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Influência do Efeito de Proximidade no Cálculo dos
Coeficientes de Capacidade de um Cabo Subterrâneo
Trifásico
João Paulo Ferreira Saragoça
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Orientadores
Prof. Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado
Prof. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Júri
Presidente: Prof. Rui Manuel Gameiro de Castro
Orientador: Prof. Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado
Vogal: Prof. Artur Fernando Delgado Lopes Ribeiro
Outubro de 2017
Agradecimentos
Aos meus pais e ao meu irmão, que me proporcionaram as condições para que eu pudesse
estudar. Obrigado pelo seu sacrifício, pela motivação que me deram e acima de tudo pela educação e
valores que me incutiram.
Aos professores Vítor Maló Machado e Maria Eduarda Pedro, por toda a sua ajuda, pela sua
compreensão e paciência ao longo da coordenação deste trabalho.
À Elisabetta Ferrari, por todo o apoio e força que me deu, pela confiança que depositou em
mim e por me ajudar a encontrar a motivação para concluir este trabalho, em conciliação com as
obrigações profissionais.
Aos meus amigos, os que trouxe e os que levo, pelo momentos inesquecíveis que
partilhamos, que tornaram esta etapa da minha vida realmente enriquecedora.
Resumo
Nos cabos trifásicos o campo elétrico originado pela carga de cada um dos condutores é
deformado pela presença dos restantes, devido à proximidade entre eles. Assim é essencial levar em
conta este fenómeno, denominado «efeito de proximidade», para se obter de forma rigorosa os
parâmetros do cabo.
Neste trabalho foi desenvolvido um programa de computador para o cálculo expedito do
potencial elétrico e dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento em cabos
subterrâneos, constituídos por condutores cilíndricos e bainha, tendo em conta o efeito de
proximidade entre os vários condutores. O algoritmo desenvolvido, assenta num método analítico que
tem por base o cálculo do potencial elétrico no cabo, partindo de desenvolvimentos em série de
Fourier dando conta a sua dependência angular e desenvolvimentos em série de potências dando
conta a sua dependência radial.
A validação dos resultados do algoritmo desenvolvido foi feita por comparação a resultados
obtidos por aplicação de outros métodos numéricos e analíticos.
Palavras-chave:
campo elétrico
coeficientes de capacidade
efeito de proximidade
cabos trifásicos
Abstract
In three-phase cables the electric field produced by the charge in each of the conductors is
deformed by the others presence, due to their proximity. Therefore, it’s essential to take this
phenomenon, the so-called proximity effect, into account, in order to accurately compute the cables
parameters.
In this work a computer program was developed, in order to quickly compute the capacitance
of underground multi-conductor cables composed by cylindrical phase conductors and conductive
sheath, taking into account the proximity effect between the various conductors. The algorithm was
developed from an analytical method that computes the electrical potential in the cable, making use of
Fourier series for its angular dependency, and power series for its radial dependency.
The algorithm’s results were validated through comparison to results obtained by other
numerical and analytical methods.
Keywords:
Electrical field
Capacitance coefficients
Proximity effect
Three-phase cables
Índice
1 Introdução ........................................................................................................................................ 1
1.1 Motivação e objetivo ................................................................................................................. 1
1.2 Estado da arte ........................................................................................................................... 1
1.3 Contextualização ....................................................................................................................... 2
1.4 Organização / Conteúdos da dissertação ................................................................................. 3
2 Metodologia ...................................................................................................................................... 4
2.1 Resolução da equação de Laplace em problemas de 2D e em coordenadas cilíndricas ........ 5
2.1.1 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo do condutor � ....... 6
2.1.2 Solução com singularidades em torno do eixo da bainha, centrada no eixo do condutor �
........................................................................................................................................... 7
2.1.3 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo da bainha ............ 8
2.1.4 Solução centrada no eixo condutor � ................................................................................ 9
2.1.5 Solução centrada no eixo da bainha condutora .............................................................. 11
2.2 Algoritmo ................................................................................................................................. 13
2.2.1 Determinação dos coeficientes ��(�) e �� ....................................................................... 13
2.2.2 Obtenção dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento para o cabo
trifásico ......................................................................................................................................... 17
3 Resultados ..................................................................................................................................... 20
3.1 Validação do método / algoritmo ............................................................................................ 20
3.1.1 Condensador cilíndrico .................................................................................................... 21
3.1.1.1 Método analítico ....................................................................................................... 21
3.1.1.2 Resultado.................................................................................................................. 22
3.1.2 Cabo trifásico ................................................................................................................... 22
3.1.2.1 Coeficientes de capacidade �� e �� ........................................................................ 22
3.1.2.2 Coeficiente de indução modal para os modos trifásico e homopolar ...................... 23
3.1.2.2.1 Erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de fase
com cargas filiformes .............................................................................................................. 24
3.1.2.2.2 Erro do coeficiente de indução modal por consideração da primeira aproximação
da solução .............................................................................................................................. 24
3.1.2.2.3 Resultados ............................................................................................................ 24
3.2 Análise de resultados .............................................................................................................. 27
3.2.1 Dependência dos coeficientes de potencial próprio e mútuo com �� e �� ..................... 27
3.2.1.1 Consideração do efeito de proximidade ................................................................... 27
3.2.1.2 Resultados ................................................................................................................ 29
3.2.1.2.1 Coeficientes de potencial em função de �� .......................................................... 29
3.2.1.2.2 Coeficientes de potencial em função de �� .......................................................... 30
3.2.2 Dependência do coeficiente de capacidade modal para os modos simétrico e homopolar
com �� e �� .................................................................................................................................... 34
3.2.3 Densidade de carga na superfície dos condutores ......................................................... 38
3.2.3.1 Densidade de carga na superfície dum condutor de fase ........................................ 39
3.2.3.2 Densidade de carga à superfície da bainha ............................................................. 44
4 Conclusões ..................................................................................................................................... 47
5 Referências bibliográficas .............................................................................................................. 49
6 Anexo A – Relação entre os coeficientes complexos da série de Fourier ..................................... 50
7 Anexo B – Resolução da equação de Laplace por separação de variáveis.................................. 51
7.1 Obtenção das soluções gerais (2.6) e (2.7) ............................................................................ 51
7.2 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo do condutor � .............................. 52
7.3 Obtenção da solução para a bainha centrada no eixo do condutor � .................................... 53
7.4 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo da bainha .................................... 54
8 Anexo C – Exemplo de Matriz [�], vetor (�) e vetor (�) para cabo trifásico simétrico .................. 56
9 Anexo D – Função potencial obtida pelo método das imagens ..................................................... 58
9.1 Potencial elétrico num ponto � ............................................................................................... 58
9.2 Diferença de potencial entre dois pontos genéricos ............................................................... 58
10 Anexo E – Obtenção da parte real de uma amplitude complexa para os instantes � = 0 e � =
�/4 .................................................................................................................................................... 59
Lista de figuras
Figura 2.1 – Referencial centrado no eixo do condutor k ....................................................................... 6
Figura 2.2 - Referencial centrado no eixo do condutor k ........................................................................ 7
Figura 2.3 – Referencial centrado no eixo da bainha condutora ............................................................ 9
Figura 2.4 – Organigrama de ordenação do vetor (�) .......................................................................... 16
Figura 2.5 – Representação genérica do cabo trifásico simétrico ........................................................ 17
Figura 3.1 – Condensador cilíndrico ..................................................................................................... 21
Figura 3.2 – Variação do coeficiente de indução modal com o raio da bainha .................................... 25
Figura 3.3 – Variação do erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de
fase filiformes com o raio da bainha ...................................................................................................... 26
Figura 3.4 – Variação do coeficiente de potencial próprio com R0, Rc=0,5 .......................................... 29
Figura 3.5 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com R0, Rc=0,5 ............................................ 30
Figura 3.6 - Variação do coeficiente de potencial próprio com Rc, R0=1+sin(π/3) ............................... 31
Figura 3.7 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3) ................................. 32
Figura 3.8 - Variação do coeficiente de potencial próprio com o Rc, R0=5 ........................................... 32
Figura 3.9 - Variação do coeficiente de potencial mutuo com Rc, R0=5 ............................................... 33
Figura 3.10 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com R0, Rc=0,5 ........ 35
Figura 3.11 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com R0, Rc=0,5 .................. 35
Figura 3.12 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=1+sin(π/3)
............................................................................................................................................................... 36
Figura 3.13 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3) ....... 36
Figura 3.14 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=5 ........... 37
Figura 3.15 - Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=5 ...................... 37
Figura 3.16 – Representação do cabo trifásico simétrico e dos ângulos ϕ e ϕ’.................................... 39
Figura 3.17 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=1+Rcmax. 40
Figura 3.18 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=3 ........... 40
Figura 3.19 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=5 ........... 41
Figura 3.20 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=1+Rcmax
............................................................................................................................................................... 42
Figura 3.21 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=3 ........ 43
Figura 3.22 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=5 ........ 43
Figura 3.23 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=0 ......................... 45
Figura 3.24 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=T/4 ..................... 45
Figura 9.1 – Representação duma carga filiforme +q e da respetiva carga imagem fictícia –q ........... 58
Lista de tabelas
Tabela 3.1 – Comparação de resultados dos coeficientes de capacidade para o cabo trifásico ......... 23
Tabela 3.2 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para o cabo trifásico ........ 24
Tabela 3.3 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para diferentes valores de
R0 ........................................................................................................................................................... 25
Tabela 3.4 - Comparação de resultados do erro do coeficiente de indução modal por consideração de
condutores de fase filiformes................................................................................................................. 26
Lista de siglas
� Permitividade elétrica
� Permeabilidade magnética
��⃗ Vetor do campo elétrico
���⃗ Vetor do deslocamento elétrico
� Coeficiente de capacidade por unidade de comprimento
� Coeficiente de indução por unidade de comprimento
��(�)
Solução do potencial elétrico com singularidades no eixo do condutor �, centrada
no eixo do condutor �
�(�) Solução completa do potencial elétrico centrada no eixo do condutor �
��(�)
Coeficiente de grau p do desenvolvimento para a solução da função potencial
relativa à presença do condutor de fase �
�� Coeficiente de grau p do desenvolvimento para a solução da função potencial
relativa a presença de bainha
�� Tensão do condutor �.
�� Raio da bainha condutora
�� Raio do condutor de fase �
�� Raio dos condutores de fase num cabo trifásico simétrico
� Raio da circunferência com centro no eixo da bainha, sobre a qual os eixos dos
condutores de fase estão colocados, no cabo trifásico simétrico
�� Raio da bainha condutora normalizado ao raio �
�� Raio dos condutores de fase num cabo trifásico simétrico normalizado ao raio �
���� Número complexo correspondente ao vetor de posição do eixo do condutor � em
referência ao eixo do condutor �.
��� Número complexo correspondente ao vetor de posição do eixo do condutor �
em referência ao eixo da bainha condutora.
�� Ordem máxima para os coeficientes ��
(�) relativos ao condutor � do cabo
trifásico
�� Ordem máxima para os coeficientes ��
(�) relativos aos condutores de fase no
cabo trifásico simétrico
�� Ordem máxima para os coeficientes �� relativos à bainha condutora do cabo
trifásico
��� Operador matemático Divergência
���� Operador matemático Gradiente
��� Operador matemático Laplaciano
��� Operador matemático Rotacional
1 Introdução
1.1 Motivação e objetivo
Os cabos trifásicos subterrâneos são amplamente usados nas redes elétricas de hoje em dia,
nomeadamente nas áreas urbanas, desde a muito alta tensão até a baixa tensão. Assim sendo é
importante para os fabricantes terem ferramentas que tornem expedito o cálculo dos parâmetros dos
cabos, em particular aqueles associados ao campo elétrico, tendo em conta os vários aspetos
constitutivos dos mesmos, quer a nível dos materiais usados, como a nível da configuração e
disposição dos seus componentes.
Nos cabos trifásicos, o campo elétrico gerado pela carga em cada um dos condutores sofre
deformações originadas pela presença dos restantes condutores, devido à sua proximidade física.
Este fenómeno denomina-se por «efeito de proximidade» e deve necessariamente ser levado em
conta para que o cálculo da capacidade do cabo seja rigoroso.
Nesta dissertação propõe-se desenvolver um algoritmo com base num método analítico,
capaz de calcular de forma expedita os coeficientes de capacidade por unidade de comprimento de
cabos multi-condutores, constituídos pelos condutores de fase e por uma bainha condutora,
separados por um meio dielétrico de permitividade �.
