InsperNov2013 analise...

1CPV inspernOV2013

ANÁLISE quANtItAtIVA E LógICA

01. Por um terminal de ônibus passam dez diferentes linhas. A mais movimentada delas é a linha 1: quatro em cada sete usuários do terminal viajam nessa linha. Cada uma das demais linhas transporta cerca de 1.300 usuários do terminal por dia.

Considerando que cada passageiro utiliza uma única linha, a linha 1 transporta por dia cerca de

a) 5.200 usuários do terminal. b) 9.100 usuários do terminal. c) 13.000 usuários do terminal. d) 15.600 usuários do terminal. e) 18.200 usuários do terminal..

Resolução:

Sendo x, o total de passageiros, temos: 37

x = 1300 . 9 Þ x = 27.300

Então, o número de passageiros que utilizam a linha 1 é: 47

. 27.300 = 15.600Alternativa D

02. Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao intervalo [91, 269].

P = cos 91º . cos 92º . cos 93º . . . . . cos 268º . cos 269º Nessascondições,écorretoafirmarque

a) –1<P<−14 . b) – 1

4 < P < 0. c) P = 0. d) 0 < P <

14 . e)

14 < P < 1.

Resolução:

P = cos 91º . cos 92º . cos 93º . ... . cos 268º . cos 269º

P = cos 269º . cos 91º . cos 268º . cos 92º . cos 267º . cos 93º . ... . cos 181 . cos 179º . cos 180º

P = ( cos 360º + cos 178º2 ) . ( cos 360º + cos 176º

2 ) . ( cos 360º + cos 174º2 ) ... ( cos 360º + cos 2º

2 ) . cos 180º

P = ( 1 + cos 178º2 ) . ( 1 + cos 2º

2 ) . ( 1 + cos 176º2 ) . ( 1 + cos 4º

2 ) ... (1 + cos 92º2 ) . ( 1 + cos 88º

2 ) . cos 180º

P = (1 – cos2 178º4 ) . (1 – cos2 176º

4 ) ... ( 1 – cos2 92º4 ) . (–1)

No produto, cada fator é positivo e menor que 14

, com excessão do último que vale (–1).

Assim, – 14

< P < 0Alternativa B

CPV seu Pé Direito no INSPERINSPER Resolvida – 15/novembro/2013 – Prova a (verDe)

insper – 15/11/2013 seu Pé diReito nas MelhoRes Faculdades2

CPV inspernOV2013

Texto para as questões 03 e 04.

Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir.

Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par.

03. A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa é

a) 12 .

b) 13 .

c) 14 .

d) 15 .

e) 16 .

Resolução:

A primeira carta escolhida pode ser qualquer uma delas.

A segunda carta terá que ser igual à primeira. Assim, temos:

P = 66

. 15

= 15 Alternativa D

04. Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas abaixo.

Como não foi feito par, o programa desvira as duas cartas e é

a vez do segundo jogador, que utiliza a seguinte estratégia: ele vira uma das quatro cartas que não foi virada pelo primeiro jogador. Se a carta virada for um quadrado ou um triângulo, ele certamente forma um par, pois sabe onde está a carta correspondente. Caso contrário, ele vira uma das outras três cartas que ainda não foram viradas. A probabilidade de que o segundo jogador forme um par usando a estratégia descrita é

a) 12 .

b) 58 .

c) 23 .

d) 34 .

e) 56 .

Resolução:

Na primeira carta virada pelo segundo jogador, haverá 24

de chances deste obter o triângulo ou quadrado.

Haverá também 24

de chances deste virar o círculo.

Ocorrendo o segundo caso, o segundo jogador terá, na segunda virada, 1

3 de chance de virar novamente o círculo.

Assim, temos: P = 2

4 + 2

4 . 1

3 = 2

3Alternativa C

seu Pé diReito nas MelhoRes Faculdades insper – 15/11/2013

inspernOV2013 CPV

05. Afiguramostraográficodafunçãof,dadapelalei f(x) = (sen x + cos x)4−(senx−cosx)4

O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a

a) 5π12

.

b) 4π9

.

c) 3π8

.

d) 5π6

.

e) 2π3

.

