ (2A3. 13)
pode ser expresso como:
00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
11.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
313131
212121
111111
eeeeee
eeeeee
eeeeee
(2A3. 14)
e
00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
11.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
323232
222222
121212
eeeeee
eeeeee
eeeeee
(2A3. 15)
e finalmente
11.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
00.1.1)ˆ,ˆcos(.ˆ.ˆˆ.ˆ
333333
232323
131313
eeeeee
eeeeee
eeeeee
(2A3. 16)
2A4 – Símbolo de Permutação ou Tensor de Levi-Civita
O símbolo de permutação, denotado por ijk é definido por:
1 1, 2,30 1,2,3
1 1,2,3ijk
se formam permutação par ou cíclica dese não formamuma permutação dese formam permutação ímpar ou não cíclica de
(2A3. 17)
Este também é conhecido como o tensor de Levi-Civita. Vejamos como fica:
33
123 231 312
132 321 213
111 112 113
221 222 223
331 332 333
121 313 212
232 211 323
122 133 131
311 322 233
11
0000000
com permutação
sem permutacão
(2A3. 18)
Nós notamos que:
jikkjiikjkijjkiijk (2A3. 19)
Podemos observar também o numero de permutações:
1413121110
312
132
231
213
123
(2A3. 20)
Veja que:
1) As permutações pares (0,2,4) ou cíclicas: 123, 231, 123 no sentido horário possui como
resultado o valor +1
2) As permutações ímpares (1,2,3) ou não-cíclicas: 132, 321, 213 no sentido anti-horário
possui como resultado o valor -1
3) As não-permutações pares possui como resultado o valor 0.
conforme mostra a Figura - 2. 1.
Figura - 2. 1.
34
Seja 321 ˆ,ˆ,ˆ eee uma tríade de vetores que formam uma base ortonormal positiva,
onde:
0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆ
ˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆˆˆˆ;ˆˆˆ;ˆˆˆ
332211
231123312
213132321
eeeeee
eeeeeeeeeeeeeeeeee
(2A3. 21)
que pode ser escrito de forma resumida como:
kkijkjkikijkji eeeee ˆˆˆˆˆ (2A3. 22)
Desenvolvemos temos:
0ˆˆ;0ˆˆ;0ˆˆˆ
ˆ0ˆ0ˆ)1(ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ0ˆ0ˆ1
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ0ˆ)1(ˆ0ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ0ˆ1ˆ0
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆ)1(ˆ0ˆ0ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆ1ˆ0ˆ0
ˆˆˆˆˆˆ
332211
1
321
3323232213213223
1
321
3233223212312332
2
321
3133213211311331
2
321
3313231213113113
3
321
3213221212112112
3
321
3123212211211221
eeeeeee
eeeeeeeee
eeee
eeeeeee
eeeeeeeee
eeee
eeeeeee
eeeeeeeee
eeee
eeeeee
kk
kk
kk
kk
kk
kk
(2A3. 23)
conforme mostra a Figura - 2. 2.
35
Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.
Agora, sejam a e b
vetores com representação na base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee dada por:
iiii ebbeeaa ˆˆ (2A3. 24)
Então o que seria o produto vetorial ? ba
kijkjijijijjii ebaeebaebeaba ˆ)ˆˆ()ˆ()ˆ( (2A3. 25)
Isto é:
kijkji ebaba ˆ (2A3. 26)
que possui 27 termos.
As seguintes identidades úteis podem ser provadas (veja o Problema – 2A7)
Identidades Importantes
i)
6pqrpqr (2A3. 27)
ii)
ijpqjpqi 2 (2A3. 28)
iii)
jkiljlikpklpij (2A3. 29)
36
Provando a propriedade (i)
37
2A5 – Manipulações com a Notação Indicial
a) Substituição
Se
mimi bua (2A3. 30)
e
nnmmmi
mi cvb . (2A3. 31)
Então a ordem para substituir os bi’s em (ii) para dentro de (i) é: nós primeiro mudamos o
índice livre em (ii) de i para m, necessariamente, e o índice mudo m para alguma outra letra,
como n por exemplo, tal que:
nmnm cvb . (2A3. 32)
Agora, (i) e (ii) fornece
)( nmnimi cvua (2A3. 33)
Logo
nmnimi cvua (2A3. 34)
Agora (2A3. 34) representa três equações cada uma tendo a soma de nove termos
em seu lado direito.
É errado, por exemplo, simplesmente substituir:
( )i im im ma u v c (2A3. 35)
obtendo
i im im ma u v c (2A3. 36)
b) Multiplicação
Se
mmbap (2A3. 37)
e
38
mmdcq (2A3. 38)
Então
nnmm dcbapq (2A3. 39)
É importante notar que:
mmmm dcbapq (2A3. 40)
De fato, o lado direito desta expressão não é mesmo definido na convenção de
soma e, além disso, é obvio que:
mmmm
m dcbapq
3
1 (2A3. 41)
Desde que o produto de vetores é distribuitivo, portanto, se
iiii ebbeeaa ˆˆ (2A3. 42)
Se em particular, se 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e sào vetores unitários perpendiculares um ao outro, então
ˆ ˆ.i j ije e tal que:
332211
)ˆ.ˆ()ˆ).(ˆ(.
bababababa
baeebaebeaba
jjii
ijjijijijjii
(2A3. 43)
c) Fatoração
Se
0 ijij nnT (2A3. 44)
Então, usando o delta de Kröenecker, nós podemos escrever:
jiji nn (2A3. 45)
Tal que (2A3. 44) usando-se a equivalência (2A3. 45), torna-se:
0 jijjij nnT (2A3. 46)
Então
39
0 jijij nT (2A3. 47)
d) Contração de Índices Livres (índices livres índices mudos)
A operação de identificação de dois índices e tal soma sobre eles é conhecida
como contração. Por exemplo, Tii é a contração de Tij.
332211 TTTTT iiij (2A3. 48)
OBS: só se contrae índices livres.
Se
ijijijT 2 (2A3. 49)
Então
iiiiiiiiT 232 (2A3. 50)
outros exemplos. Se
332211
332211
332211
332211
iiiikkijk
iiiijjijk
jjjijiijk
kkjiikijk
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
(2A3. 51)
ou ainda
);(
);(
),;(
332211
332211
332211
iljkBBBBB
jlikBBBBB
jlkijBBBBB
iiiiiiijjiijkl
iiiiiiijijijkl
iiiiiiiijjijkl
(2A3. 52)
40
2. 4 - Parte – B: Tensores
2B1 – Tensor – Transformação Linear(1)
Seja T uma transformação linear, a qual transforma qualquer vetor em um outro
vetor. Se T transforma a em c e b
em d
nós escrevemos:
ca T e db
T (2B1. 1)
Se T possui as seguintes propriedades lineares:
baba TTT (2B1. 2)
e
aa TT (2B1. 3)
onde a e b
são dois vetores arbitrários e é um escalar arbitrário então T é chamado de
uma Transformação Linear. Este é também chamado de Tensor de Segunda Ordem ou
simplesmente um Tensor. Uma definição alternativa e equivalente de uma transformação
linear é dada por uma única propriedade linear.
baba TTT (2B1. 4)
onde a e b
são dois vetores arbitrários e e são escalares arbitrários.
Figura - 2. 3. Transformação Linear Vetorial de um vetor a em c .
T: tensor de 2ª ordem ou simplesmente tensor
Se dois tensores T e S, transforma qualquer vetor arbitrário a de uma forma
idêntica, então estes tensores são iguais um ao outro, isto é:
1 Linear Inversível (Reversível); Não-linear Não-Inversível (Irreversível)
41
caa ST (2B1. 5)
logo
ST (2B1. 6)
Example 2B1.1
Seja T uma transformação a qual transforma todo vetor em um vetor fixo n . Ë
esta uma transformação tensorial?
Solution
Seja a e b
dois vetores quaisquer, então pela definição de T,
na ˆT , nb ˆ
T (2B1. 7)
e
nba ˆT (2B1. 8)
Claramente vemos que:
baba TTT (2B1. 9)
Portanto, T não é uma transformação linear. Em outras palavras, este não é um tensor
+ Escalares e vetores são algumas vezes chamadas de tensores de ordem zero e
primeira ordem respectivamente. Mesmo pensando que eles podem ser definidos
algebricamente, em termos de certas regras operacionais, nos escolhemos não fazer isto. O
conceito geométrico de escalares e vetores, que nós supomos que os estudantes estão
familiarizados com eles, é igualmente suficiente para a nossa proposta.
42
Exemplo 2B1.2
Seja T uma transformação a qual transforma todo vetor em um vetor que é k vezes
o vetor original. É esta uma transformação tensorial?
Solução
Seja a e b
dois vetores arbitrários e e escalares arbitrários, então por
definição de T, temos:
aka T e bkb
T (2B1. 10)
e
bakba T (2B1. 11)
Claramente vemos que:
bkak
bkak
bakba
T
(2B1. 12)
Logo
baba TTT (2B1. 13)
Então, pela Equação (2B1.2), T é uma transformação linear. Em outras palavras, ele é um
Tensor
No exemplo prévio, se k = 0 então o tensor T transforma todos os vetores em
zero. Este é o tensor zero e é simbolizado por O
.
43
Exemplo 2B1.3
Considere uma transformação T que transforma todo vetor em sua imagem
espelho com respeito a um palno fixo. É T um tensor.
Figura - 2. 4.
Solução
Considere um paralelogramo no espaço com seus lados representados pelos
vetores a e b
e sua diagonal representada pela resultante ba
. Uma vez que o
paralelogramo permanece um paralelogramo após a reflexão, a diagonal (o vetor resultante)
do paralelogramo refletido é claramente )( ba
T , o refletido )( ba
, e bTaT
, a soma
do refletido de a e de b
. Isto é, baba TTT )( . Também, para um escalar qualquer
, a reflexão de a , e obviamente a mesma que vezes a reflexão de a (Isto é,
aa TT )( ) porque ambos os vetores tem a mesma magnitude dada por vezes a
magnitude de a e a mesma direção. Então, pelas Equações (2B1.1) T é um tensor.
Figura - 2. 5.
44
Exemplo 2B1.4
Quando um corpo rígido sofre uma rotação sobre algum eixo, os vetores
descrevem em geral variações em suas direções. Isto é, a rotação transforma vetores descritos
no corpo rígido em outros vetores. Denote esta transformação R. É R um tensor?
Solução
Considere um paralelogramo imerso no corpo rígido com seus lados
representando vetores a e b
e sua diagonal representadndo a resultante ba
. Desde que o
paralelogramo pemanece um paralelogramo após a rotação sobre qualquer eixo, a diagonal (o
vetor resultante) do paralelo rotacionado é claramente ambos )( ba
R , o rotacionado
( ba
), e ba RR , a soma do rotacionado a e o rotacionado b
. Isto é
baba RRR )( . Um argumento similar como aquee usado no exemplo prévio
conduz a )()( aa RR . Então R é um tensor.
Figura - 2. 6.
45
Exemplo 2B1.5
Seja T um tensor que transforma os vetores específicos a e b
de acordo com a
seguinte regra.
baa 2T ; bab
T (2B1. 14)
Dado um vetor bac
2 , ache cT
Solução
baa 2T (2B1. 15)
e
bab
T (2B1. 16)
Usando a propriedade de linearidade dos tensores temos:
babac TTTT 2)2( (2B1. 17)
ou
)()2(2 babac
T (2B1. 18)
logo
babac
3)2(TT (2B1. 19)
46
2B2 – Componentes de um Tensor
Seja uma base ortonormal positivamente orientada de vetores
Figura - 2. 7.
Seja T um tensor
As componentes de um vetor dependem da base de vetores usadas para descrever
as componentes. Isto também será verdade para os tensores. Seja 3,21 ˆ e ˆ,ˆ eee os vetores
unitários da base nas direções dos eixos 321 ,, xxx respectivamente, de um sistema de
coordenadas cartesianas retangulares (base ortonormal). Sob uma transformação T, estes
vetores, 3,21 ˆˆ,ˆ eee tornam-se 1eT , 2eT e 3ˆ eT . Cada um destes )3,2,1(ˆ ieiT sendo um
vetor, pode escrito como:
3332231133
3322221122
3312211111
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
eTeTeTeeTeTeTe
eTeTeTe
TTT
(2B2. 1)
conforme mostra a Figura - 2. 8
Figura - 2. 8.
47
ou em notação indicial temos:
jjii
ii
eTeeTeˆˆ
TT
(2B2. 2)
Multiplicando-se escalarmente a (2B2. 2) por ie é claro que:
333323321331
322322221221
311321121111
;;;;
;;
eeTeeTeeTeeTeeTeeT
eeTeeTeeT
TTTTTT
TTT
(2B2. 3)
São 9 componentes de T na base ie , ou
kiiki
kjjiik
jkjiik
jjikik
Tee
TeeeeTeeeTeee
T
TTT
ˆ
ˆ
(2B2. 4)
Logo de forma geral temos:
jiij eeT T (2B2. 5)
que são as componentes de um tensor.
As componentes ijT nas equações acima são definidas como as componentes do
tensor T. Estas componentes podem ser posta em uma matriz como segue:
333231
232221
131211
321
TTTTTTTTT
T
eee TTT
(2B2. 6)
Este tensor de 2ª ordem possui 32 = 9 elementos. Esta matriz échamada de matriz do tensor T
com relação à série dos vetores da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ou ie abreviamdamente. Nós notamos
que, a forma com que nós temos escolhido para denotar as componentes de transformação dos
vetores da base, os elementos da primeira coluna são as componentes do vetor 1eT , aqueles
48
da segunda coluna são componentes do vetor 2eT , e aqueles da terceira coluna são as
componentes do vetor 3eT .
Exemplo 2B2.1
Obtenha a matriz para o tensor T o qual transforma os vetores da base da seguinte
forma:
3213
3212
3211
ˆ1ˆ3ˆ1ˆ3ˆ0ˆ2ˆ0ˆ1ˆ4
eeeeeeeeeeee
TTT
(2B2. 7)
Solução
Pela equação (2B2. 7) é claro que:
130301124
T (2B2. 8)
Exemplo 2B2.2
Seja T uma transformação linear que transforma todo vetor em sua imagem
espelhada em relação a um plano fixo. Se 1e é normal ao plano de reflexão ( 2e e 3e são
paralelos a este plano). Ache a matriz do tensor T.
Figura - 2. 9.
49
Solução
Uma vez que a normal ao plano de reflexão é transformada em seu negativo e
vetores paralelos ao plano não são alterados, temos:
3213
3212
3211
ˆ1ˆ0ˆ0ˆ0ˆ1ˆ0
ˆ0ˆ0ˆ1
eeeeeeee
eeee
TTT
(2B2. 9)
Pela equação (2B2. 10) é claro que:
ie
T
ˆ100010001
(2B2. 10)
Nós notamos que este é somente uma das inifitas matrizes do tensor T, cada uma
depende de uma escolha particular da base de vetores. Na matriz acima, a esolha de ie é
indicada no canto inferior esquerdo da matriz. Se nós escolhemos 1'e e 2'e estar sobre um
plano perpendicular ao espelho conforme mostra a Figura - 2. 9 e 3'e apontando diretamente
para fora do papel. Então nós temos:
3213
3212
3211
'ˆ1ˆ0ˆ0''ˆ0'ˆ0'ˆ1''ˆ0'ˆ1ˆ0'
eeeeeeeeeeee
TTT
(2B2. 11)
Então, em relação a ie , a matriz do tensor é:
ie
T
'ˆ100001010
(2B2. 12)
Por todo este livro, nós denotaremos a matriz de um tensor T em relação a base ie
por T ou ijT e em relação a base ie'ˆ por 'T ou ijT ' . A última duas matrizes não deve
ser confundida com 'T , o qual representa a matriz do tensor T' com relação a base ie .
50
Exemplo 2B2.3
Seja R correspondente a uma notação positiva de um corpo rígido sobre o eixo x3
por um ângulo . Ache a matriz de R.
Figura - 2. 10.
Solução
A partir da Figura - 2. 10 é claro que:
3213
3212
3211
ˆ1ˆ0ˆ0ˆ0ˆcosˆsen
ˆ0ˆsenˆcos
eeeeeeee
eeee
RRR
(2B2. 13)
Então,
ie
R
ˆ1000cossen0sencos
(2B2. 14)
Figura - 2. 11.
51
2B3 – Componentes de um Vetor Transformado
Dado um vetor a e um tensor T, nós desejamos calcular as componentes de
ab T a partir das componentes de a e das componentes de T. Sejam as componentes de
a em relação a base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee dado por 321 ,, aaa , isto é:
332211 ˆˆˆ eaeaeaa (2B3. 1)
ou na notação indicial de Einstein temos:
iieaa ˆ (2B3. 2)
e
jjebb ˆ
(2B3. 3)
Logo
332211332211 ˆˆˆˆˆˆ eaeaeaeaeaeaab TTTTT
(2B3. 4)
ou
iiii eaeaab ˆˆ TTT
(2B3. 5)
Então
)ˆ.ˆ()ˆ.ˆ()ˆ.ˆ(.ˆ
)ˆ.ˆ()ˆ.ˆ()ˆ.ˆ(.ˆ
)ˆ.ˆ()ˆ.ˆ()ˆ.ˆ(.ˆ
33323213133
32322212122
31321211111
eeaeeaeeabeb
eeaeeaeeabeb
eeaeeaeeabeb
TTT
TTT
TTT
(2B3. 6)
ou
ijiiiiiiii eTaeaeaebb ˆˆ)ˆ(ˆ TT
(2B3. 7)
Pela equação (2B2. 5), nós temos:
3332321313
3232221212
3132121111
aTaTaTbaTaTaTb
aTaTaTb
(2B3. 8)
52
que corresponde a multiplicar escalarmente ambos os membros da equação (2B3. 7) por ke , e
obter:
kiik
jkjiiiki
kijiikiikiikiik
Tab
Tab
eeTaeeaeeaeebeb
ˆ.ˆˆ.ˆˆ).ˆ(ˆ.ˆˆ. TT
(2B3. 9)
ou
jiji aTb (2B3. 10)
Nós podemos escrever as três equações acima na forma de matriz como:
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
aaa
TTTTTTTTT
bbb
(2B3. 11)
ou
jiji aTb
aTb
(2B3. 12)
Nós podemos concisamente derivar a equação (2B3. 8) usando a notação indicial
como segue:
iieaa ˆ (2B3. 13)
nós obtemos:
iiii eaeaa ˆˆ TTT (2B3. 14)
que corresponde a (2B2. 2) portanto
kiik
jkjiiiki
kijiikiikiikiikk
Tab
Tab
eeTaeeaeeaeebebb
ˆ.ˆˆ.ˆˆ).ˆ(ˆ.ˆˆ. TT
(2B3. 15)
A equação (2B3. 15) nada mais é do que a equação (2B3. 8) em notação indicial.
Nós vemos que a equação tensorial ab T , existe uma equação matricial corresponde
53
exatamente da mesma forma, isto é ]][[][ ab T . Esta é a razão pela qual nós adotamos a
convenção de que 3312211111 ˆˆˆ eTeTeTe T , etc. Se nós tivéssemos adotado a convenção
3132121111 ˆˆˆ eTeTeTe T , então nós teríamos obtido ][][][ ab T
T para a equação
tensorial ab T , a qual não seria natural.
Exemplo 2B3.1
Dado um tensor T que transforma a base de vetores como segue:
3213
3212
3211
ˆ2ˆ1ˆ2ˆ1ˆ4ˆ3ˆ4ˆ6ˆ2
eeeeeeeeeeee
TTT
(2B3. 16)
Como este tensor transforma o vetor:
321 ˆ3ˆ2ˆ1 eeea (2B3. 17)
Solução
Usando a equação (2B3. 11) temos:
852
321
214146232
3
2
1
bbb
(2B3. 18)
Ou
321 ˆ8ˆ5ˆ2 eeeb
(2B3. 19)
54
2B4 – Soma de Tensores
Seja T e S dois tensores e a um vetor arbitrário qualquer. A soma de T com S,
denotada por ST , é definida por:
aaa STST , a (2B4. 1)
Pode-se ver facilmente que esta definição ST é realmente um tensor (porque é uma
trnsformação linear).
Para achar as componentes de ST , seja W o tensor soma de T com S ,
STW , a (2B4. 2)
Usando as equações ( ) e ( ), as componentes de W são obtidas ser:
ii
ii
eeeeˆˆˆˆ
STSTW
(2B4. 3)
onde
jiji
jji
ji
jiij
eeee
eeeee
eeW
ˆ.ˆˆ.ˆ
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ST
STST
W
(2B4. 4)
isto é:
ijijij STW (2B4. 5)
Este resultado é devido a propriedade distributiva do operador linear.
Em notação matricial, nós temos que:
][][][ STW (2B4. 6)
55
2B5 – Produto de dois Tensores
Seja T e S dois tensores e a um vetor arbitrário qualquer, então TS e ST, são
definidos ser as transformações (facilmente visto ser tensores)
aa STTS (2B5. 1)
e
aa TSST (2B5. 2)
onde
iieaa ˆ (2B5. 3)
Chamando de TSX , então as componentes de TS são:
jijiij eeeeX ˆ.ˆˆ.ˆ STX (2B5. 4)
isto é:
mjimij
immj
innmmj
minmmj
mnmmji
mimj
mmji
mmji
jijiij
STWTSTS
eeTS
eTSeeeSeSeeSe
eeeeTS
ˆˆ
ˆˆ
ˆ.ˆ.
ˆ.ˆ
ˆ.ˆ
ˆ.ˆˆ.ˆ
TT
T
STTS
(2B5. 5)
isto é:
mjimij STTS (2B5. 6)
Portanto de forma análoga temos:
mjimij TSST (2B5. 7)
De fato a equação a equação ( ) é equivalente a equação matricial
56
]][[][ STTS (2B5. 8)
onde, a equação ( ) é equivalente a equação matricial
]][[][ TSST (2B5. 9)
Os dois produtos de matrizes são em geral diferentes. Então, é claro que em geral o tensor
produto não é comutativo, isto é:
STTS (2B5. 10)
Se T ,S e V são três tensores, então:
aaaa VTSVSTSVTSVT (2B5. 11)
e
aaaa SVTVSTSVTTSV (2B5. 12)
isto é
VTSSVT (2B5. 13)
Fica como exercício provar que:
mjnminij VSTTSV (2B5. 14)
57
Então o produto tensorial é associativo. Isto é, portanto, natural definir as potências positivas
integrais de uma transformação por estes simples produtos, tal que:
n vezes
3
2
...
:
TTTT
TTTT
TTT
n
(2B5. 15)
É a definição da potência de tensores.
Exemplo 2B5.1
(a) Seja R um tensor correspondente a uma rotação de corpo rígido sobre o eixo- 3x para a
direita. Ache a matriz de R.
(b) Seja S um tensor correspondente a uma rotação de corpo-rígido sobre o eixo- 1x , para a
direita. Ache a matriz de S.
(c) Ache a matriz do tensor que corresponde a rotação (a) e então a rotação (b).
(d) Ache a matriz do tensor que corresponde a rotação (b) e então a rotação (a).
(e) Considere um ponto P cujas coordenadas iniciais são (1,1,0). Ache a nova posição deste
ponto depois das rotações da parte (c). Ache também a nova posição deste ponto depois das
rotações da parte (d).
Solução
a) Para o tensor R: (90º/x3)
Para esta rotação a transformaçào dos vetores da base é dada por:
2
2
3
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ
1
1
1
e ee ee e
RRR
(2B5. 16)
tal que:
0 1 01 0 00 0 1
R (2B5. 17)
b) Para o tensor S: (90º/x1)
58
De forma similar ao iem (a) a transformaçào dos vetores da base é dado por:
1
2 3
2
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ
1
1
e ee ee e
SSS
(2B5. 18)
tal que:
1 0 00 0 10 1 0
S (2B5. 19)
c) Uma vez que a aS R SR , a rotação resultante é dada pela simples transformação SR
cujas componentes sào dadas pela matriz:
1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 00 1 0 0 0 1
SR (2B5. 20)
logo
0 1 00 0 11 0 0
SR (2B5. 21)
d) De maneira similar ao item (c) a notação resultante é dada pela simples transformação RS
cujas componentes são dadas pela matriz.
0 1 0 1 0 01 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0
RS (2B5. 22)
logo
0 0 11 0 00 1 0
RS (2B5. 23)
e) Seja r a posição inicial do ponto P. Seja *r e r** a posição rodada de P depois da rotação
da parte (c) e (d) respectivamente. Então
59
0 1 0 1
* 0 0 1 11 0 0 0
r r
SR (2B5. 24)
Logo
1
* 01
r
(2B5. 25)
Isto é:
1 3ˆ ˆ*r e e (2B5. 26)
e
0 0 1 1
** 1 0 0 10 1 0 0
r r
RS (2B5. 27)
Logo
0
** 11
r
(2B5. 28)
Isto é:
2 3ˆ ˆ**r e e (2B5. 29)
Este exemplo ilustra que a ordem das rotações é importante, porque SR RS , ou seja o
produto nào é comutaivo.
60
2B6 – Transposto de um Tensor
Sejam T e TT dois tensores. O transposto de um tensor T, denotado por TT, é
definido ser um tensor que satisfaz a seguinte identidade para todos os vetores a e b
:
. . ,Ta b b a a b T T (2B6. 1)
Pode ser visto facilmente que TT é um tensor.
A partir da definição acima, nós temos que as componentes do tensor TT no
sistema de coordenadas ie é dada por:
ˆ ˆ ˆ ˆ. . Ti j j ie e e eT T (2B6. 2)
Então
Tij ijT T (2B6. 3)
ou matricialmente temos:
TTT T (2B6. 4)
Isto é a matriz de TT é o transposto da matriz de T.
