Induccion al pensamiento´ · 2020. 10. 23. · 5. x es mam´ıfero o x es acuatico´ .(Disyuncion)...

Induccion al pensamientomatematico(Version preliminar)

Francisco Gabriel Hernandez ZamoraRaquiel Rufino Lopez Martınez

Vıctor Perez GarcıaBrenda Tapia Santos

Porfirio Toledo Hernandez

Cuitlahuac Garcıa JimenezGobernador del Estado de Veracruz

Zenyazen R. Escobar GarcıaSecretario de Educacion de Veracruz

Maritza Ramırez AguilarSubsecretaria de Educacion Basica

Itzel Lopez GonzalezCoordinadora para la Difusion y Optimizacion de los Servicios Educativos

Jose Isaac Rodrıguez MaldonadoCoordinador Estatal de Actualizacion Magisterial

Diana Adivedh Cruz VillegasCoordinadora del proyecto “Matematicas para todos”

Francisco Gabriel Hernandez ZamoraRaquiel Rufino Lopez MartınezVıctor Perez GarcıaBrenda Tapia SantosPorfirio Toledo HernandezAutores

Ernesto Efren Del Moral VenturaAsesor Tecnico

c⃝ Secretarıa de Educacion de Veracruz, 2019km 4.5 carretera federal Xalapa-VeracruzCol. SAHOP, C.P. 91190Xalapa Enrıquez, Ver.

El Curso “Induccion al Pensamiento Matematico” del proyecto “Matematicaspara todos” fue elaborado en la Facultad de Matematicas de la UniversidadVeracruzana en convenio con Subsecretarıa de Educacion Basica de la Se-cretarıa de Educacion del Gobierno del Estado de Veracruz. Este proyecto esde caracter publico, esta prohibido su uso con fines polıticos, electorales, delucro y otros distintos a los establecidos. El contenido es responsabilidad delos autores.

Indice general

1 Logica matematica y aritmetica 11.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Traduccion de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Definiciones Implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Deducciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Reduccion al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Demostraciones Directas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Razones y Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Progresiones aritmeticas y geometricas . . . . . . . . . 15

2 Geometrıa 212.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Semejanza de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.1 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Material extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.1 Puntos y rectas en los triangulos . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Sugerencias a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Tecnicas elementales de conteo 473.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 El principio fundamental de conteo . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Permutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Combinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I

3.4.1 Aplicacion a la Teorıa de la Probabilidad . . . . . . . . . 55

4 Teorıa de numeros 634.1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Factorizacion y algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . 664.3 Parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1 Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3.2 Mınimo comun multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Algebra 735.1 Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.2 Exponentes y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1 Algebra de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.1 Productos notables y factorizacion . . . . . . . . . . . . 805.3.2 Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Material extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.1 Ecuaciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.2 Formulas de Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Capıtulo 1

Logica matematica yaritmetica

EJENumero, Algebra y Variacion

Temas:Proporcionalidad y patrones.

Aprendizajes esperados

1◦

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa,con constante natural, fraccion o decimal.Resuelve problemas de calculo de porcentajes, de tanto porciento yde la cantidad base.Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir desucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesionque representan.

2◦

Resuelve problemas de proporcionalidad directa e inversa y dereparto proporcional.Verifica algebraicamente la equivalencia de expresiones de primergrado, formuladas a partir de sucesiones.

3◦

Diferencia las expresiones algebraicas de las funciones y de lasecuaciones.Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadraticas paradefinir el enesimo termino de una sucesion.

1.1. Introduccion

El tema de logica matematica se encuentra muy ligado con la matematica ensı, por lo cual resulta complicado ensenarlo a los alumnos que no les gustanlas matematicas. En el presente capıtulo pretendemos mostrar los metodosde la logica matematica a traves de ejemplos no matematicos. Muchos de losejemplos del tema de logica matematica son tomados del libro de GonzaloZubieta descrito en la bibliografıa. Finalizaremos el capıtulo con algunos te-mas de aritmetica como razones, proporciones, porcentajes y progresionesde numeros reales.

1

2 CAPITULO 1. LOGICA MATEMATICA Y ARITMETICA

El presente material esta elaborado para su reproduccion en tres partes dedos horas cada una. Para la primera parte se recomienda ver las secciones:Traduccion de proposiciones, Definiciones Implıcitas y Deducciones; para lasegunda parte se recomienda ver las secciones: Reduccion al absurdo, De-mostraciones Directas y Razones y Proporciones; y en la tercera parte lassecciones: Porcentajes y Progresiones aritmeticas y geometricas.

1.2. Parte 1

1.2.1. Traduccion de proposiciones

Podemos pensar que el proposito de la logica matematica es el de deducirpremisas verdaderas de otras que sabemos que son verdaderas. Por ejem-plo de las afirmaciones verdaderas “todos los perros tienen cuatro patas” y“Firulais es un perro” podemos afirmar que “Firulais tiene cuatro patas”. Depremisas verdaderas no necesariamente se concluye que una premisa seaverdadera (aunque lo sea), es necesario que las premisas obliguen a la con-clusion, por ejemplo las dos premisas siguientes son verdaderas “Todos losperros tienen cuatro patas” y “los patos no son perros”, sin embargo con estono podemos concluir que “los patos no tienen cuatro patas”, aunque en reali-dad la ultima premisa es verdadera.

Para formalizar lo que se ha mencionado comenzaremos por introduciralgunos conceptos, operadores en premisas y metodos de inferencia que re-forzaremos a traves de muchos ejemplos.

Una herramienta importante para implementar el metodo deductivo es eltransformar proposiciones en lenguaje comun en proposiciones escritas enun lenguaje logico matematico.

Definicion 1. Una proposicion o premisa es una frase que afirma o niegaalgo.

De acuerdo a la definicion, expresiones de admiracion, preguntas y orde-nes no son proposiciones; mientras que las siguientes son algunos ejemplosde proposiciones.

1. Toda ave tiene plumas. (Categorica)

2. Algunas hormigas vuelan. (Categorica)

3. Si x es una tortuga, entonces x es un anfibio. (Condicional)

4. x es un libro y x es caro. (Conjuncion)

5. x es mamıfero o x es acuatico. (Disyuncion)

6. No es cierto que x es una tortuga. (Negacion)

1.2. PARTE 1 3

7. Para todo x, x es mamıfero. (Cuantificacion)

8. Existe x tal que x es grande. (Cuantificacion)

En las proposiciones 3 - 8 aparecen subrayadas las componentes respecti-vas. La primera componente de una hipotetica, o condicional, se llama hipote-sis; la segunda, tesis. En el ejemplo 7 el cuantificador se llama universal, puesse hace una afirmacion para todo x, mientras que en el ejemplo 8 el cuantifi-cador se llama existencial, pues se afirma que algo es grande.

En los siguientes ejemplos debajo de cada proposicion categorica esta es-crito el significado de su traduccion analıtica:

(a) Todo metal es pesado.(a’) Si tenemos un objeto que es metal, entonces dicho objeto es pesado.

(b) Ningun metal es pesado.(b’) Si tenemos un objeto que es metal, entonces dicho objeto no es pesado.

(c) Algun metal es pesado.(c’) Existe un metal que es pesado.

(d) Algun metal no es pesado.(d’) Existe un metal que no es pesado.

(e) Todo cambia.(e’) Cada cosa cambia.

Cuando comenzamos a estudiar de manera formal la logica matematica,es importante practicar mucho hasta dominar los temas.

Ejercicios

1. Traduzca las siguientes premisas.

a) Todo socio depende del presidente de la compania.

b) Algun socio depende de Juan.

c) Pedro depende de todo socio.

d) Pedro depende de algun socio.

e) Todo socio de Juan depende de Pablo.

f ) Pedro depende de todo socio de Juan.

En la siguiente lista, debajo de cada proposicion compuesta aparece sunegacion, en terminos de las componentes:


(a) Si Juan es hijo de Concha entonces Juan sabe latın.(a’) Juan es hijo de Concha y Juan no sabe latın.

(b) Pedro juega y Pablo estudia.(b’) Pedro no juega o Pablo no estudia.

(c) Pedro trabaja o Pablo recurre a Juan.(c’) Pedro no trabaja y Pablo no recurre a Juan.

(d) Pedro no es arquitecto.(d’) Pedro es arquitecto.

(e) Todo trabajador depende del jefe.(e’) Algun trabajador no depende del jefe.

(f) Alguien es hermano del jefe.(f’) Nadie es hermano del jefe.

Segun la lista anterior, la negacion de una condicional es la conjuncionde la hipotesis con la negacion de la tesis; la negacion de una conjunciones la disyundion de las negaciones de sus componentes; la negacion de unadisyuncion es la conjuncion de las negaciones de sus componentes; la nega-cion de una negacion es la afirmacion de su componente; la negacion de unacuantificacion universal es la cuantificacion existencial de la negacion de sucomponente; la negacion de una cuantificacion existencial es la cuantificacionuniversal de la negacion de su componente.

Podemos resumir los ejemplos anteriores en la siguiente tabla:

Proposicion NegacionP ¬ P

P⇒ Q P y ¬ QP o Q ¬ P y ¬ QP y Q ¬ P o ¬ Q

Universal ExistencialExistencial Universal

Ejercicios

1. Compruebe la equivalencia entre (a1) y (a2), entre (b1) y (b2) y entre(c1) y (c2). Para ello traduzca cada frase y niegue el resultado:

(a1) El que sabe no se contradice.

(a2) El que se contradice no sabe.

(b1) Lo que es mıo es tuyo.

(b2) Lo que no es tuyo no es mıo.

1.2. PARTE 1 5

(c1) El que no juega hoy juega manana.

(c2) El que no juega manana juega hoy.

Aquı la palabra todo va antepuesta tacitamente a cada frase de estas.

2. Traduzca cada proposicion, y niegue el resultado:

a) Todo hermano de Pedro es hijo de juan.

b) Algun empleado conoce a todos los trabajadores.

c) Todo amigo de Pedro es amigo de Juan.

1.2.2. Definiciones Implıcitas

Una definicion implıcita de un termino es una lista de proposiciones (propie-dades convencionales), llamadas axiomas, que contienen al termino.

Para ejemplificar, tomamos como definicion implıcita de los terminos veraz,mitomano y normal, adoptamos los siguientes axiomas:

1. Si una persona es veraz, y dicha persona dice que sucede tal cosa,entonces sucede tal cosa.

2. Si una persona es mitomano, y dicha persona dice que sucede tal cosa,entonces no sucede tal cosa.

3. Si una persona es veraz entonces dicha persona no es mitomano,si una persona es mitomano entonces dicha persona no es normal,si una persona es normal entonces dicha persona no es veraz.

4. Una persona es veraz o dicha persona es mitomano o dicha persona esnormal.

De acuerdo a las propiedades que definen los conceptos anteriores, verazes el que siempre dice la verdad, mitomano el que siempre miente, normalel que no es veraz ni mitomano. Por la propiedad 3, las categorıas de veraz,mitomano y normal se excluyen mutuamente. Por la propiedad 4, dichas ca-tegorıas se complementan entre sı.

Ası pues, las definiciones implıcitas son como las adivinanzas: no dicen loque el objeto es, sino que propiedades tiene. Toda definicion implıcita obligaa interpretar los terminos de tal manera que valgan los axiomas. Por eso sedice que los axiomas son validos por definicion.

Ejemplo 1.1. Un giro de P es cualquier frase cuya negacion coincide conla negacion de P . A continuacion, debajo de cada axioma de 3, aparece sugiro:

(a) Si Pedro es veraz entonces Pedro no es mitomano.(a’) Si Pedro es mitomano entonces Pedro no es veraz.


(b) Si Juan es mitomano entonces Juan no es normal.(b’) Si Juan es normal entonces Juan no es mitomano.

(c) Si Pablo es normal entonces Pablo no es veraz.(c’) Si Pablo es veraz entonces Pablo no es normal.

Compruebe que cada una de las proposiciones anteriores tienen la mismanegacion que su giro.

Otras inferencias se basan en los silogismos hipoteticos, que son tauto-logıas construidas a partir de los siguientes esquemas, donde P , Q, R repre-sentan proposiciones cualesquiera:

1. (Modus Ponens)

Suponer que vale: P ⇒ Q,y que tambien vale: Pconcluimos que vale Q.

2. (Modus Tollens)

Suponer que vale: P ⇒ Q,y que tambien vale: ¬Qconcluimos que vale ¬P .

3. (Reduccion por casos)

Suponer que vale: P ⇒ Q,y que tambien vale: ¬P ⇒ Qconcluimos que vale Q.

4. (Reduccion por Contradiccion o al absurdo)

Suponer que vale: P ⇒ Q,y que tambien vale: P ⇒ ¬Qconcluimos que vale ¬P .

5. (Transitividad)

Suponer que vale: P ⇒ Q,y que tambien vale: Q ⇒ Rconcluimos que vale P ⇒ R.

1.2.3. Deducciones

Un Resultado conocido es toda proposicion cuya validez se ha demostradoantes, o que es un axioma.

Una Deduccion de P a partir de H es una cadena de proposiciones

P1, P2, . . . , Pn,

llamadas pasos, tales que Pn es P , y cada paso es un resultado conocido, oes H , o se infiere de pasos anteriores mediante algun resultado conocido.

1.2. PARTE 1 7

Toda deduccion de P a partir de H es una demostracion directa de lavalidez de la condicional. Si H entonces P .

1.2.4. Reduccion al absurdo

El metodo de demostracion por reduccion al absurdo, llamado tambien meto-do indirecto, consiste en suponer lo contrario de lo que se quiere demostrar,y deducir de ahı una contradiccion. Por ejemplo, para demostrar P , por re-duccion al absurdo, partimos de su negacion ¬P , y deducimos de ella dosproposiciones contradictorias Q y ¬Q. Al hacer esto queda demostrada la im-posibilidad de ¬P , de donde se desprende la necesaria validez de P .

Ejemplo 1.2. Probar la siguiente premisa: Alex dice que Beto es mitomano.Beto dice que Alex es veraz. Demostrar que Alex no es veraz, y que si Betoes mitomano entonces Alex es normal.

Prueba por reduccion al absurdo de que Alex no es veraz.

1. Alex es veraz. ¬

2. Alex dice que Beto es mitomano. Dato

3. Beto es mitomano. (1)(2)

4. Beto dice que Alex es veraz. Dato

5. Alex no es veraz. (3)(4)

Contradiccion: (1) y (5).

Prueba por reduccion al absurdo de que si Beto es mitomano, entonces Alexes normal.

1. Beto es mitomano y Alex no es normal. ¬

2. Beto es mitomano. (1)

3. Beto dice que Alex es veraz. Dato

4. Alex no es veraz. (2)(3)

5. Alex no es normal. (1)

6. Alex es mitomano. (4)(5)


8. Beto no es mitomano. (6)(7)

Contradiccion: (2) y (8).


Ejercicios

1. Alex dice que Beto es mitomano y Beto dice que Alex es veraz. Demues-tra, por reduccion al absurdo que Beto no es veraz.

2. Alex dice que Beto es mitomano y Beto dice que Alex es veraz. Demues-tra, por reduccion al absurdo que si Alex es mitomano entonces Beto esnormal.

3. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Carlos es mitomano.Carlos dice que Alex es mitomano. Demuestra que si Alex es veraz en-tonces Carlos es normal.

4. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Carlos es mitomano.Carlos dice que Alex es mitomano. Demuestra que si Alex es mitomano,entonces Beto es normal.

5. Alex dice que Beto no es veraz. Beto dice que Carlos no es veraz. Carlosdice que Alex no es veraz. Demuestre que si Alex es veraz entoncesBeto es normal.

6. Alex dice que Beto no es veraz. Beto dice que Carlos no es veraz. Carlosdice que Alex no es veraz. Demuestre que si Alex es veraz entoncesBeto es normal. Demuestre que si Alex es mitomano entonces Carloses normal.

1.3. Parte 2

1.3.1. Demostraciones Directas

Todas las proposiciones sobre veraces y mitomanos, que hemos demostradopor reduccion al absurdo, se pueden demostrar tambien de manera directa.Dejamos como ejercicio trabajar los ejemplos y ejercicios de la seccion ante-rior y desarrollamos otro par de ejemplos.

Ejemplo 1.3. Con el fin de ejemplificar una demostracion directa probemosla siguiente premisa.

Si ningun socio de Juan fuma y Pedro es socio de Juan, entonces Pedrono fuma.

Demostracion:

1. Ningun socio de Juan fuma y Pedro es socio de Juan. Hpt.

2. Ningun socio de Juan fuma. (1)

3. Si una persona es un socio de Juan, entonces dicha persona no fuma.(2)

4. Si Pedro es socio de Juan, entonces Pedro no fuma. (3)

1.3. PARTE 2 9

5. Pedro es socio de Juan. (1)

6. Pedro no fuma. (4)(5)

A la derecha de cada paso aparece su registro: Hpt. si es la hipotesis, (1)si se infiere de (1), Def. si vale por definicion, (4)(5) si se infiere de los pasos(4) y (5).

La inferencia del paso (1) al (2) se debe a que es una parte de la hipotesis.

La inferencia de (2) a (3) es valida porque (3) es la traduccion analıtica de(2).

La inferencia de (3) a (4) es valida porque es una tautologıa descenden-te de lo general a lo particular: lo que (3) dice de una persona -cuantificadoruniversal implıcito-, (4) lo dice de Pedro.

La inferencia de (5) se sigue de (1) como parte de la hipotesis.

La inferencia de (6) se sigue de (4) y (5) por Modus Ponens.

Ejemplo 1.4. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Carlos esmitomano. Carlos dice que Alex es mitomano.

Prueba que si Alex es mitomano, entonces Beto es normal.

Demostracion directa.

1. Alex es mitomano. Hpt.


3. Beto no es mitomano. (1)(2)

4. Carlos dice que Alex es mitomano. Dato

5. Carlos no es mitomano. (1)(4)

6. Beto dice que Carlos es mitomano. Dato

7. Beto no es veraz. (5)(6)

8. Beto es normal. (3)(7)

Ejemplo 1.5. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Carlos esmitomano. Carlos dice que Alex es mitomano.

Prueba que si Alex es veraz entonces Carlos es normal.

Demostracion directa.


1. Alex es veraz. Hpt.


3. Beto es mitomano. (1)(2)

4. Beto dice que Carlos es mitomano. Dato

5. Carlos no es mitomano. (3)(4)

6. Carlos dice que Alex es mitomano. Dato

7. Alex no es mitomano. (1)

8. Carlos no es veraz. (6)(7)

9. Carlos es normal. (5)(8)

Observe que en ambas demostraciones, para aprovechar la hipotesis, seescribe como segundo paso lo que dice Alex, y se prosigue en la forma yaconocida. Una vez agotado este recurso, volvemos a aprovechar la hipotesis,escribiendo ahora lo que se dice de Alex.

Ejercicios

1. Alex dice que Beto no es veraz. Beto dice que Carlos no es veraz. Carlosdice que Alex no es veraz. Demuestra que si Alex es veraz, entoncesBeto es normal.

2. Alex dice que Beto no es veraz. Beto dice que Carlos no es veraz. Car-los dice que Alex no es veraz. Demuestra que si Alex es mitomano,entonces Carlos es normal.

3. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Ales es veraz. Demues-tre directamente que si Alex es mitomano, entonces Beto es normal.

4. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Ales es veraz. Demues-tre directamente que si Beto es mitomano entonces Aalex es normal.

5. Alex dice que Beto es mitomano. Beto dice que Alex es veraz. Parademostrar directamente que Beto no es veraz, proceda por casos, de-muestra directamente que:

Si Alex es veraz entonces Beto no es veraz.

Si Alex es mitomano entonces Beto no es veraz.

Si Alex es normal entonces Beto no es veraz.

Ejemplo 1.6. Ernesto es cretense. Ernesto dice que todo cretense esmitomano. Demostrar que no todo cretense es mitomano.

Demostracion indirecta.

1.3. PARTE 2 11

1. Todo cretense es mitomano. ¬

2. Si una persona es cretence, entonces dicha persona es mitomano. (1)

3. Si Ernesto es cretense entonces Ernesto es mitomano. (2)

4. Ernesto es cretense. Dato

5. Ernesto es mitomano. (3)(4)

6. Ernesto dice que todo cretense es mitomano. Dato

7. No todo cretense es mitomano. (5)(6)

Contradiccion: (1) y (7)

Ejemplo 1.7. Para demostrar directamente la premisa del ejemplo anterior,procedemos por casos.

Si Ernesto es mitomano, entonces no todo cretense es mitomano.

1. Ernesto es mitomano. Hpt.

2. Ernesto dice que todo cretense es mitomano. Dato

3. No todo cretense es mitomano. (1)(2)

Si Ernesto no es mitomano entonces no todo cretense es mitomano.

