Geometria Plana e Espacial - Aula 01 - 514

Iran Abreu Mendes

José Querginaldo Bezerra

Autores

aula

01

Geometria Plana e EspacialD I S C I P L I N A2ª Edição

As medidas da Terra e outras medidas

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

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Mendes, Iran Abreu.Geometria espacial: interdisciplinar / Iran Abreu Mendes, José Querginaldo Bezerra. – Natal, RN:

EDUFRN Editora da UFRN, 2005.324 p.

1. Geometria euclidiana. 2. Teoremas clássicos. 3. Triângulos. I. Bezerra, José Querginaldo. II. Título.

ISBN 85-7273-288-8 CDD 516.2RN/UF/BCZM 2005/48 CDU 514.12

Divisão de Serviços TécnicosCatalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

2ª Edição Aula 01 Geometria Plana e Espacial

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UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

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Compreender o processo de organização da geometria enquanto conhecimento construído historicamente em diversos contextos socioculturais;

Identificar conexões entre as práticas de medição e a axiomatização da geometria ao longo da história, bem como interpretar esses aspectos no contexto atual da comunidade na qual está inserido.

Apresentaçãoesta aula, pretendemos situá-lo quanto aos aspectos históricos que cercam o desenvolvimento da geometria enquanto conhecimento matemático abordado na escola básica. Para isso, consideramos as origens das práticas de medição

(geometrias práticas dos egípcios e babilônios) e sua axiomatização com os gregos e, mais especificamente, com Euclides (cerca de 300 a.C.) em sua obra principal intitulada Os Elementos. A referida obra é uma sistematização de grande parte do conhecimento matemático da época e é uma das primeiras obras matemáticas a serem escritas usando o método axiomático. Apesar dos vários defeitos lógicos da época, trata-se de um modelo exemplar de exposição matemática através dos séculos.

Para que possamos alcançar nossos objetivos, façamos uma pequena incursão histórica ao mundo da geometria de modo a ver, nesse mundo, os aspectos ligados à base estrutural desse saber e suas relações com o conhecimento disseminado pela sociedade e pela cultura escolar hoje. Vejamos, portanto, um pouco de história das medições da Terra e outras medidas.

N

Nesta aula, esperamos que você possa:

Axiomatização

A axiomatização é considerada um processo pelo qual passam os saberes praticados de maneira informal, quando levados a um nível de sistematização formal, considerando um conjunto de princípios previamente estabelecidos. Nesse sentido, um axioma é uma proposição indemonstrável porque é evidente e admitida como ponto de partida de um raciocínio, em particular na Matemática. Objetivos

1

2


2

Sobre as origens da geometria

ara conhecermos um pouco da geometria desenvolvida e praticada pela humanidade ao longo dos tempos, é necessário

buscarmos na sua história algumas relações entre a geometria e outras áreas da Matemática, principalmente com a aritmética e a álgebra elementar. Para isso, vale considerarmos algumas das suas origens que, conforme dados históricos, situam-se nas práticas desenvolvidas pelos povos do Egito Antigo e da Mesopotâmia (região entre os rios Tigre e Eufrates, habitadas pelos babilônios – atualmente onde está situado o Iraque), passando pelo seu desenvolvimento e sistematização através dos filósofos gregos do período helenístico (fase em que a civilização grega alcançou seu apogeu intelectual antes do domínio romano). É desse período que surge o trabalho de um dos matemáticos mais destacados da história da humanidade – Euclides de Alexandria, um dos mais famosos discípulos da escola platônica.

Foi com o trabalho desenvolvido por Euclides que as práticas de medição e cálculo geométrico passaram a ser sistematizados e simbolizados através de um processo lógico-dedutivo, que visava formalizar as práticas geométricas das tradições milenares através de um sistema hipotético-dedutivo. O trabalho de Euclides, portanto, foi de fundamental importância para o desenvolvimento da geometria dedutiva, por se configurar em um tratado teórico sobre as práticas geométricas efetivadas social e historicamente.

A realização de estudos posteriores sobre a geometria euclidiana apontou novos caminhos para a exploração e representação do espaço geométrico, possibilitando, assim, o desenvolvimento das chamadas geometrias não-euclidianas no século XIX, o que influenciou a criação das novas áreas de estudos na Matemática do século XX.

