GeometriaPlana

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Geometria Plana

1. (Uerj 2015) Uma chapa de ao com a forma de um setor circular possui raio R e permetro 3R, conforme

ilustra a imagem.

A rea do setor equivale a: a) 2R

b) 2R

4

c) 2R

2

d) 23R

2

2. (Upe 2014) Um tringulo UPE retngulo, as medidas de seus lados so expressas, em centmetros, por nmeros naturais e formam uma progresso aritmtica de razo 5. Quanto mede a rea do tringulo UPE? a) 15 cm2 b) 25 cm2 c) 125 cm2 d) 150 cm2 e) 300 cm2 3. (Upf 2014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os

grficos das funes reais f e g, com 2f(x) x= e

g(x) x.=

Sabendo que a regio poligonal T demarca um trapzio de rea igual a 160, o nmero real c : a) 2 b) 1,5 c) 2 d) 1 e) 0,5

4. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L.

Esta face est parcialmente tampada por uma placa de metal (rea em cinza) e parcialmente destampada

(rea em branco), sendo AE AF L / 2.= = Joo e Maria arremessam bolinhas de dimetro desprezvel sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer regio dessa face proporcional rea da regio e que os arremessos so realizados de forma independente. a) Dado que uma bolinha arremessada por Joo caia

na regio do quadrado ABCD, qual a probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)?

b) Se Joo arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os lanamentos as bolinhas caiam na regio do quadrado ABCD, qual a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca?

c) Se Joo efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na regio do quadrado ABCD, qual a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca?

5. (Uece 2014) No tringulo OYZ, os lados OY e OZ tm medidas iguais. Se W um ponto do lado OZ tal que os segmentos YW, WO e YZ tm a mesma medida, ento, a medida do ngulo YZ a) 46. b) 42. c) 36. d) 30. 6. (Ifsc 2014) Durante uma queda de luz, Carla e Sabrina resolveram brincar fazendo desenhos com as sombras das mos. Para isso, pegaram duas lanternas diferentes, apontando os feixes de luz para a parede BC. Mrcio, que estava no andar superior, observou tudo. A figura a seguir mostra a viso que Mrcio tinha da situao. Dados: o ngulo entre as duas paredes CD e BC 90 e DC=BC, sendo D o ponto onde Carla est e A o ponto onde se encontra Sabrina. Tambm sabemos que BEC vale 75.


Com base nas informaes, analise as proposies abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 01) O ngulo BDC vale 45. 02) O ngulo BAC vale 80. 04) O ngulo BCE vale 60. 08) O ngulo CED vale 105. 16) O ngulo ABE vale 80. 32) O ngulo ECD vale 60. 7. (Espcex (Aman) 2014) As regras que normatizam as construes em um condomnio definem que a rea construda no deve ser inferior a 40% da rea do lote e nem superior a 60% desta. O proprietrio de um lote retangular pretende construir um imvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura.

Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contm todos os possveis valores de x. a) [6, 10] b) [8, 14] c) [10, 18] d) [16, 24] e) [12, 24] 8. (G1 - utfpr 2014) A medida de y na figura, em graus, :

a) 42.

b) 32. c) 142. d) 148. e) 24. 9. (Ufsc 2014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, esto nas margens retilneas e opostas de um rio, cuja largura constante e igual a 2,5 km, e a distncias de 2,5 km e de 5 km,

respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A at B que, por razes de economia de oramento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mnimo, ou seja, perpendicular s margens do rio. As regies em cada lado do rio e at as cidades so planas e disponveis para a obra da estrada. Uma possvel planta de tal estrada est esboada na figura abaixo em linha pontilhada:

Considere que, na figura, o segmento HD paralelo a

AC e a distncia HK ' 18km.= Calcule a que distncia, em quilmetros, dever estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o

percurso total da cidade A at a cidade B tenha comprimento mnimo. 10. (Espm 2014) Um avio voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distncia de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ngulo de elevao de 60 e, dois minutos mais tarde, esse ngulo passou a valer 30, conforme mostra a figura abaixo.