1.2 Estado da arte
O cálculo dos coeficientes de capacidade insere-se no problema mais genérico da
determinação do campo elétrico. O problema do campo, objeto de estudo já na década de 70, como é
o exemplo de [3], continua hoje em dia a ser um tema de investigação. Prova disso é que novas
metodologias têm vindo a ser desenvolvidas como são exemplos [6] e [8]. A capacidade de
processamento disponível nos computadores atuais possibilita o uso de métodos mais poderosos,
que permitem obter resultados cada vez mais rigorosos e consequentemente uma melhor
compreensão dos fenómenos relacionados com o campo elétrico.
As metodologias usadas podem ser separadas em dois tipos distintos. Os métodos que
assentam em soluções analíticas para os problemas de campo, que são limitados a sistemas de
geometria menos complexa, onde os materiais constituintes do cabo não apresentam
heterogeneidades, anisotropias ou não linearidades. A outra abordagem consiste no uso de métodos
numéricos que podem ser aplicados mais generalizadamente, fazendo uso da discretização.
Com respeito aos métodos analíticos, o artigo [3] apresenta um método para a resolução da
função potencial a duas dimensões, semelhante ao usado neste trabalho, mas aplicável a condutores
com geometria simétrica. Os artigos [4] e [5] apresentam um método denominado de expansão
harmónica com base em desenvolvimentos em série de Fourier para a determinar as capacidades de
cabos de baixa tensão.
Em relação aos métodos numéricos, [6] apresenta uma metodologia denominada por «fitas
de carga» (strips of charge). Este método usa fitas de carga para representar uma aproximação da
distribuição de carga à superfície dos condutores e da carga de polarização ao longo da separação
entre dois meios dielétricos. Nos artigos [7] e [8] é usado o método dos elementos finitos (finite
element method) para calcular os parâmetros transversais e longitudinais em linhas de transporte e
cabos trifásicos respetivamente. Em [9] é proposto um método híbrido (analítico / numérico) usando o
método dos elementos de fronteira (boundary element method) para resolução de problemas de
electroestática e magnetostática com várias camadas de dielétrico.
1.3 Contextualização
A metodologia proposta neste trabalho, considera a aproximação de condutores perfeitos,
infinitamente longos, onde os efeitos de franja não são considerados. Além disso é também
considerada a aproximação de regime quase-estacionário, no qual não são considerados fenómenos
de indução magnética. Neste contexto, um problema de electroestática em 2D é considerado, sendo
o campo elétrico independente da coordenada longitudinal e, portanto, o modo TEM é adequado.
No que se refere ao meio dielétrico, este considera-se linear, isotrópico e homogéneo pelo
que a sua permitividade elétrica, �, é uma constante escalar.
Nas condições acima expostas e uma vez que não existe carga livre no meio dielétrico, o
problema do campo elétrico resume-se à equação de Laplace, que num problema 2D, tem como
solução o potencial escalar.
São obtidas duas soluções gerais para o potencial elétrico, com base em desenvolvimentos
em série de Fourier tendo em conta a dependência angular, e em séries de potências tendo em conta
a dependência radial. Uma solução aplicável aos condutores de fase com singularidades em � = 0, e
uma solução aplicável à bainha condutora com singularidades em � → ∞ .
A resolução analítica do problema fica completa através da aplicação das condições de
fronteira na superfície dos vários condutores. Para tal são desenvolvidas soluções centradas em cada
um dos condutores através de desenvolvimentos em série de Taylor, partindo das soluções iniciais.
O algoritmo numérico, desenvolvido com o software MATLAB [13], constitui uma aproximação
à solução analítica encontrada, para a qual é efetuada a truncagem dos desenvolvimentos em série,
transformando-os em somatórios de ordem finita. O critério de truncagem é definido a priori e
depende dos parâmetros geométricos e constitutivos do cabo. Nestas condições o problema é
constituído por um sistema de equações, que pode ser descrito por uma equação matricial onde vetor
de incógnitas é constituído pelos coeficientes dos desenvolvimentos em série. O vetor de incógnitas é
definido considerando-se uma ordenação dos coeficientes que dá primazia à ordem dos mesmos,
tornando o processo de inversão da matriz mais eficiente.
1.4 Organização / Conteúdos da dissertação
No capítulo 2 é explicado em detalhe o método analítico abordado nos textos [1] e [2], assim
como as considerações tomadas na construção do algoritmo, nomeadamente no que se refere ao
cálculo dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento. Demonstrações de expressões
dos textos referidos que se consideraram úteis foram colocadas em anexo.
O capítulo 3 contém todos os resultados obtidos pelo algoritmo desenvolvido, juntamente com
a explicação da sua obtenção. A análise aos resultados produzidos é também aqui colocada. Este
capítulo é constituído por duas secções principais. Na primeira faz-se um comparativo de resultados
obtidos com os de outros métodos com o objetivo de validar o algoritmo desenvolvido. Na segunda
secção são apresentados os resultados obtidos no âmbito do estudo do efeito de proximidade.
No capítulo 4 são tecidas as considerações finais acerca da execução do trabalho e sobre
possíveis melhoramentos a efetuar em trabalhos futuros.
2 Metodologia
Neste capítulo é feita uma abordagem à resolução da equação de Laplace para o potencial
elétrico, de acordo com o exposto em [1], assim como os desenvolvimentos obtidos para as soluções
centradas nos condutores de fase na bainha condutora, de acordo com o exposto em [2]. Por último
será explicada a construção do algoritmo numérico desenvolvido com base na solução analítica
considerada.
Antes de se iniciar a análise ao método analítico considerado, é importante estabelecer o
contexto no qual essa solução é válida.
Considerando-se condutores perfeitos, infinitamente longos e paralelos, o campo tem a
configuração do campo electroestático e, portanto, o modo TEM para o campo eletromagnético é
aplicável. A influência dos fenómenos de indução magnética considera-se desprezável.
Assim, para as condições acima especificadas, o problema do campo elétrico pode ser
aproximado a um problema de electroestática, descrito pelas equações (2.1) particularizadas a partir
das equações de Maxwell.
�����⃗ = 0
������⃗ = �
(2.1)
Aplicando a relação constitutiva à segunda equação de (2.1), obtém-se de (2.1) a expressão
(2.2), onde � é o potencial elétrico, uma função escalar, independente da coordenada longitudinal, e �
é a constante dielétrica. De (2.2), por manipulação matemática obtém-se a expressão (2.3).
������⃗ = ������⃗ = −����.����� = � (2.2)
− (�����.�����+ �����) = � (2.3)
Considerando-se as aproximações do meio dielétrico ser linear, isotrópico e homogéneo, do
qual resulta que que � é uma constante escalar para todo o cabo, e a aproximação do dielétrico
perfeito, isto é, o meio dielétrico não está eletrizado dado não conter cargas livres, � = 0, a equação
(2.3) reduz-se a (2.4), conhecida por Equação de Laplace.
���� = 0 (2.4)
2.1 Resolução da equação de Laplace em problemas de 2D e em
coordenadas cilíndricas
As expressões colocadas nesta secção do texto estão referidas em [1]. Aqui são colocadas
as expressões mais importantes com uma explicação sucinta sobre as mesmas. As demonstrações
importantes serão colocadas em anexo.
A resolução da equação de Laplace (2.4) é feita para uma função potencial em coordenadas
cilíndricas que são as que melhor se adequam ao cabo multi-condutor. Além disso, em condutores
cilíndricos paralelos e teoricamente infinitos o campo e o potencial elétrico são funções
independentes da coordenada longitudinal ��, isto é, a função potencial é dada pela expressão (2.5).
� = �(�,�) (2.5)
A equação de Laplace para o potencial � é uma equação diferencial às derivadas parciais
pelo que pode ser escrita como um produto de duas funções em que uma é função de � e a outra é
função de �. São obtidas duas soluções gerais para a equação (2.4)1, que se adaptam ao problema.
Uma solução com singularidades em � = 0, que se aplica aos condutores de fase, dada pela
expressão (2.6). A outra solução, dada pela expressão (2.7), com singularidades em � → ∞ , que se
aplica à bainha condutora. Os coeficientes ��, ��, �� e �� são determinados pelas condições de
fronteira.
� = �� ln
1
�+1
2� ���
�|�|����
���
�������
(2.6)
� = �� +
1
2� ���
|�|����
���
�������
(2.7)
Na expressão (2.6) destaca-se a termo de ordem 0 (logaritmo) que descreve a função
potencial duma carga filiforme (equipotencial circular). Os restantes termos são relativos à
deformação provocada pelo efeito de proximidade. Em relação à expressão (2.7), esta pode também
ser dividida em duas partes: o termo constante �� que depende das cargas nos condutores de fase
(envoltas pela bainha), e os termos de ordem superior que são relativos à deformação causada pelo
efeito de proximidade.
Para obter a solução final é necessário determinar os coeficientes ��, ��, �� e ��, através da
imposição das condições de fronteira à superfície dos condutores, o que torna necessário obter
soluções da função potencial centradas no eixo de cada um dos condutores. Este tipo de solução é
1 - Consultar o Anexo B (secção 7.1), para a demonstração da resolução da equação de Laplace até chegar às soluções (2.6) e (2.7).
obtida através de desenvolvimentos em série de Taylor que permitem deslocar para o eixo de um
determinado condutor as soluções centradas nos eixos dos restantes condutores.
2.1.1 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo do
condutor �
A solução com a forma de (2.6)2 com singularidades no eixo dum condutor de fase (i), ��,
centrada no eixo dum outro condutor de fase (k), ��, e convergente para � < |����|, onde ���� é um
complexo que corresponde ao vetor de posição entre os eixos dos condutores � e �, é dada pela
expressão (2.8), na qual a primeira e segunda linhas do somatório são respetivamente para valores
positivos e negativos de �.
iO
kO
y
kiw
w
ir
kr
Figura 2.1 – Referencial centrado no eixo do condutor k
��(�)
= ��(�) ln
1
��������+1
2�����
(�)���(0,�) + ��(�)���
∗ (0,�)� +
�
���
+1
2�
�|�|
|�|���
(�) ����(�,0)
���∗ (−�,0)
�+ �����(�)���(�,�)
��(�)���
∗ (−�,�)�
�
���
�
�
�������
����
(2.8)
Os coeficientes ��(�) e a variável � são valores normalizados de acordo com as expressões
em (2.9). Os coeficientes ��(�) são os coeficientes do desenvolvimento (2.6) centrado no eixo do
condutor �, e � é a coordenada cilíndrica � com referência no eixo do condutor � normalizada ao raio
do mesmo.
��(�)=��(�)
���
� =�
��
(2.9)
2 - Para as demonstrações das expressões desta secção consultar o Anexo B (secção 7.2)
O termo ���(�,�) na expressão (2.8) é dado pela expressão (2.10), que por sua vez contém
o termo �(�,�) dado pela expressão (2.11).
���(�,�) = (− 1)�� �
���������
����������
�(�,�) (2.10)
�(�,�) = �
(� + � − 1)!
(� − 1)!(� − 1)!, �,� > 0
1, � = 0��� = 0
(2.11)
2.1.2 Solução com singularidades em torno do eixo da bainha, centrada no
eixo do condutor �
A solução com a forma de (2.7)3 em torno do eixo bainha, �, centrada no eixo dum condutor
de fase (k), ��, e convergente para � < |���|, onde ��� é um complexo que corresponde ao vetor de
posição entre o eixo da bainha e o eixo do condutor �, é dada pela expressão (2.12), na qual a
primeira e segunda linhas do somatório são respetivamente para valores positivos e negativos de �.
o
kO y
kw
w
0r
kr
Figura 2.2 - Referencial centrado no eixo do condutor k
��(�)
= �� +1
2������(0,�) + �����
∗(0,�)�
�
���
+1
2�
�|�|
��� �
����(�,�)
�����∗(−�,�)
�
�
��|�|
������
�������
(2.12)
3 - Para as demonstrações das expressões desta secção consultar o Anexo B (secção 7.3)
Os coeficientes �� são valores normalizados de acordo com a equação (2.13), onde os
coeficientes �� são os coeficientes do desenvolvimento (2.7). A variável � é a coordenada cilíndrica �
com referência no eixo do condutor � normalizada ao raio do mesmo de acordo com a segunda
equação de (2.9).