Resolução:

f (x) = (sen x + cos x)4 – (sen x – cos x)4

f (x) = [(sen x + cos x)2 + (sen x – cos x)2] . . [(sen x + cos x)2 – (sen x – cos x)2]

f (x) = [ 1 + 2 . sen x . cos x + 1 – 2 . sen x . cos x] . . [ 1 + 2 . sen x . cos x – 1 + 2 . sen x . cos x]

f (x) = [2] [4 sen . cos x]

f (x) = 8 . sen x . cos x

para x = a, temos: 8 . sen a . cos a = 2 4 . 2 . sen a . cos a = 2 4 . sen (2a) = 2 sen (2a) = 1

2

Nográfico,observamosqueépedidoosegundovalorpositivopara a. Assim:

2a = 5π6

Þ a = 5π12 Alternativa A

06. AfiguramostraumtabuleirodeumjogoBatalhaNaval,emque André representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3.Cadanavioestáidentificadopor um quadrado sombreado.

André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujocentrofiqueequidistantedoscentrosdostrêsquadradosonde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas:

a) G8. b) G9. c) H8. d) H9. e) H10.

Resolução: AquadrículaequidistantedeveráestarnamediatrizdeB2B14,

ou seja, na coluna 8. Assim temos apenas duas alternativas possíveis (G8 e H8) entre

as apresentadas. Tomando a quadrícula G8, podemos construir 3 triângulos

congruentes, cujos catetos medem 7 e 6 quadrículas, como na figura,oquenãoserápossívelnaquadrículaH8.

7

6

Alternativa A


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07. Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular,comomostradonafigura.

As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a

a) 72(3 + 3 ). b) 36(6 + 5 ). c) 108(2 + 5 ). d) 27(8 + 7 ). e) 54(4 + 7 ).

Resolução:

NotriânguloAOB,temosAB2 = 62 + 62 ÞAB=6 2 cm NafaceABC,calculamosaalturah:

h2 + (3)2 = (6 2)2

h = 3 7

A área da parte revestida é:

A = 6 . (6)2 + 6 . 6 3 72

Þ A = 54 (4 + 7) cm2

Alternativa E

O 6

6

A

B

C

08. Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensõesAB=beAD=h,quefoidivididoemtrêsregiõesdeáreasiguais pelos segmentos E↔F e G↔H.

As retas E↔F , B↔D e G↔Hsão paralelas. Dessaforma,sendoAE=xeAF=y,arazão x

b é igual a

a) 2 2

3 .

b) 2

2 .

c) 3

2 .

d) 6

4 .

e) 6

3 .

Resolução:

A área do triângulo AEF é 13

da área do retângulo.

AáreadotriânguloABDé 12

da área do retângulo.

Logo,arazãoentreasáreasdeAEFeABDé:

AΔAEFAΔABD

=

13

12

= 23

Como E↔F // B↔D ,ostriângulosAEFeABDsãosemelhantesepodemos escrever:

xb = K

AΔAEF AΔABD

= K2

x( )b2

= 23 Þ x

b = 6

3

Alternativa E

B

A

C

h6 2


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09. As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, comomostra afigura a seguir, emumquadrado, quatroretângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles..

Amedidadoladodoquadradodestacadonocentrodafiguraé igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale

a) S(2 2 + 1). b) S( 2 + 2). c) 2S( 2 + 1). d) 2S( 2 + 2). e) 4S( 2 + 1).