1. Ernesto no es mitomano. Hpt.

2. Ernesto es cretense. Dato

3. Ernesto es cretense y Ernesto no es mitomano. (1)(2)

4. Existe una persona que es cretense y no es mitomano. (3)

5. Algun cretense no es mitomano. (4)

6. No todo cretense es mitomano. (5)

Ejercicios

1. Alex dice que no todo cretense es veraz. Demuestre directamente quesi Alex es mitomano entonces Alex no es cretense.

2. Beto dice que ningun cretense es veraz. Demuestre directamente quesi Beto es veraz entonces Beto no es cretense.

3. Si Juan aprende de todo novato, y nadie aprende de Juan, entoncesJuan no es novato.

4. Si ningun novato aprende de Pedro, y Pedro aprende de todos, entoncesPedro no es novato.


1.3.2. Razones y Proporciones

El hecho de que Pedro lea 400 palabras por minuto no nos dice mucho; sin em-bargo al compararlo con un lector promedio, quien lee 250 palabras por minu-to, podemos pensar que Pedro lee considerablemente mas rapido que el pro-medio. Nos gustarıa conocer que tanto mas rapido lee Pedro respecto al lectorpromedio, para ello calculamos el cociente de los promedios 400

250 = 85 = 1.6.

Lo cual nos dice que Pedro lee 8 palabras cuando el lector promedio lee 5palabras, o bien que Pedro lee 1.6 veces mas rapido que el lector promedio.Mientras que si Juan lee 200 palabras por minuto, entonces Juan lee mas len-to que el lector promedio, siendo 200

250 = 45 = 0.8 veces mas lento que el lector

promedio.

En el ejemplo anterior estamos comparando dos numeros por medio de uncociente o razon, ası pues, una razon es una comparacion de dos cantidadesdel mismo tipo.

Como las razones son fracciones, podemos aplicar a las razones todas lasoperaciones conocidas de fracciones, como lo hicimos antes con la simplifi-cacion. Sin embargo la diferencia consiste en la interpretacion que estamosdando; a saber que una fraccion es una cantidad (el valor del cociente), mien-tras que una razon es la comparacion de dos cantidades.

Una proporcion es una ecuacion en la cual los dos lados de la igualdadson razones, es decir que tenemos dos maneras de escribir la misma razon.Solo estamos comparando a distinta escala (o proporcion). En nuestro primerejemplo, las razones 400

250 y 85 representan lo mismo (que tan rapido lee Pedro

respecto al lector promedio). En este caso la segunda fraccion es mas simplede entender. Ademas, es de suma importancia el considerar proporciones,pues si conocemos tres cantidades de una proporcion, entonces podemosconocer la cuarta haciendo un despeje, lo cual se conoce como regla de tres.

En una proporcion ab= c

d, los numeros a y d se llaman extremos y los

numeros b y c se llaman medios de la proporcion.

Las proporciones aparecen a menudo en geometrıa, por ejemplo si dostriangulos ABC y DEF son semejantes, digamos con lados proporcionalesAB = 4 con DE = 8 y AC = 3 con el lado desconocido DF = x; la relacionde proporcionalidad es 4

3 = 8x

, de donde despejamos para obtener x = 6.

Cuando los medios de una proporcion coinciden, digamos que valen m, esdecir b = c = m, diremos que m es la media proporcional entre los extremosde la proporcion. En este caso la proporcion queda como a

m= m

d, de donde

despejando tenemos m =√ad.

Ejemplo 1.8. Si Pablo lee 1.8 veces mas rapido que un lector promedio,¿cuantas palabras lee Pablo en un minuto?

1.4. PARTE 3 13

Para resolver el problema, le llamaremos x a la cantidad desconocida depalabras que lee Pablo por minuto. La razon 1.8 debe coincidir con la razonde palabras por minuto que lee Pablo respecto al lector promedio: x

250 , por loque de la ecuacion 1.8 = x

250 despejamos x para obtener x = 450, es decirque Pablo lee 450 palabras por minuto.

Ejercicios

1. Una vara de 1.7 metros de longitud deja una sombra de 1 metro, paradaverticalmente en el suelo; al mismo tiempo, una iglesia deja una sombrade 7.1 metros, hallar la altura de la iglesia.

2. Si un automovil recorre 23 kilometros con dos litro de gasolina, ¿cuantoskilometros recorrera con 15 litros?

3. La razon de la velocidad de un avion con respecto a otro es de 35 , si el

avion mas lento va a 540 kilometros por hora, ¿a que velocidad va elavion mas rapido?

4. En el centro comercial Pedro camina a razon de 2 metros cada 3 segun-do. Al tomar una rampa electrica de 16 metros de largo, Pedro continuocaminando al mismo paso y tardo 5 segundos en llegar al final de la ban-da. Si Pablo se queda parado al llegar a la banda, ¿cuantos segundostardara en llegar al final de dicha banda?

1.4. Parte 3

1.4.1. Porcentajes

La palabra porciento viene del latın, originalmente descrito como “por cadacien”. Un porcentaje describe la cantidad existente de cada 100, es decir nosda un valor relativo, por ejemplo el 25% de los adultos toma cafe con leche,no nos dice el numero de personas adultas que toman cafe con leche, si noque nos da una idea de que parte del total de adultos toman cafe con leche.Los porcentajes se utilizan para calcular tus impuestos, intereses, artıculos enoferta, incrementos en salarios y propinas, entre otros.

Puesto que porcentaje significa cantidad de cada cien, un porcentaje sepuede ver como una division entre cien, por ejemplo 25% de x es 25

100 = 14 de

x, es decir 0.25x. Ası, tanto 14x como 0.25x representan el 25% de x.

Ejemplo 1.9. En 2018 una automotrız vendio el 30% mas de coches quelos que vendio en 2017. ¿cual es la menor cantidad de coches que pudo habervendido la automotrız en 2018 si al menos vendio 1000?


Vamos a denotar por x el numero de coches vendidos por la automotrızen 2018 y por y el numero de coches vendidos en 2017. Como se vendio el30% mas en 2018 que en 2017, se tiene que x es y mas el 30% de y, es decirx = 1.3y, con x ≥ 1000. La relacion la podemos escribir tambien en fraccionescomo x = 13

10y, de donde el entero x mas pequeno posible ocurre cuando y esun entero lo mas pequeno posible que sea multiplo de 10, nos aproximamoscomo en la siguiente tabla.

y 1000 800 790 780 770 760x 1300 1040 1027 1014 1001 988

Ası, el menor numero posible de coches vendidas por la automotrız es1001.

Cuando ahorramos en un banco, el interes que ganamos en un periodo,digamos anual, generalmente es un interes compuesto, donde los interesesobtenidos en cada perıodo (que pueden ser dıas, meses, anos, etcetera) sesuman al capital inicial para generar nuevos intereses. Por ejemplo si deposi-tamos $1000 a un 3% de intereses anuales, al cabo del primer ano el banconos dara $1000 mas el 3% de $1000 que es $30, es decir recibimos $1030. Sidejamos en el banco el ahorro y los intereses ganados, al segundo ano ten-dremos $1030 mas el 3% de intereses de esos $1030, es decir $30.90 mas. Entotal al cabo de dos anos tendremos $1060.90 ¿cuanto recibiremos a los diezanos? Antes de contestar la pregunta consideraremos la situacion en general.

Si X es la cantidad inicial que invertimos a una tasa del r%, entonces:

En el primer ano tendremos: X +Xr% = X(1 + r100 ).

Ahora aplicamos la formula anterior para el segundo ano, con capital inci-cial X(1 + r

100 ).

En el segundo ano tendremos: X(1 + r100 )(1 +

r100 ) = X(1 + r

100 )2.

A los k anos tendremos: Ck = X(1 + r100 )

k.

Regresamos a nuestro ejemplo anterior para obtener que a los diez anosrecibiremos 1000(1 + 3

100 )10 = $1343.92

La formula que encontramos, para calcular la cantidad de dinero que ten-dremos a los k anos (o periodos que se esten considerando) tiene cuatroparametros, por lo que si conocemos tres de ellos, podemos determinar elotro.

Ejemplo 1.10. Laura desea invertir su aguinaldo de $28000 para que alcabo de 5 anos tenga $40000. ¿A que taza de interes semestral mınima debehacer dicha inversion?

1.4. PARTE 3 15

Primeramente notamos que el periodo es semestral y que en 5 anos hay10 semestres, por lo que k = 10. En la formula Ck = X(1+ r

100 )k se tienen los

siguientes parametros conocidos del problema: k = 10, X = $28000 y C10 =$40000. Por lo que basta despejar r de la ecuacion 40000 = 28000(1 + r

100 )10,

de donde r = 3.6 aproximadamente, es decir que Laura debe invertir su dineropor lo menos al 3.7% de interes semestral.

Ejercicios

1. Si consigues un 15% de descuento en una camisa de $250, ¿cual serael precio de venta de este artıculo?

2. Si de un total de 42 estudiantes, 33 aprobaron un examen, ¿que porcen-taje de estudiantes aprobo?

3. ¿Cuantos litros de crema con 25% de grasa deberan anadirse a 80 litrosde leche con 3% de grasa para obtener una mezcla que contenga 5%de grasa?

4. Halla la cantidad de intereses ganados en cinco anos con una inversioninicial de $600 a 1.5% de interes anual.

5. Laura necesita $8000 para comprarse una computadora dentro de 12meses. ¿Cuanto de su aguinaldo debe invertir inicialmente en el banco,si la taza es de 1% mensual?

1.4.2. Progresiones aritmeticas y geometricas

Una sucesion es un conjunto de numeros ordenados. Cada uno de los nume-ros en la sucesion se llama termino. Por ejemplo podemos considerar la suce-sion de numeros positivos pares {2, 4, 6, 8, . . .} o la sucesion de anos en queha habido elecciones presidenciales en Mexico

{1946, 1952, 9158, 1964, 1970, 1976, 1982, 1988, 1994, 2000, 2006, 2012, 2018}.

En el primer ejemplo, la sucesion es infinita y en el segundo ejemplo la su-cesion es finita. Cuando una sucesion tiene muchos terminos, es importantetener una formula que los describa. Para el caso de los numeros pares po-demos escribir cada termino como 2n, siendo n un numero entero positivo.Para el caso de las elecciones presidenciales, podemos escribir cada terminocomo 1940 + 6n, donde n recorre los enteros positivos del 1 al 13.

La suma de los terminos de una sucesion se llama serie. En los siguientesparrafos estudiaremos unos tipos especiales de sucesiones y series.

Una progresion aritmetica es una sucesion de numeros tal que dos termi-nos consecutivos siempre difieren por una constante llamada la diferencia dela progresion.


El segundo de nuestros ejemplos de sucesiones, el de anos en que hahabido elecciones presidenciales, se trata de una progresion aritmetica, dadoque vamos aumentando 6 anos a cada termino para obtener el siguiente.

Ası, una progresion aritmetica se puede escribir en la siguiente forma:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, . . .

donde el a1 se llama primer termino y d es la diferencia constante de dosterminos consecutivos.

Tambien observamos que podemos representar el n termino de la suce-sion como:

an = a1 + (n− 1)d.

Si queremos calcular la suma sn de los primeros n terminos de una pro-gresion aritmetica, tenemos:

sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + · · ·+ [a1 + (n− 1)d].

Que podemos escribir, en el orden opuesto restando d desde an, comosigue:

sn = an + (an − d) + (an − 2d) + · · ·+ [an − (n− 1)d]

Para obtener, sumando las dos expresiones:

2sn = n · (a1 + an).

De donde

sn = n2 (a1 + an).

Ejemplo 1.11. Halla la suma de todos los multiplos positivos de 3 que sonmenores que 200.

Observamos que la sucesion es aritmetica y se va incrementando de 3 en3, ası que d = 3 y su primer termino es a1 = 3. El ultimo entero multiplo de3 y menor que 200 es 198, por lo que an = 198. Para hallar n, aplicamos laformula an = a1 + (n− 1)d, en nuestro caso es 198 = 3 + (n− 1)3, de donden = 66. Finalmente sustituimos en la formula para calcular la suma de unaprogresion aritmetica para obtener sn = 66

2 (3 + 198) = 6633.

Nota: la suma pedida en el ejemplo anterior se puede obtener tambien de laformula de Gauss:

1.4. PARTE 3 17

3 + 6 + 9 + 12 + · · ·+ 198 = 3(1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 66) = 3 66·672 = 6633.

Ejemplo 1.12. En el local de tacos al pastor de la feria de Coatepec sevendieron 1200 ordenes durante los 16 dıas que duro la feria. Cada dıa sevendieron 8 ordenes mas que el dıa anterior. ¿Cuantas ordenes se vendieronel primer dıa?

Observemos que se trata de una sucesion de numeros, de ordenes vendi-das de tacos al pastor, que es aritmetica, pues cada dıa aumenta en 8 unida-des. Con n = 16, d = 8 y el primer termino a1 se tendra las relaciones:

a16 = a1 + 15 · 8 = a1 + 120.

1200 = s16 =16

2(a1 + a16) = 8(a1 + a1 + 120) = 8(2a1 + 120).

De donde

a1 = 15.

Ası, el primer dıa se vendieron 15 ordenes.

Una progresion geometrica es una sucesion de numeros tal que el co-ciente de un termino entre el anterior es una constante llamada razon de laprogresion.

Por ejemplo la sucesion {1, 2, 4, 8, 16, . . .} es una progresion geometricacon razon igual a 2.

Ası, una progresion geometrica se puede describir en la siguiente forma:

a1, a1 · r, a1 · r2, a1 · r3, . . .

donde el a1 se llama primer termino y r es la razon.

Tambien observamos que podemos representar el n termino de la suce-sion como:

an = a1 · rn−1.

Si queremos calcular la suma sn de los terminos de una progresion geometri-ca, tenemos:

sn = a1 + a1 · r + a1 · r2 + a1 · r3 + · · ·+ a1 · rn−1.

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por r para obtener


r · sn = a1 · r + a1 · r2 + a1 · r3 + a1 · r4 + · · ·+ a1 · rn.

Si restamos la primera igualdad de la segunda llegamos a

sn − r · sn = a1 − a1 · rn.

Es decir,

sn(1− r) = a1 − a1 · rn.

De donde,

sn = a1(1−rn)1−r .

Ejemplo 1.13. Un recipiente contiene 36 litros de alcohol puro. Se sacan 6litros y se reemplazan con agua. Si esta operacion se efectua 6 veces, calcu-lar la cantidad de alcohol puro que queda en el recipiente.

En el primer paso, al sustiruir 6 litros de alcohol por agua, solo nos que-daran 30 litros de alcohol de los 36 litros de la nueva mezcla, es decir que lacantidad de alcohol puro en el recipiente sera de 30

36 . En el segundo paso, alsustituir 6 litros de la mezcla por agua, lo que queda de alcohol puro en el re-cipiente sera 30

36 (3036 ) = (3036 )

2. Continuendo el proceso notamos que se trata deuna progresion geometrica con razon 30

36 , donde en el primer paso obtuvimosa1 = 30

36 . Por lo que despues de que se efectua la operacion 6 veces tenemosa6 = (3036 )

6 = 0.335. Por lo tanto en la mezcla quedan 0.335 · 36 = 12.06 litrosde alcohol puro.

Ejercicios

1. Un auto avanza en el primer segundo 4 metros, en los siguientes segun-dos avanza 2 metros mas que en el segundo anterior, ¿que distanciarecorrio en el segundo 10?, ¿que distancia recorrio en los 10 segundos?

2. El cuarto termino de una progresion aritmetica es 11 y el undecimotermino es 21. Calcula el primer termino y la suma de los primeros quin-ce terminos.

3. El octavo termino de una progresion geometrica es 512 y la razon es 2,¿cuanto vale el primer termino?

4. Un cuadrilatero tiene sus angulos en progresion geometrica en el ordenhorario con razon igual a 3. Si el primer angulo de la progresion y suangulo opuesto suman 90◦, halla la medida de cada uno de los angulosdel cuadrilatero.

1.4. PARTE 3 19

Referencias

AMADOR, M. E. Operaciones Avanzadas. Libro del adulto. Instituto Nacionalpara la Educacion de los Adultos, Mexico, Tercera Edicion, 2017.

BULAJICH MANFRINO, R., J. A. Gomez Ortega y R. Valdez. Algebra. Cuader-nos de olimpiadas de matematicas. Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico,Tercera edicion, 2016.

LEHMANN, C. H. Algebra. Editorial Limusa, 2007.

POLYA, G. Como Plantear y Resolver Problemas. Trillas, Mexico, 1986.

ZUBIETA, G. Logica Deductiva, Serie Textos Vol. 1. Publicaciones Electroni-cas de la Sociedad Matematica Mexicana, 2002.

Capıtulo 2

Geometrıa

EJEForma, Espacio y Medida

Temas:Figuras y cuerpos geometricos.Magnitudes y medidas.


1◦Determina y usa criterios de congruencia de triangulos.Calcula el perımetro de polıgonos y areas de triangulos ycuadrilateros desarrollando y aplicando formulas.

2◦

Deduce y usa las relaciones entre los angulos de polıgonos en laconstruccion de polıgonos regulares.Calcula el perımetro y area de polıgonos regulares apartir de diferentes datos.

3◦

Resuelve problemas geometricos mediante el Teorema de Thales.Construye polıgonos semejantes.Determina y usa criterios de semejanza de triangulos.Formula, justifica y usa el teorema de Pitagoras.

2.1. Introduccion

La geometrıa es una de las ramas mas importantes de las matematicas; Eucli-des sistematizo el conocimiento de su epoca estableciendo sus cinco postula-dos, constituyendose en uno de los precursores del metodo axiomatico. Estamateria brinda la oportunidad a estudiantes para desarrollar el pensamientologico-matematico, pues los resultados geometricos son obtenidos por mediode razonamientos logicos a partir de ciertos axiomas.

2.2. Parte 1

2.2.1. Angulos

Dadas dos rectas en el plano estas coinciden o son distintas. En este ultimocaso se cortan en un unico punto o no se cortan. Cuando varias rectas pasan

21

22 CAPITULO 2. GEOMETRIA

a traves de un mismo punto decimos que ellas son concurrentes.

Definicion 2. Un angulo es la abertura formada por dos semirrectas conun mismo origen llamado vertice. La bisectriz de un angulo es la semirectaque tiene como origen el vertice del angulo y divide a este en dos angulosiguales.

A

B

C

Dos angulos son complementarios y cada uno es el complemento delotro cuando su suma es igual a 90◦.

Dos angulos x y z son suplementarios si y solo si su suma es igual ax+ z = 180◦. Diremos que cada uno es el suplemento del otro.

Decimos que dos angulos son adyacentes cuando tienen un mismo verti-ce, un lado comun y son exteriores el uno al otro. En el caso particular deuna pareja de angulos adyacentes x y z subtendidos por una recta a la cualpertenece el vertice comun, ellos seran suplementarios.

zx

Si una pareja de angulos suplementrios son iguales entonces necesaria-mente tienen que medir 90◦, en este caso diremos que cada uno de ellos esun angulo recto, ademas las rectas que generan a estos angulos son per-pendiculares.

Dos angulos son opuestos por el vertice cuando los lados de uno sonlas prolongaciones de los del otro.

Cuando una recta se interseca con otra diferente se forman dos parejas deangulos opuestos iguales. En un sistema de dos rectas cortadas por una se-cante o transversal, se pueden clasificar los angulos de acuerdo a la posicionque ocupan con respecto a los sistemas adyacentes.

s

t u

v

w

x y

z

2.2. PARTE 1 23

Correspondientess, wt, xu, yv, z

Alternos Colateralest, zu, w

t, wu, z

Internos

s, yv, x

s, xv, y

Externos

Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son paralelas si no secortan.

Propiedad 1. En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por unasecante tenemos:

1. Los angulos correspondientes son iguales.

2. Los angulos alternos son iguales.

3. Los angulos colaterales son suplementarios.

Observacion. La propiedad inversa tambien es cierta, es decir, si en unsistema de rectas, cortadas por una secante, se cumple algunas de las rela-ciones establecidas anteriormente, entonces esas dos rectas son paralelas.

Angulos en triangulos

Denotaremos por △ABC al triangulo determinado por sus tres vertices A, By C no colineales.

Definicion 3. Un triangulo que tiene sus tres angulos interiores agudos, esdecir menores de 90◦, se llama acutangulo.

Un triangulo rectangulo es aquel que tiene un angulo interior recto, esdecir, de 90◦.

Un triangulo que tiene un angulo obtuso, es decir mayor de 90◦, se llamaobtusangulo.

Un triangulo que tiene dos de sus lados iguales se llama isosceles.Un triangulo que tiene sus tres lados iguales se llama equilatero y es un

caso particular de un triangulo isosceles.Un triangulo que no tiene ningun par de lados iguales se llama escaleno.

Ejemplo 2.1. La suma de los tres angulos interiores de cualquier trianguloes igual a 180◦.

Para verificar esto, consideremos △ABC un triangulo cualquiera. Trace-mos una recta paralela al segmento BC que pase por A.

