SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Dep 16/03/20

Assinatura:

Ideais Primários em Anéis de Witt

Daniela Cristina Rebolho

Orientadora: Profa. Dra. Ires Dias

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências — Área: Matemática.

USP — São Carlos Março de 2000

"À minha família."

Inicialmente agradeço À DEUS, pelo dom da vida e por ter me dado forças su-

ficientes a fim de superar os obstáculos e conquistar meu objetivo. Agradeço a

Profa. Dra. Ires Dias, pela sua dedicada e precisa orientação, e por sua amizade;

a FAPESP pelo custeio parcial de meus estudos de Pós-Graduação; aos meus pais

Dirceu e Maria, meu irmão Danilo e toda minha família que sempre me apoiaram

e incentivaram; aos velhos e novos amigos, pelo apoio e compa.nherismo, em espe-

cial as amigas Andréa, Luciene e Silvia e ao amigo Miguel; a todos meus professores

da escola, da UNESP e da USP, pelos conhecimentos transmitidos; aos funcionários

do ICMC e a todos que direta ou indiretamente contribuíram para o andamento e

conclusão deste trabalho.

Resumo

Neste trabalho apresentamos generalizações dos resultados sobre ideais primários

em anéis de Witt contidos em [05], para anéis de Witt de anéis semilocais.

Abstract

In this work we generalize the results about primary ideais in Witt rings contained

in [05], for Witt rings of sernilocal rings.

Introdução 1

1 Preliminares

3

2 Espaços Bilineares 12

2.1 Definições 12

2.2 Extensão de escalares 14

2.3 Subespaços 16

2.4 Espaços Metabólicos e Hiperbólicos 23

3 O Anel de Witt 30

3.1 Geradores de W (A) 30

3.2 Os ideais primos de W (A) 34

3.3 Nil (W (A)) e Wt (A) 42

4 Ideais Primários no Anel de Witt 46

4.1 Ideais Primários de W (A) 46

4.2 Decomposição Primária em W (A) 51

4.3 Ideais contendo uma forma de dimensão ímpar 58

Referências Bibliográficas 67

Introdução

Desde seu nascimento (provavelmente na Babilonia) até 1936 o estudo de formas

quadráticas era feito com formas sobre o corpo dos números reais, o corpo dos números

complexos ou o anel dos inteiros. A fundamentação da teoria das formas quadráticas

sobre um corpo genérico apareceu em um trabalho de Ernst Witt, em 1937, onde

ele teve a brilhante idéia de considerar não só o estudo de uma forma quadrática em

particular, mas sim o conjunto de todas as formas quadráticas sobre um corpo genérico

de característica distinta de 2. Este conjunto, ele repartiu em classes de equivalências

e construiu um objeto algébrico - o anel de Witt - que tornou-se o principal objeto de

toda a teoria. Mas, demorou 30 anos para que fosse demonstrada a importância das

idéias de Witt por Albrecht Pfister com seus teoremas de estruturas, criando assim a

teoria "algébrica"da.s formas quadráticas. A partir daí, todo o estudo de classificação

de formas quadráticas se resume ao estudo da estrutura do anel de Witt.

Em [08] e [09], Knebusch, Rosenberg e Ware apresentam resultados sobre a es-

trutura de anéis de Witt vistos como quocientes de anéis de grupos abelianos. Com

tais resultados, obtemos a classificação dos ideais primos do anel de Witt das formas

bilineares sobre um anel semilocal.

Em [05] Robert W. Fitzgerald apresenta, um estudo sobre os ideais primários do

anel de Witt dos espaços bilineares sobre um corpo de característica distinta de 2.

Usando as técnicas utilizadas em [08], [09] e também em [04], neste trabalho apre-

sentamos o desenvolvimento de Fitzgerald para anéis de Witt dos espaços bilineares

sobre um anel semilocal sem impormos condições sobre 2 ser ou não inversível em

1

tais anéis.

Para tanto, nos capítulos I e II, apresentamos alguns resultados de álgebra comu-

tativa e noções básicas sobre espaços bilineares sobre anéis semilocais necessários à

compreensão do restante do trabalho.

O capítulo III contém resultados sobre a estrutura do anel de Witt, W (A), dos

espaços bilineares sobre um anel semilocal A. Mais precisamente, apresentamos a

caracterização dos geradores de W (A) e dos ideais primos de W (A). Alguns resultados

sobre assinaturas, os elementos nfipotentes e os elementos de torção de W (A) são

também apresentados neste capítulo.

O capítulo IV, consiste do que nos propomos a desenvolver no projeto, ou seja, as

generalizações dos resultados de Fitzgerald para o anel de Witt dos espaços bilineares

sobre um anel semilocal A. Na primeira seção, usando a caracterização dos ideais

primos de W (A), apresentamos a caracterização dos ideais 51-primários de W (A), para

cada tipo de ideal primo 53 de W (A). A seção 2 contém resultados sobre decomposição

primária em W (A) e, o principal deles, apresenta condições necessárias e suficientes

sobre o anel semilocal A para que todo ideal de W (A) seja decomponível. Finalmente,

na Ultima seção apresentamos alguns resultados sobre os ideais de W (A) que não estão

contidos no ideal fundamental 3(A), ou seja, sobre os ideais que contém formas de

dimensão ímpar.

2

Capitulo 1

Preliminares

Neste capítulo apresentaremos alguns fatos básicos de álgebra comutativa, bem

como a introdução e algumas propriedades dos ideais primários, necessários para o

desenvolvimento deste trabalho. Algumas demonstrações serão omitidas, as quais

podem ser encontradas na literatura, como por exemplo em [01]. No que segue e nos

demais capítulos, A denotará sempre um anel comutativo com elemento identidade 1.

Indicaremos por Spec (A) o conjunto dos ideais primos de A, por Spm (A) o conjunto

dos ideais maximais de A, por 3(A) o radical de Jacobson de A e por A* o grupo das

unidades de A. Assumiremos, também que todo A-módulo será unitário e que todo

homomorfismo de aneis leva elemento identidade em elemento identidade.

Os próximos resultados serão usados frequentemente no decorrer deste trabalho.

O primeiro deles caracteriza 3 (A).

Proposição 1.1 Um elemento x E A esta' em 3(A) se, e somente se 1 — xy E r,

para todo y E A.

Dem.: Ver (1.9) de [01].

Proposição 1.2 Sejam 3 um ideal de A contido em 3(A) e a E A. Então = a -I- 3

é uma unidade em A/3 se, e somente se a é uma unidade em A.

3

Dem.: Se a é uma unidade em A, então é imediato que a + 7 é inversivel em A/J.

Reciprocamente, se a + 3 E (A/3)", então existe b E A tal que (a +J)(b-1- J) = 1 + J,

ou seja, 1 — ali E 3 C 3(A). De (1.1) temos ali E A* e, consequentemente a E A. NI

Para 931 E Spm (A), denotaremos por Agx a localização de A em 931.

Proposição 1.3 Seja a E A. São equivalentes:

a E A*;

(ii) —a E (Awt)*, para todo 931 E Spm (A);

1

(iii) Ta 0 5 em (A1931)* , para todo 931 E Spm (A).

Dem.: Imediata.

Definição 1.4 Dizemos que um anel comutativo A, com elemento identidade 1 é um

anel semilocal se Spm (A) é finito, ou seja, se A tem somente um número finito de

ideais maximais.

Exemplo 1.5 Todo corpo é um anel semilocal, ou mais geralmente, todo produto

direto finito de corpos é um anel semilocal. Da correspondência entre os ideais de A e

os ideais do anel quociente, temos que toda imagem homomOrfica de um anel semilocal

é também semilocal. Mais ainda, se A é um anel semilocal, então AT também o é,

para todo 9) E Spec (A).

Proposição 1.6 Sejam A um anel semilocal com Spm (A) = {93.11, ,9314. Então

A A A x x —

onde denota isomorfismo de anéis.

(1)

4

Dem.: Segue diretamente de (1.10) de [01]. •

Como, neste trabalho, apresentaremos um estudo dos ideais primários do anel de

Witt dos espaços bilineares sobre um anel semilocal, achamos conveniente recordar

o conceito e alguns resultados básicos sobre ideais primários de um anel comutativo.

Tais resultados serão apresentados sem demonstrações as quais podem ser encon-

tradas, por exemplo, em [01].

Definição 1.7 Um ideal J do anel A é dito ser um ideal primário se A e se

xy E J, então z E J ou yn E J, para algum n > O. Em outras palavras, J é um ideal

primário de A se, e somente se Ar O e todo divisor de zero em Ar é nilpotente.

Seja J um ideal primário de A e r(J) = {z E A; zn E J, para alg-umn > 1} o

radical de J, o qual é um ideal primo. Se r(J) = P E Spec (A), dizemos que J é um

ideal T-primário. Recordemos também que dados J e 3C ideais de A, o ideal quociente

de J por 3C é o ideal de A, (J : 3C) = {z E A; x3C C J} .

Mais ainda, um ideal J do anel A é dito ser decomponível se J admite uma decom-

posição como uma intersecção finita de ideais primários. Todo ideal decomponível J

admite uma decomposição primária reduzida, ou seja,

J = Qi n f22 n n Qn,

onde os ideais {Q1, , Qn} satisfazem:

(i) Q é primário, para cada i = 1, , n;

(ii) r(Q) r(Qi), se i j, 1 < i, j, < n;

(iii) nQi gQ, para cada i = 1,..., ri.

Para cada ideal J de A, um ideal primo Te dito ser um divisor primo associado de

J se (3H Az) é T-primário, para algum z E A. Denotamos por Assoe (J) o conjunto

dos divisores primos associados de 1

5

Sobre a unicidade de decomposições primárias de ideais temos os seguintes resul-

tados gerais:

Teorema 1.8 Sejam 3' um ideal decomponível de A e n Qi uma decomposição

primária reduzida de 1 Se Ti = r(Q.i), 1 < i < n, então estes são precisamente os

ideais primos que aparecem no conjunto de ideais {r(3 : Az); x E A} e, portanto,

são independentes da particular decomposição de1

Dem.: Ver (4.5) de [011

Um conjunto E c Assoe (3') é dito ser um conjunto isolado, se E satisfaz a

seguinte condição: Se T é um ideal primo associado com 3' e? C T para algum

Te então então ? E.

Como um segundo teorema de unicidade de decomposições primárias temos:

Teorema 1.9 Sejam 3' um ideal decomponível de A, e 0 04 uma decomposição primdria reduzida de 3', e {Ti1, , Ti„,} C Assoe (3) um conjunto isolado. Então

n ...n sz,„ é independente da decomposição.

Dem.: Ver (4.10) de [01].

Sejam A um anel e M um A-módulo. Para um ideal 3' de A, denotamos por M(3) A , A

o 5-modulo M (5-) 1-='' 3,—m, onde ® denotará sempre 0A. Para T E Spec (A),

denotamos por MT o AT-módulo M AT. Um A-módulo M é dito ser livre se M

admite uma base, ou seja se existe um conjunto Ixi; i E 11 de elementos de M, tais

que M e A xs. Se, além disso, 1' é finito com m elementos, dizemos que M é livre ¡Er

de dimensão m e escrevemos dim (M) = m.

6

Proposição 1.10 Seja A = x x Fr um produto direto finito de corpos. Se M

é um A-módulo livre de dimensão m, então M M1 x x Mr onde cada Mi é um

Fi-espaço vetorial de dimensão m, para i =1, , r.

Dem.: Segue diretamente do fato que o produto cartesiano comuta com a soma

direta

Proposição 1.11 Sejam A um anel sernilocal, 3 um ideal de A com 3 c 3(A) e M

um A-módulo. Se {x1, , x.,,} C M são tais que ,^±7,} é uma base de M(3)

sobre A13, então {xl, , x„} é uma base de M sobre A.

Dem.: Seja N = Axi + ...+ Ax„ C M. Desde que , é uma base de

M(3) sobre A13 e N(3) = (A13)W..+ + (A13), temos que M(3) = N(3), ou

seja, M/3 M = N13 N. Assim M = N + 3M e, desde que 3 C 3(A), do Lema de

Nalsayama temos que M = N, ou seja {xt, , x,,} é um conjunto de geradores de

M.

Se existe i = 1, , n tal que xi E A xi + • . + + xi-Fi + • • • + x„, então

Yi E (A/3) (A/3) irli+ (A/3) ri Fi ... (A/3), o que contradiz o fato

de {±7, • • • , ser uma base de M(3). Consequentemente, {xl, , x„} é uma base

de M sobre A, como queríamos.

Seja A um anel. Uma seqüência de A-módulos e A-homomorfismos

• • • --> --> --> Mi+i -->

é dita ser exata em Mi se Im (A) = Ker (fi+1). Se a seqüência é exata em cada Mi,

então dizemos que ela é uma seqüência exata.

Uma seqüência exata do tipo O --> M2 --> M3 --> O, é chamada uma

seqüência exata curta.

7

Dizemos que uma seqüência exata

--4.4,4_4 24 Mi L14 ALHA

cinde em Mi, se o submódulo X = Im (A) = Ker é um somando direto de M.

No caso de uma seqüência exata curta O —4 X —4 Y Z —4 O, obviamente temos que ela cinde em X e Z. Se, além disso, a seqüência cinde em Y, dizemos

apenas que a seqüência exata cinde.

Proposição 1.12 Se uma seqüência exata curta de A-módulos

ZY-4Z-40

cinde, então Y é isomorfo, como A-módulo, à X e Z.

Dem.: Desde que a seqüência exata O X 2-). Y Z O cinde, temos que

X é um somando direto de Y, ou seja Y = X e W, para algum A-módulo W. Temos,

também que X =Im(f) = Ker(g). Assim, desde que g é sobrejetor, temos

Ker (g) 1=1 Im (g). Z.

Portanto, Z é isomorfo ao complementar de X em Y, ou seja, Z W como

A-módulos. Assim Y = X e Wr-L-J- X e Z, como queríamos.

Um A-módulo P é dito ser um A-módulo projetivo se satisfaz uma das seguintes

condições equivalentes:

(a) P é somando direto de um A-módulo livre.

(b) Toda seqüência exata curta de A-módulos O M N P O, cinde.

(c) Para toda seqüência exata curta de A-módulos O X Y Z O, a

seqüência de A-módulos

O Hom (P, X) Hom (P, Y) —4 Hom (P, Z) —4 O

é exata.

8

(d) Para todo diagrama de A-módulos e A-homomorfismos

M N O

existe um levantamento de cp, cp* : P M, tal que o diagrama abaixo é

comutativo, isto é, tiy o = cp.

M N O

Não apresentaremos aqui a demonstração das equivalências que caracterizam um

A-módulo projetivo, pois fojem dos objetivos de nosso trabalho mas, esta caracteri-

zação é clássica e pode ser encontrada, por exemplo, em [12].

