Indice F- III.. Identidades

8/16/2019 Indice F- III.. Identidades

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INTEGRANTES:

CHAVEZ MAMANI

INGRID MARTHA123021068P

QUISPE MAMANI

JHONSON DAVID

UNIVERSIDAD JOSE CARLOSMARIATEGUI


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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA PROFESIONAL DE ING. CIVIL

INDICE

INTRODUCCIÓN............................................................................................................3

1. IDENTIDADES VECTORIALES................................................................................4

2. OPERADORES DIFERENCALES..............................................................................6

2.1. TRANSFORMACION DE COORDENADAS..........................................................6

2.2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COORDENADAS ORTOGONALES..................8

2.2.1. VECTORES TANGENTES A LAS CURVAS....................................................8

2.2.2. FACTORES DE ESCALA.............................................................................8

2.2.3. VECTORES TANGENTES UNITARIOS..........................................................8

2.2.4. VECTORES NORMALES A LA SUPERFICIE.................................................9

2.2.5. ELEMENTO dr ...........................................................................................9

2.2.6. ELEMENTO ds...........................................................................................9

2.2.7. ELEMENTO dv...........................................................................................9

2.3. COORDENADAS CARTESIANAS.....................................................................10

2.3.1. GRADIENTE............................................................................................10

2.3.2. DIVERGENCIA.........................................................................................13

2.3.3. ROTACIONAL..........................................................................................16

2.3.4. LAPLACIANO..........................................................................................19

2.3.5. D ALAMBERTIANO..................................................................................21

2.4. COORDENADAS CILINDRICAS.......................................................................22

2.4.1. GRADIENTE............................................................................................232.4.2. DIVERGENCIA.........................................................................................24

2.4.3. ROTACIONAL..........................................................................................25

2.4.4. LAPLACIANO..........................................................................................26

2.5. COORDENADAS ESFERICAS.........................................................................29

2.5.1. GRADIENTE............................................................................................31

2.5.2. DEVERGENCIA........................................................................................32

FISICA III Pá!"# 1


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2.5.3. ROTACIONAL..........................................................................................33

2.5.4. LAPLACIANO..........................................................................................34

2.5.5. RONS!IANO.........................................................................................36

3. TENSORES........................................................................................................... 41

TENSORES DE SEGUNDO ORDEN"....................................................................41

CONTRACCI#N DE UN TENSOR CON RESPECTO A DOS $NDICES LIBRES".........42

PRODUCTO INTERNO DE DOS TENSORES".......................................................42

FISICA III Pá!"# 2


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INTRODUCCIÓN

En las siguientes separatas recordamos parte de la Física inicial (Física I) al inicio puesto que al iniciar nos encontramos con los conocidos producto punto! "producto cru#!$ En el cual solo se rempla#a por el %radiente$ En las propiedadesnos damos cuenta que es lo mismo que si &ueran propiedades$

En cuanto llegamos a los Operadores di&erenciales! ca'e recalcar que un Operador di&erencial es un operador lineal! de&inido como una &uncin del operador dedi&erenciacin$ ir*e de a"uda como una cuestin de notacin+ se considera a unadi&erenciacin como una operacin a'stracta$

Tanto en ,atem-tica cono el Física+ el o un Tensor! es cierta clase de entidadalge'raica de *arias componentes que generali#a los conceptos de escalar+ *ector "matri#! de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadaselegidas$

FISICA III Pá!"# 3


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1. IDENTIDADES VECTORIALES

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre camposvectoriales definidos sobre una variedad diferenciable.

Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

FISICA III Pá!"# 4

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorial


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En las siguientes identidades u y v son funciones escalares, mientras que A y B son

funciones vectoriales. La sobrebarra muestra el alcance de la operación del operador

nabla.

Identidades del !lculo "ectorial

La divergencia del rotacional es igual a cero#

El rotacional del gradiente es igual a cero#

FISICA III Pá!"# 5

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diverg.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gradi.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diverg.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gradi.html#c1


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2. OPERADORES DIFERENCALES

2.1. TRANSFORMACION DE COORDENADAS

$odo punto en el espacio es la intersección de % l&neas coordenadas o de %

superficies coordenadas. 'or e(emplo el punto ' en coordenadas cartesianas es

la intersección de las superficies#

)*)i+*yi*i

-i intersecamos a las superficies coordenadas tenemos las l&neas

coordenadas%& '& ("

onsidere a/ora que las coordenadas

rectangulares ), +, de un punto se puede e0presar en función de % variables

deferentes 1u2, u, u%3 a trav4s de las ecuaciones#

)*) 1u2, u, u%3+*+ 1u2, u, u%3* 1u2, u, u%3

El punto ' representado en coordenadas rectangulares ), +, se le puede

asociar un único con(unto de números 1u2, u, u%3 a las que se les llama

coordenadas curvil&neas de '.

