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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO
IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-
PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO GEOMECÂNICA.
LEILA BRUNET DE SÁ BESERRA
Recife, PE
Agosto de 2010
IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA
MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO
GEOMECÂNICA.
LEILA BRUNET DE SÁ BESERRA
Dissertação submetida ao corpo docente do
programa de pós-graduação em engenharia civil da
Universidade Federal de Pernambuco como parte
integrante dos requisitos necessários à obtenção do
grau de Mestre em Engenharia Civil.
Área de concentração: Engenharia Geotécnica.
ORIENTADOR : LEONARDO JOSÉ NASCIMENTO GUIMARÃES
CO-ORIENTADOR : IVALDO DÁRIO DA SILVA PONTES FILHO
Recife, PE
Agosto de 2010
Catalogação na fonte Bibliotecária Rosineide Mesquita Gonçalves Luz / CRB4-1361 (BCTG)
B554i Beserra, Leila Brunet de Sá.
Implementação de algoritmos de integração implícita para modelos constitutivos Elasto-Plásticos na simulação geomecânica / Leila Brunet de Sá Beserra. - Recife: O Ator, 2011. Vii,80f., figs., tabs., gráfs.
Orientador: Prof. Dr. Leonardo José Nascimento Guimarães. Co-Orientador. Prof. Dr. Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2011. Incui Referências.
1.Engenharia Civil. 2. Elasto -Plasticidade. 3. Elementos Finitos. 4. Integração Implícita. 5. Permeabilidade. 6. Acoplamento Hidro –Geomecânico. I. Guimarães, Leonardo José Nascimento (Orientador). II. Pontes Filho, Ivaldo Dário da Silva (Co-Orientador). I. Título.
624 CDD (22. Ed.) UFPE/BCTG206/2011
IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA MODELOS CONSTITUTIVOS ELASTO-PLÁSTICOS NA SIMULAÇÃO
GEOMECÂNICA.
Leila Brunet de Sá Beserra DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO COMO PARTE INTEGRANTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL.
_____________________________________________ Leonardo José do Nascimento Guimarães
Orientador, Ph. D.
_____________________________________________ Ivaldo Dário da Silva Pontes Filho
Co-Orientador, D. Sc.
_____________________________________________ Osvaldo Luís Manzoli
Examinador Externo, Ph. D.
_____________________________________________ Nestor Alberto Zouain Pereira
Examinador Externo, Ph. D.
Recife, PE Agosto de 2010
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
i
AGRADECIMENTOS
Aos professores Leonardo Guimarães e Ivaldo Pontes, por todos os ensinamentos, explicações
e orientações tão importantes para a realização e conclusão desta dissertação.
Ao Vitor e a minha mãe Sânia pelo esforço e sacrifício em conviver com a minha ausência ao
longo do período do mestrado, a minha mãe Clara que sempre foi um suporte técnico para
todos da nossa casa e aos meus pais Bety e Jarbas que mesmo um pouco longe sempre
torceram pelo meu sucesso.
A todos os meus amigos do LMCG, Julliana, Igor, Nayra, Inaldo, Vinícius, Thiago, Jonathan
e Luciana pela constante companhia, amizade e incentivo, e em especial às minhas queridas
amigas, Marcela, por compartilhar a casa comigo, e Débora, com sua energia sempre
estimulante, todos me ajudaram a fazer o mestrado na UFPE.
A todos os funcionários da UFPE pelo apoio, em especial à Rose, que é capaz de resolver
qualquer problema, e a Brito com seus cafés na hora certa.
A todos os professores que contribuíram para a minha formação, desde a escola até a pós-
graduação, em especial ao prof. Gilson da UFPB, que me ajudou nos meus primeiros passos
da vida científica.
Ao CNPq e a ANP, por meio do PRH-26, pelo apoio financeiro oferecido durante o
desenvolvimento de minha pesquisa.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
ii
RESUMO
A previsão do comportamento dos solos e rochas, principalmente quando submetidos a
variações no estado de tensões, necessita de uma modelagem que leve em conta o fato do
meio poroso ser deformável. Para resolver problemas dessa natureza, é necessária a adoção de
modelos constitutivos mecânicos e hidráulicos que considerem a variação da permeabilidade
intrínseca da rocha (parâmetro chave do problema hidráulico) em função da porosidade, que
por sua vez poderá variar devido à deformação do meio (parâmetro do modelo constitutivo
mecânico). Uma etapa importante no processo de simulação de meios porosos consiste na
escolha de um algoritmo para a integração das relações constitutivas que seja eficiente do
ponto de vista computacional, neste sentido foram implementados no código de elementos
finitos CODE_BRIGHT algoritmos implícitos de integração de tensões para os modelos
constitutivos elasto-plásticos de von Mises (Simo & Hughes, 1998) e de Drucker-Prager.
(Souza Neto et al, 2008). Também foi proposta uma modificação no algoritmo de integração
implícita com projeção explícita do multiplicador plástico, denominado IMPLEX (Oliver et
al., 2008), resultando numa melhor aproximação deste. Na etapa de validação dos algoritmos
implementados foram simulados, um caso de expansão de cavidade cilíndrica com solução
exata conhecida e dois casos em escala de campo, o escorregamento de um talude, onde
somente o modelo mecânico pode ser testado e um caso de perfuração de poço, onde o
acoplamento hidro-mecânico é avaliado. Foi modelado ainda, um ensaio triaxial, onde foi
observada a modificação proposta para o IMPLEX. A análise dos resultados obtidos mostrou-
se satisfatória.
Palavras-chave: Plasticidade, Elementos finitos, Integração implícita, Permeabilidade,
Acoplamento hidro-geomecânico.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
iii
ABSTRACT
Predicting the behavior of oil reservoirs, especially when they are under variable effective
stresses, requires a model that takes into account the deformation of porous media. This link
is done considering permeability and porosity variations as a function of stress-strain state.
The numerical tool used in this paper was the finite element code CODE_BRIGHT which
solves the equilibrium and fluid flow equations in a coupled way. In this kind of problem, an
important component of the finite element code is the algorithm for the integration of stress-
strain relationships, which generally are based on highly non-linear elastic-plastic constitutive
laws. A new version of the implicit algorithm with an explicit prediction of the plastic
multiplier, called IMPLEX (Oliver et al., 2008), was adopted in this paper. This algorithm
improves the efficiency and robustness of the numerical code, allowing solving bigger and
more complex problems. A simulation of well stability was carried out and the results showed
the performance of the implemented algorithm.
Key-words: Plasticity, Finite Element Methods, Implicit integration, Permeability, Hydro-
mechanical coupled
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
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LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Superfície de Fluência (Gens & Prats, 2003) .................................................... 12
Figura 2.2 - Material elasto-plástico perfeito, com endurecimento e com amolecimento,
respectivamente .................................................................................................................. 13
Figura 2.3 - Potencial plástico e vetor de deformações plásticas (Gens & Prat, 2003) ......... 14
Figura 2.4 - Endurecimento isotrópico e cinemático, respectivamente (Mendonça, 2005) ... 15
Figura 2.5- Superfície de fluência de von Mises (Gomes, 2006) .......................................... 19
Figura 2.6 - Superfície de fluência de Drucker Prager (Sousa, 2004) .................................. 21
Figura 3.1 - Algoritmo de retorno ao vértice (Souza Neto et al, 2008) .................................. 41
Figura 4.1 - Geometria do problema de cavidade cilíndrica ................................................. 54
Figura 4.2 - Malha de elementos finitos ............................................................................... 54
Figura 4.3 - Curva carga-deslocamento ............................................................................... 55
Figura 4.4 - Esquema do ensaio triaxial ............................................................................... 56
Figura 4.5 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises) ............................ 57
Figura 4.6 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises) ............................ 58
Figura 4.7 -Geometria e condições de contorno do problema .............................................. 60
Figura 4.8 - Malha de elementos finitos ............................................................................... 61
Figura 4.9 - Variação da altura crítica do talude com o fator de gravidade ........................... 62
Figura 4.10 - Evolução dos deslocamentos horizontais com o fator de gravidade ............... 62
Figura 4.11 - Evolução dos deslocamentos verticais com o fator de gravidade.................... 63
Figura 4.12 - Evolução das deformações plásticas cisalhantes com o fator de gravidade ... 64
Figura 4.13 - Evolução das deformações plásticas volumétricas com o fator de gravidade . 64
Figura 4.14 - Distribuição dos deslocamentos...................................................................... 65
Figura 4.15 - Vetores de deslocamento ............................................................................... 65
Figura 4.16 - Deformações plásticas cisalhantes ................................................................. 65
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v
Figura 4.17 - Deformações plásticas volumétricas ............................................................... 65
Figura 4.18 – Distribuição de porosidade ............................................................................. 66
Figura 4.19 - Trajetória de tensões para o caso do talude vertical ....................................... 67
Figura 4.20 - Geometria do problema e malha de elementos finitos .................................... 69
Figura 4.21 - Deformações plásticas desviadoras ................................................................ 70
Figura 4.22 - Imagem ultrasônica de perfil de poço apresentando breakout na direção da
tensão principal menor no plano normal ao poço. ................................................................ 71
Figura 4.23 - Variação de porosidade .................................................................................. 72
Figura 4. 24 - Variação de permeabilidade .......................................................................... 72
Figura 4. 25 - Distribuição da pressão de líquido ................................................................. 73
Figura 4.26 - Trajetória de tensões ...................................................................................... 73
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LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 - Parâmetros do material do cilindro ................................................................... 54
Tabela 4.2 -Propriedades do material do ensaio triaxial ....................................................... 57
Tabela 4 3 – Parâmetros do Problema de Talude Vertical ................................................... 60
Tabela 4. 4 - Parâmetros do material do maciço escavado .................................................. 69
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vii
SUMÁRIO
1.Introdução ........................................................................................... 1
1.1. Introdução ............................................................................. 1
1.2. Objetivos ............................................................................... 2
1.3. Organização da Dissertação ..................................................... 3
2.Caracterização hidromecânica e relações constitutivas ....................... 5
2.1. Cinemática e Equilíbrio ............................................................ 6
2.2. Modelo Constitutivo Elasto-plásticos ............................................ 8
2.2.1. Invariantes ............................................................................. 8
2.2.2. Decomposição Aditiva do Tensor de Deformações. ..................... 10
2.2.3. Resposta Elástica ................................................................. 10
2.2.4. Resposta Plástica ................................................................. 11
2.2.5. Potencial Plástico .................................................................. 13
2.2.6. Lei de Edurecimento .............................................................. 14
2.2.7. Matriz Constitutiva Elasto-plástica ............................................ 15
2.2.8. Critério de Plastificação de von Mises ....................................... 18
2.2.9. Critério de Plastificação de Drucker Prager ................................ 19
2.3. Modelo Constitutivo Hidráulico ................................................. 21
2.3.1. Equação da Conservação de massa ......................................... 22
2.3.2. Relação entre Permeabilidade e Porosidade .............................. 23
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viii
2.3.3. Deformações Plásticas e Variação da Permeabilidade ................. 24
3.Formulação Numérica ....................................................................... 26
3.1. Algoritmo de Integração Implícita para o Modelo de Von Mises com
Endurecimento ......................................................................................... 27
3.1.1. Estado de tensões trial ........................................................... 28
3.1.2. Endurecimento Linear ............................................................ 33
3.1.3. Módulo Tangente Consistente Elasto-Plástico ............................ 34
3.1.4. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 36
3.2. Algoritmo de Integração Implícita para o Modelo de Drucker Prager 39
3.2.1. Equações Constitutivas .......................................................... 39
3.2.2. Algoritmo de Retorno para o Modelo de Drucker Prager ............... 41
3.2.2.1 Retorno à Superfície do Cone ................................................. 42
3.2.2.2 Retorno ao Ponto de Singularidade (Vértice) .............................. 43
3.2.2.3 Escolha do Retorno Apropriado ............................................... 44
3.2.3. Matriz Tangente Consistente ................................................... 44
3.2.4. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 45
3.3. Algoritmo de Integração Implícita-Explícita (IMPLEX) para o Modelo
de Drucker Prager .................................................................................... 47
3.3.1. Algoritmo Básico Implementado ............................................... 49
4.Casos Analisados .............................................................................. 52
4.1. Expansão de Cavidade Cilíndrica ............................................. 52
4.2. Ensaio Triaxial ...................................................................... 56
4.3. Análise de Talude Vertical ...................................................... 58
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
ix
4.4. Perfuração de Poço ............................................................... 67
5.Conclusões ........................................................................................ 75
5.1. Sugestões Para Trabalhos Futuros ........................................... 76
6.Referências Bibliográficas ................................................................. 77
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. INTRODUÇÃO
A disponibilidade crescente de recursos computacionais cada vez mais robustos e
disseminados abre espaço para a utilização de ferramentas de trabalho mais poderosas e
alavanca o desenvolvimento de teorias e modelos cada vez mais complexos para a
representação dos diversos fenômenos e comportamentos.
