Interpolação 1.Introdução 2.Conceito de Interpolação 3.Interpolação Polinomial 4.Formas de...
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Interpolação
1. Introdução2. Conceito de Interpolação3. Interpolação Polinomial4. Formas de obter pn(x)
4.1 Resolução de sistema linear 4.2 Forma de Lagrange 4.3 Forma de Newton
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Introdução
A tabela abaixo relaciona calor específico da água e temperatura:
Temperatura (°C) 20 25 30 35
Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818
Temperatura (°C) 40 45 50
Calor específico 0.99828 0.99849 0.99878
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1. Introdução
Vamos supor que desejamos saber:a) o calor específico da água a 32.5°;b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.
Interpolação
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Introdução
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma função g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada no lugar da função f(x).
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Introdução Situações de interpolação.a) Quando temos os valores numéricos de
uma função não conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta num ponto não tabelado.
b) Quando uma função conhecida em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis (ou impossíveis).
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2. Conceito de Interpolação
Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn).
A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função g(x) tal que: g(x0) = f(x0),
g(x1) = f(x1),
g(xn) = f(xn).
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2. Conceito de Interpolação Graficamente
x
f(x)
x0 x1 x2 x3 x4 x5
(x0,f(x0))
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
(x3,f(x3))
(x4,f(x4))(x5,f(x5))
f(x)
g(x)
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2. Conceito de Interpolação
Consideraremos aqui que g(x) é uma função polinomial. Contudo, a função g(x) escolhida pode ser: racional, trigonométrica, etc.
Existem outras formas de interpolação, por exemplo via fórmula de Taylor, via polinômios de Hermite, etc.
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3. Interpolação Polinomial
Dados os pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a
n, tal que
f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n
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3. Interpolação Polinomial
Teorema: Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n desde que
kjjk ,xx
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3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:
Seja . Das condições de interpolação:
)(....
.......................
)(....
)(....
2210
11212110
00202010
nnnnnn
nn
nn
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
nnn xaxaxaaxp ....)( 2
210
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3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:A matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde, logo desde que sejam pontos distintos, então o determinante da matriz dos coeficientes é não-nulo. Consequentemente o sistema admite solução única.
Conclusão: Existem únicos que satisfazem as condições de interpolação.
nxxxx ,....,,, 210
naaaa ,....,,, 210
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4. Formas de obter pn(x)
Há várias maneiras para obter pn(x).
Discutiremos três possibilidades:
Resolução de Sistema Linear Forma de Lagrange Forma de Newton
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4. Formas de obter pn(x)
1. Resolução de Sistema LinearExemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo:
Temos então:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
22102 )( xaxaaxp
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio:
Resolvendo o sistema linear, obtemos
22102 )( xaxaaxp
1421)2()2(
11)0()0(
44)1()1(
2102
02
2102
aaafp
afp
aaafp
3/23/7,1 210 aaa e
22 3
2
3
71)( xxxp
polinômio que interpola f(x) em x0, x1 e x2
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Nem sempre a resolução do sistema linear para se obter pn(x) é simples e exato.Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola os dados da tabela abaixo:
x 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 5 13 -4 -8
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio:
33
22103 )( xaxaxaaxp
8064.016.04.08)4.0()4.0(
4027.009.03.04)3.0()3.0(
13008.004.02.013)2.0()2.0(
5001.001.01.05)1.0()1.0(
32103
32103
32103
32103
aaaafp
aaaafp
aaaafp
aaaafp
Sistema de 4 equações com 4 incógnitas
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por eliminação de Gauss, com uma aritmética de ponto flutuante com três dígitos:
Lembrete de aritmética de ponto fixo: é a base; e é o expoente;
e t é o número de dígitos na mantissa.
1100
1110
2210
1210
108.01064.01016.0104.01
104.01027.0109.0103.01
1013.0108.0104.0102.01
105.0101.0101.0101.01
etddd ).0( 21
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Obter p3(x) usando aritmética de ponto flutuante com três dígitos e eliminação de Gauss:
Para x=0.4
3424
423
)10633.0()10505.0(
)10115.0(1066.0)(
xx
xxp
8)4.0(
10)4.0(3
f
p)4.0()4.0(3 fp
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por Eliminação de Gauss com 18 dígitos, utilizando o programa do Maple:
1. .100000000000000004 .0100000000000000002 .00100000000000000002
0. .300000000000000042 .149999999999999994 .0630000000000000004
0. 0. -.0199999999999999970 -.0139999999999999986
0. 0. 0. -.00200000000000000526
> with(LinearAlgebra):A := <<1,1,1,1>|<0.1*10^(0),0.2*10^(0),0.3*10^(0),0.4*10^(0)>|<0.1*10^(-1),0.4*10^(-1),0.9*10^(-1),0.16*10^(0)>|<0.1*10^(-2),0.8*10^(-2),0.27*10^(-1),0.64*10^(-1)>>;
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Continuando
1. .99999730718280943610-11
-.75171350616409791710-17
-.26888213873216972610-16
-65.9999999884832534
0. .99999999990000022 .92518585376177856610-16
.44235448632985038510-15
1151.66666655149880
0. 0. .99999999999999988 -.19949319973733281610-14
-5049.99999999999546
0. 0. 0. 1.00000000000000266 6333.33333333332758
> b := <5,13,-4,-8>;
> GaussianElimination(A);
> ReducedRowEchelonForm(<A|b>);
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Note que no processo de eliminação de Gauss, a matriz escalonada tem números muito próximos de zero. Isto gera problemas de arredondamento!!!!