'ara que se pueda transformar de un sistema coordenado a otro el de la

transformación debe ser diferente de cero#

J x , y , z

u1, u

2, u

3

≠0

FISICA III Pá!"# 6


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∂ ( x , y , z )∂ (u1, u2 ,u3)

=

|∂x

∂u1

∂x

∂u2

∂x

∂u3

∂x

∂u1

∂ y

∂u2

∂ y

∂u3

∂x

∂u1

∂ z

∂u2

∂ z

∂u3 |

≠0

'or e(emplo se desea determinar si e0iste dependencia entre el sistema de

coordenadas cartesianas en R2

+ el sistema de coordenadas polares#

X =rcosθ;u1=r

y=rsinθ;u2=θ

∂ x

∂r

∂ x

∂θ

∂ y

∂ r

∂ y

∂θ

≠0

Entonces derivando#

∂x

∂r =cosθ ;

∂ x

∂θ=−rsinθ

∂ y∂ r

=sinθ; ∂ y∂θ

=rcosθ

rcosθ2+rsinθ2≠0

r ≠0 ; por lotanto existedependenciaentre esos2 sistemas.

FISICA III Pá!"# $


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2.2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COORDENADAS ORTOGONALES

2.2.1. VECTORES TANGENTES A LAS CURVAS

b1=

∂ r

∂ u1

b2=

∂ r

∂u2

b3= ∂ r

∂u3

2.2.2. FACTORES DE ESCALA

-on los módulos se los vectores tangentes#

h1=

∂ r

∂u1

=b1

h2= ∂ r

∂u2

=b2

h3=

∂ r

∂ u3

=b3

2.2.3. VECTORES TANGENTES UNITARIOS

e i=bi

hi

e1= 1

h1

∂r

∂u1

e2=

1

h2

∂r

∂u2

FISICA III Pá!"# 8


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e3=

1

h3

∂ r

∂u3

2.2.4. VECTORES NORMALES A LA SUPERFICIE

b´ i=∇ui

5ónde#u

i

=u1, u

2,u

3

2.2.5. ELEMENTO dr

2+¿∂r

∂u3

du3

1+¿∂ r

∂u2

d u¿

dr=∂ r

∂u1

du¿

dr=h1e1∂u

1+h

2e2∂u

2+h

3e3∂u

3

2.2.6. ELEMENTO ds

ds=ds=dr

(h1∂u1)2+( h2∂u 2)

2+( h3∂u3 )2

2.2.7. ELEMENTO dvdv=h

1h

2h3∂u

1∂u

2∂u

3

FISICA III Pá!"# 9


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2.3. COORDENADAS CARTESIANAS

$odo punto en el espacio cartesiano es la intersección de % superficies

coordenadas. 'or e(emplo sea el punto 6 ubicado 12, 2,23

2.3.1. GRADIENTEEs un campo vectorial que indica el m!0imo incremento en cada punto

de un campo escalar.5e forma geom4trica el gradiente es un vector que se encuentra

normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le est!

estudiando.

En coordenadas

ortogonales est! dado

por#

FISICA III Pá!"# 10


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∆ =1

h1

∂

∂ u1

e1+ 1

h2

∂

∂ u2

e2+ 1

h3

∂

∂u3

e3!!!!(1)

'ara la transformación a coordenadas cartesianas se procede a

determinar los factores de escala y los vectores tangentes unitarios.-ea el vector tangente a la curva#

r= X i+" #+$ %

b1= ∂ r∂ X =i

b2=

∂r

∂" = #

b3=

∂r

∂ $ =%

Los factores de escala ser!n#h1=b

1=1

h2=b

2=1

h3=b

3=1

'ara los vectores tangentes unitarios#

e1=

1

h1

∂ r

∂ X =i

e2=

1

h2

∂r

∂" = #

e3=

1

h3

∂ r

∂$ =%

7eempla8ando en la ecuación 123#



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∆ =∂

∂ X i+

∂

∂" #+

∂

∂$ %

'79'IE5A5E-#

Apunta en la dirección en la que la derivada direccional esm!0ima, el valor m!0imo de la derivadas direccional es m!0imaest! dada por#

u=∆ ( p)

El campo formado por el gradiente de cada punto es siempre

irrotacional#∇ x∇ =0

-i las funciones , & : ' ( ⊂ R2) R son los diferentes en 5,

entonces se tiene#

∇ * &x=∇ x *∇ &x

∇ . &x=x .∇ &x+&x .∇ x

∇ +.x=+ ∇ x



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E:E;'L9#El potencial de un campo el4ctrico est! dado por la ecuación

= xy+ z

y x

determinar la intensidad del campo el4ctrico.

