IME 1Âª Fase 2019 Prova Objetiva MatemÃ¡tica FÃsica QuÃmica · µµr Êr â » w W^r Ý Mr á...

GGE RESPONDE IME 2019 (1ª FASE)

GGE RESPONDE IME 2019 – 1ª FASE Matemática | Física | Química 1

Matemática 01. Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos? a) 23 b) 26 c) 29 d) 32 e) 39 Resolução: Aristeu nasceu em x, 1901 x 2000 Irmão nasceu em y, 2001 y 2017 Idade de Aristeu 2018 - x Idade do irmão 2018 – y Note que x 2000, logo

10 10x (19ab) e y (20cd)

2018 1900 10a b 9 a bdat

2018 2000 10c d 9 c d

109 11a 2b a 9 b 5

9 11c d c 0 d 9

Assim, x = 1995 e y = 2009 Idades 23 e 9 Soma 32 ALTERNATIVA D 02. Os ângulos 1, 2, 3, ⋯ , 100 são os termos de uma progressão aritmética na qual 11 + 26 + 75 + 90 =

4

. O valor de

1

100( )i 1 é:

a) −1

b) 2

2

c) 0

d) 2

2

e) 1



Resolução:

11 26 75 90 1 14 198r 2(2 99r)

4 4

12 99r

8

1 1( 99r )

8

1 100 8

n 1

11 1

16 1

75 1

90 1

(n 1)r

10r

25r

74r

89r

2 99 1 100 1 100r r

8

E assim sucessivamente 100

1i 1

100 25

2 8 4

i

25 2Sen ( ) Sen ( ) Sen

4 4 2

ALTERNATIVA D 03. Calcule o valor do determinante

2 2 2

4 2 1

log81 log900 log300

log(9) 2 4log3 2(log3) (log3 2)

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 Resolução:

2 2 2

4 2 1

log81 log900 log300

log(9) 2 4log3 2(log3) (log3 2)

2 2 2

1 2 4

2 log3 2 2log3 4log3

(2 log3) 2 [1 2log3 (log3) ] 4(log3)



2 2 2

1 1 1

8 2 log3 1 log3 log3

(2 log3) (1 log3) (log3)

8 ( 1)( 1)( 2) 16

ALTERNATIVA E 04. Seja a inequação:

6 4 − 5 3 − 29 2 + 10 < 0 Seja ( , ) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para − é: a) 2 b) 13/6 c) 1/3 d) 5/2 e) 8/3 Resolução: x(6x3 – 5x2 – 29x + 10) < 0 x(x + 2) (6x2 – 17x + 5) < 0 = 289 – 120 = 169

30 5x

12 217 13

x12

4 1x

12 3

5 1x (x 2) x x 0

2 3

2

0

5

2

1

3

1 5

2 x 0 e x3 2

a 2

b 0

b a 2

1a

35

b2

5 1 15 2 13b a

2 3 6 6

13como 2

6

ALTERNATIVA B



05. Sejam 1, 2 e 3 raízes da equação 3− −16=0. Sendo um número real, o valor de 13+ 23+ 33 é igual a: a) 32− b) 48−2 c) 48 d) 48+2 e) 32+ Resolução:

1 2 3x ,x ,x são raízes de 3x ax 16 0

Seja k k kk 1 2 3S x x x o teorema de Newton nos dá

k 3 k 1 kS aS 16S 0

Logo 3 0S aS, 16 S

Como 1 0S 0 e S 3

3S 48

ALTERNATIVA C

06. Seja um número complexo tal que z12∈ℝ, ( ) = 1 e arg (z) ∈ (0, 2

). A soma dos inversos dos possíveis

valores de | | está no intervalo:

a) 1 3

,2 2

b) 3 5

,2 2

c) 5 7

,2 2

d) 7 9

,2 2

e) 9 11

,2 2

Resolução:

12Z . Seja Z cis , arg z 0, *2

12 12 12Z cis 12

Logo, cis12 1 I ou cis 12 1 II

De I, k

12 2k ,k Z ,6 6 3

De II, k 5

12 2k ,k Z , ,12 6 12 4 12

Portanto, todos os valores de 5

, , , ,12 4 3 6 12



Ora, 1Re z cos 1 cos

5E cos cos cos cos cos

12 4 3 6 12

5 1 2 3 3 2 1 2 3E cos cos 2 cos cos

12 12 2 2 2 12 12 2 2 2

1 3 1,71 5 7E 2 1,41 0,5 2,765 ,

2 2 2 2 2

ALTERNATIVA C 07. Definimos a função :ℕ⟶ℕ da seguinte forma: { (0)=0 (1)=1 (2 )= ( ), ≥1 (2 +1)= 2, ≥1 Definimos a função :ℕ⟶ℕ da seguinte forma: ( )= ( ) ( +1). Podemos afirmar que: a) g é uma função sobrejetora. b) g é uma função injetora. c) f é uma função sobrejetora. d) f é uma função injetora. e) g(2018) tem mais do que 4 divisores positivos. Resolução: Note que g(2018) f(2018) f(2019) Logo g(2018) f(1009) f(2019)

Daí 2 2g(2018) 1009 2019 que possui mais de 4 divisores positivos

ALTERNATIVA E 08. Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? a) 1/2 b) 3/76 c) 9/400 d) 1/80 e) 3/80 Resolução: Dados icosaédricos

Lançam dois dados

Adversário : 35

Eu : Devo ter soma 36.