Essa realidade não é diferente para a Engenharia Geotécnica, que tradicionalmente esteve
apoiada nos conceitos da Mecânica dos Solos desenvolvidas por Terzaghi, na Teoria da
Elasticidade e nas teorias de plasticidade. A partir das observações em campo e em ensaios de
laboratório, diversos modelos constitutivos foram desenvolvidos com intuito de representar o
comportamento dos solos. Esses modelos são construídos como simplificação das condições
reais mediante a adoção de hipóteses simplificadoras que visam diminuir o grau de
complexidade matemática da formulação bem como possibilitar a resolução do sistema de
equações resultantes. Com o advento da modelagem computacional pode-se aproveitar ao
máximo as vantagens oferecidas pelos modelos constitutivos mais avançados, porém tais
modelos não devem possuir um grau de complexidade que inviabilize sua aferição ou
interpretação de seus resultados.
O modo como os parâmetros do problema variam no espaço e no tempo assim como as
relações existentes entre as grandezas relevantes na análise devem ser contempladas na etapa
de descrição fenomenológica, de maneira a validar o modelo proposto. Durante a etapa de
simulação matemática do comportamento de um material sob solicitação mecânica, devem ser
consideradas suas propriedades físicas e estruturais, além de sua constituição físico-
mineralógica, responsáveis pela maneira particular com a qual se verifica a resposta do meio
solicitado (Vasconcelos, 2007).
Os materiais normalmente estudados nos campos da Engenharia Geotécnica e de
Reservatórios de Petróleo apresentam uma estrutura porosa, cujos vazios podem estar total ou
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
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parcialmente preenchidos por líquidos. O estado de deformação e as condições de resistência
de tais meios necessitam, para sua total compreensão, de recursos teóricos que vão além dos
fundamentos básicos da Mecânica dos Sólidos. Constata-se que a presença de fluido nos
poros e sua interação com e as partículas sólidas influenciam na resposta global do meio
poroso (Lambe & Whitman, 1976).
Para resolver problemas dessa natureza, é necessária a adoção de modelos constitutivos
mecânicos e hidráulicos que levem em conta o fato do meio poroso ser deformável. Neste
caso, a permeabilidade intrínseca (ou absoluta) da rocha, um dos parâmetros chave do
problema hidráulico, será considerada em função da porosidade, que por sua vez poderá variar
quando o meio se deforma. Esta deformação ocorre quando há variações no estado de tensões
efetivas, dadas pelo tensor de tensões totais menos o tensor esférico das poro-pressões.
Do ponto de vista matemático, este problema acoplado hidro-mecânico é representado por um
sistema de equações não-lineares em derivadas parciais que, quando discretizado, resulta num
sistema de equações algébricas não-lineares onde as equações de fluxo são modificadas
através da incorporação do termo de deformação da matriz porosa, enquanto que a equação
mecânica passa a incluir um termo de pressão e saturação, provenientes das equações de
fluxo. Diferentes esquemas de solução podem ser usados, a depender do tamanho e nível de
acoplamento entre os problemas hidráulico e geomecânico.
Nesse contexto se insere a ferramenta CODE_BRIGHT (COupled DEformation, BRIne, Gas
and Heat Transport), utilizada neste trabalho, e que se presta a modelar problemas em até três
dimensões, caracterizados por fenômenos de natureza mecânica, hidráulica, térmica e
química, permitindo ainda o acoplamento entre duas ou mais destas modalidades.
1.2. OBJETIVOS
O presente trabalho tem como principal objetivo acrescentar à ferramenta CODE_BRIGHT
uma família de algoritmos de integração implícita para leis constitutivas tensão-deformação.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
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Visando um ganho de eficiência computacional e uma simulação numérica mais satisfatória.
Especificamente podemos listar os seguintes objetivos principais.
- Desenvolver implementações numéricas de algoritmos de integração implícita e
implícito-explícita (IMPLEX) para o cálculo das tensões e deformações segundo os modelos
elasto-plásticos de von Mises e Drucker Prager.
- Simular os ensaios de laboratório, permitindo que os resultados destes sejam
extrapolados para a escala de campo através da modelagem numérica.
- Simular problemas acoplando fluxo e deformação em problemas que interessam a
engenharia geotécnica e a indústria de petróleo.
1.3. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
A presente dissertação é composta de cinco capítulos. Inicialmente, no capítulo 1, são
apresentados os objetivos que se pretende alcançar com o trabalho e também as motivações
que levaram a escolha do tema a ser desenvolvido.
No capítulo 2 são descritas brevemente as teorias e formulações matemáticas que
caracterizam a modelagem do problema acoplado hidro-mecânico. São apresentados os
modelos constitutivos mecânico e hidráulicos adotados no desenvolvimento do trabalho e
também uma breve revisão sobre alguns aspectos da teoria da plasticidade que concernem ao
tema desenvolvido na dissertação.
No capítulo 3 estão descritos os algoritmos que foram inseridos no código em elementos
finitos CODE_BRIGHT. Para integração de tensões foi implementado o algoritmo de
integração implícita apresentado por Simo & Hughes (1998) para o modelo de von Mises,
enquanto para o modelo de Drucker Prager foi utilizado o algoritmo proposto por de Souza
Neto et al (2008) e ainda foi acrescentada uma simplificação do algoritmo implícito proposta
por Oliver et al(2008).
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
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No capítulo 4 são apresentados alguns exemplos de validação dos algoritmos implementados
através de simulações de ensaios de laboratórios e problemas com soluções conhecidas. São
também mostradas as análises da modelagem de dois problemas que interessam à engenharia
geotécnica, o estudo de estabilidade de taludes verticais e a perfuração de poços em rochas
frágeis.
Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões da dissertação e então são sugeridas
futuras linhas de pesquisa a serem desenvolvidas tendo em vista a continuidade do trabalho,
bem como a melhora dos modelos utilizados para simular o comportamento do meio poroso e
da eficiência computacional da ferramenta CODE_BRIGHT.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
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2. CARACTERIZAÇÃO HIDROMECÂNICA E RELAÇÕES
CONSTITUTIVAS
Neste capítulo serão apresentados os conceitos e as hipóteses básicas adotadas na modelagem
hidro-mecânica que descreve o comportamento de solos saturados, deformáveis e
comportamento elasto-plástico, quando submetidos a programas cargas quasi-estáticas.
Os solos e rochas são materiais trifásicos constituídos por partículas sólidas e vazios que
podem estar total ou parcialmente preenchidos por líquidos. Os movimentos e o estado de
equilíbrio destes sólidos porosos necessitam, para sua total compreensão, dos fundamentos
básicos e recursos teóricos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos, para solicitações quase-
estáticas e fluxo de baixa velocidade. A interação do fluido nos vazios e o esqueleto sólido
influenciam na resposta global do meio (Skempton, 1961; Lambe & Whitman, 1976; Sousa
Pinto, 2000).
Nesta modelagem serão consideradas as seguintes hipóteses (Maier e Cocchetti, 2002):
• SATURAÇÃO COMPLETA DO ESQUELETO SÓLIDO POR UM ÚNICO FLUIDO;
• PERMEABILIDADE CONSTANTE COM O TEMPO;
• HIPÓTESE DE PEQUENAS DEFORMAÇÕES, OU SEJA, RELAÇÃO CINÉTICA LINEAR;
• PROGRAMA DE CARGAS QUASI-ESTÁTICO, ISTO É, PROGRAMA DE CARGAS EXTERNAS
LENTO E SEM EFEITOS INERCIAIS, MAS RÁPIDO O SUFICIENTE COM RELAÇÃO AO
PROCESSO DE FLUXO;
• VALIDADE DO PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS, COMO DESCRITO A SEGUIR.
Em meados da década de 1920, Karl Terzaghi introduziu o conceito de tensões efetivas com o
intuito de explicar a resposta de um meio poroso saturado quando submetido a solicitações
externas. Ele observou experimentalmente que as deformações produzidas nestes meios
saturados são dependentes de um estado de tensões efetivas atuantes sobre o meio. Quando há
uma solicitação em termos de tensões totais (σ) e existe uma fase líquida na qual ocorre uma
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
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pressão no líquido pl., então o tensor de tensões efetivas definido por Terzaghi é caracterizado
a partir da seguinte relação:
Iσσ lp−=' (2.1)
onde σ representa o tensor de tensões totais, 'σ o tensor de tensões efetivas, e lp a pressão
exercida pelo fluido contido nos poros e I é o tensor unitário de segunda ordem. É importante
assinalar que as variações de movimento (deslocamento, deformações, variação volumétrica)
no corpo são devidas exclusivamente a variações nas tensões efetivas (Bishop & Blight,
Atkinson & Bransby, 1978; Lancellotta, 1995).
A equação (2.1) descreve satisfatoriamente o comportamento dos solos saturados quando são
observadas as condições de incompressibilidade dos grãos. Quando esta condição não é
satisfeita a resposta mecânica dos solos e das rochas é mais precisamente controlada por uma
tensão efetiva que é função da tensão total aplicada e da poro-pressão, de acordo com a
seguinte expressão:
Iσσ' pα−= (2.2)
que corresponde a uma reformulação do modelo de Terzaghi com a introdução do parâmetro
α (coeficiente de Biot) relacionado à compressibilidade do meio (Biot, 1941), sendo α :
sK
K−=1α
(2.3)
onde, K e sK são os módulos volumétricos da matriz porosa e dos grãos, respectivamente.
2.1. CINEMÁTICA E EQUILÍBRIO
Vamos considerar então, um meio saturado com domínio Ω e uma fronteira Γ, composta por
duas partes disjuntas e complementares Γu e Γf nas quais são prescritos os deslocamentos e as
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forças externas, tais que (Γu U Γf = Γ) e (Γu ∩ Γf = Ø). Analogamente Γp e Γq são as partes de Γ
nas quais estão prescritas a pressão do fluido pl e o fluxo q, tais que (Γpl U Γq = Γ) e (Γpl ∩ Γq
= Ø), com Γ regular.
Alguns aspectos diferenciam o solo de outros materiais, a exemplo da plastificação sob
carregamento exclusivo das tensões médias. Para uma determinada massa de solo, uma
parcela considerável de seu volume é composta por vazios que podem ou não estar
preenchidos de líquido. Para que haja uma mudança no volume desta massa de solo é preciso
que haja movimento da fase fluida (ar e água) existente nos vazios. Esse movimento
volumétrico vai depender das restrições impostas pelo esqueleto sólido. As variáveis que
relacionam a proporção entre os vazios e as partículas sólidas são o índice de vazios:
e a porosidade:
onde Vv é o volume de vazios e Vt o volume total.
