III Brincando de Matemático

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Apresentação

O presente texto faz parte do material de apoio preparado para o projeto III Brincando de Matemático,promovido pelo PET-Matemática da UFPR e destinado a todos os alunos do ensino médio. Este projeto éuma atividade de extensão com a �nalidade de proporcionar, à comunidade de estudantes interessados emmatemática, oportunidades para ampliar e aprofundar os seus conhecimentos num período de férias escolares.

No programa desse ano o tema abordado refere-se aos números, que têm tanto desa�ado matemáticos quantofascinado curiosos que procuram associar seus destinos aos números, por meio da numerologia.

Os números são uma invenção do homem e existem diversos tipos deles. São bem conhecidos os númerosinteiros pares, ímpares e primos. Sabemos também dos números perfeitos, como por exemplo, 6, 28, 496, 8128,que são dados pelas somas dos seus divisores. Há os números amigos, como 220 e 284, por exemplo, em que220 é a soma dos divisores de 284 e este é a soma dos divisores de 220. Suspeita-se que todo par maior quequatro é soma de dois primos. Os números primos têm destaque especial dentre os números inteiros não sópelos aspectos teóricos mas pela utilização de algumas de suas propriedades na área de criptogra�a e códigos.

Atualmente em matemática é comum pensar no zero ou se referir aos inteiros negativos, mas as coisasnem sempre foram assim. Desde a invenção do zero (pelos hindus) e dos números negativos (pelos algebristasitalianos) muito conhecimento se tem produzido sobre a natureza dos números e suas propriedades algébricas,geométricas, aritméticas e analíticas. Hoje se conhecem os números racionais, os irracionais, os reais, os con-strutíveis, os algébricos, os transcendentes, os complexos, dentre outros.

Queremos que o aluno tenha oportunidade de conhecer mais, manipular, descobrir, treinar a capacidadede raciocínio, estimular o pensamento criativo, conhecer fatos históricos relevantes, e principalmente entrar emcontato com as idéias que acompanharam ou precederam o desenvolvimento da humanidade e da tecnologia.Oportunidade esta, que está sendo ofertada pelo PET-Matemática através dessa iniciativa do III Brincando deMatemático.

Esperamos que para o aluno, esse curso possa ser o início de uma jornada a um mundo de idéias, onde acapacidade, a criatividade e a inventividade de cada um, mediadas pelas atividades propostas para este aluno,possam conduzir a uma carreira cientí�ca ou que pelo menos desperte certa curiosidade no sentido de quequestione mais a matemática estudada no ensino fundamental e médio. Pode ser este um motivo justi�cadopara participar dessa jornada. Bom proveito!

PET-Matemática

Curitiba, julho 2007.

2 Pet Matemática - UFPR

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Sumário

1 Números Naturais e Inteiros 51.1 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Operações dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Princípio da Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Divisão de Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Aritmética Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Os Números Reais 272.0.1 Números Racionais como Instrumento de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.0.2 Necessidade Aritmética dos Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1 Números e Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Eudoxo, Dedeking e os Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Igualdade de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2 Razão de Grandezas Comensuráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3 A de�nição de Eudoxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.4 Dedekind e os Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.5 A Matemática como Geometria e a Volta a Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Os Irracionais na Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.1 A Sucessão de Fibonacci na Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.2 O Número de Ouro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.3 Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Números Complexos 513.1 Forma Algébrica dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 O Conjunto dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Representação Geométrica dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Conjugado de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6 Divisão de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.7 Módulo de um Número Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.8 Forma Trigonométrica dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9 Operações com os Números Complexos na Forma Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.9.1 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.9.2 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.10 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica - Fórmula de Moivre . . . . . . . 603.11 Radiciação - Raízes n-ésimas de Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.12 Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Referências Bibliográ�cas 67

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Sumário

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Capítulo 1

Números Naturais e Inteiros

Os números naturais tiveram sua origem nas palavras utilizadas para a contagem de objetos. O primeirogrande avanço na abstração foi a utilização de numerais para representá-los. Isto permitiu o desenvolvimento desistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderososistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuiamum sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Umagravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris,representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.

A primeira abordagem cientí�ca ao estudo dos números inteiros, isto é, a verdadeira origem da teoria dosnúmeros, é geralmente atribuída aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitágoras e seus discípulos �zeram váriosestudos interessantes nessa área.

Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida por Giuseppe Peano (1858-1932). Ele constatou que a partir de quatro propriedades fundamentais, os axiomas de Peano, pode-se elaborartoda a teoria dos números naturais, ou seja, como conseqüências lógicas, todas as a�rmações verdadeiras quese podem fazer sobre esses números.

1.1 Axiomas de Peano

O italiano Giuseppe Peano realizou seu trabalho motivado pelo desejo de expressar toda a matemática emtermos de um cálculo lógico. Em seu Formulaire de Mathématiques, publicados a partir de 1894, desenvolveuuma linguagem formalizada que continha não só a lógica matemática como todos os ramos mais importantesda matemática.

Os axiomas de Peano, foram formulados pela primeira vez em 1889 na Arithmetices Principia Nova MethodoExposita, que representava a tentativa de reduzir a aritmética comum a puro simbolismo formal. Peano exprimiaos postulados em símbolos, em vez das palavras que usamos.

Abaixo estão os Axiomas de Peano:

1. Existe uma função f : N→ N que a cada n ∈ N associa um elemento f(n) ∈ N, chamado o sucessor de n;

2. Se n1 6= n2 então, f(n1) 6= f(n2), ou seja, a função f : N→ N é injetiva;

3. Existe um único elemento 1 ∈ N, tal que 1 6= f(n) para todo n ∈ N;

4. Se um subconjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ N e f(X) ⊂ X, então X = N.

Em uma linguagem informal:

1. Todo número natural possui um único sucessor que também é um número natural;

2. Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes;

3. Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro, representado pelo símbolo �1�;

4. Se um conjunto de números naturais S contém o número 1 e também o sucessor de todo número de Sentão este conjunto coincide com N, istó é, contém todos os números naturais.

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

1.2 Operações dos Números Naturais

1.2.1 Adição

Podemos de�nir a operação de adição dos números Naturais do seguinte modo:

∀m,n ∈ N temos que m+ n = fn(m).Onde f : N→ N é a "função sucessor": f(n) = n+ 1.

Exercício 1

5 + 3 = f3(5)= fofof(5)= f(f(5 + 1))= f(f(6))= f(6 + 1)= f(7)= 7 + 1= 8

Propriedades:

• A adição de Números Naturais é associativa, ou seja, se m,n e p ∈ N,

(m+ n) + p = m+ (n+ p)

• A adição de Números Naturais é comutativa, ou seja, se m e n ∈ N,

m+ n = n+m

• Para todos m,n, p ∈ N se n+m = n+ p então m = p

• Para todos m,n,∈ N uma, e somente uma das alternativas irá acontecer: m = n, m > n ou m < n.

1.2.2 Multiplicação

Podemos de�nir a operação de multiplicação dos Números Naturais do seguinte modo:

∀m,n ∈ N temos que

m.n = m+m+ ...+m︸ ︷︷ ︸n parcelas

Exercício 2

5.3 = 5 + 5 + 5= 15

Propriedades:

• A multiplicação de Números Naturais é associativa, ou seja, se m,n e p ∈ N,

(m.n).p = m.(n.p)

• A multiplicação de Números Naturais é comutativa, ou seja, se m,n ∈ N,

m.n = n.m

• A multiplicação de Números Naturais é distributiva em relação a adição, ou seja, se m,n, e p ∈ N,

n.(m+ p) = n.m+ n.p

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

1.3 Princípio da Indução

Algumas vezes nos defrontamos com proposições (a�rmações) envolvendo os números naturais e a questãoque surge é: será tal a�rmação verdadeira sempre, ou seja, vale para qualquer número natural?

Por exemplo, será que a a�rmação : "991n2 + 1 não é um quadrado perfeito"é sempre verdadeira?Lembrando, dizemos que um número é um quadrado perfeito se ele pode ser expresso como o quadrado de

um inteiro, por exemplo, 4 é um quadrado perfeito pois pode ser escrito como 22.

Para n = 1 temos 991(1)2 + 1 = 992 que, de fato, não é um quadrado perfeito, pois√

992 = 31, 4960315 nãoé um número inteiro.

Para n = 2 temos 991(2)2 + 1 = 3965 que também não é um quadrado perfeito, pois√

3964 = 62, 96030495não é um número inteiro.

Se testarmos para 3, 4, 5, 6, e vários outros números veremos que a a�rmação continua sendo válida. Naverdade o primeiro número natural que torna a sentença falsa é

120557357903313594474425387672

Para sabermos se uma a�rmação é sempre válida, teríamos que testar para todos os números naturais, oque, obviamente, seria impossível.

Para provar a veracidade de várias a�rmações envolvendo números naturais podemos utilizar o Princípio daIndução, que na verdade é obtido a partir do axioma de Peano 4, que vimos na seção anterior.

O signi�cado informal deste axioma é que todo número natural pode ser obtido a partir de 1 por meio derepetidas aplicações da operação de tomar o sucessor (f(n)). Por exemplo, para obtermos o número 4 bastaaplicarmos três vezes a operação de tomar o sucessor a partir do 1: f(f(f(1))), ou seja:

1 −→ f(1) = 2 −→ f(2) = 3 −→ f(3) = 4

Podemos denotar f(f(f(1))) = fofof(1) por f3(1).

De�nição 1 (Princípio da Indução) Uma proposição (ou a�rmação) é válida para todo número natural nse(i) é válida para um primeiro número natural a;(ii) de sua validade para um número qualquer n = k ≥ a deduz-se sua validade para seu sucessor (n = k + 1).

Esse método funciona provando que o enunciado é verdadeiro para um primeiro número natural a, e entãoprovando que o processo usado para ir de um valor para o próximo é válido. Se ambas as coisas são provadas,então qualquer valor pode ser obtido através da repetição desse processo. Para entender por que os dois passossão su�cientes, é útil pensar no efeito dominó: se você tem uma longa �la de dominós em pé e você puderassegurar que:

1. O primeiro dominó cairá.2. Sempre que um dominó cair, o próximo também cairá.então você pode concluir que todos os dominós cairão.

Exemplo 1

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Proposição: A soma dos n primeiros números naturais é Sn = 1 + 2 + ...+ n = nn+12 .

Prova.: Vamos demonstrar que esta proposição é verdadeira utilizando o Princípio da Indução.(i)Primeiro devemos mostrar que a proposição é válida para um primeiro natural n = a, então vamos começar

com n = 1:

S1 = 1 1+12 = 1 2

2 = 1.

(ii) Agora vamos supor que a proposição seja válida para n = k, ou seja, Sk = k k+12 , e vamos mostrar que é

válida também para seu sucessor n = k + 1, ou seja, Sk+1 = (k + 1) (k+1)+12 :

Sk+1 = 1 + 2 + 3 + ...+ k + (k + 1)= Sk + (k + 1)

= kk + 1

2+ (k + 1)

= kk + 1

2+

2(k + 1)2

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2

= (k + 1)k + 2

2

= (k + 1)(k + 1) + 1

2

Portanto, pelo Princípio da Indução, demonstramos que a proposição é válida para todo n ∈ N.

Exemplo 2 Vamos veri�car a propriedade comutativa da adição.

Demonstração:(i) Para n=1 temos:

m+ n = fm−1(1) + n

= fm−1(1) + 1= (1 + 1 + 1 + ...+ 1)︸ ︷︷ ︸

m vezes

+1

= 1 + (1 + 1 + 1 + ...+ 1)︸ ︷︷ ︸m vezes

associativa

= 1 + fm−1

= n+ fm−1

= n+m

Assim, para n = 1 a a�rmação é válida.

(ii) Vamos supor que seja válido para n = k, ou seja, m+k = k+m. Devemos mostrar que é válido tambémpara n = k + 1.

m+ (k + 1) = (m+ k) + 1 associativa

= (k +m) + 1 hipótese

= k + (m+ 1) associativa= k + (1 +m) (i)= (k + 1) +m associativa

Portanto, pelo Princípio da Indução, a adição dos números Naturais é comutativa.

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Exemplo 3

Observe a demonstração abaixo:

Proposição: Todo número natural é igual ao seu consecutivoVamos supor que a proposição é válida para n = k, ou seja k = k + 1. Então devemos mostrar que é válidatembém para n = k + 1:

Temos por hipótesek = k + 1

somando 1 em ambos os lados teremos:

k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2

Ou seja, se a proposição é válida para n = k, será válida também para n = k + 1.

Mas sabemos que esta proposição é falsa, onde está o erro?

Curiosidade:"Todos os números pares maiores que 2 são iguais à soma de dois números primos ?"

A simples pergunta não parece esconder um dos mais famosos e difíceis problemas não resolvidos damatemática até hoje (Junho de 2007). Quando se tenta veri�car sua validade, a hipótese parece plausível:

8 = 3 + 5;

10 = 3 + 7;

12 = 5 + 7...

Embora computadores já tenham constatado a veracidade da hipótese para números da ordem de 1014, veri�-cações empíricas não bastam para demonstrá-la.

O célebre problema, conhecido como a "Conjectura de Goldbach", foi formulado em 1742 numa carta domatemático prussiano Christian Goldbach (1690-1764) ao colega suíço Leonhard Euler (1707-1783). Desdeentão, a hipótese tem desa�ado estudiosos notáveis da matemática. Recentemente, o problema foi tema de umromance: Tio Petros e a Conjectura de Goldbach, escrito por Apostolos Doxiadis.

Se você tiver interesse em "brincar"um pouco com a Conjectura de Goldbach, poderá acessar o site:http://nautilus.�s.uc.pt/mn/goldbach/index.html, onde encontrará um jogo em que deverá indicar o número eos dois primos que somados resultam nele, no menor tempo possível. Divirta-se!!!

Atividades

Exemplo 4

Observe as seguintes somas:

1 = 1

1 + 2 + 1 = 4

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16

Pelo que observamos, a fórmula geral para estas somas poderá ser escrita da seguinte forma:

1 + 2 + ...+ (n− 1) + n+ (n− 1) + ...+ 2 + 1 = ..............................

Mas será que esta proposição é sempre verdadeira?

Exemplo 5

Proposição: Se numa classe com n alunos um for inteligente, então todos os alunos da classe são inteligentes.Observe a prova utilizando o Princípio da Indução:

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

(i) Seja uma classe de apenas 1 aluno com 1 aluno inteligente, logo todos (ele, somente) são inteligentes.Assim para n = 1 a proposição é válida.

(ii) Vamos supor que para uma classe de k alunos a proposição seja válida, isto é, se numa classe com kalunos, um for inteligente, então todos são inteligentes. Vamos provar que para uma classe de k + 1 alunos aproposição também é válida:

Imaginemos uma classe com k + 1 alunos, dos quais um é inteligente.Vamos pedir que um dos alunos, não o inteligente, saia da classe.Restam na classe k alunos dos quais um é inteligente.Pela hipótese, para uma classe de k alunos se um for inteligente, então todos os k alunos são inteligentes.Chamemos de volta o aluno que saiu.Temos k + 1 alunos dos quais, com certeza, k já são inteligentes.Vamos pedir que um dos k alunos inteligentes saia da classe.Restam na classe k alunos dos quais um (até mais do que um) é inteligente.Pela hipótese, para uma classe de k alunos se um for inteligente, então todos os k alunos da classe são

inteligentes.Chamando de volta o aluno que saiu, teremos uma classe com k+ 1 alunos inteligentes, isto é, a proposição

é válida para k + 1.

Portanto, pelo princípio da indução, qualquer que seja n ∈ N, se numa classe com n alunos, um for in-teligente, então todos são inteligentes.

Mas, pela nossa experiência, infelizmente, isto não é verdade. E agora? Onde está o erro?

Exercícios

1. Dadas n retas paralelas no plano, elas o dividem em n+ 1 regiões disjuntas.Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira.

2. A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é igual a n(n+1)(2n+1)6 .

Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira.

3. A soma dos cubos de três números sucessivos é divisível por 9.Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira.

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

4. Qual é o primeiro número natural n0 que veri�ca a desigualdade 2n > 2n+ 1?.

5. Para todo natural n > n0, temos 2n > 2n+ 1.Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira. (Considerando que n0 é o número que você obteve noexercício anterior)

6. Segundo uma lenda, Brahma, quando criou o mundo, colocou três postes verticais de diamante e, numdeles, 64 anéis de ouro de tamanhos diferentes, empilhados em ordem de tamanho, do menor para o maior.Aos monges do templo caberia, então, a tarefa de transferir essa pilha de discos para um dos dois outrospostes, na mesma ordem original. Para isso, teriam de transferir um disco de cada vez e poderiam utilizaro outro poste como auxílio mas nunca poderiam uma anel maior sobre um menor. Segundo a lenda,quando todos os 64 discos forem transferidos, o templo será destruído e o mundo se acabará.Este jogo foi inventado pelo famoso matemático francês Edouard Lucas.

É bastante complicado imaginar os movimentos para um pilha de 64. Imagine, primeiramente, para casosmais simples, como 1, 2 ou 3 discos (como mostram as �guras).

