Instrução de Matemática

7/24/2019 Instruo de Matemtica

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABAFATEC-SO

Disciplina: ECONOMIA E FINANAS

Curso: ANLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMASNOTURNO

Professor:FRANCISCO RIBEIRO

Matemtica Financeira

Capitalizao

Figura 1 Matemtica Financeira - Extrado de No, 2012.

Marcelo Trontino AN091345

Paulo R. Allonso AN101351


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Fatec Sorocaba Economia e Finanas Matemtica Financeira

Capitalizao

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ndice

Matemtica Financeira .................................................................................................................0

Capitalizao ................................................................................................................................0Lista de Figuras ............................................................................................................................2

Lista de Abreviaturas e Siglas ......................................................................................................3

Introduo ....................................................................................................................................4

Capitalizao ................................................................................................................................6

1. Capitalizao Simples ......................................................................................................6

1.1 Juros Simples .................................................................................................................6

1.2 Taxas Proporcionais .......................................................................................................8

1.3 Descontos Simples Comerciais ou Bancrio ..................................................................9

1.4 Equivalncias de Capitais a Juros Simples. ..................................................................11

2. Capitalizao Composta .................................................................................................13

2.1 Juros Compostos ..........................................................................................................13

2.2 Conveno Linear e Conveno Exponencial...............................................................15

2.3 Taxas Equivalentes .......................................................................................................16

2.4 Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva...................................................................17

2.5 Descontos Compostos ..................................................................................................18

2.6 Equivalncia de Capitais a Juros Compostos................................................................20

2.7 Aplicabilidade dos Descontos de Juros Compostos ....................................................21

2.8 Convenincias no uso do Desconto Composto .......................................................22

Bibliografia ................................................................................................................................ 23


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Lista de Figuras

Figura 1 Matemtica Financeira - Extrado de No, 2012. ........................................................0

Figura 2 Tbua que relatava o sistema de escrita dos sumrios

Extrado de No, 2012...........4


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Lista de Abreviaturas e Siglas

J = Juros, Remunerao obtida pelo uso de um capital por um intervalo de

tempo.n= Nmero de perodos referentes taxa de juros.i= Taxa de juros expressa em %. Dever sempre estar expresso para o perodo

de capitalizao definido no n nmero de perodos.PV= Valor presente, valor a vista, valor atual, valor de aquisio, valor inicial,

valor data zero, capital inicial.PMT= Valor do pagamento, valor da prestao, parcela igual, srie uniforme.FV= Valor futuro, valor a prazo, montante de aplicao, valor final.Dr = Desconto simples racional, Desconto simples por dentro.Db= Desconto simples bancrio, Desconto simples comercial, Desconto simples

por fora.PA= Parcela Adicional.K= Nmero de capitalizaes para um perodo da taxa nominal.p/q = Parte fracionada do Prazoc =Perodo de CarnciaDc=Depreciao LinearR =Valor ResidualA =AmortizaoTDM =Taxa de Desvalorizao MonetriaJAC=Taxa acumulada de Inflaor =Taxa realCM =

Correo Monetria


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Introduo

Segundo No (2012) a Matemtica Financeirapossui diversas aplicaes no

atual sistema econmico. Algumas situaes esto presentes no cotidiano das pessoas,como financiamentos de casa e carros, realizaes de emprstimos, compras a credirioou com carto de crdito, aplicaes financeiras, investimentos em bolsas de valores,entre outras situaes. Todas as movimentaes financeiras so baseadas na estipulao

prvia de taxas de juros. Ao realizarmos um emprstimo a forma de pagamento feitaatravs de prestaes mensais acrescidas de juros, isto , o valor de quitao doemprstimo superior ao valor inicial do emprstimo. A essa diferena damos o nomede juros.

