Get Attachment

Faculdade Anhanguera Prof. Gilberto Sitta

1

Lista 4 - Exercícios – Prestações - Juros Compostos

1- Adquirimos um equipamento que deveria ser pago em 24 parcelas mensais, iguais e consecutivas de R$ 2.623,47 cada uma. Ao final do 6º mês, conversamos com a financeira acerca do desconto que teríamos caso quiséssemos quitar nossa dívida e a resposta foi a que a taxa de juros cobrada de 4% ao mês poderia ser totalmente retirada da dívida futura. Em função disso, quanto deveríamos pagar ao nosso credor naquele momento para quitar a dívida?

Veja que neste caso conforme o próprio enunciado descreve já foram amortizadas 6 parcelas (pagas), portanto para calcularmos qual seria o valor presente para quitarmos a dívida temos: 24 parcelas (totais) menos 6 parcelas (já pagas) sobrando então 18 parcelas (a pagar). Como descreve “ao final do 6º mês” precisamos considerar ainda 1 parcela que é o 6º para ser pago.

P = 2.623,47 (6º mês) + 2.623,47 (P/A, 4%, 18) P = 2.623,47 + 33.211,28 P = R$ 35.834,75

A = R$ 2.623,47 i = 4% a. m. = 0,04 a.m. n = 18 meses P = ?

P = A.{ 1 – [ 1 / (1 + i)^n ] / i } P = 2.623,47. { 1 – [ 1 / (1 + 0,04)^18 ] / 0,04 } P = 2.623,47. { 1 – [ 1 / (2,0258) ] / 0,04 } P = 2.623,47. { 1 – [ 0,4936 ] / 0,04 } P = 2.623,47. { 0,5064 / 0,04 }

P = 2.623,47. { 12,6593 } P = R$ 33.211,28

2- Quanto deve ser depositado no final de cada mês para que se possa retirar R$ 385.052,14 ao final de 22 meses sem deixar saldo, sendo a taxa de 5% ao mês?

A = 385.052,14 (A/F, 5%, 22) A = R$ 10.000,00

F = R$ 385.052,14 i = 5% a. m. = 0,05 a.m. n = 22 meses A = ?

A = F.{ i / [ (1 + i)^n ] - 1 } A = 385.052,14. { 0,05 / [ (1 + 0,05)^22 ] - 1 } A = 385.052,14. { 0,05 / [ 2,9253 ] - 1 } A = 385.052,14. { 0,05 / 1,9253 }

A = 385.052,14. { 0,0260 } A = R$ 10.000,00


2

3- A quantia de R$ 220.000,00 será paga em 4 prestações anuais, iguais e consecutivas, vencendo-se a primeira, um ano após a contagem do capital. Sendo a taxa de 20% ao ano, qual o valor da prestação a ser paga?

A = 220.000 (A/P, 20%, 4 ) A = R$ 84.983,60

P = R$ 220.000,00 i = 20% a. a. = 0,20 a.a. n = 4 anos A = ?

A = P.{ i / 1 - [ 1 / (1 + i)^n ] } A = 220.000.{ 0,20 / 1 - [ 1 / (1 + 0,20)^4 ] } A = 220.000.{ 0,20 / 1 - [ 1 / 2,0736 ] } A = 220.000.{ 0,20 / 1 – 0,4823 } A = 220.000.{ 0,20 / 0,5177 }

A = 220.000.{ 0,3863 } A = R$ 84.983,60

4- Um guindaste de grua está custando cerca de R$ 500.000,00 à vista. O comprador se propõe, entretanto, a dar uma entrada de R$ 50.000,00 e a pagar o restante em 10 prestações mensais, consecutivas e iguais. Se os juros cobrados forem de 5% ao mês, de quanto será cada pagamento mensal?

A = 450.000 (A/P, 5%, 10) A = R$ 58.275,00

P = R$ 500.000,00 – R$ 50.000,00 P = R$ 450.000,00 i = 5% a. m. = 0,05 a.m. n = 10 meses A = ?

A = P.{ i / 1 - [ 1 / (1 + i)^n ] } A = 450.000.{ 0,05 / 1 - [ 1 / (1 + 0,05)^10 ] } A = 450.000.{ 0,05 / 1 - [ 1 / 1,6289 ] } A = 450.000.{ 0,05 / 1 - 0,6139 } A = 450.000.{ 0,05 / 0,3861 }

A = 450.000.{ 0,1295 } A = R$ 58.275,00


3

5- Se o comprador do problema anterior conhecesse apenas o valor da prestação e optasse por efetuar um único pagamento no vencimento da última prestação, considerando-se a mesma taxa de juros, de quanto seria esse pagamento?

F = 58.275,00 (F/A, 5%, 10) F = R$ 732.977,12

A = R$ 58.275,00 i = 5% a. m. = 0,05 a.m. n = 10 meses F = ?

