INTRODUO A presente ATPS tem como objetivo demonstrar que a Matemtica ap!icada " uma #erramenta $ti! na an!ise de a!%umas a!ternativas de investimentos ou #inanciamentos de bens de consumo " um estudo indispensve! pois tudo %ira sobre c!cu!os " o con&ecimento usado para ca!cu!ar va!ores de a!%uns conceitos como as montantes' descontos' ta(as equiva!entes' desconto raciona!' desconto comercia! 'juro composto'Receita '!ucro'demanda'entre outras ap!ica)*es+ A matemtica tem %rande ap!icabi!idade para o administrador proporcionando novas t"cnicas de p!anejamento' sejam no contro!e de #inan)as' na produ),o' na comercia!i-a),o' ne%ocia)*es' ate mesmo na rea de recursos &umanos e em processo que envo!ve a administra),o em %era!+ Abordaremos no re#erido traba!&o o quanto " amp!o o campo de ap!ica),o dessa discip!ina' pois suas t"cnicas s,o necessrias em opera)*es de #inanciamento de quaisquer nature-as. cr"dito a pessoas #/sicas e empresas' #inanciamentos &abitacionais' cr"dito direto ao consumidor e outras+ Tamb"m s,o necessrias em opera)*es de investimentos mobi!irios nos mercados de capitais' en#im matemtica tem como objetivo capacitar o administrador a #ormu!ar o prob!ema' estabe!ecer as re%ras a serem ap!icadas para condu-ir aome!&or resu!tado+ Assim sendo' o sucesso ou #racasso de um processo de tomada de decis,o consiste na capacidade de antecipar os acontecimentos #uturos+ 0TAPA 1 PASSO12 Dados e prob!emas proposto na 0sco!a Re#or)o 0sco!ar+ 1+ P!ani!&a de %astos 3usto para capacita),o de 45 pro#essores da esco!a R6 75+555'55' no ato decontrata),o dos servi)os+ 3usto para aquisi),o de 85 novos computadores 9mu!tim/dia: ; pacote de so#tevantamento situaciona! da 0mpresa S,o o#erecidas au!as de Portu%u?s' >/n%ua 0span&o!a' >/n%ua In%!esa' Matemtica' @/sica' Au/mica' Bio!o%ia e In#ormtica+ A esco!a #unciona em tr?s per/odos. man&,' tarde e noiteC o#erecendo re#or)o esco!ar somente pe!a man&,' somente D tarde' somente D noite ou aos #inais de semana+ O n$mero de a!unos matricu!ados para este ano " . Man&,. 1E5C Tarde. 455C Noite. 175C @inais de semana. F5+ Os custos por a!uno para pais e a!unos s,o. Man&, R6 455'55 Tarde. R6 455'55 Noite' R6 1=5'55 @ina! de semana R6 185'55 Os prob!emas abordam os se%uintes conte$dos. @un),o de 1G %rau' e!abora),o de %r#icos' >ucro 9>:' Receita 9R:' 3usto 93:' pre)o 9p:' quantidade9q:' 3apita! 93:' Montante 9M:' Tempo 9t:' Huros 9j:' Ta(a de Huros 9i:+ 0TAPA 4 Passo12 3onceitos teIricos de #un)*es a situa)*es reais+ 3USTO A #un),o custo est re!acionada aos %astos e#etuados por uma empresa' ind$stria' !oja ou outro empreendimento' na produ),o ou aquisi),o de a!%um produto+ O custo pode possuir duas partes. uma #i(a e outra varive!+ Podemos representar uma #un),o custo usando a se%uinte e(press,o. 39(: J 3# ; 3v' onde 3#. custo #i(o e 3v. custo varive!