Indices Gestão 2013 2014 TF
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1. Nmeros ndices
Curso de Gesto 2013/2014 Ter
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N
mer
os
nd
ices
1
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Nmeros ndices
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De ampla aplicao na Economia e na Indstria, os nmeros ndices so utilizados nas mais diversas reas, sempre que necessrio medir e comparar de forma simples as alteraes sofridas por determinado fenmeno.
Um NMERO NDICE uma medida estatstica que permite expressar a variao relativa de uma ou mais variveis, ao longo do tempo ou no espao.
2
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Nmeros ndices
Nmeros ndices
tipos
ndices Simples
traduzem a evoluo de um s fenmeno
ndices Sintticos (Agregados)
traduzem a evoluo de um conjunto de
fenmenos
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Nmeros ndices
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Em vez da designao de nmero ndice usa-se simplesmente a de ndice.
ndices
ndices de Preos
Medem variaes relativas de preos
ndices de Quantidades
Variveis definidas em unidades
fsicas
ndices de Valor
Preo X Quantidade
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Nmeros ndices
Na sua forma mais simples, um nmero ndice no seno uma percentagem (proporo relativa) indicando a relao entre dois valores referentes a diferentes perodos de tempo.
Os nmeros ndices tornam as comparaes mais fceis e imediatas: torna-se mais fcil comparar variaes observadas para diferentes produtos expressos em diferentes unidades de medida, uma vez que todos os valores so convertidos em percentagens relativamente ao perodo base.
Permitem ainda evidenciar variaes sazonais tpicas: uma vez transformados os valores iniciais em nmeros ndices, possvel identificar flutuaes referentes a subperodos que se repetem ao longo de vrios anos observados.
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ndices Simples
Consideremos uma varivel , cujo valor conhecido em perodos de tempo.
Para determinar a variao de intensidade de entre um perodo 0 (perodo base) e um qualquer outro perodo de comparao , calcula-se o ndice simples:
0 =0
100
A escolha do perodo que serve de base de comparao pode ser feita em funo da natureza do problema ou por qualquer critrio julgado conveniente.
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Perodo 0 1 2 t n
0 1 2
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ndices Simples
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Perodo ndice
0 0 0 0 =00
100 = 100
1 1 1 0 =10
100
2 2 2 0 =20
100
0 =0
100
0 =0
100
ndice 100 Perodo base
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ndices Simples
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Exerccio 1. Considere os seguintes dados, relativos ao comportamento das vendas, em milhares de euros, de uma determinada empresa:
a) Construa a srie de ndices de base fixa tomando como base o ano de 1997. Interprete o valor do ndice relativo no ano de 1999.
1999 1997 =19991997
100 =600
500 100 = 120
Em 1999 observou-se um aumento de 20% das vendas, em relao a 1997.
Ano 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Vendas 500 650 600 800 750 950
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ndices Simples
Quando se pretende comparar variveis muito afastadas no tempo, os ndices simples de base fixa no so adequados. Devido utilizao da mesma base para todos eles, estes ndices perdem significado medida que o perodo de comparao se afasta do perodo base.
Para cada perodo , os ndices elo usam como base o valor da varivel no perodo imediatamente anterior, 1, obtendo-se assim informao sobre as alteraes percentuais entre perodos sucessivos.
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ndices Simples
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Perodo ndice de base fixa ndice elo
0 0 0 0 =00
100 = 100 -
1 1 1 0 =10
100 1 0 =10
100
2 2 2 0 =20
100 2 1 =21
100
0 =0
100 1 =1
100
0 =0
100 1 =1
100
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ndices Simples
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Exerccio 1. (cont.)
a) Analise a evoluo de preos ocorrida entre anos consecutivos. Calculando os ndices elo:
98 97 =650
500 100 = 130; 99 98 =
600
650 100 = 92,3;
00 99 =800
600 100 = 133; 01 00 =
750
800 100 = 93,8;
02 01 =950
750 100 = 127 .