A

B C

w

y

x

u

z


Sabemos que w + x + u = 180◦. Ademas tenemos w = y por ser angulosalternos internos y, por la misma razon, u = z. Sustituyendo los valores de wy u en la primera relacion, obtenemos el resultado.

Un angulo exterior de un triangulo es el formado por un lado del trianguloy la prolongacion de otro.

Ejemplo 2.2. A partir de lo anterior se puede ver que, en todo triangulo,cada angulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le sonadyacentes, es decir, los que le son opuestos. Ademas de que la suma de lostres angulos exteriores (uno en cada vertice) de cualquier triangulo es igual a360◦.

Para verificar lo anterior, consideremos un triangulo cualquiera △ABC.Sea w el angulo exterior en el vertice B. Sabemos que x + y + z = 180◦; ycomo w + y = 180◦, entonces

w = x+ z.

A

B

Cy

x

zw

v

u

Sean los angulos exteriores v, w y u, en los vertices A, B y C respectiva-mente. Tenemos las siguientes identidades

v = y + z,w = x+ z,u = x+ y,

de esta manera

v + w + u = 2(x+ y + z) = 360◦.

Ejercicios faciles

1. Si el angulo suplementario a un angulo x mide 5x, ¿cual es el valor dex?

2. Si el angulo complementario de x es 25x, ¿cual es el valor de x?

3. Encontrar dos angulos suplementarios cuya diferencia sea 25◦.

4. ¿Cuanto mide el angulo x si las rectas horizontales son paralelas?

2.2. PARTE 1 25

120◦

60◦

x

Ejercicios de dificultad intermedia

5. ¿Cuanto mide el angulo x en la figura?

140◦

140◦

x

140◦

6. ¿Cuanto suman los angulos marcados en la siguiente figura?

x

y

zu

v

w

7. Si un triangulo tiene un angulo interior igual a x y dos angulos exterioresiguales a 2x y 3x, correspondientes a vertices distintos, determinar elvalor de los angulos interiores del triangulo.

8. a) ¿Cuanto vale la suma de los angulos interiores de un cuadrilatero?

b) ¿Cuanto vale la suma de los angulos interiores de un polıgono con-vexo de n lados?

c) Encontrar una formula para determinar el valor de cada uno de losangulos interiores de un polıgono regular de n lados.

Observacion. Un polıgolo regular es un polıgono con todos suslados y angulos interiores iguales


Ejercicios de dificultad alta

9. En la figura de abajo los dos triangulos son equilateros. ¿Cual es lamedida de x?

65◦

x

75◦

10. Los puntos A, B, C, D, E, F y G son los vertices de un heptagonoregular, colocados en el sentido de las manecillas del reloj, FE y BC seprolongan hasta cortarse en el punto P . ¿Cuanto vale el angulo !CPE?

2.2.2. Teorema de Thales

El area de un triangulo △ABC esta determinada por las medidas de su basey altura:

(△ABC) =Base · Altura

2.

Observacion. Observemos que para triangulos diferentes, no importacuanto midan los otros lados, mientras la base y la altura permanezcan igua-les, las areas seran las mismas.

Ejemplo 2.3. A partir de la formula del area, es posible verificar que, si dostriangulos tienen un par de bases iguales, entonces la razon entre sus areases igual a la razon entre las alturas correspondientes. Pues si consideramoslos triangulos △A1B1C1 y △A2B2C2, con bases B1C1 y B2C2, y alturas h1 yh2, respectivamente; entonces, asumiendo que B1C1 = B2C2, tenemos

(△A1B1C1)

(△A2B2C2)=

B1C1 · h1

2B2C2 · h2

2

=h1

h2.

Observacion. Observemos que tenemos un resultado parecido cuandohay bases iguales; es decir, si dos triangulos tienen un par de alturas igua-les, entonces la razon entre sus areas es igual a la razon entre las basescorrespondientes.

Teorema 1 (Primer Teorema de Thales). Si una recta paralela a unode los lados de un triangulo corta a los otros lados, entonces los segmentosformados son proporcionales.

2.2. PARTE 1 27

A

B C

D E

Lo que nos dice este resultado es que para un triangulo cualquiera △ABC, siD y E son puntos en AB y AC, respectivamente, tales que DE es paralelo aBC, entonces se cumple

AD

DB=

AE

EC.

Demostracion. Consideremos un triangulo △ABC, en donde D y E sonpuntos en AB y AC respectivamente, tales que DE es paralelo a BC. De-mostraremos que AD

DB = AEEC .

Como DE es paralelo a BC, entonces los triangulos △BED y △CEDtienen la misma altura respecto a la base comun DE, por lo que su area es lamisma.

(△BED) = (△CED).

Como las parejas de triangulos correspondientes tienen las mismas alturas,tenemos que

AD

DB=

(△ADE)

(△BED)=

(△ADE)

(△CED)=

AE

EC.

Observacion. Es posible probar que bajo las hipotesis del teorema, tam-bien se cumplen las siguientes relaciones:

AB

DB=

AC

EC,

AB

AD=

AC

AE.

Ademas, la implicacion inversa tambien es cierta, es decir, si una rectadivide dos lados de un triangulo en partes proporcionales, entonces tal rectaes paralela al tercer lado.

Teorema 2 (Segundo Teorema de Thales). Si tres o mas paralelasson cortadas por cualesquiera dos transversales, entonces los respectivossegmentos que las paralelas determinan en estas ultimas rectas son propor-cionales.


A

B

GC

D

E

En este caso, si AD, BE y CG son paralelas, entonces se cumplen las si-guientes condiciones:

AB

BC=

DE

EG,

AC

BC=

DG

EG,

AC

AB=

DG

DE.

Ejercicios faciles

1. Sea O la interseccion de las diagonales de un cuadrado ABCD de area5. Si se coloca un punto E de tal forma que AODE forma un cuadrado,¿cuanto vale el area de △ACE?

2. Sean D y E puntos en los lados AB y AC de △ABC, tales que DEparalela a BC y divide a lado AB en razon 1

2 . Si AE = 3, ¿cual es elvalor de EC?


3. Considera un punto P en el interior de un triangulo △ABC de area 10,de tal forma que la distancia de P a cada uno de los lados de △ABC esigual a 2. Determina el perımetro de △ABC.

4. Si en un triangulo rectangulo dos lıneas rectas paralelas a uno de los ca-tetos dividen a la hipotenusa en tres partes iguales y el triangulo originaltiene area igual a 1, determinar el area de los triangulos formados.


5. Demostrar el Segundo Teorema de Thales (Teorema 2).

6. Sea △ABC un triangulo en donde FG ∥ DE ∥ BC (es decir FG,DE yBC son paralelos entre sı) y HG ∥ FE ∥ DC (es decir HG,FE y DCson paralelos entre sı) como en la figura.

a) Si AF = 4 y FD = 6, encontrar DB.

b) Si AH = 2 y HF = 4, encontrar DB.

2.3. PARTE 2 29

A

B C

D

E

FG

H

2.3. Parte 2

2.3.1. Semejanza de triangulos

Congruencia

Definicion 4. Dos triangulos △A1B1C1 y △A2B2C2 se llaman congruen-tes o iguales si y solo si tanto sus lados como sus angulos correspondientesson iguales, es decir:

A1B1 = A2B2,B1C1 = B2C2,A1C1 = A2C2,!A1 = !A2,!B1 = !B2,!C1 = !C2.

A1

B1 C1

A2

B2 C2

Para indicar que los triangulos △A1B1C1 y △A2B2C2 son congruentes, loharemos de la siguiente manera

△A1B1C1 ≃ △A2B2C2.

Propiedad 2 (Criterios de Congruencia). Es suficiente que se cumplauna de las siguientes tres condiciones, para que △A1B1C1 ≃ △A2B2C2:

(ALA) Dos angulos iguales e igual la pareja de lados comprendidos entrelos angulos, por ejemplo:

!A1 = !A2, A1B1 = A2B2 y !B1 = !B2.


(LAL) Dos parejas de lados iguales e igual el angulo comprendido entreellos, por ejemplo:

A1B1 = A2B2,!B1 = !B2 y B1C1 = B2C2.

(LLL) Las tres parejas de lados iguales:

A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2 y A1C1 = A2C2.

Ejemplo 2.4. Un hexagono regular ABCDEF tiene area 24 cm2 y estainscrito el un triangulo equilatero △GHI como en la figura. Calcula el area de△GHI.

A B

C

DE

F

G

H I

Solucion. Las diagonales AD, BE y CF dividen al hexagono en seistriangulos que son congruentes, por el criterio ALA, a los triangulos △AFH ,△BIC y △DEG. Por lo que cada uno de estos triangulitos tiene area 4 cm2.Por lo tanto el area buscada es

(△GHI) = 24 cm2 +3 · 4 cm2 = 36 cm2 .

A B

C

DE

F

G

H I

Ejemplo 2.5. Utilizando la congruencia de triangulos, se puede verificarque si un triangulo es isosceles (tiene dos de sus lados iguales), entoncestiene dos angulos iguales, los angulos opuestos a dichos lados.

Consideremos un triangulo △ABC tal que AB = AC. Sea P un punto enBC tal que !BAP = !PAC (es decir AP es la bisectriz de !BAC).

Por el criterio LAL tenemos que

△BAP ≃ △CAP

2.3. PARTE 2 31

de donde, en particular, se cumple

!ABP = !ACP.

Observemos que el segmento AP es, simultaneamente, bisectriz, altura,mediana y mediatriz.

Observacion. Es importante que las condiciones se satisfagan como elcriterio lo indica, pues es comun caer en errores al verificarlas pero no en elorden requerido. Por ejemplo, en el caso de la figura, tenemos que AC = AC′

por lo que los triangulos △ABC y △A′BC tendrıan un angulo y dos ladosiguales; sin embargo ellos no son necesariamente congruentes. Lo anteriorno es un contraejemplo para el criterio LAL, pues este requiere que el anguloigual este comprendido entre los los lados iguales, lo cual no sucede en estecaso.

A

B C

A′

Semejanza

Definicion 5. Dos triangulos △A1B1C1 y △A2B2C2 son semejantes si ysolo si los angulos correspondientes son iguales y los lados correspondientesson proporcionales, es decir, si cumplen las siguientes relaciones:

!A1 = !A2,!B1 = !B2,!C1 = !C2,

A1B1

A2B2= B1C1

B2C2= A1C1

A2C2.

B1 C2

A1

C1 B2

A2

Para indicar que los triangulos △A1B1C1 y △A2B2C2 son semejantes, lo ha-remos de la siguiente manera:

△A1B1C1 ∼ △A2B2C2.


Propiedad 3 (Criterios de Semejanza). Es suficiente que se cumplauna de las tres condiciones siguientes, para que △A1B1C1 ∼ △A2B2C2:

(AA) Dos angulos iguales, por ejemplo

!A1 = !A2 y !B1 = !B2.

(LAL) Dos parejas de lados proporcionales e igual el angulo comprendidoentre ellos, por ejemplo:

A1B1

A2B2=

B1C1

B2C2y !B1 = !B2.

(LLL) Las tres parejas de lados proporcionales:

A1B1

A2B2=

B1C1

B2C2=

A1C1

A2C2.

Ejemplo 2.6. Podemos aplicar directamente los criterios de semejanza pa-ra ver que el segmento que une los puntos medios de cualesquiera dos ladosde un triangulo arbitrario mide la mitad del tercer lado y es paralelo a dicholado.

Sea △ABC un triangulo cualquiera con F y E puntos medios de AB y ACrespectivamente. Tenemos que demostrar que FE = 1

2BC, y que FE y BCson paralelos.

Como !BAC = !FAE y AFAB = 1

2 = AEAC , entonces por el criterio LAL,

△ABC ∼ △AFE. Por lo tanto todos sus lados son proporcionales y ası

FE

BC=

AF

AB=

1

2,

ademas los angulos correspondientes son iguales, por lo que tenemos

!AFE = !ABC.

De donde DE y BC son paralelos, por el Teorema de Thales.

A

B CD

EF

El triangulo formado por los puntos medios de los lados de un triangulodado se llama el triangulo medial.

Observacion. Es posible probar que el triangulo medial de cualquiertriangulo es siempre semejante a este y su area es una cuarta parte del areadel triangulo original.

2.3. PARTE 2 33

Ejemplo 2.7. Utilizando los criterios de semejanza podemos ver que laaltura trazada desde el vertice correspondiente al angulo recto en un triangulorectangulo divide a este en dos triangulos semejantes al original.

Sea △ABC un triangulo rectangulo en donde !BAC = 90◦. Sea D el piede la altura que pasa por A en el lado BC.

A

B CD

Tenemos que!BAD = 90◦ − !DBA = !ACD

y como !CDA = 90◦ = !ADB, por el criterio AA tenemos que

△DAC ∼ △ABC ∼ △DBA.

Ejemplo 2.8. (Teorema de Pitagoras) Lo demostrado anteriormente impli-ca que en todo triangulo rectangulo el cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos; es decir, si △ABC es un triangulorectangulo con angulo recto en A, entonces

BC2 = AB2 +AC2.

Consideremos un triangulo rectangulo △ABC, con angulo recto en A. SiD es el pie de la altura que pasa por A, tenemos que △DAC ∼ △ABC ∼△DBA y, por lo tanto,

AC

BC=

DC

AC,

AB

BC=

BD

AB.

Utilizando estas relaciones tenemos

AB2 +AC2 = BC · BD +BC ·DC

= BC(BD +DC)

= BC2.

Ejemplo 2.9. Consideremos la figura del Ejemplo 2.7, en donde △ABCes un triangulo rectangulo con !BAC = 90◦ y D es el pie de la altura quepasa por A en el lado BC. Si AD = 3 y AC = 5, calcula el valor del area de△ABD.


Solucion. Por el Teorema de Pitagoras, para el triangulo rectangulo △ADC,tenemos que

DC =√

AC2 −AD2 =√25− 9 = 4.

Ademas, por lo visto en el Ejemplo 2.7, los triangulos △BDA y △ADC sonsemejantes, de donde

AB

5=

3

4.

Se sigue que AB = 154 . Finalmente tenemos

(△ABD) = (△ABC)− (△ADC) =15

4·5

2−

4 · 32

=27

8.

Ejercicios faciles

1. Si en un triangulo isosceles, uno de los angulos interiores iguales mide42◦, ¿cuanto miden los otros angulos interiores?

2. En un cuadrado ABCD el punto M es el punto medio de AB. Sean Py Q puntos en BC y AD, tales que !AMQ = 30◦ y !PMQ = 120◦. SiMP = 2, determina el valor de MQ.

3. Sea P un punto en el lado BC de △ABC, tal que AP biseca al angulo!BAC y es perpendicular a BC. Demuestra que △ABC es isosceles.


4. Si un triangulo equilatero tiene un vertice en el centro O de un hexagonoregular de area 24, determina el area de la region sombreada.

O

5. Con los vertices y los puntos medios de un triangulo se forman trestrapecios cuyos perımetros suman 20. Calcula el perımetro del triangulo.

2.3. PARTE 2 35

6. Si la altura trazada desde el vertice correspondiente al angulo recto,en un triangulo rectangulo, corta a la hipotenusa en dos segmentos detamanos 2 y 8, encontrar el area del triangulo.

7. Probar que el triangulo medial de cualquier triangulo es siempre seme-jante a este y su area es una cuarta parte del area del triangulo original.

8. Sea E un punto en la diagonal BD de un cuadrado ABCD tal que BE =BC y sea F en CD tal que EF perpendicular a BD, demostrar queDE = EF = FC.

9. En la figura, los segmentos AB, A1B1, A2B2, A3B3 son paralelos. SiBB1 = B1B2 = B2B3 = B3C = AB = 2, encontrar el valor de la sumaAB +A1B1 +A2B2 +A3B3.

B CB2B1 B3

A

A1

A2

A3


10. En un rectangulo ABCD, M y N son los puntos medios de BC y CD,P es la interseccion de DM y BN . Probar que los angulos !MAN y!BPM son iguales.


11. Considerando que los puntos H y G en AC son tales que AH = HG =GC y que F es un punto en AB tal que BF es un tercio de AB, deter-minar el area del cuadrilatero BGHF , si el area de △ABC es 1.

A

B C

F G

H

12. Sea ABCD un cuadrado. Por el vertice A se traza una lınea que inter-secta a la extension del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonalBD en G. Si AG = 3 y GF = 1, encontrar la longitud de FE.

2.4. Parte 3

2.4.1. Paralelogramos

Definicion 6. Un paralelogramo es un cuadrilatero en el que cada ladoes paralelo a su opuesto.

Consideremos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BCson paralelos a CD y AD, respectivamente.

Si trazamos la diagonal BD obtenemos dos triangulos, a saber △ABD y△BCD.

A

B C

D

x

y

z

w

Como BC es paralelo a AD entonces y = z. Por otra parte, ya que AB y DCson paralelos, x = w. Y como ademas el lado BD es compartido por ambostriangulos, por el criterio ALA, tenemos △ABC ≃ △ACD. Podemos concluirque BC = AD y AB = CD. Ademas tambien tenemos que !A = !C y!B = x+ z = w + y = !D.

2.4. PARTE 3 37

Considerando que los angulos adyacentes en el paralelogramo son angu-los colaterales internos en un sistema de rectas paralelas cortadas por unasecante, entonces son angulos suplementarios.

Podemos concluir que los paralelogramos tienen las siguientes propieda-des

Propiedad 4. En todo paralelogramo se cumplen las siguientes afirmacio-nes:

1. Los lados opuestos son iguales.

2. Los angulos opuestos son iguales.

3. Los angulos consecutivos son suplementarios.

Por otro lado, si E el punto de interseccion de las diagonales AC y BD.

A

B C

D

w

E

x

yz

Como AB es paralelo a CD entonces x = z y y = w. Ademas, por el primerinciso, AB = CD. Luego, por el criterio ALA tenemos que △ABE ≃ △CDE.De aquı AE = CE y BE = DE.

Propiedad 5. En todo paralelogramo, las diagonales se cortan en su puntomedio.

Ejemplo 2.10. Sea ABCD un rectangulo de area igual a 12 cm2 y sea E lainterseccion de sus diagonales. Si una recta que pasa por E corta a los ladosAD y BC en los puntos F y G, respectivamente, calcula el area sombreada.

A B

CD

EF

G


Solucion. Como AD y BC son paralelas, entonces !FDE = !GBE.Por otro lado, al ser opuestos por el vertice, !FED = !GEB. Como E esel punto medio de BD, por el criterio ALA, entonces △FDE y △GBE soncongruentes; por lo que tienen areas iguales. Concluimos que

(△AEF ) + (△GEB) = (△AEF ) + (△FED)

= (△AED)

=1

4(ABCD)

= 3 cm2 .

El lector debe argumentar la validez de la ultima igualdad.

Ejemplo 2.11 (Teorema de Varignon). Probar que los puntos me-dios de los lados de un cuadrilatero convexo determinan un paralelogramo.Ademas, probar que el perımetro del paralelogramo es igual a la suma delas longitudes de las diagonales y su area es igual a la mitad del area delcuadrilatero.

A

B C

D

E

F

G

H

Solucion. Sea ABCD un cuadrilatero y sean E, F , G y H los puntosmedios de los lados BC, CD, DA y AB, respectivamente.

Considerando los triangulos △ABC y △CDA, tenemos que EH , AC yFG son paralelos y ademas

EH =1

2AC = FG.

De manera semejante podemos probrar que EF , BD y HG son paralelos yEF = 1

2BD = HG. Se sigue que EFGH es un paralelogramo.De lo anterior tenemos ademas que el perımetro del paralelogramo EFGH

es

EF + FG+GH + EH =1

2BD +

1

2AC +

1

2BD +

1

2AC

= AC +BD.

Finalmente el area del paralelogramo sera igual al area del cuadrilateroABDC menos el area de los triangulos △AHG, △BEH , △CFE y △DGF ,

2.4. PARTE 3 39

esto es

(EFGH)

= (ABCD)− {(△AHG) + (△BEH) + (△CFE) + (△DGF )}

= (ABCD)−1

4{(△ABD) + (△BCA) + (△CDB) + (△DAC)}

= (ABCD)−1

4{2 (ABCD)}

=1

2(ABCD) .

Ejercicios faciles

1. Desde un punto interior de un rectangulo las distancias a tres de susvertices son 2, 2 y 3 respectivamente, determinar la distancia del puntoal cuarto vertice.

2. Encontrar el area del cuadrilatero SPQR, con vertices en los lados delparalelogramo ABCD de area 10, sabiendo que SQ es paralelo a BC

B C

A D

P

R

S Q

3. Considera un paralelogramo ABCD con base BC = 6 y altura 2. Si elarea sombreada es el doble del area de △EFA, determina al valor deEF .

A

B C

D

E F


4. Sea ABCD un paralelogramo en donde AB = CD = 2 y BD = 9. SeanL y M puntos en AB y CD, respectivamente, tales que AL = LB =CM = MD = 1. Si los segmentos LC y AM dividen la diagonal BD


en los puntos P y Q respectivamente, determinar las medidas de lossegmentos BP , PQ y QD.

