Historia de La Programacion Lineal en Peru

8/10/2019 Historia de La Programacion Lineal en Peru

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Alumno: Cruz Lpez Luis Ivn

Docente: Ing. Vlchez Baca Herert Antonio Curso: Investigacin !e "per

Ao de la Diversifcacin Productiva y del Fortalecimientode la Educacin

Historia !e la #rogramacin Linealen #er$


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PROGRAMACIO !IEA!

PROGRAMACI" !IEA!La programacin lineal es un proce!imiento o algoritmo

matemtico me!iante el cual se resuelve un prolemain!etermina!o8 9ormula!o a travs !e un sistema !einecuaciones lineales8 optimizan!o la 9uncin o2etivo8tamin lineal.

#$ %I&'ORIA#ara el !esarrollo sore la historia !e la #rogramacin linealse ha utiliza!o los aportes !e -aor!a ;* suin@uencia en la historia !e este siglo. )n el siglo VII > VIII8(eton8 Leiniz8 Bernouilli > La &range estu!iaron losmimos > mnimos !e las 9unciones al estu!iar el clculoin?nitesimal8 luego8 ean Baptiste oseph 1ourier ;657E70 resolvisistemas lineales !e inecuaciones con el mto!o !e

eliminacin llama!o: 1ourier 'otzFin. 1inalmente8 en 665el matemtico &aspar 'onge ;6/5E 77= se interes enrealizar estu!ios sore #.L. )n cuanto al estu!io !e9un!amentos matemticos en #.L. estos se !een almatemtico ohn Von (euman ;G la teora !e matrices. )n los aos G/

> G/* el ruso Leoni!as Vital>evich Jantarovitch 9ormula elprolema !e transporte al ue se le llam prolema !eJoopmans > Jantarovitch8 luego ,tigler estu!i otroprolema particular llama!o prolema !el rgimenalimenticio ptimo. #osteriormente8 en G/5 el mun!o vivilas consecuencias !e la guerra 9ra8 ah apareci &eorgeDantzig uien en G/6 pulic el mto!o simple > le !iun ma>or impulso al estu!io !e la #.L.8 el cual estaa

estrechamente liga!o a estrategias militares > aos mstar!e usara mo!elos !e or!ena!ores !e la IB'.


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Dantzig 2unto a una serie !e investiga!ores !el 4nite!,tates Department o9 Air 1orce8 9orman el grupo llama!o,C""# cu>as iniciales proviene !e la palara: ,cienti?cComputation o9 "ptimum #rograms8 > aplicaron !ichomto!o en el 9amoso puente areo !e Berln. )ste episo!iose !io cuan!o ,talin or!en a sus tropas ue el */ !e unio!e G/7 louearan las comunicaciones terrestres entre laszonas alemanas ue ue!aron en po!er !e los alia!os conla ciu!a! !e Berln occi!ental8 inician!o !e esta manera elloueo !e Berln. Los alia!os slo tenan !os caminos8 elprimero era romper con este loueo emplean!o la 9uerza8el segun!o camino era hacerlo por el aire. As 9ue ue elpo!er americano se !emostr en G/7 cuan!o se puso unpuente areo entre las zonas alemanas con la ciu!a! !eBerln transportan!o en Diciemre !e G/7 la canti!a! !e/3 luego en 'arzo !eG/G llegaron a 7 otrossuministros ue >a no tenan por el loueo terrestre.

1inalmente8 el * !e 'a>o !e G/G los soviticos levantaronel loueo. )n la postguerra la ma>ora !e las in!ustrias anivel mun!ial utilizaron este mto!o !e #.L.8 en laplani?cacin !iaria !e traa2o8 porue se !etect ueeista una e?caz coor!inacin entre las energas > recursos!e la nacin > ue la solucin a esta comple2i!a! pasaanecesariamente por los mo!elos !e optimizacin ueresuelve la #.L. Como lo mencionamos en el capitulo

anterior en G37 el mto!o !e #.L. se aplic a un prolemaconcreto: el clculo !el plan ptimo !e transporte !e arena


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!e la construccin !e las oras !e e!i?cacin !e la ciu!a!!e 'osc$. ,e trataa !e un prolema con < puntos !eparti!a !i9erente > *0< puntos !e llega!a8 se calcul el planptimo !e transporte con el or!ena!or ,trena > !urante eltranscurso !e < !as !el mes !e unio se oserv una!isminucin !el K en los gastos previstos en eltransporte con el uso !e la #.L. > el or!ena!or ,trena8eistien!o en 9orma generaliza!a una !isminucinporcentual !el #ro!ucto Bruto Interno !e un pas.