A geometria tem origem provável na agrimensura, medição de terrenos, no Egito Antigo, segundo o historiador grego Heródoto (Séc. V a.C.). É certo, porém, que muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica. Nesse sentido, podemos citar as práticas geométricas da civilização babilônica, egípcia, chinesa, hindu e árabe, entre outras, significando, assim, que, desde o extremo Oriente ao Oriente Médio, essas práticas se faziam necessárias e constavam nas atitudes e hábitos culturais e religiosos da nossa antiguidade remota. O termo “geometria” deriva do grego geometrein, que significa medição da terra (geo = terra, metrein = medir).

PEscola platônica

Escola filosófica criada por Platão, baseada nas

idéias sofistas de Sócrates e no pitagorismo. Seu

principal objetivo consistia em treinar as mentes dos

homens a pensarem por si à luz da razão.

Geometrias não-euclidianas

Geometrias construídas a partir do estabelecimento

de refutações a alguns postulados da geometria

euclidiana. Como exemplo, temos a geometria criada

pelos matemáticos Lobatchevski (1792

– 1856), Riemann (1826 – 1866), dentre

outros matemáticos da era moderna e contemporânea.

A civilização babilônica

A civilização babilônica engloba um conjunto de

povos que viveram na Mesopotâmia em um

período que vai desde 5000 a.C. até, aproximadamente

o inicio da era cristã. Um após o outro, esses

povos – sumérios, acádios, caldeus,

assírios, babilônicos e outros, contribuíram

para estabelecer as características da

civilização babilônica.

Figura 1 – Euclides de Alexandria

Aula 01 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição 2ª Edição Aula 01 Geometria Plana e Espacial

�

Em tempos passados, a geometria era uma ciência empírica, um conjunto de regras práticas para obter resultados aproximados. O estudo dos textos que têm relação com a geometria revela que a geometria babilônica está intimamente ligada às medições práticas. Tratam, sobretudo, da medição de figuras planas, com pequenas exceções para problemas referentes aos sólidos geométricos. Tais informações foram extraídas das placas de argila (tablitas), encontradas por vários arqueólogos que, até hoje, fazem investigações naquela região.

Os babilônios determinavam o comprimento de uma circunferência, geralmente multiplicando seu diâmetro por 3. Essa operação aritmética equivale a dizer que os babilônicos, entre 2000 e 1600 a.C., consideravam o valor de igual a 3, valor este que também se encontra mencionado em escritos chineses antigos e é utilizado por arquitetos romanos, apesar de alguns povos como os judeus e os egípcios conhecerem aproximações melhores, como 22/7 e (16/9)

2. Recentemente, arqueólogos franceses encontraram uma tablita na qual, mediante alguns cálculos, se chega a um valor de igual a 31/8.

De acordo com os pesquisadores sobre a história da Matemática, os babilônicos eram bem mais avançados que os egípcios em aritmética e álgebra e conheciam bem, principalmente na prática, o famoso Teorema de Pitágoras, cuja primeira demonstração é atribuída aos pitagóricos, muitos séculos mais tarde. Nesse sentido, Otto Neugebauer (1969, p. 35-40) menciona o estudo e a descoberta pelos babilônios, da diagonal de um quadrado, dada a medida do lado, como prova suficiente de que o teorema pitagórico era conhecido mais de mil anos antes de Pitágoras.

Pitagóricos

Os pitagóricos eram assim chamados por serem membros da escola pitagórica, fundada por Pitágoras, cujos princípios filosóficos básicos se apoiava no orfismo, adicionando a ela uma forte mística dos números. Essa escola deu origem a uma tradição científica e mais especificamente matemática. Os pitagóricos formavam uma ordem religiosa que acreditava na doutrina da metem-psicose ou transmigração das almas e consideravam que os números constituíam o caminho para explicar o universo. O pitagorismo baseava-se no princípio de que os números explicavam todos os fatos naturais, sociais, políticos e místicos da vida humana.

