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Escola Superior de Cincias Empresariais

GESTO DE CARTEIRAS RENDIBILIDADE E RISCO

o Conceito de carteirao Frmulas de clculo:

oDados histricos;

o Dados previsionais;

oExerccios base

Docente: Snia Carvalho

[email protected]

2014/2015


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GESTO DE CARTEIRAS

2014-15

2Docente: Snia Carvalho

O que se entende por carteira?

uma combinao de activos, que normalmente se associa a um conjunto mais ou menos

diversificado de aces. A teoria de carteiras tenta encontrar a combinao ptima, a melhor

carteira para cada investidor. primeira vista parece que ter inmeras aplicaes no mercado

bolsista, o que certo, mas no se esgota nesse mercado, visto que as suas concluses

tambm se aplicam grande maioria dos problemas de finanas nas empresas.

O problema da carteira centra-se no ambiente de risco. Assim, convm explanar a diviso

clssica entre certeza, risco e incerteza;

o Certezadizemos que existe certeza quando se conhece o que vai acontecer no futuro;

o Risco quando no h certeza sobre o que vai acontecer, mas conhecem-se as

probabilidades de ocorrncia dos diferentes estados de natureza; e,

o Incertezaquando no existe esta ltima informao.

Aceitemos que as decises se tomam num ambiente de risco, admitindo que o decisor capaz

de atribuir probabilidades aos diferentes estados.

uma abordagem estruturada relativa seleco de investimentos em contextode incerteza1

Em situaes de risco, as decises devem-se basear no conhecimento da distribuio de

probabilidade dos diferentes estados.

Admitindo um nico perodo de tempo, o que caracteriza uma carteira ser a rentabilidade que

ela obtm nesse dado perodo, sendo que posteriori ser melhor a carteira que tenha obtido

maior rentabilidade. Deste modo, as decises devem ser tomadas a priori e com base numa

informao; e uma vez que definimos um ambiente de risco, parece claro que a deciso sobre

qual deve ser a carteira ptima depender das distribuies de probabilidades das

rentabilidades das diferentes carteiras e dos gostos pessoais de cada decisor/investidor.

Assim, deveramos comear por perguntar quais so os gostos dos decisores/investidores.

evidente que cada um ter os seus prprios gostos, contudo, podem-se criar algumas

generalizaes que nos ajudam a resolver o problema. Pode-se comear por supor que todo o

1Finanas, Elsio Brando


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GESTO DE CARTEIRAS

2014-15


investidor prefere mais riqueza a menos riqueza, e isto no parece discutvel em princpio. O

segundo pressuposto que se admite fazer que os decisores/investidores so inimigos/avessos

do risco.

Pode-se ento perguntar o que se entende por risco? Eu acredito que todos temos uma ideia

intuitiva deste conceito, e sabemos que umas actividades so mais arriscadas que outras. Se

tivssemos que o associar a algo claramente o associaramos a perigo, dizendo que mais

arriscado o que perigoso. Da no resultar estranho ouvir-se dizer que somos avessos ao

risco.

Em modo de resumo, pode-se dizer que esta teoria assume que os investidores so avessos ao

risco, e assim sendo, para queassumam mais riscos necessrio oferece

-lhes maiores

retornos esperados;

Inversamente, se os investidores pretendem maiores retornos esperados, tm que aceitar um

maior nvel de risco.

Os conceitos de rendibilidade e risco so fundamentais em gesto de carteiras, podendo estes

ser determinados com base em dados histricos ou previsionais e em termos clssicos e

logartmicos. Desta forma, apresentam-se as frmulas fundamentais.

Exemplo:Admita-se dois negcios com rentabilidades mdias iguais de 20%, s que na empresa A, a

rentabilidade varia entre 15% e25%, e na empresa B varia entre 10% e 30%, pode-se afirmar

que a empresa B apresenta um risco superior, contudo, no se pode afirmar que pior; na

realidade at pode ser melhor ou pior segundo as circunstncias. O nico que claro que

mais arriscado.

Porque se supe rapidamente que a empresa A vai ser a preferida?

Esta concluso pode ser precipitada tendo em considerao o conceito de risco que se referiuinicialmente, dado que, podem existir investidores que prefiram a actividade A, outros a B e

outros que sejam indiferentes.

