Geração de Malhas – SME5827

Div, Grad e Laplacianoem Coordenadas Curvílineas

Afonso PaivaICMC-USP

30 de agosto de 2013

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0? Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0? Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0?

Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0? Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0? Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0? Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk

=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Diferenciação de Campos Vetoriais

Seja v = vi (x1, x2, x3) ei um campo vetorial em função de variáveiscartesianas (xi ), logo

∂v∂xk

=∂vi∂xk

ei =∂v1

∂xke1 +

∂v2

∂xke2 +

∂v3

∂xke3

Pergunta: considere u = ui (x1, x2, x3) gi um campo vetorial em função devariáveis curvilíneas (x i ). Se u for um campo constante, isto é,u(x1, x2, x3) = c temos ∂u

∂x i= 0? Não, pois gi pode não ser constante.

Portanto, a derivada parcial de u em relação a xk é dada por:

∂u∂xk

=∂(ui gi )

∂xk=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

Agora nossa atenção ficará em ∂gi

∂xk.

Símbolos de Christoffel

Podemos escrever ∂gi

∂x jcomo combinação linear de {g1, g2, g3} ou de

{g1, g2, g3}:

∂gi

∂x j= [ij , k] gk = Γk

ij gk

I os coeficientes [ij , k] são chamados de símbolos de Christoffel deprimeira espécie;

I os coeficientes Γkij são chamados de símbolos de Christoffel de segunda

espécie.

ProposiçãoOs símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices i e j peloseguinte fato:

∂gi

∂x j=

∂

∂x j

(∂r∂x i

)=

∂2r∂x j∂x i

=∂2r

∂x i∂x j=∂gj

∂x i

Símbolos de Christoffel

Podemos escrever ∂gi

∂x jcomo combinação linear de {g1, g2, g3} ou de

{g1, g2, g3}:

∂gi

∂x j= [ij , k] gk = Γk

ij gk

I os coeficientes [ij , k] são chamados de símbolos de Christoffel deprimeira espécie;

I os coeficientes Γkij são chamados de símbolos de Christoffel de segunda

espécie.

ProposiçãoOs símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices i e j peloseguinte fato:

∂gi

∂x j=

∂

∂x j

(∂r∂x i

)=

∂2r∂x j∂x i

=∂2r

∂x i∂x j=∂gj

∂x i

Símbolos de Christoffel

Podemos escrever ∂gi

∂x jcomo combinação linear de {g1, g2, g3} ou de

{g1, g2, g3}:

∂gi

∂x j= [ij , k] gk = Γk

ij gk

I os coeficientes [ij , k] são chamados de símbolos de Christoffel deprimeira espécie;

I os coeficientes Γkij são chamados de símbolos de Christoffel de segunda

espécie.

ProposiçãoOs símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices i e j peloseguinte fato:

∂gi

∂x j=

∂

∂x j

(∂r∂x i

)=

∂2r∂x j∂x i

=∂2r

∂x i∂x j=∂gj

∂x i

Símbolos de Christoffel

Podemos escrever ∂gi

∂x jcomo combinação linear de {g1, g2, g3} ou de

{g1, g2, g3}:

∂gi

∂x j= [ij , k] gk = Γk

ij gk

I os coeficientes [ij , k] são chamados de símbolos de Christoffel deprimeira espécie;

I os coeficientes Γkij são chamados de símbolos de Christoffel de segunda

espécie.

ProposiçãoOs símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices i e j peloseguinte fato:

∂gi

∂x j=

∂

∂x j

(∂r∂x i

)=

∂2r∂x j∂x i

=∂2r

∂x i∂x j=∂gj

∂x i

Símbolos de Christoffel

Podemos escrever ∂gi

∂x jcomo combinação linear de {g1, g2, g3} ou de

{g1, g2, g3}:

∂gi

∂x j= [ij , k] gk = Γk

ij gk

I os coeficientes [ij , k] são chamados de símbolos de Christoffel deprimeira espécie;

I os coeficientes Γkij são chamados de símbolos de Christoffel de segunda

espécie.