-=−∇

-=−∂

∂ X i+

∂

∂ " #+

∂

∂ $ %

∂

∂ X = y+

z

y ;

∂

∂" = x−

z

y2 x ;

∂

∂ $ =

x

y

-=−( y+ z y )i+( x− z y2 x ) #+( x

y )%

2.3.2. DIVERGENCIAEs un campo escalar y se define como el flu(o del campo vectorial por

unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a

cero.;ide la diferencia entre el flu(o entrante y el flu(o saliente de un campo

vectorial sobre la superficie que rodea un volumen e control.

En coordenadas ortogonales est! dado por#

= 1(u , , z ) i+

2(u , , z ) #+

3(u , , z )%



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∇ . = 1

h1 h2h3

∂

∂u1h2h

3 1+

∂

∂ u2h1h

3 2+

∂

∂ u2h

1h2

3

5onde los factores de escala para coordenadas cartesianas son#

h1=h

2=h

3=1

-ea# =

x ( x , y , z )i+

y ( x , y , z ) #+

z ( x , y , z ) %

En coordenadas cartesianas la divergencia estar! dada por#

∇ . =∂ x

∂ x +

∂ y

∂ y +

∂ z

∂ z

'79'IE5A5E-#

-i y & son dos funciones vectoriales, se tiene que#

∇ . +&=∇ . +∇ . &

5emostración#

-ea< =( 1 , 2 , 3 ) y &=(&1 , &2 ,&3 )

+&= 1+&

1,

2+&

2,

3+&

3

∇ +&= ∂∂ x

1+&

1+ ∂

∂ y 2+&

2+ ∂

∂ z 3+&

3

∇ +&=∂

1

∂ x +

∂ 2

∂ y+

∂ 3

∂z +

∂ &1

∂x +

∂ &2

∂ y +

∂ &3

∂ z



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∇ +&=∇ . +∇ . &

E:E;'L9#

-ea el campo el4ctrico dado igual -=( xz y , x z y2 ,

z

xy )determinar la densidad de carga volum4trica.

∇ . -= /

00

∇ . xz

yi+ x z y2+

z

xy% =

/

00

∂

∂x

xz

y +

∂

∂ y x

z y

2+∂

∂z

z

xy=

/

00

z

y +2 y x z+

z

xy=

/

00

xyz+2 y3 x z+1+ zy xy =

/

00

xz+2 y2 x z+1+ z x y

2 =

/

00



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/=00

xz+2 y2 x z +1+ z x y

2

2.3.3. ROTACIONALEs un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo

vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

;atem!ticamente el rotacional se e0presa como el l&mite de la

circulación del campo vectorial cuando la curva sobre la que se integra

se reduce a un punto.

El rotacional en coordenadas ortogonales est! definido por#

∇ x = 1

h1h

2h3|

h1e1

∂

∂u1

h1 1

h2e1

∂

∂u2

h2 2

h3e1

∂

∂u3

h3 3

|5onde los factores de escala para coordenadas cartesianas son#

h1=h

2=h

3=1

Entonces el rotacional en coordenadas cartesianas estar! dado por#



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¿ i((−∂∂ y ∂ ∂ z )−(−∂∂z ∂ ∂ y ))− #((−∂∂ x ∂ ∂ z )−(−∂∂ z ∂ ∂ x ))+% ((−∂∂ x ∂ ∂ y )−(−∂∂ y ∂ ∂ yx ))

∇ x-=i( −∂2

∂ y ∂ z +

∂2

∂ z ∂ y )− #( −∂

2

∂ x ∂ z +

∂2

∂ z ∂ x )+% ( −∂

2

∂ x ∂ z +

∂2

∂ y ∂ x )

∇ x-=i 0− #0+% 0=0

E:E;'L9#=allar el rotacional de#

( x , y , z )= xyz i+ x2 y2 #+ y z3%

-olución#

∇ x =

[ i

∂

∂ x xyz

i

∂

∂ y x

2

y2

i

∂

∂ z y z

3

]

∇ x-=( ∂∂ y y z3− ∂∂ z ( x2 y2 ))i−( ∂∂x y z3− ∂∂ z ( xyz )) #+( ∂∂ x x2 y2− ∂∂ y ( xyz ))%

z

(¿¿3− x2 y2) i+ ( xy ) #+(2 x y2 z− xz ) % ∇ x =¿



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2.3.4. LAPLACIANO

Es un operador diferencial de segundo orden, denotado como ∆ .

E0presado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas lassegundas derivadas parciales no mi0tas dependientes de una variable.