F = A.{ [ (1 + i)^n ] - 1 / i } F = 58.275,00. { [ (1 + 0,05)^10 ] - 1 / 0,05 } F = 58.275,00. { [ 1,6289 ] - 1 / 0,05 } F = 58.275,00. { 0,6289 / 0,05 }

F = 58.275,00. { 12,5779 } F = R$ 732.977,12

6- Quanto deverá ser pago bimestralmente por um empréstimo de R$ 120.000,00 para que uma dívida seja totalmente saldada em 1 ano, levando-se em conta uma taxa de juros da ordem de 5% ao mês?

Vale lembrar que não podemos utilizar a taxa de juros mensal para um período bimestral, portanto é necessário fazer a equivalência para esta taxa de 5% a.m. para ?% a.b. Assim como também é necessário converter 1 ano em bimestres = 6 bimestres

ib = (1 + im)^2 – 1 ib = (1 + 0,05)^2 - 1 ib = 1,1025 – 1 ib = 10,25% ou 0,1025

A = 120.000 (A/P, 10,25%, 6) A = R$ 27.755,05

P = R$ 120.000,00 i = 5% a. m. = 10,25% a.b. n = 12 meses = 6 bimestres A = ?

A = P.{ i / 1 - [ 1 / (1 + i^n ] } A = 120.000.{ 0,1025 / 1 - [ 1 / (1 + 0,1025^6 ] } A = 120.000.{ 0,1025 / 1 - [ 1 / 1,7959 ] } A = 120.000.{ 0,1025 / 1 - 0,5568 } A = 120.000.{ 0,1025 / 0,4432 }

A = 120.000.{ 0,2313 } A = R$ 27.755,05


4

7- Certa empresa alugou um galpão para a instalação de um “depósito fechado” e pagou adiantados 24 meses de aluguel referente ao primeiro período de locação. Nos termos do contrato, será permitido à empresa renová-lo por outro período de 2 anos, pagando de aluguel R$ 2.000,00 no início de cada mês do segundo período de 2 anos. Passados 12 meses do primeiro período de locação, o locador, necessitando de dinheiro, propôs à empresa o adiantamento dos pagamentos referentes ao aluguel do segundo período de 2 anos. A empresa enviou uma proposta afirmando que se ela fosse investir esse valor no mercado conseguiria arrecadar uma taxa de 3% ao mês. Nesses termos, qual o pagamento justo a ser feito pelo locador nessa data?

Veja que neste caso conforme o próprio enunciado descreve pretende-se antecipar alem dos 24 meses a serem pagos + 12 meses. Só que neste período de 0 a 12º mês não há valor de prestação, pois já foram pagas, portanto multiplicaremos o fator de juros do dinheiro no tempo para este período. Consideramos só 11 meses **, pois o pagamento do 12º mês já foi pago e caso considerássemos seria duplicidade. Ao trazer as 24 prestações para o presente já consideramos o 12º mês como mês 0, seguem fluxos abaixo para melhor entendimento:

P = F (P/F, 3%, 11)** x 2.000 (P/A, 3%, 24) ** = P = F / (1 + 0,03)^11 P = 1 / (1,3842) P = 0,7224

P = 0,7224 x 33.871,08 P = R$ 24.468,47

A = R$ 2.000,00 i = 3% a. m. = 0,03 a.m. n = 2 anos = 2anosx 12 meses = 24 meses P = ?

P = A.{ 1 – [ 1 / (1 + i)^n ] / i } P = 2.000,00. { 1 – [ 1 / (1 + 0,03)^24 ] / 0,03 } P = 2.000,00. { 1 – [ 1 / (2,0328) ] / 0,03 } P = 2.000,00. { 1 – [ 0,4919 ] / 0,03 } P = 2.000,00. { 0,5081 / 0,03 }

P = 2.000,00. { 16,9355 } P = R$ 33.871,08


5

8- Quanto deve ser depositado em 31 de dezembro de 2001 de tal forma que seja possível fazer 18 retiradas, sendo 6 retiradas de R$ 20.000,00 no ano 2002, 6 retiradas de R$ 50.000,00 em 2003 e 6 retiradas de R$ 30.000,00 em 2004? (Considerar que as retiradas serão efetuadas somente nos meses pares e que a taxa de juros será de 5% ao mês.)

Para resolvermos este exercício devemos resolver separadamente cada período conforme seu respectivo valor e depois efetuar a somatória de todos estes para acharmos o valor presente final. Assim como também devemos fazer a equivalência de taxa de 5% a.m. para ?% a.b, pois como descreve que são retiradas 6 vezes por ano, isto corresponde a bimestres.

ib = (1 + im)^2 – 1 ib = (1 + 0,05)^2 -1 ib = 1,1025 – 1 ib = 10,25% ou 0,1025

Vale lembrar também que precisamos fazer o fator de juros do dinheiro no tempo nos períodos 2003 e 2004

Ptotal = P2002 + P2003 + P2004

P2002 = 20.000 (P/A, 10,25%, 6) + P2003 = 50.000 (P/A, 10,25%, 6) x F (P/F, 10,25%, 6) + P2004 = 30.000 (P/A, 10,25%, 6) x F (P/F, 10,25%, 12) =

Ptotal = 86.470,75 + (216.176,87 x 0,5568) + (129.706,12 x 0,3101) Ptotal = R$ 247.059,89

A = R$ 20.000,00 (ano 2002) i = 5% a. m. = 10,25% a.b. n = 6 bimestres P2002 = ?