Nós também notamos que pela Equação (2B6. 1) vale a pena observar que:
. . ,TT Ta b b a a b T T
(2B6. 5)
Então
. . ,Ta b b a a b T T (2B6. 6)
Vejamos que:
. . 0TTb a b a T T
(2B6. 7)
ou
0
. 0TTb a a
T T
(2B6. 8)
para 0b
temos que:
61
0TT a a
T T (2B6. 9)
Vejamos que:
0
0TT a
T T
(2B6. 10)
Logo para 0a temos que:
0
0
TT
TT
T T
T T
(2B6. 11)
Portanto,
TT T T (2B6. 12)
Pode-se também ser estabelcido que:
T T TTS S T (2B6. 13)
(veja o problema 2B13) Esta é uma relação que não é trivial.
Sabendo que:
im mjijTS T S TS (2B6. 14)
e
T Tjm mijiij
T T T Tmj im im mj
TS TS T S
T S S T
TS (2B6. 15)
Portanto,
T T TTS S T (2B6. 16)
Isto é, o transposto de um produto dos tensores é igual ao produto dos tensores transpostos na
ordem reversa. Generalizzando temos:
... ... ... ...T T T T T T T TABCD TS Z Z S T D C B A (2B6. 17)
62
2B7 – Produto Diádico de dois Vetores
Sejam dois vetores a e b
quaisquer. O produto diádico de vetores a e b
,
denotado por ab ou a b
é definido ser a transformação na qual transforma um veotr
arbitrário c de acordo com a seguinte regra:
. . , , ,diádico
a b c b c a c b a a b c
(2B7. 1)
Veja que o produto diádico ab é linear, ou seja, agora, para quaisquer
, ,c d e , nós temos, a partir da definição acima que:
( )
.
. .
. .
Linearidade
a b c d a b c d
a b c b d
b c a b d a
a b c d a b c a b d
(2B7. 2)
Portanto, o produo diádico ab é um tensor.
Verificando quais são as componentes do produto diádico ab , temos:
Seja W ab um tensor onde suas componentes são dadas por:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . .ij i j i j i jW e We e a b e e ab e (2B7. 3)
Usando a definição de diádico temos:
ˆ ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ. .
ˆ ˆ. .
ij i j i j
i n n j
i m m n nj
m i m j m im j
i jij
W e ab e e a be
e a b e e
e a e b
a e e b a b
a b a b
(2B7. 4)
Portanto,
63
ij i jW a b (2B7. 5)
Na notação matricial a Equação (2B7. 5) é
1 1 1 1 2 1 3
2 1 2 3 2 1 2 2 2 3
3 3 1 3 2 3 3
a a b a b a bW a b b b a b a b a b
a a b a b a b
(2B7. 6)
Veja que em particular, as componentes do produto diádico dos vetores da base ie , são:
1 1
1 1 0 0ˆ ˆ 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0e e
(2B7. 7)
e
1 2
1 0 1 0ˆ ˆ 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0e e
(2B7. 8)
Então está claro que ualquer tensor T pode ser representado da seguinte forma:
11 1 1 12 1 2 33 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ....Tensores Tensores TensoresUnitários Unitários Unitários
T e e T e e T e e T (2B7. 9)
ou
11 1 1 12 1 2 33 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ....T e e T e e T e e T (2B7. 10)
isto é:
ˆ ˆij i jT e eT (2B7. 11)
Nós notamos que há uma outra notação comumente usada para o produto diádico de ea b e
ab a b (2B7. 12)
Portanto,
ˆ ˆij i jT e e T (2B7. 13)
64
2B8 – Traço de um Tensor
O traço de um tensor produto diádico (díade) ab é definido como:
.tr ab a b (2B8. 1)
Além disso o traço é um operador linear, isto é, satisfaz a seguinte relação:
tr ab cd tr ab tr cd (2B8. 2)
Obs: Todo tensor é um operador linear mas nem todo operador linear é um tensor.
O traço de um tensor é:
11 22 33
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ.
ij i j
ij i j
ij i j
ij ij
ii
tr T tr T e e
T tr e e
T e eT
tr T T T T T
(2B8. 3)
Matricialmente o traço de um tensor e a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
do tensor.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
T T TT T T T
T T T
(2B8. 4)
e
11 22 33tr T T T T (2B8. 5)
É óbvio que:
Ttr T tr T (2B8. 6)
e
Tij jiT T (2B8. 7)
Logo
T Tij iitr T T T (2B8. 8)
65
2B9 –Tensor Identidade e Tensor Inverso
Seja a um vetor qualquer, o tensor identidade (I) é tal que:
,a a a I (2B9. 1)
em particular as componentes de I são dadas por:
ˆ ˆi ie eI (2B9. 2)
onde
ˆ ˆ ˆ ˆ.ij i j i jI e e e e I (2B9. 3)
logo
ij ijI (2B9. 4)
ou
1 0 00 1 00 0 1
I
(2B9. 5)
Matricialmente [I] é a matriz identidade.
É óbvio que:
TI TIT T
(2B9. 6)
e que
a a
a a a
TI T
TI I T T
(2B9. 7)
veja que essa operação é comutativa sempre para qualquer que seja o tensor T.
Dado um tensor T, se existir um tensor S tal que:
ST I (2B9. 8)
então S é o tensor inverso de T
1S T (2B9. 9)
matricialmente
66
S T I (2B9. 10)
onde
1S T (2B9. 11)
S existe desde que o determinante seja diferente de zero:
0T (2B9. 12)
Quando um tensor é inversível, então existe um mapeamento unívoco entre os
vetores a e b
a bT (2B9. 13)
e
1b a T (2B9. 14)
Se 1 T , 0T então
Figura - 2. 12.
Se 1 T , 0T então
Figura - 2. 13.
67
Exercícios
1)
1 1 TT T T I (2B9. 15)
Mas não é tão óbvio que:
2)
1 1 TT T T (2B9. 16)
pois
1 T T I (2B9. 17)
transpondo o produto temos:
1 TT T T I (2B9. 18)
multiplicando os dois lados por 1T T temos:
1 11 TT T T I
T T T T
(2B9. 19)
Logo
11 T T T T (2B9. 20)
3) Provar que:
1 1 1T ST T S (2B9. 21)
68
2B10 – Tensor Ortogonal
Seja a e b
dois vetores quaisquer. Define-se o tensor ortogonal como aquele que
preserva o angulo e os comprimentos dos vetores a e b
Figura - 2. 14.
onde
a Qa e b Qb
(2B10. 1)
Por definição temos que:
. . eQa Qb a b a b (2B10. 2)
transpondo temos:
. . . .Tb Q Q a Qa Qb b a a b (2B10. 3)
e
. .Tb Q Q a a b I (2B10. 4)
logo
TQ Q I (2B10. 5)
e
TT TQ Q I (2B10. 6)
e
TQQ I (2B10. 7)
Mas ainda que:
69
1TQ Q (2B10. 8)
Matricialmente temos:
T TQ Q Q Q I (2B10. 9)
Em notação indicial temos:
Tim mj mi mj ijQ Q Q Q (2B10. 10)
Por outro lado temos:
Tim mj im jm ijQ Q Q Q (2B10. 11)
Portanto,
im mj im jm ijQ Q Q Q (2B10. 12)
e o determinante de Q é:
1Q (2B10. 13)
Veja que:
1T TQ Q Q Q (2B10. 14)
como
TQ Q (2B10. 15)
logo
2 1TQ Q Q (2B10. 16)
Portanto,
11
1
Q rotaçãoQ
Q reflexão especular
(2B10. 17)
70
2B11 – Matriz de Transformação entre dois Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Figura - 2. 15.
1 11 1 21 2 31 3
2 12 1 22 2 32 3
3 13 1 23 2 33 3
ˆ ˆ ˆ ˆ'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ'
ˆ ˆ ˆ ˆ'i i mi m
e Q e Q e Q ee Qe Q e e Q e Q e Q e
e Q e Q e Q e
(2B11. 1)
onde Q é um tensor ortogonal o qual:
im jm mi mj ijQ Q Q Q (2B11. 2)
e
T TQ Q Q Q I (2B11. 3)
ou
T TQQ Q Q I (2B11. 4)
e
ˆ ˆ ˆ ˆ. . 'ij i j i jQ e Qe e e (2B11. 5)
logo
ˆ ˆcos . 'ij i jQ e e (2B11. 6)
É a matriz dos cosenos diretores entre os vetores da base ˆ ˆ^i je e
71
2B12 – Leis de Transformações das Componentes de um Vetor
Seja um vetor a com componentes na base ie
ˆi ia a e (2B12. 1)
na base ie temos:
ˆ' 'i ia a e (2B12. 2)
Onde
ˆ ˆ ˆ' . ' . .i i mi m mi m mi ma a e a Q e Q a e Q a (2B12. 3)
Logo
'i mi ma Q a (2B12. 4)
Matricialmente
1 11 21 31 1
2 12 22 32 2
3 13 23 33 3
'''
a Q Q Q aa Q Q Q aa Q Q Q a
(2B12. 5)
ou
' Ta Q a (2B12. 6)
Transformação inversa:
'i mi ma Q a (2B12. 7)
E
'km
ki i ki mi m kQ a Q Q a a
(2B12. 8)
Logo
'i ij ja Q a (2B12. 9)
Matricialmente
72
1 11 21 31 1
2 12 22 32 2
3 13 23 33 3
'''
a Q Q Q aa Q Q Q aa Q Q Q a
(2B12. 10)
ou
'a Q a (2B12. 11)
73
2B13 – Leis de Transformações das Componentes de um Tensor
Seja T um tensor, com componentes na base ïe e
ˆ ˆ.ij i jT e Te (2B13. 1)
A representação de T em ˆ 'ie :
ˆ ˆ' ' . 'ij i jT e Te (2B13. 2)
Sabendo que:
ˆ ˆ'i mi me Q e (2B13. 3)
temos:
ˆ ˆ' .ˆ ˆ.
ij mi m nj n
mi nj m n
T Q e TQ eQ Q e Te
(2B13. 4)
Logo
'ij mi nj mnT Q Q T (2B13. 5)
Matricialmente temos:
' TT Q T Q (2B13. 6)
Transformação Inversa
'ij mi nj mnT Q Q T (2B13. 7)
Logo
ln
ln
'km
ki lj ij ki lj mi nj mn
km mn kl
Q Q T Q Q Q Q T
T T
(2B13. 8)
Portanto,
'ij im jn mnT Q Q T (2B13. 9)
Matricialmente temos:
' 'T TT Q T Q T Q T Q (2B13. 10)
74
Para algumas componentes
ˆ ˆ' ' . 'ij i jT e Te (2B13. 11)
e
ˆ
ˆ
ˆ ˆ' ' ' .
iï
ij i j
componentesde e nabase e
T e T e (2B13. 12)
75
2B14 –Definição de um tensor pelas Leis de Transformação
Quando as componentes de um vetor ou tensor em relação a ie são conhecidas,
então suas componenetes em ˆ 'ie são unicamente determinadas. Por exemplo:
Sejam a e b
tais que:
' 'i i mi m mi ma b Q a Q b (2B14. 1)
Logo
0mi m mQ a b (2B14. 2)
Mutiplicando ambos os membros por:
0
00
ri mi m m
mn m m
m m
Q Q a b
a ba b
(2B14. 3)
Portanto,
m ma b (2B14. 4)
Logo podemos definir um tensor em termos de sua lei de transformação:
Tensor de Ordem 0 (ou escalar)
' (2B14. 5)
Tensor de Ordem 1 (ou vetor)
'i mi ma Q a (2B14. 6)
Tensor de Ordem 2 (ou matriz)
'ij mi nj mnT Q Q T (2B14. 7)
Tensor de Ordem 3 (ou supermatriz)
'ijk mi nj rk mnrT Q Q Q T (2B14. 8)
Tensor de Ordem 4 (ou hipermatriz)
'ijkl mi nj rk sl mnrsT Q Q Q Q T (2B14. 9)
:
:
76
Tensor de Ordem n (ou Nmatriz)
... ...' ...ijkl mi nj rk sl mnrsT Q Q Q Q T (2B14. 10)
Seja T um tensor de 3ª ordem
2
ˆ
ˆ
a
i
i iTensorde ordemassociadoadireção e
T e T (2B14. 11)
e
ˆ ˆi k imk mT e T e (2B14. 12)
Multiplicando os dois lados por ˆ je temos:
ˆ ˆ ˆ ˆ. .j i k j imk m
imk jm
e T e e T eT
(2B14. 13)
Logo
ˆ ˆ ˆ.ijk j i kT e e e T (2B14. 14)
Concluimos portano que,
Um um Tensor de Ordem n associa a um vetor (tensor de ordem 1) um Tensor de Ordem n-1.
ou ainda
Um um Tensor de Ordem n associa a um tensor de ordem r um Tensor de Ordem n - r.
a) Regra da Adição de Tensores
Seja Tij e Sij são componentes de 2 tensores, então ij ijT S são componentes de
um tensor
'
'' '
ij mi nj mn
ij mi nj mn
ij ij mi nj mn mn
T Q Q TS Q Q S
T S Q Q T S
(2B14. 15)
77
b) Regra da Multiplicação
Por exemplo seja a e b
vetores:
ia e ib (componenetes de a e b
no sistema ie ) e 'ia e 'ib (componenetes de
a e b
no sistema ˆ 'ie )
' 'i j mi m nj n mi nj pk m ma b Q a Q b Q Q Q a b (2B14. 16)
Logo i ia b é um tensor de 2ª ordem
3
' ' 'a
i j k mi m nj n pk n mi nj pk m n p
Tensor de ordem
a a b Q a Q a Q b Q Q Q a a b
(2B14. 17)
Contraindo i j k i i ka a b a a b temos:
1 ( )
' ' '
' ' 'a
i i k mi m ni n pk p
mi ni pk m n p
mn pk m n p
i i k pk n n p
Tensor de ordem vetor
a a b Q a Q a Q bQ Q Q a a b
Q a a ba a b Q a a b
(2B14. 18)
c) Regra do Quociente
Sejam ia os componentes de um vetor e ijT as componentes de um tensor
arbitrário (de 2ª ordem) onde i ij ja T b é válida para qualquer sistema de coordenadas. Então
ib são as componentes de um vetor.
i ij pvetor Tensor vetor
a T b (2B14. 19)
Logo
'i mi ma Q a (2B14. 20)
e
'ij im jn mnT Q Q T (2B14. 21)
Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos:
78
' 'im m im jn mn jQ a Q Q T b (2B14. 22)
A equação i ij ja T b vale para qualquer sistema de coordenadas. Portanto,
' ' 'm mn na T b (2B14. 23)
Substituindo ( ) em ( ) temos:
' ' 'im mn n im jk mn jQ T b Q Q T b (2B14. 24)
Multiplicando os dois lados por ikQ temos:
' ' 'mn km
ik im mn n ik im jn mn jQ Q T b Q Q Q T b
(2B14. 25)
e
' ' 'kn n jn kn jT b Q T b (2B14. 26)
Então
' ' 0kn n jn jT b Q b (2B14. 27)
Para ' 0knT
'n jn jb Q b (2B14. 28)
Que é um tensor de 1ª ordem (vetor)
79
2B15 – Tensor Simétrico e Tensor Antisimétrico
Um tensor T é dito ser simétrico se
TT T (2B15. 1)
Ou
Tij ij jiT T T (2B15. 2)
Matricialmente temos:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
TT T T T T TT T T T T TT T T T T T
T (2B15. 3)
Ou seja
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
T T T T T TT T T T T TT T T T T T
T (2B15. 4)
Um tensor T é dito ser antissimétrico se
T T T (2B15. 5)
Ou
Tij ij jiT T T (2B15. 6)
Matricialmente temos:
12 13 12 13
21 23 21 23
31 32 31 32
0 00 0
0 0
TT T T TT T T TT T T T
T (2B15. 7)
Ou seja
12 13 21 31
21 23 12 32
31 32 13 23
0 00 0
0 0
T T T TT T T TT T T T
T (2B15. 8)
Qualquer tensor T de 2ª ordem pode ser decomposto na soma de um tensor
simétrico com um antissimétrico.
80
S A T T T (2B15. 9)
onde:
2
TS
T TT (2B15. 10)
e
2
TA
T TT (2B15. 11)
onde
2 2
Tij ij ij jiS
ij
T T T TT
(2B15. 12)
Se o próprio tensor T for simétrico temos:
22
ijSij ij
TT T (2B15. 13)
e
2 2
Tij ij ij jiS
ij
T T T TT
(2B15. 14)
Se o próprio tensor T for antissimétrico temos:
22 2
ij ji ijAij ij
T T TT T
(2B15. 15)
Exercício:
Mostre que esta decomposição é única.
81
2B16 – Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico
Seja T um tensor antisimétrico. Define-se o dual de T como:
,Aa t a a T (2B16. 1)
Figura - 2. 16.
Figura - 2. 17.
Componentes do vetor dual:
ˆ ,ˆ
,
A Aljk i j k
kj j k
Akj j ljk l j
Akj ljk l
t a t a e aT a e
T a t a a
T t
(2B16. 2)
então
2
2 2
2il
A A Aijk kj ijk ljk l il l i
Aijk kj ijk jk i
T t t t
T T t
(2B16. 3)
então
2ijk kjA
i
Tt
(2B16. 4)
ou
82
ˆ2ijk kjA
ï
Tt e
(2B16. 5)
Portanto,
1 23
2 31
3 12
A
A
A
t Tt T
t T
(2B16. 6)
83
2B17 – Autovalor e Autovetor de um Tensor
Sendo T um tensor de 2ª ordem
a aT (2B17. 1)
O vetor a é o valor escalar que verificam a igualdade acima são denominados
auto-vetor e auto-valor, respectivamente do tensor T.
Figura - 2. 18.
Qualquer vetor // a a também é auto-vetor.
a a a T T (2B17. 2)
Exemplo:
onde 1 ,a a a I (2B17. 3)
Como determinar os auto-valores e auto-vetores.
Seja n um auto-vetor unitário
ˆ ˆ ˆn n n T I (2B17. 4)
e
ˆ 0n T (2B17. 5)
onde
0ij ij jT (2B17. 6)
ou
84
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
0
0
0
T T T
T T T
T T T
(2B17. 7)
A solução trivial é:
1 2 3 0 (2B17. 8)
para não seja válida só a solução trivial devemos ter:
det 0 T I (2B17. 9)
ou
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
Equação característica doTensor T
T T TT T TT T T
T I
(2B17. 10)
a equação característica do tensor T que fornece os auto-valores .
85
2B18 – Valores Principais e Direções Principais de um Tensor Real Simétrico
Os auto-valores de um tensor simétrico real são também reais. Para tensor
simétrico real existem sempre, pelo menos, 3 auto-vetores também chamados de direções
principais. Os correspondentes auto-valores são chamados valores principais.
Sejam 1n e 2n auto-vetores de 1 e 2 , respectivamente:
1 1 1
2 2 2
ˆ ˆˆ ˆn nn n
TT
(2B18. 1)
Multiplicando uma equação por 1n e a outra por 2n
2 1 1 2 1
1 2 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ ˆ ˆ. .n n n nn n n n
TT
(2B18. 2)
e
1 2 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . .Tn n n n n n n n T T T (2B18. 3)
Fazendo ( ) – ( ):
1 2 1 2ˆ ˆ. 0n n (2B18. 4)
Se 1 2 , então 1 2ˆ ˆn n . Logo as direções principais são mutuamente ortogonais.
Suponha que 1 2ˆ ˆen n são auto-vetores de um mesmo auto-valor.
1 1 1
2 2 2
ˆ ˆˆ ˆn nn n
TT
(2B18. 5)
onde é valido a seguinte combinação linear
1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn n n n n n T T (2B18. 6)
temos:
1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆn n n n T (2B18. 7)
Logo, qualquer combinação linear entre 1 2ˆ ˆen n também um auto-vetor de .
Suponha que 1 e 2 3 e associado a 1 temos o auto-vetor 1n . Pode-se
mostrar que os auto-vetores associados a 2 3ˆ ˆen n estão em um plano 1n .
86
Figura - 2. 19.
Portanto, é possível tomar 1 2 3ˆ ˆ ˆ, en n n mutuamente ortogonais.
Suponha que 1 2 3 os auto-vetores associados a eles são quaisquer
direção.
Portanto, para em tensor simétrico real as direções principais são sempre
mutuamente ortogonais.
87
2B19 – Matriz de Tensor em relação as Direções Principais
Considerando que:
ˆ ˆ.ij i jT n n T (2B19. 1)
satisfazendo
ˆ ˆ.ˆ ˆ.
ˆ ˆ.ij
ij i j
i j j
j i j
j ij
T n nn n
n n
T
(2B19. 2)
onde Tij é uma matriz diagonal
ij iT (2B19. 3)
ou seja
11 1 1 1 1 1 1
12 1 2 1 2 2
13 1 3 1 3 3
22 2 2 2 2 2 2
23 2 3 2 3 3
33 3 3 3 3 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0ˆ ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0
:ˆ ˆ ˆ ˆ. .
T n n n nT n n n nT n n n nT n n n nT n n n n
T n n n n
TTTTT
T
(2B19. 4)
Formando então a seguinte matriz diagonal
1
2
3
0 00 00 0
inT
(2B19. 5)
Seja ˆ 'íe uma base qualquer. Então,
3 11 22 33 1' ; ' , 'T T T (2B19. 6)
Desde que:
1 1 2 3
3 1 2 3
max , ,
min , ,
(2B19. 7)
88
Prova:
Seja
1 2 3
2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ'
1ie n n n
(2B19. 8)
onde
2 2 211 1 1 1 2 3ˆ ˆ' ' . 'T e e T (2B19. 9)
e
2 2 2 2 2 21 1 1 2 3 11
2 2 2 2 2 23 3 1 2 3 11
'
'
T
T
(2B19. 10)
Portanto,
3 11 1'T (2B19. 11)
89
2B20 – Invariantes Escalares de um Tensor
Dada a equação característica:
0ij ijT (2B20. 1)
Esta é uma equação cúbica em que pode ser escrita como:
3 21 2 3 0I I I (2B20. 2)
Observe que os auto-valores são independentes da base ie . Portanto, os coeficientes I1, I2,
I3, são invariantes independentes da base ie utilizada no cálculo, onde
1 iiI T tr T (2B20. 3)
e
22 23 11 1311 122
32 33 31 3321 22
T T T TT TI
T T T TT T
(2B20. 4)
ou
2 22
1 12 2ii jj ij jiI T T T T trT tr T (2B20. 5)
e
3 detI T (2B20. 6)
Representando T na base das direções principais temos:
1
2
3
0 00 00 0
inT
(2B20. 7)
onde
1 1 2 3I (2B20. 8)
e
2 1 2 2 3 1 3I (2B20. 9)
e
90
3 1 2 3I (2B20. 10)
91
2. 5 - Parte – C: Cálculo Tensorial
2C1 – Funções Tensoriais de um Escalar
Seja tTT uma função tensorial de um escalar t (tal como o tempo).
Figura - 2. 20.
1) A derivada de T com respeito a t é definida ser um tensor de segunda ordem dao por:
t
tTttTdtdT
t
0
lim (2C1. 1)
na forma indicial a derivada de cada elemento da matriz é dado por:
dtdT
ttTttT
dtdT
ij
ijij
tij
0lim
(2C1. 2)
As seguintes identidades podem ser facilmente estabelecidas.
2)
dt
STddt
STd
(2C1. 3)
ou
ijijij
ijST
dtd
dtSTd
dtSTd
(2C1. 4)
logo
92
dt
dSdt
dTdt
STddt
STd ijijij
ij
(2C1. 5)
3)
dt
Ttddt
Ttd
(2C1. 6)
ou
dt
Ttddt
Ttddt
Ttd ijij
ij
(2C1. 7)
e
ijijij T
dttd
dtdT
tdt
Ttd
(2C1. 8)
Portanto,
Tdt
tddtdTt
dtTtd
(2C1. 9)
4)
dtTSd
dtTSd
(2C1. 10)
e
mjimij
ijST
dtd
dtTSd
dtTSd
(2C1. 11)
e
dt
dST
dtdS
TSTdtd mj
immj
immjim (2C1. 12)
Portanto,
93
dtdST
dtdSTTS
dtd
(2C1. 13)
5)
dtTad
dtTad
(2C1. 14)
e
jijij
ijaT
dtd
dtTad
dtTad
(2C1. 15)
e
dt
dTa
dtda
TaTdtd ij
jj
ijjij (2C1. 16)
Portanto,
dtadT
dtadTaT
dtd
(2C1. 17)
Para provar a equação (2C1. 17), nós usamos a definição (2C1. 1)
t
tatTttattTaTdtd
t
0
lim (2C1. 18)
Somando e subtraindo o termo ttatT temos:
t
ttatTttatTtatTttattTaTdtd
t
0
lim
(2C1. 19)
e
t
tatTttatTttatTttattTaTdtd
t
0
lim (2C1. 20)
Ou
t
tattatTttatTttTaTdtd
t
0
lim (2C1. 21)
94
Ou
t
tattatTt
ttatTttTaTdtd
tt
00
limlim (2C1. 22)
Então
dtadTa
dtdTaT
dtd
(2C1. 23)
6)
dtTd
dtdT TT
(2C1. 24)
e
dtTd
dtTd
dtdT T
ijTij
ij
T
(2C1. 25)
e
Tij
Tij
dtdT
dtTd
(2C1. 26)
Portanto,
TT
dtdT
dtTd
(2C1. 27)
95
Exemplo 2C1.1
Mostre que em coordenadas cartesianas as componentes de dtdT / isto é,
ijdtdT
são dadas pelas derivadas das componentes
dtdTij
Solução
Sendo ijT dada por:
jiij eeT ˆˆ T (2C1. 28)
Desde que os vetores da base 321 ˆ,ˆ,ˆ eee são fixos temos:
0ˆˆˆ 321
dted
dted
dted (2C1. 29)
Então
ji
ji
jiij edtde
dted
edt
eeddt
dTˆˆ
ˆˆ
ˆˆ TTT (2C1. 30)
Logo
jiij e
dtde
dtdT
ˆˆ T (2C1. 31)
Portanto,
ij
ij
dtdT
dtdT
(2C1. 32)
96
Exemplo 2C1.2
Mostre que para um tensor ortogonal tQ , TQdtdQ
é um tensor antisimétrico.