É imediato que todo A-módulo livre é também projetivo.

Se M é um A-módulo projetivo finitamente gerado, e 931 e Spm(A), definimos o posto de M módulo 931, como sendo a dimensão do (A/931)-espaço vetorial M(931).

Dizemos que M é um A-módulo projetivo finitamente gerado de posto constante se a

aplicação p: Spm (A) Z, definida por p(931) = M(931) é constante.

A teoria algébrica das formas bilineares sobre anéis é desenvolvida na categoria

dos módulos projetivos finitamente gerados e de posto constante. Finalizaremos este

capítulo mostrando que, sobre anéis semilocais, esta categoria coincide com a catego-

ria dos módulos livres de dimensão finita. Para tanto, usaremos o seguinte resultado

auxilias.

Lema 1.13 Sejam P um A-módulo projetivo finitamente gerado e 3 C 3(A) um ideal

de A. Se P(3) é um (A13)-módulo livre, então P é um A-módulo livre.

9

Dem.: Desde que P(3) é um (A/3)-m6dulo livre e P é finitamente gerado, então

existe m E IN tal que P() rad (A13)m. Considerando as sobrejeções naturais de P em

P(D) e de Am em (A/3)"', temos o seguinte diagrama de A-módulos.

A"'

Ir I I"

p(J)

st, (A)

onde 7r denota as sobrejeções naturais e (,7, é um isomorfismo de (A/3)-módulos e,

portanto, de A-módulos. Temos então o diagrama

Voir

Am (A)r -3.-0 3

e, desde que P é projetivo, temos que existe (,/, : P Am tal que o diagrama abaixo

é comutativo

P Am

ri lir (A)m PP),

3

Agora, é suficiente mostrarmos que (,/, é um isomorfismo. Desde que 7r o cp (7, o 7r

sobrejetor, temos que r(Im (ço)) = (A/)m, ou seja, Im ((,o) -I- = Am. Como

3 c 3(A), do Lema de Nakayama temos que Im ((,o) = Am, isto é, (p é sobrejetor.

Logo temos a seqüência exata O Ker() P A" O. Mas, Am é um

A-módulo livre e, portanto projetivo, o que implica que P Ker ((p) G Am. Assim (,o

Ker ((,o) é um A-módulo finitamenteKer ()

gerado tal que

— Ker () = {O}, pois 3 Ker()

(roé injetor.

Portanto Ker ((p) 3 Ker ((p) e, novamente pelo Lema de Nakayama, temos que

Ker ((,o) = {O}, o que completa a demonstração. •

10

No que segue, exceto menção em contrário, A denotará um anel semilocal,

Spm (A) = {9J11,... , 931,.} o conjunto do todos os ideais maximais de A, e todos

os módulos considerados serão A-módulos.

Teorema 1.14 Todo módulo projetivo finitamente gerado e de posto constante sobre

um anel semÜocal é livre.

Dem.: Seja P um módulo projetivo finitamente gerado e de posto constante sobre

A, com n= p(P), ou seja, n = dimA/ (P(9ftj)), para qualquer gRi E Spm(A). Para

3(A)P' temos

e e ('4"1 e Tí, \ 931r)

93tr)

Logo P é um A = (Af3 (A))-módulo livre de dimensão ii e, do lema anterior, segue

que P é um A-módulo livre.

11

Capítulo 2

Espaços Bilineares

Neste capitulo apresentaremos a noçá3 e alguns resultados básicos da teoria das

formas bilineares sobre um anel sernilocal A. Alguns destes resultados valem mais

geral para um anel comutativo com elemento identidade.

Em geral, a teoria das formas bilineares sobre um anel A, é feita na categoria dos

A-módulos projetivos finitamente gerados e de posto constante. COMO os principais

resultados apresentados neste trabalho são sobre espaços bilineares sobre alieis semilo-

cais e, de (1.14) temos que, neste caso, todo módulo projetivo finitamente gerado e

de posto constante é livre, por conveniência de redação, trabalharemos desde o inicio

com a categoria dos A-módulos livres de dimensão finita. Denotaremos tal categoria

por C (A). Exceto quando mencionado o contrário, Ø significará sempre 0A. Para

cada M E (A), denotaremos por M" o A-módulo dual HomA (M, A) E se (A).

2.1 Definições

Definição 2.1 O par (M,b) consistindo de um módulo M E £.(A) e de uma forma

bilinear simétrica b:MxM A é dito ser um módulo bi/inear sobre A. O módulo

bilinear (M, b) é não singular, ou simplesmente e um espaço bilinear, se a função

A-linear db : M M", definida por db(x) = b(x, ), para todo x E M, é um isomor-

12

fismo de A-módulos. A função db é chamada a adjunta da forma bilinear b. Se o

A-módulo M tem dimensão n, dizemos que o espaço bilinear (M, b) tem dimensão

22 e indicamos por dim (M, b) = n, ou simplesmente por dim (AI) = ri, ou ainda

dim(b) = n. Uma isometria entre dois módulos bilineares bi) e (M2, b2) é um

isomorfismo de A-módulos (i) : M2, que preserva a forma bilinear, ou seja,

bi(x, y) = b2(v)(x), c,o(y)), para todo x, y E Mi. Quando existe uma isometria entre

(Mb bi) e (M2, b2) dizemos que os módulos bilineares são isometricos e denotamos

por (Mi, bi) (M2, b2), ou simplesmente 61 62, ou ainda Mi r=' M2.

Se (M,6) é um módulo bilinear sobre A e {x1, • - • , xn} é uma base de M, então a

forma bilinear b é determinada pela matriz quadrada (Ni) = (6(xi,x i)), 1 < i, j < n,

pois para x = cri xi e y = E ai, em M, temos b(x, y) = E bii ai A. Recipro- i=1 1=1

camente, para cada matriz simétrica ri x n, (bii) sobre A obtemos uma forma bilinear

simétrica sobre M dada pela mesma fórmula descrita acima e, o módulo bilinear

(M, 6) é não singular se, e somente se det (bii) é uma unidade em A.

Chamaremos de determinante do espaço bilinear 6 e denotaremos por det (b) o

determinante da matriz (ki). No que segue, identificaremos um elemento x E M, com

o vetor das coordenadas de x em relação a uma dada base de M. Mais ainda, como

um módulo (M, 6) é caracterizado por urna matriz quadrada (Ni), usaremos também

a notação 6 = (bi) para indicarmos a forma bilinear 6.

Denotamos a categoria dos espaços bilineares sobre A por 93i/ (A), onde os mor-

fismos desta categoria são as isometrias. Em 93i/ (A) definimos duas operações, uma

soma e um produto.

Definição 2.2 Definimos a soma ortogonal dos espaços (M„ 6) E Bi/ (A), como

sendo o módulo bilinear

bi) -I- (m2,62) = (mi e m2, bi 1 b2),

onde (6 1 62)(xii-x2,yn-y2) = Y1)+62(x2, y2), para todo xi, yi E Mi, i = 1, 2.

13

É fácil ver que (Mi eM2, b1 _L b2) é de fato um espaço bilinear sobre A. Denotamos

este espaço simplesmente por bi _L b2, ou ainda Mi _L M2.

Definição 2.3 Definimos o produto tensorial dos espaços (Mi, bi) E 13i/ (A), i = 1,2,

como sendo o módulo bilinear

bi)(E) (M2,b2) = (Mi (E) M2,b1 (E) b2

onde (bi 0b2)(xt 0x2, 0y2) = (xi , yi)b2(x2, y2), Para todo z , y/ E M. Novamente,

pode-se ver que este módulo é não singular, ou seja, é de fato uru espaço bilinear sobre

A. Denotamos este espaço por bi e 62.

Mostra-se facilmente que essas duas operações são associativas, comutativa e o

produto tensorial é distributivo em relação a soma ortogonal. Além disso, as duas

operações são compatíveis com a relação de isometria, ou seja, se b2 e 11 14,

então

1,1 ±bÇ b2 ±b5 e b1el4b2el4.

Exemplo 2.4 Sejam M=Axea E A. A forma bilinear b:MxM 24 definida

por b(y x,fl x) = -y )5' b( x, 4 = 7,6 a, para todo 7, fl E A, é não singular se, e somente

se a E A*. Denotaremos esta forma bilinear, simplesmente por (a). Mais geralmente,

a forma bilinear b = (ai) 1. _L(a„) será denotada por b = (ai,... ,a) e, neste

caso, b é não singular se, e somente se ai a2 ar, E A.

Sejam M = A xeD y e a, )3 E A. Definimos uma forma A-bilinear b:Mx M A

por b(x, x) = a, b(y, y) = )3 e b(x,y) = 1. Esta forma bilinear é denotada por

( a i\ b = e, b e não singular se, e somente se 1—afl E A.

1 )5'

2.2 Extensão de escalares

Sejam p: A --+ A' um homomorfismo de anéis e (M, b) E 13i/ (A). É facil ver que

se {xi, x2, • • , xn} é uma base de M sobre A, então {xi 0 1, x2 0 1, • • • , x,, 0 1} é

14

uma base de M (2) A' sobre A', ou seja, MO A' E (A'). Sobre tal A'-módulo difinimos

uma forma bilinear simétrica h' = b (2) A' por b'(x 0a, y®/3) = w(b(x, y)) a )3 para todo

x, yEM e a, )3 E A. Agora, se (bii) = (b(xi, x5)) é a matriz associada ao espaço

bilinear (M,b), então, em relação à base {x1 0 1, • • • , xn 0 1} de M 0 A', o módulo

bilinear (M o A', b') tem a matriz associada (V= (b'(xi 0 1, xi 0 1)) = (b(xi,x5)) =

(bi5), o que mostra que h' é também não singular. O espaço bilinear (M o A',b o A')

de 23i/ (A') é dito ser o espaço obtido de (M,b) por ostensão de escalares.

Em particular, para 911 um ideal maximal de A, seja cp : A —s• Amt o homo-

morfismo canônico w(a) = para todo a E A. Dado (M,b) E Bi! (A), temos que

v M (2) Aart Mart e, bifit = b (2) kyr é dada por &ia

b(x,y)para todo

x, yEM e a, )3 E A — O espaço bilinear (Mart,bon) é chamado a localização

de (M,b) em Tt.

Para um ideal 3 qualquer de A, considerando a projeção canônica cp : A AP,

temos que para todo espaço bilinear (M, b) E i1 (A) w*(M,b) = (M(3), b(3))

um elemento de Bi/ (A/3), onde M(3) = M o (AP)2=1- Mig M e b(3, -g) =

w(b(x,y)) = b(x,y), para todo E M M. O espaço (M(3), b(3)) é chamado a

redução módulo 3 de (M,b).

Com esta noção de redução e localização para módulos bilineares temos

Proposição 2.5 Seja (M,b) um módulo bilinear sobre A. São equivalentes:

(i) (M,b) é não singular;

(ii) (Mon,bon) é não singular, para todo Tt E Spm (A);

(iii) (M(9R),b(931)) é não singular, para todo Tt E Spm (A).

Dem.: Basta observarmos que dada uma base {xt, , xn} de M, temos que ,

—xl

— e uma base de Mart sobre liga e que {zi M(9'10, • • xn M(9)2)} é

1 xn }1

uma base de M(9)1) sobre A/9)1. Agora, a demostração da proposição segue de (1.3)

e da definição de não singularidade. •

15

Outra forma de redução que usaremos no decorrer do trabalho é quando

A = F1 x x Fr é um produto finito de corpos e, (M, b) um módulo bilinear sobre

A. Neste caso, para cada i = 1, , r a i-esima projeção canônica 7rj : A

induz uma redução irr(M,b) = (M„bi), onde bi = 7ri o b. De (1.10) temos que M-r=4 M1 x x /11,. e, 7r = (ri, , r,.) induz a redução

e(M,b) = (Mhbi) x • •X (Mr,br),

onde b = r*(b) = (r1 o b, . . . , ir o = (b1, . . . , br). Com estas notações temos:

Proposição 2.6 Se A = Fl x ...x Fr e (M, b) é um módulo bilinear sobre A com

M = M1 x ...x Mr, então b = (b1, , br) e (M,b) é não singular se, e somente

se (Mi,bi) é não singular, para cada i =1, , n.

Dem.: Basta observar que a adjunta de b, db = (c11,1, , dt„.) e, consequentemente,

4 é um isomorfismo se, e somente se cada 44 o é, para i = 1, , r. •

2.3 Subespaços

Seja (M, b) um módulo bilinear sobre um anel A. Para cada subconjunto U de M,

o conjunto

= {x E M; b(x,y)= O, V y E U},

é um submódulo de M, chamado o complemento ortogonal de U em relação à b.

Dizemos que dois subconjuntos U, V de M são ortogonais se U C VI ou, equi-

valentemente, V C U-L. Com esta terminologia temos o seguinte lema de imediata

verificação.

Lema 2.7 Sejam (M, b) um módulo bilinear sobre A e U, V subconjuntos de M.

(i) Se V C U, então Ui

16

(1) U C Ui 1;

(ih) U-I-

Dem.: Imediata.

Um submódulo U de M e dito ser um subespaço de (M, b) se U é um somando

direto de M. Dizemos que x é um elemento primitivo de M se Az é um subespaço

de M.

Se U e V são submódulos de M tais que M=UeVeUC VI, dizemos que M é

a sorna ortogonal de UeVe denotamos por M = U 1 V. Denotaremos por (U,blu)

a restrição da forma bilinear b ao subespaço U de M. É imediato que seM=U_LV,

então (M, b) (U,b1u) -L (V, blv).

Um subconjunto UCMé dito ser totalmente isotrópico se U C U. Dizemos

que um elemento xEMé isotrópico se Az é um subespaço totalmente isotrópico

de M, ou seja, x é um elemento primitivo de M tal que b(x, x) = O. Um elemento

yE M é dito ser anisotrópico se A y é um subespaço de M com b(y, y) E A*. Dizemos

também que o espaço bilinear (M, b) é um espaço bilinear isotrópico se M contém

um elemento isotrópico. Se todos os elementos de M são anisotrOpicos dizemos que

(M,b) é um espaço bilinear anisotrópico.

Proposição 2.8 Seja (M, b) um módulo bilinear sobre A.

(i) Se AI é não singular eUCM é um subespaço, então Us é um subespaço de

M e U =- Uss-

(ii) Seja U C M um submódulo tal que (U,blu) é não singular. Então U é um

subespaço de M eM=U1.

