Interpretação da linguagem natural para a lógica...
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Lógica proposicional
Sintaxe • Proposição: afirmação que pode ser verdadeira
ou falsa – Proposições podem ser expressas como fórmulas – Fórmulas são construídas a partir de símbolos:
• De verdade: true (verdadeiro), false (falso). • De pontuação: ( , ) • Proposicionais (Letras sentenciais): 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆,.....etc. • Operadores lógicos (Conectivos proposicionais):
– Unário: ¬ (não) – Binários: ∧ (e); ∨ (ou); então (→); se e somente se (↔); ⊕ (ou
exclusivo)
Lógica proposicional
Sintaxe
• Uma fórmula escrita de forma correta denomina-se “fórmula bem formada” (fbf).
– Regras de formação de fbf
• Qualquer letra sentencial (𝑃, 𝑄, 𝑅,...etc.) é uma fbf
• Se 𝑃 é uma fbf, então ¬𝑃 também é uma fbf.
• Se 𝑃 e 𝑄 são fbfs, então 𝑃 ∧ 𝑄; 𝑃 ∨ 𝑄 ; 𝑃 → 𝑄; 𝑃 ↔ 𝑄; 𝑃 ⊕ 𝑄 também são fbfs.
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• O operador “e” (∧) – A frase “José compra tijolos e vende casas” é uma
proposição composta, conjunção de duas proposições: • “(José compra tijolos)” e “(José vende casas)”
𝑃 ∧ 𝑄
– Note que a palavra “e” em português tem vários sentidos, e nem todos correspondem à conjunção lógica. Por exemplo: • “Maria gosta de arroz e feijão” não significa “Maria gosta de arroz”
e “Maria gosta de feijão” (uma proposição composta), mas sim
• “Maria gosta de arroz misturado com feijão” (uma proposição só).
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• Uma variedade de termos pode ser usada para expressar o “e”. Exemplo:
– Trabalhei muito, mas não fui promovido: “(Eu trabalhei muito)” e “(Eu não fui promovido)”
– A conjunção “mas” pode ser substituída por: porém, todavia, contudo, entretanto, no entanto.
**Cuidado: não existe “no entretanto”.
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• Exemplos:
– Trabalhei muito, porém não fui promovido.
– Trabalhei muito, contudo não fui promovido.
– Trabalhei muito, todavia não fui promovido.
– Trabalhei muito, entretanto não fui promovido.
– Trabalhei muito, no entanto não fui promovido.
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• O operador “ou” (∨)
– A frase “O cliente tem celular ou laptop” é uma disjunção de duas proposições atômicas:
• “(O cliente tem celular) ou (O cliente tem laptop)”
– Este conectivo é também chamado de “ou inclusivo”, pois permite que as duas frases sejam verdadeiras. A frase acima é verdadeira se o cliente tem apenas celular, apenas laptop, ou celular e laptop.
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• O operador “não” (¬)
– A partir de uma proposição 𝑃, podemos formar uma nova proposição com o valor lógico oposto ao de 𝑃.
– Essa nova proposição é chamada a negação de 𝑃 e denotada por ¬𝑃.
– Em português, a negação pode ser expressa de várias formas, por exemplo, acrescentando a palavra “não” antes do verbo ou dizendo: “não é verdade que . . . ”.
– Por exemplo a frase “A casa é de qualquer cor menos branca.” é uma negação: “¬(A casa é branca)”.
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• O operador de implicação “então” →
– A implicação é um dos mais importantes conetivos da lógica e da matemática.
– Muitos teoremas em matemática estão na forma de implicações: se determinada afirmação 𝑃 (a hipótese, premissa, ou antecedente) é verdadeira, então outra afirmação 𝑄 (a tese, conclusão ou conseqüência) também é verdadeira.
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• Uma variedade de termos pode ser usada para expressar 𝑃 → 𝑄:
Interpretação da linguagem natural para a lógica formal
• Proposições condicionais e proposições derivadas, dada a proposição 𝑃 → 𝑄 têm-se:
– Proposição contrapositiva: ¬𝑄 → ¬𝑃
– Proposição oposta: 𝑄 → 𝑃
– Proposição inversa: ¬𝑃 → ¬𝑄
Lógica proposicional
Semântica dos operadores (valor-verdade)
Exemplo: seja 𝑷 = “Eu sou rico”, logo, ¬𝑷 =“Eu não sou rico”.
Na linguagem natural, não significa necessariamente que sou pobre, mas, essas situações não são contempladas na Lógica clássica.
Lógica proposicional
Semântica dos operadores (valor-verdade)
Exemplo: seja 𝑷 = “Lucas pulou na piscina”, 𝑸 =“Lucas se molhou”.
Lógica proposicional
Semântica dos operadores (valor-verdade)
Exemplo: seja 𝑷 = “Esta chovendo”, 𝑸 =“Esta fazendo sol”.
Lógica proposicional
Semântica dos operadores (valor-verdade)
Exemplo:
𝑷 = “Está chovendo”,
𝑸 =“A rua está molhada”.
Se esta chovendo, então a rua está molhada.
A rua está molhada, se está chovendo.
Estar chovendo é suficiente para que a rua esteja molhada.
A rua molhada é necessária para que esteja chovendo.
Lógica proposicional Semântica dos operadores (valor-verdade)
Exemplo:
𝒑 = “Maria aprova Lógica”
𝒒 = “Maria tem média 6,0”.
Maria aprova Lógica se, e somente se, ela tem média 6,0
Envolve dois condicionais:
“Se Maria aprova Lógica, então ela tem média 6,0” e “Se Maria tem 6,0 na média de Lógica, então ela é aprovada”.