A B15% 10%

25% 30%


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DADOS HISTRICOS

Rendibilidade de um valor mobilirio de rendimento varivelnum dado perodo t, com base

em dados histricos: jt jt jtjt

jt

P D PR

P

1

1

Em que:

jtR - Rendibilidade do ttulo j, no perodo t

jtP - Preo do ttulo j, no momento t

jtD - Dividendos distribudos, no perodo t

jtP 1 - Preo do ttulo j, no momento t-1

Se pretendermos a rendibilidade do mercado no perodo t, exprimimos da seguinte

forma: t tmt

t

I IR

I

1

1

Em que:

mtR - Rendibilidade do mercado, no perodo t

tI - ndice de mercado, no momento t

tI

1- ndice de mercado, no momento t-1

Utilizam-se as frmulas logartmicas de forma a reduzir os choques sobre as sries de

rendibilidade, assim, jt jtjt

jt

P DR Ln

P1

, em que,

Ln

representa o logaritmo neperiano

A rendibilidade do mercado ser dada por: tmt

t

IR Ln

I1

Rendibilidade mdiado ttulo j, exprime-se por:n

j jt

t

r rn 1

1

jr

-Rendibilidade mdia do ttulo j, nos n perodos de observao

jtr - Rendibilidade do ttulo j, no perodo t

nnmero de perodos de observaes


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O risco medido quer pela varincia quer pelo desvio-padro, sendo estas medidas de

disperso da rendibilidade dos ttulos, em torno da mdia.

Varincia da rendibilidade do ttulo j, expressa-se por: ( )n

jj jt

t

r r

n

2 2

1

1

1

Desvio-padrodo ttulo j, dada por: ( )n

jj jt

t

r r

n

2

1

1

1

A rendibilidade e o risco permitem avaliar a performance de um ttulo ou de uma carteira de

ttulos.

Pode-se afirmar que o risco pode ser divido em risco relativo (coeficiente de variao) e risco

absoluto (desvio-padro), sendo que o coeficiente de variao determinado por:

. .( )

j

j

j

C VE r

, em que

. .jC V - Coeficiente de variao do ttulo j

( )jE r - Esperana de rentabilidade do ttulo j

j - Desvio-padro do ttulo j

Exercc io 1:

Considerando que existem dois ttulos x e y, e apresentam os seguintes dados: ( )x

E r =

22,5%; , %x

7 5 ; ( ) %; %y yE r 10 5 . Determine o risco unitrio de cada ttulo.

Para determinarmos a rendibilidade de uma carteira, para o perodo t, a mdia ponderada

da rendibilidade dos ttulos de carteira, dada por:n

pt j jt

j

r R w1

, em que:

Rendibilidade do ttulo j, em perodo t

Nmero de ttulos que constituem a carteira

Valor de mercado do ttulo j, dividido pelo valor de mercado da carteira, ou seja, a

ponderao do ttulo j na carteira.

A varincia da carteira, expressa por: covn n

j ij i j

i j

w w2

1 1

Covijcovarincia entre as rendibilidades dos ttulos i e j

jt

jt

R

n

w


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wiponderao do titulo i na carteira, definido pelo valor de mercado do ttulo i dividido pelo

valor de mercado da carteira

n n

i j1 1

- Significa que todas as possveis covarincias devem ser adicionadas.

A varincia pode ser expressa atravs de: covn

p i i ij i j

i

w w w 2 2 2

1

2

Esta expresso indica-nos que existem 2 covarincias numa carteira de n ttulos, sendo que a

primeira metade da equao d-nos a varincia de cada activo ponderada pelo quadrado e

adicionada, e a segunda metade indica-nos que a covarincia multiplicada pela ponderao de

cada ttulo na carteira e adicionada sendo multiplicada por 2.

Se estivermos perante uma carteira composta exclusivamente por 2 ttulos a varincia ser dada

pela expresso: ( ) cov ( )p ij i i j i ij i i w w w w 2 2 2 2 2 2

1 2 1 , em que:

iw - Representa o peso do investimento aplicado no ttulo i;

iw1 - Peso do investimento aplicado no titulo j;

i

2

; j

2

- varincia da rendibilidade do ttulo i e j respectivamente;cov ij - Representa a covarincia entre as rendibilidades dos ttulos i e j.

Para determinarmos o desvio-padro dos 2 ttulos bastaria considerar a raiz quadrada da

varincia da carteira. Assim, ( ) cov ( )ij p i i j i ij i i w w w w 2 2 2 2

1 2 1

Tambm pode ser determinado segundo a seguinte frmula:

,p i i j j i j i j i j w w w w 2 2 2 2

2 , em que:,i j - representa o coeficiente de

correlao entre as rendibilidades dos ttulos i e j.