A velocidade desse avio era de: a) 180 km/h b) 240 km/h c) 120 km/h d) 150 km/h


e) 200 km/h 11. (Mackenzie 2014) Na figura abaixo, a e b so retas paralelas.

A afirmao correta a respeito do nmero que expressa, em graus, a medida do ngulo a) um nmero primo maior que 23. b) um nmero mpar. c) um mltiplo de 4. d) um divisor de 60. e) um mltiplo comum entre 5 e 7. 12. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes caractersticas:

- o ngulo E reto;

- o segmento de reta AE paralelo ao segmento BD;

- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.

O segmento AC, em unidades de comprimento, mede a) 8. b) 12. c) 13. d) 61. e) 5 10. 13. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE um retngulo e CDE um tringulo equiltero.

Sabendo que o permetro do polgono ABCDE 456 cm e CD mede 68 cm, qual a medida do lado BC? a) 118 cm b) 126 cm c) 130 cm d) 142 cm 14. (Uece 2014) Se, em um polgono convexo, o nmero de lados n um tero do nmero de diagonais, ento o valor de n a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 15. (G1 - ifsp 2014) Considerando que as medidas de dois ngulos opostos de um losango so dadas, em graus, por 3x 60+ e 135 2x, a medida do menor ngulo desse losango a) 75. b) 70. c) 65. d) 60. e) 55. 16. (G1 - cftrj 2014) Quais so, respectivamente, as medidas dos ngulos X e Y na figura abaixo, sabendo que E o ponto mdio do segmento AD e que BCDE um losango?

17. (Upe 2014) A figura a seguir mostra uma das peas do jogo Pentamins.

Cada pea formada por cinco quadradinhos, e o lado de cada quadradinho mede 5cm. Com 120 dessas peas, Jorge montou uma faixa, encaixando perfeitamente as peas como mostra a figura a seguir:


Quanto mede o permetro dessa faixa? a) 1 200 cm b) 1 500 cm c) 3 000 cm d) 3 020 cm e) 6 000 cm 18. (G1 - cftmg 2014) Nessa figura, ABCD um retngulo cujos lados medem b e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS um quadriltero em que M ponto mdio do segmento RS.

O segmento MP, expresso em funo de b,

a) b 5

.5

b) b 5

.3

c) 2b 5

.3

d) 3b 5

.5

19. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCD um paralelogramo, as retas r e s so paralelas, D e E so pontos de s, F e G so pontos de r, F um ponto de

AD, ABC 30= e CDE 120 .= Quanto mede, em

graus, o ngulo DFG?

a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 20. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferncia e as cordas AC

e BD. Nas condies apresentadas na figura, determine o valor de x.

21. (G1 - cftmg 2014) Considere a figura em que r // s // t .

O valor de x a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 22. (G1 - ifce 2014)

O valor do lado de um quadrado inscrito em um tringulo retngulo, conforme o esboo mostrado na figura, a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e) 2. 23. (Pucrs 2014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em forma de tringulo com a parte mais profunda destacada.


O valor em metros da medida x a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 4 e) 6 24. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, alm da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um basto de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no cho pelo basto e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altura do pau de sebo, em metros, a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. 25. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio

sem necessidade de cruz-lo, foram feitas vrias medies como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.

b) Demonstre que a distncia do vrtice B ao

baricentro M de um tringulo o dobro da distncia do ponto E ao baricentro M.

26. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um tringulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.

A medida do lado desse quadrado um nmero a) par. b) primo. c) divisvel por 4. d) mltiplo de 5. 27. (Upf 2014) O tringulo ABC mostrado a seguir foi dividido em trs figuras: I, II e III.