Dem.: Se (M,b)é não singular e U é um subespaço de M, então existe um submódulo

V de M tal que M = U V. Assim, Ms = (U V)* Us ®V* e, temos a seqüência

17

exata M* U* O. Como (M, b) e um espaço bilinear não singular, temos que

a adjunta de b, d : M —> M* é um isomorfismo. Compondo este isomorfismo com

a seqüência acima, obtemos a seqüência exata M U* O, onde o núcleo da

composta d : M —> U* é exatamente U1. Agora, U* é projetivo, pois é somando

direto do A-módulo livre M*. Portanto a seqüência exata curta

cinde, ou seja, M U1 e U. O que mostra que U1 é um subespaço de M. Mostremos agora que U1 = U11. Para simplificar a notação, denotaremos também

por b as restrições da forma bilinear b a subespaços de M. O isomorfismo d. — —> U*

induz uma forma bilinear não singular b: U x — A, para todo subespaço U de

M, onde b(x, y) = d(p)(x) para todo xEU e yE (M/U1). Em particular, para

o subespaço U1 temos uma forma bilinear não singular b: x — A. Por U11

outro lado, temos o isomorfismo Mas- (Uh)* e u que decorre dos isomorfismos

M* U**, d : M —> M* e Un U.

Assim obtemos o isomorfismo d : — (UI)* que induz uma forma bilinear não

singular b: TI1 x (7.-31 A. Destas duas bilineares e do fato que U C U11, segue que

U = •L . Pois se U U11, então existe y E —U e, das duas formas bilineares

obtidas, temos —Tf nt, (Ui)* -Ta. Como y E Un, então para todo x E Ui,

d(y)(x) = b(x, y).-= O. Por outro rad°, como y U, temos que d(y) O. Assim existe

z E U1 tal que d(y)(z) O, ou seja, b(z, y) O, o que é uma contradição. Portanto

U = U11, o que mostra (i).

Seja agora, (U,b1u) um subespaço não singular de (M,b). Então d : U —> U*

é um isomorfismo. Mas, cada elemento x E M define um elemento x* em U* por

x*(y) = b(x, y) = d(x)(y), para todo y E U. Como d U —> TI é sobrejetora, temos

que existe z E U tal que d(z) = d(x), ou seja, b(z, y) = b(x, y), para todo y E U.

Logo b(x, y) — b(z, y) = O, o que implica que b(x — z, y) = O, para todo u E U. Assim

18

x — z E Ui e, como x = z (x — z), temos que M = U +Ui. Do fato de d: U Erk

ser injetora segue que {O} = Ker (dity) = Ker (d) n U = n U, o que mostra que M = U Ui e, juntamente com o fato que U C Un temos o item (ii).

Corolário 2.9 Sejam M um espaço bilinear sobre A e U um subespaço totalmente

isotrópico maximal de M, isto é, U = U-L . Então existe um subespaço V de M tal

queUalV* eM=U®

Dem.: Da demonstração do item (1) da proposição anterior, temos que M U-L ®U*.

Tomando V = U* temos V* = U** U e, como U = UI, obtemos M U ® V, como

queríamos. •

Corolário 2.10 Sejam (M,b) um módulo bilinear sobre A e 2 um ideal contido no

radical de Jacobson 3(A) de A. Se (M(2), b(2)) admite uma decomposição ortogonal

M(2) = N() _L W(2), com N() livre sobre An tal que (N(2),b(2)) é não singular,

então existe uma decomposição ortogonal M = N _L W de (M, b) com N livre sobre

A e (N,b) não singular tal que N(2). e W(2) = — W •

Dem.: Desde que (N(1), b(2)) é um subespaço não singular de (M(2), b(2)) com N(2)

livre sobre A/2, temos que existe uma base , Yr,} de N(2) sobre A/2 tal que

det(b(2)(7)) E (A/2). Da proposição (1.11) temos que N = A xi ... Ax„

um A-módulo livre com base {xi, , x„} e N(2) = A matriz da forma bilinear

b I N, (b(xi, xj)), é tal que det(b(xi, xj)). det(b(xi, xj)) = det(b(2)(, E (A/2)*.

Agora segue de (1.2) e da definição (2.1) que (N,b) é um subespaço não singular de

M, e o resultado segue de (2.8).

Finalizaremos esta seção mostrando que todo espaço bilinear sobre um anel semilo-

cal admite uma decomposição como soma ortogonal de subespaços de dimensão < 2.

19

Para tanto, iniciaremos com algumas definições e resultados auxiliares.

No que segue, usaremos as notações A para indicarmos o anel Afg (A) e (M,-6)

para indicarmos a redução módulo (A) do espaço bilinear (M, b) E i1 (A).

Dado (M, b) E 23i1 (A), considere o subconjunto {b(x,x); x E M} de A. Se o ideal

gerado por este subconjunto é todo o anel A, diremos que o espaço bilinear (M, b)

próprio. Caso contrário, dizemos que (M, b) é um espaço bilinear impróprio.

Segue imediatamente desta definição e de (1.2) que

Lema 2.11 Sejam A um anel semiloeal e (M, b) E 3il (A). Então (M, b) é um espaço

bilinear próprio se, e somente se (M, b') é um espaço bilinear próprio sobre A.

Dem.: Imediata.

Agora, se A = Fl x x Fr é um produto finito de corpos e (M, b) E 3il (A), da

proposição (2.6), temos que (M, b) = (M1, bi) x x (Mr,br), com (Mi, bi) E i1 (Fi)

e bi = ri o b, para cada i = 1, , r. Neste caso temos

Lema 2.12 O espaço bilinear (M, b) é próprio se, e somente se (Mi, b) é próprio,

para cada i = 1, , r.

Dem.: Basta observar que se 3 é o ideal de A gerado por {b(x,x); x E M} e, para

cada j = 1, ,r, 3J é o ideal de F, gerado por {bi(xi,xj); xi E Mi}, então

= 31 x x Jr. Assim, = A se, e somente se = F.i, Para cada j = 1, , r.

No caso em que A é um anel semilocal, temos o seguinte teorema de decomposição

para espaços bilineares

Teorema 2.13 Seja (M,b) um espaço bilinear sobre um anel semilocal A.

(i) Se (M, b) é próprio, então (M, b) é uma soma ortogonal de subespaços de di-

mensão 1, isto é, M admite uma base ortogonal em relação à forma bilinear b.

20

(ii) Se (M,b) é impróprio, então (M,b) é uma soma ortogonal de subespaços de

( 1) dimensão 2 da forma a

, com a, /3 E A tais que 1 — c 03 E A. 1 13

Dem.: Dos lemas (2.11) e (2.12), é suficiente mostrarmos o teorema para (M,S)

sobre 71 = (A). Podemos então assumir que 0(A) = {O}, ou seja, que A =

x x Fr é um produto finito de corpos e, consequentemente M = x x M,.

com b , b,.). Também, usando indução sobre r, é suficiente mostrarmos o

caso em que r = 2.

Seja (M,b) = (M1, b) X (M2) b2) E (A), onde A = F1 x F2, com F1, F2 corpos.

Faremos agora a demonstração por indução sobre dim(M). Se dim(M) = 1, nada

há a demonstrar. Se dim(M) > 1 e (M,b) é próprio então de (2.12) temos que

(M,b) é um espaço bilinear próprio sobre o corpo F, para cada i = 1, 2. Como o

ideal gerado por {bi(xi,xi); xi E Mi} é F, para cada i = 1, 2, temos que existem

x1 E MI, x2 E M2 tais que bi(xi,x1) O o b2(x2, x2) O. Assim, x = (XI, X2) E M

é tal que b(x,x) = (61(xi,x1), b2(x2, x2)) E A* = x F; e, consequentemente,

(A x,b) é um subespaço não singular de dimensão 1 de (M,b). De (2.8) temos que

(M,b) = (A x,6) _L(W,b), com W = (A x)1. Se (W,b) é próprio, então por hipótese

de indução (W, b) é uma soma ortogonal de subespaços de dimensão 1 e, portanto,

(M,b) também o é.

Se (W, b) é impróprio, desde que (W, b) = (Wh bi) x (W2, b2), temos de (2.12) que

(W1, bi) é impróprio ou (1V2, b2) é impróprio. Temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Se (W,b) é impróprio para i = 1, 2. Neste caso, desde que (W,b)

não singular, existem y = (yi, y2), z = (zi, z2) E W tais que bi(yi,zi) O em

i = 1, 2. Consequentemente, b(y,z) E A*. Tomando w1 = x y e w2 = x z, b(x, x)

COM À =

E A, temos que (A wi -I- A w2, b) é um subespaço não singular de b(y, z)

(11 1,6), Pois (b(w,,wi)) = b(WI, W1) 6(W1, W2) ) b(x, x) )

u(w2, wi) b(w2, w2) O 6(x, x) Mais

21

ainda, {wi, w2} é uma base ortogonal deste subespaço. Assim, de (2.8)

(M,b) = (A w , b) _L (A w2, b) _L (N,b)

com (A w2, b) _L (N, li) próprio que, por hipótese de indução, admite uma base orto-

gonal. Juntando esta base com wi, formamos uma base ortogonal de (M ,b).

Caso 2 - Se um dos espaços (W„ bi) é próprio, renomeando se necessário, podemos as-

sumir que (W1, b1) é impróprio e (W2,62) é próprio. Então, neste caso,

existem yi, zi E Wh yi $ z1, e 112 E W2 tais que bi(Yin zi) O em Fi e

b2(Y2, Y2) $0 em F2. Agora, OS elementos wi =fri yi, z2) e W2 -"r- (x1 + A Z17 112)

de M com À = Xi)

E P7 , são tais que b(yi, zi)

(b(wn w.i)) = (bi(x l, xi), b2(z2, x2)) (0,0)

(0,0) (bi(x1,zi),b2(Y2,Y2))

ou seja {w1, w2} é uma base ortogonal de um subespaço não singular de (M, b) e, como

no Caso 1, temos que (M, b) admite uma base ortogonal. Com isso, completamos a

demostração do item (i) do teorema.

Consideremos agora que dim(M) > 1 e que (M, b) = (Mi , bi) x (M2, b2) é um

espaço bilinear impróprio sobre A = F1 X F2. De (2.12) temos que (M1,1)1) é impróprio

ou (M2, b2) é impróprio. Novamente temos dois casos a considerar:

Caso 1 - Se (M„ b,) é impróprio para i = 1, 2. Neste caso, como no Caso 1 acima,

existem y, z E M, y z, tais que b(y , z) E A. O conjunto {y, z} forma uma base

de um subespaço não singular de (M, b), pois a matriz da forma bilinear b em relação

à estes elementos é

(b(y,y) b(y,z))

b(z, y) b(z, z) b(y, z) O

que tem determinante inversivel em A. Logo, mostramos que (M, b) admite um 1

subespaço não singular de dimensão 2. Trocando z por À z, com À — b(y z)

, temos que ,

22

1 (M, b) admite um subespaço não singular da fo

a rma , com 1—a 0 =1 E A.

1 0

E F;, temos que {ui, w2} é uma base de um subespaço de dimensão 2 62(z2, Z22 de (M, ) e, a matriz da forma bilinear restrita à este subespaço é (b(wi,w2)) =

( a 1 )

1 0 onde a = b(wi, uh) = (O, b2(Y2, Y2) b2(z2, z2)) E A e 0 = b(w2, w2) =

(O, Mb2(z2, z2)) E A são tais que 1 — a o = (1, 1) (O, b2(Y2, Y2) +1) = b2(z2,z2)

(1 b2(Y2, Y2)) E A. Agora, o item (ii) do teorema segue de (2.8) e da hipótese de

k. b2(z2,z2) indução, pois todo subespaço não singular de um espaço bilinear impróprio é também

impróprio. •

Corolário 2.14 Todo espaço bilinear próprio sobre um anel semilocal A é da forma

(ai, , an), com ai E A*, 1 < i < n.

Dem.: Imediata.

2.4 Espaços Metabólicos e Hiperbólicos

Encerramos este capítulo com a definição e a caracterização dos espaços metabó-

licos e hiperbólicos, os quais são essenciais para a definição dos anéis de Witt que

Caso 2 - Se um dos espaços (Mi, b,) é próprio. Sem perda de generalidade, pode-

mos supor que (M1, b1) é impróprio e (M2, b2) é próprio. Como no Caso 2 anterior,

podemos obter {y1, zi} C TV1, {y2, z2} C W2 tais que bi(yi, zi) O, bi(Yi, Yi) = bi(zhzi) = O, b2(y2, z2) = O, b2(Y2, Y2) O e b2(z2, z2) O. Tomando

= (Yi, Y2 + Z2) e w2 = (À1 A2 Z2) em M, onde AI = 1

bi(Yi, zi.) Fl. e A2 = 1

23

apresentaremos no próximo capítulo.

Seja (U, b) um módulo bilinear sobre A. Definimos em U e cr* uma forma bilinear simétrica bu por:

bu(u u* ,v + v*) b(u,v) u*(v) v*(u),

para todo u, v EUe u*, v* E U*. Ao módulo bilinear (U e u*, bu) damos o nome de espaço metabólico e denotamos por 1111(U,b), ou simplesmente por 1111(U), ou ainda

1111(b). Provamos a seguir que este módulo é de fato não singular.

Proposição 2.15 Para todo módulo bilinear (U, 6) sobre A, E (U) é um espaço

bilinear.

Dem.: Consideremos {ei, , e,, et, , e*„} uma base de 1111(U) = U e U*, onde {ei, , e„} é uma base de U e {et, , e} é a base dual de U*. A matriz de bu

com relação a esta base é a matriz em blocos

(bu(ei, ei)) = 'o

onde o bloco b é a matriz associada ao módulo bilinear (U, b), I é a matriz identidade

n xneOéa matriz nula ri x n. O determinante desta matriz é — det(/) det(/), isto

é, a matriz associada a forma bilinear simétrica bu é inversível e, portanto 1151 (U) é

um espaço bilinear não singular, como queríamos. •

Em 1111(U) o subespaço U* é sempre totalmente isotrópico, o mesmo pode não

ocorrer com U. Se b =. O, então U também é um subespaço totalmente isotrópico

de 1111(U). Neste caso, dizemos que 1111(U, O) é um espaço bilinear hiperbólico que

denotaremos também por H (U).

Se U = A x, então 111(U) = ( O 1

, será chamado de plano hiperbólico e 1 O)

denotado simplesmente por H. Todo espaço bilinear hiperbólico é uma soma ortogonal

(b I"

24

(ti ((ah- • • , cx,i) r= all 1

ol

de planos hiperbólicos. De fato, consideremos (U,O) tal que dim(U) = n. Sejam

{el, • • • , en} e {4, • • - , en} bases de U e 17, respectivamente. Podemos considerar

{e', 4, 62, 4, • • • , e,„ e*n} como base de Ue ti* e em relação a esta base

11(U) ( O 1 )

1 O

( O 1 ) _L ..._L

1 O

com n parcelas. Portanto, 111(U) n H, onde n = dim (U).

Consideremos agora, (U, b) = (Az, (a)), então

((12)) = ( a 1 )

• 1 O

Mais geralmente,

Proposição 2.16 Se 2 é uma unidade em A, então todo espaço metabólico é hiper-

bólico. Além disso, 11:1•-• (1, —1).