As componentes do tensor de deformações podem ser consideradas como funções contínuas
das componentes de deslocamento. Para o caso de pequenas deformações, tal relação assume
uma configuração linear conforme representada pela seguinte equação:
( )Tuuε ∇+∇=2
1 em Ω (2.6)
Enquanto o equilíbrio fica caracterizado por:
0bσ =+div em Ω (2.7)
t
v
V
Ve = (2.4)
e
e
+=
1φ (2.5)
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2.2. MODELO CONSTITUTIVO ELASTO-PLÁSTICO
A teoria da plasticidade descreve o comportamento de uma classe de materiais bastante
relevante para a engenharia geotécnica, rochas, argilas e solos de uma maneira geral. Esses
materiais, após serem submetidos a um carregamento, apresentam uma deformação
permanente (ou plástica) mesmo quando completamente descarregados.
Em particular, neste trabalho, a teoria da plasticidade está restrita à pequenas deformações e à
descrição de materiais para os quais a deformação não é dependente da taxa de aplicação do
carregamento.
Segundo Sousa (2004) são critérios essenciais para a formulação de um modelo elasto-
plástico, a relação elástica, o critério de plastificação, a existência de um potencial plástico e
as leis de endurecimento e amolecimento
2.2.1. INVARIANTES
Devido à influência que a deformação volumétrica exerce no comportamento dos solos, é
conveniente, no tratamento de problemas geotécnicos, trabalhar com invariantes que
possibilitem separar os efeitos associados à variação de volume daqueles associados à
mudança de forma (distorção).
Para melhor compreensão dos conceitos que serão apresentados, faz-se necessária a definição
de alguns invariantes, como se segue.
O tensor de tensões é definido como:
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9
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
στττστττσ
σ
(2.8)
e o tensor desviador é definido como:
IσS p−= (2.9)
onde I é o tensor identidade e p a tensão média, definido como:
)(31
)(31
)( 321 zyxtrp σσσσσσ ++=++== σ
(2.10)
Portanto:
−−
−=
p
p
p
zyzxz
yzyxy
xzxyx
στττστττσ
S
(2.11)
O segundo invariante adotado é definido como:
S2
1=J
(2.12)
( )
+++
+−+−+−=
222
222
2
)()()(
21
yzxzxz
zyx pppJ
τττ
σσσ
(2.13)
Segundo Chen & Baladi (1985) os invariantes p e J relacionam-se com a energia associada à
variação volumétrica e à energia associada à distorção respectivamente.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
10
2.2.2. DECOMPOSIÇÃO ADITIVA DO TENSOR DE DEFORMAÇÕES.
Uma das principais hipóteses da teoria da plasticidade para pequenas deformações é a
decomposição do tensor de deformações totais ε em um tensor de deformações elásticas (ou
reversíveis) εe e um tensor de deformações plásticas (ou irreversíveis), εp.
pe εεε += (2.14)
2.2.3. RESPOSTA ELÁSTICA
A elasticidade linear independe do tempo e da história de carregamento, e considera que todas
as mudanças de deformação em função das variações do estado tensional são instantâneas e o
sistema é completamente reversível, ou seja, a energia absorvida é totalmente recuperada no
processo de descarregamento.
A deformação elástica pode ser definida através do princípio da decomposição aditiva, que
decompõe a deformação total em uma parcela elástica e outra plástica (Eq. 2.14).
Nesse caso, a lei constitutiva para a tensão pode ser expressa como:
eeεDσ = (2.16)
onde De é a matriz de rigidez elástica.
pe εεε −= (2.15)
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11
2.2.4. RESPOSTA PLÁSTICA
De acordo com Gens & Prat (2003) na teoria da Plasticidade a superfície de fluência é uma
função das tensões e de outros parâmetros que separa, no espaço das tensões, a região onde o
material possui comportamento elástico da região onde o comportamento é plástico, também
denominada região das tensões plasticamente admissíveis.
A expressão geral que define a superfície de fluência se escreve como:
onde h é um vetor de parâmetros de estado que controlam o endurecimento.
A região onde o material se comporta elasticamente denomina-se domínio elástico e é
definida por:
A função de fluência delimita uma região fechada no espaço, através de uma superfície de
fluência, descrita como:
Quando o material está em regime plástico, ou seja, deformando-se de maneira irreversível, o
estado de tensões sempre deve estar sobre a superfície de fluência, sendo o exterior da
superfície a região das tensões inadmissíveis, como mostra a Figura 2.1.
0),( =hσf (2.17)
0),(| <=Ε hσσ feσ (2.18)
0),(| ==Ε∂ hσσ fσ (2.19)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
12
Figura 2.1 - Superfície de Fluência (Gens & Prats, 2003)
Em geral a superfície é dependente das tensões atuantes σ e seu tamanho varia como uma
função dos parâmetros de estado h. Para plasticidade perfeita h é constante e a superfície de
fluência não muda de tamanho durante o carregamento. Para plasticidade com endurecimento
ou amolecimento h varia com as deformações plásticas e a superfície de fluência se expande
ou diminui durante o carregamento.
Na Figura 2.2 é possível observar o comportamento dos materiais elasto-plásticos perfeitos,
com endurecimento e com amolecimento. Na plasticidade perfeita, os materiais apresentam
patamar de escoamento definido pela tensão de escoamento σy, parâmetro do material para
determinado sistema de cargas e condições de contorno, que se mantém constante. Para
materiais com endurecimento a tensão de escoamento inicial é excedida e em materiais com
amolecimento a tensão de escoamento decresce.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
13
Figura 2.2 - Material elasto-plástico perfeito, com endurecimento e com amolecimento, respectivamente (uniaxial.)
2.2.5. POTENCIAL PLÁSTICO
Sob condição uniaxial é considerado implicitamente que a direção das deformações plásticas
incrementais é coincidente com a direção da tensão imposta. Contudo em um caso multiaxial
a situação se torna mais complexa devido à existência de seis componentes de tensões e
deformações. É necessário se estabelecer a direção de deformação plástica em qualquer estado
de tensão. Assim para definir as direções das deformações plásticas incrementais recorre-se a
existência de um potencial plástico g, tal que, a lei de escoamento plástico é caracterizada por:
Onde dεij representa as seis componentes da deformação plástica incremental, λ é chamado de
multiplicador plástico e é um escalar que fornece a magnitude da deformação plástica. A
direção é dada pelo gradiente de g, a função potencial plástica, que é expressa como,
Onde ξ é um vetor característico dos parâmetros do material.
ijij
σ
gdε
∂∂= λ (2.20)
0),( =ξσg (2.21)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
14
A direção da deformação plástica é paralela a direção do gradiente do potencial plástico e,
portanto, perpendicular a superfície determinada por g, como mostra a figura 2.3.
Quando a superfície de fluência e o potencial plástico coincidem (f=g), trata-se de
plasticidade associada, no caso contrário trata-se plasticidade não-associada (Gens e Prat,
2003).
Figura 2.3 - Potencial plástico e vetor de deformações plásticas (Gens & Prat, 2003)
2.2.6. LEI DE EDURECIMENTO
Com o início da plastificação, poderá ocorrer um aumento ou diminuição da superfície de
fluência e são as leis de endurecimento ou amolecimento, respectivamente, que regulam este
fenômeno. A definição dessas leis pode ser feita estabelecendo-se a variação do parâmetro h,
quando definidas tais leis permitem descrever as mudanças de posição e de tamanho da
superfície de plastificação.
Podem ser considerados dois tipos de endurecimento: isotrópico ,quando apenas o tamanho da
superfície é alterado; e cinemático, quando a superfície é deslocada sem sofrer variação de
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
15
forma ou tamanho sofrendo apenas translação na direção do fluxo plástico. A figura 2.4
ilustra os dois comportamentos.
Figura 2.4 - Endurecimento isotrópico e cinemático, respectivamente (Mendonça, 2005)
Para controlar tal variação do tamanho, forma ou posição da superfície de fluência devem ser
definidos os parâmetros de endurecimento h, que por sua vez são funções da deformação
plástica acumulada como a seguir.
2.2.7. TENSOR CONSTITUTIVO ELASTO-PLÁSTICO
É preciso definir a relação entre as tensões e deformações incrementais para sua conseqüente
utilização nos modelos constitutivos elasto-plásticos.. As equações são apresentadas em
função das taxas (derivadas em relação ao tempo) de tensão e de deformação.
Definindo Dep como sendo o tensor constitutivo elasto-plástico, em contraposição à matriz
elástica De, a relação entre as tensões e deformações para um material elasto-plástico, pode
ser escrita da seguinte forma.
)( pεhh = (2.22)
εDσ &&ep= (2.23)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
16
onde σ& é o incremento do tensor de tensões e ε& o incremento do tensor de deformações. O
incremento total de deformação pode ser dividido em duas parcelas, a elástica (eε& ) e a
plástica ( pε& ) como mostrado a seguir,
De acordo com (2.16) e (2.20) tem-se que,
Combinando (2.26) e (2.25) com (2.24), pode-se escrever
Conforme visto anteriormente, os materiais em regime plástico devem satisfazer a condição
F(σ,h)=0. Além disso, para atender a condição de consistência, o diferencial de F deve ser
igual a zero (Mendonça, 2005), de onde se deduz que,
e o multiplicador plástico resulta em:
pe εεε &&& += (2.24)
σDε &&1−= ee
(2.25)
σ
Ψσε
∂∂= ),(gp λ& (2.26)
∂∂−=
σ
ΨσDεDσ
),(geee λ&& (2.27)
0),(),(
),( =
∂∂+
∂∂= h
hhσ
σσ
hσhσ &&&
TTff
f (2.28)
Agf
f
Te
T
eT
+
∂∂
∂∂
∂∂
=
σ
ΨσD
σ
hσ
εDσ
hσ
),(),(
),(&
λ
(2.29)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
17
Onde,
O parâmetro A varia de acordo com a condição de plasticidade do material. Para plasticidade
perfeita, h é uma constante e A=0. Para o caso de endurecimento ou amolecimento, (2.30) é
reescrita como,
Devido à relação linear entre h e εp, o parâmetro λ pode ser cancelado e A torna-se
determinado. Caso a relação seja não-linear o parâmetro escalar não é cancelado e A se torna
indeterminado. Tal dificuldade é estendida à determinação da matriz elasto-plástica. Na
prática todos os modelos assumem uma relação linear entre o parâmetro de estado h e as
deformações plásticas εp (Sousa, 2004).
Substituindo (2.29) em (2.27) obtém-se,
E por fim, substituindo (2.32) em (2.23), tem-se a expressão da matriz constitutiva elasto-
plástica,
hh
hσ&
Tf
A
∂∂−= ),(1
λ (2.30)
pp
Tf
A εε
hh
hσ&
∂∂
∂∂−= ),(1
λ (2.31)
Agf
fg
Te
T
eT
e
e
+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
σ
ΨσD
σ
hσ
εDσ
hσσ
ΨσD
εDσ),(),(
),(),(&
&&
(2.32)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
18
2.2.7.1.1. CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE VON MISES
De acordo com (Souza Neto et al, 2008) este modelo, que é mais apropriado a descrição do
comportamento elasto-plástico dos metais, foi proposto por von Mises em 1913. De acordo
com o critério de Von Mises, a plastificação se inicia quando o tensor das tensões desviadoras
S atinge um valor crítico. Tal modelo não considera que a parte esférica do tensor de tensões
tenha influência nas deformações plásticas. A superfície de fluência para este modelo pode ser
escrita como,
Onde σy é a tensão de escoamento e varia para cada material. A superfície de fluência de von
Mises tem a forma de um cilindro circular no espaço das tensões principais, conforme ilustra
a Figura 2.5. A superfície é independente da tensão média p e a parcela yσ
3
2 representa seu
raio. As deformações plásticas ocorrem normalmente à superfície de fluência no sentido do
espaço de tensões inadmissíveis. Neste trabalho será considerado o modelo de von Mises
associado, portanto f=g.