Ento, correto afirmar que: a) A rea da figura II maior do que a rea da figura I. b) A rea da figura II menor do que a rea da figura

I. c) A rea da figura I o dobro da rea da figura III. d) A rea da figura I igual rea da figura II. e) A rea da figura III 1/3 da rea da figura I. 28. (Uem 2014) Considere um tringulo ABC retngulo em A, a circunferncia que passa pelos


pontos A, B e C e considere D o ponto de BC de modo que AD uma altura do tringulo ABC. Sendo o ponto O o centro de , assinale o que for correto. 01) A mediana relativa ao lado BC mede metade do

comprimento do lado BC. 02) O comprimento do lado BC igual soma dos

comprimentos dos lados AB e AC. 04) Os tringulos ABC, DBA e DAC so semelhantes. 08) O segmento BC um dimetro da circunferncia

. 16) Se o tringulo ABC issceles, sua rea

corresponde a mais de um tero da rea do crculo delimitado por .

29. (Uece 2014) Sejam XY um segmento de reta cujo comprimento 4 m e Z um ponto da mediatriz do segmento XY cuja distncia ao segmento XY 6 m. Se P um ponto equidistante de X, Y e Z, ento a distncia, em metros, de P ao segmento XY igual a

a) 8

.3

b) 7

.3

c) 9

.4

d) 7

.4

30. (G1 - ifsp 2014) Um restaurante foi representado em sua planta por um retngulo PQRS. Um arquiteto dividiu sua rea em: cozinha (C), rea de atendimento ao pblico (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo.

Sabendo que P, H e R so colineares, que PH mede

9 m e que SH mede 12 m, a rea total do restaurante, em metros quadrados, a) 150. b) 200. c) 250. d) 300. e) 350. 31. (G1 - ifce 2014) Na figura abaixo, o valor da rea do quadrado de lado a, em funo dos segmentos b e c,

a) b2 + c2 b) b2 - c2 c) b2c2 d) c2 - b2 e) b2/c2 32. (Ita 2014) Considere o tringulo ABC retngulo

em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa

hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE

( )2 1 cm e a medida de AD 1 cm, ento AC mede, em cm, a) 4 2 5. b) 3 2.

c) 6 2 2.

d) ( )3 2 1 . e) 3 4 2 5. 33. (Cefet MG 2014) Nesta figura, ABCD um retngulo e DH um arco de circunferncia cujo centro o ponto M.

O segmento EH, em unidades de comprimento, mede

a) 1 5

.2

+

b) 2 5

.2

+

c) 1

.3


d) 1

.2

e) 5

.2

34. (Uema 2014) A figura abaixo representa uma quadra de futebol de salo com a bola localizada no ponto P, conforme descrito na figura de vrtice ABCD. No ponto C, h um jogador que receber a bola chutada a partir de onde ele est.

Determine a distncia x do jogador (ponto C) bola (ponto P) em unidade de comprimento. 35. (G1 - ifsp 2014) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos mdios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtm-se um quadriltero, cujo permetro , em centmetros, a) 30 2. b) 60 2. c) 90 2. d) 120 2. e) 150 2. 36. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praa circular, uma pessoa descreve um arco de 144. Desse modo, correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferncia da praa a) 125

b) 175

c) 125

d) 250

e) 250 37. (Ucs 2014) As medidas dos lados de um terreno

A, de 250 m , em forma de retngulo, so dadas, em

metros, por 3x 2 e x 1.+

Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relao entre as medidas dos lados,

porm com 2250 m de rea, em quanto

deve ser aumentado, em metros, o valor do parmetro x ? a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 14 38. (Ufsc 2014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macaba atropelada por um veculo cuja logomarca uma estrela inscrita em uma circunferncia, como mostra a figura.

Se os pontos A, B e C dividem a circunferncia em

arcos de mesmo comprimento e a rea do tringulo

ABC igual a 227 3 cm , determine a medida do raio

desta circunferncia em centmetros. 39. (Ufg 2014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja ir instalar uma cmera de segurana. A figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a cmera ser instalada no ponto C e as reas hachuradas representam os locais no cobertos por essa cmera.