1 disco → 1 movimento

2 discos → 3 movimentos

3 discos → 7 movimentos

Podemos escrever uma fórmula matemática que relacione o número de discos e o número mínimo demovimentos necessários? Observe:

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

1 = 2− 13 = 4− 17 = 8− 1Tente escrever a fórmula e veri�que se é sempre verdadeira.

7. Qual é o primeiro número natural n0 que veri�ca a desigualdade 2n > n2?.

8. Para todo natural n > n0, temos 2n > n2.Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira. (Considerando que n0 é o número que você obteve noexercício anterior)

9. Toda quantia acima de 7 reais representada por um número inteiro pode ser paga com notas de 3 e 5 reais.Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira.

10. n retas distintas traçadas por um mesmo ponto dividem-no em 2n partes.Veri�que se esta proposição é sempre verdadeira.

11. O n-ésimo termo de uma progressão aritmética pode ser determinado pela fórmula an = a1 + d(n − 1),onde a1 é o primeiro termo da progressão e d é a razão da mesma.Prove utilizando o Princípio da Indução.

1.4 Divisão de Números Inteiros

Vamos discutir divisibilidade entre números inteiros. Quanto é 7 dividido por 2? A resposta imediata paraesta conta é 3, 5. No entanto, nem todo problema pode aceitar essa solução. Suponha um episódio em quedois homens estejam desmontando uma sociedade. Ambos têm 50 por cento de participação no negócio. Elestêm 7 computadores e precisam dividir igualmente entre os 2. Não poderiam �car, cada um, com 3 máquinas emeia. Daí a situação requer uma outra solução. A solução da divisão, então, deve ser 3 com resto 1. Por isso

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

é importante estudar divisões com números inteiros. Tais operações são necessárias, como vimos, dependendodo contexto de cada problema.

O Algoritmo da Divisão

Queremos agora dividir 13 canetas entre 4 pessoas. Vamos efetuar a divisão de 13 por 4, no conjunto dosnúmeros inteiros. 13 dividido por 4 resulta 3 e sobra resto 1. Podemos escrever, então, 15 como sendo o produtode 3 por 4, acrescido de 1. 13 = 3.4 + 1 O número 13, que queremos dividir, chama-se dividendo. O númeropelo qual queremos dividir o dividendo chama-se divisor (que deve ser sempre diferente de zero). O númeroresultante da divisão chama-se quociente. E ao número de unidades que restou chamamos resto (que deve sersempre menor que o divisor).

Usando símbolos:

D para o dividendo;d para o divisor;q para o quociente;r para o resto.

Da forma como escrevemos para o problema acima, temos D = d.q + r.Note que, dados D e d, os valores para q e r serão únicos, com r maior que ou igual a 0 e r menor que d. A

esta expressão chamamos Algoritmo da Divisão.

Por que não dividir por zero?

Imagine que d = 0 é um divisor de D, sendo D diferente de 0. De acordo com o que vimos, deve haver umúnico par de números Q e r tal que D = 0.q + r seja verdadeiro. Mas D = 0.(q + 1) + r também é verdadeiro,assim como D = 0.(q + 2) + r também o é. Logo, d não pode ser zero.

Decorre também desse fato que zero é múltiplo de qualquer inteiro não nulo, mas não é divisor de nenhuminteiro. Veja por que:

D 00 Q

Então, D = 0.Q , mesmo que D seja diferente de 0, o que é impossível.

Exercícios:

1. Efetue as divisões abaixo, descrevendo-as na forma do algoritmo de Euclides.

a) 56 : 7b) 58 : 5c) 58 : 7d) 101 : 15e) 454 : 3f) 1234 : 10g) 1234 : 100h) 1234 : 1000i) 45 : 4j) 46 : 4k) 47 : 4l) 48 : 4m) 49 : 4n) 50 : 4o) 51 : 4

2. Pelo que você pode observar, qual o motivo do resto ser menor que o divisor?

Múltiplos, fatores e divisores

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Page 15: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Muitas vezes queremos que a divisão seja exata, ou seja, que o resto seja 0. Por exemplo, 63 : 9 é uma divisãoexata, pois o quociente é 7 e o resto é 0. Já ao fazer 58 : 8 o quociente é 7 e o resto é 2, e, portanto, a divisãonão é exata. Qual a importância de que o resto seja 0? Se a divisão tem resto 0, dizemos que o dividendo émúltiplo do divisor. Isto é, observe na equação de Euclides que, quando o resto é 0, temos:

D = d.q + 0D = d.q

Também podemos dizer que o dividendo é múltiplo do quociente, já que podemos aplicar a propriedadecomutativa. No exemplo acima, 63 é múltiplo de 7 e também de 9. Podemos dizer também que 7 e 9 sãodivisores de 63. Veja que, de certa forma, os números 7 e 9 constroem, pela multiplicação, o número 63.Dizemos então que 7 e 9 são fatores de 63.

Exemplo:

Quais são os fatores do número 24?1 e 24, pois 1.24 = 242 e 12, pois 2.12 = 243 e 8, pois 3.8 = 244 e 6, pois 4.6 = 24

O conjunto dos divisores de 24: D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Exercício: Determine os fatores de:

a) 56b) 48c) 16d) 32e) 27f) 42g) 15h) 49i) 100j) 101k) 1001l) 2m) 3n) 5o) 7p) 11q) 13r) 23s) 37t) 43

Propriedades decorrentes do teorema:

Se A e B são inteiros divisíveis por n, então:

1. A+B é divisível por n

2. A−B é divisível por n

3. A.B é divisível por n

Veja que se A e B são divisíveis por n, então podemos escrevê-los da seguinte forma:

A = q1.nB = q2.n

Então,A+B = q1.n+ q2.n = (q1 + q2).nA−B = q1.n− q2.n = (q1 − q2).nA.B = (q1.n).(q2.n) = (q1.q2).n

15 Pet Matemática - UFPR

Page 16: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Indicaremos um número inteiro, a partir de agora, da forma ak...a3a2a1a0 sendo a0 o algarismo das unidades,a1 o algarismo das dezenas etc.

ak ... a3 a2 a1 a0

10k ... milhar centena dezena unidade

Critérios de Divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural,sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios dedivisibilidade.

Divisibilidade por 2, 4, 8, 16, ...

O critério de divisibilidade por 2 é o mais conhecido. Realmente, se tomamos o número 6817318371387118571596e queremos saber se ele é múltiplo de 2 não vamos efetuar a divisão. Olhamos apenas para o último algarismoe se este for divisível por 2, ou seja, se for par, então o número é múltiplo de 2. Vamos ver de onde vem essaidéia:

Considere o número. ak...a2a1a0.Reescrevemos como ak.10k + ...+ a2.100 + a1.10 + a0.Temos que

ak...a2a1a0 = 2.(ak.5.10k−1 + a2.50 + a1.5) + a0.

Sabemos que 2 · (ak.5.10k−1 + a2.50 + a1.5) é divisível por 2. Então ak...a2a1a0 só será múltiplo de 2 se a0

também for.

Através desta mesma idéia podemos estabelecer critérios de divisão para 4.Veja:

ak...a2a1a0 =ak.10k + ...+ a2.100 + a1.10 + a0 =100.(ak.10k−2 + ...+ a2) + a1.10 + a0.

Como 100.(ak.10k−2 + ...+ a2) é múltiplo de 4, pois 4 é um de seus fatores, ak...a2a1a0 só será divisível por4 se a1.10 + a0 também for, ou seja, a1a0 for divisível por 4.

Para a divisão por 8:ak...a3a2a1a0 =ak.10k + ...+ a3.1000 + a2.100 + a1.10 + a0 =1000.(ak.10k−3 + ...+ a3) + a2.100 + a1.10 + a0.

Como 1000.(ak.10k−3 + ... + a3) é múltiplo de 8, para que o número ak...a3a2a1a0 seja divisível por 8,precisamos que a2a1a0 seja divisível por 8.

Agora você já é capaz de estabelecer critérios de divisibilidade para 16, 32, 64, etc.

Divisibilidade por 5 e por 10

Usando o mesmo processo, podemos obter um critério para divisibilidade por 5 e por 10.

Um número ak...a1a0 só será divisível por 5 se seu último algarismo também o for. Isto é, se o últimoalgarismo for um 5 ou um 0.

Veja,

ak...a1a0 = akx10k + ...+ a1x10 + a0 =10.(ak.10k−1 + ...+ a1) + a0.

Da expressão acima também se pode concluir que um número só é divisível por 10 quando a0 também for,isto é, quando a0 for igual a 0.

Divisibilidade por 3 e por 9

16 Pet Matemática - UFPR

Page 17: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Agora testaremos a divisibilidade por 3 e 9. Tomamos um número na forma ak...a2a1a0. Ele é equivalentea 10k.ak + ...+ 100.a2 + 10.a1 + a0.

Podemos rearranjar o número da seguinte forma:

(99...9 + 1).ak + ...+ (99 + 1).a2 + (9 + 1).a1 + a0 =99...9.ak + ...+ 99.a2 + 9.a1 + (ak + ...+ a2 + a1 + a0)

Note que podemos enxergar isto como:

3.(33...3.ak + ...+ 33.a2 + 3.a1) + (ak + ...+ a2 + a1 + a0)ou9.(11...1.ak + ...+ 11.a2 + a1) + (ak + ...+ a2 + a1 + a0)

Na primeira expressão, temos 3.(33...3.ak + ...+ 33.a2 + 3.a1), que é múltiplo de 3. Então, concluímos que,para que toda a expressão seja divisível por 3, precisamos que a soma (ak + ... + a2 + a1 + a0) seja divisívelpor 3. Do mesmo modo, na segunda expressão, temos um múltiplo de 9 acrescido de (ak + ...+ a2 + a1 + a0).Portanto, para que um número seja múltiplo de 9, basta que a soma dos seus algarismos sejam divisíveis por 9.

Antes de prosseguir com os critérios de divisibilidade, vamos introduzir o conceito de número primo.

Números primos e números compostos

Um número que só tem dois fatores positivos distintos, o 1 e ele próprio, é chamado número primo. Oúnico divisor diferente de 1 de um número primo é o próprio número. Os números diferentes de 1 e que nãosão primos são chamados de números compostos. Um teorema importante sobre este assunto é o chamadoTeorema Fundamental da Aritmética, que diz que podemos escrever qualquer número natural diferente de 1como produto de números primos. Está é a chamada decomposição em números primos.

Exercícios:

1.Veri�que se os números abaixo são primos ou compostos. Caso sejam compostos, decomponha-os emfatores primos.

a)131b)105c)35d)43e)41f)1001g)652h)89

2.A expressão n2 + n+ 41 resulta num número primo para todo n natural. Verdadeiro ou falso? Justi�que.

3) Qual o maior número primo? Tal número existe?

Agora, com a idéia de número composto, �ca fácil averiguar a divisibilidade de vários outros números.Vejamos:

Divisibilidade por 6Veja que a decomposição em fatores primos de 6 é 2x3.É natural dizer que um número, para ser múltiplo de 6, deve ser também de 2 e de 3. Ora, para um número

ser divisível por 6, então, basta que satisfaça, simultaneamente, os critérios de divisão por 2 e por 3.Desta forma, �ca fácil estabelecer critérios para a divisibilidade da maioria dos números compostos. Basta

utilizar os mesmo critérios para os números de alguma de suas decomposições, mas desde que estes fatores sejamprimos entre si.

Por exemplo, vejamos a divisibilidade por 18:O conjunto dos divisores de 18 é D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18. Podemos, de acordo com nosso interesse, escrever

18 de três formas distintas:

18 = 1.1818 = 2.9

17 Pet Matemática - UFPR

Page 18: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

18 = 3.6A primeira forma, obviamente, de nada ajuda. Vejamos as outras duas:

Podemos inferir, então, que um número será divisível por 18 quando for, ao mesmo tempo, divisível por 2 epor 9? E por 3 e por 6?

Veja: 2 e 9 são primos entre si e, portanto, têm todos os divisores (com exceção do 1 e −1, que são divisoresde qualquer número) distintos. Já 3 e 6 não são primos entre si, pois têm divisores comuns além de 1 e −1.Veja que ao veri�car se um número é divisível por 6 estamos veri�cando também se ele é divisível por 3. Logo,impor as duas condições de divisibilidade é como impor apenas uma delas. Já quanto a 2 e 9, ao veri�carse um número é divisível por um destes fatores não implicará na resposta para o outro, isto é, são respostasindependentes. Então, um critério que se pode estabelecer para divisibilidade em números compostos é o dedivisibilidade por fatores que construam, pela multiplicação, o número em questão, e que sejam primos entre si.

Exemplo: Veri�car divisibilidade por 12.Basta veri�car a divisibilidade por 3 e 4, pois 3.4 = 12 e 3 e 4 não têm divisores comuns. E quanto a 2 e 6?

Veja que, apesar de 2.6 = 12, o próprio 6 é divisível por 2 e por 6, mas não por 12. Isto porque 2 é divisor de 2e também de 6.

Agora que temos como veri�car a divisibilidade de números compostos, os critérios de divisibilidade quedevem ser buscados se restringem aos casos em que o divisor é um número primo.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do algarismo das unidades e o número sem oalgarismo das unidades for divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo.

Da hipótese, ak...a2a1 é divisível por 7. Escrevemos

ak...a1a0 = 10ak...a1 + a0.

Por hipótese, podemos escrever ak...a2a1 − 2a0 = 7k, sendo k um inteiro.Então

ak...a1 = 7k + 2a0.

Substituindo na outra relação,

ak...a1a0 = 10(7k + 2a0) + a0 = 70k + 21a0.

E pela propriedade, da adição de dois inteiros múltiplos de 7 obtemos um múltiplo de 7, e se veri�ca aproposição.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par (Sp) menos a soma dos algarismosde ordem ímpar (Si) for um número divisível por 11.

ak...a4a3a2a1a0 =10kak + ...+ 104a4 + 103a3 + 102a2 + 10a1 + a0 =10kak + ...+ (9999 + 1)a4 + (1001− 1)a3 + (99 + 1)a2 + (11− 1)a1 + a0 =a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − ...+ /− ak + 11a1 + 99a2 + 1001a3 + 9999a4 + ...+ cak, sendo c o coe�ciente de ak,

um múltiplo de 11. O sinal de ak varia conforme k seja par ou ímpar.

Outro critério que podemos utilizar é o seguinte:

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre o número obtido excluindo-se o algarismo das unidadese o algarismo das unidades for divisível por 11.

ak...a1a0 = 10ak...a1 + a0A hipótese é que ak...a1 − a0 é divisível por 11.Então escrevemos:

ak...a1 − a0 = 11k, sendo k um inteiro.ak...a1 = 7k + a0.

Substituindo na primeira igualdade:

ak...a1a0 = 10(11k + a0) + a0

ak...a1a0 = 110k + 11a0, que é divisível por 11.

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Page 19: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o últimoalgarismo, resultar um número divisível por 13.

Temos por hipótese que ak...a1 + 4a0 é divisível por 13.Então, escrevemos ak...a1 + 4a0 = 13k, sendo k um inteiro.

ak...a1 = 13k − 4a0

ak...a1a0 = 10ak...a1 + a0 = 10(13k − 4a0) + a0 = 130k − 39a0.

O número 1001 é curioso. A sua fatoração em primos é 1001 = 7× 11× 13. Esta igualdade proporciona umcritério de divisibilidade por 7 por 11 e por 13, que é o seguinte:

Um número ak...a3a2a1a0 é divisível por 7, por 11 ou por 13 se e somente se a diferença entre o númeroak...a3e o número a2a1a0 é divisível por 7, 11 ou 13, respectivamente.

Escrevendo ak...a3a2a1a0 = 1000ak...a3 + a2a1a0.Temos que ak...a3a2a1a0 = 1001ak...a3 − (ak...a3 − a2a1a− 0).

Outro método, que serve como critério de divisibilidade para o 7, 11 e 13, simultaneamente, funciona daseguinte forma:

Dado um número ak...a1a0, agrupam-se os dígitos 3 a 3, começando da direita e somando e subtraindosucessivamente; chega-se a um valor. Se o valor encontrado for divisível por 7 ou por 11 ou por 13 o númeroak...a1a0 também será.

Usando o mesmo processo para determinar a divisibilidade por 7, 11 e 13, podemos descobrir critérios paravários outros números.

Vejamos alguns:

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número semeste último algarismo, proporcionar um número divisível por 17.

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número sem este últimoalgarismo, proporcionar um número divisível por 19.

Um número é divisível por 23 quando o sétuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número sem esteúltimo algarismo, proporcionar um número divisível por 23.

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número sem esteúltimo algarismo, proporcionar um número divisível por 29.

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número sem esteúltimo algarismo, proporcionar um número divisível por 31.

Um número é divisível por 41 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número semeste último algarismo, proporcionar um número divisível por 41.

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número semeste último algarismo, proporcionar um número divisível por 49.

