Grafos e o problema da distribuição
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Licenciatura em Matemática Flávio Adriano Giaretti Grigoli Grafos e o Problema da Distribuição: Uma Introdução com Análise Combinatória Birigui - SP 2015
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Licenciatura em Matemática
Flávio Adriano Giaretti Grigoli
Grafos e o Problema da Distribuição:
Uma Introdução com Análise Combinatória
Birigui - SP
2015
Flávio Adriano Giaretti Grigoli
Grafos e o Problema da Distribuição:
Uma Introdução com Análise Combinatória
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia de São
Paulo, Campus Birigui, como requisito
para obtenção do grau de Licenciado em
Matemática.
Orientadora: Profa. Ma. Manuella
Aparecida Felix de Lima
Birigui - SP
2015
Grigoli, Flávio Adriano Giaretti
Grafos e o Problema da Distribuição: Uma Introdução com Análise
Combinatória / Flávio Adriano Giaretti Grigoli. – Birigui, 2015. 37 p. il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) –
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo –
IFSP, Campus Birigui
Orientadora: Manuella Aparecida Felix de Lima.
1. Grafos. 2. Distribuição. 3. Combinatória. 4. Modelagem. 5.
Caixeiro Viajante. I. Grigoli, Flávio Adriano Giaretti. II. Lima, Manuella
Aparecida Felix de Lima. III. Título.
FOLHA DE APROVAÇÃO
Flávio Adriano Giaretti Grigoli
Grafos e o Problema da Distribuição:
Uma Introdução com Análise Combinatória
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado ao Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia de São
Paulo, Campus Birigui, como requisito
para obtenção do grau de Licenciado em
Matemática.
Comissão Examinadora
_____________________________________
Profa. Ma. Manuella Aparecida Felix de Lima (orientadora) IFSP – Campus Birigui
_____________________________________
Prof. Dr. Régis Leandro Braguim Stábile IFSP – Campus Birigui
_____________________________________
Prof. Me. Luiz Fernando da Costa Zonetti IFSP – Campus Birigui
Birigui, 8 de Junho de 2015.
DEDICATÓRIA
A todos que fizeram parte dessa história, meus pais, minha família e, em
especial à minha filha Gyulia, de onde me fortaleci.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a DEUS.
A todos os professores que me proporcionaram muitos bons momentos
nesta Instituição, pela oportunidade de ampliar meus conhecimentos, agradeço a
todos ao meu redor, minha família, meus pais, à minha orientadora, Manuella
Aparecida Felix de Lima pela orientação habilmente concedida.
Aos examinadores deste trabalho, pelas contribuições de grande
importância que tornaram possível a conclusão deste curso com grande
aproveitamento.
À Industria e Distribuidora de Bebidas Vendranelli, que, atenciosamente,
contribuiu para a realização direta deste trabalho.
Aos amigos de classe, pela aceitação e apoio em todos os momentos de
dúvidas e dificuldades enfrentadas no decorrer do curso, foi com certeza uma
experiência única ao vosso lado.
A todos os colaboradores desta Instituição.
Obrigado a todos.
EPÍGRAFE
“Os primeiros homens que residiram em cidades eram animais falantes. O
homem da idade da máquina é um animal calculante. Vivemos imersos num oceano
de números...” (HOGBEN, p. 22)
RESUMO
Este trabalho tem por finalidade apresentar o estudo da Teoria dos grafos,
conteúdo não abordado na grade do curso de Licenciatura em Matemática desta
Instituição, e, com o auxílio da Análise Combinatória, buscar ampliar e mesclar
conceitos matemáticos, visando a resolução e apresentação de certos tipos de
problemas de distribuição. Para esses problemas, são apresentadas duas formas de
resolução. Ao final do estudo, foi feita uma pesquisa em uma empresa da cidade de
Birigui, que fabrica e distribui refrigerantes na região noroeste do Estado de São
Paulo, com a intenção de aplicar a teoria estudada.
Palavras-chave: Grafos; Distribuição; Combinatória; Modelagem; Caixeiro Viajante.
ABSTRACT
This work aims at presenting the study of Graph Theory, not addressed in
the Bachelor's Degree in Mathematics of this institution, and, with the help of
Combinatorial Analysis, seek to broaden and merge mathematical concepts, aimed
at solving and presenting certain types of deployment problems. For these problems,
we present two forms of resolution. At the end of the study, a survey was made in a
company of Birigui, which manufactures and distributes soft drinks in the northwest of
the state of São Paulo, with the intention to apply the theory studied.
Keywords: graphs; distribution; combinatorics; modeling; salesman.