De acordo com essas informaes, a rea a ser coberta pela cmera representa, aproximadamente, a) 90,90% da rea total da loja. b) 91,54% da rea total da loja. c) 95,45% da rea total da loja. d) 96,14% da rea total da loja. e) 97,22% da rea total da loja.


40. (Espm 2014) Na figura abaixo, ABCD um

paralelogramo de rea 224cm . M e N so pontos mdios de BC e CD, respectivamente.

A rea do polgono AMND igual a: a) 20 cm2 b) 16 cm2 c) 12 cm2 d) 15 cm2 e) 18 cm2 41. (Ufrgs 2014) A figura abaixo formada por oito semicircunferncias, cada uma com centro nos pontos mdios dos lados de um octgono regular de lado 2.

A rea da regio sombreada a) 4 8 8 2. + +

b) 4 8 4 2. + +

c) 4 4 8 2. + +

d) 4 4 4 2. + +

e) 4 2 8 2. + + 42. (Insper 2014) Um retngulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y nmeros positivos menores do que 100. Se o comprimento do retngulo aumentar Y% e a largura aumentar X%, ento a sua rea aumentar

a) XY

X Y %.100

+ +

b) X Y

XY %.100

+ +

c) X Y XY

%.100

+ +

d) (X Y)%.+

e) (XY)%. 43. (G1 - cftmg 2014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de 25m2. Sabendo-se que o metro linear da grade custa R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de a) 420,25. b) 450,00. c) 500,00. d) 506,75. 44. (Upe 2014) A figura a seguir representa um hexgono regular de lado medindo 2 cm e um crculo cujo centro coincide com o centro do hexgono, e cujo dimetro tem medida igual medida do lado do hexgono.

Considere: 3 e 3 1,7 Nessas condies, quanto mede a rea da superfcie pintada? a) 2,0 cm2 b) 3,0 cm2 c) 7,2 cm2 d) 8,0 cm2 e) 10,2 cm2 45. (Pucrj 2014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A

distncia entre A e B 7 m. Fabio quer construir uma

cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo.

a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100

reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca?

b) Calcule a rea da regio hachurada ABDE. c) Considere o tringulo BCD, apresentado na figura

abaixo. Sabendo-se que o tringulo BBD possui


cateto BB 2BC,= calcule a rea do tringulo

BBD.

46. (Uerj 2014) Considere uma placa retangular ABCD de acrlico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direes AE e

AC, de modo que DAE 45= e BAC 30,= conforme ilustrado a seguir:

Aps isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrlico seja

desprezvel e que 3 1,7,= a rea, em 2cm , do tringulo CAE equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 47. (Fgv 2014) Um tringulo ABC retngulo em A.

Sabendo que BC 5= e $ABC 30 ,= pode-se afirmar que a rea do tringulo ABC : a) 3,025 3 b) 3,125 3 c) 3,225 3 d) 3,325 3 e) 3,425 3 48. (Uema 2014) Analise a situao a seguir: Um arquiteto foi contratado para decorar a entrada de um templo religioso, no formato de um tringulo equiltero, com uma porta de madeira, cujas dimenses medem 1,05m por 2,5m, inserida neste

tringulo. Sabe-se ainda que a altura do tringulo mede 4,25m e que a rea da porta no receber

decorao. A rea, em metros quadrados, a ser decorada igual a

(use 3 1,7).= a) 10,0. b) 9,5. c) 8,5. d) 8,0. e) 7,0. 49. (G1 - ifsp 2014) Uma praa retangular contornada por uma calada de 2 m de largura e possui uma parte interna retangular de dimenses 15 m por 20 m, conforme a figura.