Exercícios:

1. Construa um critério de divisibilidade para os seguintes números inteiros:

a) 15b) 20c) 21d) 25e) 32f) 36

2. Veri�que a divisibilidade dos números a seguir pelos divisores indicados.

a) 658 por 7b) 658 por 11c) 658 por 13d) 273 por 7e) 273 por 11

19 Pet Matemática - UFPR

Page 20: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

f) 273 por 13g) 343 por 49h) 59764 por 31i) 59764 por 29j) 64645 por 29k) 1681 por 41l) 1861 por 41

3. Descubra um critério de divisibilidade para 43.

1.5 Aritmética Modular

Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceitode congruência. Nesta seção, vamos lidar com este conceito e mostrar que ele está presente no nosso dia a diae muitas vezes nem nos damos conta disso.

Vamos começar analisando a tabela a seguir. Nela, os números de 0 a 44 estão dispostos em 5 colunas. Seráque existe alguma relação entre eles?

0 1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 1415 16 17 18 1920 21 22 23 2425 26 27 28 2930 31 32 33 3435 36 37 38 3940 41 42 43 44

Exercício 3 Acrescentando alguns números naturais nesta tabela, em que coluna você colocaria:o número 57?o número 93?o número 101?o número 558?o número 9.999.999.999?

Exercício 4 Qual o número que �caria imediatamente abaixo do 44? E do 101?

Exercício 5 Como você descreveria os números da coluna do 0?

Exercício 6 Se você somar dois números quaisquer da coluna do 0, em que coluna está o resultado?

Exercício 7 Como você descreveria os números das demais colunas?

Exercício 8 Se você escolher um número da coluna do 0 e um número da coluna do 2, em que coluna estaráa soma desses números?

Exercício 9 Na tabela a seguir, some os números de uma coluna com os de outra da tabela apresentada noinício da aula e preencha em que coluna daquela tabela está o resultado. Algumas casas já estão preenchidas,outras �caram para você:

+ mod 5 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄0̄ 1̄1̄2̄ 4̄3̄4̄ 3̄

20 Pet Matemática - UFPR

Page 21: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

A notação 0̄ signi�ca que não estamos tratando apenas do zero, mas sim, de todos os números que seencontram na coluna do zero.

Essa tabela é chamada de adição módulo 5. Quando dois números têm o mesmo resto quando divididos por5, dizemos que eles são congruentes módulo 5.

Os números congruentes módulo 5 são aqueles que estão na mesma coluna da primeira tabela. Em geralescrevemos 53 ≡ 48 mod5. Isto quer dizer que o resto de 53 por 5 é o mesmo de 48 por 5.

Dizer que 53 ≡ 48 mod 5 é o mesmo que dizer que 53− 48 é múltiplo de 5.

Exemplo:

150 ≡ 30 mod5, pois 150− 30 = 120 e 120 é múltiplo de 5.

Exercício 10 Mostre que 156 ≡ 21 mod 5.

Exercício 11 Mostre que 8888 ≡ 3333 mod 5.

Exercício 12 Mostre que 15801 ≡ 4576 mod 5.

Podemos estender a tabela para diferentes números de coluna. Por exemplo, se montarmos uma tabela com7 colunas, então a relação de congruência será módulo 7, ou seja, dois números serão congruentes módulo 7 se,quando divididos por 7, obtiverem mesmo resto.

Exercício 13 O ponteiro do relógio marca 7:00 horas. Se passarem 10 horas, que horas serão? E se passarem89 horas? Há alguma relação de congruência com o ponteiro do relógio?

Exercício 14 Se hoje é segunda-feira, que dia da semana será daqui a 20 dias? Qual a relação de congruênciapresente nos dias da semana?

Exercício 15 Num avião, a numeração das poltronas está disposta como na �gura a seguir:

No número do seu bilhete de passagem está marcado a poltrona 133. Qual deve ser a numeração da poltronado(a) seu(sua) namorado(a) para que ele(a) sente imediatamente ao seu lado? E se a poltrona fosse a 108?

Exercício 16 Dê um exemplo onde podemos encontrar congruência.

Na tabela apresentada no início da aula, era possível enquadrar qualquer número natural mais o zero emalguma das 5 colunas. Será que poderíamos estender a tabela para números negativos?

Uma forma de encaixar os negativos na tabela seria pensando na ordem que estes números estão dispostosna reta real, desta forma, estenderíamos a tabela para trás. Veja como �caria:

−15 −14 −13 −12 −11−10 −9 −8 −7 −6−5 −4 −3 −2 −10 1 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 1415 16 17 18 19

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Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Note que 6 ≡ −4 mod 5, pois 6− (−4) = 10 e 10 é múltiplo de 5. Também temos que 12 ≡ −8 mod 5, pois12− (−8) = 20 e 20 é múltiplo de 5. Logo, ainda podemos falar em módulo 5 para números negativos.

Uma forma simples de localizar números negativos na tabela é somar o divisor ao número, até que este �quepositivo. Assim, o número negativo estará na mesma coluna que o número obtido da soma.

Exemplo: Em que coluna estará o número −1637?Solução: Se fosse -1635 estaria na coluna zero, pois seria múltiplo de 5. Mas -1635 = 5 x (-327) - 2. Logo,

nosso resto é -2. Para saber em que coluna ele estará, basta somar 5 ao resto, pois (-2) + 5 = 3 está na mesmacoluna que -2. Portanto, -1637 está na coluna 3.

Exercício 17 Em que coluna da tabela acima você colocariao número -19?o número -145?o número -502?

Exemplo: Qual o resto de 712 : 4?Solução: Poderíamos calcular 712 = 13841287201 e veri�car por meio de contas que o resto é 1. Outra forma

seria usando o conceito de congruência.Veja que 7 ≡ 3 mod 4, ou seja, 7 e 3 têm o mesmo resto quando divididos por 4. Logo, podemos trabalhar

com 312:312 = (32)6 = 96 Mas 9 ≡ 1 mod 4. Logo, 96 ≡ 16 mod 4. Daí, segue que 712 ≡ 1 mod 4, ou seja, o resto de

712 : 4 é 1.

Exercício 18 Diga se é verdadeiro ou falso:

1. 19 ≡ 7 mod 2

2. 52 ≡ −18 mod 10

3. Ache todos os inteiros x tal que 0 < x < 15 e 3 · x ≡ 6 mod 15

4. Dê todos os inteiros positivos x menores que 100, tais que x ≡ 8 mod13

5. Se 1066 ≡ 1776 mod m, quais são os possíveis valores de m?

6. Ache o resto da divisão 250 : 7

7. Qual o resto de 415 : 7?

1.6 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum

Suponha que tenhamos que remeter duas encomendas de sabonete para dois compradores diferentes. Um pediu420 sabonetes e outro 480 sabonetes. Queremos fazer uma embalagem que sirva para os dois compradores.Buscando usar poucas embalagens, colocando o maior número de sabonetes possível em cada embalagem, qualo número de sabonetes que será colocado em cada embalagem, e qual o número de embalgens será enviado acada comprador?

Procuramos inicialmente um número que seja divisor de 420 e 480, pois queremos fazer embalagens com omesmo número de sabonetes para cada comprador. Isto é, procuramos um fator comum entre 480 e 420.

Poderíamos fazer embalagens com 5 sabonetes cada, pois 5 é fator comum a 420 e 480. Assim, o primeirocomprador receberia 84 embalagens, e o segundo 96 embalagens. Mas estamos querendo usar o menor númeropossível de embalagens.

Sendo assim, o que buscamos primeiramente não é apenas um divisor comum de 420 e 480, mas sim o maiordivisor possível destes dois números.

Analisando a fatoração em primos de 420 e 480 encontramos:

420 = 22 × 3× 5× 7

480 = 25 × 3× 5

Os fatores comuns entre os dois números são 2, 3 e 5. Mas observe que que 2 aparece duas vezes em 420 e5 vezes em 480. Sendo assim, 22 é fator comum aos dois números.

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Page 23: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Sendo assim, o maior divisor comum de 420 e 480 é 22 × 3× 5 = 60. Assim, serão feitas embalagens com 60sabonetes cada, totalizando 15 embalagens. O primeiro comprador receberá então 7 embalágens, e o segundo 8embalagens.

Notação: Usaremos a | b para indicar que a é um divisor de b.

De�nição 2 Um inteiro a é um divisor comum de b e c se a | b e a | c. Desde que existe um número �nito dedivisores de um inteiro não nulo, existe apenas um número �nito de divisores comuns entre b e c, exceto no casoem que b = c = 0. Se ao menos um, entre b e c é não nulo, o maior entre seus divisores comuns é chamado omáximo divisor comum entre b e c, e é denotado por mdc(b,c). Similarmente, denotamos o máximo divisorcomum g dos inteiros b1, ..., bn como mdc(b1, ..., bn).

Exemplos:1. Calcular mdc(30,45)2. Calcular mdc(84,72,180)Sabemos que para encontrar o mdc entre dois números, basta olhar para a fatoração de cada um deles em

fatores primos. Mas há uma maneira de facilitar os cálculos.Suponha que queremos calcular o mdc(168,49). O algoritmo da divisão nos diz que:

168 = 3× 49 + 21

Estamos buscando um divisor de 168 e 49. Pela equação acima, percebemos que um número que divide simul-taneamente 168 e 49 divide também 21. Assim podemos resolver o problema buscando o mdc entre 49 e 21.Mas

49 = 2× 21 + 7

Usando raciocínio análogo, procuremos o mdc(21,7). Mas como

21 = 3× 7

o mdc(21,7) é 7, donde o mdc entre 168 e 49 é 7.Em vista deste exemplo, podemos obter os seguintes resultados:

Lema 1 Sejam a e b inteiros, b 6= 0 e sejam q e r o quociente e resto, respectivamente, da divisão de a por b.Então . mdc(a, b) = mdc(b, r).

Demonstração 1 Pelo algoritmo da divisão, podemos escrever a = bq + r. Seja x um divisor comum de a eb, então a = xa1 e b = xb1. Como r = a − bq, substituindo a por xa1, e b por xb1, obtemos r = xa1 − xb1q,donde r = x(a1 − b1q), e x divide r. Disto, os divisores comuns de a e b são divisores comuns de b e r.Façamos agora a mesma análise para b e r. Seja y um divisor comum de b e r. Então b = yb2, r = yr1.Disto a = bq + r = yb2q + yr1 = y(b2q + r1), e y divide a, donde os divisores comuns de b e r são divisoresde a e b. Disto, o conjunto de divisores de a e b é igual ao conjunto de divisores de b e r, e em particular,mdc(a, b) = mdc(b, r).

Teorema 1 Dados inteiros b e c, com b, c > 0, aplicando o algoritmo da divisão repetidas vezes, obtem-se asérie de equações:

b = cq1 + r1, 0 < r1 < c,

c = r1q2 + r2, 0 < r2 < r1

...

rj−1 = rjqj+1

O mdc(b, c) é rj, o menor resto não nulo no processo de divisão.

Observe que tal teorema é uma aplicação sucessiva do lema anterior.

Analisemos agora uma segunda classe de problemas que podem ser resolvidos analisando a fatoração dosnúmeros em primos.

Três amigos passeiam de bicicleta, na mesma direção, em torno de uma pista circular. Para dar uma voltacompleta um deles demora 15 minutos, outro demora 18 minutos, e o terceiro demora 21 minutos. Eles pertemjuntos, e prometem interromper o passeio quando os três se encontrarem a primeira vez no ponto de partida.Após quantos minutos eles param o passeio?

23 Pet Matemática - UFPR

Page 24: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Já que eles darão voltas completas, o tempo gasto será múltiplo de 15 minutos, por causa do primeiroamigo. Será múltiplo também de 18 e 21 minutos, devido aos outros dois amigos. Procuramos portanto ummúltiplo comum destes números. Conseguir um múltiplo comum desses números é fácil: basta tomar o número15× 18× 21 = 5670. Mas o que procuramos é o primeiro momento em que os três se encontram, pois após istoo passeio termina. Buscamos portanto o menor múltiplo comum entre 15, 18 e 21.

Analisemos então a decomposição de 15, 18 e 21 em fatores primos:

15 = 3× 5

18 = 2× 32

21 = 3× 7

Um múltiplo comum desses números deve então ter como fatores 3, 5, 2 e 7. A potência mais alta de 2 queprecisamos é 21, pois 2 só aparece uma vez, no número 18. Da mesma forma, a potência mais alta de 3 queprecisamos é 32. Para 5 e 7, a potência mais alta necessária é 51 e 71. Desta forma, o menor múltiplo comumde 15, 18 e 21 é:

2× 32 × 5× 7 = 630

Ou seja, os três amigos terminarão o passeio após 630 minutos.

De�nição 3 Os inteiros a1, a2, ..., an−1, an, todos diferentes de zero, têm um múltiplo comum b se, para cadaai, com i variando de 1 até n, ai | b. O menor dos múltiplos positivo é chamado mínimo múltiplo comum,e é denotado por mmc(a1, ..., an).

Exemplos:1. Calcule o mmc(49,84)2. Calcule o mmc(7,11,13)

Um resultado que pode nos ajudar no cálculo do mmc entre dois números é o seguinte:

Teorema 2 Dados dois números naturais a e b, o produto a×b é igual ao produto do mmc(a, b) pelo mdc(a, b).

Demonstração 2 Na demonstração desse resultado, usaremos os seguintes fatos:

Lema 2 Para qualquer positivo m , mdc(ma,mb) = m×mdc(a, b), bem como mmc(ma,mb) = m×mmc(a, b).

Justi�cativa: Temos que mdc(ma,mb) é igual ao maior fator comum entre ma e mb. Como m é fator comumdos dois números, ele será fator do mdc(ma,mb). Disto, os outros fatores serão os maiores fatores comuns a ae b, isto é, será o mdc(a, b), donde mdc(ma,mb) = m×mdc(a, b).

Usando raciocínio semelhante conclui-se que mmc(ma,mb) = m×mmc(a, b)

Lema 3 Se b | am e mdc(a, b) = 1, então b | m

Justi�cativa: Sendo b divisor de am, então am tem como fator b. Mas sendo mdc(a, b) = 1, então a e b nãotêm nenhum fator em comum, donde b só pode ser fator de m, isto é, b deve dividir m.

Comecemos então nossa demonstração do teorema pelo caso em que mdc(a,b) = 1, onde a e b são númerosnaturais. Temos que mmc(a, b) é um múltiplo de a, digamos ma, com m sendo im inteiro positivo. Como matambém é múltiplo de b, temos que b | ma, e como mdc(a, b) = 1, b | m. Sendo b e m números naturais, seb | m, então b ≤ m, donde ba ≤ ma. Mas ba, sendo um inteiro positivo, não pode ser menor que o mínimomúltiplo comum, então ba = ma = mmc(a, b)

No caso em que mdc(a, b) = g ≥ 1, nós temos mdc(a/g, b/g) = 1. Aplicando o resultado do parágrafoanterior, obtemos:

mmc(a/g, b/g)mdc(a/g, b/g) =a

g

b

g

Multiplicando por g2, e usando os lemas, temos:

g2 ×mdc(a/g, b/g)mmc(a/g, b/g) = ab

→ g ×mdc(a/g, b/g)g ×mmc(a/g, b/g) = ab

→ mdc(a.b)mmc(a, b) = ab.

24 Pet Matemática - UFPR

Page 25: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

Observe que essa a�rmação só é válida para dois números. Para mais números, ela pode falhar. Por exemplo,tomando os números 6, 8 e 12, temos:

mdc(6, 8, 12) = 2

mmc(6, 8, 12) = 24

Mas 6× 8× 12 = 576 6= 48 = 2× 24.Exercícios:1. Dados a = 32.19.712, b = 2.35.19.61 e c = 24.192.71, determine:a) mdc(a, b);b) mdc(a, b, c);c) mmc(a, b);d) mdc(b, c);e) mmc(a, c).

2. Seja a ∈ N .a) Determine o mdc(a, a+ 1);b) Quais as possibilidades para o mdc(a, a+ 2)?c) Quais as possibilidades para o mdc(a, a+ 6)?d) Quais as possibilidades para o mdc(a, 3a+ 5)?

3. Diga quais números têm mdc e mmc iguais.

4. Determine todos os possíveis números naturais n tais que:a) mmc(n, 54) = 54;b) mmc(n,26) = 26.

5. Ache todos os possíveis pares de números cujo produto é 2160 e o mdc é 20.

6. Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente12, 30 e 84 anos, respectivamente. Qua nto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltema ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?

7. O mmc de dois números naturais é 300. Dividimos o mmc por a e b, os quocientes obtidos são tais queseu produto vale 50. Determine todos os pares de números a e b que satisfazem estas condições.

8. Três peças de tecido medem respectivamente 180 m, 252 m e 324 m de comprimento. Pretende-se dividirem retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o número de retalhos sejao menor possível? Em quantos pedaços as peças serão divididas?

9. Considere a e b números naturais não primos entre si, cujo produto é 240. Determine mdc(a, b). (obs.:dois números a, b são primos entre si se mdc(a, b) = 1).