Dem.: Das decomposições ortogonais de 1H (U) e de 1N1(U) listadas acima vemos que

é suficiente mostrarmos que, para todo a E A, temos

( a

1

1

O

O

1

1

O )

Seja (Ax e Ay,b) = ( 0

,ou seja, b(x,x) = a ,b(x,y) = 1 e b(y,y) = O. c : )

Os elementos x' =x—Eye y' =yEAxEDAy são tais que b(x',x') = O = b(y',y') 2

O 1 é um subespaço não singular de

1 0 e b(x' , = 1. Assim (A x' e Ay' =

25

( a 1 ) Agora,de (2.8) e do fato que ambos são espaços bilineares de dimensão

1 O 2, temos que

a O 1

1 0 ) ( 1 O )

(•

Além disso, se H = "o i\

1 O , com base {x', y'} corno acima, então Az" e A y",

+ V ,

2 onde x" = e y =

2 e um subespaço não singular de II da forma (1, -1)

e, como acima, obtemos que Et (1,-1).

Teorema 2.17 Seja (M,b) um espaço bilinear sobre A. Se UCMé izm subespaço

totalmente isotrópico de M, então existe um subespaço V C M tal que M = U e V

e (U e V, b) é metabólico.

Dem.: De (2.8) temos que Ui é subespaço de M e então existe V C M tal que

M = U-'-eV. Mais ainda, da demonstração de (2.8), temos que b: U x A

é não singular, isto é, b:Ux V A é não singular. Obtemos assim o isomorfismo

d : U V*. Temos que U n v = {o}, pois U C Ui e Ui n v = {o}. Assim U e V

é um subespaço de M. Mostremos que b: (U e V) x (U e V) A é dão singular.

COMO U C Ui, a matriz de b em relação a decomposição (U e V) x (U e V) = (U x U) e (U x V) e (V x U) e (V x V), é a matriz em blocos

B= (o B12

B12 B22

onde B12 é a matriz de b luxv e B22 é a matriz de b ivxv • Comob:UxV--fle

não singular então B12 é inversivel. Assim

= - -

( .1312-1 B22 B-1 B-1 12 12 B-1 O 12

26

é a inversa de B, donde concluimos que B é inversivel, ou seja, (U e V, b) é não

singular e de (2.8) temos que M = (U e v) 1 (U e V)-1-. Seja f: U e V 1M (V) = V e r definida por f(u v) = v d(u), para todo

uEUevE V. Temos que f é um isomorfismo, pois é a soma da identidade com o

isomorfismo d. Mostremos que de fato f é uma isometria. Para todo u v, u' v'

em U e V, temos

bv(f(u + v), f(l/ + ti)) = bv(v d(u),vi d(u')) = b(v,v1) 4- d(u)(vi) d(u2(v).=

= b(v,v') b(u,v1) b(u1,v) = b(u v ,v1) 4- b(té,v 4- o) = b(u v,u' v'). Assim,

U e v BI (V), donde concluimos que (U e V, b) é metabólico.

Corolário 2.18 Se x E (M,b) é um elemento primitivo e isotrópico, então existe

y E M tal que (A xe A y, b) = ( O 1 )

1 b(y,y) é um subespaço metabólico não singular

&(z ,y')

é uma unidade. Tomando y — 1

y', temos que a matriz de b com relação a base b(x , y')

1 {x, y} é , como queríamos.

O próximo teorema caracteriza os espaços metabólicos.

Teorema 2.19 Seja (M,b) um espaço bilinear sobre A. Então (111, b) é um espaço

metabólico se, e somente se M contém um subespaço U totalmente isotrópico maxi-

mal, isto é, U =

de (M,b).

Dem.: No teorema anterior, consideremos U = Az, temos que existe V = A y' tal

que (Az e A y' ,b) é não singular e metabólico. A matriz de b com relação a base

{x, y'} é dada por ( O b(x,y1))

. Como b é não singular, temos que b(x,y1)

27

Dem.: Seja (M, b) um espaço metabólico. Então M = V e v. para algum módulo bilinear (V, b'). Como U = V* é um subespaço totalmente isotrópico, temos que

V* C (V)-1-. Vamos mostrar que (r)i C r, ou seja, que r é um subespaço

totalmente isotrópico maximal de M. Consideremos {xl, , x„} uma base de V e

, 4,} a base dual de V. Para v v* E (V")1, temos bv(v o", v;) = O,

para todo v7 E r, em particular, bv(v v*, x7) .= O, para todo i = 1, , n. Mas

bv(v+ v", x7) = b(v, 0)+1(0)i- x7(v) = O, ou seja, x7 (v) = O, para todo i = 1, . . . , n.

Escrevendo v = u: xn, temos O = x7(v) = x7(ui xi +... + un xn) = ui,

para todo i = 1, , n. Logo v = O e, assim v v* = v" E V", ou seja, (Vi)s C V".

Portanto r = (r)i. A recíproca segue imediatamente do teorema (2.17).

Corolário 2.20 Seja (V, b) E (A).

(i) Se ((1,b') é um módulo bilinear sobre A, então 14(U) CD (V, b) 1511(U CD V).

(ii) (V, b) .L(V, —b) •LY IIVI(V), onde —b(x,y) = (-1)b(x,y), para todo x, y E V.

Dem.: Desde que 1M (U) CD V = (U EB U*) ® V (U 01) V) EB (U* 17) e U*

um subespaço totalmente isotrópico de 1M (U), temos que U* Qi) v é um subespaço

totalmente isotrópico de lM (U) ® V, ou seja, U* ® V C (U* V)-L. Para provarmos

(i), usando o teorema anterior, é suficiente mostrarmos que (U* ® V)-L C U* ® V, ou

seja, que weevé um subespaço totalmente isotrópico maximal de lM (U)01) V. Desde

que lM (U) Ci) V é gerado pelos elementos da forma (u e u*) v, com u EUev E V,

é suficiente considerarmos os elementos de (U* V)1 da forma (u, e un ® ui, com

ui E U e vi em alguma base de V. Para tais elementos temos

(bu 01) b)((ui u7) vi,u* 01) v) = O,

para todo u* e U* e t, E V. Como vi pertence a alguma base de V e (V,b) é não

singular, temos que existe v E V tal que b(vt, v) E A. Assim O = bu(ui u:, ) •

28

b(v„ v), para todo u* E U*, o que implica que O = bu(ui ur,u*) = b(u„ O) + ur(0)

ou seja, u*(u,) = O para todo u* E U*. Logo ui = 0, o que mostra (i).

Para o item (li) basta observarmos que U = {(x, 4; x E V} é um subespaço

totalmente isotrópico maximal de (V, b) _L (V, —b).

Proposição 2.21 Seja (U, Li) um módulo bilinear. Então:

111(U,b) 1111(U, —b) (U) 1 B1 (U, —b).

Dem.: Seja {xi, , x„, x , , 4,} uma base de U e U*, onde {xi, , xn} é uma

base de U e {xt, , x} é a base dual de U*. Nesta base temos que

( 0 I )

1b

onde ./ é a matriz identidade n x n, O é a matriz nula n x n e béa matriz de (U, b)

em relação a base dada. Note que em relação a esta mesma base

0 —I (U, —b) = ,

pois, —bu(x,y) =-- —b(x,y)— u*(v)— v*(u). f101b

0 I 0 0 Considerando a matriz em blocos inversível C = 00/0 , obtemos

\oro/

r000

oror

I 0 I 0

(

b 0 0 I

íoto

I b O

0 0 —0

\ 0

01

o

O

/ b

/ O / ob i

0 / 0

0 0 I 0

010 1

r_ ( 01001

0 0 0

000 -1 0 0 —I —b

'

o que mostra que 111(U, b) 1 111(U, —b)'-' 11(U) 1 111(U, b), como queríamos. ffi

111(U,b)=

29

Capítulo 3

O Anel de Witt

Neste capítulo apresentaremos um estudo da estrutura do anel W (A), o anel de

Witt dos espaços bilineares sobre um anel semilocal A. Mais especificamente, daremos

uma descrição dos ideais primos e dos geradores de W (A). Apresentaremos também

um estudo dos elementos de torção, dos elementos nilpotentes e dos divisores de zero

de W (A).

3.1 Geradores de W (A)

À categoria Bil (A) associamos seu correspondente Anel de Grothendieck, o qual

é chamado, Anel de Witt-Grothendieck dos espaços bilineares sobre A. Tal anel será

denotado por fsi(A). Se [b] denota a classe de isometrias do espaço bilinear b, então

os elementos de T7(A) são as diferenças formais [b1] — [b.2], de classes [N] e [b.2], onde

por definição [b1] — [b.2] = [14] — [b'2] se, e somente se existe b E Bil (A) tal que

b1 1 14 _L b b2 114 1 b.

As operações que fornecem uma estrutura de anel comutativo em W(A) são as

operações induzidas pelas operações soma ortogonal e produto tensorial de Bil (A).

Seja 51—(A) = {[b] — [61 E W (A); b e b' são metábolicos}. De (2.20), decorre que

15-1(A) é um ideal de *5-47(A). Assim definimos o anel de Witt dos espaços bilineares

30

#5:13 (A) sobre A como sendo o anel quociente IV (A) - .

IM(A) Com a mesma notação de si-IQ-(A), seja [bil - [b2] um elemento genérico de IN (A).

Então

- [621 = [N] - + [(-62)] - [(-621 = [bi 1(-62)] - [62 -L(-6.2)].

De (2.20) temos que 62 ± (-62) é metabólico; logo [b2 (-b2)] = [O] em IN (A).

Assim, NI - [621 = [b1 -L(-62)1, ou seja, todo elemento de 1V (A) pode ser escrito na da forma g com b em Bit (A).

Da definição de IN (A) segue que [NI = [62] se, e somente se existem U, V módulos

bilineares sobre A tais que bi _L N (U) 62 _L M (V).

Vemos facilmente que IN (A), com as operações induzidas por J_ e 0, é de fato

um anel comutativo com elemento identidade, onde -[b] = ((-b)] e lw(A) = ((1)1• Quando não houver perigo de confusão denotaremos simplesmente por b o elemento

[b] de IV (A), dentro do contexto se tornará claro quando consideramos b como um

elemento de IN (A) ou como um elemento de Bil (A).

Decorre de (2.21) que, para todo módulo bilinear (U, b), 1M (U) = LI (U) em

IN (A). Desta forma se considerarmos o subconjunto de W(A)

(A)= {PR (U)] - (V)]; U, V são módulos bilineares },

temos que É- (A) -= li (A) em SN--(A). Agora se dim (U) = Trt e dim (V) = n temos

que 11(U) c na 11 e 11 (V) eL-s. n11, ou seja em W (A) temos

[11(U)] - PR (V)] = (m il] - [n II] = [(m - n) 11],

com Trt - n E Z. Portanto, podemos identificar 11(A) com ZIFI = {n11; n E Z} e

escrever IN (A) - Si) Z

Proposição 3.1 Dois espaços bilineares são iguais em 1V-- (A) se, e somente se são

iguais em 1V (A) e tem a mesma dimensão.

31

Dem.: Se [NI = [b2] em W (A), então existe (V, b) E Bi/ (A) tal que b1 1 b

J_ b e, consequentemente, dim (b1) = dim (b2). Além disso temos b1 1 b 1 (—b)

62 1 b 1 (—b) o que implica, de (2.20), que b1 1 lM (V) b2 1 IM (V), ou seja, NI =

[b2] em W (A). Reciprocamente, sejam b1, b2 E Bil (A) espaços de mesma dimensão

tais que [III] = [b2J em W (A). Então existem rn, n E Z tais que bi 1 m1E1 b2 1 nll.

Como dim (b1) = dim (b2), igualando as dimensões temos que m = n. Portanto,

[bi] = [b2] em W (A). •

Sejam G = A*/A*2 o grupo das classes quadradas de Aef :G W (A) a

aplicação que leva cada classe (a) E G no elemento [(a)] E W (A). Escrevemos f(a)

para indicar a imagem de (a) pela aplicação f.

Como um primeiro resultado sobre a geração do anel de Witt temos

Teorema 3.2 O anel W (A) é aditivamente gerado por f(G), a imagem de f.

Dem.: Seja b E (A). O espaço bilinear b 1 (1) é próprio e, de (2.13), b J (1)

admite uma base ortogonal, ou seja, existem /31, • • • , On E A* tais que:

b _L(1)

Desde que (1, —1) e metabólico, em W (A) temos

b b 1(1,-1) = (,131) (f3n) ± (-1) = f()31) + • • • + f(,3„) + f(-1).

Assim, todo elemento de W (A) se escreve como uma soma finita de elementos de

f(G). •

Observação 3.3 O resultado acima mostra, em particular, que todo elemento de

W (A) pode ser representado pela classe de um espaço bilinear próprio sobre A, inde-

pendentemente de 2 ser ou não inversivel no anel A.

32

Seja Z [G1 o anel de grupos de G. Também do teorema anterior, podemos afirmar

que existe um homomorfismo de anéis sobrejetor : Z [G] W (A), que é a extensão

por linearidade de f. O próximo resultado caracteriza o núcleo X deste homomorfismo.

Proposição 3.4 O ideal X de Z [G] é aditivamente gerado por (1) (-1) e por todos

os elementos da forma E (ai) — E (M) E Z [G], com n E 1N, tais que

(Cri? • • • ,a) (PI • • • ,i3,).

Dem.: Claramente os elementos deste tipo estão em X. Por outro lado, seja 9

Z E (ai) _ E (fii) um elemento de X. Trocando z por —z se necessário, podemos i=1

assumir quer > s. Desde que cp(z) = O, temos que (ai, ,ar) = (fii, • • • 03) em

ou seja, existem Ui, U2 E 23i/ (A), tais que

,ar) ± (ui) (fli, • • • ,fl.) -L (U2).

Como, dim (1M (U1)) e dim(IM (U2)) são números pares, temos quer — s é um número

par, digamos 2t, com t > O.

Sejam bi = (ai, • • • ,ar) e 62 = (Oh • • • ,fi,) _L t (1, —1). Desde que bi = b2 em

W (A) e dim(b1) = dim(b2), temos por (3.1) que eles representam o mesmo elemento

em W (A). Assim, existe b3 E 23i/ (A) tal que

(ai,...,ar) _L 1)3 ,/3) 1 t(1,1) _L 1)3.

Somando (1) em ambos os lados, se necessário, podemos assumir que 1,3 é próprio, ou

seja b3 (c:41_1, , an). Tomando = ±1 para s<i<re = ai para r < < n, 71

obtemos (ai, • • • an) (fii, • • • ' AL) e z = t((1) (-1)) + E (a.) - E (A), COMO i=i /.1

queríamos.

