I AULÃOI AULÃO Matematica I Matematica I

Prof. Gledson GuimarãesProf. Gledson Guimarães

1. (UFPB_2009) – função exp. e 1. (UFPB_2009) – função exp. e

logarítmicalogarítmica

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• 1º devemos substituir 7seg em:1º devemos substituir 7seg em:• E(t)=EE(t)=Eoo. . ℮℮ -at -at → → E(7)=EE(7)=Eoo. . ℮℮ -7a -7a daí E daí Eo o cai pela cai pela

metade ficando:metade ficando:• EEo o /2 = E/2 = Eoo. ℮. ℮ -7a -7a , eliminamos E, eliminamos Eo o ficando:ficando:

• ½ = ℮½ = ℮ -7a -7a daí aplicamos ln nos dois membrosdaí aplicamos ln nos dois membros• ln ½ = ln ℮ln ½ = ln ℮ -7a -7a ln 2→ ln 2→ -1-1 = ln ℮ = ln ℮ -7a -7a daí teremosdaí teremos• -1.ln 2 = -7a-1.ln 2 = -7a , pela questão temos , pela questão temos ℮℮ 0,70,7 = 2 = 2• Isso nos dá que ln 2 = 0,7, então -1. 0,7 = -7aIsso nos dá que ln 2 = 0,7, então -1. 0,7 = -7a• Então achamos a = 0,1Então achamos a = 0,1

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• Daí com o valor de a, escrevemos:• E(t)= E0.℮℮ -0,1.t-0,1.t , como a energia reduz 20% , como a energia reduz 20%

• 0,2. 0,2. E0 = E0.℮℮ -0,1.t-0,1.t

• 0,2 = ℮0,2 = ℮ -0,1.t-0,1.t , aplica-se ln nos dois membros , aplica-se ln nos dois membros• ln 0,2 = ln ℮ln 0,2 = ln ℮ -0,1.t-0,1.t • ln (2/10) = - 0,1.tln (2/10) = - 0,1.t• ln (1/5) = -0,1.t ln 1 – ln 5 = -0,1.t→ln (1/5) = -0,1.t ln 1 – ln 5 = -0,1.t→• 0 – 1,6 = - 0,1.t 1,6 = 0,1.t t = 1,6 / 0,1→ →0 – 1,6 = - 0,1.t 1,6 = 0,1.t t = 1,6 / 0,1→ →• t = 16 segundost = 16 segundos

2. (UFPB_2009) função e área 2. (UFPB_2009) função e área

circularcircular

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• Deveremos encontrar o valor do raio

após 10 horas, pois das 8h às 18h;• t = 10, r(10) = 20+0,2.10 = 22m;• Calculando a Área com o raio 22 m;• A = π.r2 = π . 222 = 484 π cm2

• logo a área ocupada 484 π cm2

3. (UFPB_2010) logaritmos e exponenciais3. (UFPB_2010) logaritmos e exponenciais

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• Como 20% das bactérias vão morrer então teremos Como 20% das bactérias vão morrer então teremos

20% . 1020% . 1012 12 = 0,2 . 10= 0,2 . 101212 , daí substituímos; , daí substituímos;• t = 50.ln.(10t = 50.ln.(101212 / 10 / 101212 – 0,2.10 – 0,2.101212))• t = 50.ln.(10t = 50.ln.(101212 / (10 / (101212 (1– 0,2)) (1– 0,2))• t = 50.ln.(10t = 50.ln.(101212 / 10 / 101212. 0,8) = eliminamos 10. 0,8) = eliminamos 10 1212

• t = 50.ln.(1/0,8)= 50.ln(1/8/10) =50.ln(10/8)t = 50.ln.(1/0,8)= 50.ln(1/8/10) =50.ln(10/8)• t = 50.ln(5/4) = 50. ( ln5 – ln4) t = 50.ln(5/4) = 50. ( ln5 – ln4) →→ln4 = ln2ln4 = ln222