LISTA DE FIGURAS Figura 1: Exemplo das sete pontes de Königsberg ................................................... 17
Figura 2: Modelo construído por Euler para estudo .................................................. 18
Figura 3: Exemplos de grafos .......................................................................................... 19
Figura 4: Exemplo de transitividade ............................................................................... 21
Figura 5: Exemplos de vértices vizinhos ...................................................................... 22
Figura 6: Exemplo de grafo completo, com diferentes representações .............. 24
Figura 7: Exemplo de grafo valorado ............................................................................. 24
Figura 8: Exemplo de dodecaedro .................................................................................. 27
Figura 9: Exemplo de grafo hamiltoniano ..................................................................... 27
Figura 10: Representação por grafo de um Problema do Caixeiro Viajante ....... 29
Figura 11: Modelagem para aplicação em problema real ......................................... 29
Figura 12: Modelagem para resolução, Método do Vizinho mais Próximo ......... 31
Figura 13: Modelagem em grafo da região atendida pela empresa ....................... 34
Figura 14: Exemplo com até 5 cidades .......................................................................... 35
Figura 15: Exemplo com até 140 cidades ..................................................................... 35
Figura 16: Modelagem em grafo da cidade sede e suas cidades vizinhas .......... 36
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 12
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................................................... 13
2.1 Informações Históricas da Teoria das Probabilidades .................................. 13
2.2 Contagem ........................................................................................................... 14
3 GRAFOS ................................................................................................................ 17
3.1 Fato Histórico .................................................................................................... 17
3.2 Conceitos Básicos ............................................................................................ 18
3.3 Tipos de Grafos ................................................................................................. 23
3.4 Passeio, Caminho, Circuito e Ciclo ................................................................. 25
3.4.1 Ciclo Hamiltoniano ......................................................................................... 26
3.4.2 Grafo Euleriano .............................................................................................. 27
4 O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE ........................................................... 29
5 MÉTODOS DE SOLUÇÕES FINITAS .................................................................... 30
5.1 Método Exaustivo .............................................................................................. 30
5.2 Método do Vizinho mais Próximo .................................................................... 31
6 APLICAÇÃO DA TEORIA NO PROBLEMA REAL ............................................... 33
6.1 Problema ............................................................................................................ 33
6.2 Minimização do Problema ................................................................................ 36
6.2.1 Resolução pelo Método Exaustivo ............................................................... 36
6.2.2 Resolução pelo Método do Vizinho mais Próximo ...................................... 37
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 39
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1 INTRODUÇÃO
O trabalho originou-se com um projeto de Iniciação Científica, baseado na
Teoria dos Grafos, e desde o início dos primeiros conceitos foi possível observar sua
rica aplicação e propriedades, que poderiam direcionar o estudo mais para uma área
ou mais para outra. Assim, no decorrer do projeto, houve um direcionamento para a
aplicação na Otimização Combinatória.
Este trabalho tem por finalidade apresentar um estudo da Teoria dos
Grafos, que começou a ser estudada no século XVIII, em 1736, com o matemático
suíço Leonhard Euler. Na época, existiam as famosas pontes de Königsberg, e Euler
foi questionado se seria possível passar por todas as pontes, mas somente uma vez
em cada ponte. Este foi o primeiro problema clássico da Teoria dos Grafos, que será
estudado com maiores detalhes no Capítulo 3 deste trabalho, mas o termo Grafo
surgiu posteriormente, no século IX, já utilizado na Química. A Teoria dos Grafos
possui riquíssimas aplicações, nas mais diversas áreas, passando desde a
engenharia elétrica, distribuição de redes de internet e telefonia, circuitos eletrônicos
como placas de computadores, até no objeto de estudo deste trabalho, no qual são
estudadas as possíveis quantidades de ciclos que podem ser construídos para
melhorar a logística de uma empresa distribuidora, neste caso, a otimização
combinatória. Com o auxílio da Análise Combinatória, como ferramenta de
contagem para obter possíveis soluções, procurou-se encontrar formas para
melhorar a distribuição e minimizar custos, assim encontrando o menor ciclo,
respeitando todas as propriedades existentes na Teoria dos Grafos.
A partir do Capítulo 2, são apresentados os conceitos básicos da Análise
Combinatória. A Teoria dos Grafos será descrita no Capítulo 3, juntamente com suas
propriedades. O Problema do Caixeiro Viajante, estudado no Capítulo 4, mostra a
aplicação escolhida. Além disso, no Capítulo 5, são apresentados dois métodos de
resoluções para problemas como o do Caixeiro Viajante. Já o Capítulo 6 apresenta a
aplicação da teoria no problema real. Para isso, foram utilizadas informações de
uma empresa fabricante e distribuidora de refrigerantes da cidade de Birigui,
localizada na região noroeste do Estado de São Paulo.
Ao término do trabalho são apresentadas as considerações finais, sobre
todos os conceitos estudados neste Trabalho de Conclusão de Curso.
13
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA
Neste Capítulo foram utilizadas as referências [2], [3] e [4].
A Análise Combinatória é uma parte da matemática que estuda estruturas
e relações discretas. Possui conceitos que nos auxiliam na resolução de problemas,
como os de contagem de alguns subconjuntos de conjuntos finitos, não sendo
necessário enumerar cada um de seus elementos.
Em Análise Combinatória, frequentemente ocorrem dois tipos de
problemas:
I – demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto
finito que atendam certas condições;
II – contar ou classificar os subconjuntos deste conjunto finito e que
atendam certas condições dadas.
A Análise Combinatória abrange várias aplicações e utiliza, para
resolução dos problemas, os princípios aditivo e multiplicativo. Apesar desta dispor
de técnicas que auxiliam na resolução de problemas de contagem, também é
necessário ter boa percepção e identificar detalhes contidos no problema, visto que,
a maior dificuldade na solução destes problemas é a complexidade de seu
entendimento e interpretação. A imensa aplicabilidade na resolução de problemas de
contagem tem origem na Teoria das Probabilidades.
2.1 Informações Históricas da Teoria das Probabilidades
Existem relatos de que a Teoria das Probabilidades originou-se com
Blaise Pascal (1623 – 1662) e Pierre de Fermat (1601 – 1665), pelo motivo da
curiosidade de um cavaleiro, Chevalier de Méré, jogador de cartas, que questionou
Pascal sobre problemas relacionados às chances (probabilidades) de ganhar certos
jogos de cartas. Esse foi o motivo pelo qual Pascal e Fermat começaram a se
corresponder, discutindo o assunto que hoje é chamado de probabilidades finitas.
Mas a Teoria das Probabilidades já havia recebido atenção de Niccolò
Fontana Tartaglia (1499 – 1559), antes de Pascal e Fermat se interessarem pelo
assunto.
O primeiro estudo publicado sobre as probabilidades é o livro De Ludo
Alae (Asas da Fantasia) sobre jogos de azar, de Jerônimo Cardano (1501 – 1576) e
sua publicação foi no ano de 1663. Pode-se dizer que este livro é dedicado a
jogadores.
