1. [RHK4-15.62] No sistema mostrado na

figura, o bloco tem massa igual a 1,52 kg e a constante de força da mola vale 8,13 N/m. A força de atrito é dada por – b(dx/dt), onde b = 227 g/s. O bloco foi puxado para o lado à distância de 12,5 cm e a seguir abandonado. (a) Calcule o intervalo de tempo necessário para a amplitude cair para um terço do seu valor inicial. (b) Quantas oscilações o bloco faz nesse tempo?

2. [RHK4-15.64] Um oscilador harmônico amortecido envolve um bloco (m = 1,91 kg), uma certa mola (k = 12,6 N/m) e um meio amortecedor F = −bv. Inicialmente o bloco oscila com amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude cai para ¾ deste valor inicial, depois de quatro ciclos completos. (a) Qual é o valor de b? Que quantidade de energia foi “perdida” durante estes quatro ciclos?

3. [RHK4-15.65] Suponha que você esteja examinando as características do sistema de suspensão de um automóvel de 2.000 kg. A suspensão “cede” 10 cm, quando todo o peso do automóvel é colocado sobre ela, e a amplitude da oscilação decresce de 50% durante um ciclo completo. Determine os valores de k e b da mola e do sistema absorvedor de choque de cada roda. Suponha que cada roda suporte 500 kg.

4. [HMN-4.5] Uma partícula de massa m move-se na direção z no interior de um fluido, cuja resistência de atrito é da forma −ρ dz/dt, ou seja, é proporcional à velocidade (ρ > 0). A força peso é desprezível em confronto com a resistência de atrito durante o intervalo de tempo considerado. Dadas a posição inicial z0 e a velocidade inicial v0, ache z(t).

5. [HMN-4.6] Para pequenas partículas em queda livre na atmosfera, a resistência do ar é proporcional à velocidade, ou seja, orientando o eixo z verticalmente para baixo, é da forma −ρ dz/dt. Considere a queda livre de tal partícula a partir de uma posição inicial z0 e velocidade inicial v0, levando em conta a força peso (ao contrário do problema anterior). Ache z(t). [Sugestão: Procure uma solução particular da equação diferencial de movimento, que é inomogênea. Para isto, leve em conta que, para tempos grandes, a partícula tende a cair com velocidade constante (por quê?), que se chama velocidade terminal.]

6. [RHK4-15.66] Considere as oscilações de um sistema bloco-mola amortecido, sendo forçado por uma força . Mostre que, na ressonância, (a) a amplitude das oscilações é , e (b) a velocidade máxima do bloco oscilante é .

7. [RHK4-15.67] Um carro de 1.000 kg, carregado com quatro pessoas de 80,0 kg cada, está viajando em uma estrada irregular. As ondulações na estrada estão separadas de 4,0 m. O carro balança com amplitude máxima quando sua velocidade é 16 km/h. A seguir, o carro pára e as quatro pessoas descem. De quanto sobe a suspensão do carro devido a este decréscimo no peso?

8. [RHK4-15.68] Partindo da solução do oscilador forçado, , onde

€

G = m2 ω 2 −ω 02( )2 + b2ω 2 e , encontre a velocidade v (= dx/dt) no

IF/UFRJ – Física II – 2010/2 – Raimundo Turmas IFA/OV1/IGM1/MAB/MAI/MAA/BCMT

4a Lista de Problemas – Oscilador Amortecido e Forçado

movimento oscilatório forçado. Mostre que a amplitude de velocidade é

. 9. [Serway-12.31] Um bebê alegra-se gritando de felicidade e saltando para cima e

para baixo em seu berço. Sua massa é de 12,5 kg e o colchão do berço pode ser modelado como uma mola leve com constante de força de 4,30 kN/m . (a) O bebê logo aprende a saltar com esforço mínimo e amplitude máxima dobrando seus joelhos em que freqüência? (b) Ele aprende a usar o colchão como um trampolim - perdendo contato com ele em parte de cada ciclo – quando sua amplitude excede qual valor?

10. [HMN-4.8] Um oscilador não amortecido de massa m e freqüência própria ω0 move-se sob a ação de uma força externa , onde β > 0 é uma constante. Inicialmente, o oscilador encontra-se em repouso na posição de equilíbrio. Ache o deslocamento x(t). Sugestão: Procure uma solução particular da equação diferencial inomogênea de comportamento análogo ao de F.

11. [HMN-4.9] Um bloco cúbico de 10 cm de aresta e densidade 8g/cm3 está suspenso do teto por uma mola de constante elástica 40 N/m e comprimento relaxado de 0,5 m, e mergulhado dentro de um fluido viscoso de densidade 1,25 g/cm3. Na situação considerada, a resistência do fluido é proporcional à velocidade, com coeficiente de proporcionalidade ρ = 2 N⋅s/m. Inicialmente em equilíbrio, o bloco é deslocado de 1 cm para baixo, e solto a partir do repouso. Com origem no teto e eixo z vertical orientado para baixo (figura), determine a coordenada z da extremidade superior do bloco em função do tempo.