Teorema 3.5 O anel W (A) é aditivamente gerado por {(a); a E A*} com as se-

guintes relações:

33

(i) (a/32) = (a), para todo f3 E A*.

(ii) (ai) -E • • • -E (an) = (01) + • • • + (Sn) -:=5- (a, ,a) (Oh • - • On)-

(iii) (a) H- (—a) = O.

(iv) (a) - ((3) = (a+,8)+(a,8(a+,8)),sece+flEA*.

(v) (a)(0) = (ale).

Dem.: Para mostrarmos que (i), (ii) ,(iii) e (v) valem para W (A), basta observarmos Z [C]

que W (A)-."=" —x

e usarmos a proposição anterior.

Mostremos então o item (iv). Consideremos o espaço bilinear (M, b) com uma

base {x, y} tal que, b(x, y) = O, b(x, x) = a e b(y, y) = /3, ou seja b = (a,/3). Então,

b(x y, x y) = a + /3 E A*. Como a + /3 E A* temos que (A (x + y), b) e um

subespaço não singular de (M, b) e de (2.8), M = A (x y) 1 (A (x y))-L. Como

(A (x y))-L é um subespaço não singular de (M, b) unidimensional, existe z E M

com b(z, z) = 7 E A* e b(x y, z) = O, ou seja (A (x y))-L = Az. Assim,

(a) (0) (a + O) (7).

Comparando os determinantes, temos a /3 E (a + /3)7 mod (A*)2. Isto implica que

a /3 ( a + /3)-

(7) =. (a /3 (a + /3)). Consequentemente,

(a) .1..(/3) (a + /3) J_ (a/3 (a + /3)).

Portanto, (a) + ($) = (a + /3) + (a /3(a + /3)) em W (A), por (ii). •

3.2 Os ideais primos de W (A)

Nesta seção caracterizaremos os ideais primos de W (A) usando o isomorfismo de Z [G]

anéis W (A)'.--sas

onde G = A*I A*2 e X e bem determinado em (3.4), ou seja, X

1 E 7 mod (A*)2, ou seja, 7 E. a /3 (a + /3) mod (A*)2. Logo, de (i)

34

usaremos o fato que os ideais primos de 'IV (A) estão em correspondência biunívoca

com os ideais primos de Z [G] que contém X.

Para tanto começaremos determinando todos os ideais primos de Z [G] e, a seguir

aqueles que contém X.

Lema 3.6 Para cada ideal primo 3) de Z [G], temos

(1) Se 3) n z = {o}, então existe um único homomorfismo de anéis de Z [G] em

Z com núcleo Y.

(ii) Se 3) n z = p Z, onde p é um número inteiro primo, então existe um único

homomorfismo de anéis tk de Z [G] em Fp, com núcleo g), onde Fp denota o

corpo finito com p elementos.

composição da inclusão i: Z Z [G] com a sobrejeção canônica ir: Z[G] -4 Z[G]

Assim Ker (h) = u). n Z. Como 3) fl Z é ideal primo de Z, temos que 3) n z = {O}

ou 3) n z = pZ, para algum inteiro primo p de Z. . 3) n z = {o}, então Z 11=-'

Z[G] e se 9) n z p Z, então

Z — -

Z [G]. ASSIM

p Z 9) estes isomorfismos induzem os homomorfismos e tk requeridos e, desde que os anéis

Z e Fp não admitem automorfismos não triviais, estes homomorfismos são únicos.

Como g2 = 1 para todo g E G, temos que para todo homomorfismo de anéis

: Z [G] Z, 0(9)2 = 0(92) = OU.) = 1. Como O(g) E Z, temos que 0(g) = ±1.

Logo, todo homomorfismo de aneis de Z [G] em Z leva G em {±1}, ou seja, a restrição

Oic, de em G é um caracter do grupo G, isto é, um homomorfismo de grupos x de

G em {±1}. Reciprocamente, dado um caracter x : G -4 {±1}, ele se estende, de

maneira única, a um homomorfismo de aneis 0„ : Z [G1 -4 Z, devido a propriedade

universal de Z [G]. Assim, para cada homomorfismo existe um único caracter x tal

que = Ox.

Dem.: Consideramos o homomorfismo de anéis sobrejetor h : Z -4 Z[G]

que é a 3)

35

Agora, seja p um número primo ímpar. O grupo {11} C Fp, é o subgrupo de

todos os elementos de (Fp)* de ordem 2. Logo, a restrição de um homomorfismo de

aneis &: Z [G] —> Fp ao grupo G, é também um caracter x : O —> {±1}. Assim,

existe uma única extensão 4.x : Z [G] —> Z que faz o diagrama abaixo comutar

F„

onde 7r e a sobrejeção canônica de Z em F.

Consideremos p = 2. Cada homomorfismo de Z [G] em F2, leva todo elemento de

G em 1. Logo, existe um único homomorfismo de aneis t1b0 : Z [G] —> F2, que e obtido

da composição de Ox : Z [G] —> Z com a projeção canônica sobre F2, onde Ox é a

extensão de qualquer caracter x : G —> {±1}.

Destas observações e do lema (3.6), temos

Proposição 3.7 Para cada ideal primo 5) de Z [G], temos

(i) Se 5) nz.{o}, então existe um único caracter x de G, tal que 5) =Y é o núcleo do homomorfismo Ox : Z [G] —> Z.

(ii) Se TnZ=pZ, p um número primo ímpar, então existe um único caracter x

de G, tal que 5) coincide com o conjunto

Tx,„ := {z Z [G]; 4(z)a- O mod p}.

(iii) Existe um único ideal To de Z[G] com To nz= 2Z e

= {z E Z [G]; (z)F.-_- O mod2},

para cada caracter x de G.

36

Observação 3.8 É claro que os ideais Tx, com x percorrendo o conjunto dos ca-

racteres de G, são todos os ideais primos minimais de Z [G]. Os ideais Tx,p COM X

percorrendo o conjunto dos caracteres de G, p o conjunto dos números primos impares

e To são todos os ideais maximais de Z [G].

Consideremos agora, os ideais primos de W (A) Z[G]

Denotemos por 3(A) o

núcleo do homomorfismo de anéis 4 : W (A) —> F2, definido por

do ([b] ) = (dim(b)) mod 2.

W (A) Desde que r_t) F2 é corpo, temos que 3 (A) é um ideal maximal de W (A),

3 (A) chamado o o ideal fundamental de W (A).

Proposição 3.9 O ideal fundamental 3 (A) é o único ideal primo de W (A) que

contém 2(1) = 2.1w(A).

Dem.: Resta mostrarmos apenas a unicidade. O item (iii) da proposição anterior

garante que To é o único ideal primo de Z [G] que contém (2) E G. Como w(2) = 2(1),

temos que 3(A) corresponde ao ideal To de Z [G], na correspondência entre os ideais

de W (A) e os ideais de Z [G] que contém X. Portanto, a unicidade de 3(A) decorre

da unicidade de To.

Para uma melhor caracterização dos ideais primos de W (A), usaremos a noção de

assinatura como definida abaixo.

Definição 3.10 Uma assinatura de A é um homomorfismo de anéis de W (A) em Z.

Denotamos por Asa (A) o conjunto de todas as assinaturas de A e, por 1)0 o núcleo

da assinatura a. Dizemos que A é um anel formalmente real se A admite pelo menos

uma assinatura, ou seja, se Ass (A) $ 0. Caso contrário, A é dito ser um anel não

formalmente reaL

37

Assumimos primeiro, que A e um anel formalmente real, ou seja, Ass (A) O 0.

Do teorema do isomorfismo para anéis, segue imediatamente que 147(A) Ta

para toda a E Ass (A).

Proposição 3.11 Para cada ideal primo 9) de 141(A) que não contém p (1), para todo

número primo p, existe uma única assinatura a de A tal que 9) = Ta.

Dem.: Seja 9) um ideal primo de 147(A) que não contém p(1), para todo número

primo p. Desde que W (A) r= Z[G]

temos que existe? = so-1(9)), ideal primo de ac ' Z[G] tal que X C 7. Como p(1) g 9) para todo número primo p, o ideal 7 é tal

que 7 n z . {0}. Pelo item (i) da proposição (3.7) existe um único homomorfismo de anéis

Ox : Z [G] --). Z, tal que Ker (0x) = 7. Mas X ç Ker (0x) = 7. Logo, existe

uma única a E Ass (A) que faz o seguinte diagrama comutar

05x Z[61 -z

IV (A)

Resta mostrarmos que 9) = Ta. Desde que a(T) = a o 92(7) = ekx(?) = O, temos

que 9) C Ta. Por outro lado, dado b E Ta, o fato de cp ser sobrejetora implica que

existe x E Z [G] tal que w(x) = b. Assim, ybx(x) . a o so(x) . a(b) = O, ou seja

x E Ker (0x) = P. Logo, w(x) = b E P. Portanto To C 9), como queríamos. •

Para analisarmos os ideais primos de 147(A) que contém p (1), para algum primo

ímpar p, necessitamos das informações sobre o ideal X contidas no seguinte lema.

Lema 3.12 Para cada caracter x de G, temos que ekx(X) = O ou O(X) C 27/ Z, para

algum n > 1.

38

Dem.: Para cada caracter x de G, basta analizarmos a ação de Ox nos geradores de

X. Como Ox(1) = 1, temos que Ox leva (1) + (-1) em O ou 2.

Seja z = (ai) — (0i) E Z [GI, tal que (ai, ... ,an)"L.-1 (fii, • • • ,t04. Sejam

s o número de elementos (ai) E G, 1 < < n, com qi,x(ai) = —1 e t o número de

elementos (A) E G, 1 < i < n, com Ox(A) = 1. Assim,

Ox(z) = (ai)) — (A)) = —s + (n — s) + t — (n — t) = 2(t —s).

Mas (a1,... ,a,,) (PI,. • • , n ,o que implica que seus determinantes diferem por

quadrados, ou seja,

n n n n

ll ai n.-- ll A mod (ir)2, ou II (cti) = 11 (A) em G.

Aplicando Ox nesta igualdade e usando que Ox(a2) = 1, para todo a E A*, obtemos

(-1)s -= (-1)t, isto é, t — s é um número par. Consequentemente, Ox(z) O mod 4.

Portanto, Ox(X) = O ou Ox (X) C 271 Z, para algum n > 1.

Corolário 3.13 Se Ox(X) C pZ, para algum primo ímpar p, então Ox (X) = O.

Dem.: Imediata. •

Proposição 3.14 Seja p um número primo ímpar. Para cada ideal primo 9) de

W (A) com p (1) E 9), existe uma única assinatura a de A tal que P coincide com o

conjunto

= {h E W (A); cr(b) O modp}.

Dem.: Seja 9) um ideal primo de W (A) com p (1) E P. Novamente pelo isomorfismo

W (A) Z[G] temos que existe? C Z [G] tal que X C T' e ça(?) = P. Como ac

39

p (1) E T, temos que ? n Z = p Z. Por (3.7), temos que existe um único caracter x

de G, tal que 9' = Tx,p = {.Z E Z [G]; rkx(z) E O modp}.

Do fato que X C 9' = Tx,p, segue que Ox(X) = p Z. Assim de (3.13) temos que

Ox(X) = O. Logo X C Ker (çbx) e, consequentemente, existe uma única a E Ass (A)

que faz o diagrama abaixo comutar

Z [G]

c'a W (A)

Mostremos agora que 9 = Ta,p. Dado b E 9, existe x E Ti tal que w(x) = b,

pois 5" = cp-1(9). Da definição de 9', temos que Ox(z) E O mod p. Assim, cr(b) =

co w(x) = çbx(x) E O modp, ou seja, b E 9,,p, o que mostra que 9 C P. Seja agora

b e P0,2,. Segue da sobrejetividade de cp que existe z E Z [G] tal que w(x) = b. Assim,

çbx(x) = co w(x) = cr(b) O modp, ou seja, x E 7. Logo, b = w(x) E 9. Portanto,

Ta,p = 9, como queríamos.

De (3.7) e da correspondência entre os ideais de W (A) com os ideais de Z [G],

que contém X, concluimos que se Ass (A) 0 então P0, , para cada cr E Ass (A)

e todo número primo ímpar p, e 2 (A) são todos os ideais primos de W (A).

Teorema 3.15 Se A é um anel semilocal fonnalmente real, então:

(i) Os 9,, com cr E Ass (A), são todos os ideais primos minimais de W (A).

(ii) Os 9,4, com cr E Ass (A) e p um número primo ímpar, e (A) são todos os

ideais primos maximais de W (A).

(iii) Cada 9,,p contém um único ideal primo minimal, a saber 9„.

(iv) 2 (A) contém todos os ideais primos minimais.

40

Dem.: Resta apenas mostrarmos (iii) e (iv). Em Z existe um único ideal maximal

que contém p. Então, devido ao isomorfismo W (A)/Te Z, existe um único ideal

maximal de W (A) que contém p (1) e Te, que é claramente Pc . Suponhamos que

exista um ideal primo minimal To de W (A), tal que To também esta contido em

Como T p contém To e p (1) temos que Tad, = 5),1p . Segue então de (3.14) que a = O. Portanto To = 9),p, o que mostra (iii).

Agora, queremos mostrar que To C 2 (A), para cada o• E Ass (A). Para tanto,

seja b = (a1, , an) E To. Como c((ai)) = ±1, para 1 < i < n e, cr(b) = O, temos

que n tem que ser par e para metade dos índices i = 1, , n, cr((ai)) =1, e para a

outra metade /Ma)) = —1. Portanto Te C 2 (A), como queríamos.

Para o caso em que A é um anel não formalmente real temos

Teorema 3.16 O anel A é não formalmente real se, e somente se 1(A) é o único

ideal primo de W (A).

Dem.: Da descrição dos ideais de Z [G], temos claramente que se Ass (A) = 0,

então 1(A) é o único ideal primo de W (A). Reciprocamente se 1(A) é o único ideal

primo de W (A), então 2 (A) é o nilradical de W (A), isto é, o conjunto de todos os

elementos nilpotentes de W (A). Em particular, 2(1) E 2 (A) é nilpotente. Assim

existe n 1 tal que 2" (1) = (2(1»" = O em W (A), o que implica que (1) E W (A)

é um elemento de torção. Como Z é um anel livre de torção e assumimos que todo

homomorfismo de anéis leva elemento identidade em elemento identidade, temos que

não existe homomorfismo de anéis de W (A) em Z, ou seja, A é não formalmente

real.

Como uma consequência imediata deste teorema temos:

Corolário 3.17 Se A é não formalmente real, então os divisores de zero de W (A)

tem dimensão par, isto é, são representados por um espaço bilinear de dimensão par.

41

Dem.: De (3.16) temos que W(A) é um anel local com único ideal maximal 3 (A).

Logo, os divisores de zero, que não são inversiveis, estão em 3 (A).