Espaço amostral 20² 400



1 2

E v e n to

P P T o ta l

2 0 1 6 2 0 5

1 9 1 7 2 0 4

1 8 1 8 2 0 3

1 7 1 9 2 0 2

1 6 2 0 1

E 1 2 3 4 5 15

15 3P(E)

400 80

ALTERNATIVA E 09. Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio . São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a

saber: , e . Seja o raio do círculo inscrito ao triângulo . Qual a probabilidade de que =R

2 ?

a) 0 b) 1/10 c) 3/5 d) 1/20 e) 1/6

Resolução:

6x

5x

4x

3x

2xR

r

Rr se e somente se, ABC forma um triângulo equilátero. Escolhido o primeiro vértice, dentre os 6,

2temos duas possibilidades entre os 5 res tantes. Para o último vértice, temos uma possibilidade dentre

os quatro vértices que sobraram do h

exágono. Por tanto, a probabilidade é dada por :

6 2 1 1P

6 5 4 10

ALTERNATIVA B



10. O número de soluções reais da equação abaixo é:

(cos )2018=2−2( ⁄)2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resolução:

2018f(x) (cosx) 2x( )

g(x) 2 2

Graficamente, temos:

y cos x 2018y (cos x)

logo Graficamente, temos:

x

y 2 2x( )

y 2

2x( )

y 2 2

Sobrepondo os gráficos, obtemos:

Como 2x( ) x

2 2 1

x Temos 3 soluções

ALTERNATIVA D



11. Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos ̂, ̂ e ̂, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo. a) 2 ( ̂+ ̂)= ( ̂)+ ( ̂) b) 2 ( ̂+ ̂)= ( ̂)+ ( ̂) c) 2 ( ̂− ̂)= ( ̂)− ( ̂) d) 2 ( ̂− ̂)= ( ̂)− ( ̂) e) 2 ( ̂+ ̂)= ( ̂)+ ( ̂) Resolução:

a b c2R (I)

sen A sen B sen C

a c

Como b, temos2

a c 2b (II)

a 2R sen A

De (I) , temos b 2R sen B

c 2R sen C

Substituindo em (II), obtemos :

2R senA 2R sen C 2 2R sen B

sen A sen C 2 sen B (III)

Como A B C 180 ,

B 180 (A C) ,

Logo sen B sen (A C), daí

2 sen (A C) sen A sen C

ALTERNATIVA A



12. Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abcissas sofre uma rotação de 45° no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é: a) xy = 2 b) x² + xy - y² = 4 c) x² - y² = 2 d) xy = -2 e) x² - y² = -2 Resolução: 2a 4 a 2 Hipérbole equilátera a = b = 2

2 2x´ y´1

4 4

2 2x´ y´ 4 (I) x cos sen x´

y sen cos y´

x x´cos y´sen 245 sen cos

y x´sen y´cos 2

2 2xx (x´ y´) (x´ y´)

2 2

2 2yy (x´ y´) (x´ y´)

2 2

(I) (x´ y´)(x´ y´) 4 2x 2y

4 xy 22 2

ALTERNATIVA A 13. Em um setor circular de 45º, limitado pelos raios OA e OB iguais a , inscreve-se um quadrado MNPQ, onde

MN está apoiado em OA e o ponto Q sobre o raio OB . Então, o perímetro do quadrado é: a) 4 b) 2 c) 2 √2 d) 4 √5 d) 4 √55 Resolução:



Seja o lado do quadrado = x.

Também temos que OMQ : OQ x 2 por Pitágoras.

Usando a Lei dos Cossenos no OQP :

22 2 2OP R x 2 x 2 x 2 xcos135

R R R 5x

53 2 2 cos135 23 2 2

2

Portanto o perímetro do quadrado 4R 5

MNPQ 4x5

ALTERNATIVA E 14. Considere as afirmações abaixo: I. se três pontos são colineares, então eles são coplanares; II. se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano; III. se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos; IV. duas retas não paralelas determinam um plano; V. se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta. Entre essas afirmações: a) apenas uma é verdadeira; b) apenas duas são verdadeiras; c) apenas três são verdadeiras; d) apenas quatro são verdadeiras; e) todas são verdadeiras. Resolução: I. V - Se os pontos são colineares, eles pertencem a uma reta. A reta está contida no plano, logo os pontos são coplanares. II. F – Ela pode está incidindo no plano. Por exemplo, ser perpendicular.

.

r

III. F - 4,3

4!C 4 tetraedro

3!1!

IV. F – As retas podem ser transversas. V. V – A interseção de dois planos é sempre uma reta, logo se há um ponto em comum, necessariamente, há uma reta. ALTERNATIVA B



15. Em um tetraedro , os ângulos ̂ e ̂ são idênticos e a aresta é ortogonal à . A área

do Δ é igual à área do Δ , e o ângulo ̂ é igual ao ângulo ̂ , onde é ponto médio de

. Calcule a área total do tetraedro , em cm2, sabendo que =2 , e que o ângulo ̂ é igual a 30°. a) (2−√3) b) (2+√3) c) 4(2−√3) d) 4(2+√3) e) 4 Resolução:

ˆˆABC ACB AB AC a AM é mediana e também altura de ABC, relativa a BC.

BC é ortogonal a AD e AM, logo BC é perpendicular ao plano (ADM) (plano mediador de BC) , BC DM.

