Introdução à Matemática Financeira

Caio Sousa,Luis Carlos Franco,Pedro Henrique Vecchiati.

GESTÃO 2015.2

EMENTA

O que é Matemática Financeira? JurosDinheiro no TempoTaxa de DescontoTaxa Nominal x Taxa EfetivaFluxo de CaixaSistema de Amortização Estudo de Viabilidade Econômica

Introdução

O objetivo desse módulo é proporcionar o entendimento sobre conceitos e elementos básicos da Matemática Financeira;

Eles serão de extrema importância ao longo de todo o curso;

Começaremos com a revisão de alguns assuntos de conhecimento geral, para então iniciarmos a introdução de novos tópicos.

O que é a Matemática Financeira?

É a matemática envolvida para solução de problemas no âmbito de análise de dados financeiros em geral.

Aonde está a matemática Financeira

Presente no cotidiano:- Financiamentos, juros, amortização

Analise de alternativas de investimentos- Empréstimos bancários;- Aplicações financeiras-Avaliações de Projetos (...)

Juros

Conceitualmente, o juros é uma forma de remuneração paga a quem possui os recursos.

12 meses

R$ 10.800,00

R$ 10.000,00

tempo

Juros Simples X Juros Compostos

Juros

O regime de juros simples é caracterizado pela incidência da taxa apenas sobre o valor do capital inicial.

J = VP * i * n

Para se encontrar o valor do montante:

VF = VP * (1+ j * n)

O Regime de juros simples, cresce de forma linear.

Juros Simples

Juros Simples

Você está interessado em comprar um jet-ski novo, vai à loja, e vê que o seu preço original é de R$ 22.500,00. Sendo você um bom negociador negociou o jet-ski em dinheiro por R$ 20.000,00. Sabendo disso, você pegou esse dinheiro emprestado com um grande amigo, porém seu amigo que não é bobo, mas também não quer te explorar, quer te cobrar 0,75% a.m com prazo de 1 ano em regime de juros simples. Pegar esse dinheiro emprestado, é um bom negócio?

Juros Compostos

• É o regime mais utilizado no sistema financeiro;

• Também é conhecido como juros sobre juros;

• Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital (C) para calcular os juros do período seguinte;

• Cresce de forma exponencial.

Juros Compostos

Regime de juros Compostos

VF = VP x (1+i)n

Regimes de Capitalização

É a forma com que se verifica o crescimento do capital;

Ou seja, é a transformação do capital (valor inicial) em montante (valor final), através da aplicação de uma taxa ao longo do tempo;

O regime de capitalização pode ser simples ou composto;

Juros Compostos

Agora você conversa com seu amigo sobre o empréstimo para comprar o seu jet mas agora ele lhe propõe emprestar os R$ 20.000,00 em cash, porém você deve devolver a ele o dinheiro com uma taxa de juros de 0,75% a.m. em regime de juros compostos, ao final de 1 ano. Você acha que negociou bem esse empréstimo?

Exemplo em juros compostos:E se R$ 3.000,00 forem aplicados por dez meses à taxa de juros compostos de 4% ao mês, análise a diferenças entre os dois regimes. Qual parece ser mais vantajoso??

Regime Simples x Regime Composto

Regime de Capitalização Composta

Exemplo:Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de juros compostos de 2% ao mês?

Solução: FV = C(1 + i)n

FV = 15.000,00 (1 + 0,02)9

FV = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35

Valor do Dinheiro no Tempo

“Time is money”

-Benjamin Franklin

Valor do Dinheiro no Tempo

O Dinheiro varia no tempo, isso se dá por causa da taxa de juros, com ela o dinheiro capitaliza se andar pra frente ou é descontado se andar pra trás.

Valor do Dinheiro no Tempo

VF = VP * (1 + j)n

Qual o valor futuro de R$ 2.000,00 em 5 meses a 10% pela Tabela Price?

Veremos adiante que a Tabela Price equivale ao à uma taxa efetiva anual. Nesse exemplo tempos então 0,10/12 = 0,0083 a.m.

VF = 2000 * (1 + 0,0083)5 = R$ 2.084,39

Valor do Dinheiro no Tempo

Agora vamos trazer a valor presente, de um recebível de R$ 2.000,00 em 5 meses a uma taxa equivalente a anterior (0,0083).

VP = 2000/(1+0,0083)5 = R$ 1.919,03

Taxa de Desconto

• Dois tipos: Simples (Bancário) ou Composto (Racional);

VP = VF * (1 –j*n)

VP = VF / (1 + j)n

Taxa de Desconto

Você tem uma aplicação para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e deseja antecipar a retirada. Vamos calcular o valor resgatado nos regimes de desconto bancario e composto a 8%.

VP = VF * (1 – j*n) = 1500 * (1 – 0,08*3) = R$ 1.140,00

VP = VF/(1 + j)n = 1500 / (1,08)3 = R$ 1.190,75

Desconto Composto

Exemplo:

Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.

FV = PV * (1+J)n

Desconto Composto

Solução:

(FV – 1379,77) = FV/(1+0,03)3

1,0927 FV – 1507,7119 = FVFV(1,0927 – 1) = 1507,7119FV = R$ 16.259,6863

“Esse assunto causa uma boa confusão, porque as taxas são cotadas de várias maneiras. As vezes, o modo como a taxa é cotada é resultado da tradição, em outras, da legislação . Infelizmente, em alguns casos, as taxas são cotadas de maneiras deliberadamente enganosas, para iludir tomadores de empréstimos e investidores.”