14
Outros matemáticos também contribuíram para este estudo como Michael
Stifel (1486? – 1567), Johannes Kepler (1571 – 1630), Galileu Galilei (1564 – 1642),
Jaime Bernoulli (1654 – 1705), Isaac Newton (1646 – 1727), entre outros.
Estudos mostram que, inicialmente, a Teoria Elementar das
Probabilidades foi objeto de estudo tendo como foco principal os jogos de azar, em
especial, jogos de cartas e dados.
Contudo, o matemático que mais contribuiu para o desenvolvimento dos
estudos da Teoria das Probabilidades foi Laplace (1749 – 1827), em seu
monumental, “O Tratado Analítico das Probabilidades”, no qual existem muitos
problemas e técnicas de resoluções.
2.2 Contagem
As técnicas de contagem estão diretamente ligadas à História da
Matemática. Desde as épocas mais remotas o homem teve necessidade de utilizar
os números no conceito de contagem, para quantificar valores ou posses e
identificar tudo o que podia ter contato.
O Império Romano, por exemplo, com seu extenso comércio
ultrapassando todo o seu império, possuía sua forma própria de numeração
(notação), mas também necessitava de formas ou técnicas mais rápidas e fáceis de
contagem. Com isso, os romanos inventaram as “muletas mecânicas” que são uma
forma especial no auxílio do processo da contagem, conhecidas nos dias atuais
como ábacos. Os romanos extraíram seu princípio de povos mais antigos, que
possuíam maior talento e destreza com a matemática, como os gregos, os egípcios
e os babilônicos. Posteriormente, o ábaco surgiu na China e no Japão, ficando
perdido por muito tempo, ressurgindo dos mosteiros na baixa Idade Média,
aproximadamente no ano 1000. Nesta época, se espalhou pela Europa sendo
utilizado por centenas de anos, até o Renascimento, momento no qual a Matemática
começou a ser estudada mais profundamente.
Desde o início da humanidade a contagem é o primeiro contato que se
tem, quando criança, com a matemática. É pela contagem que se começa a associar
o número com a quantidade de objetos contados. Com isso, as operações
aritméticas são as primeiras aprendidas na infância, motivando a aplicação da
contagem.
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Existem situações de contagem nas quais podem ser verificadas e
adicionadas todas as possibilidades (princípio aditivo) e em outros casos é
necessário multiplicar todas as possibilidades (princípio multiplicativo ou princípio
fundamental da contagem).
Antes de encontrar as respostas dos problemas de contagem,
precisamos, em primeiro lugar, compreender a utilização dos conectivos “E“ e “OU“,
nestes problemas.
Na língua portuguesa, o conectivo “E” é empregado no sentido aditivo,
enquanto que na matemática, indica dependência.
Já o conectivo “OU“, na língua portuguesa tem o sentido excludente
(disjuntos) exclui, sendo um ou outro, contudo na matemática indica adição e
inclusão.
Assim, quando em um problema de contagem aparecer o conectivo “OU”,
deve-se associá-lo ao princípio aditivo e no caso do conectivo “E”, associa-o como
princípio multiplicativo.
Definição 2.2.1 (Princípio Aditivo): Se são dois conjuntos disjuntos, com
elementos, respectivamente, então possui elementos.
Exemplo 2.2.1: Suponha que um dado D1 seja lançado e que uma moeda M2
também seja lançada. Assim,
para D1 há 6 possíveis resultados: {1,2,3,4,5,6};
para M2 há 2 possíveis resultados: {K, C}, onde K indica cara e C
indica coroa.
Se o interesse é em saber quantos são os possíveis resultados para D1 ou
M2, isto é obtido pelo Princípio Aditivo:
O Princípio Fundamental da Contagem é a estrutura básica da Análise
Combinatória que, através deste princípio, utiliza-se de métodos e técnicas de
contagem para a resolução de diversos problemas.
O PFC permite determinar uma quantidade de elementos de conjuntos
finitos, formados a partir de algumas regras existentes, não havendo a necessidade
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de enumerar cada um de seus elementos, sendo uma ferramenta básica para
resolução de problemas de contagem.
Definição 2.2.2 (Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem
– PFC): Se uma decisão pode ser tomada de maneiras e se, uma vez tomada a
decisão , a decisão puder ser tomada de maneiras, então o número de
maneiras de se tomarem as decisões e é .
Exemplo 2.2.2: Uma empresa possui duas equipes de tomadas de decisões para o
direcionamento na minimização de custos de entregas de produtos, sendo a primeira
equipe com 4 homens, denominada e a segunda equipe com 5 mulheres,
denominada . De quantas maneiras podem ser feitas duplas de trabalho, sendo
que cada dupla deverá ter um homem de e uma mulher de ?
Todas as duplas são:
Portanto, pelo PFC, o número de duplas possíveis é:
O fatorial é uma importante ferramenta para resolução de problemas que envolvam
Análise Combinatória, sendo muito utilizado em processos de contagem.
Definição 2.2.3 (Fatorial): O fatorial de um número natural , é dado pelo seguinte
produto:
E, ainda,
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3 GRAFOS
Um grafo é uma representação matemática que pode ser utilizada na
resolução e modelagem de diversos tipos de problemas. Utiliza-se também de
técnicas de contagem, dependendo de sua aplicação, a fim de facilitar soluções.
Além disso, possui uma ampla aplicação lógica, sendo observada sua aplicabilidade
na Física, Química, Biologia, Engenharia Elétrica e Pesquisa Operacional.
Com esta ferramenta matemática o profissional tem a possibilidade de
realizar uma profunda análise do problema, antes mesmo de sua aplicação direta.
