Implementação mód4 -
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MÓDULO 4MATRIZES DETERMINANTES
NÚMEROS COMPLEXOS
PCOPs responsáveis: INÊS - AIRTON
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"Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo,torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Sea educação sozinha não transformar a sociedade, sem elatampouco a sociedade muda." Paulo Freire
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..\..\Downloads\Acreditar na Vida.
pps
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Matrizes Qual o seu significado imediato? Uma tabela de dupla entrada
contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)
Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.
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Ex: As notas finais dos alunos de uma série, podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas naquela série e cujas linhas representam os alunos. Na interseção de uma linha com uma coluna figura a nota daquele aluno naquela matéria.
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MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS
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Operações entre duas matrizesO polígono EFGH é uma translação do polígono
ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?
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Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .
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• Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .
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Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B
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Matriz de compensação
553863
456237 456237
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a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a porcentagem de audiência prevista para cada programa? b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências?
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MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES
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Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz.
Obter a matriz A assim definida: A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j
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Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com jSe o elemento cij= 1, devemos unir i com j
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Em uma prova com 20 questões, cada questão respondida corretamente ganha-se 2 pontos, cada questão não respondida perde-se 1 ponto, e cada questão respondida erradamente perde-se 2 ponto,Camila acertou 12, errou 6 e as outras deixou em branco.Pedro acertou 13, errou 7 e as outras em branco.
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ACERTOS ERROS BRANCO
CAMILA
PEDRO
RESULTADO PONTOS
ACERTOS
ERROS
EM BRANCO
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Calcule quantos pontos cada um fez e coloque o resultado em uma matriz E2x1.
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Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B fabrica 3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite e manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimadas conforme a matriz de venda semanal abaixo:
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Confeitaria Bolo tipo1 Bolo tipo2 Bolo tipo3A 50 unidades 30 unidades 25 unidadesB 29 unidades 20 unidades 40 unidades
Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:
Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos
Tipo1 500g 200g 500ml 150g 4
Tipo2 400g 100g 300ml 250g 5
Tipo3 450g 150g 600ml 0 6
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A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. A resposta deve ser uma matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados.
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Matriz Transposta: Dada uma matriz A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo i e todo j.
Matriz Simétrica: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A
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Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem
n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular
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Qual é a inversa da matriz A = ?
Qual é a inversa da matriz A = ?
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DETERMINANTES
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações.
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Determinante de uma matriz ordem 1O determinante da matriz de ordem , é
o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real
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O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.
Determinante de matriz de ordem 2
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Determinante de matriz de terceira ordemO determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:
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Calcular o determinante
3125
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Menor Complementar:Consideremos uma matriz M de ordem
n≥2;Seja aij um elemento de M. Definimos
menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.
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Seja M= calculemos D11 e D32
, então D11=
, então D32=
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Complemento algébrico do elemento aij - Cofator
Consideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij
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Seja M = calculemos A11, A12, A13
A11= (-1) 1+1 =
A12= (-1)1+2 =
A13= (-1)1+3 =
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Teorema Fundamental (de Laplace)
O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
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Calcule o determinante da matriz abaixo
3 4 2 1 5 0 -1 -2 0 0 4 0 -1 0 3 3
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Trabalho
Propriedades dos determinantes
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Matriz de Vandermonde (ou das potências)
São as matrizes de ordem n ≥2,
.
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.
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.
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As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.
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O determinante V(a1,a2,a3,...,an) é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos, com a condição de que, nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo.
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(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)=
8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920
=
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Calcule os determinantes abaixo:
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Resolva a equação: 1 1 1 1 1 2 x -5 1 4 x2 25 1 8 x3 -125
= 0
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Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada M
Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e determinante M ≠0, então a inversa de M é:
M’ = matriz dos cofatores
=
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Qual a condição sobre a para que a matriz
M= Seja inversível?
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Sistemas Lineares
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Vamos resolver: 2x - 3y = 11 x + 2y = 2Para um sistema linear qualquer,
podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.
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• Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j.
2 -3 11 1 2 2
Essa é a matriz completa
![Page 49: Implementação mód4 -](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062514/557f6e4ad8b42aab368b4ce2/html5/thumbnails/49.jpg)
2 -3 11 L1
1 2 2 L2
2 -3 11L1-2L2 0 -7 7
Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2
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A matriz do sistema foi escalonada,.Na nova equação da linha2 da matriz temos:0x – 7y = 7 ou y = - 1 Substituindo esse valor em uma das equações iniciais, obtém-se x = 4
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Vamos escalonar?
x + y + z = 3 2x – y – 2z = 2 x + 2z = 4
S= {(2, 0, 1)}
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No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.
No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.
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Resolver o sistema abaixo: x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6
S={(0, 2, -1)}
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Por Cramer o sistema será apenas identificado como possível e indeterminado, mas não ajudaria na resolução. x + y + z = 3 2x – y + 3z = 4 -x -4y = -5
S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}
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• O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.
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Conhecendo as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos sua área por intermédio da composição e/ou de composição de polígonos auxiliares.
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área de triângulo.ggb
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Área(ABC)= área(ADEF) – área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)
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Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)
Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2
Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2
Área(ADC) = [(xA - xC).(yA - yC)]/2
Área do triângulo ABC= (xB - xC).(yA - yC)-{[(xB - xC).(yB - yC)]/2 +
[(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA - xC).(yA - yC)]/2}
Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
![Page 62: Implementação mód4 -](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022062514/557f6e4ad8b42aab368b4ce2/html5/thumbnails/62.jpg)
• Por determinante
½
xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
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Vamos determinar a área do polígono?
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De outra maneira, em uma extensão de regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices.A=
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• Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus.• Metade do resultado final da soma, em
módulo, é igual à área do polígono de n lados.• O ponto inicial pode ser qualquer um
dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.
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Calcule a área do pentágono COISA representado abaixo