ProposiçãoOs símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices i e j peloseguinte fato:

∂gi

∂x j=

∂

∂x j

(∂r∂x i

)=

∂2r∂x j∂x i

=∂2r

∂x i∂x j=∂gj

∂x i

Símbolos de Christoffel

Podemos escrever ∂gi

∂x jcomo combinação linear de {g1, g2, g3} ou de

{g1, g2, g3}:

∂gi

∂x j= [ij , k] gk = Γk

ij gk

I os coeficientes [ij , k] são chamados de símbolos de Christoffel deprimeira espécie;

I os coeficientes Γkij são chamados de símbolos de Christoffel de segunda

espécie.

ProposiçãoOs símbolos de Christoffel são simétricos em relação aos índices i e j peloseguinte fato:

∂gi

∂x j=

∂

∂x j

(∂r∂x i

)=

∂2r∂x j∂x i

=∂2r

∂x i∂x j=∂gj

∂x i

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

1. [ij , k] = ∂gi

∂x j· gk

2. Γkij = ∂gi

∂x j· gk

3. Γkij = gkl [ij , l ]

4. [ij , k] = gkl Γlij

5. ∂gi

∂xk· gj = −Γi

jk

6. ∂gi

∂xk= −Γi

jk gj

7. Γiik = 1√

g∂√g

∂xk

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

Exemplo (no quadro)Calcule os símbolos (não nulos) de Christoffel de primeira e segundaespécie para as coordenadas cilíndricas.

Exercício 1Calcule os símbolos (não nulos) de Christoffel de primeira e segundaespécie para as coordenadas esféricas.

Exercício 2Mostre as seguintes relações:

1. ∂gij∂xk

= [jk, i ] + [ik, j ]

2. ∂g lm

∂xk= −g jl Γm

jk − g jm Γljk

3. [ij , k] = 12

(∂gjk∂x i

+ ∂gik∂x j− ∂gij

∂xk

)

Propriedades dos Símbolos de Christoffel

Exemplo (no quadro)Calcule os símbolos (não nulos) de Christoffel de primeira e segundaespécie para as coordenadas cilíndricas.

Exercício 1Calcule os símbolos (não nulos) de Christoffel de primeira e segundaespécie para as coordenadas esféricas.

Exercício 2Mostre as seguintes relações:

1. ∂gij∂xk

= [jk, i ] + [ik , j ]

2. ∂g lm

∂xk= −g jl Γm

jk − g jm Γljk

3. [ij , k] = 12

(∂gjk∂x i

+ ∂gik∂x j− ∂gij

∂xk

)

Derivada Covariante

Podemos reescrever ∂u∂xk

(com u = uigi ) da seguinte forma:

∂u∂xk

=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk

=∂ui

∂xkgi + uiΓj

ki gj =∂ui

∂xkgi + Γi

kj ujgi

=

(∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes contravariantes de u e são denotados por

ui,k =∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

Derivada Covariante

Podemos reescrever ∂u∂xk

(com u = uigi ) da seguinte forma:

∂u∂xk

=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk=∂ui

∂xkgi + uiΓj

ki gj

=∂ui

∂xkgi + Γi

kj ujgi

=

(∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes contravariantes de u e são denotados por

ui,k =∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

Derivada Covariante

Podemos reescrever ∂u∂xk

(com u = uigi ) da seguinte forma:

∂u∂xk

=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk=∂ui

∂xkgi + uiΓj

ki gj =∂ui

∂xkgi + Γi

kj ujgi

=

(∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes contravariantes de u e são denotados por

ui,k =∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

Derivada Covariante

Podemos reescrever ∂u∂xk

(com u = uigi ) da seguinte forma:

∂u∂xk

=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk=∂ui

∂xkgi + uiΓj

ki gj =∂ui

∂xkgi + Γi

kj ujgi

=

(∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes contravariantes de u e são denotados por

ui,k =∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

Derivada Covariante

Podemos reescrever ∂u∂xk

(com u = uigi ) da seguinte forma:

∂u∂xk

=∂ui

∂xkgi + ui

∂gi

∂xk=∂ui

∂xkgi + uiΓj

ki gj =∂ui

∂xkgi + Γi

kj ujgi

=

(∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes contravariantes de u e são denotados por

ui,k =∂ui

∂xk+ Γi

kj uj

Derivada Covariante

Analogamente, tomando u = uigi temos:

∂u∂xk

=∂ui∂xk

gi + ui∂gi

∂xk

=∂ui∂xk

gi − uiΓijk gj =

∂ui∂xk

gi − ujΓjik gi

=

(∂ui∂xk− ujΓ

jik

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes covariantes de u e são denotados por

ui ,k =∂ui∂xk− Γj

ik uj

Derivada Covariante

Analogamente, tomando u = uigi temos:

∂u∂xk

=∂ui∂xk

gi + ui∂gi

∂xk=∂ui∂xk

gi − uiΓijk gj

=∂ui∂xk

gi − ujΓjik gi

=

(∂ui∂xk− ujΓ

jik

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes covariantes de u e são denotados por

ui ,k =∂ui∂xk− Γj

ik uj

Derivada Covariante

Analogamente, tomando u = uigi temos:

∂u∂xk

=∂ui∂xk

gi + ui∂gi

∂xk=∂ui∂xk

gi − uiΓijk gj =

∂ui∂xk

gi − ujΓjik gi

=

(∂ui∂xk− ujΓ

jik

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes covariantes de u e são denotados por

ui ,k =∂ui∂xk− Γj

ik uj

Derivada Covariante

Analogamente, tomando u = uigi temos:

∂u∂xk

=∂ui∂xk

gi + ui∂gi

∂xk=∂ui∂xk

gi − uiΓijk gj =

∂ui∂xk

gi − ujΓjik gi

=

(∂ui∂xk− ujΓ

jik

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes covariantes de u e são denotados por

ui ,k =∂ui∂xk− Γj

ik uj

Derivada Covariante

Analogamente, tomando u = uigi temos:

∂u∂xk

=∂ui∂xk

gi + ui∂gi

∂xk=∂ui∂xk

gi − uiΓijk gj =

∂ui∂xk

gi − ujΓjik gi

=

(∂ui∂xk− ujΓ

jik

)gi

Os coeficientes de gi são chamadados de derivadas covariantes dascomponentes covariantes de u e são denotados por

ui ,k =∂ui∂xk− Γj

ik uj

Derivada Covariante

Resumindo,∂u∂xk

= ui,k gi = ui ,k gi

= ui ,k gij gj

Logo, temos as seguintes relações:

1. ui,k = ∂u∂xk· gi

2. ui ,k = ∂u∂xk· gi

3. ui,k = uj ,k gji = g ij uj ,k

Derivada Covariante

Resumindo,∂u∂xk

= ui,k gi = ui ,k gi = ui ,k gij gj

Logo, temos as seguintes relações:

1. ui,k = ∂u∂xk· gi

2. ui ,k = ∂u∂xk· gi

3. ui,k = uj ,k gji = g ij uj ,k

Derivada Covariante

Resumindo,∂u∂xk

= ui,k gi = ui ,k gi = ui ,k gij gj

Logo, temos as seguintes relações:

1. ui,k = ∂u∂xk· gi

2. ui ,k = ∂u∂xk· gi

3. ui,k = uj ,k gji = g ij uj ,k

Derivada Covariante

Resumindo,∂u∂xk

= ui,k gi = ui ,k gi = ui ,k gij gj

Logo, temos as seguintes relações:

1. ui,k = ∂u∂xk· gi

2. ui ,k = ∂u∂xk· gi

3. ui,k = uj ,k gji = g ij uj ,k

Derivada Covariante

Resumindo,∂u∂xk

= ui,k gi = ui ,k gi = ui ,k gij gj

Logo, temos as seguintes relações:

1. ui,k = ∂u∂xk· gi

2. ui ,k = ∂u∂xk· gi

3. ui,k = uj ,k gji = g ij uj ,k

Derivada Covariante

Resumindo,∂u∂xk

= ui,k gi = ui ,k gi = ui ,k gij gj

Logo, temos as seguintes relações:

1. ui,k = ∂u∂xk· gi

2. ui ,k = ∂u∂xk· gi

3. ui,k = uj ,k gji = g ij uj ,k

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f ) =

1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f ) =

1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f ) =

1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f ) =

1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f ) =

1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f )

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Gradiente em Coordenadas Curvilíneas

Sabemos que (note que ∂f /∂x i são componentes covariantes)

∇f (x1, x2, x3) = gi ∂f

∂x i

Podemos escrever ∇f de duas formas:

I forma não-conservativa

∇f =1√g

3∑i=1

(gj × gk)∂f

∂x i

I forma conservativa (melhor precisão numérica)

∇f =1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk)f ) =

1√g

3∑i=1

∂

∂x i(√

ggi f)

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

O divergente ∇ · u(x1, x2, x3) é definido em termos das derivadascovariantes:

∇ · u = ui,i

=∂ui

∂x i+ Γi

ij uj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x juj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x iui

=1√g

∂

∂x i(√gui )

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

O divergente ∇ · u(x1, x2, x3) é definido em termos das derivadascovariantes:

∇ · u = ui,i

=∂ui

∂x i+ Γi

ij uj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x juj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x iui

=1√g

∂

∂x i(√gui )

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

O divergente ∇ · u(x1, x2, x3) é definido em termos das derivadascovariantes:

∇ · u = ui,i

=∂ui

∂x i+ Γi

ij uj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x juj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x iui

=1√g

∂

∂x i(√gui )

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

O divergente ∇ · u(x1, x2, x3) é definido em termos das derivadascovariantes:

∇ · u = ui,i

=∂ui

∂x i+ Γi

ij uj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x juj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x iui

=1√g

∂

∂x i(√gui )

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

O divergente ∇ · u(x1, x2, x3) é definido em termos das derivadascovariantes:

∇ · u = ui,i

=∂ui

∂x i+ Γi

ij uj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x juj

=∂ui

∂x i+

1√g

∂√g

∂x iui

=1√g

∂

∂x i(√gui )

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

I forma conservativa

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

gui)

Podemos reescrever a equação acima da forma:

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

ggi · u)

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk) · u)

I forma não-conservativa

∇ · u =1√g

3∑i=1

(gj × gk) · ∂u∂x i

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

I forma conservativa

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

gui)

Podemos reescrever a equação acima da forma:

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

ggi · u)

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk) · u)

I forma não-conservativa

∇ · u =1√g

3∑i=1

(gj × gk) · ∂u∂x i

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

I forma conservativa

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

gui)

Podemos reescrever a equação acima da forma:

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

ggi · u)

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk) · u)

I forma não-conservativa

∇ · u =1√g

3∑i=1

(gj × gk) · ∂u∂x i

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

I forma conservativa

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

gui)

Podemos reescrever a equação acima da forma:

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

ggi · u)

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk) · u)

I forma não-conservativa

∇ · u =1√g

3∑i=1

(gj × gk) · ∂u∂x i

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

I forma conservativa

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

gui)

Podemos reescrever a equação acima da forma:

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

ggi · u)

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk) · u)

I forma não-conservativa

∇ · u =1√g

3∑i=1

(gj × gk) · ∂u∂x i

Divergente em Coordenadas Curvilíneas

I forma conservativa

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

gui)

Podemos reescrever a equação acima da forma:

∇ · u =1√g

∂

∂x i(√

ggi · u)

=1√g

3∑i=1

∂

∂x i((gj × gk) · u)

I forma não-conservativa

∇ · u =1√g

3∑i=1

(gj × gk) · ∂u∂x i

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Queremos calcular o laplaciano ∆f (x1, x2, x3) = ∇ · ∇f (x1, x2, x3).