�� = ����� (2.13)
O termo ��(�,�) na equação (2.12) é dado pela expressão (2.14), que por sua vez contém o
termo �(�,�) dado pela expressão (2.15).
��(�,�) = �
�������
���������
�(�,�),� ≥ 0,� ≥ � (2.14)
�(�,�) = �
�!
(� − 1)!(� − �)!,� > 0,� ≥ �
1, � = 0
(2.15)
2.1.3 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo da
bainha
A solução com a forma de (2.6)4 com singularidades no eixo dum condutor de fase (k), ��,
centrada no eixo da bainha, �, onde (��,�′) são as coordenadas associadas ao eixo � (Figura 2.3).
Esta solução, que é convergente para �� > |���|, onde ��� é um complexo que corresponde ao vetor
de posição entre o eixo da bainha e o eixo do condutor �, é dada pela expressão (2.16), na qual a
primeira e segunda linhas do somatório são respetivamente para valores positivos e negativos de �.
4 - Para as demonstrações das expressões desta secção consultar o Anexo B (secção 7.4)
o
kO x
kwφ'
w
r'
0r
krP
Figura 2.3 – Referencial centrado no eixo da bainha condutora
��(�)
= ��(�) ln�
�� ��⁄
��� + �
���|�|
2|�|���
(�) �� ∗(0,�)�(0,−�)
�+ ����(�)� ∗(�,�)
���(�)�(�,−�)
�
|�|
���
�������
�������
(2.16)
Novamente os coeficientes ��(�) são valores normalizados de acordo com a equação (2.9),
onde os coeficientes ��(�) são os coeficientes do desenvolvimento (2.6) centrado no condutor �. A
variável �’ é o valor da coordenada cilíndrica �’ com referência no eixo da bainha condutora
normalizada ao raio da mesma, ��, de acordo com a equação (2.17).
�� =
��
�� (2.17)
2.1.4 Solução centrada no eixo condutor �
A solução centrada no eixo de um condutor de fase é dada pela soma da contribuição do
próprio condutor no qual a solução está centrada, com as contribuições devidas à presença dos
restantes condutores de fase e da bainha condutora. Assim, a partir das equações (2.6), (2.8) e (2.12)
chega-se à solução final (2.18) em que ��(�)
é dado para � = 0 e � ≠ 0 pelas equações (2.19) e
(2.21) respetivamente.
�(�)(�,�) = � ��
(�)(�)������
����
,� = �/�� (2.18)
��(�)(�) = �� + ��
(�) ln�1
��+ ���
(�) ln���
|����|�+ ��
�
������
(2.19)
�� =
1
2������(0,�)+�����
∗(0,�)�
��
���
+ �1
2�����
(�)���(0,�) + ��
(�)���∗ (0,�)�
��
���
�
������
(2.20)
��(�)(�) =
�|�|
2|�|���
(�) + |�|��(�)���|�|+ ��
(�)� (2.21)
��(�) = ���
(�) ����(�,0)
���∗ (−�,0)
�
�
������
(2.22)
��(�)
= � �����(�,�)
�����∗(−�,�)
�
�
��|�|
+ ������(�)���(�,�)
��(�)���
∗ (−�,�)�
�
���
�
������
(2.23)
Na expressão (2.19) podem claramente ser identificadas duas partes distintas. Uma parte que
inclui as contribuições devidas aos termos de ordem zero (o termo relativo à bainha proveniente da
equação (2.12), ��, o termo relativo ao condutor � da expressão (2.6), ��(�) e os termos relativos aos
restantes condutores de fase, da expressão (2.8)) onde os termos logarítmicos correspondem à
solução para cargas filiformes. A segunda parte, constituída pelo termo ��, que inclui os termos de
ordem diferente de zero e que está presente devido ao efeito de proximidade entre os vários
condutores (termos relativos aos condutores de fase, provenientes da equação (2.8)) assim como à
presença da bainha (termos relativos à bainha condutora, provenientes da equação (2.12)).
Na equação (2.21) também é possível identificar as diferentes contribuições. A relativa ao
condutor �, que corresponde aos termos de ordem diferente de zero da expressão (2.6), e as
contribuições dos restantes de condutores de fase e da bainha, incluídas nos termos �� e ��, e
provenientes das equações (2.8) e (2.12).
Os coeficientes de ordem zero são determinados através da aplicação das condições de
fronteira em cada condutor, sendo que no caso ��, estas são aplicadas na solução centrada no eixo
da bainha (na secção 2.1.5).
Aplicando as condições de fronteira para o condutor � (� = �� ⟺ � = 1) na expressão (2.18)
tem-se (2.24), onde �� e �� são respetivamente a tensão do condutor � e a carga por unidade de
comprimento contida no condutor �.
⎩⎨
⎧�(�)(1,�) = ��
� − �
��
�
��(�)
������
�� = �� (2.24)
A primeira das duas condições traduz o facto de o potencial à superfície do condutor ser
constante (equipotencial circular sobre a superfície do condutor). Tendo em conta a equação (2.18),
esta condição implica que os termos ��(�) para � ≠ 0 são nulos quando � = 1, de onde se obtém a
igualdade (2.25). Com base nesta conclusão, a tensão do condutor �, ��, é dada pela equação
(2.26).
��(�)(�)�
���= 0⇔ ��
(�) + |�|��(�) = − ��
(�) (2.25)
�� = �(�)�
���= ��
(�)����
= �� + � ��(�) ln�
��|����|
�+ ��
�
���(���)
(2.26)
A segunda condição de (2.24) resulta da aplicação de (2.27) sobre a superfície do condutor �,
considerando-se ��⃗� a normal exterior à superfície.
� ����⃗.��⃗������
= �� (2.27)
A integração em ordem a � dos termos de ordem � ≠ 0 é zero (integral duma função
exponencial complexa no intervalo ]0,2�]). Da resolução do integral em (2.24) resulta (2.28), de onde
se obtém o termo de ordem zero, ��(�), de acordo com a equação (2.29).
� − �
��
�
��(�)
������
�� = � − �
��
�
���(�)
���
���
��= 2����(�)
��
���
= 2����(�) (2.28)
��(�) =
��2��
(2.29)
2.1.5 Solução centrada no eixo da bainha condutora
A solução centrada no eixo da bainha é obtida pela sobreposição das contribuições relativas
aos vários condutores de fase à solução relativa à própria bainha. Assim, a partir das equações (2.7)
e (2.16) chega-se à solução completa dada pela equação (2.30), em que ��(�) é dado para � = 0 e
� ≠ 0 pelas equações (2.31) e (2.32), respetivamente.
�(�)(�′,�′) = � ��
(�)(�′)�������
����
,�′= �′/�� (2.30)
��(�)(�′) = �� + ���
(�) ln���/���′
�
�
���
(2.31)
��(�)(�′) =
�′�|�|
2|�|���
� + |�|�����|�|
+ ���� (2.32)
��� = ���
(�) ���∗(0,�)
��(0,−�)�
�
���
(2.33)
��� = ���
��(�)��
∗(�,�)
���(�)��(�,−�)
�
|�|
���
�
���
(2.34)
Na equação (2.31) o termo relativo à contribuição da bainha é o coeficiente de ordem zero da
equação (2.7) e os termos relativos às contribuições dos condutores de fase são os termos de ordem
zero da equação (2.16).
Na equação (2.32) distinguem-se também a contribuição da bainha e dos condutores de fase.
O coeficiente de ordem � ≠ 0 relativo à contribuição da bainha, ��, provém da equação (2.7) e as
contribuições relativas aos condutores da fase estão incluídas nos termos ��� e ��
� e provêm da
equação (2.16).
Aplicando as condições de fronteira na bainha (�� = �� ⟺ �� = 1), na equação (2.30) obtém-
se (2.35).
⎩⎨
⎧�(�)(1,�′) = �� = 0
� �
��
�
��(�)
��′�����
���= �� (2.35)
A primeira das equações de (2.35) estabelece que o potencial na bainha é nulo, ou seja, a
bainha é tomada como referência do potencial elétrico. Tendo em conta a equação (2.30), esta
condição implica que os termos ��(�), para � ≠ 0, são nulos quando �� = 1, de onde se obtém a
igualdade (2.36) e a equação que determina o coeficiente �� em (2.37).
��(�)(�′)�
����= 0⇔ ��
� + |�|�� = − ��� (2.36)
��(�)(��)�
����= 0⇔ �� = − ���
(�) ln������
�
���
(2.37)
A segunda condição de (2.35) é obtida da aplicação de (2.27) sobre a superfície da bainha
condutora, mas considerando-se a normal interior à superfície, ��⃗�, pelo que comparativamente à
segunda condição de (2.24) há uma inversão do sinal. Resolvendo o integral obtém-se (2.38) que
confirma o equilíbrio de cargas do cabo.
� �
��
�
��(�)
��′�����
��� = � �
��
�
���(�)
����
����
��= − 2�����(�)
�′
�
���
�
����
= − ���
�
���
= �� (2.38)
2.2 Algoritmo
Ao longo da secção 2.1 foram apresentados os elementos necessários para a obtenção de
uma solução analítica. Nesta secção, é explicada a construção do algoritmo baseado na solução
analítica apresentada, e que permite obter uma solução numérica aproximada à referida solução
analítica.
O principio base do algoritmo desenvolvido neste trabalho passa pela truncagem dos
desenvolvimentos em série das soluções analíticas para o potencial elétrico, transformando-os em
somatórios com um número finito de termos. Um critério de truncagem é estabelecido, definindo a
ordem máxima dos coeficientes relativos ao condutor de fase �, ��, e relativos à bainha condutora,
��.
2.2.1 Determinação dos coeficientes ��(�) e � �
Nas secções 2.1.4 e 2.1.5 foram apresentadas as soluções analíticas finais para a função
potencial e por aplicação das condições de fronteira à superfície dos condutores (de fase e da
bainha), obtiveram-se as expressões dos coeficientes de ordem zero ��(�)
e ��, e estabeleceram-se
as equações que permitem a determinação dos restantes coeficientes.
O coeficiente de ordem zero relativo ao condutor de fase �, ��(�), é obtido diretamente a partir
da equação (2.29), sendo inversamente proporcional à constante dielétrica do meio e diretamente
proporcional à carga por unidade de comprimento contida no respetivo condutor, ��, que é um
parâmetro imposto. O coeficiente de ordem zero relativo à bainha condutora, ��, é calculado
diretamente de acordo com a equação (2.37). Alternativamente, pode-se optar por impor o coeficiente
��(�), a partir do qual é calculada a carga no respetivo condutor, ��.
Os coeficientes de ordem � ≠ 0, para o condutor de fase �, ��(�), e para a bainha condutora ,
��, são obtidos através da resolução dum sistema de equações, constituído por equações da forma
apresentada em (2.39), onde a primeira linha corresponde à equação (2.25) e a segunda linha
corresponde à equação (2.36), obtidas analiticamente. Os índices �� e �� são as ordens máximas
dos coeficientes para o condutor de fase � e para a bainha condutora.
���(�) + |�|��
(�) = − ��(�),� = ±1,… ,±��
��� + |�|�� = −��
� ,� = ±1,… ,±��
(2.39)
Tendo em conta as ordens máximas dos coeficientes, para � condutores de fase, obtém-se
um sistema com �� equações e �� incógnitas, com �� dado pela expressão (2.40).
�� = 2����
�
���
+ ��� (2.40)
O sistema de equações pode ser escrito na forma matricial, (2.41), onde a matriz [�] tem
dimensão ��×��. O vetor de incógnitas, (�), e o vetor (�), ambos de dimensão ��×1 são dados
genericamente pelas expressões (2.42) e (2.43), respetivamente. O critério de ordenação dos
coeficientes no vetor de incógnitas será explicado mais adiante.
[�](�) = (�) (2.41)
(�) = ���(�)���
� (2.42)
(�) = �−��(�) − ��
� �� (2.43)
Para estabelecer o sistema de equações falta, portanto determinar as ordens máximas dos
coeficientes, �� e ��. Para que o algoritmo não se torne pesado, é importante escolher uma forma
rápida de avaliar estes valores a priori, evitando recursividade. A forma escolhida baseia-se no
cálculo expedito duma primeira aproximação dos coeficientes ��(�) e �� e na escolha de um critério
de truncagem que defina a ordem de grandeza mínima que se considere relevante para esses
mesmos coeficientes.