Solução
Desde que IQQT , nós temos:
0dt
IdQdtdQ
dtdQQ
dtQQd T
TT
(2C1. 33)
Isto é:
TT
QdtdQ
dtdQQ (2C1. 34)
Sendo
TT
dtdQ
dtdQ
(2C1. 35)
(Veja a equação 2C1.2e) Então:
TT
QdtdQ
dtdQQ
(2C1. 36)
Mas
TT
T
QdtdQ
dtdQQ
(2C1. 37)
(Veja a equação 2C1.2e) Portanto,
dtdQQQ
dtdQ TT
T
(2C1. 38)
Ou seja, sendo TQdtdQA / então
AAT (2C1. 39)
97
Exemplo 2C1.3
Uma rotação de um corpo rígido dependente do tempo ao redor de um ponto fixo
pode ser representado por um tensor rotação tR , tal que um vetor posição or
é
transformado por meio da rotação em um vetor ortRtr . Derive a equação:
rdtrd
(2C1. 40)
onde
é o vetor dual do tensor antissimétrico TRdtdR / .
A partir da equação bem conhecida na cinemática do corpo rígido, nós podemos
identificar
com a velocidade angular do corpo.
Solução
A partir de ortRtr temos:
ordtdR
dtrd (2C1. 41)
mas or
pode ser escrito a partir de:
ortRtr (2C1. 42)
como
oI
TT rtRtRtrtR
(2C1. 43)
logo
trtRr To
(2C1. 44)
Substituindo (2C1. 44) em (2C1. 41) temos:
trtRdtdR
dtrd T (2C1. 45)
Mas TRdtdR / é um tensor antissimétrico (veja Exemplo 2C1.2) tal que:
98
rtrRdtdR
dtrd T
(2C1. 46)
onde
é o vetor dual do tensor antissimétrico TRdtdR / .
99
2C.2 – Campo Escalar, Gradiente de uma Função Escalar
Seja um ponto P, localizado por um vetor r a partir de uma origem O de um
sistema de coordenadas, formado pela base de vetores ortogonais, 321 ˆ,ˆ,ˆ eee , conforme mostra
a Figura - 2. 21.
Figura - 2. 21. Função potencial e o seu gradiente.
Seja r uma função de um valor escalar da posição do vetor r
escalarcampovetorescalar
rr : (2C3. 1)
Isto é, para cada posição r , r dá o valor de um escalar, tal como a densidade,
temperatura ou potencial elétrico no ponto. Em outras palavras, r descreve um campo
escalar. Associado com um campo escalar, existe um campo vetorial, chamdo de gradiente de
, o qual é de considerável importância
O gradiente de em um ponto r é definido ser um vetor (denotado por grad, ou
por r ) tal que seu produto com rd fornece a diferença dos valores do escalar em
rdr e r , isto é,
vetorvetorescalar
definido rdrdrrdrd . (2C3. 2)
r : é um vetor dado pela regra do quociente.
chamando de
redrrd ˆ (2C3. 3)
100
onde rddr
Se dr denota a magnitude de rd , e re é um vetor unitário na direção de rd (note
que: drrde /ˆ ), então a equação acima dá para rd na direção re ,
.ˆ.
d r dr
d r dr e
(2C3. 4)
ou
ˆ.
d rdrd r edr
(2C3. 5)
Isto é, a componente de r na direção de e dá a taxa de variação de naquela direção (a
derivada direcional).
Seja uma base ortonormal ie . Em particular, as componentes de r na
direção de 1e é dada por:
1
111
ˆ.na direçãoê
dr edr x
(2C3. 6)
De forma semelhante para as demais direções temos:
2
222
ˆ.na direçãoê
dr edr x
(2C3. 7)
e
3
333
ˆ.na direçãoê
dr edr x
(2C3. 8)
Portanto, as componentes cartesianas de r são:
1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆr e r e r e
(2C3. 9)
isto é:
101
1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ.d r e r e r e e
dr
(2C3. 10)
Do cálculo de variação de funções temos:
1 2 31 2 3
d dx dx dxx x x
(2C3. 11)
Logo, comparando (2C3. 11) com (2C3. 4) vemos que:
1 2 31 2 3d r dx r dx r dx
(2C3. 12)
Portanto, de (2C3. 12) e (2C3. 4), temos que, no sistema de coordenadas
cartesiano o vetor gradiente é dado por:
1 2 31 2 3
ˆ ˆ ˆr e e ex x x
(2C3. 13)
Significado do Vetor Gradiente
O vetor gradiente possui uma interpretação geométrica simples. Por exemplo, se
r descreve um campo de temperatura, então, sobre uma superfície de temperatura
constante (i. e. sobre uma superfície isotérmica), uma constante . Seja r um ponto sobre
esta superfície. Então para toda e qualquer vizinhança do ponto r dr sobre a mesma
superfície isoterma, 0d . Então
. 0d r dr (2C3. 14)
Suponha uma curva onde constante , conforme mostra a Figura - 2. 22.
Figura - 2. 22. Função potencial e o seu gradiente.
102
ˆ. rd r edr
(2C3. 15)
como
ˆne (2C3. 16)
temos:
ˆ ˆ.n rd e edr (2C3. 17)
ou
ˆ ˆcos ,d n rdr (2C3. 18)
Como ˆ ˆ ˆr ne e e
ˆ ˆ ˆ.n nd e e edr (2C3. 19)
logo
1 0
ˆ ˆ ˆ ˆ. .n n nd e e e edr
(2C3. 20)
A derivada direcional é máxima para ˆ ˆcos , 1n r , logo nesta direção teremos:
ddr (2C3. 21)
ou seja, para a direção perpendicular a cte .
Portanto, se
ˆ. 0rd r edr
(2C3. 22)
para uma cte . Então é um vetor perpendicular a superfície no ponto r , ou seja
e (2C3. 23)
e
103
ˆ// e (2C3. 24)
Por outro lado, o produto escalar de .r dr é máximo quando dr está na
mesma direção de . Pois sendo
. 0d dr (2C3. 25)
O vetor aponta na mesma direção de máxima variação de . Logo
ˆ ˆ.d n dr r (2C3. 26)
ou
ˆ ˆ ˆ ˆ. cos ,d dr n r dr n r (2C3. 27)
para ˆ ˆ, 0n r temos d que é o valor máximo que d pode assumir. Logo o
gradiente representa a direção e sentido de máxima variação de d .
cosd dr (2C3. 28)
Em outras palavras, para 0 , o é o maior valor se dr é normal a superfície
constante, e neste caso,
ddr (2C3. 29)
104
Exemplo 2C2.1
Se 1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x , ache o vetor unitário n normal a superfície de uma
constante passando ponto 1 2 3, , 2,1,0P x x x
Solução
Sendo
1 2 31 2 3
ˆ ˆ ˆr e e ex x x
(2C3. 30)
para
1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x (2C3. 31)
Logo
2 1 1 2 3ˆ ˆ ˆ1r x e x e e (2C3. 32)
No ponto 1 2 3, , 2,1,0P x x x temos:
1 2 3ˆ ˆ ˆ1 2 1r e e e (2C3. 33)
Então
1 2 3
2,1,0 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 12,1,0 6
n e e e
(2C3. 34)
105
Exemplo 2C2.2
Se q denota o vetor fluxo de calor (taxa de calor/por área), a lei de condução de
Fourier estabeelce que:
q k (2C3. 35)
Onde é o campo de temperatura e k é a condutividade térmica. Se 2 21 22 x x , ache
em 1,0A e 1/ 2,1/ 2B . Esboçe as curvas de constante (isotermas) e indique os
vetores q nos dois pontos.
Solução
Desde que:
1 2 31 2 3
ˆ ˆ ˆe e ex x x
(2C3. 36)
para
2 21 22 x x (2C3. 37)
temos:
1 1 2 2 3ˆ ˆ ˆ4 4 0x e x e e (2C3. 38)
Portanto,
1 1 2 2 3ˆ ˆ ˆ4 0q k x e x e e (2C3. 39)
No ponto 1,0A temos:
14Aq ke (2C3. 40)
e no ponto 1/ 2,1/ 2B
1 2 3ˆ ˆ ˆ2 2 0Bq k e e e (2C3. 41)
Claramente, as isotermas, mostrada na Figura - 2. 41, são circulos e o fluxo de calor está na
direção do vetor radial voltado para dentro.
106
Figura - 2. 23. Isotermas de um campo escalar.
107
Exemplo 2C2.3
Uma lei de condução de calor mais geral pode ser dada na seguinte forma:
q K (2C3. 42)
onde K é um tensor conhecido como tensor condutividade térmica.
a) Qual é o tensor K que corresponde a lei de Fourier para a condução de calor mencionada
no exemplo anterior?
b) Se é conhecido que K é simétrico, mostre que existem no mínimo três direções nas quais o
fluxo de calor é normal à superfície de temperatura constante.
c) se 1 22 3x x e
2 1 01 2 0
0 0 3K
(2C3. 43)
Solução
a) Claramente vemos que para o exemplo anterior onde K era um escalar (ou pseudo-escalar)
o tensor correspondente pode ser escrito como:
kK I (2C3. 44)
tal que:
q k k I (2C3. 45)
b) Para o tensor K simétrico, nós sabemos da secção 2B.18 que existem no mínimo três
direções principais, 1 2 3ˆ ˆ ˆ, e n n n tal que:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ
n k nn k nn k n
KKK
(2C3. 46)
onde 1 2 3, e k k k são os auto-valores de K . Então, para na direção de 1n temos:
1 1
1 1 1
ˆ
ˆ ˆq n
n k n
K K
K
(2C3. 47)
108
Mas 1n , sendo na mesma direção que , é perpendicular à superfície de constante. Então
1q é normal a superfície de temperatura constante. De forma similar, 2q é norma a superfície
de temperatura constante, etc.
Nós notamos que se 1 2 3, e k k k são todos distintos, as equações indicam que
diferentes condutividades térmicas nas três direções principais.
c) Desde que:
1 22 3x x (2C3. 48)
e
1 2 3ˆ ˆ ˆ2 3 0e e e (2C3. 49)
Nós temos:
2 1 0 2 11 2 0 3 4
0 0 3 0 0q
(2C3. 50)
i. e.
1 2 3ˆ ˆ ˆ1 4 0q e e e (2C3. 51)
o qual está claramente em uma direção diferente da normal
Figura - 2. 24. Isotermas de um campo escalar.
109
2C.3 – Campo Vetorial, Gradiente de um Campo Vetorial
Seja um ponto P, localizado por um vetor r a partir de uma origem O de um
sistema de coordenadas formado pela base de vetores ortogonais 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e , conforme mostra a
Figura - 2. 25.
Figura - 2. 25.
Seja v r uma função vetorial de um valor vetorial r da posição do vetor r ,
descrevendo, por exemplo, o deslocamento ou um campo de velocidades
:vetorvetor campo
vetorial
v r v r
(2C3. 52)
Isto é para cada posição r , v r dá o valor de um vetor, tal como a velocidade, a aceleração,
ou a deformação no ponto, etc. Em outras palavras, v r descreve um campo vetorial.
Associado com o campo vetorial v r , existe um campo tensorial v r , chamado de
gradiente de v r , o qual é de importância considerável.
O gradiente de v (denotado por v ou grad v ) é definido ser o tensor de
segunda ordem no qual, quando operado sobre dr dá a diferença de v em r dr e r . Isto é,
.definido
Tensor vetorvetor
dv r v r dr v r dv r v dv (2C3. 53)
v : é um tensor de 2ª ordem dado pela regra do quociente, e
ˆdr dre (2C3. 54)
onde dr dr . Se dr denota a magnitude de dr e e é um vetor unitário na direção de dr
(note ˆ /e dr dr ), então a equação acima dá para dr na direção e ,
110
ˆ ˆdv vdre dr ve (2C3. 55)
logo
ˆ
dv vdrdv v edr
(2C3. 56)
Portanto, dv é a variação de v na direção de e . Isto é, a componente de v na direção de e
dá a taxa de variação de v naquela direção.
Seja uma base ortonormal ie . Em particular, as componentes de v na direção
1e é dada por:
1
1 111
ˆ
ˆ ˆ.nadireçãoe
dv vv v e na direção edr x
(2C3. 57)
De forma semelhante para as demais direções temos:
2
2 222
ˆ
ˆ ˆ.nadireçãoe
dv vv v e na direção edr x
(2C3. 58)
e
3
3 333
ˆ
ˆ ˆ.nadireçãoe
dv vv v e na direção edr x
(2C3. 59)
De forma geral temos:
ˆ
ˆ.nadireçãoe
dv v edr
(2C3. 60)
Então o tensor de segunda ordem v transforma o vetor unitário e no vetor que descreve a
taxa de variação de v naquela direção. Então as componentes de v em coordenadas
cartesianas são:
1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆv v e v e v e
(2C3. 61)
isto é:
111
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ˆˆ ˆ
ˆ
n
t
v v v edv v e v v v edr
v v v e
(2C3. 62)
Logo as componenetes na diagonal principal da matriz é:
ˆ
ˆ ˆ. ( )
i
i inadireção ie
dv v v e na direção edr x
(2C3. 63)
ou
ˆ .ˆ ˆ ˆ ˆ. . . ii i i iij
i i
e vvv e ve e ex x
(2C3. 64)
e
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
i j j
iji
j i j
i
j ij
i
iij
i
e v ev
x
v e ex
vx
vvx
(2C3. 65)
As componentes fora da diagonal principal da matriz é dada por de forma geral como:
ˆ
ˆ.
j
jnadireção je
dv v v edr x
(2C3. 66)
ou
ˆ .ˆ ˆ ˆ ˆ. . . ii j i iij
j j
e vvv e ve e ex x
(2C3. 67)
e
112
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
i k kij
j
k i j
j
k ik
j
iij
j
e v ev
x
v e ex
vx
vvx
(2C3. 68)
Portanto, a matriz v é dada por:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
v v vx x xv v vvx x xv v vx x x
(2C3. 69)
é o tensor gradiente de um campo vetorial v .
A interpretação geométrica de v será dada posteriormente em conexão com a
cinemática da deformação. O que se pode adiantar é que:
i i
j j
v xx x t
(2C3. 70)
trocando a ordem das derivadas temos:
i i
j j
v xx t x
(2C3. 71)
Como iij
j
xx
é uma “deformação” então
ijiij
j
vx t
(2C3. 72)
ou seja ijv esta relacionado com a taxa de deformação, normal para os elementos da
diagonal principal principal da matriz e tangencial, para os elementos fora da diagonal
principal.
113
Generalizando o gradiente para um campo tensorial temos:
12 1
.Tensor Tensor Vetorde ordem de Tensorn vetor ordem de ordem
n n
dT dr
T (2C3. 73)
114
2C.4 – Divergência de um Campo Vetorial e Divergência de um Campo Tensorial
Seja v r um campo vetorial. A divergência de v r é definida ser um campo
escalar dado pelo traço do gradiente de v . Isto é,
ii
div v tr v
v
(2C4. 1)
com referência a uma base de coordenadas cartesianas retangulares, os elementos da diagonal
de v são, 31 2
1 2 3
, e vv vx x x
, então:
31 2
1 2 3
vv vdiv vx x x
(2C4. 2)
ou
m
m
vdiv vx
(2C4. 3)
Interpretação Física do Divergente
Seja uma partícula de um meio contínuo envolta por um elemento de volume
infinitesimalmente de dimensões, 1 2 3, ,dx dx dx , conforme mostra a
Figura - 2. 26.
Tomando o fluxo, de v na superfície de norma n , definido como:
ˆ.v ndS (2C4. 4)
para cada face (elemento de superfície) do elemento de volume.
115
Figura - 2. 27.
O div v é o fluxo líquido de v pela superfície do paralelepípedo, ou seja, é o
balanço de quanto fluxo saiu e quanto fluxo entrou no elemento de volume, por unidade de
volume, ou seja,
ddiv vdV
(2C4. 5)
ou
ˆ.ddiv v v ndSdV
(2C4. 6)
Portanto, o divergente determina matematicamente qual é a origem do campo
vetorial. Observe o exemplo do campo gravitacional.
Tomando-se o fluxo, , do campo gravitacional, g ao redor de uma massa de
geometria esférica, temos:
Figura - 2. 28.
116
ˆ.g ndS (2C4. 7)
para um campo g constante ao longo de toda a superfície S que envolve a massa M, temos:
ˆ ˆ.g r ndS (2C4. 8)
e
cos
cos
g dS
gS
(2C4. 9)
Sendo 24S r e cos 1 para 0 temos:
24 gr (2C4. 10)
Tomando a derivada do fluxo, , de g em relação ao volume temos:
24d grddV dV
(2C4. 11)
Para o módulo do campo gravitacional dado por 2
Mg Gr
, o fluxo é
4 GM (2C4. 12)
derivando em relação ao volume fornece a densidade de massa que é o divergente do campo
g , ou seja:
. 4 4dMgdV
(2C4. 13)
117
Divergência de um Campo Tensorial
Seja T r um campo tensorial de segunda ordem, A divergência de T é definido
ser um campo vetorial, denotado por divT , tal que para qualquer vetor a , tem-se:
. T T
vetor vetorvetor matriz
escalarescolar escalar
div T a div T a tr T a
(2C4. 14)
Para achar as componentes cartesianas do vetor divT , seja b divT
, então a
partir da (2C4. 14), temos que:
0
ˆ ˆ.
ˆ ˆ
i i i
T Ti i i
b b e div T e
b div T e tr T e
(2C4. 15)
Note que ˆ 0ïe para coordenadas cartesianas, logo
ˆ ˆ0
ˆ
T Ti i mi m
T imi mi m
m
b div T e div T e
Tb div T ex
(2C4. 16)
logo
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆi i i i
i i ii
b div T e T e T eT T Tbx x x
(2C4. 17)
comparando com o div v temos:
32
1 2 3
i mi
m
v v vvbx x x x
(2C4. 18)
Em outras palavras, em um sistema de coordenadas cartesianos as componentes ib
do divT são dadas por:
ˆimi
m
Tdiv ex
T (2C4. 19)
118
Observe que:
Se
iidiv tr T T T (2C4. 20)
Então
. T Tdiv a div T a tr T a T (2C4. 21)
logo
. T Ttr a tr T a tr T a T (2C4. 22)
O gradiente levanta a ordem de um tensor de ordem n para a ordem n+1.
O divergente abaixa a ordem de um tensor de ordem n para a ordem n-1.
119
Exemplo 2C4.1
Se r e a a r mostre que:
.div a div a a (2C4. 23)
Solução
Seja b a , Então i ib a e
i ii
i i i
b adivb ax x x
(2C4. 24)
E
.div b div a a (2C4. 25)
Portanto,
.div a div a a (2C4. 26)
120
Exemplo 2C4.2
Dado r e T r , mostre que
div T T divT (2C4. 27)
Solução
Nós temos, a partir da Equação (2C4. 19) que:
ˆ ˆ ˆij ij
i ij i ij j j
T Tdiv T e T e e
x x x
(2C4. 28)
mas
ˆij ij
T e Tx
(2C4. 29)
e
ˆiji
j
Te divT
x
(2C4. 30)
Portanto, o resultado desejado segue:
div T T divT (2C4. 31)
121
Operador Laplaciano
Seja v um vetor onde v x . Seja a derivada de v em relação as coordenadas
i
j
vvx
(2C4. 32)
Define-se o Laplaciano como:
2
j i
uux x
(2C4. 33)
onde u é escalar, ou seja
u u x (2C4. 34)
e
i
uvx
(2C4. 35)
Fazendo a contração de i com j temos:
2 2 22
2 2 21 2 3i i
u u u uux x x x x
(2C4. 36)
ou seja
2
i i
uux x
(2C4. 37)
122
Algumas Propriedades dos Operadores Diferenciais
i)
.div v div v v grad (2C4. 38)
ii)
. .div u v v rot u u rot v (2C4. 39)
iii)
. .rot u v v grad u u grad v udivv vdivu (2C4. 40)
iv)
. . .grad u v u grad v v grad u u rot v v rot u (2C4. 41)
Lembrando que:
1 2 31 2 3
. ii i
grad v grad v v v vx x x x x
(2C4. 42)
123
2C.5 – Rotacional de um Campo Vetorial
Seja v r um campo vetorial. O rotaional de v é definido ser o campo vetorial
dado por duas vezes o vetor dual da parte anti-simétrica do tensor v . Isto é:
2 Arot v t (2C5. 1)
Onde At
e o dual de Av .
Portanto, rot v é um campo vetorial. Em um sistema de coordenadas
cartesaianas retangulares as componentes i, j do vetor anti-simétrico do tensor v são dadas
por:
31 2 1
2 1 3 1
31 2 2
2 1 3 2
32
3 2
1 102 2
1 102 2
1 1 02 2
A
vv v vx x x x
vv v vvx x x x
vv v vx x x x
(2C5. 2)
ou
1 12 2
A j Tiij
j iTensor antissimétricodo gradiente de v
vvv v vx x
(2C5. 3)
Por definição temos:
2 AAi ijki ij
rot v t v (2C5. 4)
ou
12
12
12
jiijki
j i
jiijk ijk
j i
jijk ijk
k
vvrot vx x
vvx x
vx
(2C5. 5)
Portanto,
124
jijki
k
vrot v
x
(2C5. 6)
Logo
j kijk ijki
k j
v vrot vx x
(2C5. 7)
Então
ˆkijk i
j
vrot v ex
(2C5. 8)
Portanto,
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
1 1ˆ ˆ ˆ22 2
A v vv v v vrot v t e e ex x x x x x
(2C5. 9)
125
Significado Físico do Rotacional de um Campo Vetorial
Considere o movimento de rotação de um corpo rígido no plano.
Figura - 2. 29.
sendo
ˆijk j k iv r x e (2C5. 10)
Logo
klm l mkijk ijki
j j
l mijk klmi
j
mijk klm li
j
xvrot vx x
xrot v
x
xrot v
x
(2C5. 11)
ou
mij jm im jl li
j
ij jm im jl l jmi
xrot vx
rot v
(2C5. 12)
Logo
2 iirot v (2C5. 13)
Portanto,
2rot v (2C5. 14)
126
2. 6 - Parte – D: Coordenadas Curvilineas
2D.1 – Coordenadas Polares
Seja um sistema cartesiano formado pelos eixos 1x e 2x
Figura - 2. 30.
onde
2 21 2r x x (2D1. 1)
e
2
1
arctan xx
(2D1. 2)
Expressando
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆcos senˆ ˆ ˆsen cos
re e ee e e
(2D1. 3)
e
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆsen cos
ˆ ˆ ˆsen cos
r
r
de e edde d e d e
(2D1. 4)
logo
ˆ ˆrde d e (2D1. 5)
analogamente
127
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆcos sen rde e e ed
(2D1. 6)
e
ˆ ˆrde d e (2D1. 7)
logo
ˆ ˆ ˆr r rr re dr rde dre (2D1. 8)
Finalmente temos:
ˆ ˆrdr rde rd e (2D1. 9)
128
I) Componentes do Gradiente de um Escalar
Seja f um campo escalar
, .f f r df f dr (2D1. 10)
e
ˆ ˆ ˆ ˆ.r rrdf f e f e dr rde rd e
(2D1. 11)
Logo
rdf f dr f rd
(2D1. 12)
Do cálculo temos que:
f fdf dr dr
(2D1. 13)
e
1
r
ffr
ffr
(2D1. 14)
Portanto,
1ˆ ˆrf ff e er r
(2D1. 15)
129
II) Componentes do Gradiente de um Vetor em Coordenadas Polares
Vamos agora calcular as componentes de v coordenadas polares, onde esta é
dado por:
ˆ ˆ, , ,r rv r v r e v r e (2D1. 16)
Pela definição de diferencial de uma função vetorial temos:
dv v dr (2D1. 17)
Veja que o gradiente de um vetor é um tensor:
v T (2D1. 18)
Logo
ˆ ˆˆ ˆ
r
r
dv drdre rd e
dr e rd e
TT
T T
(2D1. 19)
Onde
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
r rr r r
r r
e T e T ee T e T e
TT
(2D1. 20)
Portanto,
ˆ ˆ ˆ ˆrr r r r rdv dr T e T e rd T e T e (2D1. 21)
Ou rearranjando os termos temos:
ˆ ˆrr r r rdv T dr T rd e T dr T rd e (2D1. 22)
Recorrendo ao cálculo de funções temos:
ˆ ˆ ˆ ˆr r r rdv dv e v de dv e v de (2D1. 23)
onde
r rr
v vdv dr drv vdv dr dr
(2D1. 24)
130
Então
ˆ ˆ ˆ ˆr rr r r r
v vv vdv dv dr d e v de dr d e v der r
(2D1. 25)
Como
ˆ ˆˆ ˆ
r
r
de d ede d e
(2D1. 26)
temos:
ˆ ˆr rr r r
v vv vdv dv dr v d e dr v d er r
(2D1. 27)
Coparando (2D1. 22) com (2D1. 27) temos:
1
1
rrr
rr
r
r
vTr
vT vrvTr
vT vr
(2D1. 28)
Matricialmente
1
1
r r
r
v v vr r
vv v vr r
(2D1. 29)
131
III) Componentes do Divergente de um Vetor
Observe que o traço da matriz v é o divergente de v , .div v v dado por:
1. rr
vvdiv v v tr v vr r
(2D1. 30)
IV) Componentes do Divergente de um Tensor
Pela definição do
. T TdivT a div T a tr aT (2D1. 31)
Fazendo ˆra e logo teremos:
ˆ ˆT Tr rr
divT div T e tr e T (2D1. 32)
sendo
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
r rr r rT T T
r rr r rT
r rr r r
Te T e T e
T e T e T eT e T e T e
(2D1. 33)
chamando de
ˆ ˆ ˆTr rr r rv T e T e T e
(2D1. 34)
temos:
ˆ ˆr rv v e v e (2D1. 35)
e
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
Tr rr r r
r r
div T e div T e T e
div v e v e divv
(2D1. 36)
e
1ˆT rr r
vvdiv T e vr r
(2D1. 37)
Como,
132
1ˆT rrrr rr
TTdiv T e Tr r
(2D1. 38)
e
1 1 10 0ˆ
1 01 0 1
r r
r
r
v v vr r r
ev v v
rr r
(2D1. 39)
logo
0 0
ˆ 10rer
(2D1. 40)
Portanto,
0 0
ˆ 10rr rT
rr
T Te T
T Tr
(2D1. 41)
e
0 0
ˆ Tr r
e T T Tr r
(2D1. 42)
Portanto,
ˆ Tr
Ttr e Tr (2D1. 43)
Finalmente
1 rrrrrr
TTdiv T Tr r
(2D1. 44)
Analogamente para
1r r rT T T Tdiv Tr r r
(2D1. 45)
133
V) Componentes do Rotacional de um Vetor
E o rotacional de v , obtendo a parte antissimétrica de v temos:
2 Arot v v t (2D1. 46)
é dado por:
10
12
0
r
A T
v vrt v v
vr
(2D1. 47)
Logo
31 ˆrv v vrot v v e
r r r
(2D1. 48)
VI) Exemplo - 1
Seja 1 ˆrv er
este é irrotacional 0rot v
Figura - 2. 31.