No (2012) afirma que o conceito de juros surgiu no momento em que o homempercebeu a existncia de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situaes deacmulo de capital e desvalorizao monetria davam a ideia de juros, pois isso

acontecia em razo do valor momentneo do dinheiro. Algumas tbuas matemticas secaracterizavam pela organizao dos dados e textos relatavam o uso e a repartio deinsumos agrcolas atravs de operaes matemticas. Os sumrios registravamdocumentos em tbuas, como faturas, recibos, notas promissrias, operaes de crdito,

juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos.Essas tbuas retratavam documentos de empresas comerciais e algumas eram

utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso emedida. Havia tbuas para a multiplicao, inversos multiplicativos, quadrados, cubos eexponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas aos clculosrelacionados a juros compostos; e as de inverso eram utilizadas na reduo da diviso

para a multiplicao. A figura 2 um exemplo de destas tbuas.

Figura 2 Tbua que relatava o sistema de escrita dos sumriosExtrado de No, 2012.

No (2012) ainda afirma que nessa poca os juros eram pagos pelo uso de

sementes e de outros bens emprestados, os agricultores realizavam transaes

comerciais com as quais adquiriam sementes para as suas plantaes. Aps a colheita,

os agricultores realizavam o pagamento atravs de sementes com a seguida quantidade

proveniente dos juros do emprstimo. A forma de pagamento dos juros foi modificada

para suprir as exigncias atuais. No caso dos agricultores, era lgico que o pagamento


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seria feito na colheita seguinte. A relao tempo/ juros foi se ajustando de acordo com a

necessidade de cada poca.

Atualmente, nas transaes de emprstimos, o tempo preestabelecido pelas

partes negociantes.


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Capitalizao

Segundo a Wikibooks, Capitalizao o processo de aplicao de uma taxa de

juros sobre um capital, resultando de um juro e, por conseguinte de um montante.Quando queremos saber qual o valor de um montante, estamos querendo saber oresultado da capitalizao do valor atual. Pode ser de dois tipos: Simples ou Composto.

1.Capitalizao Simples

De acordo com KUHNEN (2008), no regime de capitalizao simples, os jurosso calculados sempre sobre o valor inicial, no ocorrendo qualquer alterao da base de

clculo durante o perodo de clculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a basede clculo sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade dedesconto bancrio a base de clculo sempre o valor nominal do ttulo (FV). O regimede capitalizao simples representa, portanto, uma equao aritmtica, sendo que ocapital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, indiferente se os juros so

pagos periodicamente ou no final do perodo total. O regime de capitalizao simples muito utilizado em pases com baixo ndice de inflao e custo real do dinheiro baixo;no entanto, em pases com alto ndice de inflao ou custo financeiro real elevado, aexemplo do Brasil, a utilizao de capitalizao simples s recomendada para

aplicaes de curto prazo.

1.1 Juros Simples

Segundo PUCCINI (2004), no regime de juros simples, os juros de cada perodoso sempre calculados em funo do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do

perodo no so somados ao capital para o clculo de novos juros nos perodosseguintes. Os juros no so capitalizados e, conseqentemente, no rendem juros.

Assim, apenas o principal que rende juros.

1.1.1Frmulas

Para a realizao dos clculos de juros simples, PUCCINI (2004) apresenta as seguintes

frmulas:

Valor do juro simples - J


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Valor do montante simples - FV

Valor Presente PV

Clculo da taxa de juros simplesi

Clculos do perodo em juros simples n

1.1.2 Juros Simples Comerciais, ordinrios ou bancrios.

PUCCINI (2004) comenta que nos juros simples comerciais ou ordinrios, paraestabelecer a conformidade entre a taxa e o perodo utilizam-se o ano comercial. Logo,em juros comerciais todos os meses tm 30 dias e o ano tm 360 dias, no importando ocalendrio civil.

1.1.3 Juros Simples Exatos

PUCCINI (2004) afirma que os juros simples exatos apiam-se no calendriocivil para calcular o nmero de dias entre duas datas. Sendo que o ms segue o nmerode dias do calendrio, e o ano civil possui 365 dias ou 366 em ano bissexto.