)n G7/8 el matemtico Hin!$ (aren!ra JarmarFarintro!uce el mto!o !e punto interior para resolverprolemas !e #.L. con un gran n$mero !e variales.1inalmente8 los prolemas !e #.L.8 pue!en tener cuatroprincipales tipos !e en9oues: )l !e insumo pro!ucto !e .Leontiez8 el prolema !e la !ieta !e ,tigler8 el prolema !eltransporte !e HitchcocF > el mto!o ,imple en in!ustrias >negocios !e &eorge Dantzig.

La programacin lineal es una tcnica matemticarelativamente reciente ;siglo =8 ue consiste en una serie!e mto!os > proce!imientos ue permiten resolverprolemas !e optimizacin en el mito8 sore to!o8 !e lasCiencias ,ociales.

)l o2etivo es siempre optimizar una 9uncin o2etivo !e !oso ms variales8 con unos !atos !e entra!a > unasrestricciones ue las variales !e la 9uncin o2etivo !eencumplir. La estructura !el programa matemtico es:

#$( Datos de entrada),on los !atos ue se pue!en conocer !e

la reali!a! > ue son necesarios para la posterior resolucin!el mo!elo matemtico.


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;'otor !e resolucin ue e2ecuta el c!igo !esarrolla!o enel "#L > resuelve el mo!elo=

> "#L ;en el ue se escrie el mo!elo con el lengua2e !e

programacin=..

,$ /&O DE !A PROGRAMACIO !IEA! E E! PER/Des!e los primeros aos !e la !ca!a !el 5< !iversasempresas > enti!a!es han aplica!o la programacin lineal

para la toma !e !ecisiones en prolemas espec?cos. Lautilizacin !e este resolver tcnica ha si!o sistematiza!aunos casos > puntual en otros.

Cae sealar tamin varias ?liales !e empresasetran2eras ue operan en el pas8 hacen resolver en suse!e central los prolemas ue a9rontan sus operaciones enel #er$8 usan!o tamin la programacin lineal.

)l prolema !e la resolucin !e un sistema lineal !einecuaciones se remonta8 al menos8 a oseph 1ourier8!espus !e uien nace el mto!o !e eliminacin !e 1ourierE'otzFin.

Los 9un!a!ores !e la tcnica son &eorge Dantzig8 uienpulic el algoritmo simple8 en G/68 ohn von (eumann8ue !esarroll la teora !e la !uali!a! en el mismo ao8 >

Leoni! Jantorvich8 un matemtico ruso8 ue utilizatcnicas similares en la economa antes !e Dantzig > gan


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!e la ms amplia tcnica !e la programacin lineal.Histricamente8 las i!eas !e programacin lineal haninspira!o muchos !e los conceptos centrales !e la teora !eoptimizacin tales como la !uali!a!8 la !escomposicin > laimportancia !e la convei!a! > sus generalizaciones. Delmismo mo!o8 la programacin lineal es mu> usa!a en lamicroeconoma > la a!ministracin !e empresas8 >a seapara aumentar al mimo los ingresos o re!ucir al mnimolos costos !e un sistema !e pro!uccin. Algunos e2emplosson la mezcla !e alimentos8 la gestin !e inventarios8 lacartera > la gestin !e las ?nanzas8 la asignacin !erecursos humanos > recursos !e muinas8 la plani?cacin!e campaas !e pulici!a!8 etc.

"tros son:

P "ptimizacin !e la cominacin !e ci9ras comercialesen una re! lineal !e !istriucin !e agua.

P Aprovechamiento ptimo !e los recursos !e unacuenca hi!rogr?ca8 para un ao con a@uencias

caracteriza!as por correspon!er a una !etermina!a9recuencia.