3.3 Nil (W (A)) e W( A)

Nesta seção apresentamos alguns resultados sobre os elementos de torção, os ele-

mentos nilpotentes e os divisores de zero do anel de Witt de A.

Desde que W (A) é um anel comutativo com elemento identidade (1), o conjunto

dos elementos nilpotentes de W (A) formam o nilradical de W (A), que denotaremos

por Nil (W (A)). O ideal dos elementos de torção de W (A) será denotado por Wt (A).

Em um anel R, um elemento de torção x E Re dito ter p-torção, p E Z um número

primo, se x é anulado por uma, potência de p. Dentre os resultados apresentados nesta

seção, mostraremos que o anel W (A) tem somente 2-torção.

Ao contrário da seção anterior, assumiremos primeiramente que A é um anel

semilocal não formalmente real. Neste caso, como conseqüência imediata do teorema

(3.16) e sua demonstração, temos

Teorema 3.18 Se A é um anel semilocal mio formalmente real, então

(i) Nil (W (A)) = :3(A).

(ii) V21 (A) = W(A).

(iii) W (A) tem somente 2-torção.

Dem.: Imediata.

Agora seja A um anel semilocal formalmente real. Desde que os Ta, com a em

Ass (A), são todos os ideais primos minimais de W (A), temos

42

Proposição 3.19 Um elemento b E W (A) é nilpotente se, e somente se a(b) = O

para toda a E Ass (A), isto é, (W (A)) = n Ker (a). EAss (A)

Dem.: Imediata.

Para o ideal de torção temos

Proposição 3.20 Se A é um anel semilocal formalmente reei, então

W2 (A) = (W (A)).

Dem.: Sejam b E W1 (A) e n E 1N, n > 1, tal que nb = O. Então, para cada

a E Ass (A), temos a(nb) = n u(b) = O, o que implica que cr(b) = O. Assim, b

pertence a fl Ker (a) = Nil (W (A)), o que mostra que Wt (A) C MI (W (A)). o Elisa (A)

Reciprocamente, dado b = (ai, a,,) E Md (W (A)); consideremos H o subgrupo

de G gerado por {(ai), , (a„)}. Então, desde que todo elemento de G tem ordem

2, temos que H é um subgrupo finito de G e b está no subanel R de W (A) isomorfo Z H]

Usando o teorema de Maschke, ver (3.6) em [13], temos que o anel

de grupo Q [H] ral Q O Z [H] é semi-simples, ou seja, Ni! (Q [H]) = {0}.

Considerando que R Z[H], implica que Q ®Z [H] Q OR, temos por (3.1.b)

de [13] que Ni/ (Q R) ={O}.

Mas, 10bE Q oNi/ (R) C (Q® R) = {0}. Também identificando Q R com

(Z ) R T-1(R), onde T = Z — {O}, temos O= lob= ib E T-1(R), o que é

equivalente a existir n E T, ti > 1, tal que nb = O em R. Assim, b E R, C W t (A), o

que mostra a proposição.

Das duas Ultimas proposições, deduzimos imediatamente o Princípio Local-Global

de Pfister para espaços bilineares sobre um anel semilocal formalmente real.

43

Teorema 3.21 (Princípio Local-Global de Pfister) Seja A um anel sernilocal

formalmente real. Então uma forma bilinear b representa um elemento de torção em

W (A) se, e somente se a(b) = O, para toda cr E Asa (A).

Dem.: Imediata.

Mostremos agora que também no caso em que A é formalmente real W (A) tem

somente 2-torção.

Teorema 3.22 Se A é um anel sernilocal formalmente real, então IN (A) tem somente

2-torção.

que R F4 H]

, para algum subgrupo X' de Fp [H].

Como H C G, temos que os elementos de H tem ordem 2. Desde que Fp tem

característica p um primo ímpar, novamente pelo teorema de Maschke, obtemos que

Rip R é um anel semi-simples, ou seja, Ni/ (Rlp R) = {C}.

Se bo ERé nilpotente, então F.3 E Ni/ (Rip R) = {O}, ou seja, existe 61 E R tal

que 6 = pbi. Isto, e o fato que Wt (A) = Nil (IN (A)), mostra que o ideal de torção

Ri de R é divisível por cada número primo ímpar, isto é, Rt = p Re para cada número

primo ímpar p.

Se bo E R tem p-torção, entao bo E Rt = P Re, ou seja, bo = pbb com 61 em

Ri que também tem p-torção, o que implica que bt. = p b2, para algum b2 E Rt e

consequentemente, b = p2 b2. Assim, para cada inteiro n > O, existe b„ E Rt, onde

b„ tem p-torção e be = &fl.

Dem.: Seja b = (ai,. ,a) E W( A). Desde que W( A) = Nil (W (A)), temos

que b E Nil (IV (A)) e, como na demonstração da proposição anterior, b está no Z [H]

subanel R de W (A) isomorfo à (x n Z [H])

, onde H é o subgrupo de G gerado por

{(ai), , (a„)}. Agora, para mostrarmos que b é 2-torção em IV (A), é suficiente

mostrarmos que o anel R não tem p-torção, para todo número primo ímpar p. Z [H]

Seja p um número primo ímpar qualquer. Desde que R 2s.. temos (X n z [ 1-1])'

44

Mas R é um grupo abeliano finitamente gerado, então pela decomposição dos

Z-módulos finitamente gerado, temos que Rt é um grupo finito. Logo, existe N > O

tal que pN b' = O, para todo b' E Rt com p-torção. Logo bo = pN bN = O em R.

Como p e um número primo ímpar qualquer, temos que R não tem p-torção, para

todo número primo ímpar p, como queríamos.

Como consequência do teorema anterior deduzimos que também no caso em que

A e formalmente real, os divisores de zero de W (A) tem dimensão par.

Corolário 3.23 Os divisores de zero de W (A) tem dimensão par.

Dem.: Em [07], página 3, temos que o conjunto dos divisores de zero de W (A)

é uma união de ideais primos. Suponhamos que p (1) é um divisor de zero, para

algum número primo ímpar p. Então existe b E W (A), b O, tal que p(l) b = O

em W (A), o que implica que b tem p-torção em W (A). Mas, do teorema anterior

temos que W (A) tem somente 2-torção. Assim, p(1) não é divisor de zero para

nenhum primo ímpar p. Assim, na união dos ideais primos que compoem os divisores

de zero, não aparece ideais primos da forma Te com a E Asa (A) e p um número

primo ímpar, ou seja, de (3.15), temos que cada ideal primo que aparece na união é

minimal ou 3 (A). Desde que Te C 3(A), para todo a E Ass (A), o resultado segue. II

45

Capítulo 4

Ideais Primários no Anel de Witt

Neste capítulo apresentaremos uma caracterização dos ideais primários de W (A)

cujos radicais estão caracterizados em (3.15) e (3.16). Apresentaremos também

condições necessárias e suficientes para que todo ideal de W (A) admita uma decom-

posição primária, bem como alguns resultados sobre ideais decomponíveis contendo

uma forma de dimensão ímpar.

No restante deste trabalho, para simplificar a notação, denotaremos as operações

_L e ® em W (A) por e • respectivamente. Denotaremos também por by' o elemento

b b . . . b (n-vezes) em W (A). Mais ainda, salvo menção em contrário, todas as

igualdades envolvendo espaços bilineares são igualdades de elementos de W (A).

4.1 Ideais Primários de W (A)

Nesta seção apresentaremos a caracterização dos ideais T-primários para cada

tipo de ideal primo caracterizado em (3.15) e (3.16), onde A é um anel semilocal.

Iniciaremos com a caracterização dos ideais 3 (A)-primários, onde 3 (A) é o ideal

fundamental de W (A), ou seja 3 (A) = {h E W (A); dim (b) é par}. Para tanto,

necessitaremos dos seguintes resultados auxiliares

Lema 4.1 O ideal fundamental ci (A) é aditivamente gerado pelo conjunto

46

{(1,a) E W (A); a E A'}.

Dem.: Dado b E 3(A), de (3.2), podemos escrever b = ,a24, com

ai E A*, i = 1, , 2n. Desde que (1,-1) = O em W (A), temos que ti 2n

b= 1 (1, ai) - 1 (1, -ai), o que mostra o lema. i=1

*=n-I-1

Lema 4.2 Para cada a E A*, temos que (1,a)k+1 = 2k (1,a) em W (A), para todo

inteiro k > 1.

Dem.: A demonstração será feita usando indução sobre k. Se k =1, então (1, a)2 =

(1, a) ® (1, a) = (1, a, a, a2) = (1, a, 1, a) = 2(1, a). Suponhamos agora que o resul-

tado vale para k -1, ou seja, (1, a)k = 2k-1(1,a). Assim

(1,a)+1 = (1, a)k.(1, a) = 2k-1 (1, a) • (1, a) = 2k (1, a),

o que conclui a demonstração.

Teorema 4.3 Seja 3 C W (A) um ideal. Então 3 é 3 (A)-primário se, e somente se

2k (1) E 3, para algum inteiro positivo k.

Dem.: Se ,g é 3 (A)-primário então 2k (1) = (2 (1))k E 3, para algum inteiro k > 1,

pois 2(1) =(1,1) E 3(A) = r(3).

Reciprocamente, suponhamos que 2k (1) E O, para algum inteiro k > 1. Assim,

2(1) E r(3) e, como de (3.9) 3 (A) é o único ideal maximal de W (A) que contém

2(1), obtemos que r(3) C 3 (A). Para provarmos que a(A) C r(3), usando o lema

(4.1) é suficiente mostrarmos que (1,a) E r(3), para todo a E A. Dado a E As,

desde que 2k (1) E ,g para algum k > 1 e 2k (1,a) = 2k (1) -I- 2k (1) • (a), temos do

lema (4.2) que (1, a)k+' € 3, ou seja, (1,a) E r(3). Assim, r(3) = 3(A) e de (4.2)

de [01], temos que 3 é 3 (A)-primário.

47

Corolário 4.4 Se A é não formalmente real então todo ideal de IV (A) é

ti (A)-primário.

Dem.: Da demonstração de (3.16) temos que 2(1) é um elemento nilpotente de

W (A). Assim, existe um inteiro k > 1 tal que (2 (1))k = 2k (1) = O, consequentemente

2k (1) E 3, para cada ideal 3 de W (A). Agora o resultado segue de (4.3). •

O próximo passo é analizarmos os ideais P-primários correspondentes aos ideais

primos 2) de W (A) distintos de 2 (A). De (3.15) e (3.16) temos que tais ideais primos

existem se, e somente se Ass (A) $ 0. Portanto, no que segue, assumiremos que A é

um anel semilocal formalmente real. Para os ideais primos rninimais temos:

Teorema 4.5 Sejam 3 C W (A) um ideal e a E Ass (A). Então 3 é Te-primdrio se,

e somente se 3 = Te.

Dem.: Claramente 2)„ é Te-primário. Reciprocamente, seja 3 C IV (A) um ideal

Ta-primário. Suponhamos que 3 $ Te. Como 3 C r(3) = Te C 2(A), obtemos

de (4.1) que existe a E A* tal que (1,—a) E Pc7 — 3. Como (1, —a) E Te então

(1, —a)m E 3, para algum inteiro m > 1. Mas, de (4.2), temos que (1, —cx)"` =

2(m_1)(1, _a) = 2m-1 (1) . (1,—a). Agora, como 3 é um ideal primário de W (A) e

(1,—a) 3, temos que existe um inteiro s > 1 tal que (2' (1))' E 3, ou seja,

2k (1) E 3 para algum inteiro positivo k. Mas, isto é uma contradição, pois 3 C To e

cr(2k (1)) = 2k $ O. Logo 3 = Te como queríamos.

Finalmente, caracterizaremos os ideais P-primários onde 2) é um ideal primo ma-

ximal de W (A) distinto de 2 (A). Mostraremos, neste caso, que os ideais P-primários

são exatamente as potências de P.

Dado Te,p E Spec (W (A)), a E Ass (A) e p um número primo ímpar, para cada

inteiro i > 1, denotaremos por o ideal de W (A)

= {b E W (A); cr(6) O mod

48

Com esta notação temos

Lema 4.6 Para cada i > 1, (92 )i = P.

Dem.: É fácil ver que (Z„,p)i C Toa,.. Desde que Te C (A), de (4.1) e da definição

de Ta, obtemos que Ta é aditivamente gerado por elementos da forma (1, a), com (p —

a E A* tal que cr((a)) = —1. Para um tal gerador (1,a) E Ta e s — 2

1) E Z,

temos que

(1,a) = (1,a) - ((1) 1 s(1, —a))i,

para todo inteiro positivo i, pois (1, a).(1, —a) = O em W (A). Mas

b = (1) 1 s (1, —a) E Ta,p, pois cr(b) = p. Assim, (1, a) E (920„p)i, o que mostra

que Ta Ç (920 ,p)i. Desde que pi (1) E (510.,p)i, obtemos

Pa,pi = Z + p(1).W (A) Ç (5)a.p)i,

o que mostra o lema.

Teorema 4.7 Sejam 43. C W (A) um ideal, p um número primo impar e a E Ass (A).

Então 3 é 92,p-rim:iria se, e somente se 3 = (92„,p)i, para algum inteiro i > 1.

Dem.: Se 43. = (Pa,„), para algum i > 1, então do lema anterior temos que

Seja s : W (A)

Z/piZ o homomorfismo sobrejetor de anéis obtido pela composta

da assinatura a com a projeção canônica 7r : Z —4 Zip Z, ou seja, s(b) = cr(b)i-pi Z, W (A)

para todo b E W (A). Então

. que é um anel onde cada divisor de zero Ker (s) pi Z

é nilpotente o que mostra que Ker (s) é um ideal primário de W (A). Mas Ker (s) =

{h E W (A); s(b) = O} = Ta,pi • Logo TO., pi é um ideal primário de W (A) para cada

a E Ass (A), p número primo impar e i > 1 inteiro. Mais ainda, do lema anterior,

temos que r(92 ) = r((T„,p)i) = 92, ou seja 920.,pi é Z„„-primário.

Reciprocamente, seja 43. C W (A) um ideal 920.,p-primário. Neste caso, temos que

Pa C 3. De fato, dado a E As, com cr((a)) = —1, temos que

49

b = (1) 1 s (1, —a) E Ted,, para s — p — 1

. Então, V' E 3 para algum inteiro 2

positivo m, pois P,,,„ = r(3). Agora, como na demonstração do lema (4.6), (1, a) =

(1, a) .brn E 3, o que mostra que de fato Te C 3, quando 3 é P,-primário. W (A) W (A)

Desde que Te C 3, temos unia sobrejeção canônica ir. —. Mais 3

ainda, dado a E A.ss (A), temos que o: W (A) Z é um homomorfismos sobrejetor

de anéis que induz una isomorfismo . W (A)— —+ Z. Assim, obtemos uma seqüência

de homomorfismos de anéis

W (A) „ W (A)

onde T é o isomorfismo inverso de ir, isto é, r(n) = n(1) -I- P,„ para todo n E Z.