1.1.4 Juros Simples pela regra dos banqueiros

Segundo PUCCINI (2004) os bancos geralmente utilizam uma combinao entreos conceitos de juros comerciais e exatos, denominado juros pela regra dos banqueiros.Sendo que para calcular o nmero de dias entre duas datas, utiliza-se o conceito de jurosexatos, ou seja, calendrio civil, j para calcular o nmero total de dias de um ano ou

ms, utiliza-se o conceito de juros comerciais, ou seja, um ms tm 30 dias e um ano


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tm 360 dias. Este conceito geralmente empregado em transaes financeiras de curtoprazo.

1.1.5 Exemplo

Segue um exemplo adaptado de CESAR (2000):

Se R$ 3.000,00 foram aplicados por cinco meses taxa de juros simples de 4%ao ms, determine:

a) Os juros recebidos;

b) O montante.

Soluo:

a)

b)

1.2 Taxas Proporcionais

Segundo ASSAF NETO (2001), para se compreender mais claramente osignificado destas taxas deve-se reconhecer que toda operao envolve dois prazos: (1)

o prazo a que se refere taxa de juros; e (2) o prazo de capitalizao (ocorrncia) dosjuros.PARENTE (1996) classifica Taxas Proporcionais quando duas (ou mais) taxas

de juros simples apresentam seus valores e seus respectivos perodos de tempo,reduzidos a uma mesma unidade, forem uma proporo.

1.2.1 Exemplo

ASSAF NETO ( 2001) exemplifica como calcular a taxa anual proporcional:

a) 6% ao ms;

b) 10% ao bimestre.


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Soluo:

a)

b)

1.3 Descontos Simples Comerciais ou Bancrio

KUHNEN (2008) afirma que um dos modelos de juros simples mais utilizadosno mercado financeiro o chamado juro antecipado, juro adiantado, desconto de ttulosou simplesmente desconto bancrio. Este o modelo utilizado na modalidade de

desconto e tambm por empresas defactoring, bem como em transaes de curto prazoquando o pagamento for efetuado em uma nica parcela, inclusive para clculo de preode venda.

Este modelo consiste em calcular o Valor Presente descontando do Valor Futuro(Valor de Face) uma parcela igual ao produto do Valor Futuro pela taxa de juros e

pelo nmero de perodos at o vencimento do ttulo negociado.

1.3.1 Frmulas

Para a realizao de clculos para descontos simples, KUHNEN (2008)apresenta as seguintes frmulas:

Valor do Desconto Simples Comercial

Valor Presente com Desconto Simples Comercial

Valor Futuro com Desconto Simples Comercial


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Nmero de Perodos com Desconto Simples Comercial

Taxa de Desconto Simples Comercial

1.3.2 Exemplo

CRESPO (2002) exemplifica o calculo de desconto simples:

Um ttulo de R$ 6.000,00 vai ser descontado taxa de 2,1% ao ms. Faltando45 dias para o vencimento do ttulo, determine:

a) O valor do desconto comercial;

b) O valor atual comercial.

Soluo:

a)

b)


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1.4 Equivalncias de Capitais a Juros Simples.

Segundo PARENTE (1996), dois (ou mais) capitais, com datas de vencimentodiferentes, so ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data,a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A data para a qual os capitais sero transportados chamada data focal. Noregime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Istosignifica que definida uma taxa de juro, e a forma de calculo (se racional ou comercial),dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados

para outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condies do problema.

1.4.1 Formulas

Para a realizao de clculos de equivalncias de capitais PARENTE (1996)apresenta as seguintes frmulas:

Para vencimentos anteriores a data focal

Para vencimentos posteriores a data focal

1.4.2 Exemplo

PARENTE (1996) apresenta um exemplo para o uso de suas frmulas:

Um empresrio tem os seguintes compromissos a pagar:

R$ 3.000,00 daqui a 4 meses R$ 5.000,00 daqui a 8 meses R$ 12.000,00 daqui a 12 meses


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O empresrio prope trocar esses dbitos por dois pagamentos iguais, um paradaqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de5% a.m. e a data focal no 270 dia, calcular o valor de cada pagamento.