Agf
fg
Te
T
eT
e
eep
+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
σ
ΨσD
σ
hσ
Dσ
hσσ
ΨσD
DD),(),(
),(),(
(2.33)
yf σ3
2),( −= Shσ (2.34)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
19
Figura 2.5- Superfície de fluência de von Mises (Gomes, 2006)
2.2.8. CRITÉRIO DE PLASTIFICAÇÃO DE DRUCKER PRAGER
O modelo proposto por Drucker e Prager, como uma suavização do modelo de Mohr-
Coulomb (Souza Neto et al, 2008), consiste na modificação do critério de von Mises onde
um termo é introduzido para que o modelo se torne sensível às variações volumétricas. O
modelo de Drucker Prager prevê que a plastificação tem início quando o invariante de tensões
desviadoras, J, e a tensão média, p, atingem uma combinação de valores críticos. Para este
modelo podemos definir a função de fluência da seguinte forma,
Sendo,
cpJf ξη −+=),( hσ (2.35)
),( ; ),( ϕξϕη cc (2.36)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
20
Onde a coesão (c) e o ângulo de atrito (ϕ) são parâmetros do material. A superfície de
plastificação de Drucker Prager é um cone cilíndrico como mostrado na figura 2.6 e os
parâmetros η e ξ são escolhidos de acordo com a aproximação à superfície de Mohr-Coulomb.
Duas das mais comuns aproximações são obtidas fazendo-se coincidir os vértices internos ou
externos da superfície de Mohr-Coulomb. A coincidência dos vértices externos é dada por
E a coincidência dos vértices internos é dada por,
Os cones externos e internos são conhecidos respectivamente como cone de compressão e
cone de extensão. Uma seção do plano-π de ambas as superfícies é mostrada na figura 2.6.
)sin3(3
sin6
φφη
−= (2.37)
)sin3(3
cos6
φφξ
−= (2.38)
)sin3(3
sin6
φφη
+= (2.39)
)sin3(3
cos6
φφξ
+= (2.40)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
21
Figura 2.6 - Superfície de fluência de Drucker Prager (Sousa, 2004)
Uma lei de fluxo plástico não associada pode ser obtida para o modelo de Drucker Prager
adotando-se como função do potencial plástico a mesma função de fluência onde o ângulo de
atrito (ϕ) é substituído pelo ângulo de dilatância (ψ) sendo escrito da forma a seguir,
onde, para o cone externo:
e, para o cone interno:
2.3. MODELO CONSTITUTIVO HIDRÁULICO
pJg η+=),( hσ (2.41)
)sin3(3
sin6
ψψη
−= (2.42)
)sin3(3
sin6
ψψη
+= (2.43)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
22
Um aspecto particular que diferencia o solo de outros materiais é que para uma determinada
massa de solo, uma parcela considerável de seu volume é composta por vazios que podem ou
não estar preenchidos de líquido. É consenso que para que haja uma mudança no volume
desta massa de solo é preciso que a fase fluida (ar e água) existente nos vazios se movimente.
Esse movimento dos fluidos vai depender da restrição que o esqueleto sólido impõe, e a
variável utilizada para mensurar a dificuldade que a fase fluida tem de se movimentar entre os
vazios do solo é a permeabilidade. A permeabilidade depende da forma e do tamanho das
partículas sólidas e também da proporção em volume existente entre os vazios e os grãos,
denominado de índice de vazios.
2.3.1. EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA
Para o problema hidráulico, as equações de conservação de quantidade de movimento das
fases fluidas são substituídas pela lei de Darcy generalizada, cuja validade restringe-se a uma
condição de fluxo laminar (Bear, 1988). Considerando o meio poroso como saturado por um
único fluido, a água, a conservação de massa da fase líquida é expressa como,
onde ρl é a densidade do líquido e ql é o fluxo volumétrico de líquido, dado pela Lei de Darcy
da seguinte forma,
sendo k é o tensor de condutividade hidráulica, definido como
0)()( =+∇+∂∂
uq &lllltφρρφρ (2.44)
)( gkq lll p ρ+∇−= (2.45)
lµκ
k = (2.46)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
23
onde g é o vetor de gravidade, κ o tensor de permeabilidade intrínseca para o meio saturado e
µl a viscosidade do fluido.
2.3.2. RELAÇÃO ENTRE PERMEABILIDADE E POROSIDADE
O acoplamento hidromecânico pode ser obtido por meio de uma relação direta entre a
variação de uma variável mecânica e a evolução de uma propriedade do comportamento
hidráulico e vice-versa. Na literatura as tentativas focam uma relação direta entre a
permeabilidade intrínseca com o estado de tensões, porém, essa tarefa, em termos práticos
encontra limitações decorrentes da complexidade relativa ao problema. Sendo assim, as
relações comumente encontradas permitem determinar as variações de permeabilidade
intrínseca através de leis que relacionam esta grandeza com a porosidade (Sousa, 2004).
Sabe-se que a permeabilidade do meio poroso não depende unicamente da porosidade, porém
de uma série de fatores que devem ser considerados (tamanho e distribuição dos poros,
percentual de finos, diâmetro efetivos dos grãos, etc). Em decorrência da complexidade
concernente à determinação de uma relação simples e geral, comumente são utilizadas
relações experimentais que se prestam para uma estimativa aproximada da variação de tais
parâmetros.
No programa de elementos finitos CODE_BRIGHT, que resolve de maneira acoplada as
equações do problema hidromecânico (Sousa et al, 2005) há uma equação que expressa a
dependência da permeabilidade intrínseca com a porosidade por meio de uma lei exponencial
empírica (Febex, 2001), descrita como,
Onde b é um parâmetro de ajuste que serve pra regular a amplitude da influência da variação
da porosidade do meio sobre a permeabilidade. A magnitude dos valores assumidos por este
parâmetro se justifica pela maior ou menor densidade da rocha, visto que tais características
[ ])(exp. 00 φφ −= bκκ (2.47)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
24
influenciam na maneira como o índice de vazios varia (e conseqüentemente, a porosidade
também). Em geral valores elevados de b são empregados para rochas densas devido a
pequena magnitude da variação da porosidade (Sousa, 2004). Essa lei permite representar, de
maneira aproximada, o comportamento hidromecânico de diversas classes de meios porosos,
mediante a escolha de valor adequado para o parâmetro de ajuste.
2.3.3. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS E VARIAÇÃO DA PERMEABILIDADE
As componentes do tensor de deformações podem ser consideradas como funções contínuas
das componentes de deslocamento, que para pequenas deformações, assume a forma:
Sendo o meio poroso um sistema constituído por várias fases, além da equação da
conservação de massa da fase líquida deve ser considerada a conservação de massa da fase
sólida, que uma vez admitida a hipótese de deformabilidade do meio, pode ser expressa como:
Sendo u& o vetor de velocidade da fase sólida devido à deformabilidade do meio poroso.
Definindo-se a derivada material de uma variável qualquer φ(x,y,z,t) como (Ferreira, 1996 e
Oller, 2001):
torna-se possível estabelecer a variação da porosidade em função da deformação volumétrica,
( )Tuuε ∇+∇=2
1 (2.48)
[ ] [ ]u&sstρφρφ )1()1( −∇+−=
∂∂
(2.49)
ϕϕϕ ∇+∂∂= u&
tdt
d (2.50)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
25
Onde vε& é a taxa de deformação volumétrica e dt
d sρé o termo de compressibilidade da fase
sólida. Quando se admite a incompressibilidade da fase sólida, o primeiro termo da equação
(2.49) se anula, de modo que a variação da porosidade é influenciada apenas pela variação na
deformação volumétrica.
De acordo com a formulação matemática do problema hidromecânico, a determinação do
estado de tensão em cada ponto do meio poroso possibilita a atualização do campo de
deformação por meio da relação constitutiva característica do meio. Isso proporciona a
determinação do campo de deslocamento correspondente (incógnita do problema mecânico)
pela equação (2.48), por outro lado a equação da conservação de massa da matriz porosa
(2.51) juntamente com a equação que caracteriza o acoplamento hidromecânico (2.47)
determina a atualização das respectivas variáveis de tal modo a se obter a incógnita do
problema hidráulico (pressão de líquido). (Vasconcelos, 2007)
vs
s dt
d
dt
dε&)1(
)1( φρρ
φφ −+−= (2.51)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
26
3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA
A seguir estão descritos os algoritmos que foram implementados no programa de elementos
finitos CODE_BRIGHT , que é capaz de resolver problemas acoplados termo-hidro-
mecânicos e geoquímicos em meios porosos. Este programa foi desenvolvido por Olivella et
al (1995) e a primeira versão foi apresentada com o propósito de solucionar problemas
relacionados a materiais salinos num contexto de disposição de resíduos nucleares.
Posteriormente, sua aplicação estendeu-se à modelagem de sistemas de barreiras de proteção
ambiental, transporte de solutos, aterros, escavações, barragens de terra, pavimentação, solos
colapsíveis e solos expansivos (Nóbrega, 2008).
O presente trabalho trata da implementação de algoritmos de integração implícita de modelos
constitutivos elasto-plásticos, aplicados a problemas acoplados hidro-mecânicos em meios
porosos
Segundo Sousa (2004) as aplicações do método dos elementos finitos na plasticidade
envolvem a solução de dois conjuntos de equações diferenciais:
(a) Relação incremental tensão-deformação, em nível de ponto de Gauss.
(b) Equação global carga-deslocamento, em nível de toda malha de elementos finitos.
No problema de integração da lei constitutiva tensão-deformação, a escolha dos algoritmos
totalmente implícitos foi principalmente motivado por estes serem incondicionalmente
estáveis, por não possuírem grande restrição em relação ao tamanho do passo de tempo e
possibilitarem a dedução de um operador tangente consistente, essencial para o uso em
conjunção com um procedimento global de Newto-Raphson (convergência quadrática).
Portanto, tais algoritmos permitem tornar o CODE_BRIGHT uma ferramenta
computacionalmente mais eficiente.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
27
3.1. ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA O MODELO DE VON MISES
COM ENDURECIMENTO
Neste trabalho, a implementação do modelo de von Mises, tem por base a formulação
apresentada em Simo & Hughes (1998). No capítulo anterior foram apresentadas as equações
concernentes ao problema tensão-deformação, para integrar essas equações numericamente é
conveniente adotar um intervalo de tempo fictício, definido como:
Assim as equações apresentadas podem ser reescritas em termos incrementais.
Pode-se listar como as equações básicas adotadas na implementação do modelo de von Mises:
(a) Lei elástica
onde De é o tensor elastico isotrópico
(b) Função de fluência
onde
nn ttt −=∆ +1 (3.1)
eeεDσ = (3.2)
yyf σσ3
2),( −= Sσ (3.3)
)( pyy εσσ = (3.4)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
28
é a tensão de escoamento do material e é uma função da deformação plástica acumulada, pε .
(c) Lei de fluxo associada
(d) Lei de endurecimento, onde a equação para evolução da variável interna de
endurecimento é dada por
3.1.1. ESTADO DE TENSÕES TRIAL
Dado o incremento de deformação:
onde 1+nε correspondente a deformação no tempo tn+1 e nε a deformação no tempo tn. Sendo
ainda conhecidas variáveis de estado pn
en εε ,
em tn. A deformação elástica trial e a
deformação plástica acumulada trial são dadas por:
SS
2
3γσ
γε =∂∂= fp
& (3.5)
pε&&
3
2=ε (3.6)
nn εεε −=∆ +1 (3.7)
εεε ∆+=+en
trialen 1 (3.8)
pn
trialpn εε =+1
(3.9)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
29
A tensão trial correspondente é calculada como:
onde, a tensão média, p, e o tensor desviador S, são calculados, respectivamente, como:
onde εd e εv são, respectivamente, as componentes desviadoras e volumétrica da deformação,
enquanto que G é o módulo elástico cisalhante e K o módulo elástico volumétrico, definidos
como:
sendo E o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson.