Atividade 1

Consulte em livros de História Geral, os capítulos referentes à antiguidade (Mesopotâmia, Índia, Egito, etc...) e analise as práticas de construção e medição de cada fase histórica, apontando os conhecimentos geométricos existentes na época e os seus modos de utilização. Caracterize cada uma das geometrias existentes nos períodos analisados.

1

Figura 2 - Tablitas da Mesopotâmia


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Quanto à geometria desenvolvida pela civilização egípcia, os historiadores têm mostrado que a maioria dos problemas de geometria encontrados nos papiros referem-se a fórmulas de medição necessárias para avaliar a área de figuras planas e dos volumes de alguns sólidos. A área de um triângulo isósceles era obtida multiplicando-se a metade da base pela altura.

Além disso, os egípcios efetivavam transformações geométricas que caracterizavam relações de semelhança de retângulos com a ajuda de triângulos isósceles e de trapézios isósceles. Calculavam, também, o volume de cilindros e prismas tal como os babilônios. Todavia, desconheciam o Teorema de Pitágoras em sua formulação geral.

Algumas vezes, os geômetras egípcios determinavam a medida correta de algumas das suas experimentações, como por exemplo, o cálculo do volume do tronco de uma pirâmide de base quadrada. Outras vezes, erravam grosseiramente, como na área de um quadrilátero convexo arbitrário, calculada como se fora um retângulo (produto das semi-somas das medidas dos lados opostos), que corresponde à relação: A = 1/4(a+c)(b+d). Vejamos as figuras abaixo.

a) Na Figura 3, determinamos a área do retângulo a partir da relação dada acima, do seguinte modo:

A = 1/4(a+c)(b+d); como a = c e b = d, teremos então:

A = 1/4(a+a)(b+b); ou seja A = 1/4(2a)(2b). Daí tem-se que A = 1/4(4ab).

Logo: A = ab, a relação que determina a área do retângulo.

b) Na figura 4, podemos perceber, claramente, que b < d (medidas diferentes). Você poderá verificar que a relação A = 1/4(a+c)(b+d), para essa figura, dará outro resultado. Logo,

aa

bb

cc

dd

Figura 3 Figura 4

Localize no Antigo Testamento, livro I dos Reis, capítulo VII, versículo 23 e no livro 2 das crônicas, capítulo IV, versículo 2, o que é abordado sobre um circulo de 10 unidades de diâmetro e 30 unidades de comprimento (perímetro). Como as informações do Antigo Testamento se relacionam com a determinação do número (pi)? Represente numericamente essas relações.

2


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concluímos que houve um erro na utilização da mesma relação para os dois casos. Tente determinar esse erro calculando a área da Figura 4.

Erros dessa natureza são comumente cometidos quando se trabalha experimentalmente ou empiricamente com processos geométricos que envolvem medição ou determinação de área de regiões planas, como no caso das medições de terra pelos agricultores, da determinação de áreas praticadas por operários da construção civil, do processo de elaboração geométrica das rendeiras e outros profissionais que praticam o exercício da medição sem o estabelecimento de uma relação matemática formalizada.

Em todos esses casos, há sempre um risco de ocorrerem erros, mesmo que em margens às vezes desprezíveis para a grandeza que está sendo medida. Eis aqui um bom desafio para que você se aventure nos caminhos da construção do pensamento geométrico.

Atividade 2

Possivelmente, em sua comunidade, também existam mestres(as) geômetras como no antigo Egito e na Babilônia, cujos processos de medição e construção geométrica, muitas vezes, apresentavam determinadas margens de erros, mas que continham, na sua essência, fundamentos geométricos muito evidentes, embora difíceis de serem comprovados formalmente.

1Identifique, em sua cidade, objetos ou construções (torre de celular, torre de igreja, barragens, açudes etc...) que podem ser medidos e explorados geometricamente ao longo dos nossos estudos. Comece por levantar informações sobre as medidas desses objetos ou construções e organize os dados levantados em uma tabela ou quadro de medidas a serem usados posteriormente em outras atividades.

Investigue a existência de possíveis processos de medição de terra, determinação de volumes, entre outros saberes geométricos, praticados por trabalhadores ou mestres artesãos, pedreiros, bordadeiras, rendeiras ou outros profissionais existentes em sua cidade. Organize um relatório sobre cada uma dessas práticas para que possamos investigar os processos praticados por esses profissionais.

