1

INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA

LISTA DE REVISÃO

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

Nome: DATA: 05/12/2016

1) Se x y 13+ = e x y 1,⋅ = então 2 2x y+ é a) 166. b) 167. c) 168. d) 169. e) 170.

2) Considerando-se que x = 97312, y = 39072 e z =

2 xy,⋅ o valor da expressão x y z+ − é: a) 6792 b) 5824 c) 7321 d) 4938 e) 7721

3) Se =2xa 3, o valor da expressão 3x 3x

x xa aAa a

−

−+

=+

é:

a) 75

b) 53

c) 73

d) 43

4) Se um ano-luz corresponde à distância percorrida

pela luz em um ano, qual é a ordem de grandeza, em metros, da distância percorrida pela luz em 2 anos, levando-se em consideração um ano tendo 365 dias e a velocidade da luz igual a 300.000 km s?

a) 810 b) 1010 c) 1310 d) 1510 e) 1610

5) O valor de ( ) ( ) ( )2 6 0 3 63 1 1,2 4− + − − − + é: a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

6) Um grão de feijão pesa 22,5 10 g.−× Se um saco contém 25 10 g× de grãos de feijão, 920 sacos contêm:

a) 71,84 10× grãos de feijão b) 61,84 10× grãos de feijão c) 81,84 10× grãos de feijão d) 51,84 10× grãos de feijão e) 41,84 10× grãos de feijão

7) Sendo x e y dois números reais não nulos, a expressão 2 2 1(x y )− − −+ é equivalente a

a) 2 2

2 2x y .

x y+ b)

2xy .x y

+

c) 2 2x y .

2+

d) ( )2x y .+ e) 2 2x y .+

8) Uma empresa recebeu uma planilha impressa com números inteiros positivos e menores ou iguais a

8 75 4 .⋅ A tarefa de um funcionário consiste em escolher dois números da planilha uma única vez e realizar a operação de multiplicação entre eles. Para que o funcionário tenha precisão absoluta e possa visualizar todos os algarismos do número obtido após a multiplicação, ele deverá utilizar uma calculadora cujo visor tenha capacidade mínima de dígitos igual a:

a) 44 b) 22 c) 20 d) 15 e) 10

9) Um código numérico tem a forma ABC DEF GHIJ,− − sendo que cada letra representa um algarismo diferente. Em cada uma das três partes do código, os algarismos estão em ordem decrescente, ou seja, A B C,> > D E F> > e G H I J.> > > Sabe-se ainda que D, E e F são números pares consecutivos, e que G, H, I e J são números ímpares consecutivos. Se A B C 17,+ + = então C é igual a

a) 9. b) 8. c) 6. d) 2. e) 0.

10) Um casal que planejou uma viagem de férias para uma ilha, onde há um hotel com acomodações A e B, pagou antecipadamente x reais pelas diárias na acomodação A, que cobrava R$ 110,00 por dia.

Ao chegar no hotel eles optaram pela acomodação B, que cobrava R$ 100,00 pela diária, pois perceberam que, assim, eles poderiam ficar mais 2 dias hospedados neste hotel. Sabendo que, além dos x reais já pagos, eles ainda gastaram R$ 150,00 por dia com alimentação e que não houve outras despesas, a quantia que esse casal gastou nesse hotel é um número compreendido entre a) 5100 e 5400 b) 5400 e 5900 c) 5900 e 6300 d) 6300 e 6800

2

11) Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos.

A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de

funcionamento, n2

dessas peças.É correto afirmar

que a máquina B, mantendo sua velocidade de

produção constante, produziria também n2

dessas

peças em a) 40 minutos. b) 120 minutos. c) 160 minutos. d) 240 minutos.

12) Uma caixa de capacidade 36,4 m deve ser

abastecida com água. Abaixo estão representados três recipientes que podem ser utilizados para esse fim.

Considerando que não há perda no transporte da água, afirma-se que: I. Pode-se usar qualquer um dos recipientes 100 vezes para encher a caixa. II. Se os recipientes A, B e C forem usados,

respectivamente, 16, 33 e 50 vezes, a caixa ficará com sua capacidade máxima.