A tensão de escoamento é definida como:
Uma vez determinado o estado elástico trial , o próximo passo do algoritmo é verificar se o
estado de tensõestrialn 1+σ está contido ou não a superfície de fluência.
Se estiver no interior da superfície de fluência, portanto
trialen
etrialn 11 : ++ = εDσ (3.10)
trial
ned
trialn G 11 2 ++ = εS (3.11)
trial
nev
trialn Kεp 11 ++ =
(3.12)
( )ν+=
12
EG (3.13)
( )ν213 −= E
K
(3.14)
nyp
nytrial
ny σεσσ ==+
)(1
(3.15)
0),( ! ≤+ nytrialnf σσ (3.16)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
30
Então o passo do intervalo [tn, tn+1] é puramente elástico e o estado elástico trial é a solução
para a problema de integração, nesse caso as variáveis são atualizadas como se segue.
Se o estado de tensões trialn 1+σ estiver no exterior da superfície definida pela função f no espaço
das tensões principais, então o passo [tn, tn+1] é elasto-plástico e o algoritmo de retorno a
superfície de fluência deve ser aplicado.
Para o modelo de von Mises, o algoritmo de retorno corresponde a resolver o seguinte sistema
de equações não lineares:
O qual deve ser resolvido para γε ∆++ e , 11p
nenε e o tensor de deformação plástica pode ser
atualizado de acordo com a seguinte fórmula:
O sistema apresentado acima pode ser simplificado e o algoritmo de retorno à superfície de
fluência do modelo de von Mises pode ser reduzido a uma única equação não linear, sendo o
incremento do multiplicador plástico a incógnita do problema. Essa redução no número de
trialen
en 11 ++ = εε (3.17)
trialnn 11 ++ = σσ
(3.18)
pn
pn
pn εεε == ++ 11 (3.19)
nytrial
nyny σσσ ==++ 11
(3.20)
1
111 2
3
+
+++ ∆−=
n
ntrialen
en S
Sεε γ (3.21)
γεε ∆+=+p
np
n 1
(3.22)
0)(3
211 =− ++
pnyn σ εS (3.23)
1
11 2
3
+
++ ∆+=
n
npn
pn S
Sεε γ (3.24)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
31
equações é de extrema importância no sentido de fazer o cálculo do estado de tensões atual
mais eficiente do ponto de vista computacional e melhorar o desempenho do esquema de
elementos finitos como um todo. Antes da simplificação das equações (3.21), (3.22) e (3.23)
deve-se notar que o vetor de fluxo de von Mises é puramente desviador, portanto (3.21),
(3.22) e (3.23) podem ser divididas em:
o que equivale, em termos de tensão, a:
Este é o algoritmo de retorno apenas para a componente desviadora da tensão. A tensão
média, pn+1, tem o valor computado no passo elástico e pode ser eliminada do sistema de
equações. A simplificação a seguir decorre do rearranjo da equação de atualização das tensões
desviadoras (3.28), obtendo-se:
As tensões desviadoras trial e as elasto-plásticas se relacionam da seguinte forma:
triale
nve
nv 11 ++ = εε (3.25)
1
111 2
3
+
+++ ∆−=
n
ntrial
ned
e
nd SS
εε γ (3.26)
trialnn pp 11 ++ = (3.27)
1
111 2
32
+
+++ ∆−=
n
ntrialnn G
SS
SS γ (3.28)
trialnn
n
G11
1
2
2
31 ++
+
=
∆+ SSSγ
(3.29)
trialn
trialn
n
n
1
1
1
1
+
+
+
+ =S
SSS
(3.30)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
32
Então o vetor de fluxo e o estado de tensões atualizado coincidem, substituindo a identidade
acima em (3.28) temos a seguinte fórmula de atualização simplificada para as tensões
desviadoras:
onde,
é a tensão de von Mises, calculada na tentativa elástica. Desde que Sn+1 seja um tensor
constante no algoritmo de retorno, a tensão desviador Sn+1 é função linear do ∆γ apenas na
formula de atualização acima. Da expressão (3.31) pode-se deduzir que no algoritmo
totalmente implícito do modelo de von Mises, a atualização da tensão desviadora é obtida
dividindo a tensão desviadora trial pelo fator trialnqG 1/31 +∆− γ .
Finalmente substituindo (3.31) em (3.22) dentro da condição de consistência plástica (3.23), o
sistema das equações (3.21), (3.22) e (3.23) do algoritmo de retorno a superfície de fluência
para o modelo de von Mises se reduz a seguinte equação escalar (geralmente não linear) tendo
o incremento do multiplicador plástico como sua única incógnita:
A equação acima é então resolvida em um esquema Newton-Raphson e, com a solução de ∆γ,
as variáveis de estado são atualizadas como se segue:
trialntrial
n
trialntrial
n
n q
GG1
11
1
1
31
223
1 ++
++
+
∆−=
∆−= SSS
Sγγ
(3.31)
trialn
trialnq 11 2
3++ = S (3.32)
0)(3)(~
1 =∆+−∆−≡∆ + γεσγγ pny
trialn Gqf (3.33)
trialntrial
nn q
G1
11
31 +
++
∆−= SSγ
(3.34)
ISσ trialnnn p 111 +++ +=
(3.35)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
33
Se requerido, o tensor de deformações plásticas é atualizado por (3.24).
3.1.2. ENDURECIMENTO LINEAR
A única fonte de não linearidade no algoritmo de retorno de von Mises (3.33) é a curva de
endurecimento, definida pela equação (3.4). Para materiais com endurecimento linear esta
função é expressa como
Onde σ0 é a tensão de escoamento inicial do material virgem e H é a constante de
endurecimento do material, neste caso(3.33) transforma-se em,
E o incremento do multiplicador plástico pode ser obtido, na forma fechada,
No caso de plasticidade perfeita (H=0), a expressão para ∆γ recai em,
[ ] trial
nevnn
een ε
G 111
1
1 3
1
2
1: +++
−+ +== SσDε (3.36)
γ∆+=+p
np
n εε 1
(3.37)
ppy εHε += 0)( σσ (3.38)
0])([3)( 01 =∆++−∆−≡∆ + HεGqf pn
trialn γσγγ (3.39)
HG
f trial
+=∆
3γ (3.40)
G
f trial
3=∆γ (3.41)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
34
Para este caso a atualização da tensão é a simples projeção do passo elástico trial na
superfície de fluência ao longo de rua direção radial. Esta é a projeção do ponto mais próximo
do estado de tensões trial na superfície de fluência.
3.1.3. MÓDULO TANGENTE CONSISTENTE ELASTO-PLÁSTICO
Dentro do contexto dos elementos finitos incrementais, usamos o operador tangente
consistente dado pela equação (3.42).
Sob fluxo plástico, ou seja, quando o algoritmo de retorno é usado então a tensão é atualizada
como:
onde ∆γ é a solução da seguinte equação.
Na equação (3.44), a tensão elástica trial de von Mises,trialnq 1+ , é função da deformação
elástica trial segundo a equação:
1
1
+
+
∂∂≡
n
n
ε
σD (3.42)
trialn
edtrial
n
en q
G1
1
2
1 :6
+
++
∆−= εIDσγ
(3.43)
0)(3)( 1 =∆+−∆−≡∆ + γσγγ pny
trialn εGqf (3.44)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
35
E o módulo tangente consistente elasto-plástico para o presente modelo é obtido pela
diferenciação de (3.42) sendo,
Da equação (3.45), com alguma manipulação, obtém-se:
onde foi, convenientemente definido, o vetor de fluxo unitário:
fazendo uso da identidade d
trial
ned
trial
ned I:11 ++ = εε , quando aplicada a regra da cadeia.
Da diferenciação da equação implícita (3.44) para o ∆γ, considerando (3.47), temos:
onde H é a constante de endurecimento do material.
trial
ned
trialn Gq 11 2
32 ++ = ε (3.45)
trialn
e
trialntrial
nedtrial
ntrialn
e
trial
nedtrial
ndtrial
n
etrialn
e
n q
q
G
q
G
q
G
1
112
1
2
11
1
2
1
2
1
1
)(
666
+
++
+++
+++
+
∂∂⊗∆+
∂∆∂⊗−∆−=
∂∂
εε
εεID
ε
σ γγγ (3.46)
11
1
2
32 +
+
+ =∂∂
ntrialn
e
trialn G
qN
ε (3.47)
trial
ned
trial
ned
trialn
trialn
nn
1
1
1
111 3
2
+
+
+
+++ ==≡
ε
ε
S
SΝN (3.48)
11
1
1 2
3
3
2
3
1+
+
+
+ +=
∂∂
+=
∂∆∂
ntrialn
e
trialn
trialn
e HG
Gq
HGΝ
εεγ
(3.49)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
36
Finalmente, substituindo (3.47) e (3.49) em (3.46) obtém após alguma manipulação, a
seguinte expressão para o operador tangente elasto-plástico consistente com o algoritmo de
retorno implícito para o modelo de von Mises com endurecimento isotrópico:
É importante ressaltar que para este modelo em particular e este algoritmo de integração, o
operador Dep é simétrico.
3.1.4. ALGORITMO BÁSICO IMPLEMENTADO
Algoritmo implícito Backward Euler.
1) Base de Dados.
Cálculo dos módulos elásticos volumétrico e cisalhante:
IINNI
NNIDD
⊗+⊗
+−∆+
∆−=
=⊗
+−∆+∆−=
++++
++++
KHGq
Gq
GG
HGqG
q
G
nntrialn
dtrialn
nntrialn
dtrialn
eep
111
2
1
111
2
1
2
3
16
312
3
16
6
γγ
γγ
(3.50)
pnnnn εεεσ ; ; ; ; ε∆
(3.51)
KHE y ; ; ; ; σν (3.52)
)1(2 ν+= E
G (3.53)
)21(3 ν−= E
K e (3.54)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
37
2) Estado Trial.
3) Verifica se Passo é Elástico ou Elasto-plástico.
εDσσ ∆+=+ :1e
ntrialn (3.55)
ntrialn Kq ε−=+1 (3.56)
ntrialn Hεq
3
21 −=+
(3.57)
( )trialny
trialn
trialn qf 111 3
2+++ −−= σβ
(3.58)
trialn
trialn
trialn qS 111 +++ −=β
(3.58)
trialntrial
n
trialn 1
1
1
1+
++ = β
βn
(3.59)
Se 01 ≤+trial
nf (3.60)
Então
=
===
+
+
+
++
pn
pn
nn
nn
trialnn
εε
εε
σσ
1
1
1
11
εε
(3.61)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
38
Fim
4) Matriz Tangente Consistente von Mises
Verifica se matriz elástica ou elasto-plástica:
Senão
[ ]
+=
−=
+=
−=+
=
++
++
+
+++
+
11
11
1
111
1
3
2
2
3/)(2
npn
pn
nnn
nn
ntrialnn
trialn
G
KHG
f
nεε
nεε
nσσ
γγ
γεε
γ
γ
(3.62)
Se
0
≤γ (3.63)
Então
===
0n
0
1
2
1
δδ
(3.64)
Senão
[ ]( )
=
−−++
=
−=
+
+
+
trialn
trialn
trialn
KHG
G
1
1
12
1
1
1
3
11
1
21
β
βn
β
δδ
γδ
(3.65)
(3.66)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
39
3.2. ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA PARA O MODELO DE DRUCKER
PRAGER
Na presente seção é apresentado o algoritmo para o modelo de Drucker Prager que foi
implementado no código em elementos finitos, para esta implementação foi tomada como
referência o algoritmo de integração implícita descrito por Souza Neto et al (2008).
3.2.1. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS
A superfície de plastificação de Drucker Prager é definida pela seguinte função de fluência.