W (A) Claramente ir o r é sobrejetor e, com isso, temos que

3 Ker (ir o r) • Usando o fato que um ideal não nulo 3. é um ideal primário de W (A) se, e somente

se os divisores de zero de W (A)

são nilpotentes, juntamente com o isomorfismo acima, 3

obtemos que Ker (ir o T) é um ideal primário de Z. Mais ainda, como p (1) E P,,, =

r(3), temos que pk ( 1 ) E 3 para algum inteiro positivo k e, consequentemente, pk está

em Ker (ir o r) o que mostra que Ker (ir o r) é una ideal primário de Z que contém

uma potência de p, ou seja, Ker (ir o T) = Z para algum inteiro i > 1. Observe que

pk E pi Z e, portanto, i > k, o que mostra que pi (1) E J.

Temos agora os isomorfismos de anéis

W(A) Z W (A)

Z Taxi 5

onde o segundo isomorfismo é o isomorfismo encontrado no início da demonstração.

Finalmente observamos que 5' = Te, + (pi (1)), onde (pi (1)) denota o ideal

principal de W (A) gerado pelo elemento pi (1). Assim, Pi C 3 que, juntamente W (A)

com o isomorfi W (A)

smo mostra que 3 = Tad,. como queríamos. 1.1 3 opi

Resumimos estes resultados em

50

Teorema 4.8 Se A é um anel semilocal formalmente real, enteio os ideais primários

de W (A) seio:

(1) Os To, para a E Ass (A) seio os Ta-primários;

(11) Os (T,,p)i, para a E Ass(A), p um número primo ímpar e i > 1, são os

gja,p-primários;

(iii) Os ideais contendo 2k (1), para algum inteiro k > 1, são todos os

3(A)-primários.

4.2 Decomposição Primária em W (A)

Um resultado clássico de álgebra comutativa, ver por exemplo (7.13) de [01], diz

que num anel noetheriano todo ideal admite uma decomposição primária, ou seja, é

decomponível. Nesta seção, veremos que para anéis de Witt, vale um resultado mais

forte, mais precisamente, apresentaremos condições necessárias e suficientes sobre o

anel semilocal A para que todo ideal de W (A) seja decomponível e, existem muitos

tais anéis de Witt que não são noetherianos, como por exemplo, os aneis de Witt de

corpos globais, ver [10]. Antes de apresentarmos tal resultado, apresentaremos um

refinamento do teorema de unicidade (1.9), para o caso do anel de Witt de um anel

semilocal formalmente real A.

Nesta seção, continuaremos assumindo que A é um anel semilocal formalmente

real. O próximo resultado, de verificação imediata, será frequentemente usado nas

demonstrações que seguem.

Lema 4.9 Se a, r E Asa (A) são distintas, então existe a E A* tal que a((a)) =1 e

r((a)) = —1.

Dem.: Imediata.

51

Seja 3 C W (A) um ideal. Recordemos que o conjunto dos ideais primos associados

de 3, Assoc(J), é precisamente o conjunto dos ideais primos que ocorrem como radi-

cais de ideais da forma (3: b.W (A)), com b E W (A). O próximo resultado caracteriza

quando C(A) e/ou To, com a E .Ass (A), são ideais primos associados de a.

Proposição 4.10 Sejam 2 C W (A) um ideal e a E Ass (A). Temos então

(i) 2 (A) E Assoc(j) se, e somente se existe b E W (A) —3, tal que 2k b E a, para

algum inteiro positivo k.

(ii) Se 3. é decomponível, então To E Assoc(g) se, e somente se 3 C Z.

Dem.: Temos que 2 (A) E Assoc(2) se, e somente se existe b E W (A) —3 tal que

(a : b.W (A)) é 2 (A)-primário. Mas, de (4.3), temos que isto ocorre se, e somente

se 2k (1) E (a : b.W (A)) para algum inteiro positivo k. Assim 2 (A) E Assoc(3) se,

e somente se existe b E W (A) —3 tal que 2k b = 2k (1) • b E a, para algum inteiro

positivo k, o que mostra (i).

Para mostrarmos (ii), suponhamos que 3 C W (A) é um ideal decomponível.

Se To E Assoc(J), então de (1.8) e da definição de Assoc(J), temos que a está

contido em algum ideal Tu-primário. Consequentemente, de (4.8), temos que 3 C Z.

Reciprocamente, seja 3 C To. Suponhamos que 9), Ø Assoc(J). Então, usando (4.8)

e o fato de 3 ser decomponível, temos que 3 admite uma decomposição primária da

forma

g= n (n (n P-hPa("))) n rEF 'YES pEts-1

onde 1', A são subconjuntos finitos de Ass (A), com a Ø 1' e, para cada ry E A, aki

é um conjunto finito de números primos ímpares, p) é um inteiro > 1 para cada

yEaepE LS.,, e Q é um ideal 2 (A)-primário de W (A) ou Q = W (A).

Seja m1 = H H pie") . Usando (4.3) se necessário, podemos afirmar que -yEA pEA,

existe um inteiro positivo m2 tal que 211'2 (1) E Q. Seja m = 2m2 mi E Z. Agora, desde

52

que a ft 1', do lema anterior, temos que para cada r e 1', existe a,. e A. tal que cr((a,.)) = 1 e r((a,.)) = —1. Considere

b = m 11 (1, ar) e W (A). Ter

Pela escolha de mi e m2 feita acima, temos que b E (2 e b E Twochm, para todo -yea, e p e A,. Mais ainda, da escolha de a,. e A., temos que b e 3),., para todo T e l', ou seja,

( ( ) b e (n p.r) n n n zi,„.„,,,,, = g.

TE!' -yEas pEts,

Mas cr(b) = 2m O, o que contradiz a hipótese de g c Z. Logo 3), e Assac(a), como queríamos. •

Teorema 4.11 Seja g c W (A) um ideal com uma decomposição primária reduzida QinQ2 n...n Q.

(i) Se r(Qi)= 9)„ ou 3),,p, para algum a e Ass (A) e p um primo ímpar, então Qi

é unicamente determinado, isto é, Qi aparece em toda decomposição primária

reduzida de g.

(ii) Todos Qi's são unicamente determinados se g g z, para todo a e Ass (A) ou 2k b 0 a para todo bOa e todo inteiro positivo k.

Dem.: De (1.9) temos que, para mostrarmos (i), é suficiente provarmos que r(Q) é

um elemento minimal em Assoc(g).

Se r(Q) = P,, para algum a e Ass (A), então de (3.15) temos que r(Q) é

um elemento minimal em W (A). Consequentemente, também o é em Assoc(g). Se

r(Q) = Z„ para algum a e Ass (A) e p primo ímpar, e r(Q) não é minimal em Assoc(g), então de (3.15) temos que 3),„ também é associado de g. Trocando a ordem, se necessário, de (4.8) podemos assumir que (2/ = 3),,p„ para algum inteiro i > 1 e

53

Q2 = Zr. Assim, (Qi n Q2) Ç90 C Qi o que contradiz o fato de Qi ÍL..fl Q„ ser

uma decomposição primária reduzida de O. Consequentemente, se 51,„,p E Assoc(3),

então ele é minimal em Assoc(3), o que completa a demonstração de (i).

Suponhamos agora que Qi não é unicamente determinado, para algum i = 1,... , n.

Então, de (1.9), temos que Assoc(3), tem um elemento que não é minimal. Do item

(1) acima, temos que isto ocorre somente se existe a E Ass (A), tal que 2 (A) e To

estão ambos em Assoc(3). Assim, 3 C To, para algum a E Ass (A) e, de (4.10),

existe b E W (A) —3 tal que 2k b E O, para algum inteiro positivo k, o que mostra a

negação de (ii). •

Para apresentarmos condições necessárias e suficientes para que cada ideal do anel

de Witt seja decomponível, necessitaremos de dois resultados auxiliares.

Lema 4.12 Sejam 23, O, V ideais de um anel R, com t C B. Então t = 93 í) (t+)

se, e somente se (23 n Ti) c e.

Dem.: Se t = 93n(e+V)ex E 93n v, então claramente x está em

93n (e+v). e. Reciprocamente, se 93n c e, como OC 23e0C(0 +V),

temos que t C (23 f) (e + Ti)). Agora, dado x E (23 n (e+ Ti)), podemos escrever

x = y + z, comyEtezEV.Temosentãoz=x—y,ondexE93eyEtC93,ou

seja, z E 23 f") Ti C O. Assim x=y+z E 0, o que conclui a demonstração. •

Lema 4.13 Sejam m um inteiro positivo e A um anel semilocal tal que Ass (A) tem

m+1 elementos. Então para todo a E Ass (A) existe uma forma bilinear be, E 23/1 (A),

tal que a(b0) = ri e r(b0) = O, para toda assinatura r E Ass (A) com r a.

Dem.: Dado a E Ass (A) fixo, para cada uma das m assinaturas r de A distintas de

a, do lema (4.9) podemos encontrar a, E A* tal que a((a,.)) = 1 e r((a.,.)) = —1.

54

Consideremos h,. = 11(1, ar) E Bil (A). Temos então 71-47

a(b) =JJ (fui,» = + = 2" e r(b) =JJ r((1,424) = — = 0, roa

como queríamos. •

Dado um inteiro positivo n > 2euEAss (A), denotamos por

= {h E W (A); a(b) O mod n}.

É facil ver que se n = ...ptE, com ,p,, números primos distintos, então

Tem = n (9) tr,p j)i- 7 • Para formalizar a notação, escrevemos Te,o = Te e Tej = W (A). 3=1

Dado um anel semilocal A, sabemos de (3.18) e (3.22) que A tem somente

2-torção. Assim, faz sentido definirmos a altura de A, como sendo h(A) = 2", onde

m = rnin{k E Z; k > O e 2k IV, (A) = O} se tal número inteiro existir, caso contrário

diremos que A tem altura infinita e escrevemos h(A) = oo. Com esta noção temos

Teorema 4.14 Todo ideal de W (A) é decomponível se,e somente se A tem altura

finita e Ass (A) é um conjunto finito.

Dem.: Suponhamos inicialmente que A é um anel semilocal com h(A) < 2k e

Ass (A) = {ao, o, . . . , um}.

Seja 3 C W (A) um ideal próprio. Queremos mostrar que 3 é decomponível. Para

tanto, para cada i = O, 1, , m, considere 93i = {ai(b); b E 3} C Z. É fácil ver

que 93i é um ideal de Z, gerado por digamos Ti M, COM n > Oem um inteiro

ímpar ou ni = 0. Sejam ti, E 3; i = 0, 1, , m, tais que exi(k) = /ti. Para

r = max{ro, ri, , r} e bi = 2r—ri i = O, 1, , m, vamos mostrar que

a = (n znini) n (3 + 2k±m+r W (A))- i=0

55

Se b e 3, então para cada i = O, 1, , m, temos que ai(b) e 93i, o que implica

que o-i(b) é um múltiplo de 2ri ni e portanto, ai(b) e 0 mod n. Assim b e Tad", o

que mostra que c ri 'ci.,. • Agora, considerando 93 = n Toi,no e = 3 e i=o

=

2k+m-Er W (A) no lema (4.12), temos que é suficiente mostrar que

Penou) n w (A)) .ç 3.

Seja b e n 'ciou n (2k±m÷r W (A)). Escrevendo b = 2k±m±r bo, com

bc, e W (A), temos que a(6) =2k±m±r ui(b0) ra O mod n, para cada i = O, 1, , m.

Desde que ni é ímpar ou zero, temos que ai(60) = si ni, para algum inteiro si. Do

lema anterior temos que, para cada i = O, 1, , m, existe uma forma bilinear qi tal

que cri(qi) = 2" e = O se j

Considere b' = 1 s qi •b. Observe que b' e 3, pois cada bi e 3. Mais ainda, da

construção dos bi's, temos que para cada i = O, 1, , m,

= E s, 0-i(q1),(65) = si ri 0-i(2r-n g) = 27"-kr si ni. 5=0

Logo 2"'b-6'e W (A) é tal que o-i(2m÷r bo b') = O, para todo i = 0, 1, , m,

o que implica que Tn±r bo —6' e

mat h scrW, (A) pelo Princípio Local-Global de Pfister. Assim, desde que h(A)

obtemos b — 2k b' = 2k (2m+r bo — 11) = O, ou seja, b = 2k b' e 3. Consequentemente,

da definição de Te„n, e de (4.6) e (4.8) temos que

Con n

é uma decomposi "ção primária de 3.

Para a recíproca, consideremos que A é um anel sernilocal tal que todo ideal de

W (A) é decomponível. Queremos mostrar que h(A) < 00 e Ass (A) é uni conjunto

finito.

56

Suponhamos que A admita infinitas assinaturas. Considere o ideal de torção

Wt (A) que por hipótese é decomponível. Logo Wt (A) se escreve como uma inter-

secção finita de ideais primários de W (A). Do Princípio Local-Global de Pfister,

temos que Wt (A) C Tu, para toda a E Ass (A). Como, To. C Pujo, podemos as-

sumir que nenhum ideal primário da forma Pi, onde o E Ass (A), p primo ímpar

e i > 1, ocorre na decomposição de Wt (A). Assim, usando (4.8), temos que existem

ah • • - , 0, E fias (A) tais que

W( A) = (n i•=1

onde Q é um ideal (A)-primário, ou Q = W (A). De (4.3) temos que existe um

inteiro positivo r tal que 7 (1) E Q e, como Ass (A) é um conjunto infinito, existe

ir Ass (A), com ir ai, para todo i = 1, , /. Para cada i = 1, , /, considere

ai E A* tal que ir((ai)) = 1 e ai((ai)) = —1, que existem pelo lema (4.9). Toman-

do b = 2r ai) (1,02)0... (1,01), temos que b E (n pai) n Q =W( A). J=1

Mas ry(b) = 2r+' O, o que contradiz o Princípio Local-Global de Pfister. Conse-

quentemente, se todo ideal de W (A) é decomponível, então Ass (A) é um conjunto

finito.

Finalmente, suponhamos que Ass (A) é um conjunto finito e h(A) = co. Como

h(A) = co, temos que Wt (A) O. Seja b E Wt (A), com b O. O ideal principal

23 = b • W (A) está contido em Tif, para toda a E Ass (A). Assim, de (4.8) podemos

assumir que 93 tem uma decomposição primária da forma

EAss (A)

onde Q é a(A)-primário ou Q = W(A). Agora, como b é um elemento de torção de

W (A), de (3.22) temos que existe um inteiro m > 1 tal que 2'n b = O. Mais ainda,

de (4.3) temos que existe um inteiro positivo k tal que 2k (1) E Q. Logo o ideal Q

contém os ideais 93 e 2' W (A) e, sem perda de generalidade, podemos assumir k > m.