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4.2 Forma de Lagrange Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn,
chamados nós da interpolação, e os valores de yi= f(xi): f(x0), f(x1), ..., f(xn) para i=1,2,...,n.
A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função pn(x) tal que:
onde os polinômios são de grau n.
IMPORTANTE: Como os yi são dados, devemos no Método de Lagrange determinar os .
)(.......)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn
)(xLk
)(xLk
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4.2 Forma de Lagrange
Queremos que as condições sejam satisfeitas, ou seja,
Solução
Note que e
iin yxp )(
nkkkkkkk
nkkk xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
.......................
.......................)(
1110
1110
iinniiin yxLyxLyxLyxp )(.......)()()( 1100
1)( kk xL kise0)( ik xL
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4.2 Forma de Lagrange
Logo,
Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
com
iiiiikk
n
kin yxLyxLyxp
)()()(0
)()(0
xLyxp kk
n
kn
n
kjj
jk
n
kjj
j
k
xx
xx
xL
0
0
)(
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4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
Seja a tabela:
Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de Lagrange. Segue:
)()()()()( 221100
2
02 xLyxLyxLyxLyxp kk
k
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
3
2
2101
20)(
2
2010
210
xxxx
xxxx
xxxxxL
2
2
2010
21)(
2
2101
201
xxxx
xxxx
xxxxxL
60212
01)(
2
1202
102
xxxx
xxxx
xxxxxL
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4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
Enfim, a forma de Lagrange da interpolação:
Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!
22
222
2
3
2
3
71)(
6)1(
2
21
3
24)(
xxxp
xxxxxxxp
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4.2 Forma de Newton
A forma de Newton para o polinônio pn(x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é a seguinte:
No Método de Newton, os valores de são dados por diferenças divididas de ordem k.
110
102010
.......
.......)(
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
kd
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4.2 Forma de Newton Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0,
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
)(][ 00 xfxf
01
01
01
0110
)()(][][],[
xx
xfxf
xx
xfxfxxf
03
2103213210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
0
121021210
],....,,,[],...,,[],...,,,[
xx
xxxxfxxxfxxxxf
n
nnn
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4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas
Construímos a tabela:
)(][ 00 xfxf
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n
x0
x1
x2
..... ...... ...... .........
xn
],[ 10 xxf
],[ 21 xxf],,[ 210 xxxf
][ 0xf
][ 1xf
][ 2xf
][ nxf
],[ 32 xxf
],[ 1 nn xxf
],,[ 321 xxxf
],..,,[ 10 nxxxf
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4.2 Forma de Newton
1. Mostra-se que é simétrica nos argumentos, ou seja,
2. Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio de ordem n que interpola f(x) é
],...,,,[ 210 kxxxxf
],[],[ 0110 xxfxxf
.......],,[],,[ 201210 xxxfxxxf
],..,,,[))....()((...
...],,[))((],[)(][)(
210110
210101000
nn
n
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
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4.2 Forma de Newton - Exemplo
Sejam os dados:
Tabela
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4
-1 F[x0]=1
F[x0,x1]=0
0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
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4.2 Forma de Newton - Exemplo Dados:
A forma de Newton que interpola estes pontos é dada por
x -1 0 1
f(x) 1 1 02 3
-1 -2
)2)(1)(1()24/1(
)1)(1()6/1()1()2/1(1)(
)24/1()2)(1)(0)(1(
)6/1()1)(0)(1(
)2/1()0)(1(0)1(1)(
xxxx
xxxxxxp
xxxx
xxx
xxxxp
n
n
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Exercícios Fazer os seguintes exercícios do capítulo 4 do
livro texto:
Exercício 2 a Faça o projeto proposto Método de Newton
Discreto (página 206) e resolva novamente o exercício 2 a com este algoritmo.