Onde p é a tensão hidrostática e c é a coesão do material. As constantes η e ξ são escolhidas
de acordo com a aproximação à superfície de Mohr-Coulomb adotada, segundo as seguintes
equações.
Calcula matriz tangente consistente:
111
1 : +++
+ ∆=∆⇒∆∆= n
epn
n
nepεDσ
ε
σD
nnD ⊗−
⊗−+⊗= 21 2113
1211 δδ GIGK eep
(3.67)
( ) cpcf ξη −+= Sσ22
,
(3.68)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
40
Para o modelo implementado foi adotada uma regra de fluxo não associado, onde a função
potencial é definida como.
Onde η é função do ângulo de dilatância ψ e pode ser calculado de acordo com as seguintes
equações.
Para coincidência dos
vértices externos
(cone de compressão)
)sin3(3
sin6
φφη
−=
)sin3(3
cos6
φφξ
−=
(3.69)
Para coincidência dos
vértices internos
(cone de tração)
)sin3(3
sin6
φφη
+=
)sin3(3
cos6
φφξ
+=
(3.70)
Para coincidência do
eixo de ruptura
3
sin3 φη =
3
cos2 φξ = (3.71)
pg η+= S22
(3.72)
Para o cone externo
)sin3(3
sin6
φφη
−= (3.73)
Para o cone interno
)sin3(3
sin6
φφη
+= (3.74)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
41
Para a superfície do cone de Drucker Prager, o vetor de fluxo é dado como,
Para o ponto de singularidade do cone (vértice), o vetor de fluxo é o subgradiente de f, ou
seja, n é um vetor contido no cone complementar, como mostra a Figura 3.1.
Figura 3.1 - Algoritmo de retorno ao vértice (Souza Neto et al, 2008)
3.2.2. ALGORITMO DE RETORNO PARA O MODELO DE DRUCKER PRAGER
O algoritmo de integração para o modelo de Drucker Prager é relativamente simples,
primeiramente devido à existência de uma única singularidade em sua superfície, o vértice. E
também porque a superfície de fluência, é totalmente simétrica em relação ao eixo
hidrostático.
Para coincidência do eixo de ruptura
3
sin3 φη = (3.75)
1SS
σn
32
2 η−=∂∂= g
(3.76)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
42
A forma geral de atualização do tensor de tensões é:
onde 1: +∆− ne nDγ é o vetor de retorno à superfície de fluência
3.2.2.1. RETORNO À SUPERFÍCIE DO CONE
Para a porção suave do cone, onde o vetor de fluxo é definido por (3.76), o incremento de
deformação plástica é calculado como.
E corresponde à seguinte fórmula de atualização das tensões.
Que equivale às seguintes equações, em termos das componentes desviadora e hidrostática.
111 : +++ ∆−= netrial
nn nDσσ γ
(3.77)
+∆=∆=∆
+
++ 1
S
Snε
32
2
1
11
ηγγtrialn
trialn
np
(3.78)
+∆−=
+
+++ I
S
Sσσ ηγ KG
trialn
trialntrial
nn
1
111 2
(3.79)
trialntrial
n
n
G1
1
1
21 +
++
−= S
SS
γη ∆−= ++ Kpp trialnn 11
(3.80)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
43
A condição de consistência para o caso presente é dada por.
Substituindo (3.80) em (3.81) resulta na seguinte equação para o multiplicador plástico.
Com alguma manipulação, chegamos em:
Após a solução da equação acima, a tensão é atualizada conforme (3.79).
3.2.2.2. RETORNO AO PONTO DE SINGULARIDADE (VÉRTICE)
No vértice, o vetor de retorno, deve estar contido no cone complementar esquematicamente
ilustrado na Figura 3.1.A condição de consistência (3.81) é reduzida a:
022
111 =−+≡ +++ cpf nnn ξηS
(3.81)
0)(22
)(~
11 =−∆−++∆−≡∆ ++ cKpGf trialn
trialn ξγηηγγ S
(3.82)
ηηγ
KG
f trialn
+=∆ +1
(3.83)
01 =∆+− +p
vtrialn Kpc ε
ηξ
(3.84)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
44
As tensões são atualizadas segundo a equação:
3.2.2.3. ESCOLHA DO RETORNO APROPRIADO
Inicialmente, adota-se o algoritmo de retorno a superfície do cone, uma vez determinado o
γ∆ ,procede-se a seguinte verificação:
Então algoritmo de retorno é validado, senão deve-se aplicar o retorno ao vértice
3.2.3. MATRIZ TANGENTE CONSISTENTE
A determinação implícita da matriz tangente consistente elasto-plástica é dado pela expressão:
Iσ )( 11pv
trialnn Kp ε∆−= ++
(3.85)
Se 022
1 ≥∆−+ γGtrialnS
(3.86)
( ) ( ) 11n11n
nnS
11IS
⊗−+⊗+⊗−
⊗
−+
⊗−
−=
++
AKKGAK
GAG
GG
GD
dd
ddtrialn
trialn
ep
ηηηη
γγ
12
2
22
3
1
2
212
11
(3.87)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
45
Se o estado de tensões estiver no domínio elástico (γ = 0), recupera-se a matriz elástica:
3.2.4. ALGORITMO BÁSICO IMPLEMENTADO
Algoritmo implícito Backward-Euler:
1) Base de Dados
Cálculo dos módulos elásticos volumétrico e cisalhante:
2) Estado Trial
1111I ⊗+
⊗−= KGD e
3
12
(3.88)
pnn εεσ , ,∆
ψφν , , , , cE
(3.89)
)21(3 ν−= E
K
)1(2 ν+= E
G
(3.90)
εDσσ ∆+=+ :1e
ntrialn (3.91)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
46
3) Verifica se Passo é Elástico ou Elasto-plástico
4) Verifica tensão no vértice
Fim
cpf trialn
trialn
trial ξη −+= ++ 1122
S
(3.92)
Se
0≤trialf
(3.93)
Então
=∆
= ++
0
11
p
trialnn
ε
σσ
(3.94)
Senão
∆−=∂∂=∆
+=
++
+
+
peptrialnn
np
trialn
g
KG
f
εDσσ
σε
:
)(
11
1
1
γ
ηηγ
(3.95)
Se 1
2+< n
trial
γS
(3.96)
Então
−=∆
=
+
+
)(: 1
1
nnepp
n
c
σσηξσ
Dε
(3.97)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
47
3.3. ALGORITMO DE INTEGRAÇÃO IMPLÍCITA-EXPLÍCITA (IMPLEX) PARA O
MODELO DE DRUCKER PRAGER
Oliver et al. (2008) propuseram um algoritmo de integração de tensões bastante robusto que é
uma simplificação do algoritmo implícito apresentado na seção anterior. A idéia é diminuir a
não linearidade do algoritmo de retorno estimando o multiplicador plástico a partir das
tensões, deformações e variáveis de história do passo anterior. Desta forma não é mais
necessário calcular as derivadas do multiplicador plástico, simplificando o algoritmo de
integração e a obtenção da matriz tangente consistente. Claro, com esta simplificação paga-se
o preço de não se cumprir exatamente a condição de consistência, o que pode ser minimizado
com a adoção de incremento de carga (ou passos de tempo) menores. Também para
problemas onde se tem estados de tensões uniformes na malha, como nos casos de reprodução
de ensaios, o algoritmo proposto por Oliver et al. (2008) apresenta oscilações que os autores
também mostram que podem ser controladas com o tamanhos de passos de tempo dados
durante a análise de elementos finitos.
No presente trabalho o algoritmo de Oliver et al. (2008) foi modificado e propõe-se uma nova
maneira de estimar o multiplicador plástico, que permanece constante no algoritmo de retorno
(não precisando ser derivado), e elimina as oscilações observadas pelos autores do algoritmo
original para problemas de estados de tensões uniformes. Essa melhor aproximação do
multiplicador plástico no algoritmo de retorno também resulta numa menor violação da
condição de consistência.
No algoritmo proposto por Oliver et al. (2008), o algoritmo de retorno é o mesmo da seção
anterior para integração implícita, porém faz-se uma extrapolação explícita do multiplicador
plástico do passo atual ( 1+nγ ) escalonado pelos incrementos de tempos dos passos atual
)( 1+∆ nt e anterior ( nt∆ ). Da seguinte forma:
nn
nn
t
t γγ∆
∆=+
+1
1
(3.98)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
48
No algoritmo proposto neste trabalho, calcula-se a estimativa do multiplicador plástico a
partir da projeção das deformações totais do tempo anterior:
Posteriormente, com esta projeção das deformações totais estima-se um estado de tensões
trial:
Vale ressaltar que este estado de tensões trial *
1trialn+σ é projetado a partir do estado de tensões
nσ , convergido do passo de tempo anterior, o que irá melhorar a estimativa do multiplicador
com relação ao proposto por Oliver et al. (2008) na equação (3.99). Assim, com base no
estado de tensões trial *
1trialn+σ verifica-se o estado de plastificação do material:
e, caso haja violação da superfície de fluência, obtém-se o multiplicador plástico para o passo
de tempo atual:
Todo o resto do algoritmo para o método IMPLEX é igual à integração implícita apresentada
na seção anterior. Porém, a matriz tangente consistente tem seu cálculo bastante simplificado
uma vez que o multiplicador plástico foi calculado com valores do passo de tempo anterior
nn
n
n t
tεε ∆
∆∆=∆
+
+
1*
1 (3.99)
*1
*1 : ++ ∆+= n
en
trialn εDσσ
(3.100)
cpf trialn
trialn
trial ξη −+= ++*
1*
1*
22
S
(3.101)
)(
*1
ηηγ
KG
f trialn
+=+
(3.102)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
49
(convergido) e sua derivada é zero (Oliver et al., 2008), tornando o sistema muito mais
robusto do ponto de vista computacional.
Com a simplificação introduzida pelo algoritmo IMPLEX, a matriz consistente elasto-plástica
resulta em:
E, novamente, se elástico 1+nγ = 0 e recupera-se a matriz elástica.
3.3.1. ALGORITMO BÁSICO IMPLEMENTADO
O algoritmo implícito Backward-Euler com as alterações sugeridas para as estimativas
simplificadas do multiplicador plástico é resumido a seguir:
1) Base de Dados
Cálculo dos módulos elásticos volumétrico e cisalhante:
[ ]1
11
31
2
−+
−
⊗−
⊗−+=SS
SS
11IS
neep DD
γ
(3.103)
npnnnn γ; ; ; ; 1 εεεσ ∆∆ +
ψφν ,,,, cE
(3.104)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
50
2) Se IMPLEX, estima-se o multiplicador plástico
3) Estado trial definitivo para ambos algoritmos (Implícito e IMPLEX)
4) Se implícito, calcula multiplicador plástico.
)21(3 ν−= E
K
)1(2 ν+= E
G
(3.105)
Oliver et al. (2008): nn
nn
t
t γγ∆
∆=+
+1
1
(3.103)
Presente trabalho
nn
n
n t
tεε ∆
∆∆=∆
+
+
1*
1 *
1*
1 : ++ ∆+= ne
ntrialn εDσσ
cpf trialn
trialn
trial ξη −+= ++*
1*
1*
22
S
)(
*1
ηηγ
KG
f trialn
+=+
(3.104)
11 : ++ ∆+= ne
ntrialn εDσσ (3.105)
cpf trialn
trialn
trial ξη −+= ++ 1122
S
(3.106)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
51
5) Verifica se passo é elástico ou elasto-plástico.
6) Verifica tensão no vértice.