5. En un paralelogramo ABCD se tiene que AB = 2AD y que !BAD =50◦. Si E es el punto medio de AB, ¿cual es el valor de !DEC?

6. Dado un cuadrilatero convexo ABCD de area 5, se construye el parale-logramo ABDE. ¿Cual es el area de △ACE?


7. En un paralelogramo ABCD sea O la interseccion de las diagonalesAC y BD. Sean E y F las intersecciones de AB y CD con una paralelaa AD que pasa por O. Sean P y Q las intersecciones de la extension deAD con EC y BF , respectivamente. Si AD = 1 determinar la longitudde PQ.

8. En el paralelogramo ABCD, AR = CP y BS = DQ. Demostrar quePQRS tambien es un paralelogramo.

B C

A D

P

R

S

Q

9. (Ley del Paralelogramo) Probar que la suma de los cuadrados de loscuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadradosde las diagonales. Es decir, si ABCD es un paralelogramo, entonces

AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2.

2.5. Material extra

2.5.1. Puntos y rectas en los triangulos

En todo triangulo hay algunos segmentos de lınea que se destacan:

Una mediana es un segmento trazado del punto medio de un lado alvertice opuesto.

Una altura es un segmento perpendicular a un lado o a su prolongacionque va al vertice opuesto.

La bisectriz de un angulo es la recta que lo divide en dos angulos igua-les. En particular, una bisectriz en un triangulo es una lınea que sale deun vertice y divide al angulo interior en dos partes iguales.

2.5. MATERIAL EXTRA 41

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medioy es perpendicular a dicho segmento. En particular, una mediatriz enun triangulo es una lınea que pasa por el punto medio de un lado y esperpendicular a el.

Propiedad 6. Un triangulo es isosceles si y solo si una misma lınea hacetodas las funciones de: mediana, altura, mediatriz y bisectriz; correspondienteal vertice entre los lados iguales.

Ejemplo 2.12. Sea △ABC un triangulo cualquiera, sea P un punto en BCtal que AP es bisectriz de △ABC. Si Q es la interseccion de la prolongacionde BA con una paralela a AP que pase por C, probar que △ACQ es isoscelescon AC = AQ

Solucion. Como PA y CQ paralelas, entonces

!BAP = !AQC,

!PAC = !ACQ.

A

B C

Q

P

Como ademas !BAP = !PAC, por ser AD bisectriz del angulo !BAC,entonces !ACQ = !AQC.

Como en △ACQ hay dos angulos iguales, entonces el triangulo es isosce-les con AC = AQ.

Observacion. Observemos que si utilizamos el Teorema de Thales en△BCQ, como PA es paralela a CQ, entonces

BP

PC=

BA

AQ

Sustituyendo AQ por AC tenemos que BPPC

= ABAC

.Lo anterior demuestra el siguiente resultado.

Teorema 3 (Teorema de la Bisectriz). La bisectriz de cualquier angulointerior de un triangulo determina, en el lado opuesto, dos segmentos propor-cionales a los respectivos lados que forman el angulo considerado. Es decir,si en △ABC la bisectriz del angulo !BAC corta a BC en un punto P interiordel segmento, entonces

BP

PC=

AB

AC.


La distancia de un punto a una recta es la magnitud del segmento de-terminado por el punto y el pie del punto en la recta.

Propiedad 7. En un triangulo cualquiera se cumplen las siguientes propie-dades para

Cualquier pareja de medianas se cortan en un tercio de su longitud.

El lugar geometrico de todos los puntos del plano que equidistan decada lado de un angulo fijo es la bisectriz del angulo.

El lugar geometrico de todos los puntos del plano que equidistan de dospuntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano es la mediatriz delsegmento determinado por estos puntos.

Cuando un conjunto de rectas se intersecan en un solo punto decimos queson concurrentes.

Propiedad 8. Para un triangulo cualquiera se cumplen las siguientes pro-piedades:

Las tres medianas son concurrentes.

Las bisectrices de los tres angulos interiores son concurrentes.

Las tres mediatrices son concurrentes.

Las tres alturas son concurrentes.

Al punto de interseccion G de las tres medianas de un triangulo △ABC lellamaremos gravicentro. Este punto tambien es conocido como centroide,baricentro o centro de gravedad.

Al punto I en donde concurren las tres bisectrices de un triangulo △ABCle llamaremos incentro, que es el centro de la circunferencia tangente inte-riormente a cada uno de los lados de △ABC; dicha circunferencia se llama elincırculo de △ABC y el radio de dicha circunferencia se llama el inradio.

El punto O en donde se intersecan las mediatrices de un triangulo △ABCle llamaremos circuncentro, que es el centro de la circunferencia que pasapor los tres vertices de △ABC; dicha circunferencia se llama el circuncırculode △ABC y el radio de dicha circunferencia se llama el circunradio.

El punto H en donde concurren las tres alturas de un triangulo △ABC lellamaremos ortocentro.

Ejercicios faciles

1. Sea △ABC un triangulo isosceles con AB = AC. Sean D y E puntos enAC y AB tales que BD y CE son bisectrices de los angulos interioresen los vertices B y C, respectivamente. Si P es la interseccion de BDcon CE y !BAC = 40◦, ¿cual es el valor de !DPE?

2. Sea △ABC un triangulo cualquiera. Sean P , Q y R los puntos mediosde los lados AB, BC y AC, respectivamente. Si BC = 4 y S el punto deinterseccion de la bisectriz de !PRQ con AB (o su extension) determinael valor de PS.

2.6. SUGERENCIAS A LOS EJERCICIOS 43


3. Sea M el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectangulo△ABC, con angulo recto en B. Si AC = 2, ¿cual es el valor de MB?

4. Un triangulo equilatero △ABC tiene area 12. Si E y F son los puntosmedios de los lados AB y BC, respectivamente, y D es la interseccionde las alturas, encuentra el valor del area del cuadrilatero AEGD.

A B

C

D

E

F

G


5. Si una lınea desde el vertice C de un triangulo △ABC bisecta la media-na trazada desde A. Probar que esa lınea divide el lado AB en la razon1/2.

6. Considerar un triangulo arbitrario △ABC y D la interseccion de la bi-sectriz del angulo interior en C con la bisectriz del angulo exterior en B.Sean E y F las intersecciones de AB y AC respectivamente con unarecta paralela a BC que pasa por D. Si BE = 2 y CF = 3, determinarla longitud de EF .

7. Considerar un triangulo arbitrario △ABC. Demostrar que la bisectriz delangulo interior en A pasa por el punto de interseccion de las bisectricesde los angulos exteriores de los vertices B y C.

8. En un rectangulo ABCD, el punto medio del lado CD es F y E es elpunto del lado BC tal que AF es bisectriz del angulo !EAD. Demostrarque AF es perpendicular a EF .

2.6. Sugerencias a los ejercicios

A continuacion se presentan sugerencias para resolver los ejercicios de difi-cultad intermedia y alta, de cada una de las secciones.


Sugerencias a los ejercicios de angulos

5. Prolongar las lıneas para formar triangulos. Determinar los angulos in-teriores de los triangulos formados.

6. Considerar que los angulos interiores que no estan marcados de lostriangulos cumplen una condicion particular, ¿cual es?

7. Considerar los angulos suplementarios de los angulos exteriores.

8. Dividir los polıgonos en triangulos.

9. Considerar que los angulos interiores de los triangulos equilateros mide60◦. Considerar los angulos suplementarios.

10. Extender las lıneas para formar triangulos. Considerar la medida (cono-cida) de los angulos interiores de un heptagono.

Sugerencias a los ejercicios de Teorema de Thales

3. Considera que el area de △ABC es igual a la suma de las areas de lostrıangulos △ABP , △BPC y △CPA.

4. Determinar la proporcion de base y altura originales para los triangulosformados utilizando el Teorema de Thales.

5. Trazar el segmento AG, para obtener dos triangulos. Utilizar el PrimerTeorema de Thales.

6. Utilizar el Teorema de Thales para determinar la proporcion AEEC

. Utilizarla idea del primer inciso, para aplicarla dos veces en el segundo inciso.

Sugerencias a los ejercicios de semejanza de triangulos

4. Considera el area del triangulo determinado por dos vertices consecuti-vos del hexagono y su centro.

5. Para cada trapecio determina la medida de la base menor en terminosde la base mayor. Expresa la suma de los perımetros de los trapeciosen terminos de los lados del triangulo.

6. Recordar que los triangulos formados son semejantes.

7. Utilizar el hecho de que la lınea que une los puntos medios de dos ladosde un triangulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad.

8. Trazar el segmento BF . ¿Que ocurre con los triangulos formados?

9. Considerar que los triangulos formados son semejantes, ¿por que?

10. Trazar la recta que va de B al punto medio de AD. Que relacion guardacon DM . Observar que se realizo una construccion simetrica.

2.6. SUGERENCIAS A LOS EJERCICIOS 45

11. Observar que el area buscada es la resta de las areas de △ABG y△AFH . Determinar las bases y alturas de dichos triangulos como pro-porcion de las medidas del triangulo original.

12. Considerar la semejanza entre los triangulos formados. Asignar varia-bles a los segmentos de interes y encontrar las razones de semejanzaque intervienen entre los segmentos conocidos.

Sugerencias a los ejercicios de paralelogramos

4. Observar que se forman triangulos congruentes, los cuales tienen ladosy angulos iguales. Probar que LC y AM dividen la diagonal BD en trespartes iguales.

5. Observar que △AED y △BCE son triangulos isosceles, ¿por que?

6. Observar que el area de ABCD es igual a la suma de las areas de lostriangulos △ABD y △BDC.

7. Probar que E es el punto medio de CP . Observar que EO une los pun-tos medios de dos lados de △ACP .

8. Probar que se forman dos parejas de triangulos congruentes, que enconsecuencia tienen angulos iguales.

9. Utilizar el Teorema de Pitagoras

Sugerencias a los ejercicios de puntos y rectas en los triangu-los

3. Considera la mediatriz de BC, ¿por que pasa por M?, demuestra que△BCM es isosceles.

4. Calcula area determinada por los triangulos formados por los vertices yel punto D. Considera el triangulo medial y replica la informacion ante-rior.

5. Trazar una recta que pasa por el punto medio de BC que sea paralelaa la que pasa C. Considerar su interseccion con el lado AB.

6. Observar que △BED es isosceles, ¿por que?. A partir de la informacionanterior, podemos obtener el valor de DE. Encontrar el valor buscadoutilizando que EF = DF −DE.

7. Utilizar el hecho de que la bisectriz de un angulo es el lugar geometricode los puntos que equidistan de los lados del angulo.

8. Si G es el punto de interseccion de las extensiones de EF con AD,entonces △ECF y △GDF son congruentes, por lo que EF = F . Luego,por el Teorema de la Bisectriz, se puede probar que △AEG es isoscelescon AE = AG. Concluimos que AF tambien es altura de △AEG.


Referencias

BULAJICH MANFRINO, R. y J. A. Gomez Ortega. Geometrıa. Cuadernos deolimpiadas de matematicas. Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2002.

——. Geometrıa. Ejercicios y problemas. Cuadernos de olimpiadas de ma-tematicas. Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2002.

COXETER, H. S. M. and S. L. Greitzer. Geometry Revisited. The MathematicalAssociation of America, Washington, D. C., 1967.

PEREZ SEGUI M. L., Matematicas preolımpicas. Cuadernos de olimpiadasde matematicas. Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2008.

POGORELOV, A. V. Geometrıa elemental. Instituto Politecnico Nacional, Mexi-co, 1998.

SHIVELY, L. S. Introduccion a la geometrıa moderna. Companıa Editorial Con-tinental, Mexico, 1963.

WENTWORTH, J. y D. E. Smith. Geometrıa plana y del espacio. Editorial Porrua,Mexico, 2000.

Capıtulo 3

Tecnicas elementales deconteo

EJEAnalisis de Datos

Temas:Probabilidad


1◦Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para unacercamiento a la probabilidad frecuencial.

2◦Calcula la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamenteexcluyentes.

3.1. Introduccion

Desde tiempos inmemorables ha sido de interes para las personas saber lacantidad de objetos que pertenecen a algun conjunto; como por ejemplo, lacantidad de ovejas de algun rebano, el numero de las personas integrantes dedeterminado grupo, o algo mas sofisticado como la probabilidad de obtenerun par de ases en una seleccion de cinco cartas de una baraja. Algunasveces basta con echar un vistazo para realizar la actividad de contar, pero lamayorıa de las veces se requiere de hacer algun tipo de abstraccion o conocertecnicas para contar de manera eficiente. Por ejemplo, si nos piden contar elnumero de patas de una manada de mil ovejas, no es necesario visitar algunagraja y contar cada una de las patas de dichas ovejas, simplemente hacemosuna abstraccion y multiplicamos 4× 1 000 = 4 000.

En otras ocasiones estamos interesados, por ejemplo, en conocer la pro-babilidad de obtener dos ases de una seleccion cinco cartas de una barajainglesa, donde sabemos que obtener una mano de cinco cartas es igualmen-te probablable. Para ello, requerimos saber el numero de resultados posiblesy el numero de resultado favorables, lo cual implica saber contar correcta-mente, por lo que debemos conocer algunas tecnicas de conteo que veremosposteriormente.

47

48 CAPITULO 3. TECNICAS ELEMENTALES DE CONTEO

Es necesario, para empezar a contar, conocer dos principios basicos deconteo que a continuacion se detallaran:

3.2. Parte 1

3.2.1. El principio fundamental de conteo

Es necesario, para empezar a contar, conocer dos principios basicos de con-teo que a continuacion se detallaran:

Ejemplo 3.1. Comencemos suponiendo que deseamos escoger un librode entre cuatro materias: matematicas, fısica, biologıa y quımica. Existen seislibros de matematicas, cuatro de fısica, cinco de biologıa y tres de quımica.Entonces tenemos 6 + 4 + 5 + 3 = 18 opciones de seleccionar un libro.

Otro ejemplo sencillo es el siguiente:

Ejemplo 3.2. Juan decide comprar un carro. En Honda le ofrecen tres mo-delos diferentes, en Volkwagen le ofrecen cuatro modelos y en Nissan tresmodelos, ¿Cuantas altenativas diferebntes tiene Juan?La respuesta es 3 + 4 + 3 = 10

Ejemplo 3.3. ¿De cuantas formas se puede viajar de la ciudad A a laciudad B, sabiendo que existen diez corridas de autobus y cuatro vuelos?Para viajar de A a B se puede hacer en autobus o avion, es decir, 10+ 4 = 14

Los tres ejemplos anteriores son un caso particular del principio de adicionque se enuncia a continuacion.

PRINCIPIO ADICION. Si se desea escoger un objeto que puede ser de ktipos distintos, y para el primer tipo existen t1 opciones, para el segundo tipoexisten t2 opciones, y ası sucesivamente hasta tk opciones para el ultimo tipo,entonces el objeto puede escogerse de t1 + t2 + · · ·+ tk maneras.

A continuacion mostraremos dos ejemplos bastante simples como preambu-lo del principio fundamental de conteo que se enunciara posteriormente

Ejemplo 3.4. Consideremos la coleccion de todos los numeros de doscifras tal que el primer dıgito es tres o cuatro y el segundo dıgito es siete,ocho o nueve.Claramente existen seis de estos numeros:

37 38 3947 48 49

Ordenados de esta forma, observamos que cada fila corresponde a la se-leccion del primer dıgito y cada columna a la seleccion del segundo dıgito.Tenemos dos filas y tres columnas, y por lo tanto 2× 3 = 6 posibilidades.

3.2. PARTE 1 49

Ejemplo 3.5. Consideremos la coleccion de todos los numeros de trescifras en los que el primer dıgito sea uno, dos , tres o cuatro, el segundo dıgitocinco o seis y el tercer dıgito siete, ocho o nueve.Los candidatos son los siguientes:

157 158 159 257 258 259 357 358 359 457 458 459167 168 169 267 268 269 367 368 369 467 468 469

Ordenados de esta forma, observamos que cada bloque corresponde a laeleccion del primer dıgito. Dentro de cada bloque, cada fila corresponde a laeleccion del segundo dıgito y cada columna a la eleccion del tercer dıgito. Setienen cuatro bloques, cada uno con dos filas y tres columnas, y por lo tanto4× 2× 3 = 24 posibilidades.

Estos ejemplos son casos de un principio muy simple pero bastante util.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO. Supongamos que una primertarea podemos realizarla de n1 maneras diferentes, un segunda tarea po-demos realizarla de n2 maneras diferentes, y ası sucesivamente, hasta unak− esima tarea que podemos realizar de nk maneras diferentes. Entonces, elnumero de maneras diferentes para que esas k tareas se realicen sucesiva-mente esta dado por n1 × n2 × ...× nk.

Ejemplo 3.6. Consideremos que las placas de control vehicular estan for-madas por tres letras seguidas de tres digitos , tal como ABC012.

(a) Determinar la cantidad total de placas diferentes.Observamos que en cada placa existen 27 opciones para cada letra y10 opciones para cada dıgito. Por lo tanto el total de placas posibles esde 27× 27× 27× 10× 10× 10 = 19 683 000.

(b) Si el primer dıgito se restringe a ser diferente de cero.El total de placas es unicamente 27× 27× 27× 9× 10× 10 = 17 714 700.

(c) Si se requiere que las letras sean distintas y que el primer dıgito seadistinto de cero.La cantidad total es 27× 26× 25× 9× 10× 10 = 15 795 000.

(d) Si se pide que las letras y los dıgitos sean distintos y que el primer dıgitosea diferente de cero.El total es unicamente de 27× 26× 25× 9× 9× 8 = 11 372 400.

Una consecuencia inmediata del principio de conteo es lo siguiente: su-pongamos que debemos llenar n posiciones y cada posicion tiene k opciones,el total de formas es

k × k × . . .× k︸︷︷︸

n

= kn.

Notamos que la expresion anterior es valida solo cuando en cada posiciontenemos la misma cantidad de opciones.


Ejemplo 3.7. Escribimos las letras a, b, c, d, e, f, g y j en tarjetas distintas yluego revolvemos las ocho tarjetas en una bolsa. Deseamos formar palabrasde cuatro letras con esas letras. Extraemos una tarjeta, apuntamos la letra,y la regresamos a la bolsa, repitiendo este proceso cuatro veces. ¿Cuantaspalabras se puede formar?

Las palabras son arreglos de cuatro letras, cada letra la podemos elegirde 8 tipos distintos. Entonces el total de palabras es 8× 8× 8× 8 = 84 = 4 096

3.2.2. Permutacion

De nuevo, iniciamos analizando dos ejemplos sencillos.

Ejemplo 3.8. Supongamos que se deben elegir cinco personas de un gru-po de diez y sentarlos en una fila de izquierda a derecha. Para hacer estoescogemos una a la vez. Ocupamos el asiento mas a la izquierda por cual-quiera de las diez personas, claramente tenemos diez opciones para ocupareste asiento. Una vez hecha esta eleccion, ocupamos el segundo asiento poruna de las nueve personas restantes, de tal modo que existen nueve opcio-nes. Una vez hecha la eleccion, ocupamos el tercer asiento por una de lasocho personas restantes, de tal manera que quedan ocho opciones, y ası su-cesivamente. Naturalmente la cantidad de formas de acomodarlos es iguala

P 105 = 10× 9× 8× 7× 6

︸︷︷︸

5

.

Ejemplo 3.9. ¿De cuantas formas se pueden colocar siete libros sobre unaestanterıa?

P 77 = 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1

︸︷︷︸

7

.

PERMUTACION El numero de maneras de elegir k objetos de un conjuntocon n objetos y arreglarlos en orden es igual a

Pnk = n× (n− 1)× . . .× (n− k + 1)

︸︷︷︸

k

=n!

(n− k)!.

Aquı y en adelante, para cada entero positivo n, el numero n! indica elproducto de los primeros n enteros positivos, es decir, n! = n × (n − 1) ×. . . × 2 × 1. Tambien utilizaremos la convencion de que 0! = 1. En particular,el numero de maneras de elegir n objetos de un conjunto con n objetos yarreglarlos en orden es igual a

Pnn = n× (n− 1)× . . .× 2× 1 = n!.

Ejemplo 3.10. Deseamos conocer la cantidad de numeros de cinco cifrastal que todos los dıgitos son diferentes de cero y al menos un dıgito es uti-lizado mas de una vez. Para hacerlo, lo importante es plantear la siguiente

3.2. PARTE 1 51

estrategıa: el numero deseado es N1 −N2, donde N1 es el total de numerosde cinco cifras en los que todos los dıgitos son distintos de cero y N2 es el to-tal de numeros de cinco cifras donde todos los dıgitos son diferentes de ceroy ningun dıgito se utiliza mas de una vez. Entonces

N1 = 9× 9× 9× 9× 9 = 59 049 y N2 = P 95 = 9× 8× 7× 6× 5 = 15 120,

por consiguiente N1 −N2 = 43 929.