+ R030ITA A #un),o receita est !i%ada ao #aturamento bruto de uma entidade' dependendo do n$mero de vendas de determinado produto+ R9(: J p+( ' onde p. pre)o e (. n$mero de mercadorias vendidas+ >U3RO A #un),o !ucro di- respeito ao !ucro !/quido das empresas' !ucro oriundo da subtra),o entre a #un),o receita e a #un),o custo+ >9(: J R9(: K 39(: @UNL0S 3onceito de #un),o Dados dois conjuntos n,o va-ios' A e B' uma #un),o # de A em B' representada por #. A B' " uma re!a),o que associa a cada e!emento ( B+ 0m s/mbo!os' escrevemos. M J #9(: M " uma #un),o de ( @UNO DO 1G NRAU 3&ama2se #un),o po!inomia! do 1G %rau' ou #un),o a#im' qua!quer #un),o # de Rem R dada por uma !ei da #orma #9(: J a( ; b' onde a e b s,o n$meros reais dados e a O 5+ Na #un),o #9(: J a( ; b' o n$mero a " c&amado de coe#iciente de ( e o n$mero b " c&amado termo constante+ A!%umas das #Irmu!as uti!i-adas. R9(: J p+( 39(: J 3# ; 3v >9(: J R9(: K 39(: p J Mr 1291;r:2n Passo 42 Atividade 1 2 0screva a #un),o Receita para cada turno de au!as 9man&,' tarde'noite e #ina! de semana:+ Depois' ca!cu!e o va!or m"dio das mensa!idades e escreva outra #un),o Receita para o va!or obtido como m"dia+ 1: @un),o Receita R9(: J p+q Turno At+A!unos R6 mensa!idade Man&, 1E5 455'55 Tarde 455 455'55 Noite 175 1=5'55 Intensivo F5 185'55 Tota! =E5 @un),o receita. R9(: . p+q Turno mensa!idade9p: A!unos 9q: Tota! Man&, 455'55 1E5 8F555'55 Tarde 455'55 455 75555'55 Noite 1=5'55 175 41555'55 Intensivo 185'55 F5 PE55'55 M"dia 1P5'55 =E5 157E55'55 R9(: 157+E55 5 =E5 a!unos ( 9 quantidade: 3a!cu!e o va!or m"dio das mensa!idades e escreva outra #un),o Receita para ova!or obtido como m"dia+ Qa!or m"dio das mensa!idadesJ Mensa!idades 9man&, ; tarde ; noite ; #ds: R 7 QmmJ 455;455;1=5;1857 QmmJ FE57 QmmJ 1P5'55 R9tota!: J Q9mm: + TA' 9Onde Q9mm: J va!or m"dio das mensa!idades e N J Tota! de a!unos: R9t: J 1P5'55 + =E5 J SE+F55'55 0TAPA 8 Di#eren)a entre varia),o m"dia e varia),o imediata+ A varia),o m"dia " de#inida em interva!os %randes e a imediata " de#inida em pequenos acr"scimos c&amados de di#erenciais+ O me!&or e(emp!o disso " a ve!ocidade m"dia e instantTnea+ Se um carro percorre 155 metros em 15 se%undos a ve!ocidade m"dia de!e 9ta(a de varia),o m"dia: " 15 mRs' mas isson,o %arante que em todos os se%undos se o!&ssemos para o re%istrador de ve!ocidade e!e marcaria 15mRs+ A ve!ocidade m"dia por ser de#inida em um interva!o %rande n,o %arante a precis,o da medida em um e(ato momento+ Porisso e(iste a ve!ocidade instantTnea' que di- e(atamente qua! " a ve!ocidade do carro em qua!quer um dos instantes do trajeto+ 3om a ta(a de varia),o media podemos ca!cu!ar a quantidade de produtos produ-idos e seu crescimento' em um determinado interva!o de tempo' onde setem a ta(a de varia),o da varive! dependente em re!a),o a varive! independente+ 0nquanto a ta(a de varia),o imediata " capa- de ca!cu!ar a ta(ade varia),o em um determinado instante' por e(emp!o' saber