El laplaciano en coordenadas ortogonales est! definido por#

∇2 x =

1

h1h2h3

∂

∂u1

h2h3

h1

∂

∂u1+

∂

∂u2

h1h3

h2

∂

∂u2+

∂

∂u3

h1h2

h3

∂

∂ u3

5onde los factores de escala para coordenadas cartesianas son#

h1=h

2=h

3=1

Entonces el laplaciano en coordenadas cartesianas estar! dado por#

∇2

x =∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2+

∂2

∂ z2

$E97E;A# -i ∅ es una función escalar entonces la divergencia del

gradiente de ∅ es#

¿&rad ∅= ∂

2∅

∂ x2+

∂2∅

∂ y2+

∂2∅

∂ z2

5emostración#



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&rad∅=∇∅=∂∅

∂ xi+

∂∅

∂ yi+

∂∅

∂ z%

div&rad∅=∇ .∇∅=∂

∂ x

∂∅

∂ x+

∂

∂ y

∂∅

∂ y+

∂

∂ z

∂∅

∂ z

∇ .∇∅=∇2=∂2∅

∂x2+

∂2∅

∂ y2+

∂2∅

∂z2

'79'IE5A5E-

El laplaciano es lineal#

∇2 1 +u&= 1∇2 +u∇2&

La siguiente afirmación tambi4n es cierta#

∇2&=(∇2 ) &+2∇ .∇& + (∇2& )

E:E;'L9#

5emostrar que la función1

r es una función armonica siempre que

r ≠0 .

5onde r=√ x2+ y2+ z2

-olución#Una función es armónica si es continua y satisface la ecuación de

Laplace#∇

2

∅=0

∇2 1

r=( ∂

2

∂ x2+

∂2

∂ y2

+∂2

∂ z2 ) 1√ x2+ y2+ z2



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∂

∂x ( 1√ x2+ y2+ z2 )= − x

( x2

+ y2

+ z2

)

3

2

∂2

∂x2 ( 1√ x2+ y2+ z2 )=

−1

( x2+ y2+ z2)3

2

+ 3 x

2

( x2+ y2+ z2 )5

2

∂2

∂ y2 ( 1√ x2+ y2+ z2 )=

−1

( x2+ y2+ z2 )3

2

+ 3 y

2

( x2+ y2+ z2 )5

2

∂2

∂z2 ( 1√ x2+ y2+ z2 )=

−1

( x2+ y2+ z2)3

2

+ 3 z

2

( x2+ y2+ z2 )5

2

A/ora reempla8ando en la ecuación de Laplace#

¿− 1

( x2+ y2+ z2 )3

2

+ 3 x

2

( x2+ y2+ z2 )5

2

− 1

( x2+ y2+ z2)3

2

+ 3 y

2

( x2+ y2+ z2 )5

2

− 1

( x2+ y2+ z2 )3

2

+ 3

( x2+ y

∇2 1

r =

−3

( x2+ y2+ z2)3

2

+3( x2+ y2+ z2 )

( x2+ y2+ z2 )5

2

∇2 1

r =

−3

( x2+ y2+ z2)3

2

+ 3

( x2+ y2+ z2 )3

2

∇

2 1

r =0

2.3.5. D ALAMBERTIANOEs la reali8ación del operador laplaciano a un espacio de min>o?s>i, o

m!s en general, aun espacio de dimensión y m4trica arbitraria.



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El 5@alambertiano de una función escalar es el operador de

laplacebeltrami asociado a la m4trica de dic/o espacio.

El 5@alambertiano est! definido por#

⊡2=∇2−

1

c2

∂2

∂ t 2

En el espacio de min>o?s>i se define como#

⊡2=nuv∂u∂v

2.4. COORDENADAS CILINDRICASLas coordenadas cil&ndricas de un punto ' en el espacio son un /ibrido

natural de las coordenadas cil&ndricas y cartesianas est! dada por#

x=rcosθ; y=rsenθ;z= z

r2= x2+ y2;tanθ=

y

x ; z= z

'odemos usar estas ecuaciones para convertir de coordenadas rectangulares

a cil&ndricas y viceversa.'or lo tanto la transformación de coordenadas ortogonales a cil&ndricas estar