Nessas condies, a rea total da calada , em metros quadrados, igual a a) 148. b) 152. c) 156. d) 160. e) 164. 50. (G1 - cftmg 2014) A figura 1 uma representao plana da Rosa dos Ventos, composta pela justaposio de quatro quadrilteros equivalentes mostrados na figura 2.

Com base nesses dados, a rea da parte sombreada da figura 1, em cm2, igual a a) 12. b) 18. c) 22. d) 24.


Resoluo das Questes Resposta da questo 1: [C] A rea do setor dada por

2R AB R R R.

2 2 2

= =

Resposta da questo 2: [D] Sejam , 5+l l e 10+l as medidas dos lados do

tringulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitgoras, vem

2 2 2 2 2 2

2

( 10) ( 5) 20 100 10 25

10 75 0

15cm.

+ = + + + + = + + +

=

=

l l l l l l l l

l l

l

Em consequncia, o resultado pedido

215 20 150cm .2

=

Resposta da questo 3:

[C]

Temos 2f(c) c= e 2f(3c) 9c ,= com c 0.> Logo,

sendo g a funo identidade, vem 2 2c g(c )= e 2 29c g(9c ).=

Portanto, se a rea do trapzio T vale 160, ento

2 2 2 2 41 (9c c ) (9c c ) 160 40c 1602

c 2.

+ = =

=


a) A probabilidade pedida dada por

2

1 L L12 2 2 .4L

=

b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada igual a

21 9

1 .4 16

=

Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca

9 71 .

16 16 =

c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido dado por

4 26 1 3 6! 1 9

4 4 4 4! 2! 256 16

915

40963,30%.

=

=


[C]

No YWO : x 2 q = (ngulo externo)

No OYZ : q 2 x 180 5 q 180 q 36 + = = =

Logo, YZ : 36 .

Resposta da questo 6: 01 + 04 + 08 = 13. O tringulo DCB issceles, logo os ngulos que conseguimos calcular so:

CBD BDC 45

DEC 180 75 105

ECB 180 45 75 60

ECD 90 60 30

= =

= =

= =

= =

Portanto, as proposies [01], [04] e [08] so verdadeiras e [02], [16] e [32] so falsas. Resposta da questo 7:

[E] rea do lote: 20.(12 + 18) = 600m2

rea construda: 120x102

20).12x(+=

+

De acordo com o enunciado, temos:


24x12240x10120360120x10240600100

60120x10600

100

40++

Portanto, x [12,24]. Resposta da questo 8:

[B] 6x 4 2x 100

4x 96

x 24

+ = +

=

=

Logo, ( )y 180 2 24 100 32 .= + = Obs: O formato da figura apresentada no condiz com os clculos obtidos acima. Resposta da questo 9: Considere a figura.

O trajeto ACDB tem comprimento mnimo quando B, D e H so colineares. Com efeito, se D' um

ponto da reta DKsuur

e C' o p da perpendicular

baixada de D' sobre a reta HK ',suuur

ento, pela Desigualdade Triangular,

BD' D'H BD' AC' BD DH BH.+ = + > + = Portanto, como os tringulos BDK e DHC so semelhantes por AA, segue-se que

DK BK DK 5

2,5CH CD 18 DK

DK 12km.

= =

=

Resposta da questo 10: [B] Seja P' o p da perpendicular baixada de P sobre a

reta AA '.suuur

fcil ver que P'AP 60 .= Da, como P'AP ngulo externo do tringulo AA 'P segue-se que

AA 'P 30 ,= o que implica em AA ' AP 8km.= =

Portanto, a velocidade do avio no trecho AA ' era de

8

240km h.2

60

=


[D] Os ngulos (60 4 ) (60 3 ) + = + e 2 90 + so

alternos internos. Portanto, 60 3 2 90 30 , + = + = que um divisor de 60. Resposta da questo 12:

[E] Desde que os tringulos ACE e BCD so semelhantes por AA, vem

CD BD CD 4

5CE AE CD 3

CD 12.

