ESTADISTICA INFERENCIAL Intervalo de Confianza

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN

Estadística Inferencial

TEMA

Intervalo de Confianza

EQUIPO: Restaurantes 2Aguilar Hernández Leticia

Avila Ortega GabrielaBarcelata Beltrán Ana María

Domínguez Rivera Laura MaríaDurán Fabián Luis SelinGarcía Velázquez Anahí

González Cabañas LizethPacheco Betancourt Adriana Nohemi

PROGRAMA EDUCATIVO: Lic. Admón. Turística

Veracruz, Ver., a 17 de mayo del 2010

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INTERVALO DE CONFIANZA

A partir de la normalización de estudios estadísticos mediante distribuciones muestrales, es posible determinar parámetros de una población a través de sus valores estadísticos. Normalmente, no se indica un valor único para el parámetro desconocido, sino un rango de valores denominado, intervalo de confianza.

Cuando se conoce la distribución que sigue una población estadística y se desea determinar el valor de alguno de sus parámetros, puede elegirse una muestra representativa de la población y aplicar las fórmulas de sus valores estadísticos. Este tipo de operación se denomina estimación paramétrica.

Al realizar una estimación paramétrica, pueden obtenerse dos tipos de resultados:

Estimación puntual, con un único valor para el parámetro desconocido.

Intervalo de confianza, que ofrece para dicho parámetro un rango de valores comprendidos entre dos límites.

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GLOSARIO

CONCEPTO DEFINICION TRADUCCION

Nivel de ConfianzaProbabi l idad de que el parámetro

a est imar se encuentre en el intervalo de conf ianza.

Probability that the parameter estimate is within the confidence

interval.Nivel de

SignificanciaProbabilidad de cometer un error de

estimaciónProbability of making an

estimation error

Intervalo

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los

puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.

An interval is a set of real numbers that correspond to the points of a segment or a

ray in the real line.

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FORMULARIO

INTERVALO DE CONFIANZA

C a s o E s t a d í s t i c o

Para la media

Para la proporción

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INTERVALO DE CONFIANZA

Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.[]

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro se distribuya normalmente. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshov.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α % para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:

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Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

. Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que:

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual "caigan" un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado.

Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (

), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95% y 99%. A este valor se le llamará 1 − α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 —o mejor dicho su versión estandarizada Zα / 2— junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

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Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

z − α / 2 = − zα / 2

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:

Resultando el intervalo de confianza:

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Si σ no es conocida y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):[]

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor zα / 2 para los niveles de confianza estándar son 1,96 para 1 − α = 95% y 2,576 para 1 − α = 99%.[

Intervalo de confianza para una proporción

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la aproximación de una binomial por una normal.

EJEMPLOS

1. Los siguientes son datos de conductividad térmica de cierto tipo de hierro (en BTU/hr-ft-°F):

41.60 41.48 42.34 41.95 41.86

42.18 41.72 42.26 41.81 42.04

Una estimación puntual para la media, es = 41.924. Hallar un intervalo de confianza del 95 % y uno del 99% para la media.

Se supone que la población tiene una distribución Normal con s=0.3

Usamos la expresión para encontrar el intervalo de confianza para la media: Usando Matlab para calcular za/2 = norminv(0.025,0,1)

l = 41.924 - 1.96(0.3)/Ö10 = 41.738, u = 41.924+1.96(0.3)/Ö10 = 42.110

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Entonces el intervalo de confianza del 95% es

41.738 £ m £ 42.11

2. De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al azar, 823 son de pacientes que fallecieron. Construya un intervalo de confianza del 95% para la tasa de mortalidad del cáncer pulmonar

La tasa de mortalidad es la proporción de los que mueren a los que contraen el cáncer pulmonar, de la muestra tenemos que = 0.823. Por otro lado z0.025=1.96, entonces:

Es decir, 0.799 £p£0.847

3. En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:

Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianza de 95%.