III. Após usar 20 vezes cada um dos recipientes, ainda não teremos metade da capacidade da caixa ocupada.

Das afirmativas acima, tem-se que é(são) verdadeira(s) a) nenhuma delas. b) apenas a III. c) apenas a II. d) apenas a I.

13) A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que zero, é

a) 3 3 3a b a b+ = + b) 2 2

1 1ba a b

= −− +

c) 2( a b) a b− = − d) 1 1 1a b a b

= ++

e) 3 3

2 2a b a b

a ab b−

= −+ +

14) O valor da expressão 2 2 2 2

1 1 2 2x y x y xy ,x y x y

− −

− −

− +⋅ + −

em que x e y ∗∈ e x y≠ e x y,≠ − é

a) 1− b) 2− c) 1 d) 2

15) As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade

2 2 2 21 Ax B Dx C

(x 2x 2) (x 4) x 2x 2 x 4+ +

= ++ + + + + +

é válida para x .∈ a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear

com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, B, C e D.

b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.

16) Sabe-se que a função x 3f(x)5+

= é invertível.

Assim, 1f (3)− é

a) 3 b) 4 c) 6 d) 12

17) Se é o conjunto dos números reais, a função

f : → dada por 3x 1f(x)2+

= possui inversa

a) 13

3f (x) .2x 1

− =+

b) 132f (x) .

x 1− =

+

c) 1 3f (x) 2x 1.− = + d) 1 3f (x) 2x 1.− = −

e) 1 3x 1f (x) .2

− +=

18) Seja *

+ o conjunto dos números reais positivos e *f : +→ a função definida por xf(x) 2 .= Esta função é invertível. Se 1 *f :−

+ → é sua inversa, então, o valor de 1 1 1f (16) f (2) f (1)− − −− − é

a) 3. b) 8. c) 7. d) 5.

19) A função real de variável real definida por x 2f(x)x 2+

=−

é invertível. Se 1f− é sua inversa, então,

o valor de 1 1 2[f(0) f (0) f ( 1)]− −+ + − é

a) 1. b) 4. c) 9. d) 16.

3

20) O número de bactérias de uma determinada cultura pode ser modelado utilizando a função

t40B(t) 800 2 ,= ⋅ sendo B o número de bactérias

presentes na cultura e t o tempo dado em horas a partir do início da observação. Aproximadamente, quantas horas serão necessárias para se observar 5.000 bactérias nessa cultura? Considere log2 0,30.≅

a) 10 horas. b) 50 horas. c) 110 horas. d) 150 horas. e) 200 horas.

21) A magnitude de um terremoto, na escala Richter,

é dada por 0

2 EM log3 E

=

onde E é a energia

liberada no evento e 0E é uma constante fixada para qualquer terremoto. Houve dois terremotos recentemente: um ocorreu no Chile, de magnitude

1M 8,2,= e outro, no Japão, de magnitude 2M 8,8,= ambos nessa escala.

Considerando 1E e 2E as energias liberadas pelos terremotos no Chile e no Japão, respectivamente, é CORRETO afirmar:

a) 2

1

E 10E

= b) 2

1

E 1E

= c) 2

1

E0 1E

< <

d) 2

1

E1 10E

< < e) 2

1

E 10E

>

22) Adotando os valores log2 0,30= e log3 0,48,= em que prazo um capital triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano?

a) 5 anos e meio b) 6 anos c) 6 anos e meio d) 7 anos e) 7 anos e meio

23) Um supermercado vende dois tipos de sabão líquido para lavagem de roupas: o sabão C, mais concentrado, e o sabão D, mais diluído. Para cada lavagem de roupas com o sabão C, Sofia gasta 30m do produto; usando o sabão D, ela gasta 100m . O sabão C é vendido apenas em vasilhames de 600m , custando 12 reais cada vasilhame. O sabão D é vendido apenas em vasilhames de 3 litros, custando 24 reais cada vasilhame. Na compra de n vasilhames do sabão D, o supermercado dá um desconto de 3n% no preço de cada vasilhame desse sabão, quando 1 n 10.< ≤ Quando n 10,> esse desconto é de 30%. Sofia resolve comprar n vasilhames do sabão D. Calcule

a) quantos centavos de reais Sofia gastaria com o sabão C em cada lavagem de roupas, se o comprasse;

b) o valor mínimo de n para que Sofia gaste menos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas;

c) o número máximo de vasilhames do sabão D que Sofia pode comprar com 128 reais.

24) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola

de equação 2x 11y x 3

6 6= − + e dois vértices no eixo

x, como na figura abaixo.

Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD.

25) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados

( ) ( )2As t t, – t 3t 10= + + e ( ) ( )Bs t t, 2t 9 ,= +

respectivamente. Sabendo que os robôs começam a se mover em t 0,= a) DETERMINE o instante t em que o robô A se

chocará com o robô B. b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja

posição é dada por ( ) ( )Cs t t, kt 11 ,= + em que k é um número real positivo. DETERMINE o maior valor de k para que a trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A.

4

26) Considere a função afim f(x) ax b= + definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) 2,= podemos afirmar que f(f(3) f(5))+ é igual a

a) 5. b) 4. c) 3. d) 2.

27) Dadas as funções f(x) 2x 1= − e 2g(x) x 3x c,= + + o maior valor inteiro de c tal que

a equação g(f(x)) 0= apresente raízes reais é

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

28) O gráfico a seguir representa a função real f(x), definida no intervalo [ 1, 6].−

Considerando a função h(x) f(x 2),= − então, o valor da expressão dada por f(h(3)) h(f(4))+ é igual a:

a) 7. b) 2.− c) 5. d) 1.−

29) Considere as funções reais f(x) 2x 1= + e g(x) x k,= − com k .∈ Podemos afirmar que f g(x) g f(x)= para qualquer x real se o valor de k for igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 2− e) 1−

30) Considerando as funções f(x) 3x 2= − e g(x) 2x 1,= − + o valor de k, com k ,∈ tal que

1f(g(k)) 1− = é

a) 3. b) 2. c) 1.− d) 5.−

31) Sejam as funções f(x) x 3= − e 2g(x) x 2x 4.= − + Para qual valor de x tem

f(g(x)) g(f(x))?=

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Soluções 1) [B]

2 2 2 2x y 13 (x y) 13 x y 2 x y 169+ = ⇒ + = ⇒ + + ⋅ ⋅ = Como x y 1,⋅ = temos:

2 2 2 2x y 2 1 169 x y 167+ + ⋅ = ⇒ + = 2) Como z 2 xy,= ⋅ segue que

2x y z x 2 xy y ( x y ) .+ − = − ⋅ + = −

Portanto,

2

2 2

x y z ( x y )

x y

9731 39079731 39075824.

+ − = −

= −

= −= −=

3) Sabendo que =2xa 3, vem

3x 3

3x 3x x

x x xx

x 2xx 2x

xx

2x2x

1(a )a a aA 1a a a

a1 1a a 1

a a1a

a1a 1

a13 13

7 .3

−

−

+ + = =+ +

+ − + =

+

= − +

= − +

=

4) [E] A distância percorrida é dada por

13 162 365 24 3600 300000 1,89 10 km 1,89 10 m.⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ = ⋅ Em consequência, como 1,89 10 3,16,< ≅ segue que a resposta é 1610 .

5) [D]

( ) ( ) ( )2 6 0 3 63 1 1,2 4 3 1 1 16 19.− + − − − + ⇒ + − + =

6) [A] Total de grãos:

5

− −−

⋅⋅ = ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ×

22 ( 2)

2

4

3 4

7

5 10920 920 2 102,5 10

1840 10

1,84 10 10

1,84 10 .

7) [A]

Lembrando que nn1a ,

a− = com a 0≠ e n ,∈

temos

12 2 1

2 2

12 2

2 2

2 2

2 2

1 1(x y )x y

y xx y

x y .x y

−− − −

−

+ = +

+=

=+

8) [C] O maior produto possível para os dois números escolhidos será:

( )8 7 8 7 16 14 8 75 4 5 4 1 5 4 5 4⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅

Portanto, o número de dígitos necessários será o número de algarismos de

( ) ( )14 1616 14 16 2 16 28 12 165 4 5 2 5 2 5 2 2 4096 10 ,⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

ou seja, um número com 4 16 20dígitos.+ =

9) [E] Tem-se que DEF {420, 642, 864}∈ e GHIJ {7531, 9753}.∈ Assim, por inspeção, concluímos que a única possibilidade para o código é 980 642 7531− − e, portanto, C 0.=