= =+

=

Portanto, aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo ACE, encontramos

2 2 2 2 2 2AC AE CE AC 5 15

AC 5 10.

= + = +

=


[B]

AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo, 2x + 68 + 68 + 68 = 252 2x = 252 x = 126, ou seja, BC = 126 cm. Resposta da questo 14: [A] Admitindo que n seja o nmero de lados de um polgono e de o nmero de diagonais, temos:


2 21 n (n 3)n d d 3 n 3n n 3 n 6n n 9 n 03 2

n 0 (no convm) ou

n 9.

= = = = =

=

=

Logo, o valor de n 9. Resposta da questo 15:

[A]

3x 60 135 2x

5x 75

x 15

3 15 60 180 75 .

+ =

=

=

+ + = =


y = 180 112 = 68

Logo, $BED 68 .=

AE EB,= portanto, EBC x.= No tringulo AEB : 2x = 68 Portanto, x = 34. Resposta da questo 17: [D] Cada duas peas formam um retngulo de dimenses 10cm 25cm. Portanto, o permetro da faixa dado

por 120

2 25 2 10 3020cm.2

+ =


[A]

Como M ponto mdio de SR, AMS 90= e AR AD,= segue-se que

ARDS losango. Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo ADC,

encontramos AC b 5.= Logo, b 5

AR DS .2

= =

Portanto, como o produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura, do tringulo MSD, vem

b 5 bDS MP MS DM MP b

2 2

b 5MP .

5

= =

=

Resposta da questo 19: [D]

ADC 30 (ngulos opostos do paralelogramo)

GFD 30 120 150 (alternos internos)

=

= + =


Utilizando a relao entre as cordas, temos:

2 2

2

2x (x 3) x (3x 1)

2x 6x 3x x

x 7x 0

+ =

+ =

+ =

Resolvendo a equao temos: x = 0 (no convm) ou

x 7 .= Resposta da questo 21:

[B] Aplicando o teorema de Tales na figura, temos:

2 2 2x x 6 2x 7x x 8x 12 x x 12 0 x 4x 2 2x 7

+= + = + + = =

+ +

ou x 3= (no convm) Portanto, x = 4. Resposta da questo 22:

[D]


Considere a figura.

fcil ver que os tringulos BFE e DGC so semelhantes por AA. Portanto, se l a medida do lado do quadrado, temos

28 16 4.2= = =

ll l

l


[C]

O tringulo ADE issceles, logo AD = 8m. O tringulo ABC semelhante ao tringulo ADE, portanto: 2 x

8x 24 x 3m8 12= = =


[A] Sabendo que a altura proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo dada por

h 1h 5 m.

125 25= =


a) Supondo que $CAB BED 90 , = fcil ver que os tringulos ABC e EBD so semelhantes por AA. Desse modo, temos

AC AB x 24

2 2,5ED BEx 19,2 m.

= =

=

b) Queremos mostrar que BM 2 ME.=

De fato, sabendo que D e E so pontos mdios de AB e AC, respectivamente, tem-se que DE base mdia do tringulo ABC e, portanto,

1DE BC

2= e DE BC. Em consequncia, os

tringulos DEM e BCM so semelhantes por AA. Da,

BM BC BM BC1ME DE ME BC2

BM 2 ME.

= =

=


[D] Seja l a medida do lado do quadrado DEFG. Os tringulos ABC e AEF so semelhantes por AA. Portanto,

24120 5 3

40 2415cm,

= =

=

l ll l

l

que um mltiplo de 5. Resposta da questo 27:

[D]

y2zx

x2

y

z~ IIII ==

Calculando a rea de cada figura, temos:

2

yxA

yx2A

xy22

x2zA

III

II

I

=

=

=

=

Portanto, a rea da figura I igual rea da figura II. Resposta da questo 28:

01 + 04 + 08 = 13.