Assim, criam-se estruturas, que possibilitam sua visualização, estudo do caso e uma
possível solução, respeitando as propriedades contidas na Teoria dos Grafos que
serão abordadas no decorrer deste trabalho.
3.1 Fato Histórico
De acordo com [3], dados históricos indicam que os grafos surgiram no
século XVIII, mais precisamente no ano 1736, com o matemático suíço Leonhard
Euler. Neste ano, Euler foi desafiado a realizar um passeio pelas sete pontes da
cidade de Königsberg, da antiga Prussia, hoje chamada Kaliningrado, na atual
Rússia. Mas, o detalhe deste passeio é que ele deveria passar uma única vez por
cada ponte e retornar ao seu ponto de partida sem repetir qualquer ponte. Este é o
primeiro problema que se conhece sobre a história da Teoria dos Grafos.
Figura 1: Exemplo das sete pontes de Königsberg
Questionado sobre como realizaria tal feito, Euler construiu um modelo
matemático simples, que consistia em ligações entre as regiões, onde cada arco
representaria uma ponte e cada vértice representaria uma região da cidade. Assim,
Euler construiu o primeiro Teorema da Teoria dos Grafos, que será abordado no
decorrer deste trabalho.
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Pela Figura 2, é possível observar um modelo para o problema que
poderia ser estudado sem a necessidade de ficar passeando exaustivamente pelas
pontes. Ao final, Euler provou que não era possível tal feito.
Figura 2: Modelo construído por Euler para estudo
“O termo grafo é oriundo da contração da frase notação
gráfica, criada pelo químico E. Frankland e adotada, em
1884, por outro químico, A. Crum Brow.” ([3]; p. 310)
3.2 Conceitos Básicos
O grafo é uma estrutura que se utiliza de dois conjuntos discretos em que
um é composto por elementos e o outro descreve a relação entre estes elementos.
Os elementos do primeiro conjunto são os vértices ou nós do grafo. Já o segundo
conjunto é formado pelos arcos ou arestas, que ligam os vértices.
Os vértices, ou nós, serão representados por um ponto:
Os arcos, ou arestas, serão representados por uma linha:
Usualmente é utilizada a notação:
para grafo, ou outra letra qualquer, desde que seja maiúscula.
ou para o conjunto dos elementos, dos vértices ou nós.
ou para o conjunto que indica a relação entre os vértices ou
nós e os arcos ou arestas.
Neste trabalho serão adotadas as notações: , ou simplesmente
, para descrever o grafo correspondente ao conjunto de vértices e de
arcos .
Definição 3.2.1: Um grafo é constituído por um conjunto finito e não
vazio de vértices e um conjunto de arcos sendo que cada arco é um par não
19
ordenado de vértices. Dessa forma, cada arco é correspondente ao par de vértices
contidos em suas extremidades.
Exemplo 3.2.1: A Figura 3 ilustra os quatro tipos de grafos mais simples
encontrados nas literaturas estudadas.
(a) Grafo Simples (b) Multigrafo (c) Grafo Nulo (d) Grafo com Laço
Figura 3: Exemplos de grafos
Para citar um arco , que corresponde aos vértices e , será utilizada a
notação , ou seja, no caso da Figura 3 (a), o arco une os vértices 1 e 2,
assim, .
Definição 3.2.2 (Grafo Simples): Um grafo é simples quando a cada par de vértices
existe no máximo um arco fazendo sua ligação e quando não possui laços, ou seja,
um arco unindo um vértice a ele mesmo.
Exemplo 3.2.2: No grafo , da Figura 3 (a), tem-se:
e
Definição 3.2.3 (Multigrafo): Um multigrafo é aquele que possui algum par de
vértices ligados por dois ou mais arcos.
Exemplo 3.2.3: No grafo , da Figura 3 (b), tem-se:
e
Note que neste grafo, os vértices 1 e 4 são ligados pelos arcos e .
20
Definição 3.2.4 (Grafo Nulo): Um grafo é dito nulo se não possuir arcos, somente
vértices.
Exemplo 3.2.4: No grafo , da Figura 3 (c), tem-se:
e
Definição 3.2.5 (Grafo com Laço): Um grafo com laço é aquele no qual existe ao
menos um arco unindo o mesmo vértice.
Exemplo 3.2.5: No grafo , da Figura 3 (d), tem-se:
e
Note que, neste grafo, o arco liga o vértice 2 a ele mesmo.
Definição 3.2.6 (Incidência): Sendo, os vértices, pontos distintos e, os arcos, linhas
unindo dois vértices, existe a incidência quando um arco liga dois vértices.
Exemplo 3.2.6: Observando a Figura 3 (a), é possível visualizar o arco com
incidência nos vértices 1 e 2, o arco com incidência nos vértices 2 e 3, e assim
sucessivamente aos demais vértices e arcos. No caso da Figura 3 (b), podem ser
observados os vértices 1 e 4 unidos pelos arcos e , ou seja, dois arcos diferentes
incidindo nos mesmos vértices.
Definição 3.2.7 (Conexão): Um grafo é conexo, se, para todo vértice,
existe algum arco que está incidindo nele.
Quando não existe tal incidência, como no caso do vértice 7 da Figura 3
(a) e o vértice 5 da Figura 3 (b), diz-se que os vértices são isolados, ou seja, não
existe conexão de tais vértices aos seus respectivos grafos. Para o grafo da Figura 3
(c) não existe nenhuma conexão.
21
Definição 3.2.8 (Adjacência): Seja um grafo e . Diz-se que é
adjacente a , se, , ou seja, se existe um arco unindo tais vértices.
A notação para adjacência é: .
Propriedades da adjacência:
Não é reflexiva, pois um vértice só é adjacente a ele mesmo se possuir um
laço.
