Goias

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Formas Quadráticas e Autovalor/Autoveto

Ole Peter [email protected]

http://www.ime.ufg.brt/docentes/olepeter

Instituto de Matemática e Estatística,Universidade Federal de Goiás

Semana de Matemática, UEG, UnU Cora Coralina-GO,26/05/2012

Gods doesn’t worry about our mathemathical difficultiesHe integrates empirically

Albert Einstein


Curvas Quadráticas• Qq é: ax2 + by2 + 2cxy + dx + ey = f?• Parábola:

y − y0 = a(x − x0)2

y = Ax2 + Bx + C = A

[(x +

B2A

)2

− B2

4A2 +CA

]⇔

y +∆

4A= A(x − B

2A)2 ⇒ (x0, y0) =

(− B

2A,− ∆

4A

)y0 = Ax2

0 + C


Elipse

•(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2 = 1


Hiperbole•

(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 1

Ou:

−(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2 = 1

Assintodas:(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 = 0⇔ y − y0 = ±ab

(x − x0)


Superfíces Quadráticas

• Qq é:ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz = j?

• Elipsoide:

(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2 +(z − z0)2

c2 = 1

• z =const: elipses para |z − z0| ≤ c:



• Hiperboloide 1 folha:

(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2 − (z − z0)2

c2 = 1

• z =const: elipse, x , y =const: Hipérboles

• Gerado por retas!



• Hiperboloide 2 folhas (z=const: elipse, x,y=c: hipérbole):

(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2 − (z − z0)2

c2 = 1




• Paraboloide Eliptica (z=const: elipse para |z − z0| ≤ c):

2(z − z0)

c=

(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2


Superfíces Quadráticas• Paraboloide Hiperbólica

2(z − z0)

c=

(x − x0)2

a2 − (y − y0)2

b2

Ou:2(z − z0)

c= −(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2



O Que Que É?

• xy = 1• y = f (x) = 1

x , x ∈ R− {0}

• Substituição Linear:(xy

)=

1√2

(1 −11 1

)(x ′

y ′

)=

(cos π

4 − sin π4

sin π4 cos π

4

)(x ′

y ′

)=

( x ′−y ′√2

x ′+y ′√2

)

• 1 = xy =x ′ − y ′√

2· x ′ + y ′√

2=

x ′2 − y ′2

(√

2)2


Formas Quadráticas

• Polinômios Homogêneos, ordem n: P(λx , λy) = λnP(x , y)

• No plano:

axxx2+2axyxy+ayyy2 = (x y)

(axx axyaxy ayy

)(xy

)= rT A r

• No espaço:

axxx2 + 2axyxy + 2axzxz + ayyy2 + ayzyz + azzz2 =

(x y z)

axx axy axzaxy ayy ayzaxz ayz azz

xyz

= rT A r

• A simétricas: AT = A


Sistema Linear Quadrático

• (I) : A v = b

• Se det A 6= 0, ∃!A−1 : A A−1 = A−1A = I.

• Assim: v = A−1b.

• Matriz Total: T =(A∣∣ b).

• Posto ρ: Ordem do maior subdeteterminante sendo 6= 0.• ρ ≤ n. Se det A 6= 0: ρ = n.• (I) tem solução see: ρ = ρA = ρT.

• S = v0 +

n−ρ∑i=1

tivi , ti ∈ R: SCSiH=SPSiH+SCSH.

• Uma (n − ρ)-infinidade de soluções: dim S = n − ρ.


Aplicação Linear, f : Rn → Rn

f (v) = A v

• A matriz coluna:

A =

| | |a1 a2 · · · an| | |

• ai = f (ei):

f (ei) =

| | |a1 a2 · · · an| | |

0...1...0

← i = ai

• Im(f ) = ger(a1, . . . ,an) = {x ∈ Rn| x = c1a1 + . . .+ cnan}.• dim Im(f ) = dim ger(a1, . . . ,an) = ρA.