VII) Exemplo - 2
Seja ˆrv re este é rotacional 3ˆ2rot v e
Figura - 2. 32.
134
Proposição
Um campo vetorial com rotacional identicamente nulo é um campo gradiente, isto é:
v grad (2D1. 49)
Prova:
Figura - 2. 33.
ˆ. .L S
v dL n rot vdS (2D1. 50)
onde 2 1L , logo
1 1
. . . 0L
v dL v dL v dL
(2D1. 51)
implica que:
1 1
. .v dL v dL
(2D1. 52)
como 1 e 2 são quaisquer então,
1 1
. .u x v dL v dL
(2D1. 53)
Portanto,
1
1 1
01 1
ˆlimx
u x x e u xux x
(2D1. 54)
e
135
1 1 1 1 1
10 10 1
1 1
1 1 1 1 1 1
0 01 1 1
lim lim
x x x x x
x x x
x x
v dx v dx v dxux x x
(2D1. 55)
Pelo Teorema do Valor Médio
1
1 1 2 3 11 1 1 1 10
1 1
, ,lim ,x
v x x x xu x x x x v xx x
(2D1. 56)
Analogamente para 2x e 3x
ii
u v xx
(2D1. 57)
Portanto,
v x u (2D1. 58)
Figura - 2. 34.
Campo não-rotacional – campo conservativo ou campo gradiente (derivadas
exatas, sistemas holonômicos).
Um campo vetorial v é unicamente determinado(2) em uma região regular R se
seus divergente e rotacional são dados sobre todo o volume V de R, e sua componente normal
à superfície de contorno S de R é dado em S.
Figura - 2. 35.
2 A menos de uma constante
136
Tendo .v e v
o campo v é determinado.
Sejam
w rot vu div v
(2D1. 59)
Suponha que existam 1v e 2v que satisfaçam ( ) e ( ) com 1 2v v . Logo para ( )
temos:
1 2 0rot v rot v (2D1. 60)
onde
1 2 0 ,rot v v x (2D1. 61)
logo 1 2, / v v grad
De forma análoga para ( ) temos:
1 2 0div v div v (2D1. 62)
onde
1 2 0 ,div v v x (2D1. 63)
Pelo Teorema de Gauss temos:
1 2 1 2i i iiV S
v v dV n v v dSx
(2D1. 64)
ou seja
0
ii i iV S
iS
dV n dSx x x
n dS
(2D1. 65)
logo
0 , no interior deiS
n dS S R (2D1. 66)
Portanto,
constante (2D1. 67)
137
2D.2 – Coodenadas Cilíndricas
Seja um sistema cartesiano formado pelos eixos 1 2,x x e 3x é transformado em um
sistema de coordenadas cilindricas , ,r z
Figura - 2. 36.
onde
2 21 2r x x (2D2. 1)
e
2
1
arctan xx
(2D2. 2)
Expressando
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆcos senˆ ˆ ˆsen cos
re e ee e e
(2D2. 3)
e
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆsen cos
ˆ ˆ ˆsen cos
r
r
de e edde d e d e
(2D2. 4)
logo
ˆ ˆrde d e (2D2. 5)
analogamente
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆcos sen rde e e ed
(2D2. 6)
e
138
ˆ ˆrde d e (2D2. 7)
logo
ˆ ˆ ˆr r rr re dr rde dre (2D2. 8)
Finalmente
ˆ ˆ ˆr zdr dre rd e dze (2D2. 9)
139
I) Componentes do Gradiente de um Escalar
Seja f um campo escalar
, , .f f r z df f dr (2D2. 10)
e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.r z r zr zdf f e f e f e dr rde rd e dze
(2D2. 11)
logo
r zdf f dr f rd f dz
(2D2. 12)
Do cálculo temos que:
f f fdf dr d dzr z
(2D2. 13)
comparando ( ) e ( )
1
r
z
ffr
ffrffz
(2D2. 14)
Portanto,
1ˆ ˆ ˆr zf f ff e e er r z
(2D2. 15)
140
II) Componentes do Gradiente de um Vetor em Coordenadas Cilíndrincas
Vamos agora calcular as componentes de v coordenadas polares, onde esta é
dado por:
ˆ ˆ, , ,r rv r v r e v r e (2D2. 16)
Pela definição de diferencial de uma função vetorial temos:
dv v dr (2D2. 17)
Veja que o gradiente de um vetor é um tensor:
v T (2D2. 18)
Logo
ˆ ˆˆ ˆ
r
r
dv drdre rd e
dr e rd e
TT
T T
(2D2. 19)
Onde
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
r rr r r
r r
e T e T ee T e T e
TT
(2D2. 20)
Portanto,
ˆ ˆ ˆ ˆrr r r r rdv dr T e T e rd T e T e (2D2. 21)
Ou rearranjando os termos temos:
ˆ ˆrr r r rdv T dr T rd e T dr T rd e (2D2. 22)
Recorrendo ao cálculo de funções temos:
ˆ ˆ ˆ ˆr r r rdv dv e v de dv e v de (2D2. 23)
onde
r rr
v vdv dr drv vdv dr dr
(2D2. 24)
141
Então
ˆ ˆ ˆ ˆr rr r r r
v vv vdv dv dr d e v de dr d e v der r
(2D2. 25)
Como
ˆ ˆˆ ˆ
r
r
de d ede d e
(2D2. 26)
temos:
ˆ ˆr rr r r
v vv vdv dv dr v d e dr v d er r
(2D2. 27)
Coparando (2D1. 22) com (2D1. 27) temos:
1
1
rrr
rr
r
r
vTr
vT vrvTr
vT vr
(2D2. 28)
Matricialmente
1
1
r r
r
v v vr r
vv v vr r
(2D2. 29)
142
III) Componentes do Divergente de um Vetor
Observe que o traço da matriz v é o divergente de v , .div v v dado por:
1. rr
vvdiv v v tr v vr r
(2D2. 30)
143
IV) Componentes do Rotacional de um Vetor
E o rotacional de v , 2 Arot v v t é dado por:
10
12
0
r
A T
v vrt v v
vr
(2D2. 31)
Logo
1 rv v vrot v vr r r
(2D2. 32)
V) Exemplo
144
2D.3 – Coordenadas Esféricas
Seja um sistema cartesiano formado pelos eixos 1 2,x x e 3x é transformado em um
sistema de coordenadas cilindricas , ,r
Figura - 2. 37.
onde
2 21 2r x x (2D3. 1)
e
2
1
arctan xx
(2D3. 2)
Expressando
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆcos senˆ ˆ ˆsen cos
re e ee e e
(2D3. 3)
e
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆsen cos
ˆ ˆ ˆsen cos
r
r
de e edde d e d e
(2D3. 4)
logo
ˆ ˆrde d e (2D3. 5)
analogamente
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆcos sen rde e e ed
(2D3. 6)
e
145
ˆ ˆrde d e (2D3. 7)
logo
ˆ ˆ ˆr r rr re dr rde dre (2D3. 8)
Finalmente
ˆ ˆ ˆrdr dre rd e rsen d e (2D3. 9)
146
I) Componentes do Gradiente de um Escalar
Seja , ,f f r uma função que corresponde a um campo escalar
, , .f f r df f dr (2D3. 10)
e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.r rrdf f e f e f e dr rde rd e rsen d e
(2D3. 11)
logo
rdf f dr f rd f rsen d
(2D3. 12)
Do cálculo temos que:
f f fdf dr d dr
(2D3. 13)
comparando ( ) e ( )
1
1
r
ffr
ffr
ffrsen
(2D3. 14)
Portanto,
1 1ˆ ˆ ˆrf f ff e e er r rsen
(2D3. 15)
para sistemas curvilineas qualquer o livro do Prager apresenta no final do capítulo.
147
II) Componentes do Gradiente de um Vetor em Coordenadas Esféricas
Vamos agora calcular as componentes de v coordenadas polares, onde esta é
dado por:
ˆ ˆ, , ,r rv r v r e v r e (2D3. 16)
Pela definição de diferencial de uma função vetorial temos:
dv v dr (2D3. 17)
Veja que o gradiente de um vetor é um tensor:
v T (2D3. 18)
Logo
ˆ ˆˆ ˆ
r
r
dv drdre rd e
dr e rd e
TT
T T
(2D3. 19)
Onde
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
r rr r r
r r
e T e T ee T e T e
TT
(2D3. 20)
Portanto,
ˆ ˆ ˆ ˆrr r r r rdv dr T e T e rd T e T e (2D3. 21)
Ou rearranjando os termos temos:
ˆ ˆrr r r rdv T dr T rd e T dr T rd e (2D3. 22)
Recorrendo ao cálculo de funções temos:
ˆ ˆ ˆ ˆr r r rdv dv e v de dv e v de (2D3. 23)
onde
r rr
v vdv dr drv vdv dr dr
(2D3. 24)
148
Então
ˆ ˆ ˆ ˆr rr r r r
v vv vdv dv dr d e v de dr d e v der r
(2D3. 25)
Como
ˆ ˆˆ ˆ
r
r
de d ede d e
(2D3. 26)
temos:
ˆ ˆr rr r r
v vv vdv dv dr v d e dr v d er r
(2D3. 27)
Coparando (2D1. 22) com (2D1. 27) temos:
1
1
rrr
rr
r
r
vTr
vT vrvTr
vT vr
(2D3. 28)
Matricialmente
1
1
r r
r
v v vr r
vv v vr r
(2D3. 29)
149
III) Componentes do Divergente de um Vetor
Observe que o traço da matriz v é o divergente de v , .div v v dado por:
1. rr
vvdiv v v tr v vr r
(2D3. 30)
150
IV) Componentes do Rotacional de um Vetor
E o rotacional de v , 2 Arot v v t é dado por:
10
12
0
r
A T
v vrt v v
vr
(2D3. 31)
Logo
1 rv v vrot v vr r r
(2D3. 32)
V) Exemplo
151
2. 7 – Teoremas Integrais
Seja V uma região convexa regular do R3 e S é a fronteira de V composta de partes
continuamente suaves.
Figura - 2. 38.
2.8.1 – Teorema de Gauss ( Teorema do Divergente)
Considere a integral sobre V do tensor genérico de ordem N, 1
...
xTijk
...
1
ijk
V
TdV
x
(2. 1)
No prisma tem-se:
* **... ... 2 3ijk ijkT T dx dx (2. 2)
mas
* * * * * * ** **2 3 1 1ˆ ˆ ˆ ˆcos .dx dx dS e n dS n dS n dS (2. 3)
Reescrevendo (2. 2) temos:
* ** * * * ** ** **... ... 2 3 ... 1 ... 1ˆ ˆijk ijk ijk jklT T dx dx T n dS T n dS (2. 4)
Observe que:
**1 *
1
**1**
1
...* ** *... ... 1 ...
1
xxijk
ijk ijk ijk xx
TT T dx T
x
(2. 5)
Substituindo (2. 5) em (2. 4) temos:
152
... * * * ** ** **1 2 3 ... 1 ... 1
1
ˆ ˆijkijk jkl
V
Tdx dx dx T n dS T n dS
x
(2. 6)
Logo
...... 1
1
ijkijk
V S
TdV T n dS
x
(2. 7)
Genericamente para uma direção é qualquer temos:
......
ijkijk i
iV S
TdV T n dS
x
(2. 8)
Observe que ...ijkT é um tensor de ordem qualquer. Portanto,
...ijkT (escalar) Tensor de ordem 0 (2. 9)
e
...ijkT v (vetor) Tensor de ordem 1 (2. 10)
e
...j
ijki
vT
x
(matriz) Tensor de ordem 2 (2. 11)
O Teorema de Gauss vale também para regiões convexas.
153
Casos Especiais Teorema de Gauss
Seja um campo escalar e v um campo vetorial, pelo Teorema de Gauss temos:
i)
ˆV S
grad dV ndS (2. 12)
ii)
ˆ.V S
div vdV v ndS (2. 13)
onde ˆ.S
v ndS é o fluxo de v na fronteira S
iii)
ˆV S
rot vdV v ndS (2. 14)
Versão bi-dimensional do teorema de Gauss
Figura - 2. 39.
......
ijkijk i
iV S
TdV T n dS
x
(2. 15)
1,2 , , , ,... 1, 2i e i j k l
154
Para um campo escalar e um campo vetorial v , pelo Teorema de Gauss temos:
i)
ˆR L
grad dS ndL (2. 16)
ii)
ˆ.R L
div vdS v ndL (2. 17)
onde ˆ.L
v ndL é o fluxo de v na fronteira L
iii)
ˆS L
rot vdS v ndL (2. 18)
155
Cálculo da Circulação de v ao longo de L
3 3j
ij ij i jiS L
vdS n v dL
x
(2. 19)
e
3ˆ.
S L
rot v dS v ndL (2. 20)
156
Teorema de Stokes
Válido para Curva e Superfícies no Espaço 3D
ˆ ˆ. .S L
rot v ndS v ndL (2. 21)
Figura - 2. 40.
157
I) Primeira Identidade de Green
2 .V S V
dV dS grad grad dVn
(2. 22)
Prova:
i i i i i iV V V
dV dV dVx x x x x x
(2. 23)
Pelo teorema de Gauss
ii i i i iS V V
n dS dV dVx x x x x
(2. 24)
e
2. .S V V
n grad dS grad grad dV dV (2. 25)
e
2.S V V
dS grad grad dV dVn
(2. 26)
158
II) Segunda Identidade de Green
Decorre da 1a Identidade de Green aplicado a e e substituindo-as
2 2
V S
dV dSn n (2. 27)
Figura - 2. 41.
159
2. 8 – Exemplos e Aplicações
2.8.1 - Exemplo de Aplicação ao Método dos Elementos Finitos
Seja o seguinte problema dado por:
1 12
2 2
em0
em
u uu u q
n
(2. 28)
Multiplicando por v e integrandoo temos:
2 0V
v udV (2. 29)
temos que:
2 0
i i i i i iV V V
u
u v u uv dV dV v dVx x x x x x
(2. 30)
Pelo Teorema de Gauss
ii i iS V
u v un v dS dVx x x
(2. 31)
e
. .V S
grad v grad udV vgradu ndS (2. 32)
ou
1 2
2.V
ugrad v grad udV v dS vq dSn
(2. 33)
No MEF toma-se / 0v v em 1 . Logo
2
2.V
grad v grad udV vq dS
(2. 34)
160
2.8.1.2 - Exemplo de Aplicação ao Método dos Elementos de Contorno
Figura - 2. 42.
1 12
2 2
em0
em
u uu u q
n
(2. 35)
Onde 1 2S e
2 0 ,0
, 0i
i
xv
x
(2. 36)
Logo
3
1iR
x dV (2. 37)
Aplicando a 2a identidade de Green para u e v temos:
1 2
2 2
V S
v uu v v u dV u v dSn n
(2. 38)
e
1 2 1 2
2 2
V V S S
v uu vdV v udV u dS v dSn n
(2. 39)
Substituindo as condições de contorno temos:
1 2 2 1
1 20iV V
v v u uu x dV v dV u dS u dS v dS v dSn n n n
(2. 40)
Logo
1 2 2 1
1 2iv v uu x u dS u dS vq dS v dSn n n
(2. 41)
161
2. 9 – Exercícios e Problemas
162
Capítulo – III
CINEMÁTICA DO CONTÍNUO
RESUMO
Neste capítulo será visto
3. 1 - Objetivos do capítulo
i) Entender
ii) Descrever o movimento de partículas do contínuo.
3. 2 - Introdução
A cinemática é o estudo do movimento e da deformação sem levar em conta a sua
causa. Nós veremos imediatamente que a consideração de uma deformação finita permite que
sistemas de coordenadas alternativos sejam empregados, notadamente as descrições
associadas às coordenadas espaciais e materiais com os nomes de sistema de Lagrange e Euler
respectvamente.
Embora, nós não tratamos diretamente com efeitos inerciais, as derivadas no
tempo de várias quantidades cinemáticas enriquecem nosso entendimento e também fornecem
as bases para a formulação da expressão do trabalho virtual de equilíbrio, o qual usa a noção
de velocidade virtual e quantidades cinemáticas associadas.
163
3. 3 – O Movimento
A Figura - 3. 1 mostra o movimento geral de um corpo deformável. O corpo é
imaginado como sendo uma montagem de partículas materiais que são rotuladas pelas
coordenadas, X
, com relação à base Cartesiana IE
e suas posições iniciais no tempo 0t .
Geralmente a possição corrente destas partículas são localizadas em um tempo t t , mas as
coordenadas x com relação a um sistema de coordenadas alternativo de base ie . No restante
deste texto as bases IE
e ie serão tomadas serem coincidentes. Contudo, a distinção
notacional entre IE
e ie será mantida de forma a identificar a associação de quantidades com
configurações iniciais ou correntes. O movimento pode ser matematicamemnte descrito por
um mapeamento entre a posição inicial e corrente da partícula como,
( , )x X t (3. 1)
Para um valor fixado de t as equações acima representam um mapeamento entre os corpos
deformado e não deformado. Adicionalmente, para uma partícula fixa, X
, a equação (3. 1)
descreve o movimento ou a trajetória desta partícula como uma função do tempo. Na análise
da deformação finita nenhuma suposição é feita considerando a magnitude de x X .
Realmente o deslocamento pode ser bem da ordem ou mesmo exceder as dimensões iniciais
do corpo como é o caso, por exemplo, no forjamento de metais. Análises de Deformações
Infinitesimais o deslocamento x X é suposto ser pequeno em comparação com as
dimensões do corpo, e as variações geométricas são ignoradas.
Figura - 3. 1
164
3. 4 – Descrição do Movimento de um Meio Contínuo
Na análise da deformação finita uma cuidadosa distinção tem de ser feita entre os
sistemas de coordenadas que podem ser escolhidos para descrever o comportamento do corpo
cujo movimento está sob consideração. Rigorosamente falando, quantidades relevantes, tais
como a densidade, podem ser tratadas em termos de onde o corpo estava antes da deformação
ou onde está ele durante a deformação. O primeiro é chamado de descrição material e o
último é chamado de descrição espacial. Alternativamente estas são frequentemente referidas
como a descrição Lagrangeana e Euleriana respectivamente. Uma descrição material refere-se
ao comportamento de uma partícula material, enquanto que a descrição espacial refere-se a ao
comportamento de uma posição espacial. Portanto, independentemente da descrição
eventualmente empregada, as equações governantes devem obviamente referir a onde o corpo
está e, portanto deve primariamente ser formulada usando uma descrição espacial.
Mecânicos dos Fluidos quase exclusivamente trabalham em termos de uma
descrição espacial porque não é apropriado descrever o comportamento de uma partícula
material em uma situação de fluxo em estado estacionário, por exemplo. Mecânicos dos
Sólidos, por outro lado, geralmente em algum estágio de uma formulação terão que considerar
o comportamento constitutivo da partícula material, a qual envolverá uma descrição material.
Em muitos casos – por exemplo, fluxo de polímeros – onde o comportamento do fluxo
material pode ser dependente do tempo, estas distinções são menos óbvias.
De forma entender a diferença entre uma descrição material e espacial, consider
uma simples quantidade escalar tal como a densidade material :
a) Descrição Material: A variação de sobre o corpo é descrito com relação à coordenada
original (ou inicial) X
usada para rotular uma partícula material em um meio contínuo no
tempo 0t como,
( , )X t
(3. 2)
b) Descrição Espacial: A variação de sobre o corpo é descrito com relação à posição no
espaço, x , correntemente ocupada pela partícula material em um meio contínio no tempo
t t como,
( , )x t (3. 3)
165
Na equação (3. 2) a variação no tempo t implica que a mesma partícula material X
possui
uma densidade, , diferente. Consequentemente o interesse é focado sobre a partícula
material X
. Na equação (3. 3), contudo, a variação no tempo, t implica que uma diferente
densidade, é observada na mesma posição espacial x , agora provavelmente ocupada por
uma partícula diferente. Consequentemente o interesse é focado agora sobre a posição
espacial x .
Frequentemente é necessário transformar grandezas relevantes entre as descrições
materiais e espaciais. Por exemplo, dado uma quantidade escalar, tal como a densidade, uma
descrição material relevante pode ser facilmente obtida a partir de uma descrição espacial
usando a equação de movimento (3. 1) como
( , ) ( ( , ), )X t X t t
(3. 4)
Certas grandezas, não dependem se elas são marialmente ou espacialmente descritas, e são
naturalmente associadas com a configuração corrente ou inicial do corpo. Por exemplo, a
densidade inicial do corpo é uma grandeza material, equanto que a densidade corrente é uma
garndeza intrinsicamente espacial. Portanto, as equações (3. 2) a (3. 4) claramente mostra que
as quantidades espaciais podem, se desejadas, ser expressas em termos das corrdenadas
iniciais.
3.3.1 - Posição de uma partícula
Considere uma partícula em movimento em um meio contínuo cuja posição seja
dada pelas coordenadas espaciais:
)(trr (3. 5)
Figura - 3. 2.
166
Para n partículas, teríamos:
)(:
)()(
22
11
trr
trrtrr
nn
(3. 6)
O que torna imposível a descrição do movimento, pois em um meio contínuo nós temos um
número infinito de partículas, logo para rotular cada partícula usaremos as coordenadas das
posições iniciais das partículas dadas pelas coordenadas materiais:
)( otrX (3. 7)
Logo, a equação cinemática do movimento das partículas, é dada pela
coordenadas espaciais:
),( tXxx
(3. 8)
e a posição inicial é dada por:
XtXxx oo
),( (3. 9)
No sistema de coordenadas cartesianas:
332211 ˆˆˆˆ eXeXeXeXX ii
(3. 10)
onde X1, X2, X3 são chamada de coordenadas materiais
332211 ˆˆˆˆ exexexexx ii
(3. 11)
3.3.1 - Velocidade de uma partícula
A velocidade de uma partícula em um meio contínuo, é definida como:
t
tXxt
tXxttXxtXvt
),(),(,lim),(0
(3. 12)
Vejamos o exemplo:
167
Exemplo 3.1.3:
33
2122
2111
XxtXXXxtXXXx
(3. 13)
Figura - 3. 3.
0),(
),(
),(
33
212
2
211
1
ttXxv
XXt
tXxv
XXt
tXxv
(3. 14)
168
3. 5 – Descrição Material e Descrição Espacial
3.5.1 – Descrição Material ou Lagrangeana:
Esta descrição descreve o movimento pela especificando-o por partícula.
),,,(ˆ),(ˆ321 tXXXtX
(3. 15)
E
),,,(ˆ),(ˆ 321 tXXXvvtXvv (3. 16)
E
),,,(ˆ),(ˆ321 tXXXTTtXTT (3. 17)
Onde
321 ,, XXXX
(3. 18)
São as coordenadas materiais. Esta descrição é chamada de Descrição Lagrangeana ou
descrição de referência.
Figura - 3. 4.
169
3.5.2 – Descrição Espacial ou Euleriana:
Esta descrição descreve o movimento pela especificando-o por localização
espacial.
),,,(~),(~321 tXXXtX
(3. 19)
E
),,,(~),(~321 tXXXvvtXvv
(3. 20)
E
),,,(~),(~321 tXXXTTtXTT (3. 21)
Onde
321 ,, xxxx (3. 22)
São as coordenadas espaciais. Esta descrição é chamada de Descrição Euleriana.
Figura - 3. 5.
170
3. 6 – Derivada Material
É a taxa de variação de uma grandeza qualquer associada a uma partícula.
i) Descrição Material
),,,(ˆ),(ˆ321 tXXXtX
(3. 23)
Onde a derivada para a mesma partícula:
)(0
),(ˆ),(ˆ),(ˆlim
fixoXt
it
tXt
tXttXDt
D
(3. 24)
171
ii) Descrição Espacial
t
ttXxttXXxDt
Dt
)),,(,(ˆ),(,ˆlim
0
(3. 25)
ou por outro lado,
),,,(~),(~321 tXXXtX
(3. 26)
E
dtt
dxx
dxx
dxx
Dfixox
espacialiaçãoi )(
var
33
22
11
~~~~~
(3. 27)
Ou
dtt
dxx
D ii
~~~ (3. 28)
Mas
dtvdxoudtvxd ii (3. 29)
Logo
dtt
dtvx
D ii
~~~ (3. 30)
Portanto,
tv
xDtD
ii
~~~
(3. 31)
Ou
localiação
x
transportemovimentoaodevido
iação
criaçãodetermo
it
vDt
D
var)(
var
~~.~
(3. 32)
172
3. 7 – Aceleração da Partícula em um Meio Contínuo
A aceleração de uma partícula em um meio conínuo é definida como:
),( tXxx
(3. 33)
Com:
),( otXxX
(3. 34)
A velocidade da partícula é dada por:
)(
0
),(),(
),(,lim),(
),(
fixoX
t
ttXxtXv
ttXxttXxtXv
txtXv
(3. 35)
Figura - 3. 6.