Soluo:

Fluxo de caixa


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2.Capitalizao Composta

No regime de capitalizao composta, os juros produzidos num perodo seroacrescidos ao valor aplicado e no prximo perodo tambm produziro juros, formandoo chamado juros sobre juros. A capitalizao composta caracteriza -se por uma funoexponencial, em que o capital cresce de forma geomtrica. O intervalo aps o qual os

juros sero acrescidos ao capital denominado perodo de capitalizao; logo, se a

capitalizao for mensal, significa que a cada ms os juros so incorporados ao capitalpara formar nova base de clculo do perodo seguinte. fundamental, portanto, que emregime de capitalizao composta se utilize a chamada taxa equivalente, devendo

sempre a taxa estar expressa para o perodo de capitalizao, sendo que o n (nmero

de perodos) represente sempre o nmero de perodos de capitalizao.Em economia inflacionria ou em economia de juros elevados, recomendada a

aplicao de capitalizao composta, pois a aplicao de capitalizao simples poderproduzir distores significativas principalmente em aplicaes de mdio e longo prazo,

e em economia com altos ndices de inflao produz distores mesmo em aplicaesde curto prazo. (KUHNEN, 2008).

2.1 Juros Compostos

BRANCO (2002) afirma que o regime de juros compostos o mais comum nosistema financeiro e, portanto, o mais til para clculos de problemas do dia-a-dia. Os

juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal para o clculo dos juros doperodo seguinte. Matematicamente, o clculo a juros compostos conhecido porclculo exponencial de juros.

2.1.1 Frmulas

BRANCO (2002) apresenta as seguintes frmulas para clculos de juroscompostos:

Calcul o do valor do jur o em capi tal izao composta

Clcul o do valor futur o em capital izao composta


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Clculo do valor presente em capi talizao composta

Clculo da taxa de juros em capi tal izao composta

Clculo do perodo de apl icao em capi tal izao composta

Glossrio:

LN = Logaritmo Neperiano.

LOG = Logaritmo Decimal.

2.1.2 Exemplo

TOSI (2002) apresenta um exemplo de clculo de juros compostos:

Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao ms?

Soluo:

ou


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2.2 Conveno Linear e Conveno Exponencial

Segundo ASSAF NETO (2001), a conveno linear admite a formao de juroscompostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionria. Estaconveno , em essncia, uma mistura de regime composto e linear, adotando frmulas

de juros compostos na parte inteira do perodo e uma formao de juros simples na partefracionria.

J a conveno exponencial adota o mesmo regime de capitalizao para todo operodo. Ou seja, utiliza capitalizao composta tanto para a parte inteira como para afracionria.

Esta conveno mais generalizadamente usada na prtica, sendo consideradatecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes

para os perodos no inteiros.

2.2.1 Frmulas

ASSAF NETO (2001)apresenta as seguintes frmulas para clculos de conveno:

Clculo do montante pela conveno L inear

Clculo do montante pela conveno Exponenci al

2.2.2 Exemplo

HAZZAN (2007) apresenta um exemplo de calculo de conveno:

Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante trs meses emeio, a taxa de 8% a.m.

a) Qual o montante pela conveno exponencial?

b) Qual o montante pela conveno linear?


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Soluo:

a)

b)

2.3 Taxas Equivalentes

Segundo SHINODA (1998) duas taxas so consideradas equivalentes, a juroscompostos, se aplicadas sobre um mesmo capital, por um perodo equivalente de tempo,gerando montantes iguais.

PARENTE (1996) afirma que no sistema de capitalizao composta, aocontrario do que acontece no sistema de capitalizao simples, duas taxas equivalentesno so necessariamente proporcionais entre si.