A primeira aproximação dos coeficientes é obtida considerando-se apenas os elementos da
diagonal principal da matriz [�], isto é, desprezando-se ��(�) na primeira equação de (2.39), que
corresponde a considerar �� = 0 para � ≠ � e �� → ∞ , e desprezando-se ��� na segunda equação de
(2.39), que corresponde a considerar �� = 0 para � = 1,… ,� . Assim de (2.39) obtém-se (2.44), onde
�′�(�) e �′� são as estimativas dos coeficientes ��
(�) e ��.
⎩⎪⎨
⎪⎧�′�(�) =
− ��(�)
|�|,�∈ ℤ
�′� = −���
|�|,�∈ ℤ
(2.44)
O critério de truncagem define-se de acordo com (2.45).
⎩⎪⎨
⎪⎧��′� ���(�)
��(�)
�≤ 10��
��� ����
���≤ 10��
(2.45)
Este método não é, no entanto, aplicável em situações onde ��(�) é nulo. Existem dois casos
em que isso acontece. O caso de cabos monofásicos, à semelhança do condensador cilíndrico, e o
caso de cabos multi-condutores para o modo de funcionamento � (modo de funcionamento em que
�� ≠ 0, e �� = 0∀���). Para que o algoritmo funcione corretamente também nesses casos, optou-se
por uma solução mais genérica para o critério de truncagem no que se refere aos coeficientes ��(�).
Considerando a expressão (2.33) que determina ��(�) definiu-se o critério de truncagem de
acordo com (2.46), através do qual se obtêm valores de �� na mesma ordem de grandeza.
����������
����(� ���)
|�|��(�) ��≤ 10�� (2.46)
Na expressão (2.46) ������� é o vetor de posição que corresponde à maior distância entre o
centro do condutor � e os centros dos restantes condutores, ������� = max{����},∀���, no caso dum
cabo multi-condutor. No caso do condutor monofásico é o vetor de posição correspondente à
distância entre os centros do condutor de fase e da bainha condutora, ������� = ���.
Tendo obtido por esta via uma avaliação para as ordens máximas dos coeficientes para cada
um dos condutores, estão obtidos todos os dados para formar o sistema de equações (2.41)
começando por definir o vetor (�).
Neste algoritmo o critério de ordenação principal é a ordem dos coeficientes, seguido da
ordem dos condutores, optando-se por colocar os coeficientes relativos à bainha �� a seguir aos
relativos aos condutores de fase ��(�). O critério foi escolhido para reduzir o custo computacional do
pivoting, na operação da inversão da matriz [�]. Tendo em conta que ��±�(�)�> ��±�
(�)�> ��±�(�)�> ⋯ >
��±� �
(�) � e que ��±��> ��±��> ��±��> ⋯ > ��±� ��, com o critério escolhido, o vetor (�) fica ordenado
de forma a que os elementos de maior peso precedam os de menor peso.
No caso geral os valores de ��,∀���,..,� e �� podem ser todos distintos, como sucede para
os cabos com condutores de fase de raios distintos ou dispostos de forma não simétrica. A Figura 2.4
ilustra, em forma de organigrama, o algoritmo de obtenção da posição de cada coeficiente ao longo
do vetor (�). Na figura, o índice �, cujo valor máximo é ��, dá a posição do vetor.
Figura 2.4 – Organigrama de ordenação do vetor (�)
Considerando o caso particular do cabo trifásico simétrico representado na Figura 2.5, onde
se assume �� = ��,∀���,�,� devido à simetria do cabo e considerando �� > ��, pode obter-se o
vetor (�) com ordenação definida em (2.47).
�(�) ≥ �
� = � + 1
�� = ��(�)
� = � + 1
�� = ���(�)
Não
Sim � = 1,… ,�
���� = max{�0,��},� = 1,… ,� � = 0
� = 1,… ,����
�(0) ≥ �
� = � + 1�� = ��� = � + 1�� = ���
Não
Sim
o
2O
0r
cr
1O
3O
cr
cr
Figura 2.5 – Representação genérica do cabo trifásico simétrico
(�) = ���(�)���
(�) … ��(�)���
(�)����� … �� �(�)��� �
(�) … �� �(�)��� �
(�) �� ���� � … �� ���� ��� (2.47)
Em concordância com (2.47) define-se o vetor (�) em (2.48).
(�) = − ���
(�)���(�) … ��
(�)���(�)��
���
��… �� �
(�)��� �(�) … �� �
(�)��� �(�) ��
� ���
�� �… ��
� ��′�� ��
�
(2.48)
No anexo C (secção 8) é dado um exemplo simples da matriz [�] para o caso do cabo
trifásico simétrico, que torna mais percetível a distribuição dos elementos de ��(�) e de �’� pela matriz.
2.2.2 Obtenção dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento
para o cabo trifásico
No que concerne ao estudo dos coeficientes de capacidade de um cabo trifásico simétrico
existem quatro parâmetros de interesse: são estes os coeficientes de capacidade próprio, ��, e
mútuo, ��, e outros dois especificamente relacionados com o cabo trifásico que são os coeficientes
de capacidade trifásico simétrico, ��, e trifásico homopolar, ��. Em seguida é explicado como estes
são obtidos, partindo dum caso geral, e particularizando para o cabo trifásico simétrico.
O primeiro passo para a obtenção dos coeficientes de capacidade consiste na obtenção da
matriz dos coeficientes de potencial [�], que verifica a equação matricial (2.49). O elemento de índice
�� da matriz [�] é obtido de acordo com a expressão (2.50).
���⋮��
� = [�]�
��⋮��� (2.49)
��� = �
���������,���
(2.50)
A matriz [�] é uma matriz simétrica que, no caso particular dos cabos de geometria simétrica
(de ordem N para N condutores), tem simetria circular (��� = ����,��� e também ��� = ��� para qualquer
� ≠ �), o que significa que para a sua obtenção, é necessário apenas conhecer os elementos de uma
das colunas da matriz. Para um sistema de cargas N-fásico aplicado aos condutores de fase do cabo,
correspondente ao modo de funcionamento � (�� ≠ 0 e �� = 0, para � ≠ �), pode obter-se a coluna �
da matriz [�], segundo a expressão (2.51), onde o potencial à superfície de um qualquer condutor �,
��, é calculado através da expressão (2.26).
�
���⋮���
� = ���⋮��
� ÷ �� (2.51)
A matriz dos coeficientes de capacidade [�] é inversa de [�], e tal como esta é uma matriz de
simetria circular.
�
��⋮��� = [�]�
��⋮��
�,[�]= [�]�� (2.52)
No caso particular de cabos trifásicos simétricos, devido a todos os condutores de fase serem
iguais, e dispostos simetricamente verifica-se (2.53), onde �� é o coeficiente de capacidade próprio, e
�� o coeficiente de capacidade mutuo.
��� = ��� = ��� = ����� = ��� = ��� = ��
(2.53)
Os coeficientes de capacidade trifásicos, para os modos simétrico, ��, e homopolar, ��,
exprimem a relação da carga dum condutor �, com o potencial à sua superfície, quando é aplicado no
cabo um sistema de tensões trifásico simétrico e homopolar, respetivamente.
Se as tensões aplicadas forem simétricas obtém-se (2.54).
�� = [�� + (������º+ �����º)��]�� = (�� − ��)�� (2.54)
Se as tensões aplicadas forem homopolares obtém-se (2.55).
�� = (�� + 2��)�� (2.55)
Deste modo, os coeficientes de capacidade modais são obtidos a partir de �� e �� de acordo
com a expressão (2.56).
�� = �� − ���� = �� + 2��
(2.56)
Em alternativa, o algoritmo permite obter de forma direta os coeficientes de capacidade
modais, devendo-se para tal impor um sistema de cargas trifásico simétrico ou homopolar no cabo.
As tensões dos condutores são calculadas através da equação (2.26) e o parâmetro modal é obtido
pela equação (2.57).
��/� =
���
��� (2.57)
3 Resultados
Este capítulo encontra-se dividido em duas partes. Na primeira parte é apresentada uma
comparação entre resultados obtidos pelo método em estudo com os de outros métodos com
resultados publicados, por forma a validar este método. Na segunda parte são apresentados
resultados obtidos pelo método desenvolvido neste trabalho, especificamente gráficos que ilustram a
variação dos parâmetros do cabo trifásico com a variação dos parâmetros de configuração do
mesmo, com o fim de estudar o efeito de proximidade.
Os gráficos apresentados ao longo deste capítulo foram obtidos para um cabo trifásico com
condutores iguais e dispostos simetricamente sobre uma circunferência de raio �, centrada no eixo da
bainha, tal como ilustrado na Figura 2.5 no capítulo anterior. O raio dos condutores de fase é �� e o
raio da bainha condutora ��. Nos gráficos apresentados, mostra-se a evolução dos parâmetros do
cabo em função dos parâmetros normalizados �� e ��, dados pela expressão (3.1).
�� =���
�� =���
(3.1)
Estas variáveis introduzem nos gráficos uma quantificação da proximidade: a proximidade
dos condutores de fase entre si, ��, e a proximidade entre os condutores de fase e a bainha
condutora, ��. Para um cabo com � condutores simetricamente dispostos e centrados sobre a
circunferência de raio �, o raio máximo para os condutores é dado pela expressão (3.2). O raio
mínimo da bainha é dado pela expressão (3.3).
�� < ����� = � ∗sin�
�
��
����� = sin �
�
��
(3.2)
�� > ����� = � + ��
����� = 1 + ��
(3.3)
3.1 Validação do método / algoritmo
A validação do método desenvolvido foi efetuada em três partes. A primeira consiste na
comparação do resultado obtido para o coeficiente de capacidade do condensador cilíndrico,
constituído por dois condutores não concêntricos, com o resultado analítico. A segunda parte consiste
na comparação de resultados obtidos para um cabo trifásico simétrico, com resultados publicados em
[6], obtidos pelo método das fitas de carga. Por último foram comparados resultados para o
coeficiente de indução modal (modos simétrico e homopolar) dum cabo trifásico em regime
estacionário com os obtidos em [10].
3.1.1 Condensador cilíndrico
O condensador cilíndrico é constituído por dois condutores não concêntricos, conforme
representado na Figura 3.1, onde o condutor exterior é a bainha condutora. A distância entre os
centros dos condutores, a, assim como os raios da bainha, ��, e do condutor de fase, ��, são
parâmetros conhecidos.
o
cO
0r
cr
a
Figura 3.1 – Condensador cilíndrico
3.1.1.1 Método analítico
Através do método das imagens5 é possível obter a equação analítica para a capacidade
(3.4), onde os coeficientes �� e �� são as relações entre a distancia da carga filiforme a um ponto �
sobre cada uma das superfícies dos condutores, e a distancia da carga imagem fictícia ao mesmo
ponto.
� =
�
��,�=
2��
ln������
(3.4)
Em [11] demonstra-se que as equipotenciais são superfícies cilíndricas com eixo em (0,��) e
de raio � que verificam as relações (3.5), onde 2� corresponde à distância entre a carga filiforme e a
respetiva carga fictícia.
5 - Para breve explicação do método das imagens consultar anexo D (secção 9.1)
⎩⎨
⎧�� = ��� + 1
�� − 1
� = �2�
|�� − 1|
(3.5)
No condensador cilíndrico as superfícies de ambos os condutores são coincidentes com
equipotenciais circulares de centros (0,��) e (0,��) e raios ��e �� geradas pela presença duma carga
filiforme que está localizada sobre o eixo vertical (0,�). Sabendo-se que � = �� − ��, �� = �� e �� =
��, é possível calcular �, �� e ��, onde ��, �� são dados por (3.27).
�� =����+ ��
������
− 1,����=��� − ��
� − ��
2���
�� =����+ ��
������
− 1,����=��� − ��
� + ��
2���
(3.6)
3.1.1.2 Resultado
Para um condensador cilíndrico com dimensões �� = 2,5cm , �� = 1,2cm , � = 1cm e
constante dielétrica � = 2,3��, obteve-se um valor de capacidade � = 116,9339pF/m , que
corresponde a um desvio de 0,0% do valor obtido analiticamente.
3.1.2 Cabo trifásico
Nesta secção do texto são comparados resultados obtidos para os coeficientes de
capacidade �� e �� dum cabo trifásico com a tipologia do cabo ilustrado na Figura 2.5, com os
resultados publicados em [6] obtidos através do método das tiras de carga. São também comparados
valores do coeficiente de indução modal para os modos simétrico e homopolar com resultados óbitos
em [10].