É simétrica, pois:
Não é transitiva, pois sendo e se e , não se pode
concluir que .
Observando a Figura 4, a não transitividade da adjacência pode ser
verificada.
Figura 4: Exemplo de transitividade
Pela Figura 4 (a), o vértice 1 é adjacente ao vértice 2, mas não ao vértice
3, portanto a não há transitividade. Já na Figura 4 (b), há um arco ligando os vértices
1 e 3, portanto, há transitividade entre os vértices 1, 2 e 3.
Definição 3.2.9 (Vizinhança): Considere o grafo , tal que Se
, dizemos que é vizinho de .
Todo o conjunto de vizinhos de denotamos por , como mostrado na
Figura 5 e por:
22
Figura 5: Exemplos de vértices vizinhos
Exemplo 3.2.7: Por exemplo, na Figura 5, tem-se:
Definição 3.2.10 (Grau do Vértice): O grau de um vértice de um grafo é o
número de arcos incidentes a este vértice.
Exemplo 3.2.8: Observando a Figura 5, por exemplo, é identificado que o vértice 2,
possui grau 4.
Teorema 3.2.1: A soma dos graus dos vértices em um grafo é igual ao
dobro do número de arcos.
Demonstração: De fato, escolhendo um grafo qualquer, pode ser observado que,
ao serem somados os graus de cada arco, estes são contados duas vezes, pois o
arco contado incide em dois vértices distintos. Assim, a soma dos graus dos vértices
é o dobro do número de arcos.
■
Exemplo 3.2.9: Observe que a Figura 5 é de um grafo desconexo, pois o vértice 7
não está conectado ao grafo , e que os vértices e , que estão
conectados aos seus respectivos arcos, possuem os seguintes graus:
.
23
Somando-se os graus, temos como resultado 14, exatamente o dobro da
quantidade de arcos.
Corolário 3.2.1: O número de vértices de grau ímpar de um grafo é par.
Demonstração: De fato, considerando o grafo , denotando por o grau
do vértice , e por a cardinalidade de do Teorema 3.2.1 tem-se que:
Observe que o somatório está dividido em duas parcelas, a primeira é dos
graus pares e a segunda dos graus ímpares. Sabendo que o somatório deve resultar
num número par e que a soma de números pares é sempre par, resulta que o
somatório dos graus ímpares também deve ser par. Como uma soma de números
ímpares só é par se há uma quantidade par desses números, a quantidade de
vértices de graus ímpares de um grafo deve ser par.
■
Exemplo 3.2.10: No grafo da Figura 5, a soma dos graus dos vértices de grau ímpar
é par e o número de vértices de grau ímpar também é par (4 vértices):
3.3 Tipos de Grafos
Existem vários tipos de grafos, como os citados na Figura 3 do item 3.2,
que são os grafos aos quais, normalmente, o estudante ou o pesquisador têm o
primeiro contato. Além destes, existem outros que, devido suas estruturas mais
complexas, dependem dos grafos mais simples para serem construídos.
Definição 3.3.1 (Grafo Completo): Um grafo completo é aquele no qual todos os
pares de vértices distintos são adjacentes entre si, ou seja, dado um determinado
vértice, este é adjacente a todos os demais.
24
Da mesma forma, todos os vértices possuem a mesma quantidade de
vizinhos, ou seja, todos os vértices possuem a mesma quantidade de arcos
incidentes, como mostrado na Figura 6. Denotamos o grafo completo por: 1.
Figura 6: Exemplo de grafo completo, com diferentes representações
Exemplo 3.3.1: Para a Figura 6, os grafos são .
Definição 3.3.2 (Grafo Valorado): Um grafo é valorado quando a cada arco existe
um valor associado. Formalmente, um grafo valorado consiste de um
conjunto de vértices, um conjunto de arcos, e uma função f de em , onde
representa o conjunto de valores (pesos) associados aos arcos.
O grafo valorado é utilizado em diversas aplicações, tais como: problemas
importantes em Ciência da Computação; modelagem de rodovias que interligam
cidades, onde as rodovias são os arcos e as cidades os vértices; ou para o
planejamento de trânsito das cidades, onde as ruas são os arcos e as esquinas ou
cruzamentos das vias são os vértices. Os arcos recebem valores numéricos ou
pesos. A classificação dos pesos é dada de acordo com o que está sendo estudado,
podendo ser o fluxo de trânsito em determinada via ou a distância entre cidades,
como mostrado no grafo da Figura 7.
Figura 7: Exemplo de grafo valorado
1A letra K representa a letra inicial da palavra komplett do alemão, que significa “completo”.
25
3.4 Passeio, Caminho, Circuito e Ciclo
São propriedades do grafo, que podem ser utilizados em problemas
variados, sendo que cada um possui características próprias. Todos eles serão
denotados entre parênteses.
Definição 3.4.1 (Passeio): Passeio é uma sequência de vértices e arcos, podendo
repeti-los, onde cada vértice é adjacente ao próximo.
Exemplo 3.4.1: Para o grafo representado pela Figura 5, pode ser citado o seguinte
passeio:
No caso do multigrafo representado pela Figura 3 (b), temos os seguintes passeios:
ou
.
Neste caso, os arcos e permitem passeios diferentes.
Definição 3.4.2 (Caminho): Um caminho é um passeio que não repete vértices.
Exemplo 3.4.2: Para o grafo representado na Figura 5, os caminhos entre os
vértices 1 e 4 seriam:
Para o multigrafo representado na Figura 3 (b), os caminhos entre os vértices 1 e 4
seriam:
Usualmente, para um multigrafo, utiliza-se a descrição do arco com a letra
minúscula, assim, entende-se que existe mais de um arco incidente aos mesmos
vértices e consequentemente mais de um caminho.