A aceleração da partícula é dada por:
( , ) va X tt
(3. 36)
e
173
0
( )
( , )
, ( , )( , ) lim
( , )( , )
t
X fixo
v v va X t
tv X t t v X t
a X tt
v X tv X tt
(3. 37)
i) Na Descrição Espacial:
( )
( , )
( , )i
Variaçãodevidoa posição Variação
Local
x fixo
vdv X t v dx dtt
vdv X t vdx dtt
(3. 38)
Logo
( , )Dv X t vv vDt t
(3. 39)
Válido para a descrição espacial de Euler-Lagrange.
Em coordenadas cartesianas temos:
i i ij
j
Dv v vvDt x t
(3. 40)
174
Exemplo 3.4.1
A velocidade e a aceleração deste corpo são dadas por:
i)
3 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0
v x e x e x e x ex e x e e
(3. 41)
logo
1 2 2 1 3; ; 0v x v x v (3. 42)
ii)
i ii j
j
v vva v v a vt x t
(3. 43)
Escrevendo em coordenadas cartesianas temos:
2
1
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
xv v v x
(3. 44)
e
2 1 1 21 2
1 2
v v v va v vx x t t
(3. 45)
e
1 11 2 1
20
21 1
2 22 1 2
10
22 2
3 0
v va v xx t
a x
v va v xx t
a xa
(3. 46)
Logo
175
21 1 2 2
2
ˆ ˆa x e x e
a x
(3. 47)
176
3. 8 – O Campo de Deslocamento
Seja u o campo de deslocamento conforme mostra a Figura - 3. 7.
Figura - 3. 7.
dado por:
( , ) ( , )u X t x X t X (3. 48)
e
0( , ) ( , ) ( , )u X t x X t x X t (3. 49)
177
3. 9 – Equação Cinemática do Movimento de Corpo Rígido
3.9.1 – Translação (Corpo Rígido)
Seja uma translação de corpo rigido realizada conforme mostra a Figura - 3. 8.
Figura - 3. 8.
( , )
' ' ( ', )
x X u X t
x X u X t
(3. 50)
e
( , )
( )
x X u X t
X c t
(3. 51)
Observação:
O vetor deslocamento ( , )u X t é o mesmo para qualquer ponto do corpo rígido.
Logo ( , ) ( ', )u X t u X t c t
3.9.2 – Rotação em torno de um ponto fixo
Figura - 3. 9.
( , )x X t b R t X b (3. 52)
Onde R t é o tensor ortogonal
178
3.9.3 – Movimento Geral de Corpo Rígido
Figura - 3. 10.
Translação:
' ( )
'
x X f t
b b f t
(3. 53)
Rotação:
( , ) ' '( , ) 'x X t b R t x X t b (3. 54)
Logo
( , )x X t b f t R t X f t b f t
( , )
( , )
x X t R t X b b f t
x X t R t X b c t
(3. 55)
3.9.4 – Exemplo 3.6.2
TRT a a (3. 56)
e TR t R é antissimétrico
Tv RR x c c t
v x c c t
(3. 57)
179
3. 10 – Exemplos e Aplicações
180
3. 11 – Exercícios e Problemas
181
Capítulo – IV
DEFORMAÇÃO NO CONTÍNUO
RESUMO
Neste capítulo será visto
4. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender
4. 2 – Introdução
182
4. 3 – Gradiente de Deformações
Uma quantidade chave na análise de deformações é o gradiente de deformação F ,
o qual está envolvido em todas as equações que relacionam quantidades antes da deformação
com quantidades correspondentes depois (ou durante) a deformação. O tensor gradiente de
deformação permite que as posições relativas de duas partículas vizinhas depois da
deformação sejam descritas em termos de suas relativas posições materiais antes da
deformação; consequentemente, é um tensor central para a descrição da deformação e
portanto do dano.
Figura - 4. 1.
Considere duas partículas materiais 1Q e 2Q na vizinhança de uma partícula
material P ; veja a Figura - 4. 1. As posições 1Q e 2Q relativas a P são dadas pelos vetores
elementares 1dX
e 2dX
como,
11 Q PdX X X
(4. 1)
22 Q PdX X X
(4. 2)
Depois da deformação das partículas materiais 1,P Q e 2Q tem deformado para a corrente
posição espacial dadas pelo mapeamento (3. 1) como,
1 1 2 2, ; , ; ,P P q Q q Qx X t x X t x X t
(4. 3)
E os correspondentes vetores elementares tornam-se
183
1
2
1 1
2 2
, ,
, ,
q P P P
q P P P
dx x x X dX t X t
dx x x X dX t X t
(4. 4)
Definindo o tensor gradiente de deformação F como,
X
F (4. 5)
Então os vetores elementares 1dx e 2dx pode ser obtida em termos de 1dX
e 2dX
como,
1 1dx dX F (4. 6)
2 2dx dX F (4. 7)
Note que F transforma os vetores da configuração inicial ou de referência em vetores da
configuração corrente e é, portanto dito ser um tensor de dois pontos.
OBS -1:
Observe que em muitos livros textos o movimento é expresso como:
( , )x x X t (4. 8)
O qual permite que o gradiente de deformação seja escrito, talvez de uma forma mais clara,
xX
F (4. 9)
Na notação indicial o tensor gradiente de deformação é expresso como,
3
, 1
ˆˆiI i Ii I
F e E
F (4. 10)
e
iiI
I
xFX
(4. 11)
, 1,2,3i I , onde o índice minúsculo refere-se as coordenadas espaciais e correntes, enquanto
que o índice maiúsculo refere-se às coordenadas cartesianas materiais.
184
Confinando a atenção a um simples vetor material elementar dX
, o vetor
correspondente dx na configuração espacial é convenientemente escrita como,
dx dX F
(4. 12)
O inverso de F é,
1 1Xx
F (4. 13)
O qual em notação indicial é,
31
, 1
ˆ ˆII i
ii I
X E ex
F (4. 14)
OBS - 2:
Muita literatura de pesquisa expressa a relação entre as quantidades nas configura
ções material e espacial em termos dos conceitos gerais de empurra para frente e puxa de
volta. Por exemplo, o vetor elementar dx pode ser expresso como o empurra para frente
equivalente do vetor material dX
. Este pode ser expresso em termos da operação,
*dx dX dX F (4. 15)
Inversamente, o vetor material dX
é o puxa de volta equivalente do vetor espacial dx , o qual
é expresso como (3),
1 1*dX dx dX F
(4. 16)
Observe que na equação (4. 15) a nomenclatura * implica que uma operação será
avaliada em diferentes formas por diferentesa operandos .
3 Na literatura 1
* *e sào frequentemente escrito, como ** e respectivamente
185
Exemplo:
12ektXXx (4. 17)
Figura - 4. 2.
i) Partículas incialmente distribuídas ao longo de AO
No instante to:
0,0,1XX
(4. 18)
No instante t:
3131
31
0,)0,0,0(0,0,
XXXXxXXX
(4. 19)
Logo
)0,0,(ˆ0
1
1
XXektXx
(4. 20)
ii) Partículas inicialmente distribuídas ao longo de BC
No instante to:
0,,hXX
(4. 21)
No instante t:
),,(),,(,
,
31331
31
XhhKtXXhhKthXXxhXXX
(4. 22)
Logo
186
2121
123211
12332211
12
ˆˆ)(ˆˆ0ˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ehektXXektXeeheX
ektXeXeXeXektXXx
(4. 23)
Figura - 4. 3.
187
4. 4 – Deformações
Como uma medida geral de deformação, considere a variação no produto escalar
de dois vetores elementares, 1dX
e 2dX
, mostrado na Erro! Fonte de referência não
encontrada. conforme eles se deformam para 1dx e 2dx . Esta variação envolverá ambos o
estiramento (isto é a variação no comprimento) e as variações no ângulo entre os dois vetores.
Invocando a equações (4. 6) e (4. 7), o produto escalar 1 2.dx dx pode ser achado em termos
dos vetores materiais 1dX
e 2dX
como,
1 2 1 2. .dx dx dX dX C (4. 24)
Onde C é o Tensor de Deformação Direito de Cauchy-Green, o qual é dado em termos do
gradiente de deformação F como
TC F F (4. 25)
Note que em (4. 25) o tensor C opera sobre os vetores materiais 1dX
e 2dX
e
consequentemente C é chamado de quantidade tensor material.
Alternativamente o produto escalar material inicial 1 2.dX dX
pode ser obtido em
termos dos vetores espaciais 1dx e 2dx via o Tensor de Finger ou Tensor Esquerdo de
Cauchy b como (4),
11 2 1 2. .dX dX dx dx b (4. 26)
onde b é,
Tb FF (4. 27)
Observe que em (3. 16) 1b opera sobre os vetores espaciais 1dx e 2dx e consequentemente
1b , ou o próprio b ele mesmo, é uma quantidade tensorial espacial.
A variação no produto escalar pode agora ser achada em termos dos vetores 1dX
e 2dX
e o Tensor Lagrangeano ou de Green E como,
4 Em TC F F , F está no lado direito e em Tb FF , F está no lado esquerdo.
188
1 2 1 2 1 21 . . .2
dx dx dX dX dX dX E (4. 28)
Onde o tensor material E é:
12
E C I (4. 29)
Alternativamente, a mesma variação no produto escalar pode ser expressa com refer6encia
aos vetores elementares espaciais 1dx e 2dx e o Tensor de Deformação de Almansi ou
Euleriano e como,
1 2 1 2 1 21 . . .2
dx dx dX dX dx dx e (4. 30)
Onde o tensor espacial e é,
112
e I b (4. 31)
Figura - 4. 4.
189
4. 5 – Deformações Infinitesimais
Considere a Figura - 4. 5
Figura - 4. 5.
onde
( , )x X u X t (4. 32)
e
( , )x dx X dX u X dX t (4. 33)
Substraindo ( ) de ( ) temos:
var
( , ) ( , )iação deu na direção dx
dx dX u X dX t u X t
(4. 34)
logo
( , ) ( , )dx dX u X t dX u X t dX I
(4. 35)
chamando de gradiente de deslocamento ao tensor, u , onde matricialmente temos:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
u u uX X Xu u uuX X Xu u uX X X
(4. 36)
ou
190
iij
j
uuX
(4. 37)
Fazendo
( , )u X t F I (4. 38)
Logo
dx dX F (4. 39)
Tomando o produto escalar:
. . . Tdx dx dX dX dX dX F F F F (4. 40)
Fazendo
ˆ.dx ds n (4. 41)
e
ˆ.dX dS m
(4. 42)
logo
2ˆ ˆ.dx dsds n n ds (4. 43)
que corresponde a:
2
2
.ˆ ˆ. .
ˆ ˆ.
T T
T
dx dx ds
dX dX dSm dSmdS m m
F F F FF F
(4. 44)
Portanto,
2 2 ˆ ˆ. Tds dS m m F F (4. 45)
Se T F F I ( 1T F F tensor orthogonal) então:
2 2ds dS (4. 46)
que corresponde a um movimento de corpo rígido na vizinhança da partícula.
Retornando a
191
( , ) ( , )T u X t u X t F F I I (4. 47)
logo
T TT u u u u F F I (4. 48)
Para pequenas deformações temos:
2T m m m
iji j i
u u uu uX X X
(4. 49)
Logo é possivel desprezá-lo.
2
2TT u u E
F F I I E (4. 50)
Portanto,
2T F F I E (4. 51)
Onde
12
Tu u E (4. 52)
Veja que este tensor é simétrico e é o tensor de deformação infinitesimal.
Em coordenadas cartesianas o tensor de deformação infinitesimal é:
12
j i
i j
u uX X
E (4. 53)
que matricialmente corresponde a:
31 1 2 1
1 2 1 1 3
32 1 2 2
1 2 2 3 2
3 3 31 2
3 1 2 3 3
1 12 2
1 12 2
1 12 2
uu u u uX X X X X
uu u u uEX X X X X
u u uu uX X X X X
(4. 54)
192
4. 6 – Significado Geométrico de E
Seja uma partícula P localizada em oP t e depois em P t qualquer, conforme
mostra Figura - 4. 6
Figura - 4. 6.
Para cada segmento matricial temos:
dx dX F (4. 55)
e
1 2 1 2 2 1
1 2
1 2
1 2 1 1 2
. . .
.
. 2
. 2 .
T
T
dx dx dX dX dX dX
dX dX
dX dX
dx dx dX dX dX
F F F F
F F
I E
E
(4. 56)
a) Elementos da Diagonal Principal
1 2
1 2
ˆ.ˆ
dX dX dSndx dx dsm
(4. 57)
Portanto,
21 2
22 1
.
.
dx dx ds
dX dX dS
(4. 58)
e
2 21 2 ˆ ˆ2 . 2 . 2 nndX dX dS n En dS E E
(4. 59)
Portanto,
193
2 2 22 nnds dS dS E (4. 60)
2 2
22nnds dSE
dS
(4. 61)
Logo
22nn
ds dS ds dS ds dSEdS dS
(4. 62)
porque ds dS .
varição relativa docomprimentonnalongamento ou encurtamentoEcomprimento não deformado
(4. 63)
Fazendo ˆ ˆn e ou ˆ ˆi in e , onde ie é o sistema ortogonal cartesiano temos:
ˆ ˆ.nnE n En (4. 64)
Logo
1 11 1 11
1
ˆ ˆ. ds dSe Ee EdS
(4. 65)
e
2 22 2 22
2
ˆ ˆ. ds dSe Ee EdS
(4. 66)
e
3 33 3 33
3
ˆ ˆ. ds dSe Ee EdS
(4. 67)
Figura - 4. 7.
194
b) Elementos Fóra da Diagonal Principal
1 1
2 2
ˆˆ ˆ
ˆdX dS n
m ndX dS n
(4. 68)
usando a expressão:
1 2 1 2 1 2. . 2 .dx dx dX dX dX EdX (4. 69)
onde
1 1 2 2 ˆ' 'dx ds m e dx ds n (4. 70)
Portanto,
1 2 1 2 1 2ˆ ˆcos ', ' 2 . 2 mnds ds m n dS dS m En dS dS E (4. 71)
e
1 2
1 2
2 cosnnds dsEdS dS
(4. 72)
seja 2 , logo cos sen e para pequenas deformações temos:
sen (4. 73)
Figura - 4. 8.
e ainda
1 2
1 2
1ds dsdS dS
(4. 74)
195
Logo
22nn nnE E (4. 75)
Considerando a base ie temos:
ˆ ˆ2 22ij
i j ij ij ij ije Ee E E
(4. 76)
ij é a distorção no plano ˆ ˆi je e . Iustrando temos:
Figura - 4. 9.
2
1
1
2
dutgdXdutgdX
(4. 77)
Portanto,
1 212
2 1
u uX X
(4. 78)
196
4. 7 – Deformações Principais
Sabemos que E é simétrico de componentes reais. Logo existem 3 direções
principais mutuamente ortogonais.
Sejam 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n vetores unitários nas direções principais.
1
2
3
0 00 00 0
ni
EE E
E
(4. 79)
Matriz formada pelos auto-valores da matriz E geral.
1 2 3, eE E E são chamadas deformações principais. Logo a equação característica.
3 21 2 3 0I I I (4. 80)
onde 1 2 3, eI I I são invariantes dadas por:
1 11 22 33I E E E (4. 81)
e
11 13 22 2311 122
31 33 32 3321 22
E E E EE EI
E E E EE E
(4. 82)
e
3 detI E (4. 83)
Se 1 2 3E E E logo 3 1iiE E E .
197
4. 8 – Dilatação
Seja 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e , uma base de vetores nas direções principais 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n , conforme
mostra a Figura - 4. 10.
Figura - 4. 10.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
ˆdˆdˆd
dX S e
dX S e
dX S e
(4. 84)
O volume inicial:
1 2 3d ddV S dS S (4. 85)
A deformação sofrida por cada elemento:
1 11 1 1 1 1
1
2 22 2 2 2 2
2
3 33 3 3 3 3
3
d: 1d
d: 1d
d: 1d
ds SdX E ds E dSS
ds SdX E ds E dSS
ds SdX E ds E dSS
(4. 86)
A variação do volume
1 2 3 1 2 3d d d ddV s ds s S dS S (4. 87)
Logo,
198
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
1 2 3
d d d d
1 1 1 d d
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
i j
dV s ds s S dS S
E dS E dS E dS S dS S
E E E dS dS dS
E E E dV
E E E E E E E E E E E E dV
E E E E E dV
(4. 88)
Logo
1 2 3 i jdV E E E E E dV (4. 89)
Portanto, a dilatação volumétrica e é dada por:
1 2 3 ii
dVe E E E tr E
dV
E (4. 90)
A dilatação volumétrica - e é portanto, dad por:
iii
i
dV ue tr E divudV X
E (4. 91)
ou
dVe tr divu
dV
E (4. 92)
199
4. 9 – Tensor Rotação Infinitesimal
Seja,
.
.
dx dX u dXdx dX E dX
(4. 93)
onde E é o tensor de deformação infinitesimal (simétrico) e é o tensor de rotação
infinitesimal (anti-simétrico).
Logo existe um vetor dual do tensor antisimétrico da rotação, dado por:
32 1 13 2 21 3ˆ ˆ ˆAt e e e (4. 94)
e
iij
j
uux
(4. 95)
e
3
12 2
ij ji jiij
j i
u u uuX X
(4. 96)
e
Adx dX EdX t dX (4. 97)
Figura - 4. 11.
Se dX
coincide com uma das direções principais de E:
ˆ
ˆ ˆdX dSn
EdX Edsn dSndX
(4. 98)
200
Figura - 4. 12.
201
4. 10 – Taxa de Variação de um Elemento Material
Seja a seguinte variação infinitesimal:
, ,dx x X dX t x X t (4. 99)
conforme mostra a Figura - 4. 13.
Figura - 4. 13.
Tomando a derivada material
, ,D D Ddx x X dX t x X tDt Dt Dt
(4. 100)
Mas
ˆ, , ,D x X dX t v X dX t v x dx tDt
(4. 101)
e
ˆ, , ,D x X t v X t v x tDt
(4. 102)
Portanto,
ˆ ˆ, , ,
, ,
D x X t v X dX t v X tDt
v x dx t v x t
(4. 103)
Logo
ˆX
X
Ddx vdXDt
Ddx vdxDt
(4. 104)
De agora em diante assumiremos apenas a representação espacial de Euler.
202
Ddx vdxDt
(4. 105)
Logo
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
iij
j
v v vx x x
vv v vv vx x x xv v vx x x
(4. 106)
203
4. 11 – Tensor Taxa de Deformação
O tensor taxa de de deformação é definido como:
12
Tv v D (4. 107)
e
12
Tv v W (4. 108)
D é a parte simétrica – tensor taxa de deformação; W é a parte anti-simétrica – tensor de
rotação, onde:
v D W (4. 109)
e
31 1 2 1
1 2 1 3 1
32 1 2 2
1 2 2 3 2
3 3 3 32
1 1 2 3 3
1 12 2
12
1 12 2
vv v v vx x x x x
vv v v vDx x x x x
v v v vvx x x x x
(4. 110)
Ou
12
jiij
j i
vvDx x
(4. 111)
e
31 1 2 1
1 2 1 3 1
32 1 2 2
1 2 2 3 2
3 3 3 32
1 1 2 3 3
1 12 2
12
1 12 2
vv v v vx x x x x
vv v v vWx x x x x
v v v vvx x x x x
(4. 112)
Ou
204
12
jiij
j i
vvWx x
(4. 113)
Significado Geométrico de D e W
Seja
ˆdx dsn (4. 114)
logo
2.dx dx ds (4. 115)
tomando a derivada material
2 . 2Ddx dxDt
Dds ds
Dt (4. 116)
e
. .
.
. .
Ddx dx dx v dxDt
dx dxdx dx dx dx
D + WD W
(4. 117)
Observe que:
. .
.. . 0
Tdx dx dx dxdx dx
dx dx dx dx
W WW
W W
(4. 118)
Portanto,
. .Ddx dx dx dxDt
D (4. 119)
Logo
ˆ ˆ ˆ ˆ.Ddsn dsn dsn dsnDt
D (4. 120)
e
205
2 ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
Dds ds ds n nDtDds ds n nDt
D
D (4. 121)
Na direção 1e :
1 1 11 1 1ˆ ˆ. De e D ds dsDt
D (4. 122)
Taxa de extensão do comprimento por unidade de comprimento na direção 1e
Na direção 2e :
2 2 22 2 2ˆ ˆ. De e D ds dsDt
D (4. 123)
Taxa de extensão do comprimento por unidade de comprimento na direção 2e
Na direção 3e :
3 3 33 3 3ˆ ˆ. De e D ds dsDt
D (4. 124)
Taxa de extensão do comprimento por unidade de comprimento na direção 3e
Para os comprimentos fóra da diagonal da matriz temos:
1 2 1 2 1 2ˆ ˆ. . " cosdx dx ds n ds m ds ds (4. 125)
e
1 2 1 2. cosD Ddx dx ds dsDt Dt
(4. 126)
e
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
. .
cos cos
D Ddx dx dx dxDt Dt
D D Dds ds ds ds ds ds senDt Dt Dt
(4. 127)
Supondo 90 / 2 cos 0o logo
2 1 1 2 1 2.dx v dx dx v dx ds ds (4. 128)
e
206
1 2 1 2 1 2.Tdx v dx dx v dx ds ds (4. 129)
Logo
1 2 1 22
T
D
dx v v dx ds ds
(4. 130)
e
1 2 1 22dx dx ds ds D (4. 131)
e
12 ds 2n dsD 1n ds 2ds (4. 132)
e
ˆ ˆ2n n D (4. 133)
Considerando as direções 1e e 2e temos:
122D (4. 134)
12D é a taxa de decrescimento do angulo entre os segmentos 1dx e 2dx nessas duas direções
Considerando as direções 1e e 3e temos:
132D (4. 135)
13D é a taxa de decrescimento do angulo entre os segmentos 1dx e 2dx nessas duas direções
Considerando as direções 2e e 3e temos:
232D (4. 136)
23D é a taxa de decrescimento do angulo entre os segmentos 1dx e 2dx nessas duas direções
207
4. 12 – Taxa de Variação Volumétrica de um Elemento Material
Considere o segunte elemento de volume infinitesimal em coordenadas
cartesianas, conforme mostra a Figura - 4. 14.
Figura - 4. 14.
1 2 3dV ds ds ds (4. 137)
e
1 2 3D DdV ds ds dsDt Dt
(4. 138)
ou
1 2 3 1 2 3 1 2 3D D D DdV ds ds ds ds ds ds ds ds dsDt Dt Dt Dt
(4. 139)
Logo
11 2 3 1 22 3 1 2 33D dV D ds ds ds D ds ds ds DDt
(4. 140)
que corresponde a:
11 22 33 1 2 3 11 22 33D dV D D D ds ds ds D D D dVDt
(4. 141)
Então:
1ii
D dV D trdV Dt
D (4. 142)
Portanto,
208
31 2
1 2 3
1 vv vD dV trdV Dt x x x
D (4. 143)
ou
1 D dV div vdV Dt
(4. 144)
O div v é a variação material do volume por unidade de volume.
Sendo D simétrico, 3 direções principais mutuamente ortogonais onde ocorrem
as taxas de deformações principais (estiramento), conforme mostra a Figura - 4. 15.
Figura - 4. 15.
209
4. 13 – Tensor de Rotação e Velocidade Angular
W é a componente antisimétrica de v , logo:
vetordual
a a W (4. 145)
onde:
23 1 31 2 12 3ˆ ˆ ˆW e W e W e (4. 146)
e o vetor velocidade angular é dado por:
rot v (4. 147)
logo
D dx vdx dx dxDt
D W (4. 148)
ou
D dx dx w dxDt
D (4. 149)
Figura - 4. 16.
210
4. 14 – Equações de Conservação da Massa
Considere o seguinte elemento de massa infinitesimal, conforme mostra a Figura -
4. 17
Figura - 4. 17.
Onde:
dm dV (4. 150)
e
0D Ddm dVDt Dt
(4. 151)
Derivando o produto temo:
0D D DdV dV dVDt Dt Dt
(4. 152)
Dividindo tudo por dV temos:
1 0D D DdV dVdV Dt Dt dV Dt
(4. 153)
Mas observe que:
1 Ddiv v dVdV Dt
(4. 154)
Logo ( ) fica:
211
0D div vDt
(4. 155)
Esta é a equação da conservação da massa ou equação da continuidade.
0i
i
vDDt x
(4. 156)
Mas
.D vDt t
(4. 157)
Logo substiutindo ( ) em ( ) temos:
. 0div v vt
(4. 158)
Esta é a equação da conservação da massa ou equação da continuidade na Descrição Espacial.
Para um material incompressível temos:
0DDt
(4. 159)
Logo a equação da continuidade fica:
0 ou 0div v div v (4. 160)
212
4. 15 – Condição de Compatibilidade para o Tensor E
Considere a seguinte transformação entre o vetores ,u v e os tensores ,E D ,
conforme esquematiza a Figura - 4. 18.
Figura - 4. 18.