De 1997 para 1998, o preo aumentou 30% (130-100); de 1998 para 1999, o preo diminuiu 7,7% (92,3-100)
Ano 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Vendas 500 650 600 800 750 950
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ndices Simples Define-se taxa de variao (ou de crescimento) no perodo e + por:
+ =+
, = 0,1,2,
Este conceito permite estabelecer a relao entre a taxa de variao e os ndices:
+ =+
=+
1 = + 1 + = + + 1
Paricularmente: = a taxa de crescimento (acumulada) no perodo de 0 a t.
A taxa de variao unitria de para + 1 definida por:
+1 =+1
=+1
1 = +1 1 +1 = +1 + 1
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ndices Simples
Na impossibilidade de se calcular os ndices elo, por no se dispor da informao acerca do valor da varivel em cada perodo, possvel determinar a taxa de variao entre dois perodos sucessivos a partir dos ndices de base fixa.
Tem-se
+1 =+1 0 0
sendo a taxa de crescimento entre os valores registados nos perodos e + 1 dada por:
+1 =+1 0 0
0=+1 0 0
1
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ndices Simples
Exerccio 1. (cont.)
b) Determine a taxa de crescimento das vendas no perodo de 1997 a 2002.
2002 1997 =950 500
500= 0,9
A taxa de crescimento, no perodo de 1997 a 2002, foi de 90%.
Conhecendo o ndice 2002 1997 = 190, pode obter-se 2002 1997 = 1,9 1 = 0,9
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ndices Simples
A taxa de variao mdia referente a perodos, de para + , definida por:
+ = 1 + + 1 1 = +
1 1
onde representa o nmero de perodos de variao.
A taxa de variao mdia corresponde taxa de crescimento em cada perodo unitrio (um ano, por exemplo). Considera-se a taxa unitria idntica para todos os perodos.
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ndices Simples
Exerccio 1. (cont.)
c) Determine a taxa de crescimento mdia de 1997 para 2002.
2002 1997 = 2002 199715 1 = 1,9
15 1 = 0,14
A taxa de crescimento mdia de 1997 para 2002 de 14%.
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ndices Simples
d) Determine a taxa de crescimento mdia no perodo de 1999 a 2001
2001 1999 =750 600
600= 0,25
2001 1999 = 1 + 0,2512 1 = 1,12 1 = 0,12
A taxa de crescimento mdia de 1999 para 2001 de 12%.
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ndices Simples
Propriedades dos ndices simples
1. Boa determinao: 0 0 ; 0
2. Proporcionalidade: = 0 0 =
3. Identidade: 0 0 = 1 0 0 = 100
4. Homogeneidade: o ndice no sensvel a alteraes das unidades de medida.
5. Reversibilidade no tempo: 0 =1
0
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18 0 t 0
0
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ndices Simples
Propriedades dos ndices simples
6. Encadeamento/Circularidade: 0 = 1 0 2 1 3 2 1
Um ndice para o perodo cuja base o perodo 0 pode ser calculado atravs do perodo de dois ndices:
0 = 0, 0 < <
Observao: 1 = 0
1 0
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ndices Simples Propriedades dos ndices simples
7. Reverso de factores:
0 = 0
0
ndice ndice ndice
de valor de preos de quantidades
taxa taxa taxa
de crescimento de inflao de crescimento
nominal real poder de compra
O produto da variao dos preos pela variao nas quantidades, quando se calculam os ndices de preos e quantidades pela mesma frmula, deve dar origem a um ndice de valores.
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ndices Simples Exerccio 2.
Uma determinada empresa apresentou no seu relatrio de contas os seguintes elementos:
Tomando como 2002 o ano base para o ndice de preos:
a) Determine os ndices elo dos preos, no perodo em estudo.
ndices elo: 01 00 =
0,8929
0,8117= 1,10 ; 02 01
=1
0,8929= 1,12;
03 02 =
1,15
1= 1,15 ; 04 03
=1,288
1,15= 1,12; 05 04
=1,4812
1,288= 1,15
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21 Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Elos preos ___ 110 112 115 112 115
-
ndices Simples Exerccio 2. (cont.)
b) Determine a taxa anual de crescimento real das vendas, nos anos em que esta foi negativa. Comente os resultados obtidos.