3.1.2.1 Coeficientes de capacidade �� e ��
Os resultados da Tabela 3.1 foram obtidos para dois cabos de dimensões �� = 4,15mm , � =
1,84mm e constante dielétrica � = 2,3��.
A tabela seguinte mostra o comparativo entres os resultados obtidos e o erro com referência
ao valor obtido através do método das fitas de carga.
�� = 0,89mm �� = 1,15mm
��[pF/m ] ��[pF/m ] ��[pF/m ] ��[pF/m ]
Método fitas de carga 115,7 -23,2 164,1 -38,6
Valor obtido 115,6 -23,2 163,9 -38,6
Desvio (%) -0,9% 0% -0,12% 0%
Tabela 3.1 – Comparação de resultados dos coeficientes de capacidade para o cabo trifásico
Comparando os resultados com os obtidos obtêm-se desvios percentuais pequenos, que
permitem considerar o método desenvolvido como uma solução válida para problemas do cabo
trifásico com um dielétrico.
3.1.2.2 Coeficiente de indução modal para os modos trifásico e homopolar
Os coeficientes de indução modal são calculados a partir dos coeficientes de potencial. Como
referido na secção 2.2.2, a matriz [�] inversa de [�], é uma matriz de simetria circular, no caso do
cabo trifásico simétrico. Neste caso a matriz [�] tem a forma descrita em (3.7), onde o elemento �� da
diagonal principal, é o coeficiente de potencial próprio e o elemento �� é o coeficiente de potencial
mútuo.
[�]= �
�� �� ���� �� ���� �� ��
� (3.7)
Os coeficientes de potencial simétrico e homopolar obtêm-se analogamente a (2.56), através
de (3.8).
�� = �� − ��
�� = �� + 2�� (3.8)
Os coeficientes de indução modal são obtidos a partir dos de potencial através de (3.9).
��/� = με��/� (3.9)
Os resultados apresentados são normalizados a �� que é dado pela equação (3.10), de onde
se obtém (3.11), que é um resultado adimensional.
�� =�
8� (3.10)
��/�
��= 8πε��/� (3.11)
Em relação à equação (3.11), é importante notar que, apesar da forma da mesma, o
parâmetro da indução modal é independente da permitividade do dielétrico �, uma vez que este já
está implícito no coeficiente de potencial. A definição de coeficiente de potencial (2.50), conjugada
com (2.26) e com as expressões (2.29) e (2.37) para os coeficientes ��(�) e �� comprova que os
coeficientes de potencial são inversamente proporcionais à constante dielétrica, �.
3.1.2.2.1 Erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de fase com
cargas filiformes
Considerar os condutores de fase filiformes significa considerar-se os coeficientes ��(�)
nulos
para � ≠ 0, isto é, a função potencial considera apenas o elemento logarítmico referentes a cada
condutor de fase. O erro de cálculo devido a esta consideração e dado por (3.12).
��������(%) =
��������� − �
�∗100 (3.12)
3.1.2.2.2 Erro do coeficiente de indução modal por consideração da primeira aproximação da
solução
A primeira aproximação da solução passa por se considerar apenas os elementos da
diagonal principal da matriz [�] de (2.41), isto é, os coeficientes ��(�) e �� são dados respetivamente
pelas equações em (2.44). O erro de cálculo devido a esta consideração é calculado de forma
análoga a (3.12) e dado por (3.13).
�����ª�����(%) =
��ª����� − �
�∗100 (3.13)
3.1.2.2.3 Resultados
Os valores aqui apresentados relativos às figuras publicadas em [10] foram retirados por
inspeção visual das curvas apresentadas, com auxílio da ferramenta Microsoft Visio 2010 [14], pelo
que consideram-se apenas aproximações. Tendo em conta esta limitação os valores que aqui se
apresentam contêm apenas a primeira casa decimal da escala original.
A tabela seguinte mostra o comparativo dos valores obtidos em [10]6 com os obtidos neste
trabalho, para um cabo trifásico com os parâmetros normalizados �� = 0,5 e �� = 2,0.
Modo simétrico Modo homopolar
�/�� ��������(%) �����ª����(%) �/�� ��������(%) �����ª����(%)
Valor publicado 3,2 -2,6 14,0 5,6 -17,2 0,8
Valor obtido 3,19 -2,56 14,26 5,66 -17,15 0,76
Tabela 3.2 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para o cabo trifásico
6 - Resultados retirados da figura 3.47 de [10], alíneas e, h e j.
Na Figura 3.2 mostra-se a dependência com o raio da bainha do coeficiente de indução
modal para o modo simétrico. O traço vermelho representa o valor para �� ⟶ ∞ . Na Tabela 3.3
apresenta-se um comparativo dos valores obtidos com os valores publicados em [10]7
Figura 3.2 – Variação do coeficiente de indução modal com o raio da bainha
�� = 3 �� = 4 �� = 5 �� ⟶ ∞
Valor publicado 4,0 4,2 4,3 4,4
Valor obtido 3,98 4,20 4,29 4,43
Tabela 3.3 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para diferentes valores de R0
Na Figura 3.3 mostra-se a dependência com o raio da bainha do erro do coeficiente de
indução modal por consideração de condutores de fase filiformes, para o modo simétrico. O traço
vermelho representa o valor para �� ⟶ ∞ . Na Tabela 3.4 apresenta-se um comparativo dos valores
obtidos com os valores publicados em [10]8.
7 - Resultados retirados da figura 3.50 de [10], alínea e, curva 3. 8 - Resultados retirados da figura 3.50 de [10], alínea h, curva 3.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
R0
L /
Lo
Figura 3.3 – Variação do erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de fase filiformes com o raio da bainha
�� = 3 �� = 4 �� = 5 �� ⟶ ∞
Valor publicado -7,0 -9,2 -10,3 -12,2
Valor obtido -6,99 -9,19 -10,27 -12,25
Tabela 3.4 - Comparação de resultados do erro do coeficiente de indução modal por consideração de condutores de fase filiformes
Embora com erros inerentes ao não conhecimento rigoroso dos valores numéricos de [10],
considerando-se apenas os valores indicados sob o ponto de vista gráfico, os resultados obtidos e as
comparações efetuadas ao longo de 3.1 são demonstrativos do sucesso da validação do algoritmo
desenvolvido nesta tese.
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
R0
%
3.2 Análise de resultados
Levando em conta todos os elementos da secção 3.1, conclui-se que o algoritmo foi
eficazmente validado para os problemas tomados. Assim considera-se este algoritmo uma ferramenta
válida para a obtenção de resultados que permitam estudar o efeito de proximidade em cabos
trifásicos.
Os gráficos apresentados ao longo desta secção foram obtidos para um cabo trifásico com os
condutores dispostos simetricamente, sobre uma circunferência de raio �, centrada no eixo da
bainha, tal como ilustrado na Figura 2.5 no capítulo anterior. É de referir, no entanto, que o algoritmo
funciona para casos mais gerais sem simetria entre os condutores de fase (raios distintos ou
condutores posicionados assimetricamente).
São apresentados três conjuntos de resultados, todos eles com o objetivo de identificar e
interpretar de forma quantitativa o efeito de proximidade. Os primeiros mostram a dependência dos
coeficientes de potencial com os raios normalizados da bainha, ��, e dos condutores de fase, ��. O
segundo conjunto de resultados mostra a dependência dos coeficientes de capacidade modais
(modos simétrico e homopolar) também com �� e ��. Por último são apresentados resultados que
ilustram a distribuição da carga ao longo da superfície dum condutor de fase e da bainha condutora.
3.2.1 Dependência dos coeficientes de potencial próprio e mútuo com �� e ��
De forma avaliar o efeito de proximidade foram efetuadas simulações para obter figuras que
ilustrem a dependência dos coeficientes de potencial próprio e mútuo com as variáveis �� e ��. As
curvas da evolução dos coeficientes de potencial foram decompostas em duas outras curvas: uma
em que o coeficiente é calculado sem considerar o efeito de proximidade e outra que considera
apenas a contribuição devida ao efeito de proximidade.
3.2.1.1 Consideração do efeito de proximidade
Num cabo trifásico existem duas causas do efeito de proximidade: a proximidade dos
condutores de fase entre si, e a proximidade dos condutores de fase com a bainha condutora. No
entanto, como os resultados à frente apresentados permitem concluir, estes dois efeitos não podem
ser dissociados.
Neste trabalho considera-se ausência de efeito de proximidade quando os condutores de fase
são representados por cargas filiformes, o que significa que os coeficientes ��(�),∀��� são nulos, ou
seja, o potencial gerado pela carga desse condutor é descrito apenas pelo termo logarítmico. É
importante notar, no entanto, que mesmo nesta situação a carga não se distribui uniformemente ao
longo da superfície da bainha. Este fenómeno deve-se à existência de coeficientes �� não nulos.
Da secção 2.2.2 sabe-se que para o modo de funcionamento � os coeficientes de potencial
são dados por �� = ��/�� e �� = ��/��, para � ≠ �,�,� = 1,2,3, onde �� é a tensão do condutor �
dado pela equação (2.26). Considerando os condutores de fase filiformes, a equação (2.26) resulta
em (3.14) e os coeficientes de potencial são dados por (3.15).
����������
= �� + � ��(�) ln�
��|����|
�
�
���(���)
+ 1
2����
����������(0,�) + ��
����������∗(0,�)�
��
���
(3.14)
����������
=����������
��
����������
=������������
��
(3.15)
Neste trabalho, assume-se a decomposição dos coeficientes de potencial em (3.16), onde o
coeficiente de potencial ��/� (próprio,��, ou mútuo ��) é a soma da parcela que se considera sem
efeito de proximidade, dada por ��/���������
e a parcela que se considera consequência do efeito de
proximidade, dada por ��/���.����
.
��/� = ����������
+ ��������
��/� = ����������
+ ��������
(3.16)
De acordo com a equação (3.16) as parcelas dos coeficientes de potencial devidas ao efeito
de proximidade são então dadas por (3.17), onde ��������
, que corresponde à parcela da tensão do
condutor � devida ao efeito de proximidade, é dada por (3.18).
��������
=�� − ��
��������
��=��������
��
��������
=���� − ����
��������
��=����������
��
(3.17)
��������
= �� −1
2����
����������(0,�) + ��
����������∗(0,�)�
��
���
(3.18)
Uma consideração diferente poderia ter sido feita para a ausência de proximidade, em que
para além dos condutores de fase serem filiformes se consideraria a bainha muito afastada (�� → ∞ ).
Nesta situação os coeficientes ��,∀��� são nulos e a expressão (3.18) degeneraria simplesmente
em (3.19).
��������
= �� (3.19)
Neste trabalho optou-se pela primeira formulação, pois considera-se que é a que melhor se
adequa ao cabo com bainha condutora.
3.2.1.2 Resultados
Os resultados apresentados são normalizados à constante �� de acordo com (3.20). Desta
forma é retirada a dependência dos resultados com a permitividade elétrica, ε, do material dielétrico.
�� =
1
2�� (3.20)
As curvas a verde representam os coeficientes de potencial (próprio ou mútuo) considerando-
se os condutores de fase filiformes, de acordo com a equação (3.15), ou seja, sem se considerar o
efeito de proximidade. As curvas a vermelho mostram a componente dos coeficientes de potencial
relativa ao efeito de proximidade, de acordo com a equação (3.17). As curvas a azul representam os
coeficientes de potencial exatos, calculados pelo algoritmo.
3.2.1.2.1 Coeficientes de potencial em função de ��
Para a variação de �� considerou-se um intervalo [����� + 0,05; 5] onde o valor mínimo de
�� é dado pela expressão (3.3). Relativamente aos condutores de fase considerou-se �� = 0,5.
A Figura 3.4 apresenta os resultados obtidos para o coeficiente de potencial próprio e a
Figura 3.5 para o coeficiente de potencial mútuo.
Figura 3.4 – Variação do coeficiente de potencial próprio com R0, Rc=0,5
Da figura observa-se que o coeficiente de potencial próprio é ligeiramente inferior devido ao
efeito de proximidade. O efeito de proximidade faz-se sentir mais quando �� é muito próximo de �����,
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R0
Ss /
S0
com proximidade
sem proximidade
proximidade
isto é, quando a bainha está muito próxima dos condutores de fase, diminuindo até a um valor de ��
próximo de 2, onde atinge um mínimo e aumentando ligeiramente com o aumento de ��.