Exercc io 2:

Uma carteira constituda por dois ttulos X e Y apresenta a seguinte informao:

Varincia do ttulo X: , ;X X

w2 10 04125

3 ;

Varincia do ttulo Y: , ;Y

w2

220 022

3 ;

Covarincia entre as rendibilidades dos ttulos X e Y,,

cov ,X Y

0 018

Determine o desvio-padro da carteira.


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A covarincia combina a varincia com a tendncia das rendibilidades dos ttulos, e ser dada

por: cov ( )( )n

ij it i jt j

t

r r r r n

1

1

1

, em que:

nrepresenta o nmero de observaes;

Os termos das expresses ( )( )it i jt j r r r r representam os desvios das rendibilidades dos ttulos

relativamente s suas mdias.

O coeficiente de correlaoentre os ttulos i e j, dada pela seguinte expresso:cov ij

ij

i j

Este coeficiente mede a proporo da variao total na varivel dependente que explicada

pelos movimentos na varivel independente. Os valores assumidos por este coeficiente variam

entre -1 e +1.

o Correlao perfeita negativa se igual a -1, significando que os 2 ttulos se movem em

sentidos opostos;

o Correlao perfeita positiva se coeficiente igual a +1, verificando o movimento dos ttulos

no mesmo sentido;

o Inexistncia de correlao se coeficiente =0, ou seja, as rendibilidades soindependentes.

Exercc io 3:

Considere as seguintes informaes referentes a 2 ttulos:

Titulo A Ttulo B

Rendibilidade esperada 15% 10%

Desvio-padro da

rendibilidade esperada

12% 8%

Valor do ttulo 1 1,5

Coeficiente de correlao linear entre as rendibilidades esperadas dos ttulos A e B= 0,5

Pretende-se:


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1. Supondo que o investidor pretende aplicar 1200u.m. e obter rendimento de10,5%,

determine a composio da carteira a constituir bem como o desvio-padro da respectiva

rendibilidade esperada.2. Resolva a alnea anterior, considerando que o investidor pretende obter um rendimento

de 12%.

DADOS PREVISIONAIS

A rendibilidade esperadado tituloj, dada por: ( )n

j js s

s

E r r 1

Em que,

( )jE r - Representa a rendibilidade esperada do ttulo j, e corresponde mdia esperada das

rendibilidades condicionadas;

Nnmero de estados de natureza;

jsr - Rendibilidade do ttulo j se o estado de natureza ocorrer;

s - Probabilidade de ocorrncia do estado de naturezas.

;

n

s s

s

1

1 0 1

Varincia da rendibilidade esperadado ttuloj dada por: ( )n

j js j s

s

r E r

2

2

1

Desvio-padro da rendibilidade esperada do ttulo j, obtida atravs da raiz quadrada da

varincia, sendo dada por: ( )n

j js j s

s

r E r

2

1

A rendibilidade de uma carteira designa-se por esperana de rendibilidade e dada pelas

seguintes frmulas: ( ) ( )n

p j j

j

E r E r w 1

ou ( )n

p ps s

s

E r r 1

( )jE r - Esperana da rendibilidade do ttulo j;

jw - a ponderao do ttulo j na carteira;

psr - Rendibilidade da carteira se o estado de natureza s ocorre;

s - Probabilidade de ocorrncia do estado de natureza s.

Varincia da rendibilidade da carteira: covn n

p ij i j

i j

w w2

1 1


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Ou covn

p i i ij i j w w w 2 2 2

2

Ou ( )n

p ps p s r E r

2

2

Em que:

psr - Rendibilidade da carteira se o estado de natureza s ocorre;

( )pE r - Esperana da rendibilidade da carteira;


Covarinciaentre as rendibilidades dos ttulos i e j dada por:

cov ( ( ))( ( ))n

ij is i js j s

s

r E r r E r 1

, em que:

;is jsr r - Rendibilidades dos ttulos se o estado de natureza s ocorrer;

( ); ( )i jE r E r - So as esperanas de rendibilidades dos ttulos i e j;


Exercc io 4:

Uma carteira constituda por 2 ttulos, dos quais se obteve os seguintes elementos

previsionais: os estados da natureza so 3; as rendibilidades condicionadas dos ttulos e do

mercado, para os estados da natureza 1, 2, e 3, so respectivamente:

R1s: -5; 5; 18;

R2s: 6; -6; 12;

Rms: -4; 2; 14;

A ponderao do ttulo 1 na carteira de 60%.

A probabilidade de ocorrncia dos estados de natureza 1 e 2 so de 30% e 40%

respectivamente.

1. Com base nos dados disponveis descreva as antecipaes do gestor da carteira justificando

os clculos necessrios.

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