a quantidade de produ),o de um determinado produto para e(atamente =&oras+ Passo 4 3a!cu!ar a varia),o m"dia da #un),o receita do per/odo matutino 9em1E5 U q U 415 onde q representa a quantidade de a!unos matricu!ados: e a varia),o instantTnea da #un),o receita para o turno da man&, quando a quantidade de a!unos #or e(atamente 451 matricu!ados 9mostre o c!cu!o:+ U 9 menos ou i%ua!: Qaria),o m"dia m J varia),o em M J V M J MW 2 MX Qaria),o em ( V ( (# 2 (i Ou m J V W J W (; V(: K W9(: V ( V( qi J1E5 Pi J1E5Y1E54 J =+E84 q# J415 P# J 415Y4154 J S+4F1 mJ VP J S+4F1 K =+E84 J 874S J 117'8 Vq 41521E5 85 Qaria),o instantTnea m J !im V# & Z5 & m J !im # 9 (; & : K # 9 (: & Z5 & m J !im # 9 (; & : K # 9 (: & Z5 & 3a!cu!o de P 9 1: P 91: J 1E5 Y 14 J 1E5 P 9 1;& :J 1E5Y9 1;& :4 P 9 1;& :J 1E5Y 91;415&;&4 : P 9 1;& :J 1E5; 411&;415&4 3a!cu!o da Di#eren)a P 9 1;& : 2 P91: J 1E5; 411&;415&4 21E5 P 9 1;& : 2 P91: J 8S1;85&4 3a!cu!o da varia),o instantTnea m J !im 8S1 ; 85&4 & Z5 & m J !im &Y98S1 ; 85&: & Z5 & m J !im 8S1 ; 85& & Z5 m J 8S1 ; 85Y5 m J 8S1 Passo 8 2 @un),o 3usto 9considere custo #i(o e a #o!&a de pa%amento dos pro#essores:+ Depois' ca!cu!e a #un),o >ucro 9atividades 4 e 8 do ane(o I:+ Atividade 4 2 0screva a #un),o 3usto da esco!a que depender de escrever a #un),o Sa!rio dos pro#essores+ Uti!i-e variveis di#erentes para representar o n$mero de a!unos e o n$mero de %rupos de 45 a!unos que poder,o ser #ormados+ [ J numero de a!uno M J ( 45 Sa!rio dos pro#essores Os pro#essores t?m uma car%a &orria semana! de traba!&o de 4 &oras2au!a para cada %rupo de 45 a!unos e o sa!rio bruto para tanto " de R6 =5'55 por &oraRau!a menos 45\ de descontos 9@NTS' INSS e outros descontos !/citos:+ Despesas Operacionais' inc!uindo impostos e tari#as' %iram em torno de R6 7S+E55'55 9inc!uindo custo dos traba!&adores administrativos i%ua!mente importantes para o bom #uncionamento da estrutura esco!ar:+ Para que a #un),o sa!rio dos pro#essores seja atribu/da " necessrio operaciona!i-ar com a #Irmu!a @un),o 3usto. 3usto J 3usto @i(o ; 3usto Qariado+ S9M:J =5YMYE S9M: J 755M 3J 3# ; 3v 3 9(: J 755M ; 7S+E55 Atividade 8 ApIs a apura),o da receita e dos custos' vamos obter o !ucro' o qua! pode ser demonstrado pe!a #un),o >ucro' que di- respeito ao !ucro !/quido das empresas' !ucro oriundo da subtra),o entre a #un),o receita e a #un),o custo+ a: >9(: J R9(: K 39(: >9(: J 1P5(29755Y ( ; 7S+E55: 45 >9(: J 1P5( 245(27S+E55 >9(: J 1=5( 2 7S+E55 b: (J m;t;n;i ( J 1E5;455;175;F5 ( J =E5 c: > 9=E5: J 1=5Y=E527S+E55 > 9=E5: JEP+55527S+E55 > 9 =E5: J 81+755 Portanto o !ucro " de R6 81+755 Passo 72 Aquisi),o de computadores ter um custo de R6 =7+555'55 e juros simp!es de 1\ para parce!amento' teremos ent,o o va!or de cada presta),o mensa! de acordo com o numero de meses+ Para ca!cu!ar os di#erentes va!ores de presta),o para pa%amento das presta)*es para aquisi),o dos