12. [HMN-4.11] Uma pessoa está segurando uma extremidade A de uma mola de massa desprezível e constante elástica 80N/m. Na outra extremidade, B, há uma massa de 0,5 kg suspensa, inicialmente em equilíbrio. No instante t = 0, a pessoa começa a sacudir a extremidade A (figura), fazendo-a oscilar harmonicamente com amplitude de 5 cm e período de 1s. (a)Calcule o deslocamento z da massa em relação à posição de equilíbrio, para t > 0. (b) Calcule a força total F(t) exercida sobre a extremidade A para t > 0.

13. [HMN-4.12] Um bloco de 1 kg, ligado a uma parede vertical por uma mola de massa desprezível e constante elástica 100 N/m, inicialmente relaxada, pode deslocar-se sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito (estático e cinético) µ = 0,25. No instante t = 0, o bloco é deslocado de 24,5 cm para a direita e solto a partir do repouso. Descreva o movimento subseqüente. Observação: Como a força de atrito tem sinal oposto ao da velocidade, é preciso tratar separadamente cada semiperíodo de oscilação.

14. [HMN-4.14] Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto por barras idênticas de 0,5 m de comprimento e massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (veja a figura) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s. Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas partículas para t > 0.

15. [HMN-4.15] Duas partículas de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal, presas por molas de constante elástica k a paredes verticais, e ligadas uma a outra por uma mola de constante K; veja a figura ao lado. Inicialmente, com as partículas em repouso na posição de equilíbrio, comunica-se uma velocidade v à partícula 2 através de um impulso. Determine os deslocamentos das duas partículas, x1(t) e x2(t), a partir das respectivas posições de equilíbrio, para t > 0.

16. [HMN-4.16] Dois pêndulos idênticos, formados por partículas de massa m suspensas por barras de massa desprezível e comprimento ℓ, estão ligados um ao outro por uma mola de massa desprezível e constante elástica k, inicialmente relaxada, com os pêndulos na posição vertical de equilíbrio (figura do Prob. 14). Aplica-se à partícula 2 uma força . (a) Obtenha a solução estacionária para os deslocamentos x1(t) e x2(t), das duas partículas. (b) Trace gráficos representando o andamento das amplitudes de oscilação das duas partículas como função de ω.

17. [HMN-4.17] Um modelo clássico para a molécula de CO2 é constituído por duas partículas idênticas de massa M ligadas a uma partícula central de massa m por meio de molas idênticas de constante elástica k e massa desprezível. Sejam x1, x2, e x3 os deslocamentos das três partículas a partir das respectivas posições de equilíbrio; veja a figura ao lado. (a) escreva as equações de movimento para x1, x2, e x3, e verifique que o centro de massa do sistema permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. (b) Obtenha as equações de movimento para as coordenadas relativas ξ ≡ x2 − x1 e η ≡ x3 − x2. (c) A partir de (b), calcule as freqüências angulares de oscilação, associadas aos dois modos normais de vibração do sistema. Interprete fisicamente estes dois modos, caracterizando os tipos de oscilação das massas a eles associados. (d) Aplique este modelo à molécula de CO2, calculando a razão entre as duas freqüências de modos normais de vibração para esta molécula. Tome as massas do C e do O como 12 e 16, respectivamente, em unidades de massa atômica.

18. [HMN-4.18] Uma partícula de massa m está ligada por uma mola de constante elástica k e massa desprezível a outra partícula de mesma massa, suspensa do teto por uma mola idêntica à anterior; veja a figura. Inicialmente, o sistema está em equilíbrio. Sejam z1 e z2 deslocamentos a partir das respectivas posições de equilíbrio, das partículas 1 e 2, com o eixo orientado verticalmente para baixo. (a) Escreva as equações de movimento para z1 e z2. (b) Obtenha os modos normais de oscilação vertical do sistema. Para isto, considere uma nova coordenada q, combinação linear de z1 e z2: q = α z1+ β z2. Escreva a equação de movimento para q e procure determinar os coeficientes α e β de tal forma que esta equação para q se reduza à equação de um oscilador harmônico simples. Você obterá duas soluções, q1 e q2, que se chamam as coordenadas normais. Calcule as freqüências de oscilação, ω1 e ω2 associadas aos dois modos normais do sistema.

Respostas: 3) k = 490 N/cm; b = 1,1 × 103 kg/s. 4) . 7) 4,9 cm.

9) a) 2,95 Hz; b) 2,85 cm. 10) . 11) z =

2,15 + 0,01 exp (−0,125 t)[cos 2,23t + 0,056 sen 2,23t] (em m). 12) a) ; b) , onde ω = 2π/T (T = 1s),

, A = 0,05 m, a = = 0,066 m. 13) O bloco oscila com período T = (π/5) s ≈ 0,63 s. A amplitude de oscilação decresce de 4,9 cm por semiperíodo. O bloco pára na origem após 5 semiperíodos ≈ 1,57 s (tomando a origem na posição de equilíbrio). 14) x1 = 1,13 sen (4,43 t) − 0,34 sen (14,8 t); x2 = 1,13 sen (4,43 t) + 0,34 sen

(14,8 t). 15) , onde ω12 = k/m, e ω2

2 = (k+2K)/m.