Ejemplo 3.11. Debemos elaborar numeros de cinco cifras tomando losdigitos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, de tal modo que ningun dıgito se utilicemas de una vez.

Si no existen mas restricciones.Claramente se pueden elaborar P 8

5 numeros.

Supongamos que el numero de cinco cifras debe empezar con uno.Entonces existen P 7

4 formas de elegir los cuatro dıgitos restantes.

Supongamos que el numero de cinco cifras debe contener al numerouno.Entonces hay P 5

1 opciones para colocar el dıgito uno. Una vez hechaesta eleccion, existen P 7

4 formas de elegir los cuatro dıgitos restantes.Ası, la cantidad total de maneras de elaborar los numeros es igual aP 51 × P 7

4 .

Supongamos que el numero de cinco cifras debe empezar con el dıgitouno y contener al dos.Entonces existen P 4

1 opciones para colocar el dıgito dos. Una vez hechaesta eleccion, existen P 6

3 formas de elegir los tres dıgitos restantes. Ası,la cantidad total es igual a P 4

1 × P 63 .

Supongamos que el numero de cinco cifras debe contener a los dıgitosuno y dos.Entonces existen P 5

2 opciones para colocar los dıgitos uno y dos. Unavez hecha esta eleccion, existen P 6

3 formas de elegir los tres dıgitosrestantes. Ası, la cantidad total de maneras es igual a P 5

2 × P 63 .

Ejemplo 3.12. Queremos determinar la cantidad de formas de ordenarseis personas en un cırculo. Para hacerlo ponemos seis sillas en un cırculoy la persona A elige una silla. Obviamente no importa que silla escoja. Loque importa es que sillas escogan las demas personas con respecto a la sillaque escogio A. De tal forma que A unicamente tiene una opcion. Ahora lapersona B tiene cinco sillas para escoger y C tiene cuatro sillas entre lascuales elegir, y ası sucesivamente, mientras que la persona F va a tomarla silla que quede. La cantidad total de formas es por lo tanto igual a P 5

5 =120. Alternativamente, elegimos una de las sillas como la primera. Despuesocupamos las sillas en el sentido del reloj. Podemos poner a cualquiera delas seis personas en la primera silla, cualquiera de los cinco restantes en lasegunda silla, y ası sucesivamente. Por lo tanto, existen P 6

6 formas de lograrlo.Notemos que los dos arreglos siguientes son iguales:


A B F AF C E B

E D D C

En efecto, existen otros cuatro arreglos que son iguales a estos dos. Por lotanto, hemos contado cada arreglo diferente 6 veces, de tal forma que elnumero buscado es

1

6× P 6

6 = 120

como antes.

Ejemplo 3.13. Queremos encontrar el numero de palabras que se puedenformar con la letras de la palabra

MATE.

Existen cuatro letras diferentes, entoces para la primera letra tenemos cuatroopciones, tres parqa la segunda, dos para la tercera y una para la ultima, esdecir, P 4

4 = 4! = 4× 3× 2× 1

Ejemplo 3.14. Queremos encontrar el numero de palabras que se puedenformar con la letras de la palabra

MATEMATICA.

Existen tres A, dos M , dos T , una E, una I y una C, lo que es un total de 10 le-tras. Primero, etiquetemos las A y las M y T para que sean distintas, es decir,tenemos el siguiente conjunto de letras {A1, A2, A3,M1,M2, T1, T2, E, I, C}de modo que

M1A1T1EM2A2T2ICA3 y M2A3T2EM1A2T1ICA1

se consideran distintos arreglos. En este caso, existen P 1010 = 10! arreglos. Por

otro lado, las tres diferentes A estan teniendo un concurso privado entre ellaspara ver cual es usada primero, cual en segundo lugar, y ası sucesivamente, ytienen P 3

3 = 3! formas de resolver esto. De manera similar, las dos diferentesM y T tienen P 2

2 = 2! formas de resolver su pequena disputa. Desetiquetan-do las A, las M y las T , observamos que hemos contado de mas, y que lacantidad correcta de formas de arreglar las letras es unicamente

10!

3!2!2!= 151 200.

Permutaciones con objetos similares tomados todos a la vez. Si tenemosk conjuntos ajenos con ni ≥ 0 elementos indistiguibles entre si, de maneraque n1 + n2 + · · ·nk = n y queremos ordenarlos en una fila, esto lo podemoshacer de

n!

n1!n2! · · ·nk!.

3.3. PARTE 2 53

Ejemplo 3.15. El centro de una ciudad forma una cuadrıcula de 4 × 7. Enla esquina inferior izquierda esta la Catedral y en la esquina superior derechaesta el cementerio. ¿De cuantas maneras se puede ir de la Catedral al ce-menterio si unicamente se puede caminar a la derecha y hacia arriba?Notemos que cada camino se recoore en una distancia de 4 + 7 = 11, delos cuales siete segmentos se recorren hacia la derecha y cuatro segmentoshacia la arriba. Entonces podemos identificar cada camino como una pala-bra de once letras donde usamos cuatro A (arriba) y siete D (derecha), porejemplo, un camino lo podemos representar por ADDADAADDDD. Entoncesla solucion es

11!

4!7!= 330.

3.3. Parte 2

3.3.1. Combinacion

Otra vez, empezamos con un ejemplo sencillo.

Ejemplo 3.16. Supongamos que se debe elegir a cinco personas de ungrupo de diez pero sin un orden en particular. Para hacer esto, regresemosprimero al Ejemplo 3.8 en el que cinco personas son elegidas en orden ysentadas de izquierda a derecha. En ese caso, hay P 10

5 opciones. Sin embar-go, si el orden ya no es importante, las cinco personas pueden resolver susdiferencias, y el numero de duplicaciones que resultan en las cinco mismaspersonas es el numero de maneras de elegir a cinco personas en orden, iguala P 5

5 . De aquı que la cantidad de formas de elegir a cinco personas de diezsin orden en particular es igual a

P 105

P 55

=10!

5!5!.

COMBINACION El numero de formas de elegir k objetos de un conjunto den objetos sin un orden en particular es igual a

(n

b

)

=Pnk

P kk

=n!

k!(n− k)!.

Ejemplo 3.17. Consideremos el conjunto S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} de nue-ve letras. Supongamos que queremos escoger cuatro letras de S.

Si no existen restricciones, tenemos(94

)

formas de elegir cuatro letrasde S.

Supongamos que debemos elegir dos vocales y dos consonantes. En-tonces existen

(32

)

formas de escoger las vocales y(62

)

formas de elegirlas constantes. De tal modo que el total de formas de elegirlas es iguala(32

)

×(62

)

.


Supongamos que debemos escoger al menos una vocal. Entonces no-tamos que existen

(64

)

formas de elegir todas constantes. De tal manera

que el total es igual a(94

)

−(64

)

.

Supongamos que debemos elegir mas constantes que vocales. Enton-ces podemos elegir no vocales o una vocal. Si elegimos que no haya vo-cales, existen

(64

)

posibilidades. Si elegimos una vocal, existen(31

)

×(63

)

posibilidades. Por lo tanto el numero deseado de formas de elegir lasletras es igual a

(6

4

)

+

(3

1

)

×(6

3

)

.

Ejemplo 3.18. Un profesor ha puesto un examen que contiene cinco pre-guntas de historia y seis preguntas de matematicas. Se le pide a un alumnoque elija exactamente ocho preguntas.

Si no existen mas restricciones, entonces la cantidad de formas de lo-grarlo es

(118

)

.

Supongamos que el alumno tiene que elegir exactamente cuatro pre-guntas de historia y cuatro de matematicas. Entonces existen

(54

)

for-

mas de elegir preguntas de historia y(64

)

de matematicas. Por lo tanto,el total de formas en que se puede elegir es igual a

(5

4

)

×(6

4

)

Supongamos que el alumno tiene que elegir al menos cuatro preguntasde historia. Entonces, ademas de las

(54

)

×(64

)

maneras de elegir exac-tamente cuatro preguntas de historia y cuatro de matematicas, exitentambien

(55

)

×(63

)

maneras de elegir exactamente cinco preguntas dehistoria y tres de matematicas. Por lo tanto, el total de formas en que sepuede elegir es igual a

(5

4

)

×(6

4

)

+

(5

5

)

×(6

3

)

Supongamos que el alumno tiene que elegir maximo cuatro preguntasde historia.Entonces, ademas de las

(54

)

×(64

)

maneras de elegir exac-tamente cuatro preguntas de historia y cuatro de matematicas, existen(53

)

×(65

)

de elegir exactamente tres preguntas de historia y cinco de

matematicas, ası como(52

)

×(66

)

maneras de elegir exactamente dospreguntas de historia y seis de matematicas. Por lo tanto, el total deformas en que se puede elegir es igual a

(5

4

)

×(6

4

)

+

(5

3

)

×(6

5

)

+

(5

2

)

×(6

6

)

De modo alternativo, la unica manera de elegir ocho preguntas es elegirtodas las cinco preguntas de historia y tres preguntas de matematicas.

3.4. PARTE 3 55

Existen(55

)

×(63

)

maneras de hacer esto. Por lo tanto, el total de maneras

de elegir es tambien igual a(118

)

−(55

)

×(63

)

.

Ejemplo 3.19. Consideremos un mazo usual de 52 cartas sin comodines.Deseamos elegir 5 cartas de este mazo, usualmente elegir o repartir 5 cartasse conoce como mano. En un mazo cada carta consta de un valor, que puedeser 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J,Q,KyA y un sımbolo (o palo) ♠♣♥♦

Sin restricciones, el numero de opciones es igual a(525

)

.

Supongamos que deseamos escoger exactamente dos As y tres Ks.Entonces el total de maneras en que lo podemos hacer es igual a

(42

)

×(43

)

.

Supongamos que deseamos tener cuatro cartas con el mismo palo yotra carta con uno diferente. Existen

(41

)

maneras de elegir un palo y(134

)

de escoger cuatro cartas del mismo. Finalmente, existen(391

)

formas deelegir la ultima carta. Por lo tanto, el total de maneras de elegir las cincocartas es igual a

(41

)

×(134

)

×(391

)

.

Supongamos que deseamos escoger cuatro cartas con el mismo valor yotra carta. Existen

(131

)

formas de elegir un valor y despues(44

)

de elegir

cuatro cartas con este valor.Entonces existen(481

)

maneras de elegir lacarta restante. Por lo tanto, el total de maneras de elegir las cartas esigual a

(131

)

×(44

)

×(481

)

.

Supongamos que escogemos cinco cartas y deseamos que la suma delos cinco valores sea igual a siete. Para esto supongamos que el valorde A es uno. Entonces, las unicas posibilidades es que haya cuatro A′sy un tres, o tres A′s y dos dos. El numero de opciones para la primeraes(44

)

×(41

)

, mientras que el numero de opciones para la segunda es(43

)

×(42

)

. Por lo tanto, el total de opciones es igual a(44

)

×(41

)

+(43

)

×(42

)

.

3.4. Parte 3

3.4.1. Aplicacion a la Teorıa de la Probabilidad

A continuacion presentamos un ejemplo sencillo.

Ejemplo 3.20. Supongamos que se lanzan dos monedas y que cada unaes, ya sea aguila (a) o sol (s), igualmente probable. Entonces los cuatro si-guientes resultados son igualmente probables:

(a, a) (a, s)(s, a) (s, s)

La probabilidad de un par de aguilas es 1/4, representando uno de loscuatro posibles resultados.


La probabilidad de las dos monedas aterrizando del mismo lado es 1/2,representando dos de los cuatro posibles resultados.

La probabilidad de tener al menos una aguila es 3/4, representando tresde los cuatro posibles resultados.

En general, si existen varios resultados de un experimento que sonn equi-probables, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, entoncesla probabilidad de un suceso ξ esta dada por

p(ξ) =numero de resultados favorables para ξ

numero total de resultados posibles.

Ejemplo 3.21. Supongamos que se arrojan dos dados. ¿Cual es la proba-bilidad de que la suma de los dos numeros sea igual a siete? Para responderesta pregunta observemos todos los posibles e igualmente probables resulta-dos:

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Los casos en que la suma de los numeros es igual a siete han sido subra-yados. Estos representan 6 de 36 resultados equiprobables. De aquı que laprobabilidad es igual a 6/36 = 1/6.

Ejemplo 3.22. Regresemos al Ejemplo 3.19 relativo a tomar cinco cartasde un mazo de 52 en un juego de cartas.

La probabilidad de tomar exactamente dos A′s y tres K ′s es igual a

(42

)

×(43

)

(525

) =1

108290.

La probabilidad de tomar cinco cartas con un valor total de siete es iguala (

44

)

×(41

)

+(43

)

×(42

)

(525

) =1

92820.

PROBABILIDAD DE DOS EVENTOS Para cualesquiera dos eventos A y B,tenemos

p(A+B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B).

Un resultado importante en la teorıa de la probabilidad concierne a los even-tos independientes. Dos eventos A y B son independientes si cada uno noafecta el resultado del otro.

3.4. PARTE 3 57

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES Para cualesquiera doseventos A y B, tenemos

p(A ∩B) = p(A)× p(B).

Ejemplo 3.23. Supongamos que seis personas son elegidas de un grupode diez sin orden particular, y que A y B son dos de estas diez personas.Asumimos que cada una de las diez personas tiene la misma probabilidad deser elegida. Sea A el evento en que A es elegido y B el evento en que Bresulta elegido.

¿Cual es la probabilidad p(A) de que A resulte elegido? Para resolvereste problema, consideremos el numero de maneras en que se puedenescoger a seis personas del grupo de diez incluyendo a A. Claramenteelegimos a A y luego escogemos cinco de las nueve personas restan-tes. Por lo tanto el numero de maneras de elegir seis personas de ungrupo de diez incluyendo a A es igual a

(95

)

. Por otro lado, el numero de

maneras de elegir seis de diez personas es igual a(106

)

. Se sigue que laprobabilidad de que A sea elegido es igual a

p(A) =

(95

)

(106

) =3

5.

De igual forma, la probabilidad de que B sea elegido es tambien igual a

p(B) =

(95

)

(106

) =3

5.

¿Cual es la probabilidad p(A ∩ B) de que ambos Ay B sean elegidos?Para contestar esta pregunta, consideremos el numero de maneras enque se pueden escoger a seis de diez personas. Claramente escoge-mos a ambos A y B y despues elegimos ciatro de las ocho personasrestantes. Por lo tanto el numero de maneras de escoger a seis perso-nas de diez incluyendo A y B es igual a

(84

)

. Por otro lado, el numero de

maneras de escoger seis de diez personas es igual a(106

)

. De aquı sesigue que la probabilidad de que ambos A y B sean escogidos es iguala

p(B) =

(84

)

(106

) =1

3.

¿Cual es la probabilidad p(A + B) de que al menos una A o B seanelegidos? Consideremos el evento complementario de que ni A ni Bsean elegidos. Para esto simplemente elegimos a seis personas de lasocho restantes y el numero de maneras de hacer esto es igual a

(86

)

. Deaquı que la probabilidad de que ni A ni B sean elegidos es igual a

(86

)

(106

) =2

15.


Por lo tanto la probabilidad de que al menos uno A o B sea elegido seaigual a

p(A+B) =13

15.

Observa que p(A+B) = p(A) + P (B)− p(A ∩B).

Observa que p(A ∩B) = p(A) × P (B), de modo que los eventos A y Bno son independientes. Es claro que el hecho de uqe A no sea elegidoaumenta la posibilidad de que B sı lo sea.

Ejercicios

1. ¿Cuantos numeros enteros de tres o menos cifras existen?

2. Tienes un alfabeto de diez letras distintas. Las palabras pueden repetirletras. ¿Cuantas palabras de cuatro letras se pueden formar? ¿Y decinco letras? ¿Y de seis letras?

3. Una planilla para pronostico deportivo tiene trece partidos en los quese debe marcar si gana el Visitante, el Local o si hay un empate. ¿Decuantas maneras distintas se puede llenar la planilla?

4. Un examen de opcion multiple tiene veinte preguntas. Las primeras dieztienen cinco opciones y las siguientes diez tienen solo tres opciones.¿De cuantas maneras distintas se puede responder el examen si sehace al azar?

5. Consideremos la coleccion S de todos los numeros de siete cifras enlos que cada dıgito es diferente de cero.

a) ¿Cuantos numeros existen en la coleccion S?

b) ¿Cuantos numeros en S tienen dıgitos distintos?

c) ¿Cuantos numeros en S tienen uno como primer dıgito?

d) ¿Cuantos numeros en S tienen dıgitos distintos ası como el numerodos como primer dıgito y cuatro como el ultimo dıgito?

e) ¿Cuantos numeros en S son son multiplos de cinco?

6. Consideremos la coleccion S de todos los numeros de cinco cifras enlos que cada dıgito sea impar.

a) ¿Cuantos numeros existen en la coleccion S?

b) ¿Cuantos numeros en S tienen dıgitos distintos?

c) ¿Cuantos numeros en S tiene uno como su primer dıgito?

d) ¿Cuantos numeros en S tienen dıgitos distintos y ademas uno co-mo su primer dıgito y cuatro como su ultimo dıgito?

3.4. PARTE 3 59

7. Un numero se dice capicua si se lee igual al derecho que al reves. Porejemplo, 12821 es capicua. ¿Existen mas numeros capicuas de cincocifras o de seis?

8. Juan tiene pokemones de tres tipos distintos: cinco de fuego, seis deagua y siete de planta. ¿De cuantas maneras puede elegir un pokemon?¿De cuantas maneras puede elegir una pareja de dos tipos distintos? ¿Yuna tercia con uno de cada tipo?

9. En las hamburguesas de Jose, todas las hamburguesas llevan pan ycarne. Ademas, puede llevar cualesquiera de los siguientes ingredien-tes: doble carne, jamon, queso, tocino, jitomate y cebolla. ¿Cuantashamburguesas distintas se pueden hacer?

10. Una bolsa tiene tres pelotas rojas y dos pelotas azules. ¿De cuantasmaneras distintas se puede hacer una fila con ellas? Otra bolsa tienecuatro pelotas azules, tres pelotas rojas, tres pelotas verdes y dos pe-lotas amarillas. ¿De cuantas maneras distintas se puede hacer una filacon ellas?

11. ¿De cuantos modos distintos podemos ubicar los dıgitos del 1 al 7 en lafigura siguiente?

12. Calcula cuantas palabras distintas se pueden hacer usando todas lasletras de cada una de las siguientes palabras:

a) UNIVERSIDADVERACRUZANA

b) GUADALAJARA

c) POPOCATEPETL

d) OTORRINOLARINGOLOGO

e) PARANGARICUTIRIMICUARO

f ) ANTICONSTITUCIONALMENTE

g) ARCHIRREQUETERRECONTRARRICO


13. El centro de una ciudad forma una cuadrıcula de 5 × 7. En la esquinainferior izquierda esta la Catedral y en la esquina superior derecha estael cementerio. ¿De cuantas maneras se puede ir de la Catedral al ce-menterio si unicamente se puede caminar a la derecha y hacia arriba?

14. En cada cuadrıcula de m por n, sea A el vertice inferior izquierdo y seaB el vertice superior derecho. ¿Cuantos caminos existen de A a B siunicamente se puede avanzar a la derecha y hacia arriba?

15. ¿De cuantas formas se pueden elegir doce personas de entre veinte ysentarlos

a) en una fila de izquierda a derecha?

b) en un cırculo?

c) en un cuadrado con tres personas de cada lado?

d) en un triangulo con cuatro en cada lado?

e) en dos filas de seis una frente a la otra?

16. En un examen existen ocho preguntas de historia moderna y siete pre-guntas de historia antigua. Un estudiante tiene que elegir exactamentediez preguntas.

a) ¿De cuantas maneras se puede realizar la eleccion?

b) ¿De cuantas maneras se pueden elegir las preguntas si el estu-diante debe elegir exactamente cinco preguntas de historia moder-na?

c) ¿De cuantas maneras se pueden elegir las preguntas si el estu-diante debe elegir al menos cinco preguntas de historia moderna?

17. Hay veinte hombres y veinte mujeres en una clase. Un profesor eligediezestudiantes para asignarles tareas adicionales.

a) ¿De cuantas maneras puede el profesor elegir a sus estudiantes?

b) ¿De cuantas maneras puede el profesor elegir a sus estudiantes sidecide elegir exactamente cinco hombres y cinco mujeres?

c) ¿De cuantas maneras puede el profesor elegir a sus estudiantes sidecide escoger al menos cinco hombres?

d) ¿De cuantas maneras puede el profesor elegir a sus estudiantes sidecide elegir maximo seis mujeres?

18. ¿cuantas manos de domino tienen por lo menos dos fichas dobles?

19. Un grupo de cuatro mujeres y cuatro hombres se dividira en dos equiposcon cuatro miembros cada uno. ¿Cual es la probabilidad de que en unode los equipos queden todos los hombres y en el otro todas las mujeres?