Caracterize o modo de fazer geometria, desses profissionais e analise possíveis semelhanças e/ou diferenças entre esses geômetras da sua comunidade e aqueles existentes na Antiguidade.

2

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�

Com base nas informações históricas existentes, é possível admitirmos que foi através dos geômetras gregos, começando com Tales de Mileto (cerca de 624 - 547 a.C.), que a geometria se estabeleceu como uma teoria dedutiva. A teoria dedutiva a que nos referimos, compõe-se de três aspectos básicos iniciais: a intuição, a descoberta empírica e a experimentação. A teoria se completa com a dedução, praticada através da utilização de hipóteses conhecidas e do raciocínio dedutivo, elemento essencial para se chegar à verdade matemática imaginada ou desejada.

A intuição refere-se ao aspecto imaginativo da Matemática, a capacidade ou habilidade de pensar, imaginar e supor resultados a partir dessa imaginação. A descoberta empírica, por sua vez, refere-se às conclusões obtidas a partir das práticas realizadas aleatoriamente, sem a preocupação prévia com o que aconteceria. A experimentação corresponde ao processo de obtenção de resultados através das práticas continuadas, realizadas inúmeras vezes, com resultados sempre se repetindo, embora, com certa margem de erro, mas que são sempre resultados previamente esperados.

Todos esses aspectos citados têm a sua importância no desenvolvimento do conhecimento geométrico (e matemático em geral), mas é o raciocínio dedutivo, a demonstração ou dedução a partir de hipóteses conhecidas ou admitidas, que estabelece a veracidade das proposições geométricas. O trabalho de sistematização em geometria iniciado por Tales foi continuado nos séculos posteriores, pelos pitagóricos e, depois, por outros matemáticos como Euclides, Descartes e outros.

Pitágoras, nascido em Samos (cerca de 572−497 a.C.), após longas viagens pelo Oriente, Babilônia e Egito, estabeleceu-se em Crotona, cidade grega no sul da Itália, por volta de 530 a.C., onde fundou um culto religioso e filosófico que cultivava a purificação do espírito através da música e da matemática. São mais conhecidas as descobertas e atribuições da escola pitagórica relacionadas com os números, nomeadamente, com a descoberta dos incomensuráveis (a diagonal de um quadrado é incomensurável com o lado, o que quer dizer que a razão entre o comprimento da diagonal e o comprimento do lado não se exprime como uma fração de inteiros positivos).

Raciocínio dedutivo

Raciocínio baseado em princípios lógicos, segundo os quais toda

proposição (pensamento elaborado) está baseada

em três etapas: hipótese, dedução e tese.

O exemplo acima evidencia que a incomensurabilidade nunca poderia ser descoberta a partir de observações ou medições experimentais, as quais estão sempre sujeitas a um erro. Situações como essa, que envolvem a diagonal de um quadrado, desencadearam uma nova forma de sustentar as verdades matemáticas. Tratava-se do uso do raciocínio dedutivo e, não mais, da verificação experimental. Isso não quer dizer, obviamente, que as noções e teorias matemáticas não sejam motivadas por situações práticas ou tenham aplicações nessas

d2 = 2

Não existem inteiros positivos

m, n tais que d = m/n

Figura 5

d

1

1


�

situações, mas, apenas, que esses aspectos são, de certo modo, estranhos aos requisitos e critérios matemáticos intrínsecos.

Essa concepção é exemplarmente desenvolvida por Euclides (cerca de 323−285 a.C.), no seu tratado Os Elementos, em treze volumes ou livros, publicado por volta de 300 a.C.. Euclides baseia-se nos seus predecessores gregos que desenvolveram estudos sobre geometria baseados nas práticas existentes e na imaginação matemática, bem como na necessidade de explicação dos processos naturais, aos quais a vida social e astronômica estava ligada. Dentre esses gregos, podemos citar os pitagóricos, nos livros I – IV, VII e IX, Arquitas no livro VIII, Eudóxio nos livros V, VI e XII e Taeteto nos livros X e XIII. Mas Euclides não se limitou a expor as teorias desses mestres. No que diz respeito à geometria, Euclides organizou as matérias de um modo sistemático a partir de primeiros princípios e definições, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva. Inaugurou, assim, de maneira brilhante, o que dominou o mundo matemático durante mais de vinte séculos, o chamado método axiomático.