Por exemplo:
211 2 22 33 12 13 23; 0E X E E E E E (4. 161)
onde
2 2111 2 1 1 2 2 3
1
22 1 3
2
,
0 ,
u E X u X X f X XXu u g X XX
(4. 162)
Desde que:
1 2
1 1
0u uX X
(4. 163)
Temos:
2 3 1 31 2
2 1
, ,2 0
f X X g X XX X
X X
(4. 164)
Portanto, funções 2 3 1 3, e ,f X X g X X que satisfaça a relação acima.
213
Teorema de Compatibilidade
Se 1 2 3, ,ijE X X X são funções contínuas e têm derivadas segundas parciais
contínuas em uma região simplesmente conexa, então as condições necessárias e suficientes
para a existência de soluções contínuas para 1 2 3, eu u u são:
2 2 211 22 122 22 1 1 2
2E E EX X X X
(4. 165)
e
2 2233 2322
2 23 2 2 3
2E EEX X X X
(4. 166)
e
2 2233 31112 2
1 3 3 1
2E EEX X X X
(4. 167)
e
223 3111 12
2 3 1 1 2 3
231 2322 12
3 1 2 2 3 1
233 23 3112
1 2 3 3 1 2
E EE EX X X X X X
E EE EX X X X X X
E E EEX X X X X X
(4. 168)
Figura - 4. 19.
214
4. 16 – Condição de Compatibilidade para o Tensor de Deformação
Considere a seguinte transformação entre o vetores ,u v e os tensores ,E D ,
conforme esquematiza a Figura - 4. 20.
12
jiij
j i
vv Dx x
(4. 169)
Figura - 4. 20.
2 2 211 22 12
2 22 1 1 2
2D D Dx x x x
(4. 170)
e
2 2233 2322
2 23 2 2 3
2D DDx x x x
(4. 171)
e
2 2233 3111
2 21 3 3 1
2D DDx x x x
(4. 172)
215
4. 17 – O Gradiente de Deformação
Considere o seguinte deslocamento conforme mostra a Figura - 4. 21.
Figura - 4. 21.
, ,dx x X dX t x X t x dx (4. 173)
Seja x F (gradiente de deformação) onde
dx dX F (4. 174)
e
x X u (4. 175)
e
dx u dX I (4. 176)
onde
u F I (4. 177)
216
4. 18 – Deslocamento de Corpo Rígido
Se F, o tensor de deformação, for ortogonal, conforme mostra a Figura - 4. 22.
Figura - 4. 22.
Então, observe que:
dX FdX
(4. 178)
Logo,
F R (4. 179)
Portanto,
T F F I (4. 180)
e
det 1F (4. 181)
217
4. 19 – Deformação Finita
Considere que F seja simétrica em um determinado instante, em um determinado
ponto.
F U (4. 182)
logo
dx dX U (4. 183)
Portanto, as direções principais 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n mutuamente ortogonais.
No Espaço
Figura - 4. 23.
No Plano
Figura - 4. 24.
218
1 1 1
2 2 2
dX dX
dX dX
U
U
(4. 184)
onde 1 2, são os estiramentos principais. Nesse caso a vizinhança do ponto sofre
estiramento puro. Se
1 1 1
2 2 2
3 3 3
ˆ
ˆ
ˆ
dX dS n
dX dS n
dX dS n
(4. 185)
logo
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
dx dX dS n dS n
dx dX dS n dS n
dx dX dS n dS n
U U
U U
U U
(4. 186)
i) para 1dx temos:
11 1 1 1 1 1
1
ˆ ˆ :dsds n dS n estiramentodS
(4. 187)
principal na direção 1n
ii) para 2dx temos:
22 2 2 2 2 2
2
ˆ ˆ :dsds n dS n estiramentodS
(4. 188)
principal na direção 2n
iii) para 3dx temos:
33 3 3 3 3 3
3
ˆ ˆ :dsds n dS n estiramentodS
(4. 189)
principal na direção 3n
Figura - 4. 25.
219
Exemplo 3.20-2
Figura - 4. 26.
Sejam 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e , direções principais
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
dX dX e dX e dX edx dx e dx e dx e
(4. 190)
onde
1 1 2 2 3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
dx dXdX e dX e dX e
dx e dx e dx edx e dx e dx e
UU
(4. 191)
e
1 1 1
2 2 2
3 3 3
dx dXdx dXdx dX
(4. 192)
Vejamos a interpretação geométrica:
Figura - 4. 27.
220
dx dX dX F R U (4. 193)
onde
direito esquerdo
F R U V R (4. 194)
Figura - 4. 28.
dx dX dX F V R (4. 195)
logo
T T T R F R R U R VR (4. 196)
e
TU R VR (4. 197)
Por outro lado,
T
T T
RU RR VR VRRUR V RR V (4. 198)
e
TV RUR (4. 199)
O comprimento de dx :
2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3dx dx dx dx dx dx (4. 200)
onde
221
2 2 2 2 21 2 3dX dX dX dX
(4. 201)
e
22 2231 2
1 2 3
dxdx dx
(4. 202)
Indica a equação de um elipsóide com eixos coincidentes com as direções
principais de U.
Figura - 4. 29.
222
4. 20 – Teorema da Decomposição Polar
Para cada tensor real F com determinante não nulo (i. e. 1F existe), este pode ser
decomposto no produto de tensor ortogonal com um tensor simétrico.
F RU VR (4. 203)
A decomposição existe e é única;
Seja n um auto-vetor de U, onde:
ˆ ˆn nU (4. 204)
logo
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆn n n
n n n
RU R RF R U R
(4. 205)
Por outro lado,
ˆ ˆ ˆn n n
RU VR FF V R R
(4. 206)
Portanto, nR é auto-vetor de V e é também auto-valor de V. Se n é auto-vetor
de U então nR é o auto-vetor de V.
223
4. 21 – Cálculo do Tensor de Estiramento a partir do Gradiente de Deformação
i)
F RU (4. 207)
logo
2TT T T F F RU RU U R R U U (4. 208)
Portanto,
1/ 2TU F F (4. 209)
ii)
F RU (4. 210)
logo
1 1 FU R UU (4. 211)
Portanto,
1R FU (4. 212)
iii) Se R for
F RU (4. 213)
logo
1 1 1 2 1 1 1
1 1
11 1
T
TT
I U U UU U U U U F F U
F U FU
FU FU
(4. 214)
Portanto,
TI R R (4. 215)
224
iv) Tensor de Estiramento esquerdo V.
Seja
F VR (4. 216)
logo
T T
F VRFR VRR V
(4. 217)
Portanto,
TV FR (4. 218)
por sua vez T TFR RUR , logo
TV RUR (4. 219)
Suponha um tensor U com auto-valor 0 , logo
0dsdS
(4. 220)
225
4. 22 – O Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green
Considere o seguinte tensor dado por:
2C U (4. 221)
C: é o tensor direito de deformação de Cauchy-Green
Observe que se não há deformação isto significa que:
O Tensor de Estiramento Direito é:
U I (4. 222)
Portanto, o Tensor de Cauchy-Green é dado por:
C I (4. 223)
Fica claro que:
TC F F (4. 224)
Vejamos o significado geométrico das componentes de C:
1 1
2 2
dx dX
dx dX
F
F
(4. 225)
Figura - 4. 30.
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
. . .
. .
. .
T
dx dx dX dX dX dX
dX dX dX dX
dx dx dX dX
F F F F
F F C
C
(4. 226)
Fazendo:
ˆ
ˆdx dsn
dX dSn
(4. 227)
E
226
i) Para os elementos da diagonal principal
1 1 1 12
1 1 1 1 12
1 1 1
. .ˆ ˆ.ˆ ˆ.
dx dx dX dXds dS e dS e
dS e e
CCC
(4. 228)
Portanto,
2
11 1 11
1
2
22 2 22
2
2
33 3 33
3
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
dse e CdS
dse e CdS
dse e CdS
C
C
C
(4. 229)
ii) Para os elementos fora da diagonal
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆdX dS e e dx ds n
dX dS e e dx ds n
(4. 230)
e
1 1 1 1. .dx dx dX dX C (4. 231)
Logo
12
1 1 1 1
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
. .ˆ ˆ ˆ ˆcos , .ˆ ˆ ˆ ˆcos , .
C
dx dx dX dXds ds m n dS e dS e
ds ds m n dS dS e e
CC
C
(4. 232)
Portanto,
1 212
1 2
ˆ ˆcos ,ds dsC m ndS dS
(4. 233)
Se 12 ˆ ˆ0 cos , 0C m n não há distorção nas direções ˆ ˆem n
Figura - 4. 31.
227
4. 23 – O Tensor Lagrangeano de Deformação
O Tensor Lagrangeano é definido como:
* 12
E C I (4. 234)
C é o Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green; I é o Tensor Identidade.
Partindo de:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
. .
.
.
.
. .
T
dx dx dX dX dX dX dX dX
dX dX dX dX
dX dX dX dX
dX dX dX dX
dx dx dX dX dX dX
F F
F F
F F
C I
C I
(4. 235)
Portanto,
*1 2 1 2 1 2. .dx dx dX dX dX dX E
(4. 236)
i) Para os elementos da diagonal principal temos:
Seja
1 1 1
1 1 1
ˆˆ
dX dS edx ds e
(4. 237)
Fazendo 1 2dX dX
temos:
2 *1 1 1 1 1
2 2* 1 1
1 1 21
ˆ ˆ2 .
ˆ ˆ2 .
dS dS e dS eds dSe e
dS
E
E (4. 238)
e
2 2* 1 111 2
1
2 ds dSEdS
(4. 239)
e
2 2* 2 222 2
2
2 ds dSEdS
(4. 240)
228
e
2 2* 3 333 2
3
2 ds dSEdS
(4. 241)
Se ds dS temos deformações infinitesimais. Logo
2 21 1 1 1* 1 1
11 2 21 1
2 21 1 1* 1 1
11 2 21 1
2
22
ds dS ds dSds dSEdS dS
dS ds dSds dSEdS dS
(4. 242)
Portanto,
* 1 111
1
ds dSEdS
(4. 243)
Este é o componente do tensor de deformação infinitesimal.
ii) Para os elementos fóra da diagonal principal temos:
Seja
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
ˆ
ˆˆˆ
dX dS e
dX dS edx ds edx ds e
(4. 244)
e
1 2 1 2ˆ ˆ. cos ,ds ds m n dS dS
*1 1 2 2
*1 2 1 1 2 2
*1 2 1 2 1 2
ˆ ˆ2 .
ˆ ˆ ˆ ˆ. cos , 2 .
ˆ ˆ ˆ ˆ. cos , 2 .
dS e dS e
ds ds m n dS e dS e
ds ds m n dS dS e e
E
E
E
(4. 245)
Portanto,
* 1 212
1 2
ˆ ˆ2 cos ,ds dsE m ndS dS
(4. 246)
Tendo em conta que:
229
2 TT
T
C U u u
u u
F F I I
I I (4. 247)
logo
2 T TC U u u u u I (4. 248)
Portanto,
* 1 1 12 2 2
T Tu u u u E C I (4. 249)
Logo
* 1 12 2
ji m nij
j i i j
uu u uEX X X X
(4. 250)
Observe que *ijE é simétrico, logo
* *ij jiE E (4. 251)
De fato, para pequenas deformações (deformações infinitesimais), então
*ij ijE E (4. 252)
230
4. 24 – O Tensor Esquerdo de Deformação de Cauchy-Green
Por definição:
2B V (4. 253)
Desde que:
F VR (4. 254)
Sendo
T FR V (4. 255)
Então
TT T T
T T
FF VR VR V RR V
FF VV (4. 256)
Como V é um tensor simétrico, logo:
2T T FF VV V (4. 257)
Portanto,
TB FF (4. 258)
Observe que sendo u F I temos:
22T B C U (4. 259)
Relação entre B e C
TB RCR (4. 260)
e
TC R BR (4. 261)
Observe que se n é um auto-vetor de C com auto-valor , então: nR é um auto-vetor de B
com mesmo auto-valor.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆTn n n n n C R BR C (4. 262)
se
231
ˆ ˆ ˆT n n n RR BR RC R (4. 263)
Então
ˆ ˆn nB R R (4. 264)
Interpretação Geométrica:
Figura - 4. 32.
i) Para os elementos da diagonal
1
ˆˆ ˆdX dSnn e
R
(4. 265)
logo
2
1 1 1 1 1
21 1 1
21 1 12 21 1 1 12 21 1 1 1
2 21 1
ˆ ˆ. .
ˆ ˆ. .ˆ ˆ.
ˆ ˆ
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
T
T
T
dx dx dX dX dS n n
dx dx dS n nds ds dS n nds dS e eds dS e e
ds dS e e
C
B
F F F F
CC
R CRRCR
B
(4. 266)
Portanto,
21
11 21
dsBdS
(4. 267)
Obtendo portanto os outros elementos da diagonal
22
22 22
dsBdS
(4. 268)
e
23
33 23
dsBdS
(4. 269)
232
ii) Para os elementos fora da diagonal temos:
1 1 1
2 2 2
ˆ
ˆ
T
T
dX dS e
dX dS e
R
R
(4. 270)
e
1 1
2 2
ˆˆ
dx ds mdx ds n
(4. 271)
Logo,
1 1 1 1 2 1 1 2
1 2
ˆ ˆ. . . .
.
Tdx dx ds m ds n dX dX dX dX
dX dX
F F F F
C
(4. 272)
e ainda
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆcos , .
ˆ ˆ.ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
ˆ ˆ.ˆ ˆ. ; :
ˆ ˆ.
T T
T T
T T
T
TT T
T
T T
T
ds ds m n dS e dS e
dS dS e edS dS e e
dS dS e e
dS dS e e
dS dS e edS dS e e simétrico
dS dS e e
B
R C R
R CRR CR
RCR
CR R
RC RRC R C
RCR
(4. 273)
Logo
1 2 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆcos , .ds ds m n dS dS e e B (4. 274)
Portanto,
1 221
1 2
ˆ ˆcos ,ds ds m nB
dS dS (4. 275)
Figura - 4. 33.
233
Em termos do campo de deslocamento,
TT
T
T T
u u
u u
u u u u
B FF I I
I I
I
(4. 276)
Em notação indicial temos:
j ji iij ij
j i m m
u uu uBX X X X
(4. 277)
Observe que:
1 1 12 2 2
j ji iij ij
j i m m
u uu uBX X X X
(4. 278)
Para pequenas deformações infinitesimais temos:
1 12 2
jiij ij ij
j i
uuB EX X
(4. 279)
Este é o tensor de deformação infinitesimal.
234
4. 25 – O Tensor de Deformação de Euler
Por definição:
* 112
e I B (4. 280)
O ponto de partida para se interpretar os elementos de B é:
1 1
1
dx dX
dx dX
dX dx
F
F F F
F
(4. 281)
Vamos verificar como são as componentes de 1F
Figura - 4. 34.
, ,dX X dX X X x dx t X x t
dX Xdx
(4. 282)
Logo
1dX dx F (4. 283)
então,
1iij
jj
i
XXxxX
(4. 284)
Portanto,
1ijij
X F
(4. 285)
Matricialmente
235
1 1 1
1 2 3
1 2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
ij
X X Xx x xX X XFx x xX X Xx x x
(4. 286)
A interpretação geométrica de:
1 1 11 2 1 1
1 11 2 1 2 1 2
. .
. .
T
T
dX dX dx dx
dX dX dx dx dx dx
F F F
FF B
(4. 287)
e
11 2 1 2.dX dX dx dx B (4. 288)
Logo
21 1
11 21
dSBds
(4. 289)
Figura - 4. 35.
1
1 2 1 2 1 2 1 2
11 2
*1 2
. . .
.
2 .
dx dx dX dX dx dx dx dx
dx dx
dx dx
I B
I B
e
(4. 290)
i) Para os elementos da diagonal temos:
Figura - 4. 36.
236
1 1
1 1
ˆ
ˆdx ds m
dX dS n
(4. 291)
e *
1 1 1 1 1 22 2 *1 1 1 1 1 12 2 2 *1 1 1 1 1
. . 2 .ˆ ˆ2 .ˆ ˆ2 .
dx dx dX dX dx dxds dS ds e ds eds dS ds e e
eee
(4. 292)
e 2 2
* 1 111 2
1
2 ds dSeds
e 2
1 111 2
1
dSBds
(4. 293)
Observe que para pequenas deformações (infinitesimais)
1 1ds dS (4. 294)
temos:
1 1 1 1*11 2
1
2
2
ds dS ds dSe
ds
*11
2e 1ds 1 1
21
ds dS
ds
(4. 295)
Portanto,
1 1 1 1*11 11
1 1
ds dS ds dSe E
ds dS
(4. 296)
ii) Para os elementos fóra da diagonal temos:
1 1 1
2 2 2
ˆˆ
dx ds edx ds e
(4. 297)
e
1 1
2 2
ˆ
ˆdX dS m
dX dS n
(4. 298)
Logo
237
*1 2 1 2 1 2
1 2
. . 2 .dx dx dX dX dx dx
ds ds
e
*1 2 1 1 2 2
*1 2 1 1 2 2
*1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆcos , 2 .
ˆ ˆ ˆ ˆcos , 2 .
ˆ ˆ2 .
dS dS m n ds e ds e
dS dS m n ds e ds e
ds ds e e
e
e
e
(4. 299)
Portanto,
* 1 212
1 2
ˆ ˆ2 cos ,dS dSe m nds ds
(4. 300)
e
11 2 1 2
11 2 1 1 2 2
11 2 1 2
11 2 12
.ˆ ˆ ˆ ˆcos , 2 .
ˆ ˆ2 .
2
dX dX dx dxdS dS m n ds e ds e
ds ds e e
ds ds B
BB
B
(4. 301)
Portanto,
1 1 212
1 2
ˆ ˆcos ,dS dSB m nds ds
(4. 302)
Expressando o tensor de Euler em termos do campo de deslocamento, temos:
Sendo a coordenada espacial para o campo de deslocamento, temos:
,X x u x t (4. 303)
ode 1 X F
derivando X
temos:
1 i iijij
j j
X uFx x
(4. 304)
ou seja:
1xu
F I (4. 305)
Veja que:
1 1 1T Tx x
Tx x
u u
u u
B F F I I
I I
(4. 306)
e
238
1 T Tx x x xu u u u B I (4. 307)
como * 112
e I B temos:
* 1 12 2
T Tx x x xu u u u e (4. 308)
Em notação indicial temos:
* 1 12 2
ji m mij
j i i j
uu u uex x x x
(4. 309)
Observe que *e é simétrico, logo
* *ij jie e (4. 310)
Para pequenas deformações temos:
* 12
jiij
j i
uuex x
(4. 311)
Observe que:
i i
j j
u ux X
(4. 312)
Então
*ij ije E (4. 313)
Figura - 4. 37.
- Na descrição Lagrangeana fixa-se o volume para deformações em Sólidos (vantajoso para
sólidos).
- Na descrição Euleriana fixa-se a região do espaço para deformações em um Fluido
(vantajoso para Fluidos)
239
4. 26 – Condição de Compatibilidade para as Componenetes do Tensor de Deformação Finito
240
4. 27 – Variação de Área devido a Deformação
Considere 2 elementos infinitesimais materiais emanando de uma partícula no
instante ot .
Figura - 4. 38.
A área formada por 2 elementos
1 2 1 2 3
1 2 1 2 3
ˆ:ˆ:
o ot dA dX dX dS dS et dA dx dx ds ds n
(4. 314)
Como o módulo do produto vetorial de dois vetores e a área subtendida pelo
paralelogramao formados pelso vetores.
1 2. sendA dx dx (4. 315)
Figura - 4. 39.
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆ.ˆ ˆ ˆ ˆo
dA dx dx dX dX dS e dS edS dS e e dA e e
F F F FF F F F
(4. 316)
Por outro lado,
ˆdA dAn
(4. 317)
241
logo
1 2ˆ ˆ ˆodA dAn dA e e F F
(4. 318)
Observe que:
1 2
3 3 1 2
vamosinterpolaresse termo
ˆ ˆ.
ˆ ˆ ˆ ˆ. .o
e dA e dA
e dA dA e e e
F F
F F F F
(4. 319)
Em notação indicial
1
2
3
1
2
3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
p p
q q
r r
e e
e e
e e
F F
F F
F F
(4. 320)
Portanto,
3 1 2ˆ ˆ ˆ.e e e k F F F (4. 321)
Logo
3 1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2
ˆ ˆ.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ.r s rs
r r p p q q r p q r p q
r p q r pqs s r p q pqr
e e
k e e e e e e
k e e
F F F F F F
F F F F F F
(4. 322)
como , ep q r são índices mudos portanto podemos fazer:
3 1 2 3 1 2 3 1 2
3 1 2
r q p qpr r p q pqr p r q rqp
p q r pqr
k
F F F F F F F F F
F F F (4. 323)
e
1 2 3
3 1 2
2 2 1
3 2 1
1 3 2
2 1 3
p q r pqr
p q r pqr
p q r pqr
p q r pqr
p q r pqr
p q r pqr
k
F F F
F F F
F F F
F F F
F F F
F F F
(4. 324)
e
242
6
1 det6
i j k
i j k
p q r ijk pqr
p q r ijk pqr
k
k
F F F
F F F F (4. 325)
Portanto,
3 1 2ˆ ˆ ˆ dete e e F F F F (4. 326)
logo
3ˆ. dete n odA dAF F
(4. 327)
de ( ) temos:
1
2
ˆ 1
ˆ 2
ˆ ˆ. 0 . 0
ˆ ˆ. 0 . 0
Te
Te
n e n
n e n
F F
F F (4. 328)
Concluimos que ˆT nF esta uma direção 3e , ou seja:
3ˆ ˆ. Te n F (4. 329)
da equação ( ) temos:
3ˆ ˆ. detTodAe n dAF F (4. 330)
e
3ˆ ˆ. detT odAe ndA
F F (4. 331)
e
3ˆ ˆdetT odAn edA
F F (4. 332)
Portanto,
1 1
3
1
3
ˆ ˆdet
ˆ ˆdet
T T T o
To
dAn edA
dAn edA
F F F F
F F (4. 333)
e finalmente
243
1
3ˆ ˆdet TodAn dA e
F F (4. 334)
obtemos uma mudança de orientação do elemento de área.
1
3ˆdet TodA dA e
F F (4. 335)
É possível mostrar que:
1ˆ ˆdet T
o odAn dA n
F F (4. 336)
onde ˆon é perpendicular ao elemento de área em ot .
244
4. 28 – Variação de Volume devido a Deformação
Figura - 4. 40.
ˆi i idX dS e (4. 337)
não é soma
O volume no instante inicial ot t é:
1 2 3odV dS dS dS (4. 338)
e o volume num instante qualquer t t é:
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 2
.
.
ˆ ˆ ˆ.
dV dx dx dx
dX dX dX
dS e dS e dS e
F F F
F F F
(4. 339)
Logo
1 2 3 1 2 2ˆ ˆ ˆ.dV dS dS dS e e e F F F (4. 340)
e
detodV dV F (4. 341)
Se det 1F então odV dV
Figura - 4. 41.
245
Muda a área odA dA
Figura - 4. 42.
Mas preserva o volume: odV dV
TC F F e TB FF (4. 342)
e
2det det detT C F F F (4. 343)
e
2det det detT B FF F (4. 344)
logo
det deto odV dV dV C B (4. 345)
Para material incompressível temos:
det det det 1 F C B (4. 346)
Figura - 4. 43.
A equação da continuidade diz que:
246
dd
o
o o
m dmV dV
(4. 347)
Então
d deto o
odV
V
F
(4. 348)
det F onde é a característica cinemática do meio contínuo
247
4. 29 – Exemplos e Aplicações
248
4. 30 – Exercícios e Problemas
249
Capítulo – V
TENSÃO NO CONTÍNUO
RESUMO
Neste capítulo será visto
5. 1 – Objetivos do Capítulo
i) Entender
5. 2 – Introdução
250
4.2.1 – Força de Corpo
É a força que atua à distância envolvendo todo o volume do corpo (força
gravitacional; força elétrica, a força magnética).
Figura - 5. 1.
4.2.2 – Força de Superfície
É a força que atua localmente sobre uma superfície e se transmite pelo contato,
como por exemplo a força de tração, que atua nas superfícies dos corpos separando as partes
do corpo.
Figura - 5. 2.
251
5. 3 – Vetor Tensão de Cauchy
Considere o corpo da Figura - 5. 3
Figura - 5. 3.
Então definimos o vetor tensão:
dSFd
SFt
S
0lim (5. 1)
4.3.1 – Princípio da Tensão de Cauchy
Pelo principio de Cauchy temos que a tensão t
depende do vetor x , do tempo t,
e da direção da normal n .
Figura - 5. 4. A tensão t
depende do corte da superfície
A dependência de ˆ, ,t x t n pode ser expressa como:
ˆ ˆ, , ,t x t n X t n T (5. 2)
onde T é uma transformação linear
252
Seja a tensão nt onde:
ˆnt n T (5. 3)
Figura - 5. 5.
Calculando a resultante das forças sobre o tetraedro temos:
1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3
/ .
e e e n nforçaunid
massa
F t A t A t A t A dV B dVa
(5. 4)
e
1 2 3
1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 6e e e n n
X X XF t A t A t A t A a B
(5. 5)
Observe que:
2 3 1 2 1 21 2 3; ;
3 3 3X X X X X XA A A
(5. 6)
No limite para 1 2 3, 0X X e X ; o volume 1 2 3V X X X se anula mais
rapidamente do que outros termos do lado esquerdo da equação (5. 5). Consequentemente,
1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3n n e e eA t A t A t A t (5. 7)
Onde 1 2 3
6X X X a B
é um infinitésimo de ordem superior. Mas
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi in n e n e n e n e (5. 8)
As áreas 1 2 2, eA A A podem ser expressas como:
1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . cosn n n n nA n A A n e A n e e A n
(5. 9)
e
253
2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . cosn n n n nA n A A n e A n e e A n
(5. 10)
e
3 3 3 3 3 3 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . cosn n n n nA n A A n e A n e e A n
(5. 11)
Portanto,
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . cosn i n n n n i n i i n i niA n A A n e A n e e A n A n
(5. 12)
ou ainda
1 1 2 2 3 3; ;n n nA n A A n A A n A (5. 13)
Então
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3
ˆ ˆ ˆ. . .n n n e n e n e
n n n e n e n e
A t n A t n A t n A t
A t n A t n A t n A t
(5. 14)
e
1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3n e e et n t n t n t (5. 15)
e
ˆ 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆn j j j j j jt n T e n T e n T e (5. 16)
logo
ˆ ˆn i ji jt n T e (5. 17)
ou
ˆ
2a
n i jijcompontes Tensor decomponentes deumvetor ordemde um vetor
t n T
(5. 18)
Onde jiT é dado pela regra do quociente.