20. Un dado se lanza al aire seis veces. ¿cual es la probabilidad de queaparezca cada uno de los seis numeros una vez?

3.4. PARTE 3 61

21. De un grupo de 24 personas se quiere elegir cinco representantes dela siguiente forma: Pedro y Luis deben estar en el grupo elegido. Hayocho mujeres en total, pero a lo mas deben quedar dos en el grupo.¿De cuantas maneras distintas puede hacerse reeleccion?

22. queremos tomar 10 cartas de un mazo usual de 52 cartas.

a) ¿De cuantas maneras podemos tomar las cartas?

b) ¿De cuantas maneras podemos tomar las cartas si debemos tomartodas las cartas del mismo palo?

c) ¿De cuantas maneras podemos tomar las cartas si debemos tomarexactamente tres A y 3 K?

d) ¿De cuantas maneras podemos tomar las cartas si debemos tomarcartas de diferentes valores (suponiendo que las 13 cartas de cadapalo son de valores diferentes)?

23. El Poquer es juego de naipes con baraja inglesa, en el que se repartencinco cartas a cada jugador, se hacen apuestas y descartes, y ganaquien reune la combinacion superior entre las varias establecidas.

a) ¿De cuantas maneras se pueden tomar las cartas?

b) ¿De cuantas maneras se pueden tomar las cartas si debemos to-mar todas las cartas del mismo palo?

c) ¿De cuantas maneras se pueden tomar las cartas si debemos to-mar exactamente tres A y tres K?

d) ¿De cuantas maneras se pueden tomar las cartas si debemos to-mar cartas de diferentes valores (suponiendo que las 13 cartas decada palo son de valores diferentes)?

e) ¿Cual es la probabilidad de obtener un par?

f ) ¿Cual es la probabilidad de obtener dos pares?

g) ¿Cual es la probabilidad de de obtener una tercia?

h) ¿Cual es la probabilidad de obtener un full (un par y una tercia?

i) ¿Cual es la probabilidad de obtener un full (un par y una tercia?

j) ¿Cual es la probabilidad de obtener un poquer (cuatro cartas conel mismo numero?

k ) ¿Cual es la probabilidad de obtener una Escalera ( 5 cartas conse-cutivas que no son del mismo palo)?

l) ¿Cual es la probabilidad de de obtener un Color (cinco cartas delmismo palo)?

m) ¿Cual es la probabilidad de de obtener una Escalera Color ( cincocartas consecutivas del mismo color)?

n) ¿Cual es la probabilidad de de obtener una Escalera Real( cincocartas seguidas del mismo palo desde el 10 al As)?


24. Si arrojamos dos dados, ¿cual es la probabilidad de que la suma de losdos numeros sea un multiplo de tres?

25. Supongamos que eres uno de diez candidatos para formar un pequenocomite de tres personas. Supongamos ademas que cada candidato tie-ne la misma probabilidad de ser elegido.

a) ¿Cual es la probabilidad de que tu seas elegido?

b) Tu mejor amigo tambien es un candidato. ¿Cual es la probabilidadde que ambos resulten elegidos?

26. Deseamos elegir diez miembros para un comite de entre 100 candidatosy tu eres uno de ellos.

a) ¿Cual es la probabilidad de que tu seas elegido?

b) Dos de tus amigos tambien se encuentran entre los candidatos.

1) ¿Cual es la probabilidad de que tu y tus dos amigos sean ele-gidos?

2) ¿Cual es la probabilidad de que tu y exactamente uno de tusdos amigos sean elegidos?

3) ¿Cual es la probabilidad de que tu y al menos uno de tus ami-gos sean elegidos?

4) ¿Cual es la probabilidad de que tus dos amigos sean elegidosy tu no?

Referencias

NIETO SAID, J, H. Combinatoria para Olimpiadas de Matematicas. Asocia-cion Venezolana de Competencias Matematicas, Caracas, Mayo 2014

PEREZ SEGUI, M. L. Combinatoria. Cuadernos de olimpiadas de matemati-cas. 3ra. ed., Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2005.

——. Matematicas preolımpicas. Cuadernos de olimpiadas de matematicas.Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2008.

VILENKIN, N. ¿De cuantas formas? Combinatoria. Editorial Mir, Moscu, 1972.

Capıtulo 4

Teorıa de numeros

EJENumero, Algebra y Variacion

Temas:Numero


3◦Determina y usa criterios de divisibilidad y los numeros primos.Usa tecnicas para determinar el mcm y MCD.

4.1. Parte 1

4.1.1. Criterios de divisibilidad

A los numeros naturales los denotamos por N y es el conjunto

N = {1, 2, 3, . . .} .

En ocasiones el cero tambien es incluido.

Definicion 7. Decimos que el numero a divide al numero b, en sımbolosa|b, si es posible encontrar un k de tal manera que ak = b. Si a no divide alnumero b escribimos a ! b.

Ejemplo 4.1. Como ejemplos tenemos los siguientes:

(a) 3|6, ya que 6 = (3)(2).

(b) 2|8, porque 8 = (2)(4).

(c) 3|0, ya que 0 = (3)(0). El numero 3 puede ser sustituido por cualquier otronumero.

(d) 4 ! 7, ya que 7 no se puede escribir como 4(k) para ningun entero positivok.

Si a es diferente del numero 0, entonces el hecho de que a|b equivale adecir que b

aes un entero. Cuando a|b se dice que a es un divisor del numero

b, o tambien que b es un multiplo de a.Algunas propiedades de la divisibilidad son las siguientes:

63

64 CAPITULO 4. TEORIA DE NUMEROS

(a) Si a|b y b = 0, entonces a ≤ b.

(b) Para todo entero a se tiene que a|a.

(c) Si a, b y c son enteros tales que a|b y b|c, entonces a|c.

(d) Es posible que a|b pero que b ! a.

Como aplicacion inmediata de las anteriores propiedades, podemos enu-merar los siguientes:

(a) Tenemos que 7|21 y claramente 7 ≤ 21. Tambien 2|8 y 2 ≤ 8.

(b) 20|20, y tambien 13|13.

(c) Como 3|6 y 6|24, se deduce que 3|24.

(d) Tenemos que 3|6, pero 6 ! 3.

Numeros Primos

Decimos que un numero p es primo si sus unicos divisores son 1 y p. Elnumero 1 no se considera como primo. Un numero que no es primo se lellama compuesto.

Como ejemplos tenemos los siguientes:

(a) El numero 2 es primo, pues sus unicos divisores son 1 y 2.

(b) El numero 3 tambien es primo.

(c) El numero 4 no es primo, porque admite un divisor distinto de 1 y 4, pues2 es divisor de 4.

Teorema 4 (Fundamental de la Aritmetica, Primera Parte). Todonumero es multiplicacion de numeros primos.

El teorema no aplica al 0 ni al 1.Por ejemplo, el numero 24 se puede escribir como 24 = (2)(2)(2)(3). Tam-

bien tenemos que 100 = (2)(2)(5)(5) = (2)2(5)2 y que 870 = (2)(3)(5)(29).Observacion. Al escribir un numero como producto de primos, se acos-

tumbra poner los primos en orden creciente, agrupando los primos que soniguales en la potencia correspondiente. Esta forma se llama la descomposi-cion canonica del numero. Por ejemplo, la descomposicion canonica de 180es (2)2(3)2(5).

Para decidir si cierto numero es primo o no, basta ver que si un numeroa es producto de dos divisores, entonces alguno de ellos debe ser menor oigual que

√a.

Como aplicacion del comentario anterior, para decidir si el numero 53 esprimo o no, basta con probar con los numeros menores a

√53 ≈ 7, vemos

que 2 ! 53, 3 ! 53, 4 ! 53, 5 ! 53, 6 ! 53 y 7 ! 53, por lo que 53 ya no puede tenermas divisores, ası que 53 es primo.

4.1. PARTE 1 65

Pero mas aun, no hace falta probar la divisibilidad con todos los numerosanteriores a 7, solo basta probar con los numeros primos anteriores a 7, porejemplo, ya no tiene caso preguntar si 6|53, porque si ası fuera el caso, ycomo 3|6, desde antes se tendrıa que 3|53, por lo que desde antes se habrıadescartado de ser primo. Ası que solo basta probar con 2, 3, 5 y 7.

Se enunciaran ahora algunos criterios de divisibilidad por numeros pe-quenos.

Criterio de divisibilidad por 2. El entero a es divisible por 2, solamentesi a termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo 53 no termina en ninguno deestos numeros, por lo que 53 no es divisible por 2. Pero el numero 52termina en 2, por lo que este numero sı es divisible por 2. A los que sondivisibles por 2 se dice que tienen mitad.

Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 solamen-te si la suma de las cifras de a es divisible por 3. Por ejemplo, 474 esdivisible por 3 porque 4 + 7+ 4 = 15 y 15 es multiplo de 3, pero 53 no esdivisible por 3 ya que 5 + 3 = 8 y 8 no es divisible por 3.

Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 solamentesi el numero formado por las dos ultimas cifras de a lo es. Por ejemplo,7923 no es divisible por 4 ya que 23 no es multiplo de 4.

Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 solamentesi termina en 0 o en 5. Es claro que 53 termina en 3, por lo que no esdivisible por 5; sin embargo el numero 666555 termina en 5 por lo que sıes divisible por 5.

Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 solamentesi la suma de las cifras de a es divisible por 9. Por ejemplo, 376831 noes multiplo de 9 pues 3 + 7 + 6 + 8 + 3 + 1 = 28, que no es multiplo de9, pero el numero 444444444 sı es divisible por 9.

Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 sola-mente si a termina en 0.

Ejercicios

1. Encuentra todos los numeros primos entre 1 y 100.

2. Encuentra la descomposicion canonica de 6910.

3. Encuentra la descomposicion canonica de 2019.

4. Determina si el numero 555555 es divisible por 3.

5. Determina si el numero 555555 es divisible por 10.

6. Encuentra la descomposicion canonica del numero 555555.

7. Determina si 401 es primo o no. ¿Hasta que numero primo debes probarsi es factor de 401?


8. El producto de dos enteros consecutivos es 870. Encuentra dichos nume-ros.

4.2. Parte 2

4.2.1. Factorizacion y algoritmo de Euclides

Teorema 5 (Fundamental de la Aritmetica, Segunda Parte).Todo numero distinto de 0 y de 1 es producto de primos en forma unica, salvoorden.

Gracias al Teorema Fundamental de la Aritmetica, cada numero enterodistinto de 0 y 1 tiene una sola descomposicion canonica. Agregando poten-cias de cero a las descomposiciones canonicas de dos o mas numeros, sepueden usar los mismos primos en las factorizaciones de todos ellos. Porejemplo si a = 675 = (3)3 × (5)2 y b = 20 = (2)2 × (5), entonces podemosescribir a = (2)0 × (3)3 × (5)2 y b = (2)2 × (3)0 × (5). Con esta escritura esmuy facil determina si un numero es divisible por otro o no, con el siguienteproceso:

(a) Factorizar tanto a como b en numeros primos, agregando ceros en laspotencias si hace falta, para tener los mismos numeros primos.

(b) Comparar que cada potencia de los primos en a sea menor o igual quelas correspondientes potencias en b.

Si se da lo anterior, podemos afirmar que a|b.Como ejemplo, si queremos ver si 15|1050, basta poner ambos numeros

en su descomposicion en primos: 15 = (3)1× (5)1 mientras que 1050 = (2)1×(3)1 × (5)2 × (7)1, entonces nos conviene escribir 15 = (2)0 × (3)× (5)× (7)0

y hacer la comparacion exponente a exponente. Justamente tenemos que losexponentes del 15 son menores o iguales a los del 1050, por lo que decidimosa que 15|1050.

Otro ejemplo, veamos si 33|1050. Vemos que nos conviene escribir 33 =(2)0×(3)1×(5)0×(7)0×(11)1 y 1050 = (2)1×(3)1×(5)2×(7)1×(11)0. Vemosque el exponente del primo 11 de 33 es mayor al exponente del primo 11 de1050, por lo que 33 no divide a 1050.

Algoritmo de Euclides

Teorema 6 (Algoritmo de la Division). Dados dos numeros a y b conb = 0, existen numeros unicos q y r de tal forma que

a = bq + r, con 0 ≤ r < b.

El numero q en la proposicion anterior es el cociente (de la division de aentre b) y el numero r es el residuo. Por ejemplo, si a = 18 y b = 7, entonces

18 = 7(2) + 4

4.3. PARTE 3 67

y en este caso el cociente q vale 2 y el residuo r vale 4. El residuo tiene queser menor a b = 7.

Ejercicios

1. Encuentra los enteros q y r del Algoritmo de Euclides para los siguientesvalores de a y b:

(a) a = 19, b = 7.

(b) a = 9, b = 11.

(c) a = 100, b = 11.

2. Un reloj de manecillas marca las 12 : 00, ¿que hora marca luego depasar 2019 horas? Sugerencia: encuentra el residuo de la division de2019 entre 12.

3. Un reloj digital marca las 12 : 00A.M., ¿que hora marca luego de pasar2019 horas? Sugerencia: encuentra el residuo de la division de 2019entre 24.

4. Un reloj digital marca las 12 : 00A.M., ¿que hora marca luego de pasar2019 minutos?

5. Un reloj digital marca las 12 : 00A.M., ¿que hora marca luego de pasar2019 segundos?

6. Hoy es martes, ¿que dıa de la semana sera despues de transcurrir 2019dıas?

7. Juanito nacio un viernes, hoy cumple 2555 dıas de nacido, ¿que dıa dela semana es hoy?

4.3. Parte 3

4.3.1. Maximo comun divisor

Dados dos numeros m y n diferentes de cero, es claro que 1 divide a ambosy que existe un numero finito de divisores comunes. Definimos su maximocomun divisor, en sımbolos mcd(m,n), como el mayor de los divisores co-munes a ellos.

Por ejemplo, vamos a calcular el maximo comun divisor entre 8 y 12. Losdivisores de 8 son 1, 2, 4 y 8, mientras que los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6y 12. De aquı que los divisores comunes son 1, 2 y 4; el maximo de estosnumeros es 4, por lo tanto mcd(8, 12) = 4.

Veamos tres metodos para hallar el maximo comun divisor.


Metodo 1

Este metodo consiste en ir probando los divisores comunes de todos losnumeros a la vez. Calculemos mcd(110, 264). Se determina si 2 es divisorcomun, en este caso sı lo es, ası que dividimos ambos numeros por 2: mcd(110, 264) =mcd(2×55, 2×132) = 2mcd(55, 132). El siguiente paso es preguntar si 2 vuel-ve a ser divisor comun de ambos, y ya no lo es. Luego se pregunta si 3 esdivisor comun, y no lo es. Lo siguiente es preguntarse si el primo 5 es divisorcomun, y tampoco lo es. Se puede ver que hasta el primo 11 es el siguientedivisor comun, por lo que:

mcd(110, 264) = 2mcd(55, 132) = 2mcd(11× 5, 11× 12) = (2)(11)mcd(5, 12),

luego notamos que 5 y 12 ya no tienen mas divisores comunes mayores a 1,ası que mcd(5, 12) = 1, por lo que

mcd(110, 264) = (2)(11)mcd(5, 12) = (2)(11)(1) = 22.

Otro ejemplo es lo siguiente, en el cual omitiremos varios pasos. Quere-mos calcular mcd(180, 264):

mcd(180, 264) =2mcd(90, 132) ambos tienen mitad

=2× 2mcd(45, 66) vuelven a tener mitad

=2× 2× 3mcd(15, 22) 3 divide a ambos

=2× 2× 3× 1 ya no hay divisores comunes

=12.

Se suele representar el anterior proceso en la siguiente tabla:

180 264 290 132 245 66 315 22

Para encontrar el maximo comun divisor, solo se multiplican los numeros dela ultima columna.

La ventaja es que con este metodo se puede hallar el maximo comundivisor de 3 numeros o mas. La desventaja es que hay que aplicar criterios dedivisibilidad muchas veces.

Veamos otro ejemplo. Se encuentra ahora mcd(80, 100, 180).

80 100 180 240 50 90 220 25 45 54 5 9

Entonces: mcd(80, 100, 180) = (2)(2)(5) = 20.

4.3. PARTE 3 69

Metodo 2

Aquı habra que encontrar la factorizacion en primos de ambos numeros, porejemplo, calculemos mcd(180, 264), y primero hallamos la factorizacion en pri-mos:

180 =22 × 32 × 5

264 =23 × 3× 11.

Los factores primos repetidos son el 2 y el 3, y las menores potencias deambos son 22 y 31, por lo que mcd(180, 264) = 22 × 31 = 12.

La ventaja de este metodo es que se puede aplicar para mas de dos nume-ros a la vez. La desventaja es que necesitamos la factorizacion en primos decada numero.

Metodo 3

Este metodo se basa en el algoritmo de Euclides. Tenemos que al hacer ladivision, 264 = 180(1) + 84, por lo que mcd(264, 180) = mcd(180, 84). Nueva-mente por el algoritmo de la division 180 = 84(2) + 12, luego mcd(180, 84) =mcd(84, 12), y en este punto nos detenemos pues 12|84 y entonces tenemosque mcd(84, 12) = 12.

Podemos resumir los pasos en las siguientes lıneas:

264 = 180(1) + 84 → mcd(264, 180) = mcd(180, 84)

180 = 84(2) + 12 → mcd(180, 84) = mcd(84, 12)

84 = 12(7) → mcd(84, 12) = 12.

Se concluye que mcd(264, 180) = mcd(180, 84) = mcd(84, 12) = 12.La ventaja de este metodo es que no hay que usar criterios de divisibilidad,

sino el algoritmo de Euclides en pocos pasos. La desventaja es que no da lafactorizacion en primos y se aplica a solo un par de numeros.

Como aplicacion inmediata del maximo comun divisor, es cuando se redu-

ce una fraccion: por ejemplo si queremos reducir180

264, necesitamos hallar el

divisor comun mas grande entre el numerador y denominador, y ası eliminar-los, quedando:

180

264=

(12)(15)

(12)(22)=

15

22,

y esta ultima fraccion ya no se puede reducir.

Ejercicios

1. Encuentra el maximo comun divisor de los numeros 12, 18 y 30.

2. Encuentra mcd(94, 30) usando los tres metodos descritos.

3. Encuentra mcd(99, 66).


4. Encuentra mcd(16500, 1050, 70).

5. Reduce la fraccion16500

1050.

6. Norma quiere coser una colcha collage con retazos de tela cuadradosdel mayor tamano posible. Si la colcha terminada debe medir 180cm ×100cm, ¿cuanto debe medir cada retazo y cuantos se usaran?

4.3.2. Mınimo comun multiplo

Definicion 8. Sean m y n dos numeros. Consideremos ahora todos losmultiplos de m: m, 2m, 3m, . . . y los multiplos de n: n, 2n, 3n, . . . . Notemos quemn es multiplo tanto de m como de n. Al multiplo comun mas pequeno le lla-mamos el mınimo comun multiplo de m y n, y lo denotamos por mcm(m,n).

Mostraremos dos metodos para hallar el mınimo comun multiplo.

Metodo 1

Hallaremos mcm(180, 264). Vemos que ambos tienen mitad, ası que mcm(180, 264) =2mcm(90, 132), y como vuelven a tener mitad, entonces mcm(180, 264) = 2×2mcm(45, 66), luego solo uno de ellos tiene mitad, por lo que mcm(180, 264) =2×2×2mcm(45, 33), luego ambos tienen tercera, por lo que mcm(180, 264) =2 × 2 × 2 × 3mcm(15, 11), luego solo uno de ellos tiene tercera, luego quintay onceava, por lo que: mcm(180, 264) = (2)(2)(2)(3)(3)(5)(11) = 3960.

El proceso se resume en la siguiente tabla:

180 264 290 132 245 66 245 33 315 11 35 11 51 11 111 1

Para encontrar mcm(180, 264) se multiplican los numeros de la ultima co-lumna: mcm(180, 264) = (2)(2)(2)(3)(3)(5)(11) = 3960.

Encontremos ahora mcm(80, 100, 180).

80 100 180 240 50 90 220 25 45 210 25 45 25 25 45 35 25 15 35 25 5 51 5 1 51 1 1

4.3. PARTE 3 71

Entonces: mcm(80, 100, 180) = (2)(2)(2)(2)(3)(3)(5)(5) = 3600.

Metodo 2

Este metodo se basa en la factorizacion en primos. Nuevamente calculemosmcm(180, 264). Para esto tenemos

180 =22 × 32 × 5

264 =23 × 3× 11.

Tomamos los factores primos que se repiten de mayor exponente: 23 y 32,luego los factores que no se repiten 5 y 11. Luego multiplicamos esos numerosy obtenemos

mcm(180, 264) = (23)(32)(5)(11) = 3960.

Este metodo puede ser usado para hallar el mınimo comun multiplo demas de dos numeros a la vez.

Por ejemplo, calculemos ahora mcm(80, 100, 180).

80 =24 × 5

100 =22 × 52

180 =22 × 32 × 5

Los factores repetidos de mayor exponente son: 24 y 52, y los que no serepiten son 32, por lo que mcm(80, 100, 180) = (24)(52)(32) = 3600.