10) [B] Sendo d o número de dias programados inicialmente pelo casal, pode-se escrever:

→ =→ = +

= + → − =→ =→ =

Acomodação A x 110dAcomodação B x 100(d 2)110d 100(d 2) 110d 100d 200

10d 200d 20 dias

Logo, o casal programou inicialmente férias de 20 dias, porém ao chegar no hotel optaram por ficar

mais dois dias hospedados. Assim, ficaram um total de 22 dias de férias. Considerando os 100 reais da diária e os 150 reais gastos por dia com alimentação, o valor total gasto no hotel foi de (100 150) 22 5500 reais.+ ⋅ =

11) [D] A produção P das duas máquinas juntas será (considerando o tempo em minutos):

nP160

=

A produção de n 2 peças da máquina A funcionando sozinha será:

A A

n n 1 n2P P120 2 120 240

= = ⋅ → =

A produção de n 2 peças da máquina B funcionando sozinha durante o tempo t será:

B B

n n 1 n2P Pt 2 t 2t

= = ⋅ → =

Se a velocidade de produção é constante, então pode-se escrever:

= +

= + →

⋅ += =

+= →

= →=

A Bn P P

160n n n

160 240 2tn n (t 120)

160 240t1 t 120

160 240t80t 19200t 240 minutos

12) [D] [I] VERDADEIRA. Transformando todas as

unidades para metros, calculando o volume de cada um dos recipientes e quantas vezes cada um teria que ser usado para encher a caixa, tem-se:

→ = ⋅ ⋅ =

→ ÷ =

→ = ⋅ ⋅ =

→ ÷ =

→ = ⋅ ⋅ =

→ ÷ =

3A

3 3

3B

3 3

3C

3 3

Recipiente A V 0,4 0,4 0,4 0,064 m

6,4 m 0,064 m 100 vezes

Recipiente B V 0,2 0,4 0,8 0,064 m

6,4 m 0,064 m 100 vezes

Recipiente C V 0,8 0,8 0,1 0,064 m

6,4 m 0,064 m 100 vezes

6

[II] FALSA. Como a capacidade de todos os recipientes é a mesma, então os recipientes serão usados 16 33 50 99+ + = vezes. É necessário usar qualquer um dos recipientes 100 vezes para encher a caixa.

[III] FALSA. Como a capacidade de todos os recipientes é a mesma, pode-se escrever:

= = =

+ + = ⋅

= ⋅ =

>

A B C recipiente

A B C recipiente3

3

V V V V

20V 20V 20V 60 V

60 0,064 3,84 m

3,2 m (metade da caixa)

Portanto, após usar 20 vezes cada um dos recipientes, teremos mais da metade da caixa cheia.

13) [E] [A] Tomando a 2= e b 1,= temos 3 9 3.= Absurdo.

[B] Tomando a 2= e b 1,= vem 1 1.2 5

= −−

Absurdo. [C] Tomando a 2= e b 1,= segue que 3 2 2 1.− = Absurdo.

[D] Tomando a 2= e b 1,= obtém-se 1 1 1.3 2= +

Absurdo. [E] De fato, pois

3 3 2 2

2 2 2 2a b (a b)(a ab b ) a b,

a ab b a ab b− − + +

= = −+ + + +

para quaisquer a e b reais positivos.

14) [A] Resolvendo a expressão do enunciado, tem-se:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

− −

− −

− +⋅ = + −

− ⋅ + ⋅ + ⋅ − + −

⋅ + = ⋅ + + ⋅ −

⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ −

−= ⋅

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

x y x y xyx y x y1 1

xy x yx y1 1 x y x yx y

y xxy x yx y

y x x y x yxy

xy x yy x xyy x x y x yxy

y x 11 ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

⋅+ −

+ ⋅ − − ⋅ −= = = −

+ ⋅ − −

1x y x y

y x (y x) 1 (x y) 1x y x y x y

15) a) Resolvendo a igualdade, pode-se escrever:

+ + +

+ + + + + +=

+ + +

+ + + + + + + + + =

+ + + + + + + + + =

+ = + + = + + = + =

2 2

2 2

2 2

3 2 3 2 2

3 2

1(x 2x 2) (x 4)