Atividade 3

1Qual o valor numérico da diagonal do quadrado, apresentado na Figura 5 desta aula?

Por que esse valor era considerado estranho para os padrões numéricos da época?2

sua

resp

osta

1.

Preparando-separa a atividade...


�

A geometria de Euclides

Como a maioria dos treze livros que compõem Os Elementos, o Livro I começa com uma lista de definições (23, ao todo) sem qualquer comentário. Na realidade, as primeiras definições da lista são simplesmente explicações ou descrições para

benefício do leitor, as quais não chegam a ser utilizadas posteriormente. Euclides utiliza o termo linha no sentido englobante de linha curva (de comprimento finito), e linha reta para o que denominamos segmento. Algumas outras diferenças podem ser assinaladas como: o que Euclides considera triângulo, denominamos, atualmente, região triangular; quando ele define círculo, refere-se à circunferência (linha que limita um círculo), sem ter dado a sua definição etc.

Chamamos a atenção, também, para o fato de a geometria proposta por Euclides n’Os Elementos, ser uma geometria sintética, ou seja, sem números. Isso significa que toda a sua formulação teórica está baseada em um processo de construção sistemática do pensamento geométrico através de um princípio lógico-dedutivo, já explicitado nas etapas anteriores desta aula. Vejamos, a seguir, algumas definições, apresentadas por Euclides em seus Elementos, extraídas do livro O primeiro livro dos Elementos de Euclides, tradução brasileira de Irineu Bicudo e publicado em 2001 (ver referências e sugestões de leituras complementares):

n um ponto é aquilo de que nada é parte;

n uma linha é um comprimento sem largura;

n as extremidades de uma linha são pontos;

2.

sua

resp

osta


�

n uma linha reta é a que jaz, por igual, com seus pontos sobre si mesma;

n um ângulo plano é a inclinação de uma linha em relação a outra, de duas linhas no plano, tocando uma a outra e não jazentes sobre uma reta;

n e caso as linhas contendo o ângulo sejam retas, o ângulo é chamado retilíneo (reto);

n caso uma reta, tendo sido alteada sobre uma reta, façam os ângulos adjacentes iguais, um ao outro, cada um dos ângulos iguais é reto, e a reta que foi alteada é chamada perpendicular àquela sobre quese alteou;

n um ângulo obtuso é o maior do que um reto;

n um ângulo agudo é o menor do que um reto;

n um círculo é uma figura plana contida por uma linha (que é chamada circunferência) em relação a que todas as retas que caem sobre ela (a circunferência do circulo) a partir de um ponto, dos jazentes no interior da figura, são iguais entre si;

n e o ponto é chamado o centro do círculo;

n um diâmetro do círculo é qualquer reta traçada através do centro e sendo limitada, em cada uma das direções, pela circunferência do círculo, a qual (reta) também bissecciona o círculo;

n paralelas são retas quaisquer que, estando no mesmo plano, e, sendo prolongadas ilimitadamente em cada uma das direções, em nenhuma das duas se encontram.

É possível você perceber que os enunciados apresentados n’Os Elementos (mencionados anteriormente) constituem-se em saberes estabelecidos a partir da intuição, da descoberta empírica e das experiências geométricas realizadas pelos povos da Antiguidade. Esses enunciados foram disseminados historicamente, como verdades matemáticas indemonstráveis.

Algumas definições foram omitidas, pois tratam da definição de superfície, de semicírculo e de diversas figuras retilíneas, como triângulos e quadriláteros de diferentes formas, que serão abordadas posteriormente. Euclides reconheceu a necessidade de proposições primitivas (isto é, não demonstradas ou as suas verdades matemáticas iniciais), mas não de conceitos primitivos, ou seja, não definidos, por isso deu as definições que precedem. Todavia, como é aparente, as primeiras sete, pelo menos, não seriam consideradas definições no sentido moderno e, curiosamente, não são utilizadas por Euclides em nenhuma ocasião.