P ,oporte para toma !e !ecisin en tiempo real8 paraoperacin !e un sistema !e oras hi!rulicasO

P ,olucin !e prolemas !e transporte.

0$ %IPO'E&I&

0$($ %IPO'E&I& ( DE PROGRAMACI" !IEA!)

DIVI,I,ILIDAD: -o!as las variales pue!en asumir cualuiervalor real.

,i las variales solo tienen senti!o en el caso !e tomarvalores !iscretos pero tomar un valor real eleva!o ;superior

a re!on!ear su valor


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'uchas activi!a!es en el mun!o real pue!en variar !e9orma continua8 es !ecir son !ivisiles in?nitamente. #ore2emplo8 la canti!a! !e carn uema!o por hora pue!ea2ustarse a cualuier valor !entro !e unos lmitesrazonales. ,in emargo8 ha> activi!a!es reales ue slopue!en tomar valores enteros8 por e2emplo el n$mero !evia2es !e carn necesarios para trasla!ar cierta carga !eun lugar a otro o el n$mero !e euipos in9ormticos ue!ee a!uirir una empresa.

,i la activi!a! real no es !ivisile !e 9orma in?nitaO pero elnivel normal !e activi!a! es un n$mero gran!e8 las

con!iciones !e !ivisiili!a! pue!en servir como unaaproimacin conveniente. )n general8 esto signi?ca ue elvalor !e la solucin es !e !ecenas o ma>or. Los valores9raccionarios tan slo se re!on!ean al entero ms cercano.#or el contrario8 si el nivel normal !e activi!a! esrelativamente peueo8 !igamos menor ue


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E estn restringi!as a ser no negativas > son las llama!asvariales irrestrictas o lires. De hecho8 el so9tare !eoptimizacin suele permitir al usuario !e?nir !irectamenteeste tipo !e variales como lires e interpretan!o ue surango !e variacin est entre menos > ms in?nito.

= 1uncin o2etivo

)l o2etivo !e la gerencia consiste en maimizar lapro!uccin !e electrici!a! !e la planta. Ua ue laelectrici!a! se pro!uce me!iante vapor > eiste unarelacin !irecta entre la pro!uccin !e vapor > la !eelectrici!a!8 el maimizar Qa pro!uccin !e vapor eseuivalente a maimizar la pro!uccin !e electrici!a!. #orlo tanto8 pue!e replantearse el o2etivo !e la gerencia comoencontrar la cominacin !e comustiles ue maimiceQa pro!uccin !e vapor.

3.0. HI-#"-),I, 0 D) #%"&%A'ACI"( LI()AL:

LI()ALIDAD: -o!as las relaciones entre variales son

lineales)n programacin lineal esto implica:

P #roporcionali!a! !e las contriuciones. La contriucinin!ivi!ual !e ca!a variale es estrictamente proporcional asu valorO > el 9actor !e proporcionali!a! es constante parato!a la gama !e valores ue la variale pue!e asumir.

P Activi!a! !e las contriuciones. La contriucin total

!e las variales es igual a la suma !e las contriucionesin!ivi!uales8 sea cual sea el valor !e las variales.

4na relacin tal corno WS 3 R 0 R * * o W S */ R*< * para X S 3 > < R ** R *< * para Y 3violara la con!icin !e proporcionali!a!O mientras ue W S*/ para * S ** Z 7 * para Y " > *Y " violarla la activi!a!.


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La hiptesis 0 implica ene?cios constantes a escala eimpi!e economas > !eseconomas !e escala. )n la prcticaesta con!icin posilemente no se cumpla con eactitu!Oen particular para valores mu> peueos o mu> gran!es !eactivi!a!. ,in emargo8 si se cumple en 9orma aproima!a!entro !el intervalo normal !e los valores !e solucin8 esposile emplear el mo!elo !e programacin lineal comouna uena aproimacin. )sta consi!eracin tamineclu>e el prolema !e los costes ?2os cuan!o se presentanpara valores positivos !e la activi!a!8 pero no para nivelescero.