computadores' uti!i-e a se%uinte #Irmu!a. R J O va!or da presta),o P J R6 =7+555'55 va!or do empr"stimo i J 1\ a+m ta(a de juro nJ 4 presta)*es R J PYiY9 1 ; i :n 991;i :n K 1: RJ =7+555Y5'51Y91 ; 5'51 :4 J 4P+75='P5 991;5'51 :4 K 1: R J O va!or da presta),o P J R6 =7+555'55 va!or do empr"stimo i J 1\ a+m ta(a de juro nJ = presta)*es R J PYiY9 1 ; i :n 991;i :n K 1: RJ =7+555Y5'51Y91 ; 5'51 := J 11+14F'1= 991;5'51 := K 1: R J O va!or da presta),o P J R6 =7+555'55 va!or do empr"stimo i J 1\ a+m ta(a de juro nJ 15 presta)*es R J PYiY9 1 ; i :n 991;i :n K 1: RJ =7+555Y5'51Y91 ; 5'51 :15 J =+P51'78 991;5'51 :15 K 1: R J O va!or da presta),o P J R6 =7+555'55 va!or do empr"stimo i J 1\ a+m ta(a de juro nJ 45 presta)*es R J PYiY9 1 ; i :n 991;i :n K 1: RJ =7+555Y5'51Y91 ; 5'51 :45 J 4+SS4'78 991;5'51 :45 K 1: R J O va!or da presta),o P J R6 =7+555'55 va!or do empr"stimo i J 1\ a+m ta(a de juro nJ 47 presta)*es R J PYiY9 1 ; i :n 991;i :n K 1: RJ =7+555Y5'51Y91 ; 5'51 :47 J 4+=71'SP 991;5'51 :47 K 1: O %rupo deve e!aborar uma tabe!a para as se%uintes quantidades de presta)*es. 4' =' 15' 45 e 47+ 3onstruir o %r#ico 9atividade 7 do ane(o I: Atividade 7 K Obten&a a #un),o que determina o va!or das presta)*es do #inanciamento do custo dos computadores e e!abore tabe!a e %r#ico para. 4' =' 15' 45 e 47 presta)*es+ Tabe!a para as quantidades de presta)*es Per/odo Sa!do Pa%amento N Inicia! Huros Tota! 4 =7+555 94P1'87: 94P+75='FP: = =7+555 9115'1F: 911+14F'1=: 15 =7+555 9=F'7=: 9=+P51'78: 45 =7+555 94S'F8: 94+SS4'78: 47 =7+555 94='1P: 94+=71'SP: R6 4P+75='FP 11+14F'1= =+P51'78 4+SS4'78 Decrescente 4+=71'SP 4 = 15 45 47 t Para ca!cu!ar o va!or a ser devo!vido pe!o 3apita! de Niro a ser uti!i-ado no treinamento dos pro#essores' uti!i-ar a #Irmu!a. M J 3 Y 91 + i:n ' onde M J va!ordo montante a ser pa%oC 3 J va!or do empr"stimoC i J ta(a de juro e n J pra-o de pa%amento 9atividade = K ane(o I:+ Atividade = K Obten&a a #un),o que determina o va!or tota! para pa%amento do capita! de %iro+ A verba de R6 75+555'55 para capacita),o dos pro#essores ser adquirida atrav"s de capita! de %iro' com ta(a de 5'=\ ao m?s para pa%amento apIs 14 meses' o que resu!tar no va!or de R6 74+7FP'11'55 para pa%amento tota! do capita! de %iro+ M J 3 Y 91 +; i:n ' M J O va!or do montante a ser pa%oC 3 J 75+555 va!or do empr"stimoC i J 5'=\ a+m ta(a de juro n J 14 meses pra-o de pa%amento MJ 75+555 Y 9 1;5'55=:14 J 74+7FP'11 Atividade F ApIs ana!isar as receitas' custos e as demais situa)*es apresentadas' nosso conse!&o " para que o dono da esco!a deva sim contratar o capita! de %iro para investir na capacita),o de seus co!aboradores' e usu#ruir da boa ta(a de juros proposta pe!o banco' devendo apenas ter caute!a ao e#etuar a aquisi),o dos computadores e se poss/ve! optar pe!o pa%amento em 15 9de-: parce!as' para n,o pa%ar muito juros sem necessidade' j que sua receita " capa- de suprir o va!or das parce!as+ 0tapa 7 Passo 1 K A e!asticidade pre)o da demanda mede a ma%nitude em que mudan)as nos pre)os do bem [ a#etam o consumo por este mesmo bem+ Onde [ representa a quantidade demandada do bem e P(' o pre)o do bem [+ A!