Resolução:

Dafigura,temos:

x2 + x2 = a2 Þ x = a 2

2

A área total é:

AT = a2 + 4 . x . a + 4 . x . x2

Þ

AT = a2 + 4 . a 2

2 . a + 2 .

a 22

. a 2

2

AT = 2a2 + 2a2 2 = 2a2 . (1 + 2) Como S = a2 Þ AT = 2 . S( 2 + 1)

Alternativa C

X aX X

X

X

XX

X

10. DeacordocomestimativadoFundoMonetárioInternacional,oProduto InternoBruto (PIB)daChinaem2012 foide8 trilhões e 227 bilhões de dólares. Considerando que a população desse país em 2012 era de aproximadamente 1 bilhão e 357 milhões de habitantes, pode-se concluir que oPIBporhabitantedaChinaem2012foidaordemde

a) 6 dólares. b) 60 dólares. c) 600 dólares. d) 6 mil dólares. e) 60 mil dólares.

Resolução:

PIB=8trilhõese227bilhõesdedólares=8,227. 1012

População = 1 bilhão e 357 milhões de dólares = 1,357 . 109

OPIBporhabitanteédadopor:

PIB

população =

8,227 . 1012

1,357 . 109 » 6 . 103 = 6000 dólares

Alternativa D


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11. Um leitor enviou a uma revista a seguinte análise de um livro recém lançcado, de 400 páginas:

“O livro é eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada página terminada, mais rápido eu lia a próxima! Não conseguia parar!”

Dentreosgráficosapresentadosabaixo,oúnicoquepoderiarepresentaronúmerodepáginaslidaspeloleitor(N) em função do tempo (t)demodoarefletircorretamenteaan´alisefeitaé:

a) b) c) d) e)

Resolução:

A frase “a cada página terminada, mais rápido eu lia a próxima” pode ser entendida como “a cada instante, mais páginas eu lia”.

Ou seja, conforme t cresce, a variação de N aumenta.

OúnicográficoqueseguesempreestecomportamentoéodaalternativaB.Alternativa B


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12. Desde o dia da partida inaugural até o dia da final deum torneio de futebol, terão sido transcorridos 32 dias. Considerando que serão disputados, ao todo, 64 jogos nesse torneio, pode-se concluir que, necessariamente,

a) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio.

b) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final.

c) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, 2.

d) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio.

e) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia.

Resolução:

Com os dados fornecidos, poucas conclusões (seguramente verdadeiras) podem ser obtidas:

C1. A média de jogos no campeonato é de 2 jogos por dia.

C2. O maior valor possível para uma quantidade de jogos em um mesmo dia em particular é 63 – haveria, por exemplo, 63 jogos nodiainicialdacompetiçãoe1jogonodiafinaldacompetição (32 dia depois). O menor valor possível para uma quantidade de jogos em um mesmo dia em particular é, portanto, 0 (zero). [CENÁRIODECONCENTRAÇÃOMÁXIMA]

C3. O menor valor possível para uma mesma quantidade de jogos em um mesmo dia em geral é 2 – com 2 jogos em cada um dos 32 dias da competição.

[CENÁRIODEUNIFORMIDADEMÁXIMA]

Logo, em ao menos um dos dias teremos ao menos 2 jogos.

Alternativa E

13. Emumjogo,cadaparticipanterecebe12fichascoloridas,devendodividi-lasemquatrogruposdetrêsfichascada,demodo a tentar obter a máxima pontuação possível. Cada trio defichasformadoépontuadodaseguintemaneira:

• trêsfichasdamesmacor→8pontos; • duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de cor

diferente→6pontos; • trêsfichasdecoresdiferentes→1ponto.

Seumparticipanterecebeu4fichasverdes,4amarelas,2brancas, 1 preta e 1 marrom, então a máxima pontuação que ele poderá obter é

a) 23. b) 24. c) 25. d) 26. e) 27.

Resolução:

Vamos simular algumas estratégias e comparar os resultados:

Estratégia A: priorizar trios de uma mesma cor (“?”indicaumafichadequalquercornão-emparelhada): V V V (8 pontos) A A A (8 pontos) BB? (6pontos) ? ? ? (1 ponto)

Estratégia B: priorizar duplas de uma mesma cor: V V ? (6 pontos) V V ? (6 pontos) A A ? (6 pontos) A A ? (6 pontos) (*note que essa estratégia requer desmembrar uma dupla, como

BB,paracompletarostrios).