Definição 3.4.3 (Circuito): É um passeio fechado entre os vértices, ou seja, o
vértice de início também é o término do circuito. Além disso, pode-se passar mais de
uma vez pelo mesmo vértice.
26
Exemplo 3.4.3: Para o grafo representado na Figura 5, um circuito entre seus
vértices pode ser:
Para o multigrafo representado na Figura 3 (b), o circuito entre os vértices 1 e 4 é:
Definição 3.4.4 (Ciclo): É um caminho fechado, de comprimento mínimo 3, ou seja,
o grafo deve conter pelo menos 3 vértices para haver um ciclo e o vértice de início é
o mesmo do término do ciclo.
Exemplo 3.4.4: Para o grafo da Figura 3 (a) existe apenas 1 ciclo:
Para o grafo da Figura 5 existem 3 ciclos:
3.4.1 Ciclo Hamiltoniano
A denominação Hamiltoniano se dá pelo motivo deste conceito ter sido
estudado pelo matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865), no
século XIX.
Este matemático estudou se, quando escolhido qualquer grafo ,
aleatoriamente, seria possível construir um ciclo em no qual se inicia em
determinado vértice, percorrem-se todos os demais e, passando uma única vez em
cada vértice, conclui-se o ciclo no vértice inicial. Entretanto, é necessário conhecer
as condições necessárias e suficientes para encontrar este ciclo prontamente.
Infelizmente não existe um algoritmo específico que possa identificar um ciclo ou um
grafo hamiltoniano.
Sir W. R. Hamilton utilizou-se de um dodecaedro para provar seu conceito,
como mostrados nas Figuras 8 e 9.
27
Figura 8: Exemplo de dodecaedro
Observando o dodecaedro da Figura 8 e imaginando-o em uma planificação, sua estrutura tem
uma imagem diferente, tornando-se mais fácil de ser estudada.
Figura 9: Exemplo de grafo hamiltoniano
É possível observar o ciclo criado por Hamilton, pois começa e termina no
mesmo vértice.
3.4.2 Grafo Euleriano
Conceito desenvolvido por Leonhard Euler quando desafiado no problema
das sete pontes de Königsberg.
Definição 3.4.5 (Grafo Euleriano): Um grafo é dito eureliano se existe um ciclo
em que possua todos os seus arcos.
Teorema 3.4.1: Um grafo conexo, é um grafo eureliano se, e somente se,
os graus de todos os vértices forem pares.
Demonstração: De fato, supondo que um determinado grafo seja eureliano, para
cada par de vértices, existe um arco incidente que chega a este vértice e outro arco
28
incidente que sai deste vértice, ou seja, a cada entrada existe uma saída. Como todo
arco está incluso no caminho, o número de arcos para cada vértice é par, grau par.
Agora supondo que cada vértice possua grau par, com sendo o vértice
inicial do grafo , é possível através de construir um caminho em que não repita
arcos.
Assim:
Iniciando em , até o término da construção também em .
Sendo todos os vértices de grau par, é possível entrar e sair em
determinados vértices, dessa forma, passando por todos os arcos existentes em ,
até o término do ciclo.
■
Definição 3.4.6 (Circuito Euleriano): Um circuito eureliano possui todos os arcos
do grafo.
Definição 3.4.7 (Grafo Euleriano): Um ciclo eureliano é um caminho em que se
passa por todos os vértices de .
Pode-se observar que uma consequência do Teorema 3.4.1 é que o
problema das sete pontes da cidade de Königsberg não possui solução.
29
4 O PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE
Conhecido como um problema clássico da Teoria dos Grafos, o problema
do caixeiro viajante é um termo usualmente utilizado para problemas que podem ser
modelados como ciclos hamiltonianos em , que é uma estrutura que expõe suas
limitações e possibilita uma melhor visualização do que está em questão, tornando-
se assim manipulável.
O Problema do Caixeiro Viajante é uma ferramenta importante na
modelagem e otimização matemática para aplicação lógica, sendo um problema de
otimização combinatória. Pode-se criar os modelos e estudá-los sem a necessidade
do profissional realizar o estudo no local real ou no objeto estudado.
A finalidade de estudar este conceito é de encontrar um ciclo que tenha o
menor percurso diante de todos os caminhos existentes e sua possibilidade de ser o
menor, passando apenas uma vez em cada vértice, retornando ao vértice inicial. A
Figura 10 apresenta uma forma deste modelo, podendo ser descrito de inúmeras
formas.
Figura 10: Representação por grafo de um Problema do Caixeiro Viajante
Caso o modelo não tenha vértices adjacentes, como na Figura 11 (a),
podem ser acrescentados arcos, até que se tenha o modelo em um grafo e
atribuir a estes arcos o peso , para efeito de contagem, como a Figura 11 (b),
dessa forma só poderão ser trabalhados os pesos finitos.
Figura 11: Modelagem para aplicação em problema real
30
5 MÉTODOS DE SOLUÇÕES FINITAS
Consistem na utilização de métodos de contagem para minimizar o tempo
de estudo do caso, e que se consiga uma solução que seja a melhor entre todas
possíveis, ou seja, uma solução ótima.
Neste trabalho serão citados dois métodos:
I – o método exaustivo, que consiste em realizar todas as possíveis combinações,
uma a uma;
II – o método do vizinho mais próximo, sendo menos trabalhoso que o anterior,
necessita de alguns critérios a serem seguidos.
5.1 Método Exaustivo
O método exaustivo é uma forma de resolução para o problema do
caixeiro viajante, que consiste em listar todas as combinações possíveis, ou seja,
fazer uma lista com todos os ciclos hamiltonianos do grafo que modela o problema.
Antes de fazer as combinações uma a uma, é possível saber quantos serão os
ciclos contidos na modelagem, sendo que um deles será o menor (menos custoso).