Como ˆ ˆMAD MDA , temos que AM=MD. Daí os triângulos ABM, DBM e DCM são congruentes (retângulo com catetos congruentes). Portanto CD=BD=AB=a. com isto, as faces ABC e BCD são congruentes, o mesmo para as faces ABD e ACD. Desta forma todas as áreas são iguais a área de ABC.

Pela lei dos cossenos em ABC, com ˆBAC 30 , temos:

2 2 2 2 2 2 42 a a 2a cos30 a (2 3) 4 a 2 3

2 3

1[ABC]

2 a a sen30 2a 2 3

Consequentemente, a área total do tetraedro é 4(2 3)

ALTERNATIVA D



Física 16.

Considerando as Figuras 1 e 2 acima e, com relação às ondas sonoras em tubos, avalie as afirmações a seguir: Afirmação I. as ondas sonoras são ondas mecânicas, longitudinais, que necessitam de um meio material para se

propagarem, como representado na Figura 1. Afirmação II. uma onda sonora propagando-se em um tubo sonoro movimenta as partículas do ar no seu interior na

direção transversal, como representado na Figura 2. Afirmação III. os tubos sonoros com uma extremidade fechada, como representado na Figura 2, podem estabelecer

todos os harmônicos da frequência fundamental. É correto o que se afirma em: a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III apenas. e) I e III, apenas. Resolução: I. VERDADEIRO II. FALSO – As partículas do ar se movem na direção longitudinal. III. FALSO – Só podem ser estabelecidas as harmônicas ímpares. ALTERNATIVA A 17.Uma lanterna cilíndrica muito potente possui uma lente divergente em sua extremidade. Ela projeta uma luz sobre um anteparo vertical. O eixo central da lanterna e o eixo principal da lente estão alinhados e formam um ângulo de 45º com a horizontal. A lâmpada da lanterna gera raios de luz paralelos, que encontram a lente divergente, formando um feixe cônico de luz na sua saída. O centro óptico da lente está, aproximadamente, alinhado com as bordas frontais da lanterna. A distância horizontal entre o foco da lente e o anteparo é de 1 m. Sabendo disto, pode-se observar que o contorno da luz projetada pela lanterna no anteparo forma uma seção plana cônica. Diante do exposto, o comprimento do semieixo maior do contorno dessa seção, em metros, é: Dados: • a lente é do tipo plano-côncava; • a face côncava está na parte mais externa da lanterna; • diâmetro da lanterna: = 10 cm; • índice de refração do meio externo (ar): 1; • índice de refração da lente: 1,5;

• raio de curvatura da face côncava: 2,5 3cm . a) 3√2 b) (√3−1) c) (√3+1) d) √3 e) 2√3



Resolução: Pela equação dos fabricantes, obtemos:

lente

meio 1 2

n1 1 11

f n R R

1 1 0,5 11,5 1

f 2,5 3 2,5 3 5 3

f 5 3cm Pela figura, temos que

.

f

d

2

d 1032 2tg

f 35 3

6

Sabendo o valor do ângulo do feixe cônico que é 3

, temo que:

x

b

y

a

z

15º30º30º

45º

F

1m

Para o FYZ,temos

a Fy

sen30º sen105º

1 2 1sen45º

2Fy Fy

2 2Fy 2m

2



2 6sen105º sen75º sen 45º 30º

4

De modo que,

sen30ºFy

a 3 1sen 30º 45º

Para o FYZ , temos

b Fy

sen30º sen15º

Fy 2m

6 2sen13º sen 45º 15º

4 4

De modo que

sen30ºFyb ¨ 3 1

sen15º

Portanto, o semieixo maior vale:

a b 3 1 3 1 2 33

2 2 2

ALTERNATIVA D 18.

Um corpo encontra-se com 2

3 de seu volume submerso. Uma de suas extremidades está presa por uma corda a um

conjunto de roldanas que suspende uma carga puntiforme submetida a um campo elétrico uniforme. A outra extremidade está presa a uma mola distendida que está fixa no fundo do recipiente. Este sistema se encontra em equilíbrio e sua configuração é mostrada na figura acima. Desprezando os efeitos de borda no campo elétrico, a deformação da mola na condição de equilíbrio é:



Dados: • a corda e as roldanas são ideais; • aceleração da gravidade: ; • massa específica do fluido: ; • massa específica do corpo: 2 ; • constante elástica da mola: ; • volume do corpo: ; • intensidade do campo elétrico uniforme: ; • massa da carga elétrica: ; e • carga elétrica: + .

a) g m 4 V qE

k 2 3 2k

b) g 3m 4 V 3qE

k 2 3 2k

c) g qEm 4 v qE

3k k

d) g mg 4 v qE

k 2 3 2k

e) mg qE 2 v

k d 3

Resolução: Observe o vínculo das polias.

T

TT

T

T

2T

T

T

T

T

TT

3T i) Na carga temos: mg Eq 2T

ii) No corpo:2 gV

2 gV k x 3T3

g 3m 4 V 3qEx

k 2 3 2k

ALTERNATIVA B



19.

Uma partícula desloca-se solidária a um trilho circular com 0,5 m de raio. Sabe-se que o ângulo q, indicado na figura, segue a equação q = 2, onde é o tempo em segundos e q é o ângulo em radianos. O módulo do vetor aceleração da partícula, em = 1 s, é: a) √5 b) √2 c) 1 d) 2√5 e) 2 Resolução: Sabemos que,

t²

2

dDe modo que a velocidade angular vale 2t

dte que a aceleração angular é dada por :

d2 rads

dt

L

2L

Com isso, a aceleração linear (a )é dada por :

a r 2 0,5 1ms

cp.