Estratégia C: compor um trio e três duplas (técnica mista): V V V (8 pontos) A A ? (6 pontos) A A ? (6 pontos) BB? (6pontos)

A melhor estratégia é a C, que produzirá 26 pontos..

Alternativa D


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14. Astrêsafirmaçõesabaixo,todasverdadeiras,foramfeitasporLuísparadescreveroquepretendiafazeremrelaçãoàssuaseconomias e planos de viagem.

• Seopreçododólarcairnofinaldoano,entãoeuvouinvestirempoupançaeviajarparaoexterior. • Seeuviajarparaoexterior,entãovoucomprarumequipamentodeesqui. • Seeualugaroucomprarumequipamentodeesqui,entãovouesquiaremBariloche.

ApartirdastrêsafirmaçõesedainformaçãodequeLuísnão esquiou em Bariloche, pode-se tirar algumas conclusões que são,necessariamente,verdadeiras.Dentreasconclusõesabaixo,aúnicaquenão é, necessariamente, verdadeira é

a) opreçododólarnãocaiunofinaldoano. b) Luís não investiu em poupança. c) Luís não viajou para o exterior. d) Luís não comprou um equipamento de esqui. e) Luís não alugou um equipamento de esqui.

Resolução:

Inicialmente, vamos reescrever as sentenças, encadeando-as em forma condicional:

S1.[dólarcai]→[investirpoupança˄ viajar exterior ] S2.[viajarexterior]→[comprarequipamentodeesqui] S3. [ alugar equipamento de esqui ˅ comprarequipamentoesqui]→[esquiaremBariloche]

Ora,comoasentençafinal“esquiareiemBariloche”éFALSA, temos que:

Em S3: [ alugar equipamento de esqui ˅ comprarequipamentoesqui]→[esquiaremBariloche] F ← F Ou seja, é FALSO que “aluguei equipamento de esqui” e é FALSO que “comprei equipamento de esqui”.

Em S2.[viajarexterior]→[comprarequipamentodeesqui] F ← F Ou seja, é FALSO que “viajei para o exterior”

Em S1:[dólarcai]→[investirpoupança˄ viajar exterior ] F ← F Ou seja é FALSO que “o dólar caiu”.

Notequenadasepodeafirmarsobreaveracidadedaproposição“investiempoupança”,jáqueoevento“odólarcaiu”nãoaconteceu. Na verdade, Luís pode ter investido em poupança ou não..

Alternativa B


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15. AfiguraabaixomostraográficodopolinômioP(x),de5ograuecoeficientesreais,queapresentaumaúnicaraizreal.

OnúmeroderaízesreaisdopolinômioQ(x),dado,paratodoxreal,pelaexpressãoQ(x)=2−P(x),éiguala

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Resolução: y=–P(x) y=2–P(x)

Ográficodey=2–P(x)interceptaoeixoOxemtrêspontos,portantoadmitetrêsraizesreais.

Alternativa C


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16. Um retângulo tem comprimento X e largura Y , sendo X e Y números positivos menores do que 100.

Se o comprimento do retângulo aumentar Y % e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará

a) ( X + Y + XY100) %.

b) ( X Y + X+Y100 ) %.

c) ( X+Y + XY

100 ) %.

d) (X + Y)%.

e) (XY)%.

Resolução:

Doenunciado,temos:

área=x.y

Aplicando-se o aumento:

y . (1 + x

100)

x . (1 + y

100)

Área = x . (1 + y

100 ) .y. (1 + x

100 ) (x +

xy100 ) . (y+ yx100 )

xy+yx2

100 +

xy2

100 +

x2y2

1002

xy. (1 + x

100 +

y100

+ xy

1002) Ou seja, haverá na área um aumento de

x100

+ y

100 +

xy1002 ou

(x + y + xy100 ) %

Alternativa A

x

y

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