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Page 26: III Brincando de Matemático

Capítulo 1. Números Naturais e Inteiros

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Page 27: III Brincando de Matemático

Capítulo 2

Os Números Reais

Em uma longa e hesitante evolução, o zero, os inteiros negativos e as frações foram gradualmente aceitos nomesmo nível de importância que os inteiros positivos, e hoje as regras de operação com estes números sãodominadas pela média das crianças com idade escolar. Porém para adquirir completa liberdade em operaçõesalgébricas, devemos ir além e incluir �quantidades irracionais e complexas no conceito de número". Embora taisextensões do conceito de número natural tenham estado em uso por séculos e se encontrarem na base de toda aMatemática moderna, apenas em época recente foram postas em bases logicamente seguras. No que se segue,faremos um relato deste desenvolvimento.

2.0.1 Números Racionais como Instrumento de Medida

Os inteiros são abstrações do processo de contar coleções �nitas de objetos. Porém na vida diária, precisamosnão apenas contar objetos individuais, mas também medir quantidades tais como comprimento, áreas, pesos etempos. Se desejamos operar livremente com as medidas destas quantidades, que são capazes de subdivisõesarbitrariamente pequenas, é necessário ampliar o domínio da Aritmética para além dos inteiros. O primeiropasso consiste em reduzir o problema de medir ao problema de contar. Em primeiro lugar, escolhemos, demaneira bastante arbitrária, a unidade de medida - pé, jarda, polegada, libra grama ou segundo, dependendodo caso à qual atribuimos a medida 1. Em seguida, contamos o número destas unidades que juntas, construirãoa quantidade a ser medida. Uma dada massa de chumbo pode pesar exatamente 54 quilos. Mas, de modogeral, o processo de contar unidades não é su�ciente, pois não podemos dizer precisamente o que é um pesoentre 53 e 54 quilos, só podemos dizer que ele esta entre estas duas unidades de medida. Quando isto ocorre,damos um outro passo e introduzimos novas subunidades, obtidas mediante a divisão da unidade original emum número n de partes iguais, como por exemplo um quilo que é dividido em 1000 gramas e um metro divididoem 100 centímetros ou uma hora em 60 minutos. No simbolismo da Matemática, entretanto, uma subunidadeobtida pela divisão da unidade original em n partes iguais é representada pelo símbolo 1/n e se tomarmos umaquantidade m destas subunidades denotamos por m/n, (este símbolo é denominado fração ou razão). Quando,m e n são números naturais, o símbolo m/n é denominado de número racional.

Podemos chamar de números estes símbolos porque eles obedecem às mesmas leis que orientam as operaçõescom os números naturais. Para este �m de�nimos a adição, multiplicação e igualdade de números racionaispelas conhecidas expressões:

a

b+c

d=ad+ bc

bd,

a

b· cd

=ac

bd,

a

a= 1, com a 6= 0,

a

b=c

d⇐⇒ ad = bc

sendo que a,b,c,d inteiros quaisquer, desde que o denominador de cada expressão não seja 0. Veja os exemplosabaixo:

23

+45

=2 · 5 + 3 · 4

3 · 5=

2215,

23· 4

5=

2 · 43 · 5

=815,

33

= 1,812

=69

=23

Vale lembrar que tais de�nições são impostas a nós se quisermos utilizar os números racionais como medidase mais, como base nestas de�nições podemos mostrar que as leis fundamentais da Aritmética dos númerosnaturais continuam válidas no domínio dos números racionais:

27

Page 28: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

p+ q = q + p (lei comutativa da adição)p+ (q + r) = (p+ q) + r (lei associativa da adição)

pq = qp (lei comutativa da multiplicação)p(qr) = (pq)r (lei associativa da multiplicação)

p(q + r) = pq + pr (lei distributiva)

Por exemplo: a prova da lei comutativa da adição para frações é apresentada pelas igualdades

a

b+c

d=ad+ bc

bd=cb+ da

db=c

d+a

b

das quais o primeiro e último sinais de igualdade correspondem as de�nições feitas anteriormente, enquantoo do meio é uma consequência das leis comutativas da adição e da multiplicação de números

naturais1.

2.0.2 Necessidade Aritmética dos Números Racionais

Além da razão �prática", a introdução dos números racionais tem outra mais intrínseca que discutiremos agorade maneira bastante independente da anterior e que possui um caráter muito mais matemático e profundo.

Na aritmética comum dos números naturais podemos sempre realizar as duas operações fundamentais: adiçãoe multiplicação. Porém, as �operações"inversas de subtração e divisão nem sempre são possíveis. A diferençab−a de dois inteiros a,b é um número inteiro c de tal modo que a+ c = b; isto é, trata-se da solução da equaçãoa + x = b, mas se estamos falando apenas em números naturais o símbolo b − a tem um signi�cado apenas seb > a, porque somente assim a equação a + x = b tem um número natural x como solução. Um grande passofoi dado no sentido remover esta restrição quando se introduziu do símbolo 0, de�nindo-se a − a = 0 e maisimportante ainda foi quando, graças a introdução dos símbolos −1,−2,−3, . . . , juntamente com a de�nição

b− a = −(a− b)

para o caso de b < a, assegurou-se que a subtração poderia ser realizada sem restrições no domínio dos in-teiros positivos e negativos. Para incluir os novos símbolos −1,−2,−3, . . . , em uma Aritmética ampliada queabrangesse tanto inteiros positivos como negativos, devemos naturalmente de�nir operações com eles de talforma que as regras originais de operações aritméticas sejam preservadas. Por exemplo, a regra

(−1)(−1) = (1)

de�nida para a multiplicação de inteiros negativos é uma consequência do nosso desejo de preservar a leidistributiva a(b + c) = ab + ac. Porque se tivéssemos determinado que (−1)(−1) = (−1), então, ao de�nirmosa = −1, b = 1, c = −1, deveriamos ter tido −1(1 − 1) = −1 − 1 = −2, enquanto que, por outro lado, temosefetivamente −1(1 − 1) = −1 · 0 = 0. Os matemáticos levaram muito tempo para compreender que a regra desinais, juntamente com todas as outras de�nições que se referem aos inteiros negativos e frações, não pode serprovada. Estas de�nições são criadas por nós para alcançarmos liberdade nas operações, preservando ao mesmotempo as leis fundamentais da Aritmética.

Da mesma forma que a introdução dos inteiros negativos e do zero abre o caminho para a subtração semrestrições, a introdução dos números fracionários remove o obstáculo aritmético análogo a divisão. O quocientex = b/a de dois inteiros a e b, de�nido pela equação

ax = b

existe como um inteiro somente se a for um fator de b (b é divisível por a). Se este não for o caso, como porexemplo, se a = 2, b = 3, simplesmente introduzimos um novo símbolo b/a que chamamos de fração, sugeitoà regra de que a(b/a) = b de modo que b/a seja solução da equação em destaque acima �por de�nição". Ainvenção das frações como novos símbolos numéricos torna a divisão possível quase sem restrição, este quase sedeve ao fato de não de�nirmos a divisão por zero.

O signi�cado puramente aritmético do sistema de todos os números racionais - inteiros e frações, positivose negativos - �ca agora evidente. Com efeito, neste domínio de número ampliado, não apenas as leis formais:associativa, comutativa e distributiva prevalecem, mas as equações a + x = b e ax = b agora têm soluções,x = b − a e x = b/a, sem restrição, desde que no último caso a 6= 0. Em outras palavras, no domínio dos

1Note aqui como é contruída a matemática! Só podemos fazer esta demonstração usando propriedades já de�nidas no conjunto

numérico original ,ou seja, Naturais

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Page 29: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

números racionais as chamadas operações racionais - adição, subtração, multiplicação e divisão - podem serrealizadas sem restrições e todas elas sempre resultaram em um número deste conjunto.

Ampliar o domínio com a introdução de novos símbolos, de tal forma que as leis válidas para o domíniooriginal prevaleçam no domínio maior é um aspecto do processo matemático caracterizado como generalização.A generalização dos números naturais aos racionais satisfaz tanto a necessidade teórica de afastar as restriçõesna subtração e na divisão, quanto a necessidade prática de números para expressar os resultados de medidas.Hoje em dia lidamos com os números 0,−2, 3/4 , por exemplo, de forma muito natural, mas é difícil acreditarque até o século XVII não eram geralmente creditados como a mesma legitimidade que a dos inteiros positivos,e que eram utilizados, quando necessário, com uma certa dose de dúvida e apreensão. A inerente tendênciahumana a apegar-se ao �concreto", conforme exempli�cado pelos números naturais, foi responsável por estalentidão em dar um passo inevitável. Somente na esfera do abstrato um sistema satisfatório de aritmética podeser criado.

2.1 Números e Geometria

Existem, em Matemática, conceitos que parecem muito simples a uma visão super�cial, mas que, submetidos auma análise mais cuidadosa, revelam aspectos verdadeiramente surpreendentes.

Vamos tratar aqui da reta na sua representação numérica em termos das coordenadas de seus pontos. Paramostrar que esses conceitos de reta e de número não têm uma simplicidade tão inocente como parecem revelara uma visão menos profunda. Exploremos alguns fatos notáveis e inesperados, que estão ligados à primeiragrande crise do desenvolvimento da Matemática, ocorrida no �nal do 5.◦ século a.C.

Uma questão com que lidavam os matemáticos gregos daquela época era a de comparar grandezas da mesmaespécie, como dois segmentos de reta, duas áreas ou dois volumes. No caso de dois segmentos retilíneos AB eCD, dizer que a razão AB

CD é o número racional mn , signi�cava para eles (e ainda signi�ca para nós) que existiaum terceiro segmento EF tal que AB fosse m vezes EF e CD fosse n vezes esse mesmo segmento EF . Na Fig.1 ilustramos essa situação com m = 8 e n = 5.

No tempo de Pitágoras (580 - 500 a.C. aproximadamente) - e mesmo durante boa parte do 5◦. século a.C.- pensava-se que os números racionais fossem su�cientes para comparar segmentos de reta; isto é, dados doissegmentos AB e CD, seria sempre possível encontrar um terceiro segmento EF contido um número inteiro devezes em AB e outro número inteiro de vezes em CD, situação esta que descrevemos dizendo que EF é umsubmúltiplo comum de AB e CD. Uma simples re�exão revela que essa é uma idéia muito razoável. A�nal, seEF não serve, podemos imaginar um segmento menor, outro menor ainda, e assim por diante. Nossa intuiçãogeométrica parece dizer-nos que há de existir um certo segmento EF , talvez muito pequeno, mas satisfazendoaos propósitos desejados. Na Fig. 2 ilustramos uma situação com segmento EF bem menor que o da Fig. 1.O leitor deve ir muito além, imaginando um segmento EF tão pequeno que nem possa mais desenhar, para seconvencer, pela sua intuição geométrica, da possibilidade de sempre encontrar um submúltiplo comum de ABe CD.

Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis, justamente por ser possível medí-los ao mesmo tempo,com a mesma unidade EF (faremos uma de�nição mais formal na seção 3). Entretanto, não é verdade quedois segmentos quaisquer sejam sempre comensuráveis. Em outras palavras, existem segmentos AB e CD sem

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Capítulo 2. Os Números Reais

unidade comum EF , os chamados segmentos incomensuráveis. Esse é um fato que contraria nossa intuição ge-ométrica, e por isso mesmo a descoberta de grandezas incomensuráveis na Antigüidade representou um momentode crise no desenvolvimento da Matemática.

Foram os próprios pitagóricos que descobriram grandezas incomensuráveis, provavelmente entre 450 e 400a.C.; e, ao que tudo indica, isto se fez através de um argumento geométrico, como o que apresentaremos aseguir, demonstrando que o lado e a diagonal de um quadrado são segmentos incomensuráveis.

Na Fig. 3 representamos um quadrado com diagonal δ = AB e lado λ = AC. Suponhamos que d e l sejamcomensuráveis. Então existirá um terceiro segmento que seja submúltiplo comum de δ e λ. Fazemos agoraa seguinte construção: traçamos o arco CD com centro em A e o segmento ED tangente a esse arco em D,de sorte que AD = AC. Então, nos triângulos retângulos ACE e ADE, os catetos AC e AD são iguais e ahipotenusa AE é comum, logo são também iguais os catetos CE e DE (= BD).

Portanto

δ = AB = AD +BD = λ+BD

λ = BC = BE + EC = BE +BD

ou seja

δ = λ+BD (2.1)

λ = BE +BD (2.2)

Como o segmento é submúltiplo comum de δ e λ, concluímos, por (2.1), que também é submúltiplo de BD. Por(2.1) e por (2.2), segue-se que também é submúltiplo de BE. Provamos assim que se houver um segmento queseja submúltiplo comum de δ = AB e λ = AC, então o mesmo segmento σ será submúltiplo comum de BE eBD, segmentos esses que são a diagonal e o lado do quadrado BDEF . Ora, a mesma construção geométricaque nos permitiu passar do quadrado original ao quadrado BDEF pode ser repetida com este último parachegarmos a um quadrado menor ainda; e assim por diante, in�nidamente.

Esses quadrados vão se tornando arbitrariamente pequenos nesse processo, pois, como é fácil ver, as dimen-sões de cada quadrado diminuem em mais da metade quando passamos de um deles a seu sucessor.

Dessa maneira, provamos que o segmento deverá ser submúltiplo comum do lado e da diagonal de umquadrado tão pequeno quanto desejemos.

Evidentemente, isso é um absurdo!Somos, pois, levados a rejeitar a a�rmação inicial de que o lado AC e a diagonal AB do quadrado original

sejam comensuráveis.Concluímos que o lado e a diagonal de qualquer quadrado são grandezas incomensuráveis, como queríamos

demonstrar.A descoberta dos incomensuráveis representou, no 5o. século a.C., uma derrota para os pitagóricos. De fato,

para eles o número era a essência de tudo. Eles acreditavam na possibilidade de explicar todos os fenômenos domundo sensível em termos dos números e de suas relações, tanto na Geometria como na Música, na Astronomiaou na Física, en�m, o número seria a essência última do ser e de todos os fenômenos. Mas por número elesentendiam apenas o que chamamos hoje de �números naturais�, ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, .... Nem asfrações eram números, já que elas apareciam como relações entre grandezas da mesma espécie. Agora quehaviam sido descobertas grandezas incomensuráveis, estava claro que os números (naturais) eram insu�cientesaté mesmo para de�nir a razão entre duas grandezas, o que se constituía num sério entrave à Filoso�a Pitagórica.

Ao mesmo tempo em que essas coisas aconteciam, outros argumentos propostos pelos �lósofos da época -dentre os quais os de Zeno são os mais famosos - também apontavam di�culdades na suposta harmonia entrea Geometria e os números. Tudo isso culminou numa crise no desenvolvimento da Matemática, crise essa que

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Capítulo 2. Os Números Reais

só foi de�nitivamente superada com a criação da teoria dos números reais (racionais e irracionais) no séculopassado, devido, sobretudo aos trabalhos do matemático alemão Richard Dedekind (1831-1916).

Uma conseqüência da existência de grandezas incomensuráveis é a existência de pontos na reta sem coorde-nadas racionais.

De fato, com referência à Fig. 4, basta tomar OP = AO, onde AO é a diagonal de um quadrado de lado unitárioOU . Como OP e OU são incomensuráveis, não é possível expressar a razão OP

OU como um número racional.Que número seria a coordenada de P? Pelo teorema de Pitágoras,

OA2 = OU2 + UA2

Como AO = OP e UA = OU = 1, obtemos

OP 2 = 2OU2 = 2

ou sejaOP =

√2

É essa a coordenada de P , tomando OU como unidade de comprimento.É interessante analisar essas questões do ponto de vista moderno dos números como coordenadas dos pontos

de uma reta. Para maior simplicidade, vamos restringir-nos apenas a uma semi-reta OU , tomando o segmentoOU como unidade de comprimento (Fig.5).

Então, todo ponto P da semi-reta, que não seja a origem O, tem coordenada positiva x, que é a razão OPOU .

Evidentemente, se todos os pares de segmentos OU e OP fossem comensuráveis, bastariam os númerosracionais não-negativos para caracterizar os pontos da semi-reta, isto é, os números da forma m

n , com m e ninteiros, m ≥ 0 e n > 0. E é bom observar que isso condiz muito bem com nossa intuição geométrica: a�nal,esses números �cam densamente distribuídos ao longo da semi-reta, de tal forma que entre dois deles há sempreuma in�nidade de números do mesmo tipo. Assim, entre os pontos A e B de coordenadas 7 e 8 existem 9números do tipo

7 +n

10com n variando de 1 a 9. Isto porque dividimos o intervalo AB em 10 subintervalos de comprimento 1

10 cadaum (Fig. 6). Mas podemos dividir esse intervalo em 100 subintervalos, cada um de comprimento 0, 01; ou 1000subintervalos, cada um de comprimento 0, 001;

e assim por diante. Se, digamos, adotarmos a divisão em 1.000.000 de subintervalos iguais, entre A e Bencontraremos 999.999 pontos com coordenadas racionais do tipo

7 +n

1000000

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Capítulo 2. Os Números Reais

com n variando de 1 até 999999. Na Fig. 6 ilustramos um desses pontos, aquele que tem coordenada 7, 630598.Pois bem, vamos con�ar - ainda que provisoriamente - na suposição de que todos os pontos da semi-reta

tenham coordenadas racionais e ver onde isso nos leva. Uma primeira conseqüência é que os pontos da semi-retaformam um conjunto enumerável (Ver atividade 5), pois o conjunto dos números racionais é enumerável. Vimos

r1 = 1, r2 =12, r3 = 2, r4 =

13, r5 = 3, ...,

como ilustra a Fig. 7.