Assim parece existir uma distância ótima para a qual o efeito de proximidade é menor. A
causa para este fenómeno é o facto de a bainha influenciar a distribuição de carga ao longo da
superfície dos condutores de fase e, quando esta influência contribui para uma distribuição mais
uniforme ao longo da superfície dos condutores de fase, então o efeito de proximidade diminui.
Figura 3.5 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com R0, Rc=0,5
O coeficiente de potencial mútuo, é tal como o coeficiente de potencial próprio, ligeiramente
menor devido ao efeito de proximidade, nomeadamente devido à presença da bainha. Observa-se
que à medida que �� aumenta, isto é, à medida que a bainha fica mais afastada dos condutores de
fase o efeito de proximidade torna-se menor. Mesmo quando �� → ∞ o efeito de proximidade é
observável, sendo neste caso causado apenas pela proximidade dos condutores de fase entre si.
3.2.1.2.2 Coeficientes de potencial em função de ��
Os próximos resultados mostram a variação dos coeficientes de potencial em função de ��.
Neste caso, para melhor perceber o efeito de proximidade foram efetuadas duas simulações, que
diferem entre si no raio da bainha. A Figura 3.6 e a Figura 3.7 foram obtidas considerando-se �� =
����� = 1 + sin �
�
��. A Figura 3.8 e a Figura 3.9 foram obtidas considerando-se �� = 5. Nos gráficos
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
R0
Sm
/S
0
com proximidade
sem proximidade
proximidade
apresentados considerou-se �� no intervalo [0,01;����� − 0.05], onde ��
��� = sin ��
�� de acordo com
a expressão (3.2).
Figura 3.6 - Variação do coeficiente de potencial próprio com Rc, R0=1+sin(π/3)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1
0
1
2
3
4
5
Rc
Ss /
S0
com proximidade
sem proximidade
proximidade
Figura 3.7 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3)
Figura 3.8 - Variação do coeficiente de potencial próprio com o Rc, R0=5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Rc
Sm
/S
0
com proximidade
sem proximidade
proximidade
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Rc
Ss /
S0
com proximidade
sem proximidade
proximidade
Figura 3.9 - Variação do coeficiente de potencial mutuo com Rc, R0=5
Na Figura 3.6 e na Figura 3.7, para �� = ����� = 1 + sin �
�
��, verifica-se a diminuição dos
coeficientes de potencial próprio e mútuo, devido ao aumento (em módulo) da contribuição da
proximidade, causado tanto pelo aumento da proximidade entre os condutores de fase entre si, como
destes com a bainha condutora, sendo que o coeficiente de potencial próprio tem uma variação
menos acentuada.
Na Figura 3.8 e na Figura 3.9, para �� = 5 comparativamente aos dois gráficos anteriores,
observa-se por um lado um lado que o potencial próprio tem um andamento análogo, e por outro que
o coeficiente de potencial mútuo tem uma variação relativamente menor e um andamento não
monotónico. Para explicar este comportamento recorre-se novamente à distribuição da carga à
superfície dos condutores e a influência que a bainha condutora exerce sobre ela. Quando a bainha
está muito próxima (caso de �� = 1 + sin(�/3)) a carga à superfície do condutor encontra-se
concentrada nas zonas do condutor mais próximas da bainha condutora e dos restantes condutores
de fase. Quando a bainha está bastante afastada (caso de �� = 5), a carga encontra-se
essencialmente concentrada nas zonas do condutor mais próximas dos restantes condutores de fase.
Em ambos os casos a carga distribui-se menos uniformemente quanto maior for o raio dos
condutores de fase, o que explica a diminuição coeficiente de potencial próprio. Relativamente à
curva do coeficiente de potencial mútuo (Figura 3.9), que se esperaria à partida ter um
comportamento monotónico mais próximo do apresentado na Figura 3.7, apresenta uma primeira fase
decrescente e uma segunda fase crescente. Este resultado indica que à medida que o raio dos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Rc
Sm
/S
0
com proximidade
sem proximidade
proximidade
condutores vai aumentando, e consequentemente a sua proximidade à bainha, o efeito de
proximidade dos condutores de fase com a bainha condutora se sobrepõe ao efeito de proximidade
dos condutores entre si, tornando a carga mais uniformemente distribuída na superfície dos
condutores de fase.
3.2.2 Dependência do coeficiente de capacidade modal para os modos
simétrico e homopolar com �� e ��
Os próximos resultados mostram a dependência dos coeficientes de capacidade modal para
os modos trifásico e homopolar com ��.e ��. Na Figura 3.10 mostra-se a variação destes parâmetros
com ��, considerando-se �� = 0,5 e �� compreendido no intervalo [����� + 0,05; 5], onde ��
���é dado
pela equação (3.3). Na Figura 3.12 e na Figura 3.14 ilustra-se a variação dos mesmos parâmetros
com ��, considerando-se �� = 1 + ����� e �� = 5 respetivamente, e para �� compreendido no
intervalo [0,01; ����� − 0,05], onde ��
���é dado por (3.2). Para melhor perceber os resultados, são
também apresentadas a Figura 3.11, a Figura 3.13 e a Figura 3.15, que mostram a evolução dos
coeficientes de capacidade próprio e mútuo para nas mesmas condições da Figura 3.10, da Figura
3.12 e da Figura 3.14 respetivamente.
Os resultados apresentados estão normalizados pela constante �� dada por (3.21), sendo
desta forma independentes da permitividade do meio dielétrico.
�� = 2�� (3.21)
Figura 3.10 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com R0, Rc=0,5
Figura 3.11 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com R0, Rc=0,5
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
R0
C /
C0
C
Ch
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
R0
C /
C0
Cs
Cm
Figura 3.12 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=1+sin(π/3)
Figura 3.13 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
1
2
3
4
5
6
7
Rc
C /
C0
C
Ch
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Rc
C /
C0
Cs
Cm
Figura 3.14 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=5
Figura 3.15 - Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Rc
C /
C0
C
Ch
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Rc
C /
C0
Cs
Cm
A interpretação dos resultados anteriores deve centrar-se na interpretação dos coeficientes
de capacidade próprio e mútuo, uma vez que estes são os que têm um significado físico mais
imediato e por outro lado é a partir desses que se obtém os coeficientes de capacidade modal,
através das equações (2.56).
Para os resultados que mostram a variação dos coeficientes de capacidade com ��,
apresentados na Figura 3.10 e na Figura 3.11, percebe-se que existe uma diminuição acentuada dos
coeficientes de capacidade modais com o aumento de �� (diminuição de proximidade), explicado pela
diminuição de ��, o que mostra a forte dependência deste último com a proximidade da bainha. Neste
caso, o afastamento da bainha condutora faz com que a carga no interior do condutor de fase se
distribua menos uniformemente ao longo da superfície do mesmo, tornando-se mais concentrada em
zonas mais próximas dos restantes condutores de fase. Devido à maior concentração de carga o
potencial à superfície do condutor é mais elevado e daí se percebe que o coeficiente de capacidade
próprio diminua. Da Figura 3.11 é também percetível que o coeficiente de capacidade mútuo é pouco
dependente da proximidade da bainha.
Os resultados que mostram a variação dos coeficientes de capacidade com ��, da Figura
3.12 até à Figura 3.15, dão a entender mais uma vez, que a proximidade da bainha condutora altera
significativamente os resultados. Nestes resultados, comparando a Figura 3.13 com a Figura 3.15,
pode observar-se uma diferença significativa de ��, que cresce mais rapidamente para o caso em que
a bainha está mais próxima, enquanto que o coeficiente de capacidade mútuo tem uma evolução
semelhante para ambos os casos (bainha mais afastada e mais próxima). O resultado anterior que
mostra uma fraca dependência de �� com a proximidade da bainha é aqui confirmado. Por outro
lado, confirma-se que a proximidade dos condutores de fase uns com os outros (aumento de ��) tem
uma forte influência em ambos os coeficientes, �� e ��.
3.2.3 Densidade de carga na superfície dos condutores
Nesta secção são apresentadas curvas que mostram a distribuição da carga ao longo da
superfície do condutor de fase A e da bainha, nos instantes � = 0 e � = �/4. Os ângulos � e �′ são
definidos de acordo com a Figura 3.16.
Os gráficos foram obtidos para uma distribuição simétrica de cargas de acordo com (3.22).
�
��� = �
��� = �������°
��� = ������° (3.22)
o
2O0r
cr
1O
3O
cr
cr '
Figura 3.16 – Representação do cabo trifásico simétrico e dos ângulos ϕ e ϕ’
3.2.3.1 Densidade de carga na superfície dum condutor de fase
A densidade de carga ao longo da superfície de um condutor de fase é dada pela equação
(3.23), que pode ser obtida a partir de (2.24).
�� = − ���(�)
�������
= −�
��
��(�)
���
���
=���
(�)
���1 + � |�|
��(�)
��(�)
�����
�������
� (3.23)
Os resultados apresentados foram obtidos através da expressão (3.23), mas normalizados a
��(�), considerando-se ���
(�)�= 1, tornando o resultado adimensional.
��(�) =
���(�)
��=�
�����
(���)�� (3.24)
Os gráficos apresentados da Figura 3.17 até à Figura 3.22 mostram a densidade de carga ao
longo da superfície do condutor de fase 1, tendo sido obtidos para um sistema de cargas trifásico
simétrico, para cinco valores de �� distintos, desde �� = 0,01 que é uma aproximação ao condutor
filiforme até �� = ����� − 0,05, um valor próximo do máximo. A Figura 3.17, a Figura 3.18 e a Figura
3.19 foram obtidas para o instante � = 0. A Figura 3.20, a Figura 3.21 e a Figura 3.22 foram obtidas
para o instante � = �/49.
9 - Consultar anexo E, para expressões de obtenção da parte real duma amplitude complexa para os instantes � = 0 e � = �/4.
Figura 3.17 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=1+Rcmax
Figura 3.18 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=3
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1 /
0(1
)
Rc=0.0100
Rc=0.2115
Rc=0.4130
Rc=0.6145
Rc=0.8160
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1 /
0(1
)
Rc=0.0100
Rc=0.2115
Rc=0.4130
Rc=0.6145
Rc=0.8160
Figura 3.19 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=5
Pode-se observar nos gráficos anteriores que a proximidade, seja relativa aos condutores de
fase ou entre estes e a bainha condutora, faz com que a carga se vá tornando menos uniformemente
distribuída ao longo da superfície do condutor.
O caso em que o condutor de fase é muito estreito, �� = 0,01, é uma situação próxima do
condutor filiforme e portanto, a densidade de carga está uniformemente distribuída ao longo de �,
com valor unitário. Comparando este resultado com a equação (3.23), percebe-se que os coeficientes
de ordem � ≠ 0 são nulos. Fazendo a integração ao longo de � e multiplicando pela constante de
normalização e pelo raio do condutor, equação (3.25), obtém-se a carga por unidade de
comprimento.
��(�)�� � 1
��
�
�� = 2����(�) = �� (3.25)
As curvas para os restantes valores de �� mostram distribuições mais irregulares da carga
variando ao longo de � em torno do valor médio ��/��(�) = 1, com máximos em � = 150° e � = 210°,
que correspondem aos pontos mais próximos dos outros condutores de fase (os picos das curvas são
positivos uma vez que no instante � = 0 tem-se �� = � > 0 e �� = �� = − �/2). Quanto maior for ��,
isto é, quanto maior for a proximidade entre condutores de fase, menos uniforme se torna a
distribuição da carga na superfície do condutor.
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1 /
0(1
)
Rc=0.0100
Rc=0.2115
Rc=0.4130
Rc=0.6145
Rc=0.8160
No caso em que �� = 1 + ����� (Figura 3.17), em que bainha condutora está muito próxima
dos condutores de fase, a carga distribui-se mais uniformemente que nos dois restantes casos (tem
desvios menores em relação ao valor médio), sendo observável um terceiro máximo para � = 0,
correspondente ao ponto do condutor de fase A, mais próximo da bainha. Este resultado mostra que
a proximidade da bainha, anula em parte o efeito da proximidade dos condutores de fase entre si.