Logo,

∇ · ∇f =1√g

∂

∂x i

(√g (∇f )i

)onde (∇f )i é a i-ésima componente contravariante de ∇f . Como calcular?

(∇f )i = g ij ∂f

∂x j

Portanto,

∆f =1√g

∂

∂x i

(√gg ij ∂f

∂x j

)

Exercício 3

Mostre que ∆f = 1√g

∂2

∂x i∂x j

(√gg ij f

)− 1√

g∂∂x i

(f√g ∆x i

)

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Queremos calcular o laplaciano ∆f (x1, x2, x3) = ∇ · ∇f (x1, x2, x3).

Logo,

∇ · ∇f =1√g

∂

∂x i

(√g (∇f )i

)onde (∇f )i é a i-ésima componente contravariante de ∇f .

Como calcular?

(∇f )i = g ij ∂f

∂x j

Portanto,

∆f =1√g

∂

∂x i

(√gg ij ∂f

∂x j

)

Exercício 3

Mostre que ∆f = 1√g

∂2

∂x i∂x j

(√gg ij f

)− 1√

g∂∂x i

(f√g ∆x i

)

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Queremos calcular o laplaciano ∆f (x1, x2, x3) = ∇ · ∇f (x1, x2, x3).

Logo,

∇ · ∇f =1√g

∂

∂x i

(√g (∇f )i

)onde (∇f )i é a i-ésima componente contravariante de ∇f . Como calcular?

(∇f )i = g ij ∂f

∂x j

Portanto,

∆f =1√g

∂

∂x i

(√gg ij ∂f

∂x j

)

Exercício 3

Mostre que ∆f = 1√g

∂2

∂x i∂x j

(√gg ij f

)− 1√

g∂∂x i

(f√g ∆x i

)

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Queremos calcular o laplaciano ∆f (x1, x2, x3) = ∇ · ∇f (x1, x2, x3).

Logo,

∇ · ∇f =1√g

∂

∂x i

(√g (∇f )i

)onde (∇f )i é a i-ésima componente contravariante de ∇f . Como calcular?

(∇f )i = g ij ∂f

∂x j

Portanto,

∆f =1√g

∂

∂x i

(√gg ij ∂f

∂x j

)

Exercício 3

Mostre que ∆f = 1√g

∂2

∂x i∂x j

(√gg ij f

)− 1√

g∂∂x i

(f√g ∆x i

)

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Queremos calcular o laplaciano ∆f (x1, x2, x3) = ∇ · ∇f (x1, x2, x3).

Logo,

∇ · ∇f =1√g

∂

∂x i

(√g (∇f )i

)onde (∇f )i é a i-ésima componente contravariante de ∇f . Como calcular?

(∇f )i = g ij ∂f

∂x j

Portanto,

∆f =1√g

∂

∂x i

(√gg ij ∂f

∂x j

)

Exercício 3

Mostre que ∆f = 1√g

∂2

∂x i∂x j

(√gg ij f

)− 1√

g∂∂x i

(f√g ∆x i

)

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Queremos calcular o laplaciano ∆f (x1, x2, x3) = ∇ · ∇f (x1, x2, x3).

Logo,

∇ · ∇f =1√g

∂

∂x i

(√g (∇f )i

)onde (∇f )i é a i-ésima componente contravariante de ∇f . Como calcular?