A!ems !e las con!iciones !e no negativi!a!8 los niveles!e activi!a! !een !e cumplir ciertas restricciones uepue!en ser !e naturaleza 9sica8 econmica o legal.

c= %estricciones

C. %estriccin !e la emisin !e partculas

La canti!a! mima !e emisin !e humo por hora en una

planta est limita!a a * Fg. De acuer!o con la tala *.I8ca!a tonela!a !e carn A pro!uce ca!atonela!a !e carn B pro!uce Fg !e humo. ,i la plantauema ton !e carn A > * !e B* la canti!a! !e humototal emiti!a a partir !e amos tipos !e carn es igual a susuma8 ue no pue!e ece!er !e * Fg[h.

P ;*= al segun!o miemro !ela !esigual!a! o trmino in!epen!iente se conoce comocoe?ciente !el segun!o miemro o parmetro !el la!o!erecho !e la restriccin ;en el so9tare %H, E%ightEHan!,i!e=.

C* %estriccin !e las instalaciones !e carga.


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)l sistema !e cinta transporta!ora ue trasla!a el carn!e los !epsitos al pulveriza!or tiene una capaci!a! !e * */ h enpulverizar una tonela!a !e carn B. ,i la solucin eigeuna cominacin !e amos tipos !e carn8 el tiempo ue

se tar!ar en pulverizar una mezcla !e ton !e A > * !eB es ;[5= R ;[*/=*. ,on a!misiles slo auellascominaciones !e > * ue reuieran cuan!o ms h.#or lo tanto la restriccin !el pulveriza!or es:

"srvese la 9orma en ue se ha supera!o la !i?culta!presenta!a por las !i9erentes tasas mimas. )stas tasas se

han tra!uci!o a tiempos necesarios por tonela!a >epresan la restriccin en trminos !e tiempo en vez !ecapaci!a!.

C/ %estriccin !e la emisin !e i!o !e azu9re

La emisin mima !e i!o !e azu9re no !ee ece!er !e0 *; R *= !e!icha mezcla es carn B8 con una tasa !e emisin !e 07


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carn. )ste prome!io pon!era!o no pue!e ece!er !e0 reor!enan!o trminos8 se otiene la restriccin:

3./. HI#+-),I, / D) #%"&%A'ACI+( L]()AL:C)%-ID4'B%)

,e asume ue to!os los parmetros !el mo!elo c2 a2 > 2son constantes conoci!as.

%egin 9actile8 solucin gr?ca > variales holgura#ara ue una solucin sea a!misile la cominacin !eniveles !e activi!a! !ee satis9acer en 9orma simultneato!as las restricciones8 inclu>en!o las con!iciones !e nonegativi!a!. A tal solucin se le !enomina solucin 9actilepara el prolema. )l con2unto !e to!as las soluciones9actiles 9orma la regin 9actile o con2unto !e solucionesposiles. "srvese en la ?gura *.* ue el con2unto !esoluciones posiles no !epen!e !e la 9uncin o2etivo. Mstaes una interesante propie!a! !e la ma>ora !e los mo!elos!e Investigacin "perativa > tiene importantesconsecuencias sore el mto!o !e resolucin > laspropie!a!es !e la solucin ptima.

,i la 9rontera !e una restriccin no tiene puntos en com$ncon la regin 9actile8 entonces esta restriccin es

re!un!ante > pue!e eliminarse en consi!eracionesposteriores8 >a ue nunca limitar los valores !e lasvariales. ^)iste alguna restriccin re!un!ante en nuestroprolema_.

)n la prctica8 cuan!o un prolema tiene cientos !erestricciones > cientos !e variales rara vez es posilei!enti?car si una restriccin es re!un!ante o no. #or

9ortuna8 el algoritmo !e resolucin conoci!o como mto!o


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simple 9unciona e?cientemente8 aunue el planteamientocontenga restricciones re!un!antes.

Como el o2etivo es maimizar 9a pro!uccin !e vapor !e la

planta8 ten!remos ue !eterminar la recta ms alta uecontenga al menos una solucin posile. Dicha recta es laue correspon!e a W S / los niveles !e activi!a! !e lasvariales en la solucin ptima son !e S * > * S 5como pue!e oservarse en la ?gura *.0. 4na cominacin!e * tonela!as !e carn A > 5 tonela!as !e carn B porhora maimiza la pro!uccin !e vapor !e la planta !entro!e las restricciones 9sicas > legales impuestas a las

variales.