dad por#

"ector tangente a la curva

R= x i+ y #+ z%

R=rcosθi+rsenθ#+ z%



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br=∂R

∂r =cosθi+senθ#

bθ=∂ R

∂ θ=−rsenθi+rcosθ#

bθ=∂ R

∂θ=%

actores de escala

h1=br=1

h2=bθ=r

h3=b z=1

"ectores tangentes unitarios

er=1

hr

∂R

∂r =cosθi+senθ#

eθ=1

hθ

∂R

∂θ =1

r −rsenθi+rcosθ#=−−senθi+cosθ#

e z=1

hθ

∂R

∂θ=%

2.4.1. GRADIENTEEn coordenadas ortogonales est! representado por#

∇ =1

hr

∂

∂ rer+

1

hθ

∂

∂ θeθ+

1

h z

∂

∂ ze z

7eempla8ando en la transformación#



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∇ =1

1

∂

∂ r er+

1

r

∂

∂ θ eθ+

1

1

∂

∂ z e z

E:E;'L9#5eterminar el gradiente de#

= z

rcosθsenθ

-olución#

∇ =1

1

∂

∂ r er+

1

r

∂

∂ θ eθ+

1

1

∂

∂ z e z

∂ ∂ r

=− zr2

cosθsenθ

∂

∂θ=

z

r−sen2θ+cos2θ=

z

r 1−2sen2θ

∂

∂ z=

1

rcosθsenθ

7eempla8ando#

∇ =− z

r2

cosθsenθer+ z

r 1−2 sen2θ eθ+

1

r cosθsenθe z

2.4.2. DIVERGENCIAEn coordenadas ortogonales est! representada por#

= r er+ θ eθ+ z e z

∇ . = 1

hr hθ h z

∂

∂rhθ h z r+

∂

∂θhr h z θ+

∂

∂zhr hθ z

7eempla8ando en transformación#



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∇ . =1

r

∂

∂rr r+

∂

∂θ θ+

∂

∂ zr z

E:E;'L9#5eterminar la divergencia de#

=

1

r2er+rtanθ eθ− z

2e z

-olución#

∇ . =1

r

∂

∂rr r+

∂

∂θ θ+

∂

∂ zr z

∂

∂rr r=

∂

∂rr 1

r2=

−1

r2

∂

∂θ θ=rsec

2

θ

∂

∂ z r z=

∂

∂ z−r z 2=−2rz

7eempla8ando#

∇ . =1

r−

1

r2

+rsec2θ−2 rz

∇ . =−1

r3 +sec 2θ−2 z

2.4.3. ROTACIONAL.En coordenadas ortogonales est! representado por#



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∇2 =

1

hr hθ h z

[hr er hθ eθ h z e∅

∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂ z

hr r hθ θ h z z]7eempla8ando en la transformación#

∇2 =1

r [er ℜθ e∅∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂z

r r θ z]

E:E;'L9#5eterminar el rotacional de#

=1

r2er+r tanθer− z

2e z

-olución

∆2 =1

r [e

r ℜθe

z

∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂ z

1

r2

r2tanθ − z2]

∇2 =1

r

[er[

∂

∂θ

∂

∂ z

r2tanθ − z2]−ℜθ

[

∂

∂θ

∂

∂ z

1

r

2 − z2

]+e z

[

∂

∂r

∂

∂θ

1

r

2r2tanθ

]][ ∂∂θ ∂∂zr2tanθ − z2]= ∂∂θ (− z2)− ∂∂ z r2tanθ=0FISICA III Pá!"# 26


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[ ∂

∂ r

∂

∂ z

1

r2 − z2

]=

∂

∂ r (− z2

)− ∂

∂ z

1

r2=0

[ ∂

∂ r

∂

∂ θ

1

r2

r2

tanθ]= ∂∂ r r2 tanθ− ∂∂θ 1r 2=2 rtanθ 7eempla8ando#

∇2 =1

r 0er+0eθ+2 rtanθ e z

∇2 =2tanθe z

2.4.4. LAPLACIANOEn coordenadas ortogonales est! representado por#

∇2

. = 1

hr hθ h z ( ∂

∂ r

hθ h z

hr

∂

∂ r +

∂

∂θ

hr h z

hθ

∂

∂θ +

∂

∂ z

hr hθ

h z

∂

∂ z )


∇2. =

1

r (∂

∂rr

∂

∂ r+

∂

∂θ

1

r

∂

∂θ+

∂

∂zr

∂

∂ z )

FISICA III Pá!"# 2$


29/49




E:E;'L9#5eterminar el palaciano de#

=r2

r+ zcosθ

-olución#

∇2. =

1

r

∂

∂ rr

∂

r +

∂

∂θ

1

r

∂

∂θ+

∂

∂ zr

∂

∂ z

∂

∂ r=2r (r )+ z−r 2

r+ z2 cosθ=r2+2 rzr+ z2 cosθ

∂

∂ r=

2r (r )+ z−r 2

r+ z2 cosθ=

r2+2 rzr+ z2

cosθ

∂

∂θ=

−r2

r+ zsenθ

∂ ∂ z

= −r2

r+ z2cosθ

∂

∂r r

∂

∂r =

∂

∂ r r ( r

2+2rzr+ z2 )cosθ



30/49




∂

∂rr

∂

∂r=

∂

∂r

r3+2r2 zr+ z2

cosθ

∂

∂r r

∂

∂r =

3 r2+4 rz (r+ z2)−r3+2 r3+2 r2 z 2 (r+ z )

r+ z4 cosθ

∂

∂rr

∂

∂r=

3r3+7r2 z+4r z2−2r3−4 r2 z

r+ z3cosθ

∂

∂r

r ∂

∂r

=r3+3 r2 z+4 rz2

r+ z3

cosθ=r (r2+3 rz+4 z2)