= =
01 00 =
1,20
1,10= 1,09 ; 02 01
=1,15
1,12= 1,03 ; 03 02
=1,20
1,15= 1,04 ;
04 03 =
1,10
1,12= 0,98 ; 05 04
=1,25
1,15= 1,09
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Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Taxa var. fact. ___ 20% 15% 20% 10% 25%
ndice preos 81,17 89,29 100 115,00 128,80 148,12
Elos preos ___ 110 112 115 112 115
Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Elos valor ___ 120 115 120 110 125
-
ndices Simples Exerccio 2. (cont.)
04 03 = 04 03
1 = 0,98 1 = 0,02
De 2003 para 2004, a taxa real das vendas decresceu 2%.
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Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Taxa var. fact. ___ 20% 15% 20% 10% 25%
ndice preos 81,17 89,29 100 115,00 128,80 148,12
Elos preos ___ 110 112 115 112 115
Elos valor ___ 120 115 120 110 125
Elos quantidades
___ 109 103 104 98 109
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ndices Simples Exerccio 2. (cont.)
c) Calcule e interprete a taxa mdia anual de crescimento real e nominal da facturao.
Taxa mdia anual de crescimento real: 05 00 = 05 00
15 1 =
= 1,09 1,03 1,04 0,98 1,0915 1 = 1,25
15 1 =
= 0,05, quer isto dizer que as quantidades produzidas crescem em mdia 5% ao ano.
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Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Taxa var. fact. ___ 20% 15% 20% 10% 25%
ndice preos 81,17 89,29 100 115,00 128,80 148,12
Elos preos ___ 110 112 115 112 115
Elos valor ___ 120 115 120 110 125
Elos quantidades
___ 109 103 104 98 109
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ndices Simples
A evoluo real das vendas de uma empresa feita tendo em conta o valor da produo no perodo avaliada aos preos do perodo base. A evoluo real traduz o valor dos bens e servios produzidos recorrendo-se, para o clculo, das quantidades produzidas no perodo em anlise usando os preos desses bens e servios que se encontravam em vigor num dado perodo de referncia e assim tomado como base, isolando as alteraes de preos de mercado (como se estes fossem constantes) do crescimento real do produto.
A evoluo real das vendas , portanto, representada por um ndice de quantidades.
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ndices Simples Exerccio 2. (cont.)
c) (Cont.)
Taxa mdia anual de crescimento nominal:
05 00 = 05 00
15 1 =
= 1,20 1,15 1,20 1,10 1,2515 1 = 2,28
15 1 =
= 0,18
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Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Taxa var. fact. ___ 20% 15% 20% 10% 25%
ndice preos 81,17 89,29 100 115,00 128,80 148,12
Elos preos ___ 110 112 115 112 115
Elos valor ___ 120 115 120 110 125
Elos quantidades
___ 109 103 104 98 109
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ndices Agregados
Um ndice diz-se agregado quando se refere evoluo simultnea de um conjunto de fenmenos.
Considerem-se fenmenos (exemplo: variao de preos de vrios artigos). Sejam as intensidades no perodo 0 e as intensidades no perodo para o qual se pretende calcular o ndice, respectivamente:
0, 0 , 0
, e , ,
,
(Nota: o nmero de plicas representa o nmero de fenmenos.)
Os correspondentes ndices simples so:
0 =0
100, 0 =
0 100, 0
=
0 100,
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ndices Agregados
Existem vrios procedimentos para obter o ndice agregado (ou, tambm, o ndice sinttico). Designando por 0 o ndice agregado, no perodo , tem-se, para fenmenos:
0 =1
0 mdia aritmtica
0 = 01 mdia geomtrica
0 =
1
0
mdia harmnica
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ndices Agregados
Outro processo de clculo considerar, no uma mdia dos ndices simples mas um ndice das mdias das intensidades:
0 =
1
1 0
= 0
Nota: S tem sentido calcul-lo quando os fenmenos so expressos na mesma unidades e a respectiva soma faa sentido.
Este ndice do tipo agregativo em que cada gradeza ou fenmeno entra com o mesmo peso na definio do ndice. Mais geralmente, pode definir-se um ndice agregado ponderado em que os vrios fenmenos entram com pesos diferentes. A funo destes pesos dar importncia desigual aos vrios fenmenos.