Fim
)(1
ηηγ
KG
f trialn
+=+
(3.103)
Se
0≤trialf
(3.104)
Então
=∆
= ++
0
11
p
trialnn
ε
σσ
(3.105)
Senão
∆−=∂∂=∆
+=
++
+
+
peptrialnn
np
trialn
g
KG
f
εDσσ
σε
:
)(
11
1
1
γ
ηηγ
(3.106)
Se
1
2+< n
trial
γS
(3.107)
Então [ ]
−=∆
=
+−
+
)(: 1
1
1
nnepp
n
c
σσ
ηξσ
Dε
(3.108)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
52
4. CASOS ANALISADOS
Os casos analisados neste capítulo têm como objetivo verificar a funcionalidade e eficiência
dos algoritmos implementados.
Primeiramente foi simulado um exemplo de um cilindro sujeito a uma pressão interna,
segundo o modelo de von Mises, para este caso os resultados obtidos foram comparados com
uma solução prevista na literatura.
Em seguida foram simulados um ensaio triaxial e dois problemas característicos da mecânica
dos solos, o estudo da estabilidade de um talude vertical e uma perfuração de poço horizontal
em rocha frágil. Estes problemas foram simulados segundo o critério de Drucker Prager
implementado, o modelo Drucker Prager escolhido para as simulação foi o que se aproxima à
superfície de Mohr Coulomb pela coincidência dos vértices externos (cone de compressão).
4.1. EXPANSÃO DE CAVIDADE CILÍNDRICA
Na presente seção serão apresentados os resultados de um exemplo numérico obtido pelo
algoritmo de integração implícita para o modelo de von Mises. Possibilitando, então, a
verificação do seu desempenho e funcionalidade.
O exemplo numérico analisado consiste na simulação do comportamento de um cilindro
metálico com as paredes espessas sujeitas a uma pressão interna. A pressão P, prescrita na
superfície interna é aumentada gradualmente até a carga de colapso (carga limite) ser
alcançada. A plastificação começa na superfície interna e desenvolve-se gradualmente na
forma de uma frente de plastificação cilíndrica em direção a face externa do cilindro. O
colapso ocorre quando a frente de plastificação alcança a face externa e o cilindro torna-se
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
53
inteiramente plastificado. Ao atingir a carga limite, o cilindro pode expandir-se
indefinidamente sem qualquer acréscimo de carga aplicada.
Hill (1950) propõe uma solução analítica fechada para este problema, onde a carga aplicada
para um determinado raio c da frente de plastificação pode ser expresso por:
onde, para o modelo de von Mises:
A carga limite pode ser determinada pela equação:
A simulação numérica deste problema foi obtida por meio do algoritmo de integração
implícita implementado para o critério de plastificação de von Mises, neste caso foi
considerada plasticidade perfeita.
A geometria e condições de contorno do problema estão esquematizadas na figura 4.1 e as
propriedades do material estão listadas na tabela 4.1. A malha de elementos finitos adotada é
mostrada nafigura 4.2. Devido à simetria, apenas um quarto da geometria do problema foi
discretizado, com as devidas restrições de movimento impostas nos nós externos.
−+
= 2
2
12
1ln
b
c
a
c
Y
P
(4.1)
3
yYσ
=
(4.2)
=a
bP y ln
3
2lim
σ
(4.3)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
54
Figura 4. 1 - Geometria do problema de cavidade cilíndrica
Tabela 4.1 - Parâmetros do material do cilindro
Parâmetros
Módulo de Elasticidade (E)
Coeficiente de Poisson (ν)
Tensão de escoamento (σy)
b a
210 GPa 0,3 0,24 GPa 200 mm 100 mm
– 400 elementos do tipo quadrilátero
com quatro nós (pontos de
integração de Gauss).
– Total de 451 nós.
Figura 4. 2 - Malha de elementos finitos
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
55
Para as dimensões e parâmetros do problema, obtém-se o seguinte valor da carga limite,
calculado por meio da equação (4.3):
Na figura 4.3 são plotados os resultados numéricos obtidos, bem como uma projeção do valor
da carga limite (Equação 4.4), pode ser observado que a carga de colapso da solução numérica
atinge um valor que se aproxima razoavelmente daquele previsto pela solução de Hill (1950).
A solução em elementos finitos utilizada atinge o colapso quando as condições de equilíbrio
não podem mais serem alcançadas e as iterações globais do algoritmo não convergem.
Figura 4.3 - Curva carga-deslocamento
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Pre
ssão
inte
rna
(GP
a)
Deslocamento radial (mm)
Solução numérica
Projeção da carga limite
GPa 192,0lim =P (4.4)
GPa 202,0lim =numéricoP (4.5)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
56
Com base nos resultados obtidos, verifica-se que o algoritmo de integração implícita utilizado
apresenta uma aproximação satisfatória em relação à solução analítica para o valor de carga
limite.
4.2. ENSAIO TRIAXIAL
Para ilustrar o melhoramento proporcionado pelo algoritmo proposto neste trabalho, que
modificou o algoritmo IMPLEX original apresentado por Olivier et al, 2008, realizou-se um
ensaio triaxial CU (consolidado e não drenado) para uma material com os parâmetros
apresentados na tabela 4.2. A geometria do problema e a malha de elementos finitos utilizada
são mostradas na figura 4.4, a malha consta de 25 elementos quadrático e 36 pontos nodais,
considerando a simetria do problema, apenas um quarto da amostra é modelado.
Figura 4.4 - Esquema do ensaio triaxial
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
57
Neste ensaio a amostra saturada de água é confinada a uma tensão de célula de 0,3 MPa e
posteriormente aplica-se uma taxa de deslocamento vertical de smx / 102 7− comprimindo a
amostra.
Tabela 4.2 -Propriedades do material do ensaio triaxial
Parâmetros
Módulo de Elasticidade (E)
Coeficiente de Poisson (ν)
Ângulo de atrito Ângulo de dilatancia
Coesão
100 MPa 0,30 30° 30° 0,30 MPa
Nas figuras 4.5 e 4.6 observa-se no espaço das tensões médias efetivas versus tensões de von
Mises que há uma fase inicial elástica não drenada, onde a trajetória de tensões é vertical,
paralela ao eixo das tensões de von Mises.
Posteriormente, quando o estado de tensões atinge a envoltória de Drucker Prager, o efeito de
dilatancia deste modelo, sob condição não drenada, induz uma geração de poso-pressões
negativas que fazem com que o estado se tensões siga a envoltória no sentido positivo da
tensão média efetiva.
Figura 4. 5 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises)
Olivier et al (2008) com sxt 4105=∆
Olivier et al (2008) com sxt 3105=∆
Presente trabalho com sxt 4105=∆
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
58
Figura 4. 6 - Trajetória de tensões (tensão média x tensão de von Mises)
Observa-se nas figuras 4.5 e 4.6 que os resultados da simulação do ensaio com o algoritmo
IMPLEX original proposto por Olivier et al (2008) dependem claramente do tamanho do
passo de tempo. Quando considerados maiores valores de incrementos de tempo, a trajetória
de tensões viola significativamente a envoltória de Drucker Prager.
O mesmo ensaio, foi simulado segundo a alteração proposta pelo presente trabalho para o
IMPLEX (Olivier et al, 2008) e, para este caso, o algoritmo não apresentou sensibilidade
significativa em relação ao tamanho do passo de tempo, e a trajetória de tensões não viola a
superfície de fluência mesmo para maiores valores de incrementos de tempo
4.3. ANÁLISE DE TALUDE VERTICAL
Segundo Caputo (1987) o termo talude compreende qualquer superfície que limita um maciço
de solo ou rocha. O estudo da estabilidade de taludes constituem um dos maiores problemas
da Mecânica dos Solos no que se refere a previsão do seu mecanismo de evolução com o
tempo.
Olivier et al (2008) com sxt 4105=∆
Olivier et al (2008) com sxt 3105=∆
Presente trabalho com sxt 4105=∆
Presente trabalho com sxt 3105=∆
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
59
As forças devido ao peso próprio dos solos são responsáveis por causar instabilidade nos
diversos tipos de taludes. No caso estudado é feita uma análise de estabilidade, quanto à
ruptura, de um talude vertical com de 10 metros de altura, através do modelo elasto-plástico
de Drucker Prager implementado de forma a verificar sua eficiência, pois se trata de um
problema que exige um grande custo computacional.
A análise é feita verificando a formação da superfície de ruptura do talude através da
distribuição das deformações plásticas.
A simulação do carregamento do material do talude é feita através do aumento, com o tempo,
da força de gravidade aplicada. Para esta análise foi adotado um fator de gravidade (Fg)
variando entre zero 0 e 4,5.
A altura crítica do talude é calulada pela expressão analítica (4.7) definida por Terzaghi
(Caputo, 1987) para taludes verticais, em função do peso próprio e que leva em conta o
aparecimento de fendas de tração no topo do talude.
Neste caso a ruptura deverá ter início quando a condição de altura crítica não for mais
satisfeita. O problema físico está esquematizado na figura 4.7 e as propriedades do material
estão descritos na tabela 4.3.
5,40 ≤≤ gF (4.6)
+°=2
45tan67,2 φγ
cHcrit (4.7)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
60
Figura 4. 7 -Geometria e condições de contorno do problema
Tabela 4 3 – Parâmetros do Problema de Talude Vertical
Parâmetros
porosidade E (MPa) c (MPa) φ ψ ν sρ (kg/m³)
0,20 5x104 0,30 30° 30° 0,30 1872,25
A malha discretizada para o programa de elementos finitos, mostrada na figura 4.8, é
composta por 2500 elementos quadráticos de quatro nós, que somam 2601 nós.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
61
Figura 4. 8 - Malha de elementos finitos
O fator Fg representa o fator de gravidade aplicado ao longo do tempo. Este fator leva ao
aumento incremental do peso próprio do material definido pela equação (4.8).
Onde γt é o peso próprio do talude, ρs é o peso específico do solo e g é a aceleração da
gravidade, cujo valor de referência é de 10,0m/s².
Segundo a solução analítica de Terzaghi para determinação da altura crítica de taludes
verticais, o caso analisado apresentaria comportamento de ruptura para um fator Fg de 2,5,
como pode ser observado na figura 4.9. Para o Fg de 2,5 a altura crítica atinge o valor de 10
metros (altura do talude), portanto para valores de Fg maiores que 2,5 a altura crítica será
menor do que a altura do talude.
gFgst ..ργ = (4.8)
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
62
Figura 4. 9 - Variação da altura crítica do talude com o fator de gravidade
Os resultados obtidos com a simulação numérica mostraram-se coerentes com a previsão da
solução analítica. As figuras 4.10 e 4.11 apresentam as evoluções dos deslocamentos
horizontais e verticais, respectivamente. Podemos observar que, para o fator de gravidade de
2,5, corre um aumento brusco dos deslocamentos, decorrente do processo de ruptura do
material.
Figura 4. 10 - Evolução dos deslocamentos horizontais com o fator de gravidade
-10
10
30
50
70
90
110
1300 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Altu
ra C
rític
a (m
)
Fator de Gravidade (Fg)
0,00E+00
1,00E-03
2,00E-03
3,00E-03
4,00E-03
0 1 2 3 4 5
Des
loca
men
to H
oriz
onta
l (m
)
Fator de Gravidade
Nó 1
Nó 191
Nó 1852
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
63
Figura 4. 11 - Evolução dos deslocamentos verticais com o fator de gravidade
O mesmo comportamento pode ser observado na evolução das deformações plásticas
cisalhantes e volumétricas mostradas nas figuras 4.12 e 4.13.
-3,00E-03
-2,50E-03
-2,00E-03
-1,50E-03
-1,00E-03
-5,00E-04
0,00E+00
0 1 2 3 4 5
Des
loca
men
to V
ertic
al (
m)
Fator de Gravidade
Nó 1
Nó 191
Nó 1852
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
64
Figura 4.12 - Evolução das deformações plásticas cisalhantes com o fator de gravidade
Figura 4 13 - Evolução das deformações plásticas volumétricas com o fator de gravidade
A seguir serão apresentados os resultados gráficos obtidos por meio do pós-processador GiD.
