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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Profa. Luciana [email protected]

Faculdade de Computação – Facom/UFMS

Métodos Numéricos

Integração Numérica

• Integral definida

Integração Numérica

Integral definida

li õ• Aplicações

• Métodos Integração Numérica– Fórmula de Newton‐Cotesó u a de e o o es

• Método dos Trapézios

• Método de Simpson

Métodos Numéricos

Integral DefinidaIntegral Definida

Seja f uma função contínua no intervalo [a b] daSeja f uma função contínua no intervalo [a, b] daqual se conhece a primitiva F. O valor daintegral definida de f pode ser calculada usando ag f f pfórmula de Newton‐Leibniz:

)()()( aFbFdxxfIb

a a

Métodos Numéricos

Integração NuméricaIntegração Numérica

O ét d d i t ã é i i‐ Os métodos de integração numérica aproximamvalores de integrais definidas.

‐ A integração numérica é útil quando:‐ Não se conhece a função f. Tem‐se apenasç f puma tabela de valores para f.

‐ f é conhecida mas é muito complexa, o quedificulta a determinação de sua primitiva

Métodos Numéricos


O ét d d i t ã é i i‐ Os métodos de integração numérica aproximamvalores de integrais definidas.

f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obtercuja primitiva é mais fácil de se obter.

dxxpdxxfIb

a

b

a)()(

Métodos Numéricos

Integração NuméricaIntegração Numéricaf é aproximada por uma função p, mais simples,

bb

cuja primitiva é mais fácil de se obter.

dxxpdxxfIb

a

b

a)()(

f(x)

Métodos Numéricosa b


bb


dxxpdxxfIb

a

b

a)()(

I = área delimitada por f(x) no intervalo [a, b]

f(x)



bb


dxxPdxxfIb

a

b

a)()( 1

f(x)

P1(x)




bb

dxxPdxxfIb

a

b

a)()( 1

I ≈ área delimitada por P1(x) no intervalo [a, b]

f(x)

P1(x)



f(a)P1(x)

f(b)base_menor = f(a)base_maior = f(b)h = b – af(x)

f( ) h = b a

Área do Trapézio

ba

2)()(

2)__( bfafhmaiorbasemenorbaseh

Métodos Numéricos

22


f(a)P1(x)

f(b)

f(x)f( )

ba

)()(2

)()( 1 bfafhdxxPdxxfIb

a

b

a

Métodos Numéricos

2aa


ERRO

f(x)

P1(x)

f(x)

ba

Métodos Numéricos

ba

Métodos de Integração NuméricaMétodos de Integração Numérica

Método dos Trapézios

Método de Simpsonp

Métodos Numéricos

Método dos TrapéziosMétodo dos Trapézios

b

Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n

Subintervalos [x x ] de comprimento h > 0 Assim temos:

a

dxxf )(

Subintervalos [xi, xi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:

Métodos Numéricos


b




a

dxxf )(


• h = (b – a)/n

• xi = a + ih, i = 0, ..., n

f(b)

f(x)f(a)f(b)

ba


b




a

dxxf )(


• h = (b – a)/n

• xi = a + ih, i = 0, ..., n

f(b)

f(x)f(a)f(b)

iI1

x hi

ba

i

xi xi+1

)(2

)( 11 iix

i ffhdxxPIi


Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x) pela área de 1 trapézio

f(x)

a b


Aproximação da área delimitada por f(x)Aproximação da área delimitada por f(x) pela somatória da área de n = 5 trapézios

ba



)()( 11

1

ii

x

i ffhdxxPIi

)(2

)( 11 iix

i ffdxxPIi

ba



)()( 11

1

ii

x

i ffhdxxPIi

)(2

)( 11 iix

i ffdxxPIi

n

ba

n

iiII

0


)(2

)( 11

1

ii

x

xi ffhdxxPI

i

ii

1

0

n

iiII

0i


)(2

)( 11

1

ii

x

xi ffhdxxPI

i

ii

1

0

n

iiII

1

01

0

2

n

iii

i

ffh


)(2

)( 11

1

ii

x

xi ffhdxxPI

i

ii

n

iiII

1

0

n

iii

i

ffh

1

01

0

2

nn ffffffffh 1322110 ...

2


)(2

)( 11

1

ii

x

xi ffhdxxPI

i

ii

1

0

n

iiII

1

01

0

2

n

iii

i

ffh

1322110 ...2 nn ffffffffh

1

1

01

10 2

22

n

ii

nn

iin fffhfffh


b



a

dxxf )(


• h = (b – a)/n• x = a + ih i = 0 n• xi = a + ih, i = 0, ..., n

1

0

2

n

in fffabI

12 in


Exemplo:

Seja o intervalo [3 0 3 6] e a seguinte integral:xf 1)(

Exemplo:

Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e a seguinte integral:xxf )(

dxxf6,3

)( dxxf0,3

)(

Calcule:• o valor aproximado da integral para n = 1

l i d d i t l 6• o valor aproximado da integral para n = 6• o valor exato da integral


Exemplo:

Seja o intervalo [3 0 3 6] e n = 1 Calcule o valorxf 1)(

Exemplo:

Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n 1. Calcule o valor

aproximado da Integral:

xxf )(

6,3

dxxf6,3

0,3

)(


Exemplo:


Exemplo:



xxf )(

6,3

dxxf6,3

0,3

)(

Solução:

a = 3,0b = 3,6

1

1

0

2

n

ii

n fffn

abI f0 = 1/3,0 = 0,333fn = 1/3,6 = 0,278n = 1

1833,0I


Exemplo:


Exemplo:



xxf )(

6,3

dxxf6,3

0,3

)(


Solução:Solução:

a = 3,0 b = 3,6 n = 6h = (3 6 – 3)/6 = 0 1h = (3,6 – 3)/6 = 0,1

f0 = 1/3,0 = 0,3333 f1 = 1/3,1 = 0,3225f2 = 1/3,2 = 0,3125 f3 = 1/3,3 = 0,3030f4 = 1/3,4 = 0,2941 f5 = 1/3,5 = 0,2857f6 = 1/3,6 = 0,2778f6 1/3,6 0,2778



2

10

n

in fffabI

2778033330

2 1

i

ifn

2857,02941,03030,03125,03225,02

2778,03333,01,0

8234,1*1,05158,13056,01,0

1823,0


Exemplo:Exemplo:

Seja , e o intervalo [3,0, 3,6]. Calcule o valor exato daxxf 1)(

Integral:dxxf

6,3

)(f0,3

)(



)ln()(1)( xxFx

xf

63

x

)0,3()6,3()(6,3

0,3

FFdxxf

09861,128093,1)0,3ln()6,3ln(

18232,009861,128093,1


Exercício:

Seja , o intervalo [0, 1] e a seguinte integral:xexf )(

Exercício:

dxxf1

)(0

Calcule:• o valor aproximado da integral para n = 1• o valor aproximado da integral para n = 4• o valor aproximado da integral para n = 4o valor aproximado da integral para n 4• o valor exato da integral• o erro cometido em cada aproximação


Solução:

Valor aproximado para n = 1

Solução:

1

0

2

n

in fff

nabI

a = 0b = 1f0 = e0 = 1f e1 2 71828 12 in fn = e1 = 2,71828n = 1

85914,1271828,21

101

I


Solução:

Valor aproximado para n = 4

Solução:

1

0

2

n

in fff

nabI

a = 0b = 1f0 = e0 = 1 f1 = e1 = 2,71828f e2 f e3 12 in f2 = e2 = f3 = e3 = f4 = e4 = n = 4

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