Zona Militar Sérgio Gumieri

Problema 1. Na figura abaixo, os três círculos têm mesmo raio r igual a 10 cm. Determine o comprimento da correia que envolve os três círculos.

Problema 2. O ponto O é o centro do círculo ACBD e extremidade das semicircunferências OA e OB da figura. A reta que contém O e divide a região tracejada em duas partes de mesma área faz com OA um ângulo. Determine esse ângulo em graus.

Problema 3. Um triângulo eqüilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 6 cm. O triângulo é interceptado por um diâmetro de circunferência, formando um trapézio, conforme a figura abaixo. Qual a razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio?

Problema 4. Considere as circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo eqüilátero de lado l . Qual a área da coroa circular formada por estas circunferências? Problema 5. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. Problema 6. No triângulo ABC, temos: AB = 2.BC. a) Prove que BC é o menor lado do triângulo. b) Sabendo que o perímetro do triângulo é 24 cm, prove que: 4 cm<BC<6 cm. Problema 7. Determine a maior área possível, em cm², de um retângulo inscrito em uma circunferência cujo raio mede 1 cm. Problema 8. As circunferências da figura, de centros M, N e P, são mutuamente tangentes. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Qual a área do triângulo MNP?

Problema 9. Prove que, em qualquer trapézio, a soma do quadrado das diagonais é igual à soma do quadrado do lado não paralelo mais o dobro do produto das bases. Problema 10. Um triângulo ABC tem área igual a 1. Seja E, F e G, pontos, respectivamente, nos lados BC, CA e AB, tal que AE intercepta BF no ponto R, BF intercepta CG no ponto S e CG intercepta AE no ponto T. Onde os pontos R, S e T dividem BF, CG e AE, respectivamente, em dois lados iguais. Ache a área do triângulo RST.

Problema 11. Uma reta corta um triângulo ABC dando origem a quarto triângulos distintos. Prove que as circunscritas desses triângulos têm um ponto em comum.

Problema 12. Dado um triângulo ABC tal que AB=AC=a+b e BC=a, traça-se uma ceviana partindo de B determinando em AC um ponto D tal que DA=a e DC=b. Sabendo que ABD=10º, determine os ângulos internos desse triângulo.

Problema 13. Seja ABC um triângulo dado e Z um ponto fora dele, para cada reta L passando por Z definimos A' como a intersecção de L com BC e B' a intersecção de L com AC. (a) Prove que o lugar geométrico dos pontos de intersecção de AA' com BB' é uma curva cônica. (b) Prove que a cônica passa por A,B,C e é tangente a AZ e BZ.

Problema 14. Dado um triângulo ABC considere E,D e F os pontos de contato da circunferência inscrita de ABC, onde F está em AB e E está em AC. Uma perpendicular por D, toca a reta FE em K, prove que FK/KE = FB/EC.

Problema 15. Inscrevemos um triangulo ABC no círculo unitário. Seja K o centro do circulo inscrito, prove que se KA.KB.KC=1 então o triângulo é eqüilátero.

Problema 16. Seja ABCD um quadrilátero cíclico e r e s as retas simétricas à reta AB em relação às bissetrizes internas dos ângulos CAD e CBD, respectivamente. Sendo P a interseção de r e s e O o centro do círculo circunscrito a ABCD, prove que OP é perpendicular a CD.

Problema 17. Dado um ponto P na circunferência circunscrita de um triângulo ABC, prove que os simétricos de P com relação aos lados e o ortocentro de ABC estão alinhados.

Problema 18. O triângulo ABC está inscrito em um círculo cujo diâmetro AB mede 1 e cujo os ângulos satisfazem a condição B

)=2A conforme se vê na

figura. Qual a área desse triângulo?

Problema 19. Dado um ponto P na circunferência circunscrita de um triângulo ABC, prove que os simétricos de P com relação aos lados e o ortocentro de ABC estão alinhados.

Problema 20. Considere ABCD um paralelogramo e respectivamente 2 cm, 4 cm, 5 cm as distâncias dos vértices A, B, C a reta r, exterior a este paralelogramo. Determine a distancia do vertice D a reta r.

Problema 21. Seja ABC um triângulo de lados a, b e c e seja X o comprimento de uma ceviana AD que divide BC em dois segmentos m e n. Mostre que

mnaaXncmb +=+222 (Relação de Stewart).

Problema 22. Uma reta qualquer determina, sobre os lados de um triângulo

ABC, os pontos L, M e N, como mostra a figura. Mostre que 1.. =NA

NC

MC

MB

LB

LA

(Teorema de Menelaus)

Problema 23. Em um triângulo ABC, M é o ponto médio do lado AC, D é um ponto sobre o lado BC tal que AD é bissetriz do ângulo BÂC e P é o ponto de interseção de AD e BM. Sabendo que a área de ABC é 100, AB = 10 e AC = 30, calcule a área do triângulo APB.

Problema 24. Dados n pontos sobre um plano, provar que escolhendo-se pontos três a três e ligando-os por segmentos consecutivos, formar-se-á pelo menos um angulo menor ou igual a π /n radianos.

Problema 25. Tem-se um triângulo ABC, tal que AB=AC.O ângulo B A)C mede

80º.Traça-se uma ceviana AD relativa ao lado BC e BE relativa ao lado AC.O ângulo AB

)E vale 30º e o ângulo B A

)D vale 50º.Calcular BE

)D.