Portanto, T de componentes ijT é um tensor de 2ª ordem. T é o tensor de tensão
ou tensor de tensão de Cauchy.
ˆnt n T (5. 19)
254
5. 4 – Componentes do Tensor de Tensão de Cauchy
Considere a Figura - 5. 6
Figura - 5. 6.
As componentes do tensor de Cauchy sào dadas por:
ˆˆ ˆ ˆ. .jij i j i eT e e e t T (5. 20)
Na face 1e temos:
1
1
1
ˆ11 1 1 1
ˆ21 2 1 2
ˆ31 3 1 3
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
e
e
e
T e e e t
T e e e t
T e e e t
T
T
T
(5. 21)
Na face 2e temos:
2
2
2
ˆ12 1 2 1
ˆ22 2 2 2
ˆ23 3 1 3
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
e
e
e
T e e e t
T e e e t
T e e e t
T
T
T
(5. 22)
Na face 3e temos:
3
3
3
ˆ13 1 3 1
ˆ23 2 3 2
ˆ33 3 3 3
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ ˆ ˆ. .
e
e
e
T e e e t
T e e e t
T e e e t
T
T
T
(5. 23)
11 22 33, ,T T T são as componentes de tensões normais e 12 21 13 31 23 32, , , , ,T T T T T T são as
componentes de tensões de cisalhamento.
255
.
.
1 1 3
11 1 21 2 31 3
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆdireç direçda dacomp normal
aoplano
j
i jtensão tensãodecisalhamentonormal
e T eT T e T e T e
T
(5. 24)
As tensões normais podem ser de tração ou compressão.
Tensão de Tração > 0 ; Tensão de Compressão < 00 0ii iiT T
(5. 25)
Figura - 5. 7.
A resultante do cisalhamento é dada por:
2 21 21 31T T (5. 26)
Para um plano qualquer n passando pela partícula temos:
ˆnt n T (5. 27)
Ou em notação indicial temos:
ˆi ij jt T n (5. 28)
A tensão normal em n :
ˆ.n n i i i j ijt n t n n n T (5. 29)
e
ˆ.
ˆ.n n i i i j ij
vn n i i i j ij
t t n T
t v t v v n T
(5. 30)
256
5. 5 – Simetria do Tensor de Tensão de Cauchy
Considere o paralelepípedo, conforme mostrado na Figura - 5. 8.
Figura - 5. 8.
No plano 1 2ˆ ˆe e , temos:
Figura - 5. 9.
Considerando as forças resultantes em cada uma das faces:
i) A força resultante na face 1e na direção 1e
1
1ˆ 11 2 3eF T X X (5. 31)
Na face 1e na direção 1e :
1
1ˆ 11 11 2 3eF T T X X (5. 32)
Na face 1e na direção 2e :
2
1ˆ 21 2 3 21 21 2 3eF T X X T T X X (5. 33)
257
ii) A força resultante na face 2e na direção 2e
2
2ˆ 22 1 3eF T X X (5. 34)
Na face 2e na direção 2e :
2
2ˆ 22 22 1 3eF T T X X (5. 35)
Na face 2e na direção 1e :
2
1ˆ 12 1 3eF T X X (5. 36)
Na face 2e na direção 1e :
2
1ˆ 12 12 1 3eF T T X X (5. 37)
Determinando os momentos em relação ao eixo 3e por A:
1 221 21 2 3 12 12 1 3
1 221 2 3 12 1 3 1 2 3
2 21 2 3 1 2
2 2
.2 2
A
V
X XM T T X X T T X X
X XT X X T X X X X X B
I X X X X X
(5. 38)
onde o I para um paralelepipedo é dado por:
2 21 2I X X (5. 39)
dividido ( ) por 1 2 3V X X X temos:
2 221 21 12 12 21 12 1 2
00
T T T T T T B X X
(5. 40)
Tomando o limite para 1 2 3, , 0X X X , logo:
21 122 2 0T T (5. 41)
Portanto,
21 12T T (5. 42)
Repetido para os outros direções temos:
258
ij jiT T (5. 43)
ou seja, o tensor de tensão de Cauchy é simétrico.
Para B
dado por uma delta de Dirac o termo,
0B
(5. 44)
Logo
21 122 2 0T T B
(5. 45)
O tensor deixa de ser simétrico:
259
5. 6 – Tensão Principais
A partir da secção 2B18, nós sabemos que para qualquer tensor de tensão
simétrico T existe no mínimo três direções principais, 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n mutuamente perpendiculares
(que são os auto-vetores de T). Os planos que contêm estas direções como suas normais são
conhecidas como planos principais 1 2 3, , . Sobre estes planos, o vetor de tensão, t
, é
normal ao plano (i. e. não há tensão de cisalhamento) e as tensões normais, 1 2 3, ,T T T , são
conhecidas como as tensões principais. Então, as tensões principais, 1 2 3, ,t t t
(os auto-valores
de T) incluem os valores máximos e mínimos das tensões normais, 1 2 3, ,T T T , entre todos os
planos que passam por um dado ponto, conforme mostra a Figura - 5. 10
Figura - 5. 10. Planos principais e auto-vetores de T.
Tensor T, auto-vetores (direções principais) 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n e auto-valores 1 2 3, ,T T T .
Logo o tensor T pode ser escrito como:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a b ct t t
T T TT T T T
T T T
(5. 46)
Considerando que T é simétrico então ele pode ser diagonalizável de forma a obter:
1
*2
3
0 00 00 0
a b ct t t
TT T
T
(5. 47)
onde a seguinte equação é satisfeita:
260
ˆ ˆt n n T (5. 48)
Os 'i s (auto-valores) estão associados as direções principais nas quais ocorre as tensões
principais. Observe que:
ˆ ˆi i i it n n T (5. 49)
onde a notação indicial de i não está associada a soma de Einstein.
Multiplicando os dois lados da equação por ˆ jn observamos que as três direções
principais ˆin são mutuamente ortogonais, ou seja:
ˆ ˆ ˆ. .ˆ ˆ.ˆ ˆ.
ˆ ˆ.
n
i i j j
ji i i k k
ji i k i k
ji i k jk
ji i j
T n t n nn e n e
T n e n eT n n e eT n nT n n
TT
(5. 50)
e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆi ij j j i i
ij j i i i ij
n t n n n n
n n n n
T
T
(5. 51)
Vemos que as tensões de cisalhamento nestes planos são nulas, ou seja
2 1 1 2 1
3 1 1 3 1
3 2 2 3 2
ˆ ˆ ˆ ˆ. 0ˆ ˆ ˆ ˆ. 0ˆ ˆ ˆ ˆ. 0
n n n nn n n nn n n n
TTT
(5. 52)
As componentes do tensor T no sistema de coordenadas ˆïn (auto-vetores) são
dadas por:
1
2
3
0 00 00 0
TT T
T
(5. 53)
Portanto, a tensão normal a um plano qualquer orientado pelo auto-vetor n ,
temos:
261
1 2 3 1 2 3min , , max , ,nT T T T T T (5. 54)
conforme mostra a Figura - 5. 11.
Figura - 5. 11.
de tal forma que:
ˆ ˆt n n I T I (5. 55)
ou seja:
ˆ ˆ 0n t n T I I (5. 56)
Logo,
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
t t t n n n
t n t n t n
(5. 57)
ou ainda,
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
T T T nT T T nT T T n
(5. 58)
Portanto,
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
000
T T T nT T T nT T T n
(5. 59)
262
Sabemos que a equação ( ) é satisfeita para qualquer se ˆˆ 0n . Logo, para
eliminar esta solução trivial, nos observamos que o sistema homogêneo em ( ) admite solução
não-trivial somente se o determinante de seus coeficientes se anulam, ou seja:
*det det 0 T I T I (5. 60)
isto é:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
0 0det det 0 0
0 0
T T T TT T T TT T T T
(5. 61)
Portanto, as tensões principais devem ser obtidos das equação característica de T,
que pode ser escrita como:
3 21 2 3 1 2 3 0I I I T T T (5. 62)
onde:
1 11 22 33 1 2 3I tr T T T T T T T (5. 63)
e
11 13 22 2311 122
31 33 32 3321 22
2 2 22 1 2 3
det det detT T T TT T
IT T T TT T
I T T T
(5. 64)
e
11 12 13
3 21 22 23 1 2 3
31 32 33
det detT T T
I T T T TT TT T T
T (5. 65)
são os três invariantes escalares principais do tensor das tensões. Para os cálculos das direções
principais, vamos retornar a secção 2B17 (Veja processo de Ortogonalização de Gram-
Schimidt).
263
5. 7 – Máxima Tensão de Cisalhamento
Nesta secção, mostraremos que a tensão de cisalhamento máxima, ST , é igual a
metade da diferença entre as tensões principais máxima e mínima 1 3 / 2sT T T e atua
sobre o plano que divide o angulo reto entre as direções das tensões principais máxima e
mínima 1 3,t t
.
Seja 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ee e e as direções principais do tensor T e seja 1 2 3, , eT T T o valor das
tensões principais. Se n é um vetor unitário normal ao plano, as componentes do vetor tensão
t
, sobre o plano é dado por:
Figura - 5. 12.
Supondo 1 2 3T T T e o vetor normal, n dado por:
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ+n n e n e n e (5. 66)
e o vetor tensão t
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ+t t e t e t e (5. 67)
Então
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
0 00 00 0
t T n n Tt T n n Tt T n n T
(5. 68)
isto é, se T for representado em uma base de vetores 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ee e e nas direções principais (aquela
dos auto-vetores), então teremos:
1 1 1 2 2 2 3 3 3ˆ ˆ ˆ+t n T e n T e n T e (5. 69)
e a tensão normal sobre o mesmo plano é dada por:
264
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. + . +ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ+ . +
n
n
T n t n e n e n e t e t e t e
T n e n e n e n T e n T e n T e
(5. 70)
logo
2 2 21 1 2 2 3 3nT n T n T n T (5. 71)
onde:
ˆ . cos
1. cos
cos
n
n
n
T n t
T t
T t
(5. 72)
se 0 cos 1 , logo
nT t (5. 73)
Então, se ST denota a magnitude da tensão de cisalhamento total sobre o plano, nós temos
(vide Figura - 5. 13).
Figura - 5. 13.
Da Figura - 5. 13 desenho podemos extrair pelo Teorema de Pitágoras que:
22 2s nT t T (5. 74)
onde
ˆ ˆ ˆ ˆi i ji i jt Tn n n e T n e T T (5. 75)
Logo
265
11 1 1 1
22 2 2 2
33 3 3 3
ji i
T n T nT n T n T n
T n T n
(5. 76)
e
2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3t n T n T n T
(5. 77)
logo
2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3s nT n T n T n T T (5. 78)
ou
22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3sT n T n T n T n T n T n T (5. 79)
Observe que:
21 2 3, ,sT f n n n (5. 80)
Por outro lado,
2 2 2 21 2 3ˆ 1n n n n (5. 81)
Tomando o diferencial de 21 2 3, ,sT f n n n temos:
2 2 22
1 2 31 2 3
0s s ss
T T Td T dn dn dn
n n n
(5. 82)
Dado que 1 2 3, edn dn dn não são independentes, então vamos tomar o diferencial
de:
2 2 2 21 2 3
21 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
ˆ 1
ˆ 2 2 2 00
d n d n n n d
d n n dn n dn n dnn dn n dn n dn
(5. 83)
multiplicando (5. 82) por 1n :
2 2 22
1 1 1 2 1 31 2 3
0s s ss
T T Td T n dn n dn n dn
n n n
(5. 84)
266
Então usando ( ) em ( )
2 2 2
2 2 3 3 1 2 1 31 2 3
0s s sT T Tn dn n dn n dn n dn
n n n
(5. 85)
logo
2 2 2 2
1 2 2 1 3 31 1 3 3
0s s s sT T T Tn n dn n n dn
n n n n
(5. 86)
Dado que 2dn e 3dn são independentes, então:
2 2 2 2
1 21 1 2 1 1 1
2 2 2 2
1 33 3 3 3 1 1
1 10
1 10
s s s s
s s s s
T T T Tn n
n n n n n n
T T T Tn n
n n n n n n
(5. 87)
Para que isto ocorra é necessário:
2 2 2
1 2 31 2 3
; ;s s sT T Tn n n
n n n
(5. 88)
onde são os multiplicadores de Lagrange (ver livro do Prager) substituindo 2sT nas três
equações acima temos:
22 2 2 21 1 1 1 2 2 3 3 1
22 2 2 22 2 1 1 2 2 3 3 2
22 2 2 23 3 1 1 2 2 3 3 3
2 2 21 2 3
2 2
2 2
2 2
1
n T n T n T n T n
n T n T n T n T n
n T n T n T n T n
n n n
(5. 89)
Resolvendo este sistema obtemos para 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n temos:
0(minimo) 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,11 1 10(máximo) 1, 1,0 ; 1,0, 1 ; 0,1, 12 2 2
s
s
T
T
(5. 90)
267
Figura - 5. 14.
As três tensões de cisalhamento máximo são obtidas substituindo-se 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,n n n , em
1T temos:
1 2max 12
1 3max 13
2 3max 23
2
2
2
s
s
s
T TT
T TT
T TT
(5. 91)
logo
max max max max12 13 23, ,s s s sT máx T T T (5. 92)
Se fizermos:
1 2 3T T T (5. 93)
Logo
1 3max 2s
T TT (5. 94)
E a tensão normal asociada maxsT é dada por:
1 3
2nT TT
(5. 95)
Com estas relações podemos construir o chamado ciclo de Mohr
Figura - 5. 15.
268
5. 8 – Equação de Movimento de um Meio Contínuo Sujeito a Um Campo de Tensão
Descrição Espacial (no livro está errado – Descrição Material)
(5. 96)
Figura - 5. 16.
Equação de Movimento em Coordenadas Cartesianas
Aplicando a 2ª Lei de Newton à partícula:
1 1
2 1
3 1
ˆ ˆ1 1 2 3 1 2 31 2 3
1
ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 31 2 3
2
ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 31 2 3
3
1 2 3 1 2 3
, , , ,
, , , ,
, , , ,
e e
e e
e e
t x x x x t x x xx x x
x
t x x x x t x x xx x x
x
t x x x x t x x xx x x
x
B x x x a x x x
(5. 97)
A equação no livro nas páginas 187 e 188 no rodapé estão erradas.
269
1 1
2 1
3 1
ˆ ˆ1 1 2 3 1 2 3
1
ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 3
2
ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 3
3
, , , ,
, , , ,
, , , ,
e e
e e
e e
t x x x x t x x xx
t x x x x t x x x
x
t x x x x t x x xx
B a
(5. 98)
Tomando o limite para 1 2 3, , 0x x x ;
31 2 ˆˆ ˆ
1 2 3
ee e tt tB a
x x x
(5. 99)
mas ˆ ˆie it e T
, portanto na representação indicial temos:
ˆ ˆie i
i i
t eB a B ax x
T (5. 100)
e
ˆij i
j
T eB a
x
(5. 101)
e
ˆˆ ˆij i
i i i ij
T eB e a e
x
(5. 102)
Finalmente na forma invariante
div B a T (5. 103)
Esta é a Equação de Movimento de Cauchy, na descrição espacial (Euler). Indicialmente
iji i
j
TB a
x
(5. 104)
corpo particular meio em repouso ou 0a
div B a T (5. 105)
Esta é a equação de equilíbrio.
270
Equação de Movimento em Coordenadas Cilíndricas
271
Equação de Movimento em Coordenadas Esféricas
272
Condição de Contorno para o Tensor de Tensão
Figura - 5. 17.
Uma possível condição de contorno par o tensor de tensão é dada por:
int
ˆ nerno externo
n tT (5. 106)
se
ˆ 0n T 0T (5. 107)
é possível que:
ˆ. 0n m T (5. 108)
Em uma das direções principais
Figura - 5. 18.
273
5. 9 –Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff
Considere a seguinte transposição paralela mostrada na Figura - 5. 19.
Figura - 5. 19.
A transposicão paralela é dada por
//o
o
df dft t
(5. 109)
Dado o tensor de Cauchy
ˆnt T n
df tdA
dftdA
(5. 110)
É a representação espacial da área deformada
ˆo o o
o o o
oo
o
t T n
df t dA
dftdA
(5. 111)
É a representação espacial da área não-deformada
274
1º Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff
Figura - 5. 20.
Analogamente temos:
ˆo o ot T n (5. 112)
logo
o o odf tdA t dA df (5. 113)
e
//o oo
dAt t t tdA
(5. 114)
e
ˆ ˆ ˆo oo o
dA dAn n ndA dA
T T T (5. 115)
mas
1ˆ ˆdetT
o odAn dA n F F (5. 116)
Portanto,
1ˆ ˆdetT
o o on nT T F F (5. 117)
ou
1detT
oT T F F (5. 118)
Este é o primeiro Tensor de Piola-Kirchoff, T é o tensor de Cauchy, onde
1
detT
oT T FF
(5. 119)
Observação: F e To não são necessáriamente simétricos.
275
2º Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff
Figura - 5. 21.
ˆo
o
o
t n
df tdA
dftdA
T
(5. 120)
Sendo o tensor gradiente de deslocamento dado por:
df dfdx dX
FF
(5. 121)
logo
ˆo
o o
df df tdA
df n dA
F F
FT
(5. 122)
Por outro lado, considerando odf df
,
ˆo o o o odf t dA n dA T (5. 123)
comaparando ( ) com ( ) temos:
oFT T (5. 124)
Ou o 2º Tensor de Piola-Kirchoff (Tensor Fictício)
1o
T F T (5. 125)
Substituindo:
1detT
oT F T F (5. 126)
temos:
1 1
2( )
deto
T
CauchyTensorFísicoPiola
Kirchoff
T F F T F F (5. 127)
onde T é simétrico.
276
Aplicação a Vigas
Considere a viga mostrada na Figura - 5. 22.
Figura - 5. 22.
Descrição Material:
Equação Diferencial - t (domínio dependente do tempo na descrição de
Euler)
,u u x t (5. 128)
Descrição Material:
Equação Diferencial - cte (domínio não depende do tempo na descrição de
Lagrange)
,u u X t
(5. 129)
As Equações Constitutivas (ou Equações de Consistência) relacionam tensões
com deformações para um dado material.
277
5. 10 – Equação de Movimento escrito na Configuração de Referência
Seja a Equação do Movimento na descrição espacial:
iji i
j
TB a
x
(5. 130)
onde
1detij o jmim
T F TF
(5. 131)
substituindo
1det
ijo jmim
j j
TF
x x
TF
(5. 132)
logo
det det
oij jm jmimo im
j j j
T F Fx x x
TT
F F (5. 133)
e
1det det
oij j jmimo im
j j m j
T x Fx x X x
TT
F F (5. 134)
i) Analisando o primeiro termo do lado direito temos:
1 1det det
o oj jim im n
j m n j m
x xXx X X x X
T TF F
(5. 135)
usando o fato que:
o imo nim
n
d dXX
TT (5. 136)
e
nn j
i
XdX dxx
(5. 137)
e
278
jn n
m j m
xX XX x X
(5. 138)
temos:
1 1det det
1 1det det
1det
o ojim im n
j m n m
o ojim imnm
j m n
o ojim im
j m n
x Xx X X X
xx X X
xx X X
T TF F
T TF F
T TF
(5. 139)
ii) Analisando o segundo termo do lado direito temos:
2
detdet det det
o ojm jim imo jmim
j j m j
F xF
x x X x
T T FT
F F F (5. 140)
e
2
2
det1 1det det
j jn n
n m j n n j
x xX XX X x X X x
FF F
(5. 141)
e
2
2
det1 1det det
j nmn
n m j n
x XX X x X
FF F
(5. 142)
e
22 det1 1det det
j n
n m j m
x XX X x X
FF
F F (5. 143)
mas
1detdet jn
njm m
FX X
F
F F (5. 144)
e então
279
2detdet jn
m j n m
xXX x X X
FF (5. 145)
logo
0det
jm
j
Fx
F (5. 146)
Portanto,
1det
oij im
j m
Tx X
TF
(5. 147)
Levando este resultado para a equação de movimento temos:
1det
o imi i
m
B aX
TF
(5. 148)
logo
det deto imi i
m
B aX
TF F (5. 149)
visto que:
det o F (5. 150)
temos:
o imo i o i
m
B aX
T (5. 151)
que corresponde a equação de movimento na configuração inicial de referência. Então:
o o oDiv B a T (5. 152)
onde
,a a X t e ,B B X t
(5. 153)
280
5. 11 – Potência de Tensão
Considere o desenho da Figura - 5. 23.
Figura - 5. 23.
1
1
2
2
3
3
ˆ 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3
ˆ 1 2 3 2 3 1 2 3
ˆ 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3
ˆ 1 2 3 1 3 1 2 3
ˆ 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3
ˆ 1 2
, , . , ,
, , . , ,
, , . , ,
, , . , ,
, , . , ,
,
e
e
e
e
e
e
P t x x x x x x v x x x x
t x x x x x v x x x
t x x x x x x v x x x x
t x x x x x v x x x
t x x x x x x v x x x x
t x x
3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3, . , , , ,x x x v x x x B x x x v x x x
(5. 154)
ou
1 1
2 2
3 3
ˆ ˆ1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1
ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3
2
ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
3
1
, , . , , , , . , ,
, , . , , , , . , ,
, , . , , , , . , ,
. ,
e e
e e
e e
t x x x x v x x x x t x x x v x x xPV x
t x x x x v x x x x t x x x v x x xx
t x x x x v x x x x t x x x v x x xx
B v x x
2 3, x
(5. 155)
Ou ainda
281
1 1
2 2
3 3
ˆ ˆ1 1 2 3 1 2 3
1
ˆ ˆ1 2 2 3 1 2 3
2
ˆ ˆ1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
3
1 2 3
. , , . , ,
. , , . , ,
. , , . , , , ,
. , ,
e e
e e
e e
t v x x x x t v x x xPV x
t v x x x x t v x x xx
t v x x x x t v x x x x x xx
B v x x x
(5. 156)
Tomando o limite para 1 2 3, e 0x x x temos:
31 2 ˆˆ ˆ1 2 3
1 2 3
.. .. , ,ee e t vt v t vdP B v x x x
dV x x x
(5. 157)
Ou
ˆ ..je
j
t vdP B vdV x
(5. 158)
Mas
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.je j i i kj k i i
kj i ki i ij
t v e v e T e v e
T v v T
T
(5. 159)
logo
.i ij
i ij
v TdP B vdV x
(5. 160)
Mas por outro lado,
i ij ij ii ij
j j j
v T T vv Tx x x
(5. 161)
Substituindo em ( ) temos:
.ij ii ij i i
j j
ij ii i ij
j j
Equação de Movimento
T vdP v T B vdV x x
T vv B Tx x
(5. 162)
282
logo
i ii ij
j
D v vdP v TdV Dt x
(5. 163)
mas
i ii ij
j
D v vdP v dV T dVDt x
(5. 164)
Mas
12
1222
Ei i
i i
ii
D K D dV v vDt Dt
DdV v vDt
D vdVv
Dt
(5. 165)
logo
E ii
D K D vdVv
Dt Dt
(5. 166)
Portanto,
ES
D KdP dV dP
Dt (5. 167)
Onde
TiS ij x
j
vdP T dV tr v dVx
T (5. 168)
x é o gradiente na descrição espacial de Euler.
Se T é simétrico então os índices pode trocar de posição:
ji iij ji ij
j j i
vv vT T Tx x x
(5. 169)
logo
283
12
1 12 2
i i iS ij ij ij
j j j
j ji iij ij ij
j i j i
v v vdP T dV T T dVx x x
v vv vT T dV T dVx x x x
(5. 170)
Portanto,
S ij ij ji ijdP T D dV T D dV (5. 171)
onde D é o tensor taxa de deformação:
SdP tr dV TD (5. 172)
É a taxa de energia gasta para deformar o elemento infinitesimal de volume dV.
Portanto,
E SD K dPdPdV Dt dV
(5. 173)
Ou finalmente
ED KdP trdV Dt
TD (5. 174)
284
5. 12 – Taxa de Fluxo de Calor por Condução
Considere o paralelepipdeo de dimensões 1 2 3, ex x x sujeito a um fluxo de calor
q , conforme mostra a Figura - 5. 24.
Figura - 5. 24.
O balanço do fluxo de calor:
1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 3
1 2 3 3 3 1 2 3 3 1 2
ˆ ˆ, , . , , .
ˆ ˆ, , . , , .