(∇f )i = g ij ∂f

∂x j

Portanto,

∆f =1√g

∂

∂x i

(√gg ij ∂f

∂x j

)

Exercício 3

Mostre que ∆f = 1√g

∂2

∂x i∂x j

(√gg ij f

)− 1√

g∂∂x i

(f√g ∆x i

)

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Exemplo (no quadro)O laplaciano de f (ρ, ϕ, z) em coordenadas cilindrícas é dado por:

∆f =1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂f

∂ρ

)+

1ρ2∂2f

∂ϕ2 +∂2f

∂z2

Exercício 4Mostre que o laplaciano de f (r , ϕ, θ) em coordenadas esféricas é dado por:

∆f =1r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1r2 sinϕ

∂

∂ϕ

(sinϕ

∂f

∂ϕ

)+

1r2 sin2 ϕ

∂2f

∂θ2

Laplaciano em Coordenadas Curvilíneas

Exemplo (no quadro)O laplaciano de f (ρ, ϕ, z) em coordenadas cilindrícas é dado por:

∆f =1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂f

∂ρ

)+

1ρ2∂2f

∂ϕ2 +∂2f

∂z2

Exercício 4Mostre que o laplaciano de f (r , ϕ, θ) em coordenadas esféricas é dado por:

∆f =1r2

∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1r2 sinϕ

∂

∂ϕ

(sinϕ

∂f

∂ϕ

)+

1r2 sin2 ϕ

∂2f

∂θ2

Exemplo Numérico

Problema: Calcular ∇f (x , y) com

f (x , y) =y√

x2 + y2+ exp(−0.5(x2 + y2))

no domínio físico Df = {(x , y) : 1 ≤√

x2 + y2 ≤ 3 e y ≥ 0}

Mapeamento:

x

y

F

r

θ

F :

{x = r cos θy = r sin θ

domínio computacional Dc = {(x , y) : 1 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π}

Exemplo Numérico

Problema: Calcular ∇f (x , y) com

f (x , y) =y√

x2 + y2+ exp(−0.5(x2 + y2))

no domínio físico Df = {(x , y) : 1 ≤√

x2 + y2 ≤ 3 e y ≥ 0}

Mapeamento:

x

y

F

r

θ

F :

{x = r cos θy = r sin θ

domínio computacional Dc = {(x , y) : 1 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π}

Exemplo Numérico

Problema: Calcular ∇f (x , y) com

f (x , y) =y√

x2 + y2+ exp(−0.5(x2 + y2))

no domínio físico Df = {(x , y) : 1 ≤√

x2 + y2 ≤ 3 e y ≥ 0}

Mapeamento:

x

y

F

r

θ

F :

{x = r cos θy = r sin θ

domínio computacional Dc = {(x , y) : 1 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π}

Exemplo Numérico

Gerando pontos no grid: Os pontos no grid com resolução n ×m são

definidos como:

xi ,j = x(ri , θj) , yi ,j = y(ri , θj) , com i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , n

com ri = 1 + 2(i − 1)/(m − 1) e θj = π(j − 1)/(n − 1)

Cálculo de ∇f usando a métrica:

∇f = g1∂f

∂r+ g2∂f

∂θ

∂f

∂x= cos θ

∂f

∂r− sin θ

r

∂f

∂θ

∂f

∂y= sin θ

∂f

∂r+

cos θr

∂f

∂θ

Exemplo Numérico

Gerando pontos no grid: Os pontos no grid com resolução n ×m são

definidos como:

xi ,j = x(ri , θj) , yi ,j = y(ri , θj) , com i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , n

com ri = 1 + 2(i − 1)/(m − 1) e θj = π(j − 1)/(n − 1)

Cálculo de ∇f usando a métrica:

∇f = g1∂f

∂r+ g2∂f

∂θ

∂f

∂x= cos θ

∂f

∂r− sin θ

r

∂f

∂θ

∂f

∂y= sin θ

∂f

∂r+

cos θr

∂f

∂θ

Exemplo Numérico

Gerando pontos no grid: Os pontos no grid com resolução n ×m são

definidos como:

xi ,j = x(ri , θj) , yi ,j = y(ri , θj) , com i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , n

com ri = 1 + 2(i − 1)/(m − 1) e θj = π(j − 1)/(n − 1)