2cp.

E a aceleração centrípeta(a )vale

a ²r 4t²r 2 ms

Assim, em t 1 s temos que :

cp.a

La

ra

2 2r cp. L

2 2 2r

a a a

a 1 2 5 ms

ALTERNATIVA A



20.

A figura acima mostra três meios transparentes, de índices de refração 1, 2 e 3, e o percurso de um raio luminoso. Observando a figura, é possível concluir que: a) 2 < 3 < 1 b) 1 < 2 < 3 c) 3 < 1 < 2 d) 1 < 3 < 2 e) 2 < 1 < 3 Resolução:

3 2

2 1

Do meio 3 para o meio 2 o raio refratado se aproxima da normal de modo que n n .

Já do meio 2 para o meio 1, o raio sofre reflexão de moddo que n n

2 L 1

2 L 3 3

No cálculo do ângulo limite, perceba que,

n sen n

n sen n sen

1 3 3 3

ou ainda,

n n sen n

1 3 2

Portanto,

n n n

ALTERNATIVA D 21.Duas partículas A e B, ambas com carga positiva + e massas 2 e , respectivamente, viajam, em velocidades constantes e 2 e nas direções e sentidos mostrados na Figura 1, até se chocarem e ficarem grudadas no instante em que penetram numa região sujeita a um campo magnético constante ( 0 , 0 , ), sendo uma constante positiva. O comprimento da trajetória percorrida pelo conjunto A+B dentro da região sujeita ao campo magnético é:



Observações: despreze o efeito gravitacional; antes do choque, a partícula B viaja tangenciando a região sujeita ao campo magnético; o sistema de eixo adotado é o mostrado na Figura 2; e despreze a interação elétrica entre as partículas A e B. a) b) c) d) e) Resolução: Pela figura temos que:

V

BQ

AQ

B

A

Q 2mvtg 1

Q 2mv

1tg (1)

4

2 2

32

2 2

Como as partículas ficam grudadas após o choque, temos um choque inelástico, assim, aplicando conservação de momento linear, temos:

INICIAL FINALQ Q

ˆ ˆ2mv i 2mv j 3mv

¨

2vˆ ˆv ( i j )

3



Além disso:

m

ˆ ˆ ˆi j k

2v 2vF Q v x B Q 0

3 3

0 0 B

m

ˆ ˆi j 2vQBˆ ˆF QB (i j)2v 2v 3

3 3

2 2 2

2 2

m x y

8v Q B 2vQBF F F 2

9 3

Por outro lado, a força magnética faz o papel de força centrípeta. Assim,

mF =

cpF

2

8v9m

92vQB 2R

29m8v

2vQB 29R

4vm 2vm 2R

QBQB 2

Portanto, o comprimento da trajetória realizado pelo Conjunto é dado por

3 3 2 mvS R

4 2QBΔ

ALTERNATIVA A 22. A figura mostra um circuito montado sob um plano inclinado feito de material condutor ideal, sem atrito de ângulo α com a horizontal. Um corpo é liberado do ponto A e, à medida que passa pelos sensores localizados nos pontos 1, 2, 3 e 4, as chaves Ch1, Ch2, Ch3 e Ch4 são fechadas instantaneamente. Diante do exposto, a energia elétrica dissipada durante a descida do corpo até o ponto B, em joules, é:



Dados: • R1 = 10 Ω; • R2 = 10 Ω; • R3 = 5 Ω; • R4 = 2,5 Ω; • E = 10 V; • α = 30º; e • g = 10 m/s2.

a) 6 b) 16 c) 32 d) 62 e) 120 Resolução:

1) 2U

P UiR

(Potência dissipada em um resistor R)

2) Seja tij o tempo que o corpo demora para ir de i a j. 2 2

ij ij

U Ut

t R R

3) De (I) podemos escrever:

2 2 2 2

Total 12 23 34 4B 23 34 4B 34 4B 4B1 2 3 4

E E E Et t t t t t t t t t

R R R R

2 2 2 2

Total BA 1A BA 2A BA 3A BA 4A1 2 3 4

E E E Et t IIt t t t t t ( )

R R R R

4) Mas 2

ji iAij jA iA iA Ai

(gsen ) ( t ) 2dt t t e d t (III)

2 5

5) Substituindo (III) em (II) já com os valores

Total

2 36,1 2 10 2 36,1 2 16,9 2 36,1 2 22,5 2 36,1 2 28,95 5 5 5 5 5 5 5

100 10 10 10 10

Total 200 [0,09 0,06 0,08 0,08] 62

ALTERNATIVA D



23. Considere as seguintes grandezas e suas dimensionais: Calor específico – [ ] Coeficiente de dilatação térmica – [ ] Constante eletrostática – [ ] Permeabilidade magnética – [ ] A alternativa que expressa uma grandeza adimensional é: a) [ ][ ]−1[ ][ ] b) [ ][ ]−1[ ]−1[ ] c) [ ][ ]−1[ ][ ]−1 d) [ ][ ]−2[ ][ ]−2 e) [ ][ ]−2[ ]−1[ ]−2 Resolução: Sabendo que expressão dimensional de cada grandeza é dada por

1 2 2c L T

3 2 2k ML T Q

1

2MLQ

Com isso, temos que: x y z w 0 0 0 0[c] [K] [ ] [ ] 1 M 1 T

Ou ainda, y 3y 2y 2y x 2x 2x z w w 2w 0 0 0 0 0M L T Q L T M L Q M L T Q y w 3y 2x w x z 2y 2w 2y 2x 0 0 0 0 0M L Q T M L T Q y w 0

z xx z 0

y w x2y 2w 0

w x3y 2x w 0

Escolhendo x=1, obtemos que:

1 1

y 1

z 1 [c][k] [ ] [ ]

w 1

ALTERNATIVA B



24.

