INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

Noções Básicas

Profº Aristóteles Miranda 2ªSérie

O QUE É A ANÁLISE COMBINATÓRIA?

• A análise combinatória corresponde ao ramo da matemática que procura elaborar métodos que nos permitam encontrar o número de possibilidades que um evento pode ocorrer, sem a obrigatoriedade de descrevermos todos os eventos possíveis.

• Trata-se de uma parte da matemática extremamente prática, onde a teoria é apenas uma pequena fração do conhecimento exigido.

• Isso significa que, mais que fórmulas e conceitos, devemos ter muita criatividade e uma boa dose de interpretação na hora de resolver os problema.

POR QUE É IMPORTANTE CONHECER UM PROCESSO DE CONTAGEM?

• É importante conhecermos tais métodos, pois nem sempre temos condições de descrever todas as formas sob as quais uma situação pode ocorrer, principalmente em situações onde a resposta é um número muito elevado.

O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

• Corresponde ao mais importante princípio da análise combinatória. Uma boa parte dos exercícios de contagem podem ser resolvidos usando esse princípio (P.F.C)

• Tal princípio procura estabelecer qual o número de maneira que um determinado evento pode ocorrer, quando a ordem de seus elementos é importante e quando este evento é segmentado em diversas etapas.

PODEMOS ENUNCIAR O PFC DA SEGUINTE MANEIRA:

• Se um evento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:

P1 é o número de possibilidades da etapa 1;

P2 é o número de possibilidades da etapa 2;

• . . .

Pn é o número de possibilidades da etapa n.

O número de maneiras que o evento pode ocorrer é dado por: p1.p2.p3...pn.

EXEMPLO 1

Uma fábrica produz automóveis, cujos modelos podem ser escolhidos de acordo com alguns opcionais. Os clientes podem decidir entre as seguintes opções:

• Modelo: conversível ou não conversível

• Combustível: gasolina, bicombustível ou gás.

De quantas formas se pode escolher um carro com essas opções?

RESOLUÇÃO

Sabemos que existem duas opções quanto ao modelo (conversível ou não conversível) e três opções para o combustível (gasolina, bicombustível ou gás).

De acordo com o princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades que temos ao todo é dado pelo produto das possibilidades de cada evento individual.

Dessa forma, o número de possibilidades é igual a 2.3 = 6 possibilidades.

• Observe que esse resultado condiz com a realidade. Observe o diagrama abaixo.

De acordo com o diagrama as opções são: {conversível e gasolina; conversível e gás; conversível e bicombustível; não conversível e gasolina; não conversível e gás; não conversível e bicombustível}

EXEMPLO 2

Uma bandeira foi desenhada com quatro cores na vertical. O criador tinha a disposição quatro cores (amarela, vermelha, azul e cmb) . De quantas maneiras essa bandeira poderia ser pintada? Considerando que todas as cores deviam ser distintas (diferentes)

RESOLUÇÃO

Nesse caso a solução é simples, observe que para a primeira linha vertical, o pintor tinha quatro cores distintas para escolher uma delas, para a segunda tinha três cores disponíveis, para a segunda tinha duas e para última linha apenas uma.

Pelo P.F.C 4. 3. 2. 1 = 24

EXEMPLO 3

Um determinado site utiliza uma senha de acesso composta por cinco caracteres, sendo os dois primeiros alfabéticos (26 letras) e os três últimos numéricos (10 algarismos). Para tornar ainda mais seguro ao acesso ao site, a direção resolveu instituir uma nova senha composta por seis caracteres, sendo os três primeiros alfabéticos e os três últimos numéricos. Com essa nova decisão, quantas senhas adicionais e distintas poderão ser cadastradas?

RESOLUÇÃO

A quantidade de senhas que o site oferecia antes do aumento era dada por:

26.26.10.10.10 = 676000

Após o aumento, o número de senhas passou a ser:

26.26.26.10.10.10 = 17576000

O aumento no número de senhas é dado pela diferença entre esses dois valores.

n= 17576000 – 676000 = 16900000 novas senhas