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ndices Agregados
De uma maneira geral, considerando fenmenos, as ponderaes
,, , (ponderaes iguais para todos os perodos)
ou
, ,
, (ponderaes diferentes consoante o perodo )
conduzem aos ndices, respectivamente:
0 = . 0
ou
0 = . 0
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ndices Agregados
Na aplicao econmica frequente a utilizao dos ndices de preos e de quantidades, que se destinam a avaliar a evoluo temporal de preos ou quantidades de um determinado conjunto de bens habitualmente designado por cabaz.
Os preos so tanto mais importantes quanto maior as quantidades produzidas (ou consumidas), donde as quantidades devem ser os coeficientes de ponderao dos preos, e vice-versa.
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ndices Agregados
ndice de Laspeyres
No clculo do ndice de preos, os preos do perodo para o qual se quer calcular o ndice, , so ponderados pelas quantidades do perodo base, 0.
0 =
0
0
Onde representa o nmero do artigo do cabaz
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ndices Agregados
ndice de Laspeyres
Para o ndice de quantidades, os coeficientes de ponderao so os preos do perodo base:
0 =
0
00
Onde representa o nmero do artigo do cabaz
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ndices Agregados
ndices de Paasche
Os ndices de Paasche necessitam para o seu clculo do valor da quantidade referente ao perodo , instante actual, que difcil de obter.
0 =
0
0 =
0
Onde representa o nmero do artigo do cabaz
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ndices Agregados
Relativamente aos ndices de preos, a frmula de Laspeyres tem a vantagem de apenas requerer dados sobre os ponderadores (quantidades) para o perodo base, enquanto a de Paasche obriga a actualizar essa informao.
A desvantagem da frmula de Laspeyres reside no facto de os ponderadores utilizados poderem desactualizar-se, o que no acontece na frmula de Paasche.
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ndices Agregados
Os ndices de Paasche so mais dinmicos uma vez que reflectem a importncia relativa actual dos vrios itens.
Os ndices de Paasche so mais actualizados que os de Laspeyres uma vez que reflectem a situao corrente em termos das ponderaes utilizadas.
Como desvantagem, os ndices de Paasche requerem informao completa sobre preos e quantidades para todos os itens.
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ndices Agregados
Laspeyres Paasche
Usa as quantidades do perodo base
Usa quantidades do perodo corrente
Pode ficar desactualizado Est sempre actualizado
Tende a exagerar aumentos de preos
Tende a mascarar aumentos de preos T
eres
a Fe
rrei
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Relativamente ao ndices de preos (ndices de inflao), as frmulas de Laspeyres e Paasche tm vantagens e desvantagens..
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ndices Agregados
ndice de Fisher
O aparecimento de frmulas alternativas, prende-se com o facto de, alguns autores, defenderem que a verdadeira medida do custo de vida estaria compreendida entre os ndices de Laspeyres e de Paasche.
Destaca-se a frmula de Fisher, que corresponde mdia geomtrica dos ndices de Laspeyres e de Paasche:
0 = 0. 0 0 = 0. 0
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ndices Agregados ndices de Valores
O seu clculo idntico ao de um ndice de valores simples. Para cada perodo, multiplicam-se as quantidades pelos preos correspondentes e relacionam-se com o perodo base, mas, uma vez que se trata de um ndice agregado, ter de se somar o conjunto de todos os bens ou servios includos na anlise.
0 = 00
Um ndice de valores pode ser calculado a partir do produto de um ndice de Laspeyres por um de Paasche:
0 = 0 0 = 0 0
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ndice de valores para o perodo com base no perodo 0
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ndices Agregados ndice de Preos no Consumidor (IPC) O ndice de preos no consumidor (IPC) um indicador
fundamental para acompanhar a variao mdia de preos.
O IPC tem como objectivo medir a evoluo no tempo dos preos de um conjunto de bens e servios considerados representativos da estrutura de consumo da populao portuguesa.
O apuramento das variaes de preos realizado a partir de um conjunto de produtos, constitudo apenas por bens e servios consumidos pelos agregados familiares.