Autovetor/Autovalor

• Por quais λ ∈ R tem soluções não-triviais, v 6= 0:

A v = λv = λI v ⇔ (A− λI)x = 0

• Se Aλ

= A− λI regular:

det Aλ

= det (A− λI) 6= 0,

solução única: v = A−1λ

0 = 0. Trivialmente!!!!• Soluções não-triviais, see λ raíz no Polinômio

Caraterístico:

Pn(λ) = det (A− λI) = 0


Polinômio Cararetístico I

Pn(λ) = det (A− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

(−1)nλn − (−1)nλn−1Tr(A) + · · ·+ det A

• Polinômio de grau n com coeficientes reais.• Máx. n raízes reais.• Número par de raízes complexas.• Grau ímpar: Mín. uma raíz real.• Raízes:

Pn(λ) = (λ1 − λ) · · · (λn − λ) =

Pn(λ) = (−1)nλn − (−1)nλn−1n∑

i=1

λi + · · ·+n∏

i=1

λi


Polinômio Cararetístico II

P(λ) = (−1)nλn − (−1)nλn−1Tr(A) + · · ·+ det A

P(λ) = (−1)nλn − (−1)nλn−1n∑

i=1

λi + · · ·+n∏

i=1

λi

•n∑

i=1

λi = Tr(A) = a11 + . . .+ ann.

•n∏

i=1

λi = det A.


Auto-espaços I

Sλ = {v ∈ Rn | A v = λv}

• Espaçõs vetoriais:

(i) : v ∈ Sλ, c ∈ R⇒ cv ∈ Sλ

(ii) : v,w ∈ Sλ ⇒ v + w ∈ Sλ

• P(λ) 6= 0: Sλ = {0}.• P(λ) = 0: 1 ≤ dim Sλ ≤ n.

•⋃λi∈R

Sλi ⊂ Rn.


Auto-espaços II

• Teorema: Autovetores de autovalores diferentes slinearmente independentes (LI).

• Dado λ1 6= λ2, e v1,v1 6= 0:

A v1 = λ1v1 ∧ A v2 = λ2v2

• Suponhe v1,v2 linearmente dependentes (LD):

v1 = cv2 ⇒ Acv1 = λ2cv1 ⇔

Av1 = λ2v1 ⇔ λ1v1 = λ2v1 ⇔

(λ1 − λ2)v1 = 0⇔ λ1 = λ2 ∨ v1 = 0

Absurdo!• λ1 6= λ2: Sλ1

⋂Sλ2 = {0}


Auto-espaços III

• ’Perder AVs’:• λi ∈ C− R: λi 6= λi ;• dimSλi < ρλi .

• dim⋃λi∈R

Sλi = n ⇒ ∃ base de autovetores!

• Se ∃ base de autovetores: v1, . . . ,vn:

A vi = λivi = [0, . . . , λi , . . . ,0]Tv


Matrizes Simétricas

• Teorema: Se A é simétrica, todos os autovalores s reais.• Meu Pai criou esse Matemática meeeeesmo....• Lembre-se: (A B)T = BT AT , A B = A B.

• E em C: v ·w = vT w, (garantindo: |v|2 ≥ 0).

• →: λ ∈ R⇒ v ∈ Rn!• Suponhe: λ /∈ R (λ 6= λ) e v 6= 0:

A v = λv ⇒ vT A v = λ|v|2 ∈ C ⇒ (λ|v|2)T = λ|v|2

• λ|v|2 = (λ|v|2)T = (λ|v|2)T = (vT A v)T = (vT A v)T =

(vT A v)T = vT A v = λ|v|2 ⇔ (λ− λ)|v|2 = 0⇔λ = λ⇔ λ ∈ R �


Matrizes Simétricas: A = AT

• Teorema: Autovetores de autovalores diferentes, sortogonais.

• Meu Pai éeeeeeeeeee divino!• Suponhe: A v1 = λ1v1 e A v2 = λ2v2 com λ1 6= λ2.

• vT2 A v1 = vT

2 λ1v1 = λ1v1 · v2.

• vT1 A v2 = vT

1 λ2v2 = λ2v1 · v2.

• Por ser um número: vT1 A v2 = (vT

1 A v2)T = vT2 A v1

• Conclusão:λ1v1 · v2 = λ2v1 · v2 ⇔ (λ1 − λ2)v1 · v2 = 0⇔ v1 · v2 = 0

• Teorema: Se λi raíz de ordem ρi em Pn(λ): dim Sλi = ρi .• Podemos ortogonalizar espaços (Gram-Scmidt)!


Mudança de Base I

• Base novo: (v1, . . . ,vn), formamos:

V =

| |v1 · · · vn| |

• Coordenados antigos, v, e novos, v′.

v = V v′ ⇔ v′ = V−1v


Mudança de Base II

• (D = V)

• B = V−1A V.

• A e B similares: A ∼ B⇔ ∃V : B = V−1A V.• Mesma aplicação linear/forma quadrática/curva

em bases diferentes.