Pudieramos pensar que hay un tercer metodo, basado en la siguiente pro-piedad: si a y b son numeros naturales, entonces mcd(a, b)×mcm(a, b) = ab.

Por ejemplo, si ya sabemos que mcd(180, 264) = 12, entonces al mınimo

comun multiplo lo encontramos haciendo la division(180)(264)

12lo que nos da

igual a 3960, por lo que mcm(180, 264) = 3960.Una aplicacion inmediata del mınimo comun multiplo lo encontramos al

sumar o restar fracciones, por ejemplo si queremos encontrar1

180+

1

264, una

de las formas es hallar el mınimo comun multiplo de ambos denominadores:

1

180+

1

264=22 + 15

3960

=37

3960.

Ejercicios

1. Encuentra mcm(10, 20).

2. Encuentra mcm(16500, 1050).

3. Encuentra mcm(5, 55, 555).


4. Usa el resultado anterior para calcular

1

5−

1

55+

1

555.

5. Decide si la expresion encontrada anteriormente ya no se puede re-ducir, es decir, eliminar factores comunes tanto en el numerador comodenominador.

6. Tres amigos, Beto, Marta y Juan, viajan a Xalapa cada cierto tiempo.Beto va cada 8 dıas, Marta cada 15 y Juan cada 9 dıas. Hoy los tresse encontraron en Xalapa. ¿Cuantos dıas tendran que pasar para elsiguiente reencuentro?

7. Hoy es el cumpleanos de Andres y llevo a la clase 24 paletas payasosy 18 bombones de cafe. Si quiere repartir los dulces entre sus amigos amodo que todos tengan la misma cantidad de cada dulce y que sea lamayor posible, ¿a cuantos amigos les podra dar dulces?

8. Tres aviones salen a la misma hora del aeropuerto de Veracruz, el pri-mero sale cada 8 dıas, el segundo cada 10 y el tercero cada 20. Si salenel 4 de octubre, ¿cuales seran las dos fechas mas proximas en quevolveran a salir juntos?

9. Una tienda hace un pedido de memorias USB al por mayor, que venıandecoradas para Navidad y de colores. Un pedido de 84 memorias rojas,196 azules y 252 verdes llegarıa con demora. Para guardarlas de formaorganizada, exigio que le mandaran las memorias en cajas iguales, sinmezclar los colores y conteniendo el mayor numero posible de memo-rias. ¿Cuantas memorias habra en cada caja y cuantas cajas de cadacolor habra?

Referencias

NIVEN, I. y H. Zukerman. Introduccion a la teorıa de los numeros. Limusa-Wiley, Mexico, 1972.

PEREZ SEGUI M. L., Matematicas preolımpicas. Cuadernos de olimpiadasde matematicas. Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2008.

——. Teorıa de numeros. Cuadernos de olimpiadas de matematicas. Insti-tuto de Matematicas, UNAM, Mexico, 2009.

Capıtulo 5

Algebra

EJENumero, algebra y variacion

Temas:Ecuaciones y Funciones

Aprendizajes esperados1◦ Resuelve problemas de ecuaciones lineales.2◦ Resuelve problemas de sistemas de ecuaciones lineales.

3◦Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundogrado.

5.1. Parte 1

5.1.1. Preliminares

La finalidad del algebra es la representacion de los numeros mediante letrasa las que llamaremos variables, ası como su manejo operativo. Al igual quelos numeros, las variables estaran relacionadas mediante una o varias de lasoperaciones de adicion, sustraccion, multiplicacion, division, potenciacion yradicacion; aplicadas una o varias veces, en cualquier orden. De esta manerase obtienen cadenas de variables y operaciones matematicas que, junto conlas constantes y los sımbolos de agrupacion, forman lo que se llama unaexpresion algebraica.

Podemos clasificar las expresiones algebraicas, dependiendo del numerode terminos que contengan. Se llama monomio a un solo termino algebraico.Si dos o mas monomios se unen por un signo de + o − se tiene una sumaalgebraica. Un binomio sera la suma algebraica de dos monomios. Un tri-nomio sera la suma algebraica de tres monomios. En general, despues de lasuma de dos monomios (terminos), se llama polinomio si los terminos sonracionales enteros y multinomio en caso contrario. Por ejemplo

4x2 − 2x√y +

y2

2

73

74 CAPITULO 5. ALGEBRA

es un multinomio, mientras que

2x2 − 3xy +√2xy2 + 5ab

es un polinomio.

Definicion 9. En general un polinomio de grado n en la variable x es unaexpresion algebraica de la forma

P (x) := anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

en donde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R y n es un numero natural. A an le llamare-mos coeficiente principal y a a0 termino independiente.

Al observar la definicion de polinomio notamos que es necesario entendera que se refiere la notacion xn ası como las operaciones que se pueden reali-zar con terminos de este tipo. Es por ello que, el presente material considera,primeramente, el tema de exponentes tanto enteros como fraccionarios, y laspropiedades que estos cumplen. Una vez que se tengan considerados losexponentes regresaremos a trabajar con polinomios, definiremos las opera-ciones que pueden realizarse entre ellos y, como parte de estas, definiremoslos productos notables; concluiremos estas notas con la operacion opuesta aun producto, la factorizacion.

5.1.2. Exponentes y sus propiedades

Definicion 10. Si n es un numero natural, el producto de n factores de unmismo numero x ∈ R lo escribimos como

xn := x · x · · · x︸︷︷︸

n factores

y decimos que x es la base y n el exponente.La operacion xn se llama potenciacion y cuando n = 1 se omite el expo-

nente.

A continuacion se presentan las propiedades de los exponentes enteros,las cuales pueden ser probadas con la definicion anterior. Ası mismo se en-cuentran propiedades de los exponentes racionales y fraccionarios, los cua-les, aunque no estan relacionados directamente con el concepto de polinomio,pueden ser de utilidad cuando de simplificar expresiones algebraicas se trata.

Propiedad 9 (Propiedades para exponentes enteros). Las siguien-tes propiedades pueden utilizarse para cualesquiera bases x = 0, y = 0numeros reales y exponentes m,n enteros.

5.1. PARTE 1 75

1. x0 = 1

2. xm · xn = xm+n.

3. (xm)n = xmn.

4. (xy)m = xm · ym.

5.

(x

y

)m

=xm

ym.

6.xm

xn= xm−n.

7.1

x−m= xm.

Observacion. Es importante notar que la propiedad x0 = 1 solo ocurrepara x = 0. Si quisieramos definirlo para cuando x = 0, se deberıa cumplirque

00 · 0 = 00 · 0n = 00+n = 0n = 0, (5.1)

pues 0n = 0 · 0 · · · 0︸︷︷︸

n veces

= 0. De esta manera, la igualdad (5.1) se cumple para

cualquier valor que pudiese tomar 00, es decir, 00 no esta determinado.

Propiedad 10 (Propiedades de radicales). Las siguientes propieda-des pueden utilizarse para cualesquiera bases x, y reales positivos y m,nenteros positivos. En este caso, entenderemos que

x1n = n

√x.

1. ( n

√x)n = x

2. n

√xn = x

3. m

√n

√x = mn

√x

4. n

√y · x = n

√y · n

√x

5. n

√

y

x=

n

√y

n

√x

Ejemplo 5.1. Simplificar (1 13 )

8((14 )4)2.

Solucion.(

11

3

)8((1

4

)4)2

=

(4

3

)8(1

4

)4·2

=

(4

3

)8(1

4

)8

=

(4

3·1

4

)8

=

(1

3

)8

=1

38


Ejemplo 5.2. Hallar el valor de m si (3m)2 = 38.

Solucion. Notemos que del lado derecho de la igualdad se tiene un exponen-te entero por lo que, utilizando la propiedad 3 para exponentes enteros en laexpresion del lado izquierdo obtenemos 32m = 38 y, dado que ya se tienenlas mismas bases entonces, la igualdad se cumplira siempre y cuando losexponentes sean los mismos, es decir 2m = 8, por lo tanto m = 4.

Ejemplo 5.3. Simplifique la expresion

5

√

25x8y7z−1

x−2y2z4.

Solucion. Utilizando primero las propiedades de los exponentes enteros parala expresion dentro de la raız tenemos:

5

√

25x8y7z−1

x−2y2z4= 5√

25 x8−(−2) y7−2 z−1−4

= 5√

25x10y5z−5

= (25)15 · (x10)

15 · (y5)

15 · (z−5)

15

= (25)15 · (x)

105 · (y)

55 · (z)

−55

= (25)15 · (x)2 · (y)1 · (z)−1

=(25)

15 x2 y

z

Ejercicios faciles

1. Simplifica la expresionx12y4

x5y8.

2. Simplifica la expresion(−36b7c5)2d

4a2b10d−4.

3. Simplifica la expresion

(−1024z−11y−7x−8

2048x−8z−11y−7

)3

.

4. Simplifica la expresion5x(2− a)2

240x−2(a− 2).

5. Simplifica la expresion72xa−3yc+bzc−2

144xa+cyb−azc−2.

6. Simpiflica la expresion3

√

−125x9

216m12.

7. Simpiflica la expresion3y−

54

y−1 · 2y 13

.

5.2. PARTE 2 77



(x−3y3

x4y2

)3(x−2y−2

xy4

)−1

.

2. Simplifica la expresion (2hj2k−2h4j−1k4)17

2h−3j−4k−2 .


(8x4w−3y−13z3

36−1x−12w2z−14y15

)−29

4. Simpiflica la expresion√

4x2 3√

27y9.


1. Simpiflica la expresion 3

√√

x6y24z72.

2. Simpiflica la expresion −25√x25

8 4√

x24y40.

3. Simpiflica la expresion

√

144√m2n4

576 4√

x16y20.

4. Simpiflica la expresion 5

√

x50y15

248832y30.

5.2. Parte 2

5.2.1. Algebra de polinomios.

El proposito de los ejercicios que aquı se presentan es reforzar los conoci-mientos adquiridos en cuanto a operacion de polinomios, incluyendo divisionsintetica, productos notables y factorizacion.

Recordemos que dos terminos son semejantes si difieren unicamente ensus coeficientes, es decir son aquellos que tienen las mismas variables ele-vadas a los mismos exponentes.

Definicion 11. La suma entre polinomios se realiza unicamente entreterminos semejantes y consiste en la adicion y sustraccion de los coeficientes.

Ejemplo 5.4. Restar xy2 − 3y2z + 4xz de la suma de las siguientes expre-siones:

3zy2 − 4yz2 + 2xz y 3y2z − 4zx− 2xy.


Solucion.

[(3zy2 − 4yz2 + 2xz) + (3y2z − 4zx− 2xy)]− (xy2 − 3y2z + 4xz)

= [(3zy2 − 4yz2 + 2xz) + (3y2z − 4zx− 2xy)]− (xy2 − 3y2z + 4xz)

= [3 + 3− (−3)] zy2 + [2 + (−4)− (4)] xz − 4yz2 − 2xy − xy2

= 9zy2 − 6xz − 4yz2 − 2xy − xy2.

Definicion 12. El producto entre dos polinomios se realiza multiplicandocada termino del primer polinomio por cada termino del segundo, utilizando lapropiedad distributiva y las propiedades de exponentes enteros.

Ejemplo 5.5. Multiplicar los polinomios: x3 + 3x2 + x+ 5 y 2x+ 1.

Solucion.

(x3 + 3x2+x+ 5) (2x+ 1)

= (x3)(2x+ 1) + (3x2)(2x+ 1) + (x)(2x + 1) + (5)(2x+ 1)

= [(x3)(2x) + (x3)(1)] + [(3x2)(2x) + (3x2)(1)]

+ [(x)(2x) + (x)(1)] + [(5)(2x) + (5)(1)]

= [2x4 + x3] + [6x3 + 3x2] + [2x2 + x] + [10x+ 5]

= 2x4 + 7x3 + 5x2 + 11x+ 5.

Definicion 13. El Cociente entre polinomios solo es posible cuando el po-linomio dividendo tiene grado mayor que el polinomio divisor. Los principalespasos para realizarla son:

1. Ordenar los terminos del dividendo y el divisor en orden descendentede acuerdo a las potencias de una misma variable.

2. Dividir el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor.

3. Multiplicar el divisor por el termino (monomio) resultante del paso ante-rior y restar esta multiplicacion al dividendo.

4. Repetir el proceso ahora con el polinomio resultante en el paso anteriorhasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor ohasta que el residuo sea cero.

Ejemplo 5.6. Dividir x4 − 16x3 + 4x2 − 8x+ 14 entre x2 − 3x+ 5.

Solucion. Procedemos como nos indica el algoritmo.

x2 −13x −40x2 − 3x+ 5 x4 −16x3 +4x2 −8x +14

−(x4 −3x3 +5x2)−13x3 −x2 −8x +14

−(−13x3 +39x2 −65x)−40x2 +57x +14

−(−40x2 +120x −200)−63x +214

5.2. PARTE 2 79

lo cual expresamos de la siguiente manera

x4 − 16x3 + 4x2 − 8x+ 14

x2 − 3x+ 5= x2 − 13x− 40 +

−63x+ 214

x2 − 3x+ 5.

Ejercicios faciles

1. Dados los polinomios P7 = a − 3b, P8 = 2a − 6b y P12 = 2x − y − 5,calcular (P7) + 2(P8)− 3(P12)

2. Dados los polinomios P1 = a + b, P2 = a − b y P7 = a − 3b, calcular(P1) ∗ (P2) + (P7)

3. Realiza la siguiente division:

(18x4 + 37x3 + 33x2 + 37x+ 15)÷ (2x+ 3)

4. Restar xy2 − 3y2z + 4xz del doble de la suma de las siguientes expre-siones: 3zy2 − 4yz2 + 2xz y 3y2z − 4zx− 2xy.

5. Realizar la division

3x7 − 3x4 − 7x5 + 4x2 − x3 + 5

3x4 − 5− 4x2

6. Cuando x3 + cx+ 4 es dividido entre x+ 2, el residuo es 4. Encontrar c.

7. ¿Que valores puede tomar a para que x+ a sea factor de

3x3 + x2 − 3a2x+ 2a+ 1?


1. Calcular un polinomio P (x) que cumpla la siguiente igualdad

P (x)

x+ 5=

x2 − 3x− 10

x2 − 25

2. Calcular un polinomio P (x) que cumpla la siguiente igualdad

x3 + 3x2 − x− 3

P (x)=

x2 − 9

x− 3

3. ¿Cual es el valor de k, para que el residuo de la division

130x4 + 743x3 + 1576x2 + 1467x+ k

x+ 1

sea 0?


4. Determine m sabiendo que x = −2 es una raız del polinomio

P (x) = x3 + 2x2 − 3x+m

5. En una division exacta el dividendo es x3+3x2y+xy2−2y3 y el cocientees x2 + xy − y2. Hallar el divisor.

6. En una division el dividendo es a3 − 2a2 + a− 3, el divisor es a + 3 y elcociente es a2 − 5a+ 16. Calcular el residuo.


1. Simplifica las siguientes operaciones:

1

1− 11− 1

x

+ 1−1

1 + 1x

−1

x+ 11+ 1+x

1−x

2. Hallar un polinomio de grado dos que tenga por coeficiente principal 1,que se anule para x = 3, y que el resto de su division entre x− 5 sea 4.

3. Calcule el valor de la constante k ∈ R para el cual el polinomio x−3 seaun factor del polinomio dado: x3 − (k + 2)x2 − (5k − 1)x− 2.

4. Sabiendo que −3x+ 7 y 5x − 6 son factores de −15x4 + 53x3 + Ax2 +Bx− 63, determina el valor de A+B.

5.3. Parte 3

5.3.1. Productos notables y factorizacion

Ciertos productos que ocurren con mucha freciencia son llamados productosnotables, tienen una forma especıfica la cual no necesita ser verificada cadavez que se realiza dicho producto. Los mas importantes son:

Producto notable Formula Resultado

Binomios(x− y)(x+ y) = x2 − y2

Diferencia

conjugados de cuadrados

(x+ a)(x + b) = x2 + (a+ b)x+ ab Trinomio general

(x+ y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3 Suma de cubos

(x− y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3 Diferencia de cubos

Binomio (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Trinomio cuadrado

al cuadrado (x − y)2 = x2 − 2xy + y2 perfecto

5.3. PARTE 3 81

Definicion 14. Al proceso de expresar un polinomio como un productode dos o mas factores, con respecto a un sistema de numeros, se le llamafactorizacion. Entre las formas mas comunes para factorizar se encuentran;

Factor Comun

Agrupamiento

Formulas debidas a los productos notables:

• Diferencia de cuadrados,

• Trinomio general,

• Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo 5.7. Factorizaciones

1. x4 − x2 = x2(x2 − 1) = x2(x+ 1)(x− 1)

2. xy2 − 2x2y + x3 = x(y2 − 2xy + x2) = x(y − x)2

3. 2ab2x2 − 4ab2xy + 6a2b2y2 = 2ab2(x2 − 2xy + 3ay2)

4. 3x2 − 6x+ 4x− 8 = 3x(x− 2) + 4(x− 2) = (3x+ 4)(x− 2)

5. (5a− 2b)2 − (3a− 7b)2 = [(5a− 2b)− (3a− 7b)] [(5a− 2b) + (3a− 7b)]= (2a+ 5b) (8a− 9b)

6. a6 − 7a3 − 8 =(

a3 − 8) (

a3 + 1)

= (a− 2) (a+ 1)(

a2 − a+ 1) (

a2 + 2a+ 4)

7. a6 − 6a3 + 9 = (a3

)2 − 2(3)(a3) + (3)2 =(

a3 − 3)2

Notemos que, factorizar un polinomio nos ayuda a determinar sus raıces oceros, lo cual es uno de los problemas fundamentales del algebra. Este pro-blema es equivalente a resolver ecuaciones del tipo P (x) = 0 donde P (x), ennuestro caso, es un polinomio. En las siguientes subsecciones se presentandos resultados importantes relacionados con las raıces o ceros de un polino-mio:

El problema de resolver ecuaciones lineales, es decir, cuando P (x) esun polinomio de grado 1.

El problema de resolver ecuaciones cuadraticas, es decir, cuando P (x)es un polinomio de grado 2.

La relacion que existe entre los coeficientes de un polinomio de gradomayor que 1 y sus raıces.


5.3.2. Ecuaciones Lineales

Definicion 15. Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones lla-madas miembros de la ecuacion. En una ecuacion hay sımbolos conocidos oque se suponen conocidos y otros sımbolos que representan valores desco-nocidos o incognitas.

Definicion 16. Todo numero que satisface una ecuacion se llama raız osolucion de dicha ecuacion, es decir dicho numero convierte a la ecuacionen una identidad.

Definicion 17. Un cero de una funcion f(x) es raız de la ecuacion f(x) =0. En el caso particular de la funcion lineal f(x) = a0x + a1 con a0 = 0, x esraız de f(x) si a0x+ a1 = 0; esta ultima relacion se llama ecuacion lineal.

Para resolver una ecuacion lineal procederemos como se indica a conti-nuacion.

1. Sumar y restar terminos en la igualdad de tal manera que uno de loslados de esta quede igual a cero.

2. Realizar la reduccion de terminos semejantes, hasta obtener una ecua-cion de la forma ax+ b = 0.

3. Despejar la variable desconocida o incognita, respetando las propieda-des de adicion y multiplicacion. Es decir si a = 0 entonces x = − b

a .

Ejemplo 5.8. Hallar el valor de z en la ecuacion 2z− 7 = − 19

3 .

Solucion.2

z− 7 = −

19

32

z= −

19

3+ 7

2

z=

2

3de donde z = 3.

Ejemplo 5.9. Hallar el valor de x en la ecuacion 5x+ 2

5 = 3x+ 1.

Solucion.5

x+

2

5=

3

x+ 1

5

x−

3

x+

2

5= 1

5

x−

3

x= 1−

2

52

x=

3

52(5) = 3(x)

de donde x = 103 .

5.3. PARTE 3 83

Ejemplo 5.10. Encontrar los numeros que satisfacen la ecuacion ax+b2 =a2 + bx, en donde a = b.

Solucion.

ax+ b2 = a2 + bx

ax+ b2 − a2 − bx = 0

(a− b)x+ (b2 − a2) = 0

x =−(b2 − a2)

a− b

x =a2 − b2

a− b

x =(a− b)(a+ b)

a− bx = a+ b

Ejemplo 5.11. Cierto trabajo puede ser efectuado por A en 4 dıas y por Ben 6 dıas ¿Cuanto tiempo necesitan para realizar todo el trabajo juntos?.

Solucion. Sea x = el numero de dıas para realizar todo el trabajo. Ası, tene-mos

1

x= Parte del trabajo que hagan juntos en un dıa.

1

4= Parte del trabajo que hace A en 1 dıa.

1

6= Parte del trabajo que hace B en 1 dıa.

Entonces1

x=

1

4+

1

61

x=

5

12

x =12

5.