• t = 50. (ln5 – 2.ln2) = 50.(1,6 -2.0,7)=t = 50. (ln5 – 2.ln2) = 50.(1,6 -2.0,7)=• t= 50 . (1,6 – 1,4) = 50 . 0,2 = 10.... t = 10 segt= 50 . (1,6 – 1,4) = 50 . 0,2 = 10.... t = 10 seg

4. (UFPE_2009) Áreas e volume de 4. (UFPE_2009) Áreas e volume de PrismasPrismas

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• O volume do prisma é dado por:• V = Abase . h , onde Abase = area da base e h =

altura do prisma trapeizodalprisma trapeizodal..• Calculando a área da base, que é um trapézio;Calculando a área da base, que é um trapézio;• A = ½.(base maior + base menor).altura A = ½.(base maior + base menor).altura • A = ½.(4 +2).6 = 18 cmA = ½.(4 +2).6 = 18 cm22

• A = 18 . 5 = 90 cmA = 18 . 5 = 90 cm33

5. (UEPB_2007) Sólidos de Revolução, cone e cilindro5. (UEPB_2007) Sólidos de Revolução, cone e cilindro

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• Ao girar a figura em torno do eixo Ao girar a figura em torno do eixo

AD AD teremos a figura ao lado..teremos a figura ao lado..• A área total do sólido será dada por:A área total do sólido será dada por:• AA tt = = AA conecone + + AA cilindrocilindro

• AA c o n ec o n e = = ππ .r.g + A.r.g + A b a s eb a s e , , nesse caso nesse caso não usaremos a base do cone;não usaremos a base do cone;

• AA c o n ec o n e = = ππ .r.g, .r.g, precisamos da precisamos da geratrizgeratriz

• Calculando a geratriz pelo Teorema Calculando a geratriz pelo Teorema de Pitágoras.de Pitágoras.

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• Aplicando o Teorema de Pitágoras:Aplicando o Teorema de Pitágoras:• gg22= 4= 422 + 3 + 322 → → gg2 2 = 16 +9 = 25 = 16 +9 = 25 → → g = √25 = 5g = √25 = 5

• AA conecone = = ππ.4.5 = 20 .4.5 = 20 ππ, calculando agora a área , calculando agora a área

do cilindro:do cilindro:

• AA cilindrocilindro = 2. = 2.ππ. r . h + . r . h + AA base base = = ππ. r. r22

• AA cilindrocilindro = 2. = 2.ππ.4.2 + .4.2 + ππ.4.42 2 = 16= 16ππ+16+16ππ

• AA cilindro cilindro =32=32ππ...Então a área total...Então a área total

• AA totaltotal = 32 = 32ππ + 20 + 20ππ = 52 = 52 ππ cm cm22

6. (UEPB_2007) Exponenciais e 6. (UEPB_2007) Exponenciais e LogaritmosLogaritmos

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO• Para atingir 1/8 massa inicial teremos 1/8. mPara atingir 1/8 massa inicial teremos 1/8. m 00

• m(t)= mm(t)= m0 0 .10.10-t/70-t/70 →→ 1/8 m 1/8 m00 = m = m0 0 . . 1010-t/70-t/70

• 1/8 = 101/8 = 10-t/70 -t/70 , aplicamos log nos membros, aplicamos log nos membros• log (1/8) = log 10log (1/8) = log 10 -t/70 -t/70 , daí teremos , daí teremos • log1 – log8 = -t/70 log1 – log8 = -t/70 →→ 0- log2 0- log23 3 = -3.log2 = -3.log2• 0 – 3. 0,3 = -t/700 – 3. 0,3 = -t/70• 0,9 = t/70 0,9 = t/70 →→ t = 0,9 . 70 t = 0,9 . 70 →→ t = 63 gramas t = 63 gramas

Em breve o 2º aulão

• Sucesso a todos que pretendem fazer os vestibulares e o ENEM... Um abração!!!