As figuras 4.14 e 4.15 ilustram os deslocamentos totais e os vetores de deslocamento,
respectivamente.
0,00E+00
1,00E-03
2,00E-03
3,00E-03
4,00E-03
5,00E-03
6,00E-03
7,00E-03
8,00E-03
0 1 2 3 4 5
Def
orm
açõe
s P
lást
icas
Cis
alha
ntes
Fator de Gravidade
Elemento 1701
Elemento 2445
Elemento 2499
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0 1 2 3 4 5
Def
orm
açõe
s P
lást
icas
Vol
umét
ricas
Fator de Gravidade
Elemento 1701
Elemento 2445
Elemento 2499
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
65
Figura 4.14 - Distribuição dos deslocamentos
Figura 4.15 - Vetores de deslocamento
A formação da superfície de ruptura pode ser observada nas figuras 4.16 e 4.17, que mostram
a distribuição das deformações plásticas cisalhantes e volumétricas, respectivamente.
Figura 4.16 - Deformações plásticas cisalhantes
Figura 4.17 - Deformações plásticas volumétricas
A variação da porosidade do material segue a forma da superfície de colapso, como mostra a
figura 4.18, aumentando nas áreas plastificadas devido ao comportamento dilatante do
material.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
66
Figura 4. 18 – Distribuição de porosidade
A figura 4.19 apresenta a análise das trajetórias de tensões em termos de tensão média e
tensão de von Mises, bem como a envoltória de Drucker Prager. Em todos os elementos
analisados, a trajetória de tensões toca a superfície de fluência, confirmando que o material
está sob regime plástico. É possível observar também que, para o caso analisado segundo o
algoritmo IMPLEX com modificação proposta por este trabalho, as trajetórias de tensões não
violam a superfície de fluência.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
67
Figura 4. 19 - Trajetória de tensões para o caso do talude vertical
Para o problema do talude vertical, o algoritmo implementado apresentou resultados
satisfatórios, sendo coerente com a solução analítica proposta por Therzaghi. O algoritmo
também não apresentou problemas de convergência, mesmo sendo um caso que leva a ruptura
do material.
4.4. PERFURAÇÃO DE POÇO
A instabilidade de poços durante o processo de perfuração é uma questões de grande
relevância para a engenharia de petróleo. De acordo com Steiger & Leung (1992) 90 % dos
problemas em poços ocorrem quando se perfura folhelhos, rochas sedimentares bastante
0,00E+00
1,00E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
-1,00E+00 0,00E+00 1,00E+00 2,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00
Te
nsã
o D
esv
iad
ora
(M
Pa
)
Tensão média (MPa)
Elemento 1701
Elemento 2445
Elemento 2499
Envoltória de Drucker-Prager
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
68
abundantes nas regiões produtoras e que geralmente apresentam baixas resistência mecânica e
permeabilidade. (Sousa et al, 2005).
De acordo com Souley et al (2001) e Hajiabdolmajid et al (2002), o processo de escavação
em meios rochosos induzem uma redistribuição do estado de tensões no maciço que acarreta
no fissuramento das regiões próximas à execução da perfuração. O aparecimento de fissuras
conduz a um aumento na permeabilidade da rocha que, por sua vez, afeta da redistribuição das
poro-pressões.
Na presente seção, foi executada a modelagem da perfuração de um poço horizontal em
maciço rochoso frágil (folhelho) cujos parâmetros físicos estão listados na Tabela 4. 4. a
geometria do problema (discretizada para o programa de elementos finitos em 2066 elementos
quadráticos de quatro nós, que somam 2135 pontos de integração de Gauss) bem como as
condições de contorno e de carregamento são mostradas na Figura 4.20 a relação entre
variações na permeabilidade em função das alterações da porosidade é determinada pela
equação (2.49)
Para simular tal problema de forma acoplada (equações hidráulicas e mecânicas) foi utilizado
o algoritmo de integração IMPLEX para o modelo de Drucker Prager.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
69
Figura 4.20 - Geometria do problema e malha de elementos finitos
Tabela 4. 4 - Parâmetros do material do maciço escavado
Parâmetros
Módulo de Young 5400 MPa
Coeficiente de Poisson 0,35
Parâmetro de Biot-Willis 1,00
Permeabilidade intrínseca inicial 10-17 cm/s
Porosidade inicial 0,20
Coesão 1,0 MPa
Pressão de poros inicial (P0) 25 MPa
Pressão de fluido aplicada na perfuração 30 MPa
Ângulo de atrito (ϕ) 30°
Ângulo de dilatância (ψ) 30°
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
70
É importante ressaltar que o estado de pressão do fluido injetado é superior ao valor inicial
característico da formação. Sousa & Guimarães (2005) relatam que a injeção de um fluido
pressurizado durante o processo de perfuração de um poço constitui-se como uma condição de
contorno mecânica e hidráulica.
A figura 4.21 mostra a evolução da frente de plastificação do material, nota-se que devido ao
estado geoestático a zona plastificada não se distribui uniformemente ao longo da parede do
poço. Tal comportamento influenciará a redistribuição da porosidade e permeabilidade no
meio e o regime de fluxo em torno do poço.
Figura 4.21 - Deformações plásticas desviadoras
Devido a essa distribuição não uniforme de tensões pode ocorrer o break-out, que segundo
Rocha et al (2007) são zonas de desmoronamento e ruptura por cisalhamento em lados
opostos do poço que se dá no ponto de maior diferencial de tensão e na direção da menor
tensão, que para o caso deste poço a tensão principal menor é a horizontal. A figura 4.22
mostra uma imagem de ultrassom de um poço que sofreu break-out, tal fenômeno muda a
seção do poço de circular para elíptica.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
71
Figura 4.22 - Imagem ultrasônica de perfil de poço apresentando breakout na direção da tensão principal menor no plano normal ao poço.
Na figura 4.23 é mostrada a variação de porosidade e a figura 4.24 apresenta a variação do
campo de permeabilidade para o caso analisado, onde é possível visualizar a formação de um
caminho preferencial de fluxo na direção horizontal, onde houve aumento da permeabilidade.
Conforme apresentado na figura 4.25, a frente de avanço das poro-pressões se desenvolve
mais rápido nas zonas plastificadas do meio poroso. Por esta razão a consideração da
permeabilidade como dependente do estado tensão-deformação do material consiste em um
importante acoplamento entre os comportamentos hidráulico e mecânico da rocha.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
72
Figura 4. 23 - Variação de porosidade
Figura 4. 24 - Variação de permeabilidade
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
73
Figura 4. 25 - Distribuição da pressão de líquido
A figura 4.26 apresenta a análise das trajetórias de tensões em termos de tensão média efetiva
e tensão de von Mises, bem como a envoltória de Drucker Prager para os parâmetros
considerados no problema.
Figura 4.26 - Trajetória de tensões
0,00E+00
1,00E+01
2,00E+01
3,00E+01
4,00E+01
5,00E+01
6,00E+01
7,00E+01
8,00E+01
9,00E+01
0,00E+00 1,00E+01 2,00E+01 3,00E+01 4,00E+01 5,00E+01 6,00E+01 7,00E+01
Te
nsã
o c
isa
lha
nte
(M
Pa
)
Tensão média (MPa)
Elemento 690
Elemento 1118
Elemento 1122
Elemento 1125
Envoltória
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
74
Em todos os elementos analisados, a trajetória de tensões toca a superfície de fluência,
confirmando que o material está se deformando irreversivelmente (deformações plásticas).
Portanto para essa simulação acoplada, segundo o algoritmo IMPLEX implementado, as
trajetórias de tensões extrapolam a superfície de fluência, isto pode ocorrer devido ao fato
que, com as simplificações do IMPLEX, a condição de consistência não é exatamente
satisfeita. Apesar do aumento de eficiência computacional e da melhora na convergência do
código que o algoritmo IMPLEX proporciona, é preciso estar atento ao tamanho dos passos
de tempo escolhidos, problemas como o descrito anteriormente podem ser minimizado com a
adoção de incrementos de carga (ou passos de tempo) menores.
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
75
5. CONCLUSÕES
Neste trabalho foram implementados, no código de elementos finitos CODE_BRIGHT, os
algoritmos de integração implícita de tensões para os modelos constitutivos elasto-plásticos
de von Mises (Simo & Hughes, 1998) e de Drucker-Prager. (Souza Neto et al 2008). Foi
implementado ainda uma simplificação no algoritmo de integração implícita por meio de uma
projeção explícita do multiplicador plástico, denominado IMPLEX (Oliver et al., 2008).
O presente trabalho também propõe uma modificação no algoritmo IMPLEX, com objetivo de
eliminar as oscilações observadas pelos autores do algoritmo original para problemas de
estados de tensões uniformes, tal modificação permite uma melhor aproximação do
multiplicador plástico no algoritmo de retorno e resulta numa menor violação da condição de
consistência.
Em seguida foram selecionados e modelados problemas com o objetivo de verificar a
eficiência dos algoritmos implementados.
Para o modelo de von Mises, foi simulado um caso de expansão de cavidade cilíndrica e os
resultados obtidos se aproximaram da solução analítica prevista por Hill (1950) para problema
semelhante portanto verificou-se a funcionalidade do algoritmo implementado.
Também foram simulados um ensaio triaxial e dois problemas característicos da mecânica dos
solos, o estudo da estabilidade de um talude vertical e uma perfuração de poço horizontal em
rocha frágil. Estes problemas foram simulados segundo algoritmo IMPLEX (Olivier et al ,
2008) do modelo de Drucker Prager.
Na simulação do ensaio triaxial pode-se observar o melhoramento do algoritmo, uma vez que
os resultados obtido pelo IMPLEX original, proposto por Olivier et al, (2008), apresenta uma
dependência significativa do tamanho do passo de tempo, ao contrário do proposto neste
trabalho
Para o problema do talude vertical, os resultados foram coerentes com a solução analítica
proposta por Therzaghi e, neste caso, as trajetórias de tensões não extrapolaram a superfície
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
76
de fluência, além disso, o algoritmo não apresentou problemas de convergência, mesmo sendo
uma caso que evolui para a ruptura do material.
No problema da escavação do poço foi possível identificar a formação de um caminho
preferencial de fluxo na direção horizontal, onde houve maior plastificação do material,
porém para essa simulação, as trajetórias de tensões violaram a superfície de fluência.
Essa violação da envoltória de Drucker Prager deve-se ao fato que, devido às simplificações
do IMPLEX, a condição de consistência não é exatamente satisfeita, problemas dessa
natureza podem ser minimizado com a adoção de incremento de carga (ou passos de tempo)
menores.
Pode-se concluir que esse controle mais rígido do tamanho do passo tempo faz-se necessário,
principalmente se os problemas simulados são de maior complexidade ou se envolvem
diferentes acoplamentos.
5.1. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Como proposta de continuidade ao trabalho desenvolvido propõe-se verificar a eficiência e
convergência do algoritmo IMPLEX (Olivier, 2008) e a sua modificação proposta quanto à
simulação de problemas de maior porte.
Sendo o IMPLEX, um algoritmo com grande capacidade de convergência é possível
acrescentar diferentes acoplamentos, como térmico e químico contribuindo assim para uma
maior robustez do código CODE_BRIGHT. E como forma de possibilitar a simulação de uma
gama maior de fenômenos geotécnicos.pode-se acrescentar leis de endurecimento e
amolecimento ao modelo de Drucker Prager,bem como incluir nessa formulação implícita
outros modelos constitutivos de solos, como o Morh Coulomb, Cam Clay e BBM
Implementação de Algoritmos de Integração Implícita para Modelos Constitutivos Elasto-Plásticos na Simulação Geomecânica 2010
77
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BEAR. Dynamics of fluids in porous media. New York: Dover Publications, 1988.
BIOT, M. A. General theory of three-dimensional consolidation. Journal of Applied
Physics, v. 12, p. 155-164, 1941.
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