A figura mostra uma haste de massa desprezível com um apoio articulado em uma extremidade. A outra extremidade possui um recipiente apoiado em uma mola e amarrado ao solo por um fio. A haste é mantida na posição horizontal e a mola comprimida. Uma bola é colocada nesse recipiente e, após o corte do fio, o sistema é liberado com distensão instantânea da mola. A constante elástica da mola, em N/m, para que, quando a prancha estiver perpendicular ao solo, a bola seja lançada e acerte o cesto é: Dados: • comprimento da prancha: 1 m; • distância do apoio ao cesto: 5 m; • massa da bola: 200 g; • deformação inicial da mola: 10 cm; e • aceleração da gravidade: 10 m/s2. Observação: • despreze as dimensões da bola. a) 400 b) 500 c) 2900 d) 3400 e) 12900 Resolução:

.2NR : Nível de referêcia.

.1 N.R3 . D

H

Aplicando conservação de energia nos pontos 1 e 2, obtemos:

1 2m mE E

2 2k x mvmgH

2 2

2

2 2

mv 2mgHk

x x



Do ponto 2 para o ponto 3, obtemos:

2gt 2H 1H t s

2 g 5

1DD vt v 5 5ms

t

Portanto, temos que:

23

3

2 22 2

200 10 5 5 2 200 10 10 1k

10 10 10 10

N

k 2900m

ALTERNATIVA C 25. Um manômetro de reservatório é composto por dois tubos verticais comunicantes pelas respectivas bases e abertos em suas extremidades. Esse conjunto é preenchido parcialmente por um fluido e, como o dispositivo encontra-se no ar à pressão atmosférica padrão, o nível de fluido nos dois tubos é o mesmo. Em um dado momento, no tubo à esquerda, é adicionada uma pressão manométrica equivalente a 12 mm de coluna de água. Considerando que não haja vazamento no manômetro, a ascensão de fluido no tubo à direita, em mm, é igual a: Dados: • diâmetro do tubo à esquerda: 20 mm; • diâmetro do tubo à direita: 10 mm; e • densidade do fluido: 1,2. a) 20 b) 40 c) 8 d) 4 e) 10

Resolução:

1 2

2 21

2 1 2

Seja x a ascensão do fluido no tubo à direita, e seja x a queda do nível do flúido à esquerda.

Temos conservação do volume :

x20 10x x x

4 4 4

1 2

1 1

Da diferença depressão : 12 ( x x ) 1,2

Então,

510 x x 8 mm

4

ALTERNATIVA C



26.

Um cilindro de raio rola, sem deslizar, em velocidade angular , sobre uma superfície plana horizontal até atingir uma rampa. Considerando também que o rolamento na rampa seja sem deslizamento e chamando de a aceleração da gravidade, a altura máxima, ℎ, que o eixo do cilindro alcança na rampa em relação à superfície plana é:

²R²a) R

g

²R²b) R

2g

²R²c) 2R

g

²R²d)

g

²R²e)

2g

Resolução:

1 2m m

Aplicando construção de energia, obtemos

E E

ALTERNATIVA A

2

2 2

I ² mv²mgR mgy; I mR

2 2mv² m( R)²

mgR mgy; v R2 2

mgR m R mgy

²R²y R

g



27. Duas pessoas executam um experimento para medir o raio da Terra a partir da observação do pôr do Sol. No momento em que uma pessoa, deitada, observa o pôr do Sol a partir do nível do mar, uma outra pessoa, de pé, inicia a contagem do tempo até que ela observe o pôr do Sol a partir da altura dos seus olhos. Sabendo-se que o intervalo de tempo entre as duas observações é Δ , o raio da Terra obtido por meio desse experimento é Observações: • considere a terra uma esfera perfeita; • considere o eixo de rotação do planeta perpendicular ao plano de translação; • o experimento foi executado na linha do Equador; e • desconsidere o movimento de translação da Terra. Dados: • período de rotação da Terra: ; e • distância vertical entre os olhos do segundo observador e o nível do mar: ℎ.

Resolução: Situação inicial Pôr do Sol para a pessoa deitada Linha do equador. Situação final R Como a velocidade angular da terra é constante, temos que: 2 2

TT T T

Pela figura da situação final, temos que:

r

cosr h

R ou ainda,

2 r

cosT r h



2(r h) cos T r

T

2 2r 1 cos T h cos T

T T

2

h cos ThT

r2 2

1 cos T sec T 1T T

ALTERNATIVA B 28. Uma fonte de tensão com tensão interna e resistência interna = 0,05 Ω, protegida por um fusível, alimenta uma carga por meio de dois cabos com resistência linear igual a 1 Ω/km, como mostra a Figura 1. A Figura 2 mostra a aproximação da reta característica de operação do fusível utilizado na fonte. Inicialmente, a carga que consome 10 kW e opera com tensão terminal igual a 100 V, mas, subitamente, um curto circuito entre os cabos que alimentam a carga faz com que o fusível se rompa, abrindo o circuito.

