7/23/2019 Hadju

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0.1. EQUACOES DIOFANTINAS EXPONENCIAL 1

Resultados, referencias, etc ainda nao estar em suas formas finais.Parte 1. A princpio Hasse tipo de equacoes exponenciais Diofantinas

1/a formulacao do princpio (conjectura)

1/b Conexoes com uma conjectura de Skolem e resultados relacionados conhecidos

1/c Um novo resultado teorico - o princpio e quase semprevalido

1/d Os resultados numericos para apoiar o princpio

Parte 2. Aplicacao: solucao completa de equacoes exponencial Diofantina em varias condicoes e incog-nitas

2/a conhecidos resultados da literatura

2/b O esquema de aplicacao

2/c Os resultados numericos

Os resultados apresentados sao conjunta com Csanad Bertok.

0.1 Equacoes Diofantinas Exponencial

Seja a1, , ak, b11, , b1, , Bk1, , bk estar inteiros diferentes de zero, c ser um inteiro. Considerea equacao exponencial Diofantina

a1b1111 b1l

1l + + akbk1k1 bkl

kl = c(1)

em inteiros nao negativos 11, , 1l, , k1, , kl. Ou seja, nos consideramos equacoes como

5 2 7 15 10 17 22 + 3 7 17 = 101.

0.2 Breve historia da equacao (1)

A teoria eficaz e ineficaz de (1) tem uma historia longa. Em caso de k = 2, pelo metodo de Baker epossvel dar limites explcitos para os expoentes 11, , 1l, 21, , 2l. Ver resultados de Gyory (1979,1992, 2002), Shorey, Tijdeman (1986), Evertse, Gyory, Stewart Tijdeman (1988), Bugeaud, Gyory (1996),Gyory, Yu (2006) e muitos outros, tambem sobre os domnios mais gerais.

Pelos resultados de Vojta (1983) e Bennett (2010), as solucoes de (1) pode ainda ser efetivamente deter-minado para k = 3, 4, em algumas outras hipoteses restritivas.

0.3 Breve historia da equacao (1) - continuou

No caso de k 2, com a ajuda do teorema subespaco e possvel dar explcitas limites para o numero desolucoes da equacao (1) que nao tenham subsums fuga.

Ver resultados Evertse (1984), Evertse, Gyory (1985, 1988), Evertse, Gyory, Stewart Tijdeman (1988),Evertse, Schlickewei, Schmidt (2002), Evertse, Zannier (2008) e muitos outros, tambem sobre os domniosmais gerais.

0.4 Um princpio de Hasse-tipo para a equacao (1)

Nos propomos o seguinte Nova conjectura. Suponha que a equacao (1) nao tem solucoes. em seguidaexiste um inteiro m com m 2 tal que a congruencia

a1b111 b

l1l + + akb

1k1 b

lkl c( (mod m))

nao tem solucoes em inteiros nao negativos, 11, , 1l, , k1, , kl.A conjectura e uma generalizacao de uma conjectura classica de Skolem (1937).

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0.5 A conjectura de Skolem (1937)

A conjectura original da Skolem (1937) e o seguinte:Usando a notacao anterior, considere a equacao exponencial Diofantina

a1b111 b

l1l + + akb

1k1 b

lkl = 0.(3)

Suponha que a equacao (3) nao e solucionavel. Em seguida, a congruencia

a1b111 b

l1l + + akb

1k1 b

lkl 0 (mod m)

nao tem solucao para algum inteiro m 2.Na verdade, a conjectura de Skolem foi formulado para numeros algebricos. No entanto, o New Conjectura

tambem pode ter como uma variante.

0.6 Comparando-se as conjecturas

No Novo conjectura, podemos ter um numero inteiro arbitrario c no lado direito.

Na conjectura de Skolem os expoentes de bij para i = 1, , k e o mesmo j (j = 1, , l).

Ainda assim, o princpio subjacente a ambos congruencias e o mesmo.

0.7 Resultados conhecidos

Schinzel (1975): Pora k = 1 as conjecturas sao verdadeiras (mesmo em forma astronger).Bartolome, Bilu, Luca (2013): Em caso de l = 1, ou seja, para equacoes da forma

a1b1 + + akb

k = 0

a conjectura de Skolem e verdade, desde que o grupo multiplicativo gerado pelo b1, , bk e de grau um. (Oresultado e valido sobre os campos de numeros, tambem.)

Alem destes, ha muitos resultados interessantes sobre a conjectura de Skolem sobre os campos de funcaodevido ao Sun (201?), E sobre o caso k = 2, devido a Schinzel (1975, 1980, 2003) e Broughan, Luca (2010 )e outros.

0.8 Novos resultados

O proximo teorema mostra que o New conjectura e quase semprevalido. Teorema 1. (Bertok, H, 201?).Deixe b11, , b1l, , bk1, , bkl ser corrigido, e que H o conjunto da mao direita lados c para os quais aNova Conjectura e violada, isto e

H = {c : c um inteiro para qual (1) nao pode ser resolvido, mas (2) tem solucao para todos os m}.

Entao H tem densidade de zero no interior do conjunto

H0 = {c : c e um inteiro para qual (1) nao e solucionavel}.

0.9 Novos resultados - continuacao

Na verdade Teorema 1 e uma consequencia do seguinte resultado. Deixe (m) ser a funcao Carmichaeldo inteiro positivo m, que e o numero inteiro positivo para o qual pelo menos

b(m) 1( (mod m))

para todos os b Z com mdc(b, m) = 1. Teorema 2. (Bertok, H, 201?). Existem constantes positivas C1,C2

tal que para qualquer r inteiro e para cada grande inteiro i existe um inteiro m com r m, e

log m [log i + log r, (log i)C1 + log r],

(m) < r(log m/r)C2 loglog logm/r

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0.10. OBSERVACOES SOBRE TEOREMA 2. 3

0.10 Observacoes sobre Teorema 2.

A declaracao e uma variacao de um teorema de Erdos, Pomerance, Schmutz (1991) e Tijdeman, H(2011).

A diferenca importante e a exigencia adicional de que os modulos apropriada deve ser divisvel por um

numero fixo r. Esta relacao vai desempenhar um papel importante nas aplicacoes mais tarde. A prova e construtivono sentido de que uma sequencia de modulos adequados m sao dadas. Eles

sao produtos de numeros primos p tendo apenas pequenosfatores primos. Isso ja aparece na versaooriginal devido a Erdos, Pomerance, Schmutz (1991)

0.11 Os resultados numericos apoiar o New Conjectura

Dimitrov, Hoewe (2011) comprovou a insolvabilidade de equacoes da forma

2131 2t3t = Ct

para t 6, para valores particulares de Ct. Teorema 3. (Bertok, H, 201?). Sejam p1, p2, p3 primosdistintos inferior a 100, e 0 c 1000. Entao, o New conjectura e valida para as equacoes

p11 p22 = c

ep11 + p

22 p

33 = c

Teorema 4. (Bertok, H, 201?). Deixe p1 < < pt primos menos de 30 com 4 t 8 e 0 c 1000.Em seguida, o Novo conjectura e valido para a equacao

p11 + + pt1t1 p

tt = c