(Ax B)(x 4) (Dx C)(x 2x 2)(x 2x 2) (x 4)

Ax 4Ax Bx 4B Dx 2Dx 2Dx Cx 2Cx 2C 1

(A D)x (B C 2D)x 2(2A C D)x (4B 2C) 1A D 0B C 2D 02A C D 04B 2C 1

b) Resolvendo o sistema, tem-se:

7

+ = × − + + + = + + = + =

+ = × − + + + =⇒ − = + =

+ = + + =⇒ − = × − +− − =

+ = + + =⇒ − = × − +− =

= = −

=

=

A D 0 ( 2) L 3B C 2D 02A C D 04B 2C 1

A D 0 ( 4) L4B C 2D 0C D 04B 2C 1A D 0B C 2D 0C D 0 ( 2) L4

8D 2C 1A D 0B C 2D 0C D 0 ( 2) L4

10D 11C D

101A

103B

10

16) [D]

Se f possui inversa, então queremos calcular x tal que f(x) 3.= Assim, vem x 3 3 x 12.

5+

= ⇔ =

17) [D]

Determinando a função inversa da função 3x 1f(x) ,2+

= temos:

( )31

31 1 3f x 1

x f (x) 2x 1 f (x) 2x 12

−− −

+ = ⇐ = − ⇒ = −

18) [A]

A função inversa de f é 12f (x) log x.− = Logo,

segue que 1 1 1

2 2 24

2

2

f (16) f (2) f (1) log 16 log 2 log 1

log 2 14log 2 13.

− − −− − = − −

= −

= −

=

19) [C]

Tem-se que

x 2 yx 2y x 2x 2

(y 1)x 2y 22y 2x .y 1

y +⇒ − = +

−⇒ − = +

+⇒ =

−

=

Portanto, sendo f : {2} {1},− → − a inversa de

f é 1f : {1} {2},− − → − com 1 2x 2f (x) .x 1

− +=

−

Daí, como f(0) 1,= − 1f (0) 2− = − e 1f ( 1) 0,− − = vem

1 1 2 2[f(0) f (0) f ( 1)] ( 1 ( 2) 0) 9.− −+ + − = − + − + = 20) [C]

Tem-se que t

40

t 240

t 240

B(t) 5000 800 2 5000

522

5log2 log2

t log2 2 log10 4 log240t 0,3 2 4 0,3

40t 106,67 h.

= ⇔ ⋅ =

⇔ =

⇔ =

⇔ ⋅ = ⋅ − ⋅

⇒ ⋅ = − ⋅

⇒ ≅

21) [D]

Tem-se que

−

− = −

⇔ − =

⇔ = −

⇔ =2 1

1 22 1

0 0

12 1

2

12 1

23(M M )1 2

2

E E2 2M M log log3 E 3 E

E2M M log3 E

E 3log (M M )E 2

E 10 .E

Portanto, sendo 2 13M M 8,8 8,2 0,6 ,5

− = − = =

vem 3 3 9

0 1 2 5 102

E1 10 10 10 10.E

⋅= < = = <

8

22) [B] Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa de juro de 20% ao ano. Logo, = ⋅ + ⇔ =

⋅ ⇔ =

⇔ = ⋅ ⋅ + −

⇒ ≅

⇔ =

n n

n2

3C C (1 0,2) 3 (1,2)

2 3log3 log10

log3 n (2 log2 log3 log10)0,48n0,08

n 6.

23)

a) Sofia gastaria 30 12 R$ 0,60,600

⋅ = ou seja,

sessenta centavos de reais, em cada lavagem com o sabão C. b) Se n 1,= o gasto por lavagem com o sabão D é

igual a 100 24 R$ 0,80.3000

⋅ =

O valor de n, com 1 n 10,< ≤ para que Sofia gaste menos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas, deve ser tal que 100 3n 6 2524 1 n 8,333 ,3000 100 10 3

⋅ ⋅ − < ⇔ > =

ou seja, o valor mínimo de n é 9.

c) Como 11 24 0,7 R$ 184,80,⋅ ⋅ = tem-se que

n 11.< Desse modo, o número de vasilhames do sabão D, que Sofia pode comprar com 128 reais, é tal que

3n 20n 24 1 128 1 n .100 3

⋅ ⋅ − ≤ ⇔ < ≤

24) a) Sabendo que D (3, 0),= vem A Dx x 3.= = Além disso, como A pertence à parábola, temos

A A2

y f(x )

3 11 3 36 61.