Da a necessidade de obtermos uma relao que nos permita calcular a taxaequivalente, num certo perodo de tempo, a uma dada taxa de juro composto.

2.3.1 Frmula

PARENT (1996) apresenta a seguinte frmula paro calculo de taxas:


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2.3.2 Exemplo

TOSI (2002) exemplifica o calculo:

Qual a taxa anual equivalente a 5% ao ms?

Soluo:

2.4 Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva

Segundo TEIXEIRA (1998), existe algumas situaes em que a taxa utilizada naoperao no coincide com o perodo de capitalizao. Por exemplo, aplica-se R$1.000,00 a juros compostos por trs meses taxa de 70% ao ano, capitalizadosmensalmente. Note que, apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a capitalizao sed em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma taxa nominal anualquando, efetivamente, a remunerao do capital se d em termos mensais. Para tanto,

faz-se necessria a distino entre taxa nominal e taxa efetiva.Taxa nominal: aquela cuja unidade do perodo a que se refere no coincide

com a unidade do perodo de capitalizao.

Taxa Ef etiva: aquela que efetivamente grava uma operao financeira.

Dada uma taxa de juros nominal procede-se, para o clculo da respectiva taxa dejuros efetiva, por conveno, de maneira igual a do sistema de capitalizao simples,isto , calcula-se a taxa proporcional dada, relativa unidade de tempo mencionada

para a capitalizao, e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa efetiva

nominal.

2.4.1 Frmula

Para o clculo de taxa efetiva, TEIXEIRA (1998) apresenta a seguinte frmula:

Clculo da taxa Efetiva


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2.4.2 Exemplo

PARENTE (1996) exemplifica o uso de taxa efetiva:

Qual a taxa efetiva relativa taxa nominal de 24% a.a., capitalizadamensalmente?

Soluo:

2.5 Descontos Compostos

Segundo VIEIRA SOBRINHO (2000), desconto composto aquele em que ataxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzido dos descontos

acumulados at o perodo imediatamente anterior. obtido em funo de clculoexponenciais e praticamente no utilizado em nenhum pas do mundo. Raramente setoma conhecimento de um caso em que esse critrio tenha sido aplicado. Temimportncia meramente terica.

No caso de desconto simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valorfuturo dos ttulos, tantas vezes quantos forem os perodos unitrios.

J no caso do desconto composto, para n perodos unitrios, a taxa de descontoincide, no primeiro perodo, sobre o valor futuro do ttulo; no segundo perodo, sobre ovalor futuro do ttulo menos o valor do desconto correspondente ao primeiro perodo; noterceiro perodo, sobre o valor futuro do ttulo menos os valores dos descontosreferentes ao primeiro e ao segundo perodo, e assim sucessivamente at o ensimo

perodo.

2.5.1 Desconto Composto Comercial (bancrio) ou por fora

Segundo ASSAF NETO (2001), o desconto composto por fora caracteriza-sepela incidncia sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do ttulo, o qual deduzido, em cada perodo, dos descontos obtidos em perodos anteriores.


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2.5.2 Desconto Composto Racional ou por dentro

Segundo ASSAF NETO (2001), o desconto composto por dentro (ou racional) aquele estabelecido segundo as conhecidas relaes do regime de juros compostos.

Assim sendo, o desconto composto racional a diferena entre o valor nominal e

o valor atual de um ttulo, quitado antes do vencimento.

2.5.3 Frmulas

ASSAF NETO (2001) apresenta as seguintes frmulas para clculos de descontocomposto:

Clculo do desconto composto racional ou por dentro

Clculo do desconto composto comercial (bancrio) ou por fora

Clcul o do valor atual de um ttulo a desconto por dentr o

Clcul o de valor atual de um ttulo a desconto por fora

Clculo de valor nomi nal de um ttulo a desconto por fora

Clculo de valor nomi nal de um ttulo a desconto por dentro

2.5.4 Exemplo

KUHNEN (2001) exemplifica o clculo de desconto composto:


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Calcular o valor atual de um ttulo de R$ 20.000,00 descontado um ano antes dovencimento taxa de desconto bancrio composto de 5% ao trimestre, capitalizveltrimestralmente.