Des!e el punto !e vista intuitivo8 parece ovio ue lasolucin ptima siempre ocurrir en 9a 9rontera !e la regin9actile8 >a sea en un punto etremo o en un la!o !elpolgono. Como se ver en el anlisis !e sensiili!a!8 es lapen!iente !e la 9uncin o2etivo la ue !etermina en uparte !e la 9rontera estar situa!a la solucin ptima.

,i el prolema eigiera la minimizacin !e la 9uncino2etivo ^en ue 9orma camiara el proce!imiento gr?copara encontrar la solucin ptima_ #or e2emplo8 se !esea!eterminar la solucin !e coste mnimo para otener unapro!uccin !e vapor !e8 al menos8 *5 uni!a!es por hora >ue el coste por tonela!a es !e */ ` para el carn A > !e3 para el B. #lantea > resuelve este8 prolema !e 9ormagr?ca.

)n sntesis8 po!emos a?rmar ue una solucin ptima esuna solucin 9actile con el me2or valor !e la 9uncino2etivo. )l me2or valor o el valor ms 9avorale !e la9uncin o2etivo ser el ms gran!e en los prolemas !emaimizacin o el ms peueo en los prolemas !eminimizacin.

(o to!os los prolemas !e programacin lineal tienen

?nales 9elices. #or una parte8 pue!e ocurrir ue las


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restricciones sean inconsistentes en el senti!o !e ue noeista ninguna solucin 9actile. U por otra8 la regin9actile pue!e estar aierta en alguna !ireccin !e maneraue la 9uncin o2etivo pue!a incrementarse !e 9ormain!e?ni!a > no eista solucin ?nita ;la solucin es noacota!a=. )stos casos son poco 9recuentes en la prctica. Amenu!o8 tales soluciones son el resulta!o !e errores o !erepresentaciones incorrectas en la 9ormulacin matemtica.#or tanto8 al resolver un programa lineal po!emosencontrarnos con cuatro casos:

P ,olucin $nica.

P soluciones alternativas ;in?nitas soluciones=. )n unmo!elo con !os variales ocurre siempre ue la 9uncino2etivo corta al con2unto 9actile en un la!o !el polgono8para el me2or valor !e la misma. )n la prctica veremostemas posteriores cmo es un caso mucho ms 9recuente!e lo ue a priori pu!iramos pensar.

P (o ha> solucin8 porue ninguna cominacin !e

variales cumple to!as las restricciones.

P ,olucin no acota!a.

#ara cualuier solucin 9actile8 la !i9erencia entre el valorue toma la restriccin > el coe?ciente !el segun!omiemro se !enomina holgura ;para !esigual!a!esXS= o

eceso ;para !esigual!a!es YS=. A menu!o8 resultaconveniente mostrar !e manera eplcita esta !i9erencia8intro!ucien!o una variale a!icional en ca!a restriccin. Aestas variales se les !enomina variales !e holgura o !eeceso. #or conveniencia8 se suele utilizar el trmino !evariales !e holgura para amas. -ales variales estnsu2etas a las mismas consi!eraciones !e !ivisiili!a! > nonegativi!a! ue las variales !ecisin. )ntonces ca!a

restriccin se convierte en una igual!a!.


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1I1!IOGRAFIA

Investigacin De "peraciones E %ichar! Bronson

1ormulacin > %esolucin !e 'o!elos !e #rogramacin'atemtica en Ingeniera > Ciencia E )nriue Castillo


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Investigacin !e operaciones en la ciencia a!ministrativa T)ppen

Investigacin !e "peraciones E Ham!> -aha

Investigacin !e "peraciones E 1rancisco Che!iaF

Investigacion !e "peracionesE)nriue Castillo8 %icar!o&arca8 Antonio . Cone2o8 #alo %egal > (atalia Alguacil.

Investigacin De "peracionesE Hillier8 1re!ericF ,.

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'AREA A!'ERA'I*A .,e tiene un compromiso !e negocios por cinco semanas entre Lima;L= > Bogot ;B=. Vuela hacia Bogot el lunes > regresa a Lima elmircoles. 4n oleto normal !e via2e re!on!o cuesta `/


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