57

Temos então

93c n , n (93 (2k W (A))) ç_ aEAss (A) aEAss(A)

ou seja,

93 = n ,) aEAss (A)

onde a última igualdade segue do Princípio Local-Global de Pfister. Em particular,

temos 2k W (A) = Wt (A) n (2k w (A)) C 93.

Agora, desde que h(A) = co, temos que existe tio E Wt (A) tal que 22k bo O

em W (A). Mas 2b0 E 2k Wt (A) C 93 = b.W (A). Então 2b0 = b.bi, Para algum

b1 E W (A), o que implica que 22k bo .= 2k b.b1 = O, o que é uma contradição. Portanto,

h(A) <ao o que completa a demonstração do teorema.

4.3 Ideais contendo uma forma de dimensão impar

Nesta seção assumiremos que A é um anel semilocal formalmente real, com

h(A) <ao e com um conjunto finito de assinaturas. Sob tais condições apresentare-

mos alguns resultados sobre ideais de W (A) que contém uma forma de dimensão

ímpar, ou seja, ideais que não estão contidos em 2 (A). Encontraremos também con-

dições equivalentes para que formas de dimensão ímpar tenham fatoração única como

produto de irredutíveis.

Seja 3 C W (A) um ideal contendo uma forma de dimensão ímpar. Desde que, de

(3.15), 5)0 C 1(A), para todo a E Ass (A) e a g 2 (A), temos que a g P0, para todo a E Ass (A). Usando a caracterização dos ideais primários de W (A), apresentada em

(4.8), temos que a pode ser escrito como uma intersecção finita de ideais da forma

com a E Ass (A), p primos ímpares e i > 1. Além disso, de (4.11), temos que

esta decomposição primária reduzida é unicamente determinada.

58

Proposição 4.15 Se 3 C W (A) é um ideal contendo uma forma de dimensão ímpar

então, para todo b E W(A) — 3, temos que 2k b $3, para todo inteiro k > O.

Dem.: Desde que todo ideal primário está contido em seu radical e 3g 3(A), temos que nenhum ideal 3 (A)-primário de W(A) está contido em J. Assim, da definição de

Assoc(3), temos que 3 (A) Ø Assoe(3). Agora, a demonstração segue de (4.10). II

Proposição 4.16 5e 3 dum ideal de W (A) contendo uma forma de dimensão ímpar,

então Wt (A) C 3.

Dem.: Pelo Princípio Local-Global de Pfister, obtemos que Wt (A) C To.,p., para todo

a E Ass (A), p primo ímpar e i > 1. Logo, o resultado segue da observação feita no

início desta seção.

Proposição 4.17 Se bi e 62 são formas balneares de dimensão impar tais que

—62 E Wt (A), então os ideais principais bi.W (A) e b2.W (A) são iguais.

Dem.: Como 61 — b2 E Wt (A), pelo Principio Local-Global de Pfister, temos que

o(b1) = a(b2), para todo a E Ass (A). Assim, para todo primo impar p, 61 E Tua,i

se, e somente se b2 E Puir, onde a E Ass (A) e i > 1. Consequentemente, os ideais

primários que aparecem nas decomposições primárias reduzidas dos ideais b1 •W (A)

e 62.W (A) são os mesmos e, portanto, 61.W(A) = b2•W (A).

Dados ah az, • • • an E A*, dizemos que a forma bilinear não singular

= (1,cn) (1,a2) .0 (1,ct,t)

é uma n-forma de Pfister e, denotamos por b = ((ai, ,a)). Para a E Ass (A),

temos que a((a)) = ±1, para cada a E A. Assim se b é uma n-forma de Pfister,

59

então cr(b) = O ou a(b) -= 2" = dim(b), para cada a E Asa (A). Mais ainda, se b

uma ri-forma de Pfister, então b = (1) 1 b', para algum b' E Sil (A). Outra notação

que usaremos no próximo resultado é que dado b E Sil (A), o conjunto dos elementos

de A" representados por b são denotados por D(b), ou seja, se M é um A-módulo livre

de dimensão finita e (M, b) é um espaço bilinear sobre A, então

D(b) = {a E At; b(x , x) = a, para algum x E ME

Com estas notações temos a seguinte conseqüência da proposição anterior

Corolário 4.18 Sejam b1 = (1) a. 14 e b2 = (1) _1.14 duas ri-formas de Pfister sobre

A. Se D(I4) = D(14), então existe uma unidade b E W (A) tal que 14 =

Dem.: Sejam ai, fl E As, i = 1, , n, tais que bi = , a„)) e b2 =

((Sh • • - ,,Sn)). Dado a E Ass (A), afirmamos que D(14) = D(14), implica que a(61) =

2n se, e somente se a(b2) = 2". De fato, se a(bi) = ne a(b2) = 0, então temos que

cr((cti)) = 1, para todo i = 1, , ri e existe j E {1, , n} tal que cr((gi)) = —1.

Mas E D(b) = D(14). Assim, de (2.8) temos que existe b3 E Si( (A) tal que

•-• (Si) 1 b3. Como bi = (1) 1 6Ç e cr(bi) = 2" = dim (61), temos que cr(14) =

2"—1 = dim (b1). Consequentemente, dim (g) = (TN) = crefli) 1 = —1+ a (bs) 5_

dim (b3) — 1 = (dim (b1) — 1) — 1 < dim (Ui), o que é uma contradição.

Usando o fato que a(b) = 1 + cr(b;), para i = 1, 2 e a E Asa (A), e a afirmação

acima, temos que, para cada a E Ass (A), cr(M) = a(b5), o que mostra que UI —

está em Wt (A) pelo Principio Local-Global de Pfister. Como dim (69 = 2" — 1

ímpar, para i = 1, 2 temos da proposição anterior que 14.W (A) = b5.W (A), ou seja,

existe um elemento inversível b E W (A) tal que M = 6.112, como queríamos.

Observação 4.19 Ainda é um problema em aberto se as hipóteses de (4.18), de

fato implicam que b1 b2.

60

O próximo teorema mostra condições equivalentes para que os ideais de IV (A)

que não estão contidos em g (A) sejam ideais principais.

Tem-ema 4.20 As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) Te,3 é um ideal principal, para todo a E Asa (A);

(ii) Para cada a E Ass (A), existe uma forma bilinear b sobre A, tal que cr(b) = 3 e

r(b) = —1, para todo r E Ass (A), com r a;

(iii) Para cada a E Ass (A), existe uma forma bilinear b sobre A, tal que cr(b) = 4 e

r(b) = O, para todo r E Asa (A), com r a;

(iv) Todo ideal de W (A) contendo uma forma de dimensão ímpar é um ideal prin-

cipal.

Dem.: É evidente que (iv) (i). Mostremos então as implicações (1) (ii)

(iii) (iv).

(i) (ii). Dado a E Ass (A), temos que cr(T7,3) =- 3Z. Logo existe um gerador b1

do ideal principal Te,3 tal que a(bi) = 3. De (3.15) temos que Te,3 contém um único

ideal primo mínima!, que é Y,. Assim, ser E Ass (A) é tal que r a, então

e, como T0,3 é um ideal maximal de W (A), temos que g',„3 = W (A). Usando

que T0,3 = bi.W (A) e que Y,. = Ker (r), temos que Z = r(W (A)) =

r(bi.W (A)) = r(b1)Z, o que mostra que r(bi) = ±1, para todo r E Ass (A) com

r cr.

Agora, do fato que cr(bi) = 3, obtemos que dim(61) é impar. Usando (3.3) e o

fato que r(b1) = ±1 e cr(bi) = 3, para cada r E Ass (A), com r a, temos que

= . . . , azni-1) em W (A), com ai E A* tais que

1 se 1 < i < n

T((ai)) = —1 se n -I- 1 < i < 2n

r(b) se i=2n+1

61

—1 se 1 < < n — 1 •

1 se n < i < 2n + 1.

Seja e = (-1)" ai. • • • 02n+1 E A. Então,

21H-1 r ((e)) = (-1)" = (-1)n (-1)n 7((422n+1)) =

para cada r E Ass (A), com r a e,

2n+1 a((e)) = (-1)" 0.((ai))= (-1)" (-1)71-1 =

i=1

Assim, b = (—e) 0 (ab az,. • • ,a2,i+i) é uma forma bilinear não singular sobre A, tal

que 2n+i

a(b) = a((—e)) E ( ( cri) ) = —a ((e)) 3 = 3

e, para cada r E Ass (A), com r a,

21a1-1 r(b) = r((—e)) E «(ai)) = —r(bi)2 = —1,

pois r(bi) = ±1, o que mostra (ii).

(ii) (iii). Se b é uma forma bilinear satisfazendo a condição (ii), então b (1)

satisfaz (iii).

(iii) (iv). Para a E Ass (A), seja be a forma bilinear satisfazendo (iii), ou seja,

a(be) = 4 e r(ba) = O, para todo r E Ass (A), com r a. Multiplicando be por algum

a E D(be), com a((a)) = 1, se necessário, podemos assumir que 1 E D(ba). Então,

de (2.8) temos que be (1) _L qe, para algum qe E Bi/ (A). Observe que, neste caso,

para r E Ass (A),

3 se r =

—1 se 7- CI

e,

62

Para mostrarmos a conclusão apresentada em (iv), usando a observação feita no

início desta seção, é suficiente mostrarmos que os ideais = n Te,pi são principais, ¡Er

onde 1' é um conjunto finito de pares (cr,pi), com a E Asa (A), p primos ímpares e

i > 1 inteiro.

Para cada a E Ass (A), seja ne = H j/, com n, = 1 se este produto for vazio

e Toa = W (A). Com esta notação, desde eque Ass (A), é um conjunto finito, temos

que 3 = fl Tool,- Agora, o resultado segue da seguinte afirmação crEAss (A)

Afirmação - Existe uma forma bilinear b E 13i1 (A), tal que 1 a(b)1 = na, para todo

a E Ass (A).

De fato, se tal forma bilinear b existe, então b.W (A) C Yon0 , para todo

a E Ass (A), o que implica que b.W (A) C fl To = O. Observe que para cada EAss (A)

a E Ass (A), na é um número inteiro ímpar e, a(b) = n, implica que b é uma forma

de dimensão ímpar. Portanto, os únicos ideais primários contendo b são os ideais

com (a, pi) E 1' e ideais contendo estes. Desde que a decomposição primária

reduzida de b.W (A) é uma intersecção finita de ideais primários contendo b, temos

que 3 C b.W (A), ou seja, 3 = b.W (A), o que mostra (iv).

Finalmente, mostremos a afirmação. Se na = 1, para todo a E Ass (A), então

b = (1) satisfaz a afirmação. Podemos então assumir que na 1, para pelo menos

um a E Ass (A). Como na é um inteiro ímpar, para cada a E Ass (A), temos que

existe pelo menos um a E Ass (A) tal que n, > 3.

Desde que Ass (A) é um conjunto finito, temos que n = E , > r + 2, onde aEAss (A)

r é o número de elementos de Ass (A). Mostraremos agora a afirmação por indução

sobre n.

Se n = r + 2, então existe exatamente um a E Ass (A) tal que ne = 3 e n = 1,

para todo r E Ass (A) com r a. Neste caso, b = q, satisfaz o requerido.

Se n > r + 2, consideremos dois casos separadamente:

63

Caso 1 - Existe a E Ass (A), tal que na > 5.

Considere o ideal de W (A), do= Pcrno-4 n n PT"- • Neste caso, no = T*0

,

(ne —4) -I- E , < n e, por hipótese de indução, existe bo E 23i1 (A) tal que

n, — 4 se 7 = cr I T() I =

nt se 7 # Cr

Tomando e = ±1, de acordo com o sinal de a(b0) = ±(ne — 4), temos que b =

bo _L (e) ® be satisfaz a afirmação pois

a(b)1 = 1a(bo) c((e) be) 1 = (na — 4) + 4 = n,

I r(b) I = r(bo) 7((e) be) I = 1 T(bo) I = nr,

para todo 7 #a.

Caso 2 - Para todo a E Ass (A), a < 3.

Desde que n > r -I- 2, temos que pelo menos dois ne 's são iguais a 3. Digamos que

a, -y E Ass (A) são tais que ne = n-, = 3. Seja

do = Po n 274 n n ç W (A). T*47,7

Para este ideal do, temos n0 = 1 1 E ne < n. Então, por hipótese de indução, t*on

existe bo E 23i1 (A) tal que

{ 1 se 7 = cr ou -y

TN) Para cada 7 E Ass (A), seja = = ±1, de acordo com o sinal de 7(b0). TN)

Sem perda de generalidade, podemos assumir que e, = 1, pois caso contrário,

b'o = (-1) ® bo E 23i1 (A) é tal que I 7(%) I = 17(60)1, para todo 7 E Ass (A), e a(%)

— — = 1. Mais ainda, podemos também assumir que e, = 1, pois se e, = ebO)

00) = ne se 7 # cr , 7.

64

1 e e-, = —1, escolhemos a E A tal que u((a)) = 1 e -y((a)) = —1, que existe por

(4.9). Neste caso, tio = (a) ()) bo E Bil (A) é tal que I r(b10) I = I r(bn)l, para todo

E Asa (A) e e, = e-, = 1.

Para cada r E Asa (A), com r a, 7, podemos escrever n.,. = 2m1.„ -I- 1, pois cada

n„. é ímpar. Considerando m„ =. m'.„ se e, = 1 e m„ = —(nil.„ 1) se e, = —1, temos

que

b = bo _L qu _L qi _L ( _L (—m,)&r) TOcr,"

satisfaz a afirmação. De fato:

1 cr(b) = cr(bo) I- cr(qe) I- cr(qi) — E m„ cr(b,) = 1 -I- 3 — 1 = 3 =n TOcr,-y

7(b) = 1(b0) -I- -y(qe)-1- -y(b1)— E m.,-7(b.,)=-1 —1+ 3 = n.i. TOo,-y

Se r E Ass (A) — {a, 7} e e, = 1, então

r(b) = r(bo) r(q„) r(q1) — m„ r(b,) =

= n, — J. - 1. — 4 m",. =

= 2 mil,. I- 1 — 2 — 4 =

—2m. —1 =

Se TE Asa (A) — {a, 7} e e, = —1, então

r(b) = r(b0)-1- r(q0) r(q.7)— m„r(b,)=

=

=

Assim, 1 r(b) 1 = n, para todo r E Asa (A), como queríamos.

Corolário 4.21 Se valem as condições equivalentes do teorema anterior, então vale

a fatoração única em irredutíveis para formas de dimensão ímpar em W (A).

65

Dem.: Mostra-se de maneira análoga a demonstração canônica de que todo domínio

de ideais principais é um domínio fatorial, veja por exemplo [11]. •

66

Referências Bibliográficas

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