Matrizes Similares I• Similaridade (∼) Relação de Equivalência:• Reflexiva: (sou meu próprio amigo):

A = I−1A I

• Simétrica (sou amigo do meus amigo e vice-versa).

B = V−1A V⇔ A = V A V−1

• Transitiva (sou amigo dos amigos dos meus amigos).

B = V−1A V ∧ C = W−1B W⇒

C = W−1B W = W−1(V−1A V)W =

(W−1V−1)A(VW) = (VW)−1A(VW)


Matrizes Similares II

• Matrizes Similares tem mesmo Determinante:

det B = det(

V−1A V)

= det(

V−1)

det A det V =

(det V

)−1 detA det V = detA

• Matrizes Similares tem mesmo Polinômio Caraterístico:

det(B− λI

)= det

(V−1A V− λI

)=

det(

V−1A V− λV−1I V)

= det(

V−1 (A− λI)

V)

=

det(A− λI

)


Matrizes Similares III

• Matrizes Similares tem mesmo Autovalores.• Os autovalores s Invariantes de uma mudança de Base.• Os coeficientes do Polinômio Caraterístico s Invariantes.• Matrizes Similares tem mesmo Traço: TrA =

∑i λi .

• Matrizes Similares s... Similares.


Base de Autovetores

• Em base v1, . . . ,vn:

λivi =

i↓

[0, · · · , λi , · · · ,0]Tv

• B diagonal:

B =

| | |f (v1) f (v2) · · · f (vn)| | |

=

| | |λ1v1 λ2v2 · · · λnvn| | |

=

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

• Teorema: Se A = AT , existe um base, v1, . . . ,vn,

ortonormal: vi · vi = δij de autovetores: A vi = λivi .


Matrizes OrtogonaisBase Ortonormal em Colunas:•

V =

| | |v1 v2 · · · vn| | |

⇔ VT =

− v1 −− v2 −

...− vn −

•

VT V =

− v1 −− v2 −

...− vn −

| | |

v1 v2 · · · vn| | |

v1 · v1 v1 · v2 · · · v1 · vnv2 · v1 v2 · v2 · · · v2 · vn

......

. . ....

vn · v1 vn · v2 · · · vn · vn

= (vi · vj) = (δij) = I⇔

V−1 = VT

•(det V

)2= det I = 1⇔ det V = ±1.


Caso Complexo

• A Hermitiano: AT = A.• Hermitiano⇒ autovalores reais.• Hermitiano⇒ autovetores ortogonalizáveis.

• U Unitário: U−1 = UT .


Base de Autovetores Ortonormais

• B = V−1A V = VT A V =− v1 −− v2 −

...− vn −

| | |

λ1v1 λ2v2 · · · λnvn| | |

=

− v1 −− v2 −

...− vn −

A

| | |v1 v2 · · · vn| | |

=

λ1v1 · v1 λ2v1 · v2 · · · λnv1 · vnλ1v2 · v1 λ2v2 · v2 · · · λnv2 · vn

......

...λ1vn · v1 λ2vn · v2 · · · λnvn · vn

= (λiδij)


Base de Autovetores Ortonormais

• F (x , y) = rT A r = r′T B r′ = λ1x ′2 + λ2y ′2.F (x , y , z) = λ1x ′2 + λ2y ′2 + λ3z ′2.

• Termos ’mistos’ Eliminados!!!!Problemas resolvemos na hora.

As Milagres demoram mais um pouco...• r = V r′ ⇔ r′ = VT r.• j =

Q︷︸︸︷ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz +

L︷︸︸︷gx + hy + iz =

rT A r + bT r = (V r′)T A (V r′) + bT (V r′) =

r′T (VT A V)r + (VT b)T r′ = r′T Br + b′T r′


Caso n = 2: Curvas Quadráticas

• A =

(a11 a12a21 a22

)•

det (A− λI) =

∣∣∣∣ a11 − λ a12a21 a22 − λ

∣∣∣∣ = (a11−λ)(a22−λ)−a12a21 =

λ2 − (a11 + a22)λ+ a11a22 − a12a21 = λ2 − TrAλ+ det A

• ∆ = (a11+a22)2−4(a11a22−a12a21) = (a11−a22)2+4a12a21

• A = AT :• ∆ = (a11 − a22)2 + 4a2

12 ≥ 0;• ∆ = 0⇔ a11 = a22 := a ∧ a12 = 0⇔ A = a I: Já diagonal!