r+ z3

cosθ

∂

∂θ

1

r

∂

∂θ=

∂

∂θ

1

r−

r2

r+ zsenθ=

∂

∂θ−

r

r+ zsenθ

∂

∂θ

1

r

∂

∂θ=

−rr+ z

cosθ

∂

∂zr

∂

∂ z=

∂

∂ z−

r3

r+ z2cosθ

∂

∂ z r

∂

∂ z=

2 r3 (r+ z )

r+ z4 cosθ=

2r3

r+ z3 cosθ

7eempla8ando#

∇

2

. =1

r

r r2+3 rz+4 z2

r+ z3 cosθ− r

r+ z cosθ+ 2 r

3

r+ z3 cosθ

∇2. =

r2+3rz+4 z2

r+ z3cosθ−

1

r+ zcosθ +

2r2

r+ z3cosθ



31/49




∇2. =cosθ

r2+3 rz+4 z2

r+ z3 −

1

r+ z+ 2r

2

r+ z3

∇2

. =cosθ

r+ zr2+3rz+4 z2

r+ z2 −1+

2 r2

r+ z2

∇2. =

cosθ

r+ z3 r

2+3rz+4 z2−r2−2 rz− z2

r+ z2

∇2

. =cosθ

r+ z

2 r2+rz+3 z2

r+ z2

∇2

. =2r

2+rz+3 z2

r+ z3 cosθ

2.5. COORDENADAS ESFERICAS

En coordenadas esf4ricas la posición del punto ' se determina por lassiguientes coordenadas#

03r3+4

03θ35



32/49




03∅325

x=rcos∅ senθ

y=rsen ∅ senθ

z=rcosθ

A/ora la trasformación de coordenadas ortogonales a esf4ricas estar! dada

por#

"ector tangente a la curva#

R= x i+ y #+ z%

R=rcos∅ senθi+rsen∅ senθ #+rcosθ%

br=∂R

∂r =cos∅senθi+sen∅ senθ #+cosθ%

bθ=∂ R

∂θ=rcos∅cosθi+rsen∅cosθ #−rsenθ %



33/49




b∅=

∂ R

∂ z =−rsen∅ senθ i+rcos∅ senθ #

actores de escala#hr=br=1

hθ=bθ=r

h∅=b

∅=rsenθ

"ectores tangentes unitarios#

er= 1

hr

∂ R

∂r =cos∅ senθi+sen∅ senθ #+cosθ %

eθ=1

hθ

∂R

∂θ=cos∅cosθi+sen∅cosθ #−senθ%

e∅

=

1

h∅

∂R

∂ z =

1

rsenθ (−rsen∅ senθi

+rcos∅ senθ #

)=sen∅i

+cos∅ #



34/49




2.5.1. GRADIENTEEn coordenadas ortogonales est! representado por#

∇ =1

hr

∂

∂ rer+

1

hθ

∂

∂θeθ+

1

h∅

∂

∂∅e∅


∇ =∂

∂ rer+

1

r

∂

∂ θeθ+

1

rsenθ

∂

∂∅e∅

E:E;'L9#5eterminar el gradiente de#

=1

r cosθsen∅

-olución#

∂ ∂ r

=−1r2

cosθsen∅

∂

∂θ=

−1r

senθsen∅

∂

∂∅=

1

rcosθcos ∅

7eempla8ando#

∇ =−1

r2

cosθsen∅er− 1

r2 senθsen∅eθ+

1

rsenθ

1

r cosθcos∅e

∅



35/49




∇ =−1

r2

cosθsen∅er−1

r2

senθsen∅eθ+ 1

r2ct&θcos∅e

∅

∇ =1

r2

(−cosθsen∅er−senθsen∅eθ+ct&θcos ∅e∅)

2.5.2. DEVERGENCIA.

En coordenadas ortogonales est! representado por#

= r er+ θ eθ+ z e∅

∇ . = 1

hr hθ h∅

∂

∂rhθh∅ r+

∂

∂θhr h∅ θ+

∂

∂∅hr hθ ∅


∇ . = 1

r2senθ

∂

∂rr2senθ r+

∂

∂θrsenθ θ+

∂

∂∅r

∅

E:E;'L9#5eterminar si el siguiente campo es selenoidal#

=2cosθ

r3 er+

senθ

r3 eθ

-olución#

∇ . = 1

r2

senθ ( ∂

∂ r r

2senθ

2 cosθ

r3 +

∂

∂ θrsenθ

senθ

r3 +

∂

∂∅0)



36/49




∇ . = 1

r2senθ (

∂

∂ r

2senθcosθ

r +

∂

∂θ

sen2θ

r2 )

∇ . = 1

r2

senθ (−2 senθcosθ

r2

+2 senθcosθ

r2 )

∇ . = 1

r2senθ

(0)

∇ . =0)esuncampo selenoidal .