Para os ciclos em questão, o vértice inicial e o final são os mesmos,
assim, no momento da contagem, será contado menos um vértice.
Portanto, para o cálculo do número de ciclos inicialmente se faz:
onde é a quantidade de vértices do grafo, e o menos 1 se dá pelo vértice que sofre
repetição, ou seja, o vértice de início que é, também, o vértice de término do ciclo.
Observando a Figura 10, o grafo possui 5 vértices, portanto é um grafo
. Assim, o primeiro passo para calcular o número de ciclos seria fazer:
Como o percurso pode ser iniciado de duas formas, sendo a segunda de
forma inversa em relação à primeira, tem-se que o número de ciclos possíveis será,
então:
Tomando como exemplo a Figura 11 (b), supondo que os vértices
e sejam cidades e os pesos dos arcos sejam as distâncias entre elas, em
Km, e listando todas as possibilidades de ciclos, considerando a cidade como
origem, tem-se:
31
Percurso Distâncias em Km entre as cidades Distância total Percurso inverso
A, B, C, D, E, A 14 + 25 + 12 + 21 + 28 100 Km A, E, D, C, B, A
A, B, D, C, E, A 14 + +12 + 32 + 28 86 Km + A, E, C, D, B, A
A, B, E, C, D, A 14 + + 32 + 12 + 58 Km + A, D, C, E, B, A
A, C, B, E, D, A 16 + 25 + + 21 + 62 Km + A, D, E, B, C, A
A, C, E, B, D, A 16 + 32 + + + 48 Km + A, D, B, E, C, A
A, D, C, B, E, A + + 12 + 25 + + 28 65 Km + A, E, B, C, D, A
A, D, B, C, E, A + + + 25 + 32 + 28 85 Km + A, E, C, B, D, A
A, C, D, B, E, A 16 + 12 + + + 28 56 Km + A, E, B, D, C, A
A, B, E, D, C, A 14 + + 21 + 12 + 16 63 Km + A, C, D, E, B, A
A, B, D, E, C, A 14 + + 21 + 32 + 16 83 Km + A, C, E, D, B, A
A, B, C, E, D, A 14 + 25 + 32 + 21 + 92 Km + A, D, E, C, B, A
A, C, B, E, D, A 16 + 25 + + 21 + 62 Km + A, D, E, B, C, A
Chega-se à conclusão de que o primeiro percurso, que tem um total de
100 Km, deve ser considerado o ciclo ótimo, pois todas as demais combinações
possuem o peso , não podendo ser consideradas, mesmo que os ciclos tenham
sido menores desconsiderando o peso .
5.2 Método do Vizinho mais Próximo
O método do vizinho mais próximo, consiste em encontrar o menor ciclo,
ou menor caminho, utilizando uma técnica mais simples do que a do método
exaustivo. Primeiramente, iniciando no vértice de origem, escolhe-se o arco
adjacente a este que tenha o menor peso e chegando a um novo vértice.
Escolhe-se outro arco adjacente de menor peso, e assim sucessivamente
aos demais arcos, sem que haja repetição de vértices, retornando ao vértice inicial.
Neste exemplo, será utilizada a Figura 12, onde todos os arcos possuem pesos
naturais.
Figura 12: Modelagem para resolução, Método do Vizinho mais Próximo
32
Escolhendo o vértice , na Figura 12, como origem, observa-se que o
arco com menor peso que é adjacente a ele é o arco com peso , chegando ao
vértice Partindo de escolhe-se o arco adjacente com menor peso, chegando ao
vértice , e assim sucessivamente. O percurso será:
resultando em
Mas, nem sempre será possível realizar todas as operações, tanto pelo
método exaustivo, quanto pelo método do vizinho mais próximo, pois quanto maior
for a quantidade de vértices em um grafo , ou seja, quanto maior o número ,
maior será a quantidade de combinações possíveis.
Observando os grafos da Figura 6, como todos são , isto significa que
possuem:
tornando-se inviável realizar todas as operações. Sendo assim, utiliza-se um
software apropriado, a fim de encontrar uma solução ótima. Estes casos não são
abordados neste trabalho, mas para maiores informações veja [5].
33
6 APLICAÇÃO DA TEORIA NO PROBLEMA REAL
Neste trabalho, foi estudada a Teoria dos Grafos e alguns conceitos de
Análise Combinatória. Tais conceitos auxiliariam no estudo do Problema do Caixeiro
Viajante, com a intenção de aplicá-lo a um problema real. Isto é possível devido a
Teoria dos Grafos ser um instrumento de modelagem, o que facilita a construção e
visualização do problema. No caso da Análise Combinatória, foi possível utilizá-la
como ferramenta de contagem, pois possibilita identificar e quantificar possíveis
resultados desejados.
6.1 Problema
A aplicação se dará no cotidiano de uma fábrica e distribuidora de
refrigerantes da cidade de Birigui, interior de São Paulo. Em uma visita à fábrica,
foram levantadas algumas variáveis, ou seja, como é feito o estudo para a
distribuição de seus produtos, dessa forma, a empresa:
- atende 140 cidades;
- atende 4960 pontos de entrega distribuídos nas 140 cidades;
- tem prazo médio de entrega de sete dias;
- dista, da cidade mais distante, 190 Km;
- dista, da cidade mais próxima, 10 Km;
- atende algumas cidades nas quais existem horários específicos para a
circulação de veículos de entregas;
- atende alguns clientes que exigem entregas exclusivas com dia e hora
previamente agendados;
- na existência de feriados em algumas semanas, requer novo
planejamento, pois deve-se atender a mesma quantidade de cidades em menos dias
de entrega;
- tem quantidade de veículos disponíveis para distribuição não
especificada.