Soluo:

2.6 Equivalncia de Capitais a Juros Compostos

Segundo PARENTE (1996), a equivalncia de capitais a juros compostos se dade maneira semelhante de juros simples, diferenciando-se pelo regime de capitalizaoe o fato de que a escolha da data focal no sistema composto ser irrelevante.

2.6.1 Frmulas

Para os clculos de vencimentos, PARENTE (1996) apresenta as seguintesfrmulas:

Para vencimentos anteriores a data f ocal

Para vencimentos posteri ores a data focal

2.6.2 Exemplo

O mesmo apresenta um exemplo:

Uma pessoa deseja substituir um ttulo de valor nominal de R$ 85.000,00, comvencimento daqui a 2 meses, por outro ttulo, com vencimento para 5 meses. Qual ovalor nominal do novo ttulo, sabendo-se que o banco em questo adota, nesse tipo deoperao, a taxa composta de 9% a.m. e o critrio do desconto racional?


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Soluo:

2.7 Aplicabilidade dos Descontos de Juros Compostos

Em finanas, chama-se Desconto Racional Composto (por dentro) ou DescontoComposto Real ao desconto obtido pela diferena entre o Valor Nominal ou ValorFuturo (VF) e o Valor Atual ou Valor Presente (VP) de um compromisso que sejasaldado n perodos antes do seu vencimento. Para uma melhor compreenso, podemos

dizer que o desconto racional composto passa a ser sinnimo de juro composto. Este

tipo de desconto muito utilizado no Brasil. Como D = VF - VP e como VF = VP (1 +i)n, ento:

D = VFVF (1+i)-n D = VF.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto considerar o Valor Atual ou presente (VP) como o capital inicial de uma aplicao e oValor Nominal ou Futuro (VF) como o montante desta aplicao, levando emconsiderao que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos. Destaforma a frmula para clculo do Valor Atual ou Valor Presente, com base nos juro

composto, ficar:

VP = VF/(1+i)elevado a n ---------ou---------VP=VF(1+i)elevado a n-1

O Desconto Comercial Composto (por fora) no usado costumeiramente noBrasil e anlogo ao clculo do Juro composto. O que se faz calcular a diferena entreo valor nominal (valor futuro) e o valor atual (valor presente) do compromisso na dataem que se prope seja feito o desconto. O desconto corresponde quantia a ser abatidado valor nominal e, o valor descontado a diferena entre o valor nominal e o desconto.


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2.8 Convenincias no uso do Desconto Composto

O desconto simples racional ou comercial so aplicados somente aos ttulos de

curto prazo, geralmente inferiores a 1 ano. Quando os vencimentos tm prazos longos,

no conveniente transacionar com esses tipos de descontos, porque podem conduzir

a resultados que ferem o bom senso.

Observe o exemplo a seguir:

Calcular o desconto comercial de um ttulo de R$ 100.0000,00 com resgate para 5

anos, taxa de 36% ao ano.

SOLUO:

Frmula: d = N i n

N = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 a.a. n= 5 anos

d = 100.000 x 0,36 x 5 = 180.000

Como vemos, o valor do desconto superior ao valor nominal do ttulo, o que um

absurdo!!!

por esse motivo que, em casos como o apresentado, adotamos o regime de regime

de juros compostos, que jamais daro resultados desse tipo.

Como no desconto simples, temos duas formas de desconto composto, o desconto

comercial, bancrio composto ou por fora e o desconto racional ou por dentro.


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Bibliografia

No, MarcosMatemtica Financeira. Disponvel em:.Data de acesso: 20 de agosto de 2012.

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Instrução de Matemática

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