Ross, Westerfild Jordan

Taxas

Taxa Efetiva X Taxa Nominal

Taxas

Taxa Efetiva

No banco te ofereceram um produto que rende 15% a.a. capitalizados mensalmente.

Taxa efetiva: 0,15 / 12 = 1,25 % a.m.Taxa Efetiva Anualizada: (1+0,0125)^12 – 1 = 16,08 %

Taxa Over

Também chamada simplesmente de "taxa básica", a SELIC é, no Brasil, a taxa de financiamento no mercado interbancário para operações de um dia, ou overnight,

quando anual segue padrão DU/252 efetiva,

quando mensal, segue padrão DU/30 nominal.

Obs.: Obviamente, trata-se de uma taxa nominal e o número de dias úteis que os juros serão capitalizados para o cálculo da taxa efetiva deve ser informado.

Taxa Over

Vamos supor que a taxa “over” em determinado momento esteja definida em 5,4% a.m (taxa nominal). Periodo com 22 dias úteis mensais. Qual a taxa efetiva do período?

Taxa Over

i = 5,4%/30 = 0,18% (Taxa Nominal)

A taxa efetiva dessa taxa para 22 dias uteis será: i = (1+0,018)22 -1 = 4,04%

Podemos concluir que a taxa de 4,04% representa a taxa efetiva para os 30 dias corridos do mês.

Fluxo de Caixa

O fluxo de caixa é um instrumento de gestão financeira que projeta para períodos futuros todas as entradas e as saídas de recursos financeiros;

Revela qual será o saldo de caixa para um período determinado;

É uma estrutura flexível, podendo ser modificado de acordo com as necessidades.

Fluxo de Caixa

Exemplo:

- R$ 5.000,00 - R$ 5.000,00

R$ 4.000,00R$ 4.000,00 R$ 4.000,00R$ 4.000,00

Vamos trazer o fluxo de caixa a Valor Presente, assim achamos o Valor Presente Líquido (VPL) do nosso fluxo. Usar uma taxa de 0,05.

0 -R$ 100,001 R$ 30,002 R$ 50,003 R$ 0,004 R$ 70,00

Valor Presente

Serie Postecipada

Serie Antecipada

Pagamentos

PMT = VP * j / (1 – (1 + j)-n

PMT = VP * j / (1 + j) * (1 – (1 + j) -n

Sequências de Capitais

Exemplo: Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e iguais de R$550,00 cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual o seu preço a vista?

n=4 i=5% a.m.= 0,05 a.m. R=550

V = 550 . [(1,05)4 – 1]/(1,05)4 . 0,05 = 1.950,27

Pagamentos

Um investidor aplica R$ 2.500,00 ao final de cada mês durante um prazo de 20 anos, a uma taxa de 0,6% a.m. Qual é o saldo final ?

R$ 1.334.405,85

Sistemas de Amortização

Amortização é o ato de acabar com uma dívida através de pagamentos periódicos.

Em todos os sistemas, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor.

Sistemas de Amortização

• Sistema de Amortização Francês (SAF) –

Sistema Price no Brasil• Sistema de amortização constante (SAC)• Sistema de Amortização Americano (SAA)• Sistema Bullet

Sistemas de Amortização

Exemplo: Um financiamento de R$150.000,00 foi pedido para a aquisição de um imóvel. O período de pagamento é de 6 anos, a taxa de juros mensal é de 0,72%. O pagamento deve ser realizado de acordo com o SAC, SAF, BULLET e SAA.

Estudo de Viabilidade EconômicaEsse estudo é extremamente importante para a análise de projeções que permitam identificar o real potencial de retorno do investimento.

Assim, pode-se decidir se os resultados previstos serão interessantes ou não e se o projeto deve ter prosseguimento;

Existem diversos indicadores utilizados para esse ramo da Matemática Financeira, aqui abordaremos os principais e mais recorrentes.

Estudo de Viabilidade Econômica

Taxa Mínima de Atratividade (TMA):

É a taxa de juros que deixa de ser obtida na melhor aplicação financeira alternativa (custo de oportunidade);

Essa aplicação deve ser estipulada considerando os objetivos de médio e longo prazo do investimento.

Estudo de Viabilidade Econômica

Valor Presente Líquido (VPL):

É a fórmula matemático-financeira capaz de determinar o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do investimento inicial. Em outras palavras, é o calculo de quanto os futuros pagamentos somados a um custo inicial estariam valendo atualmente.

Estudo de Viabilidade Econômica

• Taxa Interna de Retorno (TIR): É a taxa para qual aquele fluxo de caixa se iguala a zero:

Ex: 0 = FV/(1+j)0 + FV’ / (1+j)1 + FV’’ / (1+J)2 (...)

Porém a TIR apresenta alguns problemas que discutiremos agora...

Estudo de Viabilidade Econômica

• Índice Benefício Custo (IBC):

Indica o quanto se lucra por unidade de capital investido;

É a razão entre o valor presente dos benefícios esperados e o valor presente dos investimentos necessários para realizar o projeto.

IBC > 1 Aceitar o projeto.IBC < 1 Rejeitar o projeto.

Estudo de Viabilidade Econômica• Período de Recuperação do Investimento (PRI) ou

“payback” É o tempo necessário para se recuperar o capital investido.

Acumula-se, período a período, o valor presente (VP) de cada benefício, até que a soma se iguale ao valor do investimento inicial.

O período correspondente a última parcela será o PRI.

Obrigado