O painel contm um conjunto alargado de produtos tidos como adequados para o apuramento revisto, uma vez que h que ter em conta factores como as alteraes a nvel das preferncias dos consumidores e as mutaes tecnolgicas.
(mais informaes em http://alea-estp.ine.pt/html/statofic/html/dossier/doc/dossier3.pdf)
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Exerccios Resolvidos
1. Sabe-se que em 2006, o preo do Automvel Herbie era 20%
superior ao de 2005, 20% inferior ao de 2004 e 25% superior ao
de 2007. No ano de 2005 verificou-se um decrscimo de 5% em
relao a 2004.
a) Determine a srie de ndices elo para este bem. Apresente as
propriedades que utilizar.
b) Para o mesmo automvel, determine os ndices com base no
ano 2004. Apresente as propriedades que utilizar.
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Exerccios Resolvidos (cont.)
1. (cont.)
Da informao recolhida no enunciado, tem-se: 2006 2005 = 1,20 ; 2006 2004 = 0,80 ; 2006 2007 = 1,25 ; 2005 2004 = 0,95
Logo,
2007 2006 =1
2006 2007=
1
1,25= 0,8 , pela propriedade da reversibilidade.
2004 2004 = 1 , por tratarse do ndice no perodo base. 2007 2004 = 2007 2006 2006 2005 2005 2004 = 0,8 1,2 0,95
= 0,912 , pela propriedade da circularidade
E assim se obtm o quadro:
Tere
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2004 2005 2006 2007
- 95 120 80
100 95 80 91,2
-
Exerccios Resolvidos (cont.)
2. As vendas de uma empresa cresceram de 1500 u.m. em 2005 para 1600 u.m. em 2008. O crescimento dos preos de venda dos produtos foi de 3% em 2006, 3,5% em 2007 e de 3,2% em 2008. Calcule, para o perodo em anlise:
a) A taxa mdia de crescimento dos preos de venda.
b) A taxa mdia de crescimento real das vendas.
Dados do enunciado: 2005 = 1500 e 2008
= 1600
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2005 2006 2007 2008 Taxa
crescimento dos
preos - 3% 3,5% 3,2%
- 1,03 1,035 1,032
-
Exerccios Resolvidos (cont.) 2. (cont.)
a) Taxa mdia de crescimento dos preos de venda
2008 2005 = 2008 2005
13 1 = 2006 2005
2007 2006 2008 2007
3 1 =
= 1,03 1,035 1,0323
1 = 1,13
1 = 0,03 A taxa mdia de crescimento anual dos preos de venda 3%.
b) Taxa mdia de crescimento real das vendas
2008 2005 = 2008 2005
13 1 = 2008 2005
3 1
Sabe-se que
= =
2008 2005
=2008
2005 =
1600
1500= 1,067
2008 2005 =
2008 2005
2008 2005 =
1,067
1,1= 0,97 : 2008 2005
= 0,973
1 = 0,01
A taxa mdia de crescimento real das vendas negativa e igual a -1%
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2005 2006 2007 2008
Taxa
crescimento
dos preos
- 3% 3,5% 3,2%
- 1,03 1,035 1,032
-
Exerccios Resolvidos (cont.)
3. Considere a informao relativa a dois produtos de consumo dirio. Apresentam-se os preos e as quantidades antes e aps terem sido implementadas determinadas medidas de austeridade num pas em crise econmica. Para o perodo em anlise, o ndice de quantidades de Laspeyres igual a 91,4.
a) Suponha que o perodo decorrente entre os valores apresentados foi de 3 anos. Calcule a taxa mdia anual de crescimento para o preo do po.
0 = 0
1 3 1 =0,25
0,2
1 3
1 = 0,077
taxa mdia anual de crescimento para o preo do po: 7,7%
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Fer
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a -
N
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Antes medidas austeridade Aps medidas austeridade
Preo Quantidade Preo Quantidade
Po (Unidades) 0.20 420 0.25 360
Leite (Litros) 0.70 360 0.80 336
-
Exerccios Resolvidos (cont.)
3. (cont.)
b) Calcule o ndice de preos de Paasche e interprete o resultado obtido.