Faremos agora uma cobertura da semi-reta por meio de segmentos, da seguinte maneira: cobrimos o pontor1 com um segmento de comprimento c

2 , centrado em r1; cobrimos r2 com um segmento de comprimento c22 ,

centrado em r2; fazemos o mesmo com r3, utilizando agora um segmento de comprimento c23 ; com r4 utilizamos

um segmento de comprimento c24 ; e assim por diante (Fig. 8). Dessa maneira a semi-reta �cará toda coberta

com uma família in�nita de segmentos.

Vamos agora somar os comprimentos dos segmentos dessa família. Por simplicidade - e para enfatizar a visu-alização geométrica - colocamos os segmentos em �la, um em seguida ao outro e na ordem em que aparecem,como ilustra a Fig. 9. Isso é o bastante para nos convencer de que a soma de todos os seus comprimentos éexatamente igual a c, pois começamos com um segmento de comprimento c

2 , adicionamos sua metade, depois ametade deste último e assim por diante.

O que acabamos de demonstrar é uma impossibilidade! Certamente não é possível cobrir a semi-reta com um afamília de segmentos cuja soma total dos comprimentos seja um número �nito c! (E o número c é arbitrário!)A�nal, a semi-reta tem comprimento in�nito! Para sairmos dessa contradição temos de voltar atrás em nossahipótese inicial de que os pontos da reta numérica têm todos eles coordenadas racionais. Em outras palavras,os números racionais são insu�cientes para marcar todos os pontos de uma reta; ou ainda, em termos maisinteligíveis aos gregos da Antigüidade, existem segmentos AB e CD para os quais é impossível encontrar umsegmento EF que seja submúltiplo comum de AB e CD.

Como se vê, acabamos de estabelecer a existência de segmentos incomensuráveis com um raciocínio típicoda Análise Moderna! Ele certamente causaria, na antigüidade, tanta controvérsia quanto causaram os famososargumentos de Zeno. Talvez mais ainda, pois os argumentos de Zeno foram rebatidos por Aristóteles que, atravésde seus escritos, fê-los chegar até nós. Mas como rebater o argumento que demos acima sobre a cobertura dospontos de coordenadas racionais? Seria necessário admitir a existência de uma in�nidade muito maior (umain�nidade não enumerável) de pontos sem coordenadas racionais! É claro que isto seria totalmente inaceitávelpara quem já tinha sérias objeções ao in�nito enumerável. Mesmo para nós hoje é muito surpreendente que

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Capítulo 2. Os Números Reais

se possa cobrir todos os pontos de coordenadas racionais numa reta com uma família de segmentos cuja somatotal dos comprimentos seja tão pequena quanto desejemos!

Esses pontos da reta sem coordenadas racionais têm por coordenadas números irracionais (desde que essesnúmeros sejam criados!) e

√2 é um deles, como decorre do argumento que demos antes referente à Fig. 4.

No entanto, para completar essa idéia, vamos reproduzir aqui a demonstração desse fato com um argumentopuramente numérico e bem conhecido.

Começamos supondo que existisse uma fração irredutível mn tal que√

2 = mn . Então

2 =m2

n2portanto m2 = 2n2

daqui segue-se que m2 é um número par, portanto o mesmo é verdade para m, isto é, m = 2r, sendo r outronúmero inteiro. Substituindo m = 2r em m2 = 2n2 obtemos

4r2 = 2n2 portanto n2 = 2r2

Mas esta última relação nos diz que n2 é número par, logo n também é par. Chegamos a um absurdo, poismn é fração irredutível, não sendo possível que m e n sejam ambos pares. Somos, assim, forçados a rejeitar asuposição inicial de que

√2 seja um número racional mn .

A demonstração que acabamos de dar está baseada num argumento que, segundo Aristóteles, teria sidousado na descoberta de grandezas incomensuráveis. É um argumento que encerra um alto grau de abstração,razão pela qual muitos historiadores da Ciência acreditam que a descoberta dos incomensuráveis tenha ocorridocom um raciocínio mais concreto, como o argumento geométrico da Fig. 3.

Demonstrações como as que apresentamos acima, da incomensurabilidade do lado e da diagonal do quadrado,ou da irracionalidade de

√2, foram as primeiras demonstrações por redução ao absurdo que se �zeram na

Antigüidade. É notável que por volta de 400 a.C. a Matemática já tivesse alcançado tão avançado grau deso�sticação. O mesmo não aconteceu com outras ciências, como a Física, que somente no século XVII, comos trabalhos de vários cientistas, notadamente Galileu e Newton, alcançaria desenvolvimento comparável ao daMatemática de dois milênios antes.

Finalmente, um último comentário sobre a crise desencadeada com a descoberta dos incomensuráveis. Deimediato isso tornou impossível falar em razão entre duas grandezas quando essas fossem incomensuráveis.

Havia a necessidade de se inventarem os números irracionais, o que só ocorreu nos tempos modernos. Mas osgregos souberam contornar esse problema, logo na primeira metade do 4o. século a.C., e com muita genialidade!Foi Eudoxo (408? - 355? a.C.), da escola de Platão, quem desenvolveu, de maneira brilhante, uma teoriadas proporções, com a qual foi possível superar a di�culdade dos incomensuráveis, usando apenas os númerosinteiros positivos.

2.2 Eudoxo, Dedeking e os Números Reais

2.2.1 Igualdade de Frações

Para facilitar o entendimento do que devemos expor, começamos recordando a de�nição de igualdade defrações. Por simplicidade, só lidaremos com número positivos (inteiros e fracionários); no caso dos inteiros, sãoeles os números naturais 1,2,3,4 etc.

As frações surgem pela insu�ciência dos números naturais no trato de problemas que envolvem divisão empartes iguais. Torna-se então necessário introduzir o conceito de igualdade de frações, soma, subtração, etc. Emparticular, a igualdade de duas frações deve traduzir o fato de que elas se reduzem, por simpli�cação, à mesmafração irredutível. Exemplo:

830

=4× 215× 2

=415

1245

=4× 315× 3

=415

de sorte que:

830

=1245

De�nimos então a igualdade de frações como segue.

33 Pet Matemática - UFPR

Page 34: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

De�nição 4 Diz-se que duas frações mn e m′

n′ são iguais se mn′ = m′n, isto é:

m

n=m′

n′⇐⇒ mn′ = m′n

Não vamos nos alongar numa construção dos números racionais. Basta ter em mente que eles são represen-tados pelas frações; que frações iguais representam o mesmo número racional.

2.2.2 Razão de Grandezas Comensuráveis

Trataremos, em seguida, da de�nição da razão de duas grandezas da mesma espécie, como segmentosretilíneos, áreas, volumes, ângulos ou massas, etc. Para �xar as idéias, pensaremos apenas em segmentosretilíneos como sendo as grandezas de nossas considerações. Vejamos pois, como de�nir a razão A

B de duas taisgrandezas A e B, na hipótese de que elas sejam comensuráveis, isto é, existe um segmento σ contido um númerointeiro m de vezes em A e outro número inteiro n de vezes em B. De�nimos então a razão de A para B - queescrevemos na forma A

B - como sendo o número mn .

De�nição 5 Diz-se que A está para B na razão mn e se escreve:

A

B=m

n

se existe um segmento σ tal que A = mσ e B = nσ.

Esta de�nição requer alguns comentários. Em primeiro lugar enfatizamos o fato de que A e B não sãonúmeros, mas segmentos! No entanto, AB será o número m

n pela de�nição que demos; m é a medida de A como segmento σ e n a medida de B com o mesmo segmento, chamado, então, a unidade de medida. Em segundolugar, temos de nos certi�car de que a de�nição dada tem signi�cado único e preciso. Pode muito bem acontecerde haja um outro segmento σ′ e números m′ e n′ tais que:

A = m′σ′ e B = n′σ′.

Pela de�nição dada, a razão de A para B seria m′

n′ . Nada a objetar, desde que mn seja igual am

n′ , isto é,

mn′ = m′n; mas será isso verdade? E se AB = m

n de acordo com a de�nição e mn = m′

n′ , será verdade que existeσ′ tal que A = m′σ′ e B = n′σ′? Mostraremos a seguir que tudo isto é verdade.

Primeiramente suponhamos as hipóteses da primeira pergunta. Obtemos nA = n (mσ) = m (nσ) = mB,isto é, nA = mB. Substituindo vem:

nm′σ′ = mn′σ′

Dondo concluimos que mn′ = m′n, ou seja, mn = m′

n′ , que responde a�rmativamente a nossa primeirapergunta.

Suponha agora as hipóteses da segunda pergunta. Obtemos nA = mB como antes. Dividindo A emm′ segmentos iguais (a um certo σ′) encontramos A = m′σ′, que é a primeira das relações que queríamos.Substituindo-a em nA = mB, vem mB = nm′σ′. Daqui e da igualdade de frações segue-se que mB = mn′σ′,donde B = n′σ′, que é a segunda das relações que queríamos. Fica assim respondida a�rmativamente a segundapergunta acima.

As demonstrações dos dois parágrafos precedentes mostram que a de�nição 5 tem signi�cado único e preciso.Mostraremos agora em seguida que a de�nição que demos é a mesma (equivalente) que a de�nição abaixo:

De�nição 6 Diz-se que A está para B na razão mn se nA = mB, isto é:

A

B=m

n⇐⇒ nA = mB

Vamos veri�car que a de�nição 6 implica na de�nição 5. Suponha que existam números inteiros m e n taisque nA = mB. Em seguida dividimos A em m segmentos iguais a um certo segmento σ: A = mσ. Daqui eda relação anterior segue-se que nmσ = mB; logo, B = nσ. Isto completa a demonstração de que de�nição 6=⇒ de�nição 5. Como já provamos que de�nição 5 =⇒ de�nição 6, �ca estabelecida a equivalência das duasde�nições.

Até aqui temos considerado razões de grandezas no pressuposto de que elas sejam comensuráveis. Antes depassarmos ao caso incomensurável, vamos ilustrar a utilização dessas idéias na demonstração de um importanteteorema da Geometria Plana:

34 Pet Matemática - UFPR

Page 35: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

Teorema 3 (Teorema de Tales) Num mesmo plano três retas paralelas determinam em duas retas transver-sais segmentos proporcionais. Isto signi�ca, de acordo com a �gura 1, que:

PQ

QR=P ′Q′

Q′R′

Demonstração: Faremos a demonstração desse teorema como se todos os segmentos fossem comensuráveis.Seja σ um submúltiplo comum de PQ e QR, de sorte que existem inteiros m e n tais que PQ = mσ e QR = nσ.Sobre PQ marcamos PS = ST = TU = ... = σ, como ilustra a �gura 1, e traçamos as retas SS′, TT ′, UU ′,..., todas paralelas a PP ′. A seguir traçamos as retas P ′V ′, S′X ′, T ′Y ′, ..., paralelas a PQ. É fácil veri�carque os triângulos P ′V ′S′, S′X ′T ′, T ′Y ′U ′, ... são todos iguais (congruentes) entre si, de sorte que os segmentosP ′S′, S′T ′, T ′U ′, ... são também iguais a um mesmo segmento σ′. Segue-se então que P ′Q′ = mσ′, e de modoanálogo se prova que Q′R′ = nσ′; portanto:

PQ

QR=P ′Q′

Q′R′=m

n

2.2.3 A de�nição de Eudoxo

O Teorema de Tales é de importância fundamental em Geometria Plana, pois dele depende toda a teoria sobresemelhança de �guras; em particular, os teoremas sobre semelhança de triângulos. Mas sua demonstração, dadaacima, pressupõe, como vimos, que todos os segmentos sejam comensuráveis. A descoberta dos incomensuráveis,na antiguidade, solapou as bases dessa teoria e de outras mais, precipitando uma crise de fundamentos, a primeiraa ocorrer na História da Matemática. Era preciso encontrar uma saída, um modo de demonstrar teoremas comoo de Tales, mesmo que os segmentos envolvidos fossem incomensuráveis.

Explicaremos agora como Eudoxo de�niu a igualdade de duas razões AB e C

D , mesmo que os segmentos A,B, C e D fossem incomensuráveis. Embora A e B fossem segmentos e não números, a def. 3 atribui signi�cadonumérico à razão A

B quando A e B são comensuráveis. Eudoxo abre mão disso no caso incomensurável. Paraele, o que realmente importa é achar um meio de exprimir a igualdade de duas razões, A

B e CD , mesmo que

nenhuma delas seja um número! Para isto notamos, da def. 3, na hipótese de comensurabilidade, AB = CD é o

mesmo que escrever que dados os números m e n, então:

nA = mB ⇐⇒ nC = mD

Acontece que, se A e B forem incomensuráveis, igualdades do tipo nA = mB nunca ocorrerão! Todavia,dados dois números inteiros quaisquer m e n, podemos certamente testar se:

nA > mB, nA = mB ou nA < mBnC > mD, nC = mD ou nC < mD

Pois bem, esse teste é utilizado pra de�nir igualdade de razões (tanto no caso comensurável como no incomen-surável) como segue:

35 Pet Matemática - UFPR

Page 36: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

De�nição 7 Dados quatro segmentos A, B, C e D, diz que A está para B assim como C está para D (isto é,na nossa notação, A

B = CD ) se, quaisquer que sejam os números m e n, então

nA > mB ⇐⇒ nC > mD

nA = mB ⇐⇒ nC = mD

nA < mB ⇐⇒ nC < mD

Esta de�nição merece vários comentários. Antes, porém, mostraremos como utilizá-la na demonstração doTeorema de Tales, mesmo que os segmentos envolvidos sejam incomensuráveis. Para isso, dadosm e n quaisquer,dividimos PQ em m partes iguais a um certo segmento σ, de sorte que PQ = mσ. Ao longo de QR marcamosn segmentos σ, perfazendo o segmento QS (�g. 2), isto é, QS = nσ. É claro então que PQ

QS = mn , ou seja,

n · PQ = m ·QS.Pode ser que o ponto S caia entre Q e R, exatamente em R, ou além de R. Vamos supor a primeira destas

hipóteses, como ilustra a �g. 2.

Então:n · PQ = m ·QS < m ·QR

Traçando, a seguir, a reta SS′ paralela a PP ′, obtemos, como na demonstração anterior:P ′Q′

= mn, ou seja, n · P ′Q′ = m ·Q′S′; portanto, n · P ′Q′ = m ·Q′S′ < m ·Q′R′. Fica assim provado que:

n · PQ < m ·QR =⇒ n · P ′Q′ < m ·Q′R′

o raciocínio é o mesmo para provar a recíproca desta última implicação. Isto completa a demonstração de que:

n · PQ < m ·QR⇐⇒ n · P ′Q′ < m ·Q′R′

De modo análogo se demonstra que:

n · PQ > m ·QR⇐⇒ n · P ′Q′ > m ·Q′R′

e a demonstração den · PQ = m ·QR⇐⇒ n · P ′Q′ = m ·Q′R′

é a mesma da versão anterior do Teorema de Tales. Da de�nição dada e das equações obtidas temos que:

PQ

QR=P ′Q′

Q′R′

2.2.4 Dedekind e os Números Reais

A de�nição 7 encerra muita engenhosidade. Com efeito, é admirável ter ocorrido a alguém, há quase 2.400 anos,a idéia de de�nir a igualdade de razões mesmo quando não se pudessem identi�car essas razões com números.E como costuma acontecer com as idéias geniais, ela é ao mesmo tempo simples, razoável e fecunda. Com elafoi possível construir toda a teoria das proporções e resolver uma grave crise nos fundamentos da matemática.E quando, no século XIX, quase 2.300 anos mais tarde, Dedekind elaborou uma teoria dos números reais, ele foibuscar sua inspiração na de�nição 7 de Eudoxo! Para bem entendermos isso, examinemos cuidadosamente essade�nição. Ela exige que consideremos todas as frações m

n e com elas façamos testes para saber se nA ≥ mBou nA ≤ mB. Isto leva a uma separação das frações em duas classes: a classe A1 das frações m

n tais que

36 Pet Matemática - UFPR

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Capítulo 2. Os Números Reais

nA ≤ mB e a classe A2 daquelas para as quais nA > mB. Podemos fazer outra separação das frações em duasoutras classes A′1 e A′2, utilizando os testes nC ≤ mD e nC > mD, respectivamente. Dedekind percebeu que ade�nição de igualdade de razões A

B e CD , dada por Eudoxo, correspondia à coincidência das classes A1 e A′1 e

das classes A2 e A′2. No fundo, a de�nição de Eudoxo associa a cada razão AB um par de classes de frações A1

e A2. Este par de classes é o que Dedekind chama de corte e que ele utiliza para de�nir número real.Por exemplo, o corte que de�ne o número real (irracional)

√2 é o par de classes assim descrito: A1 é o

conjunto de todas as frações mn tais que

(mn

)2< 2; são as raízes quadradas de 2 por falta, como 1 ; 1,1 ; 1,41 ;

1,413; ... E A2 constitui-se das frações mn tais que

(mn

)2> 2; são as raízes por excesso, como 5 ; 2 ; 1,5 ; 1,48 ;

1,417 ; ...Escrevendo em 1887, o próprio Dedekind identi�ca a fonte de sua inspiração: � ... e se interpretamos número

real como razão de duas grandezas, há de se convir que tal interpretação já aparece de maneira bem clara nacélebre de�nição dada por Euclides sobre a igualdade de frações. Aí reside a origem de minha teoria, bem comoa de Bertrand e muitas outras tentativas de construir os fundamentos dos números reais".