Figura 3.20 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=1+Rcmax
0 50 100 150 200 250 300 350-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1 /
0(1
)
Rc=0.0100
Rc=0.2115
Rc=0.4130
Rc=0.6145
Rc=0.8160
Figura 3.21 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=3
Figura 3.22 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=5
0 50 100 150 200 250 300 350-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1 /
0(1
)
Rc=0.0100
Rc=0.2115
Rc=0.4130
Rc=0.6145
Rc=0.8160
0 50 100 150 200 250 300 350-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1 /
0(1
)
Rc=0.0100
Rc=0.2115
Rc=0.4130
Rc=0.6145
Rc=0.8160
Relativamente aos resultados para o instante � = �/4, observa-se como esperado que o valor
médio das curvas é zero, uma vez que para o instante em questão a carga total no interior do
condutor é nula. Tal como nos resultados para o instante � = 0, as curvas apresentam picos para � =
150° e � = 210°, correspondentes aos pontos mais próximos dos outros condutores de fases (o
primeiro pico é negativo e o segundo é positivo porque para o instante � = �/4 tem-se �� = 0, �� =
�√3/2 > 0 e �� = − �√3/2).
No que se refere à influência da bainha, é também bastante percetível que quando esta está
mais próxima, a carga distribui-se mais uniformemente dentro com condutor de fase, reforçando a
ideia de que o efeito de proximidade devido à presença dos outros condutores de fase é em parte
anulado, devido à proximidade da bainha.
3.2.3.2 Densidade de carga à superfície da bainha
A densidade de carga ao longo da superfície da bainha é dada pela equação (3.26), análoga
à equação (3.23), sendo obtida a partir de (2.35).
�� = ���(�)
��′�����
= �
��
��(�)
��′�
����
=�
��
��(�)
��′�
����
=�
���− ���
(�)
�
���
+ � |�|�������
�
�������
� (3.26)
Da equação anterior destaca-se a inversão do sinal relativamente a equação (3.23). Essa
diferença deve-se ao sentido da normal à superfície do condutor, que no caso do condutor de fase é
uma normal exterior, mas no caso da bainha condutora é uma normal interior.
Para que os resultados apresentados, tal como os resultados respeitantes à densidade de
carga à superfície do condutor de fase, sejam adimensionais optou-se por normalizá-los a ��(�)
, que é
dado por (3.27), considerando que ���(�)�= 1.
��(�)
=����
(�)�
��=�
�� (3.27)
Os resultados seguintes mostram a densidade de carga ao longo da superfície da bainha
condutora, tendo sido obtidos para um sistema de cargas trifásico simétrico, para �� = 0,5, e �� a
variar no intervalo [����� + 0,05; 5], onde ��
��� é dado pela expressão (3.3). As figuras seguintes
mostram os resultados obtidos para o instante � = 0, no caso da Figura 3.23, e para o instante � =
�/4 no caso da Figura 3.24, considerando-se um sistema de cargas simétrico trifásico aplicado aos
condutores de fase.
Figura 3.23 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=0
Figura 3.24 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=T/4
0 50 100 150 200 250 300 350-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 /
0(0
)
R0=1.5500
R0=2.0000
R0=3.0000
R0=5.0000
0 50 100 150 200 250 300 350
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 /
0(0
)
R0=1.5500
R0=2.0000
R0=3.0000
R0=5.0000
Uma vez que as curvas foram obtidas para o modo trifásico, em que o somatório das cargas
contidas nos condutores é zero, a carga total à superfície da bainha também é zero e, portanto, todas
as curvas apresentadas nas duas imagens atrás têm valor médio nulo.
É facilmente observável que quanto menor for ��, isto é, quanto maior for a proximidade da
bainha aos condutores de fase, menos uniforme é a distribuição da carga ao longo da superfície da
bainha. As curvas apresentam picos bem definidos coincidentes com os pontos da bainha mais
próximos dos condutores de fase. Para o instante � = 0, existe um pico negativo de maior amplitude
para �’= 0° e dois picos positivos de amplitude relativamente menor para �’= 120° e �’= 240°, uma
vez que nesse instante tem-se �� = � > 0, �� = − �/2 e �� = − �/2. Para o instante � = �/4, existem
apenas dois picos de igual amplitude, um negativo para �’= 120° e outro positivo para �’= 240°,
uma vez que nesse instante tem-se �� = 0, �� = �√3/2 e �� = − �√3/2.
4 Conclusões
Esta dissertação tem como objetivo estudar o efeito de proximidade nos cabos trifásicos de
geometria simétrica, e a sua influência no cálculo dos coeficientes de capacidade. Para tal
desenvolveu-se um programa de computador baseado numa metodologia analítica que permite
calcular o potencial elétrico, para um cabo multi-condutor de geometria variável.
A metodologia desenvolvida foi validada através da comparação de resultados obtidos por
esta, com resultados obtidos por outros softwares. Posteriormente obtiveram-se resultados para o
estudo do efeito de proximidade em cabos trifásicos de geometria simétrica.
Para melhor se avaliar o efeito de proximidade no cabo trifásico, optou-se por obter, em
adição aos gráficos da dependência dos coeficientes de capacidade com os parâmetros geométricos
do cabo (raio dos condutores de fase e da bainha condutora), gráficos da dependência dos
coeficientes de potencial com os parâmetros referidos, e gráficos da distribuição da carga ao longo da
superfície dos condutores.
A partir dos resultados obtidos para os coeficientes de potencial, percebeu-se que as duas
causas do efeito de proximidade, a proximidade dos condutores de fase entre si, e dos condutores de
fase com bainha, não podem ser dissociadas uma da outra, e que a presença da bainha aumenta o
grau de complexidade no que concerne à análise do efeito de proximidade, tornando mais difícil a
interpretação dos resultados.
Os resultados que mostram a distribuição da carga ao longo dos condutores ajudaram a
perceber a influência da proximidade da bainha condutora com os condutores de fase. Pôde
observar-se que para uma determinada configuração geométrica no que se refere aos condutores de
fase, a aproximação da bainha torna a distribuição da carga ao longo da superfície dos condutores de
fase mais uniforme, isto é, mais próxima duma situação em que não exista proximidade.
A partir das curvas da dependência dos coeficientes de capacidade com os parâmetros do
cabo conclui-se que o coeficiente de capacidade modal tanto para o modo simétrico como para o
modo homopolar sofre aumentos significativos devido à proximidade dos condutores de fase entre si,
e destes com a bainha.
Considerando o exemplo prático dum cabo de baixa tensão 3x25 LSXAV, com condutores de
secção de 25mm2, diâmetro exterior de 23.4mm e espessura de isolamento de 0.9mm, os parâmetros
normalizados correspondentes são Rc=0.5969 e R0=2.2851. Através das curvas obtidas tanto para os
coeficientes de capacidade como para os coeficientes de potencial, percebe-se que neste caso, o
efeito de proximidade é significativo o que torna importante a sua consideração no cálculo dos
parâmetros do cabo.
A metodologia desenvolvida permite a resolução de problemas de campo elétrico para cabos
multi-condutores, constituídos por � condutores de fase e bainha condutora, separados por um meio
dielétrico. Sugere-se para trabalhos futuros o uso desta metodologia para a análise do campo elétrico
e dos parâmetros transversais no caso de cabos monopolares no interior dum pipe. Sugere-se
também, o desenvolvimento da metodologia aqui usada, para uso em problemas de cabos com mais
de uma camada de dielétrico.
5 Referências bibliográficas
[1] V. Maló Machado, “Resolução da Equação de Laplace em Problemas 2D e em Coordenadas
Cilíndricas”, publicação do autor, IST, Abril 2014.
[2] V. Maló Machado, “Problemas do Campo Elétrico: Condutores em Feixe e Cabos Trifásicos com
Bainha”, publicação do autor, IST, Julho 2014.
[3] J. F. Borges da Silva, “The Electrostatic Field Problem of Stranded and Bundle Conductors Solved
by the Multipole Method”, Electricidade, vol. 142, 1979.
[4] J.A.B. Faria, V.M. Machado, D.V. Dommelen, “Comparison of zeroth-order and harmonic
expansion calculation of the electrostatic parameters of three-conductor bundles”, Electric Power
Systems Research, vol. 81 pp. 488–494, 2011.
[5] J.A.B. Faria, M.V.G. Neves, “Accurate evaluation of indoor triplex cable capacitances taking
conductor proximity effects into account”, IEEE Transactions on Power Delivery vol. 21 pp. 1238–
1244, 2006.
[6] João Pêres, M. Guerreiro das Neves, M.E. Almeida, V. Maló Machado, “Accurate numerical
method to evaluate the capacitances of multi-conductor power cables”, Electric Power Systems
Research, vol. 103, pp. 184-191, 2013.
[7] H. A. Illias, A. H. Abu Bakar, H. Mokhlis, S. A. Halim, “Calculation of inductance and capacitance
in power system transmission lines using finite element analysis method”, Przglad
Elektrotechniczny (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 88 NR 10a/2012.
[8] A. A. Hafner, M. V. Ferreira da Luz, W. P. Carpes Jr.. “Impedance and Admittance Calculations of
a ThreeCore Power Cable by the Finite Element Method”, Artigo submetido em International
Conference on Power Systems Transients (IPST2015), Junho 2015.
[9] N. Raicevic, S. Aleksic, A. Ilic, Hybrid boundary element method for multi-layer electrostatic and
magnetostatic problems, Electromagnetics vol. 30, pp. 507–524, 2010.
[10] V. Maló Machado, “Penetração do campo eletromagnético em sistemas de condutores cilíndricos
circulares”, Dissertação de Doutoramento, IST, 1987.
[11] J. A. Brandão Faria, “Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering”, WILEY, 2008.
[12] R.C.Wrede, M. Spiegel, “Chapter 13 – Fourier Series” em Schaum's Outlines of Advanced
Calculus (2nd Edition), McGraw Hill Professional, 2002.
[13] MATLAB - The Language of Technical Computing [Online]. Available:
https://www.mathworks.com/products/matlab.html. [Acedido em 20 Março 2017].
[14] Microsoft Visio 2010 – Communicate Visually with Visio 2010 [Online]. Available:
https://products.office.com/en-us/microsoft-visio-2010 [Acedido em 1 de Abril de 2017]
Anexos
6 Anexo A – Relação entre os coeficientes complexos da série de
Fourier
A serie de Fourier com valores complexos é dada por:
�� (�) = � ��������
��
����
,� ≥ 1 (6.1)
Para que �� (�) seja uma função real, verifica-se (6.2):
�� = ���∗ (6.2)
7 Anexo B – Resolução da equação de Laplace por separação de
variáveis
7.1 Obtenção das soluções gerais (2.6) e (2.7)
Tendo em conta a função potencial escalar � que é independente de �:
�(�,�,�) = �(�,�) (7.1)
A equação (2.4) pode ser reescrita, através da fórmula do Laplaciano para coordenadas
cilíndricas, na equação (7.2) que é uma equação diferencial às derivadas parciais:
���� =
1
�
�
������
���+
1
�����
���= 0 (7.2)
Pelo que, aplicando o método de separação de variáveis a função potencial pode ser
reescrita na forma de (7.3).
�(�,�) = �(�)Φ(�) (7.3)
Substituindo (7.3) em (7.2) desta última obtém-se a expressão (7.4). Uma vez que é possível
obter uma igualdade onde um dos lados não depende de � e o outro não depende de � então (7.6) é
verdadeira, para �∈ ℤ.
�
�(�)���
��+ �
���
���� = −
1
Φ(�)
��Φ
��� (7.4)
��
��=��
��= ��(�)
���
���=���
���= ���(�)
��Φ
���=��Φ
���= ��(�)
(7.5)
�����(�)
�(�)+ �
��(�)
�(�)= −
��(�)
Φ(�)= �� (7.6)
Tendo em conta a expressão (7.6) as soluções possíveis para �(�) e Φ(�) são:
Φ(�) = �±���
�(�) = �±� (7.7)
Para o caso específico de � nulo é necessário encontrar uma solução adequada à
especificidade do problema. Neste caso a solução é dada pela equação (7.8), cuja forma serve para
descrever uma equipotencial circular.
�(�) = ln�
1
��,� = 0 (7.8)
As soluções para a função potencial são formadas por combinações lineares das funções em
(7.7) e (7.8), que têm formas diferentes para um condutor cilíndrico e para uma bainha condutora.