4. Para determinar la estatura media de los varones adultos españoles, se tomó una muestra al azar de 10 de ellos en la que se obtuvo los valores 162, 176, 169, 165, 171, 169, 172, 168, 167 y 175 cm. Determinar el valor de la estatura media, suponiendo que = 16.

Un estimador puntual para la estatura media µ es la que en este caso es 169,4. Para dar un intervalo de confianza hemos de suponer que es una v. a. normal.

Como n=10, = 169,4 y = 4, para el intervalo de confianza al 95%, la expresión

(4.1) indica que

Así pues, esperamos que este intervalo sea un de los 95 de cada 100 que contienen a µ, o, más brevemente, la estatura media de los españoles varones adultos es algún valor entre 166,92 cm y 171,88 cm con una confianza del 95%.

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5. Se preguntó a 80 pacientes si habían sufrido algún trastorno tras seguir un tratamiento, de los cuales 60 (p=60/80=3/4=75%) dijeron que no. La muestra es grande y no esperamos que el porcentaje real en caso de haber sido extendido a muchos más pacientes sea muy diferente. Por tanto el error estándar es: EE = p ·(1- p) / n = 0.75 – 0.25 / 80 = 0.048 = 4.8 %Podemos decir, pues, que el 75% de los individuos no mencionaron haber sufrido trastornos, con un margen de error de 2. EE = 9.6 %. La confianza es del 95%.

EJERCICIOS

1. En un trabajo de Quetelet se estudia la distribución del perímetro torácico medido en pulgadas de militares escoceses de principios del siglo XIX. Los resultados se muestran en la gráfica, y aparentan una distribución normal. La media es 39.8 y la desviación típica 2.05; El tamaño de la muestra es de 5738 individuos, por tanto el error estándar es:E.E = 2.05 / √5738 = 0.027 Podemos decir que el p erímetro torácico medio es de 39.8 pulgadas con un margen de error de 2. EE = 0.054 pulgadas, la confianza es del 95 %.

2. El tiemp o, en minutos, que esperan los clientes de un determinado banco hasta que son atendidos sigue distribuci on normal de me dia desconocida y desviaci on t__pica igual a 3. Los tiempos que esp eraron diez clientes elegidos al azar fueron los siguientes: 1’5, 2, 2’5, 3, 1, 5, 5’5, 4’5, 3’3. Determinar un intervalo de confianza de coeficiente de confianza 0’95, para el tiempo medio de espera.

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3. La duración de un determinado proceso industrial es una variable aleatoria con distribución desconocida. Examinado dicho proceso industrial en 200 ocasiones elegidas al azar, se observó una duración media muestral de ẋ= 1’25 hrs. determinar un intervalo de confianza 0’95 , para la duración media del proceso industrial en cuestión.

4. Deseamos valorar el grado de conocimientos en Historia de una población de varios miles de alumnos. Sabemos, por estudios anteriores, que la desviación

típica poblacional es =2,3. Nos proponemos estimar pasando una prueba a

100 alumnos. La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser =6,32.

Halla el intervalo de confianza de con un nivel de confianza del 95%.

Esto quiere decir, que aunque no sabemos el valor de , “podemos asegurar que estará entre 5,87 y 6,77 con una probabilidad del 95%”.

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5. Queremos saber la media de km recorridos por los taxistas de cierta población. Sabemos por estudios anteriores que = 2.250 km. Para ello, elegimos una

muestra de 100 taxistas y obtenemos una media muestral =15.200 km.

Determina el intervalo de confianza al 99% para .

Puesto que n=100 (30), sabemos que .

FUENTE

http://ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/sorpresa/estimacion%20de%20la%20media.doc

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_06600.html http://webcache.googleusercontent.com/search?

q=cache:0pxsPj1X7ZsJ:docencia.izt.uam.mx/maa/Biometria%2520I/material_adicional/INTERVALOS_CONFIANZA.doc+intervalo+de+confianza&cd=3&hl=es&ct=clnk&gl=mx

http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM

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