2.5.3. ROTACIONAL

En coordenadas ortogonales est! representada por#

∇2 =

1

hr hθ h∅

[hr er hθ eθ h∅ e∅

∂

∂ r

∂

∂ θ

∂

∂∅hr r hθ θ h∅ ∅]


∇2 = 1

r2senθ [

e1 r e1 rsenθ e1∂

∂ r

∂

∂θ

∂

∂∅

r r θ rsenθ ∅]

E:E;'L9#5eterminar si el siguiente campo es conservativo#

=2cosθ

r3

er+senθ

r3

eθ

-olución#



37/49




∇2 = 1r2senθ

[e1

r e1

rsenθe1

∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂∅

2cosθ

r3

rsenθ

r3

rsenθ (0)]∇2 =

1

r2senθ

e1[

∂

∂θ

∂

∂∅

senθ

r2

0 ]−r e1[∂

∂ r

∂

∂∅

2cosθ

r3

0 ]+rsenθ e1[∂

∂r

∂

∂θ

2cosθ

r3

senθ

r2 ]

[∂

∂θ

∂

∂∅

senθ

r2

0 ]=0 ;[∂

∂r

∂

∂∅

2cosθ

r3

0 ]=0

[

∂

∂ r

∂

∂ θ

2cosθ

r3

senθ

r2

]=

∂

∂ r

senθ

r2 −

∂

∂θ

2cosθ

r3

[∂

∂r

∂

∂θ

2cosθ

r3

senθ

r2 ]=2senθr3 + 2 senθr3 =0

7eempla8ando#

e¿¿

∇2 = 1

r2

senθ¿



38/49




∇2 =0)elcampoes conservativo.

2.5.4. LAPLACIANO

En coordenadas ortogonales est! dado por#

∇2

. =

1

hr hθ h∅

( ∂

∂r

hθ h∅

hr

∂

∂r +

∂

∂ θ

hr h∅

hθ

∂

∂ θ +

∂

∂∅

hr hθ

h∅

∂

∂∅

)7eempla8ando en la transformación#

∇2. =

1

r2senθ (

∂

∂ rr2senθ

∂

∂ r+

∂

∂θsenθ

∂

∂θ+

∂

∂∅

1

senθ

∂

∂∅ )

E:E;'L9#5eterminar el laplaciano de#

=r2

∅+θcosθ

-olución#

∂

∂ r=

2r

∅+θcosθ

∂

∂θ=r2

−senθ (∅+θ)−cosθ

(∅+θ)2



39/49




∂

∂∅= −r2

∅+θ2 cosθ

∂

∂rr2senθ

∂

∂ r=

∂

∂ r

2r3

∅+θsenθcosθ

∂

∂rr2senθ

∂

∂ r= 6

r2

(∅+θ )senθcosθ!!. ( 6 )

∂

∂θ

senθ ∂

∂ θ

= ∂

∂ θ

r2−sen

2

θ(∅+θ)−senθcosθ

(∅

+θ)

2

∂

∂θsenθ

∂

∂ θ=r2

−sen2θ (∅+θ )2−(∅+θ )+3sen2θ (∅+θ )−sen2θ

(∅+θ)3

∂

∂θ senθ

∂

∂ θ=r2

(∅+θ ) (−sen2θ (∅+θ )−1+3 sen2θ )−sen2θ(∅+θ )

3 ! ! . (7 )

∂

∂∅

1

senθ

∂

∂∅= ∂

∂∅− r

2

(∅+θ )2 tanθ

∂

∂∅

1

senθ

∂

∂∅=

2r2

(∅+θ )3tanθ!!. (8 )

7eempla8ando#

∇2. = 1

r2senθ

( 6 +7+8 )

6 1

r2senθ

= 6r

2

(∅+θ )senθcosθ( 1r2 senθ )=

6

(∅+θ )cosθ!!.( 9)



40/49




7 1

r2senθ

= 1

(∅+θ )3 (∅+θ )−cosθ (∅+θ )−

1

senθ+3 senθ−2cosθ

7 1

r2

senθ=

1

(∅+θ )2−cosθ (∅+θ )

1

senθ+3 senθ−2cosθ!!. (: )

8 1

r2senθ

= 2r

2

(∅+θ )3tanθ ( 1r2 senθ )

8 1

r

2

senθ

= 2

(∅

+θ )

3 tanθsecθ !! .( R)

∇2

. = 9+:+ R

∇2. =

6

(∅+θ )cosθ+( 1(∅+θ )2−cosθ (∅+θ )

1

senθ+3 senθ−2cosθ)+ 2(∅+θ )3 tanθsecθ

2.5.5. RONS!IANO.

Es una función llamada as& por el matem!tico polaco :osef =oene

6rons>i tiene gran importancia en el estudio de ecuaciones diferenciales.