P = A.{ 1 – [ 1 / (1 + i)^n ] / i } P = 20.000. { 1 – [ 1 / (1 + 0,1025)^6 ] / 0,1025 } P = 20.000. { 1 – [ 1 / (1,7959) ] / 0,1025 } P = 20.000. { 1 – [ 0,5568 ] / 0,1025 } P = 20.000. { 0,4432 / 0,1025 }

P = 20.000. { 4,3235 } P = R$ 86.470,75


P = A.{ 1 – [ 1 / (1 + i)^n ] / i } P = 50.000. { 1 – [ 1 / (1 + 0,1025)^6 ] / 0,1025 } P = 50.000. { 1 – [ 1 / (1,7959) ] / 0,1025 } P = 50.000. { 1 – [ 0,5568] / 0,1025 } P = 50.000. { 0,4432 / 0,1025 }

P = 50.000. { 4,3235 } P = R$ 216.176,87


P = A.{ 1 – [ 1 / (1 + i)^n ] / i } P = 30.000. { 1 – [ 1 / (1 + 0,1025)^6 ] / 0,1025 } P = 30.000. { 1 – [ 1 / (1,7959) ] / 0,1025 } P = 30.000. { 1 – [ 0,5568 ] / 0,1025 } P = 30.000. { 0,4432 / 0,1025 }

P = 30.000. { 4,3235 } P = R$ 129.706,12


6

9- Um capitalista aplica hoje certo capital e recebe daqui a 5 anos, R$ 50.000,00, e daqui 8 anos R$ 45.000,00. Calcular o capital empregado, supondo a taxa de juros de 25% ao ano.

P = 50.000 (P/F, 25%, 5) + 45.000 (P/F, 25%, 8) P = 16.384,00 + 7.549,74 P = R$ 23.933,74

F = R$ 50.000,00 i = 25% a. a. = 0,25 a.a. n = 5 anos P = ?

P = F / ( 1 + i )^n P = 50.000 / (1 + 0,25)^5 P = 50.000 / (3,0518)

P = R$ 16.384,00

F = R$ 45.000,00 i = 25% a. a. = 0,25 a.a. n = 8 anos P = ?

P = F / ( 1 + i )^n P = 45.000 / (1 + 0,25)^8 P = 45.000 / (5,9605)

P = R$ 7.549,74

10- Pelo processo de previsão de demanda de nossa empresa, teremos que montar uma nova planta industrial, cujo valor estimado ao final de 5 anos é de R$ 20.000.000,00. Sabendo-se que anualmente poderemos reter de nossos lucros a importância de R$ 1.800.000,00 que serão aplicados a uma taxa de 30% a.a., quanto deveremos tomar emprestado na época da compra? Determinar, para a taxa de 35%, quanto deverá ser pago anualmente pelo empréstimo em 5 parcelas, vencendo cada uma delas ao final dos 5 anos subseqüentes.

F(emprestado) = 20.000.000 (P/F, 30%, 0) - 1.800.000 (F/A, 30%, 5)

F(emprestado) = 20.000.000 – 16.277.580 F(emprestado) = R$ 3.722.420,00

A = R$ 1.800.000,00 i = 30% a. a. = 0,30 a.a. n = 5 anos F = ?

F = A.{ [ (1 + i)^n ] - 1 / i } F = 1.800.000. { [ (1 + 0,30)^5 ] - 1 / 0,30 } F = 1.800.000. { [ 3,7129 ] - 1 / 0,30 } F = 1.800.000. { 2,7129 / 0,30 }

F = 1.800.000. { 9,0431 } F = R$ 16.277.580,00


7

A(pagamentos) = 3.722.420 (A/P, 35%, 5) A(pagamentos) = R$ 1.676.794,90

P = R$ 3.722.420,00 i = 35% a. a. = 0,35 a.a. n = 5 anos A = ?

A = 3.722.420.{ i / 1 - [ 1 / (1 + i)^n ] } A = 3.722.420.{ 0,35 / 1 - [ 1 / (1 + 0,35)^5 ] } A = 3.722.420.{ 0,35 / 1 - [ 1 / 4,4840 ] } A = 3.722.420.{ 0,35 / 1 - 0,2230} A = 3.722.420.{ 0,35 / 0,7770 }

A = 3.722.420.{ 0,4505 } A = R$ 1.676.794,90

Get Attachment

Documents

Transcript of Get Attachment