Cálculo de ∇f usando a métrica:

∇f = g1∂f

∂r+ g2∂f

∂θ

∂f

∂x= cos θ

∂f

∂r− sin θ

r

∂f

∂θ

∂f

∂y= sin θ

∂f

∂r+

cos θr

∂f

∂θ

Exemplo Numérico

Gerando pontos no grid: Os pontos no grid com resolução n ×m são

definidos como:

xi ,j = x(ri , θj) , yi ,j = y(ri , θj) , com i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , n

com ri = 1 + 2(i − 1)/(m − 1) e θj = π(j − 1)/(n − 1)

Cálculo de ∇f usando a métrica:

∇f = g1∂f

∂r+ g2∂f

∂θ

∂f

∂x= cos θ

∂f

∂r− sin θ

r

∂f

∂θ

∂f

∂y= sin θ

∂f

∂r+

cos θr

∂f

∂θ

Exemplo Numérico

Discretização com diferenças finitas:

Precisamos calcular ∂f∂r e ∂f

∂θ .

Vamos denotar fi ,j = f (xi ,j , yi ,j).i,j

i+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1Diferença finita centrada(

∂f

∂r

)i ,j

≈fi+1,j − fi−1,j

2δr

(∂f

∂θ

)i ,j

≈fi ,j+1 − fi ,j−1

2δθ,

com i = 2, . . . ,m − 1 e j = 2, . . . , n − 1.

Diferença finita regressiva/progressiva (na fronteira)(∂f

∂r

)1,j≈

f2,j − f1,jδr

(∂f

∂r

)m,j

≈fm,j − fm−1,j

δr

Exemplo Numérico

Discretização com diferenças finitas:

Precisamos calcular ∂f∂r e ∂f

∂θ .

Vamos denotar fi ,j = f (xi ,j , yi ,j).i,j

i+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1

Diferença finita centrada(∂f

∂r

)i ,j

≈fi+1,j − fi−1,j

2δr

(∂f

∂θ

)i ,j

≈fi ,j+1 − fi ,j−1

2δθ,

com i = 2, . . . ,m − 1 e j = 2, . . . , n − 1.

Diferença finita regressiva/progressiva (na fronteira)(∂f

∂r

)1,j≈

f2,j − f1,jδr

(∂f

∂r

)m,j

≈fm,j − fm−1,j

δr

Exemplo Numérico

Discretização com diferenças finitas:

Precisamos calcular ∂f∂r e ∂f

∂θ .

Vamos denotar fi ,j = f (xi ,j , yi ,j).i,j

i+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1Diferença finita centrada(

∂f

∂r

)i ,j

≈fi+1,j − fi−1,j

2δr

(∂f

∂θ

)i ,j

≈fi ,j+1 − fi ,j−1

2δθ,

com i = 2, . . . ,m − 1 e j = 2, . . . , n − 1.

Diferença finita regressiva/progressiva (na fronteira)(∂f

∂r

)1,j≈

f2,j − f1,jδr

(∂f

∂r

)m,j

≈fm,j − fm−1,j

δr

Exemplo Numérico

Discretização com diferenças finitas:

Precisamos calcular ∂f∂r e ∂f

∂θ .

Vamos denotar fi ,j = f (xi ,j , yi ,j).i,j

i+1,ji-1,j

i,j+1

i,j-1Diferença finita centrada(

∂f

∂r

)i ,j

≈fi+1,j − fi−1,j

2δr

(∂f

∂θ

)i ,j

≈fi ,j+1 − fi ,j−1

2δθ,

com i = 2, . . . ,m − 1 e j = 2, . . . , n − 1.

Diferença finita regressiva/progressiva (na fronteira)(∂f

∂r

)1,j≈

f2,j − f1,jδr

(∂f

∂r

)m,j

≈fm,j − fm−1,j

δr