•

λ± =a11 + a22 ±

√∆

2


λ = λ± = a11+a22±√

∆2

A− λ±I =

(a11 − λ± a12

a21 a22 − λ±

)=(

a11 − a11+a22∓√

∆2 a12

a21 a22 − a11+a22∓√

∆2

)∼

(a11 − a22 ∓

√∆ 2a12

2a21 a22 − a11 ∓√

∆

)∼(

a11 − a22 ∓√

∆ 2a120 0

)x = 0⇔

x1(a11 − a22 ∓√

∆) + 2x22a12 = 0


λ = λ± = a11+a22±√

∆2 , cont.:

• Solução completa; t , t ′ ∈ R:

x± = t(

−2a12a11 − a22 ∓

√∆

)︸︷︷︸

v±

= t ′(

a22 − a11 ∓√

∆−2a21

)︸︷︷︸

w±

• v+ ‖ w+ ∧ v− ‖ w−.• v+ · v− =

4a212 + (a11 − a22 +

√∆)(a11 − a22 −

√∆)

4a212+(a11−a22)2−∆ = 4a2

12+(a11−a22)2−((a11−a22)2+4a12a21)

= 4a12(a12 − a21) = −v− ·w+

• Se a12 = a21: v+ ⊥ v− ∧w+ ⊥ w−.• v± = w∓.


λ = λ± = a11+a22±√

∆2 , cont.:

• Escolhemos:

v1 = v+ =

(−2a12

a11 − a22 ∓√

∆

), v1 =

v1|v1|

v2 = v+ = w− =

(a22 − a11 ∓

√∆

−2a21

), v2 =

v2|v2|

• Substituição ortogonal:

V =

| |v1 v2| |

• det V = +1⇒ (v1, v2) orientados positivamente.


2xy = 1:

•

2xy =(

x y)T(

0 11 0

)(xy

)•

f(

xy

)=

(0 11 0

)(xy

)=

(yx

)• Imediato, autovetores: v1 = (1,1)T e v2 = (−1,1)T !• Autovalores 1 resp. −1!•

det(A− I

)=

∣∣∣∣ −λ 11 −λ

∣∣∣∣ = λ2 − 1 = 0⇔ λ = ±1


2xy = 1, cont.:• λ1 = 1:

A−I =

(−1 1

1 −1

)∼(−1 1

0 0

)x = 0⇔ x = t

(11

), t ∈ R

v1 =

(11

)⇒ v1 =

1√2

(11

)• λ2 = −1:

A+I =

(1 11 1

)∼(

1 10 0

)x = 0⇔ x = t

(−1

1

), t ∈ R

v2 =

(−1

1

)⇒ v2 = v1 =

1√2

(−1

1

)• Subst. ortogonal:

V =1√2

(1 −11 1

)=

(cos π

4 − sin π4

sin π4 cos π

4

);

• det V = 1


2xy = 1, cont.:•

B =

(λ1 00 λ2

)=

(1 00 −1

)= V−1A V = VT A V

• 1 = 2xy = x ′2 − y ′2: Hiperbole, C(0,0) e a = b = 1.


2xy −√

2ax = c:•

b = −( √

2a0

)•

b′ = −VT( √

2a0

)= − 1√

2

(1 1−1 1

)( √2a0

)=

(−a

a

)• bT r = b′T r′ = −ax ′ + ay ′.• c = 2xy −

√2a = x ′2 − y ′2 − ax ′ + ay ′ =

(x ′2−ax ′)−(y ′2−ay ′) =(

x ′ − a2

)2−(a

2

)2−(

y ′ − a2

)2−(a

2

)2

(x ′ − a

2

)2−(

y ′ − a2

)2− a2

2⇔(

x ′ − a2

)2−(

y ′ − a2

)2= c +

a2

2


2xy −√

2ax = c, cont.:

• Hiperbole, roteado ângulo π4 .

• Centro: c′ =(a

2 ,a2

)T .

c = V c′ =1√2

(1 −11 1

)( a2a2

)=

(0

a√2

)

• Semi-eixos: a = b =√|c + a2

2 |.• Assintodas: y ′ − a

2 = ±(x ′ − a2 )⇔ x = 0 ∨ y = a√

2.

• c + a2

2 > 0: 10 e 30 quadrante.

• c + a2

2 = 0: As assintodas.

• c + a2

2 < 0: 20 e 40 quadrante.


Estes são meus Princípios.Se Você não Gosta deles, eu tenho Outros...

Groucho Marx

Life sure is a Mystery to be LivedNot a Problem to be Solved

Please Always Enjoy!

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