5ado un con(unto de C funciones est! definida por#

( 1!!! .. n )=[ 1 2


41/49




segundo reglón y as& sucesivamente /asta la derivada nD2 formando as&

una matri8 llamada cuadrada llamada muc/as veces matri8 fundamental.

EL RONS!IANO ' LA INDEPENDENCIA LINEAL.

El ?rons>iano es usado para determinar si un con(unto de funciones es

linealmente independiente en un intervalo dado.

-i el ?rons>iano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces

las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

1!!! .. n ≠0

-i un con(unto de funciones es linealmente dependiente es un intervalo eso

implica obligatoriamente que el ?rons>iano es igual a cero, pero esta

proposición no implica la primera.'or e(emplo comprobar si las siguientes funciones son linealmente

independientes#

y1=e x

; y2=e− x

-olución#

( y1 , y2 )=[ y1 y2 y


42/49




( y1 , y2 )=[e x

e− x

e x −e− x ]

( y1 , y2 )=−e x

e− x−e− x e x

( y1 , y2 )=−e x

e x

−e

x

e x

( y1 , y2 )=−2≠0) sonlinealmenteindependientes .

EL RONS!IANO ' LA SOLUCION DE EDUCACIONES

DIFERENCIALES.

-e usa el m4todo de variación de par!metros donde el ?rons>iano estar! dado

por la función complementaria 1 y

c 3.

-ea la ecuación diferencial#

y


43/49




1 ( ( x) , y2 )=[ 0 y2 ( x) y


44/49




5e formula por ser ra&ces reales repetidas#

yc=c1 em

1 x

+c2 x em

2 x

yc=c1 e2 x+c2 x e

2 x

5e donde#

y1=e2 x

; y2= xe2 x

y


45/49




1 ( y1 , ( x ) )=( x+1 ) e4 x

-e procede a determinar los valores deu

1 yu2 #

u1=

1

dx;u

2=

2

dx

u1=

− xe4 x ( x+1 )

e4 x

dx

u1=− x ( x+1 ) dx

u1=− x2− x dx

u1=

− x3

3−

x2

2

u2=

( x+1)e4 x

e

4 xdx

u2= x+1dx

u2=

x2

2+ x

La solución particular ser!#

y p=(− x

3

3− x

2

2 )e2 x+(

x

2

2+ x)

x e2 x

y p=− x3

3e2 x−

x2

2e2 x +

x3

2e2 x+ x2e2 x



46/49




y p= x

3

6e2 x+

x2

2e2 x

La solución general estar! dada por#

y= yc+ y p

y=c1e2 x+c

2 xe

2 x+ x

3

6e2 x +

x2

2e2 x

3. TENSORES

TENSORES DE SEGUNDO ORDEN"

9bservemos el convenio de sumación de los &ndices repetidos o tambi4n

denominado notación indicial, as& tendremos#

a1 x

1+a2 x

2+!+an xn=∑

#=1

n

a # x #

9 todav&a m!s simplificadamente# a # x #

adoptando el convenio de que cuando

apare8can un &ndice repetido se entender! como una suma desde el valor uno /asta n.

-e denomina tensor de segundo orden o di!cticas cuando la e0presión indicial

tiene dos &ndices libres.

La representación de este tensor ser!#

> i#=

[>

11>

12>

13

> 21 > 22 > 23>

31>

32>

33]'roducto e0terior de tensores#

a ¿ai b #=:i#



47/49




b ¿ i ? #% =7i#%

c ¿ai#nbn#t = @ it

La representación de a3 est! dada por#

:i#=[:

11 :

12 :

13

:21

:22

:23

:31

:32

:33

]=[a1

b1

a1b

2 a

1b3

a2

b1

a2b

2 a

2b3

a3

b1

a3

b2

a3

b3

]

CONTRACCI#N DE UN TENSOR CON RESPECTO A DOS $NDICES

LIBRES"

uando dos &ndices se /acen iguales el orden se disminuye en dos.

aA i# (diBdica)

ontracción# i*(

A 11+A 22+A 33 tensores deordencero(escalar )

b -i# a%m

tensores dese&undo orden:

i= # )- iia%m=∅

%m

i=% ) -i#aℑ=: #m

i=m) -i# a%i=A #%



48/49




i=%)-i#a #m=$ ℑ

i=m) -i# a%#= R i%

% =m) -i#a%% = 6 i#

PRODUCTO INTERNO DE DOS TENSORES"

Es el resultado de una contracción.

'roducto e0terno#

aai b #

bai - #%

'roducto interno#

aib #)a.b

i= # :ai -i% ) a . -

i=% :a i - #i) - . 6

i=% :a i - ##)-.a

'roducto múltiple#

a 6 i∅ p= 7 #=:ip=# ( productoexterno )

C = p) 6i ∅i= 7 #(escalar)



49/49




bA i: #%nts= Ri#%nts

Indice F- III.. Identidades

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