Sabendo-se que o tempo de abertura do fusível foi de 1,25 ms, a energia total dissipada nos cabos, em joules, durante o período de ocorrência do curto circuito é, aproximadamente: a) 41 b) 55 c) 73 d) 90 e) 98 Resolução: A corrente i com os cabos em curto circuito é tal que, segundo a reta característica de operação do fusível: 25 1,25

650 i 20 1,25500 650 ii 625A

Sejam R = 0,1 a resistência dos cabos, e 2100

R' 110000

a resistência da carga. Temos:

100 = R’ io e E = (0,05 + 0,2 + 1)io io = 100A e E = 125V Daí, no curto: E = (0,05 + r)icc 125 = (0,05 + r)625



r = 0,15 Assim,

2dis cc

dis

E r i t

E 73J

ALTERNATIVA C 29. A figura mostra uma estrutura composta pelas barras AB, AC, AD e CD e BD articuladas em suas extremidades. O apoio no ponto A impede os deslocamentos nas direções x e y, enquanto o apoio no ponto C impede o deslocamento apenas na direção x. No ponto D dessa estrutura encontra-se uma partícula elétrica de carga positiva . Uma partícula elétrica de carga positiva encontra-se posicionada no ponto indicado na figura. Uma força de 10 N é aplicada no ponto B, conforme indicada na figura. Para que a força de reação no ponto C seja zero, o produto q.Q deve ser igual a: Observação: • as barras e partículas possuem massa desprezível; e • as distâncias nos desenhos estão representadas em metros. Dado: • constante eletrostática do meio: . a) 1250 7 b) 125 70 c) 7 1250 d) 1250 e) 1250



Resolução:

xN

45º

6 2

F

45º

yN

d

3

5

4

Em relação ao ponto A, temos :

AM 0

momento resul tante

2

Assim,

Fsen (45 ) 6 2 6 10

kQq(sen45 cos sen cos45 ) 6 2 60

d

kQq 26 2 (cos sen ) 60

25 2

kQq(cos sen ) 10

25kQq (cos sen ) 250

4 3kQq ( ) 250

5 57

kQq 2505

1250Qq

7k

ALTERNATIVA A



30.

Um tubo sonoro de comprimento total L = 1m, aberto nas duas extremidades, possui uma parede móvel em seu interior, conforme a figura. Essa parede é composta de material refletor de ondas sonoras e pode ser transladada para diferentes posições, dividindo o tubo em duas câmaras de comprimento L1 e L2. Duas ondas sonoras distintas adentram nesse tubo, uma pela abertura da esquerda, com f1 = 2,89 kHz, e outra pela abertura da direita, com f2 = 850 Hz. Em relação às ondas sonoras, os valores de L1 e L2, em cm, que possibilitarão a formação de ondas ressonantes em ambas as cavidades são, respectivamente: Dado: • O meio no interior do tudo é o ar, onde o som se propaga com velocidade 340 m/s. a) 14,7 e 85,3 b) 44,1 e 55,9 c) 50,0 e 50,0 d) 70,0 e 30,0 e) 90,0 e 10,0 Resolução:

1

1 1

2 1340 2890 2 171 m m

17 4 34

2

2 2340 850 2 51 0,4m 0,1m4

1 1

1 1 1

ML M L

4 34

2 2

2 2 2

ML M L

4 34

1 2

1 2

L L 1

5m 17m 170

Equação Diofantina Seleção 1 2m 17, m 5

1 2L 0,5 L 0,5

ALTERNATIVA C



Química 31. Admita que uma solução aquosa 0,0400 molar de ácido tricloroacético congele a −0,1395 ºC. Considere, ainda, que a constante de abaixamento do ponto de congelamento (Kc) da água seja 1,860 ºC.kg.mol−1 e que 1,00 L de solução contenha 1,00 kg de solvente. O valor da constante de dissociação (Ka) do ácido tricloroacético será: a) 4,90.10–7 b) 3,28.10–5 c) 7,66.10–3 d) 1,36.10–2 e) 2,45.10–1 Resolução: M 0,04molar

Ct 0,1395ºCΔ

1

CK 1,860ºC Kg mol

Se 1L de solução contém 1kg de solvente então molaridade será igual a molalidade W 0,04 molal

C Ct K W i 0,1395 1,86.0,04. iΔ

i = 1,875 onde i 1 (q 1)

do equilíbrio temos:

3 (aq) (aq) 3 (aq)C CCOOH H C CCOO

Assim q = 2

1,875 1 (2 1) 0,875 87,5%

No equilíbrio temos:

3 (aq) (aq) 3 (aq)C CCOOH H C CCOO

M (1 ) M M

2 2 2

3

a3

[H ] [C CCOO ] M 0,04 (0,875)K

[C CCOOH] 1 0,875M (1 )