ˆ ˆ, , . , , .
cQ q x dx x x e q x x x e dx dx
q x x dx x e q x x x e dx dx
q x x x dx e q x x x e dx dx
(5. 175)
ou
1 1 2 3 1 2 3 2 3
1 2 2 3 1 2 3 1 3
1 2 3 3 1 2 3 1 2
, , , ,
, , . , ,
, , . , ,
cQ q x dx x x q x x x dx dx
q x x dx x q x x x dx dx
q x x x dx q x x x dx dx
(5. 176)
logo
1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3
1 2 3
cq q qQ dx dx dx dx dx dx dx dx dxx x x
q q q Vdx x x
(5. 177)
Portanto,
cQ div Vdq (5. 178)
285
Usando a lei de Fourier:
kq (5. 179)
e
cQ div k Vd (5. 180)
logo
1 1 2 2 3 3cQ k k k Vd
x x x x x x
(5. 181)
Se o material é homogêneo temos:
2 2 2
2 2 21 2 3
2
cQ k Vdx x x
k dV
(5. 182)
Onde o operador diferencial Lapalciano é:
2 2 22
2 2 21 2 3x x x
(5. 183)
Portanto,
2cdQ kdV
(5. 184)
Se não há fonte de calor mas apenas uma distribuição de temperatura ao redor e no interior de
um volume temos então:
2 0 (5. 185)
286
5. 13 – Equação da 1ª Lei da Termodinâmica
Considere o paralelepípedo de dimensões 1 2 3, ex x x no espaço conforme mostra a
Figura - 5. 25.
Figura - 5. 25.
de onde tomamos o seguinte balanço de energia
E C SPotenciaEnergia Energia Calor CalorDissipadaPotencial Cinética Condução Radiação
D U K P Q QDt
(5. 186)
onde
iE ij
j
vDP K T dVDt x
(5. 187)
Sabendo que o balanço de calor líquido de calor é dado por:
ic
i
qQ dVx
(5. 188)
Temos:
E i iE ij S
j i
D K v qD U K T dV dV QDt Dt x x
(5. 189)
logo
i iij S
j i
v qDU T dV dV QDt x x
(5. 190)
287
Fazendo a energia interna dU u dV onde u é a energia interna por unidade de volume
temos:
D u dVDU DudVDt Dt Dt
(5. 191)
considerando o material incompressível, temos:
0D dV
Dt
(5. 192)
Voltando a expressão ( ) da 1ª Lei da Termodinâmica temos:
i iij S
j i
v qDudV T dV dV QDt x x
(5. 193)
Fazendo
SS S S
dQq Q q dVdm
(5. 194)
Logo
i iij S
j i
v qDudV T dV dV q dVDt x x
(5. 195)
cancelando os volumes infinitesimais finalmente temos:
i iij S
j i
v qDu T qDt x x
(5. 196)
Em notação invariante temos:
SDu tr divq qDt
TD (5. 197)
288
5. 14 – Desigualdade de Entropia
Seja ,x t a entropia de uma partícula por unidade de massa. A entropia
associada a uma massa dm é dada por:
dm dV (5. 198)
A taxa material de variação de entropia é dada por:
D DdV dVDt Dt
(5. 199)
Considerando o material incompressível, a taxa material de entropia por unidade de volume é
dada por:
D d DDt dV Dt
(5. 200)
Logo a 2ª Lei da termodinâmica fica expressa como:
SqD divqDt
(5. 201)
289
5. 15 - Exemplos e Aplicações
290
5. 16 - Exercícios e Problemas
291
Capítulo – VI
O SÓLIDO ELÁSTICO
RESUMO
Neste capítulo será visto
6. 1 - Objetivos do capítulo
i) Entender
6. 2 - Introdução
292
6. 3 – A Teoria da Elasticidade
293
6. 4 – Propriedades Mecânicas
E
(6. 1)
Ey: Módulo de Young ou Módulo de Elasticidade.
Coeficiente de Poisson
d
av
(6. 2)
Isotropia
Mesmas propriedades em qualquer direção
Anisotropia
Homogeneidade
Mesmas propriedades para qualquer partícula.
Não-Homogenenidade
Módulo Volumétrico
ij ijT (6. 3)
e
ˆ nn tT (6. 4)
é a pressão hidrostática ou termodinâmica
'ij ij ijT T (6. 5)
e
ke
(6. 6)
e
294
d Ve
dV
(6. 7)
Módulo de Elasticidade Transversal (ou de Cisalhamento)
Ensaio de Torção
Figura - 6. 1.
e o módulo de elasticidade transversal
t
p
M lI
(6. 8)
295
6. 5 – O Sólido Elástico Linear
a) A relação entre as forças aplicadas e as quantidades medidas de deformação são lineares.
Linearidade entre T e E , T E
b) As taxas de aplicação das forças não tem efeito
T é independente de E
c) Removendo as forças, as deformações desaparecem
Elasticidade Processo irreversível
d) As deformações são muito pequenas
Tensor de deformação infinitesimal E
6.5.1 - Relação de Consistência ou Relação Constitutiva
T T E (6. 9)
e
11 1111 11 1112 12 1113 13
1132 32 1133 33
12
13
33
... ...
....
:
T C E C E C EC E C E
TT
T
(6. 10)
Na notação indicial
ij ijkl klT C E (6. 11)
pela regra do quociente, ijklE é um tensor de quarta ordem, chamado de Tensor de
Elasticidade onde ijklC possui 81 componentes.
11 1111 11 1112 12 1121 21 1113 13 1131 31
1123 23 1132 32 1122 22 1133 33
1111 11 1122 22 1133 33 1112 1121 12
1113 1131 13 1123 1132 23
T C E C E C E C E C EC E C E C E C EC E C E C E C C E
C C E C C E
(6. 12)
296
Pode-se fazer com liberdade:
1112 1121
1113 1131
1123 1132
C CC CC C
(6. 13)
logo
ijkl ijlkC C (6. 14)
com isto ijklC passa a ter 54 componentes.
Mas, considerando a simetria de ijT
ij ijkl klT C E (6. 15)
e
ji jikl klT C E (6. 16)
sendo
ij jiT T (6. 17)
temos:
66
ijkl jiklC C (6. 18)
Passa a ter 36 componentes.
297
Exemplo 5.2.2
Se /ij ijT U E , então:
a)
ijkl jiklC C (6. 19)
b)
1 12 2ij ij ijkl ij klU T E C E E (6. 20)
Solução
O sólido elástico satisfaz:
ij ijkl klT C E (6. 21)
e
ijijrs
rs
TC
E
(6. 22)
Logo
2ijijrs
rs rs ij rs ij
T U U CE E E E E
(6. 23)
e
2rs
rsijij ij rs ij rs
T U U CE E E E E
(6. 24)
Como pela regra de Schwartz temos:
2 2
rs ij ij rs
U UE E E E
(6. 25)
logo
298
ijrs rsijC C (6. 26)
Sendo:
a)
ijij
UTE
(6. 27)
e
ij ij ijij
UT dE dE dUE
(6. 28)
como
U U E (6. 29)
Temos:
11 12 3311 12 33
...U U UdU dE dE dEE E E
(6. 30)
logo
ijkl kl ijdU C E dE (6. 31)
e
klij ij kldU C E dE (6. 32)
mas
ijkl klijC C (6. 33)
então
klij ij kldU C E dE (6. 34)
Somando ( ) com ( ) temos:
2 klij kl ij ij kldU C E dE E dE (6. 35)
e
299
2 klij ij kldU C d E E (6. 36)
Portanto,
12 klij ij klU C E E (6. 37)
Sendo ijkl klijC C , restam finalmente 21 componentes.
300
6. 6 – O Sólido Elástico Linear Isotrópico
Considere o desenho da Figura - 6. 2,
Figura - 6. 2.
sendo
ij ijkl klT C E (6. 38)
no sistema 1 2ˆ ˆ,e e
' ' 'ij ijkl klT C E (6. 39)
no sistema 1 2ˆ ˆ' , 'e e
'ij ijT T (6. 40)
Então
'kl klE E (6. 41)
é pela isotropia, ou seja:
' ' '
,0 '
ij ijkl kl
ij ijkl klkl
ijkl ijkl kl
T C E
T C EE
C C E
(6. 42)
Logo,
'ijkl ijklC C (6. 43)
ou seja, ijklC é invariante, ele tem as mesma componentes qualquer que seja o sistema de
coordenadas.
A única possibilidade é dada por:
301
4 Invariantesij kl
aik jl
il jk
tensores de ordem
(6. 44)
ou qualquer combinação linear entre eles.
Representando ijklC como combinação linear dos 3 tensores.
ijkl ij kl ik jl il jkC (6. 45)
Portanto,
ij ijkl klT C E (6. 46)
Substituindo ( ) em ( ) temos:
ij ij kl kl ik jl kl il jk kl
ij kk ij ji
T E E E
E E E
(6. 47)
Logo
ij ij kk ijT E E (6. 48)
Fazendo 2 obtemos:
2ij ij kk ijT E E (6. 49)
Lembrando que:
kkE trE e (6. 50)
logo,
2ij ij ijT e E (6. 51)
onde e são chamados de coeficientes de Lamé e possuem dimensão de tensão.
Obs:
As direções principais do tensor das deformações são as mesmas direções
principais do tensor das tensões.
2e T I E (6. 52)
Supondo que n que seja auto-vetor de E, logo:
302
ˆ ˆ ˆ2n e n n T I E (6. 53)
que é igual a:
ˆ ˆ ˆ2n en n T (6. 54)
pois ˆ ˆn nE satisfaz o segundo termo do lado direito. Logo
ˆ ˆ2n e n T (6. 55)
ou seja, n também é auto-vetor de T. E o auto-valor de é 2e .
Mas
1 2 3e E E E (6. 56)
Por outro lado,
1E (6. 57)
ou 2 3ouE E . Logo os auto-valores de T são:
1 1 2 3 1
2 1 2 3 2
3 1 2 3 3
2
2
2
T E E E E
T E E E E
T E E E E
(6. 58)
O traço é invariante, não importa o sistema de coordenadas.
303
6. 7 – Módulo de Young, Coeficiente de Poisson, Módulo de Elasticidade Transversal, Módulo Volumétrico
Sendo
2ij ij ijT e E (6. 59)
e
2 ij ij ijE T e (6. 60)
logo
2 2ij
ij ijT eE
(6. 61)
Fazendo i j k em (6. 59) temos:
3 2kk kk kkT E E (6. 62)
e
3 2kk kkT E (6. 63)
logo
3 2kkTe
(6. 64)
Portanto,
2 2 3 2ij kk
ij ijT TE
(6. 65)
ou
1
2 3 2kk
ij ij ijTE T
(6. 66)
Suponha o estado uniaxial de tensão:
1 2 3 0T T T (6. 67)
e
304
1
11 1 111
12 3 2
TE T
(6. 68)
logo
111 3 2
TE
(6. 69)
e
1
22 2 220 1
12 3 2
TE T
(6. 70)
logo
1 1
221
2 3 2 2T EE
(6. 71)
e
1
33 3 330 1
12 3 2
TE T
(6. 72)
logo
1 11
331
2 3 2 2T EE
(6. 73)
Então o módulo de Young yE ,
1
11
3 2y
T EE
(6. 74)
Mas o módulo de Poisson é:
22
11
33
11
2
2
EvEEvE
(6. 75)
Portanto,
305
11 11 22 33
22 22 33 11
33 33 11 22
1
1
1
Y
Y
Y
E T v T TE
E T v T TE
E T v T TE
(6. 76)
e
12 12
13 13
23 23
121
21
2
E T
E T
E T
(6. 77)
onde podemos concluir
2 1YE
v
(6. 78)
logo
1 1ij ij kk ijY
E v T vTE
(6. 79)
Observe o módulo de elasticidade transversal:
13 2312
12 13 232 2 2T TTG
E E E (6. 80)
Considere o material submetido ao estado hidrostático de tensão, dado por:
T I (6. 81)
onde
1 3
2 3 2E
I I (6. 82)
e
306
1 3
2 3 2E
I (6. 83)
sendo
3
3 2e tr
E (6. 84)
então
3 23
ke
(6. 85)
logo
23
ke (6. 86)
307
6. 8 – Equação da Teoria da Elasticidade Infinitesimal
Na secção 4.7, nós derivamos a equação de movimento de Cauchy, satisfeita por
qualquer meio contínuo
iji i
j
Ta B
x
(6. 87)
Estado Natural de um Meio Contínuo: o meio está descarregado.
Considera-se pequenas alterações na vizinhança do estado natural. Por exemplo,
uma viga sujeita a ação do próprio peso.
Figura - 6. 3.
pode-se assumir
i ix X (6. 88)
Estão implicitas
1i i
i i
u uX x
(6. 89)
Dado que:
i i ix X u (6. 90)
onde
i i i ii j
j
Dx Du u uv vDt Dt t x
(6. 91)
Como por hipótese, i
j
ux
é desprezível temos:
ii
uvt
(6. 92)
A aceleração é dada por:
308
i i ii j
j
Dv v va vDt t x
(6. 93)
assume-se que 1jv . Logo,
2
2i i
iv uat t
(6. 94)
Para um movimento infinitesimal, temos:
1 kk odV E dV (6. 95)
Mas pela equação da continuidade temos:
o odm dV dV (6. 96)
então
1okk
o
dV EdV
(6. 97)
logo
1o
kkE
(6. 98)
Considerando que 1ijE , temos:
o (6. 99)
Voltando a equação do movimento temos:
2
2iji
o o ij
Tu Bt x
(6. 100)
Pela Lei de Hooke temos:
2ij ij ijT e E (6. 101)
Com condição de contorno:
n tT (6. 102)
309
6. 9 – Princípio da Superposição
Seja 1u e 2u dois possíveis campos de deslocamento de um corpo sólido, e 1B
e 2B
e 1T e 2T , os correspondentes forças de corpo e campo de tensão.
Figura - 6. 4.
Se 1u é compatível, então ele deve satisafazer a equação do movimento:
1121
2iji
o o ij
Tu Bt x
(6. 103)
E por msua vez 2u , também
2222
2iji
o o ij
Tu Bt x
(6. 104)
sendo
1 1 ˆt n T (6. 105)
e
2 2 ˆt n T (6. 106)
Somando-se ( ) e ( ) , ( ) e ( ), obtém-se:
1 22 21 2 1 2
2 2i i
o o i i ij ijj
u u B B T Tt t x
(6. 107)
e
310
1 2 1 2 ˆt t n T T (6. 108)
O que garante isso é a linearidade da equação do movimento em termos de u , B
e T.
311
6. 10 – Onda Plana Irrotacional
Considere um meio sólido de dimensão infinita
Figura - 6. 5.
1 1 1
2 3
,0
u u x tu u
(6. 109)
Vejamos:
111 22 33
1; 0uE E E
x
(6. 110)
e
1 212
2 1
1 02
u uEx x
(6. 111)
e
3113
3 1
1 02
uuEx x
(6. 112)
e
3223
3 2
1 02
uuEx x
(6. 113)
Levando à Lei de Hooke:
1 1 111
1 1 1
122 33
1
2 2u u uTx x xuT Tx
(6. 114)
e
312
12 12 12 13 230 0
2 0T e E T T
(6. 115)
Substituindo estes resultados na equação do movimento temos:
2
2 2ijio ij ij
j j
Tu e Et x x
(6. 116)
Para i = 1,
2
1 11 12
1 1 1
2ou T ut x x x
(6. 117)
considerando o meio homogêneo temos:
2 2
1 12 2
1
2ou ut x
(6. 118)
ou
2 21 1
2 21
2
o
u ut x
(6. 119)
para as demais componentes os termos são todos nulos. Logo
2 221 1
2 21
Lu uct x
(6. 120)
onde
2L
o
c
(6. 121)
A equação ( ) admite solução da forma:
1 1 Lu f x c t (6. 122)
onde Lc é a velocidade de propagação da pertubação, a qual depende unicamente do tipo de
material.
313
6. 11 – Onda Plana Equivolumial
Considere o meio infinito
Figura - 6. 6.
1 3
2 2 1
0,
u uu u x t
(6. 123)
As componentes de tensor de deformação:
11 33
222
2
0 ; 0
0
E EuEx
(6. 124)
Portanto,
0e tr E (6. 125)
e
1 2 212
2 1 1
1 12 2
u u uEx x x
(6. 126)
e
3113
3 1
1 02
uuEx x
(6. 127)
e
3223
3 2
1 02
uuEx x
(6. 128)
314
Levando à Lei de Hooke temos:
11 22 33 0T T T (6. 129)
e
212 12 21
12 2 uT E T
x
(6. 130)
e
13 23 0T T (6. 131)
Substituindo na equação do movimento
2
2iji
oj
Tut x
(6. 132)
Para i = 1 ou 3 ambos os termos se anulam.
Para i = 2 temos:
22 21 2
21 1 1
ou T ut x x x
(6. 133)
Admitindo um meio homogêneo
2 22 2
2 21
2ou ut x
(6. 134)
e
2 222 2
2 21
Tu uct x
(6. 135)
onde
To
c
(6. 136)
Tc é a velocidade de propagação da pertubação.
A equação ( ) também admite solução na forma:
2 1 Tu g x c t (6. 137)
315
onde
1/ 22L
T
cc
(6. 138)
e
L Tc c (6. 139)
Saltando até a página 254.
316
6. 12 – Extensão Simples
Considere uma barra fabricada por extrusão, por exemplo, conforme mostra a
Figura - 6. 7.
admitindo que:
1 1 1
2 2 2 3
3 3 2 3
,
,
u u x
u u x x
u u x x
(6. 140)
Logo da equação de equilíbrio, supondo ausência de força de corpo
0ij
j
Tx
(6. 141)
Da Lei de Hooke
2ij ij ijT e E (6. 142)
e
0jiij ij
j j
uuT ex x
(6. 143)
Levando na equação do equilíbrio
0ij jiij
j j j j
T uuex x x x
(6. 144)
i) Para i = 1:
317
1 31 2 1
1 2 3 1
0
i
i
j jij
j j j
uex
T uuu u ux x x x x x x
(6. 145)
onde
i
i
uex
(6. 146)
logo 2 2 2
1 1 1 12 2 21 1 1
0j
j
T u u ux x x x
(6. 147)
e
2
1 121
2 0j
j
T ux x
(6. 148)
i) Para i = 2:
2 31 2 2
1 2 3 2
0
i
i
j jij
j j j
uex
T uuu u ux x x x x x x
(6. 149)
onde
i
i
uex
(6. 150)
logo 22 2
2 32 22 22 2 2 3
2 0j
j
T uu ux x x x x
(6. 151)
e
22
2 3222 2 3
2 0j
j
T uux x x x
(6. 152)
i) Para i = 3:
318
3 3 31 2
1 2 3 3
0
i
i
j jij
j j j
uex
T uu uu ux x x x x x x
(6. 153)
onde
i
i
uex
(6. 154)
logo 2 2 2
3 3 3 32 22 2 2 3
2 0j
j
T u u ux x x x x
(6. 155)
e
2 2
3 3 323 2 3
2 0j
j
T u ux x x x
(6. 156)
Solução De (1) temos:
1 1 2 2u C x C (6. 157)
Por outro lado,
31 2 1
11 111 2 3 11
uu u uTx x x x
(6. 158)
e
11 11 2 3,T T x x (6. 159)
e
31 2 2
22 221 2 3 21
uu u uTx x x x
(6. 160)
e
22 22 2 3,T T x x (6. 161)
Analogamente
319
33 33 2 3,T T x x (6. 162)
e
1 212
2 1
0u uTx x
(6. 163)
e
13 0T (6. 164)
e
3 31 2 2
23 231 2 3 3 21
u uu u uTx x x x x
(6. 165)
e
3223 23 2 3
3 2
,uuT T x xx x
(6. 166)
Para 1 0x
1 11 1 21 2 31 3
1 11 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
T e T e T e T e
T e T e e
(6. 167)
e
2 12 1 22 2 32 3
2 22 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
T e T e T e T e
T e T e
(6. 168)
e
ˆ 0Tn (6. 169)
onde
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆn n e n e n e (6. 170)
e
1 1 2 2 3 3 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆn e n e n e n Te n Te T (6. 171)
e
2 12 1 22 2 33 3 3 13 1 23 2 33 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n T e T e T e n T e T e T e (6. 172)
e
320
2 12 3 13 1 2 22 3 23 2 2 32 3 33 3ˆ ˆ ˆ 0n T n T e n T n T e n T n T e (6. 173)
e
2 12 3 13
2 22 3 23 2 3
2 32 3 33
00 ; ,0
n T n Tn T n T n nn T n T
(6. 174)
Como
23 22
32 33
0 00 0
T TT T
(6. 175)
Analisando
Figura - 6. 8.
2 12 1 22 2 32 3
12 22 32
ˆ ˆ ˆ ˆ 00
e T e T e T eT T T
T (6. 176)
e
2 2321 22
1 2 3
0j
j
T TT Tx x x x
(6. 177)
e
322 2
2 2 2 3
2 0uT ux x x x
(6. 178)
e
323
2 3
2 uu f xx x
(6. 179)
e
2 1 2 3 2
1
3 3
u C x f x C
u g x C
(6. 180)
321
Por outro lado,
23 3 2
3 3 3 2
2 0T u ux x x x
(6. 181)
e
3 22
3 2
2 *u u c g xx x
(6. 182)
e
* *3 1 3 2 2
1
2 2* *
u C x f x C
u g x C
(6. 183)
Portanto,
2 1 2 2* *
3 1 3 2
u C x Cu C x C
(6. 184)
Logo,
22 1 2 3 2
22 2 0T C C C CT C
(6. 185)
e
11 1 2 3 1
11 1
T C C C CT C
(6. 186)
e
33 1 2 3 3
33 3
T C C C CT C
(6. 187)
e
3 31 2 2
23 231 2 3 3 20
u uu u uTx x x x x
(6. 188)
e
322
32
233 2
00
0uuTx x
(6. 189)
continuando da interrupção. De
2 22 3 23
2 32 3 33
00
n T n Tn T n T
(6. 190)
Portanto,
22 23 0T T cte (6. 191)
E o tensor de tensão é:
11 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
TT
(6. 192)
Mas 11T , logo
111
1
222
2
333
3
0
0
3
uT exuT exuT ex
e e
(6. 193)
e
3e (6. 194)
e
3e
(6. 195)
i)
1
1113
uTx
(6. 196)
323
Então
1
1 3ux
(6. 197)
e
1
1
33
ux
(6. 198)
e
1
1
23
ux
(6. 199)
Portanto,
1
1
23
ux
(6. 200)
Então
1 123
u x
(6. 201)
ii)
2 2
222 2
03
u uT ex x
(6. 202)
e
2
2 3ux
(6. 203)
Então
2 23u x
(6. 204)
iii)
3 3
333 3
03
u uT ex x
(6. 205)
e
324
3
3 3ux
(6. 206)
Então
3 33u x
(6. 207)
325
6. 13 – Torção de uma Barra Cilíndrica
Considere o cilindro mostrado na
Figura - 6. 9.
v r (6. 208)
ou
du dv rdt dt
(6. 209)
logo
du d r (6. 210)
Vamos admitir que:
1
1 1 1 2 2 3 3
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
u r e re x e x e x e
(6. 211)
e
2 2 3 3ˆ ˆu x e x e (6. 212)
Portanto,
1
2 3
3 2
0uu xu x
(6. 213)
onde
326
1x (6. 214)
Vejamos agora as componentes do tensor de deformação E
11 22 33 0E E E (6. 215)
e
1 212 3 3
2 1
1 1 ''2 2 2
u uE x xx x
(6. 216)
e
3113 2 2
3 1
1 1 ''2 2 2
uuE x xx x
(6. 217)
e
3223
3 2
1 1 02 2
uuEx x
(6. 218)
Da lei de Hooke temos:
0
2ij ij ijT e E
(6. 219)
onde
11 22 33 0T T T (6. 220)
e
12 3 3'2 '
2T x x (6. 221)
e
13 2 2'2 '
2T x x (6. 222)
e
23 232 2 .0 0T E (6. 223)
Substituindo na equação de equilíbrio, temos:
327
0ij
j
Tx
(6. 224)
Para 1i
11
1
Tx
12
2
Tx
13
3
Tx
0 (6. 225)
Para 2i
21 22
1 2
T Tx x
23
3
Tx
3'' 0x (6. 226)
Para 3i
31 32
1 2
T Tx x
33
3
Tx
2'' 0x (6. 227)
Portanto,
1'' 0 ' C (6. 228)
e
1 1 2C x C (6. 229)
Vamos agora encontrar quanto vale 1C , através das condições de contorno.
Na superfície lateral:
ˆ 0t n T (6. 230)
e
2 2 3 3 2 2 3 3
2 12 1 22 2 32 3 2 3 13 1 23 2 33 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0
n e n e n e n e
n T e T e T e e n T e T e T e e
T T T
(6. 231)
e
2 2 3 3 2 12 3 13 1 2 22 3 23 2 2 32 3 33 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n e n e n T n T e n T n T e n T n T e T (6. 232)
logo
328
2 12 3 13
2 22 3 230
2 32 3 330
00
0
n T n Tn T n T
n T n T
(6. 233)
Por outro lado,
322 3
322 12 3 13 3 2
2 3 3 2
ˆ ˆ ˆ
' '
' 0
xx rn e ea a a
xxn T n T x xa a
x x x xa
(6. 234)
Logo, u é compatível com 0n T na superfície lateral,
Na superfície 1x l
2 11 1 21 2 31 30
21 2 31 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
t e T e T e T e
T e T e
T
(6. 235)
logo
3 2 2 3ˆ ˆ' 't x e x e (6. 236)
Figura - 6. 10.
3 2 2 3ˆ ˆ' 'A A A
R tdA x e dA x e dA (6. 237)
e
329
3 2 2 3
0 0
ˆ ˆ' ' 0A A A
R tdA x dAe x dAe
(6. 238)
Tomando o momento em relação ao ponto O no centro.
odFA
M r tdA
(6. 239)
e
2 2 3 3 3 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ' 'oA
M x e x e x e x e dA
(6. 240)
e
2
2 21 2 3 1ˆ ˆ' '
P
o PA
r
Momento deInércia Polar I
M e x x dA e I
(6. 241)
e
1'o PM I e
(6. 242)
e
1o tM M e
(6. 243)
Portanto,
' t
P
MI
(6. 244)