Por lo tanto A y B hacen el trabajo juntos en 2.4 dıas.

Definicion 18. Un Sistema de dos ecuaciones lineales son ecuacionesque se tienen que satisfacer de forma simultanea, es decir que las ecuaciones

{

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

(5.2)

deben ser satisfechas por los mismos valores para x y y.

Existen distintos metodos de solucion entre los que se encuentran:

Sustitucion,


Suma y Resta,

Igualacion

Sustitucion. Consideremos el sistema (5.2). Si a1 = 0, despejamos la varia-ble x de la primer ecuacion

x =c1 − b1y

a1, (5.3)

sustituyendo x en la segunda ecuacion obtenemos

a2

(c1 − b1y

a1

)

+ b2y = c2

a continuacion resolvemos la ecuacion obtenida para la variable y. Si a1b2 −a2b1 = 0, entonces

a2c1 − a2b1y + a1b2y = a1c2

y =a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

.

Para encontrar el valor de x sustituimos este valor de y en (5.3)

x =

c1 − b1

(a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

)

a1=

b2c1 − b1c2a1b2 − a2b1

.

Suma y Resta. Consideremos el sistema (5.2). Para cancelar la variable x,multiplicamos la primer ecuacion por a2 y la segunda por −a1. Sumamos lasecuaciones obtenidas para llegar a una ecuacion en la variable y

a1a2x+ a2b1y = a2c1−a1a2x− a1b2y = −a1c2(a2b1 − a1b2) y = a2c1 − a1c2

Si a1b2 − a2b1 = 0, resolvemos la ecuacion obtenida para la variable y

y =a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

.

Procedemos de forma analoga con los coeficientes de y, para eliminar estaultima variable

a1b2x+ b1b2y = b2c1−a2b1x− b1b2y = −b1c2(a1b2 − a2b1)x = b2c1 − b1c2

como a1b2−a2b1 = 0, podemos resolver la ecuacion obtenida para la variablex

x =b2c1 − b1c2a1b2 − a2b1

.

5.3. PARTE 3 85

Igualacion. Consideremos el sistema (5.2). Si a1 = 0 y a2 = 0, despejamosla variable x de ambas ecuaciones e igualamos los valores

c1 − b1y

a1= x =

c2 − b2y

a2.

Tomando los extremos de la expresion anterior, resolvemos la ecuacion obte-nida para la variable y. Si a1b2 − a2b1 = 0, entonces

a2c1 − a2b1y = a1c2 − a1b2y

a1b2y − a2b1y = a1c2 − a2c1

y =a1c2 − a2c1a1b2 − a2b1

.

Si b1 = 0 y b2 = 0, despejamos y, igualamos los valores de y para obteneruna ecuacion en la variable x y la resolvemos para tal variable, considerandoque a1b2 − a2b1 = 0, es decir

c1 − a1x

b1= y =

c2 − a2x

b2b2c1 − a1b2x = b1c2 − a2b1x

x =b2c1 − b1c2a1b2 − a2b1

.

Observacion. Cuando a1b2−a2b1 = 0 se sigue que a1b2 = a2b1, entoncesa1

a2= b1

b2= r = 0, es decir, ra2 = a1, rb2 = b1. Al sustituir los valores de a1 y b1

en (5.2) se obtiene un sistema de ecuaciones en donde, a excepcion de losterminos independientes, una ecuacion es multiplo de la otra, en efecto

ra2x+ rb2y = c1

a2x+ b2y = c2

Cuando c1 = rc2 entonces la solucion es toda la recta a2x+b2y = c2; mientrasque si c1 = rc2, las rectas determinadas por cada una de las ecuaciones delsistema son paralelas y distintas, por lo que no se intersectan, lo cual nosindica que el sistema no tiene solucion.

Ejemplo 5.12. Resolver el sistema de ecuaciones por el metodo de susti-tucion {

3r + 4s = 3r − 2s = −4

Solucion. Aprovechando que el despeje es inmediato, despejamos la variabler de la segunda ecuacion,

r = −4 + 2s,

sustituyendo r en la primera ecuacion obtenemos

3(−4 + 2s) + 4s = 3


a continuacion resolvemos la ecuacion obtenida para la variable s:

−12 + 10s = 3

10s = 3 + 12

s =15

10=

3

2.

Para encontrar el valor de r simplemente sustituimos este valor de s en laexpresion encontrada previamente para r,

r = −4 + 2s

r = −4 + 2

(3

2

)

r = −4 + 3

r = −1.

Ejemplo 5.13. Resolver el sistema de ecuaciones por el metodo de sumay resta

{ 2x+ 3

y= −2

4x− 5

y= 1

Solucion. Tomando x′ = 1x y y′ = 1

y tenemos:

{

2x′ + 3y′ = −24x′ − 5y′ = 1

Para cancelar la variable y′, multiplicamos por 5 la primera ecuacion y por 3la segunda, de manera que si sumamos las ecuaciones obtenidas, llegamosa una ecuacion en la variable x′.

10x′ + 15y′ = −1012x′ − 15y′ = 3

22x′ = −7

De donde x′ = −722 . Sustituyendo x′ = 1

x obtenemos el valor de x.

x =−22

7

Ahora procedemos a encontrar el valor de la variable y′:

2x′ + 3y′ = −2

2

(−7

22

)

+ 3y′ = −2

3y′ = −2 +

(14

22

)

3y′ =−30

22

y′ =−5

11

5.3. PARTE 3 87

Finalmente, sustituyendo y′ = 1y encontramos el valor de y:

y =1

y′=

−11

5.

Ejemplo 5.14. El costo total de 41 entradas a un concierto es $12, 600.00.Si las entradas cuestan $200 y $400 ¿Cuantas entradas de cada tipo se com-praron?.

Solucion. Sean x y y el numero de entradas compradas de $200 y $400,respectivamente. Entonces

{

x+ y = 41200x+ 400y = 12600

Por lo tanto, concluimos que y = 22 y x = 19, es decir, se compraron 19entradas de $200 y 22 entradas de $400.

Ejercicios faciles

1. Simplifica

x− x2+y2

y

1x − 1

y

÷x3 + y3

x2 − y2

2. Simplifica

m2 −mn

m3 −m2n+mn2 − n3

3. Simplificax2+x−2x2−x−6x2+5x+6

x2−9

4. Resolver por el metodo de suma y resta

{ 2x+ 3

y= −2

4x− 5

y= 1

5. Hallar el numero que, disminuido en sus 23 partes equivale a su duplo

disminuido en 25.

6. La edad de Enrique es 53 de la edad de Juan, y si ambas edades se

suman, la suma excede en 4 anos al doble de la edad de Juan. ¿Cualesson las respectivas edades?



1. Simplificar

x2 + 3x+9

4−

25

4y2

x−5

2y +

3

2

2. Resolver {

x2 − y2 = 100x− y = 2

3. Hallar un valor de m para que el sistema de ecuaciones tenga solucioncon signos opuestos

{

mx+ (2m− 1)y = 3mx+my = m

4. Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene 25% de alcohol¿Cuantos litros de alcohol se deben agregar para obtener una mezclaque contenga alcohol al 50%?

5. Se debe mezclar cafe de $130/kg con cafe de $142.50/kg para produciruna mezcla que se vendera a $135.00/kg ¿Que cantidad de cada unose debe usar para obtener 50kg de la nueva mezcla?

6. Suponer a, b, c = 0 y resolver

a

ac+ bc+

a− b

2bx=

a+ b

2bc−

b

ax+ bx


1. ¿Para que valores de a, b las expresiones para F (x) y G(x) son iguales?

F (x) =a

x− 1+

b

x+ 1G(x) =

5x− 1

x2 − 1

2. ¿Para que valores de a, b y c las expresiones para F (x) y G(x) soniguales?

F (x) = c+a

x− 1+

b

x− 2G(x) =

x2 + x+ 1

x2 − 3x+ 2

3. Un avion sale de la Ciudad de Mexico y viaja a 650 km/h hacia Xalapa.Al mismo tiempo, otro avion parte de Xalapa y viaja a 800 km/h hacia laCiudad de Mexico. Si las ciudades estan a 570 km de distancia ¿Cuantotardaran en encontrarse los aviones? ¿A que distancia de la Ciudad deMexico se encontraran?


4. Un automovil sale de una ciudad a 60 km/h ¿Cuanto tardara en alcan-zarlo otro auto que vaya a 80 km/h y parta dos horas despues?


F (x) =a

x+ 1+

bx+ c

x2 + x+ 1G(x) =

x2 − 3x− 2

x3 + 2x2 + 2x+ 1


F (x) =a

x+ 1+

bx+ c

x2 − x+ 1G(x) =

3x2 − x

x3 + 1

5.4. Material extra

5.4.1. Ecuaciones cuadraticas

La forma general o canonica de una ecuacion de segundo grado o cuadrati-ca es

ax2 + bx+ c = 0, (5.4)

en donde a = 0. Los metodos de solucion mas comunes estan basados en elproceso de factorizacion como veremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5.15. Resolver la siguiente ecuacion por factorizacion.

(x+ 1)2 − 4x = 16.

Solucion. Primero se debe poner la ecuacion en su forma canonica, es decir,

(x+ 1)2 − 4x = 16

(x2 + 2x+ 1)− 4x = 16

x2 − 2x− 15 = 0.

Una vez que se tiene en esta forma, se factoriza la ecuacion

(x− 5)(x+ 3) = 0.

Debido a que tenemos el producto de dos expresiones igualado a cero, en-tonces debe ocurrir que x − 5 = 0 o bien x + 3 = 0, obteniendose ası las dossoluciones de la ecuacion cuadratica inicial

x = 5, x = −3.

Ejemplo 5.16. Resolver la siguiente ecuacion por factorizacion.

6(x+ 1)2 − 17x = 12.


Solucion. Primero se debe poner la ecuacion en su forma canonica, es decir

6x2 − 5x− 6 = 0.

Una vez que se tiene en esta forma, se factoriza la ecuacion

(2x− 3)(3x+ 2) = 0.

Debido a que tenemos el producto de dos expresiones igualado a cero, en-tonces debe ocurrir que 2x − 3 = 0 o bien 3x + 2 = 0, obteniendose ası lasdos soluciones de la ecuacion cuadratica inicial

x =3

2, x = −

2

3.

Ejemplo 5.17. Resolver la ecuacion por factorizacion

4x2 + 4x+ 1 = 0.

Solucion. En este caso la ecuacion es un trinomio cuadrado perfecto, por loque al factorizarlo se obtiene

(2x+ 1)2 = 0

Ası sus soluciones seran x = − 12 , de multiplicidad 2.

Ejemplo 5.18. Resolver por factorizacion

9x2 − 4 = 0.

Solucion. La ecuacion se puede factorizar como una diferencia de cuadrados

(3x− 2)(3x+ 2) = 0

Al igual que en el primer ejemplo se tiene que uno de los dos factores deberaser cero, obteniendose ası las soluciones de la ecuacion cuadratica

x =2

3, x = −

2

3.

En general nos interesa resolver la ecuacion de segundo grado

ax2 + bx+ c = 0.

en donde a = 0. Dado que esta es una ecuacion con coeficientes no cons-tantes, la manera mas sencilla de factorizarla es completando el trinomio cua-drado perfecto, entonces nos percatamos de que la ecuacion

x2 +b

ax = −

c

a


requiere del cuadrado del termino b2a para que el lado izquierdo de la igualdad

sea un trinomio cuadrado perfecto. Al sumarlo en ambos lados de la ecuaciony factorizar el lado izquierdo se obtiene

(

x+b

2a

)2

= −c

a+

b2

4a2=

b2 − 4ac

4a2.

Ası, resolviendo para x se obtiene

x = −b

2a±√

b2 − 4ac

4a2=

−b±√b2 − 4ac

2a(5.5)

Observacion. La ecuacion dada por (5.5) se llama Formula General deSegundo Grado y la expresion dentro de la raız cuadrada D := b2 − 4ac,se denomina discriminante de la ecuacion de segundo grado. Dependiendode los valores de este, podemos tener alguna de las siguientes situacionesrespecto a las raıces (soluciones), x1 y x2, de la ecuacion (5.4):

1. Si D > 0 entonces x1, x2 ∈ R y x1 = x2.

2. Si D = 0 entonces x1, x2 ∈ R y x1 = x2. En este caso se dice que la raızx1 de la ecuacion (5.4) es de multiplicidad dos.

3. Si D < 0 entonces x1, x2 /∈ R y diremos que la ecuacion (5.4) no tienesoluciones reales, sin embargo sı las tiene en C y ademas ellas sonconjugadas x2 = x1.

Ejemplo 5.19. Resolver la siguiente ecuacion por formula general.

(x+ 1)2 − 4x = 16.

Solucion. Primero se debe poner la ecuacion en su forma canonica, es decir,

(x+ 1)2 − 4x = 16

(x2 + 2x+ 1)− 4x = 16

x2 − 2x− 15 = 0.

Una vez que se tiene en esta forma, notamos que los coeficientes son a =1, b = −2 y c = −15 por lo que, al sustituir en (5.5) obtenemos

x =−(−2)±

√

(−2)2 − 4(1)(−15)

2(1)=

2±√4 + 60

2=

2± 8

2

obteniendose ası las dos soluciones de la ecuacion cuadratica inicial

x =2 + 8

2= 5, x =

2− 8

2= −3.

Ejemplo 5.20. Resolver la siguiente ecuacion utilizando formula general.

6(x+ 1)2 − 17x = 12.


Solucion. Primero se debe poner la ecuacion en su forma canonica, es decir

6x2 − 5x− 6 = 0.

Una vez que se tiene en esta forma, notamos que los coeficientes son a =6, b = −5 y c = −6, por lo que, al sustituir en (5.5) obtenemos

x =−(−5)±

√

(−5)2 − 4(6)(−6)

2(6)=

5±√25 + 144

12=

5± 13

12

obteniendose ası las dos soluciones de la ecuacion cuadratica inicial

x =5 + 13

12=

18

12=

3

2, x =

5− 13

12=

−8

12= −

2

3.

Ejemplo 5.21. Resolver la ecuacion usando formula general

4x2 + 4x+ 1 = 0.

Solucion. Notemos que los coeficientes son a = 4, b = 4 y c = 1 por lo que,al sustituir en la formula general (5.5) obtenemos:

x =−(4)±

√

(4)2 − 4(4)(1)

2(4)=

−(4)±√0

8= −

1

2.

Dado que D = 0, la raız es de multiplicidad dos, coincidiendo con el resultadoobtenido por factorizacion.

Ejemplo 5.22. En una ciudad, la ecuacion de la demanda de gasolinaes d = 900

p y la de la oferta s = p − 80 donde d y s son numeros de galones

demandados y suministrados en millares y p precio por galon en pesos. Hallarel precio tal que la oferta sea igual a la demanda.

Solucion. Como queremos que la oferta sea igual que la demanda, tenemosque

900

p= p− 80

p2 − 80p− 900 = 0(p− 90)(p+ 10) = 0

Por lo tanto p = $90.00.

5.4.2. Formulas de Vieta

Notemos que si un polinomio monico de grado 2, P (x) = x2+p1x+q1, es fac-torizado, entonces lo podemos ver como el producto de dos factores lineales,es decir

P (x) = (x− a1)(x− b1),


al desarrollar este ultimo producto y comparar con los coeficientes del polino-mio original obtenemos:

p1 = −(a1 + b1) q1 = a1b1.

Si procedemos de igual forma con un polinomio monico de grado 3, P (x) =x3 + px2 + qx+ r tenemos que, si sus factores lineales son x− a, x− b y x− centonces se cumplen las relaciones

p = −(a+ b + c) q = ab+ bc+ ac r = −abc.

Observemos que, los factores lineales nos indican las respectivas raıcesde los polinomios (x = a1 y x = b1), por lo que las igualdades obtenidas con p1y q1 nos indican la relacion que existe entre los coeficientes de un polinomioy sus raıces. Estas relaciones se llaman formulas de Vieta.

Ejemplo 5.23. Las raıces del polinomio x2 + αx+ β + 1 = 0 son numerosnaturales. Muestre que α2 + β2 no es primo.

Solucion. Supongamos que a y b son las raıces del polinomio, por las formu-las de Vieta tenemos que

α = −(a+ b) y β + 1 = ab.

Como a y b son numeros naturales tenemos que

α2 + β2 = [−(a+ b)]2 + [ab− 1]2 = (−1)2[a+ b]2 + [ab− 1]2

= [a2 + 2ab+ b2] + [(ab)2 − 2ab+ 1] = a2 + b2 + (ab)2 + 1

= a2 + b2(1 + a2) + 1 = (1 + a2)(1 + b2)

es decir, α2+β2 es el producto de dos numeros mayores a 1 y en consecuen-cia no puede ser primo.

Ejemplo 5.24. Indicar el signo de las soluciones de

458x2 + 34592x+ 89754 = 0.

Solucion. Dada la magnitud de los coeficientes de la ecuacion cuadratica, in-tentar hallar las raıces de esta, ya sea por formula general o por factorizacion,puede resultar una actividad muy laboriosa.

Notemos entonces que, hallar las soluciones de esta ecuacion cuadraticaes equivalente a hallar las soluciones de

x2 +34592

458x+

89754

458= 0

y estas ultimas son equivalentes a hallar las raıces del polinomio cuadratico

P (x) = x2 + p1x+ q1 con p1 =34592

458, q1 =

89754

458.


Ahora, a partir de las Formulas de Vieta, tenemos que las raıces de dichopolinomio, llamemoslas r1 y r2, deben cumplir que

−(r1 + r2) = p1 =34592

458r1r2 = q1 =

89754

458,

es decir,

la suma de las raıces debe ser un numero negativo,

el producto de las raıces debe ser un numero positivo, lo cual implicaque las raıces deben tener el mismo signo.

De las dos observaciones anteriores tenemos entonces que ambas raıces deP (x) deben ser negativas, y por tanto las soluciones de la ecuacion cuadraticainicial tambien lo son.

Ejemplo 5.25. Un tren recorre 300km con velocidad constante. Si la velo-cidad hubiese sido 10km mayor, el tiempo hubiera sido de una hora menos.Hallar la velocidad del tren.

Solucion. Sean

x = la velocidad del tren,300

x= tiempo original,

300

x+ 10= tiempo a velocidad mayor.

Entonces300

x−

300

x+ 10= 1

x2 + 10x− 3000 = 0

Conforme a las formulas de Vieta, las raıces de esta ecuacion, digamos x1

y x2, deberan cumplir que x1 + x2 = 10 y x1x2 = −3000. De esta ultimacondicion observamos que, solamente uno de los valores obtenidos deberaser positivo por lo que dicho valor debe ser la solucion a nuestro problema.

Resolviendo la ecuacion cuadratica (por factorizacion o por formula gene-ral) obtenemos que la solucion positiva es: x = 50km/h.

Ejercicios faciles

1. Resolver {

x2 + y2 = 41x− y = −1

2. Resolver {

x2 + y2 = 100x− y = 2



1. Resolver {

x(x + y) = 9y(x+ y) = 16

2. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $6000.00 en partesiguales. Si hubiera habido 2 miembros mas, el costo por cada miembrohubiera sido $100.00 menos. Calcular el numero de miembros del club.


1. ¿Cuanto vale la suma de las raıces de ax4 + bx2 + c = 0 (a = 0)?

2. Resolver {

x2 + y2 = 4 49

3xy = 4

3. Resolver

9

(1

3x+

3

5

)2

− 69

(1

3x+

3

5

)

+ 1 = 0

4. Determinar el valor de k en la ecuacion

(k + 5)x2 + 4x+ k2 + 3 = 0,

de tal manera que las raıces sean recıprocas la una de la otra.

Referencias

ARIAS CABEZAS, J. M. e I. Maza Saez. Aritmetica y Algebra. En CarmonaRodrıguez, Manuel; Dıaz Fernandez, Francisco Javier. Matematicas 1. Ma-drid, Grupo Editorial Bruno (2008).

ANTONYAN, N., L. Medina and P. Wisnieswski, Problemario de precalculo, 2aed. Mexico, International Thomson Editores (2003).

BULAJICH MANFRINO, R., J. A. Gomez Ortega y R. Valdez Delgado. Algebra.Cuadernos de olimpiadas de matematicas. Instituto de Matematicas, UNAM,Mexico, 2014.

DE OTEYZA, E. Geometrıa analıtica y trigonometrıa. Mexico, Pearson Edu-cacion Prentice Hall (2001).

FULLER, G., W. L. Wilson, H. C. Miller, Algebra universitaria, 14a reimpr. Mexi-co, CECSA (2002).

LEHMANN, C. H. Algebra, 46a reimpr. Mexico, Limusa (2010).


SWOKOWSKI, E. W. and J. A. Cole, Algebra y trigonometrıa con geometrıaanalıtica, 12a ed. Mexico, International Thomson Editores (2009).

Induccion al pensamiento´ · 2020. 10. 23. · 5. x es mam´ıfero o x es acuatico´ .(Disyuncion)...

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