%ebricamente' a e!asticidade " dada pe!a varia),o percentua! na varive! dependente dividida pe!a mudan)a percentua! na varive! que a determina+ 0J dq Y p dp q 0!asticidade2renda da demanda " o conceito mais di#undido' sendo que a e!asticidade2renda da demanda de produtos manu#aturados " superior D e!asticidade renda de produtos bsicos' pois quanto mais e!evada a renda' a tend?ncia " aumentar mais o consumo de produtos manu#aturados re!ativamente aos a!imentos+ Passo 4 A demanda para as matr/cu!as no per/odo matutino' na esco!a' " dada por q J S55 2 8p ' onde o pre)o varia no interva!o 1E5 U p U 445+ Nestas condi)*es' a equipe dever obter a #un),o que mede a e!asticidade2pre)o da demanda para cada pre)o e obten&a a e!asticidade para os pre)os p J 1S= e p J 41= e interprete as respostas+ q J S55 K 8p Interva!o J 1E5 U p U 445 0!asticidade . p J 1S= e p J 41= 0J dq Y p dp q 0J d 9 S55 K 8p: Y p dp S55 K 8p 0 J 9 5 2 1S=: Y p S55 K 8p 0 J 2 8p S55 K 8p p J 1S= ]2 8Y1S= J 21'EF S55 K 8Y1S= p J 41= ]2 8Y41= J 2 4'=4 S55 K 8Y41= Discutindo os resu!tados Pre)o 1S= 41= 0!asticidade 21'E= 24'=4 Aumento do pre)o 1\ 1\ Diminui),o da demanda 4\ 8\ As e!asticidades encontradas 0 J 2 1'E= e 0 J 2 4'=4' indica que se &ouver um aumento de 1\ para p J 1S= e p J 41= respectivamente' &aver uma diminui),o na demanda de 1'EF\ e 4'=8\ respectivamente+ 3onsidera)*es #inais O objetivo centra! do presente traba!&o #oi ap!icar o ensinamento cient/#ico da sa!a de au!a em e(emp!os prticos para o p!anejamento bsico'com uti!i-a),o de #ormu!as e re%ras de matemtica ap!icada para que pud"ssemos entender os di#erentes cic!os em percorridos para se asse%urar a e(ist?ncia de uma empresa+ 0m virtude do e(posto conc!ui2se ao t"rmino da atividade proposta que na vida de uma empresa " necessrio con&ecimentos matemticos para ana!isar e interpretar criticamente dados provenientes de prob!emas matemticos' de outras reas do con&ecimento e do cotidiano' como equa)*es e ap!ica)*es de derivadas na economia e sua ap!ica),o quando bem desenvo!vida' tra- maior rentabi!idade possibi!itando o processo de ma(imi-a),o nos resu!tados e qua!i#ica),o de resu!tados empresariais+ Assim sendo o estudo da matemtica se reveste de vita! importTncia para qua!quer pessoa que a!meje entender o mundo atua! ta! qua! e!e se apresenta+ Re#er?ncias Bib!io%r#icas MURO>O' A#rTnio e BON0TTO' Nicomo+ Matemtica ap!icada D administra),o' economia e contabi!idade+ S,o Pau!o. T&omsom Pioneira' 455E+ &ttp.RRbib!iodi%ita!+unijui+edu+br.E5E5R(m!uiRbitstreamR&and!eR1487=FPESR=75RMatem\38\A1tica\45ap!icada\45\38\A5\45administra\38\AP\38\A8o+pd#OsequenceJ1 Acesso em 4SR58R4518 &ttp.RR