O

A

B

O vértice do ângulo

AO e OB lados do ângulo

Ângulo AÔB =

ÂNGULOSÂNGULOS

O

A

B

AGUDO

0º < < 90º

ÂNGULOS - CLASSIFICAÇÃOÂNGULOS - CLASSIFICAÇÃO

O

A

B

RETO

m(AÔB) = 90º

OBTUSO

90º < < 180º

O

A

B

2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER:

O

+ = 90º

COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES

O

+ = 180º

O

+ = 360º

x°

80°

30°

SuplementoComplemento Replemento

60° 150° 330°

10° 100° 280°

90° - x 180° - x 360° - x

ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS

r

s

t

12

34

56

78

ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS

r

s

t

+ = 180º

a

b

2x – 10º

3x + 40º

a//b

3x + 40º

3x + 40 + 2x – 10 = 180

5x + 30 = 180

5x = 150

x = 30º

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

A

C

B

A + B + C = 180º

A

C

B

r

A + B + C = 180º

+ + = 180°

⇒

r // AB

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

A

C

B

A + B + C = 180º

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

A

C

B

= A + B

f

A

C

B

e = A + B

g

e

f = A + C

g = B + C

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

A

C

B

A + B + C = 180º

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

B

A

D

76º 115º

C

x

y y76 + y = 115 y = 39º⇒

115 + y = x

115 + 39 = x

x = 154º⇒

Exemplo

• Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado.

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

A + B + C = 180º

A

C

B

= A + B

CASOS IMPORTANTESCASOS IMPORTANTES

xx

x

60°

60°

60°

EQUILÁTEROEQUILÁTERO ISÓSCELESISÓSCELES

xx

RETÂNGULORETÂNGULO

+ = 90°

SEGMENTOS NOTÁVEISSEGMENTOS NOTÁVEIS

B

A

CM

MEDIANAMEDIANA ALTURAALTURA

B

A

CH

BISSETRIZBISSETRIZ

B

A

CS

MEDIATRIZMEDIATRIZ

A

m

BM

ESTUDO DOS POLÍGONOSESTUDO DOS POLÍGONOS Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

Os vértices A, B, C, D, E e F.

Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.

é ângulo externo relativo ao vértice A.

Diagonal BD.

A

B C

D

EF

icoságono20octógono8

pentadecágono15heptágono7

dodecágono12hexágono6

undecágono11pentágono5

decágono10quadrilátero4

eneágono9triângulo3

PolígononPolígonon

ESTUDO DOS POLÍGONOSESTUDO DOS POLÍGONOS

A

B C

D

EF

d =

n(n – 3)

2

NÚMERO DE DIAGONAISNÚMERO DE DIAGONAIS

Polígonos Regulares com n ladosPolígonos Regulares com n lados

n par:n par: n/2 diagonais passam pelo n/2 diagonais passam pelo centrocentro

n ímpar:n ímpar: não há diagonais que não há diagonais que passam pelo centropassam pelo centro

ÂNGULO NOS POLÍGONOSÂNGULO NOS POLÍGONOS

A2

A3

A4

A5

An

A1

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

Si = 180°(n – 2)

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

Se = 360°

ai + ae = 180°

aiae

ÂNGULO NOS POLÍGONOSÂNGULO NOS POLÍGONOS

A2

A3

A4

A5

An

A1

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

Si = 180°(n – 2)

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

Se = 360°

ai + ae = 180°

aiae

d =

n(n – 3)

2

POLÍGONOS REGULARESPOLÍGONOS REGULARES

B

A

C

D

EF

ai

ai

ai ai

ai

ai

ai = Sin

ae = Sen

ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA

O

A

B

P

m(APB) = = 2

P

A

B

QR

m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =

AB

2

ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA

O

A

B

P

m(APB) = = 2

M

A B

P

N

ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA

O

A

B

P

m(APB) = = 2

M

A Br r

r

TRIÂNGULOS SEMELHANTESTRIÂNGULOS SEMELHANTES

A

C

B D E

F

cc

aabb dd

ee

ff

aa

dd==

bbee

== ccff

hhh´h´

==h´h´hh

cc

aabb

dd

ee

ff aa

ff==

bbdd

== ccee

TRIÂNGULO RETÂNGULO – RELAÇÕES MÉTRICASTRIÂNGULO RETÂNGULO – RELAÇÕES MÉTRICAS

a2 = b2 + c2HIP2 = CAT2 + CAT2

CAT1 . CAT2 = HIP . ALT b . c = a . h

CAT2 = HIP . PROJ b2 = a . n

ALT2 = PROJ1 . PROJ2

c2 = a . m

h2 = m . n

POLÍGONOS REGULARES – TRIÂNGULO EQUILÁTEROPOLÍGONOS REGULARES – TRIÂNGULO EQUILÁTERO

O

A B

a

L

C

LLh

60°

43LA

2

23Lh

.h31a

.h31r

.h32R

O

r

O

R

POLÍGONOS REGULARES – QUADRADOPOLÍGONOS REGULARES – QUADRADO

2LA 2Ld

.L21a

O

A B

a

d

L

CD

L

L

L.L

21r

22LR

O

r

O

R 2dR

TRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADOTRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADO

O

A B

a= r

L

C

LLh

60°

43LA

2

23Lh

R

.h31r .h

32R

2LA 2Ld

O

A B

rR

L

CD

L

L

L

.L21r

22LR

O

a

LA B

POLÍGONOS REGULARES – HEXÁGONO REGULARPOLÍGONOS REGULARES – HEXÁGONO REGULAR

C

DE

F

L

L

L

L

L

120°

LL

23La

23Lr

O

r

43L6A

2

43L6.A

2

O

R

R = L

ÁREA DE FIGURAS PLANASÁREA DE FIGURAS PLANAS

b

h

2

b.hA

c)b).(pa).(pp(pA

α.sen2

b.aA

ac

bTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS

h A = b.ha

b

a A = b.a

D

d2

D.dA

2

b).h(BA

B

b

h

CÍRCULO E SUAS PARTESCÍRCULO E SUAS PARTES

O

R A = R2

COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR

A = (R2 - r2)

SETOR CIRCULARSETOR CIRCULAR

360

Rπα 2

A

SEGMENTO CIRCULARSEGMENTO CIRCULAR

A = ASETOR – ATRIÂNGULO