A solução (2.6) com singularidades em � = 0 representa uma solução para um condutor
cilíndrico, enquanto que a solução (2.7) com singularidades em � = ∞ representa uma solução para a
bainha condutora. Os coeficientes ��, ��, �� e �� são determinados pela aplicação das condições de
fronteira do problema.
7.2 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo do
condutor �
A equação (2.6) pode ser convertida para uma equação complexa (7.10), considerando-se
(7.9).
�� = ����
� = ��{�� (��)} (7.9)
�� (��) = �� ln
1
��+ ������
��
�
���
(7.10)
Aplicando um desenvolvimento em série de Taylor para centrar a solução no eixo do condutor
� obtém-se (7.11):
�� (���� + ��) = �� (����) + �
1
�!�����
������������
����
���
= ��(�)ln
1
����+ ����
(�)����
��
�
���
+ �(−1)�
������ ���
(�)+ ����
(�)�(�,�)������
�
���
�����
���
(7.11)
Aplicando-se as normalizações (2.9) em (7.11) obtém-se (7.12), onde os índices inferior e
superior de �� significam respetivamente o condutor ao qual a solução se aplica, e o condutor em cujo
eixo a solução está centrada.
���
(�)= ��
(�) ln1
������
+ ����(�)�
������
���
�
���
+
+ �(−1)�
��������
���
���(�) + ����
(�)�(�,�)�������
����
���
��������
���
(7.12)
A expressão (7.12) pode ser simplificada para (7.13), através do uso da equação (2.10).
���
(�)= ��
(�) ln1
������
+ ����(�)���(0,�)
�
���
+
+ ���
����
(�)���(�,0) + ����(�)���(�,�)
�
���
������
���
(7.13)
A solução dada pela equação (2.8) resulta de (7.14):
��(�)
= ������(�)� (7.14)
Para se obter a expressão (2.11) pode começar-se, por conveniência em reescrever (7.10) da
seguinte forma:
��(��) = ��(��) + ���(��)
�
���
(7.15)
E derivando o termo ��� � vezes obtém-se (7.16) que é incluído na expressão (7.11) como é
possível observar.
1
�!
�����(��)
����=(− 1)�
����(� + � − 1)!
(� − 1)!(� − 1)!�����
�� = ����(�,�)���� (7.16)
7.3 Obtenção da solução para a bainha centrada no eixo do condutor �
A equação (2.7) pode ser convertida para uma equação complexa (7.17), considerando-se
(7.9).
�� (��) = �� + �����
�
�
���
(7.17)
Aplicando um desenvolvimento em série de Taylor para centrar a solução no eixo do condutor
� obtém-se (7.18):
�� (��� + ��) = �� (���) + �
1
�!�����
�����������
����
���
= �� + �������
�
���
+ �1
������ � ���(�,�)���
�
�
��|�|
�����
���
(7.18)
Aplicando-se as normalizações (2.13) em (7.18) obtém-se (7.19), onde o índice 0 de ��
significa que a solução se aplica à bainha, e o índice superior indica o condutor em cujo eixo a
solução está centrada.
���
(�)= �� + ���
�
���
��������
+ �1
����������
� ���(�,�) ��������
�������
��|�|
�
���
(7.19)
A expressão (7.19) pode ser simplificada para (7.20), através do uso da equação (2.14).
���(�)
= �� + �����(0,�)
�
���
+ ���
�� � ����(�,�)
�
��|�|
������
���
(7.20)
A solução dada pela equação (2.12) resulta da extração da parte real de (7.20) de acordo
com (7.21):
��(�)
= ��{����} (7.21)
A equação (2.15) resulta da derivação em (7.18):
1
�!
���� (��)
����=
1
�����!
(� − 1)!(� − �)!����
� = 1
�������(�,�)��
� (7.22)
7.4 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo da bainha
Considerando-se agora um novo referencial de coordenadas (�′,�’) centrado no eixo da
bainha, �, estabelece-se a relação (7.23) que pode ser reescrita da forma (7.24).
�̅ = ��� + �� (7.23)
�� = �̅ + (−���)⇔ �� = �̅�1 +
(−���)
�̅� (7.24)
É possível estabelecer-se a relação (7.25).
ln�
1
��� = ln�
1
�̅�− ln�1 +
(−���)
�̅� (7.25)
Tendo em conta a expansão de Taylor do logaritmo (7.26):
ln�1 +
(−���)
�̅� =
(−���)
�̅− (−���)
�
2�̅�+ (−���)
�
3�̅�− ⋯ = − �
����
��̅�
�
���
(7.26)
E derivando a igualdade anterior � vezes em ordem a ��� obtém-se (7.27) que pode ser
reescrita na forma (7.28):
(� − 1)!
�̅��1 +
(−���)
�̅�
��
= ��!
(� − �)!
������
��̅�
�
���
(7.27)
�1 +
(−���)
�̅�
��
= �̅� �������
��̅�
�
���
�!
(� − 1)!(� − �)!= �̅� �
������
��̅�
�
���
�(�,�) (7.28)
A solução, com a forma de (2.6), é dada por (7.29).
��(��) = ��
(�) ln1
��+ ����
(�)����
�
���
= ��(�) ln
1
�− ��
(�) ln�1 +(−���)
�̅� + ����
(�)�̅�� �1 +
(−���)
�̅�
���
���
= ��(�) ln
1
�+ ��
(�) �����
��̅�
�
���
+ ����(�)
�
���
�������
��̅�
�
���
�(�,�)
(7.29)
Normalizando os coeficientes �� de acordo com (2.9) e a coordenada �’ de acordo com (2.17),
obtém-se (7.30), que pode ser reescrita em (7.31), considerando-se (2.15).
���
(�) = ��(�) ln�
�� ��⁄
������� + ��
(�) �1
������������������
���
+ ����(�) �
���������
���
�1
������������������
���
�(�,�)
(7.30)
���(�) = ��
(�) ln��� ��⁄
������� + �
1
�������
(�)�(0,�) + ����(�)�(�,�)
�
���
��������
���
(7.31)
A solução dada pela equação (2.16) resulta de (7.32):
��(�)
= ������(�)� (7.32)
8 Anexo C – Exemplo de Matriz [�], vetor (�) e vetor (�) para cabo
trifásico simétrico
Exemplo ilustrativo de matriz [�] para cálculo dos coeficientes ��(�) e �� para um cabo
trifásico simétrico. Considera-se �� = 2,∀���,�,� e �� = 3. Os vetores (�) e (�) são dados por (8.1).
A matriz [�] fica de acordo com a expressão (3.27).
(�) =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡��
(�)
���(�)
��(�)
���(�)
��(�)
���(�)
�����
��(�)
���(�)
��(�)
���(�)
��(�)
���(�)
����������⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(�) = −
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡��
(�)
���(�)
��(�)
���(�)
��(�)
���(�)
���
����
��(�)
��(�)
��(�)
��(�)
��(�)
��(�)
���
����
���
���� ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(8.1)
57
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
1 0 0 ���(1,1) 0 ���(1,1) ��(1,1) 0 0 0 0 ���(1,2) 0 ���(1,2) ��(1,2) 0 ��(1,3) 0
0 1 ���∗ (1,1) 0 ���
∗ (1,1) 0 0 ��∗(1,1) 0 0 ���
∗ (1,2) 0 ���∗ (1,2) 0 0 ��
∗(1,2) 0 ��∗(1,3)
0 ���(1,1) 1 0 0 ���(1,1) ��(1,1) 0 0 ���(1,2) 0 0 0 ���(1,2) ��(1,2) 0 ��(1,3) 0
���∗ (1,1) 0 0 1 ���
∗ (1,1) 0 0 ��∗(1,1) ���
∗ (1,2) 0 0 0 ���∗ (1,2) 0 0 ��
∗(1,2) 0 ��∗(1,3)
0 ���(1,1) 0 ���(1,1) 1 0 ��(1,1) 0 0 ���(1,2) 0 ���(1,2) 0 ���(1,1) ��(1,2) 0 ��(1,3) 0
���∗ (1,1) 0 ���
∗ (1,1) 0 0 1 0 ��∗(1,1) ���
∗ (1,2) 0 ���∗ (1,2) 0 0 0 0 ��
∗(1,2) 0 ��∗(1,3)
��∗(1,1) 0 ��
∗(1,1) 0 ��∗(1,1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 ��(1,1) 0 ��(1,1) 0 ��(1,1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 ���(2,1) 0 ���(2,1) ��(2,1) 0 2 0 0 ���(2,2) 0 ���(2,2) ��(2,2) 0 ��(2,3) 0
0 0 ���∗ (2,1) 0 ���
∗ (2,1) 0 0 ��∗(2,1) 0 2 ���
∗ (2,2) 0 ���∗ (2,2) 0 0 ��
∗(2,2) 0 ��∗(2,3)
0 ���(2,1) 0 0 0 ���(2,1) ��(2,1) 0 0 ���(2,2) 2 0 0 ���(2,2) ��(2,2) 0 ��(2,3) 0
���∗ (2,1) 0 0 0 ���
∗ (2,1) 0 0 ��∗(2,1) ���
∗ (2,2) 0 0 2 ���∗ (2,2) 0 0 ��
∗(2,2) 0 ��∗(2,3)
0 ���(2,1) 0 ���(2,1) 0 0 ��(2,1) 0 0 ���(2,2) 0 ���(2,2) 2 0 ��(2,2) 0 ��(2,3) 0
���∗ (2,1) 0 ���
∗ (2,1) 0 0 0 0 ��∗(2,1) ���
∗ (2,2) 0 ���∗ (2,2) 0 0 2 0 ��
∗(2,2) 0 ��∗(2,3)
��∗(1,2) 0 ��
∗(1,2) 0 ��∗(1,2) 0 0 0 ��
∗(2,2) 0 ��∗(2,2) 0 ��
∗(2,2) 0 2 0 0 0
0 ��(1,2) 0 ��(1,2) 0 ��(1,2) 0 0 0 ��(2,2) 0 ��(2,2) 0 ��(2,2) 0 2 0 0
��∗(1,3) 0 ��
∗(1,3) 0 ��∗(1,3) 0 0 0 ��
∗(2,3) 0 ��∗(2,3) 0 ��
∗(2,3) 0 0 0 3 0
0 ��(1,3) 0 ��(1,3) 0 ��(1,3) 0 0 0 ��(2,3) 0 ��(2,3) 0 ��(2,3) 0 0 0 3 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(8.2)
9 Anexo D – Função potencial obtida pelo método das imagens
9.1 Potencial elétrico num ponto �
Considerando-se um condutor cilíndrico a uma distância conhecida da referência (terra), e
cuja carga se representa como uma carga filiforme p.u.c. + � é possível determinar analiticamente o
potencial elétrico num determinado ponto �, através do método das imagens.
q
q
h
h
Figura 9.1 – Representação duma carga filiforme +q e da respetiva carga imagem fictícia –q
Através do método das imagens, obtém-se o potencial elétrico num ponto �� com referência
no plano de simetria, como a soma das contribuições da carga real e da carga imagem fictícia (9.1).
��� = ���
��+ ���
��=
�
2���ln
ℎ
��− ln
ℎ
��� =
�
2��ln�
������� =
�
2��ln(��),�� =
������
(9.1)
9.2 Diferença de potencial entre dois pontos genéricos
Para calcular a diferença de potencial entre dois pontos genéricos �� e �� na presença da
mesma carga filiforme �, então fazendo uso da equação (9.1) facilmente se obtém (9.2).
���,�� = ��� − ��� =
�
2��(ln�� − ln��) =
�
2��ln�
�����,�� =
������
,�� =������
(9.2)
10 Anexo E – Obtenção da parte real de uma amplitude complexa
para os instantes � = � e � = �/�
Considerando-se uma amplitude complexa genérica �� dado pela expressão (10.1) as partes
real e imaginária são dadas por (10.2), onde � = 2�/�.
�� = � + �� = |��|���
|��|= ��� + ��
Φ = arctan�
�
(10.1)
��(�) = ��{������}= |��|cos(�� + Φ)
��(�) = ��{������}= |�|sin(�� + Φ) (10.2)
A parte real nos instantes � = 0 e � = �/4 é dada por (10.3) e (10.4) respetivamente.
��(� = 0) = |��|cos(Φ) = ��{��} (10.3)
��(� = �/4) = |��|cos ��
2+ Φ� = −|��|sin(Φ) = −��(� = 0) = − ��{��} (10.4)