No Livro I, após as definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. Postular significa “pedir para aceitar”. Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar estas cinco proposições. Vejamos, então, como foram enunciadas cada uma delas.

P1. Fique postulado traçar uma linha reta a partir de todo ponto até todo ponto.

P2. Também prolongar uma reta limitada continuamente sobre uma reta.


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P3. Também descrever um círculo com todo centro e raio.

P4. Também serem todos os ângulos retos iguais entre si.

P5. Também, caso uma reta, encontrando duas retas, faça ângulos interiores e sobre os mesmos lados, menores do que dois retos, sendo prolongados ilimitadamente as duas retas, encontrarem-se sobre o lado em que estão os menores do que dois retos.

Os três primeiros são, na realidade, construções com régua e compasso. A régua é o “instrumento” que efetua a primeira construção, e o compasso é o “instrumento” que efetua a construção referida no terceiro postulado. Visto de outra maneira, podemos dizer que os postulados 1 e 3 fornecem-nos os instrumentos básicos de toda a geometria de Euclides — a régua (não graduada) e o compasso.

O fato de Euclides restringir apenas o uso dos dois instrumentos (régua e compasso), para que essas construções geométricas fossem realizadas, principalmente considerando uma régua sem escala, deve-se, segundo Eves (1992), ao culto à geometria e às construções geométricas, que era dado pela escola platônica (cerca de 390 a.C.) da qual Euclides era membro. Todavia, a tentativa grega de efetivar todas as construções geométricas com régua e compasso não foi suficiente, pois eles sabiam, segundo Eves (1992), que muitos problemas, por mais simples que fossem, não seriam resolvidos apenas com esses dois instrumentos.

Atividade 4

Consulte alguns livros de matemática de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental e do Ensino Médio e verifique como as definições d’Os Elementos, de Euclides, são reelaboradas nos livros consultados. Faça o mesmo para os cinco postulados apresentados.


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Leituras ComplementaresPara possíveis aprofundamentos sobre o tema apresentado nesta aula indicamos a

referência a seguir.

O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Tradução Irineu Bicudo. Editor geral John A. Fossa. Natal: SBHMat, 2001. (Série textos de história da matemática, 1).

Neste livro, seu tradutor apresenta os aspectos teóricos básicos ligados à construção da geometria euclidiana. Trata-se da primeira tradução brasileira do livro I d’Os Elementos, de Euclides. O livro está dividido em quatro partes: as definições, os postulados, as noções comuns e os elementos.

Nas definições, são enunciadas 23 proposições, tomadas como verdades iniciais, nas quais está apoiada a geometria euclidiana. Nos postulados, são enunciadas 5 proposições formuladas a partir de algumas definições iniciais. Os postulados são considerados como verdades a serem aceitas por qualquer leitor dos elementos, pois são indemonstráveis. As noções comuns são enunciadas através de 9 proposições consideradas como verdades estabelecidas a partir das definições anteriores. A última parte contém 48 elementos, configurados como situações problemáticas que envolvem os aspectos iniciais apresentados no livro. São explicados de forma demonstrativa, para que seja possível a sua utilização na demonstração de outras situações problemáticas ligadas à geometria euclidiana.

CIRINO, Hélio. Matemática e gregos. Campinas: Átomo, 1986.

Matemática e Gregos constitui-se em um livro de história da Matemática para iniciantes, ao apontar caminhos para estudos futuros, principalmente por abordar aspectos mais diretamente ligados aos matemáticos e filósofos gregos. O livro está dividido em três partes: considerações históricas, Tales de Mileto e Pitágoras.

Na primeira parte, é possível fazermos uma pequena incursão histórica à Grécia Clássica, de modo a compreender seus aspectos econômicos, sociais, políticos, educacionais e filosóficos. Para tanto, menciona os intelectuais gregos que se dedicaram a pensar sobre tais aspectos e propuseram mudanças na sociedade da época.

A segunda parte contém informações históricas sobre a obra filosófica e matemática de Tales de Mileto, suas contribuições para o desenvolvimento da geometria grega, bem como sobre outros ramos da Matemática.