Utilizando a modelagem em grafos, a representação do problema da
distribuição dos refrigerantes fica representado pela Figura 13.
34
Figura 13: Modelagem em grafo da região atendida pela empresa
Entretanto, os itens supracitados não foram considerados neste trabalho,
pois aumentariam muito a complexidade do problema da distribuição, tornando-se
impossível expor o problema sem o auxílio de um software específico.
Este trabalho se ateve, unicamente, ao problema de distribuição dos
produtos, ou seja, serão consideradas apenas a quantidade de cidades e as
distâncias entre elas.
Realizando os cálculos necessários, pode ser verificada a quantidade de
ciclos possíveis dentre as 140 cidades atendidas. Para realização deste cálculo, foi
utilizado o software Scilab, versão 5. 5. 1:
Conclui-se que é impossível realizar o problema, tanto pelo método
exaustivo, quanto pelo método do vizinho mais próximo. Por este motivo, o problema
será restringido a cinco cidades e resolvido pelos dois métodos estudados.
Utilizando o software Scilab, versão 5. 5. 1, foram construídos gráficos
com diferentes quantidades de cidades, sendo possível observar um crescimento
muito rápido na quantidade de ciclos, à medida em que se aumenta o número de
cidades. A Figura 14 mostra a quantidade de ciclos para até 5 cidades e na Figura
15 é feito um comparativo deste com o caso para até 140 cidades.
35
Figura 14: Exemplo com até 5 cidades
Figura 15: Exemplo com até 140 cidades
36
6.2 Minimização do Problema
Restringindo o grafo da Figura 13 a apenas cinco cidades, todas vizinhas
e aplicando os conceitos estudados no decorrer deste trabalho, obtém-se, pela
Figura 16 o modelo de restrição do problema:
Figura 16: Modelagem em grafo da cidade sede e suas cidades vizinhas
6.2.1 Resolução pelo Método Exaustivo
Realizando todas as combinações possíveis dentre as cinco cidades da
Figura 16, obtém-se:
Percurso Distâncias em Km entre as cidades Distância total Percurso inverso
A, B, C, D, E, A 11 + 17 + 26 + 28 + 10 92 Km A, E, D, C, B, A
A, B, D, C, E, A 11 + 18 + 26 + 37 + 10 102 Km A, E, C, D, B, A
A, B, E, C, D, A 11 + 20 + 37 + 26 + 12 106 Km A, D, C, E, B, A
A, C, B, E, D, A 27 + 17 + 20 + 28 + 12 104 Km A, D, E, B, C, A
A, C, E, B, D, A 27 + 37 + 20 + 18 + 12 114 Km A, D, B, E, C, A
A, D, C, B, E, A 12 + 26 + 17 + 20 + 10 85 Km A, E, B, C, D, A
A, D, B, C, E, A 12 + 18 + 17 + 37 + 10 94 Km A, E, C, B, D, A
A, C, D, B, E, A 27 + 26 + 18 + 20 + 10 101 Km A, E, B, D, C, A
A, B, E, D, C, A 11 + 20 + 28 + 26 + 27 112 Km A, C, D, E, B, A
A, B, D, E, C, A 11 + 18 + 28 + 37 + 27 121 Km A, C, E, D, B, A
A, B, C, E, D, A 11 + 17 + 37 + 28 + 12 105 Km A, D, E, C, B, A
A, C, B, E, D, A 27 + 17 + 20 + 28 + 12 104 Km A, D, E, B, C, A
A menor distância percorrida entre as cinco cidades foi de 85 Km e o ciclo
que corresponde a esta menor distância é
37
6.2.2 Resolução pelo Método do Vizinho mais Próximo
Observando a Figura 16 e aplicando o método do vizinho mais próximo,
conclui-se que a menor distância é de 85 Km e o caminho entre as cinco cidades foi
, que é o caminho inverso do obtido no primeiro método.
Concluído que ambos os métodos nos proporcionaram os mesmos
resultados, entretanto, o segundo método foi realizado em menos tempo.
38
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, verificou-se que a Teoria dos Grafos oferece uma
modelagem para o problema da distribuição, que a Análise Combinatória dispõe de
formas de contagem para este caso e, dependendo da quantidade de cidades
envolvidas, é possível encontrar uma solução utilizando os métodos das seções 5.1
e 5.2. Porém, quando há um aumento do número de cidades, não é mais possível
encontrar uma solução sem o auxílio de um software específico para este tipo de
problema.
Na aplicação do problema da distribuição para a fábrica e distribuidora de
refrigerantes da cidade de Birigui, interior de São Paulo, só foram levadas em
consideração a quantidade de cidades às quais a empresa atende e as distâncias
entre estas cidades, a fim de quantificar os ciclos possíveis e encontrar qual deles
seria o ótimo, ou seja, com menor distância. Não foram incluídas, nesta aplicação,
todas as variáveis existentes no problema, citadas na seção pois seria
necessária sua implementação computacional e por ser este um trabalho
introdutório. Um algoritmo para a resolução do Problema do Caixeiro Viajante, que
resolveria este problema, pode ser encontrado em [5].
39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] HOGBEN, L. Maravilhas da Matemática. Editora Globo, São Paulo, SP 1956.
[2] PLÍNIO, J. O. S., MELLO, M., MURARI, I. Introdução à Análise Combinatória. 4ª
Ed, Editora Ciência Moderna, Rio de janeiro, RJ, 2007.
[3] KARLSON, P. A Magia dos Números. Editora Globo, São Paulo, SP, 1961.
[4] ZÖLD, H. H. N., CÔRREA, S. Matemática. Nova Cultural, São Paulo, SP, 1993.
[5] BOAVENTURA NETTO, P. O. Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos. 4ª Ed, Editora
Edgard Blücher, São Paulo, SP, 2006.