A citação feita por Dedekind - Elementos, V, 5 - refere-se ao livro V dos �Elementos", de Euclides, de�nição 7,que é a de�nição de Eudoxo. A título de curiosidade, a seguir , a de�nição como se encontra nos Elementos:

Diz-se que (quatro) grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta,quando, quaisquer que sejam os equimúltiplos que se tomem da primeira e da terceira (nA e nC), e quaisquerque sejam os equimúltiplos da segunda e da quarta (mB e mD), os primeiros igualmente excedem, são iguais aou menores do que os últimos, tomados, respectivamente, na ordem correspondente.

Inserimos os parênteses nesta de�nição para facilitar o entendimento. O leitor não deve se esquecer de quena época em que ela foi escrita - e por muitos séculos depois - era assim que se fazia matemática: Muita escritae pouca notação, o que tornava muito penoso o raciocínio. Esta é mais razão para adimirarmos ainda mais osefeitos dos matemáticos da antiguidade.

2.2.5 A Matemática como Geometria e a Volta a Pitágoras

Como já notamos, a teoria de Eudoxo foi decisiva para resolver a primeira crise que ocorreu nos fundamentosda matemática. E, como vimos, a solução ocorreu por um artifício que consistiu em evitar números, já que estesse revelaram insu�cientes para de�nir razões de duas grandezas. Isto signi�cou, na História da Matemática, umdesvio de ênfase: o ideal pitagórico de reduzir tudo aos números cedia lugar aos fatos geométricos. Falava-seagora em razão de segmentos, áreas, volumes, ângulos, etc, sem que tais razões tivessem necessariamente medidanumérica. A matemática passa a ser Geometria, tanto que Platão proclama que �Deus Geometriza sempre"eno pórtico de sua Academia manda escrever: �quem não for geômetra não entre". É oportuno observar que atémuito recentemente os matemáticos eram conhecidos como geômetras.

Foi só em �ns do século passado que, os números voltam a ocupar o papel de destaque nos fundamentosMatemática. Isto ocorreu devido ao já citado trabalho de Dedekind e à contribuição de muitos outros matemáti-cos que criaram teorias dos números mais con�áveis que a própria axiomática da geometria. Sem dúvida, istorevigorou a antiga crença pitagórica de que os números são o fundamento de tudo.

2.3 Os Irracionais na Natureza

Antes de passarmos para as atividades vamos primeiramente ver que os alguns números irracionais estãopor quase toda a natureza, como por exemplo o número Phi da Sucessão de Fibonacci, O Número de Ouro e ofamoso Pi. Divirtam-se!

2.3.1 A Sucessão de Fibonacci na Natureza

Já reparou que muitas �ores têm 5 pétalas, que nós temos 2 mãos, cada uma com 5 dedos e cada dedo dividoem 3 partes? ... e que o ananás tem 8 diagonais num sentido e 13 no outro? Porque será que as margaridastêm geralmente 34, 55 ou 89 pétalas?

Coincidência ou não, todos estes números fazem parte da sucessão de Fibonacci(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .), sequência onde cada termo (a partir do segundo) é soma dos dois prece-dentes.

Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na Natureza. O modocomo as sementes estão dispostas no centro de diversas �ores é um desses exemplos. A Natureza �arrumou"assementes do girassol sem intervalos, na forma mais e�ciente possível, formando espirais que tanto curvam para

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Page 38: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

a esquerda como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direcção são (quase sempre)números vizinhos na sequência de Fibonacci. O raio destas espirais varia de espécie para espécie de �or.

Talvez possa parecer coincidência mas o que Fibonacci investigou inicialmente (no ano 1202) foi sobre arapidez que os coelhos poderiam reproduzir-se em circunstâncias ideais. O número de coelhos que vão existindoao longo dos meses (supondo que nenhum morre) reproduz a sucessão de Fibonacci. Porém ainda existe algo demuito curioso na sucessão de Fibonacci é que ela nos leva a outro número muito intrigante, o número de ouro.

2.3.2 O Número de Ouro

O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa in�nidade deelementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus aomundo.

Φ =(1 +

√5)

2= 1, 618 . . .

A designação adotada para este número, (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias quefoi escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas. Um exemplodesta maravilha é o fato de que se desenharmos um retângulo cujos lados tenham umarazão ente si igual ao número de Ouro este pode ser dividido num quadrado e noutroretângulo em que este tem, também ele, a razão entre os dois lados igual ao número deOuro. Este processo pode ser repetido inde�nidamente mantendo-se a razão constante.

A História do Número de Ouro

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmidesde Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea. A razão entre a altura de uma face e metade do ladoda base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma �razãosagrada"que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade.

Na Arte e na Arquitetura

Desde tempos remotos que o número de ouro é aplicado na arte. O retângulo de Ouro é reconhecido comosendo a forma visualmente mais equilibrada e harmoniosa. O número de ouro traduz a proporção geométricamais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitetura clássicas, renascentistas e pós-modernistas que sebaseia no seguinte princípio: �Seccionar um segmento de reta de tal forma que a parte menor esteja para a maiorcomo este está para o todo". Leonardo da Vinci, um homem de ciência a�rmava que a arte deveria manifestarpor ela própria um movimento contínuo e beleza. Para se atingir este �m, Leonardo utilizou extensivamenteo retângulo de Ouro nas suas obras. Em um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci: Mona Lisa oretângulo de Ouro está presente em múltiplos locais:

• Desenhando um retângulo à volta da face o retângulo resultante é um retângulo de Ouro;

• Dividindo este retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é de Ouro;

• As dimensões do quadro também representam a razão de Ouro;

Sendo que amantes da música podem �car a saber que mesmo Stradivarius utilizava o número de Ouro naconstrução dos seus famosos violinos.

Na arquitetura esta razão está presente numa imensidão de con-struções. Desde as pirâmides do Egito, passando por vários templosaté aos nossos dias. Um exemplo que ilustra bem a sua utilização é oedifício das Nações Unidas.

Talvez o leitor possa estar se perguntando, �mas o que tem a ver asucessão de Fibonacci e o númeto de ouro?". Façamos o seguinte:

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Capítulo 2. Os Números Reais

Vamos dividir cada o elemento da sucessão(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .) pelo número que vem antes dele,ou seja:

11

= 1

21

= 2

32

= 1, 5

53

= 1, 66 . . .

85

= 1, 6

138

= 1, 625

2113

= 1, 615 . . .

...8955

= 1, 618 . . .

Estranho não acha???

2.3.3 Pi

Este número que é representado habitualmente pela letra grega π é o irracional mais famoso da história, com oqual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro. Se pensarmosque ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10920 km e sedividirmos este valor pelo diâmetro da Lua que é 3476 km iremos veri�car que esta razão é de 3, 14154200 . . . ,este número é familiar, é aproximadamente 3, 14.

A história

• Antes de Cristo:

A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro era conhecidapor muitas das civilizações antigas. Tanto os Babilônios como os Egípcios sabiam que esta razão era maior que3. Nas placas de argila dos Babilônios veri�ca-se que estes adotavam uma aproximação grosseira para o valorde pi, pois consideravam que a razão do círculo era dada por 3 ou

3 +1071

< π < 3 +17

Para fazer a quadratura ( = achar um quadrado de mesma área ) de um círculo dado, os egípcios usavama seguinte regra prática: construa o quadrado cujo lado é o segmento que resulta ao cortarmos fora a nonaparte do diâmetro do círculo dado. Obviamente, essa regra faz uma quadratura aproximada e equivale a tomarπ = 4( 8

9 )2 = 3.16.Essa aproximação é muito difundida na literatura do ensino secundário e primário e tipicamente ela é citada

( erroneâmente ) como a mais antiga aproximação conhecida para o PI. Existem duas razões para a divulgaçãodesse erro: o grosso da literatura histórica acessível aos professores do ensino primário e secundário é obsoleta,nem ao mesmo tomando conhecimento das pesquisas fundamentais de Neugebauer c. 1 930 sobre a matematicamesopotâmica; a outra razão é a perniciosa in�uência que as fantasias e deturpações da Etnomatemática temtido no ensino elementar.

Embora essa aproximação egípcia para o PI não seja a mais antiga e nem a mais exata entre as conhecidasna Antiguidade, ela corresponde a uma regra muito simples, prática e razoavelmente precisa. Mais importantee interessante é perguntar como os egípcios descobriram tal regra.

Usando os discos metálicos, �ca fácil ver como eles chegaram a tal valor observando as �guras abaixo:Obviamente, o quadrado acima faz a quadratura ( aproximada ) do círculo, pois essas duas �guras são

formadas de 64 discos. Para você obter a aproximação egípcia do π, resta você conseguir explorar a igualdade

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Capítulo 2. Os Números Reais

dessas áreas levando em conta o valor do diâmetro do círculo e o do lado do quadrado expressos em termos dotamanho dos discos.

O velho testamento descreve uma bacia circular ou a �fusão do mar"feita por Hiram de Tiro. A bacia édescrita como sendo um �lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cinco cúbitos de fundo, e trintaem redor"o que fazia pi igual a 3. Contudo, neste ponto da história já se sabia que o pi era maior do que 3, enão há razão para acreditar que o texto bíblico tinha a intenção de ser algo mais do que uma descrição casual.

Arquimedes (287/212a.C.) conseguiu melhorar um pouco a aproximação dada ao número pi. Aproximandoa circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de pi se encontra limitadopelos seguintes valores:

3 +1071

< π < 3 +17

ou seja, 3, 14085 < π < 3, 142857, obtendo uma aproximação com duas casas decimais corretas.

• Depois de Cristo

No ano 400 d.C. o livro indiano �Paulisha Siddhânta"usa o valor 3177/1250 para pi, anos mais tarde, TsuChung-Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de pi se encontra entre 3, 1415926 e 3, 1415927. Por volta de499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemática e astronomia intitulado �ãryabhata", dados para aobtenção de pi:

�Adicione-se 4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado é aproximadamente ocomprimento da circunferência de diâmetro 20.000."

Ludolph Van Ceulen (1539/1610), professor de matemática e ciências militares na Universidade de Leyden,obteve em 1615 35 casas decimais. Os Alemães �caram tão surpresos com este cálculo que durante anoschamaram ao pi o número Ludol�no. Consta que essa sua aproximação de pi teria sido gravada na pedratumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda é o fato de, ainda hoje na Alemanha, porser frequentemente designado como número ludol�no.

• Século XX

A partir do século XX, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais foi descobrindo umnúmero cada vez maior de casas decimais para pi. Em setembro de 1997, o francês Fabrice Bellard consegueatingir 1.000 bilhão de casas decimais para pi, após 25 dias de cálculo intensivo em computadores ligados emrede através da Internet, Embora as pessoas se tenham interessado durante séculos pela razão do círculo, ouso da letra grega π como um símbolo que designa esta razão é relativamente recente. O inglês William Jones(1675/1749) é geralmente reconhecido como o primeiro a usar o símbolo pi para esta razão.

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Capítulo 2. Os Números Reais

Tente decorar algumas casas do π. Para �car mais fácil aqui só tem 1400 após a virgula!.

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816402862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553

469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277

01671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796

41 Pet Matemática - UFPR

Page 42: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

Atividades Propostas

Atividade-1: Prove que todo número racional positivo pode ser escrito como soma de um certonúmero de frações distintas de numerador 1.

Seja inicialmente a fração pq < 1, logo existe n ∈ N tal que

1n≤ p

q<

1n− 1

Observe que para n ≥ 2, temos

1n

≤ pq

1n− 1n≤ p

q −1n

0 ≤ pn−qqn

Temos aindapn− qqn

=p

q− 1n

pn− qqn

+1n

=p

q

Como pn−qqn < 1 então existe m ∈ N tal que

1m≤ p

q<

1m− 1

Implicandopnm− qn− qm

qnm+

1m

+1n

=p

q

Nós podemos repetir o processo até encontrarmos a fração inicial com uma soma de frações com numeradoresiguais a 1.

Resta então mostrar que essas frações são todas distintas;

pn− qqn

=p

q− 1n<

1n− 1

− 1n

=1

n(n− 1)≤ 1n

onde n ≥ 2.Então quando pn−q

qn é escrita como uma soma de frações de numeradores iguais a 1, todos os denominadoresdessas frações são maiores do que n, mostrando portanto que essas frações são todas distintas.

Seja pq > 1, então existe n ∈ N tal que

1 +12

+13

+ . . .+1n≤ p

q< 1 +

12

+13

+ . . .+1

n+ 1

p

q− (1 +

12

+13

+ . . .+1n

) =φ

ϕ<

1n+ 1

p

q= (1 +

12

+13

+ . . .+1n

) +φ

ϕ<

1n+ 1

então

1 +12

+13

+14

+ . . .+1n

ϕ<

1n+ 1

Em particular,φ

ϕ<

1n+ 1

< 1

Usando o caso anterior para o φϕ , podemos expandi-lo como uma soma �nita de frações unitárias cujos

denominadores são maiores que n+ 1. E assim provamos para o caso pq > 1 também.

42 Pet Matemática - UFPR

Page 43: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

Atividade-2: Geoplano Ordenado e o Estudo dos Racionais

A utilização do geoplano como ferramenta didática para o ensino de tópicos da geometria é bem conhecida,embora haja outras possibilidades de uso desse dispositivo didático. O geoplano é um recurso visual para oestudo dos números racionais e de algumas de suas propriedades. A atividade pode ser realizada, com umgeoplano construído com madeira, cortiça ou isopor, em que os pontos da malha são marcados com pregos,percevejos ou al�netes.

Números Racionais no Geoplano

Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração pq , com p e q inteiros, e

q 6= 0. Assim, podemos associar a cada número racional um par ordenado de inteiros (p, q), o que permitirá avisualização desse número em um geoplano ordenado (geoplano com marcações numéricas) como o da �gura.Sem perda de generalidade, simpli�caremos nossa análise estudando apenas as frações com numeradores edenominadores positivos em um geoplano 8×8 , lembrando que o estudo torna-se mais interessante em geoplanosmaiores. Por exemplo, na �gura, os pontos A, B, C e D representam, respectivamente, os números racionais 1

3, 3

4 , 51 e 7

6 . Veja a �gura 1.

Figura 2.1: Números Racionais

Utilizando elástico, linha ou barbante, podemos, como exercício, começar a praticar o uso do geoplanoordenado fazendo as seguintes marcações:

1. Todas as frações diferentes de zero com denominador 5

2. Todos os números naturais diferentes de zero

3. Todas as frações equivalentes a 12

Solução: As respostas estão ilustradas na �gura 2 abaixo.Complementando o exercício, podemos observar que:

• Frações de mesmo denominador necessariamente estão alinhadas horizontalmente

• Frações impróprias estão localizadas ou na diagonal que passa pela origem, ou à sua direita

• Frações equivalentes necessariamente estão alinhadas entre si e com a origem do geoplano

O geoplano ordenado também permite determinar um procedimento para fazer adição de frações. Por exemplo,para fazer 1

2 + 23 , os passos são:

1. Marcamos o conjunto de frações equivalentes a 12

2. Marcamos o conjunto de frações equivalentes a 23

3. Procuramos frações dos conjuntos marcados que estejam alinhadas horizontalmente e, nessa mesma linhade alinhamento, encontramos o resultado da operação adicionando os numeradores das frações de denom-inador comum

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Page 44: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

Figura 2.2: Identi�cação de Números Racionais

Figura 2.3: Adição de Frações

Atividade-3: Ordenação dos racionais com auxílio do geoplano.

Uma outra tarefa simples que pode ser feita com o uso do geoplano é a ordenação de um subconjunto denúmeros racionais. Observe, no exemplo anterior, que podemos concluir que 2

3 >12 pela comparação das frações

equivalentes 46 e 3

6 . Outra maneira de veri�car isso é ver que a inclinação da reta pela origem que correspondeà fração 1

2 é maior que a inclinação da reta pela origem que corresponde à fração 23 . Ou seja, quanto maior a

inclinação, menor é a fração e, de fato, a inclinação da reta é o inverso da fração correspondente.