2

1

a

0,04 0,875K 0,245 2,45 10

0,125

ALTERNATIVA E



32. As moléculas abaixo são utilizadas como agentes antioxidantes:

Tais agentes encontram utilização na química medicinal devido a sua habilidade em capturar radicais livres, espécies muito nocivas ao corpo, pois oxidam o DNA, causando inúmeras doenças. A atividade antioxidante desses compostos está relacionada a sua capacidade de doar elétrons ou radicais hidrogênio. Baseado nesse conceito, é de se esperar que a ordem decrescente de atividade antioxidante das moléculas seja: a) (I) > (II) > (III) b) (I) > (III) > (II) c) (II) > (I) > (III) d) (II) > (III) > (I) e) (III) > (I) > (II) Resolução: O enunciado relaciona a capacidade antioxidante com a possibilidade de doar pares de elétrons. Assim, podemos dizer que a substância que possuir mais O/Cl será a com maior capacidade, pois os átomos desses elementos possuirão pares de elétrons que possam doar. Comparando III e I: III possui dois oxigênios a mais e um cloro a menos. III > I Comparando I e II: I possui 1 cloro a mais. I > II ALTERNATIVA E



33. Considere as reações abaixo: H2(g) + ½ O2(g) → H2O(l) (I) H2(g) + ½ O2(g) → H2O(g) (II) Assinale a alternativa correta. a) O decréscimo de entropia é menor na reação (I) do que na reação (II). b) O acréscimo de entropia na reação (I) é maior do que na reação (II). c) O decréscimo de entropia é menor na reação (II) do que na reação (I). d) O acréscimo de entropia na reação (II) é maior do que na reação (I). e) A variação de entropia é igual em ambas as reações. Resolução: Denotando n a variação de nº de mols de gás temos:

2 22 g g

1H O H O I

2

2 22 g g g

1H O H O II

2

1

1

1n O 1

2

3n mols

2

2

2

1n 1 1

2

1n mols

2

Em ambas reações há um decréscimo do número de mols de gás, ou seja, há a diminuição da entropia. E como a variação do nº de mols de gás é menor no processo II, há um decréscimo de entropia menor na reação II. ALTERNATIVA C 34. É requerido que fazendas produtoras de leite bovino controlem a acidez do leite que está aguardando o processamento. Essa acidez é resultante da conversão da lactose em ácido lático (ácido 2-hidroxipropanoico) por ação de microrganismos: C12H22O11 + H2O → 4C3H6O3 Um fazendeiro decidiu fazer um experimento para determinar a taxa de geração de ácido lático no leite armazenado: retirou uma amostra de 50 cm3 de leite, cuja concentração de ácido lático é de 1,8 g/L, e, depois de três horas, utilizou 40 cm3 de uma solução 0,1 molar de NaOH para neutralizá-la. Conclui-se que a taxa média de produção de ácido lático por litro de leite é: a) 0,25 mg/L.s b) 0,33 mg/L.s c) 0,50 mg/L.s d) 0,67 mg/L.s e) 1,00 mg/L.s Resolução: A amostra inicialmente possui ácido lático e lactose. Dados do ácido lático:

C3H6O3

3 3

C 1,8 / L M 90g / mol

V 50cm 50 10 litros



Então 3inicialm 1,8 50 10 0,09g de ácido lático.

Após 3h parte da lactose é convertida em ácido lático gerando uma massa total final mt. Tal massa será neutralizada

com 40 cm3 340 10 de solução 0,1 M de NaOH.

3 6 3 3 5 3 2C H O NaOH Na C H O H O

t

1mol

90g

m g 3t0,1 HO 10 m 0,36g

1mol

1mol

Ou seja m 0,36 0,09 0,27g é a massa produzida de ácido lático.

produção

mV onde V é o volume.

V t

3

m 0,27g 270mg

V 50cm 0,05

t 3h 3 3600s 10800s

produção

270V 0,5mg / L s

0,05 10800

ALTERNATIVA C 35. Escolha a alternativa que apresenta as substâncias relacionadas em ordem crescente de solubilidade em água, a 25 ºC e 1 atm: a) Bromo < dissulfeto de carbono < butanol < etanol < brometo de potássio. b) Metano < neopentano < dietilcetona < t-butanol < n-butanol. c) Hidróxido de alumínio < carbonato de cálcio < carbonato de magnésio < nitrato de prata < sulfato de bário. d) Isobutano < p-diclorobenzeno < o-diclorobenzeno < o-nitrofenol < p-nitrofenol. e) Cromato de chumbo (II) < Cromato de bário < carbonato de sódio < carbonato de magnésio < clorato de magnésio. Resolução: a) Falso. 2CS é insolúvel, enquanto que 2Br possui pequena solubilidade.

b) Falso. Álcoois ramificados são mais solúveis que os de cadeia normal (comparando álcoois com mesmo nº de carbono), logo n-butanol<t-butanol.

c) Falso. Nitratos são solúveis enquanto sulfato de bário não. d) Verdadeiro. Isobutano é alcano, ou seja, insolúvel. Comparação p-diclorobenzeno com o-diclorobenzeno: apolar p-diclorobenzeno