[01] Verdadeira, pois AO = BC/2 (raio e dimetro). [02] Falsa, pois BC2 = AB2 + AC2. [04] Verdadeira. Observe que os ngulos so, respectivamente, congruentes.

[08] Verdadeira. BC 90 ,= portanto, o arco

(BPC) 180 ,= )

logo BC dimetro.

[16] Falsa. rea mxima para o tringulo

22 R RABC : R2

= e

22 RR .

3

<


[A]

Considerando x a distncia do ponto P at o segmento XY, temos: PZ = PX = 6 x Aplicando, agora, o Teorema de Pitgoras no tringulo PMX: x2 + 22 = (6 x)2 x2 + 4 = 36 12x + x2

12x = 32 x = 8/3 Resposta da questo 30:

[D]

2 2 2No PHS: PS 9 12 PS 15m.

9 12PHS PSR SR 20m.

15 SR

= + =

= =

Portanto, a rea do terreno ser:

2A 20 15 300m= =


[A] A rea A de um quadrado de lado a dada por A = a2. Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo DFH, temos a2 = b2 + c2. Portanto, A = a2 + b2. Resposta da questo 32:

[C]

No tringulo ABC, temos:

( )2AD BD CD 1

AB 2 2 1=

= =

=

e


2 2 2

AC 4 2 ( 2 1)

AC 6 2

AC AB 2

2

=

=

=

+

Resposta da questo 33: [A] Desde que AB EM e E o ponto mdio de AD, segue-se que EM base mdia do tringulo ABD.

Assim, temos AB 1

EM .2 2

= =

Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo DEM, vem

22 2 2 2 21DM EM DE DM 1

2

5DM .

2

= + = +

=

Por conseguinte, dado que DH um arco de circunferncia com centro em M, encontramos

1 5EH HM EM .

2

+= =

Resposta da questo 34: Vamos supor que a locuo: figura de vrtice ABCD" signifique figura de vrtices A, B, C e D.

Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitgoras nos tringulos APH, BPE, DPG e CPE, obtemos

2 2 2 2 2 2m r 25, n r 4, n s 16+ = + = + = e 2 2 2m s x .+ =

Somando, vem

2 2 2 2 2 2 22(m s ) 2(n r ) 45 x 2x 8 45 x

x 37 u.c.

+ + + = + + = +

=


[D]

2 2

2

x 30 30

x 1800

x 30 2

= +

=

=

Logo, o permetro P ser dado por:

P 4 30 2

P 120 2 cm.

=

=


[C] Admitindo R a medida do raio, temos:

4 100 125144 rad R .

5 R

= = =


[B]

Sendo 250 m a rea do terreno retangular de

dimenses 3x 2 e x 1,+ segue que

2(3x 2)(x 1) 50 3x x 52 0

x 4 m.

+ = + =

=

Se 0x x= o valor de x tal que

0 0(3x 2)(x 1) 250, + = temos

2

0 0 03x x 252 0 x 9.+ = =

Portanto, o parmetro x deve ser aumentado em 9 4 5 = metros. Resposta da questo 38:

Como os arcos determinados por A, B e C tm

mesmo comprimento, segue-se que o tringulo ABC equiltero. Alm disso, sabendo que a rea de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia de

raio r dada por 23 3

r ,4

temos


23 3 r 27 3 r 6cm.4

= =


[C]

2ABD

AB 1,5 0,682 1,5ABD ~ DEC : AB 0,682 e A 0,51 m

2,5 5,5 2

= = = =

2

FGHFG 1 0,667 1

FGH ~ HIC : FG 0,667 e A 0,33 m2 3 2

= = = =

rea da loja: 2 2A 4 7 1,5 2 1 23,75 m= =

rea no coberta pela cmera em porcentagem:

%46,9675,23

33,051,075,23=

Observao: O resultado apresentado no confere com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial considerou que os ngulos BDA e FHG so congruentes. Resposta da questo 40:

[D] Sendo ABCD um paralelogramo, imediato que

AD BC= e AB CD.=

Como a rea de ABCD vale 224cm , tem-se

1(ABCD) 2 AD CD senADC AD CD senADC 24.2

= =

Alm disso, sabemos que $ADC ABC e BCD 180 ADC.= Por conseguinte, o resultado

pedido dado por

$

2

(AMND) (ABCD) (ABM) (MCN)

1 124 AB BM senABC CM CN senBCD

2 2

1 AD 1 AD CD24 CD senADC sen(180 ADC)

2 2 2 2 21 1

24 AD CD senADC AD CD senADC4 8

24 6 3

15cm .

=

=

=

=

=

=


[A]

Clculo da rea do octgono regular:

2 2 2x x 2 x 2+ = = Portanto, a rea 1A do octgono regular ser dada

por:

( )

( )

22

1

22

1

xA 2 2x 4

2

2A 2 2 2 4 8 2 8

2

= +

= + = +

Clculo da rea 2A dos oito semicrculos:

2

21

A 8 42

= =

Logo, a rea da figura ser dada por:

1 2A A A A 8 2 8 4= + = + + (Alternativa [A]). Resposta da questo 42:

[A] A rea do retngulo, aps os acrscimos no comprimento e na largura, dada por


Y XX 1 Y 1 .

100 100

+ +

Logo, o resultado pedido

Y XX 1 Y 1 X Y

X Y XY100 100100% 1 1 100%

X Y 100 100 10000

XYX Y %.

100

+ + = + + +

= + +


[C] Lado do quadrado: 5m Permetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m Valor pedido: 20 (23,25 1,75) 20 25 R$500,00 + = = Resposta da questo 44:

[C] O resultado pedido dado por

22 23 2 3 1 6 1,7 3 7,2cm .

2

=


a) Vamos supor que ACDE seja um retngulo.

Temos BC AC AB 15 7 8 m.= = = Da, sendo

AE CD 6 m,= = aplicamos o Teorema de Pitgoras

no tringulo BCD para encontrar BD 10 m.=

Por conseguinte, o custo total da cerca igual a 7 100 10 200 R$ 2.700,00. + =

b) Se ACDE um retngulo, ento

2

AB DE(ABDE) AE

27 15

62

66 m .

+=

+=

=

c) Como BB' 2 BC 16 m= = e B'D' CD 6 m,= =

segue que o resultado pedido

2

1(BB'D) BB' B'D'

21

16 62

48 m .

=

=

=


[C] Do tringulo ABC, obtemos

BC 1senBAC BC 40 20cm2AC

= = =

e

AB 3cosBAC AB 40 34cm.2AC

= =

Alm disso, como DAE 45 ,= segue que

AD DE BC 20cm.= = = Portanto, a rea do tringulo ACE dada por

2

(ACE) (ADC) (ADE)

34 20 20 20

2 2

140cm .

=

=

=


[B] Tem-se que

$ AB 5 3cos ABC AB u.c.2BC

= =

Portanto, pode-se afirmar que a rea do tringulo ABC

$1(ABC) AB BC senABC2

1 5 3 15

2 2 2

3,125 3 u.a.

=

=

=


[D] Sabendo que a rea S de um tringulo equiltero de altura h dada por

2h 3S ,

3=

tem-se que o resultado pedido igual a


2

2

(4,25) 1,71,05 2,5 10,24 2,63

3

7,61m .


[C] Dimenses da praa: 15 + 2 + 2 = 19m 20 + 2 + 2 = 24m

Portanto, sua rea total ser 219 24 456 m . =

rea da parte interna ser 215 20 300 m . =

Logo, a rea da calada ser 2456 300 156 m . = Resposta da questo 50:

[D] A rea pedida dada por

21 2 2 1 2 114 4 6 24cm .2 2 2 2

+ = =

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