0 =
0
=0,25 360 + 0,8 336
0,2 360 + 0,7 336= 1,168
No perodo em anlise, os preos cresceram 16,8%
c) Averige se a taxa de crescimento das vendas daqueles dois produtos diminuiu aps serem implementadas as medidas de austeridade. Justifique recorrendo a uma propriedade.
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Antes medidas austeridade Aps medidas austeridade
Preo Quantidade Preo Quantidade
Po (Unidades) 0,20 420 0,25 360
Leite (Litros) 0,70 360 0,80 336
-
Exerccios Resolvidos (cont.) 3. (cont.) c) (cont.)
Para os ndices agregados, um ndice de valores pode ser calculado a
partir do produto de um ndice de Laspeyres por um de Paasche:
0 = 0 0 = 0 0
0 = 0 0 = 1,168 0,914 = 1,068
O crescimento nominal das vendas foi de 6,8%
d) Tendo em conta que aps a implementao das medidas de austeridade, e at ao ano corrente, o preo do leite sofreu uma reduo de 5%, calcule o preo do leite no ano corrente.
;
, = 0,05
, = 0,95
, =
0,95 =
0,8
= 0,8 0,95 = 0,76
(Preo do leite aps medidas de austeridade: 0,80. Aplicando a reduo de 5%: .)
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Exerccios Resolvidos (cont.)
4. A evoluo real das vendas de automveis representada por
2008 2005 = 110 e 2009 2008 = 80
a) Calcule a taxa mdia anual de crescimento real, para o perodo de 2005 a 2009
Taxa mdia de crescimento real:
2009 2005 = 2009 2005
1 4
1 = 2009 2008 2008 20051 4
1 =
= 0,8 1,10 1 4 1 = 0,0315
A taxa mdia de crescimento real negativa e igual a 3,15%
b) Se, no perodo de 2005 a 2009, o ndice de preos passou de 115 para 120, determine, para o mesmo perodo, a taxa de crescimento nominal.
Taxa de crescimento nominal: 2009 2005 = 2009 2005
1
115 = 2005 e 120 = 2009
, donde 2009 2005 =
120
115= 1,04
2009 2005 = 2009 2005
2009 2005 = 1,04 0,8 1,10 = 0,9152
2009 2005 = 2009 2005
1 = 0,9152 1 = 0,084
A taxa de crescimento nominal negativa e igual a 8,4%
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Exerccios Resolvidos (cont.) 5. Uma empresa apresenta a seguinte evoluo dos custos de produo
a) Calcule o valor dos custos de produo em 2007 supondo que, em 2006, foram iguais a 200 u.m.
2006 = 200 ; 2007 2006 = 0,35 ;
2007 2006 = 2007 2006 1 2007 2006 =20072006
1 0,35 =2007200
1
2007 = 270
Os custos de produo em 2007 foram iguais a 270 u.m.
b) Neste perodo, determine a taxa mdia de variao anual dos custos de produo.
2010 2006 = 2010 20064 1 = 1,35 1,1 1,08 1,15
4 1 = 0,165
A taxa mdia de variao anual dos custos de produo foi de 16,5%
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Ano 2007 2008 2009 2010
Taxa anual (%) 35 10 8 15
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Exerccios Resolvidos (cont.) 5. (cont.)
c) O ndice de preos de Laspeyres foi de 120, em 2010 (base: 2007); obtenha o valor da taxa de variao real dos custos de produo, nesse perodo.
2010 2007 = 1,20
Custos de produo valor
2010 2007 = 2010 2007 2010 2007 2010 2007 =2010 20072010 2007
2010 2007 = 1,1 1,08 1,15 = 1,3662 ; 2010 2007 =1,3662
1,20= 1,1385
Taxa de variao real: 2010 2007 = 2010 2007 1 = 1,1385 1 = 0,1385
A taxa de variao real dos custos de produo para o perodo 2007-2010 foi de 13,85%
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Ano 2007 2008 2009 2010
Taxa anual (%) 35 10 8 15
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Bibliografia
Reis, Elizabeth (2005) Estatstica Descritiva Edies Slabo
Santos, Carla (2007) Estatstica Descritiva Edies Slabo
Silvestre, Antnio Lus Anlise de Dados e Estatstica Descritiva Escolar Editora
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