Atividade-4: Uma ��oresta"de racionais

Imaginemos agora uma situação em que o geoplano representa uma �oresta, sendo cada ponto a repre-sentação de uma árvore muito �na. Se estivéssemos localizados na origem, e olhando na direção da �oresta,quais árvores seriam visíveis? Uma árvore correspondente à fração 3

6 não seria visível por ter à sua frente asárvores correspondentes a 2

4 e 12 . Nessa linha de visada, a única árvore visível seria aquela correspondente à

fração 12 . Explorando essa idéia para outras frações, podemos dizer que um ponto (p, q) do geoplano é visível

da origem se e somente se p e q são números primos entre si, o que implica dizer que as árvores visíveis sãoaquelas representadas por frações irredutíveis p

q , como mostra a �gura a seguir:

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Page 45: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

Figura 2.4: Frações Irredutíveis (árvores visíveis)

Atividade-5: Racionais: um conjunto enumerável

O conjunto dos racionais é enumerável, o que signi�ca dizer que podemos estabelecer uma correspondênciabiunívoca entre o conjunto dos racionais e o dos números naturais (lembramos mais uma vez que, para efeitode simpli�cação, estamos trabalhando apenas com os racionais positivos).

Uma vez que a representação das árvores visíveis a partir da origem indica todas as frações irredutíveisque compõem o conjunto dos racionais, podemos utilizá-la para colocar os racionais em �la, o que possibilitaráestabelecer a bijeção entre Q e N : −→ Caminho de ordenação de todas as frações irredutíveis a partir de 1

1

Figura 2.5: Enumeração dos Racionais (árvores visíveis a partir da origem)

Nesta representação, torna-se intuitiva a seguinte propriedade dos números racionais: Se r, s são racionaiscom r < s, então existe um outro racional t tal que r < t < s . Em palavras, entre dois racionais sempre existeum terceiro racional. No geoplano, essa propriedade se veri�ca pelo fato de haver sempre uma reta ligando a

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Page 46: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

origem a um ponto de coordenadas inteiras situado �entre"as retas correspondentes aos dois números racionaisdados. A �gura a seguir mostra, por exemplo, a fração 4

5 entre 12 e 1 :

Figura 2.6: Entre dois racionais existe outro racional

Atividade-6: Reais: um conjunto não enumerável

Demonstraremos que o conjunto dos números reais x ∈ [0, 1), isto é, 0 ≤ x < 1, não é enumerável. Ora, osnúmeros 0 ≤ x < 1 têm uma representação decimal da forma

0, a1a2a3...

onde aj é um dos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9. Alguns números têm duas representações desta forma.Exemplo 1/2 é:

0, 5000... ou 0, 4999...

Para tais números, escolhemos a representação decimal que �termina". Em outras palavras, eliminamos asdecimais que a partir de certa ordem todos os elementos são 9. Suponhamos por absurdo agora que os decimais,ou, que dá no mesmo, que os números reais do intervalo [0, 1) formam um conjunto enumerável:

0, a11a12a13...

0, a21a22a23...

0, a31a32a33...

...

Agora forme a seguinte decimal:0, b1b2b3...

do seguinte modo: todos os bi's são diferentes de 0 ou 9 e b1 6= a11, b2 6= a22...É claro que

0, b1b2b3... 6= 0, an1an2an3...

para todo n, pois bn 6= ann. Logo 0, b1b2b3... não está na tabela, o que é absurdo.

Atividade-7: Aproximação de números irracionais

Em um geoplano in�nito, as árvores visíveis da �oresta indicariam todos os números racionais. Imaginandoum observador localizado na origem do geoplano, e com visão em linha reta de alcance in�nito, poderíamos nos

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Page 47: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

perguntar: será que, para qualquer direção que aponte a linha de visão do observador, ele irá enxergar umaárvore?

Sabemos que isso não é verdade porque existem números que não podem ser escritos como quociente deinteiros: os números irracionais. Por exemplo, se a linha de visão do observador for representada por umareta com declividade

√2, que denotaremos r√2, essa reta nunca interceptará uma árvore da �oresta. As retas

próximas a r√2, que passam pela origem e pontos de coordenadas inteiras, têm declividades próximas de√

2,ou seja, os inversos de suas declividades são boas aproximações racionais para

√2 (a linha de declividade está

�cercada"de aproximações racionais de√

2 ).Algumas dessas aproximações cometem erro por excesso, como 2

1 ,32 ,

53 ,

74 ,

85 e outras por falta, como 1

1 ,12 ,

43 ,

54 ,

75 . Veja a �gura 7.

Figura 2.7: Reta com declividade irracional

Todas as frações pq cujos inversos q

p cometem erros por excesso estão localizadas à esquerda da reta de

declividade√

2 e aquelas cujos inversos cometem erros por falta estão à direita dessa reta. Observe na �guraque as retas que passam por 5

7 e 23 são boas aproximações de r√2 , por falta e excesso, respectivamente. Suas

inclinações são 43 = 1, 4 e 3

2 = 1, 5 (√

2 ≈ 1, 41). Num geoplano 20×20 poderemos obter aproximações melhores,como 17

12 , em que o erro (por excesso) se dá apenas na terceira casa decimal.

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Page 48: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

Atividade-8: Uma demonstração geométrica de que√

2 é irracional

Esta é uma demonstração da irracionalidade de√

2 , extremamente elegante e fundada em argumentosgeométricos. Aparentemente, o argumento central já fora utilizado pelos gregos na demonstração da incomen-surabilidade do lado e da diagonal de um quadrado.

Começamos observando que, da igualdade√

2 = pq , obtemos:

p2 = 2q2 = q2 + q2

que é a relação do Teorema de Pitágoras. Assuma, por absurdo, que√

2 = pq , com p e q números inteiros

positivos e primos entre si. Assim, existirá um triângulo retângulo isósceles de lados inteiros p (hipotenusa) e q(catetos). Observe que quaisquer dois triângulos retângulos isósceles são semelhantes e, como p e q não possuemfator comum, esse triângulo de lados p, q e q é o menor triângulo retângulo isósceles de lados inteiros.

Na �gura,_AD é um arco de circunferência de raio q e centro C, com D ∈ CB. Toma-se E em AB de modo

que D̂ = 90◦ . Daí segue que DE é tangente ao arco de circunferência mencionada e, também, que EA = ED,já que são segmentos tangentes à circunferência traçados a partir de um ponto externo. Como B̂ = 45◦ , segueque o triângulo EDB é isósceles e retângulo. ED é inteiro, pois:

ED = DB = p− q

Também EB é inteiro, pois:

EB = q −AE = q − ED = q − (p− q) = 2q − p

Assim, o triângulo DEB é retângulo isósceles e possui lados inteiros menores do que p e q. Isso é um absurdoque seguiu da suposição

√2 = p

q , com p e q inteiros primos entre si. A conclusão é que√

2 é irracional. Bonito,não é?

Atividade-9: Na Primeira seção enunciamos as propriedades operatórias dos números racionaise provamos a lei comutativa da adição. Prove agora as demais, ou seja,

p+ (q + r) = (p+ q) + r (lei associativa da adição)pq = qp (lei comutativa da multiplicação)

p(qr) = (pq)r (lei associativa da multiplicação)p(q + r) = pq + pr (lei distributiva)

Atividade-10: Represente cada um dos seguintes números por uma fração decimal �nita.

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Page 49: III Brincando de Matemático

Capítulo 2. Os Números Reais

a) 0, 11999 . . . b) 2, 99999 . . . c) 4, 79999 . . . d) 9, 99999 . . .

Atividade-11: Represente cada um dos seguintes números por uma fração decimal in�nita.

a) 0, 73 b) 0, 0999 c) 13

Atividade-12: Quais números racionais a/b têm duas representações decimais essencialmentedistintas.

Atividade-13: Quais números racionais a/b têm três representações decimais essencialmetnedistintas.

Atividade-14: Demonstre algebricamente que√

3 é irracional

Atividade-15: O número 0 é irracional?

Atividade-16: Diga se é verdadeiro, caso contrario dê um exemplo mostrando que é falso, ouseja, um contra-exemplo:

a) A soma de dois números racionais é sempre um número racional.b) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.c) Suponha α um número irracional qualquer e r um número racional diferente de zero. Então, a adição,

subtração, multiplicação e divisão de r e α. Também são irracionais −α e α−1

Atividade-17: Encontre o que se pede:

a) Dois números irracionais cuja diferença seja irracional.b) Dois números irracionais cujo produto seja irracional.c) Dois números irracionais cujo quociente seja racional.

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Capítulo 2. Os Números Reais

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Page 51: III Brincando de Matemático

Capítulo 3

Números Complexos

O primeiro matemático a operar com números complexos (ao invés de rejeitá-los simplesmente, como aconteciaaté então) foi Girolamo Cardano (1501-1576). Em certa passagem da Ars Magna, ele escreveu que sealguém procurar dividir 10 em duas partes de modo que seu produto seja 40, veri�cará que isto é impossível.Entretanto, diz Cardano, o problema pode ser assim resolvido:{

x+ y = 10xy = 40

Ou seja, isolando-se y na primeira equação (y = 10− x) e substituindo na segunda, obtemos

x2 − 10x+ 40 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as soluções para o problema:

x = 5±√−15

É fácil constatar que tais números somam 10 e que seu produto é 40. Embora, a seguir, Cardano tenhaacrescentado que aquele resultado era �tão sutil quanto inútil", devemos creditar a ele a honra de ter sido oprimeiro matemático a fazer algumas operações com números complexos.

Cardano já havia se deparado com essas raízes sofísticas ao resolver equações do 3o grau. Seja, por exemplo,a equação:

x3 − 15x− 4 = 0

Por simples veri�cação, podemos constatar que x = 4 é uma de suas raízes (as outras duas, menos evidentes,são −2 +

√3 e −2−

√3 ) Entretanto, existe uma fórmula para o cálculo de equações do 3o grau do tipo

x3 + px+ q = 0

Tal fórmula, denominada de Fórmula de Cardano, é a seguinte:

x =3

√√√√−q +√q2 + 4p3

27

2+

3

√√√√−q −√q2 + 4p3

27

2

onde p é o coe�ciente do termo que contém x e q, o termo independente.Agora, voltemos à nossa equação x3 − 15x− 4 = 0. Se tentarmos resolvê-la pela Fórmula de Cardano (onde

p = −15 e q = −4), encontraremos

x =3√

2 +√−121 +

3√

2−√−121

Então, caímos não apenas na extração de raízes quadradas de números negativos, mas também na extraçãode raízes cúbicas de números de natureza desconhecida.

Assim, Cardano estava diante de um grande dilema: sabia ele que por uma lado,√−121 não existia e pelo

outro, que 4 era solução da equação. Cardano não encontrou explicação.Aqui estava uma questão realmente séria e que não poderia simplesmente ser ignorada. Quando, nas equações

do 2o grau, a fórmula de Bháskara levava a raízes quadradas de números negativos, era fácil dizer que aquilo

51

Page 52: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

indicava a inexistência de soluções. Agora, entretanto, estava-se diante de equações do 3o grau com soluçõesevidentes, mas cuja determinação passava pela extração de raízes quadradas de números negativos.

Esta é uma constatação surpreendente, pois tudo indicava que os números com que a Matemática vinhatrabalhando há séculos não eram mais su�cientes para o estudo da Álgebra.

Quem tirou a Matemática desse impasse foi o bolonhês Rafael Bombelli (c.1530-1579). Os estudos deBombelli começaram com a tentativa de conciliar o resultado fornecido pela Fórmula de Cardano para a equaçãox3 − 15x− 4 = 0 com a raiz x = 4, constatada por simples observação.

Conforme ele mesmo revelou em 1572 no livro L'Algebra parte Maggiore

dell'Arithmetica ,seu método baseou-se no �pensamento rude", segundo o qual 3√

2 +√−121 e 3

√2−√−121

deveriam ser números da forma a+√−b e a−

√−b, respectivamente. Assim supondo, escreveu:

3√

2 +√−121 = a+

√−b

e

3√

2−√−121 = a−

√−b

e deduziu que a = 2 e b = 1, pois (2 +√−1)3

= 2 +√−121

e(2−√−1)3

= 2−√−121

Assim

x =(2 +√−1)

+(2−√−1)

= 4

resultado que se esperava obter.Raízes quadradas de números negativos continuaram aparecendo nos séculos XVI, XVII, XVIII e não só no

estudo de equações algébricas. O que mais perturbava e desa�ava o entendimento dos matemáticos era que essasraízes - na época, símbolos sem signi�cado- manipuladas de acordo com as regras usuais da Álgebra, forneciamresultados corretos que às vezes não podiam ser obtidos de outra maneira.

O mal estar que esses símbolos sem signi�cado provocaram está re�etido nos nomes que lhes foram atribuídos:números �sofísticos", �sem signi�cado", �impossíveis� (designadopor Newton), � �ctícios ", � místicos ",� números complexos "( designado por Gauss), �imaginários"(sendoque esses dois últimos permanecem em uso).

Após os passos iniciais do audacioso italiano, novos matemáticos avançaram nas pesquisas, conseguindoresultados que estimularam outros a seguir adiante. Assim, muitos pesquisadores já haviam trabalhado como assunto quando Euler fez-lhe um ataque �nal, deixando pouca coisa a ser descoberta no futuro. LeonhardEuler nasceu em Basiléia, Suíça, no ano de 1707. Embora tenha tido precursores importantes, Euler é omatemático que mais produziu e publicou em todos os tempos, e é considerado o matemático que dominou osNúmeros Complexos. Euler �calculava com a facilidade com que os outros respiram..."

Dentre suas contribuições, uma nos interessa de imediato: a representação simbólica da �raiz imaginária daunidade negativa". É o famoso i, signi�cando a raiz de −1 (i =

√−1).

Graças a ele, �nalmente, depois de quase 200 anos, aprendera-se a extrair raízes de números complexos,aquele mistério que intrigou Bombelli e tantos outros matemáticos.

Contudo, foi na virada do século XVIII para o XIX a descoberta de que esses números admitem umarepresentação geométrica. Tal descoberta é atribuída a Caspar Wessel (1745-1818), K.F. Gauss (1777-1855) e Jean-Robert Argand (1786-1822).

Algebricamente, porém, havia um ponto importante a elucidar: como entender uma soma a+bi, considerandoque as parcelas são entes de espécie diferente?

Quem tomou a si essa tarefa foi o irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865). Foi num artigo de1833, apresentado à Academia Irlandesa, que Hamilton introduziu a álgebra formal dos números complexos.Estes, segundo sua idéia básica, passavam a ser encarados como pares ordenados (a, b) de números reais.

Assim, estavam consolidadas as bases para o desenvolvimento de um gigantesco ramo da Matemática, comin�ndáveis aplicações práticas, principalmente na eletrônica: A Teoria dos Números Complexos.

52 Pet Matemática - UFPR

Page 53: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

3.1 Forma Algébrica dos Números Complexos

Resolvendo a equação x2 − 10x+ 40 = 0 temos:

x =10±

√100− 1602

x =10±

√−60

2Nos Reais esta equação não possui solução, pois o ∆ (delta) é negativo. Para sugerirmos este problema,

introduziremos um símbolo chamado de unidade imaginária, é ele:

i =√−1

Daí,

i2 = −1

Agora podemos achar a solução da nossa equação:

x =10±

√(−1)60

2

x =10± 2

√(−1)15

2como solução

x′

= 5 +√

15i e x′′

= 5−√

15i

Vamos estudar estas raízes. Observe que x′ é um número complexo escrito em sua forma algébrica, ou seja,é constituído de uma parte real e uma parte imaginária. No nosso exemplo, 5 é a parte real, e

√15 a parte

imaginária. Note que, tanto a a parte real quanto a imaginária são números reais, porém a parte imginária éaquela que acompanha o i.Generalizando: um número z ∈ C é escrito:

z = a+ bi

sendo

Re(z) = a (parte real de z)

Im(z) = b (parte imaginária de z)

Note: Se b = 0, temos que z = a é um número Real. Se a = 0 e b 6= 0, temos que z = bi é um númeroimaginário puro.

3.2 O Conjunto dos Números Complexos

O conjunto C é um conjunto cujos elementos - os números complexos - devem ser tais que possam ser soma-dos e multiplicados, e também possibilitem a extração de raiz quadrada de um número negativo. Logicamente,os números reais precisam ser elementos desse conjunto C, e as operações de adição e multiplicação feitas sobreos números reais no conjunto C devem ser as mesmas já conhecidas. Note que, se isso não fosse observado oconjunto R não seria um subconjunto de C.

