Grupos abelianos finitos

O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos estabelece que todo grupo abeliano finito G pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem prima. Este é um caso especial do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados no caso em que G tem ordem livre de torsão igual a 0.

O grupo cíclico   de ordem mn é isomórfo ao produto direto de   e   se e somente se m e n são coprimos. Conseqüentemente qualquer grupo abeliano G pode ser escrito como um produto direto da forma

em uma das seguintes formas canônicas:

Os números k1,...,ku são potências de primos. O inteiro k1 divide k2, que divide k3 e assim sucessivamente até ku.

Exemplo

Este teorema pode ser usado para se determinar todos os grupos abelianos de ordem 72 = 2³ 3². Tem-se o grupo cíclico  .

Os demais grupos podem ser determinados pelas duas formas de escrever (como produtos de grupos cíclicos em que cada um é de ordem múltipla do anterior, ou como produtos de potências de números primos).

Como produtos de potências, temos as seguintes (outras) decomposições de 72:

72 = 2 x 3 x 3 = 2 x 2 x 3 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Como sequências de números em que o seguinte é múltiplo do anterior, temos as decomposições de 72:

72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 3 x 24 = 6 x 12 = 2 x 6 x 6

Ou seja, os grupos de ordem 72 que não são cíclicos são:

Grupo abelianos de ordem pequena

1

Os grupos abelianos finitos são classificados facilmente: eles são grupos cíclicos ou produtos diretos de grupos cíclicos.

Ordem Grupo Subgrupos PropriedadesDiagrama de ciclos

1grupo trivial= Z1 =S1 = A2

-várias propriedades são válidastrivialmente

2 Z2 = S2= Dih1 -simples, o menor grupo não trivial

3 Z3 = A3 - simples

4Z4 Z2   

Klein 4=Z2 × Z2= Dih2

Z2 (3) o menor gropo não cíclico

5 Z5 - simples

6 Z6 = Z3× Z2 Z3 , Z2  

7 Z7 - simples

8

Z8 Z4 , Z2  

Z4 × Z2

Z 2

2 , Z4 (2), Z2 (3)

 

Z 32 

Z 2

2  (7) , Z2(7)

os elementos não triviais correspondem aos pontos doplano de Fano, e os subgrupos Z2× Z2 às rectas

9Z9 Z3  

Z 23 

Z3 (4)  

10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  

11 Z11 - simples

12

Z12 = Z4 × Z3Z6 , Z4 , Z3, Z2

 

Z6 × Z2= Z3 ×Z 22 

Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z 22 

 

13 Z13 - simples

2

14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  

15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3 multiplicação de nimbers

16

Z16 Z8 , Z4 , Z2  

Z 42 

Z2 (15) ,Z 2

2  (35) ,Z 3

2  (15) 

Z4 ×Z 22 

Z2 (7) , Z4(4) , Z 2

2  (7) , Z 3

2 , Z4 × Z2 (6)

 

Z8 × Z2

Z2 (3) , Z4(2) , Z 2

2 , Z8(2) , Z4 × Z2

 

Z 24 

Z2 (3), Z4(6) , Z 2

2 , Z4× Z2 (3) 

Relação com outros tópicos matemáticos

A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, dá forma a uma categoria, o protótipo de umacategoria abeliana. Esta categoria é denominada Ab.

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