Z

O

polar

O

Cl

Cl

O

ClCl



Obs.: apesar de apolar o p-diclorobenzeno possui, ainda que pequena, alguma solubilidade em água. Comparação o-nitrofenal com p-nitrofenal. A proximidade entre o OH e o 2NO permite que ocorram ligações de hidrogênio intramolecular diminuindo a

solubilidade em relação ao p-nitrofenol. Comparando o notrofenol com o diclorobenzeno, o primeiro realiza ligações de hidrogênio enquanto o segundo não. e) Falsa. Carbonato de sódio é solúvel, enquanto que o de magnésio não. ALTERNATIVA D 36. Assinale a alternativa correta: a) A estrutura primária de uma proteína é definida pela ordem em que os aminoácidos adenina, timina, citosina e

guanina se ligam entre si. b) A estrutura secundária de uma proteína é definida por conformações locais de sua cadeia principal que assumem

padrões específicos, tais como hélices α e folhas β. c) A estrutura terciária de uma proteína é definida pelo modo conforme duas ou mais cadeias polipeptídicas se

agregam entre si. d) As enzimas são proteínas que atuam como catalisadores biológicos e que se caracterizam pela sua capacidade

de reagir, simultaneamente, com milhares de substratos de grande diversidade estrutural. e) A glicose, a ribose e a frutose são enzimas que devem ser obrigatoriamente ingeridas na dieta dos seres

humanos, uma vez que nossos organismos não conseguem sintetizá-las. Resolução: a) FALSA – Adenina, timina, citosina e guanina não são aminoácidos, são bases nitrogenadas. b) VERDADEIRO. c) FALSA – Seria a descrição da estrutura quaternária. d) FALSA – As enzimas são catalisadores biológicos com especificidade reacional, ou seja, não possuem a capacidade de reagir, simultaneamente, com milhares de substratos de grande diversidade natural. e) FALSA – Glicose, ribose e frutose são carboidratos ALTERNATIVA B 37. Considere as representações, não identificadas, dos seguintes polímeros: polibutadieno, poliestireno, poli(cloreto de vinila), poli(metacrilato de metila) e poli(cloreto de vinilideno).

Com base nessas estruturas, avalie as sentenças a seguir:

ON

O

HO

O



I O poli(cloreto de vinilideno) apresenta isomeria óptica enquanto o poli(cloreto de vinila) não apresenta isomeria óptica.

II O polibutadieno pode apresentar estereoisômeros cis e trans. III A massa molar do mero do poliestireno é maior do que a do mero do polibutadieno. IV A transesterificação do poli(metacrilato de metila) com etanol produz acetato de metila mais o poli(álcool vinílico). É correto apenas o que se afirma nas sentenças: a) II e III. b) I e II. c) II e IV. d) I, III e IV. e) I, II e III. Resolução: Atente que os nomes não estão em ordem!

policloreto de vinila

poliestireno

policloreto de vinilideno

polibutadieno

polimetacrilato de metila I – FALSA

não possui carbono quiral e nem centros de quiralidade. II – VERDADEIRO

e estereoisomeria = isomeria geométrica. III – VERDADEIRO

M = 8 12 + 8 1 = 104g/mol



mero CH2 – CH = CH – CH2

M = 4 12 + 6 1 = 54g/mol

IV – FALSA

+

n

CO2CH2CH3

+ n CH3 – OH

ALTERNATIVA A 38. Assinale a alternativa VERDADEIRA: a) A energia de ligação na molécula de NO é maior que no íon NO+. b) A energia de ligação na molécula de CO é maior que no íon CO+. c) A molécula de O2 tem maior energia de ligação que os íons e. + 2O − 2O d) A ligação dupla C=C tem o dobro da energia da ligação simples C–C. e) O íon NO– é mais estável que o íon NO+. Resolução: a) N O ligação dupla N O ligação tripla

Sendo assim, a energia de ligação deNO é maior. b) C O

C O C O

Perto, pois o íon CO é paramagnético e possui uma ligação ressonante dupla-tripla, enquanto que a ligação C O é tripla pura. c) O O

[O O]

[O O]

Errado, pois nos íons 2O há distribuição de cargas formais que reduz a energia de ligação.

d) Errado, pois a ligação é mais fraca o

e) N O : N O

: N O :

Errado, a ligação terá o íon NO mais estável. ALTERNATIVA B



39. Quanto à precipitação do hidróxido férrico (KPS = 1,0.10-36) em uma solução 0,001 molar de Fe3+, é correto afirmar que a) independe do pH. b) ocorre somente na faixa de pH alcalino. c) ocorre somente na faixa de pH ácido. d) não ocorre para pH < 3 e) ocorre somente para pH 12. Resolução: Para ocorrer precipitação Qps > Kps

3 3 33(s) (aq) (aq)Fe(OH) Fe 3OH Qps [Fe ] [OH ] €

Se 36 3Kps 1,0 10 e [Fe ] 0,001 molar então: 3 36 3 33 110,001 [OH ] 1,0 10 [OH ] 10 [OH ] 10

Então pOH 11 pH 3

Ou seja, não ocorre p / pH 3

ALTERNATIVA D 40. Assinale, dentre as alternativas, aquela que corresponde às funções orgânicas geradas após a hidrólise ácida total da molécula abaixo:

a) Ácido carboxílico, amina, álcool. b) Amina, ácido carboxílico, álcool, aldeído. c) Álcool, cetona, éster, éter. d) Amida, aldeído, cetona. e) Éter, amida, ácido carboxílico. Resolução:

nitrilaéster

amida

As nitrilas sofrem hidrólise ácida produzindo ácido carboxílico.



2H OR C N R C

H

2NH

O

2H OR C

H

O

OH3NH

Os ésteres sofrem hidrólise ácida liberando ácido carboxílico e álcool. As amidas sofrem hidrólise ácida liberando amina e álcool. ALTERNATIVA A

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