Uma boa maneira de de�nir esse conjunto foi proposto por Gauss em 1831 e reforçado por Hamilton em1837, segundo a qual o conjunto dos números complexos é um conjunto de pares ordenados de números reais,em que estão de�nidas:

• Igualdade: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d

• Adição: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

53 Pet Matemática - UFPR

Page 54: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

• Multiplicação: (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

As operações de adição e multiplicação assim de�nidas satisfazem as seguintes propriedades (para quaisquerz, v, w ∈ C):

Adição:

• A1. Comutativa: z + v = v + z

• A2. Associativa: z + (v + w) = (z + v) + w

• A3. Elemeto Neutro: Existe z0 ∈ C, z0 = (0, 0) tal que: z + z0 = z0 + z = z

• A4. Inverso Aditivo ou Oposto: para z ∈ C, existe z′ ∈ C tal que:z + z

′= z

′+ z = z0 = (0, 0)

Multiplicação:

• M1. Comutativa: z · v = v · z

• M2. Associativa: z · (v · w) = (z · v) · w

• M3. Elemento Neutro: Existe z1 ∈ C, z1 = (1, 0) tal que z · z1 = z1 · z = z

• M4. Inverso Multiplicativo: Para z 6= (0, 0), existe z′ ∈ C tal que: z · z′

= z′ · z = z1 = (1, 0)

• M5. A multiplicação é distributiva em relação a adição: z · (v + w) = z · v + z · w

Como os números complexos z, v, w são pares de números reais, fazemos a demonstração de cada propriedadeusando as propriedades de adição e multiplicação dos números reais.

Exemplo:

Dado z1 = 5 + 3i e z2 = 2− 2i, vamos exempli�car soma e multiplicação nos complexos.

z1 + z2 = (5 + 3i) + (2− 2i)= (5 + 2) + (3− 2)i= (7 + i)

z1 · z2 = (5 + 3i) · (2− 2i)= 10− 10i+ 6i+ 6= 16− 4i

54 Pet Matemática - UFPR

Page 55: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

3.3 Potências de i

As potências de i (i0; i1; i2; i3; ...) apresentam um comportamento interesante:

i0 = 1i1 = i

i2 = −1i3 = ii2 = i(−1) = −ii4 = i2i2 = (−1)(−1) = 1i5 = (i2)2i = (−1)2i = i

...

i20 = (i2)10 = (−1)10 = 1...

Observe que elas assumem apenas 4 valores, e se repetem em ciclos de 4.

Desa�o: Calcule i1999945347.

3.4 Representação Geométrica dos Números Complexos

Representaremos os números complexos em um plano cartesiano chamado Plano Complexo, onde os eixossão denominados eixo real; no qual representamos a parte real do número complexo, e eixo imaginário; querepresentamos a parte imaginária. Por exemplo, o número z = 2 + 3i é representado da seguinte forma:

Podemos associar cada número complexo a um vetor 0z. Observe no grá�co:

55 Pet Matemática - UFPR

Page 56: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

Observe que z1 + z2 é a diagonal do paralelogramo formado por z1ez2, ou seja, a soma vetorial a qualcorresponde à soma algébrica (7 + i) efetuada anteriormente.

3.5 Conjugado de um Número Complexo

O conjugado de z vem da necessidade de de�nirmos 1z . Denotaremos o conjugado de z como z.

Dado z = a+ bi, seu conjugado é da formaz = a− bi

Agora podemos de�nir 1z :

1z

=1

a+ bi

(a− bi)(a− bi)

=(a− bi)a2 + b2

= (a

a2 + b2)− (

b

a2 + b2)i

Obs: Multiplicar pelo conjugado equivale a operação de racionalização nos reais.

Responda:Em que casos temos z = z ?

Geometricamente o conjugado de z é o seu simétrico em relação ao eixo real.

3.6 Divisão de Números Complexos

Seja z1, z2 ∈ C, z2 6= 0. O quociente z1z2

= z1·z2z2·z2

Exemplo 3:z1 = 5 + i e z2 = 2− 2i

z1z2

=(5 + 3i)(2− 2i)

· (2 + 2i)(2 + 2i)

=(10 + 10i+ 6i− 6)(4 + 4i− 4i+ 4)

=(4 + 16i)

8=

12

+ 2i

56 Pet Matemática - UFPR

Page 57: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

3.7 Módulo de um Número Complexo

Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância entre ele e a origem, e é denotado por |z|.

Por pitágoras,|z|2 = a2 + b2 ⇒ |z| =

√a2 + b2

Por exemplo, tomando z1 = 5 + 3i,|z| =

√52 + 32 =

√34

3.8 Forma Trigonométrica dos Números Complexos

Além da forma algébrica, podemos representar um número complexo na chamada forma trigonométrica.Para de�ní-la observe que todo número z tem módulo (|z|) e um argumento (θ).

Este ângulo θ é medido no sentido anti-horário, por isso 0 ≤ θ < 360◦, é chamado argumeto de z e in-dicado por Arg(z).

57 Pet Matemática - UFPR

Page 58: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

Pela trigonometria temos:

cosθ =a

|z|⇒ a = |z|cosθ

senθ =b

|z|⇒ b = |z|senθ

Substituindo em z = a+ bi, temos:

z = |z|cosθ + |z|senθ · i

z = |z|(cosθ + i · senθ)

Exemplo 4:Escreva z2 = 2− 2i na forma trigonométrica.

|z| =√

22 + (−2)2 =√

8 = 2√

2

tgθ =2−2⇒ θ = arctg(−1)⇒ θ =

7π4

z = 2√

2(cos

7π4

+ i · sen7π4

)

3.9 Operações com os Números Complexos na Forma Trigonométrica

3.9.1 Multiplicação

Consideremos dois números complexos:

z = |z|(cos θ + isenθ)

w = |w|(cosφ+ isenφ)

O produto de z · w é dado por:

zw = |z|(cos θ + isenθ)|w|(cosφ+ isenφ)= |z||w|(cos θ + isenθ)(cosφ+ isenφ)= |z||w|(cos θ cosφ+ i cos θsenφ+ isenθ cosφ+ i2senθsenφ)= |z||w|

[(cos θ cosφ− senθsenφ) + i(cos θsenφ+ senθ cosφ)

]= |z||w|

[cos(θ + φ) + isen(θ + φ)

]

58 Pet Matemática - UFPR

Page 59: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

Portanto:

zw = |z||w|[cos(θ + φ) + isen(θ + φ)

]

Exemplo 5:

Vamos calcular o produto de z com w :

z = 2(

cosπ

4+ isen

π

4

)e w = 3

(cos

π

2+ isen

π

2

)Substituindo na fórmula, temos:

zw = |2||3|[cos(π

4+π

2)+isen

(π4

2

)]zw = 6

(cos

3π4

+ isen3π4

)

A fórmula da multiplicação de dois números complexos a qual basta multiplicar os módulos e somar seusargumentos, é válida para um número qualquer �nito de valores. Isso nos levará à potenciação de númeroscomplexos.

3.9.2 Divisão

Tomando os números:

z = |z|(cos θ + isenθ)w = |w|(cosφ+ isenφ), onde w 6= 0

Podemos obter o quociente zw assim:

z

w=|z||w|[cos(θ − φ) + isen(θ − φ)

]Esta identidade pode ser veri�cada mostrando que o produto de |z||w|

[cos(θ−φ)+isen(θ−φ)

]por w é igual a z.

Exemplo 6:

Vamos calcular o quociente de zw para

z = 2(

cosπ

4+ isen

π

4

)e w = 3

(cos

π

2+ isen

π

2

)Substituindo z e w na fórmula:

z

w=|2||3|

[cos(π

4− π

2)+isen

(π4− π

2)]

=23

[cos(−π

4)+isen

(−π

4)]

=23

[cos

7π4

+ isen7π4

]

Logo,

59 Pet Matemática - UFPR

Page 60: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

z

w=

23

[cos

7π4

+ isen7π4

]

3.10 Potenciação de Números Complexos na Forma Trigonométrica

- Fórmula de Moivre

Dado z = |z|(cos θ + isenθ). A potência zn, n pertecente a N, é dada por zn = z.z.z · · · .z︸ ︷︷ ︸n vezes

. Assim:

zn = z.z.z · · · .z︸ ︷︷ ︸multiplicação de n fatores

= |z||z||z| · · · |z|︸ ︷︷ ︸multiplicação de n módulos

[cos(θ + θ + θ + · · ·+ θ︸ ︷︷ ︸

soma de n argumentos

) + isen(θ + θ + θ + · · ·+ θ︸ ︷︷ ︸soma de n argumentos

)]

Logo,

zn = |z|n[cos(nθ) + isen(nθ)

](Fórmula de Moivre)

Exemplo: 7

Dado z = 2(cos π4 + isenπ4

), vamos determinar z7.

Na fórmula trigonométrica:

z7 = 2(

cosπ

4+ isen

π

4

)7

= 27(

cos 7π

4+ isen7

π

4

)= 128

(cos

7π4

+ isen7π4

)Na fórmula algébrica temos:

z = 2(

cosπ

4+ isen

π

4

)= 2(√2

2+ i

√2

2

)=√

2 + i√

2

z7 = 128(

cos7π4

+ isen7π4

)= 128

(√22−√

22i)

= 64(√

2−√

2i)

3.11 Radiciação - Raízes n-ésimas de Números Complexos

Dado um número complexo z e um natural n, n > 1, a raiz enésima de z é um número complexo w tal que

wn = z

.Vamos tomar z 6= 0 tal que z = |z|(cos θ + isenθ). Encontrar as raízes enésimas de z signi�ca determinar

todos os números complexos distintos do tipo w = |w|(cosα+ isenα), de modo que wn = z,n > 1, ou seja:[|w|(cosα+ isenα)

]n= |z|(cos θ + isenθ)

Aplicando a fórmula de Moivre, temos:

|w|n(cosnα+ isennα) = |Z|(cos θ + isenθ)

60 Pet Matemática - UFPR

Page 61: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

donde,

|w|n = |z| → |w| = n√|z| (sempre real e positivo)

cosnα = cos θ e sennα = senθ → nα = θ + 2kπ

Ou seja, α = θ+2kπn , com k pertencente a Z. Mas para 0 ≤ α ≤ 2π, é necessário que 0 ≤ k ≤ n− 1. Assim

concluímos que:

wk = n√|z|(

cosθ + 2kπ

n+ isen

θ + 2kπn

)k = 0, 1, 2, · · · , n− 1 (Segunda Fórmula de Moivre)

Após k = n− 1, os valores começam a se repetir. Então, de 0 a n− 1, temos n raízes distintas.

Exemplo: 8

Vamos encontrar as raízes cúbicas de −i. Escrevendo z na forma trigonométrica, temos:

z = −1→ a = 0 e b = 0

|z| =√

02 + (−1)2 =√

1 = 1

cos θ =01

= 0, senθ =−11

= −1 → θ = arg(z) =3π2, 0 ≤ θ ≤ 2π

Portanto,

z = 1(

cos3π2− isen3π

2

)

Aplicando na segunda fórmula de De Moivre:

wk = n√|z|(

cosθ + 2kπ

n+ isen

θ + 2kπn

)= 3√|1|

(cos

3π2 + 2kπ

3+ isen

3π2 + 2kπ

3

)

Como n = 3, então k poderá ser 0, 1 ou 2. Daí:

Para k = 0,

w0 = 3√|1|

(cos

3π2

3+ isen

3π2

3

)= 1(

cosπ

2+ isen

π

2

)= cos

π

2+ isen

π

2= 0 + i · 1 = i

Para k = 1,

w1 = 3√|1|

(cos

3π2 + 2π

3+ isen

3π2 + 2π

3

)= 1(

cos7π6

+ isen7π6

)=

= cos7π6

+ isen7π6

= −√

32

+ i(−12

) =

= −√

32− 1

2i

61 Pet Matemática - UFPR

Page 62: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

Para k = 2,

w2 = 3√|1|

(cos

3π2 + 4π

3+ isen

3π2 + 4π

3

)=

= 1(

cos11π6

+ isen11π6

)= cos

11π6

+ isen11π6

=√

32

+ i(−12

) =

=√

32− 1

2i

Portanto as raízes cúbicas de −i são:

w0 = i, w1 = −√

32− 1

2i e w2 =

√3

2− 1

2i

3.12 Fractais

Um fractal é uma �gura que possui características peculiares, que a difere das �guras geométricas habituais,são elas:

• Estrutura �na: O grau de detalhamento de um fractal não diminui se examinarmos uma porção arbitrari-amente pequena do mesmo, ou seja, um fractal é rico em detalhes;

• Auto-similaridade: Uma porção do fractal reproduz exatamente a forma de uma porção maior;

• Simplicidade na lei de formação: O alto grau de detalhamento e a complexidade da estrutura de um fractalnão impedem, em geral, que eles sejam formados por processos relativamente simples e diretos.

Podem ser facilmente identi�cadas na natureza, na forma de uma couve �or, em árvores e mariscos, assimcomo em qualquer estrutura cujas rami�cações sejam variações de uma mesma forma básica.

Em conseqüência da auto-similaridade, quando vistas através de uma lente de aumento, as diferentes partesde um fractal se mostram similares à forma como um todo.

Seu estudo se deve aos trabalhos de matemáticos como Georg Cantor, criador do chamado "Conjunto deCantor", um tipo simples de fractal obtido pela divisão de um segmento em três partes iguais, retirando-se ado meio e repetindo-se este procedimento para cada segmento criado (reiteração).

Os fractais mais interessantes são gerados por funções complexas, ou seja, uma função aplicada repetida-mente a um número complexo. Um dos resultados obtidos com este processo é o conjunto de Julia:

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Page 63: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

Conjunto de Julia

... ou o conjunto Mandelbrot, a �gura mais complexa conhecida. Tanto que seria impossível conhecê-laintegralmente ao longo de uma vida inteira.

Conjunto de Mandelbrot

O conjunto de Maldelbrot é gerado pela iteração da equação f(z) = z2 + c, sendo z = 0 e c ∈ C.O conjunto de Julia é gerado basicamente pela iteração da mesma equação do conjunto de Mandelbrot,

f(z) = z2 +c, mas, no conjunto de Mandelbrot, a cada iteração, incrementávamos ao resultado o valor do pontoc, que era o ponto que se estava testando, e o ponto z era iniciado em 0. Já no conjunto de Julia, o ponto c éinformado e permanece �xo, mas o ponto z é iniciado com o valor do ponto em que se está testando.

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Page 64: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

Observe o conjunto de Julia para o ponto c = −0, 599− 0, 421i

Exercícios

1) Escreva os seguintes números complexos na sua forma algébrica:a)3(7 + 2i)−

[(5 + 4i) + 1

]i

b)(3 + 1)(3− i)(

15 + 1

10 i)

c)(1 + i)(1 + i)3(1 + i)−1

2) Determine w tal que w = z1 + z2, onde:a)z1 = 2 + 2i e z2 = 4 + 3ib)z1 = −2 + i e z2 = −1 + 4i

3) Encontre z tal que z̄ + 2zi− 1 = 2

4) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos e calcule o seu módulo:a)z = i

2+i −2+ii

b)z = (3+4i)(4−3i)3−2i

5) Localize gra�camente os números complexos z tais que:a)|z| = 4b)|z| > 4c)|z| ≤ 2d)z é um imaginário puro e |z| < 3

6) Passe da forma algébrica para a trigonométrica, e vice-versa, e represente gra�camente:a)ib)2(cos π6 + isenπ6

)c)(1 + i)(1− i)d)5(cos 0 + isen0)

7) O número complexo z = (2x− 8) + (x− 5)i é imaginário puro. Calcule o valor de N = 10x− 3.

8) Seja z = i(a+ 3i). Se |z| = 5, então o valor positivo de a é:

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Page 65: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

9) Se z = (10−i)i3+i50(i−1)2 , determine |z|2.

10) Se (2 + 2i)(a+ bi) = −2 + 18i, então |a− b| é igual a:a)1b)4c)5d)9e)16.

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Page 66: III Brincando de Matemático

Capítulo 3. Números Complexos

66 Pet Matemática - UFPR

Page 67: III Brincando de Matemático

Referências Bibliográ�cas

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[05] SANTOS, Renato P. A Torre de Hanoi CEPA- Centro de Ensino e Pesquisa. IME-USP. Disponível nainternet via http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/

[06] Matemática Essencial, Ensino: Fundamental, Médio e Superior. Disponível na internet viahttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/

[07] VALEIRAS, Rodolfo. La Torre de Hanoi. Disponível na internet viahttp://www.rodoval.com/heureka/hanoi/index.html

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[12] BOYER, Carl B. História da matemática São Paulo, 1974

[13] WANTANABE, Renate. Revista do Professor de Matemática no09, SBM.

[14] VALADARES, Eduardo. Revista do Professor de Matemática no39, SBM.

[15] ESTEVES, Bernardo Os mais difíceis problemas matemáticos: Romance relata tentativasfrustradas de resolver a conjectura de Goldbach, Revista Ciência Hoje. Disponível na internet viahttp://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/2969

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[18] ÁVILA, Geraldo , Revista do Professor de Matemática-5 / Grandezas incomensuráveis e números irra-cionais, São Paulo.

[19] ÁVILA, Geraldo , Revista do Professor de Matemática-7 / Eudoxo, Dedeking, números reais e ensino daMatemática, São Paulo.

[20] POSSANI, Cláudio , Revista do Professor de Matemática-57 / Uma Demonstração Geométrica de que raizde 2 é irracional, São Paulo.

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