=

= − ⋅ +

= −

b) Como ABCD é retângulo, concluímos

facilmente que B Ay y 1.= = − Assim,

22C

C C C

C

x 11x 3 1 x 11x 24 06 6

x 8

− + = − ⇔ − + =

⇒ =

e, portanto, C (8, 0).=

c) A área do retângulo ABCD é dada por

C D A(x x ) | f(x ) | (8 3) | 1| 5 u.a.− ⋅ = − ⋅ − =

25)

a) SA(t) = SB(t)

2

2t 3t 10 2t 9

t t 1 0

− + + = +

− − =

Resolvendo a equação, temos 1 5t2+

= .

b) SA(t) = SC(t)

( )

2

2kt 11 t 3t 10

t k 3 t 1 0

+ = − + +

+ − ⋅ + =

Para que k seja máximo, o delta deverá ser zero, pois assim a reta será tangente à parábola. (k – 3)2 – 4.1.1 = 0

k2 – 6k + 5 = 0, resolvendo a equação, temos: k = 1 ou k = 5 Se k = 1, temos t2 – 2t + 1 = 0, logo t = 1 (válido) Se k = 5, temos t2 + 2t + 1 = 0, logo t = –1 (inválido)

Portanto, o maior valor de k deverá ser 1.

9

26) [D]

Tem-se que f(4) 2 4a b 2.= ⇔ + = Além disso, como f(3) 3a b= + e f(5) 5a b,= + vem f(3) f(5) 3a b 5a b 2(4a b) 2 2 4.+ = + + + = + = ⋅ = Portanto, segue que f(f(3) f(5)) f(4) 2.+ = =

27) [B] Tem-se que

2

2g(f(x)) 0 (2x 1) 3(2x 1) c 0

4x 2x c 2 0.

= ⇔ − + − + =

⇔ + + − =

A equação terá raízes reais desde que seu discriminante seja positivo, isto é,

− ⋅ ⋅ − > ⇔ − <

⇔ < +

22 4 4 (c 2) 0 4(c 2) 11c 2 .4

Portanto, o maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x)) 0= apresente raízes reais é 2.

28) [D] Calculo de f(h(3)) h(x) f(x 2) h(3) f(3 2) f(1) 4 h(3) 4f(h(3)) f(4) 1

= − ⇒ = − = = ⇒ == =

Calculo de h(f(4)) h(f(4)) h(1) f(1 2) f( 1) 2h(f(4)) 2

= = − = − = −= −

Portanto, f(h(3)) h(f(4)) 1 ( 2) 1+ = + − = −

29) [A] Substituindo e desenvolvendo a expressão dada: f g(x) g f(x) f(g(x)) g(f(x))f(g(x)) 2 (x k) 1 f(g(x)) 2x 2k 1g(f(x)) 2x 1 k2x 2k 1 2x 1 k

2k kk 0

= ⇒ == ⋅ − + ⇒ = − += + −

− + = + −− = −=

30) [D]

Calculando f(g(x)), tem-se:

f(g(x)) 3 ( 2x 1) 2f(g(x)) 6x 3 2 f(g(x)) 6x 1

= ⋅ − + −= − + − → = − +

Calculando a inversa de f(g(x)), tem-se: 11 x 1 xx 6y 1 y f(g(x))

6 6−− −

= − + → = → =

Por fim, substituindo k e resolvendo a equação proposta no enunciado, tem-se:

1 1 kf(g(k)) 1 1 1 k 6 k 56

− −= → = → − = → = −

31) [B] Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f : → e g : .→ Além disso, por exemplo, a função g f está definida apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g. Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) g(f(x))= é

− + − = − − − +

⇔ − − = − + − +⇔ = +⇔ =

2 2

2 2x 2x 4 3 (x 3) 2(x 3) 4

x 2x 3 x 6x 9 2x 66x 15 3x 3.