Na terceira parte, o autor aborda os princípios filosóficos, nos quais estava apoiado o pitagorismo e as matemáticas emergentes desses princípios. É nesse clima que a geometria pitagórica se apresenta, principalmente com relação às noções relacionadas aos incomensuráveis e aos irracionais.

Ao final de cada parte do livro, seu autor propõe alguns exercícios de fixação da aprendizagem, o que pode constituir-se em um estímulo para a realização de estudos futuros acerca da geometria na Grécia Clássica.


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EVES, Howard. História da geometria. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992. (Série tópicos de história da matemática para uso em sala de aula, 3).

História da Geometria consta de duas partes: uma visão geral, a fim de dar ao leitor um quadro amplo sobre o assunto; e, uma segunda, que leva em conta a importância que os detalhes, muitas vezes, têm na história da Matemática. Essa segunda parte é formada por cápsulas (pequenos resumos históricos) que podem ser lidas independentemente uma da outra e servem de complementação à visão geral sobre o tema abordado. Muitas vezes, incluem referências para leituras adicionais.

Para os estudos que desenvolvemos nesta aula, é importante que você consulte a visão geral sobre a história da geometria, bem como a cápsula 1, que trata sobre as construções com régua e compasso. Nessas duas partes do livro, você terá a oportunidade de aprofundar seus estudos sobre o tema aqui discutido.

Resumo

Nesta aula, você teve a oportunidade de interpretar alguns aspectos históricos que cercam o desenvolvimento da geometria enquanto conhecimento matemático abordado na escola básica. Compreendeu, também, as origens das práticas de medição representadas pelas geometrias dos egípcios e babilônios e iniciou o seu processo de inserção na geometria axiomática proposta por Euclides, através da sua obra principal intitulada Os Elementos. Percebeu, ainda, que a incursão histórica no mundo da geometria lhe fez ver os aspectos ligados à base estrutural do conhecimento geométrico e suas relações com o conhecimento disseminado pela sociedade e pela cultura escolar hoje. Além disso, teve a oportunidade de investigar o desenvolvimento do pensamento geométrico em diferentes contextos profissionais existentes na sua comunidade, de modo a relacionar as práticas investigadas com a geometria aprendida por você.


1�

1

2

Auto-avaliação

Com base na leitura do texto e nas atividades desenvolvidas por você, faça uma análise dos principais aspectos mencionados nesta aula.

Quais os pontos que ficaram claros para você?

Quais as dúvidas evidenciadas?

Que relações podem ser estabelecidas com a geometria que você conhece e com as práticas de medição desenvolvidas em sua comunidade?�

Referências

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 6.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

CIRINO, Hélio. Matemática e gregos. Campinas: Átomo, 1986.

DUROZOI, Gerard; ROUSSEL, André. Dicionário de filosofia. Tradução Marina Appenzeller. 3.ed. Campinas: Papirus, 1993.

EVES, Howard. História da geometria. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992. (Série tópicos de história da matemática para uso em sala de aula, 3).

LOFF, Dina Maria Santos. Algumas actividades didácticas para a introdução da geometria euclidiana. Coimbra: Universidade de Coimbra, 1993. (Publicações de história e metodologia da matemática).

LOUREIRO, Cristina et al. Geometria. Lisboa: Ministério da Educação, 1998.

NEUGEBAUER, Otto. The exact sciences in antiquity. 2.ed. New York: Dover Publications, 1969.


1�

OLIVEIRA, A. J. Franco de. Geometria euclidiana. Lisboa: Universidade Aberta, 1995.

O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Tradução Irineu Bicudo. Editor geral John A. Fossa. Natal: SBHMat, 2001. (Série textos de história da matemática, 1).

RESENDE, Eliane Quelho; QUEIROZ, Maria Lúcia Boutorim de. Geometria euclidiana plana e construções geométricas. Campinas: Editora da UNICAMP, 2000. (Coleção livro-texto).

RUSSELL, Bertrand. História do pensamento ocidental: a aventura das idéias dos pré-socráticos a Wittgenstein. 3.ed. Tradução de Laura Alves e Aurélio Rebello. Rio de Janeiro: Ediouro, 2001.


1�

Anotações


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Anotações

Aula 01 Geometria Plana e Espacial 2ª Edição

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